TRAITER L’INFORMATION SYSTEMES DE NUMERATIONsii-technologie.spip.ac-rouen.fr/IMG/pdf/bac_s_si_les_systemes_de... · D’un alphabet: les signes ou symboles disponibles pour la représentation

LYCEE JACQUES PREVERT Sciences de l’ingénieur

COURS BAC S SI – TRAITER L’INFORMATION - SYSTEMES DE NUMERATION Fabrice DESCHAMPS

1 / 1

TRAITER L’INFORMATION

SYSTEMES DE NUMERATION

INTRODUCTION

Nous sommes habitués, depuis notre enfance à utiliser le système numérique

décimal, à tel point que nous ne voyons même plus la manière dont ce système

fonctionne, tant c’est devenu un automatisme.

Système décimal, pourquoi ? Parce qu’il utilise une numérotation à 10 chiffres.

On dit que c’est un système en base 10.

Pour la petite histoire, on a utilisé un système base 10 car nos ancêtres ont

commencé à compter sur leurs 10 doigts, pas besoin d’aller chercher plus loin.

les ordinateurs qui fonctionnent en utilisant les propriétés de l’électricité, ne

connaissent que les 1 ou les 0. C’est la raison pour laquelle, dès que l’on aborde le

monde des systèmes numériques, il est nécessaire pour leur bonne compréhension

de connaître certaines bases de numération (binaire, décimale et hexadécimale)

et d’être capable d’effectuer des conversions entre-elles. De plus, ces systèmes pour

pouvoir communiquer entre-autre (vers un autre système ou vers l’homme) utilisent

certains codes (ASCII, …), eux aussi à connaître.

Définition : la numération

La numération décrit la façon dont les nombres sont représentés. Un système de

numération est composé :

D’un alphabet : les signes ou symboles disponibles pour la représentation des

nombres

Des règles d’écriture : elles définissent comment un nombre est construit à

partir des symboles de l’alphabet.

Exemple : Le système de numération romaine

L’alphabet : il est composé uniquement de 7 symboles (le 0 n’existe pas dans ce

système)

Symbole romain I V X L C D M

Valeur

décimale 1 5 10 50 100 500 1000

Les règles d’écriture :

Un symbole placé à la droite d’une autre figurant une valeur supérieure ou

égale à la sienne s’ajoute à celui-ci.

Ex : VI donne 6



2 / 2

Un symbole placé immédiatement à la gauche d’un symbole plus fort que lui,

indique que le nombre qui lui correspond doit être retranché au nombre qui

suit.

Ex : IV donne 4

Les valeurs sont groupées en ordre décroissant, sauf pour les valeurs à

retrancher selon la règle précédente.

Ex : CCXLIII donne 243

Le même symbole ne peut pas être employé quatre fois consécutivement

sauf M.

Ex : le nombre 9 ne s’écrit pas VIIII mais IX.

Remarque : Ce système est très mal adapté pour le calcul.

LES PUISSANCES DE DIX

Pour commencer, rappelons ce que valent les premières puissances de 10 :

100 = 1

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

104 = 10 000

105 = 100 000

106 = 1000 000

A l’aide de ces puissances il est possible d’écrire n’importe quel nombre entier.

2548 = 2000 + 500 + 40 + 8

Or 2000 = 2 x 1000 = 2 x 103

500 = 5 x 100 = 5 x 102

40 = 4 x 10 = 4 x 101

8 = 8 x 1 = 8 x 100

Ce qui donne : 2548 = 2 x 103 + 5 x 102 + 4 x 101 + 8 x 100

ECRITURE DE LA BASE

La position des chiffres à également une grande importance.

Les chiffres les moins significatifs se situent à droite du nombre, et leur importance

augmente au fur et à mesure du déplacement vers la gauche.

En effet, dans le nombre 502, le 5 à une plus grande importance que le 2.

En réalité, chaque chiffre que l’on appelle DIGIT, à une valeur qui dépend de son

rang.

REGLE : On élève la BASE utilisée à la puissance du rang du DIGIT, on

multiplie par le chiffre du rang et on additionne l’ensemble.

Cette règle est applicable dans toutes les bases.



