Transmission Codage Et Traitement Du Signal (1)

1

012345678900012344455677789012334567890123456789012345678889011234567889901234

Transmission, Codage et Traitement du Signal

Jean-Pierre Costa

Universite d’Avignon et des pays du Vaucluse

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CERI

BP 91228 84911 Avignon

Table des matieres i

Table des matieres

I Etude des signaux continus deterministes 1

1 Notion de signaux et systemes 2

1.1 Introduction a la theorie du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Quelques signaux elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Exemples de systemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Energie et puissance 5

2.1 Signaux a energie finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Signaux a puissance moyenne finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Energie d’interaction de 2 signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Autocorrelation, intercorrelation, convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.1 Fonction d’autocorrelation d’un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.2 Proprietes de la fonction d’autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4.3 Fonction d’intercorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.4 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Exercices : Autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Representation frequentielle 11

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.1 Le signal periodique elementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.2 Representation frequentielle du signal elementaire . . . . . . . . . . . 13

3.2 Developpement en serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

ii Table des matieres

3.2.3 Egalite de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.4 Quelques proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Proprietes des series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3.1 Liens entre les coefficients Sk, ak et bk . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Filtrage 19

4.1 Filtrage des signaux a temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1.1 Filtre lineaire continu et invariant dans le temps . . . . . . . . . . . . 19

4.1.2 Filtrage frequentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1.3 Puissance et energie des signaux avant et apres filtrage . . . . . . . . 21

4.1.4 Fenetrage temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1.5 Analyse blocs–diagrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1.6 Filtre sans distorsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Transmission de signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.1 Signaux a bande limitee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.2 Transmission en bande de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.3 Transmission par modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.4 Definition d’un filtre de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.5 Signal analytique associe a un signal reel . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.6 Enveloppe complexe des signaux bande etroite . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.7 Amplitude et phase instantanees d’un signal bande etroite . . . . . . 30

II Transmission analogique 31

1 Modulation d’amplitude 32

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.2 Modulation a bande laterale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.2.1 Demodulation d’un signal BLD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3 Modulation d’amplitude ordinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Table des matieres iii

1.3.1 Demodulation d’un signal AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.3.2 Index de modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4 Modulation a bande laterale unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4.1 Demodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.5 Modulation a bande laterale residuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.6 Applications des modulations analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.6.1 Subdivisions des bandes de frequences . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.6.2 Transposition de frequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.6.3 Multiplexage en frequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.7.1 Modulation BLD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.7.2 Multiplex frequentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

III Transmission d’informations numeriques 43

1 Generalites 44

1.1 Le modele OSI des reseaux de communication . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.2 Canal de communication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.3 Types de transmissions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.3.1 Quelques elements d’un systeme de transmission . . . . . . . . . . . . 46

1.3.2 Transfert entre 2 systemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.3.3 Transmission analogique/numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.4 Les supports physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.4.1 Cables conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.4.2 Cables a fibre optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.4.3 Transmissions sans fil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2 Transmission analogique 51

2.1 Caracteristiques d’un canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1.1 Deformation du signal emis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1.2 La bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

iv Table des matieres

2.1.3 Quelques definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2 Transmission numerique par modulation d’une porteuse . . . . . . . . . . . 55

2.2.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2.2 Modulation d’amplitude : A variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2.3 Modulation de frequence : f0 variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.2.4 Modulation amplitude-frequence : A et f0 variables . . . . . . . . . . 58

2.2.5 Modulation de phase : ϕ variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2.6 Modulations de phase differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2.7 Modulation d’amplitude et phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2.8 Le multiplexage frequentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 Transmission numerique en bande de base 63

3.1 La numerisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.2 Modulation par impulsions codees (MIC) . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1.3 Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1.4 les differentes Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2 Quantification non lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.2 Exemple : la parole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3 Compression-Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3.2 Loi µ (Etats Unis – Japon) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3.3 Loi A (Europe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4 La modulation MIC differentielle DPCM et ADPCM . . . . . . . . . . . . . 69

3.5 Modulation DELTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5.2 Modulateur delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5.3 Demodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.6 Multiplexage temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Table des matieres v

3.6.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.6.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.7 Codage en bande de base : formatage des signaux . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.7.1 Code de type non retour a zero (NRZ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.7.2 Code RZ (retour a 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.7.3 Transcodage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.7.4 Codes a deux niveaux et rythme double . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.7.5 Codes de blocs binaires nBmB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.7.6 Codes a 3 niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.7.7 Codage a spectre etale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.7.8 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.8 Transmission parallele – Transmission serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

IV Application 79

1 Une application : L’ADSL 80

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.1.1 La jeune Histoire d’Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.2 La connexion a Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1.2.1 Les avantages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

1.2.2 Les inconvenients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

1.2.3 L’evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1.3 Les technologies xDSL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1.3.1 Deux grandes familles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1.3.2 Description des differentes technologies . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

1.4 L’ADSL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

1.4.1 Pourquoi l’ADSL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

1.4.2 Comment ca marche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

1.4.3 Performances et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

1.5 Conclusion ADSL ou Asymetric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

vi Table des matieres

V Etude des signaux discrets 101

1 L’echantillonnage 102

1.1 Notion d’echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

1.2 Echantillonnage parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

1.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

1.2.2 Theoreme d’echantillonnage en bande de base . . . . . . . . . . . . . 104

1.3 Echantillonnage regulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

1.4 Filtre anti-repliement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

1.5 Interpolation par le bloqueur d’ordre 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2 Signaux deterministes a temps discret 107

2.1 Signaux a temps discret elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.2 Proprietes des signaux a temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.3 Transformee de Fourier des signaux a temps discret . . . . . . . . . . . . . . 109

2.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.3.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

2.4 Proprietes de la transformee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

2.5 Transformee de Fourier discrete d’un signal discret . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.5.1 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.5.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.6 Fenetres de ponderation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.6.1 Fenetre rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.6.2 Fenetre de Hamming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.6.3 Fenetre de Kaiser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

2.6.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

2.7 La transformee de Fourier rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

VI Etude des signaux aleatoires 118

1 Rappels sur les probabilites 119

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Table des matieres vii

1.2 Probabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

1.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

1.2.2 Definitions complementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

1.2.3 Algebre des evenements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

1.2.4 Probabilite d’un evenement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

1.3 Variables aleatoires reelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

1.3.1 Histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

1.3.2 Fonction de repartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

1.3.3 Densite de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

1.4 Lois de repartition particulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

1.4.1 Loi de Bernouilli x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

1.4.2 Loi de poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

1.4.3 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

1.4.4 Loi normale ou gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

1.5 Moyennes statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

1.5.1 Esperance mathematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

1.5.2 Fonction d’une variable aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

1.5.3 Fonction de deux variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

1.5.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

1.5.5 Moments et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

1.5.6 Fonction caracteristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

1.6 Moments conjoints et covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

1.6.1 Repartition conjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

1.6.2 Repartition marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

1.6.3 Repartition conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

1.6.4 Variables aleatoires independantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

1.6.5 Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

1.6.6 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

1.6.7 Coefficient de correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

1.6.8 Evenements orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

1.6.9 Variables conjointement gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

viii Table des matieres

1.7 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

1.7.1 Fonction de variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

1.7.2 Determination de la densite de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . 138

1.7.3 Formule de changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

1.8 Somme d’un grand nombre de variables aleatoires independantes . . . . . . . 140

1.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

1.9.1 Variables aleatoires, fonctions de repartition et densites . . . . . . . . 140

1.9.2 Moyennes statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

2 Signaux aleatoires 142

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2.2 Les moments temporels, les relations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

2.2.1 Moyenne temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

2.2.2 Autocorrelation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

2.3 Caracteristiques statistiques d’un processus aleatoire . . . . . . . . . . . . . 144

2.3.1 Moyenne statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

2.3.2 Autocorrelation, autocovariance statistiques . . . . . . . . . . . . . . 144

2.4 Stationnarite, Ergodicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

2.4.1 Stationnarite au sens strict . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

2.4.2 Processus aleatoire stationnaire au second ordre . . . . . . . . . . . . 145

2.4.3 Processus ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

2.5 Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

2.5.1 Autocorrelation statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

2.5.2 Intercorrelation statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

2.5.3 Autocovariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2.5.4 Intercovariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2.6 Analyse spectrale des processus aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2.6.1 Densite spectrale de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2.6.2 Le bruit blanc b(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2.6.3 Le bruit colore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

2.7 Processus aleatoires particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Table des matieres ix

2.7.1 Sequences independantes et identiquement distribuees (i.i.d.) . . . . . 148

2.7.2 Processus aleatoire gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

2.8 Filtrage des processus aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

2.8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

2.8.2 Les relations en discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

2.8.3 Filtre lineaire invariant dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

2.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

2.9.1 Stationnarite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

2.9.2 Filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

2.9.3 Processus aleatoires particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3 Identification parametrique 155

3.1 La transformee en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3.1.2 Transformee en z unilaterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.1.3 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.1.4 Systemes definis par une equation aux differences . . . . . . . . . . . 157

3.1.5 Filtres a reponse impulsionnelle finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.1.6 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3.1.7 Filtres a reponse impulsionnelle infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

3.1.8 Comparaison entre les filtres RIF et RII . . . . . . . . . . . . . . . . 161

3.2 Processus aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3.2.1 Processus MA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3.2.2 Processus AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3.2.3 Processus ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.3 Application a la prediction lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.3.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Bibliographie 171

1

Premiere partie

Etude des signaux continus

deterministes

CERI Avignon Traitement du signal J.-P.Costa

2 Chapitre 1. Notion de signaux et systemes

Chapitre 1 Notion de signaux et systemes

1.1 Introduction a la theorie du signal

La theorie du signal a pour objet l’etude des signaux et des systemes qui les transmettent.

L’observation d’un phenomene permet d’extraire certaines quantites qui dependent du temps

(de l’espace, d’une frequence, ou d’une autre variable). Ces quantites, supposees mesurable,

seront appelees des signaux. Elles correspondent, en mathematiques, a la notion de fonction

(d’une ou plusieurs variables : temps, espace, etc.) qui en constitue donc une modelisation.

Dans le cours de traitement du signal nous verrons que la notion de distribution est une

modelisation a la fois plus generale et plus satisfaisante des signaux.

On peut citer quelques exemples de signaux :

– intensite d’un courant electrique,

– position d’un mobile, repere par sa position au cours du temps, M = M(t),

– niveaux de gris des points d’une image g(i,j),

– un son,

– · · ·

Il existe plusieurs types de representations pour les signaux. En effet,

– on peut modeliser un signal de maniere deterministe ou aleatoire.

– Dans le cas ou la variable est continue, le signal est analogique (x = x(t)); dans le cas

ou elle est discrete, le signal est discret (x = (xn)n∈Z). Un signal discret est le plus

souvent le resultat d’une discretisation (echantillonnage) d’un signal analogique.

CERI Avignon Transmission, Codage et Traitement du signal J.-P.Costa

1.2 Quelques signaux elementaires 3

– Les valeurs x = x(t) du signal seront considerees comme des valeurs exactes, reelles

ou complexes.

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Signal analogique

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Peigne de dirac

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Signal echantillonne

Les signaux sont vehicules a travers un systeme de transmission (ou canal de transmission).

D’une maniere generale, on appelle systeme toute entite, permettant de distinguer des

signaux d’entree et des signaux de sortie.

On distingue

– Les systemes analogiques dont les signaux d’entree–sortie sont analogiques.

– Les systemes discrets dont les signaux d’entree–sortie sont discrets.

On passe d’un signal discret a un signal analogique ou inversement, par des convertisseurs :

– convertisseur analogique – numerique, comme par exemple , l’echantillonneur,

– convertisseur numerique – analogique qui recompose un signal analogique a partir d’un

signal numerique. Par exemple le bloqueur, qui conserve la derniere valeur du signal

jusqu’a l’obtention de la valeur suivante.

1.2 Quelques signaux elementaires

1. Echelon unite (Heaviside) : on le note u(t) et il est defini par

Ce signal modelise l’etablissement instantane d’un regime constant.

2. La fonction porte, notee Πθ(t) est definie par


4 Chapitre 1. Notion de signaux et systemes

u(t) =

{0 si t < 01 si t ≥ 0

−5 0 5 10 15 20 25 30−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

u(t) u(t)

t

Πθ(t) =

{1 si |t| < θ0 si |t| > θ

θ > 0 donne

−30 −20 −10 0 10 20 30−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

−θ θ

Πθ(t)

t

3. Signal sinusoıdal pur : c’est un signal de la forme

x(t) = A cos(ωt+ ϕ)

ou A est l’amplitude du signal, ω la pulsation et ϕ la phase initiale.

1.3 Exemples de systemes

1. L’amplificateur ideal : y(t) = k x(t) avec k une constante fixee.

2. Ligne a retard y(t) = x(t− a) avec k une constante reelle.

3. Circuit RC Ce systeme est regit par une equation differentielle lineaire du premier

ordre a coefficients constants.

e(t) = s(t) +RC s′(t)

La fonction de transfertS(p)

E(p)=

1

1 +RC P


5

Chapitre 2 Energie et puissance

2.1 Signaux a energie finie

Lorsqu’on etudie les proprietes des signaux, il est important d’etudier l’energie d’un signal.

Par definition, l’energie E (exprimee en Joules) d’un signal a temps continu s(t) est

E =

∫ +∞

−∞|s(t)|2 dt

E =

∫ +∞

−∞s(t)s∗(t) dt

Si cette integrale est finie on parle de signaux a energie finie. La quantite p(t) = s(t)s∗(t)

s’appelle la puissance instantanee. Les signaux de duree limitee sont a energie finie.

2.2 Signaux a puissance moyenne finie

On definit, si elle existe, la puissance moyenne par

p = limτ→∞

1

τ

∫ +τ/2

−τ/2s(t)s∗(t) dt

Si cette limite est finie, on parle de signaux a puissance moyenne finie. Dans le cas des

signaux periodiques de periode T0, la puissance moyenne du signal correspond a la puissance


6 Chapitre 2. Energie et puissance

moyenne sur une periode du signal.

p =1

T0

∫ +T0/2

−T0/2s(t)s∗(t) dt

p s’exprime en Watts (Joules par seconde).

Remarques:

– un signal d’energie finie (E <∞) a une puissance moyenne nulle,

– un signal d’energie E = 0 est considere comme egal a 0 (signal nul),

– 2 signaux x(t) et y(t) sont egaux si l’energie de leur difference est nulle∫ +∞−∞ |x(t) −

y(t)|2 dt = 0

Tous les signaux physiques sont a energie finie mais on les modelise mathematiquement

comme des signaux eternels dont on observe une certaine duree.

Signaux nuls E = 0

Signaux a energie finieE <∞P = 0

signaux de module fini et de support borne

Signaux a puissance moyenne finieE =∞P <∞

signaux periodiques

Autres signauxE =∞P =∞

s(t) = t, bruit blanc, dirac

2.3 Energie d’interaction de 2 signaux

Prenons comme exemple 2 sources ponctuelles S1 et S2 produisant en un point de l’espace

une onde de pression s1(t) et s2(t). Lorsque ces 2 sources agissent simultanement, l’onde de

pression en ce point est s(t) = s1(t) + s2(t). Si on veut calculer l’energie de s(t), on obtient


2.4 Autocorrelation, intercorrelation, convolution 7

alors :

E =

∫ +∞

−∞s(t)s∗(t) dt

=

∫ +∞

−∞s1(t)s

∗1(t) dt+

∫ +∞

−∞s2(t)s

∗2(t) dt+∫ +∞

−∞s1(t)s

∗2(t) dt+

∫ +∞

−∞s2(t)s

∗1(t) dt

E = E1 + E2 + E12 + E21

On a l’energie de chacune des 2 ondes plus des termes croises relatifs a l’interaction des 2

signaux.

On definit donc

– la puissance instantanee d’interaction de 2 signaux par:

Pxy(t) = x(t)y∗(t)

On remarque que Pyx(t) = P ∗xy(t),

– l’energie d’interaction de 2 signaux

Exy =

∫ +∞

−∞x(t)y∗(t) dt

avec |Exy|2 ≤ ExEy

2.4 Autocorrelation, intercorrelation, convolution

2.4.1 Fonction d’autocorrelation d’un signal

– a energie finie

Css(τ) =

∫ +∞

−∞s(t)s∗(t− τ) dt



0 0.02 0.04 0.06

−1

−0.5

0

0.5

1

Signal utile x(t)

0 0.02 0.04 0.06−4

−2

0

2

4Signal bruité y(t), RSB=−7dB

0 0.02 0.04 0.06−100

−50

0

50

100Cxx(τ)

τ

0 0.02 0.04 0.06−100

−50

0

50

100

150

200

Cyy(τ)

τ

Autocorrelation d’une sinusoıde et d’une sinusoıde bruitee

– a puissance moyenne finie

Css(τ) = limT→∞

1

T

∫ +T/2

−T/2s(t)s∗(t− τ) dt

– periodique

Css(τ) =1

T0

∫ +T0/2

−T0/2s(t)s∗(t− τ) dt

La fonction d’autocorrelation traduit la similitude d’un signal au niveau de la forme en

fonction d’un decalage temporel. C’est une mesure de la ressemblance du signal avec lui

meme au cours du temps. Dans le cas d’un signal periodique, la fonction d’autocorrelation

le sera aussi et permettra de detecter cette periodicite.

2.4.2 Proprietes de la fonction d’autocorrelation

– Css(0) = Es ≥ 0 : l’autocorrelation est maximum en 0 et correspond a l’energie du

signal.

– Dans le cas ou s(t) est un signal reel, la fonction d’autocorrelation est paire Css(τ) =

Css(−τ).

– Dans le cas ou s(t) est un signal complexe, la fonction d’autocorrelation est a symetrie

hermitienne Css(τ) = C∗ss(−τ).


2.4 Autocorrelation, intercorrelation, convolution 9

0 0.05 0.1 0.15−4

−2

0

2

4

Signal émis

temps (t)0 0.05 0.1 0.15

−10

−5

0

5

10Signal recu

temps (t)

−0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15

−200

−100

0

100

200

300

400Intercorrélation Cxy(τ)

τ

Exemple d’une impulsion radar

2.4.3 Fonction d’intercorrelation

– a energie finie

Cxy(τ) =

∫ +∞

−∞x(t)y∗(t− τ) dt


Cxy(τ) = limT→∞

1

T

∫ +T/2

−T/2x(t)y∗(t− τ) dt

Puisque Cxy(τ) est une mesure de similitude, elle atteint son maximum pour une valeur de

τ lorsque la similitude est la plus grande.

