8/18/2019 Transformation HELMERT + BAssin versant
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1. Transformation de Helmert à « 3 » paramètres ou similitude
euclidienne.
Démonstration de la formule à partir de la théorie des moindres
carrés.
Le but de cette transformation est d’adapter un réseau de (n)
points connu dans un système local à un réseau constituédes mêmes
(n) points donnés en système général (par exemple Lambert ).
!otations "#$ % " coordonnées en repère général. x$ y "
coordonnées en repère local.& " isobarycentre des (n) points '$
$ g " isobarycentre des (n) points a$ b$
*oordonnées d’un point après adaptation " translation (tx$ ty)$
rotation d’angle α (sens positif trigo)$ adaptationd’échelle
de facteur + (homothétie)"
!otation matricielle "
+
αα−αα
=
ty
tx
y
x.
cossin
sincos.+
%
#
,
,
-uations " #, / + . cosα . x 0 + . sinα .
y 0 tx%, / 1+ . sinα . x 0 + . cosα . y 0 tx
-n posant a / + . sinα et b / + . cosα $ on obtient "
#, / b x 0 a y 0 tx (2)%, / 1 a x 0 b y 0 ty (3)
4n cherche donc les 5 paramètres (tx $ ty $ a et b) de cette
adaptation à partir des coordonnées (xi $ yi) et (#i $ %i) des
(n) points connus dans les deux systèmes. 6l faut donc au
moins 3 points connus dans les deux systèmes pour obtenir unsystème
de uatre éuations à uatre inconnues.
7i on dispose de plus de deux points communs$ on peut chercher
les paramètres (tx $ ty $ a et b) en minimisant les écartsentre
points connus et points calculés par adaptation. *ela se fait à
partir de la théorie des moindres carrés enminimisant la somme des
carrés des distances entre points connus et points calculés par
adaptation.
1) 7omme des carrés distances entre points connus et
points calculés par adaptation "8(tx $ ty $ a et b) / Σ [(#i 9
#,i)3 0 (%i 9 %,i)3 : / Σ [(#i 9 b xi 9 a
yi 9 tx)3 0 (%i 0 a xi 9 b yi 9
ty)3 :
8 est une fonction de 5 paramètres $ Σ représente la
sommes de (i / 2) à (i / n).
;our minimiser cette fonction$ il suffit d’annuler les 5 déri13
(#i 9 b xi 9 a yi 9 tx): / = 7oit " Σ#i 9 b .
Σxi 9 a . Σyi 9 n . tx / =
Σ >13 (%i 0 a xi 9 b yi 9 ty): / = 7oit "
Σ%i 0 a . Σxi 9 b . Σyi 9 n . ty / =
4n en déduit les composantes du
