Traction_Compression GC 2012 (1)

RDM- GC- S2- 2011/2012

Responsable : M. ZENASNI

TRACTION SIMPLE - COMPRESSION SIMPLEI. Traction simple I.1 Gnralits Une poutre est sollicite la traction si le systme des forces extrieures cre des forces de cohsion reprsentables par un torseur dont le seul lment de rduction au centre de gravit r de chaque section est leffort normal N . Lessai de traction est ralis sur une prouvette usine gnralement cylindrique de dimensions normalises. Cet essai permet de dterminer les caractristiques mcaniques courantes des matriaux. r Le chargement provoque lallongement de la poutre suivant la direction de (G , x ) . S0d

xTte damarrage

L0 Lc Figure 2.1

L0 est la longueur utile de lprouvette. La section de lprouvette S0 obit la relation L0 = K S0 . La valeur de K est diffrente pour chaque matriau. Par exemple K=5,65 pour les aciers (Norme NF A 03151). La longueur calibre, Lc = L0 + 2d . Leffort exerc sur les ttes damarrage croit progressivement et conduit la rupture de lprouvette. La machine enregistre un diagramme donnant la dformation de lprouvette en fonction de la charge : r r F F r M Fm r r M F Fm 0.002

r Fe

G A H Acier doux B Acier dur

B

O

dformation rmanente

L

O

dformation rmanente

L

Figure 2.2

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La courbe est gnralement compose dune partie linaire OA et dune partie non linaire AB. a) Domaine lastique Les efforts appliqus entranent un dplacement des atomes hors de leur position dquilibre et apparaissent des forces de rappel qui sopposent la dformation et qui tendent restaurer le solide dans sa forme originale lorsque lon cesse de le solliciter. Si lon effectue une dcharge dans le domaine lastique, le comportement est rversible et le matriau recouvre sa forme initiale. Pour les aciers doux, la rsistance lastique Re est dfinie comme tant le rapport de la charge la limite lastique par laire de la section S0 de la partie utile : r Fe Re = . Note aussi e S0 Lallongement relatif est donn par :

L L L0 = L0 L o L est lallongement total de L0 correspondant un effort donn. =Dans le domaine lastique, les dimensions de la section droite ne varient pratiquement pas. En tous les points de cette section, les contraintes normales sont uniformment rparties et gale :

=

N S

M A B Acier doux E O

La loi de proportionnalit entre la contrainte et lallongement relatif est appele Loi de Hooke : = E.

Rm ReH

E est appel module dlasticit longitudinal ou encore module de Young, il est exprim en N/mm2 ou en MPa.

Figure 2.3

Remarque : Cette formule nest valable que dans le domaine lastique. b) Domaine de plasticitr Au-del de la limite dlasticit, la suppression des efforts extrieurs F nentrane plus une disparition totale de la dformation. Pour comprendre ces comportements, il faut tudier les matriaux lchelle atomique. Ces dformations permanentes sont appeles dformations plastiques. Elles sexpliquent par le mouvement de dfauts liniques dans le matriau appels dislocations.

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La transition entre le domaine lastique et le domaine plastique est difficile dfinir pour certains matriaux. On utilise la limite conventionnelle dlasticit 0, 2% ( 0,002 ), donne par :

0,002 =

r F0,002S0

Dans le cas des aciers doux, on observe un plateau (AH), la dformation augmente sensiblement sans variation notable de leffort. Ce phnomne correspond un rarrangement atomique qui provient dun glissement des particules. Cela se traduit par un durcissement du matriau. Au point M, leffort appliqu atteint le maximum et sexplique par lapparition du phnomne de striction qui correspond un amincissement de la section de la zone utile lprouvette (gnralement au milieu). La rsistance la traction Rm est dfinie par :

Rm =

r FmS0

Lallongement pour cent (A %) est le rapport de lallongement de la longueur utile, mesure sur lprouvette casse, par la longueur initiale :A= Lu L0 .100 L0

