TP cristallographie et minéralogie

Structures cristallines

La cristallographie est la science des cristaux, au sens large. Elle étudie : la formation, la croissance, la forme extérieure, la structure interne, et les propriétés physiques de la matière cristallisée. [Hist.] Le mot "cristal" est d'origine grecque, et provient de : kruos (froid) et stellesoai (solidifier). En effet, les anciens croyaient que les cristaux des roches avaient été solidifiés par un refroidissement général (comme la glace) et avaient conservé son état. Après avoir fait partie de la minéralogie (qui est la description et l'étude des espèces constituant les roches naturelles), dont elle était une introduction, la cristallographie est devenue, depuis la fin du XIXe siècle, une science indépendante grâce aux développements de la chimie (et surtout de la chimie organique) où il a été montré que de très nombreux corps non-minéraux peuvent prendre la forme cristalline. C'est maintenant une branche importante des Sciences Physico-Chimiques, destinée à pouvoir mener l'étude de la morphologie, de la texture et de la structure des cristaux : - la morphologie : est la description complète de la forme extérieure (macroscopique) d'un monocristal au moyen de la mesure et du repérage des angles des facettes limitantes de la matière (dièdres) ; - la texture : est la description de la forme, des dimensions, et de l'orientation mutuelle des monocristaux dans un matériau polycristallin (constitué d'un ensemble de monocristaux) tel qu'un métal, une poudre, un sol, une céramique, etc. ; - la structure : est la description complète de l'empilement des individus (atomes, ions, ou molécules) constituant le cristal lui-même (phase homogène). La science moderne définit l'état cristallin comme l'un des états caractéristiques de la matière, celui où elle apparaît avec un maximum d'ordre ; de cet ordre découlent des propriétés physiques particulières. 3 lois primordiales régissent la cristallographie :

• La toute première loi de la cristallographie est celle de la constance des angles entre les faces des cristaux (c'est-à-dire des angles dièdres) : Les formes apparentes des cristaux ne sont pas régulières car ils ne se développent pas librement. Cependant, l'angle dièdre entre les faces est toujours égal à 120° (continuer sur transparent).

• La deuxième loi fondamentale de la cristallographie, est la Loi de la forme primitive: ou des caractéristiques entières.

• Un cristal à la même forme que les parallélépipèdes élémentaires qui le constituent.

• Cette forme est dite forme primitive. • L'empilement des parallélépipèdes élémentaires suivant trois directions de

l'espace permet de reconstituer le cristal dans son entier • Mais l'empilement s'arrête en formant des faces qui semblent planes • Il se forme une sorte d'escalier, dont la limite semble plane du fait de la taille

particulièrement fine des cristaux élémentaires.

- Loi de symétries : Une rotation d'un certain angle autour d'un centre (ou axe, ou plan) de symétrie semble remettre le cristal dans une position identique à celle initiale.

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I- Quelques définitions :

- Minéral : Solide naturel homogène possédant une composition chimique bien définie

et une structure atomique ordonnée. Toutefois il existe des exceptions à cette définition: le mercure est un liquide ; les gels solidifiés (tels que les opales) n'ont pas de structure atomique ordonnée. Pour faire simple, un cristal est un corps homogène anisotrope constitué d'un empilement périodique d'atomes d'ions ou de molécules.

- Cristal : correspond à un empilement tridimensionnel infini et régulier de motifs

identiques, un motif pouvant être un atome, plusieurs ou bien un groupe d’atome (molécule). Ces groupes d’atomes ou atomes constituent la maille élémentaire qui est répétée en 3D pour former le réseau cristallin.

On peut illustrer ces notions de motif et de réseau dans le cas d'un carrelage :

les carreaux sont les motifs, et leurs emplacements sont les noeuds d'un réseau.