2.4.4 Produit de convolution

Le produit de convolution est un outil tres pratique pour le calcul de la reponse d’un

systeme lineaire et invariant dans le temps. En effet la reponse y(t) d’un tel systeme a une

entree quelconque x(t) s’exprime comme le produit de convolution de x(t) avec la reponse

impulsionnelle h(t) du systeme, c’est a dire :

y(t) = x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t) =

∫ +∞

−∞h(u)x(t− u) du =

∫ +∞

−∞x(u)h(t− u) du



2.5 Exercices : Autocorrelation

Soit la fonction x(t) = S0 e−iω0t

1. Montrer que cette fonction est periodique de periode T0 (x(t+ T0) = x(t)).

2. Calculer la fonction d’autocorrelation Cxx(τ).

3. Verifier les proprietes de la fonction d’autocorrelation suivantes :

(a) Cxx(0) =Puissance moyenne,

(b) Cxx(τ) = C∗xx(−τ) : symetrie hermitienne,

(c) |Cxx| ≤ Cxx(0) : la fonction est maximum en 0,

(d) comme x(t) est periodique alors Cxx(τ) est periodique.

Soit la fonction x(t) = S0 e−αt u(t)

avec α > 0 et u(t) = 1 pour t ≥ 0 et 0 ailleurs

1. Representer sur le meme graphe l’allure de x(t) et de x(t− t0).

2. Montrer que la fonction d’autocorrelation Cxx(τ) est

Cxx(τ) =S20

2αe−ατ

3. Verifier les proprietes de la fonction d’autocorrelation (3a), (3b), (3c)

4. Memes questions pour la fonction porte Πθ(t).


11

Chapitre 3 Representation frequentielle

3.1 Introduction

3.1.1 Le signal periodique elementaire

Jusqu’a present tous les signaux etudies etaient de types analogiques et ils etaient representes

comme des grandeurs en fonctions du temps. Le signal periodique analogique elementaire

correspond au signal de type sinusoıdal d’equation :

x(t) = A sin(ω0 t+ ϕ) (3.1)

avec A l’amplitude du signal, ω = 2πf0 la pulsation, f0 la frequence du signal et ϕ la phase

a l’origine.


12 Chapitre 3. Representation frequentielle

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Sinusoide de fréquence f0=150 Hz

Temps

Am

pli

tud

e

Fig. 3.1 – Representation temporelle.

Dans la realite les signaux etudies (signaux de parole, bruits, . . .), sont plus complexe (figure

3.2).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps

Am

pli

tud

e

Fig. 3.2 – Signal reel.

Il faut donc proposer une nouvelle representation permettant de caracteriser ces signaux. En

effet, la representation temporelle ne permet pas a elle seule de caracteriser totalement ces

signaux. La representation utilisee dans ce cas est appelee ”la representation frequentielle”, le

but etant de transformer le signal temporel en un signal faisant intervenir des frequences. La

transformation permettant de realiser le passage d’un signal temporel en un signal frequentiel

est appelee la Transformee de Fourier (TF).


3.1 Introduction 13

3.1.2 Representation frequentielle du signal elementaire

L’equation de l’onde elementaire (Eq. 3.1) montre que x(t) contient une seule et unique

frequence f0. La representation en frequence de ce signal est donc la plus simple possible, cf

figure 3.3.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Fréquences

Am

plitu

de

Fig. 3.3 – Representation frequentielle du signal elementaire

Comme les signaux que l’on va etudier sont plus complexes que l’onde elementaire, ils

vont donc avoir une representation en frequence plus complexe, c’est a dire avoir plusieurs

composantes en frequences, comme la montre la figure 3.4.

Temps

Fre

qu

en

ce

s

Fig. 3.4 – Representation Temps–Frequence du signal reel.

Le raisonnement utilise par la TF est d’exprimer les signaux reels comme une somme infinie

de signaux elementaires, ou chacun d’eux est ponderes par un coefficient. L’utilisation de



cette approche permet d’obtenir toutes les representations frequentielles possibles.

Avant d’etudier la transformee de Fourier il est important d’introduire celle-ci par l’etude

du developpement en serie de Fourier des signaux periodiques.

3.2 Developpement en serie de Fourier

3.2.1 Definition

L’idee de base d’un developpement en serie de Fourier est qu’un signal periodique peut etre

decompose en une somme de signaux harmoniques, c’est a dire de signaux dont la frequence

est multiple d’une frequence fondamentale.

Soit s(t) une fonction continue, periodique (T0). On peut decomposer ce signal en une somme

infinie d’exponentielles complexes de frequence multiple de f0 = 1/T0, de sorte que

s(t) =+∞∑

k=−∞

Skej2πk t

T0

Sk =1

T0

∫ +T0/2

−T0/2s(t)e

−2πk tT0 dt

ou les Sk representent les coefficients de Fourier. La suite des coefficients complexes Sk

constitue le spectre de raies discret du signal periodique s(t).

On peut egalement decomposer s(t) suivant :

s(t) = a0 ++∞∑k=1

ak cos(k2πt

T0) + bk sin(k2π

t

T0)

avec a0 correspondant a la valeur moyenne du signal sur une periode

a0 =1

T0

∫ +T0/2

−T0/2s(t) dt


3.2 Developpement en serie de Fourier 15

et

ak =2

T0

∫ +T0/2

−T0/2s(t) cos(k2π

t

T0) dt

bk =2

T0

∫ +T0/2

−T0/2s(t) sin(k2π

t

T0) dt

3.2.2 Exemple

Soit le signal periodique (T = 2π) suivant (cf fig 3.5):

f(t) =

1 si 0 ≤ |t| < π

−1 si π ≤ |t| < 2π

Calcul des coefficients ak et bk,

ak = 0 pour tout k

bk =2

kπ(1− (−1)k+1)

soit s(t) =+∞∑k=1

bk sin(kt)

avec bk = 0 pour les k pairs.

3.2.3 Egalite de Parseval

L’energie d’un signal periodique P est egale a la somme des energies de ses harmoniques.

P =1

T0

∫ +T0/2

−T0/2|s(t)|2dt =

+∞∑k=−∞

|Sk|2 = |a0|2 +1

2

+∞∑k=1

(|ak|2 + |bk|2))

ou chaque terme |Sk|2 represente la puissance moyenne apportee par la composante ej2πkt/T0



0 0.005 0.01 0.015 0.02

−4

−2

0

2

4

0 0.005 0.01 0.015 0.02

−4

−2

0

2

4

0 0.005 0.01 0.015 0.02

−4

−2

0

2

4

0 0.005 0.01 0.015 0.02

−4

−2

0

2

4

Signal Signal + S1

Signal + S3 Signal + S

5

Fig. 3.5 – Signal reconstruit

3.2.4 Quelques proprietes

On a vu que la composante a0 = S0 de s(t) est appelee composante continue. C’est la valeur

moyenne de s(t) sur une periode.

La frequence f0 = 1T0

est la frequence fondamentale et les composantes a1 et b1 constituent

l’amplitude du fondamental. Les frequences fk = k/T0 pour k > 1 constituent les harmoniques

d’ordre k (1er harmonique f2 = 2/T0 fois le fondamental).

De plus,

– Si s(t) est paire alors bk = 0 ∀ k.

– Si s(t) est impaire alors ak = 0 ∀ k.

– Si s(t) est reelle, ak, bk sont reels et Sk = S∗k .

– Si s(t) est complexe, ak, bk sont complexes.


3.3 Proprietes des series de Fourier 17

3.3 Proprietes des series de Fourier

3.3.1 Liens entre les coefficients Sk, ak et bk

Pour k > 0,

S0 = a0 a0 = S0

Sk = 12(ak − j bk) ak = Sk + S−k

S−k = 12(ak + j bk) bk = j(Sk − S−k)

3.4 Exercice

Calcul des coefficients de la serie de Fourier du signal periodique s(t) de periode T0 = 3π2

sK(t) = a0 +K∑k=1

ak cos(k2π

T0t) + bk sin(k

2π

T0t)

– La valeur moyenne sur une periode est de : a0 = 23π

[∫ π/20

dt+∫ 3π/2

πdt]

= 23

– coefficients ak

ak =2

T0

[∫ π/2

0

cos(2πkt

T0) dt+

∫ 3π/2

π

cos(2πkt

T0) dt

]

ak =1

πk

[sin(2πk

π

2

2

3π) + sin(2πk

3π

2

2

3π)− sin(2πkπ

2

3π)

]=

2

kπsin(2πk/3)



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Coeficients ak

k

0 2 4 6−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Signal original

0 2 4 6−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Signal reconstruit K=20

0 2 4 6−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps (t)0 2 4 6

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps (t)

Reconstruction du signal original


19

Chapitre 4 Filtrage

4.1 Filtrage des signaux a temps continu

4.1.1 Filtre lineaire continu et invariant dans le temps

Un systeme est dit lineaire si pour les entrees x1(t) et x2(t) respectivement on obtient les

sorties y1(t) et y2(t) alors pour l’entree a1 x1(t) + a2 x2(t) on obtient a1 y1(t) + a2 y2(t) avec

a1, a2 ∈ C.

Un systeme est dit invariant dans le temps si son comportement se reproduit de facon

identique au cours du temps. Si pour une entree x(t) on a une sortie y(t), alors pour x(t−τ)

on a y(t− τ).

Un systeme est dit instantane ou sans memoire si la relation entree–sortie est du type

y(t) = g[x(t)].

Un systeme est dit stable si la reponse a toute entre bornee est elle meme bornee.

Un systeme est continu ssi


20 Chapitre 4. Filtrage

limn→∞ xn(t) = x(t) yn(t) = h(t) ∗ xn(t)

avec

limn→∞ yn(t) = y(t) y(t) = h(t) ∗ x(t)

ou H(p) (tranformee de Laplace) est la fonction de transfert du systeme.

On appelle filtre un systeme lineaire continu et invariant dans le temps.

4.1.2 Filtrage frequentiel

On appelle filtrage frequentiel, l’operation consistant a prelever, supprimer, ou seulement

attenuer tout ou une partie des composantes frequentielles d’un signal.

Par definition y(t) = h(t) ∗ x(t),

– H(f) s’appelle la reponse en frequences du filtre

– |H(f)| s’appelle le gain en frequences du filtre

– Arg(H(f)) s’appelle la phase du filtre.

La relation fondamentale des filtres est donnee par,

Y (f) = H(f)X(f) avec

X(f) = TF [x(t)]

X(f) = TF [x(t)]

on appelle h(t) = TF−1[H(f)] la reponse impulsionnelle du filtre. En effet, par TF inverse

y(t) = x(t) ∗ h(t) =

∫ +∞

−∞h(t′)x(t− t′) dt′

dans le cas ou x(t) = δ(t), y(t) = h(t) ∗ δ(t) = h(t), d’ou le nom de reponse impulsionnelle

pour h(t). h(t) ne peut pas commencer avant 0 c’est a dire preceder la cause. Un filtre est

realisable si sa reponse impulsionnelle h(t) est causale (h(t) = 0 pour t < 0) et s’il est stable.

On rappelle qu’un filtre est stable ssi a toute entree bornee correspond une sortie bornee,∫ +∞−∞ |h(t)| dt <∞.


4.1 Filtrage des signaux a temps continu 21

4.1.3 Puissance et energie des signaux avant et apres filtrage

Filtrer un signal revient aussi a lui prelever une partie de son energie. Il est important de

considerer la puissance et l’energie des signaux avant et apres filtrage dans le temps et en

frequence.

Y (f) = H(f)X(f)

|Y (f)|2 = |H(f)|2 |X(f)|2

Or on a vu que |X(f)|2 = Γxx(f) correspond a la densite spectrale d’energie (signaux a

energie finie), d’ou :

Γyy(f) = |H(f)|2Γxx(f)

par TF inverse on montre que :

Cyy(τ) = Chh(τ) ∗ Cxx(τ)

avec Chh(τ) =∫ +∞−∞ h(t)h∗(t− τ) dt.

– Si x(t) est a energie finie, Γxx(f) est la densite spectrale d’energie,

Cxx(τ) =∫ +∞−∞ x(t)x∗(t− τ) dt =

∫ +∞

−∞Γxx(f)ej2πfτ df

Cxx(0) =∫ +∞−∞ x(t)x∗(t) dt =

∫ +∞

−∞Γxx(f) df = Ex

– Si x(t) est a puissance moyenne finie, Γxx(f) est la densite spectrale de puissance,

Cxx(τ) = limT→∞

1

T

∫ +T/2

−T/2x(t)x∗(t− τ) dt

Cxx(0) = limT→∞

1

T

∫ +T/2

−T/2x(t)x∗(t) dt = Px =

∫ +∞

−∞Γxx(f) df

– Si x(t) est un signal periodique de periode T0, Γxx(f) est la densite spectrale de



puissance, et Cxx(τ) est de periode T0.

Γxx(f) = TF [Cxx(τ)] =+∞∑

k=−∞

|Xk|2 δ(f −k

T0)

De meme que le spectre X(f) d’un signal preriodique est une suite infinie de diracs de

poids Xk complexes, la densite spectrale de puissance est une suite infinie de diracs

de poids reels |Xk|2.

X(f) =+∞∑

k=−∞

Xk δ(f −k

T0)

4.1.4 Fenetrage temporel

On appelle fenetrage temporel, le fait de multiplier un signal de dure infinie par une fenetre

pour obtenir un signal a duree finie correspondant a un signal physique.

La fenetre la plus simple est la fenetre rectangulaire mais il en existe bien d’autres. L’effet

de cette fenetre temporelle sur le signal et sur son spectre est tres important. En effet, si

par exemple on a le signal temporel suivant :

x(t) = cos(2πf0t)

Si on lui applique une fenetre du type w(t) = Πτ/2(t) alors,

y(t) = x(t)w(t)

Y (f) = X(f) ∗W (f)

Le fenetrage en temps correspond a une convolution des spectres en frequence,

Y (f) =τ

2sinc[(f − f0)τ ] + τsinc[(f + f0)τ ]



4.1.5 Analyse blocs–diagrammes

Tres souvent un systeme general est decompose en sous systemes, series, paralleles ou

boucles. Si chaque sous systeme est equivalent a un filtre, alors il a une fonction de transfert

frequentielle. Chaque fonction de transfert individuelle doit tenir compte des autres sous

systemes, ou bien etre isolee des blocs suivants.

Fonctions elementaires que l’on peut trouver :

– Multiplication par un scalaire (fonction gain)

y(t) = K x(t) −→ H(f) = K

– Derivation

y(t) =d x(t)

dt−→ H(f) = j2πf

– Integration

y(t) =

∫ t

−∞x(u) du −→ H(f) =

1

j2πf

– Retard pur

y(t) = x(t− t0) −→ H(f) = e−j2πft0

4.1.6 Filtre sans distorsion

On a vu qu’un filtre (systeme lineaire continu, invariant dans le temps) modifiait l’amplitude

et la phase des composantes sinusoidales du singal d’entree. En filtrage de signal, ceci peut

etre voulu lorsque par exemple, on cherche a eliminer certaines frequences.

En transmission de signal au contraire on souhaite transmettre un signal d’un point a un

autre, sans distorsion. On suppose que le canal de transmission peut etre modelise idealement

par un systeme lineaire invariant dans le temps (cest a dire un filtre). On definit le filtre

sans distorsion, commme un filtre qui apporte un gain K et un retard t0 au signal d’entree



x(t),

y(t) = K x(t− t0)

Y (f) = K e−j2πft0X(f)

H(f) = K e−j2πft0

Le gain du filtre est K et la phase est Arg(H(f) = −2πft0.

Pour realiser un filtre sans distorsion il faut un gain constant ∀ f et une phase egale a une

fonction negative de la frequence. Ceci est irrealisable physiquement car h(t) est un dirac.

En fait dans la pratique on souhaite ces deux conditions seulement pour les frequences ou

le signal dentree a un contenu spectral. On dit que la bande passante du filtre doit contenir

les supports frequentiels des signaux a l’entree du filtre.

Remarque : l’oreille humaine est sensible a la distorsion de phase.

4.1.7 Exercices

- Soit le signal periodique s(t) defini par s(t) = A cos(2πf0t+ φ0)

1. Donner la fonction d’autocorrelation Css(τ) et la densite spectrale de puissance de

s(t).

2. Soit la sortie du filtre h(t) definie par y(t) = h(t) ∗ x(t) = x(t)− x(t− T )

(a) Quel est le signal de sortie si le signal d’entree x(t) est un dirac δ(t).

(b) Calculer la reponse en frequence du filtre H(f).

(c) Calculer |H(f)|2 et en deduire Chh(τ).

3. On considere maintenant que l’entree x(t) = s(t).

(a) Calculer la fonction d’autocorrelation Cyy(τ) de y(t).

(b) En deduire la puissance moyenne du signal de sortie.

(c) Calculer la densite spectrale du signal de sortie y(t).

(d) En deduire la puissance moyenne du signal de sortie, par Py =∫ +∞−∞ Γyy(f) df



- Soit le signal x0(t) definit par

x0(t) =

A pour 0 ≤ t ≤ θ

−A pour θ ≤ t ≤ 2θ

0 ailleurs

avec θ = 2 s et A = 1V .

1. Dessiner ce signal.

2. Donner l’energie de ce signal.

3. Calculer et tracer la fonction d’autocorrelation de x0(t), Cx0x0(τ).

- Soit un signal x(t) reel non nul pour 0 < t < t1 et de fonction d’autocorrelation Cxx(τ).

Soit y(t) la sortie d’un filtre lineaire de reponse impulsionnelle h(t). On dit qu’un filtre est

adapte au signal x(t) si h(t) = x(t1 − t).

1. Calculer dans ce cas y(t) et l’exprimer en fonction de Cxx(τ).

2. Pour quelle valeur de t, la sortie y(t) est-il maximal? On utilisera une propriete des

fonctions d’autocorrelation.

- Soit le signal v(t) =∑+∞

n=−∞Πθ/2(t− nT )

1. Tracer ce signal.

2. Calculer la transformee de Fourier V (f) de ce signal

-Soit le signal y(t) = Av(t)x(t) avec x(t) = cos(2πf0t)

1. Tracer ce signal.



2. Calculer la transformee de Fourier de ce signal en utilisant la convolution de V (f) et

X(f).

