Traitement Numérique d Images Principes de Base Jean-François Lerallut, UTC Veronica Medina, UAM Joaquin Azpiroz Leehan, UAM BM-06 Chapitre 3. Bases Lerallut,

Traitement Numérique d ’ImagesTraitement Numérique d ’ImagesPrincipes de BasePrincipes de Base

Jean-François Lerallut, UTCJean-François Lerallut, UTC

Veronica Medina, UAMVeronica Medina, UAM

Joaquin Azpiroz Leehan, UAMJoaquin Azpiroz Leehan, UAM

BM-06 Chapitre 3. Bases

Lerallut, Medina, Azpiroz© 1999 UTC-UAM

Lerallut, Medina, Azpiroz© 1999 UTC-UAMBM-06 Chapitre 3. Bases 2

Traitement Numérique d ’ImagesTraitement Numérique d ’ImagesPrincipes de BasePrincipes de Base

Rappels mathématiquesRappels mathématiques Le système visuel humainLe système visuel humain ColorimétrieColorimétrie Résolution spatiale et quantificationRésolution spatiale et quantification


Fonction de DiracFonction de Dirac

Définition:Définition:

x

xx

x

xx

,0

,)(

0,0

0,)(

Propriétés:Propriétés:

)()()(

)0()()(

1)(

00 xfdxxxxf

fdxxxf

dxx

)(x

x00

)( x

x0 0


Cas bidimensionnel :Cas bidimensionnel :

),(),(,0

,,),(

)0,0(),(,0

0,0,),(

yx

yxyx

yx

yxyx

..

..

..

),(),(),(

)0,0(),(),(

1),(

fdxdyyxyxf

fdxdyyxyxf

dxdyyx

xx yy

00

(x)(x)

xx yy

00

(x-(x-,y-,y-))


Séparabilité :Séparabilité :

)()(),( yxyx

k

xkxxs )()(

l k

ylyxkxyxs ),(),(

)()(),(

))((),(

)()(),(

2

2222

2

ysincxxcsinlimyx

yxxexplimyx

yRectxRectlimyx

Utilité : théorie de l'échantillonnageUtilité : théorie de l'échantillonnage

Autres définitions :Autres définitions :

Cas 2-D :Cas 2-D :

Peigne de Dirac :Peigne de Dirac :Répétition de la fonction de Dirac sur l'axe xRépétition de la fonction de Dirac sur l'axe x

)(xs

x0


« Brosse » de Dirac« Brosse » de Dirac

SpectreSpectre


Si f(x)=Heavyside, la réponse impulsionnelle s'obtient en dérivant g(x) Si f(x)=Heavyside, la réponse impulsionnelle s'obtient en dérivant g(x) dans le cas des S.L.dans le cas des S.L.

Cas 2-D :Cas 2-D :

f(x,y)= somme pondérée d'impulsions de Diracf(x,y)= somme pondérée d'impulsions de Dirac

Application à la réponse impulsionnelle des systèmes Application à la réponse impulsionnelle des systèmes linéaireslinéairesA partir de la fonction d'Heavyside :A partir de la fonction d'Heavyside :

)(,0

0,1)( x

dx

dH

ailleurs

xxH

ddyxfyxf ),(),(),(

xx

H(x)H(x)

11

f(x) h(x) g(x)f(x) h(x) g(x)


Soit g(x,y) la sortie correspondante d'un S.L. :Soit g(x,y) la sortie correspondante d'un S.L. :c-a-d : c-a-d :

ddyxfyxg ),(),(),(

),(),,,( yxhyxh

ddyxhfyxg ),(),(),(

),(),(),( yxhyxfyxg

ddyxfyxg

yxfyxg

),(),(),(

),(),(

C'est une équation de convolution qui s'écrit :C'est une équation de convolution qui s'écrit :

Pour un S.L. stationnaire (invariance d'espace) :Pour un S.L. stationnaire (invariance d'espace) :

Notons h(x,y,Notons h(x,y,,,) la réponse impulsionnelle du système :) la réponse impulsionnelle du système :

L'opérateur linéaire L'opérateur linéaire ne concerne que les fonctions dépendantes de (x,y),c-a-d : ne concerne que les fonctions dépendantes de (x,y),c-a-d :


Propriétés :Propriétés :