II- Les systèmes cristallins :

II.1) Notion de réseau

Les atomes qui composent un minérales ne sont pas arrangés de manière aléatoire. Ces derniers sont disposés à la manière d’un réseau, tel un grillage. Le réseau cristallin est le résultat de la répétition, dans les trois directions de l'espace, de la maille cristalline élémentaire. Cette dernière correspond au plus petit volume conservant toutes les propriétés géométriques, physiques et chimiques du cristal. Le cristal qui apparaît à l’observateur correspond à une homothétie de cette maille cristalline élémentaire.

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Réseau linéaire (1D) et plan (2D)

On voit que l'on peut découper le réseau en mailles, une maille étant la plus petite portion du réseau ayant les mêmes symétries que le réseau lui-même. Une maille est donc un prisme composé de plusieurs noeuds ; le réseau est un empilement de mailles élémentaires.

Chaîne 1D : Répétition périodique du motif (un seul type de réseau linéaire)

Chaîne 2D : Réseau plan, construit à partir de deux vecteurs de translation de longueurs différente et d’angle quelconque.

Maille

Chaîne 3D : maille 2D + 1 vecteur

Def. Maille : la maille est l’enveloppe du plus petit parallélépipède de matière cristallisée conservant toutes les propriétés géométriques, physiques et chimiques du cristal et contenant suffisament d’atmoes pour respecter sa composition chimique.

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II.2) Les 7 systèmes cristallins en minéralogie

Compte tenu de leur symétrie, les solides cristallins peuvent être classé dans 7 systèmes cristallins seulement. On associe à chaque système une maille élémentaire obtenue en joignant un nœud origine à 3 autres nœuds. Les 3 vecteurs de la maille ainsi définie conventionnellement désignés par les vecteurs a, b, c ainsi que leur module a b c et les angles qu’ils font entres eux (α β γγγγ).

A savoir : Sept systèmes cristallins, • fondés sur la longueur et la disposition des axes des cristaux, • lignes imaginaires passant par le centre du cristal, • et coupant les faces, définissant les relations de symétrie du cristal. Les minéraux de chaque système partagent certains détails de symétrie et de forme

cristalline ainsi que de nombreuses propriétés optiques. L'arrangement des atomes est défini dans la maille élémentaire (plus petit arrangement définissant le réseau cristallin), le cristal est une juxtaposition d'une multitude de mailles élémentaires.

Pour l’histoire, c’est en 1848, qu’Auguste Bravais montre qu'il ne peut exister que sept types de mailles cristallines élémentaires. La théorie de Bravais sera confirmée en 1911 par les études de von Laue sur la diffraction des rayons X sur les cristaux.

Système cristallin (nombre de divisions)

Croisement des axes

Paramètres fondamentaux et angles

Quelques formes cristallines caractéristiques

Triclinique

a ≠ b ≠ c

α ≠ β ≠ γ ≠ 90°

Monoclinique

a ≠ b ≠ c

α = γ = 90°

β ≠ 90°

Orthorhombique

a ≠ b ≠ c

α = β = γ = 90°

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Quadratique

a = b ≠ c

α = β = γ = 90°

Hexagonal

a1 = a2 = a3 ≠ c

α = β = 90°

γ = 120°

Rhomboédrique

a1 = a2 = a3

α1 = α2 = α3 ≠ 90°

Cubique

a = b = c

α = β = γ = 90°

β α

γ

c

a

b

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(Ou tétragonal)

Les 7 systèmes cristallins

(Ou isométrique)

(Ou trigonal)

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Représentations géométriques

Les 7 systèmes cristallins

La maille élémentaire a la forme d'un cube. La pyrite de fer et le grenat sont classés dans ce système.

La maille élémentaire est un prisme droit à base carrée. Le zircon, la wulfénite et la vésuvianite cristallisent dans ce système.

La maille élémentaire est un prisme droit à base hexagonale (six faces).

La maille élémentaire est le rhomboèdre: parallélépipède dont les six faces sont des losanges. Le quartz, la tourmaline, le corindon, la sidérite et la calcite appartiennent au même système rhomboédrique.