4.2 Transmission de signaux

4.2.1 Signaux a bande limitee

On a jusqu’a present consideree des signaux d’etendue spectrale infinie et utilise des modeles

mathematiques, mais ces signaux ne sont pas physiques.

Considerons un signal s(t) a transmettre dont le spectre, calcule par la TF est S(f). Pour

un signal physique reel on definit une frequence min fm et une frequence max fM telles

qu’on considere que le spectre S(f) est negligeable ou nul au dela : ceci forme le support

spectral. Par exemple en telephonie on considere que fm = 300 Hz et fM=3400 Hz, alors

qu’en haute fidelite fm = 20 Hz et fM=20000 Hz.

La transmission de ce signal s’effectue sur un canal de transmission necessairement imparfait

et qui laisse passer certaines frequences et pas d’autres. On parle de bande passante du canal

de transmission. Le canal de transmission peut etre un cable metallique, une fibre optique

ou encore le milieu aerien (ondes hertziennes).

signal passe-bas

Le signal a pour support [−B, B] avec fm = 0 et fM = B. Ce signal est aussi appele signal

en bande de base ou signal basse frequence.

signal passe bande

Un signal reel est passe bande si le support de sa TF est borne et ne contient pas la frequence

0. On peut trouver une frequence fp appelee frequence porteuse et une frequence B appelee

demi largeur de bande qui contiennent fm = f0−B et fM = f0 +B. Si f0 � B on parle de

signaux bande etroite.


4.2 Transmission de signaux 27

Le support spectral du signal s(t) doit etre compris dans la bande passante du canal de

transmission. Il y a deux types de transmission :

1. la transmission en bande de base,

2. la transmission par modulation.

4.2.2 Transmission en bande de base

On ne fait rien, les signaux sont transmis dans leur support spectral original qui est adapte

a la bande passante du canal.

4.2.3 Transmission par modulation

On transpose la support spectral des signaux dans la bande passante du canal de transmission.

Ceci se fait par modulation. Si on appelle yp(t) = A cos(2πfpt+φp) l’onde porteuse, il existe

trois types de modulation

si A varie en fonction de x(t) −→ Modulation d’amplitude

si fp varie en fonction de x(t) −→ Modulation de frequence

si φ varie en fonction de x(t) −→ Modulation de phase

La transmission par modulation permet d’augmenter les distances de propagation.

4.2.4 Definition d’un filtre de Hilbert

On appelle filtre de Hilbert, le filtre de fonction de transfert

Q(f) = −j sign(f)

Le gain en frequence est egal a 1. Les frequences positives sont dephasees de −90◦, alors que

les frequences negatives sont dephasees de +90◦. Le filtre de Hilbert est un dephaseur pur

de −π2

appele aussi filtre en quadrature.



Calcul de la reponse impulsionnelle

La TF de s(t) = sign(t) est egale a S(f) = 1jπf

. A partir du theoreme de dualie :

s(t)TF

−→S(f)

S(t)TF

−→s(−f)

on peut ecrire,

h(t) =1

πt

comme h(t) n’est pas causal, Q(f) n’est pas realisable physiquement.

Transformee de Hilbert

On definit la transformee de Hilbert x(t) comme la sortie d’un filtre quadratique,

x(t) =1

π

∫ +∞

−∞

x(t′)

t− t′dt′

X(f) = −j sign(f)X(f)

Cette integrale pose des problemes pour t = t′, aussi on prend la valeur principale au sens

de Cauchy,

x(t) =1

π

[limε→0−

∫ t+ε

−∞

x(t′)

t− t′dt′ + lim

ε→0+

∫ +∞

t+ε

x(t′)

t− t′dt′]

4.2.5 Signal analytique associe a un signal reel

L’idee est de dire que comme un signal x(t) reel possede un spectre X(f) a symetrie

hermitienne X(−f) = X∗(f) la connaissance de X(f) pour f > 0 est suffisante pour

caracteriser ce signal reel x(t).

On definit le signal analytique zx(t) associe au signal reel x(t) comme etant le signal complexe


4.2 Transmission de signaux 29

zx(t) tel que son spectre Zx(f) soit definit comme suit,

Zx(f) = 2X(f) si f > 0

= 0 si f < 0

Remarques

– zx(t) est forcement complexe car son spectre n’est pas a sysmetrie hermitienne.

–

Zx(f) = 2u(f)X(f) u : fonction Heaviside

Zx(f) = [1 + j(−j sign(f))]X(f)

Zx(f) = X(f) + j Q(f)X(f)

– par Fourier inverse,

zx(t) = x(t) + j x(t)

– puisque le spectre de zx(t) est nul pour f < 0

zx(t) = 2

∫ +∞

0

X(f) ej2πft dt

– passage de zx(t) a x(t) : x(t) = < [zx(t)]

– filtrage de signaux analytiques, y(t) = h(t) ∗ x(t) donne zy(t) = h(t) ∗ zx(t).

4.2.6 Enveloppe complexe des signaux bande etroite

On rappelle qu’un signal bande etroite est un signal passe bande reel tel que f0 � B. Pour

ces signaux on definit l’enveloppe complexe αx(t) d’un signal bande etroite x(t) associee a

la frequence f0, le signal complexe en bande de base tel que,

αx(f) = Zx(f + f0)

(On ramene le signal passe bande en bande de base).



4.2.7 Amplitude et phase instantanees d’un signal bande etroite

αx(t) est un signal complexe,

αx(t) = ax(t) ejφx(t)

x(t) = ax(t) cos(2πf0t+ φx(t))

avec ax(t) l’amplitude instantanee du signal passe bande x(t), et φ est la phase instantanee.

On interprete un signal bande etroite x(t) autour de la frequence f0 comme une sinusoıde

de frequence f0 dont l’amplitude et la phase instantanee varient lentement par rapport a f0.


31

Deuxieme partie

Transmission analogique


32 Chapitre 1. Modulation d’amplitude

Chapitre 1 Modulation d’amplitude

1.1 Introduction

La modulation est un principe tres utilise en telecommunications. C’est un procede permettant

de transformer le signal que l’on souhaite transmettre s(t), en un signal adapte au canal de

transmission qui est a bande passante limitee. Il s’agit donc de transposer le signal de donnees

dans un domaine de frequence compatible avec le support (le canal de communication). Un

moyen d’obtenir cette transposition consiste a effectuer une modulation d’un signal appele

porteuse (signal module) par le signal utile (signal modulant). La modulation utilise une

onde sinusoıdale de reference appelee porteuse, dont la frequence est tres superieure au

signal modulant. La porteuse p(t) est representee par :

p(t) = Ap(t) cos(ωp t+ φ(t)), ωp = 2π fp

dans cette formule, fp represente la frequence porteuse,Ap(t) et φ(t) represente respectivement

l’amplitude instantanee et la phase instantanee de la porteuse modulee.

Lorsque Ap(t) depend lineairement de s(t) on a une modulation d’amplitude. Dans le cas ou

la phase φp(t) = ωp t+φ(t) depend lineairement de s(t) on a une modulation de phase ou de

frequence. Ces deux dernieres modulations sont regroupees sous l’appellation de modulation

d’argument.

Dans le cas de la modulation d’amplitude, la porteuse peut s’ecrire (φ(t) = 0) :


1.2 Modulation a bande laterale double 33

p(t) = Ap(t) cos(ωp t) (1.1)

suivant le type de relation spectrale entre s(t) et Ap(t) on distinguera plusieurs type de

modulations.

1.2 Modulation a bande laterale double

On est en presence d’une modulation BLD lorsque l’amplitude de la porteuse est proportionnelle

a s(t), c’est a dire que le signal resultant est de la forme

xbld = α s(t) cos(ωp t)

souvent α = 1.

Le principe de cette modulation revient a multiplier le signal utile s(t) par cos(ωp t)

La valeur de fp est souvent grande devant la frequence maximale de s(t).

1.2.1 Demodulation d’un signal BLD

En reception, il faut extraire le signal utile. Cette operation s’appelle demodulation. Le

message s(t) peut etre extrait du signal xbld en le multipliant par une porteuse locale

cos(ωp t), et en utilisant un filtre passe-bas pour eliminer les frequences hors du domaine du

signal utile.

xbld × cos(ωp t) =1

2s(t)(1 + cos(2ωp t))

La difficulte principale de cette methode de demodulation est de disposer d’un signal de

meme frequence que celle de la porteuse p(t).

1.3 Modulation d’amplitude ordinaire

C’est le procede de modulation d’amplitude le plus courant, utilise en radiodiffusion. Il

consiste a laisser une porteuse d’amplitude significative dans un signal a double bande



Fig. 1.1 – Modulation a bande laterale double

laterale.

Cette modulation d’amplitude, appelee AM, apparaıt comme une simple multiplication de

la porteuse par un signal k+αs(t), qui est une fonction lineaire du message. Le signal obtenu

est donc :

xam = [k + αs(t)] cos(ωp t) (1.2)

En general α = 1.

1.3.1 Demodulation d’un signal AM

L’avantage de ce procede AM est sa simplicite de demodulation, connue sous le nom de

detection d’enveloppe. La condition de bon fonctionnement d’un detecteur d’enveloppe en

AM est la suivante :


1.3 Modulation d’amplitude ordinaire 35

Fig. 1.2 – Signal AM et son enveloppe

k + s(t) > 0 quel que soit t

ou encore

k ≥ |min(s(t))| (1.3)

La forme la plus simple d’un detecteur d’enveloppe est d’associer une diode en serie avec

un circuit RC parallele. Lors de l’alternance positive du signal qui lui est applique, la diode

est polarisee dans le sens passant et la capacite C se charge rapidement a la valeur crete du

signal. Des que celui-ci se met a decroitre, la diode est polarisee en inverse et se bloque. La

capacite C se decharge lentement dans la reristance R jusqu’a l’alternance positive suivante.

Pour que ce detecteur fonctionne de facon correcte, il faut choisir une constante de temps

adequate pour la decharge de la capacite C. En pratique , il suffit d’avoir :



1

fp� 1

fM

Fig. 1.3 – Detecteur d’enveloppe en AM

1.3.2 Index de modulation

On definit pour la modulation d’amplitude un index de modulation µ :

µ =|min[s(t)]|

k

D’apres la relation 1.3, la condition pour pouvoir demoduler un signal AM au moyen d’un

detecteur d’enveloppe est :

µ ≤ 1

Lorsque µ > 1, le signal est dit surmodule, ce qui produit une distorsion de l’enveloppe

representant le signal utile.

1.4 Modulation a bande laterale unique

Les systemes de modulations AM et BLD ont une occupation spectrale excessive du spectre

de frequence puisqu’ils necessitent une largeur de bande egale a 2 fois celle du signal utile.

Comme l’une ou l’autre des 2 bandes contient a elle seule toute l’information necessaire pour


1.5 Modulation a bande laterale residuelle 37

reconstituer le signal, il suffit de n’en transmettre qu’une. On parle alors de transmission a

bande laterale unique (BLU).

Une methode permettant d’obtenir un signal BLU, consiste a supprimer une des 2 bandes

laterales par filtrage. Cette solution n’est cependant pas simple a mettre en oeuvre car il

impose des filtres de caracteristiques tres raides.

1.4.1 Demodulation

La demodulation des signaux BLU, peut s’effectuer par le produit du signal incident par

une porteuse locale et qu’on filtre le signal obtenu au moyen un filtre passe-bas.

1.5 Modulation a bande laterale residuelle

La modulation BLR est un compromis entre la BLU et la BLD. En effet, on transmet

une bande laterale dans sa presque totalite et seulement une fraction de l’autre. La bande

passante requise pour la transmission d’un tel signal est de l’ordre de 1.25 fois celle que

requiert un signal BLU. On utilise la methode BLR pour la diffusion des signaux video de

television.

1.6 Applications des modulations analogiques

1.6.1 Subdivisions des bandes de frequences

La modulation est systematiquement utilisee dans le domaine des liaisons radio, tant pour

la radiodiffusion que pour les reseaux radio civils ou militaires.

Pour une zone geographique donnee, chaque emetteur radio ou chaque reseau radio recoit un

intervalle de frequences dans lequel le signal module peut etre emis; de cette maniere, il n’y a

aucun recouvrement des differents spectres emis, et en principe, pas d’interferences mutuelles

entre reseaux radio. Pour le plupart des modulations (AM, FM, PM), la frequence centrale

de chaque intervalle correspond a la frequence fp de la porteuse. La largeur de chaque

intervalle de frequences, de meme que le type de modulation dependent de l’application

(radiodiffusion, reseau mobile, etc) et du mode de propagation des ondes.



Les subdivisions des bandes en frequences sont decrites sur les tableaux ci-dessous :

RadiodiffusionBande Denomination Type de modulation Bande passante150 - 260 kHz Ondes longues AM classique 10 kHz530 - 1605 kHz Ondes moyennes AM classique 10 kHz88 - 108 MHz VHF bande II FM 200 kHz

Reseaux militairesBande Denomination Type de modulation Bande passante1,5 - 30 MHz HF SSB-SC * 3 kHz30 - 88 MHz VHF FM 25 kHz225 - 400 MHz UHF (air-sol et air-air) AM classique 25 KHz

Tab. 1.1 – Subdivision des bandes de frequences, * single side bande suppressed carrier(frequency).

1.6.2 Transposition de frequence

Dans certaines applications, notamment en reception de signaux modules, on fait souvent

une transposition en frequence afin de decaler la bande occupee par le signal dans une autre

region du spectre de frequence. C’est ainsi que la plupart des recepteurs radio AM, recepteurs

commerciaux de la gamme moyennes ondes, les signaux radio-frequence (RF) recus (de 540

a 1600 kHz) sont transposes autour d’une frequence intermediaire FI de 455 kHz avant

d’etre plus facilement amplifies, filtres et demodules. On qualifie ainsi cette operation de

changement de frequence heterodynage.

Le probleme associe a l’heterodynage est l’apparition de frequences images. Supposons que

l’on regle le recepteur sur une station dont la frequence est de 600 kHz, l’oscillateur local

produira un a 1055 kHz. Supposons qu’il existe une autre station emettant sur 1510 kHz,

elle sera egalement recue par le recepteur, puisque la difference 1510-1055=455 kHz. Cette

deuxieme frequence 1510 = 600 + 2 × 455 est appelee frequence image de la premiere.

Apres l’operation d’heterodynage, elles sont impossibles a distinguer. On notera que cette

frequence image est distante de la frequence utile d’une valeur egale a 2 × FI.

On ecarte cette frequence indesirable au moyen d’un filtre haute frequence (radio frequence,

RF) qui precede le melangeur.


1.6 Applications des modulations analogiques 39

Les avantages de ce procedes, dit detection heterodyne sont :

– en reception radio (son ou television), ceci permet d’utiliser le meme demodulateur,

operant sur la frequence intermediaire pour tous les canaux. On utilise aussi bien ce

procede en modulation d’amplitude qu’en modulation de frequence.

– il espace la frequence porteuse selectionnee de sa frequence image d’un intervalle de

frequence egal a 2 FI, ce qui facilite le filtrage. En effet, si 2 FI est superieure a la

bande occupee par l’ensemble des canaux devant etre recus, un filtre passe bande fixe

suffit a eliminer toutes les frequences image.

Ainsi, en reception de radiodiffusion ( de la bande FM, s’etendant de 87 a 108 MHz,

on passe par une frequence intermediaire de valeur : FI = 10,7 MHz.

1.6.3 Multiplexage en frequence

Principe

Le multiplexage est une technique permettant d’assembler plusieurs messages en un seul

message composite afin de le transmettre sur un seul et meme canal de communication. Il

existe 2 types de multiplexage, le multiplexage en frequence et le multiplexage temporel.

Dans le premier cas, les divers signaux sont repartis sur plusieurs frequences distinctes tandis

que, dans le second, ils sont segmentes dans le temps.

Le multiplexage frequentiel est utilise en telephonie, en radiodiffusion, en television et sur

les reseaux de communication.

Les stations de radiodiffusion en moyennes ondes emettent sur des frequences espaces de 10

kHz dans une gamme qui va de 540 kHz a 1600 kHz. Cette separation est insuffisante pour

la transmission AM en haute fidelite d’emissions musicales, qui exige pour la modulation

audio une bande passante d’au moins 15 KHz. C’est pourquoi l’on attribue les frequences

voisines qu’a des stations AM geographiquement distantes pour reduire les interferences.

Les emissions commerciales en modulation de frequence (FM), utilisent des canaux de

frequences distants de 200 kHz. Sur les liaisons telephoniques a grande distance, on sait

transmettre jusqu’a 600 communications (dont la bande passante s’etend de 200 Hz a 3.2

KHz) sur un cable coaxial ou un faisceau hyperfrequence en utilisant une modulation BLU

de frequences porteuses separees de 4kHz. Le signal composite obtenu par sommation des



signaux elementaires transposes en frequence module habituellement une porteuse generale,

raison pour laquelle on appelle sous porteuse individuelles assurant les transpositions de

frequence en question.

Fig. 1.4 – Multiplex frequentiel

Application aux signaux telephoniques

En telephonie, l’ITU-T (International Telecommunication Union - Telephonie)a recommande

de limiter la largeur spectrale d’un signal telephonique a 3100 Hz dans la bande de 300 -

3400 Hz.

L’ITU-T a des lors recommande de consacrer un intervalle de frequence de 4000 Hz a chaque

voie de transmission telephonique. De plus, il a ete introduit une sorte de hierarchie pour

les signaux multiplex. Une fois que l’on a obtenu plusieurs signaux multiplex, ou groupe

primaires, comprenant chacun P voies de transmission, il est possible de multiplexer ces

groupes primaires entre eux pour former des groupes secondaires, et ainsi de suite.

Les normes de l’ITU-T recommande ce qui suit :


1.7 Exercices 41

Denomination Nb de groupes Nb de voies Largeur spectraleVoie de transmission 1 4 kHzGroupe primaire 1 12 48 kHzGroupe secondaire (Super) 5 60 240 kHzGroupe tertiaire (Master) 5 super 300 1,2 MHzGroupe quaternaire (Supermater) 3 master 900 3,6 MHz

Tab. 1.2 – Normes de l’ITU - T.

1.7 Exercices

1.7.1 Modulation BLD

1. Evaluer l’effet d’une erreur de phase de l’oscillateur local sur le detecteur synchrone

BLD.

