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Tour à commande numériqued’après BPT 2000 - SI1. Durée 5 heures

Préliminaires

Introduction

Le sujet comprend quatre parties indépendantes. Les trois premières sont des étudesmécaniques qui portent de façon générale sur des phénomènes relatifs au processus de coupesur tour à commande numérique à trois axes. Il convient donc de présenter un certain nombrede définitions qui sont largement utilisées dans la suite. Les études proposées ne font pasappel à des connaissances particulières sur la modélisation du processus de coupe.

La quatrième partie concerne l'étude des asservissements de vitesse et de position de labroche.

Notations

Un axe passant par un point P quelconque et de même direction qu'un vecteur unitaire u→

est

noté (P, u→

). Un axe de direction identique passant un point Q est noté (Q, u→

).

Les repères considérés sont tous orthonormés directs.

Le torseur associé aux actions mécaniques exercées par le solide i sur le solide j est précisépar ses éléments de réduction en un point P, en projection sur la base associée au repère

RO, x→

, y→

, z→

:

T (i/j) = P

R →

(i/j)

M →

(P,i/j) =

P

Xij x

→ + Yij y

→ + Zij z

→

Lij x→

+ Mij y→

+ Nij z→

De même, le torseur cinématique du mouvement du solide j par rapport au solide i est :

V (j/i) = P

Ω→

(j/i)

V→

(P,j/i) =

P

pji x

→ + qji y

→ + rji z

→

uji x→

+ vji y→

+ wji z→

L'accélération d'un point P, supposé appartenir au solide j, par rapport au repère i, est notée :

Γ→

(P,j/i)

La dérivée de la variable x par rapport au temps est notée : dxdt = x

•.

La variable de Laplace est notée p. Autant que possible, les lettres minuscules sont utiliséespour désigner les fonctions temporelles et les lettres majuscules pour désigner lestransformées de Laplace. Ainsi, on passe de x(t) à X(p).

Les fonctions de transfert doivent être écrites sous forme canonique.

Les résultats doivent être présentés sous forme littérale, puis le cas échéant sous formenumérique. Les unités employées doivent être celles du système international (SI).

Présentation générale du sujet

Le thème de ce sujet est la broche d'un tour à commande numérique à trois axes.

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Outre les deux axes de déplacement linéaire : axe Z parallèle à l'axe de broche et axe Xtransversal, un tour à trois axes dispose également d'un axe C angulaire de rotation autour del'axe de broche.

Ce troisième axe permet de réaliser un asservissement de vitesse pour des opérationsclassiques de tournage et un asservissement de position angulaire de la broche pour desopérations de perçage désaxées ou de fraisage avec des outils tournants montés en lieu etplace d'un outil classique. Dans cette configuration, le mouvement de coupe est assuré par unemotorisation spécifique sur la tourelle porte-outils. La broche est alors, soit mise en positionangulairement pour une opération de perçage, soit soumise à un mouvement qui participe aumouvement d'avance pour une opération de fraisage.

Pour des prises de pièces cylindriques en mors à serrage concentrique, on utilise presqueexclusivement des mandrins dits à serrage automatique.

Les mandrins à serrage automatique permettent de maîtriser précisément l'effort de serrageappliqué à la pièce par le réglage de la pression hydraulique. Ceci permet d'assurer, d'une part,le serrage nécessaire à l'entraînement de la pièce et d'autre part, de limiter les déformationspour les pièces creuses. Pour vérifier le serrage effectif d'une pièce montée dans le mandrin,un capteur de fin de course ou un détecteur de proximité est utilisé.

L'effort de commande est fourni au mandrin par un vérin le plus souvent hydraulique, placé àl'arrière de la broche. Pour le type de mandrin étudié, cet effort est transmis simultanémentaux trois mors de base par un système de talons coniques. Le mouvement axial du piston dumandrin est ainsi transformé en un mouvement radial des trois mors. Pour assurer la mise et lemaintien en position de la pièce, des mors rapportés, adaptés à la géométrie de la pièce, sontfixés sur les mors de base.

Pour certaines applications étudiées dans ce sujet, on utilise des mandrins équipés decontrepoids. Un contrepoids est affecté à chaque mors de base et transmet au mors une actionde compensation par l'intermédiaire d'un levier de renvoi qui s'appuie sur le corps du mandrin.

