Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 1)

CHEBYSHEV

Approximation

Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 2)

Remarque

• La courbe d’affaiblissement des filtres de Butterworth varie de façon monotone

• Ceci implique un écart entre spécifications et courbe de gain dans la bande passante sera toujours minimal à la fréquence de coupure et maximal à l’origine

• Cet écart est petit au droit de s et plus grand partout ailleurs en bande atténuée

• Filtre trop bon d’où ordre exagérément élevé

Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 3)

Approximation plus efficace Chebyshev Type I

• Diminution du degré: répartition de l’erreur de façon plus uniforme dans la bande passante

• Choix:

• Où le polynôme C oscillerait entre -1 et 1 de sorte que |K(j)|2 oscillerait entre 0 et 2

• Avec n fixé

)()( nCjK

Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 4)

Graphe

Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 5)

Approximation

• Les polynômes existent• Elle possède des zéros de réflexion en bande passante• Mais pas de zéros de transmission

Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 6)

Polynômes

• On appelle polynôme de Chebyshev d’ordre n le polynôme défini par:

1))]((arccoscosh[

1))](arccos(cos[)(

xpourxhn

xpourxnxCn

Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 7)

Équation récurrente

1)(

)(

)()(2)(

0

1

11

xC

xxC

avec

xCxCxC nnn

Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 8)

Points caractéristiques

1)1( nC

impairnsi

pairnsiCn 0

1)0(

11)(,1 etentrefoisnoscillexCxPour n

croissantsmonotonessontxCxPour n )(,1

10)( 2 etentreextremanprésentexCn

Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 9)

Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 10)

Ordre

)(arccos

)(arccos

))(arccos(cosh

)(

2

2

222

22

S

S

S

h

hn

hn

jK

Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 11)

Fonction de transfert

• n Partie entière

)(1

1)(

)1ln()(arccos

1)(arccos

110

110arccos

22

2

2

10

10

n

S

A

A

CjH

zzzh

h

h

n

M

m

Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 12)

Pôles

0)(1 22 j

pCn

H(p)H(-p) a 2n Pôles , sans zéros

Les 2n pôles sont racines de:

Ils appartiennent à une ellipse

)1

(arcsin1

2....1

)cosh()2

12cos()sinh()

2

12sin(

hn

nk

n

kj

n

kpk

Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 13)

Comportement Asymptotique

)1(0206,6log20log20

))(1

1log(10)(log20

22

nn

CjH

n

Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 14)

Conclusion

• À degré égal, un filtre de Chebyshev présente toujours une atténuation plus grande en bande atténuée qu’un filtre de Butterworth

• Un filtre de Chebyshev a un degré inférieur au Butterworth de mêmes spécifications

Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 15)

Chebyshev de type II

• Répartition uniforme en bande atténuée de l’erreur

• On force le passage de la courbe de gain par: 1 rad/sec, -AS dB

)1

()(

nC

jK

Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 16)

Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 17)

conclusions

• Pour mêmes spécifications, les degrés sont identiques pour Chebyshev de type I et II

• Courbes en amplitude équivalentes

• Leur réponses en phase sont très différentes:– Facteurs de qualité plus élevés pour type I donc des

délais de groupes moins constants en fréquence

Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 18)

propriétés

• permet de régler l’amplitude de l’ondulation en bande passante ou atténuée

• Pour Type I: ondulation en bande passante

• Pour Type II: ondulation dans la bande atténuée

1)(1

10

2

2

Hc

pairn

impairnH1

1

1)0( 2

Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 19)

Polynômes

Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 20)

Traitement de signalChapitre 10 (Diapositive n° 21)