2. Evaluer l’effet d’une erreur de frequence minime (∆ω) de l’oscillateur local sur le

detecteur synchrone BLD.

1.7.2 Multiplex frequentiel

1. Sachant que la bande radio AM s’etend de 540 a 1600 kHz, que le melangeur transpose

la frequence du signal recu fp a la frequence intermediaire FI de 455 kHz au moyen

d’un oscillateur local de frequence f0, determiner :

– la gamme de frequences dans laquelle doit fonctionner l’oscillateur local lorsque

f0 > fp,

– idem lorsque f0 < fp.

2. Pour assurer le secret des transmissions, on peut traiter le signal dans un systeme

represente par la figure suivante. analyser le systeme et dessiner le spectre du signal

de sortie.

3. En utilisant l’orthogonalite des fonctions sinus et cosinus, il est possible d’emettre et

de recevoir simultanement 2 signaux sur la meme frequence porteuse. Le principe

sur lequel repose ce genre de systeme, multiplexage a quadrature ou modulation

d’amplitude en quadrature (QAM) est illustre par la figure ci-apres. Montrer que

chacun des signaux peut etre extrait au moyen d’une detection synchrone faisant appel



a 2 oscillateurs locaux de meme frequence mais fonctionnant en quadrature (dephases

de π4).


43

Troisieme partie

Transmission d’informations

numeriques


44 Chapitre 1. Generalites

Chapitre 1 Generalites

1.1 Le modele OSI des reseaux de communication

Le modele d’interconnexion des systemes ouverts (OSI, Open Systems Interconnection), sert

de modele a la conception de tous les reseaux. Il est compose de 7 couches decrites dans le

tableau 1.1. Il s’agit d’un modele de reference dans le cadre duquel chaque type de reseau a

ses propres normes, definies par divers organismes qui suivent ce modele.

Cette classification a un double interet car :

– elle permet de definir precisemment les differentes fonctions a assurer pour mettre en

communication 2 systemes de traitement de donnees

– elle definit, entre deux couches voisines, une interface normalisee permettant d’interconnecter

des equipements de constructeurs differents ou destines a des supports de transmission

differents.

Dans la suite nous allons nous interesser plus particulierement a la premiere couche representant

la couche physique qui met en oeuvre la transmission proprement dite et qui depend de la

nature physique du support.

1.2 Canal de communication

Quelque soit le type de transmission d’informations utilise, on peut le mettre sous la forme

du schema bloc represente par la figure 1.1.


1.2 Canal de communication 45

N◦ Couche Fonction Forme des donnees

1 Physique Modulation/Demodulation,transcodage specifique au support utilise. bits

2 Liaison logique protocole d’echanges de donnees etcorrection d’erreurs de transmission trames

3 Reseau routage des paquets a travers le reseaux paquets

4 Transport transport du message, stabilitecontrole de flux flux

5 Session Mise en place du dialogue entre taches distantes,synchronisation, verification des droits d’acces

6 Presentation syntaxe et presentation des donnees echangees

7 Application Interfacage avec les systemes utilisateurs

←− Support physique −→

Tab. 1.1 – Le modele OSI.

La transmission de donnees se fait entre une source et un destinataire a travers un canal de

transmission (ou canal) correspondant au support physique.

La source emet un signal.

Le message est vehicule a travers le canal qui est le siege de phenomene de propagation

(bruits, defauts, perturbations) qui est munie d’equipement de transmission.

Ce message est transmis jusqu’au recepteur.

Remarques :

– La source et le destinataire peuvent etre un ordinateur ou un terminal, une antenne

et un recepteur radio, . . .

– Les canaux peuvent etre des lignes telephoniques, des faisceaux hertziens ou des voies



Source −→ Canal −→ Destinataire↑

Perturbations

Fig. 1.1 – Le canal de transmission

radioelectriques, . . .

– Ces differents canaux de transmissions ont des caracteristiques specifiques. Ils ne sont

pas concus pour transmettre des donnees binaires, il est donc necessaire d’adapter la

source et le destinataire au canal utilise. C’est le role des equipements de transmission.

1.3 Types de transmissions

1.3.1 Quelques elements d’un systeme de transmission

La figure 1.2 represente les differents elements intervenant dans la transmission des donnees.

Fig. 1.2 – Elements d’un systeme de transmission

La machine de traitement peut etre source ou collecteur de donnees : equipement de

traitement, de memorisation, d’acquisition de l’information (ordinateur, peripherique,. . . ).

Le controleur de communication est charge en particulier de la protection contre

les erreurs et du dialogue entre les deux systemes. Il peut constituer un sous ensemble


1.3 Types de transmissions 47

physiquement dissocie de la structure de traitement.

L’interface permet d’adapter le signal electrique au support physique de transmission.

Cette fonction est assuree en general par modulation/demodulation. L’equipement realisant

cette fonction s’appelle un modem.

1.3.2 Transfert entre 2 systemes

Le transfert d’informations entre 2 systemes A et B peut s’effectuer par :

1. Simplex : le canal est toujours utilise dans le meme sens

(unidirectionnel) A → B.

2. Half duplex : la transmission s’effectue alternativement dans un sens puis dans l’autre

(1 ou 2 canaux), la liaison est dite bidirectionnelle A B.

3. Full duplex : les echanges peuvent avoir lieu simultanement dans les deux sens, la

liaison est dite bidirectionnelle integrale A � B.

1.3.3 Transmission analogique/numerique

Les informations echangees peuvent etre de nature differentes. En effet, on peut avoir des

informations de type analogique ou numerique.

Les informations analogiques resultent de la transformation d’un signal physique, fonction

continue du temps, en un signal electrique. On y retrouve essentiellement le son (telephone,

radiodiffusion), les images. Pour les transmettre sous cette forme, il est necessaire que le

reseau de telecommunication deforme le moins possible le signal transmis. La bande passante

est la principale caracteritique pour la transmission des signaux analogiques.

Les informations numeriques sont des nombres entiers qui peuvent representer soit une

valeur numerique, soit une donnee codee.

Suivant la nature de l’information et la nature de la transmission on peut avoir :

1. Transmission analogique d’informations analogiques : emission de la parole sur

le reseau telephonique, emission d’images television sur le reseau de telediffusion,. . .



2. Transmission numerique d’informations numeriques : Les signaux sont transmis,

eventuellement apres un codage prealable, directement sur le support de transmission.

On parle de transmission en bande de base.

3. Transmission analogique d’informations numeriques : modulation d’une onde

porteuse par un signal numerique.

4. Transmission numerique d’informations analogiques : cette transmission necessite

une transformation du signal analogique en une suite de donnees binaires : c’est le

processus de numerisation.

L’interet est double :

– Le processus de transmission des donnees est le meme quelque soit la nature

initiale des donnees (analogique ou numerique).

– Le traitement, le stockage et la restitution des donnees sont largement facilites

en utilisant des donnees numeriques plutot que les donnees analogiques.

1.4 Les supports physiques

Les caracteristiques de la transmission sont fortement liees au type de support physique

utilise, on privilegiera un support par rapport a un autre en fonction des contraintes de

l’application et donc des contraintes de la transmission (robustesse aux perturbations, debit,

. . .).

1.4.1 Cables conducteurs

Ce sont les supports les plus employes au niveau des utilisateurs pour des raisons de cout,

d’existence prealable des cablages dans les batiments, de compatibilite directe des signaux

electriques avec les cartes electroniques des terminaux. Il en existe 2 types :

– les cables a paires symetriques : chaque paire est composee de 2 fils identiques en

general torsades sur lesquels se propage une onde electrique. Souples et economiques,

ces cables sont utilises pour les reseaux locaux et les lignes telephoniques d’abonnes.

Ils peuvent transporter des signaux de largeurs de bandes de plusieurs kHz pour la

telephonie analogique et modems et jusqu’a plusieurs dizaines de MHz en numerique.


1.4 Les supports physiques 49

– les cables a paires coaxiales : sont principalement utilises en reseaux locaux informatiques

haut debit (plus haute qualite en haute frequence) et surtout en distribution video. Ils

sont pratiquement remplaces par les fibres optiques dans les reseaux etendus et longue

distance.

1.4.2 Cables a fibre optiques

Vehiculant des ondes lumineuses, les fibres optiques, sont beaucoup plus performantes et

aussi plus sures, souvent plus pratiques que les cables conducteurs. Ces cables sont un

support de transmission en pleine expansion dans les reseaux longue et tres longue distances.

Ils permettent la transmission de debits depassant plusieurs centaines de Mbit/s, atteignant

actuellement des dizaines de Gbits/s.

1.4.3 Transmissions sans fil

Bien qu’il n’y ait plus de support au sens materiel, les ondes electromagnetiques jouent

le role du support physique et la couche physique est presente sous la forme d’emetteurs,

de recepteurs et d’antennes. En particulier, les ondes radio sont de plus en plus utilisees

notamment par les satellites, mais aussi du fait de l’explosion des communications avec les

mobiles.

Contrairement aux supports precedents, la propagation n’est plus guidee, ce qui pose des

problemes specifiques, tels que la perturbation de la propagation des ondes, partages des

frequences, protection des informations.

Le domaine des frequences utilisees pour les telecommunications ne cesse de s’accroıtre : il

est passe des ondes courtes (3-30MHz) aux hyperfrequences (2-60 GHz) avec les faisceaux

hertziens et les satellites, et s’insere dans la bande UHF (200, 400, 900 et 1800 MHz) pour

les communications avec les mobiles.

Les ondes infrarouges connaissent un developpement croissant, pour les communications

en visilite directe a tres courte distance et de preference indoor (telecommande, robotique



mobile, . . .). Elles peuvent transporter de hauts debits et resolvent certains problemes de

perturbations et de confidentialite poses par les liaisons radio.


51

Chapitre 2 Transmission analogique

2.1 Caracteristiques d’un canal

2.1.1 Deformation du signal emis

Une voie de transmission (canal) permet l’acheminement de l’information. Ces voies sont

caracterisees par leur comportement vis a vis d’ondes sinusoıdales que l’on appelle aussi

ondes elementaires.

Source −→ Canal −→ Destinataire↑

Perturbations

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Onde élémentaire

Temps

Fig. 2.1 – Perturbation du canal sur l’onde elementaire.

On rappelle que l’onde elementaire est definie par :

x(t) = A sin(ω0t+ ϕ)

ou A est l’amplitude, ω0 = 2πf0 la pulsation, f0 la frequence et ϕ la phase a l’origine.


52 Chapitre 2. Transmission analogique

Les canaux ne peuvent pas acheminer n’importe quel signal. Les signaux doivent respecter

certaines contraintes (de frequence en particulier). De plus, ces signaux sont soumis a des

perturbations et des attenuations.

Il existe donc 3 grandeurs principales caracterisant l’influence du canal sur l’onde emise :

l’attenuation, le dephasage et la bande passante.

– L’attenuation : le signal en reception a une amplitude Ar plus faible que l’amplitude

de l’onde emise Ae.

– Le dephasage : represente le retard du signal recu par rapport au signal emis (∆(ϕ) =

ϕr − ϕe 6= 0).

Exemple

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10Déphasage 60° et Atténuation du signal émis

Temps

signal émis signal recu

Fig. 2.2 – Deformation du signal

2.1.2 La bande passante

La bande passante (BP) est la caracteristique essentielle d’un canal.

En pratique, les signaux emis ne sont pas aussi simples que les signaux elementaires de

type sinusoıdaux (1 pic en frequence). En effet, les signaux recouvrent une certaine plage

de frequences. Au cours de la transmission, le canal joue le role d’un filtre lineaire et agit


2.1 Caracteristiques d’un canal 53

plus ou moins, en fonction de la frequence, sur l’amplitude et le dephasage du signal. En

particulier, certaines frequences seront tellement affaiblies que l’on peut considerer qu’elles

ne sont pas transmises par le canal.

La reponse en frequence du filtre (G), exprime en dB, est donnee par la relation suivante :

G(f) = 20 log10

(|TF [signal recu]|| TF [signal emis]|

)Pour les frequences dont

– G(f) > 0 il y a un gain en amplitude,

– G(f) = 0 le filtre ne modifie pas l’amplitude et

– G(f) < 0 il y a une attenuation du signal.

La bande passante a 3dB correspond a la bande en frequence (f2−f1) pour laquelle Gmax ≤G(f) ≤ Gmax-3dB, f1 ≤ f ≤ f2

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

Fréquences

Réponse en fréquences d’un filtre

Bande Passante (f2−f

1 )

f1

f2

Fig. 2.3 – Bande Passante d’une ligne telephonique BP=3100 Hz

2.1.3 Quelques definitions

– Intervalle significatif (seconde) : temps (T) pendant lequel les caracteristiques du

signal a transmettre ne sont pas modifiees.

– Rapidite de modulation (R en bauds) : Nombre de changements d’etats du signal

par seconde sur la ligne de transmission. C’est l’inverse de l’intervalle significatif (1/T).



– Debit binaire (D en bits/sec) : quantite d’informations par seconde emise par la

source, D=nR ou n correspond au nombre de bits transmis par etat.

1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

V0

V1

V2

V3

Temps

0 0 0 0 1 1 0 1 1 0

T

Fig. 2.4 – R=5 bauds, n=2 bits, D=10 bits/sec


2.2 Transmission numerique par modulation d’une porteuse 55

– Rapidite de modulation maximale : Rmax ≤ 2 BP

– Valence d’un signal (V) : Nombre d’etats significatif V=2n.

Donc n=log2(V) avec log2(x)=ln(x)/ln(2).

– Debit binaire maximal : Dmax = 2 BP log2 V

– Le bruit : afin de determiner l’influence du bruit, on considere le rapport de la

puissance du signal transmis sur celle du bruit (exprime en dB) : S/B=10 log10(PSPB

).

On parle de rapport signal sur bruit.

– Valence maximale : La presence du bruit limite le nombre de niveaux significatifs

Vmax=√

1 + PSPB

– Capacite maximale d’un canal (C en bits/sec)

Cmax = BP log2 (1+S/B)

Une ligne telephonique a une BP =3000 Hz et offre un S/B de 30 dB, C=3000 ln(1 +

103010 )/ ln 2 = 29902 bits/sec.

2.2 Transmission numerique par modulation d’une porteuse

2.2.1 Generalites

Dans le cas ou le canal a une bande passante etroite la transmission des signaux en bande

de base n’est pas adaptee. La modulation permet d’adapter le signal en bande de base

aux caracteristiques du canal a l’aide d’un signal elementaire (sinusoıdal) appele porteuse,

d’equation : A sin(ω0t+ ϕ). Il existe donc trois types de modulation :

Signal binaire

1. A variable La modulation d’amplitude Saut d’amplitude

2. f0 variable La modulation de frequence Saut de frequence

3. ϕ variable La modulation de phase Saut de phase

Certaines transmissions de donnees combinent plusieurs de ces modulations pour augmenter

la valence du signal.

On definit la frequence rythme Fr (=rapidite de modulation) comme etant l’inverse de la

duree T consacree a la transmission d’un symbole elementaire (un etat)



2.2.2 Modulation d’amplitude : A variable

Principe

La modulation par saut d’amplitude ou commutation d’amplitude (ASK Amplitude shift

keying) consiste a affecter a chaque etat une valeur d’amplitude de la porteuse. En gardant ω0

et ϕ constant, on modifie A selon la suite des signaux binaires a transmettre. Par exemple, le

cas le plus simple et le plus employe, de modulation par saut d’amplitude, est la modulation

par tout ou rien (OOK On-Off Keying) :

A = 0 si le bit est a 0

A = +V si le bit est a 1

Dans cette modulation, a 1 correspond l’emission de la porteuse, a 0 correspond son interruption

(ou par convention l’inverse).

Message

0

1

+V

0

−V

Fig. 2.5 – Modulation d’amplitude

Demodulation

Une simple detection d’enveloppe permet de retrouver le signal en bande de base.

Caracteristique

Cette modulation est peu efficace et ne permet pas de distinguer le symbole zero de l’absence

d’information.



2.2.3 Modulation de frequence : f0 variable

Principe

La modulation par saut de frequence ou commutation de frequence (FSK Frequency shift

keying) consiste a affecter une frequence a chaque etat. En gardant A et ϕ constant on

modifie f0 selon la suite des signaux binaires a transmettre. Par exemple :

f0 si le bit est a 0

f1 = 2 f0 si le bit est a 1

Message

0

1

+V

−V

Fig. 2.6 – Modulation de frequence

Demodulation

Le demodulateur consiste en general a separer par filtrage les frequences f0 et f1, et a

demoduler separement 0 et 1. Cette demodulation peut-etre :

– incoherente : redressement et filtrage passe-bas, c’est la plus simple.

– coherente : demodulation synchrone sur chaque voie, qui suppose une recuperation

de la phase. Elle est plus efficace et permet de reduire l’ecart entre les frequences,

donc reduit l’encombrement spectral. Le demodulateur coherent est une realisation

du recepteur optimal lorsque la modulation est coherente, c’est a dire que f0 et f1

sont multiples entiers de Fr. Dans ce cas :



∫ T

0

cos(2πf0t) cos(2πf1t) dt = 0 (les etats sont orthogonaux).

Caracteristique

Cette modulation a, par rapport a la modulation par tout ou rien, l’avantage de distinguer le

symbole 0 de l’absence de signal, ce qui autorise la transmission asynchrone. On l’utilise dans

des applications simples, lorsqu’il n’y a pas de restriction de bande passante : telecommande,

modem a 1200 bauds sur ligne telephonique (celui du minitel), ...

2.2.4 Modulation amplitude-frequence : A et f0 variables

En gardant ϕ constant on modifie A et f0 selon la suite des signaux binaires a transmettre

ou chaque etat est represente par plus d’un bit, ce qui augmente la valence du signal (2

bits=Valence de 4). Par exemple : l’amplitude depend du bit de poids fort et la frequence

du bit de poids faible.

Message

0

1

+V2

−V2

0 0 1 0 1 1 0 1

−V1

+V1

Fig. 2.7 – Modulation amplitude-frequence

2.2.5 Modulation de phase : ϕ variable

Les modulations de phase et modulation d’amplitude–phase sont beaucoup plus performantes

et plus utilisees que les precedentes.



