1/8/2014 Transformation de Fourier — Wikipédia

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Joseph Fourier

Transformation de Fourier

En analyse, la transformation de Fourier est une extension, pour les fonctions non périodiques, du développementen série des fonctions périodiques de Fourier. La transformation de Fourier associe à une fonction intégrable, définiesur l'ensemble des nombres réels ou celui des nombres complexes, une fonction appelée transformée de Fourier dontla variable indépendante peut s'interpréter en physique comme la fréquence ou la pulsation.

La transformée de Fourier s'exprime comme « somme infinie » des fonctions trigonométriques de toutes fréquences.Une telle sommation se présente sous forme d'intégrale. L'analyse non standard permet de la présenter sous formed'une série et justifie le point de vue intuitif. Séries et transformation de Fourier constituent les deux outils de base del'analyse harmonique.

Lorsque la fonction est la représentation d'un phénomène physique, comme l'état du champ électromagnétique ou duchamp sonore en un point, on l'appelle signal et sa transformée de Fourier s'appelle son spectre.

Sommaire

1 Transformation de Fourier pour les fonctions intégrables1.1 Définition

1.2 Conventions alternatives1.3 Extension de la transformation de Fourier1.4 Propriétés de la transformation de Fourier

1.5 Transformation de Fourier inverse

1.6 Extension à l'espace ℝn

2 Transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable

2.1 Extension de la transformation de L1 à L2

2.2 La transformation vue comme opérateur de L2(R)

3 Lien avec le produit de convolution4 Principe d'incertitude

5 Transformation de Fourier sur l'espace de Schwartz

6 Transformation de Fourier pour les distributions tempérées

6.1 Compatibilités6.1.1 Compatibilité avec les espaces de fonctions

6.1.2 Compatibilité avec les espaces de suites

6.2 Signaux discrets et signaux périodiques

7 Liens avec d'autres transformations7.1 Lien avec les transformations de Laplace

7.2 Lien avec les séries de Fourier7.2.1 Parallèle formel

7.2.2 Transformée8 Généralisation

9 Notes et références10 Voir aussi

10.1 Articles connexes

10.2 Liens externes

Transformation de Fourier pour les fonctions intégrables

Définition

La transformation de Fourier est une opération qui transforme une fonction intégrable sur en une autre fonction, décrivant le spectre fréquentiel decette dernière. Si est une fonction intégrable sur , sa transformée de Fourier est la fonction donnée par la formule :

Conventions alternatives

Il est possible de choisir une définition alternative pour la transformation de Fourier. Ce choix est une affaire de convention dont les conséquences ne semanifestent (en général) que par des facteurs numériques. Par exemple, certains scientifiques utilisent ainsi :

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avec t en secondes la fréquence (en Hz).

Certains électroniciens ou physiciens utilisent (pour des raisons de symétrie avec la transformation de Fourier inverse) la transformation suivante :

avec t en secondes et la pulsation (en rad.s-1).

Cette définition n'est cependant pas adaptée au traitement des produits de convolution : à cause du facteur , on a , à

moins d'introduire un tel facteur dans la définition du produit de convolution.

L'ensemble de départ est l'ensemble des fonctions intégrables d'une variable réelle . L'ensemble d'arrivée est l'ensemble des fonctions d'une variable réelle

. Concrètement lorsque cette transformation est utilisée en traitement du signal, on notera volontiers t à la place de x et ou à la place de qui seront

les variables respectives de temps et de pulsation ou de fréquence. On dira alors que est dans le domaine temporel, et que est dans le domaine fréquentiel.

En physique, la transformation de Fourier permet de déterminer le spectre d'un signal. Les phénomènes de diffraction donnent une image de l'espace dual duréseau, ils sont une sorte de « machine à transformation de Fourier » naturelle. Pour ces applications, les physiciens définissent en général la transformation

directe avec un facteur et la transformation de Fourier inverse avec le même préfacteur.

La notation peut aussi être remplacée par F(f) ou TF(ƒ). Dans cet article, on utilisera exclusivement la première notation.

Il est également d'usage dans certaines communautés scientifiques de noter pour la fonction de départ et pour sa transformée, faisant ainsi

correspondre à x, y, z les variables duales p, q, r. Cette notation est conforme à l'interprétation physique inspirée par la mécanique quantique : dualité entreposition et quantité de mouvement. Cette notation n'est pas retenue ici.