Il y a plus de 300 formes différentes de cristallisation de la calcite. Le quartz cristallise à basse température dans un système rhomboédrique (filons) et à haute température dans un système hexagonal (métamorphisme, comme le quartz cristallise en dernier, il occupe les interstices disponibles et il n'a pas de forme propre).

La maille élémentaire est prisme droit dont la base est un losange. L’olivine, la baryte et la topaze appartiennent au système orthorhombique.

La maille élémentaire est un prisme droit dont la base est un parallélogramme. Ce système cristallin, le plus fréquent, comprend le gypse, l’azurite et l’orthose.

La maille élémentaire ne comprend aucun axe de symétrie. L’axinite et les feldspaths plagioclases (calco-sodiques) sont des minéraux tricliniques.

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• Système cubique : 5 classes de symétrie.

Les 3 axes ont la même longueur et sont perpendiculaires 2 à 2. Les formes cristallines sont le cube et l'octaèdre (8 faces), le dodécaèdre rhomboïdal (12 faces carrées), le dodécaèdre pentagonal (12 faces pentagonales), l'icositétraèdre (24 faces) et l'hexaoctaèdre (48 faces)

• Système tétragonal ou quadratique : 7 classes de symétrie.

Les 3 axes sont perpendiculaires deux à deux. Deux axes sont de même longueur, le troisième (axe principal) est de longueur différente. Les formes cristallines sont le prisme tétragonal, la pyramide tétragonale, le trapézoèdre, la pyramide ditétragonale et la bipyramide tétragonale.

• Système hexagonal : 7 classes de symétrie.

Trois des 4 axes sont dans le même plan, ont la même longueur et se coupent selon un angle de 120°. Le quatrième axe, de longueur différente est orthogonal par rapport aux 3 autres. Les formes cristallines sont le prisme hexagonal, la pyramide hexagonale, la pyramyde dihexagonale et la bipyramide hexagonale.

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• Système trigonal ou rhomboédrique : 5 classes de symétrie.

Les axes et les angles sont similaires au système hexagonal. La seule différence concerne la symétrie. Dans le Système hexagonal, la coupe transversale de la base du prisme est hexagonale tandis que dans le Système trigonal, elle est triangulaire. Les formes cristallines sont le prisme triangulaire, la pyramide, le rhomboèdre et le scalénoèdre.

• Système orthorhombique : 3 classes de symétrie.

• Système monoclinique : 3 classes de symétrie.

Deux des trois axes (tous de longueurs différentes) sont perpendiculaires entre eux. Le troisième axe forme un angle oblique. Les formes cristallines sont le pinacoïde basal et le prisme oblique.

• Système triclinique : 2 classes de symétrie.

Les 3 axes sont de longueur différentes et forment des angles obliques. Les formes cristallines se caractérisent par la présence de faces paires.

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En plus des sept mailles élémentaires, certaines admettent des ions supplémentaires qui peuvent se loger au centre de la maille ou au milieu des faces. Les différentes possibilités déterminent quatorze types de réseaux ou modes cristallins différents (les 14 réseaux de Bravais). Les 14 réseaux de Bravais sont des expansions des 7 formes primitives de cristaux.

Les 14 réseaux de Bravais

P= primitif, un seul nœud par maille.

F= toutes faces centrées.

C= faces centrées

I= maille intérieurement centrée.

Un seul mode est possible dans ces deux systèmes.

Il est possible de construire une maille multiple hexagonale P, contenant une maille simple rhomboédrique R.

Chaque système, ou réseau élémentaire, peut se décliner de quatre manières :

• primitive (notée P) : il y a une particule (ou motif) à chaque sommet

• centrée (notée I, de l'allemand innenzentriert) : il y a en plus une particule au centre de la maille

• à faces centrées (notée F) : il y a en plus une particule au centre de chaque face

• à deux faces centrées (notée A, B ou C suivant l'axe concerné) : il y a une particule au centre de deux faces opposées

La forme primitive du système rhomboédrique peut également être notée R.

