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Topologie S5 SMA Makki Naciri-By-

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  • Prface

    Ce polycopi expose le cours de topologie gnrale destin aux tudiants de la licence

    mathmatiques. Il comprend quatre chapitres :

    1. lments de topologie,

    2. Espaces des fonctions continues,

    3. Espaces norms,

    4. Espaces de Hilbert.

    Son objectif est de prsenter, dans un cadre gnral, des notions de topologie (dont cer-

    taines ont t acquises dans R

    n) et d'approfondir des mthodes et concepts utiles en

    Analyse. L'accent est mis sur les espaces mtriques et les espaces norms.

    Pour une bonne comprhension de ce cours, des sries d'exercices sont mises la n de

    chaque paragraphe.

    A. Makki Naciri - A. Raouj - S. Souhail

    Facult des Sciences Semlalia

    2006-2007

  • Table des matires

    1 lments de topologie 1

    1 Espaces mtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1 Boules et sphres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.2 Diamtre d'une partie, fonctions bornes . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.3 Distance d'un point une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.4 Distance induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.5 Exemples de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.6 Ouverts d'une distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.7 Topologie associe une distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.8 Distances quivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.9 Distances produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.1 Base d'une topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.2 Exemples de topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2.3 Parties fermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2.4 Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.5 Adhrence, intrieur, frontire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2.6 Points isols, points d'accumululation . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2.7 Espaces spars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2.8 Parties denses, espaces sparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2.9 Topologie induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    3 Limites et continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    3.1 Limite et valeur d'adhrence d'une suite . . . . . . . . . . . . . . . 14

    3.2 Suite dans les espaces mtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    3.3 Applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    3.4 Continuit de la compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    3.5 Continuit de la restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    3.6 Prolongement par continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    3.7 Homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    3.8 Continuit et limite dans les espaces mtriques . . . . . . . . . . . . 21

    3

  • 3.9 Applications uniformment continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    4 Topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    4.1 Produit d'espaces mtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    4.2 Produit ni quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    4.3 Topologie de R

    n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    5 Espaces complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    5.1 Espaces complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    5.2 Produit ni d'espaces complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    5.3 Condition de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    5.4 Prolongement des applications uniformment continues . . . . . . . 30

    5.5 Thorme du point xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    5.6 Thorme de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    5.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    6 Espaces compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    6.1 Parties compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    6.2 Compacts et continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    6.3 Suites et compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    6.4 Espaces mtriques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    6.5 Produit ni de compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    6.6 Compacts de R

    n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    6.7 Parties relativement compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    6.8 Espaces localement compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    6.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    7 Espaces connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    7.1 Parties connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    7.2 Produit de connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    7.3 Composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    7.4 Connexes par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    7.5 Espaces localement connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    2 Espaces des fonctions continues 53

    1 Convergence simple et convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    2 Le thorme d'Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    3 Le thorme de StoneWeierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    3 Espaces norms 67

    1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    2 Applications linaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    3 Espaces norms de dimension nie, le thorme de Riesz . . . . . . . . . . 73

    4 Applications multilinaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    5 Le thorme de l'application ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    6 Le thorme de BanachSteinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

  • 7 Le thorme de HahnBanach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    4 Espaces de Hilbert 91

    1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    2 Projection et orthogonalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    3 Base hilbertienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    4 L'espace de Hilbert `2N

    (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

  • Chapitre 1

    lments de topologie

    Quand on regarde, de plus prs, l'ensemble des nombres rels R, on s'aperoit, trs vite,

    que la majorit des notions topologiques telles que : limites, continuit, suites convergentes

    et suites de Cauchy, ont t dnies l'aide des intervalles ouverts et plus prcisment

    l'aide des trois proprits mtriques de la valeur absolue :

    (p1) : |x y| = 0 x = y ;(p2) : |x y| = |y x| ;(p3) : |x z| |x y|+ |y z|.Pour esprer dnir ces mmes notions topologiques dans un espace autre que R, il est

    donc naturel de chercher munir cet espace d'une mtrique convenable qui possde les

    mmes proprits que la valeur absolue.

    1. Espaces mtriques

    Dnition 1.1. Soit E un ensemble non vide. On appelle distance sur E, toute applicationd de E E dans R+ vriant :1. x, y E, d(x, y) = 0 x = y ;2. la symtrie : x, y E, d(x, y) = d(y, x);3. l'ingalit triangulaire : x, y, z E, d(x, z) d(x, y) + d(y, z).Si d est une distance sur E, le couple (E, d) est appel espace mtrique.

    Par rcurrence, l'ingalit triangulaire implique que pour tous x1, x2, ... , xn lmentsde E :

    d(x1, xn) n1k=1

    d(xk, xk+1).

    Elle implique aussi que pour tous x, y et z dans E :

    |d(x, y) d(y, z)| d(x, z).

    1

  • 2 Chapitre 1 : lments de topologie FSSM SMA 2006-2007

    1.1. Boules et sphres

    Soit (E, d) un espace mtrique. Pour tout a E et tout r > 0, la boule ouverte decentre a et de rayon r est l'ensemble :

    B(a, r) = {x E, d(x, a) < r}.

    La boule ferme de centre a et de rayon r est l'ensemble :

    B(a, r) = {x E, d(x, a) r}.

    La sphre de centre a et de rayon r est :

    S(a, r) = {x E, d(x, a) = r}.

    1.2. Diamtre d'une partie, fonctions bornes

    Le diamtre d'une partie A de E est la plus grande valeur (ventuellement innie) quipuisse tre prise par d sur A A :

    diam(A) = sup(x,y)AA

    d(x, y).

    Lorsque diam(A) est ni, on dit que A est borne.Si f est une application d'un ensemble X valeurs dans l'espace mtrique E, on dit quef est borne, si la partie f(X) est borne.

    1.3. Distance d'un point une partie

    La distance d'un point b E une partie A de E est la borne infrieure des distancesentre b et les lments de A :

    d(b, A) = infaA

    d(b, a).