Définitions préliminaires de l’étude mécanique

Figure 1 : Définitions préliminairesDans toute la suite du sujet, le bâti représente la partie fixe de la machine-outil. On lui associe

un repère R0O, e1→

, e2→

, z→

, supposé galiléen, pour lequel z→

est parallèle à l'axe de la broche,

e1→

est parallèle à la direction du mouvement transversal du chariot porte-tourelle et O est unpoint fixe de l'axe de la broche. Les actions de pesanteur sont négligées dans tout le problème.

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Grandeurs cinématiquesLe mouvement de l'outil par rapport à la pièce résulte de la composition d'un mouvement ditd'avance et d'un mouvement dit de coupe, avec :

- Vf→

: vitesse d'avance de l'outil par rapport à la pièce.

- Vc→

: vitesse de coupe de l'outil par rapport à la pièce,

La vitesse résultante Ve→

, appelée vitesse effective de coupe, est tangente à la trajectoire del'outil dans son mouvement par rapport à la pièce.

Grandeurs mécaniquesConcernant les actions mécaniques, les hypothèses classiques sont reprises. Le torseur desactions mécaniques de l'outil sur la pièce a pour modèle par un glisseur qui passe par le point

P, milieu de l'arête utile de coupe contenu dans le plan O, z→

, e1→

.

Ce glisseur est caractérisé en P par ses trois composantes :

T (outil/pièce) = P

Fn

→ + Fc

→ + Fa

→

0

- Fn→

: composante normale, ou effort de pénétration,

- Fc→

: composante tangentielle, dans la direction de coupe,

- Fa→

: composante d'avance, dans la direction du mouvement d'avance.

Cinématique

Vitesse de coupe

Figure 2 : RepèresL’étude cinématique concerne la réalisation d'une opération de dressage d'une face de lapièce. L'avance par tour étant supposée constante, pour obtenir un copeau d’épaisseurconstante, on se propose de déterminer les conditions cinématiques de la machine pourlesquelles il est possible de travailler à vitesse de coupe constante.

La pièce, montée sur la broche, est assimilée à un cylindre de révolution de rayon extérieur rP,

de longueur LP et d'axe (O, z→

). On lui associe le repère RPOL, u1→

, u2→

, z→

et on pose :

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OOL→

= L z→ θ = (e1

→, u1

→)

Elle est en rotation par rapport au bâti à la fréquence Ω, qui dépend généralement du temps.

On considère l'opération de dressage de la face définie par z = L. Compte tenu deshypothèses, le problème est un problème plan et un point de l'outil se déplace par rapport àR0, à la vitesse :

V→

(P,outil/R0) = Vf e1→

A l'instant initial, t = 0, le point P de l'outil se trouve au point d'approche défini par :

r0 = rP + 3 mm θ = πOn note r le rayon d’usinage.

Q 1 . 1. 1 Exprimer la vitesse de glissement au point P entre l'outil et la pièce, en fonction de

Vf, r et Ω. Donner la relation liant la vitesse de coupe Vc et Ω.

Trajectoire de l’outil

On se place à vitesse de coupe constante. On désigne par f l’avance. La trajectoire de l'outilpar rapport à la pièce est une spirale, dont l'équation est donnée par :

r0 – r = f (θ − π)

Q 2 . 1.2.a Rappeler la relation liant Ω(t) et θ(t). En tenant compte des relations précédentes,

établir la loi d'évolution du rayon r(t) au cours de l'usinage.

Q 3 . 1.2.b Déduire la loi d'évolution Ω(t). Montrer qu'elle s'exprime en fonction de Vc, f et

r0.

La motorisation de la broche de la machine-outil impose que la fréquence de rotation debroche reste inférieure à une valeur limite: Ω < ΩMax.

Q 4 . 1.3.a Calculer le temps tMax pour lequel ΩMax est atteint, puis calculer la valeur

minimale du rayon en dessous de laquelle il n'est plus possible de travailler à vitesse de coupeconstante.

Les valeurs numériques sont :

ΩMax = 5000 tr/min Vc = 280 m/min r0 = 70 mm f = 0, 1 mm/tr

Q 5 . I.3.b Tracer le graphe Ω(r) pour l'opération de dressage complète.