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Exemple 3D de trois modes cristallin dans le système cubique

Cubique Cubique centré Cubique à faces centrées

Exercice : Quelle est l’origine de la forme géométrique des cristaux ? Expliquer le mode de construction d’un cristal. Prenons l’exemple de l’arrangement atomique du cristal de la halite (NaCl)

Sur le schéma on peut voir apparaître ce qui est la caractéristique d’un cristal, c'est-à-dire, un arrangement régulier, des atomes et plus exactement ce que l’on va appeler un arrangement périodique. Cette notion de périodicité est le fait que l’on retrouve périodiquement le même atome (succession Na, Cl, …) avec une distance répétitive. L’arrangement périodique est décrit par des distances caractéristiques mise en évidence par un repère vectoriel. Le vecteur définit une direction associé un module (ou une norme) décrivant la longueur.

Si on prolonge ces vecteurs, on voit que nous pouvons répéter tout notre système de base (la maille élémentaire). => On va donc fabriquer ce que l’on appelle un espace périodique dont l’unité de base est le carré avec la définition des 2 vecteurs a, b qui donnent la direction des translations. L’ensemble de ces mailles obtenues après translation, est ce que l’on nome un réseau cristallin.

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L'état cristallin se distingue de l'état amorphe (verre, certains plastiques) par l'anisotropie qui affecte la plupart de ses propriétés physiques. En clair, cela signifie que les propriétés sont différentes suivant la direction dans laquelle on les considère.

L'aspect le plus évident de cette anisotropie est la vitesse de croissance des faces d'un

cristal. Si la vitesse de croissance était identique dans toutes les directions, on aboutirait à la formation d'une sphère ! C'est justement la variation discontinue de la vitesse de croissance d'un minéral selon la direction qui est responsable de la forme des cristaux. Le degré d'anisotropie des propriétés physiques est différent d'une espèce minérale à l'autre. Il dépend étroitement de leur structure et de leur symétrie.

Dans une certaine mesure, les minéraux appartenant au système cubique font exception

à cette règle : la plupart de leurs propriétés physiques sont isotropes.

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Exercice 1 : Définissez et dessiner les 7 systèmes cristallins en jouant sur les paramètres de mailles. (Vecteurs a, b et c et les angles α, β, et γγγγ). Remplir le tableau 1. Système cristallin

Paramètres de mailles

prisme base Représentation graphique

Cubique arêtes : a b c angles : α β γγγγ

droit carrée L'élément de base est un cube

Quadratique droit carrée

L'élément de base est un prisme droit à base carrée

Hexagonal droit hexagonal (base losangique à 120°)

L'élément de base est un prisme droit à base hexagonale celui-ci est formé de trois sous-éléments identiques (des prismes droits de base losange), c'est de ces sous-éléments que l'on tire les valeurs des axes et des angles

Rhomboédrique oblique losangique L'élément de base est un parallélépipède dont toutes les faces sont des losanges

Orthorhombique droit rectangulaire L'élément de base est un parallélépipède rectangle

Monoclinique oblique rectangulaire L'élément de base est un prisme oblique à base losange

Triclinique oblique (prisme quelconque)

parallélépipédique

L'élément de base est un parallélépipède à base losange

Tableau 1 : paramètres de mailles et représentation cristalline

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III- Les éléments de symétrie :

On appelle symétrie cristalline toute isométrie (transformation qui conserve les distances) qui laisse globalement invariante la structure cristalline : un atome doit avoir pour "image" un atome identique. Cette notion a de l'importance car elle se répercute directement sur la forme extérieure (à une échelle macroscopique) du cristal, ainsi que sur ses propriétés physiques. Les axes de symétrie se définissent par le nombre d’opération qu’il est nécessaire d’effectuer pour revenir à l’état initial.

