TP N Ondes Et Vibrations

Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 1

Université Dr. Moulay Tahar de Saida

Faculté de Technologie

2ème

Année TC.

Travaux pratiques

ondes et vibrations


TP N°01

1- Pendule tournant d’après Pohl

(Harmoniques libres)

Objectif

Mesurer et analyser des oscillations tournantes harmoniques libres

Résume

Le pendule tournant d’après Pohl permet d’étudier des oscillations

tournantes harmoniques libres. Seuls les couples de rotation de rappel d’un

ressort en volute et le couple de rotation atténuant d’un frein à courant de

Foucault réglable agissent sur le pendule. Dans l’expérience, nous allons

démontrer l’indépendance du temps d’oscillation vis-à-vis de la déviation et la

vitesse initiales et analyser l’atténuation des amplitudes d’oscillation.

Généralités

Le pendule tournant d’après Pohl permet d’étudier des oscillations

tournantes harmoniques libres. Seuls les couples de rotation de rappel d’un

ressort en volute et le couple de rotation atténuant d’un frein à courant de

Foucault réglable agissent sur le pendule.

Équation de mouvement pour l’angle de déviation d’une oscillation

tournante libre du pendule tournant :


J : moment d’inertie

D : constante de rappel

k : coefficient d’atténuation

Tant que l’atténuation n’est pas trop grande et que la condition < w0 est

remplie, la solution de l’équation de mouvement est la suivante :

Dans ce cas, l’amplitude initiale 0 et l’angle de phase y sont des

paramètres quelconques qui dépendent de la déviation et de la vitesse du

pendule tournant à l’instant t=0. Le pendule oscille donc pendant

L’amplitude d’oscillation diminue au fil du temps d’après

Dans l’expérience, nous allons étudier des oscillations à différentes

atténuations déterminées par l’intensité de courant réglable du frein à courant de

Foucault. Le temps d’oscillation est mesuré à l’aide d’un chronomètre. Il

s’avère qu’à une atténuation donnée, le temps d’oscillation ne dépend pas de la

déviation initiale ni de la vitesse initiale.

Pour déterminer l’atténuation, on note les déviations décroissantes du

pendule à droite et à gauche, le pendule, pour des raisons de simplicité,

démarrant sans vitesse initial.


Evaluation

L’équation (4) définit l’amplitude d’oscillation comme une grandeur

positive. Il s’agit donc du nombre de déviations à droite et à gauche. En

appliquant le logarithme naturel de ces déviations par rapport au temps, on

obtient une droite de pente – . En réalité, on observe des écarts du

comportement linéaire, car la force des frottements n’est pas – comme supposé –

tout à fait proportionnelle à la vitesse.

2- Pendule tournant d’après Pohl

(Oscillations forcées)

Objectif

Mesurer et analyser des oscillations forcées.

Résume

Le pendule tournant de Pohl convient également pour étudier des

oscillations forcées. Pour cela, le système oscillant est relié à la barre de

l’excitateur qui est déplacée par un moteur à courant continu à régime réglable

et qui détend et contracte périodiquement le ressort de rappel en volute. Dans

l’expérience, nous allons mesurer pour différentes atténuations l’amplitude en

fonction de la fréquence d’excitation et observer le déphasage entre l’excitation

et l’oscillation.


Généralités

Le pendule tournant de Pohl convient également pour étudier des

oscillations forcées. Pour cela, le système oscillant est relié à la barre de

l’excitateur qui est déplacée par un moteur à courant continu à régime

réglable et qui détend et contracte périodiquement le ressort de rappel en

volute

L’équation de mouvement du système est

J: moment d’inertie

D: constante de rappel

k: coefficient d’atténuation

M0: amplitude du couple de rotation externe

wE: fréquence angulaire du couple de rotation externe

La solution de cette équation de mouvement se compose d’une part

homogène et d’une part inhomogène. La part homogène correspond à

l’oscillation atténuée libre qui est étudiée dans l’expérience TP1/1. Elle diminue

de façon exponentielle au fil du temps et, après la phase appelée « transitoire »,

elle devient négligeable par rapport à la part inhomogène.