Actions mécaniques

Effort de coupe

Cette partie est consacrée à la détermination des actions mécaniques liées au phénomène decoupe en fonction de paramètres géométriques de l'outil, de conditions cinématiques et desconditions de coupe. On s'intéresse plus particulièrement à la détermination des paramètresinfluant sur la composante tangentielle d'effort, appelée effort de coupe. La connaissance del'effort de coupe est un élément essentiel pour le calcul de la puissance associée auphénomène de coupe et dans la détermination de l'effort de serrage.

La modélisation adoptée, volontairement simplifiée, du phénomène de coupe en tournage est :

- l'arête de coupe est rectiligne et perpendiculaire au mouvement d'avance de l'outil,

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- la formation du copeau se fait par glissement suivant des plans de cisaillement,

- l'épaisseur de copeau reste faible devant sa largeur.

Le problème est bidimensionnel, c'est-à-dire que vitesses et les résultantes des actions

mécaniques sont contenues dans un plan P, ea→

, et→

du repère galiléen. Les actionsmécaniques sont modélisables par des glisseurs au point P.

Figure 3 : Paramétrage de la coupeOn adopte la modélisation géométrique proposée figure 3. Dans cette modélisation, lemouvement du copeau par rapport à l'outil est envisagé de façon spécifique.

La vitesse de coupe est supposée constante et prépondérante devant la vitesse d'avance. Ainsi,le mouvement d'avance de l'outil peut être négligé en première approximation et on définit :

V→

(P,outil/pièce) = Vc et→

Dans le plan, on associe à l'outil le repère P, u1→

, u2→

tel que l’angle de coupe soit :

γ = (u1→

, ea→

)

Le copeau de largeur b, délimité par la largeur de cisaillement PA, glisse le long de la face decoupe de l'outil à la vitesse constante :

V→

(P,copeau/outil) = Vg u1→

(Vg > 0)

Dans le plan, on associe au copeau le repère P, v1→

, v2→

tel que l’angle de cisaillement soit :

φ = (v1→

, et→

)

Dans le plan, on note α l’angle de dépouille et h la hauteur initiale.

Le copeau est supposé de masse négligeable.

La résultante des actions mécaniques de l'outil sur le copeau est définie par :

F→

(outil/copeau) = Fc→

+ Fa→

= Fc et→

+ Fa ea→

= F u1→

+ N u2→

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On adopte le modèle de Coulomb pour les lois de frottement au contact outil/copeau et onnote f le coefficient de frottement et λ l'angle de frottement :

f = tan λ

On note Fs la composante de cisaillement. La résultante des actions mécaniques de la piècesur le copeau, s'appliquant le long de PA, est alors définie par :

F→

(pièce/copeau) = – (Fs v1→

+ Ns v2→

)

On note τ la contrainte de cisaillement du matériau usiné.

On rappelle que les actions de pesanteur sont négligées.

Q 6 . II 1 Énoncer les lois de Coulomb. En déduire la relation entre F et N.

Q 7 . Il. 2 Exprimer Fc et Fa en fonction de N, γ et λ.

Q 8 . Il.3 Déterminer Fs en fonction de N, λ, φ et γ. En déduire la relation entre l'effort de

coupe Fc et l'effort de cisaillement Fs.

Q 9 . 11.4.a Après avoir calculé la section de cisaillement, exprimer Fs en fonction de τ, b, h

et φ.

Q 1 0 . II.4.b Montrer que l'effort de coupe diminue en augmentant l'angle de coupe.

Q 1 1 . II.4.c Calculer la puissance P des actions mécaniques s'exerçant sur la pièce le long

de PA, dans le mouvement de la pièce par rapport à l'outil en fonction de τ et Vc.

Puissance minimale

On se place dans la situation dite de puissance minimale définie par :

∂P∂φ= 0.

Q 1 2 . II.5.a Montrer que l'angle de cisaillement correspondant φ est donné par :

2 φ = γ − λ + π/2.

Q 1 3 . II. 5.b Calculer Fc et P dans ces conditions avec :

τ = 450 MPa h = 0,3 mm/tr b = 5 mm λ = 30° γ = 5° Vc = 280 m/min

Maintien en position de la pièceOn s'intéresse dans cette partie au dispositif de serrage du mandrin et en particulier, à ladétermination de l'effort de serrage nécessaire en fonction de l'effort de coupe. L’objectif estde montrer l'influence des effets centrifuges sur le serrage et l'intérêt d'utiliser un mandrin dità compensation inertielle.