Extension de la transformation de Fourier

Le cadre le plus naturel pour définir les transformations de Fourier est celui des fonctions intégrables. Toutefois, de nombreuses opérations (dérivations,transformation de Fourier inverse) ne peuvent être écrites en toute généralité. On doit à Plancherel l'introduction de la transformation de Fourier pour lesfonctions de carré sommable, pour lesquelles la formule d'inversion est vraie. Puis la théorie des distributions de Schwartz, et plus particulièrement desdistributions tempérées permit de trouver un cadre parfaitement adapté.

On peut généraliser la définition de la transformation de Fourier à plusieurs variables, et même sur d'autres groupes que le groupe additif . Ainsi, on peut ladéfinir sur le groupe additif , c'est-à-dire sur les fonctions de période 1 — on retrouve ainsi les séries de Fourier —, et plus généralement sur des groupes

localement compacts, pas nécessairement commutatifs, et en particulier sur des groupes finis. Ces définitions font intervenir les groupes duaux, ainsi que lamesure de Haar.

Propriétés de la transformation de Fourier

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Fonction Transformée de Fourier

Linéarité

Contraction du domaine

Translation temporelle

Modulation dans le domaine temporel

Produit de convolution

Produit

Dérivation dans le domaine temporel(voir conditions ci-dessous)

Dérivation dans le domaine fréquentiel

Symétrie

réelle et paire réelle et paire

réelle paire (à symétrie hermitienne)

réelle et impaire imaginaire pure et impaire

imaginaire pure et paire imaginaire pure et paire

imaginaire pure et impaire réelle et impaire

Forme gaussienne gaussienne

La contraction dans un domaine (temporel, spatial ou fréquentiel) implique une dilatation dans l'autre. Un exemple concret de ce phénomène peut êtreobservé par exemple sur un tourne-disque. La lecture d'un 33 tours à 45 tours par minute implique une augmentation de la fréquence du signal audio (a<1),

on contracte le signal audio dans le domaine temporel ce qui le dilate dans le domaine fréquentiel.

Si la fonction est à support borné ( i.e, si ) alors est à support infini. Inversement, si le support spectral de la

fonction est borné alors est à support infini.

Si f est une fonction non-nulle sur un intervalle borné alors est une fonction non-nulle sur et inversement, si est non nulle sur un intervalle borné alors f

est une fonction non nulle sur .La transformée de Fourier de f est une fonction continue, de limite nulle à l'infini (théorème de Riemann-Lebesgue), notamment bornée par

.

Par changement de variable on trouve des formules intéressantes lorsqu'on effectue une translation, dilatation du graphe de f.

Supposons que la fonction soit intégrable ; alors on peut dériver la formule de définition sous le signe d'intégration. On constate alors

que la dérivée est la transformée de Fourier de g.

Si f est localement absolument continue (i.e. dérivable presque partout et égale à « l'intégrale de sa dérivée » ) et si f et f' sont intégrables, alors la

transformée de Fourier de la dérivée de f est .

On peut résumer les deux dernières propriétés : notons D l'opération

et M la multiplication par l'argument :

Alors, si f satisfait des conditions fonctionnelles convenables, et . Ces formules symétriques sont très belles, et aussi très

importantes.

On s'affranchira de ces conditions fonctionnelles en élargissant la classe des objets sur lesquelles opère la transformation de Fourier. C'est une des motivationsde la définition des distributions.

Transformation de Fourier inverse

Si la transformée de Fourier de , notée , est elle-même une fonction intégrable, la formule dite de transformation de Fourier inverse, opération notée ,

et appliquée à , permet (sous conditions appropriées) de retrouver à partir des données fréquentielles :

1

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Cette opération de transformation de Fourier inverse a des propriétés analogues à la transformation directe, puisque seuls changent le coefficient multiplicatif etle –i devenu i.

Dans le cas des définitions alternatives, la transformation de Fourier inverse devient :

Définition en fréquence :

Définition en pulsation :

Preuve par la formule sommatoire de Poisson

Soit h une fonction complexe définie sur ℝ et deux fois continûment différentiable. On suppose que h vérifie l'estimation

et que les deux premières dérivées de h sont intégrables sur ℝ. Alors la transformée de Fourier de h vérifie une estimation analogue

Soit y un nombre réel qui, pour le moment, est simplement un paramètre, et notons

.