En revanche, la part inhomogène

Est liée au couple de rotation externe et reste conservée aussi longtemps que

celui-ci agit. Son amplitude


Est d’autant plus grande que la fréquence d’excitation wE se situe à

hauteur de la fréquence propre w0 du pendule tournant. Dans le cas de wE= w0,

on parle de résonance.

Le déphasage

Indique que les déviations du pendule suivent l’excitation. Pour de très

petites fréquences, il est pratiquement nul, mais augmente avec la fréquence et

atteint 90° à hauteur de la fréquence de résonance. Enfin, en présence de très

fortes fréquences d’excitation, l’excitation et l’oscillation sont déphasées de

180°

Evaluation

Les amplitudes mesurées des oscillations atténuées sont représentées par

rapport à la fréquence d’excitation. Il en résulte différentes courbes de mesure

qui peuvent être décrites par l’équation (4), à condition d’avoir sélectionné les

bons paramètres d’atténuation .

On observe de faibles écarts par rapport aux valeurs trouvées pour

l’atténuation dans l’expérience TP1/1. Cela s’explique par le fait que le

frottement n’est pas – comme supposé – exactement proportionnel à la vitesse.


TP N°02

oscillations couplées

Objectif

Enregistrement et évaluation des oscillations de deux pendules identiques

couplés

Résume

L’oscillation entre deux pendules identiques couplés peut être caractérisée

par la période d’oscillation et la période de battement. La période de battement

représente l’écart entre deux moments où un pendule oscille à une amplitude

minimum. Les deux grandeurs peuvent être calculées à partir des deux périodes

de battement propres pour l’oscillation en phase et l’oscillation en opposition de

phase et des pendules couplés.

Généralités

Lorsque deux pendules couplés oscillent, de l’énergie va et vient entre

les deux pendules. Si les deux pendules sont identiques et qu’ils sont excités

de manière à ce qu’un pendule soit au repos au début, tandis que l’autre

oscille, la transmission d’énergie est totale. C’est-à-dire qu’un pendule est

entièrement au repos, tandis que l’autre oscille avec une amplitude

maximale. La durée entre les deux arrêts d’un pendule ou, d’une manière

générale, entre deux moments où le pendule oscille avec une amplitude

minimale, est la période de battement TΔ.


Les oscillations entre deux pendules mathématiques identiques couplés

peuvent être décrites comme superposition de deux oscillations propres. On peut

observer ces oscillations propres en excitant les deux pendules à des oscillations

en phase ou en opposition de phase. Dans le premier cas, les pendules sans

influence du couplage oscillent à la fréquence des pendules non couplés ; dans le

second cas, sous l’influence maximale du couplage, ils oscillent à la fréquence

propre maximale. Toutes les autres oscillations peuvent être représentées comme

des superpositions de ces deux oscillations propres.

On obtient pour le mouvement des pendules l’équation suivante :

g: Accélération de la pesanteur.

L: Longueur de pendule.

k: Constante de couplage.

Fig. 1: A gauche : oscillation couplée générale. Au milieu : oscillation couplée

en phase. A droite : oscillation couplée en opposition de phase.

Pour les grandeurs auxiliaires (arbitraires dans

un premier temps), on obtient les équations suivantes :

Leurs solutions


avec les fréquences angulaires

Correspondent aux oscillations propres décrites en cas d’excitation en

phase ou en opposition de phase ( += 0 en phase et -= 0 en opposition de

phase).

Les mouvements des pendules peuvent être calculés à partir de la somme ou la

différence des deux grandeurs auxiliaires. On obtient la solution

Dans un premier temps, les paramètres a+, a-, b+ et b- sont des grandeurs

quelconques qui peuvent être calculées depuis l’état d’oscillation des deux

pendules au moment t= 0.