    1.4. Distance induite

    Si d est une distance sur un ensemble E et A une partie non vide de E, la restrictionde d AA est une distance sur A. On l'appelle distance induite sur A. Le couple (A, d)est, son tour, un espace mtrique, on l'appelle sous-espace mtrique de (E, d).

  • 1. Espaces mtriques 3

    1.5. Exemples de distances

    1. La valeur absolue (x, y) 7 |x y| est videmment une distance sur R. On l'appelledistance usuelle.

    Pour tout a R et tout r > 0, la boule ouverte B(a, r) est l'intervalle ouvert]a r, a + r[, son diamtre est gal 2r. Quant la sphre S(a, r), elle est gale la paire {a r, a+ r}.

    2. La distance usuelle est aussi une distance sur Q, sur Z et sur toute autre partie non

    vide de R. Ainsi, par exemple, relativement Z, la boule ouverte B(m, r) est gale ]m r,m+ r[Z. Son diamtre est gal 2r 2 si r N+?, 2E(r) sinon.On peut remarquer, par cet exemple, que dans un espace mtrique quelconque, le

    diamtre d'une boule de rayon r n'est pas toujours gal 2r.

    3. L'application (x, y) 7 | arctan(x) arctan(y)| est une distance sur l'ensemble :R = R {+,}. Relativement cette distance l'ensemble R est born et sondiamtre est gal pi. Par exemple, la boule ouverte B(0, pi

    2) est gale R, la boule

    ferme B(0, pi2) est gale l'espace tout entier R, la boule ouverte B(+, 2pi) est gale,elle aussi, R, quant la sphre S(+, 2pi) elle est vide.

    4. Sur l'ensembles des complexe C, l'application module : (z1, z2) 7 |z1 z2| est unedistance. C'est la distance usuelle de C. Ses boules sont des disques et ses sphres sontdes cercles.

    5. Dans l'espace R

    3, les trois applications :

    D1 : ((x1, x2, x3), (y1, y2, y2)) 7 |x1 y1|+ |x2 y2|+ |x3 y3| ;D2 : ((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) 7

    (x1 y1)2 + (x2 y2)2 + (x3 y3)2 ;

    D3 : ((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) 7 max(|x1 y1|, |x2 y2|, |x3 y3|) ;sont des distances.

    La distance D2 s'appelle distance euclidienne (car elle provient du produit scalaireusuel de R

    3), ses boules correspondent rellement ce qu'on imagine d'habitude, c'est

    des vraies boules de l'espace.

    Par contre, les deux autres distances D1 et D3 sont purement thoriques, les boulesde D1 et D3 sont des cubes de l'espace. Toutefois, nous verrons, un peu plus loin, queces trois distances (gomtriquement direntes) sont topologiquement identiques et

    reprsentent le mme intrt. On les appelle distances usuelles de R

    3.

    6. Soit E un ensemble quelconque. L'application d(x, y) =

    {0 si x = y1 si x 6= yest une distance sur E, appele distance discrte. Ses boules sont soit des singletons,soit gales E tout entier. Nous verrons, par exemple, que quand E est gal Z, la

  • 4 Chapitre 1 : lments de topologie FSSM SMA 2006-2007

    distance usuelle et la distance discrete dnissent une mme structure topologique.

    7. Une intressante classe d'espaces mtriques est la classe des espaces norms. tant

    donn un espace vectoriel E sur un corps K (K = R ou C), une application N de Edans R

    +est une norme sur E, si :1. x E, N(x) = 0 x = 0 ;2. x E, K, N(.x) = ||.N(x) ;3. x, y E, N(x+ y) N(x) +N(y).Dans ce cas, on dit que (E,N) est un espace norm.On peut vrier, facilement, que si N est une norme sur E, alors l'application

    (x, y) 7 N(x y)est une distance sur E.(Le chapitre 3 de ce manuel est rserv l'tude des espace norms.)

    1.6. Ouverts d'une distance

    Dans R, on dnit les ouverts partir des intervalles ouverts ; dans les espaces

    mtriques on dnit les ouverts partir des boules ouvertes.

    Soit (E, d) un espace mtrique :

    Dnition 1.2. Un sous-ensemble O de E est dit ouvert de E, si O est vide, ou bien sipour tout x O, il existe une boule ouverte de centre x qui soit incluse dans O.En termes prcis, O est un ouvert de E si :{ O = ou bienx O, r > 0, B(x, r) O.

    La famille des boules ouvertes engendre les ouverts de E. En eet, on a :

    Proposition 1.1. Toute boule ouverte est un ouvert et Les ouverts de E sont les runionsde boules ouvertes.

    Dmonstration.

    1. Soit (E, d) un espace mtrique et B(x, r) une boule ouverte de E. Pour tout y B(x, r), de l'ingalit triangulaire, il vient que la boule ouverte de centre y et de rayon = r d(x, y) est incluse dans B(x, r). Donc B(x, r) est un ouvert de E.2. Soit O un ouvert non vide de E. D'aprs la dnition d'un ouvert, pour tout x O,il existe un rayon rx > 0, tel que la boule B(x, rx) soit incluse dans O. Ainsi O est larunion des boules ouvertes B(x, rx), x O.Inversement, Si (B(x, r))I est une famille de boules ouvertes deE, la runion

    I

    B(x, r)

    est un ouvert de E. En eet, si x est un lment de cette runion, il existe un indice I

  • 1. Espaces mtriques 5

    tel que x soit dans la boule B(x, r), et comme cette dernire est un ouvert, elle contientune boule ouverte B de centre x. la boule B est ainsi incluse dans

    B(x, r) ; d'o lersultat.

    Voici trois proprits fondamentales, vries par les ouverts, o les boules ouvertes

    ne gurent plus explicitement :

    Proposition 1.2. Soit (E, d) un espace mtrique.1. Les deux parties et E sont des ouverts de E.2. Une runion quelconque d'ouverts est un ouvert.

    3. Une intersection nie d'ouverts est un ouvert.

    Dmonstration.