Les propriétés physiques peuvent varier avec la direction au sein du cristal. Mais, il est possible de retrouver exactement les mêmes propriétés dans un certain nombre de directions, dites équivalentes : on dit que le cristal possède des propriétés de symétrie.

D’une manière générale, on dit qu’un objet possède de la symétrie, s’il existe une ou plusieurs opérations de symétrie qui le laisse (nt) invariant. Une opération de symétrie est une opération qui transforme une figure « F » en une figure « F » indiscernable de « F ». On va énumérer quelques exemples de symétrie.

III.1) Axe de rotation ou axe direct An

On définit n comme l’ordre de symétrie avec l’angle de répétition. Une rotation d'un certain angle autour d'un centre (ou axe, ou plan) de symétrie semble remettre le cristal dans une position identique à celle initiale.

Si la rotation est de l'axe est dit et se note

180° BINAIRE L2

120° TERNAIRE L3

90° QUATERNAIRE L4

60° SÉNAIRE L6

Axe A4 Rotation 90° (π/2)

Axe A3 Rotation 120° (2π/3)

Axe A2 Rotation 180° (2π/2)

Exemples de différents axes de rotation (principe, représentation et symbole).

Axe d’ordre 4

Axe d’ordre 6 Axe ternaire

Axe d’ordr e 2

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Un axe de symétrie A d’un cristal est une ligne telle que, si on fait tourner ce cristal d’un certain angle par rapport à cet axe, il y a substitution mutuelle des sommets. Pour un observateur fixe, l’aspect du cristal après la rotation est exactement le même qu’avant cette rotation. Par exemple, un axe de symétrie est dit d’ordre 2, si l’angle de rotation nécessaire pour obtenir la substitution des sommets est égal à une demi-rotation de 2π/2 ou 180°.

Rotation autour d'un axe A. Le point P a pour image le point P'.

Remarque : Pourquoi Seules les rotations (1) 2 3 4 et 6 sont permises dans la nature ?

Limitation de l’ordre des axes de rotation dans les cristaux

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III.2) Axe inverse An

Rotation suivie par une inversion par rapport à un centre de symétrie située

sur l’axe. Les deux opérations de symétrie successives ne peuvent être dissociées.

III.3) Réflexion ou miroir m

Une moitié de la figure est l’image de l’autre par réflexion dans un miroir.

Tous les sommets du cristal se correspondent deux à deux sur des droites perpendiculaires au plan de symétrie (ou miroir de symétrie). Chaque plan de symétrie correspond à un axe de symétrie.

C’est la symétrie par rapport à un plan, qu'on appelle une "réflexion". Le paramètre est le plan par rapport auquel la symétrie a lieu, dont tous les points sont invariants par la réflexion. Le plan de symétrie sépare deux moitiés homologues d’un objet à la manière d’un miroir.

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Réflexion par rapport à un plan P. Le point M' est l'image du point M... et réciproquement !

III.4) Centre de symétrie ou inversion (notation i, c, 1)

Opération associant à tout point de la figure un point symétrique par rapport au point central choisi comme origine. Le centre C de symétrie d’un cristal est un point tel que tous les sommets de ce cristal se correspondent deux à deux sur une ligne passant sur ce centre, et qu’ils soient à égale distance de ce centre.

IV- Notion d’holoédrie et mériédries

On a vu qu’un système cristallin est un élément de nomenclature de la structure cristalline d'un milieu cristallin, utilisé notamment pour classer les minéraux.

Il existe sept systèmes cristallins définis à partir des propriétés de symétrie du réseau.

Ces derniers se subdivisent en 32 classes de symétrie (groupes ponctuels de symétrie et 230 groupes d'espace.

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- Le groupe d'espace d'un cristal est une description mathématique de la symétrie du réseau microscopique. Il s'agit d'un groupe au sens mathématique du terme. L'ensemble des 230 groupes d'espace en trois dimensions résulte de la combinaison des 32 groupes ponctuels de symétrie avec les 14 réseaux de Bravais.