3 / 3

Exemples en base 10

Soit le nombre 502

5 0 2

502 = 5 x102 + 0 x101 + 2 x100

Soit le nombre 26043

2 6 0 4 3

26 043 = 2 x104 + 6 x103 + 0 x102 + 4 x101 + 3 x100

384 625 268 = 3 x108 + 8 x107 + 4 x106 + 6 x105 + 2 x104 + 5 x103 + 2 x102

+ 6 x101 + 8 x100

Quand on a compris ce principe, on peut comprendre n’importe quel système de

numérotation.

SYSTEME BINAIRE

Pour nous les humains, cela ne pose pas de problème de compter sur nos 10 doigts,

mais pour les ordinateurs, cela n’est pas possible.

Ils ne savent faire la distinction qu’entre deux niveaux (présence ou absence de

tension).

Le système de numérotation décimal est donc inadapté.

On comprend ainsi facilement que le seul système adapté est donc un système en

base 2, appelé système binaire.

Ce système ne comporte que 2 chiffres, le 0 et le 1 qu’on appelle BIT

(BInary uniT ou unité binaire).

Rang 0 Rang 4

Rang 1 Rang 3

Rang 2

Rang 0

Rang 1

Rang 2



4 / 4

RAPPEL DE NUMERATION

Un mot binaire de « n » bits s’écrit avec des éléments binaires prenant pour valeur

0 ou 1.

On appelle LSB ( Least Significant Bit ) le bit de poids le plus faible.

On appelle MSB ( Most Significant Bit ) le bit de poids le plus fort.

Exemple : Mot de 8 bits 1 0 1 0 1 0 0 1

CONVERSION D’UN NOMBRE BINAIRE EN DECIMAL

Si l’on applique le même algorithme pour le binaire que l’on a appliqué

précédemment pour le décimal, on peut écrire :

1 0 1 0 1 0 0 1 = 1 x 27 + 0 x 26 + 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23+ 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20

= 128 + 0 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1

= 169

Poids binaires 128 64 32 16 8 4 2 1

Valeur

décimale 27 26 25 24 23 22 21 20

169 1 0 1 0 1 0 0 1

128 + 32 + 8 + 1 = 169

Pour trouver la valeur décimale du mot binaire de 8 bits, on peut aussi l’écrire dans

un tableau et additionner les poids binaires de chaque colonne dont la valeur est

égale à 1.

APPLICATION 1

En s’inspirant des exemples précédents, convertir les nombres binaires suivants en

décimal :

0011 1001 (b) = ………………...............……………………………………………………….

1100 1011 (b) = ……………………………………………………....……..........……..……….

1111 0110 (b) = ………….................………………………………………………………….

1101 1011 (b) = …......................………………………………………………………….

MSB LSB



5 / 5

SYSTEME HEXADECIMAL

La représentation de nombre binaires n’est pas évidente à gérer, et écrire une

succession de 1 et de 0 représente une grande source d’erreurs.

Il fallait donc trouver une solution plus pratique pour représenter les nombres binaires.

On a décider de couper chaque OCTET (8 bits) pour en faire deux QUARTETS et de

représenter chaque partie par un chiffre.

Le système hexadécimal est composé de 16 chiffres :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Exemple : En binaire : 1 0 1 0 1 0 0 1 mot de 8 bits

1 0 1 0 1 0 0 1

1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 = 10 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 0 x 20 = 9

A 9

En hexadécimal : A 9 (A représente 10 en hexadécimal)

Comme un QUARTET peut varier de 0000 à 11111, on constate que l’on obtient une

valeur comprise entre 0 et 15, cela fait 16 combinaisons.

Les 10 chiffres du système décimal ne suffisaient donc pas pour coder ces valeurs.

Plutôt que d’inventer 6 nouveaux symboles, il a été décidé d’utiliser les 6 premières

lettres de l’alphabet comme CHIFFRES.

Ce système de numérotation est appelé système HEXADECIMAL ( Base 16)

Le système hexadécimal est simplement une représentation plus efficace des

nombres binaires qui sont difficiles à manipuler.

Chiffres A B C D E F

Valeurs 10 11 12 13 14 15

Ainsi 12 s’écrit C et 14 s’écrit E.

Puissance de 16 163 162 161 160

Valeur décimale 4096 256 16 1



6 / 6

TABLEAU DE CONVERSION DES DIFFERENTS QUARTET

Binaire Hexadécimal Décimal

0000 0 0

0001 1 1

0010 2 2

0011 3 3

0100 4 4

0101 5 5

0110 6 6

0111 7 7

1000 8 8

1001 9 9

1010 A 10

1011 B 11

1100 C 12

1101 D 13

1110 E 14

1111 F 15

CONVERSION D’UN NOMBRE HEXADECIMAL EN DECIMAL

Là encore, la méthode de conversion étudiée dans le paragraphe précédent va

s’appliquer.

