Transfert de Chaleur La Conduction

8/3/2019 Transfert de Chaleur La Conduction

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ENSAM-MEKNES / Cours de transfert de chaleur/ Pr. A. AL MERS/ [email protected]

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Pr. AL MERS Ahmed

Premire Partie : La conduction


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2

Cours de transfert de chaleurIntroduction

1. Objet de la science appele transfert de chaleur Le transfert de chaleur est la science dont le but est de prdire le transfert dnergie qui

stablit entre deux corps de tempratures diffrentes.

La thermodynamique appelle ce transfert dnergie chaleur . Le transfert de chaleur

seffectue donc sous leffet dun gradient de temprature. Cette dernire joue le mme rle

que le potentiel lectrique vis--vis dun dplacement de charges lectriques (courant

lectrique).

Le transfert de chaleur vise non seulement expliquer comment la chaleur est transmise, mais

encore prvoir quelle vitesse cette transmission se fera dans des conditions donnes. Ce

dernier aspect souligne la diffrence entre la transmission de chaleur et la thermodynamique.

Celle-ci tudie essentiellement les systmes en quilibre et permet de dterminer la quantitdnergie ncessaire pour faire passer un systme dun tat un autre, mais elle ne permet pas

de prvoir quelle vitesse ce passage se fera (cintique).

2. les modes de transfert de chaleurFondamentalement, le transfert de la chaleur sexerce suivant trois modes :

- la conduction- le rayonnement- la convection

Nous verrons par la suite que le troisime mode, la convection, nest quun cas particulier de

la conduction thermique (premier mode).

Lnergie calorifique se traduit, lchelle microscopique, par les mouvements dagitation ou

de vibration des molcules et des lectrons libres. La temprature est une mesure

macroscopique de lamplitude de ces mouvements. Cette nergie dagitation ou de vibrationpeut se transmettre :

a) par conduction : il sagit dune transmission de proche en proche, de molcule molcule, par chocs successives. Ce mode exige un support matriel (solide, liquide

ou gaz) et inversement, dans un support matriel au sein duquel existe un gradient de

temprature, on aura un transfert de chaleur par conduction.

b) Par rayonnement : contrairement au prcdent, ce mode nexige pas de supportmatriel et peut sexercer dans le vide. La transmission se fait par lintermdiaire

dune onde lectromagntique.

Une molcule en mouvement dagitation thermique peut mettre (et absorber) des

ondes EM (ou photons) : cest le cas des solides, des liquides et certains gaz (H20,CO2,)


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3

c) Par convection : la convection est un phnomne de conduction de chaleur seproduisant au sein des dun fluide en mouvement macroscopique. Au phnomne de

transfert de chaleur par chocs entre molcules (conduction), sajoute le dplacement

dnergie calorifique par les molcules se dplaant suivant le champ des vitesses.

Cependant, suivant les causes du mouvement du fluide, on peut distinguer dunemanire fondamentale et assez acadmique trois types de convection thermique ;

force, naturelle et mixte.

- dans le cas de la convection force, la cause du mouvement na rien voir avec lephnomne thermique, ce qui revient dire que le mouvement du fluide est

indpendant du gradient de temprature. La mise en mouvement du fluide est donc

due une pompe, un ventilateur,

- dans le cas de la convection naturelle, la cause du mouvement est due aux gradients detemprature. le fluide se met en mouvement sous leffet des diffrences de masse

volumique rsultant des gradients de temprature.

- Lorsque le mouvement du fluide est d la superposition des deux phnomnesprcdents, en parle de la convection mixte.

3. Procdure adopte dans le prsent cours.Ce cours tudiera successivement et sparment chacun des modes de transmission de chaleur

dfinis prcdemment.

Premier partie la conduction thermique

Deuxime partie le rayonnement thermique

Troisime partie la convection


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Chapitre IEquations fondamentales de la conduction thermique

1. IntroductionLa conduction pure est un mcanisme de transfert de chaleur se produisant ncessairement

dans un milieu matriel au repos. La chaleur se propage par transmission de lnergie

dagitation ou de vibration de molcule molcule ; dans le cas des mtaux, les lectrons

libres y participent galement.

La thorie mathmatique de la conduction ne soccupe pas de la structure molculaire de lamatire, mais considre plutt la matire comme un milieu continu et tudie les phnomnes

macroscopiquement.