On vérifie que f a les mêmes propriétés fonctionnelles que h. Par conséquent, on peut appliquer la formule sommatoire de Poisson à f, avec lapériode 2π :

.

Mais le calcul de donne

On peut donc réécrire la formule sommatoire de Poisson en termes de h, et il vient

On multiplie les deux membres de cette identité par :

On remarque que les séries apparaissant de part et d'autre sont normalement convergentes pour la norme du maximum. On va donc pouvoiréchanger la sommation et l'intégration par rapport à y sur l'intervalle [0, 1].

À gauche, l'intégration par rapport à y ne laisse subsister qu'un seul terme, celui correspondant à n = 0. À droite, on intègre par rapport à y eton effectue dans chaque intégrale le changement de variable . On obtient ainsi la formule

On passe au cas général de la formule d'inversion de Fourier pour une fonction f intégrable ainsi que sa transformée de Fourier par uneméthode de densité. On approche f par une suite de fonctions vérifiant les hypothèses fonctionnelles de la présente démonstration. On doit

bien sûr supposer que les et leurs transformées de Fourier convergent vers leurs limites respectives et en norme L1(ℝ). On peut

construire de telles approximations en tronquant f, c'est-à-dire en le remplaçant par 0 en dehors de l'intervalle [–p, p], et en le régularisant parconvolution. Si est une fonction deux fois continûment différentiable, d'intégrale 1, et à support borné, on pose et on

convole la fonction tronquée par . C'est une idée raisonnable d'utiliser ici le même paramètre p.

Preuve par l'analyse non standard

Soit f une fonction de classe C∞ à support compact. Par le principe de transfert, on peut se contenter d'étudier le cas d'une fonction standard.

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Soit f une fonction de classe C∞ à support compact. Par le principe de transfert, on peut se contenter d'étudier le cas d'une fonction standard.

Dans ce cas, il existe un réel infiniment grand tel que pour tout réel , . Introduisons une base hilbertienne de L2([–T,

T]) donnée par :

(un calcul immédiat montre qu'elle est bien orthonormée, et le fait qu'elle soit totale se déduit de la densité des fonctions continues et de leurapproximation uniforme par des polynômes trigonométriques). Par le lemme de Parseval, on est en mesure d'écrire :

où

Plus explicitement, pour x standard :

La dernière égalité vient de ce que le membre de gauche est standard, que la somme de Riemann s'effectue sur une partition de longueurinfiniment petite (π/T), et donc que le membre de droite est la partie standard du membre intermédiaire. L'égalité recherchée est donc vraie

pour toutes les fonctions standard de classe C∞ à support compact et tout x standard. Par le principe de transfert, elle est aussi vérifiée pour

toutes les fonctions C∞ à support compact et tout x, puis par densité des fonctions C∞ à support compact dans l'espace des fonctionsintégrables, pour toutes les fonctions intégrables dont la transformée est intégrable et pour presque tout x.

Extension à l'espace ℝn

Notons x·ξ le produit scalaire canonique dans ℝn :

Si f est une fonction intégrable sur ℝn, sa transformée de Fourier est donnée par la formule :

Si est une isométrie linéaire directe, . Il en résulte que la transformée de Fourier d'une fonction radiale est radiale.

Si la transformée de Fourier de f est elle-même une fonction intégrable, on a alors la formule d'inversion :

Transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable

Extension de la transformation de L1 à L2

Le théorème de Plancherel permet de donner un sens à la transformée de Fourier des fonctions de carré sommable sur .

On commence par un premier résultat préparatoire.

