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Objectifs : - Déterminer les modes propres d’une cavité résonante
- Etudier expérimentalement l’association oscillante d’une cavité résonante
acoustique et d’un montage amplificateur
- Introduire, par analogie, les éléments fondamentaux du fonctionnement d’une
source optique laser
1 – Etude des modes propres de la cavité acoustique :
La cavité acoustique, de longueur L, est un tuyau de PVC (polychlorure de vinyle), fermé à ses
extrémités par deux disques. Le premier disque supporte un haut-parleur, le deuxième disque un microphone.
La cavité acoustique canalise (ou guide) l’onde sonore du haut-parleur vers le microphone. Mais elle
ne fait pas que cela : les réflexions successives à ses extrémités amplifient fortement l’onde sonore, mais
uniquement pour des fréquences fn bien particulières, appelées modes propres de la cavité.
11 – Expression théorique des fréquences des modes propres :
Les modes propres correspondent aux ondes qui, après un aller-retour dans la cavité, sont en phase
avec l’onde incidente. Onde incidente et ondes réfléchies sont alors en interférences constructives à la sortie
de la cavité.
Le déphasage entre deux ondes successives étant k.2L, où k est le nombre d’onde, et L la longueur de
la cavité, on a : πnLk 22 = , n ∗∈N .
Or, 2 2
nkc
π π νλ
= = . Les fréquences des modes propres sont donc : L
cnn 2
=ν , où c est la vitesse de
propagation de l’onde sonore dans la cavité.
* Mesurer la longueur L de la cavité acoustique.
Les mesures à venir montreront que les modes propres correspondent à des pics très aigus :
Un circuit RLC série faiblement amorti présente un pic aigu de résonance d’intensité pour la fréquence
propre de l’oscillateur. De même, la cavité acoustique excitée par le son émis par le haut-parleur présente une
succession de pics très aigus de résonance pour les fréquences correspondant aux modes propres de la cavité.
12 – Réglage du signal d’entrée :
* Repérer quel générateur de fonction est sur la paillasse (HP 33120A, ou HP 33220A Agilent), et régler
directement à l’oscilloscope un signal sinusoïdal, de valeur crête-à-crête 1V, sans composante continue (offset
en anglais), et de fréquence initiale 400 Hz. Suivre, pour cela, les modes d’emploi simplifiés page suivante.
L
Microphone
EQUIVALENT ACOUSTIQUE D’UN LASER
TP
Haut-parleur
Afficheur
Mise soustension Sortie par câble
coaxial 50Ω
Descriptif
Vue de la face avant
a) Choix de la forme du signal : sinusoïdal. b) Choix de la fréquence : Presser Freq, la fréquence en cours est affichée. Plusieurs modes existent pour entrer une valeur numérique voulue. Nous adoptons Enter Number, le message « ENTER NUMBER » apparaît, taper la valeur désirée (Shift + Cancel permet d’annuler le mode d’entrée d’une valeur numérique), puis presser ^ pour avoir la bonne unité. La frappe de cette touche valide le choix. c) Choix de l’amplitude crête à crête (peak to peak en anglais) : Presser Ampl, l’amplitude en cours est affichée. Adopter Enter Number, taper la valeur désirée, puis ^ pour spécifier que l’on a tapé l’amplitude crête à crête (Vpp en anglais). La frappe de cette dernière touche valide la commande. d) Choix de la tension de décalage continu (offset en anglais) : Vérifier qu’elle est nulle, sinon : Presser Offset, la valeur de l’offset en cours est affichée. Adopter Enter Number, taper la valeur désirée (la touche ± permet d’affecter un signe), puis ^ pour le choix de VDC. La frappe de cette dernière touche valide la commande.
a) Mise sous tension 2 Activer la sortie output (touche 10 ). b) Choix de la forme du signal : sinusoïdal Presser le bouton Sine (dans le pavé de boutons 8 ). c) Choix de la fréquence : Le choix du menu Freq (indiqué en bas de l’écran) se fait par les touches de fonction d’utilisation des menus 7 Régler à la valeur désirée : le choix du rang se fait par les touches fléchées 12 , le réglage des chiffres significatifs par le bouton rotatif 11 . d) Choix de l’amplitude crête à crête (peak to peak en anglais) : Le choix du menu Ampl (indiqué en bas de l’écran) se fait par les touches de fonction d’utilisation des menus 7 Régler à la valeur désirée (Vpp en anglais) : même principe de réglage que précédemment. e) Choix de la tension de décalage continu (offset en anglais) : Vérifier qu’elle est nulle. Sinon : Sélectionner le menu Offset. Faire le réglage comme précédemment.
Suivre chacune des étapes à l’oscilloscope.