Le dispositif de transmission de l'effort du piston de commande à l'effort dit de serrage desmors sur la pièce sort du cadre de l’étude. De même, on se place dans des conditions de prisede pièce telles que les effets de basculement soient négligeables.

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Figure 4 : Modélisation des actions mécaniquesQuel que soit le type de mandrin à serrage automatique utilisé, on suppose que le serrage esttransmis à la pièce par l'intermédiaire des mors. Ainsi, on adopte pour les actions mécaniquesde serrage, le modèle proposé figure 4, pour lequel le serrage est modélisé par l'actionrésultante de chacun des mors sur la pièce.

En notant Rs est la force de serrage totale sur les trois mors, les actions mécaniques dusystème CM, composé du corps du mandrin et du piston de commande, sur un mors Mi sont

modélisées par un torseur en Os, point de l'axe de broche par :

OOs→

= Ls z→ T (CM/Mi) =

OsR

→(CM/Mi)

M →

(A,CM/Mi)avec R

→(CM/Mi) ni

→ = –

Rs3 (Rs > 0)

L’action d'un mors (i= 1,2,3) sur la pièce est modélisée par un glisseur défini au centre desection CPi par :

OsCPi→

= r ni→ T (Mi/pièce) =

CPiR →

(Mi/pièce) = Fi→

+ Rti→

+ Rai→

0avec Fi

→ = – Fi ni

→ (Fi > 0)

Fi→

est la composante normale de serrage d'un mors sur la pièce, Rti→

est la composante

tangentielle et Rai→

est la composante dite de soutien.

On suppose de plus qu'il y a adhérence de coefficient µ au contact mors/pièce :

||Rti→

|| = µ ||Fi→

||

Les trois mors sont supposés identiques. On associe à chacun des mors le repère

RiOPi,ni→

, ti→

, z→

. Chaque mors est constitué d'un mors de base et d'un mors rapporté qui est

en contact avec la pièce. On définit pour chaque mors sa masse m et son centre de masse Gi,tel que :

OsGi→

= rG ni→

+ Lzi z→

La pièce, assimilée à un solide de révolution d'axe (O, z→

) est liée au mandrin par

l'intermédiaire des mors. Dans cette partie, elle est en rotation uniforme autour de l'axe (O, z→

)

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et la fréquence Ω est constante. Les actions de l'outil sur la pièce sont celles proposéesfigure 1.

Mandrin à serrage automatique

Cette question est consacrée à l'étude dumandrin BH-M-210 pour lequel le dispositifde serrage ne présente pas de compensationinertielle.

Q 1 4 . III. 1.a En statique, calculer Fi en fonction de Rs.

Q 1 5 . III 1.b Calculer le couple maximal transmissible C, par l'action des trois mors sur la

pièce ramenée sur l'axe de broche, à la limite du glissement. Montrer en particulier que Cs'exprime en fonction de µ, r et Rs.

Q 1 6 . III. 1.c - Calculer la vitesse, puis l'accélération du centre de masse Gi de chaque mors

dans son mouvement par rapport à R0.

Compte tenu des effets centrifuges associés à la rotation des mors, le couple transmissiblenoté est diminué et noté C'.

Q 1 7 . 111. 1.d Après avoir considéré un mors et appliqué le théorème de la résultante

dynamique en projection sur ni→

, calculer la valeur de la composante normale de serrage F’i.

Q 1 8 . Montrer que, à la limite du glissement, on a : R'ti = µ (Rs3 – mΩ2 rG). En déduire C'.

Q 1 9 . III.1.e Tracer le graphe d'évolution du couple transmissible en fonction de la vitesse

de rotation de broche, pour des valeurs de rotation de broche comprise entre 0 et 5000 tr/minet en utilisant :

Rs = 110 kN r = 35 mm rG = 70 mm m = 1,3 kg µ = 0,2

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Q 2 0 . III.1 f A partir du graphe précédent, montrer qu'il existe une vitesse limite,

correspondant à une chute de couple supérieure à 20%, à partir de laquelle il convient de nepas négliger les effets centrifuges.

Soit C*, le couple effectivement transmis à la pièce.

Q 2 1 . III.1.g Par application du théorème du moment dynamique en O s à la pièce en

projection sur z→

, déterminer la relation entre C* et Fc.