Lemme — Soit h une fonction complexe deux fois continûment dérivable sur , qui vérifie l'estimation

(où C est une constante),

et dont les deux premières dérivées sont intégrables. Ceci implique que la transformée de Fourier est bien définie et de carré intégrable. De

plus, on a l'identité:

Preuve par la formule sommatoire de Poisson

On reprend la formule établie ci-dessus dans la démonstration de la formule d'inversion de Fourier:

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On prend le carré du module des deux membres, et on intègre sur l'intervalle par rapport à y et sur l'intervalle :

On peut échanger l'ordre de la sommation et des deux intégrations dans l'expression ci-dessus, parce que les hypothèses faites sur h impliquentque les séries convergent normalement dans l'espace des fonctions continues de x et y, périodiques de période en x et de période 1 en y.L'intégration en y du premier membre ne laisse subsister que les termes pour lesquels m et n sont égaux, et l'intégration en x du deuxièmemembre ne laisse subsister que les termes pour lesquels j et k sont identiques. Il reste donc:

Il suffit de faire dans le premier membre le changement de variable dans chaque intégrale et dans le second le changement

de variable dans chaque intégrale , et on obtient la formule:

Après changement de la variable muette en , on obtient la formule annoncée.

Une fois démontrée dans le lemme ci-dessus la formule de Plancherel pour une classe de fonctions suffisamment régulières, on étend par densité latransformation de Fourier à tout .

Extension de la transformation de Fourier par densité

On adopte encore les mêmes notations que dans la démonstration de la formule d'inversion de Fourier par la formule sommatoire de Poisson,donc est une fonction deux fois continûment différentiable, à support compact, et d'intégrale 1. On pose .

Soit h une fonction de carré intégrable, et soit p un nombre entier quelconque. On définit

et on peut montrer le résultat suivant:

La démonstration utilise des techniques classiques d'approximation par régularisation.

D'autre part, les fonctions ont les propriétés nécessaires pour appliquer le lemme ci-dessus, et en particulier

Comme la suite est de Cauchy dans l'espace , la suite des transformées de Fourier est aussi de Cauchy, donc elle

converge. Sa limite, qu'on note , ne dépend pas du choix de la suite d'approximations. En effet, si était une autre suite d'approximations

convergeant vers h en moyenne quadratique, et satisfaisant les conditions fonctionnelles sous lesquelles on peut appliquer la formule sommatoirede Poisson, on aurait l'estimation

qui tend vers 0 pour p tendant vers l'infini. Par conséquent tend aussi vers 0 et on conclut que la limite de la suite est bien .

On a ainsi le théorème de Plancherel :

Théorème de Plancherel — Soit f une fonction complexe sur et de carré sommable. Alors la transformée de Fourier de f peut être définiecomme suit: pour tout p entier, on pose

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La suite des transformées de Fourier converge dans , et sa limite est la transformée de Fourier , c'est-à-dire

De plus on a l'identité:

De façon similaire, si on pose les convergent en moyenne quadratique vers

Démonstration du théorème de Plancherel

L'identité suivante résulte du procédé d'extension décrit ci-dessus :

Considérons alors la suite de fonctions . En vertu du théorème de convergence dominée de Lebesgue pour les fonctions de

carré sommable, la suite des converge en moyenne quadratique vers f, et par conséquent, on aura aussi

en d'autres termes, converge en moyenne quadratique vers . La démonstration pour la formule d'inversion est analogue.

Ainsi la transformation de Fourier-Plancherel définit un automorphisme de l'espace L2, qui est une isométrie, à condition de faire un changement d'échelle si l'onutilise la notation en pulsation

En physique, on interprète le terme figurant sous l'intégrale comme une densité spectrale de puissance.

La définition de la transformation de Fourier-Plancherel est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions intégrables. Surl'intersection des domaines de définition, on montre à l'aide du théorème de convergence dominée de Lebesgue que les deux définitions

coïncident.

La transformation vue comme opérateur de L2(R)

Remarque : ce paragraphe utilise la définition fréquentielle de la transformée de Fourier, pour des raisons d'isométrie.

Nous venons de voir que la transformation de Fourier induit sur l'espace de Hilbert un opérateur linéaire. Nous en récapitulons ici les propriétés :

est un opérateur unitaire de . Il s'agit en particulier d'une isométrie. On retrouve le premier fait, connu sous le nom de formule de Parseval, affirmant

que pour toutes fonctions

et en particulier le deuxième fait, connu sous le nom de théorème de Plancherel

son inverse (qui est aussi son adjoint) est donné par ;

en tant qu'automorphisme, est de période 4. Autrement dit ;

en tant qu'endomorphisme de , a pour valeurs propres les quatre racines 4-ièmes de l'unité, soit . Une base orthogonale de

vecteurs propres est donnée par les fonctions d'Hermite-Gauss

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où sont les polynômes d'Hermite « probabilistes », qui s'écrivent

.