Le coefficient de striction (z) est dfini par :S 0 Su S0 o S0 et Su sont les aires des sections initiale et finale de la zone qui subit la striction. z=

SuStriction Lu

S0

Figure 2.4La suppression progressive de leffort et son rtablissement au point C, donne lallure suivante :

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F

Fe 2 Fe1

C A H

M B

Acier doux

O

D

L

Figure 2.5La dcroissance de la charge se fait suivant CD et nous obtenons un allongement rmanent OD. Si on charge de nouveau (Segment DC + courbe CB, nous constatons que : * La limite lastique a augment. * Le palier correspondant au glissement des particules a disparu. Le phnomne est appel crouissage. Laugmentation de la limite lastique la traction augmente par contre la limite lastique la compression diminue. On appelle charge ultime la dernire valeur de Fu de la charge atteinte au cours de lessai pouss jusqu la rupture.

I.2 Contraction des dimensions transversalesOn constate exprimentalement que lallongement axial entraine une contraction des dimensions transversales. Dans le domaine lastique les contractions transversales tr sont proportionnelles la dilatation relative ( avec tr allongement perpendiculaire leffort appel allongement transerversal). tr = Le coefficient de proportionnalit (constant) est une caractristique du matriau. Il est appel coefficient de Poisson. LD0

D

L0

Figure 2.6

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Calculons la variation de volume de la poutre prismatique de section carre (cote a0 ) et de longueur initiale L0 . La longueur aprs dformation : L = L0 (1 + ) Laire de la section aprs dformation : S = a 2 = [ a0 (1 )]2

Le volume de la poutre aprs la dformation est : V + V = L0 a 2 (1 + )(1 ) 2 0 En ngligeant les termes 2 , 2 2 et 2 3 du dveloppement, on obtient : La dilatation volumique relative scrit := V = (1 2) V

V + V = L0 a 2 (1 + 2) 0

La dilatation volumique tant toujours positive la valeur du coefficient de Poisson, quel que soit le matriau, sera compris entre 0 et 0,5. Pour les matriaux isotropes 0,3 .

I.3 Condition de rsistance a) Conditions thoriques de rsistance Pour des raisons de scurit, la contrainte relative la section la plus sollicite doit rester infrieure une contrainte limite. Critre de Rankine La contrainte normale en tout poin du matriau doit tre infrieure ou gale la contrainte limite lastique lextension e (ou la compression) :

eCritre de Guest La contrainte tangentielle en tout poin du matriau doit tre infrieure ou gale la contrainte limite lastique au glissement e dtermine par lessai de torsion :

eb) Coefficient de scurit Pour tenir compte des incertitudes relatives la composition relle du matriau, ces proprits mcaniques, la conformit de la forme de la pice avec les hypothses de la RDM, la fatigue des matriaux ; les concepteurs sont conduits adopter un certain coefficient de scurit s : pe = e s

ou

p = e s

o pe et p sont appeles rsistances pratiques ou contraintes pratiques alors que pe et

p sont les limites lastiques. s varie de 1,2 5 environ suivant le genre de construction et la scurit que lon dsire.

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I.4 Concentration de contraintesQuand une poutre prsente de brusques variations de la section (trous, rainures, paulements), au voisinage du changement de section la distribution des contraintes nest plus uniforme.

r Fpaisseur e=cte rmax

r Fpaisseur e D d K L K

r FD

K

L

L

D

maxr F

max

d

r F

r F

Figure 2.7

Figure 2.8

Figure 2.9

On dfinit un coefficient Kt appel coefficient de concentration des contraintes tel que : Kt = max nom

avec max la contrainte maximale relle aux points K et L et nom la comtrainte nominale (moyenne) dans la section.max est calculable par la mthode des lments finis ou mesurable par photolasticimtrie et nom est calculable laide des formules de la RDM, par exemple dans le cas de la figure 2.9 r 4 F on a nom = . d 2 Le facteur Kt est un paramtre qui dpend uniquement de la gomtrie de la pice.