1

0

1

0

),(),(),(),(N

n

M

m

nymxgenmfeyxgeyxfe

y)t(x,*h]*[fy)]t(x,*y)[h(x,*y)f(x,

y)f(x,*y)h(x,y)h(x,*y)f(x,

Cas discret :Cas discret :


f(f())

11

11

g(g())

11

1/21/2

g(-g(-))

-1-1

1/21/2

g(x-g(x-))

-1-1

1/21/2

xx

f(f()g(x-)g(x-))

-1-1

1/21/2

xx

11

11

21 x

x-1x-1

xx

f(x)*g(x)f(x)*g(x)

11

1/21/2

22

f(f()g(x-)g(x-))

-1-1

1/21/2

xx

11

11

10 x


CorrélationCorrélation

Définition:Définition:1-D :1-D :

2-D :2-D :

dxgfxgxf )()()()(

ncorrelatiocrossgf

ationautocorrelgf

ddyxgfyxgyxf

2

),(),(),(),(

permet de connaître la " ressemblance " entre deux fonctions f permet de connaître la " ressemblance " entre deux fonctions f et g.et g.(Par ex, si f et g sont identiques à un décalage près, la valeur (Par ex, si f et g sont identiques à un décalage près, la valeur maximale de la fonction de cross-corrélation permet de maximale de la fonction de cross-corrélation permet de connaître la valeur de ce décalage.)connaître la valeur de ce décalage.)

Autre propriété : la transformée de Fourier de la fonction d'auto-Autre propriété : la transformée de Fourier de la fonction d'auto-corrélation est égale au carré du module de la TF de cette corrélation est égale au carré du module de la TF de cette fonction,fonction,c-a-d le spectre d'énergie de cette fonction f(x,y).c-a-d le spectre d'énergie de cette fonction f(x,y).


f(f())

11

11

g(g())

11

1/21/2

f(f()g(x+)g(x+))

1/21/2

11

11

10 x

xx

g(x+g(x+))

xx

1/21/2

11

f(f()g(x+)g(x+))

1/21/2

11

11

01 x

xx

xx11

1/21/2

-1-1

)()( xgxf


Si la variable est le temps, u est une fréquence.Si la variable est le temps, u est une fréquence.Si la variable est une distance, u est appelée " fréquence spatiale ".Si la variable est une distance, u est appelée " fréquence spatiale ".F(u) existe si :F(u) existe si :1) f(x) est bornée1) f(x) est bornée

2)2)

Transformée de FourierTransformée de Fourier

Rappel 1-D :Rappel 1-D :

dxexfuF uxj2)()(

dxxf )(

dxdyeyxfvuF vyuxj )(2),(),(

dudvevuFyxf vyuxj )(22

),(4

1),(

Transformée inverse :Transformée inverse :

Cas 2-D :Cas 2-D :


Remarques :Remarques :- Le noyau est séparable- Le noyau est séparable- F(u) complexe = R(u) + jI(u)- F(u) complexe = R(u) + jI(u)

Séparabilité :Séparabilité :

N

vyjN

y

M

x

M

uxj

jππvjππu

eeyxfMN

vuF

dyedxf(x,y)eF(u,v)

21

0

1

0

2

22

),(11

),(

f(x,y)f(x,y) f(u,y)f(u,y) F(u,v)F(u,v)

uuuu

vvyyyy

xx

Transformation Transformation sur les lignessur les lignes

Transformation Transformation sur les colonnessur les colonnes

1D1D 1D1D


Exemple 1-D :Exemple 1-D :

)()()(

)()(

2)(

12

)(

2)(

)()(

2

02

0

2

2

uXcsinAXeuXsinu

AuF

euXsinu

AuF

eeeuj

AuF

euj

AuF

euj

AdxAeuF

dxexfuF

uXj

uXj

uxjuXjuXj

uXj

XuxjX

uxj

uxj

xx

f(x)f(x)

AA

XX


AxAx

|F(u)||F(u)|

uu1/x1/x-1/x-1/x 2/x2/x-2/x-2/x


(a) Rectangle lumineux d ’intensité unité, de cotés a et b selon OX et Oy respectivement, (a) Rectangle lumineux d ’intensité unité, de cotés a et b selon OX et Oy respectivement, (b) et (c) la transformé de Fourier est le produit de deux fonctions en sinu/u et sinv/v (b) et (c) la transformé de Fourier est le produit de deux fonctions en sinu/u et sinv/v S(u,v)=ab sinc S(u,v)=ab sinc ua sinc ua sinc ubub


