TP n°4 Programme MATLAB pour l'étude des …maurise-software.e-monsite.com/medias/files/matlab-tp4.pdf · Système d’équations différentielles m 11 ¨q 1 +m 12q ... Cas particulier

MATLAB TP n˚4

Djelouah

Position duproblème

Saisie desdonnées

Calcul desélémentsmatriciels

Solution finale

TP n˚4Programme MATLAB pour l’étude desoscillations libres des systèmes à deux

degrés de liberté

H. Djelouah

Faculté de PhysiqueUniversité des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene

Algérie

28 décembre 2009

MATLAB TP n˚4

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Saisie desdonnées


Solution finale

1 Position du problèmeFormulation matricielleExemple d’étude

2 Saisie des données

3 Calcul des éléments matricielsMatrice dynamiqueMatrice modaleConditions initialesCalcul des différentes constantes

4 Solution finaleCalcul de la solution finaleReprésentation graphique

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Position duproblèmeFormulationmatricielle

Exemple d’étude

Saisie desdonnées


Solution finale

Formulation matricielle

Système d’équations différentielles

m11q1 + m12q2 + k11q1 + k12q2 = 0m12q1 + m22q2 + k12q1 + k22q2 = 0

Ces deux équations peuvent s’écrire sous la forme matriciellesuivante :[

m11 m12m12 m22

] [q1q2

]+

[k11 k12k12 k22

] [q1q2

]=

[00

]Ce qui nous permet d’écrire le système d’équations différentiellessous une forme matricielle condensée :

[T ]{q}+ [U]{q} = {0}

Les matrices [T ] et [U] sont les matrices carrées symétriquesdéfinies respectivement par :

[T ] =

[m11 m12m12 m22

]et [U] =

[k11 k12k12 k22

]

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Exemple d’étude

Saisie desdonnées


Solution finale





m11 m12m12 m22

] [q1q2

]+

[k11 k12k12 k22

] [q1q2

]=

[00

]

Ce qui nous permet d’écrire le système d’équations différentiellessous une forme matricielle condensée :

[T ]{q}+ [U]{q} = {0}


[T ] =

[m11 m12m12 m22

]et [U] =

[k11 k12k12 k22

]

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Exemple d’étude

Saisie desdonnées


Solution finale





m11 m12m12 m22

] [q1q2

]+

[k11 k12k12 k22

] [q1q2

]=

[00


[T ]{q}+ [U]{q} = {0}


[T ] =

[m11 m12m12 m22

]et [U] =

[k11 k12k12 k22

]

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Exemple d’étude

Saisie desdonnées


Solution finale





m11 m12m12 m22

] [q1q2

]+

[k11 k12k12 k22

] [q1q2

]=

[00


[T ]{q}+ [U]{q} = {0}


[T ] =

[m11 m12m12 m22

]et [U] =

[k11 k12k12 k22

]

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Exemple d’étude

Saisie desdonnées


Solution finale

Exemple : système masses-ressorts

Tester le programme sur cet exemple avec les valeurs suivantes :m1 = m2 = 1kg, k1 = k2 = 1N.m−1, K = 0.1N.m−1

Conditions initiales : x10 = 1, x20 = 0, x10 = 0, x20 = 0.

Les matrices [T ] et [U] s’écrivent :

[T ] =

[m 00 m

]=

[1 00 1

]

[U] =

[k + K −K−K k + K

]=

[1.1 −0.1−0.1 1.1

]

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Exemple d’étude

Saisie desdonnées


Solution finale





[T ] =

[m 00 m

]=

[1 00 1

]

[U] =

[k + K −K−K k + K

]=

[1.1 −0.1−0.1 1.1

]

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Exemple d’étude

Saisie desdonnées


Solution finale





[T ] =

[m 00 m

]=

[1 00 1

]

[U] =

[k + K −K−K k + K

]=

[1.1 −0.1−0.1 1.1

]

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Saisie desdonnées


Solution finale

Saisie des données

Commandes MATLABCommandes préliminairesclcclearclose

Saisie du nombre de degrés de liberté et de l’intervalle de temps

%————–Nombre de degrés de liberté————–n=2 ;%——————Durée de l’étude———————np=10000 ;duree=200 ;t=0 :duree/np :duree ;

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Saisie desdonnées


Solution finale

Saisie des données

Commandes MATLABcommandesinputfor...endnum2str

Saisie des éléments de la matrice [M]

for i=1 :nfor j=1 :n

m(i,j)=input([’m(’ num2str(i) ’,’ num2str(j) ’) = ’]) ;end

end

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Saisie desdonnées


Solution finale

Saisie des données


Saisie des éléments de la matrice [M]


m(i,j)=input([’m(’ num2str(i) ’,’ num2str(j) ’) = ’]) ;end

end

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Saisie desdonnées


Solution finale

Saisie des données


Saisie des éléments de la matrice [U]

Écrire les lignes de programme pour la saisie des éléments de lamatrice [U]