    1. vident.

    2. Mme raisonnement utilis pour dmontrer la proposition 1.1.

    3. Soit O1, O2, ... , On des ouverts de E. Si leur intersection

    1knOk est vide, alors c'est

    un ouvert. Sinon, pour tout x lment de cette intersection et pour tout k {1, 2, ..., n},il existe un rayon k > 0 tel que la boule B(x, k) soit incluse dans l'ouvert Ok et parconsquent la boule de centre x et de rayon = min

    1knk est incluse dans

    1kn

    Ok.

    1.7. Topologie associe une distance

    Soit d une distance sur un ensemble E. On appelle topologie associe d, et on noteTd, la partie de P(E) forme de tous les ouverts de E relativement d.

    Td = {O E, O ouvert}.

    D'aprs la proposition 1.2, Td est une partie de P(E) qui vrie :(T1) : Les deux parties et E sont des lments de Td.(T2) : Une runion quelconque d'lments de Td est un lment de Td.(T3) : Une intersection nie d'lments de Td est un lment de Td.Exemples particuliers

    1. Dans un ensemble non vide E, la topologie associe la distance discrte est gale P(E) ; c'est--dire que toute partie de E est un ouvert relativement cette distance.En eet, pour toute partie A non vide de E, si x A alors B(x, 1) = {x} A.2. Dans Z, la topologie associe la distance usuelle est P(Z). En eet, si A est unepartie non vide de Z et m A, on aB(m, 1) = {x Z, |xm| < 1} = {m} A.

  • 6 Chapitre 1 : lments de topologie FSSM SMA 2006-2007

    1.8. Distances quivalentes

    Deux distances d et dnies sur un ensemble E sont dites topologiquementquivalentes, si elles possdent les mmes ouverts ; c'est--dire, si

    Td = T.Elles sont dites quivalentes s'il existe deux constantes strictement positives et , tellesque :

    (x, y) E E, .d(x, y) (x, y) .d(x, y).On peut montrer aisment que :

    Si deux distances sont quivalentes, alors elles sont topologiquement quivalentes.

    La rciproque n'est pas toujours vraie. Exemple, sur R, la distance usuelle (x, y) 7|x y| est topologiquement quivalente la distance (x, y) 7 |x3 y3| car la fonction :x 7 x3 est bijective croissante de R dans R ; mais ces deux distances ne sont pas quiva-lentes, sinon il existerait une constante strictement positive telle que |x2 + y2 + xy| pour tout couple (x, y) R2, ce qui est impossible. Remarque

    Si d est une distance quelconque sur E, on peut toujours mettre sur E une distancetopologiquement quivalente d qui soit borne. En eet, on peut vrier que

    l'application (x, y) 7 d(x, y)1 + d(x, y)est encore une distance sur E, elle est topologiquement

    quivalente d et elle est majore par 1.

    1.9. Distances produit

    Si (E1, d1), (E2, d2), ... , (En, dn) sont des espaces mtriques, alors les trois applica-tions :

    (x, y) 7 D1(x, y) =n

    k=1 dk(xk, yk) ;

    (x, y) 7 D2(x, y) =n

    k=1 dk(xk, yk)2;

    (x, y) 7 D3(x, y) = maxk{1,2,...,n}

    dk(xk, yk) ;

    Sont des distances sur l'espace produit E = E1 E2 ... En. On montre qu'elle sontquivalentes et plus prcisment :

    D3 D1 n.D2 nD3.Donc, en particulier, leurs topologies associes sont identiques. Quand on parle de

    distance produit, il s'agit, sans confusion, de l'une de ces trois distances.

    Comme dans R, on peut aussi dnir dans un espace mtrique quelconque la notion

    de ferm, de voisinage, de limite, de continuit, et toutes les autres notions topologiques,

    mais pour ne pas perdre de gnralit, on les dnira dans un cadre plus gnral, celui

    des espaces topologiques.

  • 2. Espaces topologiques 7

    2. Espaces topologiques

    Un autre regard, cette fois ci, vers les espaces mtriques nous apprend que pour dnir

    sur un ensemble quelconque E des notions topologiques telles que limite et continuit,on n'a pas vraiment besoin d'une distance ; une partie T de P(E) qui vrie les troisproprits (T1), (T2) et (T3) du paragraphe 1.7 sut.Soit E un ensemble non vide et T une partie de P(E).

    Dnition 2.1. On dit que T est une topologie sur E si :(T1) : Les deux parties et E sont des lments de T ;(T2) : une runion quelconque d'lments de T est un lment de T ;(T3) : une intersection nie d'lments de T est un lment de T .Dans ce cas, les lments de T sont appels ouverts de E et le couple (E, T ) est appelespace topologique.

    videmment, on voit tout de suite que si (E, d) est un espace mtrique, alors (E, Td)est un espace topologique.

    Il existe des espaces topologiques qui ne sont pas mtrisables, c'est--dire des espaces

    topologiques (E, T ) tels qu' il n'existe aucune distance d dnie sur E qui vrie T = Td.Voici un exemple :

    Soit E un ensemble contenant au moins deux lments, la partie de P(E), T = {, E}est une topologie sur E. C'est la plus petite (au sens de l'inclusion) topologie qui puissetre dnie sur E. On l'appelle topologie grossire. Elle ne provient d'aucune distance.La plus grande topologie qui puisse tre dnie sur E, est la topologie discrte T = P(E),mais elle, elle provient de plusieurs distances, en particulier de la distance discrte.

    2.1. Base d'une topologie

    Il arrive souvent qu'une topologie soit dnie partir de certains de ses ouverts par-

    ticuliers. C'est le cas, par exemple, d'une topologie qui provient d'une distance, elle est

    dnie partir des boules ouvertes.