(a) Disque lumineux de diamètre D et d’intensité unité (objet à symétrie circulaire), (a) Disque lumineux de diamètre D et d’intensité unité (objet à symétrie circulaire), (b) et (c) la transformé de Fourier, également à symétrie circulaire, a pour méridienne la fonction(b) et (c) la transformé de Fourier, également à symétrie circulaire, a pour méridienne la fonction où où est le rayon et où J est le rayon et où J11 est la fonction de Bessel de première espèce est la fonction de Bessel de première espèce

D

)D(J

2

D 12 22 vu


TF discrète :TF discrète :f(x) échantillonnée selon N points, alors :f(x) échantillonnée selon N points, alors :

xNu

euFxf

et

exfN

uF

N

uxjN

u

N

uxjN

x

1

)()(

)(1

)(

21

0

21

0

1

0

1

0

)(2

),(1

),(N

x

N

y

N

vyuxj

eyxfN

vuF

En bidimensionnel : N échantillons par direction (Ox,Oy)En bidimensionnel : N échantillons par direction (Ox,Oy)


Propriétés de la TF :Propriétés de la TF :1) Linéarité1) Linéarité

sisi

et et

alorsalors

2) Translations2) Translations

),(),( vuFyxf F

),(),( vuGyxg F

),(),(),(),( vuGbvuFayxgbyxfa F

)(2

)(2

),(),(

),(),(1 byaxjF

bvaujF

eyxfbvauF

evuFbyaxf

),(1

)(b

v

a

uF

abbyaxf F

Une compression dans le domaine spatial entraîne une expansion Une compression dans le domaine spatial entraîne une expansion de l'étendue spectrale.de l'étendue spectrale.Une dilatation spatiale entraîne une compression du spectre.Une dilatation spatiale entraîne une compression du spectre.

La translation d'une image additionne une phase linéaire à la La translation d'une image additionne une phase linéaire à la phase originale, le module étant conservé.phase originale, le module étant conservé.Une translation du spectre produit une modulation par une Une translation du spectre produit une modulation par une exponentielle complexe.exponentielle complexe.

3) Similitude3) Similitude


Intégrer une image revient à multiplier son spectre par une Intégrer une image revient à multiplier son spectre par une fonction décroissante en fréquence.fonction décroissante en fréquence.

7) Valeur moyenne7) Valeur moyenne

d'où terme "continu"d'où terme "continu"

4) Rotation4) Rotationen coordonnées polaires :en coordonnées polaires :

alors alors

5) Dérivation5) Dérivation

wsinv

coswuet

sinry

cosrx

),(),( wFrf F ),(),( 00 wFrf F

),()2(),(

vuFujdx

yxfd nFn

n

),()2(

1)(),( vuF

ujdxyxf

nFn

1

0

1

0

1

0

1

02

),(1

)0,0(0

),(1

),(

N

x

N

y

N

x

N

y

yxfN

Fvu

yxfN

yxf

)0,0(1

),( FN

yxf

Dériver une image revient à multiplier son spectre par une Dériver une image revient à multiplier son spectre par une fonction croissante en fréquence.fonction croissante en fréquence.

6) Intégration6) Intégration

etet


8) Laplacien8) Laplacien

d'où d'où

(utilisation en détection de contours)(utilisation en détection de contours)

9) Convolution9) Convolution

2

2

2

22 ),(

y

f

x

fyxf

),()()2(),( 2222 vuFvuyxf F

),(),(),(),(

),(),(),(),(

vuGvuFyxgyxf

vuGvuFyxgyxfF

F

),(*),(),(),( vuGvuFyxgyxf F

2),(),(),( vuFyxfyxf F Spectre de puissance de fSpectre de puissance de f

AutocorrélationAutocorrélation

Une multiplication dans un domaine équivaut à une Une multiplication dans un domaine équivaut à une convolution dans l'autre.convolution dans l'autre.

10) Corrélation-Energie10) Corrélation-Energie

(G*: complexe conjugué)(G*: complexe conjugué)


TF discrète : exemplesTF discrète : exemples

Carre blanc Module FFT Perspective



Cercle blanc Module FFT Perspective



??