Principe

La modulation par saut de phase ou commutation de phase (PSK Phase shift keying) consiste

a affecter une phase a chaque etat. En gardant ω0 et A constant on modifie ϕ selon la suite

des signaux binaires a transmettre. Par exemple :

ϕ = +π si le bit est a 0

ϕ = 0 si le bit est a 1

Message

0

1

+V

−V

Fig. 2.8 – Modulation de phase

En utilisant la notation exponentielle du signal module :

Re[A exp j(ωt+ ϕ)]

on fait apparaıtre une amplitude complexe A exp jϕ = x+ jy qu’on represente par un point

dans le plan complexe (dit de phase). A chaque etat est associe un point. En modulation

d’amplitude pure (ASK) les points sont sur l’axe des reels; en modulation de phase pure

(PSK) ils sont sur un cercle. On peut combiner les deux (cf paragraphe 2.2.7).

Modulation de phase a 2 etats

Dans cette modulation (BPSK Binary Phase Shift Keying), les 2 etats sont en opposition de

phase, avec par exemple la regle etablie plus haut. Ceci revient tout simplement a multiplier

la porteuse par le signal logique de niveaux ±1. Le spectre du signal est le spectre en bande



90

270

180 0

90

270

180 0

90

270

180 01 0

11

10

01

00

000

001 011

010

110

111

100

101

2 états 4 états 8 états

Fig. 2.9 – Constellations : representation des etats

de base, transpose autour de la frequence porteuse, comme en modulation tout ou rien, mais

aucun symbole ne se confond avec l’absence d’information, et la puissance de la porteuse

reste constante.

Modulation de phase a 4 etats et plus

Dans les modulations a 2n etats, un mot de n bits est associe a un etat. La duree d’un etat

est donc nT (ou T est la duree d’un bit), ce qui permet de diviser la largeur du spectre par

n.

Pour la modulation de phase a 4 etats ou QPSK (Quadrature Phase Shift Keying), on peut

disposes les etats suivant un code de gray, c’est a dire que chaque etats voisins different d’un

seul bit. En cas de confusion d’un etat voisin, seul un bit est faux.

ϕ = π/4 correspond a 11

ϕ = 3π/4 correspond a 10



En modulation de phase a 8 etats, les phases des etats sont espacees de π/4 et correspondent

aux valeurs : k π/4+π/8. Les mots de 3 bits se succedent sur le cercle selon un code de Gray.

Au-dela de 8 etats, une modulation de phase pure donnerait des etats trop rapproches, ce qui

augmenterait le risque d’erreur de transmission. Aussi, on utilise une modulation combinant

l’amplitude et la phase, pour mieux espacer les etats dans le plan de phase.



2.2.6 Modulations de phase differentielles

C’est une variante dans laquelle l’information est contenue non pas dans l’ecart de phase

avec la porteuse, dont la phase absolue n’est pas facile a recuperer en reception, mais l’ecart

de phase par rapport a l’etat precedent.

La demodulation se fait en multipliant le signal recu par le signal de l’etat precedent, retarde

de T : le produit est positif si les phases sont les memes, negatif si les phases sont opposees.

Il faut pour cela que T soit un multiple de la periode de la porteuse, c’est que la modulation

soit coherente.

2.2.7 Modulation d’amplitude et phase

Elles sont aussi appelees QAM (Quadrature Amplitude Modulation) car obtenues par modulation

d’amplitude en quadrature. On utilise surtout les modulations a 16 etats qui ont une bonne

efficacite spectrale tout en gardant une sensibilite au bruit limite.

Les principales applications sont en transmissions radioelectriques (faisceaux hertziens a

haut debit) a cause de l’encombrement des frequences, ou sur lignes telephoniques, ou on

peut augmenter le debit des modems (9600 bits/s et plus dans une bande de 3 kHz).

La correspondance entre les 4 bits (d3d2d1d0) et les valeurs x et y dans le plan complexe,

est etablie pour que chaque voisin d’un etat ne differe de celui-ci que d’un bit (chaque etat

ayant 4 voisins au plus, c’est possible). Par exemple :

– x correspond a d3d2 ecrit en code de Gray (00-01-11-10),

– y correspond a d1d0 ecrit en code de Gray.

Q(k)

I(k)



2.2.8 Le multiplexage frequentiel

Le multiplexage est une technique permettant d’assembler plusieurs messages en un seul

message composite afin de le transmettre sur un seul et meme canal de communication. Il

existe 2 types de multiplexage, le multiplexage en frequence et le multiplexage temporel.

Dans le premier cas, les divers signaux sont repartis sur plusieurs frequences distinctes tandis

que, dans le second, ils sont segmentes dans le temps.

Bien que le multiplexage en frequence soit plus adapte aux signaux analogiques, cette

technique peut s’appliquer a tout type de signaux.

Le principe de base consiste a moduler chaque information par une frequence porteuse

qui lui est propre. Les differentes porteuses dont l’espacement en frequence tient compte

de l’elargissement spectral du signal module, sont ensuite superposees. Elles pourront etre

separees par filtrage (ou demodulation synchrone). Ce procede permet de multiplexer des

informations de nature, de debits ou d’origines differentes.

Le multiplexage frequentiel est utilise en telephonie, en radiodiffusion, en television et sur les

reseaux de communication. En effet, dans le reseau telephonique analogique il a permis de

multiplexer 10 000 voies telephoniques sur un seul cable coaxial, dans la bande 4-60 MHz.

En Telex, il permet de multiplexer 24 voies telex (50bits/s) dans une voie telephonique

analogique a 3400 Hz et d’offrir un service particulierement economique. En distribution

video, il permet, il permet de multiplexer une trentaine de canaux TV analogiques dans la

bande 40-300 MHz.


63

Chapitre 3Transmission numerique en

bande de base

On rappelle qu’il faut distinguer deux types de transmission possible :

– la transmission numerique d’informations numeriques. Les signaux sont transmis,

eventuellement apres un codage prealable, directement sur le support de transmission.

On parle de transmission en bande de base.

– La transmission numerique d’informations analogiques. Cette transformation necessite

une transformation du signal analogique en une suite de donnees binaires : c’est le

processus de numerisation.

L’interet de la transmission numerique est double :

– Le processus de transmission des donnees est le meme quelque soit la nature initiale

des donnees (analogique ou numerique).

– Le traitement, le stockage et la restitution des donnees sont largement facilites en

utilisant des donnees numeriques plutot que les donnees analogiques.

3.1 La numerisation

3.1.1 Introduction

Le role des traitements realises sur les donnees a transmettre consiste a augmenter les

performances du systeme de transmission ainsi que la fiabilite des donnees transmises. 3

types de traitement peuvent etre effectues sur les signaux.

1. Numerisation : passage d’un signal analogique a un signal numerique.


64 Chapitre 3. Transmission numerique en bande de base

2. Codage en bande de base : transmission numerique d’un signal analogique.

3. Modulation : transmission analogique d’un signal numerique.

Pour transmettre des signaux analogiques, tels que la parole ou les signaux video, une

conversion A/N (CAN) est necessaire. La principale technique est la Modulation par Impulsions

Codees (MIC ou PCM : Pulse code modulation). Il existe d’autre type de modulation comme

par exemple la Modulation delta (DM : delta modulation).

3.1.2 Modulation par impulsions codees (MIC)

Quand un abonne telephonique, relie a un autocommutateur numerique, appelle un correspondant,

les signaux qui circulent sur la desserte locale sont des signaux analogiques. Avant de

penetrer dans le commutateur numerique, les signaux sont transformes en informations

numeriques, codees sur 8 bits, par un dispositif nomme codec (codeur-decodeur). Le codec

est l’inverse d’un modem. Il convertit un signal analogique afin qu’il puisse etre transmis

sous une forme numerique. En revanche, le modem transforme une information numerique

en un signal analogique module. Fonctionnellement, un codec preleve 8000 echantillons par

seconde de l’information analogique recue, soit un echantillon toute les 125 µs. Cette cadence

est suffisante, selon le theoreme de Nyquist, pour echantillonner tout signal compris dans

une bande de frequence de 300 a 3400 Hz.

Les principaux traitements sont dans l’ordre

I II III

l’ echantillonnage =⇒ la quantification =⇒ codage

– L’echantillonnage consiste a prelever des echantillons d’un signal analogique (temps

continu) a des instants discrets.

3.1.3 Echantillonnage

Theoreme d’echantillonnage : Shannon/Nyquist

Un signal x(t) d’energie finie dont le spectre est a support sur [−B,B] peut etre echantillonne

tous les Te sans perte d’information a condition que la frequence d’echantillonnage Fe (ici


3.1 La numerisation 65

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Signal analogique

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Peigne de dirac

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5


frequence de Nyquist) verifie :

Fe = 1Te≥ 2B

Sans perte d’information signifie qu’on peut reconstruire x(t) ∀ instant t a partir de la suite

infinie des echantillons x(kTe).

x(t) =+∞∑

k=−∞

x(kTe)sin(πFe(t− kTe))πFe(t− kTe)

(3.1)

Cette derniere equation correspond a la formule d’interpolation de Shannon.

Quantification / Codage

– Quantification lineaire : La valeur exacte des differents echantillons n’est pas utilisee.

On se contente de rapporter chaque echantillon a une echelle de 2n niveaux appelee

echelle de quantification. Il n’y a donc qu’un ensemble de 2n valeurs possibles pour les

echantillons quantifies. L’erreur systematique que l’on commet en assimilant la valeur

reelle de l’echantillon au niveau de quantification le plus proche est appele bruit de

quantification.

– Codage : La derniere etape de la numerisation est le codage. Les 2n niveaux quantifies

vont etre codes par des valeurs numeriques allant de 0 a 2n − 1, donc elles pourront

etre codees par une suite de n bits. Ainsi, ce n’est pas la valeur du signal echantillonne

qui est transmise au recepteur, mais la valeur codee du niveau quantifie le plus proche

de lui.

Valeur Binaire Valeur Codee Niveau de Quantification



Valeur Binaire Valeur Codee Niveau de Quantification

111 7 3.5

110 6 2.5

101 5 1.5

100 4 0.5

011 3 -0.5

010 2 -1.5

001 1 -2.5

000 0 -3.5

∆ = le pas de quantification

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

∆

Pour une transmission par ligne telephonique on utilise n = 8 soit 256 niveaux, la frequence

d’echantillonnage est fe = 8000 Hz. Le debit binaire est donc 8000 echantillons/s × 8

bits/echantillon = 64 kbits/s.

3.1.4 les differentes Normes

Norme americaine

Malheureusement, l’Europe et les Etats-unis n’ont pas reussi a se mettre d’accord sur

le procede. Sur le continent nord-americain, la technique de la societe Bell System (T1)

consiste a multiplexer 24 voies telephoniques. Chaque voie est exploree puis quantifiee

periodiquement a la cadence de 8000 echantillons par secondes. Chaque voie est representee

par un mot de 8 bits. Sept bits representant la valeur quantifiee de l’echantillon preleve, on

dispose ainsi de 127 niveaux de quantification. Le huitieme bit est utilise pour la signalisation

de la voie telephonique.

On obtient ainsi un debit de 56 Kbit/s pour representer les signaux vocaux et un debit de

8 Kbit/s pour la signalisation telephonique qui s’y attache.

Le multiplexage conduit a 192 bits (24 voies a 8 bits). A ces 192 bits, on ajoute un bit pour

permettre d’etablir et de conserver la synchronisation entre trames. On obtient alors une

trame de 193 bits toutes les 125 µs, soit un debit de 1,544 Mbit/s.


3.2 Quantification non lineaire 67

Norme europeenne

En ce basant sur les principes precedent, le CCITT a considere qu’un debit de 8 Kbit/s

consacre a la signalisation etait trop important. Il a ete decide d’attribuer les 8 bits associes

a une voie telephonique a la quantification exclusive des signaux vocaux. Ainsi au lieu des

7 bits par voie du canal T1 (Bell System), on utilise 8 bits, ce qui conduit a disposer de 256

niveaux de quantification.

Le CCITT propose une solution basee sur une trame de 256 bits contenant 32 voies a 64

Kbit/s, soit un debit total de 2,048 Mbit/s. Trente voies assurent le transport de l’information

utile, les deux autres voies sont assignees a la signalisation. Cela correspond a la technique

de signalisation par voie semaphore. Chaque groupe de 4 trames fournit ainsi 64 bits de

signalisation. 32 bits sont utilises pour la signalisation et 32 pour la synchronisation.

3.2 Quantification non lineaire

3.2.1 Principe

On utilise les informations a priori sur le signal pour augmenter les performances de la

quantification en appliquant un pas de quantification variable.

3.2.2 Exemple : la parole

Le signal de parole conserve un niveau relativement constant avec peu d’extremums. On

va donc favoriser les valeurs faibles du signal par un nombre de niveaux plus important, et

limiter les niveaux pour les autres valeurs.

2 4 6 8 10 12

x 10−3

−8

8

Niv

ea

ux

de

qu

an

tifi

ca

tio

n



3.3 Compression-Expansion

3.3.1 Principe

En pratique, afin d’obtenir une quantification non lineaire, on utilise la technique suivante.

On comprime la dynamique du signal puis on applique une quantification lineaire. Les

fonctions de compressions font l’objet de normes. C’est ainsi qu’il existe une loi de compression

pour le Japon et les Etats-Unis et une loi de compression pour l’Europe.

3.3.2 Loi µ (Etats Unis – Japon)

y(t) =ln(

1 + µ∣∣∣ x(t)max(x)

∣∣∣)ln (1 + µ)

sgn(x(t))

µ = 255

3.3.3 Loi A (Europe)

y =

A

1+lnA

(x(t)

max(x)

) ∣∣∣ x(t)max(x)

∣∣∣ ≤ 1A

(1+lnA∣∣∣ x(t)

max(x)

∣∣∣)1+lnA

sgn(x(t)) 1A≤∣∣∣ x(t)max(x)

∣∣∣ ≤ 1

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Caractéristique de compression

X

Y

A = 87,6


3.4 La modulation MIC differentielle DPCM et ADPCM 69

3.4 La modulation MIC differentielle DPCM et ADPCM

Toutes les methodes de compression reposent sur un meme principe qui considere que

l’amplitude du signal analogique change lentement par rapport a la vitesse d’echantillonnage

(8 Kbit/s). Il en resulte que les echantillons preleves et quantifies sur 7 ou 8 bits presentent

un fort degre de redondance.

Une technique, la modulation MIC differentielle (DPCM) consiste a ne pas transmettre la

valeur quantifiee presente mais la difference entre cette valeur presente et la valeur quantifiee

precedente. Par exemple, si l’on considere que les ecarts de valeur de ± 16 increments, ou

plus, sont tres peu probables dans une plage de 128 increments de quantification possibles,

alors un codage sur 4 bits peu etre suffisant. Dans un cas plus general, on peut utiliser

une prediction lineaire; on obtient alors un codage de type ADPCM (Adaptive Pulse code

modulation).

3.5 Modulation DELTA

3.5.1 Principe

Une autre technique consiste a considerer que chaque valeur quantifiee ne differe de la

precedente que de plus ou moins 1 increment de quantification. Dans ce cas, un seul bit est

transmis pour signaler un changement d’amplitude du signal analogique. Cette technique

n’est valable que pour un signal dont les variations sont lentes. C’est une conversion directe

d’un signal analogique en une suite de bits.



3.5.2 Modulateur delta

e(t) = m(t)− m(t)

d(t) = ∆sgn[e(t)]+∞∑

n=−∞

δ(t− nTech)

xDM = ∆+∞∑

n=−∞

sgn[e(nTech)]δ(t− nTech)

Le signal de sortie est donc constitue d’une suite d’impulsions de polarite positive ou

negative, suivant le signe de e(t) a l’instant ou l’on echantillonne m(t).

3.5.3 Demodulation

On demodule un signal DM en :

– integrant xDM(t) pour restituer l’approximation m(t) du signal originel m(t)

– puis en filtrant passe bas m(t) afin de le lisser, c’est a dire d’en eliminer les marches

d’escalier.

3.5.4 Remarques

– Il est necessaire que ∆ (les marches) soit de faible hauteur pour reproduire le signal

originel avec une precision suffisante, il faut donc augmenter la frequence d’echantillonage

pour pouvoir suiver les variations rapide du signal.

– Amelioration : modulateur delta adaptatif, la hauteur de marche ∆ est variable en

fonction du niveau du signal d’entree.

3.6 Multiplexage temporel

3.6.1 Principe

Le multiplexage temporel est l’application la plus systematiquement utilisee en telecommunication.

On fait appel a cette technique pour transmettre simultanement plusieurs signaux sur un


3.6 Multiplexage temporel 71

meme canal de transmission (cf figure 3.1) . On reduit tout d’abord la largeur de bande de

chacun des signaux a transmettre au moyen de filtre passe-bas, afin d’eliminer les frequences

qui ne sont pas utiles pour la restitution du signal.Les signaux filtres sont appliques a un

commutateur electronique qui echantillonne (fe) a tour de role chacun d’entre eux a une

frequence superieur ou egale a la frequence de Nyquist fM (en general fe = 1.1fM).

Le filtre passe-bas ainsi que la valeur de la frequence d’echantillonnage 1.1 superieur a fM

sont destines a eviter les problemes de recouvrement de spectre (aliasing), permettant ainsi

la reconstruction des signaux. Les echantillons sont donc transmis sur le canal en serie,

entrelaces, pour etre tries et reattribues a leur message d’origine l’arrivee. En reception,

le signal composite est demultiplexe au moyen d’un second commutateur electronique qui

distribue les signaux echantillonnes a leurs filtres passe-bas respectifs avant demodulation. Le

bon fonctionnement du systeme repose sur la synchronisation parfaite des deux commutateurs.

3.6.2 Exemples

1. Deux signaux analogiques m1(t) et m2(t) doivent etre transmis sur un meme canal

en multiplex temporel. La frequence la plus elevee de m1(t) est 3kHz tandis que celle

de m2(t) est de 3.5 kHz. Quelle est la valeur minimale admissible pour sa frequence

d’echantillonnage?

2. Un signal m1(t) presente une largeur de bande de 3.6 kHz; trois autres signaux m2(t),

m3(t) et m4(t) ont chacun une largeur de bande de 1.2 kHz. On desire transmettre ces

signaux sur un multiplex temporel.

(a) Quelle doit etre la frequence de prelevement des echantillons (en echantillons par

seconde) du commutateur.

(b) Si la sortie du commutateur presente 1024 niveaux de quantification, convertis

en binaire, quel est le debit de la liaison (en bits/seconde).

(c) Determiner la bande passante minimale requise pour la liaison.

(d) Dessiner le schema d’un tel systeme, chaque signal etant echantillonne a sa

frequence de Shannon.