Le cas le plus simple à interpréter est le suivant : au moment 0, le pendule

1 en position zéro possède une vitesse angulaire initiale ψ0, tandis que le pendule

2 en position zéro est au repos.

L’équation suivante s’applique alors aux vitesses des deux pendules :


Après la conversion mathématique, on obtient

Cela correspond à une oscillation des deux pendules avec la même

fréquence angulaire w, leurs amplitudes de vitesse ψ1et ψ2 étant modulées avec

la fréquence angulaire wΔ On désigne une telle modulation sous le terme de

battement. Dans le cas présenté ici, on peut même parler de battement maximum

parce que la valeur minimum atteinte par 'amplitude est zéro.

Fig. 2 Montage pour l'enregistrement et l'analyse des oscillations de deux

pendules couplés identiques

Le montage est illustré sur la Fig. 2.

• Barres de support d'une longueur de 1000 mm fixées sur le plan de travail à un

intervalle d'env.15 cm à l'aide de pinces-étaux.

• Fixer la barre de support courte à l'horizontale pour mieux stabiliser le

montage.


• Fixer le capteur angulaire à l'extrémité supérieure des barres de support

verticales à l'aide de manchons universels.

• Fixer les masses à l'extrémité inférieure des barres de pendule.

• Accrocher les barres de pendule sur les capteurs angulaires (des encoches sont

prévues dans les tiges des capteurs d'angle pour les aiguilles du dispositif de

suspension du pendule).

• Accrocher les ressorts à boudin dans les trous situés sur les barres de pendule,

qui se trouvent à env. 40 cm de la suspension.

• Connecter les câbles des deux capteurs angulaires au transformateur ; il est

indispensable d'utiliser les câbles marqués 12 V.

• Connecter 3B NETlog™ à l'ordinateur.

REALISATION

• Brancher 3B NETlog™ et lancer le programme informatique 3B NETlab™.

• Sélectionner « Laboratoire de mesure » et créer un nouveau fichier.

• Sélectionner les entrées analogiques A et B et régler chacune d'elles sur la

plage de mesure 2 V en mode tension continue (Vcc).

• Régler les paramètres de mesure suivants : Taux : 50 Hz, nombre de valeurs

de mesure : 600, mode : standard

• Raccorder les deux capteurs angulaires en veillant respecter la polarité (rouge:

pôle +, noir : pôle –) aux entrées de tension du 3B NETlog™.

EXEMPLE DE MESURE 1. Oscillation couplée équiphase


Fig. 3 Diagramme du temps d'élongation de l'oscillation couplée

équiphase (en bleu : pendule de gauche, en rouge : pendule de droite).

La graduation angulaire n'est pas étalonnée.

1. Enregistrement de l'oscillation équiphase :

• Tirer sur les deux pendules dans la même direction et avec le même angle

(réduit) et les relâcher aussitôt.

• Démarrer l'enregistrement de la valeur de mesure dans

3B NETlab™.

• Une fois cet enregistrement terminé, sélectionner « Retour » et enregistrer la

mesure sous un nom pertinent.

2. Enregistrement de l'oscillation en opposition de phase :

• Tirer sur les deux pendules dans la direction opposée et avec le même angle

(réduit) et les relâcher aussitôt.

• Lancer à nouveau l'enregistrement de la valeur de mesure dans 3B NETlab™.


mesure sous un nouveau nom.

3. Enregistrement d'une oscillation couplée avec battement maximum:

• Sélectionner « Modifier les réglages » et augmenter le nombre de valeurs de

mesure à 1200.

• Tirer sur une barre de pendule et maintenir l'autre en position zéro, puis

relâcher les deux en même temps.

• Lancer à nouveau l'enregistrement de la valeur de mesure dans 3B NETlab™.


mesure sous un nouveau nom.

