Thème : temps, mouvement et évolution Cité scolaire André Chamson

TP n° 6 : Mouvements paraboliques - Correction

Objectifs : - Choisir un référentiel d'étude - Étudier des mouvements dans les champs de pesanteur et électrostatique uniformes. - Mettre en œuvre une démarche expérimentale pour étudier un mouvement.

I°) Trajectoire d'un projectile dans le champ de pesanteur  g⃗

- Lire le document ci-dessous :

Document : chute libre

On considère une balle lancée avec une vitesse initiale de valeur v0 inconnue. A la date t = 0, son centre M est confondu avec l’origine O du repère cartésien xOy.

L’axe Oy est orienté vers le haut . L’axe Ox est orienté vers la droite. On appelle α, l’angle inconnu de lancer entre l’horizontale et la direction initiale du vecteur-vitesse. La seule force à considérer est le poids P⃗ .

En appliquant la deuxième loi de Newton, on démontre que l’équation horaire de la trajectoire de la balle de dans le repère xOy choisi a pour expression :

Dans pearltrees, télécharger la vidéo Chute parabolique contenue dans le dossier TS. Ouvrir le logiciel Généris5+ et ouvrir la vidéo précédente.

a°) Questions théoriques 

1°) Préciser le système étudié : une balle

2°) Préciser le référentiel galiléen choisi : référentiel Terrestre

3°) Préciser la nature de la trajectoire du centre du projectile : trajectoire parabolique (uniformément accélérée) 4°) Faire un bilan des forces : la seule force qui agit est le poids P⃗

b°) Étalonnage et étude de la vidéo

- Placer l’origine du repère au centre du projectile au moment ou la balle n'est plus en contact avec la main.- Orienter l’axe vertical Oy vers le haut et l'axe Ox vers la droite. - Donner l'échelle verticale. Pour cela, déplacer la souris en cliquant en bas du tube (cliquer déplacer) jusqu'en haut du tube. Entrer alors la distance correspondante, soit 1,0 mètres. - Cliquer sur l’hexagone vert en bas à gauche puis cliquer image par image (pointage) sur le centre de gravité du solide au cours de sa chute (la balle ne doit plus être en contact avec la main).- Dans Graphique, vérifier que le logiciel a bien tracé les deux courbes y(t) et x(t)- Dans Modélisation ,choisir pour chaque courbe, un modèle , puis faire tracer la courbe correspondante.- Relever les équations de modélisation ci-dessous.

Nom du modèle choisi : linéairex(t) = a' t + b' = 1,87×t - 0,0037

Nom du modèle choisi : paraboliquey(t) = 1/2×a×t2 + b×t + c = -1/2×9,96×t2 + 3,38×t - 0,0043

O⃗M = { x = v0 cos (α) t

y = −12

g t 2+v0 sin (α) t

z = 0

c°) Questions : 

1°) Le mouvement du centre de gravité G du projectile est-il uniforme ? Justifier.

Non car sa vitesse diminue (phase de montée) puis ré-augmente (phase de descente).

2°) Déterminer à l’aide d’une des deux équations obtenues ci-dessus et celle du document la valeur expérimentale gexp de la pesanteur terrestre g.

On compare les formules théoriques avec celle obtenues expérimentalement :

↔ y(t) = - 1/2×9,96×t2 + 3,38×t - 0,0043

On en déduit que gexp = 9,96 m.s-2

y = − 12

g t 2+v0 sin (α) t

3°) La valeur théorique moyenne gthéo est de 9,81 m.s-2. Calculer l’écart relatif entre la valeur théorique et l’écart

expérimental, soit ∣g théo− gexp∣

g théo

en % .Commenter.

|9,81−9,96|9,81

= 1,53 % La valeur expérimentale est cohérente avec la valeur tabulée.

4°) Avec les 2 modélisations réalisées, déterminer la valeur de la vitesse initiale v0 ainsi que l'angle α.

Toujours avec les modèles, on a : ↔ y(t) = - 1/2×9,96×t2 + 3,38×t - 0,0043

De même : x = v0 cos (α) t ↔ x(t) = 1,87×t - 0,0037

Donc on a rapport des 2 (pour éliminer v0), on obtient

α = arctan(1,81) = 61,0°

Pour la vitesse v0, il suffit de réinjecter l'angle dans l'une des 2 équations du dessus : v0 sin(61,1) = 3,38

et donc v0=3,38

sin (61,0)=3,86 m . s− 1

5°) Donner la définition de la vitesse vue cette année. En déduire les coordonnées du vecteur v⃗ .

Par définition : v⃗ =d O⃗M

dt → v⃗ = {vx=

dxdt

v y=dydt

Donc il faut dériver les expressions théoriques

v x=dxdt

=d (1,87 t−0,0037)

dt=1,87 m . s− 1

v y=dydt

=d (−1 /2 × 9,96× t 2+3,38 × t −0,0043)

dt=−9,96× t +3,38

6°) Avec les coordonnées de v⃗ , calculer la date t, pour laquelle la balle atteint le sommet de sa trajectoire.

Au sommet de la trajectoire, la condition vy = 0 car la balle ne monte plus donc vy = -9,96 t+3,38 = 0

On isole t, on obtient t= 3,389,96

=0,340 s

7°) On appelle flèche la hauteur maximum atteinte par la balle. Théoriquement cette hauteur est donnée par

H =v0

2 sin2(α)2 g

. Calculer sa valeur (g = 9,81 m.s-2)

H =3,862sin2(61,0)

2×9,81=0,581 m

8°) Pour quelle valeur de α la flèche serait-elle maximum ?

