68
Phénomènes d’échanges I: GCH200 Supplément au livre de Bird, Stewart, Lightfoot: Transport Phenomena Transport Phenomena qui est utilisé comme texte de référence. Pierre Proulx, ing. Ph.D., professeur

Transfert Phenomena

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Phénomènes d’échanges I: GCH200

Supplément au livre de Bird, Stewart, Lightfoot: Transport PhenomenaTransport Phenomena qui est utilisé comme texte de référence.

Pierre Proulx, ing. Ph.D.,professeur

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Phénomènes d’échanges I: GCH200

Ces transparents doivent être utilisés comme suppléments au livre de Bird, ils seront utiles dans la mesure ou ils complètent la lecture des sections du livre qui sont indiquées. Ils viennent parfois ajouter des précisions dans les développements faits dans le livre ou aident à comprendre les développements mathématiques effectués.

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Section 2: les bilans différentiels

Chapitre 2: bilans de momentum– Lecture essentielle pages 40 à 58

Chapitre 10: bilans thermiques– Lecture essentielle pages 290 à 310

Chapitre 18: bilans d’espèces chimiques– Lecture essentielle pages 543 à 566

Résumé de la méthodologie des bilans

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Chapitre 18

Bilans différentiels appliqués au transfert de matière, en particulier au cas des réactions chimiques

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Le bilan différentielLe bilan différentielUn outil fondamental pour trouver

les profils de concentrations dans un réacteur chimique

Les bilans différentiels que l ’on posera ici constituent la base du cours GCH320: Calculs des réacteurs, qui est au programme en S-6

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Approche des bilans différentielsApproche des bilans différentiels

{taux de matière entrant} - {taux de matière sortant}

+ {somme des taux de réaction générant de la matière dans le volume de contrôle}

= 0

En état de régime

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ρi

v

ρi

v

Le taux de l ’espèce i entrant dans le volumeest donné par le produit de la densité partielle de l ’espèce i multipliée par la vitesse et par la surface de la section perpendiculairesection perpendiculaire à la vitesse, ce qui donne le débit massique de l ’espèce i

Le taux de l ’espèce i entrant dans le volume peut aussi être donne par le produit de la densité par la vitesse, multipliée par la fraction massique de l ’espèce

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ρv

ρv

vAidemassedetaux iρ=

s

kgm

s

m

m

kg =23

Avidemassedetaux iωρ=

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Section 18.2- Diffusion dans un film stagnant

zAN |

ZzAN ∆+|

z∆

1zz =

2zz =Un fluide au repos (espèce A) dans un long tube s ’evapore doucement dans un milieu stagnant (espèce B). La concentration de l ’espece A est maintenue basse en z=z2 car un écoulement de B est imposé au haut de la colonne

B

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Section 18.2- Diffusion dans un film stagnant

zAN |

ZzAN ∆+|

z∆

1zz =

2zz =

Commençons notre bilan:

N Az∣z−N Az∣zΔz=0

Puisqu ’il n ’y a pas de réaction chimique, que de ladiffusion. En divisant cette équation par le volume de l ’élément différentiel on obtient facilement:

dN Az

dz=0

Utilisons maintenant la loi de Fick pour obtenir le profil de concentration:

Ce qui veut dire que le flux de A est

constant puisqu’il n’y a pas de pertes ni de réaction chimique

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Mais la loi de Fick prend plusieurs formes selon les variables dépendantes étudiées

nA ∇ ωA nA−ω A nAnB =−ρ DAB∇ ωA

N A ∇ xA N A−xA N AN B =−c DAB∇ x A

jA ∇ ωA jA=−ρ DAB∇ ωA

J A¤ ∇ xA J A

¤ =−c DAB∇ x A

jA ∇ xA jA=−c2

ρ M A M B DAB∇ xA

J A¤ ∇ ωA J A

¤ =−ρ2

cM A M B DAB∇ ωA

c v A−v B ∇ xA c vA−vB =−cDAB

xA xB

∇ xA .