Avec ces notations, la formule suivante récapitule la situation

On retrouve la gaussienne comme première fonction d'Hermite. Ces fonctions appartiennent à la classe de Schwartz , elles sont à la fois temporellement etfréquentiellement à décroissance exponentielle.

Lien avec le produit de convolution

La transformation de Fourier a des propriétés très intéressantes liées au produit de convolution. On rappelle que d'après les inégalités de Young,

Si , alors et

Si et , alors et

Si , alors et

Ainsi

Si , alors

Par densité, cette égalité tient encore si et .

Si , alors ; de plus, l'égalité est vraie si .

Principe d'incertitude

Article détaillé : Principe d'incertitude.

On peut remarquer que les répartitions d'une fonction et de sa transformée de Fourier ont des comportements opposés : plus la masse de f(x) est« concentrée », plus celle de la transformée est étalée, et inversement. Il est en fait impossible de concentrer à la fois la masse d'une fonction et celle de satransformée.

Ce trade-off entre la compaction d'une fonction et celle de sa transformée de Fourier peut se formaliser par un principe d'incertitude en considérant unefonction et sa transformée de Fourier comme des variables conjuguées par la forme symplectique sur le domaine temps-fréquence : par la transformationcanonique linéaire, la transformation de Fourier est une rotation de 90° dans le domaine temps–fréquence qui préserve la forme symplectique.

Supposons f intégrable et de carré intégrable. Sans perte de généralité, on supposera f normalisée :

Par le théorème de Plancherel, on sait que est également normalisée.

On peut mesurer la répartition autour du point x = 0 par la dispersion autour de zéro :

En probabilités, il s'agit du moment d'ordre 2 de |f|2.

Le principe d'incertitude dit que si f(x) est absolument continue et que les fonctions x·f(x) et f′(x) sont de carrés intégrables, on a alors

L'égalité n'est atteinte que pour (alors ) pour σ > 0 arbitraire et C1 telle que f est L2–normalisée, soit, si f

est une fonction gaussienne (normalisée) centrée en 0 et de variance σ2, et sa transformée de Fourier est une gaussienne de variance σ−2.

Transformation de Fourier sur l'espace de Schwartz

L'espace de Schwartz est l'espace des fonctions de classe C∞ sur , telles que et toutes ses dérivées soient à décroissance rapide. C'est un

sous-espace vectoriel de L1, donc pour lequel la transformée de Fourier est définie. L'intérêt de la classe de Schwartz résulte de la propriété d'échange entrerégularité et décroissance à l'infinie qu'opère la transformée de Fourier.

Toute fonction de Schwartz est de classe C∞ avec des dérivées toutes intégrables. On en déduit que sa transformée de Fourier est à décroissance rapide.

2

3

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Toute fonction de Schwartz est à décroissance rapide. On en déduit que sa transformée de Fourier est de classe C∞.

Ainsi, on visualise intuitivement pourquoi l'espace de Schwartz est invariant par transformation de Fourier. Cet espace est donc très commode pour l'utilisation

de cette dernière. De plus, l'espace de Schwartz est dense dans L1 et dans L2, et pourrait donc servir de base pour la définition de la transformation deFourier sur ces espaces.

Formule d'inversion de Fourier sur —

La transformée de Fourier induit un automorphisme bicontinu de l'espace de Schwartz sur lui-même, dont l'inverse est défini par

Remarque : cette formule dépend de la convention choisie pour la transformation de Fourier dans l'espace des fonctions. Elle est valide pour une transformationde Fourier exprimée dans l'espace des fréquences, dont la définition utilise

Démonstration de la formule d'inversion

Prouvons d'abord que est stable par . Par commodité, nous ne traiterons que le cas , mais le cas quelconque se traite de

manière similaire. Soit donc

1. D'une part, la décroissance rapide implique que pour tout entier naturel , est intégrable. La fonction est donc

définie et C∞.