2 cercles Module FFT Profil d ’intensité


TF discrète : rotationTF discrète : rotation


TF discrète : exemple réelTF discrète : exemple réel


Mécanismes de la Vision:Mécanismes de la Vision:L’oeilL’oeil

Est le détecteur des signaux visuels, qui sont formés Est le détecteur des signaux visuels, qui sont formés à partir de la radiation électromagnétiqueà partir de la radiation électromagnétiquecorrespondante au spectre visible.correspondante au spectre visible.

Effectue la focalisation des images provenant de Effectue la focalisation des images provenant de

l’extérieur pour que la rétine puisse recevoir l’image.l’extérieur pour que la rétine puisse recevoir l’image. Ajustement de la quantité de lumière qui arrive sur la Ajustement de la quantité de lumière qui arrive sur la

rétine par l’iris.rétine par l’iris.


Mécanismes de la Vision:Mécanismes de la Vision:La RétineLa Rétine

Est la couche sensorielle de l’oeil. Est la couche sensorielle de l’oeil. Le tissu rétinien est formé de cinq Le tissu rétinien est formé de cinq types de cellules qui sont orga-types de cellules qui sont orga-nisées en couches et qui font la nisées en couches et qui font la transduction d’un signal électro-transduction d’un signal électro-magnétique (l’image) à un signal magnétique (l’image) à un signal électrochimique (la transmission électrochimique (la transmission nerveuse) nerveuse)

Effectue un prétraitement de l’information avant Effectue un prétraitement de l’information avant

de l’envoyer au cerveau à travers le nerf optique. de l’envoyer au cerveau à travers le nerf optique.


Distribution de cônes et de bâtonnetsDistribution de cônes et de bâtonnets(nombre de cellules par mm(nombre de cellules par mm22 vs angle) vs angle)


Mécanismes de la Vision:Mécanismes de la Vision:

CônesCônes 6.5 millions6.5 millions

dans la fovéadans la fovéa détectent la couleur détectent la couleur

et les détailset les détails réagissent à des réagissent à des

hauts niveaux hauts niveaux d’illuminationd’illumination

Haute résolution Haute résolution (1 minute d’arc)(1 minute d’arc)

BâtonnetsBâtonnets 130 millions130 millions autour de l’axe de autour de l’axe de

l’oeill’oeil réagissent au réagissent au

mouvementmouvement réagissent à des réagissent à des

bas niveaux bas niveaux d’illuminationd’illumination

Basse résolutionBasse résolution


Mécanismes de la Vision:Mécanismes de la Vision:caractéristiquescaractéristiques

Nature discontinue de la rétine et résolution de l ’œil:Nature discontinue de la rétine et résolution de l ’œil:•cônes espacés de 2,5 cônes espacés de 2,5 mm•focale cristallin ~2cmfocale cristallin ~2cm

=> acuité = 0,125 cm à 1m=> acuité = 0,125 cm à 1m

Champ de vision:Champ de vision:•rotation de l ’œil 30 à 40° d ’ou un champ de 70 à 100°rotation de l ’œil 30 à 40° d ’ou un champ de 70 à 100°•si >25° peu sensible aux détails mais perception mouvementssi >25° peu sensible aux détails mais perception mouvements


Un carré de la même intensité paraît plus foncé sur un fondUn carré de la même intensité paraît plus foncé sur un fondclair que sur un fond sombreclair que sur un fond sombre

Mécanismes de la Vision:Mécanismes de la Vision:caractéristiquescaractéristiques


Mécanismes de la Vision:Mécanismes de la Vision:LimitesLimites

128 148 128 138 Superposition


Mécanismes de la Vision:Mécanismes de la Vision:LimitesLimites

128 133 Superposition Fausse couleur


Mécanismes de l ’interprétation:Mécanismes de l ’interprétation:

« Les deux femmes »












PositionPosition PositionPosition

IntensitéIntensité

IntensitéIntensité

Effet de bandes de MachEffet de bandes de Mach


Effet intégrateur de l’oeilEffet intégrateur de l’oeil

reproductionreproduction Agrandissement de la reproductionAgrandissement de la reproduction