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Saisie desdonnées


Solution finale

Saisie des données


Saisie des éléments de la matrice [U]


k(i,j)=input([’k(’ num2str(i) ’,’ num2str(j) ’) = ’]) ;end

end

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Saisie desdonnées


Solution finale

Saisie des données


Saisie des conditions initiales x0

for i=1 :nx0(i)=input([’x0(’ num2str(i) ’) = ’])

end

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Saisie desdonnées


Solution finale

Saisie des données


Saisie des conditions initiales xpoint0

Écrire les lignes de programme pour la saisie de x0

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Saisie desdonnées


Solution finale

Saisie des données


Saisie des conditions initiales xpoint0

for i=1 :nxpoint0(i)=input([’xpoint0(’ num2str(i) ’) = ’]) ;

end

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Saisie desdonnées

Calcul desélémentsmatricielsMatrice dynamique

Matrice modale

Conditions initiales

Calcul desdifférentesconstantes

Solution finale

Matrice dynamique

Matrice dynamique

[L] = [T ]−1 [U]

%Calcul de la matrice dynamique

dyn=inv(m)*k ;

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Saisie desdonnées


Matrice modale



Solution finale

Calcul des valeurs propres et des vecteurspropres

Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres

[L]{q} = ω2[I]{q}

On remarque que ω2 représente une valeur propre de la matrice[L]. Les carrés des pulsations propres ω1 et ω2 sont donc lesvaleurs propres de la matrice dynamique [L]

Lignes de programme à écrire en noir.Répondre aux questions en rouge

%Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres

[v , d ]=eig(dyn) ;← eig () ?que contient v ?que contient d ?omega=sqrt(diag(d))← sqrt(), diag() ? ;

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Saisie desdonnées


Matrice modale



Solution finale

Calcul des valeurs propres et des vecteurspropres

Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres

[L]{q} = ω2[I]{q}

On remarque que ω2 représente une valeur propre de la matrice[L]. Les carrés des pulsations propres ω1 et ω2 sont donc lesvaleurs propres de la matrice dynamique [L]

Lignes de programme à écrire en noir.Répondre aux questions en rouge

%Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres

[v , d ]=eig(dyn) ;← eig () ?que contient v ?que contient d ?omega=sqrt(diag(d))← sqrt(), diag() ? ;

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Saisie desdonnées


Matrice modale



Solution finale

Matrice modale

Matrice modale [µ]

La matrice [ µ ] dont les colonnes sont constituées par lesvecteurs modaux est appelée matrice modale, elle est définie par

[µ] =

[1 1µ1 µ2

]Lignes de programme à écrire en noir.Répondre aux questions en rouge

On met 1 dans la première ligne de v

for i=1 :nmu( :,i)=[v(:, i)/v(1, i)] ;end↑Commenter ces lignes

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Saisie desdonnées


Matrice modale



Solution finale

Tenir compte des conditions initiales

Conditions initiales[A11 cos (φ1)A12 cos (φ2)

]= [µ]−1

[x10x20

](1)[

−ω1A11 sin (φ1)−ω2A12 sin (φ2)

]= [µ]−1

[x10x20

](2)

Exemples :

Tenir compte des conditions initiales

muinv=inv(mu) ;a=muinv*x0’ ;b=muinv*xpoint0’ ;

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Saisie desdonnées


Matrice modale



Solution finale

Cas particulier des systèmes à deux degrés deliberté

Calcul des φi et des Aij

On calcule tan(φ1) et tan (φ2) puis on déduit les expressions deA11 et A12 .

Calcul des phi et des Aij

omega1=omega(1) ;omega2=omega(2) ;phi1=-atan(b(1)/a(1)/omega1) ;phi2=-atan(b(2)/a(2)/omega2) ;a11=a(1)/cos(phi1) ;a12=a(2)/cos(phi2) ;

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Saisie desdonnées


Solution finaleCalcul de la solutionfinale

Représentationgraphique

Solution finale

Solution finale

x1 = a11 cos (ω1t + φ1) + a12 cos (ω2t + φ2)x2 = µ1 a11 cos (ω1t + φ1) + µ2 a12 cos (ω2t + φ2)

%solution finale

mu1=mu(2,1) ;mu2=mu(2,2) ;x1=a11*cos(omega1*t+phi1)+a12*cos(omega2*t+phi2) ;x2=mu1*a11*cos(omega1*t+phi1)+mu2*a12*cos(omega2*t+phi2) ;

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Saisie desdonnées


Solution finaleCalcul de la solutionfinale

Représentationgraphique

Représentation graphique

Représentation graphique

Utiliser subplot(211) pour représenter les deux courbessuperposées x1(t) et x2(t).

%Graphes

subplot(211)plot(t,x1)xlabel(’temps’) ;ylabel(’x1’) ;title(’Oscillateur à deux degrés de liberté’) ;subplot(212)plot(t,x2)xlabel(’temps’) ;ylabel(’x2’) ;

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