2. Loi de FourierDans un solide (ou fluide au repos), le champ de temprature T peut tre reprsent par une

quation de la forme

),,,( tzyxFT

En fonction des cordonnes de lespace x, y, z et du temps t. la temprature T est donc unegrandeur scalaire.

n

d

dSp

T2

T1

M

d


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5

Considrons un solide temprature non uniforme, un instant quelconque t on peut tracer

dans ce solide un rseau de surfaces isothermes, qui sont les lieux des points qui ont la mme

temprature. Plaons-nous en un point M dune surface isotherme et dlimitons autour de ce

point une aire ds sur la surface isotherme. Sous leffet de diffrence de temprature, il

scoule travers ds un flux de chaleurd.La densit de flux de chaleur au travers de la

surface ds caractrise par la normale n

est donne par le rapport

20

/lim mwds

d

dsn

La loi de Fourier permet de calculer n . Cette loi est en ralit un postulat, apparemment

logique et en accord avec le second principe de la thermodynamique. Elle exprime que la

densit de flux n est proportionnelle la drive de la temprature suivant n

:

n

T

n

Le coefficient de proportionnalit est appel coefficient de conductivit thermique et est

une fonction dtat du matriau.

Pour un matriau isotrope cest un scalaire. Pour un matriau anisotrope tel que le bois, les

cristaux, etc, cest un tenseur.

Le signe tient compte du fait quon vertu du second principe, la chaleur scoule vers les

tempratures dcroissantes.

Considrons une surface lmentaire d centre au point M, de normale p

faisant un angle

avec n

, ayant une projection ds sur la surface isotherme. Le flux de chaleur lmentaire

d est le mme quau travers de la surface ds. La densit de flux de chaleur au travers de dvaut donc :

d

d

d 0lim

; cosdds

coscos nds

d

p

T

dn

dT

cos

On peut donc considrer quil existe en tout point un vecteur densit de flux de chaleur

orient comme le gradient de temprature en ce point et donn par loi de Fourier:

La densit de flux de chaleur au travers dune surface quelconque de normale oriente n

est

donne par la projection de

sur cette normale, ou par le produit scalaire :

T

.

nITn

..


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6

Les lignes tangentes en tout point au vecteur

sont les lignes de flux thermique. Les lignes

de flux sappuyant sur un contour ferm trac dans le solide constituent un tube de flux. Les

parois latrales dun tube de flux ne privent tre travers par aucun flux.

3. le coefficient de conductivit thermique Ce coefficient a t dfini par la loi de Fourier : dans le systme internationale S.I. il

sexprime en W/mC. Il dpend de la nature physique (tat cristallin dagrgation,),

chimique de la matire, de sa temprature et de sa pression.

Les gaz sont les plus mauvais conducteur de chaleur parce que celle-ci ne peut se transmettre

que par chocs entre les molcules ; est de lordre de 10-2

W/mC.

Dans les liquides non mtalliques et les solides mauvais conducteurs dlectricit, le transfert

de chaleur par conduction consiste en un change dnergie de vibration des molcules : est de lordre de 1W/mC. Leau est parmi les liquides non mtalliques o la conductivit

thermique la plus leve (0.5 W/mC).

Les mtaux purs sont les meilleurs conducteurs de la chaleur. varie de quelque dizaines

quelques centaines de W/mC.

Dans le cas des alliages, on peut dire quon gnral ladition dlments dalliage fait

diminuer et suivant une loi loin dtre linaire.

4. Loi de FOURIER- KIRCHHOFLa loi de Fourier ne permet que de trouver le vecteur densit de flux de chaleur

en tout

point dun champ de temprature connu.

La loi de FOURIER-KIRCHHOFF va permettre de trouver la temprature en tout point du

champ partir des sollicitations thermique du solide.

Soit un volume V pris dans un solide o existe un champs de temprature.

Les flux de chaleur fournis ce volume sont gaux laccroissement de lnergie interne de

ce volume par unit de temps. Ce dernier vaut :

n

S

V

'n


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7

dVt

Tc

t

U

V

O U reprsente lnergie interne du volume V, la densit (kg/m 3) et c la chaleur massique

(J/KgC).

Le flux de chaleur entrant par unit de temps par conduction travers la frontire du volume

V vaut :

dsS n '

O 'n

reprsente la normale la surface S dlimitant V orient vers lintrieure.