3.7 Codage en bande de base : formatage des signaux

Le codage permet d’adapter le signal numerique qui est en bande de base au canal qui

est egalement en bande de base. Le codage en bande de base se compose de 2 operations

successives :

– Une regle de codage qui etablit une correspondance entre les elements binaires d’information

et des symboles codes.

– Une mise en forme a l’aide d’impulsions electriques pour ameliorer la transmission.

Le code est la loi qui fait correspondre les informations a representer et les configurations

binaires associees, chaque information correspondant a une et une seule configuration binaire.

Si la totalite des configurations binaires n’est pas utilisee, le code est dit redondant.

3.7.1 Code de type non retour a zero (NRZ)

Dans ce format, qui est le plus elementaire, le niveau du signal est constant pendant la

duree T du symbole. Les bits 1 et 0 sont representes par des impulsions d’amplitudes

respectivement positives et negatives de meme valeur absolue. Il n’y a pas de retour a

zero entre 2 bits consecutifs de meme valeur.

Le format NRZ presente plusieurs inconvenients :

– il possede une forte densite spectrale en basses frequences : si le canal ne les transmet

pas correctement de l’information sera perdue,

– il n’y a pas de raie a la frequence rythme, ce qui complique la recuperation de l’horloge,

– en cas de longues suites de symboles identiques, le rythme risque d’etre perdu.

3.7.2 Code RZ (retour a 0)

Dans ce format :

– a 1 correspond le niveau haut (+V), suivi d’un retour a zero,

– a 0 correspond le niveau zero


3.7 Codage en bande de base : formatage des signaux 73

3.7.3 Transcodage

On utilise le terme transcodage pour le distinguer du codage effectue a la source des donnees

(codage en ligne ou codage canal).

Cette operation plus complexe consiste a remplacer la suite de symboles par une autre avec

un triple but :

1. supprimer les composantes continues et basses frequences dans le spectre du signal

transcode, afin de ne pas perdre d’information si elles sont mal ou pas transmises,

2. creer des transitions les plus frequentes possibles, pour rendre possible la recuperation

du signal horloge, quelque soit le message d’origine,

3. permettre une mesure statistique du taux d’erreurs.

Concretement, afin de respecter les trois principes decrits ci-dessus on doit remplacer un

groupe de n bits par un groupe de m symboles (a 2, parfois 3 niveaux) dans lequel on cherche

le maximum de transitions et une valeur moyenne la plus constante possible. Ceci amene

a eliminer certaines combinaisons ou mots interdits ce qui suppose une redondance dans le

codage. La condition est donc :

qm > 2n

ou q est le nombre de niveaux des symboles de la traduction.

3.7.4 Codes a deux niveaux et rythme double

Dans ces codes, l’intervalle de temps symbole est divise par 2. On peut considerer que

l’information sera contenue dans la transition entre ces 2 demi-bits. Ces codes sont simples,

et remplissent bien les objectifs fixe ci-dessus. Leur principal inconvenient est de doubler la

frequence d’horloge; ils ne sont donc pas appropries aux hauts debits.

Code biphase Manchester simple

On introduit des transitions au milieu de l’intervalle. Les bits a 1 sont representes par un

front montant et les bits a 0 par un front descendant.



Code Manchester differentiel

On introduit des transitions au milieu de l’intervalle. Ce code tient compte du bit precedent.

Les bits a 0 sont representes par un changement de polarite au debut d’un temps ”bit” et

les bits a 1 sont caracterises par l’absence de changement de polarite.

3.7.5 Codes de blocs binaires nBmB

Un bloc de n bits est remplace par un bloc de m bits avec m>n. Parmi les 2m traductions

possibles on elimine celle qui :

– presente peu ou pas de transitions,

– ont une somme numerique SN, c’est a dire un difference entre le nombre de 0 et de 1,

trop forte.

Les codes precedents peuvent etre consideres comme des codes 1B2B qui appliquent ces

regles.

3.7.6 Codes a 3 niveaux

On les utilisent surtout pour la transmission sur paire metallique (cable coaxial ou ligne

telephonique). Les 3 niveaux etant alors +V,0,-V, on peut avoir une composante continue

nulle quel que soit le message et utiliser des canaux qui ne passent pas le continu. Sur cable,

ce codage permet egalement de superposer un courant continu d’alimentation et de le separer

du signal par filtrage. Ils permettent egalement de reduire l’encombrement spectral, ce qui

est tres important sur les cables coaxiaux dont l’attenuation augmente avec la frequence.

Les codes les plus utilises sont les suivants :

– le code bipolaire (AMI Alternance Mark Inversion): il consiste a coder 0 par une

tension nulle, 1 par une tension alternativement positive et negative (ou la convention

inverse)

– le code HDB3 (HDBn Haute densite bipolaire d’ordre n), est une variante du code

bipolaire dans laquelle apres une suite de 3 (ou n dans le code HDBn) zeros, le 4e

(n+1eme) est code par une tension non nulle violant la regle d’alternance des polarites,


3.7 Codage en bande de base : formatage des signaux 75

afin de maintenir le rythme en cas de longue suite de zeros; un bit de bourrage est

introduit ensuite pour retablir la neutralite electrique.

3.7.7 Codage a spectre etale

Cette technique est aussi appelee modulation a spectre etale (spread spectrum). Cette

technique a d’abord ete utilise pour les applications militaires, car apportant une certaine

protection des informations, le signal transmis prenant l’apparence d’un bruit, cette technique

est utilisee en communication radio (satellites, reseaux mobiles) pour les liaisons fortement

bruitees.

Le principe de cette technique consiste a transmettre sur une porteuse un signal code :

le signal numerique en bande de base de debit Db est multiplie par une sequence binaire

pseudo-aleatoire a un debit Dc beaucoup plus eleve et multiple entier du sien. Ceci permet

d’etaler le spectre considerablement dans un rapport Dc/Db.

A la reception, le signal recu est multiplie par la meme sequence binaire, ce qui restitue le

signal d’origine. Le rapport signal a bruit de fond va s’ameliorer de 10 log(Dc/Db). Si au

cours de la transmission des signaux se sont superposes, signaux de brouillage par exemple,

leur spectre est etale au decodage, car ils ne sont pas correles avec la sequence de codage.

3.7.8 Remarques

Il est important de noter qu’il existe une grande diversite de systeme de codage,

cela en raison des caracteristiques tres variables des canaux de transmission

exploites en telecommunication.

Les parametres importants a prendre en compte lors du choix d’un codage sont :

– l’encombrement spectral,

– sensibilite au bruit,

– le cout et la complexite de mise en oeuvre.

– la confidencialite,

– tolerance aux erreurs de transmission

– . . .



En d’autres termes, il n’y a pas de solution unique a un probleme de transmission, il faut

trouver des compromis respectant les contraintes de l’application cible.

3.8 Transmission parallele – Transmission serie

1. Transmission parallele : transmission dans laquelle N bits sont emis simultanement,

ce qui necessite N voies de transmission. Ce mode autorise des debits d’informations

eleves, mais a un cout prohibitif lorsque l’emetteur et le recepteur sont eloignes l’un

de l’autre.

2. Transmission serie : les bits sont emis successivement sur la meme voie. Ce mode

necessite une synchronisation entre l’emetteur et le recepteur.

– Transmission asynchrone : la synchronisation bit est re-initialisee au debut et

a la fin de chaque caractere par un ou plusieurs bits de Start et Stop . L’emetteur

transmet des donnees de facon independante du recepteur. C’est un mode de

transmission simple mais il diminue la capacite du canal.

– Transmission synchrone : la synchronisation est maintenue en permanence, en

l’occurrence par un signal d’horloge.

– Pour les transmission courtes, un conducteur separe transmet vers le recepteur le signal

d’horloge parallelement aux donnees.

– Pour les transmission longues distance on peut utiliser la synchronisation bit : Des bits

de synchronisation sont inclus dans le flot de donnees et le recepteur cale son horloge

sur les bits de synchronisation.


3.8 Transmission parallele – Transmission serie 77

a) Commutation en multiplex temporel

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

m1(t)

m2(t)

t

b) Multiplexage temporel de deux signaux

Fig. 3.1 – Multiplexage temporel.

Horloge

Message

Code type NRZ

+V

−V



Horloge

Message

Manchester simple

+V

−V

Horloge

Manchester différentiel

Message

+V

−V


79

Quatrieme partie

Application


80 Chapitre 1. Une application : L’ADSL

Chapitre 1 Une application : L’ADSL

Toutes informations contenues dans ce chapitre ont ete recueillies sur les sites suivants :

– http://igm.univ-mlv.fr/ duris/NTREZO/ADSL.pdf par les auteurs Fabrice AGU, Elodie

BERLIN, Nicolas PICARDAT,

– http://www.commentcamarche.net/technologies/adsl.php3,

– http://www.enssib.fr/autres-sites/dessid/dessid00/cv/gedyass.PDF

– http://reseauxtcpip.free.fr/docs/ADSL.htm

1.1 Introduction

1.1.1 La jeune Histoire d’Internet

En 1996 sur les quelques 130 000 serveurs recenses figurent les sources d’information les

plus diverses : Dessins animes, bandes dessinees, automobile, musique, films ou produits

diverses. D’innombrables bibliotheques d’images, de sons et de videos cohabitent avec les

theses scientifiques les plus savantes et les jeux de roles les plus debrides.

Mais comment une telle galaxie communicante a-t-elle vu le jour? Et surtout, comment a-t-

elle fait pour se developper aussi rapidement? Pour le savoir, il faut reprendre l’histoire a son

debut. En realite, Internet est ne il y a pres de trente ans et le principe sous-jacent (un reseau

d’ordinateurs communiquant librement entre eux) est ne d’une angoisse liee a la guerre

froide, au debut des annees 60. La Rand Corporation recoit une requete du gouvernement des

Etats-Unis : Serait-il possible de creer un systeme de communication infaillible entre toutes


1.1 Introduction 81

les bases disseminees dans le monde? Le cahier des charges impliquait de creer un modele qui

permette la transmission d’informations, meme en cas d’attaque nucleaire. L’architecture

informatique alors en vigueur (un puissant ordinateur central relie a des terminaux) etait

inadaptee car trop fragile. Le simple fait d’aneantir la source majeure d’information aurait

aneanti toute communication. La proposition remise en 1964 au Pentagone par les experts

Larry Roberts et Paul Baran definissait un modele remarquablement ingenieux. Chaque

ordinateur du reseau etant potentiellement vulnerable, la communication devait operer de

maniere a transcender cette faiblesse. L’idee de genie fut la suivante : Chaque message

echange entre deux points se verrait divise en plusieurs paquets, chacun d’entre eux portant

un numero et une adresse de destination. Ces paquets individuels pourraient voyager d’un

point a un autre en empruntant des itineraires divers. A l’arrivee ils seraient regroupes et

reordonnes afin de reconstituer le message d’origine. Si l’un d’eux manquait l’ordinateur

de destination le redemanderait, et le paquet suivrait automatiquement un autre chemin.

Il suffirait qu’un colis arrive a bon port pour qu’il puisse dire aux autres quel chemin

suivre... Grace a une telle methode de communication, baptisee Internet Protocol, il semblait

impossible de stopper un message transitant de Paris a San Francisco. Le concept propose

par la Rand Corporation a alors ete juge adequat pour creer l’architecture de communication

voulue par l’armee americaine puisque les premiers essais effectues au National Physical

Laboratory en Angleterre s’etaient reveles concluants.

Du Pentagone a l’universite

En decembre 1969, les quatre premiers ”noeuds” (ordinateurs) du reseau ont ete mis en place

sous l’egide du Pentagone, l’ensemble etant alors baptise Arpanet. Des 1972, il recensait 37

noeuds. En plus des militaires, savants et chercheurs ont commence a se connecter au reseau,

trop heureux de pouvoir - a partir d’Arpanet - exploiter les ressources d’un ordinateur

eloigne. Et rapidement, le reseau s’est vu detourne a des fins plus pratiques. Les utilisateurs

ont tout naturellement pris gout au courrier electronique, Arpanet facilitant l’echange de

theses et de rapports, et plus generalement d’informations entre confreres. La messagerie

est tres tot devenue la premiere utilisation du reseau. Le systeme des listes, permettant de

diffuser le meme message a un grand nombre d’utilisateurs concernes par un sujet, est ne

a peu pres a la meme epoque... Et l’une des premieres listes, SF-Lovers, etait dediee aux



amateurs de science fiction. Du fait de sa facilite d’adaptation a divers types de machines,

Arpanet a connu une croissance continue. Au milieu des annees 70, des universitaires ont

invente un standard de communication inter-reseau qu’ils ont baptise TCP/IP (Transmission

Control Protocol/Internet Protocol). TCP/IP etant diffuse gratuitement, de nombreux

laboratoires et universites deciderent de l’adopter, afin de faciliter la liaison entre leurs

reseaux respectifs. La popularite de TCP/IP fut telle qu’Arpanet l’adopta aussi... L’armee

americaine a alors juge la situation suffisamment preoccupante pour desolidariser des 1977

la partie militaire du lot. Et le reseau a peu a peu ete rebaptise par ses utilisateurs sous le

nom d’Internet. A partir de 1984, plusieurs agences gouvernementales se sont connectees au

reseau, ouvrant ainsi a tous leurs gigantesques bases de donnees : la NSF (National Science

Foundation), la NASA ou certains ministeres. Des universites du monde entier ont a leur

tour rejoint cette communaute virtuelle. A la fin des annees 80, Internet etait compose de

plusieurs dizaines de milliers de noeuds raccordant trois a quatre millions d’utilisateurs,

essentiellement issus du monde scientifique et universitaire. Le destin d’Internet va prendre

une nouvelle tournure en 1991, lorsque Tim Berners-Lee, un informaticien du CERN (Centre

europeen de recherche nucleaire, situe a Geneve) developpe le World Wide Web (litteralement :

Toile d’araignee mondiale). Grace a ce systeme, il devient possible de creer tres aisement

des ”pages” d’informations standardisees, et de creer des liens entre les divers serveurs

d’Internet. Pour ce faire, il suffit d’utiliser un langage simple concu par Berners-Lee : l’HTML.

La communaute Internet accueille le World Wide Web (alias WWW) avec le plus vif interet.

Les principaux serveurs decident de presenter desormais leurs informations sous forme de

pages ecrites en HTML. L’apparition du WWW est une etape majeure, car tout utilisateur

peut desormais consulter les informations d’Internet sans avoir a connaıtre la moindre

commande informatique. Toutefois, pour qu’Internet puisse etre accessible au grand public,

il manque encore un logiciel qui permettrait de naviguer sur le WWW par le biais d’une

interface graphique a la Macintosh/Windows. C’est un etudiant de 21 ans de l’Universite

de l’Illinois, Marc Andreessen, qui va prendre cette initiative, sans aucune arriere-pensee

commerciale. Le logiciel Mosaıc sort en janvier 1993 et, de par sa diffusion gratuite, se voit

adopte par la majorite des utilisateurs de systemes tels que Macintosh ou Windows. En

parallele, Al Gore, vice-president des USA, cite le reseau Internet comme un modele des

fameuses autoroutes de l’information censees relier demain chaque foyer americain. Comme


1.2 La connexion a Internet 83

il suffit de posseder un ordinateur et un modem pour se brancher, le grand public est

pris d’une soudaine frenesie de connexion. Il decouvre alors une masse d’informations si

variees que sa curiosite le pousse irresistiblement a rester connecte. En fait, on y trouve

tout et n’importe quoi : des oeuvres de Shakespeare aux clips des Rolling Stones, et de

l’Encyclopedia Britannica en version integrale aux reproductions des toiles de Dali...

1994, l’annee du plebiscite

La veritable explosion va se produire l’annee suivante, a la faveur de trois phenomenes. En

mars 1994, le reseau prive America Online - qui regroupe deja plus d’un million d’abonnes

- ouvre un acces a Internet. Presque immediatement, six cent mille curieux debarquent sur

les forums et sur le World Wide Web. Et comme les medias se font l’echo des merveilles

d’Internet, un grand nombre de societes apparaissent de part et d’autre de l’Atlantique,

afin d’offrir un acces Internet pour un tarif mensuel aux alentours de 200 francs. Certaines

enquetes evaluent alors le nombre d’utilisateurs a trente millions de par le monde... En

avril 1994, Jim Clarke quitte la presidence de Silicon Graphics et s’en vient solliciter

la collaboration de Marc Andreessen pour creer une version evoluee de Mosaıc. Baptise

Netscape Navigator, ce nouveau logiciel, diffuse des l’automne 1994, acheve de populariser

Internet aupres du grand public. La publicite fait son entree sur le Web l’annee suivante,

consacrant du meme coup le reseau comme un nouveau vehicule d’informations incontournable

a l’aube du XXleme siecle. Les ”veterans” d’Internet n’ont pas toujours vecu avec bonheur

cette intrusion du grand public sur leur reseau, les temps de reponse ayant largement souffert

de cette soudaine montee d’affluence. Mais que l’on regrette ou non une telle evolution,

Internet est devenu une realite que personne ne peut ignorer.

1.2 La connexion a Internet

Maintenant que nous avons vu ce qu’est Internet, nous allons essayer de voir plus precisement

comment on peut s’y connecter. Le moyen le plus simple bien sur est d’utiliser un modem

V90 (55,6Kbps) que l’on branche a sa ligne telephonique pour se connecter au web. Avant

l’arrivee des technologies xDSL, cette solution apportait de nombreux avantages mais aussi

quelques inconvenients.



1.2.1 Les avantages

L’utilisation des modems V90 (55,6Kbps) pour acceder a Internet offre de nombreux avantages :

– Les lignes telephoniques sont deja installees dans la plupart des batiments, ce qui

ne necessite aucun travail particulier, donc aucun frais de ce point de vue pour

l’utilisateur.

– Les frais se limitent en fait a l’achat du modem, au paiement des communications

telephoniques, et eventuellement au paiement d’un abonnement a Internet. Cette

facilite d’installation et ce cout reduit ont fait le succes de cette formule.

1.2.2 Les inconvenients

Il existe cependant plusieurs inconvenients :

– Le debit de l’information est peu eleve (55,6Kbps au maximum en debit theorique)

– On ne peut pas telephoner et se connecter a Internet en meme temps puisque la ligne

telephonique est utilisee dans sa globalite pour acceder a Internet.