Q 2 2 . III. 1.h Justifier la relation C’ > k C*, où k est un coefficient dont on précisera la

signification.

Mandrin à serrage automatique à compensation inertielle

Cette question est consacrée à l'étude du mandrin BHM.-FC210 pour lequel le dispositif de serrage présente unsystème de compensation inertielle. Par raison desymétrie, il est possible de limiter l'étude du système decompensation inertielle à un seul mors.

La modélisation du système de compensation est celleproposée figure 5. Le système additionnel est composéd'un contrepoids et d'un levier de renvoi, en liaison avecle corps du mandrin et les mors de base. Le schéma dusystème de compensation inertielle est présenté figure 6.

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Figure 5 : Paramétrage du mandrin à compensation

Figure 6 : Schéma de principe

Le corps du mandrin, ou solide S1 est en rotation uniforme autour de l'axe (O, z→

), à lafréquence Ω.

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On associe au mandrin le repère RmOm, u→

, v→

, z→

avec :

OOm→

= Lm z→

u→

= n1→

Le levier de renvoi, ou solide S2, est en liaison sphérique de centre O1 avec le mandrin :

OmO1→

= rL u→

Le point de contact entre le levier et le mandrin est défini par P1 :

O1P1→

= r1 u→

Le levier est supposé de masse négligeable. Il peut être assimilé à un cylindre de révolution

d'axe z1→

, tel que :

β = ( z→

,z1→

)

Le contrepoids, ou solide S3, est en liaison glissière d'axe u→

avec le mandrin. Il est de plus en

liaison sphère-cylindre d'axe (O3, z→

) avec le levier :

O1O3→

= – z3 z1→

Le point d'application de la résultante des actions de liaison entre le levier et le contrepoids estnoté P3 :

O3P3→

= r3 u→

Le contrepoids est de masse m3 de centre de masse G3 tel que :

OmG3→

= – zG3 z→

+ rG3 u→

Le mors de base, ou solide S4, est en liaison glissière d'axe u→

avec le mandrin. Il est en

liaison sphère-cylindre avec le levier d'axe (O4, z→

), avec :

O1O4→

= z4 z1→

Le point d'application de la résultante des actions de liaison entre le levier et le mors de baseest noté P4 :

O4P4→

= – r4 u→

Le mors de base est supposé de masse m4, de centre de masse G4 :

OmG4→

= zG4 z→

+ rG4 u→

Le mors rapporté, ou solide S5, de masse m5, est de centre de masse G5 défini par :

OmG5→

= zG5 z→

+ rG5 u→

Ce mors est en liaison complète avec le mors de base et on définit le solide S45, constitué de

la réunion des solides S4 et S5.

La liaison entre le mors de base et le piston de commande est modélisable par un contactponctuel en P2. Le piston est en liaison pivot glissant avec le corps du mandrin.

Les liaisons entre les solides sont supposées parfaites.

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On s'intéresse uniquement au système E constitué des solides S1, S2, S3 et S45. Pour desraisons de simplicité, les liaisons entre le mors de base S4 et le piston de commande ne sontpas considérées dans cette question.

Q 2 3 . Identifier le nombre d'inconnues cinématiques. Identifier le nombre de chaînes

fermées indépendantes.

Q 2 4 . Expliciter les relations de fermeture de chaîne. Après avoir identifié le nombre

d'équations indépendantes, déterminer le degré de mobilité du système.

Q 2 5 . III.2.b Par application du principe fondamental de la dynamique au contrepoids,

déterminer en fonction de m3, Ω et des paramètres géométriques, la résultante des actions

mécaniques du levier sur le contrepoids, en projection sur u→

.

Q 2 6 . III.2.c Par application du théorème du moment dynamique en O1 au levier en

projection sur v→

, déterminer la projection sur u→

de la résultante des actions mécaniques deS45 sur le levier S2.

Q 2 7 . III.2.d Par application du théorème de la résultante au solide S45 en projection sur u→

,

déterminer la nouvelle expression de la composante normale de serrage, F*, du mors sur lapièce et montrer qu'elle s'exprime en fonction de Rs, m3, Ω, m, rG et des paramètres

géométriques. Comparer cette expression à l'expression obtenue pour R’ti. Conclure quant àl'intérêt du système à compensation inertielle.