2. D'autre part, pour tout couple d'entiers naturels , la fonction est dans , donc dans L1. Sa

transformée de Fourier tend vers 0 à l'infini. Or, en appliquant les propriétés d'échange entre multiplication par un polynôme et

dérivation,

ce qui prouve la décroissance rapide de ainsi que toutes ses dérivées successives. Elle satisfait donc aux conditions d'appartenance

à

Soit un élément de donc de L1. D'après le point précédent, appartient aussi à L1. Le théorème d'inversion sur L1 s'applique et

donne, en notant l'opérateur de composition par –Id :

ce qui prouve que et bijectif et que son inverse est

Transformation de Fourier pour les distributions tempérées

On définit la transformée de Fourier d'une distribution tempérée comme la distribution définie via son crochet de dualité par

.

Les détails et des exemples ne sont pas donnés ici, mais figurent dans l'article relatif aux distributions tempérées.

Remarquons que l'expression de la transformée de Fourier d'une fonction ressemble au produit scalaire dans entre et la

conjuguée de . Sauf que n'a pas de sens car n'est pas dans . C'est le crochet de dualité des distributions

, qui pour les fonctions coïncident avec le produit scalaire de , donne sens à cette formulation en tant que produit scalaire.

Cette généralisation va bien plus loin car l'espace des distributions tempérées englobe les différents objets sur lesquels la transformée de Fourier a été

définie : fonctions de sommables ou de carré sommable, fonctions de périodiques localement sommables ou localement de carré sommable, suitesdiscrètes sommables, suites discrètes périodiques. La transformée de Fourier sur unifie et généralise les différentes définitions des transformées avec

l'unique formalisme des distributions. Nous allons montrer que la transformée de Fourier sur généralise les notions d'intégrales de Fourier et de séries de

Fourier, en analysant successivement ces espaces.

Compatibilités

Compatibilité avec les espaces de fonctions

Les fonctions intégrables et les fonctions de carré sommable définissent des distributions tempérées. Montrons que les deux notions possibles de transformée

de Fourier coïncident dans le cas L1, puis utilisons cette compatibilité pour l'établir dans le cas L2.

Compatibilité avec L1 et L2 — Soit

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et sa transformée de Fourier dans L1,

ou bien

et sa transformée de Fourier dans L2.

Dans ces deux cas, définit une distribution tempérée égale à la transformée de Fourier de , c'est-à-dire

Démonstration

Soit . Il s'agit de vérifier que pour tout

c'est-à-dire

Cela résulte simplement du théorème de Fubini, appliqué à la fonction intégrable

Les deux applications continues et , de L2 dans l'espace séparé sont égales car elles coïncident, d'après le point

précédent, sur le sous-espace dense L1∩L2.

Enfin, les fonctions périodiques intégrables sur une période sont exactement les fonctions à la fois périodiques et localement intégrables, et donc définissent desdistributions régulières.

Compatibilité avec L1per — La transformée de Fourier d'une distribution régulière définie par une fonction T-périodique

, est la distribution à support discret correspondant à la suite de ses coefficients de Fourier :

Si le résultat énoncé ne concerne que les fonctions périodiques de la variable réelle, même si le résultat s'étendrait facilement aux fonctions périodiques sur unréseau de Comme la transformation de Fourier est bijective, la démonstration de ce résultat sera une conséquence du théorème sur les distributions

périodiques.

Compatibilité avec les espaces de suites

Les suites, c'est-à-dire les signaux discrets, peuvent s'exprimer comme fonction de à support dans . À une suite donnée correspond en

effet de manière unique une série de masses de Dirac . Lorsque cette suite est sommable, cette série de masses de Dirac a en effet un sens

en tant que distribution tempérée d'ordre 0.

Compatibilité de avec — Soit une suite sommable à valeurs complexes notée . Sa transformée de Fourier à temps

discret est une fonction 1-périodique qui coïncide avec la transformée de Fourier de la série de masses de Dirac associée à a.

.

Démonstration de la compatibilité de avec

Lorsque a est sommable, la somme définit bien une distribution d'ordre 0. En effet, pour une fonction test ,

Par continuité de la transformation de Fourier et formule de la transformée du dirac ,

.

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On retrouve bien la transformée de Fourier en temps discret.

Par densité, la démonstration s'étend aux séries de carré sommable. Notons en outre que la transformée de Fourier des distributions périodiques donne unedéfinition de la transformée de Fourier à suite discrètes non pas sommables, au moins à croissance polynômiale.