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La loi de Fick choisie est celle utilisant NA et xA

ABAAAAA xcNNxNxN ∇−=+−∇ AB)( D

AA

A

AAAA

AAAA

xx

cN

xcNxN

xcNxN

∇−

−=

∇−=−∇−=+−

1

)0(

AB

AB

AB

D

D

D

zAN |

ZzAN ∆+|

z∆

1zz =

2zz =

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Section 18.2- Diffusion dans un film stagnant

zAN |

ZzAN ∆+|

z∆

1zz =

2zz =

Complétons notre bilan:

0=−dz

dN Az

Utilisons maintenant la loi de Fick pour obtenir le profil de concentration: dz

dx

x

cN A

AAz −

−=1

ABD

−ddz −c DAB

1−xA

dx A

dz =0 doncddz 1

1−xA

dxA

dz =0

Effectuons une première intégration: ( ) dzCx

dx

A

A11

=−

Complétons l ’intégration: ( ) 211ln CzCxA +=−−Puisque cDAB est constant

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Section 18.2- Diffusion dans un film stagnant

zAN |

ZzAN ∆+|

z∆

1zz =

2zz =

( ) 21ln CzCxB +=−

Donc, si on trace le logarithme de la concentration de Ben fonction de z on trouvera une droite

Apres quelques manipulations, si on peut déterminer la concentration enz1 et en z2, on trouvera le profil de concentration:

xB

xB1= xB2

xB 1

z−z

1

z2−z1

xB=1-xA

22

11

zzenxx

zzenxx

AA

AA

====

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section 18-2

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

distance a partir de la surface

fra

cti

on

mo

lair

e

Xb

Xa

Voici l’allure des profils de concentration:

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Bird utilise le profil de concentration pour déterminer une valeuressentielle en genie chimique: le coefficient d ’échange (analogueau coefficient h en transfert de chaleur:

N Az∣z= z1=[ c DAB ln xB2

xB1

z2−z1 x B2−xB

1 ] x A1−x A

2

La valeur entre les crochets est le coefficient d ’échange

km=[ c DAB ln xB2

xB1

z2−z1 xB2−x B

1 ] Ses unités sont: moles-m-2sec-1

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Exercice 18B8, pp.573 Bird-Stewart-Lightfoot:

Tube de pyrex

Gaz naturel+ helium

R1

R2

Le tube de pyrex est poreuxpour l ’hélium mais paspour le gaz naturel. On utilise donc le tube de pyrexcomme un « tamis »qui laissera passerl ’hélium enretenant le gaznaturel. Le butde l ’exerciceest donc de déterminer letaux auquel l ’héliumest séparé

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Exercice 18B8:

Tube de pyrex

Gaz naturel+ helium

R1R2

On trouve facilement:( )

0=dr

rNd He

En posant le bilan sur l ’hélium entre r=R1 et r=R2:

0||

0|2|2

=∆

=−

∆+

∆+

r

rNrN

rNrN

rrHerHe

rrHerHe

rr

rrππ

On doit maintenant poser la loi de Fick afind ’exprimer NHe en fonction de la concentration.On trouve, si on sait que le pyrex ne bouge pas(!) et que les concentrations d ’hélium sont faibles

dr

dCDN He

pyrexHeHe −−=

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Exercice 18B8:

Tube de pyrex

Gaz naturel+ helium

R1R2

( )0=

dr

rNd He

En combinant les deux équations:

dr

dCDN He

pyrexHeHe −−=

d rDHe−pyrex

dCHe

dr dr

=0intégrons

1Cdr

dCr He =

encore

21 ln CrCCHe +=

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Exercice 18B8:

Tube de pyrex

Gaz naturel+ helium

R1R2

En insérant les conditions aux limites:

C1=CHe2−CHe1

ln R2

R1

22

11

RrenCC

RrenCC

HeHe

HeHe

====

On trouve la valeur de C1:

Et de C2: C2=CHe2

CHe2−CHe1 1ln R2

R1

21 ln CrCCHe +=

On peut maintenant retrouver a partir de cesconstantes le taux auquel l ’hélium diffuse:

dr

dCDN He

pyrexHeHe −−=

avec

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Exercice 18B8:

Tube de pyrex

Gaz naturel+ helium

R1R2

En insérant :21 ln CrCCHe +=NHe=−DHe− pyrex

dCHe

dr

NHe=−DHe− pyrex

C1

r

NHe=−DHe− pyrex

CHe 2−CHe 1

r ln R2

R1

C1=CHe2−CHe1

ln R2

R1

Ceci est le flux d ’hélium, pour trouver le taux on multiplie par la surface:

W He=−DHe−pyrex

CHe 2−CHe 1

r ln R2

R1×2π rL

W He=2π LDHe− pyrex

CHe 1−CHe 2

ln R2

R1

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Exercice 18B9:δ

CAδ

CA0

A) On trouvera facilement, comme dans la section 17.2:

0=dz

dN A

Et puisque la concentration de A est très faible dans le liquide, la loi de Fick devient simplement:

dz

dCDN A

ABAz−=

02

2

=dz

Cdalors A

z

B) En intégrant l ’équation ci-haut:

211 CzCCetCdz

dCA

A +==

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Exercice 18B9: δCAδ

CA0

C) A partir des conditions aux limites on trouvera C1 et C2

z

δδ AA

AA

A

CCzet

CCz

CzCC

====

+=

,

,0 0

21

δδ 0

1

02

AA

A

CCC

CC

−=

=

δδ 0

1

AAAB

AB

AABA

CCD

CDdz

dCDN

z

−−=

−=

−=

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Section 18.3: La catalyse

Catalyseur

A

z

A

A2

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Section 18-3: un gaz A est transformé en gaz A2, par réaction de polymérisation, sur une surface catalytique.

Loi de Fick, une des formes:dz

dxcNNxN A

zBzAAzA AB)( D−=+−

Par définition, A est transformé en A2 par la surface catalytique, alors le flux de B (A2) est égal et de sens

opposé à celui de A: NB= -1/2NA2 donc:

dz

dx

x

cN

dz

dxc

NNxN

A

A

A

AzAzAAzA

z

21

1

)2

(

AB

AB

−=

−=−−

D

D

Catalyseur

A

A

A2

A l ’exception de la réaction sur la surface, et au fait que l ’espèce B (A2) a un flux non-nul, la diffusion dans le gaz près de la surface donne lieu aux mêmes équations que la section 18.2.

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

distance a partir de la surface

fra

cti

on

mo

lair

e

Xb

Xa

z

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Section 18.3- Diffusion dans le film d ’un catalyseur

0=−dz

dN Az

Utilisons maintenant la loi de Fick pour obtenir le profil de concentration: dz

dx

x

cN A

A

Az

21

1

AB

−= D

−ddz

−c DAB

1−12

x A

dx A

dz =0 doncddz 1

1−12x A

dx A

dz =0

Par intégration: −2 ln 1−12xA =C1 zC2

En effectuant le même bilanqu ’en 18.2:

Catalyseur

A

z

A

A2

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Section 18.3- Diffusion dans le film d ’un catalyseur

Pour trouver les constantes, on doit poser les deux conditions:

−2 ln 1−12xA =C1 zC2C

atalyseur

A

A

A2

δ

On suppose un film d ’épaisseur δqui contrôlera le transfert

δ====

zenx

zenxx

A

AA

0

00

z

Ces deux conditions limites signifient respectivement :•A l ’extérieur du film on retrouve la concentration « bulk » du réacteur. •A la surface du catalyseur la concentration de A tombe a zéro, ce qui indique un catalyseur très efficace

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Section 18.3- Diffusion dans le film d ’un catalyseur

On trouve, après un peu d ’algèbre 1−1

2xA =1−1

2x A

01−z

δCatalyseur

A

A

A2

δ

z

N Az=[ 2c DAA2

δ ] ln 1

1−12x A

0

Et en dérivant cette expression on trouve le flux de A dans le film

Cette situation que l ’on a décrit ici est assez caractéristique des réacteurs catalytiques, ou la réaction est contrôlée par la diffusion. Car notez que même avec une réaction instantanée a la surface, la réaction n ’est pas instantanée car le taux de réaction dépend de la vitesse a laquelle le réactif peut se rendre a la surface

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Illustration de la diffusion: un gaz A est transformé en gaz B, par isomérisation, sur une surface catalytique.