Comportement de la broche

Présentation

Les dernières évolutions techniques se traduisent aujourd'hui par l'utilisation de moteursautosynchrones (ou synchrones auto-pilotés) associés à des variateurs numériques. Le modèleretenu est toutefois celui du moteur à courant continu à excitation indépendante. Si ce modèlen'est qu'une approximation moyenne, il n'en est pas moins suffisant dans le cadre de l'étuderéalisée ici. De plus, on se place dans l'hypothèse d'un modèle continu de systèmes linéaires,la commande numérique n'introduisant pas de différences significatives de comportement.

Comme déjà précisé, un tour à trois axes est caractérisé par la présence, au niveau de labroche, de deux asservissements, un en vitesse et un en position. On se propose dans cettepartie d'étudier quelques aspects relatifs à chacun de ces asservissements, essentiellement :

- définition d'un modèle équivalent d'une motorisation électrique,

- limite d'utilisation d'un tel modèle pour l'étude du comportement de l'asservissement devitesse,

- influence de la structure de l'asservissement de position sur la qualité des performances.

La modélisation de la motorisation est :

- équation de commande : u(t) = R i(t) + L di(t)dt + e(t)

- relation de couple moteur : cm(t) = Kc i(t)

- relation de force contre-électromotrice : e(t) = Ke ωm(t)

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- équation mécanique : J dωm(t)

dt = cm(t) – cr(t)

avec : R la résistance de l'induit, L l'inductance de l'induit, cm(t) le couple moteur, cr(t) le

couple résistant dû aux actions mécaniques pièce/outil, ωm(t) la fréquence de rotation de labroche et J l'inertie globale ramenée sur l'arbre moteur, du système broche = broche + moteur+ mandrin + vérin de commande + pièce.

La cinématique d'entraînement est telle que la broche et le moteur tournent à la même vitesse.

Les valeurs numériques sont :

R = 0,28 Ω L = 0,25 mH J = 2,3 kg.m2 Ke = 120 V/(1000 tr/min) Kc = 1,146 Nm/A

Par convention, pour l'étude de la motorisation et de l'asservissement de vitesse, les fonctionsde transfert relatives à l'étude des modèles du premier ordre sont notées avec une étoile "*".

Modèle de la motorisation de la broche

Q 2 8 . IV.1.a Écrire la relation de transfert de la commande en vitesse de la motorisation

sous la forme :

Ωm(p) = F1(p) U(p) – F2(p) Cr(p)

Q 2 9 . IV.1.b Faire l'application numérique.

Motorisation électrique

Pour le modèle d'une motorisation électrique, on définit classiquement :

- la constante de temps mécanique : Tm = R J

Kc Ke

- la constante de temps électrique : Te = LR

Q 3 0 . IV.1.c Montrer que le dénominateur des fonctions F1(p) et de F2(p) s'écrit sous la

forme: l + Tm p + Te Tm p2. En déduire l'expression de la pulsation propre ωnF et du

coefficient d'amortissement ξF de F1(p) en fonction de Tmet de Te.

Pour un tel système du deuxième ordre, si le coefficient d'amortissement est supérieur à unecertaine valeur notée ξ0, on peut admettre un modèle équivalent du premier ordre de laforme :

F1*(p) = K1

1 + Tm p F2*(p) = K2

1 + Tm p

Q 3 1 . IV.1.d En déduire la condition portant sur Tm et Te pour adopter un tel modèle du

premier ordre. Faire l’application numérique pour ξ0 = 5. Conclure.

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Limite d'utilisation de la motorisation

Figure 7 : Puissance du moteurLa figure représente la courbe limite d'utilisation du moteur en charge : puissance mécaniquedisponible en fonction de la vitesse de rotation de la broche. L'étude est réalisée enconsidérant la motorisation en régime permanent.

Q 3 2 . IV.2.a Donner l'expression de la vitesse de broche pour une tension de commande U

donnée et un couple résistant Cr constant.

Q 3 3 . IV.2.b Calculer la valeur de la chute de vitesse consécutive à une opération d'usinage

avec un couple résistant de 100 Nm.

Q 3 4 . IV.2.c Calculer la tension de commande ainsi que la puissance électrique consommée

par le moteur pour les vitesses 850 tr/min et 5000 tr/min pour une utilisation limite du moteur.