Le volume lui-mme peut tre le sige dun dgagement de chaleur, par exemple, cause du

passage dun courant lectrique, ou sous lffet de lirradiation par un flux de neutrons(racteur nuclaire), etcSoit q le flux de chaleur gnr par unit de volume (q en W/m3).

Lapport pour le volume V vaut :

V dVq On a donc en vertu du premier principe de la thermodynamique :

dV

t

TcdVqds

VVSn

'

Le premier terme peut scrire en faisant intervenir la normale n

orient vers lextrieur:

dsndsdsSS

nS n

.'

et en appliquant le thorme de divergence (OSTROGRADSKY) :

dVdivV

Lquation prcdente devient :

0

dVqdivt

Tc

V

.

Comme elle est valable pour nimporte quel volume V, on a en tout point :

qdivt

T

c


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8

En utilisant la loi de Fourier pour exprimer

, on a en remplaant, lexpression de la loi de

FOURIER-KIRCHHOFF :

qTdivtT

c

.

Si on peut admettre que ne varie pas dans lespace et indpendante du temps, on a :

On dfini souvent lecoefficient de diffusivit thermiquea par :

smc

a2

do :

o T est le laplacien de la temprature. Dans un repre cartsien on a :

2

2

2

2

2

2

z

T

y

T

x

TT

En labsence de source de chaleur interne et en rgime permanent, lquation se rduit :

0T

Dans ce cas le champ de temprature est le laplacien.

Toute la thorie mathmatique de la conduction consiste trouver une solution :

),,,( tzyxfT

Comme cette quation contient des drives partielles en x, y, z, t, on peut prvoir quelle nesera soluble analytiquement que dans des cas relativement simples.

5. Conditions initiales et aux limitesIl faut aussi remarquer que cette quation admet une infinit de solution, pour cela il faut que

le problme soit bien pos physiquement. Il faut donc imposer les conditions initiales et aux

limites (thorme de lunicit de DIRICHLET).

1- La condition initiale (C.I.), qui consiste fixer le champ de temprature en tout pointdu solide un instant donn t0.

2- Les conditions aux limites (C.L.), qui consistent exprimer mathmatiquement ce quise passe en tout point de la surface extrieure dlimitant le solide.

qTat

T


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9

Elles sont gnralement de des types suivants :

a) la temprature est impose sur toute ou une partie de la surface extrieure du solide(condition de type DIRICHLET),

b) la densit de flux de chaleur

est impose sur toute ou une partie de la surfaceextrieure du solide (condition de NEUMAN). On exprime la continuit de la densit

de flux de chaleur par :

c) La surface est en contact avec un fluide la temprature Tf et change avec ce fluidede la chaleur suivant un coefficient de transfert convectifh en tout point de la surfaceo cette condition est ralise (condition de type FOURIER).

d- le solide est contact avec un autre solide suivant une surface donne. On exprime la

continuit de la densit de flux de chaleur :

21

nn

Ou

Dans le chapitre suivant nous allons donner quelques exemples parmi les plus utiles de

rsolution de lquation de FOURIER- KIRCHHOF.

STf

S

nn

T

Sf

S

TThn

T

SSn

T

n

T

2

22

1

11

Solide 1 : 1 Solide 2 : 2S


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10

Chapitre IILa conduction en rgime stationnaire

1. Notion de champ de temprature stationnaire sans rgnrationinterne

En rgime permanent ( 0

t

T ) et si il n y a pas de rgnration interne de chaleur ( 0q ),

lquation de chaleur (loi de FOURIER- KIRCHHOF) peut scrire en supposons que

constante sous la forme :

0T

Cest lquation de Laplace, laquelle il faut ajouter les conditions aux limites relatives au

problme tudi.

2. Cas unidirectionnel : la plaque et le cylindre infinisa) Plaque plane infinie :

Soit une plaque plane infinie dpaisseur e, dun matriau homogne de conductivit

thermique.