Effet différentiateur et intégrateur de Effet différentiateur et intégrateur de l’oeill’oeil


Mécanismes de la Vision:Mécanismes de la Vision: Inhibition LatéraleInhibition Latérale

•Excitation de A produit des Excitation de A produit des impulsions à une fréquence impulsions à une fréquence proportionnelle à l’intensité proportionnelle à l’intensité lumineuse.lumineuse.•Si les cellules B sont excitées Si les cellules B sont excitées aussi, celles-ci ihniberont les aussi, celles-ci ihniberont les impulsions produites par A.impulsions produites par A.•Une désinhibition de A est Une désinhibition de A est possible s’il existe d’autres possible s’il existe d’autres cellules C, proches de B qui les cellules C, proches de B qui les inhibent, mais qui n’agissent inhibent, mais qui n’agissent pas sur A, étant donné leur pas sur A, étant donné leur distance.distance.

Les connexions en parallèle et en rétroaction sont responsablesLes connexions en parallèle et en rétroaction sont responsables du phénomène d’inhibition latérale.du phénomène d’inhibition latérale.


Mécanismes de la Vision: Mécanismes de la Vision: Réponse spatiale des cellules rétiniennesRéponse spatiale des cellules rétiniennes

Si les réponses des cellules sont enregistrées spatialement, on obtientSi les réponses des cellules sont enregistrées spatialement, on obtient la réponse impulsionnelle spatiale, qui correspond à un filtre passe haut.la réponse impulsionnelle spatiale, qui correspond à un filtre passe haut.

Réponse spatiale des cellules rétiniennesRéponse spatiale des cellules rétiniennes..


Mécanismes de la Vision: Mécanismes de la Vision: Codification Neuronale au niveau de la rétineCodification Neuronale au niveau de la rétine

La compression de la dynamique au La compression de la dynamique au niveau de la rétine augmente la largeur niveau de la rétine augmente la largeur de bande transmissible par le nerf de bande transmissible par le nerf optiqueoptique– Canal de caractéristiques globales d’ Canal de caractéristiques globales d’

illumination (passe bas)illumination (passe bas)– Canal avec information des bords et lignes Canal avec information des bords et lignes

(passe bande)(passe bande)


Mécanismes de la Vision: Mécanismes de la Vision: Codification Neuronale au niveau des cellulesCodification Neuronale au niveau des cellules ganglionnaires et du noyau genouillé latéral ganglionnaires et du noyau genouillé latéral

Réponse aux stimulus des disques Réponse aux stimulus des disques lumineux sur la rétinelumineux sur la rétine– un centre excitateur et un pourtour un centre excitateur et un pourtour

inhibitoire (nommés zone "on") inhibitoire (nommés zone "on") – ou d’une configuration inverse (zone ou d’une configuration inverse (zone

"off")."off").


Mécanismes de la Vision: Mécanismes de la Vision: Codification Neuronale au niveau CorticalCodification Neuronale au niveau Cortical

Neurones “simples” répondant aux barres lumineuses sur la Neurones “simples” répondant aux barres lumineuses sur la rétine au lieu de répondre aux disques lumineux.rétine au lieu de répondre aux disques lumineux.

Neurones “complexes” se comportant comme si leur Neurones “complexes” se comportant comme si leur information provenait de multiples cellules simples, toutes information provenait de multiples cellules simples, toutes avec leurs champs de réception avec la même orientation, avec leurs champs de réception avec la même orientation, mais provenant de localisations légèrement différentes.mais provenant de localisations légèrement différentes.

Cellules “hypercomplexes” similaires, mais en plus de Cellules “hypercomplexes” similaires, mais en plus de l’orientation spécifique, il doit exister une discontinuité dans le l’orientation spécifique, il doit exister une discontinuité dans le champ de réception, comme dans le cas de la fin d’une ligne champ de réception, comme dans le cas de la fin d’une ligne ou le coin d’une figure géométriqueou le coin d’une figure géométrique..