Asservissement de vitesseLa structure de l'asservissement de vitesse est telle que :

- la tension de commande u(t), en l'absence de correcteur, est proportionnelle à la fonctiond'écart ε(t) : u(t) = Kv ε(t)

- la mesure de vitesse est réalisée par un capteur modélisé par un gain pur KRV

- la consigne de vitesse est uref(t) = Kcons ωref(t)

Kcons représente le gain d'adaptation de la consigne tel que ωref(t) soit homogène à ωm(t),c’est à dire tel que les plages de variation de ωm(t) et ωref(t) soient idéalement identiques.

On en déduit le schéma fonctionnel de l'asservissement de vitesse de la broche :

Figure 8 : Asservissement de vitesse

Modèles de l'asservissement de vitesse

Q 3 5 . IV.3.a Donner l'expression de la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO)

notée Gv(p), avec le modèle de la motorisation du deuxième ordre.

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Figure 9 : Asservissement de vitesse à retour unitaire

Q 3 6 . IV.3.b Après avoir déterminé l'expression du gain noté Kcons, déterminer l'expression

de Ka qui permet d'aboutir au modèle équivalent à retour unitaire représenté figure 9. Donnerla nouvelle expression de la fonction de transfert en boucle ouverte Gv(p) et déterminer KBOle gain statique de la FTBO.

Réponse fréquentielle

On admet pour cette question, que le modèle du deuxième ordre pour F1(p) peut s'écrire sousla forme :

F1(p) = K1

(1 + Tm p) (1 + Te p)

Q 3 7 . Tracer le diagramme asymptotique de BODE correspondant à Gv(p) ainsi que l'allure

des courbes réelles de module et de phase pour KBO = 20.

Caractérisation de l'asservissement de vitesse

Q 3 8 . IV.5.a Donner l'expression de la fonction de transfert de l'asservissement de vitesse

sous la forme :

Ωm(p) = H1(p) Ωref(p) – H2(p) Cr(p)

Q 3 9 . IV.5.b Exprimer la pulsation propre ωnH et le coefficient d'amortissement ξH, de

H1(p) en fonction des constantes de temps Tm et Te, puis des paramètres ωnF et ξF de F1(p).

Q 4 0 . IV.5.c En déduire la condition portant sur KBO pour que l'on puisse adopter

également un modèle équivalent du premier ordre pour l'asservissement de vitesse, en

adoptant le même critère : ξ ≥ ξ0 = 5.

On écrit H1(p) sous la forme :

H1(p) = KH1

1 + T1 p + T1 T2 p2

Q 4 1 . IV.5.d Déterminer les relations entre T1 et T2, et Tm et Te. Conclure quant à

1’évolution du rapport des constantes de temps T1 et T2, en fonction des paramètres de laFTBO.

Q 4 2 . IV.5.e Donner l'expression des fonctions de transfert H1*(p) et H2*(p) qui

correspondent au modèle équivalent du premier ordre pour l'asservissement de vitesse.

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Confrontation des modèles en boucle ouverte

Q 4 3 . IV.6.a Donner l'expression de la FTBO Gv*(p), avec le modèle équivalent du premier

ordre pour la motorisation.

Q 4 4 . IV.6.b Tracer le diagramme asymptotique de BODE correspondant, ainsi que l'allure

des courbes réelles pour la même valeur de KBO = 20.

Q 4 5 . IV.6.c Après avoir déterminé la pulsation au gain unité, donner la valeur de la marge

de phase pour les deux modèles. Conclure.

Précision statique

On note u(t) la fonction de Heaviside.

Q 4 6 . IV.7.a - Donner l'expression de la fonction d'écart ε(p).

Q 4 7 . IV.7.b - Déterminer l'erreur statique pour une consigne en échelon ωref(t) = ω0 u(t) et

un couple résistant constant Cr(t)=Cr0 u(t). Faire l’application numérique pour :

KBO = 20 ω0 = 300 rad/ s Cr0 = 90 Nm

Correction

On envisage d'intégrer dans la chaîne d'action, en aval du comparateur, un correcteur defonction de transfert Cv(p) de la forme :

Cv(p) = KCV (1 + 1

Ti p)

Q 4 8 . IV.8.a - Tracer le diagramme asymptotique de BODE correspondant à la réponse

fréquentielle du correcteur pour KCV > 1 et τi < 1s.

On suppose l'asservissement de vitesse réglé avec KBO = 20 et dans la configuration modèledu deuxième ordre pour la motorisation.