Catalyseur

Loi de Fick, une des formes:dy

dxcNNxN A

BAAA AB)( D−=+−

Par définition, A est transformé en B par la surface catalytique, alors le flux de B est égal et de sens

opposé à celui de A: NA= -NB donc:A

B dy

dxcN

dy

dxcNNxN

AA

AAAAA

AB

AB)(

D

D

−=

−=−−

y

Le deuxième terme de droite dans laloi de Fick est donc nul, car les fluxdes deux espèces s’annulent. Ce casest appelé:

contrediffusion équimolaire

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Exercice Diffusion en présence de polymérisation catalytique

Catalyseur

A

A

An

z

A

A A

A

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polymérisation

A) N A z=−cD AA

n

dxA

dzx A N A

zN A

nz

mais N Anz

=−1n

N Azalors

N Az=−cD AA

n

dxA

dzx A N A

z−

1n

N Az ou encore

N A z [1−1−1n x A ]=−cD AA

n

dx A

dzsoit

N A z=−cD AA

n

[1−1−1n x A ]

dxA

dz

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polymérisation

B) Intégrer entre 0 et δ

∫0

δ

N A zdz=∫

xAo

0 −cD AAn

[1−1−1n x A ]

dx A

N Azδ=

1

1−1n

cDAAnln [

1

1−1−1n xA

0 ]N A

z=−ncD AA

n

n−1 δln [1−1−1

n x A0]

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Section 18.4 Diffusion avec réaction chimique homogène

On regarde un gaz (A) qui diffuse dans un liquide (B), dans la phase liquide les deux espèces réagissent pour donner un produit (AB). La réaction est irréversiblez∆

0=z

Lz =

Gaz A

Liquide B

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Section 18.4 Diffusion avec réaction chimique homogène. Ce problème prépare à l’analyse de réacteurs chimiques

A la différence des deux autres cas étudies précédemment dans ce chapitre, ici on trouve une génération dans l ’élément de volume, du a la réaction chimique

zAN |

ZzAN ∆+|

z∆

0|| '''1 =∆−− ∆+ zSCkSNSN AzzAzzAz

)(moles/mCk 3A

'''1

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Section 18.4 Diffusion avec réaction chimique homogène

On obtient en faisant tendre ∆z vers 0:

0'''1 =+ A

Az Ckdz

dN

zAN |

ZzAN ∆+|

z∆)(moles/mCk 3

A'''

1

Introduisons la loi de Fick:dz

dxcNNxN A

BzAAA zz AB)( D−=+−

Notons que dans le cas présent les concentrations de A et de AB dans le liquide sont faibles: dz

dcNou

dz

dxcN A

zAA

zA ABAB DD −=−=

Cette équation est similaire à

« l’équation de design » pour un

réacteur tubulaire en continu

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Section 18.4 Diffusion avec réaction chimique homogène

On obtient en insérant la loi de Fick:

0D '''12

2

=+− AA

AB Ckdz

cd

zAN |

ZzAN ∆+|

z∆)(moles/mCk 3

A'''

1

Que l ’on doit solutionner avec les deux conditions aux limites suivantes

00

00

===

==

dz

dCaequivalentLzenN

zenCC

AA

AA

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Section 18.4 Diffusion avec réaction chimique homogène

0D '''12

2

=+− AA

AB Ckdz

cdzAN |

ZzAN ∆+|

z∆)(moles/mCk 3

A'''