Les valeurs de Kt sont donnes sous forme dabaques et on en dduit directementmax = Kt .nom .

I.5 Rsistance la fatigue ou enduranceLorsque quune pice mcanique est soumise des sollicitations rptes la rupture par fatigue peut se produire par exemple dans une bielle ou un vilebrequin de moteur d'automobile, dans une aile d'avion ou dans les aubes d'une turbine. Ce type de rupture peut

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intervenir sous des contraintes bien infrieures la contrainte de rsistance la traction ou mme souvent infrieures la limite d'lasticit du matriau. Dans les essais de fatigue (flexion plane, flexion rotative, torsion, divers sous contraintes combines) trois paramtres sont pris en compte. amplitude de la dformation frquence dapplication des charges nombre de sollicitation

-

Exemple :

Essai dendurance sous amplitude constante. Courbe de Whler : (MPa)

350 300

Acier XC 10

D250

105 I

106

107 II

108

nombre de cycles

Sur la courbe de Whler on peut distinguer deux zones. Zone I dite "zone de fatigue" ou la rupture est atteinte aprs un nombre limit de cycles. Zone II dite "zone dendurance illimite" o la rupture nest pas atteinte avant un nombre trs lev de cycle, 108 le plus souvent. Dans de nombreux cas on peut tracer une asymptote la courbe de Whler. Celle-ci permet de connatre la limte dendurance D . La condition de rsistance la fatigue dans les conditions donnes damplitude, de frquence, de nombre de cycles scrit :

max D

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II. Compression simple II.1 Dfinition Une poutre est sollicite la compression si les efforts provoquant le raccourcissement de la poutre crent des forces de cohsion reprsentables par un tenseur dont le seul lment de r rduction au centre de chaque section droite est leffort normal N . II.2 Hypothses Pour carter le risque de flambement, la longueur L de la poutre doit tre infrieure 8 fois la dimension transversale la plus faible a : ( L 8a ). (pour une poutre cylindrique L 8d ) La section de la poutre ne doit pas prsenter une dimension trop petite a par rapport la plus grande b : a b 1, 5a II.3 Rsultats exprimentaux Les courbes enregistres lors des essais de compression sur des prouvettes ont les allures suivantes : r F r F r Fc r FcAcier doux Acier dur

L O L Pour un matriau donn sollicit dans le domaine lastique, la partie linaire de la courbe est de mme pente que celle observe en traction. Le module de Young est une caractristique du matriau qui nest pas influence par la nature de la sollicitation.O La limite lastique la compression est le rapport de la charge la limite lastique par laire de la section de lprouvette :

Rc =

r Fc S

note aussi c .

Pour les matriaux homognes et isotropes, la limite lastique la compression est voisine de la limite lastique la traction.

II.4 Condition de rsitance La condition de rsistance pour une contrainte normale de compression peut scrire :

max pcavec la contrainte pratique de compression pc = la limite lastique.

es

o s est le coefficient de scurit et e

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III Applications : Enveloppes minces III.1 Les enveloppes minces de rvolution a) Dfinition Une enveloppe mince de rvolution est engendre par la rotation dune surface plane S de faible largeur b autour dun axe de rotation (Oz) situ dans le plan P de la surface ( tubes utiliss dans les transmissions hydrauliques, rservoirs de gaz comprims, les coques de navires)r z

Avec :

b 1 R 10

P b

R

surface

En gnral ces enveloppes minces sont soumises une pression interne et ou externe due la prsence de liquides ou de gaz.

b) Cas dune canalisation de faible paisseur et de grande longueur Soit un rservoir cylindrique (E) de diamtre intrieur D , dpaisseur b de longueur l . Nous allons tudier le comportement de cette dernire sur un lment de longueur l . Soit p = pint pext la pression effective. Calcul des contraintes Soit une coupe de llement de lenveloppe cylindre suivant un plan duamtral.