3D4F (h) = 3 x 163 + D x 162 + 4 x 161 + F x 160

= 3 x 4096 + 13 x 256 + 4 x 16 + 15 x 1

= 15 695 (d)

5ACD (h) = 5 x 163 + A x 162 + C x 161 + D x 160

= 5 x 4096 + 10 x 256 + 12 x 16 + 13 x 1

= 23 245 (d)

APPLICATION 2

En s’inspirant des exemples précédents, convertir les nombres hexadécimaux

suivants en décimal :

28EF (h) = ……………………………………………………………………….

ABF9 (h) = ……………………………………………………………………….

FFEF (h) = ……………………………………………………………………….

B5D2 (h) = ……………………………………………………………………….



7 / 7

APPLICATION 4

Compléter le tableau ci-dessous correspondant à un mot de 8 bits.

Ce tableau va posséder 2n combinaisons ( 28 combinaisons = 256) ( 256 lignes)

128 64 32 16 8 4 2 1

Valeur

hexadécimale

Valeur

décimale 27 26 25 24 23 22 21 20

00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

01 1 0 0 0 0 0 0 0 1

02 2 0 0 0 0 0 0 1 0

03 3 0 0 0 0 0 0 1 1

… …. … … … … … … … …

53

54

….

117

118

….

181

182

… …. … … … … … … … …

252

253

254 1 1 1 1 1 1 1 0

FF 255 1 1 1 1 1 1 1 1

OPERATIONS EN BINAIRE

L’ADDITION

On applique le mécanisme de l’addition dans notre système décimal et on

l’applique à la base 2

207

+ 321

= 528

Dans cet exemple, les chiffres de chaque colonne s’ajoutent : comme on n’atteint

jamais 10 ( la base, ne pas l’oublier ), il n’y a aucun problème.



8 / 8

Il en va de même dans les additions binaires suivantes car les totaux ne dépasseront

jamais 2 ( valeur de la base binaire ) :

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

101100 100011

+ 010001 + 000100

= 111101 = 100111

Addition avec retenue :

1

447

+ 223

= 670

1

10001

+ 01001

= 11010

Autre exemples :

1 1 11

100101 101011

+ 000101 + 010011

= 101010 = 111110

APPLICATION 5

Effectuer l’addition des mots binaires suivants :

111011

+ 011101

Dans cette addition décimale, 7 et 3 donnent 10, c’est à dire très

précisément la valeur de la base.

On écrit alors 0 au-dessous des chiffres 7 et 3 puis on reporte 1 dans

la colonne suivante.

Nous procèderons exactement de la même façon avec le système

binaire.

Dans cette addition binaire, 1 et 1 donnent 2, c’est à dire très

précisément la valeur de la base.

On écrit alors 0 au-dessous des chiffres 1 et 1 puis on reporte 1 dans

la colonne suivante.

Nous procédons exactement de la même façon qu’avec le

système décimal.

0111001

+ 0111111

10111001

+ 01100101



9 / 9

OPPOSE D’UN NOMBRE BINAIRE

Méthode du complément à deux

Pour obtenir l’inverse du nombre 10001

On écrit le nombre sur 8 chiffres en rajoutant des 0 devant :

0001 0001

On remplace chaque 0 par 1 et chaque 1 par 0 :

1110 1110

On ajoute 0000 0001 à ce résultat :

1110 1111

Le nombre que l’on obtient est appelé inverse ou complément à deux sur huit

chiffres du nombre de départ.

Vérification :

Si l’on ajoute deux nombres opposés, on obtient un résultat nul

0001 0001 (b) = + 17 (d)

1110 1111 (b) = - 17 (d)

0000 0000 0

APPLICATION 6

Donner l’opposé des mots binaires suivants en notant les phases intermédiaires :

11001

111010

1100111



10 / 10

LA SOUSTRACTION

Quand on souhaite effectuer une soustraction en binaire, on cherche l’opposé du

nombre à soustraire, et on l’ajoute au premier nombre.

Soit à calculer 101000 – 10111

On cherche l’opposé du deuxième terme ( 10111) en mode complément à 2.