En particulier, la transformée de Fourier discrète (TFD) s'interprète également comme la transformée d'une distribution tempérée. En effet, une suite finie de Npoints s'identifie de manière unique avec une suite N-périodique obtenue par périodisation, c'est-à-dire convolution avec un peigne de Dirac.

Compatibilité de avec la TFD — La TFD d'une suite à l'ordre N est la transformée de Fourier de la distribution à support dans

obtenue par périodisation de à la période N, c'est-à-dire convolution par un peigne de Dirac :

avec .

Signaux discrets et signaux périodiques

Nous pouvons retenir que formellement, la transformée de Fourier échange discrétisation et périodisation.

Le spectre d'un signal discret obtenu par échantillonnage à la période T présente un spectre périodique, résultant de la périodisation du spectre du signal

continu :

.

Si la multiplication n'est pas définie entre distribution, on donne dans le cas du peigne un sens à , et la formulation de convolution est

encore vérifiée : .

Le spectre d'un signal T-périodique , c'est-à-dire la somme de sa série de Fourier, est celui obtenu par discrétisation du spectre du signal tronqué sur

une seule période.

avec .

Liens avec d'autres transformations

Lien avec les transformations de Laplace

La transformée de Fourier d'une fonction est un cas particulier de la transformée bilatérale de Laplace de cette même fonction définie par :

avec .

On constate alors que .

On peut également écrire ce lien en utilisant la transformée de Laplace « usuelle » par :

où les fonctions et sont définies par :

si t ≥ 0 et 0 sinon.

si t ≥ 0 et 0 sinon.

Lien avec les séries de Fourier

Parallèle formel

La transformée de Fourier est définie de façon semblable : la variable d'intégration x est remplacée par nΔx, n étant l'indice de sommation, et l'intégrale par lasomme. On a alors

.

On trouvera quelques remarques à ce sujet dans Analyse spectrale.

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Comme on l'a vu plus haut, il est d'autre part possible d'interpréter l'intégrale de la transformée de Fourier comme une somme finie de n oscillateursharmoniques, où n est un entier non standard ; cela revient à identifier (en un sens différent) la transformation de Fourier aux coefficients d'une série de Fourier.

Transformée

On utilise les variables normalisées suivantes : , .

Transformation de Fourier (analyse) Transformation inverse (synthèse)

Généralisation

La transformée de Fourier se généralise pratiquement telle quelle aux groupes abéliens localement compacts, grâce à la dualité de Pontryagin.

En traitement d'images, on effectue des transformations de Fourier à deux dimensions : si ƒ est une fonction de dans sa transformée de Fourier est

définie par :

Notes et références

1. Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], p. 174 de l'édition de 1975-77.2. (en) Mark Pinsky (de), Introduction to Fourier Analysis and Wavelets, Brooks/Cole, 2002 (ISBN 978-0-82187198-0, lire en ligne (http://books.google.fr/books?

id=tlLE4KUkk1gC&pg=PA131)), p. 131.3. Pinsky 2002.4. Ou plus précisément à l’ombre de cette somme .

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fourier transform(https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform?oldid=583088122) » (voir la liste des auteurs (https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform?action=history))

Jean-Michel Bony, Cours d'analyse, Éditions de l'École Polytechnique

Srishti D. Chatterji, Cours d'analyse, Presses polytechniques et universitaires romandes, 1998 (ISBN 978-2880743468)

Voir aussi

Articles connexes

Densité spectraleDensité spectrale de puissanceProduit de convolution

Transformée de Fourier rapideTransformée de Fourier discrèteTransformée de Laplace

Transformation de HankelTransformation de MellinFixed point per octave (FPPO)

Bispectre

Liens externes

Alain Yger, Espaces de Hilbert et analyse de Fourier (http://www.math.u-bordeaux1.fr/~yger/mht613.pdf) (2008), cours de 3e année de licence, universitéBordeaux IMichel Lecomte, Transformation de Fourier Cours et exercices (http://www.seeks.fr/qc_redir?

q=cours+transform%C3%A9e+de+fourier&url=http%3A%2F%2Ffcd.ema.fr%2Ffourier.pdf) (Juillet 2001), École des Mines de Douai

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[réf. nécessaire]

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1/8/2014 Transformation de Fourier — Wikipédia

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(en) « FTL-SE » (http://www.jcrystal.com/products/ftlse/index.htm), programme éducatif sur les transformées de Fourier d'images

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