EVALUATION 1. Déterminiez la période d'oscillation couplée équiphase

2. Déterminer la période d'oscillation couplée en opposition de phase

3. Déterminez la période d'oscillation couplée avec battement maximum

4. Compariez la période de battement et la période d'oscillation avec les valeurs

calculées à partir des périodes d'oscillation propre :

5. Déterminez la constante de rappel de ressort de couplage.


TP N° 3

ETUDE DES OSCILLATIONS LIBRES

D’UN CIRCUIT RLC SÉRIE

I. Objectifs :

- Mise en évidence du phénomène d’oscillations électriques dans un circuit

RLC.

- Observer l'influence des paramètres R, L, C sur les oscillations libres.

- Analyser les transferts d’énergie entre bobine et condensateur pendant les

oscillations.

II. INTRODUCTION :

Le circuit de la (fig.1.) est alimenté par une tension tel que :

{ ( )

( )

T : période du signal

(fig.1.)

Lorsque l’interrupteur K est fermé, le comportement du circuit est déterminé par

l’équation différentielle suivante :


∫

Dérivant les deux membres :

Ou

-trois cas sont à distinguer

Premier cas : circuit fortement amorti

(

)

-Deuxième cas: régime critique

(

)

Dans ce–cas la R est appelée résistance critique et elle est notée par Rc

Donc √

Les courbes ont la même allure que dans le premier cas ; seuls les

maximums de Vr et le minimum de Vi ont cependant une forte amplitude, et les

temps d’établissement sont très faibles.

Troisième cas : régime oscillatoire amorti (fig.3)

(

)


a :premier dépassement

b :secnod dépassement

Tr :pseudo-période avec

La tension Vc(t) possède l’allure indiquée par la (fig.4.) lorsque le circuit est

alimenté par signal en créneau.

(fig.4.)

-coefficient d’amortissement réduit « m ».

On a : exp ( )=

Et aussi : m=R/Rc avec R : résistance série du circuit et Rc : résistance critique


Coefficient de qualité « Q0 ».

-pseudo-pulsation .

√

-coefficient d’amortissement

-Le coefficient d’amortissement est homogène à l’inverse du temps

III. TRAVAIL DE PERPARATION.

1. Donner la résolution de l’équation différentielle du second ordre avec

second membre constant et à coefficient constant.

2. Donner la valeur de Vc(t) (tension aux bornes du condensateur)

(fig.1.).

3. Retrouver les résultats du coefficient de qualité Q0, et

d’amortissement.

4. Démontrer la relation qui existe entre la pseudo-pulsation wr et la

pulsation de résonance wo.

5. Déterminer Rc ; si L= 35mH et C=1nF, puis choisir R<Rc et

déterminer wr.

IV. MAINIPULATION.

(fig.5.)

1. Réaliser le circuit de la (fig.5.) en prenant

L=35mH et C=1nF.

2. Fixer la tension d’entrée V(t) a 1V crête à

crête.

3. Déterminer la résistance critique Rc.


4. Choisir une valeur de R>Rc et relever la courbe aux bornes de C, de L et de

R

5. Donner une autre valeur à R (toujours sup. à Rc), et refaire le même travail

que le 4.

6. Prendre L=40mH, C=4nF et R=1K

a) Relever le graphe de la tension aux bornes de C (Vc(t)).

b) Déterminer la pseudo-période (Tr), le coefficient

d’amortissement réduit (m) et le coefficient de qualité (Q0).

c) Comparer les résultats obtenus avec ceux du travail de

préparation.

7. commenter les courbes et donner vos conclusions.

Annexe


TP N°04

Ondes stationnaires (cordes vibrantes)

Objectif

Étudier des ondes stationnaires sur un ressort hélicoïdal tendu et une corde

tendue.