On impose les temprature T1 et T2 sur les face Ox et ex .En rgime permanent, lquation de chaleur pour cette plaque scrit sous la forme :

02

2

x

T

do : 21 cxcxT

Le profile de temprature est donc linaire. En tenant compte des C.L. :

xe0

T1 T2


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11

0x en 1TT

ex en 2TT , on trouve

e

x

TT

TT

22

1

La densit de flux de chaleur se conserve pour tout x en rgime permanent et vaut :

x

Tx

do : 21 TTe

Pour une plaque finie de surface S, isol sur les bords, on a un flux de chaleur :

21 TTe

S

Ces deux dernires expressions peuvent tre crites sous la forme :

e

TT 21 et

Se

TT 21

et comparons la loi dOHM :RUI

On voit que par analogie que tout se passe comme si la densit de flux de chaleur , sous

laction de la diffrence de temprature (de potentiel) 21 TT doit traverser une rsistancethermique e .

eRp est la rsistance thermique par unit de surface de plaque. Pour une plaque de surface

S, le flux de chaleur totale rencontre une rsistance thermique se .

b) Tube infiniSoit un tube infini homogne, limit par deux surfaces cylindriques coaxiales de rayons r1 et

r2. Supposons quon impose les tempratures T1 et T2 sur ces deux surfaces.

Les lignes de flux sont radiales et la temprature ne dpend que de la direction radiale r.

T1 T2

e

T1 T2

Se


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12

Lquation de la chaleur en cordonnes cylindriques se rduit :

01

2

2

r

T

rr

T

ou

0

r

Tr

r

Aprs intgration : 21 ln crcrT

1c et 2c se dterminent facilement par les C.L. :

1TT en 1rr

2TT en 2rr

do :

12

1

12

1

ln

ln

rr

rr

TT

TT

Le flux de chaleur pour un tube de longueur L unitaire vaut :

1.2.1 rr

TS

r

TL

12

211

ln

2

rr

TTL

On remarque que pour un problme cylindrique, cest le flux total qui se conserve lorsque r

varie. Cependant, la densit de flux nest pas conservative, il dpend de r.

r1 r2

T1

T2


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La rsistance thermique par unit de longueur de tube vaut donc :

1

2

1

ln2

1

r

rR

L

Par extension, dans le cas de plusieurs cylindres coaxiaux r1, r2, r3, de matriaux diffrents de

conductivit thermique1 ,

2 ,

3 ,, dont les parois extrmes sont maintenues T1 et T2,

on a :

i

i

i

L

r

r

TT

1

211

ln1

2

3.Les ailettesa) Flux chang par une ailette droite

On rencontre frquement le cas pratique dun corps cylindrique de forme allonge, tige ou

plaque, est fix sur une surface maintenue une temprature T1 et change sur toute sa

surface extrieure avec un fluide la temprature Tf.

Le cas le plus frquent se prsente lorsquon dsire acrotre le flux de chaleur chang entre

une surface T1 appele surface primaire et un fluide Tfen augmentant la surface dchange

effective par fixation sur la surface initiale de corps de forme allong, appels ailettes.

Nous supposons donc en gnral avoir affaire un corps cylindrique de forme allonge (les

dimensions transversales sont beaucoup plus petites devant la longueur). La section droite a

une aire S et prsente un primtre P de contact avec le fluide.

Si lailette est de forme trs allonge, les gradients de temprature transversales sont

ngligeables devant les gradients longitudinales ; les lignes de flux sont pratiquement

parallles laxe des x. Nous supposons donc que la temprature ne dpend que de la

direction x. Le problme est donc monodimensionnel : txfT ,

X

l

dxx

S1

T1

Tf

fTTh


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14

Toute fois, il faut tenir compte du fait que la chaleur conduite le long de lailette est perdue

par convection avec le fluide ambiant.


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15

Pour tablir lquation dcrivant le transfert de chaleur dans lailette on peut effectuer le bilan

dnergie pour une tranche dailette dpaisseur dx.

Ce bilan dnergie scrit :

0

f

dxxx

TTdxPhSdx

dTS

dx

dT

Ce qui conduit lquation :

02

2

fTT

S

Ph

x

T

En posant : fTT

Lquation prcdente devient :

02

2

S

Ph

x

Celle-ci a une solution de la forme :

mxmx ecec 21

avec :S

Phm

Les C.L. permettent dobtenir c1 et c2 :

a) En 0x , 11 fTT ce qui donne

211 cc

xdx

dT dxx

dx

dT

x dx

fTTdxPh


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b) En lx , le gradient de temprature est d au flux transmis par le bout de lailette. Cedernier scrit :

lX

lX

hdx

d

Ce flux est extrmement faible vis--vis du flux total transmis par lailette et on peut le

ngliger, do :