Utilisation du générateur de fonction HP 33220A Agilent
Utilisation du générateur de fonction HP 33120A
Suivre chacune des étapes à l’oscilloscope.
Afficheur
13 – Montage :
Les montages à réaliser dans ce TP sont particulièrement sensibles aux parasites. Un certain nombre
de règles doivent être respectées :
- Régler systématiquement le signal d’entrée directement à l’oscilloscope avant de l’envoyer dans le
montage. En effet, le haut-parleur est un composant fragile, ne supportant pas de tensions trop importantes, ni
de composante continue.
- Utiliser le moins de fils possibles, et les plus courts possibles.
- Tous les fils de masse doivent arriver au même point : celui de la masse de la plaquette à
amplificateur opérationnel, associée à l’entrée de polarisation ± 15 V.
- Utiliser des fils coaxiaux comme indiqué sur les schémas.
* Réaliser le montage suivant, en respectant les règles énoncées précédemment (On enverra le signal
sinusoïdal en entrée seulement après avoir réalisé le montage, puis avoir polarisé l’amplificateur opérationnel
en ± 15V) :
Le suiveur sera réalisé à partir de la plaquette de l’AO de puissance. Sans cet étage, le signal délivré
par le générateur s’écroulerait, en raison de la très faible impédance d’entrée du haut-parleur.
Rappels : le moins de fils possible, les plus courts possibles, et un seul point de masse.
Le condensateur de capacité 15,5 µF (boîte Ranchet) permet d’éliminer des oscillations haute
fréquence parasites, et empêche le passage de toute composante continue éventuelle.
* Polariser l’AO en ± 15V (utiliser l’alimentation stabilisée, et non les fiches de la paillasse).
* Envoyer enfin le signal sinusoïdal, réglé au paragraphe 12, en entrée du montage.
14 – Détermination expérimentale des fréquences des modes propres :
* Monter très lentement la fréquence, afin de détecter les modes propres de la cavité, correspondant
à une valeur importante de l’amplitude de la tension de sortie.
Mode opératoire : La recherche doit être soignée, car les bandes passantes des résonances sont très
étroites. Une plus grande précision de mesure est obtenue en commutant l’oscilloscope en XY, l’une des voies
étant reliée à la tension de sortie, l’autre voie étant à la masse (GND). On cherche alors à rendre maximal le
segment qui s’affiche à l’écran.
* Construire un tableau de mesures donnant les fréquences νq de résonance en fonction du numéro q
d’apparition des modes (relever une quinzaine de points : q = 1, 2, 3 ...).
* Tracé de la courbe :
Tracer, à l’aide d’un tableur (par exemple, OpenOffice), la courbe expérimentale νq en fonction de q.
Attention : les haut-parleurs ayant une mauvaise réponse en basse fréquence, il sera peut-être
nécessaire de supprimer le ou les premiers points de la courbe, s’ils ne sont manifestement pas alignés avec les
autres.
* Exploitation des mesures :
Effectuer une régression linéaire, et donner l’équation de la courbe de tendance sous la forme
νq = aq + b (ainsi que la valeur du coefficient de corrélation).
Déterminer le coefficient q0 tel que : ( )0qqaq +=ν ; q0 est-il entier ? Conclure.
Evaluer alors la vitesse c de propagation des ondes sonores dans la cavité. S’agit-il d’une vitesse de
phase ou de groupe ?
Haut-parleur
Cavité acoustique
Signal d’entrée sinusoïdal ue
uS
Oscilloscope Voie B
-
+
AO de puissance monté en suiveur Microphone
15,5 µF, coaxial
coaxial coaxial
Oscilloscope Voie A
L
Borne rouge
noire
2 – Obtention d’auto-oscillations acoustiques (effet Larsen) :
21 – Montage
* Réaliser le montage : R1 = 470 Ω (monté sur cavalier, à enficher sur la plaquette AO)
R2 : potentiomètre 10 kΩ intégré à la plaquette AO
Condensateur de capacité 15,5 µF (boîte Ranchet)
Il n’y a plus de signal d’entrée.
Rappels : le moins de fils possible, les plus courts possibles, et un seul point de masse (dans la mesure
du possible).
* Quelle est la fonction du montage à amplificateur opérationnel ? Rappeler l’expression de sa
fonction de transfert HP
Micro
uK
u= en fonction de R1 et R2.
22 – Mise en évidence des auto-oscillations :
* Régler la résistance R2 de manière à obtenir un signal à l’oscilloscope (effet Larsen).
Après amorçage, diminuer progressivement la résistance R2, jusqu’à obtenir sa valeur minimale R2Min
permettant les oscillations.
Mesurer alors la valeur de R2Min (Précaution à observer lors d’une mesure à l’ohmmètre ?), puis
calculer MinK à l’aide de la formule donnée au paragraphe précédent.