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z

xpe

r dFe

l

pi

O D

d y

Bilan des forces qui sexercent sur le demi-cylindre :

Les forces distance : Les poids du fluide et de lenveloppe sont ngligs. Les forces de contact : * Dues la pression du fluideChaque lment de surface lmentaire dS r perpendiculaire la surface interne du tube dFe :r dFe = pdS = pRd .l

est soumis une force interne

Dans le repre R (O, x, y, z ) , on a :

dF

re

r r = p.R.l.d .(sin i + cos j )

Afin dobtenir la somme des forces de pression nous intgrons lexpression rapport entre les bornes 0 et :r r r Fe = Rlp (sin i + cos j )d r = D.l. p i0

dF

re

par

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* Dues aux forces de cohsionr Les conditions dquilibre scrivent : T fr = T fe i

Soit :

r r r f i = Fe = 0 rO

(1) (2)

M

r r r r ( fi ) = M O ( Fe ) = 0

r La somme des forces extrieures ( Fe ) dues la pression est dirige suivant (Ox), donc la somme des forces de cohsion a la mme direction. r Nous supposons que les contraintes t sont normales aux deux coupures fictives de surface bl .

Etant la faible paisseur b du tube, nous admettons que les contraintes sont uniformement rparties sur les deux sections de surface bl . 2 Rlp 2 t bl = 0 (1) ==>

t =Soit t =pD 2b

pR b

Lquation (2) est vrifie parce quil y a : Symtrie des charges et de lenveloppe par rapport au plan (Oxz) Une rpartition uniforme des contraintes.

Les rsultats sont indpendants du choix du plan de coupe contenant laxe de rvolution et sont applicables toutes les enveloppes minces de rvolution.

Etude des dformations

A lallongement de la circonfrence moyenne correspond un gonflement de la canalisation. Dans le domaine lastique la loi de Hooke scrit :

=

tE

=

pD 2 Eb

La variarion du diamtre est donne par :

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=

D pD pD 2 = D = D 2 Eb 2 Eb

c) Cas dun resevoir cylindrique contenant un gaz sous une pression effective p La pression sexerce sur la surface cylindrique intrieure et sur les fonds plats qui obturent les extrmits du resvoir.

Sur la surface cylindrique :r dFe = pdS

Sur les fonds plats :r dFl = pdA

Soit un point M suffisamment loign des extrmits des extrmits poue que les dformations lastiques ne soient pas influences par les plaques de fermeture. Pour calculer les contraintes au point M, nous appliquons la mthode de superposition. Les contraintes dues la traction transversales sont :

t =

pD 2b

Pour calculer les contarinte dues la traction longitudinale, on considre une coupe fictive dans le plan perpendiculaire laxe de rvolution et passant par le point M.

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RDM- GC- S2- 2011/2012 Bilan des forces :


Les forces distance : on nglige les poids de lenveloppe et du fluide Les forces de contact : - Les forces de pression :r D2 Fel = 4 p r Les forces de cohsion f il :

-

On suppose que les contraintes longitudinales sont normales au plan de coupe et uniformment rparties sur la section de surface (( R + b ) R 2 ) 2 Rb = bD on nglige2

le terme du second ordre en b 2 qui est inifinement petit. Les conditions d'quilibre donne donnent la relation :

l . bD =

D24

p

d'o :

l =

pD 4b

Au point M il y a la superposition des deux contraintes : t et l .

d) Cas dun resevoir sphrique contenant un gaz sous une pression effective pSoit une enveloppe sphrique de diamtre D et d'paisseur b, soumise une pression effective d'un fluide p.r df = p.dS '

De mme que prcdemment on montre que le torseur des efforts de cohsion se rduit l'effort normal N :N = p

( S ')

cos( )dS ' = p

D24

En supposant que les contraintes sont uniformmement rparties sur la section de surface S = Db On obtient la contrainte normale dans chaque section de la sphre :

=

pD 4b

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