    Soit (E, T ) un espace topologique et B une partie de T . On dit que B est une base de T ,si tout lment de T est runion d'lments de B, on dit aussi que T est engendre parB. Dans ce cas, on a :O T , si et seulement si, il existe une famille (B)I d'lments de B telle queO =

    I

    B. Ce qui est encore quivalent :

    x O, B B, x B O.D'autre part, si E est un ensemble quelconque et B une partie de P(E), pour que Bsoit une base d'une topologie sur E, il faut et il sut, que B vrie les deux conditionssuivantes :

  • 8 Chapitre 1 : lments de topologie FSSM SMA 2006-2007

    1. E =BB

    B,

    2. B1, B2 B, x B1 B2, B3 B, x B3 B1 B2.Lorsque B est stable par intersections nies, elle vrie la condition 2.

    2.2. Exemples de topologies

    1. Topologie spectrale.

    Soit A une anneau commutatif unitaire. D'aprs le thorme de Krull (voir cours d'algbreII)A admet, au moins, un idal premier, donc l'ensemble E = {J A, J idal premier de A},appel spectre de A, est non vide.Pour tout idal I de A on pose O(I) = {J E, I * J}.Alors T = {O(I), I idal de A} est une topologie sur E, appele topologie spectrale.Cette topologie est trs utile, notamment en gomtrie algbrique.

    2. Topologie arithmtique.

    Pour tous lments a et b dans Z, on pose a.Z+ b = {am+ b, m Z}. Soit B la collectionde tous les aZ+ b quand a et b parcourent Z. Alors B est une base de topologie sur Z. Latopologie T engendre par B s'appelle topologie arithmtique.O T si et seulement si O est vide, ou bien pour tout m O, il existe a et b dans Z telsque m (a.Z+ b) O.3. Topologie de l'ordre.

    Soit (E,) un ensemble ordonn. Pour tous lments a et b de E, avec a < b, on pose :]a, b[= {x E, a < x < b},), a[= {x E, x < a},]a, (= {x E, a < x}.Soit B la partie de P(E) forme des intervalles de la forme ]a, b[, des intervalles de laforme ), a[ et des intervalles de la forme ]a, (, alors B est une base de topologie. Latopologie engendre par B s'appelle topologie de l'ordre sur E.Dans R, la topologie de l'ordre naturel concide avec la topologie usuelle.

    2.3. Parties fermes

    Soit (E, T ) un espace topologique.Dnition 2.2. Une partie F de E est dite ferme dans E, ou un ferm de E, si soncomplmentaire dans E est un ouvert de E.

    Par passage au complmentaire, on dduit de la dnition 2.1 :

    Proposition 2.1. Dans un espace topologique :

    1. Les deux parties et E sont des ferms de E.2. Une intersection quelconque de ferms de E est un ferm de E.3. Une runion nie de ferms de E est un ferm de E.

  • 2. Espaces topologiques 9

    Dans un espace mtrique, les boules ouvertes sont des ouverts. De mme :

    Proposition 2.2. Dans un espace mtrique, les boules fermes sont des ferms.

    Dmonstration. Soit B(x, r) une boule ferme de E et O son complmentaire. Si yest un lment de O, d'aprs l'ingalit triangulaire, la boule ouverte de centre y et derayon d(x, y) r est incluse dans O. Donc O est un ouvert et par consquent B(x, r) estun ferm de E.

    2.4. Voisinages

    Soit (E, T ) un espace topologique, V une partie non vide de E et x un point de E.Dnition 2.3. On dit que V est un voisinage de x, et on crit V V(x), s'il existe unouvert O de E qui contient x et qui soit contenu dans V .

    V V(x) O T , x O V.

    Il dcoule, du fait qu'une runion d'ouverts est un ouvert, le rsultat simple suivant

    qui est, souvent, utile pour prouver qu'une partie est ouverte :

    Proposition 2.3. Dans un espace topologique (E, T ), une partie O est ouverte, si etseulement si, elle est voisinage de chacun de ses points.

    O T x O, U T , x U O.

    Voici les proprits les plus importantes des voisinages :

    Proposition 2.4. Dans un espace topologique (E, T ) :1. Si V est un voisinage de x et V une partie contenant V alors V est aussi un voisinagede x.2. Une intersection nie de voisinages de x est un voisinage de x.3. Si V est un voisinage de x, il existe un voisinage W de x tel que :

    W V et y W, V V(y).

    Dmonstration. 1. Ce point rsulte de la transitivit de l'inclusion.

    2. Ce point rsulte du fait qu'une intersection nie d'ouverts est un ouvert.

    3. Soit V V(x). Il existe un ouvert O tel que x O V . Cet ouvert O rpond laquestion, il peut jouer le rle du voisinage cherch W .

  • 10 Chapitre 1 : lments de topologie FSSM SMA 2006-2007

    2.5. Adhrence, intrieur, frontire

    Soit (E, T ) un espace topologique et A une partie de E.1. Adhrence.

    On appelle adhrence de A, et on note A, l'intersection de tous les ferms contenant A.C'est le plus petit ferm (au sens de l'inclusion) qui contient A. Les points de A sont ditspoints adhrents A, ils sont caractriss par :

    x A V V(x), V A 6= .2. Intrieur.

    On appelle intrieur de A, et on noteA, la runion de tous les ouverts contenus dans A.

    C'est le plus grand ouvert contenu dans A. Les points deA sont dits points intrieurs

    A, ils sont caractriss par :

    x A A V(x) O T , x O A.3. Frontire.

    La frontire de A, qu'on note Fr(A), est le complmentaire deA dans A. C'est un fermde E.

    Fr(A) = ArA = Fr(CA).

    Proposition 2.5. Soit E un espace topologique. Alors :1. Une partie F de E est ferme, si et seulement si, F = F .

    2. Une partie O de E est ouverte, si et seulement si,O = O.

    Dmonstration.1. Soit F une partie ferme de E. Puisque F est le plus petit fermcontenant F , on a ncessairement F = F .L'autre implication est vidente car F est toujours ferm. 2. Soit O un ouvert de E. Puisque

    O est le plus grand ouvert de E contenu dans O, on ancessairement O =

    O.L'autre implication est vidente car

    O est toujours ouvert.

    2.6. Points isols, points d'accumululation

    Soit E un espace topologique et A une partie de E.1. Points isols.