Q 4 9 . IV.8.b - Déterminer la valeur minimale de τi en deçà de laquelle l'asservissement de

vitesse est toujours instable, quel que soit le réglage de KCV ≥ 1. On pourra pour celaexprimer la condition pour laquelle la marge de phase ne peut être que négative.

Asservissement de positionOn considère pour la suite du problème que le modèle retenu pour la motorisation est dupremier ordre.

Figure 10 : Asservissement de position

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On envisage pour la réalisation de l'asservissement de position une structure telle que cellemodélisée par le schéma fonctionnel donné figure 10. Le correcteur à action proportionnelleest défini par :

Cp(p) = KCP

On considère dans un premier temps que l'asservissement est réalisé sans boucle interne devitesse. Les fonctions M1(p) et M2(p) s'expriment alors sous la forme :

M1(p) = KP F1*(p) = KP K1

1 + Tm p M2(p) = F2*(p) = K2

1 + Tm p

avec K1 = 0,87 rad/s/V K2 = 0,21 rad/s/Nm Tm = 0,5 s

Q 5 0 . IV.9.a - Déterminer l'expression de la fonction de transfert en boucle ouverte Gp(p).

Q 5 1 . IV.9.b - Donner l'expression de la relation de transfert de l'asservissement de position

sous la forme :

Θm(p) = Q1(p) Θref(p) – Q2(p) Cr(p)

Q 5 2 . IV.9.c - Rappeler la condition sur le coefficient d'amortissement d'un système du

deuxième ordre pour que le dépassement soit nul en réponse à une entrée en échelon. Endéduire la limite de KCP correspondante pour un gain KP donné.

Raideur asservie

On se propose d'étudier l'influence sur la position angulaire de la broche d'une variation decouple résistant en considérant deux structures de la chaîne d'action de l'asservissement deposition. On définit la raideur de l'asservissement de position raθ par le rapport d'une variation

de couple ∆Cr, supposée constante, à l'écart de position permanent qu'elle engendre ∆θ :

raθ = – ∆Cr∆θ

Q 5 3 . IV.10.a Déterminer, en régime permanent, c’est à dire position angulaire atteinte,

l'expression de la raideur asservie en fonction de KCP.

Q 5 4 . IV. 10.b En déduire la valeur minimale du produit KCP KP pour limiter la valeur

maximale d'un défaut d'usinage de 6.10-3 rad pour ∆Cr = 20 Nm.

Q 5 5 . IV. 10.c Déduire de la condition de dépassement indiciel nul, la limite admissible

pour la raideur asservie. Comparer les résultats obtenus pour les deux conditions de réglage.

Asservissement de position avec boucle interne de vitesse

On envisage maintenant un asservissement de position avec boucle interne de vitesse et sanscorrecteur dans la boucle de vitesse. Les fonctions de transfert M1(P) et M2(P) ont alors pourexpression :

M1(p) = H1*(p) = KH1

1 + T1 p M2(p) = H2*(p) = KH2

1 + T1 p

avec : KH1 = 0,95 rad/s/V KH2 = 0,01 rad/s/Nm T1 = 0,023 s

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Q 5 6 . IV. 11 Donner l'expression de la nouvelle relation de transfert :

Θm(p) = W1(p) Θref(p) – W2(p) Cr(p)

Q 5 7 . IV. 12. a Déterminer la nouvelle expression de la raideur asservie.

Q 5 8 . IV. 12.b Déduire de la condition de dépassement indiciel nul, la nouvelle limite pour

la raideur asservie.

Q 5 9 . IV. 12.c En déduire l'influence de la boucle interne de vitesse sur la raideur asservie.

Précision en poursuite

Pour certaines opérations de fraisage sur un tour à trois axes, la vitesse d'avance est obtenuepar combinaison des mouvements linéaires de la tourelle porte-outils et du mouvement derotation de la broche. On considère une configuration avec une rotation de broche à vitesseconstante, qui correspond pour l'asservissement de position à une consigne de la forme :

θref(t) = ω t u(t)

De plus, on se place dans la configuration avec boucle interne de vitesse sans correcteur danscette boucle.

Q 6 0 . IV. 13.a Déterminer l'expression de l'erreur de poursuite angulaire en supposant que

Cr = 0. Faire l’application numérique pour ω = 12 rad/min.