VECTEURS Page 1

TRACE ECRITE

I- NOTION DE VECTEURS

1. Activité 1

Soit la figure suivante, les quatre droites sont parallèles

Les droites (AA’), (BB’), (CC’) et (EE’) sont parallèles : elles déterminent une même direction

Les demi-droites [AA’), [BB’) et [EE’) ont le même sens

Les demi-droites [AA’), [CC’) ont des opposés

Les segments [AA’], [CC’] et [EE’] ont la même longueur

Les couples de points de points (A ; A’) et (E ; E’) déterminent une même direction, un même sens et une

même longueur : on dit qu’ils forment un vecteur noté AA′ ou BB′

Les vecteurs AA′ et BB′ sont égaux, on note AA′ = BB′

Les couples de points de points (A ; A’) et (C ; C’) déterminent une même direction, une même longueur

mais de sens opposés : ils forment des vecteurs opposés, on note AA′ = - CC′ Les couples de points de points (AA’) et (BB’) déterminent une même direction: ils forment des vecteurs

colinéaires

2. Caractérisation d’un vecteur

Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur

Représentation graphique

Le vecteur u est noté AB a pour :

Direction ; la droite (AB)

Sens : la demi-droite [AB)

Longueur : le segment [AB]

Le point A est l’origine du vecteur et le point B est son extrémité

NB : Un vecteur est représenté par une "flèche" que l'on peut tracer n'importe où. Un vecteur n'a pas

d'emplacement précis, c'est un objet "baladeur".

3. Vecteur et parallélogramme

Propriété : si ABCD est un parallélogramme alors AB = DC (figure)

u

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Propriété réciproque : si AB = DC alors ABCD est un parallélogramme (figure)

4. Vecteur et milieu d’un segment

Si le point I est le milieu du segment [AB] alors :

AI = 𝐼𝐵 ou AB = 2 AI = 2𝐼𝐵

IA + IB = 0

Exercice : ABCD est un parallélogramme de centre O.

Trouve tous les vecteurs égaux de la figure

Trouve des vecteurs opposés à AB ; à AC

5. Vecteur et translation

a. Définition

Un point N est l’image d’un point M par la translation du vecteur AB signifie que AB = MN

On note tAB (M) = N ou N = tAB (M) (construction)

Remarque :

AB = MN signifie que ABNM est un parallélogramme

L’image de A par tAB est B

b. Image d’un segment

Soit la figure suivante, construis l’image [M’N’] du segment [MN] par la translation de vecteur AB

Propriété : l’image d’un segment par une translation est un segment de même longueur

c. Image d’un cercle

Soit la figure suivante, construis l’image (C’ ) du cercle (C ) par la translation de vecteur AB

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Propriété : l’image d’un cercle par une translation est un cercle de même rayon

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SEQUENCE 2 : ADDITION VECTORIELLE

Durée : 06 h

Matériel : matériel de géométrie, calculatrice

DEROULEMENT

Organisation de la classe : Le travail se fera individuellement ou par groupe

TRACE ECRITE

II- ADDITION DE DEUX VECTEURS

1. Définition

Soient deux vecteurs et un point A.

B = tu (A) et C = t v (B)

Le vecteur w = AC est le vecteur somme de u + v . On écrit w = u + v

2. Configuration

NB : Le vecteur somme de u + v ne dépend pas du choix du point de A

Méthode : Pour additionner des vecteurs on les représente "bout à bout", et on joint l’origine du premier

vecteur à l’extrémité du dernier. L’ordre des vecteurs n’a pas d’importance : u + v = v + u

3. Relation de Chasles

Quelque soient les points A, B et C, on a : 𝐀𝐁 + 𝐁𝐂 = 𝐀𝐂

u

v

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4. Propriétés de l’addition vectorielle

a. Commutativité

Quelque soient les vecteurs u et v , on a : u + v = v + u

NB : la configuration du parallélogramme illustre la commutativité de l’addition vectorielle

b. Associativité

Quelque soient les vecteurs u , v et w on a toujours : ( u + v ) + w = u + ( v + w )

Exemple :

Montre que AS + HA + CH = CS

AS + HA + CH = CH + HA + AS = ( CH + HA ) + AS = CA + AS = CS

c. Vecteur nul

Par définition, le vecteur nul est le vecteur de longueur nulle. Il est noté 0 et se lit « vecteur nul »

AA = BB = MM = 0

Le vecteur nul est l’élément neutre de l’addition vectorielle : u + 0 = u

d. Vecteurs opposés

Deux vecteurs opposés sont deux vecteurs qui ont la même direction, des sens contraires et la même longueur

AB et BA sont des vecteurs opposés et on a : AB = - BA

Deux vecteurs sont opposés lorsque leur somme est égale au vecteur nul. Ainsi AB + BA = AA = 0

Exemple : montre que AB - AC = CB

AB - AC = AB + (- AC ) = AB + CA = CA + AB = CB

Exercice : soit ABC un triangle quelconque, I et J les milieux respectifs de [AC] et [AB].