* De quelle nature sont les signaux observés à l’oscilloscope ?
Lorsqu’on augmente R2 (R2 > R2Min), que deviennent les signaux observés à l’oscilloscope ?
23 – Analyse en termes de système bouclé :
Imaginons la présence d’une source sonore extérieure, autre que le haut-parleur. Elle est alors à
l’origine d’une tension extMicrou aux bornes du microphone. Cette source sonore peut être le bruit ambiant,
inévitable lors d’une séance de travaux pratiques...
Notons intMicrou , la tension liée à l’onde sonore provenant uniquement du haut-parleur. En présence
des deux sources, les deux ondes sonores se superposent, et : intMicroextMicroMicro uuu += .
Haut Parleur
Source sonore interne
amplifiée H
Source sonore externe
Microphone
intMicroextMicroMicro uuu +=
Amplificateur K
SORTIE ENTREE
HPu
-
+
uHP
R2
R1 15,5 µF
Haut-parleur
uMicro
L
Microphone
Cavité acoustique Oscilloscope
Voie A coaxial
Borne rouge
noire
Soit H , l’amplification de la cavité acoustique : HPMicro uHu =int .
L’amplificateur impose : MicroHP uKu = : une fraction du signal de sortie est donc réinjectée à
l’entrée. On a une rétroaction acoustique. Le schéma-bloc ci-dessus montre bien qu’on a affaire à un système
bouclé.
* Montrer que : extMicroHP uHK
Ku
−=
1 .
HPu peut donc être non nulle, même en l’absence de source extérieure ( 0=extMicrou ), si : 1=KH
(Condition d’auto-oscillations)
Remarque : Les relations précédentes ne sont valables que pour un fonctionnement linéaire de
l’amplificateur opérationnel, c’est-à-dire pour MinKK = . Si on augmente K , le montage devient instable, et
des non-linéarités proviennent alors des saturations de l’amplificateur opérationnel : cas 1>KH .
* Dans quel TP a-t-on déjà rencontré une condition analogue d’auto-oscillations ? Représenter le
montage correspondant.
3 – Analogies avec le laser :
31 – Milieu amplificateur optique : (Extraits du BUP N° 794)
32 – Cavité optique :
33 – Modes propres du laser :
34 – Cohérence du laser :
On reprend le montage du paragraphe 13 :
Ne pas envoyer de signal d’entrée pour le moment : il sera réglé, comme d’habitude, directement à
l’oscilloscope.
Rappels : le moins de fils possible, les plus courts possibles, et un seul point de masse.
La méthode consiste à exciter, puis désexciter l’un des modes propres de la cavité. La décroissance
exponentielle de l’amplitude de l’onde lors du régime transitoire de désexcitation permet d’accéder au
coefficient de réflexion en amplitude r. (NB : la valeur de r dépend du mode propre utilisé).
1 – Principe de la mesure :
Soit p0, l’amplitude de l’onde de pression, juste avant l’extinction du signal d’entrée. La traversée de la
cavité par l’onde se fait en une durée c
Lt =∆ .
Après m réflexions, l’amplitude de l’onde de pression s’écrit : 0max prc
Lmtp m=
= .
Or, si l’on postule une décroissance exponentielle du signal en régime transitoire, on a également :
( )
−=τt
ptp exp0max .
D’où :
m
m
c
Lp
c
Lmppr
c
Lmtp
−=
−==
=ττ
expexp 000max ⇒
−=τc
Lr exp
Il suffit donc de mesurer la constante de temps de la désexcitation du signal de sortie pour évaluer r.
Remarque : L’absorption sonore a lieu au niveau des parois, tube y compris. Elle est essentiellement
due à l’existence d’un gradient de température entre le fluide et ces parois. En effet, le gaz, alternativement
comprimé et détendu, présente une légère différence de température avec le solide. Il s’ensuit des échanges
thermiques de nature conducto-convectifs augmentant sensiblement avec la vitesse du fluide au voisinage
immédiat de la paroi. L’amortissement dépend donc de l’indice n du mode.
2 – Mise en œuvre expérimentale :
* Régler le générateur (HP 33120A ou HP 33220A Agilent) directement à l’oscilloscope afin qu’il
délivre un signal créneau de modulation, comme celui représenté pages suivantes. (Voir modes d’emploi
simplifiés des générateurs pages suivantes).
Attention : La fréquence de la sinusoïde doit correspondre à celle de l’un des modes propres, afin
d’exciter la cavité (choisir une valeur de l’ordre de 400 Hz).