0lXdx

dou mlml mecmec 210

De ces conditions aux limites on tire les valeurs de1c et

2c que lon remplace dans la solution

gnrale, do :

mlCosh

xlmCosh

ee

eemlml

xlmxlm

1

La temprature lextrmit de lailette est donne par:

mlCoshl1

Le flux de chaleur transmis au fluide sur toute la surface de lailette est celui sortant par le

pied de lailette(x=0) :

mlTghSPhmlTghmSdx

dS

X

L 11

0

b) Efficacit dune ailette

Lutilisation la plus frquente des ailettes consiste rduire la rsistance thermique entre une

surface (dite primaire) et un fluide en contact avec cette surface par addition dune surface

secondaire. La rduction de cette rsistance permet soit, daccrotre le flux chang dans les

phnomnes T impos (changeur de chaleur), soit de rduire lchauffement dans le casdun flux impos (crayon de combustible nuclaire, microprocesseur, rsistancelectrique,).

Des ailettes droites peuvent aussi tre fixes sur des surfaces primaires cylindriques.

On peut dfinir lefficacit dune ailette par :

L


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L : Flux de chaleur rel passant par lailette

: Flux de chaleur qui passerait par lailette si le matriau qui la constitue avait un

coefficient de conductivit thermique infini.

Le dominateur correspondrait en effet une ailette temprature uniforme T1, dont tous les

lments de surface fourniraient une densit de flux uniforme 1h .On a :

lPh 1

On obtient :

ml

mlTgh

Lefficacit dune ailette droite ne dpend donc que du produit ml .

c) Les ailettes circulaires

Cette ailette, qui a le plus souvent la forme d'un disque de rayons r1 et r2 et d'paisseur b, se

place sur des tubes, normalement l'axe de ces tubes.

La mise en quation du problme est identique celle utilise pour l'ailette droite, except

qu'il faut ici utiliser des coordonnes cylindriques. L'quation de Fourier-Kirchhoff se rduit

:

01 2

2

2

m

r

T

rr

l

T

1

Surface secondaire

Surface primaire

b


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Avec :b

hm

2

On peut dmontrer que l'efficacit de ce type d'ailette peut se mettre sous la forme:

1

2

12 ,r

rrrmf

Cette fonction est porte sur le graphique. Le cas de l'ailette droite correspond au cas

particulier 11

2

r

r.


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4. Conduction stationnaire, avec rgnration interne de chaleur

De la chaleur peut tre dgage (ou absorbe) au sein du solide par effet Joule (cas des

conducteurs lectriques), par raction nuclaire (cas de barreaux de racteur nuclaire), par

raction chimique, par condensation ou vaporation au sein d'un corps poreux.

Dans le cas particulier du rgime permanent, l'quation de chaleur se rduit :

02

qT

q tant le flux de chaleur gnr par unit de volume (en W/m3).

Considrons, titre d'exemple, le cas de la symtrie de rvolution. Un corps cylindrique infini

(fil, barreau) de rayon R est le sige d'un dgagement interne de chaleur q par unit de

volume. La C.L. maintient la surface extrieure du cylindre T0.

L'coulement de chaleur est purement radial. Compte tenu de la symtrie de rvolution,

l'quation prcdente se rduit :

01

2

2

q

r

T

rr

T

Qui peut s'crire:

qr

rddTr

rdd

Par raison de symtrie en 0r nous avons 0

r

T

Une premire intgration donne:

1

2

2C

qr

dr

dTr

La constante C1 vaut ncessairement 0:

D'o:2

qr

dr

dT

Une seconde intgration donne :

2

2

4C

qrT

C2 tant dtermin par la C.L. 0TT en Rr


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20

D'o

2204

rRq

TT

Le profile de temprature est donc parabolique avec un maximum sur l'axe du barreau.

Tmax

T0

0 r


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Chapitre IIISolide Isotherme dont la temprature varie au cours

du temps: inertie thermique

Nous tudierons dans ce chapitre l'volution dans le temps des tempratures au sein de solides

soumis extrieurement des variations dans le temps des conditions aux limites.

1. Constante de tempsNous allons d'abord tudier un cas trs particulier: celui des solides ayant un coefficient

suffisamment grand pour qu'on puisse y ngliger les gradients de temprature, c'est--diresupposer que le solide est temprature uniforme, lie directement la variation de

temprature se produisant la limite du solide. C'est habituellement le cas de corps mtallique

de petites dimensions.

Considrons un solide satisfaisant les conditions ci-dessus, uniformment T0 l'instant

initial 0 est plong cette instant dans un fluide Tf.