Démontre que BC = 2 × JI

I milieu de [AC] donc AC = 2 AI = 2 IC

J milieu de [AB] donc AB = 2 AJ = 2 JB

AC - AB = 2 AI - 2 AJ = 2 (AI - AJ )

v

u + v

u

u + v = AB + BC = AC

v + u = AD + DC = AC

D’où u + v =v + u v

u

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AC + BA = 2 (AI + JA ) ⇒ BA + AC = 2 (JA + AI ) ⇒ BC = 2 × JI

III-MULTIPLICATION D’UN VECTEUR PAR UN NOMBRE REEL

1. Définition

Soit u est un vecteur et k un réel, on appelle produit du vecteur u par k, le vecteur noté k × u tel que :

k.u et u ont même direction

k.u et u ont même sens si k > 0

k.u et u sont de sens opposé si k < 0

k.u a pour longueur k fois la longueur du vecteur u

Remarque

Si u = 0 alors k. u = k. 0 = 0

Si k = 0 alors k. u = 0. u = 0

Construction

Soit u un vecteur, construisons les vecteurs v , w et p tel que : v = 3 u , w = -2 u et p = 4 u

2. Propriétés

Soient u et v deux vecteurs, k et k’ deux réels, on a :

1 u = u

k(u + v ) = k u + k v

k(k’ u ) = ( k × k’ ) u

k u + k’ u = ( k + k’ ) u

Exemple

3 AB + 4 AB = (3 + 4) AB = 7 AB 5 AB - AB = (5 - 1) AB = 4 AB

6 AB - 6 CB = 6 (AB + BC ) = 6 AC 3 (4 AB ) = ( 3 × 4) AB = 12 AB

3. Vecteurs colinéaires

Définition

Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont tous les deux la même direction ou si l’un de ces vecteurs est nul

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Propriétés

Soient u et v deux vecteurs, k un réel :

Si u = k v alors u et v sont colinéaires

Si u et v sont colinéaires alors il existe k tel que u = k v

Remarque

A, B et M sont alignés si et seulement si AM = k AB

(AB) // (CD) sont parallèles si et seulement si AB = k CD

Formulation vectoriel du théorème de Thalès

ABC est un triangle et k un réel non nul,

M un point de (AB) et N un point de (AC) et (MN) // (BC) équivaut à :

AM = k AB et AN = k AC et MN = k BC

Exo d’application

Soit ABC un triangle rectangle en A. E, K et F sont trois points tel que :

AE = 2 AC + AB BF = 2 BC AK = 2 AC

Construis le triangle puis place les points E, K et F

Trouve une relation vectorielle entre les vecteurs EF et KF . En déduis que les points E, F et K sont alignés.

Exo : trace un triangle ABC puis construis les ponts P, Q et R tels que :

AP = AB + AC BQ = BC + BA CR = CA + CB

Que peut – on dire des droites (AP), (BQ) et (CR)

Solution

Conjecture : il semble que A soit le milieu de [RQ]

Preuve : RA = BC et AQ = BC d’où RA = AQ et A est le milieu de [RQ]

On prouvera de même que B et C sont les milieux respectifs de [RP] et [PQ].

(AP), (BQ) et (CR) sont donc les médianes du triangle PQR et sont par conséquent concourants

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Evaluation des connaissances procédurales

CONSTRUCTION

Exercice 1 : On considère un triangle ABC

Marque les points D, E et F tels que BD = DC EA = CE EF = CD

Que représente le triangle DEF pour le triangle ABC ?

Exercice 2 : Soit un triangle ABC. Construis les points D, E et F tels que :

AD = AB + AC BE = BA + BC CF = CA + CB

Exercice 3 : Soit ( O, I, J ) un repère orthonormé. Construis le polygone OABCDEFGH où :

OA = OI + OJ OB = 2 OI OH = 2 OJ OC = 2 OB

OF = 2 OH OD = OB + OH OG = OD + BA OE = OG + AD

Exercice 4 : On considère un triangle ABC

Marque les points D, E et F tels que AD = BC CE = AB BF = CA

Que représente le triangle ABC pour le triangle DEF ?