– Le cout des communications peut devenir tres eleve si le temps de connexion est

important. Pour palier a ces inconvenients, plusieurs systemes ont ete imagines dont

les technologies xDSL et parmi celles-ci l’ADSL.

Fig. 1.1 – Les inconvenients


1.3 Les technologies xDSL 85

1.2.3 L’evolution

Le rapide developpement des technologies de l’information a fait apparaıtre de nouveaux

services gourmands en capacite de transmission. L’acces rapide a Internet, la visioconference,

l’interconnexion des reseaux, le teletravail, la distribution de programmes TV, etc font

parties de ces nouveaux services multimedia que l’usager desire obtenir a domicile ou au

bureau. Jusqu’a present les services a hauts debits existant comme le cable coaxial ou la fibre

optique n’etaient pas bien adapte aux besoins reels. En effet, remplacer ou meme installer

des fibres optiques coutent tres chers et une connexion en cable coaxial n’est pas toujours

tres stable. L’idee d’utiliser la paire torsadee semble donc la mieux adaptee puisque dans le

monde plus de 800 millions de connexions de ce type sont deja en place et qu’il suffit d’ajouter

un equipement au central telephonique ainsi qu’une petite installation chez l’utilisateur pour

pouvoir acceder a l’ADSL.

1.3 Les technologies xDSL

1.3.1 Deux grandes familles

Le terme DSL ou xDSL signifie Digital Subscriber Line (Ligne numerique d’abonne) et

regroupe l’ensemble des technologies mises en place pour un transport numerique de l’information

sur une simple ligne de raccordement telephonique. Les technologies xDSL sont divisees

en deux grandes familles, celle utilisant une transmission symetrique et celle utilisant une

transmission asymetrique. Ces deux familles seront decrites plus loin dans ce support.

Fig. 1.2 – La technologie DSL



Les solutions symetriques

Les solutions symetriques La connexion s’effectue au travers de paires torsadees avec un

debit identique en flux montant (upstream) comme en flux descendant (downstream).

Les solutions asymetriques

En etudiant differents cas de figure, on s’est apercu qu’il etait possible de transmettre

les donnees plus rapidement d’un central vers un utilisateur mais que lorsque l’utilisateur

envoie des informations vers le central, ceux-ci sont plus sensibles aux bruits causes par des

perturbations electromagnetiques car plus on se rapproche du central, plus la concentration

de cable augmente et donc ces derniers generent plus de diaphonie 1. L’idee est d’utiliser un

systeme asymetrique, en imposant un debit plus faible de l’abonne vers le central.

Ce systeme permet donc de faire coexister sur une meme ligne un canal descendant (downstream)

de haut debit, un canal montant (upstream) moyen debit ainsi qu’un canal de telephonie

(appele POTS en telecommunications qui signifie : Plain Old Telephone Service).

1.3.2 Description des differentes technologies

Les technologies DSL, sont connues depuis une dizaine d’annees. Elles reposent sur une

optimisation des installations telephoniques existantes et permettent la transmission d’informations

numeriques, a haut debit, sur le fil telephonique. Elles supposent une modification du

repartiteur telephonique (et donc un investissement pour l’operateur) ainsi que l’installation

d’un modem specifique chez l’abonne.

HDSL (High bit rate DSL)

Cette technologie est la premiere technique issue de DSL et a vu le jour au debut des annees

1990. Cette technique consiste a diviser le tronc numerique du reseau, T1 aux USA et E1

en Europe sur 2 paires de fils pour T1 et 3 paires de fil pour E1. Avec cette technique, il

est possible d’atteindre un debit de 2Mbps dans les 2 sens sur trois paires torsadees et 1,5

Mbps dans les 2 sens sur deux paires torsadees. Il est possible que le debit, s’il est a 2 Mbps,

1. Brouillage d’une voie de transmission telephonique ou informatique par des signaux provenant d’autresvoies.


1.3 Les technologies xDSL 87

Tab. 1.1 – Performances des differentes technologies.

puisse tomber a 384 kbps secondes par exemple en fonction de la qualite de la ligne sur le

dernier kilometre et de la longueur de la ligne (entre 3 et 7 Km suivant le diametre du fil,

respectivement entre 0.4mm et 0.8mm). La connexion peut etre permanente mais il n’y a

pas de canal de telephonie disponible lors d’une connexion HDSL. Le probleme actuel de

cette technologie est que sa standardisation n’est pas encore parfaite.

SDSL (Single pair DSL, ou symmetric DSL)

SDSL est le precurseur de HDSL2 (cette technologie, derivee de HDSL devrait offrir les

memes performances que ce dernier mais sur une seule paire torsadee). Cette technique est

concue pour une plus courte distance qu’HDSL (voir tableau ci-dessous). La technique SDSL

va certainement disparaıtre au profit de l’HDSL2.

Tab. 1.2 – Distances et debits d’une liaison SDSL.



RADSL (Rate Adaptive DSL)

La technique RADSL est basee sur l’ADSL. La vitesse de transmission est fixee de maniere

automatique et dynamique en recherchant la vitesse maximale possible sur la ligne de

raccordement et en la readaptant en permanence et sans coupure. RADSL permettrait des

debits ascendants de 128kbps a 1Mbps et des debits descendants de 600kbps a 7Mbps, pour

une longueur maximale de boucle locale de 5,4 km. Le RADSL utilise la modulation DMT

(comme la plupart du temps pour l’ADSL). Il est en cours de normalisation par l’ANSI.

VDSL (Very High Bit Rate DSL)

VDSL est la plus rapide des technologies DSL et est basee sur le RADSL. Elle est capable

de supporter, sur une simple paire torsadee, des debits de 13 a 55.2 Mbps en downstream

et de 1,5 a 6 Mbps en upstream ou, si l’on veut en faire une connexion symetrique un

debit de 34Mbps dans les 2 sens. Donc il faut noter que VDSL est utilisable en connexion

asymetrique ou symetrique. VDSL a principalement ete developpe pour le transport de

l’ATM (Asynchronous Transfer Mode) a haut debit sur une courte distance (jusqu’a 1,5

Km). Le standard est en cours de normalisation. Pour le transport des donnees, l’equipement

VDSL est relie au central de raccordement par des fibres optiques formant des boucles SDH

a 155 Mbps, 622 Mbps ou 2,5 Gbps. Le transport de la voix entre l’equipement VDSL et le

central de raccordement peut egalement etre assure par des lignes de cuivre.

1.3.3 Conclusion

Avantages

Ces technologies presentent un triple avantage : la conservation de l’installation existante

(la paire de cuivre), un acces a Internet haut debit permanent et la possibilite (comme avec

le cable) de telephoner tout en surfant sur le Web. Le degroupage de la boucle locale, qui

consiste a donner un acces physique aux operateurs alternatif a la partie terminale du reseau

de l’operateur historique, devrait favoriser le deploiement de ces technologies en France. Le

VDSL (”V” pour very, tres grande vitesse), le HDSL (”H” pour high) et consorts annoncent

des debits tres prometteurs et seront, sans doute, reserves aux entreprises.


1.4 L’ADSL 89

Inconvenients

Les technologies DSL presentent cependant trois inconvenients. D’une part, l’abonne ne

doit pas etre eloigne de plus de 5,4 Km de son central telephonique de rattachement (il

faut preciser que cette distance s’entend comme la distance reelle et non la distance a vol

d’oiseau). Cette technologie est donc reservee de fait a des zones d’habitat dense. D’autre

part le debit est directement dependant du trafic de la ligne, les debits sont tres variables, ce

qui en fait, en l’etat actuel du savoir-faire, une technologie destinee aux particuliers plutot

qu’aux entreprises. Enfin, les debits sont, pour les versions actuellement proposees sur le

marche, asymetriques, c’est-a-dire qu’elles sont bien adaptees a la consultation/reception de

donnees mais beaucoup moins a l’emission.

1.4 L’ADSL

1.4.1 Pourquoi l’ADSL

L’internaute, si son endroit d’habitation fait partie du reseau ADSL, peut aujourd’hui

beneficier de debits theoriquement dix fois superieurs aux debits obtenus avec le modem

classique (V90 a 56 kbits/s). Ces debits sont devenus parfois indispensables tant les sites

Internet sont de plus en plus ”lourds” a charger (a cause des animations notamment). De

plus, ils generent de surcroıt un confort d’utilisation non negligeable. L’ADSL, ”A” pour

Asymetric, developpee par le Centre national de recherche en telecommunications (Cnet,

aujourd’hui France Telecom R&D) fin 1970, fait partie de la famille des technologies DSL.

L’ADSL offre des debits theoriques de 512 Kb/s a 9 Mb/s en reception et de 16 Kb/s a 640

Kb/s en emission. ADSL signifie Asymetric Digital Subscriber Line soit en francais ligne

d’abonne numerique asymetrique. Le but de la technologie est d’augmenter les possibilites

de transmissions des lignes telephoniques afin qu’elles soient capables, en plus de la voix, de

vehiculer des donnees numeriques tres rapidement. Quand vous telephonez, vous n’utilisez

meme pas 10% des capacites des fils de cuivre de votre ligne telephonique. En effet, il reste

encore de la ”place” (de la bande de frequence) qui n’est absolument pas exploitee ! L’ADSL

utilise donc les 90 % restants pour vehiculer des donnees numeriques a grande vitesse.



Fig. 1.3 – Utilisation de la ligne telephonique.

1.4.2 Comment ca marche

L’ADSL permet d’utiliser toute la capacite des fils des lignes telephoniques en divisant la

liaison en 3 canaux bien distincts (c’est ce qu’on appelle le multiplexage).

Techniques de Multiplexage

a. FDM (Frequency Division Multiplexing)

FDM est une technique de multiplexage par repartition de frequence (MRF). Elle

est utilisee pour accroıtre les debits sur paires torsadees et plus particulierement

des lignes telephoniques. Le multiplexage frequentiel consiste a partager la bande de

frequences disponible en un certain nombre de canaux ou sous-bandes plus etroits et

a affecter en permanence chacun de ces canaux a un utilisateur ou a un usage exclusif.

L’organisation du groupe primaire ou groupe de base utilise en telephonie est basee

sur un multiplexage frequentiel. Ce dernier consiste a regrouper 12 voix telephoniques

de 4000 Hz chacune (3000 Hz utilisables plus 2 espaces inter-bandes de 500 Hz) ce qui

donne une largeur de bande de 48 kHz repartie entre 60 et 108 kHz (cf figure 1.4.2).

On trouve egalement un bon exemple de l’utilisation de FDM avec ADSL (Asynchronous

Digital Subscriber Line). ADSL est ne de l’observation qu’une ligne telephonique

possede une bande passante d’environ 1 Mhz dans laquelle seule, une largeur de

bande de 4 Khz est utilisee pour les communications telephoniques. Il reste donc

une bande passante importante disponible pour un autre usage. C’est un multiplexage

en frequence qui va permettre son utilisation. Une bande de 4 kHz est reservee pour


1.4 L’ADSL 91

Fig. 1.4 – Exemple de multiplexage frequentiel de trois canaux telephoniques.

la telephonie classique (POTS : Plain Old Telephone Service), une bande est reservee

pour le flux de donnees usager vers reseau (Upstream Data : Voie montante) et une

bande est reservee pour le flux de donnees reseau vers usager (Downstream Data :

Voie descendante). L’ensemble de la bande passante s’etend sur 1,1 MHz. La creation

de ces canaux est effectuee aux extremites des lignes telephoniques grace a des filtres

(Splitter).

Chez l’abonne, on procede a la pose de ces filtres destines a faire la difference entre la

voix et les donnees numeriques. Le splitter separe la bande passante reservee au service

telephonique grace a un filtre passe-bas (< 4kHz) de la bande passante utilisee pour

la transmission ADSL grace a un filtre passe-haut (> 25kHz). Il assure un decouplage

suffisant pour eviter que les signaux emis sur l’une des bandes frequences ne viennent

perturber le fonctionnement de l’autre.

A l’autre extremite de la ligne, chez l’operateur, on installe egalement un splitter. Son

filtre passe bas aiguille la voix vers un commutateur de circuits. Son filtre passe haut est

relie a un modem, qui reconstitue les donnees numeriques (DSLAM). Celui-ci regroupe

le trafic issu de plusieurs lignes d’usagers sur une meme ligne a haut debit. Le DSLAM

(Digital Subscriber Line Access Multiplexer) est un equipement generalement installe

dans les centraux telephoniques assurant le multiplexage des flux ATM vers le reseau



Fig. 1.5 – Liaison ADSL.

de transport. Cet element n’accueille pas seulement des cartes ADSL mais peut aussi

accueillir differents services DSL tels que SDSL ou HDSL en y inserant les cartes de

multiplexage correspondantes. Chaque carte supporte plusieurs modems ADSL. Les

elements regroupes dans le DSLAM sont appeles ATU-C (ADSL Transceiver Unit,

Central office end). En fait tous les services disponibles sur le reseau (Internet, LAN-

WAN, Teleshopping, Video MPEG) arrivent vers une station DSLAM pour etre ensuite

redistribues vers les utilisateurs. La maintenance et la configuration du DSLAM et des

equipements ADSL est effectuee a distance.

b. TDM (Time Division Multiplexing)

Le multiplexage TDM permet de regrouper plusieurs canaux de communications a bas

debits sur un seul canal a debit plus eleve.

On retrouve ce type d’utilisation sur les canaux T1 aux Etats-Unis qui regroupent

par multiplexage temporel 24 voies a 64 kbit/s en une voie a 1,544 Mbit/s ou sur les

canaux E1 en Europe qui regroupent 30 voies analogiques en une voie a 2,048 Mbit/s.

Les canaux T1 ou E1 peuvent etre multiplexes entre eux pour former des canaux a

plus hauts debits, etc. Cette hierarchie des debits est appelee hierarchie numerique


1.4 L’ADSL 93

Fig. 1.6 – Separation du telephone et des donnees chez l’usager en ADSL.

Fig. 1.7 – Schema de principe d’un multiplexage a repartition dans le temps.

plesiochrone ou PDH (Plesiochronous Digital Hierarchy).

Cette technique presente toutefois un inconvenient dans le cas de PDH. L’acces ou

l’insertion d’une information dans un canal E4 oblige a demultiplexer l’ensemble du

train numerique. De meme les technologies SONET (Synchronous Optical NETwork)

et SDH (Synchronous Digital Hierarchy) utilisees comme techniques de transport

dans les reseaux telephoniques des grands operateurs pratiquent un multiplexage

temporel pour assembler plusieurs lignes en une seule ligne de debit superieur. Le

multiplexage TDM peut etre utilise indifferemment sur paire torsadee ou fibre optique,

il est independant du media de transmission.

Techniques de modulation

a. DMT (Discret Multi Tone)

DMT est une technique de modulation utilisee dans certaines technologies xDSL.

L’ANSI (American Standards Institute) a defini la modulation de type DMT dans sa



Fig. 1.8 – Multiplexage temporel dans la hierarchie PDH en Europe.

norme T1.413. C’est DMT qui a ete choisie comme technique de modulation pour

ADSL au detriment de CAP (Carrierless Amplitude Phase). DMT est egalement

candidate pour etre la modulation normalisee pour VDSL (Very high data rate Digital

Subscriber Line). C’est une forme de modulation multi porteuse. Pour son application

a l’ADSL, le spectre de frequence compris entre 0 Hz et 1,104 MHz est divise en

256 sous canaux distincts espaces de 4,3125 kHz. Les sous canaux inferieurs sont

generalement reserves au POTS, ainsi les sous canaux 1 a 6 (jusqu’a 25,875 kHz)

sont en principe inutilises et laisses pour la telephonie analogique. Le debit du flux

montant est moins eleve que celui du flux descendant et utilise donc les frequences les

plus basses.

Ceci equivaut a disposer de 256 modems synchronises entre eux, se repartissant la

transmission des donnees. La division de la bande passante en un ensemble de sous

canaux independants est la cle de la performance obtenue par DMT. La mesure de

la qualite de chaque sous canal determine le nombre de bits qui lui sera alloue. Ce

procede a pour but d’adapter le taux de charge de chaque canal en fonction de ses

performances. Le maximum possible est de 15 bits/s par canal. Les zones de la bande

passante pour lesquelles l’attenuation du signal est importante ou le rapport signal

sur bruit trop faible, auront une vitesse allouee plus faible afin de garantir une bonne

qualite a la reception. Si la qualite est vraiment trop faible pour un canal, il peut ne


1.4 L’ADSL 95

Fig. 1.9 – Utilisation de la bande passante par DMT.

pas etre utilise. Pour calculer le debit, on utilise la formule suivante :

Debit total

=

Nb de canaux × Nb de bits/intervalle de modulation × Vitesse de modulation

Selon la norme T1.413, seuls les sous canaux 1 a 31 peuvent etre utilises pour le debit

upstream. Les sous canaux 1 a 6 sont utilises pour la telephonie, les sous canaux 7 a

31 pour le flux montant, le sous canal 32 est reserve, les sous canaux 33 a 256 sont

utilises pour les flux descendants. A noter que les sous canaux 16 et 64 sont utilises

pour transporter un signal ”pilote” et que les canaux 250 a 256 sont utilisables que

sur des lignes de raccordement de faible longueur.

Au dessus de 1 MHz, les perturbations sont trop grandes pour permettre un flux stable.

Dans ce cas, DMT utilise la technique d’annulation d’echo sur ces sous canaux ce qui



Fig. 1.10 – La separation des canaux en DMT.

resulte un flux en duplex sur les sous canaux 7 a 31. Si DMT avait applique FDM,

seuls les sous canaux superieurs (33 a 256) seraient utilises pour le downstream.

Les debits upstream et downstream sont separes soit par EC (Echo Cancelling) qui

permet d’utiliser les sous canaux inferieurs (de 1 a 31) pour le downstream et le

upstream ou soit par FDM (Frequency Division Multiplexing), qui est le plus utilise en

raison de sa simplicite et son faible cout, qui separe les sous canaux upstream/downstream

par un filtre passif. L’ajustement du debit par canal est constant. Si la qualite se

degrade sur un canal en cours de transmission, le systeme peut diminuer le nombre de

bits alloues sur ce canal, et les repartir sur d’autres.

Fig. 1.11 – Ajustement des debits par canaux en cours de transmission.

Cette possibilite d’ajustement a la qualite de la ligne en fait une technologie particulierement

adaptee au reseau telephonique commute dont la qualite peut etre tres inegale suivant

les localisations geographiques. DMT a ete retenu en 1993 par l’ANSI, le standard

T1.413 a ete finalise en 1995, l’UIT a confirme le choix de DMT pour son standard

ADSL en 1998. Malgre cet effort de normalisation, ADSL etait encore peu deploye.