Soient V le volume de ce solide, S sa surface extrieure et h le coefficient de transfert

convectif entre le solide et le fluide.

Un bilan thermique, exprimant que le flux transmis travers la surface du solide, sert

modifier son nergie interne, donne:

TTShTVc f

La C.I. donne T = T0 pour = 0

V

T()S

= h (Tf-T)

Tf


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22

Considrons la variable auxiliaire = T-Tf

L'quation prcdente devient:

d

Vc

Sh

Avec la C.I. fTT 00 0

Aprs intgration, on obtient:

VcSh

e

0

Lvolution de la temprature du solide au cours du temps est donc une exponentielle

dcroissante. Si on appelle constante du temps

Sh

Vcc

lquation scrit :

Ce

0

Si on pose :Sh

R 1 et VcC

0

T

Tf

T0

63,2 %

c=RC


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Lexpression de la constante de temps devient : RCc

Lquation prcdente prend ainsi la forme de lquation de dcharge dun condensateur

lectrique dans une rsistance pure.

Le solide se comporte comme une capacit thermique VcC que lon charge (si T>Tf on

parle de la dcharge) sous une dfrence de potentiel0 travers une rsistance ShR 1 .

2. Utilisation de la notion de transmittance pour ltude des

phnomnes priodiques.

Nous avons raisonn sur une variation brusque 0 de la temprature extrieure fixant la

condition aux limites ; cette variation de temprature est appele chelon . En fait,

lquation prcdente est beaucoup plus gnrale, puisquelle est valable quelque soit la

variation de Tf. une expression plus gnrale peut tre obtenue laide de la transforme de

LAPLACE applique lquation prcdente.

TTR

TC fP 1

pRCTT

f

1

1

p tant la variable oprationnelle de LAPLACE.

Cette dernire expression, qui est un rapport de deux transformes de LAPALACE est

appele transmittance isomorphe. Cette notion est fondamentale en automatique.

Pour une variation quelconque de Tf, il faut exprimer la transforme de LAPLACE fT , do

on tire T . Il suffit alors de repasser loriginale pour trouver lvolution de t (en tenantcompte alors de la condition initiale, ce que lon ne fait pas dans lcriture de la

transmittance).

Le thorme de la limite peut galement tre appliqu.


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24

Ainsi pour une variation linaire de Tf partir de linstant 0 (fonction rampe), on a :

BTTf 0 pour 0 , 2p

BTf , do

pRCp

BT

12.

En recherchant loriginale, on trouve, compte tenu de la C.I. :

RC

RCBBTT

exp10

De mme :

BRCTTpTT fp

f 0limlim

Erreur de rgime appele erreur de tranage .

Un certain nombre de systmes thermique, tels que appareils de mesure de temprature,rsistances chauffantes, peuvent tre assimils des systmes temprature quasi-

uniforme. Comme de tels systmes sont frquents dans les chanes de rgulation, leur

comportement transitoire est trs important. En servomcanismes, on peut caractriser

compltement un systme par sa transmittance. Dans plusieurs cas il suffit pour ltude dune

chane de rgulation de raisonner sur la transmittance, sans devoir ncessairement repasser

loriginale, comme nous lavons fait ci-dessus.

Le cas de lappareil de mesure de temprature est de loin le plus important, surtout dans la

ralisation de boucles de rgulation de temprature. En effet, dans ce cas, cest lappareil de mesure qui dtecte la temprature maintenir constante et qui agit sur llment de

commande suivant la temprature de consigne. On conoit physiquement que, pour que la

rgulation soit bonne, il faut que lappareil de mesure puisse suivre aussi rapidement que

possible les variations de temprature de llment rgler. Une mesure instantane nest pas

possible car il existe toujours une constante de temps RCc . Cette constante de temps doit

tre aussi faible que possible, en gard aux autres lments intervenant dans la boucle, do

lintrt dappareils de mesure de faible capacit thermique et reprsentant des coefficients de

transmissions K levs.


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Chapitre IVConduction en rgime transitoire dans les solides non-

isothermes

1. Equation gnrale

Sil ny a pas de source interne de chaleur (q = 0), lquation de Fourier-Kirchhoff se rduit

:

Tat

T .

Qui doit tre complte par la condition initiale et les conditions aux limites.

