Departement de PhysiqueFaculte des SciencesUniversite Chouab DoukkaliEl Jadida

TP3 : TELECOMS

Transformee de Fourier1

TP31 (Generation de signaux periodiques)

Lordinateur ne traite que des signaux a` temps discret. De ce fait, le logiciel Matlab utilisedes versions discre`tes des outils du traitement du signal vus en cours (transformee de Fourier,convolution, correlation, . . .).

Un signal numerique de frequence dechantillonnage fe se represente naturellement dansMatlab, comme un vecteur de N elements (signal de duree Te = N/fe). Le vecteur des tempsqui lui est associe est :>> t = (0 :N-1)/fe ;

En voici un script (code Matlab) pour generer un signal carre periodique.% Generation du signalFe = 8192 ; % Frequence dechantillonnageN = 512 ; % Taille du signalt = (0 :N-1)/Fe ; % Axe du temps% Frequence du signalF0=150 ;x = square(2*pi*t*F0) ;% TFD sur [0, Fe]X = fft(x) ;f = (0 :N-1)/N*Fe ;% Affichagesubplot(1,2,1) ; plot(t,x) ;xlabel(temps t), ylabel(x(t)) ;

Description du scriptLa fonction Matlab square permet de generer un signal carre periodique de frequence F0.>> x = square(2*pi*t*F0) ;La fonction Matlab qui permet le caclul du spectre dun signal est fft. En effet, la Transformeede Fourier Discre`te dun signal de N points est calculee par un algorithme rapide (Fast FourierTransform FFT) :>> X = fft(x) ;Cest egalement un signal (a` valeurs complexes) de N points echantillonne a` la frequence N/fe.Le vecteur des frequences qui lui est associee est :>> f = (0 :N-1)/N*fe ;Rappelons que ce signal est de periode fe ; on peut le representer sur lintervalle [

fe2 ;

fe2 ] grace

a` la fonction fftshift (qui ne fait quun decalage des vecteurs et aucun calcul de fft) :

1Pr. K. SABRI, Pr. O. LABOUIDYA & Pr. M. BOUSMAH Master Reseaux & Telecoms 2011/2012

1

>> Y = fftshift(X) ;Le vecteur des frequences qui lui est associee est alors :>> f = (0 :N-1)/N*fe - fe/2 ;

Lobjectif de cet exercice est double : generer des signaux periodiques en utilisant des fonc-tions Matlab et faire une analyse spectrale de ces signaux.

Travail a` faire :1- Saisir le code ci-dessus dans un fichier Matlab, executer-le. Modifier les axes des deux figures

pour un meilleur affichage. Utiliser pour cela` la fonction axis.2- generer, en se basant sur le script ci-dessus, un signal sinusodal, x(t), damplitude 2 et de

frequence F1 = 1KHz dephase respectivement de 0, pi/3 et pi/2. Tracer le spectre du signal x(t).Commenter les resulats.3- Generer deux signaux sinusodaux de frequences respectives F1 = 256Hz et F1 = 512Hz et

damplitudes respectives 2 et 3. Tracer la representation temporelle de la somme de ces deuxsignaux. Tracer la representation frequentielle de la somme de ces deux signaux. Conclure.4- Generer un signal carre damplitude 1 et de frequence F = 320Hz. Decaler ensuite le signal

de pi/4. Tracer sur la meme figure les representations temporelles des deux signaux avec descouleurs differentes (utiliser pour cela` la commande hold on). Faire apparatre la legende sur lafigure. Tracer les spectres des signaux. Comparer et conclure.

TP32 (Synthe`se des signaux triangulaire et carre)

Cet exercice a pour but de presenter la synthe`se de deux signaux periodiques realisees a` partirde leur developpement en serie de Fourier. A partir des developpements en serie de Fourier desdeux signaux periodiques suivants (voir TD1 (exercice1)) :

signal triangulaire impair de periode T0, de valeur moyenne nulle, damplitude 1 et dedeveloppement en serie de Fourier,

s(t) = 8pi2

+p=0

(1)p

(2p+1)2sin[2pi(2p + 1)F0t]

S(f) = 4jpi2

+p=

(1)(p+1)

(2p+1)2[f (2p + 1)F0]

signal carre impair de periode T0, de valeur moyenne nulle, damplitude 1 et de developpementen serie de Fourier,

s(t) = 4pi

+p=0

12p+1 sin[2pi(2p + 1)F0t]

S(f) = 2pi

+p=

j2p+1 [f (2p + 1)F0]

Lobjectif est danalyser la qualite de la synthe`se de ces signaux en fonction du nombredharmoniques pris en compte. La frequence des signaux est fixee a` F0 = 128Hz (T0 = 7, 8ms).La frequence dechantillonnage quant-a`-elle est fixee a` Fe = 8192. Pour cet exemple, chaquesignal comportera N = 512 echantillons.

La synthe`se de ces signaux periodiques est limitee dans une premie`re etape aux trois pre-miers harmoniques.1- Tracer les spectres des signaux.Comparer la synthe`se du signal carre a` celle du signal trian-gulaire.2-Refaire la meme question pour les vingts premiers harmoniques ? Etudier linfluence de ces

harmoniques pour la construction des signaux ?

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Fig. 1 Signaux etudies : signal triangulaire (a) et signal carre (b)

TP33 (signal impulsionel rectangulaire)

On conside`re le signal rectangulaire periodique damplitude A, de periode T = 1F0

(figure )et de rapport cyclique =

Ttel que :

x(t) =

{A si [ 2 + kT ;

2 + kT ], k Z

0 sinon(1)

Fig. 2 Signal rectangulaire periodique

Le developpement en serie de Fourier du signal x(t) est donne par lequation suivante :

x(t) = A[1 + 2

+n=1

sin(npi)

npicos(2pinF0t)] (2)

En effet, lamplitude de lharmonique de rang n peut etre mis sous la forme,

cn = 2c0

sin() , avec = npi et c0est la composante continue.

On voit que le spectre de frequence est repartie en un certain nombre de groupes, damplituderapidement decroissante et limites par les valeurs = Kpi, K entier et K/ entier).

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On fixe la frequence a` F0 = 128Hz, la frequence dechantillonnage a` Fe = 4096KHz et lataille du signal a` N = 512.1- Generer le signal x(t) (on se limite a` 3 periodes) a` laide la fonction Matlab square, et cepour differentes valeurs du parame`tre = 0, 15; 0, 5; 0, 85 et 1.2- Tracer les signaux et leurs spectres (partie reelle).3- Quelle est linfluence du parame`tre sur le nombre dharmoniques damplitude notable.Conclure.

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