- Un groupe ponctuel de symétrie est un groupe (au sens mathématique) formé par l’ensemble des opérations de symétrie qui laissent invariant au moins un point de l'espace sur lequel ces opérations de symétrie agissent.

En cristallographie un groupe ponctuel contient les opérations de symétrie qui laissent invariants la morphologie d'un cristal et ses propriétés physiques (la symétrie de la structure atomique d'un cristal est décrite par les groupes d'espace). Ils sont classés en groupes holoèdres, et mérièdres selon qu'ils décrivent la symétrie complète du réseau on qu'ils soient des sous-groupes de ceux-ci.

• L'hémiédrie est l'anomalie apparente que présente un cristal qui ne possède que la moitié des faces que la symétrie lui attribue.

Symétrie d'un cristal qui ne possède que la moitié des éléments de symétrie de son réseau cristallin. • L'holoédrie est la propriété d'un cristal dont la symétrie est exactement celle du réseau périodique qui lui correspond.

On dit qu'un cristal est holoédrique lorsqu'il possède la totalité des éléments de symétrie de son réseau cristallin.

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Effets des degrés de symétrie sur le solide, holoédrie - hémiédrie

Les solides obtenus à partir d'une même forme sont fonction des degrés de symétrie.

Lorsque tous les éléments de symétrie existent (axes, centre, et miroirs), on est en présence de la classe de symétrie holoédrique.

Les classes hémiédriques ont un degré de symétrie plus bas. Un des éléments de symétrie est absent. Les solides sont moins riches en faces.

Exemples avec des solides du système cubique :

Solides avec forme {210}

- holoédrie : fluorite,

- hémiédrie : pyrite,

Solides avec forme {111}

- holoédrie : fluorite,

- hémiédrie : tétraédrite,

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Exercice 2 : A partir des dessins précédemment réalisés, trouvez les axes de symétries An et les miroirs m des 7 systèmes cristallins. Système cristallin Axe de symétrie,

Plan de symétrie Représentation graphique

Cubique 3A4, 4A3, 6A’2

3M, 6M’

Quadratique A4, 2A’2, 2A’’ 2

M, 2M’, 2M’’

Hexagonal A6, 3A’2, 3A’’ 2 M, 3M’, 3M’’

Rhomboédrique A3, 3A2 3M

Orthorhombique A2, A’2, A’’ 2 M, M’, M’’

Monoclinique A2 M

Triclinique Aucun axe et plan de symétrie

Tableau 2 : paramètres des symétries des réseaux cristallins

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Eléments de symétrie des 7 systèmes cristallins

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Prisme orthorhombique (de Miller et de Lévy)

Positionnement des différents axes de symétries pour chaque système cristallin.

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Toute les formes présentes dans la nature dérivent de ces sept formes

géométriques de base grâce à des faces nouvelles qui apparaissent sur les arrêtes et/ou sur les sommets, les faces nouvelles obéissant toujours au degré de symétrie du solide initial

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Quelques terminologies sur la géométrie des cristaux :

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Forme cristalline

Une forme cristalline est un ensemble de faces d'un cristal qui sont dans un rapport de symétrie.

Une forme cristalline est caractérisée par :

• la multiplicité qui est le nombre des faces ; elle dépend de la symétrie du cristal et de l'orientation de la face originale par rapport aux éléments de symétrie du cristal

• sa symétrie propre • son nom officiel. La nomenclature officielle française des formes cristallines

fut publiée dans : J.D.H. Donnay et H. Curien, « Nomenclature des 47 formes cristallines » Bulletin de la Société française de Minéralogie et Cristallographie, 81 (1958) XLIV-XLVII.

Bipyramide rhombique

Bipyramide rhombique

Forme fermée composée de huit triangles scalènes. Sa symétrie propre est mmm.

