Topologie générale

1) Espaces topologiques.

Définition. 1.1. Soit X un ensemble et T ⊂ P(X). On dit que T est une topologie si et seulement si ellevérifie les axiomes

(i) pour toute famille finie (Oi)i∈I de T ,⋂i∈I

Oi ∈ T ,

(ii) pour toute famille (Oi)i∈I de T ,⋃i∈I

Oi ∈ T .

Les éléments de T sont alors appelés les ouverts de la topologie.

On sous-entend dans cette définition que X et ∅ sont des ouverts grâce aux conventions⋂∅

= X,⋃∅

= ∅.

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Topologie localisée, Filtrage continu

Soit (X,T ) un espace topologique et x ∈ X. On remarque que T (x) = VX(x) ∪∅ est une topologique sur X.On appelera (X,T (x)), le localisé de (X,T ) en x.

� On a ∅, X ∈ T (x). De même si A,B ∈ T (x), si l’un parmis A,B est vide c’est évident, sinon ils sont tousdeux voisinages et donc leur intersection est un voisinage, de même si (Ai)i∈I est une famille de T (x), soit lesAi sont tous vides et alors c’est évident, sinon on choisit Aj non vide et on a alors

⋃i Ai ⊂ Aj , donc

⋃i Ai est

un voisinage de x. �

Soient (X,T ) et (Y,T ′) deux espaces topologiques et f : X −→ Y , on dit que f : (X,T ) −→ (Y,T ′) estcontinue si et seulement si pour tout O ∈ T ′, f−1(O) ∈ T .

Mainenant, on cherche à va définir autrement la continuité locale en un point x, pour rester dans l’esprit :

On dit que f : X −→ Y est continue en x ∈ X si et seulement si f : (X,T (x)) −→ (Y,T ′(f(x))) est continue.

Montrons que cette définition est équivalente à la définition usuelle : f est continue en x si et seulement si pourtout voisinage W de f(x), il existe un voisinage V de x tel que f(V ) ⊂W .

� Si W est un voisinage de f(x) alors c’est un ouvert de T ′(f(x)) donc il existe un ouvert de T (x), O, tel queO = f−1(W ). Or O ne peut être vide puisque x ∈ f−1(W ), donc O est un voisinage de x et ainsi f−1(W ) enest un aussi, et f(f−1(W )) ⊂W .

Réciproquement si U est un ouvert de T ′(f(x), supposons qu’il est non vide, alors c’est un voisinage de f(x)donc il existe un voisinage V de x tel que f(V ) ⊂ U , en particulier V ⊂ f−1(U) donc f−1(U) est un voisinage,donc un ouvert de T (x). Si U = ∅, alors f−1(U) = ∅, qui est bien un ouvert de T (x). �.

On peut généraliser aux filtres :

Soit J , un filtre de X, J + = J ∪ ∅ est une topologie sur X, (X,J +) est l’espace (X,T ) filtré par J .On appelle morphisme de filtre une application f : (X,J +) −→ (Y,J ′+) continue, où J ,J ′ sont deux filtres.

Finalement la continuité locale est un morphisme de filtres. Or pour un point qui n’est pas dans X, on peutdéfinit un filtre réalisant un pseudo-voisinage... bref, on ne parle plus de convergence ni de continuité locale,mais de morphisme de filtre... ou application filtrée continûment.

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Chapitre I - Espaces métriques.

1) Métrique sur un espace.

Définition. 1.1. Soit X un ensemble et d : X2 −→ R, une application. On dit que d est une distance si etseulement si elle vérifie les axiomes suivants,

(i) ∀(x, y) ∈ X2, (d(x, y) = 0⇐⇒ x = y),(ii) ∀(x, y) ∈ X2, d(x, y) = d(y, x),(iii) ∀(x, y, z) ∈ X3, d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y).

Remarques.

• On a d(X2) ⊂ R+, en effet ∀(x, y) ∈ X2, 0 = d(x, x) 6 2d(x, y).