  • 2. Espaces topologiques 11

    On dit qu'un point x A est un point isol de A s'il existe un voisinage V de x tel queV A = {x}.Lorsque tous les points de A sont isols, on dit que A est discrte.2. Points d'accumulation.

    On dit qu'un point x E est un point d'accumulation de A si tout voisinage de x contientdes points de A autres que x ; c'est--dire :

    V V(x), (V r {x}) A 6= .

    2.7. Espaces spars

    Un espace topologique E est dit spar si pour tout x E et tout y E, avec x 6= y,il existe un voisinage V de x et un voisinage U de y, tels que

    V U = .La notion d'espace spar est trs utile en topologie, il assure, en particulier, l'unicit de

    la limite d'une suite quand elle existe. Les espaces topologiques non spars sont, souvent,

    des espaces topologiques pauvres en nombre d'ouverts et dpourvus d'intrt, c'est le cas,

    par exemple, d'un ensemble lorsque il est muni de la topologie grossire.

    Proposition 2.6. Les espaces mtriques sont des espaces topologiques spars.

    Dmonstration. Soit x et y deux point distincts d'un espace mtrique (E, d). D'aprs

    l'ingalit triangulaire, les deux boules B(x, d(x,y)2

    ) et B(y, d(x,y)2

    ) sont disjointes. La pre-mire est un voisinage de x, la seconde est un voisinage de y. Donc (E, d) est spar.

    Remarques

    1. Les espaces mtriques possdent d'autres proprits de sparation encore plus ranes

    comme la rgularit et la normalit. (Voir exercice 11)2. Dans un espace topologique spar E, tous les singletons sont ferms, et plus gnra-lement, toute partie de cardinal nie est ferme.

    En eet, pour tout x E, l'ensemble O = E r {x} est un ouvert, car si y O, alorsx 6= y et puisque E est spar, il existe un voisinage V de y (qu'on peut choisir ouvert)qui ne contient pas x, ce qui entrane que y V O.

    2.8. Parties denses, espaces sparables

    Soit E un espace topologique. Une partie D de E est dite dense si son adhrence estgale E, i.e : D = E.Exemple, Q est une partie dense de R.

    Lorsque E est un espace mtrique on a :

  • 12 Chapitre 1 : lments de topologie FSSM SMA 2006-2007

    D = E x E, > 0, x D, d(x, x) < ,ce qui exprime que tout lment x de E peut tre approch par un lment x de D suivantla prcision souhaite.

    Proposition 2.7. Soit E un espace topologique. Une partie D de E est dense, si etseulement si, son intersection avec chaque ouvert de E est non vide.Si E est un espace mtrique, alors D est dense, si et seulement si, son intersection avecchaque boule ouverte est non vide.

    Dmonstration. Supposons que D = E. Si O est un ouvert non vide de E, il existex O et comme O est ouvert, c'est un voisinage de x, donc il a des points communs avecD.Inversement, supposons que D rencontre tous les ouverts. Soit x E et V V(x). Ilexiste un ouvert O tel que x O V , et comme D coupe O, elle coupe aussi V . DoncD = E. Lorsque E est un espace mtrique, les ouverts de E sont les runions de boules ouvertes,donc D est dense ssi elle rencontre tous les ouverts de E ssi elle rencontre toutes les boulesouvertes de E.

    Les espaces topologiques qui possdent une partie la fois dense et dnombrable,

    s'appellent espaces sparables. On montre (Exercice) que tout espace topologique poss-

    dant une base dnombrable d'ouverts est un espace sparable.

    2.9. Topologie induite

    Soit (E, T ) un espace topologique et A une partie de E. La partie de P(A) dniepar :

    TA = {O A, O T }est une topologie sur A. On l'appelle topologie induite sur A.Le couple (A, TA) est, son tour, un espace topologique, appel sous-espace topologiquede (E, T ), ses ouverts sont les traces des ouverts de E sur A, de mme ses ferms (respses voisinages) sont les traces des ferms (resp des voisinages)de E sur A : est un ouvert de A ssi il existe un ouvert O de E tel que = O A. G est un ferm de A ssi il existe une ferm F de E tel que G = F A. U est un voisinage de a A dans A, ssi il existe un voisinage V de a dans E tel queU = V A.L'adhrence d'une partie B, relativement A, est gale la trace de l'adhrence de B,relativement E, sur A.Lorsque l'espace E est spar, le sous-espace A est aussi spar, en particulier, lorsque latopologie de E est associe une distance d, celle de A est associe la distance induitepar d sur A.Notons, enn, que Si B est une partie de E telle que B A E, alors la topologieinduite par TA sur B concide avec la topologie TB induite par T sur B.

  • 2. Espaces topologiques 13

    2.10. Exercices

    Exercice 1. Soit E un espace mtrique.1. Montrer que le diamtre de toute boule de rayon r est infrieur 2r et donner unexemple o l'ingalit est stricte.

    2. Montrer qu'une partie A de E est borne, si et seulement si, elle est incluse dans uneboule de E.3. Montrer que si E est born, alors il est gal l'une de ses boules.

    Exercice 2. Montrer que sur Z, la distance usuelle et la distance discrte sont topologi-

    quement quivalentes. Que peut on dire de ces distances sur Q ?

    Exercice 3. Soit f : R R une application surjective et strictement croissante.1. Montrer que l'application d dnie par d(x, y) = |f(x) f(y)| est une distance sur R.2. Soit a et b deux rels tels que a < b. Rsoudre le systme :

    f(x) = f(a) + r ;f(x) = f(b) r ;x R, r > 0.3. Montrer que la distance d et la distance usuelle (x, y) 7 |x y| sont topologiquementquivalentes.

    4. Est-ce-que ces deux distances sont quivalentes ?

    Exercice 4 (Distances ultramtriques). Soit E un ensemble non vide. Une distance surE est dite ultramtrique, si pour tous points x, y et z de E, d(x, z) max(d(x, y), d(y, z)).Montrer que pour une telle distance :

    1. Les boules ouvertes et les boules fermes sont la fois des ouverts et des ferms de E.2. Si deux boules ouvertes se coupent, l'une d'elles est incluse dans l'autre.