Résume

Des ondes mécaniques apparaissent par exemple sur un ressort hélicoïdal

tendu sous la forme d’ondes longitudinales ou sur une corde tendue sous la

forme d’ondes transversales. Dans les deux cas, il se forme des ondes

stationnaires si le support est fixé à l’une de ses extrémités, car l’onde incidente

et l’onde réfléchie à l’extrémité fixe de même amplitude et de même longueur

d’onde se superposent. Si l’autre extrémité est également fixe, les ondes ne

peuvent se propager que si des conditions de résonance sont remplies. Dans

l’expérience, le ressort hélicoïdal et la corde sont fixés à une extrémité. L’autre

extrémité est reliée à une distance Là un générateur de vibrations qu’un

générateur de fonctions amène à émettre des oscillations de faible amplitude et

de fréquence réglable f. Cette extrémité peut également être considérée comme

une extrémité à peu près fixe. On mesure les fréquences propres en fonction du


nombre de nœuds des ondes stationnaires. Ces données permettront de calculer

la vitesse d’onde.

Principe de fonctionnement :

L'encentrique du moteur tourne à une fréquence f qui entraine l'extrémité

de la corde à un mouvement circulaire de déplacement périodique se propageant

à une vitesse v le long de la corde, produisant ainsi une onde à polarisation

circulaire.

L'onde incidente et l'onde réfléchie interfèrent, produisant des ondes

stationnaires à condition que la longueur d'onde soit telle qu'un multiple entier

de

(

) de manière à ce que l'onde trouve place sur la longueur de la

corde.

Rappel théorique :

Soit une corde de longueur L tendue par une force F, U est le

déplacement transversal d'un élément dx de masse dm =s dx où s est la densité

linéaire (masse par unité de longueur). Les tensions T et T' sont pratiquement

égale, calculons leurs projections sur l'axe U; on aura alors :


Si on applique la loi de Newton à l'élément dx de masse dm on a :

L’équation d'une onde se propageant à une vitesse v est donc :

Avec

est la vitesse de propagation de l'onde transversale. Si les deux

extrémités de la corde sont fixées, l'onde incidente et réfléchie constituent une

onde stationnaire dont la distance des nœuds est tel que :

L : longueur de la corde.

: Longueur d'onde.

n : entier naturel.


TRAVAIL DE PERPARATION.

1. Remplir le tableau suivant pour une corde simple de longueur

L=0,485m et de masse linéaire s. On reportera les grandeurs avec une

précision de trois chiffres après la virgule.

Tracer le graphe ( ) sur une feuille de papier millimétrique. Pour

plus de clarté, on conseille l'utilisation de l'échelle suivante : 10cm=0.1N.

Déduire la valeur de la tangente à partir de la courbe

( ) Obtenue.

tan( )

En considérant que la fréquence imposée au système par le moteur soit

égale à f =44.8Hz, mettre l'expression de la masse linéaire sous la forme :

Donner la valeur expérimentale de s en g/cm. Arrondir à 2 chiffres après la

virgule. s=...

2. Remplir le tableau suivant en considérant la corde quadruple 4s de longueur

efficace

L=0,85m.


Tracer le graphe ( ) sur une feuille de papier millimétrique. Pour

plus de clarté, on conseille l'utilisation de l'échelle suivante : 10cm=0.1N.

Déduire la valeur de la tangente à partir de la courbe

( ) Obtenue.

tan( )

En considérant que la fréquence imposée au système par le moteur soit

égale à f =44.8Hz, mettre l'expression de la masse linéaire sous la forme :

Donner la valeur expérimentale de s en g/cm. Arrondir à 2 chiffres après la

virgule.

s=... 3. Conclusion : comparer les résultats obtenus pour s.

4. En utilisant les résultats trouvés pour la masse linéaire s, peut-on aboutir aux

mêmes conclusions si l'on considère une corde avec une masse linéaire 10s ou

plus.

5. On tend la corde simple L=0,485m pour obtenir deux (02) ventre

d'oscillations. Notez F indiquée par le dynamomètre.

F=... 6. On tend la corde quadruple avec une masse linéaire 4s et une longueur

L=0,35m. En lui appliquant la même force F que précédemment, notez le

nombre de ventre n obtenue.

n=... 7. Justifiez les résultats obtenus.

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