• On a que « la distance entre les distance est plus petite que la distance », c’est à dire, pour tout triplet(x, y, z) ∈ X3,

|d(x, y)− d(x, z)| 6 d(x, y)

Car c’est équivalent à −d(x, y) 6 d(x, z)−d(z, y) 6 d(x, y), ce qui est impliqué par l’inégalité triangulaire.

Définition. 1.2. Soit (X, d) un espace métrique, x ∈ X et ρ > 0. On appelle,

• Boule ouverte de centre x et de rayon ρ, l’ensemble

B(x, ρ) = {y ∈ X : d(x, y) < ρ}

• Boule fermée de centre x et de rayon ρ, l’ensemble

Bf (x, ρ) = {y ∈ X : d(x, y) 6 ρ}

Définition. 1.3. Une partie bornée de (X, d) est une partie A ⊂ X tel que

∃x ∈ X,∃ρ >: A ⊂ B(x, ρ)

Remarque.

• Dans la définition, on peut remplacer la boule ouverte par une boule fermée car si B(x, ρ) convient, touteBf (x, ρ′) avec ρ′ > ρ convient, et réciproquement.

• En fait, si A est bornée, on peut trouver une boule contenant A, centrée en n’importe quel point.

Définition. 1.4. Soit A un ensemble et (X, d) un espace métrique, on dit qu’une application f : A −→ X estbornée dans (X, d) si et seulement si f(A) est bornée dans (X, d). On note B(A,X, d) l’ensemble des applicationbornée de A dans X pour la distance d.

Exemples.

1. L’application d : (x, y) 7−→ max(x − y, y − x) définit une distance sur R, les boules ouvertes sont lessegments ouverts et les boules fermées sont les segments fermés.

2. Sur C, on peut définir la distance d : (z, z′) 7−→[(z − z′)(z̄ − z̄′

]1/2, les boules ouvertes sont alors lesdisques ouverts et les boules fermées, les disques fermés.

3. Dans Kn, avec K = R ou C, on peut définir pour p > 1, la distance dp définie par,

dp(x, y) =(∑

i

|xi − yi|p)1/p

.

De même on peut définit la distance d∞ : (x, y) 7−→ maxi|xi − yi|.

4. Sur l’espaces B(A,X, d), l’application d∞ : (f, g) 7−→ supx∈A

d(f(x), g(x)) est une distance.

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5. Pour A un ensemble quelconque, on peut définir la distance df : (x, y) 7−→ δx,y, c’est la distance grossière.Ses boules sont soit des singletons soit l’espace entier.

Remarques.

• Si (X, d) est un espace métrique et A,B ⊂ X, on définit la distance entre A et B par inf(a,b)∈A×B

d(x, y),

mais ce n’est pas une distance sur P(X) car elle ne vérifie pas la séparation.

• Si A ⊂ X, on peut définiti le diamètre de A par δ(A) = sup(x,y)∈A2

d(x, y).

2) Espaces vectoriels normés.

Définition. 1.5. Un espace vectoriel normé est un couple (E, ‖.‖) où :

(i) E est un espace vectoriel sur K,(ii) ‖.‖ : E −→ R est une norme, i.e. une application vérifiant les axiomes suivants,

(a) ‖E‖ ⊂ R+,(b) ∀(λ, x) ∈ K× E, ‖λx‖ = |λ| ‖x‖,(c) ∀x ∈ E, (‖x‖ = 0 =⇒ x = 0),(d) ∀(x, y) ∈ E, ‖x+ y‖ 6 ‖x‖+ ‖y‖.

Remarque. Tout espace vectoriel normé est un espace métrique en vertu de l’application d : (x, y) −→ ‖x− y‖.On l’appelle la distance induite par la norme.

Exemples.

1. Muni de la valeur absolue, R est un espace vectoriel.

2. Muni de la norme ‖.‖p, Kn est un espace vectoriel normé, avec

∀x ∈ Rn, ‖x‖p =(∑

i

|xi|p)1/p

3. B(A,E) où E est un espace vectoriel normé, est un espace vectoriel normé muni de la norme ‖f‖∞ =supx∈A

‖f(x)‖.

4. (E, dg) ne peut pas provenir d’un espace vectoriel normé, car il ne peut pas être homogène.

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