Il sagit dune quation de propagation de type parabolique,

Les problmes monodimensionnels (plaque plane, cylindre, ) sont les seuls accessibles

une solution analytique. Il en est de mme de certains problmes tridimensionnels, prsentant

un degr de symtrie lev dans la gomtrie et la sollicitation thermique (C.L.).

Dans le cas gnral, et dans beaucoup de cas pratiques, le recours aux solutions numrique et

indispensable.

2. problmes monodimensionnels

Considrons une plaque dpaisseur 2l, suppose de surface infinie, soumise des variations

dans le temps de C.L.

Tf

0l

x

h Tfh


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Lquation du champ est :

2

2

x

Ta

t

T

Laxe Ox tant plac normalement la plaque comme cest indiqu sur la figure.

Envisageons le cas particulier suivant de condition aux limites : le solide est initialement

uniformment 0T . A linstant 0t , on le plonge dans un fluide fT , avec lequel ses deux

faces changent de la chaleur suivant un coefficient de transfert convectif h .

Quelle est lvolution de la temprature dans le solide pour cette sollicitation chelon ?

Par raison de symtrie le flux de chaleur traversant le plan mdian nest travers par aucun

flux.

Pour ce problme, le systme dquations scrit sous la forme suivante :

02

2

x

Ta

t

T, lx 0

0)0,( TxT , 0t

0

x

T, 0x

flx

TtLThx

T

),( , lx

Pour la simplicit de prsentation et dinterprtation, il est plus commode dcrire ce systme

dquation sous la forme adimensionnelle, on peut donc introduire les variables

adimensionnelles suivantes :

f

f

TT

TT

0

;l

xx ;

2l

att

Le systme sous forme adimensionnelle scrit donc sous la forme :

02

2

xt

, 10 x (1)

10, x (2)

00

xx

(3)

tBix

x

,1

1

(4)

Bi tant le nombre adimensionnel de BiotlhBi


27/32


27

Le temps t est remplac par la variable t , cest une variable sans dimension appele nombre

de Fourier2

l

tatFo .

Mthode de sparation de variables

La mthode consiste laborer une solution rpondant successivement aux quatre conditions

ci-dessus ; si on y parvient, en vertu de lunicit de la solution, cest donc la solution

cherche.

On essaye tout dabord de mettre la solution sous la forme :

xGtFtx .,

O les variables sont spares (mthode de factorisation).

En remplaant dans lquation (1), on obtient :

2

x

xGtF

t

tFxG

O encore : G

G

F

F '''

Cette galit nest possible que si les deux membres sont gales une constante indpendante

de t et x . Apollons cette constante

Le choix de la constante dpend du phnomne thermique trait :

- Pour les processus thermiques dont la distribution de temprature tendent vers unetemprature uniforme finie lorsque le temps tend vers linfini, doit tre une

constante relle ngative. On crit 02 .- Pour les phnomnes priodiques dpendant du temps, est un nombre imaginaire,

on prend i . Dans ce cas la rsolution se fait dans le plan complexe et on retient lapartie relle de la solution.

Dans notre cas, il sagit dun problme qui tend vers un tat dquilibre. On obtient unesolution particulire de la forme :

texBxAxGtF2

sincos.

La solution gnrale txN , tant la somme de toutes les solutions particulires :

N

i

tiiii

N

i

iiNiexBxAxGtFtx

11

2

sincos.,

Les constantes iA , iB , i sont dterminer en utilisant les conditions aux limites et initiales.


28/32


28

- La condition aux limites (3) en 0x donne : Bi=0- La condition aux limites (4) en 1x donne :

Biottg ii

Les i sont donc solution de lquation transcendante Biottg ii

- Dtermination des Ai

La condition initiale (2) donne :

1

1cos0,

i

iiN xAx

On multiplie scalairement les deux membres de cette quation par les ( xjcos )

On obtient :

xxxA ji

jii cos,1cos,cos1

O b

axdxvxuvu, est le produit scalaire muni de la norme

21, uuu

Compte tenu de lorthogonalit on a :

xxA jii cos,cos

Ce qui donne :

1

0

2

1

0

cos

cos

xdx

xdxA

i

i

i

On obtient :

iii

iiA

cossin

sin2

1 2 3

Bi/tg

0 ..

=0 si ij

0 si i=j


29/32


29

La solution gnrale scrit finalement sous la forme :

txtx ii

iiii

i 2

1

expcoscossin

sin2,

Remarquons qu cause des exponentielles dcroissantes, les termes correspondants des i

levs tendent rapidement vers zro. Dans la pratique on peut ngliger les termes

correspondant des i levs. Aprs un certain temps, seule lexponentielle correspondant au

mode fondamental est encore considrer.