1

Comparons avec un problème, mathématiquement analogue, fait au chapitre 9

θθkB

h

dz

d =2

2

00

00

===

==

dz

dCaequivalentLzenN

zenCC

AA

AA

00

0

===

==

dz

daequivalentLzenq

zenw

θθθ

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Section 18.4 Diffusion avec réaction chimique homogène

zAN |

ZzAN ∆+|

z∆)(moles/mCk 3

A'''

1

AAB

A CD

k

dz

Cd '''1

2

2

=

On peut donc utiliser directement la solution obtenue au chapitre 9:

mzmzA eCeCC −+= 21

Avec :

ABD

km

'''1=

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Section 18.4 Diffusion avec réaction chimique homogène

zAN |

ZzAN ∆+|

z∆)(moles/mCk 3

A'''

1

En insérant les conditions aux limites, on obtiendra, comme auchapitre 9:

C A

C A0

=[ e−mL

emLe−mL ]emz

[ emL

emLe−mL ] e−mz

mzmzA eCeCC −+= 21

En regroupant les termes un peu on obtiendra:

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Section 18.4 Diffusion avec réaction chimique homogène

zAN |

ZzAN ∆+|

z∆)(moles/mCk 3

A'''

1

C A

C A0

=[e−m L−z

em L−z

emLe−mL ]

C A

C A0

=cosh m L−z cosh mL

En regroupant les termes un peu on obtiendra:

Cette expression est identique à l ’équation 18.4-10 de Bird

Il est essentiel de voir l’analogie mathématique entre ce problème et celui des ailettes du chapitre 9. Si vous comprenez bien cette analogie le traitement devient très simplifié car vous n’avez pas à

recommencer l’analyse. De plus, il est souvent plus facile de se représenter les problèmes thermiques que les problèmes de transfert de masse.

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Chapitres 2-10-18

Bilans différentiels, résumé des techniques vues dans ces trois chapitres

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Le bilan différentielLe bilan différentielUn outil fondamental pour trouver

les profils de:– vitesses– températures– concentrations

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Approche des bilans différentielsApproche des bilans différentiels

{taux de φ entrant} - {taux de φ sortant}

+ {somme des taux générant φ dans le volume de contrôle}

= 0

En état de régime

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Étapes a franchir pour établir le bilan différentiel, le solutionner et l ’exploiter

1 Identificationmécanismes d ’échanges, de générationgéométrie du système

2 Choix de l’élément de volumeperpendiculaire à la direction du flux

3 Bilan sur cet élément de volumedonnera l ’équation différentielle quand ∆x tends vers 0

4 Solution mathématiquepar exemple, intégrer une première fois, insérer les loi de

Newton, Fourier ou Fick, intégrer une deuxième fois, appliquer les conditions aux limites

5 Interprétation de la solution générale obtenue• par exemple, vérifier si la solution obtenue satisfait à certains

critères physico-chimiques facilement vérifiables

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Application de cette démarche dans un problème-type, cas #1

Ailette aiguille dont on veut évaluer le profil de température et l ’efficacité

TW

TA

1 Identificationmécanismes d ’échanges, de génération

géométrie du système

Mécanismes: conduction par l’ailette,échange convectif avec l ’air ambiantpas de génération

Géométrie: cartésienne car dans la direction de la propagation de la chaleur l’ailette ne varie pas de section.

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TW

TA

2 Élément de volume

L ’élément de volume aura une longueur ∆x, x variant de x=0 à la base de l ’ailette jusqu ’à x=L au bout de celle-ci. Notre élément de volume sera une rondelle d ’épaisseur ∆x, de rayon R, de volume V=πR2 ∆x. La section dans laquelle la chaleurse propage sera πR2, et la surface d ’échange latérale sera 2πR ∆x