Exercice 5 : Soit un triangle ABC. Construis les points E, F, G et H tels que :

AE = AB + AC AF = - AB + AC AG = - AC + BA AH = - AC + AB

Exercice 6 : Dans chaque cas, marque quatre points A, B, C et D

Construis le point E tel que AE = AB + CD

Place un point O et Construis le point F tel que OF = AB + CD

Exercice 7 : En utilisant la relation de Chasles, écris le plus simplement possible les vecteurs u 1, u 2 et u 3

u 1= AB + BC + CE u 2= 2 AB + AK + 2 BK u 3= 2 AB -7 AB + 6 AB

Exercice 8 : Simplifie les sommes suivantes : AB + CA + BC ; AB + CA + BA ; AE + AE + BA + EB

OA + CD + AB + DO + BC

Exercice 9 : On pose : u = i - 3 j v = 3 i w = - i + 2 j

A = 3 u - v B = u + v - 7 w C = v + 5 w

Exprime les vecteurs A , B et C en fonction des vecteurs i et j

Exercice 10: ABCD est un rectangle et BRIC est un losange.

Simplifie les sommes : AB + CI ; AB + RI ; DC + BR

AD + IR ; IC + DA ; AB + RI + CD

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Exercice 11 : Soit un losange ABCD. Simplifie les sommes : AB + CD ; BC + DA ; BC + BA

Exercice 12 : Soit un triangle ABC tel que AB = 7 cm, AC = 6 cm et BC = 5 cm et soit le point I du segment

[AB] tel AI = 4 cm.

Construis le point J image de I par la translation de vecteur BC . Justifie la construction

Exercice 13 : Vecteurs et forces

Reproduis, sur quadrillage, la figure suivante qui

représente un « objet » O, soumis à l’action de trois forces.

Rajoute une force s’exerçant en O, de façon que l’ »objet »

reste immobile. Indication : construis le point M tel que OM = ( OA + OB ) + OC

Exercice 14 : Soit un triangle ABC et I, J et K les milieux respectifs des côtés [AB], [AC] et [BC].

Au compas seulement, construis les points M et N tel que : MA + MB = AC et NA + NC = AB

Exercice 15 :

1. Refais la figure ci – contre dans laquelle :

La droite (d) et les points A et B sont fixes ; le point M est variable sur (d).

Soit le point M’tel que BM′ = AM

Construis la ligne sur laquelle se déplace M’ lorsque M se déplace sur la droite (d)

2. Même consigne sachant que :

a. BM′ = MA

b. M’ est le symétrique de M par rapport au milieu de [AB]

Fais une remarque pour le cas b)

Exercice 16 : la tache

Construis (pas de tracé dans la tache) le point M tel que :

M a pour image N par la translation tBC

N a pour image C par la translation tBA

Exercice 17 : construis un parallélogramme ABCD.

Quels sont les points P et Q tels que : DP = DA + AB et CQ = CD + CB

Construis le point E image de C par la translation t de vecteur AD

Quel est le transformé par la translation t du triangle ABC

Compare AC et DE

Exercice 18 : Trace un cercle C ( O ; 5 cm ), puis un diamètre [AB].

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Place un point M du cercle tel que BM = 6 cm, puis les points I, J et K images respectives des points A, B et

M par la translation tOM .

Calcule la valeur exacte du périmètre et de l’aire du triangle IJK

Exercice 19 : Soit un parallélogramme ABCD. Place un point M sur la diagonale [BD].

Construis les points E et F vérifiant : AM + AD = AE et AM + AB = AF

Donne deux vecteurs égaux à AD . En déduis que MBCE est un parallélogramme

Donne deux vecteurs égaux à AB . Que peut – on en déduire pour le quadrilatère MDCF ?

Démontre en utilisant les questions précédentes que les points E, C et F sont alignés.

Exercice 20 : On donne un segment [EF]. Construis le point M du segment [EF] tel que 3 EM + 5 FM = 0

Exercice 21 : le sommet C du triangle ABC ne tient pas sur la feuille

Sans rien tracer hors de la feuille, construis le triangle A’B’C’

Image du triangle ABC par la translation de vecteur BB′ .

(Indique les étapes de la construction)

PROBLEMES

Exercice 22 : soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 8 cm et AC = 6 cm

On désigne par D le milieu du segment [AB], par I le milieu du segment [CD], par P le point d’intersection des

droites (BC) et (AI), par E le point tel que CE = AD

Calcule les longueurs BC et DC

Détermine la tangente de l’angle CDA

Justifie que E ∈ (AI)

Démontre que le quadrilatère BDCE est parallélogramme. On notera O son centre

Que représente le point P dans le triangle CDE ?

Que peut – on dire du point d’intersection des droites (DP) et (EC) ?