    Exercice 5. Montrer que dans un espace mtrique, les sphres sont des ferms.

    Exercice 6. Soit E un espace topologique. Montrer que si O1 et O2 sont deux ouvertsdisjoints alors O1 O2 = .

    Exercice 7. Soit E espace topologique. Montrer que :

    1) A = A ;

    A =

    A

    2) A B = A B etA

    B

    3) CA = CA

  • 14 Chapitre 1 : lments de topologie FSSM SMA 2006-2007

    4) A B = A B ; A B A B5)

    A B

    A

    B , avec galit si A B = et A B = .6)

    A B =

    A

    B7) x Fr(A) V V(x), V A 6= et V CA 6= .8)

    A, Fr(A) et CA forment toujours une partition de E.9) (A ouvert) = (CFr(A) est dense dans E).10) Si A est ouvert et B quelconque, alors A B A B.

    Exercice 8. Soit E un espace topologique, A une partie non vide de E et B une partiede A. On muni A de sa topologie induite.1. Montrer que l'adhrence de B dans A est gale la trace sur A de l'adhrence de Bdans E.2. Montrer que l'intrieur de B dans A contient la trace sur A de l'intrieur de B dansE.3. Montrer que la frontire de B dans A est incluse dans la trace sur A de la frontire deB dans E.

    Exercice 9. Montrer que dans un espace mtrique (E, d) :1. x A d(x,A) = 0.2. x

    A d(x,CA) > 0.3. d(x,A) = d(x,A).4. diam(A) = diam(A).

    3. Limites et continuit

    Les notions de limite et continuit jouent un rle central en topologie. Elles permettent,

    en particulier, de montrer l'existence de plusieurs objets mathmatiques.

    3.1. Limite et valeur d'adhrence d'une suite

    Soit E un espace topologique, (xn)nN une suite d'lments de E et l un point de E.1. On dit que (xn)nN converge vers l ou que l est limite de (xn)nN, si :

    V V(l), N N, n N, xn V.2. On dit que l est une valeur d'adhrence de (xn)nN, si :

    V V(l), n N, N n, xN V.

  • 3. Limites et continuit 15

    On voit, clairement, que l est une valeur d'adhrence de (xn)nN, si et seulement si,l

    n0{xn, xn+1, ...}.

    Si l est limite de (xn)nN, alors l est une valeur d'adhrence de (xn)nN, mais la rci-proque n'est pas toujours vraie.

    Proposition 3.1 (Unicit de la limite). Dans un espace topologique spar, en particulier

    dans un espace mtrique, toute suite convergente possde une seule limite.

    Dmonstration. Supposons qu'une suite (xn) possde deux limites distinctes l1 et l2.Puisque l'espace E est spar, il existe deux voisinages disjoints V et U respectivementde l1 et l2, et comme l1 et l2 sont des limites de (xn), il existe deux entiers N1 et N2 telsque xn V pour n N1 et xn U pour n N2. Pour n max(N1, N2), le terme xnappartient donc V U , ce qui contredit le fait que U V = .

    Une suite possdant une seule valeur d'adhrence ne converge pas forcment vers cette

    valeur. Exemple, dans R, la suite xn =1nsi n est pair et xn = n si n est impair, admetune seule valeur d'adhrence (qui est gale 0) mais ne converge pas vers cette valeur.

    Par contre :

    Proposition 3.2. Dans un espace topologique spar, une suite qui converge vers une

    limite admet une seule valeur d'adhrence qui est cette limite.

    Dmonstration. Soit (xn)nN une suite qui converge vers une limite l. D'abord, l est unevaleur d'adhrence de (xn)nN. Supposons qu'elle admet une autre valeur d'adhrence ldirente de l. L'espace E est spar donc il existe U voisinage de l et V voisinage de ltels que U V = , ensuite, il existe un entier N1 tel que que pour n N1, xn U ; etil existe N2 N1 tel que xN2 V . Donc xN2 U V , ce qui est absurde.

    Soit A une partie d'un espace topologique E. Si une suite (an)nN d'lments de Aadmet un point x E comme valeur d'adhrence, alors x A.En eet, tout voisinage de x contient, au moins, un an, donc son intersection avec A estnon vide.

    Nous verrons que lorsque E est un espace mtrique, tout point de A est limite d'une suitede A.

  • 16 Chapitre 1 : lments de topologie FSSM SMA 2006-2007

    3.2. Suite dans les espaces mtriques

    Dans un espace mtrique (E, d), une suite (xn)nN converge vers un point l, si etseulement si, la suite numrique (d(l, xn))nN converge vers zro, soit :

    > 0, N N, n N, d(l, xn) < .Une suite (xn)nN admet un point l comme valeur d'adhrence, si et seulement si :

    > 0, n N, N n, d(l, xN) < .Plus spcialement, on a le rsultat pratique suivant :

    Proposition 3.3. Dans un espace mtrique, un point l est une valeur d'adhrence d'unesuite (xn)nN, si et seulement si, il existe une sous-suite de (xn)nN qui converge vers l.

    Dmonstration. Supposons qu'un point l soit une valeur d'adhrence d'une suite (xn).Si on prend = 1, il existe un entier (0) tel que d(l, x(0)) < 1. Si on prend =

    12, il

    existe un entier (1) > (0) tel que d(l, x(1)) 0, la boule B(a, 1n) rencontre A,

    donc il existe un point an A tel que d(a, an) < 1n . La suite (an)nN est donc une suited'lments de A qui converge vers a.Inversement, supposons que (an)nN est une suite d'lments de A qui converge vers unpoint a. Pour tout voisinage V de a, il existe un entier N tel que aN V ; donc V A 6= .Le point a est alors un point adhrent A.

  • 3. Limites et continuit 17

    Corollaire 3.5. Dans un espace mtrique E, une partie A est ferme, si et seulement si,toute suite d'lments de A qui converge dans E, sa limite reste dans A.