Mécanismes de la Vision: Mécanismes de la Vision: Codification Neuronale Codification Neuronale

Cellules:Cellules:1:ganglionnaires1:ganglionnaires2:simples2:simples3:complexes3:complexes4:hypercomplexes4:hypercomplexes

Types de stimulus auxquels les cellules de la voie visuelle répondentTypes de stimulus auxquels les cellules de la voie visuelle répondent


Mécanismes de la Vision: Mécanismes de la Vision: Modèle Cortical de Hubel & WieselModèle Cortical de Hubel & Wiesel

Ilôt avec un ensemble de feuilletsIlôt avec un ensemble de feuilletscorrespondant à toutes les correspondant à toutes les orientations possibles, codées sur orientations possibles, codées sur une trentaine de directions et un une trentaine de directions et un autre ensemble de feuillets à autre ensemble de feuillets à dominance oculaire alternée dominance oculaire alternée gauche et droite (1 mmgauche et droite (1 mm22 de de surface et 2 mm de épaisseur).surface et 2 mm de épaisseur).

Organisation en colonnesOrganisation en colonnes pour la dominance oculairepour la dominance oculaire (D=droir, G=gauche)(D=droir, G=gauche) et pour la réponse à l’orientation.et pour la réponse à l’orientation.


Vision polychromeVision polychrome

Trois types de cône sensibles à différentes Trois types de cône sensibles à différentes radiations du spectre visible.radiations du spectre visible.

ColorimétrieColorimétrie Synthèse additive: plusieurs radiations Synthèse additive: plusieurs radiations

monochromatiques combinéesmonochromatiques combinées

Synthèse soustractive: lumière blanche Synthèse soustractive: lumière blanche filtréefiltrée

Expérience fondamentale: égaliser la Expérience fondamentale: égaliser la perception d ’une couleur, due à une source perception d ’une couleur, due à une source colorée quelconque, et due à la colorée quelconque, et due à la superposition de sources prédéfinies. Les superposition de sources prédéfinies. Les meilleurs résultats sont obtenus avec RVBmeilleurs résultats sont obtenus avec RVB


Système RVBSystème RVB

A partir de trichromie et théorie de Maxwell:A partir de trichromie et théorie de Maxwell:

RVB couleurs primaires pour reproduire une RVB couleurs primaires pour reproduire une couleurcouleurquelconque.quelconque.• Rouge:Rouge:700,0 nm700,0 nm• Vert:Vert: 546,1 nm 546,1 nm• Bleu:Bleu: 435,8 nm 435,8 nm

Système additif: mélange de trois couleurs Système additif: mélange de trois couleurs primaires.primaires.(rouge, vert, bleu)(rouge, vert, bleu)Système soustractif: objets translucides, Système soustractif: objets translucides, imprimantesimprimantes(cyan, magenta, jaune)(cyan, magenta, jaune)


Système TLSSystème TLS

• Luminance:Luminance: énergie lumineuse globale reçue par énergie lumineuse globale reçue par l ’œil (blanc=100%, noir = 0%).l ’œil (blanc=100%, noir = 0%).

• Teinte:Teinte: caractérise la longueur d ’onde (couleur) caractérise la longueur d ’onde (couleur)

• Saturation:Saturation: caractérise le ton « pastel » ou « vif » caractérise le ton « pastel » ou « vif » d ’une couleurd ’une couleur


ColorimétrieColorimétrie

Affichage de 256 couleurs Affichage de 256 couleurs Agrandissement d ’un TRC couleurAgrandissement d ’un TRC couleur


EchantillonnageEchantillonnage


EchantillonnageEchantillonnage


Fonction d ’échantillonnage bidimensionnelleFonction d ’échantillonnage bidimensionnelle

ailleurs

yxyx

0

0),(

1),( dxdyyx

l k

ylyxkxyxs ),(),(

• Fonction d’échantillonnageFonction d’échantillonnage

avecavec

• Fonction delta 2-DFonction delta 2-D

• Transformation de Fourier d’une fonction d’échantillonnage Transformation de Fourier d’une fonction d’échantillonnage

yv

xu

vjvuiuvuSi j

2,

2

),(),(


• Fonction d’échantillonnage bidimensionnelleFonction d’échantillonnage bidimensionnelle

• Transformation de Fourier d’une fonction d’échantillonnage Transformation de Fourier d’une fonction d’échantillonnage

yy

xx

xxyy

vv

uu

v=2v=2//yyu=2u=2//xx


Echantillonnage: allure des spectresEchantillonnage: allure des spectres

• Spectre d’une image continueSpectre d’une image continue

PuissancePuissance

uuvv

Fonction à support bornéFonction à support borné

• Spectre d’une image « échantillonnée »Spectre d’une image « échantillonnée »