La hauteur est maximum quand sin(α) = 1 cela se produit quand l’angle α = 90°.

v0 sin (α)

v0 cos (α)= tan (α)=

3,38

1,87=1,81

v0 sin(α) = 3,38

v0 cos(α) = 1,87

y = −12

g t 2+v0 sin (α) t

9°) On appelle portée la distance atteinte par la balle (distance entre O et le point d'intersection de la balle avec

l'abscisse). Théoriquement cette distance est donnée par D =v0

2sin(2α)g

. Calculer sa valeur g = 9,81 m.s-2.

D =3,862sin (2×61,0)

9,81= 1,29m

10°) Pour quelle valeur de α la portée serait-elle maximum ?

D est maximum pour sin(2α) = 1 → 2α = 90° soit α = 45°

II°) Trajectoire d'un électron dans un champ électrostatique E⃗

Une particule (électron, proton) de charge q soumise à un champ électrique uniforme E⃗ subit une force F⃗

dont l'expression est la suivante : F⃗=q E⃗

- Lire le document ci-dessous :

Document : le déflectron

Le déflectron est un appareil qui permet de dévier la trajectoire des électrons qui arrivent dans une zone ou règne un champ électrique verticale E⃗ crée par 2 plaques (une chargée + et l'autre chargée -). Dans cette zone un écran enduit d'unesubstance permet de voir leur trajectoire.

Une source thermique (canon) émet les électrons avec une vitesse initiale v0

horizontale. En appliquant la deuxième loi de Newton, on démontre que l’équation de la trajectoire y(x) d'un électron de dans le repère xOy :

y ( x) = e E

2me v02

x2

a°) Questions théoriques 

1°) Préciser le système étudié : électron

2°) Préciser le référentiel galiléen choisi : Terrestre

3°) Préciser la nature de la trajectoire du centre du projectile : parabolique

4°) Comparer le poids P et la force électrique F pour un électron. Quelle force peut-on négliger ? Données : charge élémentaire : e=1,6×10−19C et masse électron : me=9,1×10−31 kg . champ de pesanteur : g = 9,81 m.s-2

P = me.g = 9,1×10-31×9,81 = 8,9×10-30 NF = -e.E = 1,6×10-19×1,2×105 = 1,9×10-14 N (la valeur de E est prise à la question b°) 1°) après)

Le poids P est très négligeable par rapport à la force électrique F. Dans le bilan des forces, on ne tiendra compteque de la force électrique.

On a représenté le schéma de l'expérience ci-dessous :

Pour un électrons

Donc et sont opposés

5°) Représenter les vecteurs F⃗ , v⃗0 et E⃗ (sans souci d'échelle). La déviation des électrons vous semble-t-elle en accord avec le signe des plaques.

Oui les électrons sont attirés par les charges positives de la plaque supérieure.

b°) Étalonnage et étude de la vidéo

Dans pearltrees, télécharger la photo Déflectron 6000 V contenue dans le dossier TS. Dans Généris5+, ouvrir la photo précédente. Étalonner (1 carreau = 1 cm) et mettre une durée entre image quelconque.

On a pris une photo de l'écran et nous en avons fait une vidéo. Sous Généris5+ faire le pointage de la trajectoire(et ensuite réaliser une modélisation (comme précédemment) sous la forme cette fois y(x).

Nom du modèle choisi : paraboliquey(x)= 1/2×a×x2 + b×x + c = 1/2×6,85x2 + 0,0764x - 255×10-6

Borne + générateur haute tension

Borne - générateur haute tension

y

x

Canon à électrons

Trajectoire des électrons

F⃗

E⃗v⃗0

+ + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - -

F⃗ = q E⃗F⃗=−e E⃗

E⃗F⃗

1°) Ici la tension entre les 2 plaques vaut U = 6000 V et la distance entre elles est d = 0,052 m. Calculer la

valeur du champs électrique E sachant que E = Ud

.

E = 60000,052

=1,2×105 V.m−1

2°) Avec cette modélisation en déduire la valeur de la vitesse initiale v0. Données : charge élémentaire : e=1,6×10−19C et masse électron : me=9,1×10−31 kg

On compare encore l'expression théorique et l'expression expérimentale :

→ y = 1/2×6,85x2 + 0,0764x - 255×10-6

Donc eE

me v02= 6,85 → v0 = √ eE

me×6,85= √1,6×10−19×1,2×105

9,1×10−31×6,85 = 5,5×107 m.s-1

3°) Comparer cette vitesse à celle de la lumière. Donnée : célérité de la lumière c = 3,0×108 m.s-1

v0

c= 5,5×107

3,0×108=18 % de la vitesse de la lumière. Les électrons on une vitesse très grande.

4°) A la sortie de la zone des 2 plaques que devient la trajectoire des électrons ? Quelle loi de Newton explique cela ?

A la sortie de la zone , il n'y a plus de champ électrique qui agit sur les électrons. Il n'y a donc plus de force qui s’applique sur les électrons. On en conclue que le mouvement est rectiligne uniforme d'après la 1ère loi de Newton (principe d’inertie).

y ( x) = e E

2me v02

x2