    Dmonstration. Soit A une partie ferme de E et (an) une suite de A qui converge versun point a. D'aprs la proposition 3.4, a est adhrent A et comme A = A, a reste dansA.Rciproquement, supposons que toute suite d'lments de A qui converge dans E, salimite reste dans A et montrons que A est ferme. Soit x A. D'aprs la proposition 3.4,il existe une suite de A qui converge vers x et d'aprs l'hypohse faite sur A, x A. DoncA = A.

    3.3. Applications continues

    Commenons d'abord par dnir la limite d'une application en un point.

    Dnition 3.1. Soit E et F deux espaces topologiques, A une partie non vide de E, aun lment de A, b un lment de F et f une application de A dans F . On dit que f(x)tend vers b quand x tend vers a si :

    V V(b), U V(a), f(A U) V.

    Si l'espace d'arrive F est spar, et si f(x) tend vers b quand x tend vers a alors b estunique (mmes arguments que pour dmontrer l'unicit de la limite d'une suite). Dans ce

    cas on dit que b est la limite de f au point a et on note :

    limxa, xA

    f(x) = b.

    Lorsque A = E, on note simplement :

    limxa

    f(x) = b.

    Dnition 3.2. Soit E et F deux espaces topologiques et f une application de E dans F.1. On dit que f est continue en un point a E, si

    limxa

    f(x) = f(a) ;

    c'est--dire, si :

    W V(f(a)), V V(a), f(V ) W.Autrement dit, si l'image rciproque de tout voisinage de f(a) est un voisinage de a.2. On dit que f est continue sur E, si f est continue en tout point de E.

  • 18 Chapitre 1 : lments de topologie FSSM SMA 2006-2007

    La continuit globale est lie au transfert des ouverts par l'image rciproque et non

    pas par l'image directe :

    Proposition 3.6. Une application f : E F est continue, si et seulement si, l'imagerciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de E, si et seulement si, l'imagerciproque par f de tout ferm de F est un ferm de E.

    Dmonstration. Soit f une application continue et A un ouvert de F .Si x f1(A), alors f(x) A et comme A est ouvert, il est voisinage de f(x) et ilexiste, d'aprs la continuit de f au point x, un voisinage V de x tel que f(V ) A. DoncV f1(A) et par suite f1(A) est voisinage de x. L'ensemble f1(A) est alors voisinagede chacun des ses points, donc c'est un ouvert de E.Supposons que l'image rciproque, par f , de tout ouvert de F est un ouvert de E etmontrons que f est continue.Soit x un point de E. Soit U un voisinage de f(x). Il existe un ouvert A de F tel quef(x) A U , ce qui implique que x f1(A) f1(U). Or f1(A) est un ouvert de E,donc f1(U) est un voisinage de x, par consquent f est continue au point x. Pour les ferms, il sut de remarquer que pour toute partie B de F ,

    Cf1(B)E = f

    1(CBF ) et utiliser ce qui prcde.

    Cas particuliers

    1. Toute application constante de E dans F est continue.En eet, pour tout ouvert U de F , l'ensemble f1(U) est gale E ou est gale ;dans les deux cas c'est un ouvert. 2. Lorsque l'espace de dpart E est muni de la topologie discrte, toutes les applicationsde E dans F sont continues. De mme, lorsque l'espace d'arrive F est muni de la topo-logie grossire, toute les applications de E dans F sont continues.3. Dans le cas o un ensemble E est muni de deux topologies T et T , l'identit x 7 xest continue de (E, T ) dans (E, T ), si et seulement si, la topologie T est plus ne que latopologie T , c'est--dire, si et seulement si, T T . En particulier, lorsque T = T , il ya toujours continuit.

    4. Soit(E, T ) un espace topologique et A une partie de E. L'application i du sous-espace(A, TA) dans (E, T ) dnie par i(x) = x, s'appelle injection canonique de A, elle est conti-nue par dnition de TA.

    L'image, par une application continue, d'une suite convergente est une suite conver-

    gente. Plus prcisment :

  • 3. Limites et continuit 19

    Proposition 3.7. Soit E et F deux espaces topologiques et f une application continue deE dans F . Si (xn)nN est une suite d'lments de E qui converge vers un point l, alors lasuite (f(xn))nN converge vers f(l).

    Dmonstration. Soit U V(f(l)). L'application f est continue au point l, donc il existeun voisinage V de l tel que f(V ) U ; et comme l est limite de (xn)nN, il existe unentier N tel que pour tout n N , xn V . Pour tout n N , le terme f(xn) appartientdonc U , ce qui prouve que la suite (f(xn)) converge vers f(l).

    3.4. Continuit de la compose

    Soit E,F et G trois espaces topologiques et a un point de E.

    Proposition 3.8. Si f : E F est continue au point a et g : F G est continueau point f(a) alors l'application g f est continue au point a.

    Dmonstration. SoitW un voisinage de (g f)(a). L'application g est continue au pointf(a), donc il existe un voisinage U de f(a) tel que g(U) W . L'application f est continueau point a, il existe, ensuite, un voisinage V de a tel que f(V ) U , et par transitivitde l'inclusion, il vient que (g f)(V ) = g(f(V )) g(U) W . Donc g f est continue aupoint a.

    3.5. Continuit de la restriction

    Soit (E, T ) et F deux espaces topologique et A une partie non vide de E. On muni Ade sa topologie induite TA.Si une application f : (E, T ) F est continue en un point a A, alors la restrictionde f sur A, dnie du sous-espace (A, TA) dans F , est continue au point a.En eet, pour tout voisinage U de (f/A)(a) = f(a), l'ensemble (f/A)1(U) = Af1(U)est la trace du voisinage f1(U) sur A, donc c'est un voisinage de a dans A. La rciproque n'est pas toujours vraie. Si f/A est continue au point a A, on ne peutpas conclure que f est continue au point a.Exemple : L'application partie entire x 7 E(x) est continue de Z dans Z, mais lamme application n'est pas continue de R dans Z. Dans le cas particulier o A est un voisnage de a dans E, on peut, cependant, vrier quela rciproque est vraie.