• Théorème de convolutionThéorème de convolution

),(),(),( yxsyxfyxf cd

),(),(),( vuSvuFvuF cd


Spectre d ’une image « échantillonnée »Spectre d ’une image « échantillonnée »

Spectre de bande principaleSpectre de bande principale

u =2u =2//xxv =2v =2//yy

Réplication des spectresRéplication des spectres


f(x,y)f(x,y)

ffee(x,y)(x,y)

(x,y)(x,y)

F(u,v)F(u,v)

FFdd(u,v)(u,v)

uu

uu

vv

vv

yyyy

yy

xxxx

xx


• Densité d ’échantillonnageDensité d ’échantillonnage

SuréchantillonnéSuréchantillonné Sous-échantillonnéSous-échantillonné(Repliement en fréquence)(Repliement en fréquence)

• Critère de NyquistCritère de Nyquist

yv

xu

pourvuF

2

2

0),(


Erreurs de recouvrementErreurs de recouvrement


Erreur de recouvrement: effet de MoiréErreur de recouvrement: effet de Moiré


Résolution spatialeRésolution spatiale

Images échantillonnéesImages échantillonnéesà 256 x 256, 128 x 128,à 256 x 256, 128 x 128,64 x 64 et 32 x 32 pixels.64 x 64 et 32 x 32 pixels.

On peut observer qu’à On peut observer qu’à partir d’un sous-échantil-partir d’un sous-échantil-lonnage de 4:1, correspon-lonnage de 4:1, correspon-dant à l’image de 64 x 64dant à l’image de 64 x 64pixels, la dégradation est pixels, la dégradation est si grande que l’image ne si grande que l’image ne peut pas être utilisée.peut pas être utilisée.


Reconstruction de l’image initialeReconstruction de l’image initiale

• Filtrage passe-basFiltrage passe-bas

Filtre idéalFiltre idéal

• InterpolationInterpolation

Fonction d’interpolation idéaleFonction d’interpolation idéale

),(),(),(ˆ vuHvuFvuF d

yv

xu

ailleurs

pourvuH

2,

2

0

1),(

),(),(),(ˆ yxhyxfyxf d

)),((),( vuHFyxh -1

yx

)yy

2sin()x

x2

sin(1

2


• Spectre de l’image échantillonnéeSpectre de l’image échantillonnée

• Filtre idéal: H(u,v)Filtre idéal: H(u,v)

uu

vv

vv

uu

x

xsin

uu

vv

Bessel


Reconstruction de l’image initialeReconstruction de l’image initiale

• Fonction image discrétiséeFonction image discrétisée

• Fonction d’interpolation idéaleFonction d’interpolation idéale

• Fonction image reconstruiteFonction image reconstruite

ffdd(x)(x)

h(x)h(x)

ffdd(x)*h(x)(x)*h(x)


h(x)h(x)

H(u)H(u)

xx

Perte de résolutionPerte de résolution

Repliement en fréquenceRepliement en fréquence

IdéalIdéal

RéelRéel

--xx ++xx

-2-2//xx +2+2//xx


• Rectangulaire (interpolation de degré zero)Rectangulaire (interpolation de degré zero)

Fonctions d’interpolationFonctions d’interpolation


• Triangulaire (interpolation de degré 1)Triangulaire (interpolation de degré 1)

• Reconstruction résultanteReconstruction résultante

h(x)h(x)

H(u)H(u)

xx

Perte de résolutionPerte de résolution

Repliement en fréquenceRepliement en fréquence

IdéalIdéal

RéelRéel

--xx ++xx

-2-2//xx +2+2//xx



Quelques filtresQuelques filtres

ouverture circulaireouverture circulaire

ouverture gaussienneouverture gaussienne

ouverture carréeouverture carrée


Erreurs de reconstructionErreurs de reconstruction

• Spectre de Fourier d’une image discretiséeSpectre de Fourier d’une image discretisée

• Perte de résolutionPerte de résolution

)puissance()v,u(F)v,u(F)v,u(S *

dudv)v,u(S

dudv)v,u(H)v,u(Sdudv)v,u(Sx

2

x

2

y

2

y

2

2

R

Energie dans la bande principale - Energie du signal filtréEnergie dans la bande principale - Energie du signal filtréEnergie dans la bande principaleEnergie dans la bande principale==