Bipyramide trigonale

Bipyramide trigonale

Forme fermée composée de six triangles isocèles. Sa symétrie propre est .

Bipyramide tétragonale

Bipyramide tétragonale

Forme fermée composée de huit triangles isocèles. Sa symétrie propre est 4/'mm'm.

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Bipyramide hexagonale

Forme fermée composée de douze triangles isocèles. Sa symétrie propre est 6/mmm.

Bipyramide ditrigonale

Forme fermée composée de douze triangles isocèles. Sa symétrie propre est .

Bipyramide ditétragonale

Forme fermée composée de seize triangles isocèles. Sa symétrie propre est 4/'mm'm.

Bipyramide dihexagonale

Forme fermée composée de vingt-quatre triangles isocèles. Sa symétrie propre est 6/mmm.

Disphénoïde tétragonal

Forme fermée composée de quatre triangles isocèles. Sa symétrie propre est . Parfois appelée improprement "tétraèdre tétragonal" (le tétraèdre est une forme cubique).

Rhomboèdre

Rhomboèdre

Forme fermée composée de six losanges. Sa symétrie propre est . Cette forme peut présenter sous deux orientations différant de 180º autour de l'axe ternaire : on parle alors de rhomboèdre direct et rhomboèdre inverse.

Scalénoèdre tétragonal

Forme fermée composée de huit triangles scalènes. Sa symétrie propre est .

Scalénoèdre ditrigonal

Forme fermée composée de douze triangles scalènes.

Sa symétrie propre est . Si les angles dièdres entre paires de faces sont tous égaux, on parle de scalénoèdre hexagonal.

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Trapézoèdre tétragonal

Forme fermée composée de huit trapèzes. Sa symétrie propre est 422.

Trapézoèdre trigonal

Forme fermée composée de six trapèzes. Sa symétrie propre est 32.

Trapézoèdre hexagonal

Forme fermée composée de douze trapèzes. Sa symétrie propre est 622.

Tétartoïde ou Pentagonotritétraèdre

Forme fermée composée de douze pentagones. Sa symétrie propre est 23.

Pentagonododecaèdre

Pentagonododecaèdre

Dite aussi dihexaèdre ou pyritoèdre, cette forme fermée est composée de douze pentagones. Sa symétrie propre est .

Diploèdre ou Didodécaèdre

Forme fermée composée de vingt-quatre trapèzes. Sa symétrie propre est .

Gyroïde ou Pentagonotrioctaèdre

Forme fermée composée de vingt-quatre pentagones. Sa symétrie propre est 432.

Tétraèdre

Forme fermée composée de quatre triangles équilatères. Sa symétrie propre est .

Tétragonotritétraèdre

Tétragonotritétraèdre

Dite aussi deltoèdre ou trapézododécaèdre, cette forme fermée est composée de douze trapèzes. Sa symétrie propre est .

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Trigonotritétraèdre

Forme fermée composée de douze triangles isocèles. Sa symétrie propre est .

Hexatraèdre

Forme fermée composée de vingt-quatre triangles scalènes. Sa symétrie propre est .

Cube ou hexaèdre

Forme fermée composée de six carrés. Sa symétrie propre est .

Octaèdre

Forme fermée composée de huit triangles équilatères. Sa symétrie propre est .

Rhombododécaèdre

Forme fermée composée de douze losanges. Sa symétrie propre est .

Trigonotrioctaèdre

Trigonotrioctaèdre

Forme fermée composée de vingt-quatre triangles isocèles. Sa symétrie propre est .

Tétragonotrioctaèdre

Dite aussi icositétraèdre ou leucitoèdre, cette forme fermée est composée de vingt-quatre trapèzes. Sa symétrie propre est .

Tétrahexaèdre

Forme fermée composée de vingt-quatre triangles isocèles. Sa symétrie propre est .

Hexaoctaèdre

Forme fermée composée de quarante-huit triangles scalènes. Sa symétrie propre est .

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