    3.6. Prolongement par continuit

    Soit E et F deux espaces topologiques spars, A une partie non vide de E, a un l-ment de ArA, b un lment de F et f une application de A dans F telle que lim

    xaf(x) = b.

    Si on pose B = A {a}, alors l'application f dnie de B dans F par :

  • 20 Chapitre 1 : lments de topologie FSSM SMA 2006-2007

    f(x) =

    {f(x) si x A ;b si x = a.est continue au point a.En eet, si U est un voisinage de f(a) = b, puisque lim

    xaf(x) = b, il existe un voisinage V

    de a, tel que f(V A) U . Soit W = V B = V A. Relativement B, cet ensembleW est un voisinage de a qui vrie f(W ) U . Donc f est continue en a. Il est clair que si f est continue sur A, alors f est continue sur B.L'application f s'appelle prolongement par continuit de f au point a.

    3.7. Homomorphismes

    Soit E et F deux espaces topologiques.

    Dnition 3.3. Une application f de E dans F est dite homomorphisme, si elle estbijective continue, et si sa rciproque f1 est aussi continue.

    S'il existe un homomorphisme entre E et F , on dit que E et F sont homomorphes.L'image d'un ouvert (resp, d'un ferm) par une application continue n'est pas toujours

    un ouvert (resp, un ferm). Lorsque une application

    f : E F transforme les ouverts de E (resp, les ferms de E) en des ouverts de F ,(resp, en des ferms de F ), on dit que f est une application ouverte (resp, applicationferme). Ainsi, une application f : E F est un homomorphisme, si et seulement si,f est bijective continue et ouverte, si et seulement si, f est bijective continue et ferme.D'aprs la proposition 3.8, la relation binaire entre espaces topologiques :

    X R Y X homomorphe Yest une relation d'quivalence, donc, d'un point de vue topologique, si on fait abstrac-

    tion de la nature des lments qui forment deux espaces homomorphes, on peut les voir

    comme deux espaces identiques.

    Exemples

    1. L'ensemble R est homomorphe tous ses intervalles ouverts.

    En eet, pour tout a et b dans R, avec a < b, l'application x 7 (ba)x2(1+|x|) +

    a+b2est un

    homomorphisme de R dans ]a, b[.

    2. L'ensemble R muni de la topologie usuelle est homomorphe toute droite du plan

    R

    2.

    En eet, pour toute droite D d'quation y = ax+ b, l'application x 7 (x, ax+ b) estun homomorphisme de R dans D.

  • 3. Limites et continuit 21

    3. Si f est une fonction continue de R2 dans R, l'espace R2 est homomorphe la surfaceS = {(x, y, z) R3, z = f(x, y)} lorsque celle-ci est muni de sa topologie induite.

    4. L'espace vectoriel des matrices carres d'ordre n muni de sa topologie usuelle (quiprovient de l'une de ses normes, par exemple, A = sup

    x=1A.x) est homomorphe

    l'espace R

    n2. En eet, d'un point de vue topologique, une matrice carre d'ordre npeut tre vue comme un vecteur n2 composantes.

    3.8. Continuit et limite dans les espaces mtriques

    Lorsque les espaces E et F sont des espaces mtriques, les notions de limite et conti-nuit s'expriment comme suit :

    Soit f : (E, d) (F, ) une application.1. lim

    xa, xAf(x) = b, si et seulement si :

    > 0, r > 0, x A, d(x, a) < r = (f(x), b) < .2. f est continue au point a, si et seulement si :

    > 0, r > 0, x E, d(x, a) < r = (f(x), f(a)) < .La proposition 3.7 se complte pour donner la caractrisation suivante de la conti-

    nuit :

    Proposition 3.9. Soit f une application d'un espace mtrique E dans un espace mtriqueF . Pour que f soit continue en un point a E, il faut et il sut que pour toute suite(xn)nN de E convergeant vers a, la suite (f(xn))nN converge vers f(a).

    Dmonstration. La premire implication est dj tablie.

    Par l'absurde. Supposons que f n'est pas continue en a. Donc il existe un voisinage U def(a) tel que pour tout voisinage V de a, f(V ) n'est pas inclus dans U . En particulier,pour tout n > 0, f(B(a, 1

    n)) n'est pas inclus dans U . Pour tout n > 0, il existe donc un

    point xn tel que d(xn, a) 0, r > 0, x, y E, d(x, y) < r = (f(x), f(y)) < .

    Une telle application est videmment continue, mais une application continue n'est

    pas toujours uniformment continue.

    Voici une classe importante d'applications uniformment continues :

    Dnition 3.5. Soit k un rel positif. Une application f : (E, d) (F, ) est ditelipschitzienne de rapport k si :

    x, y E, (f(x), f(y)) < k.d(x, y).Lorsque 0 < k < 1, on dit que f est contractante.

    Comme pour la continuit, voici une caractrisation de la continuit uniforme par les

    suites :

    Proposition 3.10. Une application f : (E, d) (F, ) est uniformment continue, siet seulement si, pour tout couple de suites (an)nN et (bn)nN vriant lim

    n+d(an, bn) = 0,

    la limite de (f(an), f(bn)) est gale elle aussi 0.

    Dmonstration. Supposons que f est uniformment continue. Soit (an)nN et (bn)nNdeux suites vriant lim

    n+d(an, bn) = 0. Soit > 0. D'une part, il existe r > 0 tel que

    d(x, y) < r implique (f(x), f(y)) < , d'autre part il exsite un entier N tel que pourn N , d(an, bn) < r. Il rsulte alors que pour n N , (f(an), f(bn)) < , ce qui signieque la suite (f(an), f(bn))nN converge vers 0. La rciproque se dmontre par l'absurde. Supposons que f vrie la deuxime propritsans que f soit uniformment continue : Il existe > 0 tel que pour tout n > 0, ilexiste xn et yn dans E tels que d(xn, yn)