• Erreur d’interpolation (repliement)Erreur d’interpolation (repliement)

dudv)v,u(H)v,u(S

dudv)v,u(Sdudv)v,u(H)v,u(S

2

x

2

x

2

y

2

y

2

2

H

Energie totale du signal filtré - Energie dans la bande principaleEnergie totale du signal filtré - Energie dans la bande principaleEnergie totale du signal filtréEnergie totale du signal filtré==


Erreurs comparatives pour plusieurs Erreurs comparatives pour plusieurs fonctions d’interpolationfonctions d’interpolation

yx8x3W

yx2xW

yx8x5W


QuantificationQuantification

•L’œil humain peut distinguer 30 niveaux de gris L’œil humain peut distinguer 30 niveaux de gris

(approximativement 5 bits). (approximativement 5 bits).

•Fréquemment on utilise 128 et 256 niveaux de gris dans Fréquemment on utilise 128 et 256 niveaux de gris dans les systèmes d’affichage pour obtenir une bonne qualité.les systèmes d’affichage pour obtenir une bonne qualité.

•Si on utilise un nombre inférieur de niveaux, des fauxSi on utilise un nombre inférieur de niveaux, des fauxcontours peuvent être introduits, en plus d’autres artéfacts.contours peuvent être introduits, en plus d’autres artéfacts.



128 64 32 16

Affichage des images avec différents niveaux de grisAffichage des images avec différents niveaux de grisdes contours apparaissent dans les images de 32 et 16 niveauxdes contours apparaissent dans les images de 32 et 16 niveaux



8 4 2

Affichage des images avec différents niveaux de grisAffichage des images avec différents niveaux de grisLes images ont une apparence définitivement artificielle.Les images ont une apparence définitivement artificielle.


Compromis :Compromis :Résolution spatiale / QuantificationRésolution spatiale / Quantification

La résolution spatiale ou échantillonnage, a une La résolution spatiale ou échantillonnage, a une relation avec la relation avec la quantification,quantification, ou le nombre de ou le nombre de niveaux de gris qu’on puisse montrer dans l’image, et niveaux de gris qu’on puisse montrer dans l’image, et avec la quantité de avec la quantité de détailsdétails qui se trouve dans la qui se trouve dans la même image. même image.

Il n ’y a pas de règles définies entre ces variables. La Il n ’y a pas de règles définies entre ces variables. La qualité de l’image dépend de ses caractéristiques et qualité de l’image dépend de ses caractéristiques et de la réponse des observateurs.de la réponse des observateurs.

En imagerie médicale, les diverses modalités ont leurs En imagerie médicale, les diverses modalités ont leurs caractéristiques propres ( 64 x 64 -> 4000 x 4000 )caractéristiques propres ( 64 x 64 -> 4000 x 4000 )

ATTENTIONATTENTION au au volumevolume ! ( 4096 bytes -> 16 Mbytes) ! ( 4096 bytes -> 16 Mbytes)


256 x 256 pixels8 bits / pixel64 Koctets

512 x 512 pixels24 bits / pixel768 Koctets

Exemple bien connu : LENA


ConclusionConclusion

La connaissance du système visuel humain La connaissance du système visuel humain est très importante:est très importante: Le SVH détermine les caractéristiques du nombre Le SVH détermine les caractéristiques du nombre

de niveaux de gris et la résolution spatiale de niveaux de gris et la résolution spatiale nécessaires.nécessaires.

Les caractéristiques du SVH sont utilisées dans Les caractéristiques du SVH sont utilisées dans plusieurs techniques d’affichage et de plusieurs techniques d’affichage et de compression d’images. compression d’images.

D’autres applications (ciné, vidéo, télévision par D’autres applications (ciné, vidéo, télévision par satellite) utilisent également des techniques satellite) utilisent également des techniques exploitant les caractéristiques du SVH.exploitant les caractéristiques du SVH.

Documents

Traitement Numérique d Images Principes de Base Jean-François Lerallut, UTC Veronica Medina, UAM Joaquin Azpiroz Leehan, UAM BM-06 Chapitre 3. Bases Lerallut,