On écrit sur 8 chiffres le nombre : 0001 0111

On inverse chaque chiffre : 1110 1000

On ajoute 1 à ce résultat : 1

L’opposé du nombre est : 1110 1001

On pose alors l’opération : 111 1

0010 1000

+ 1110 1001

(1) 0001 0001

La réponse est : 101000 – 10111 = 10001

APPLICATION 7

Effectuer la soustraction des mots binaires suivants :

111011

- 11101

OPERATIONS EN HEXADECIMAL

L’ADDITION

Rappelons la correspondance entre les 6 lettres de l’alphabet :

A B C D E F

10 11 12 13 14 15

34B5 5 + 4 = 9

+ 6614 B + 1 = 11 + 1 = 12 = C

4 + 6 = 10 = A

= 9AC9 3 + 6 = 9

0111001

- 111111

10111001

- 1100101



11 / 11

Addition avec retenue :

1

5264 4 + E = 18 (16 en retenue + 2 au résultat)

+ A32E 1 + 6 + 2 = 9

2 + 3 = 5

= F592 5 + A = 5 + 10 = 15 = F

La retenue qui correspond à 10 dans notre système décimal est égale à 16 dans le

système hexadécimal.

Quand on pose la retenue sur la deuxième colonne, il reste 2 à écrire comme chiffre

de droite de la réponse.

1 1

4BC3 3 + F = 18 (16 en retenue + 2 au résultat)

+ 2A2F 1 + C + 2 = F

B + A = 11 + 10 = 21 (16 retenue + 5 au résultat)

= 75F 2 1 + 4 + 2 = 7

111

FFFF F + F = 15 + 15 = 30 (16 en retenue + 14)

+ FFFF 1 + F + F = 1 + 15 + 15 = 31 (16 en retenue + 15 donc F)

1 + F + F = 1 + 15 + 15 = 31 (16 en retenue + 15 donc F)

= 1FFFE 1 + F + F = 1 + 15 + 15 = 31 (16 en retenue + 15 donc F)

1 retenue à remettre au résultat

Application 8

Effectuer les additions suivantes :

DAE

+ F 5

LA SOUSTRACTION

Le calcul d’une différence s’effectue de la même manière qu’en décimal :

9AE7 7 – 3 = 4

+ 49B3 E – B = 14 – 11 = 3

10 – 9 = 1

= 5134 9 – 4 = 5

Soustraction avec retenue :

9B514 4 – 9 = (4+16) – 9 = 11 = B

+ 6A2 9 5 – 3 = 5 – (2 + 1 de retenue ) = 2

B – A = 11 – 10 = 1

= 312 B 9 – 6 = 3

23CB

+ 54BD

24A6

+ 5FBE



12 / 12

On a tendance à dire 9 ôté de 14,la force de l’habitude nous faisant rajouter une

dizaine à 4.

En réalité, puisque nous sommes en hexadécimal, ce n’est pas dix que l’on doit

ajouter à 4 mais seize.

Il s’agit alors de faire 9 ôté de 20 : reste 11 c’est à dire B.

Bien sûr, la retenue ne doit pas être perdue dans la suite des calculs.

41A 815 5 – E = 5 – 14 = (5+16) – 14 = 7

+ 1 F 2 E 8 – 2 = 8 – (2 + 1 de retenue ) = 5

A – F = 10 – 15 = (10+16) – 14 = 12 = C

= 2 B 5 7 4 – 2 = 4 - (1 + 1 de retenue ) = 2

A1B1C1D D – F = 13 – 15 = (13+16) – 15 = 14 = E

+ 2 F F F C – (F+1) = 12 – (15+1) = (12+16) – (15+1) = 12 = C

B – (F+1) = 11 – (15+1) = (11+16) – (15+1) = 11 = B

= 7 B C E A – (2+1) = 10 – (2+1) = 7

Application 9

Effectuer les soustractions suivantes :

DAE

- F 5

Application 10

Donner la valeur en binaire et en hexadécimal des nombres décimaux proposés

dans le tableau ci-dessous.

DECIMAL BINAIRE HEXADECIMAL

5

20

144

256

1033

25 658

23CB

- 54BD

24A6

- 5FBE

Documents

TRAITER L’INFORMATION SYSTEMES DE NUMERATIONsii-technologie.spip.ac-rouen.fr/IMG/pdf/bac_s_si_les_systemes_de... · D’un alphabet: les signes ou symboles disponibles pour la représentation