Complément :
MESURE DU COEFFICIENT DE REFLEXION
DE LA CAVITE ACOUSTIQUE
Haut-parleur
Cavité acoustique
ue
uS
Oscilloscope Voie B
-
+
AO de puissance monté en suiveur Microphone
15,5 µF, coaxial
coaxial coaxial
Oscilloscope Voie A
L
Afficheur
Mise soustension Sortie par câble
coaxial 50Ω
Descriptif
Vue de la face avant
Réglage de la sinusoïde : a) Choix de la forme du signal : sinusoïdal. b) Choix de la fréquence : Presser Freq, la fréquence en cours est affichée. Plusieurs modes existent pour entrer une valeur numérique voulue. Nous adoptons Enter Number, le message « ENTER NUMBER » apparaît, taper la valeur désirée (Shift + Cancel permet d’annuler le mode d’entrée d’une valeur numérique), puis presser ^ pour avoir la bonne unité. La frappe de cette touche valide le choix. c) Choix de l’amplitude crête à crête (peak to peak en anglais) : Presser Ampl, l’amplitude en cours est affichée. Adopter Enter Number, taper une valeur de l’ordre de 0,920V, puis ^ pour spécifier que l’on a tapé l’amplitude crête à crête (Vpp en anglais). La frappe de cette dernière touche valide la commande. d) Choix de la tension de décalage continu (offset en anglais) : Vérifier qu’elle est nulle, sinon : Presser Offset, la valeur de l’offset en cours est affichée. Adopter Enter Number, taper la valeur désirée (la touche ± permet d’affecter un signe), puis ^ pour le choix de VDC. La frappe de cette dernière touche valide la commande. Réglage des créneaux : a) Choix de la génération de salves (burst en anglais) Presser Schift + Burst, alors on active le générateur de salves par défaut. b) Choix du nombre de périodes de sinusoïde par créneau : 10 périodes : Presser Schift + < Recall menu. S’affiche alors : « 4 :BURST CNT ». Presser ∨ pour accéder aux paramètres. S’affiche alors : « 00001 CYC ». Adopter Enter Number, taper 1 0 puis Enter pour valider la commande. c) Choix de la fréquence des créneaux : 12,5 Hz, soit une période de 80 ms : Presser Schift + < Recall menu. S’affiche alors : « 4 :BURST CNT ». Presser > . S’affiche alors : « 5 :BURST RATE ». Presser ∨ pour accéder aux paramètres. Adopter Enter Number, taper 1 2 . 5 puis Enter pour valider la commande.
Salve de sinusoïde à la fréquence d’un mode propre.
Utilisation du générateur de fonction HP 33120A
Suivre chacune des étapes à l’oscilloscope.
Signal à régler directement à l’oscilloscope :
a) Mise sous tension 2 Activer la sortie output (touche 10 ). b) Choix de la forme du signal : sinusoïdal Presser le bouton Sine (dans le pavé de boutons 8 ). c) Choix de la fréquence : Le choix du menu Freq (indiqué en bas de l’écran) se fait par les touches de fonction d’utilisation des menus 7 Régler à la valeur désirée : le choix du rang se fait par les touches fléchées 12 , le réglage des chiffres significatifs par le bouton rotatif 11 . d) Choix de l’amplitude crête à crête (peak to peak en anglais) : Le choix du menu Ampl (indiqué en bas de l’écran) se fait par les touches de fonction d’utilisation des menus 7 Régler à une valeur de l’ordre de 920 mV (Vpp en anglais) : même principe de réglage que précédemment. e) Choix de la tension de décalage continu (offset en anglais) : Vérifier qu’elle est nulle. Sinon : Sélectionner le menu Offset. Faire le réglage comme précédemment. Réglage des créneaux : a) Choix de la génération de salves (burst en anglais) Presser Burst dans le pavé de touches 3 . On active alors le générateur de salves par défaut. b) Choix du nombre de périodes de sinusoïde par créneau : 10 périodes : Dans les touches de fonction d’utilisation des menus 7 , régler # cycles à 10. c) Choix de la période des créneaux : 80 ms : Dans les touches de fonction d’utilisation des menus 7 , régler Burst period à 80 ms.
Salve de sinusoïde à la fréquence d’un mode propre.
Signal à régler directement à l’oscilloscope :
Utilisation du générateur de fonction HP 33220A Agilent
Réglage de la sinusoïde : Suivre chacune des étapes à l’oscilloscope.
* Envoyer ensuite ce signal à l’entrée du montage (représenté paragraphe 14).
Les signaux d’entrée et de sortie doivent alors avoir les allures suivantes à l’oscilloscope :
* Mesurer la constante de temps τ de la désexcitation exponentielle (Prendre plusieurs pseudo-
périodes, pour une meilleure précision de mesure).
En déduire la valeur du coefficient de réflexion en amplitude r.
Désexcitation exponentielle