Vrai ou faux ? AP = 2 PE ( c'est-à-dire PE + PE )

Exercice 23 : Soit ABC un triangle quelconque. I et J sont les milieux respectifs des cotés [AB] et [AC].

E est le symétrique de C par rapport à I. D est l’image de J par la translation de vecteur BJ

Précise la position des points E, A et D

Exercice 24 : ABCD est un parallélogramme,

I et J sont les symétriques respectifs de B et C par rapport à A et C .

Compare les vecteurs IA et AB DC et CJ IA et CJ

Quelle est la nature du quadrilatère IAJC

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Exercice 25 : Refaire la figure de l’exercice 24, puis construit le point G tel que CG = BC

Prouve que DG = BG puis précise la position des points I, D et G

Exercice 26 : On considère un triangle ABC

Marque les points D, E et F tels que BD = AB CE = AB CF = AC

Quelle est l’image du triangle ABC par la translation de vecteur AB ; par la translation tAC ?

Démontre que E est le milieu de [DF]

Exercice 27 : On considère la figure ci – contre dans laquelle :

A, B, C et D sont sur un cercle de rayon 5 cm.

I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [BC]

E et F sont les symétriques respectifs de D par rapport à I et J

Compare les vecteurs AE , DB et CF

Calcule la longueur du cercle circonscrit au triangle BEF

Exercice 28 : Trace un cercle de centre O ; place un point A sur le cercle puis marque :

B et F les points d’intersection du cercle et de la médiatrice de [OA]

C, le symétrique de F par rapport à O

D, l’image de C par la translation tAF

E, l’image de D par la translation tBA

G, l’image de E par la translation tCB

Emettre une conjecture puis la démontrer

Exercice 29 : Soit un parallélogramme ABCD. Démontre que pour tout point M du plan : AB + CM = DM

Exercice 30 : Soit un parallélogramme ABCD.

Construis les points E et F tels que : DE = AD et BF = AB

Démontre que EC = CF . ( Établis que EC = CF sont égaux au vecteur DB )

Exercice 31 : Soit un quadrilatère ABCD.

Construis le point E tel que AB + AD = AC + AE (indication : construis le point F tel que AF = AB + AD puis

le point E tel que AF = AC + AE

Que dire de BCDE ? Justifie.

Exercice 32 : Soit G le centre de gravité du triangle ABC.

1. Construis le symétrique E de A par rapport à G.

2. Démontre que BGCE est un parallélogramme. On utilisera les propriétés suivantes :

La droite des milieux dans un triangle est parallèle, au troisième triangle

Un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles est un parallélogramme

Si L est le milieu de [MN] alors ML = LN

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3. Que peut –on en déduire pour GB + GC ?

4. Démontre que GA + GB + GC = 0

Exercice 33 : ABC est un triangle, construis E et D tels que : BA + BC = BD et AC + BD = AE

Montre que les points A, D et E sont alignés

Quelle est la nature du quadrilatère BDEC ? Justifie.

Exercice 34 : construis un triangle équilatéral ABC de 3 cm de côté.

Construis E et D tels que : 2 AC = AE et BA + 2 BC = DA

Montre que les points B, C et D sont alignés

Exercice 35 : A, B, C et D sont quatre points du plan. Justifie que AC + BD = AD + BC

Exercice 36 : construis un triangle équilatéral ABC de 3 cm de côté.

Construis les points E, F et Y tels que : AF = 2 AB ; AE = 2 AC et S𝐂(B) = Y

Montre que les droites (BY) et (EF) sont parallèles ?

Montre que le quadrilatère BAYE est un rectangle

Montre que FBYE est un parallélogramme

Quelle est la nature exacte du quadrilatère FAYE ? Justifie.

Montre que le cercle (𝒞) (C ; AC ) passe par les points B, Y et E

Ce cercle coupe la droite (FE) en I. Montre que I est le milieu du segment [FE]

Les droites (AI) et (BE) sont sécantes en G. Montre que le point G appartient à la droite (FC)

Exercice 37 : A et B sont deux points du plan et M un point tel que : 3 AM - 2 MB = 0

Exprime le vecteur AM en fonction du vecteur AB

Construis le point M

Exercice 38 : A et B sont deux points du plan et M un point tel que : 2 AM - MB = 0

Exprime le vecteur AM en fonction du vecteur AB

Construis le point M

Exercice 39 : ABC est un triangle et G son centre de gravité. Les points P, M et N sont les milieux respectifs

des côtés [BC], [AC] et [AB]

Exprime AG en fonction de AP ; BM en fonction de GB ; NG en fonction de CN

Exercice 40 : ABCD est un parallélogramme de centre O et M un point du plan.

Démontre que MA + MC = MB + MD