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TW

TA

3 Bilan sur cet élément de volume

0)(2

lim

0))(2()()(

0

22

=−−−

÷

=−∆−−

→∆

∆+

Ax

x

Axxx

TTR

h

dx

dq

etvolume

TTxRhRqRq πππ

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TW

TA

4 Solution mathématique

1ère étape: préliminaires

kR

havec

dx

d

finalisonsetkpardivisonsR

h

dx

dk

TTécrivonsTTR

h

dx

Tdk

suitedetoutFourierinséronsTTR

h

dx

dq

AA

Ax

20

02

0)(2

:0)(2

222

2

2

2

2

2

==−

=−

−==−−

=−−−

βθβθ

θθ

θ

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TW

TA

4 Solution mathématique

2ème étape: la solution générale

0L,xenet0,xen

:sontlimitesauxconditionsleset

:solutionpoura0 212

2

2

====

+==− −

dx

d

eCeCdx

d

w

xx

θθθ

θθβθ ββ

Un peu d ’intuition ? Quelle est la fonction qui dérivée deux fois donne la même fonction multipliée par une constante?

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TW

TA

4 Solution mathématique

3ème étape: trouver les constantes

x=0, θ=θw θw=C1C2

x=L,dθdx

=0 0=C1 βeβx−C2 βe

−βx

donc : C1=θwe−βL

e βL−e−βLet C2=θw 1−e−βL

e βL−e−βL finalement : θ=θw

cosh {β L−x }cosh {βL }

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TW

TA

5 Interpréter la solution

( ){ }{ }L

xLw β

βθθcosh

cosh −=

Si x=0, on a bien θ=θw

Pour une très longue ailette, le bout de l ’ailette tends bien vers θ =0 (vérifiez)

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Application de cette démarche dans un problème-type, cas #2

Évaporation d ’une gouttelette d ’eau dans l ’air ambiant

1 Identificationmécanismes d ’échanges, de génération

géométrie du système

Mécanismes: Diffusion de A (vapeur d ’eau) dans B(air), Géométrie: Sphérique

Hypothèse: la concentration de l ’eau sera toujours très faible

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2 Élément de volume

L ’élément de volume aura une longueur ∆r, r variant de r=R à la surface de la goutte, à r=infini. Notre élément de volume sera une coquille d ’épaisseur ∆r, de volume V=4πr2∆r. La section dans laquelle la vapeur se propage sera 4πr2.

Une coquille sphérique

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3 Bilan sur cet élément de volume

N Ar4πr2 ∣r−N A

r4πr2∣rΔr=0

divisons par 4π Δr et Δr 0

d r2N Ar

dr=0

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4 Solution mathématique

préliminaires

d r2N A r dr

=0 Fick A r=−cD AB

dxA

dr

d r2cD AB

dxA

dr dr

=0

d r2dx A

dr dr

=0 intégrons une fois

r2dxA

dr=C1 donc

dx A

dr=

C1

r2intégrons encore

x A=−C1

rC2

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4 Solution mathématique

x A=−C1

rC2 conditions limites : r=R , x A=x A

sat

r=∞ , xA=x A∞

donc C1=x Asat

et C2=R x Asat−x A

donc en brassant un peu :x A−x A

x Asat−x A

=Rr

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5 Valider et vérifier la solution

r

R

sat

=−

AA

AA

xx

xx

Le profil de concentration décroît en fonction de r,est-ce que c’est ok???

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Exercices supplémentaires aux chapitres 10-18

1- Problème 10D1, poser seulement l ’équation différentielle du deuxième ordre en fonction de θ , sans solutionner:

2- Problème 18C1, seulement la partie a) 3- Deux liquides immiscibles sont au repos dans dans une cellule. Les

deux couches ont la même épaisseur. Une espèce A diffuse dans les deux couches de liquide, les coefficients de diffusion sont DA1et DA2

respectivement. Quelle est la fraction molaire XA a l ’interface des deux liquides? (Réponse: XA=(DA1XA1+ DA2XA2)/(DA1+ DA2) )

022

22 =−+

kB

hr

dr

dr

dr

dr

θθθ

XA=XA1

XA=XA2

XA=?1

2

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1- 10D1: ailettes autour d ’un tube

Étape 1: phénomènes

Conduction dans la direction radiale, échanges par convection avec l ’air.