La solution non-dimensionnelle finale dpend donc des nombres sans dimension :

- Le nombre de Biot qui peut tre considr comme le rapport de deux rsistancesthermiques du problme,

surfaciquersistaceconductionlarsistace

hllhBi /1/

- La signification physique du nombre de Fourier apparat en le mettant sous laforme suivante :

c

ttFo

avec RClc

l

a

lc

.

2

(constante de temps)

En posant :

lR (rsistance la conduction)

lcC (capacit thermique).

Les phnomnes voluent donc au cours du temps dautant plus rapidement que la

constante du temps RCc est petite.

Ce nombre caractrise donc la pntration de la chaleur en rgime variable.

0l

x

t1t2

t3t Tf

T0t0


30/32


30

La mthode de factorisation, telle quelle vient dtre expose, permet de rsoudre un grand

nombre de problmes du mme type :

- Plaque plane, soumise sur ses deux faces, dautre condition aux limites : chelon deflux,

- Echelon appliqu dautre gomtries monodimensionnelles: cylindre infini, ou bi-ou tridimensionnelles simples : paralllpipde, cylindre de longueur finie,En particulier, pour un paralllpipde de cts 2A-2B-2C, soumis un chelon de

temprature du fluide ambiant, on peut montrer que

32

22

12 .. CBA

Produit de trois fonctions produit de trois fonctions relatives des plaques infinies dpaisseur

respectivement 2A, 2B, 2C.

2. Phnomnes superficielsConsidrons un solide semi-infini limit par un plan x=0. De tel solide nexistent pas en toute

rigueur, mais on peut utiliser cette schmatisation lorsquon a affaire des phnomnes

superficiels, c'est--dire des problmes o le gradient de temprature nintervient que dans

une couche superficielle dpaisseur trs faible vis--vis des dimensions du solide

(phnomnes de trempe, propagation des ondes thermiques dans le sole,).

La solution de lquation :

2

2

x

Ta

t

T

dpend des C.I. et C.L. .

a) solide initialement temprature uniforme T0, dont la surface subit linstant t=0 unchelon jusqu Tf.

La transforme de Laplace selon t de lquation du champ, en tenant compte de la C.I. :

022

TTpTxd

da

Conduit la solution :

a

pxB

a

pxA

p

TT expexp0

En tenant compte des conditions aux limites :

- en x , 0T do A=0


31/32


31

- en 0x , p

TT

f do

p

TTB

f 0

On trouve :

p

T

a

px

p

TTT

f 00 exp

Le passage loriginale donne :

ta

xerfcTTTT f

2.00

La fonction erfcest la fonction derreur (ou intgrale de Gauss) dfinie par:

zerfzerfc 1 , dezerf

z

02

Par drivation, on obtient le flux pntrant lintrieure du solide :

ta

TTx

f

00

b) Solide initialement t0, dont la face x=0 est mise en contact t=0 avec un fluide T fsuivant un coefficient de transfert h.

2

2

2

0

0

21.exp

21

hta

ta

xerf

htaxh

ta

xerf

TT

TT

f

c) Solide initialement t0, dont la face x=0 est soumise partir de 0t une densit deflux uniforme 0 :

ta

xerf

x

ta

xtaTT

2

1

24

exp2

2

0

d) De la mme manire, on peut tudier ce qui se passe lorsque deux solides semi-infinis1 et 2 initialement respectivement T1 et T2 sont mis en contact suivant le plan x=0.

on doit videment exprimer la continuit du flux de part et dautre du plan x=0.

On trouve que la temprature linterface prend pour t > 0 une temprature Tm qui reste

constante. La temprature dans les deux solides est donc donne par :


32/32


Solide 1 :

ta

xerfTTTT mm

1

12

.

Solide 2 :

ta

xerfTTTT mm

2

2

2

. .

Avec222

111

1

2

c

c

TT

TT

m

m

Cette dernire quation exprime que Tm est plus prs de la temprature initiale du corps pour

lequel c est le plus lev. Ceci explique les diffrentes sensations de chaleur ou de froid

lorsquon touche des matriaux diffrents la mme temprature.

La proprit physique c est appele effusivit.

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Transfert de Chaleur La Conduction