Géométrie: radiale, symétrie cylindrique

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1-10D1: ailettes autour d ’un tube

Étape 2: élément de volume

Une coquille d ’épaisseur 2B, de longueur ∆r. La section qui conduit la chaleur a une surface de 4πrB, avec r variable. La section latérale qui échange de la chaleur avec l ’air a une surface de 2(2πr∆r). L ’élément de volume a pour coordonnée la variable r qui varie entre R0 et R1.

R0

R1

r

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Étape 3: bilan sur l ’élément de volumeR0

R1

r

( )0)(

0lim,0)()()(

4

0))(4()4()4(

=−−−

→∆=−−∆

∆÷

=−∆−−

∆+

∆+

Ar

Arrr

Arrr

TTB

hr

dr

rqd

ravecsoitTTB

hr

r

rqrq

rB

TTrrhrBqrBq

ππππ

1-10D1: ailettes autour d ’un tube

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Étape 3: bilan sur l ’élément de volume (suite)

R0

R1

r

−d rqr dr

−hrB

T−T A =0 avec qr=−kdTdr

d r k dTdr

dr−

hrB

T−T A =0

krd2T

dr2k

dTdr

−hrB

T−T A =0

1-10D1: ailettes autour d ’un tube

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Étape 3: bilan sur l ’élément de volume (suite)

R0

R1

r

0

0)(

22

22

22

22

=−+

=−−+

kB

hr

dr

dr

dr

dr

ouTTkB

hr

dr

dTr

dr

Tdr A

θθθ

Équation de Bessel, qui se résoud facilement avec Matlab (un peu plus difficile à la main…)

1-10D1: ailettes autour d ’un tube

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R0

R1

r

02

2

22 =−+

kB

hr

dr

dr

dr

dr

θθθ

Script Matlab:

1-10D1: ailettes autour d ’un tube

>> syms r theta k B h;>> theta = dsolve('r^2*D2theta+r*Dtheta-r^2*h*theta/k/B=0','r') ; pretty(theta)

theta =

C1*besselj(0,(-h/k/B)^(1/2)*r) + C2*bessely(0,(-h/k/B)^(1/2)*r)

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La figure 18C1 montre bien l ’élément de volume choisi, alors que les mécanismes ont été aussi bien identifiés dans l ’énoncé du problème, on peut donc passer directement à la pose du bilan.

( )( )( )

( )zzzA

zzA

rrrA

rrA

z

z

r

r

Nz

N

N

N

∆+=

=

∆+=

=

∆∆+

rr2:zensortantzselonAdefluxduComposante

rr2:zenentrantzselonAdefluxduComposante

zr2:rensortantrselonAdefluxduComposante

zr2:renentrantrselonAdefluxduComposante

π

π

π

π

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( ) ( )( ) ( ) 0rr2rr2

zr2zr2

=∆−∆+

∆−∆

∆+==

∆+==

zzzAzzA

rrrArrA

zz

rr

NN

NN

ππ

ππ

Divisons par 2πr∆z∆r et faisons tendre vers 0

( )0

1 =∂

∂+

∂∂

r

rN

rz

Nrz AA

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)(rrr BAA

AABA NNx

r

xcDN ++

∂∂−=

AA

BA

BAAA

ABA

ccx

cNN

NNxz

xcDN

zz

zzz

=

=

=+

++∂

∂−=

et

vB,fluideduvitessela

estmassiqueoumolaire

moyennevitesselavvposeraon

v

)(

0

*0

*

Formes générales de la loi de Fick

Le flux radial de A est uniquement par la diffusion, le flux de B dans la direction r est nul et le produit xANA est faible, alors:

r

xcDN A

ABAr ∂∂−=

Alors, on a:

0vAA

ABA cz

cDN

z+

∂∂−=

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r

xcDN A

ABAr ∂∂−=0vA

AABA c

z

cDN

z+

∂∂−=

( )0

1 =∂

∂+

∂∂

r

rN

rz

Nrz AA

v0

∂cA

∂ z=D AB [ 1r ∂

∂ r r∂ c A

∂ r ∂2 cA

∂ z2 ]