L’usage initialement prevu de l’ADSL, a savoir la diffusion de video a la demande a

ete fortement concurrencee par les operateurs cable ou satellite. Une nouvelle cible est

apparue pour ADSL : l’acces a Internet. Mais pour seduire operateurs et utilisateurs,

il fallait un produit moins couteux et plus simple a installer. Comme par ailleurs

les debits necessaires pour un acces a Internet sont moindres que ceux necessaires


1.4 L’ADSL 97

a de la video, une nouvelle version d’ADSL a vu le jour : ADSL Lite. Adsl Lite

fait l’objet de la recommandation G.992.2 de l’UIT. Il reste base sur DMT, mais

utilise 127 sous-canaux, reduisant la bande totale a 550 kHz au lieu de 1,1 Mhz.

Les debits offerts sont de 1,5 Mbit/s en reception et 512 kbit/s en emission. Le

procede utilise pour la mise en oeuvre de DMT s’apparente a celui utilise par COFDM

(Coded Orthogonal Frequency Division Multiplexing). Il s’agit de la technique de

multiplexage adoptee par la norme de radiodiffusion numerique DAB (Digital Audio

Broadband). Comme nous l’avons vu, un equipement ADSL doit etre en mesure de

moduler ou demoduler jusqu’a 256 porteuses. L’utilisation de la technologie mise en

oeuvre pour le multiplexage FDM classique n’est pas envisageable techniquement sur

un si grand nombre de porteuses. Les concepteurs du processus de modulation COFDM

ont tourne la difficulte par l’utilisation d’une transformee de Fourier inverse. D’un

point de vue pratique, la necessite d’operer tres vite, en temps reel, conduit a utiliser

une FFT (Fast Fourier Transform = transformee de Fourier rapide) travaillant en

numerique, suivant des algorithmes tres performants. L’une des caracteristiques du

procede COFDM est l’utilisation des transmissions ” massivement paralleles ” dans

le domaine des frequences. L’information a transmettre est repartie sur un nombre

tres eleve de porteuses adjacentes. Ces porteuses ne sont pas issues de generateurs

ayant une existence concrete, comme dans tous les procedes classiques de modulation

numerique ou analogique, mais leur existence provient d’un artifice mathematique

utilisant une transformee de Fourier.

b. DWMT (Discrete Wavelet MultiTone )

DWMT est en cours de developpement pour des produits a haut debit, symetriques

ou asymetriques, de type VDSL. DWMT est une modulation dont le principe de

fonctionnement est proche de DMT. Elle s’appuie sur une base mathematique differente

de DMT qui est celle des transformees en ondelettes. Le codeur utilise une modulation

realisee par une transformee inverse rapide en ondelettes (IFWT : Inverse Fast Wavelet

Transform). La demodulation est realisee par une transformee rapide en ondelettes

(FWT : Fast Wavelet Transform). Grace a cette technique, les sous-canaux peuvent

avoir un espacement moitie moindre que celui necessaire a DMT. Les



performances promises par DWMT semblent nettement superieures a celles affichees

par DMT. Neanmoins, sa complexite semble prohibitive. D’avantage de travaux de

recherche seront necessaires pour reduire sa complexite et envisager une implementation.

c. QAM

ou MAQ (Modulation d’Amplitude en Quadrature) La MAQ va associer des niveaux

d’amplitude et de phase pour fournir des symboles representatifs d’un certain nombre

de bits. On nomme constellation la representation graphique de ces symboles. On va

alors parler de 16-MAQ, 32-MAQ, . . . , 256-MAQ , . . . 32768-MAQ, ce qui correspond

a la possibilite de transmettre 16, 32,. . ., 256, . . ., 32768 symboles differents. Chaque

symbole represente log2 16, log2 32, . . ., log2 256, . . ., log2 32768, soit 4,5,. . .,8,. . .,15

bits.

Fig. 1.12 – Exemple de constellation 16-MAQ.

Le debit binaire D pour une voie de rapidite de modulation R et pouvant transmettre

N symboles (N=2 nombre de bits/symboles), aura pour valeur :

D = R log 2(N)

Soit dans le cas d’un 16384-MAQ a 14 bits par symbole sur le RTC : D=4000 x 14=

56000 bit/s


1.4 L’ADSL 99

La norme G.lite

La norme G.Lite, qui definit la version ”legere” de l’ADSL (encore appelee ”Universal

ADSL”, ”splitterless ADSL”, ou ”lite ADSL”) permet :

– de fixer les debits : 1.5 Mbps dans le sens descendant, et 384 Kbps dans le sens

montant.

– D’integrer le splitter au modem (splitterless ADSL).

– D’imposer un modem auto-configurable (Plug and Play).

– De choisir le procede de modulation DMT (Discrete MultiTone), de preference

au procede CAP (Carrierless Amplitude and Phase).

1.4.3 Performances et limites

Les debits maximaux que nous avons evoques precedemment ne sont en realite que ”theoriques”.

De plus, les particuliers n’ont acces qu’a une version simplifiee de l’ADSL (ADSL Lite) qui

ne permet que des vitesses de 1 024 kbits/s pour les debits appeles descendants et de 128

kbits/s (parfois 256) pour les debits montants. Ces debits paraissent faibles par rapport a

ceux mentionnes en theorie mais ils sont quand meme environ dix fois superieurs que ceux

assures par le modem V90 (56 kbits/s). Plusieurs autres facteurs ont aussi une influence sur

les performances de l’ADSL :

– La longueur maximale d’une liaison entre un abonne et le central aux normes ADSL

est de 5,4 km tres precisement mais les operateurs n’assurent les debits maximaux

de 512 kbits/s et de 128 kbits/s que si l’abonne est a moins de 2,7 km d’un central

telephonique.

– Ces debits sont volontairement limites par l’operateur pour que les personnes pres des

centraux telephoniques (dans les grandes villes) ne soient pas favorisees par rapport

aux personnes plus eloignees. Il faut en effet savoir que la performance de l’ADSL est

moindre avec la distance.

– La qualite de la ligne telephonique a aussi un role considerable. Si votre ligne ou une

partie de celle-ci est vieille ou endommagee, il vous sera impossible d’atteindre ces

debits.



– Pour atteindre le debit de 8 Mbits/s (meme si celui-ci n’est que theorique), il faudra

etre a moins d’un kilometre d’un central.

En fonction de la distance separant l’abonne de son central telephonique, les paires de cuivre

peuvent supporter des debits superieurs.

1.5 Conclusion ADSL ou Asymetric

Digital Subscriber Line designe l’utilisation de la ligne telephonique pour acceder a internet.

L’internaute, en surfant a haut debit, beneficie d’un transfert d’informations dix fois plus

rapide que les modems classiques. Cette technologie permet de profiter pleinement des

ressources offertes par Internet : jeux en reseau, chat, telechargements de MP3, Webcam...

Il reste encore deux freins au developpement de l’ADSL : son cout et sa disponibilite pour

les zones rurales.

La norme G.Lite, qui definit la version ”legere” de l’ADSL (encore appelee ”Universal

ADSL”, ”splitterless ADSL”, ou ”lite ADSL”), regle les principaux problemes :

Elle fixe les debits : 1.5 Mbps dans le sens descendant, et 384 Kbps dans le sens montant. Elle

integre le splitter au modem (splitterless ADSL). Elle impose un modem auto-configurable

(Plug and Play). Elle choisit le procede de modulation DMT (Discrete MultiTone), de

preference au procede CAP (Carrierless Amplitude and Phase).


101

Cinquieme partie

Etude des signaux discrets


102 Chapitre 1. L’echantillonnage

Chapitre 1 L’echantillonnage

1.1 Notion d’echantillonnage

On appelle echantillonnage d’un signal analogique x(t) le fait de prelever regulierement (tous

les Te secondes) les valeurs x(k Te). Le signal x(k Te) est le signal echantillonne a la periode

d’echantillonnage Te. La frequence fe = 1Te

est appelee frequence d’echantillonnage.

Un signal echantillonne quantifie s’appelle un signal numerique. La quantification permet

de passer de valeurs continues en amplitude a des valeurs discretes. Un convertisseur A/N

(Analogique/Numerique) realise l’echantillonnage et la quantification d’un signal analogique

(continue en temps et en amplitude).

On va voir les conditions a respecter pour reconstituer le signal analogique a partir de ses

echantillons du signal echantillonne sans perte d’information.

La perte d’information est d’autant plus faible que la quantification est fine. L’erreur de

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x(t)=sin(wt)

temps (t)

Signal analogique

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x(kTe)=sin(wkTe)

temps (kTe)


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Conversion en signal binaire

temps (kTe)

Conversion numerique


1.2 Echantillonnage parfait 103

quantification est modelise comme un bruit aleatoire,

x(kTe) = sq(kTe) + e(kTe)

1.2 Echantillonnage parfait

1.2.1 Definition

L’echantillonnage parfait est realise par la multiplication du signal analogique par un peigne

de dirac, c’est a dire, une suite de diracs separes par Te de poids 1 qui multiple le signal de

spectre [−B,B].

On definit le signal echantillonne xe(t) par :

xe(t) = x(t) Υ(t)

= x(t)+∞∑

k=−∞

δ(t− kTe)

=+∞∑

k=−∞

x(t) δ(t− kTe)

=+∞∑

k=−∞

x(kTe) δ(t− kTe)

On rappelle que la fonction Υ correspond au peigne de dirac et que

TF[Υ(t)] = Υ(f) = Fe

+∞∑k=−∞

δ(f − kFe)

alors Xe(f) s’ecrit

Xe(f) = X(f) ∗ Fe+∞∑

k=−∞

δ(f − kFe)

Xe(f) = Fe

+∞∑k=−∞

X(f − kFe)



Le spectre du signal echantillonne Xe(f) s’obtient en perodisant avec une periode Te = 1Fe

le

spectre X(f). Echantillonner dans le temps revient a periodiser dans l’espace des frequences.

Il y a un probleme lorsque Fe < 2B. En effet, dans ce cas il y a repliement des spectres ou

recouvrement ou ”aliasing”. Ceci implique qu’on ne peut plus reconstruire X(f) a partir

de Xe(f) et donc x(t) a partir de x(kTe). Dans le cas ou Fe ≥ 2B, pour obtenir X(f) a

partir de Xe(f), il suffit de filtrer xe(t) par un filtre passe bas ideal de reponse en frequences

H(f) = Te ΠFe(f) (h(t) = sinc(Fe t).

1.2.2 Theoreme d’echantillonnage en bande de base

Un signal x(t) d’energie finie dont le spectre est a support sur [−B,B] (signal en bande

de base) peut etre echantillonne tous les Te sans perte d’information a condition que le

frequence d’echantillonnage

Fe > 1Te≥ 2B

Sans perte d’information signifie qu’on peut reconstruire x(t) ∀ instant t, a partir de la suite

infinie des echantillons x(kTe). La frequence minimale d’echantillonnage Fe = 2B s’appelle

la frequence de Nyquist.

H(f) correspond a la reponse en frequence du filtre passe bas ideal,

y(t) = xe(t) ∗ h(t)

y(t) =+∞∑

k=−∞

x(kTe) δ(t− kTe) ∗ sinc(Fet)

y(t) =+∞∑

k=−∞

x(kTe) sinc (Fe(t− kTe))

Cette derniere equation correspond a la formule d’interpolation de Shannon.

1.3 Echantillonnage regulier

L’echantillonnage ideal n’est pas realisable mais l’echantillonnage regulier (ou par bloqueur

de duree τ) correspond au cas pratique.


1.4 Filtre anti-repliement 105

xe(t) =+∞∑

k=−∞

x(kTe) Πτ (t− kTe)

xe(t) =+∞∑

k=−∞

x(kTe) δ(t− kTe) ∗ Πτ (t)

xe(t) = x(t)+∞∑

k=−∞

δ(t− kTe) ∗ Πτ (t)

Xe(f) = X(f) ∗

[Fe

+∞∑k=−∞

δ(f − kFe)

](τ sinc(τf))

Xe(f) = τFe sinc(fτ)+∞∑

k=−∞

X(f − kTe)

Pour retrouver le spectre X(f) on multiplie par un filtre passe bas ideal de largeur Fe et il

faut multiplier par l’inverse d’un sinc si on veut compenser et retrouver X(f).

1.4 Filtre anti-repliement

Pour de nombreux signaux physiques, X(f) n’est pas connu parfaitement. De plus, il

existe toujours un bruit de fond additionnel du au milieu de mesure (capteur, circuit

d’amplification). Donc, on effectue un filtrage passe bas appele prefiltrage du signal avant

son echantillonnage pour supprimer tout repliement spectral.

Si l’on desire observer le spectre d’un signal jusqu’a la frequence Fmax, il est souhaitable de

prendre une frequence d’echantillonnage Fe = nFmax avec n ≥ 2.

Un signal de TF a support borne a un support temporel infini donc on a besoin de tous

les echantillons de kTe de −∞ a +∞ afin de reconstruire le signal x(t). On ne peut pas

reconstruire en temps reel, il faudra le faire de facn approchee. En pratique pour transmettre

la parole par telephone on filtre entre [300Hz, 3400Hz], on echantillonne a 8000 Hz et on

quantifie sur 8 bits/echantillons ce qui correspond a 64000 b/s. Pour un compact disc avec

du son stereo on filtre entre [0 et 20 000 Hz], on echantillonne a 44,1 kHz.



1.5 Interpolation par le bloqueur d’ordre 0

Le probleme est de reconstituer x(t) a partir de ses echantillons x(kte). Une realisation

possible est le bloqueur d’ordre 0. La reconstitution a l’aide d’un bloqueur d’ordre 0 est

la plus employee car elle realisee par les convertisseurs N/A a l’entree desquels les valeurs

numeriques sont maintenues pendant la periode d’echantillonnage.


107

Chapitre 2Signaux deterministes a

temps discret

On considere les signaux a temps discret comme des suites de nombres x(k) ∈ C avec

k ∈ Z. Ces signaux sont issus generalement de l’echantillonnage a la frequence fe = 1Te

de

signaux temporels x(t) analogiques et les nombres x(k) representent les echantillons x(kTe).

2.1 Signaux a temps discret elementaires

Impulsion unite

δ(k) = 1 si k = 0

= 0 si k 6= 0

Attention δ(k) ne doit pas etre confondu avec la distribution de dirac δ(t).

L’echelon unite

u(k) = 1 si k ≥ 0

= 0 si k < 0

La porte de longueur N

ΠN(k) = 1 si 0 ≤ k ≤ N/2− 1

= 0 si k ≥ N/2


108 Chapitre 2. Signaux deterministes a temps discret

2.2 Proprietes des signaux a temps discret

Periodicite

Un signal x(k) est periodique de periode N ∈ N∗ si N est le plus petit entier tel que

x(k) = x(k +N) ∀ k

Energie

On definit l’energie par

Ex =+∞∑

k=−∞

|x(k)|2

Puissance moyenne

On definit la puissance moyenne par

Px = limN→∞

1

2N + 1

+N∑k=−N

|x(k)|2

Signaux a energie finie, a puissance moyenne finie

Si on a 0 < Ex <∞ alors Px = 0

Si on a 0 < Px <∞ alors Ex =∞

Fonction d’autocorrelation d’un signal

– a energie finie

Cxx(τ) =+∞∑

k=−∞

x(k)x∗(k − τ)


Cxx(τ) = limN→∞

1

2N + 1

+N∑k=−N

x(k)x∗(k − τ)


2.3 Transformee de Fourier des signaux a temps discret 109

– periodique

Cxx(τ) =1

T0

+T0/2∑k=−T0/2

x(k)x∗(k − τ)

Fonction d’intercorrelation

– a energie finie

Cxy(τ) =+∞∑

k=−∞

x(k)y∗(k − τ)


Cxy(τ) = limN→∞

1

2N + 1

+N/2∑k=−N/2

x(k)y∗(k − τ)

Produit de convolution

y(k) = x(k) ∗ h(k) = h(k) ∗ x(k) =+∞∑

u=−∞

h(u)x(k − u) =+∞∑

u=−∞

x(u)h(k − u)

2.3 Transformee de Fourier des signaux a temps discret

2.3.1 Definition

X(f) =+∞∑

k=−∞

x(k) e−j2πkf

X(f + 1) =+∞∑

k=−∞

x(k) e−j2πk(f+1)

X(f + 1) =+∞∑

k=−∞

x(k) e−j2πkf = X(f)



Donc X(f) est periodique de periode 1. Les x(k) sont les coefficients de la serie de

Fourier de X(f) de periode 1,

x(k) =1

1

∫ 1/2

−1/2X(f) ej2πkfdf

L’intervalle [-1/2,1/2] est appele intervalle principal.

Attention le spectre X(f) du signal a temps discret x(k) est a la frequence continue et de

periode F0 = 1.

2.3.2 Exemple

Calcul de la TF de x(k) = ΠN(k),

X(f) =+∞∑

k=−∞

x(k) e−j2πkf

X(f) =N−1∑k=0

e−j2πkf

X(f) =1− e−j2pifN

1− e−j2πf

X(f) = e−jπf(N−1)sin(πfN)

sin(πf)

2.4 Proprietes de la transformee de Fourier

Linearite Z[ax(k) + by(k)] = aX(z) + bY (z)

Theoreme de la modulation TF[x(k) ej2πf0k] = X(f − f0)Relation de Parseval Ex =

∑+∞k=−∞ |x(k)|2 =

∫ 1/2

−1/2 |X(f)|2dfTF d’un produit TF[x(k)y(k)] =

∫ 1/2

−1/2X(f ′)Y (f − f ′)df ′

= X(f) ∗ Y (f)


2.5 Transformee de Fourier discrete d’un signal discret 111

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

sin(pi f N)/sin(pi f)N sinc(N f)

2.5 Transformee de Fourier discrete d’un signal discret

La TF d’un signal discret est

X(f) = X(ej2πf ) =+∞∑

k=−∞

x(k) e−j2πkf

X(f) est periodique de periode 1. De plus, la TF inverse donne

∫ 1/2

−1/2X(f) ej2πfk df

Inconvenients : f varie de facon continue, on ne peut donc pas l’implanter sur un calculateur

numerique. Il faut une infinie de x(k). En pratique on peut :

1. prendre un nombre fini N dechantillons x(k) choisis de facon a conserver les valeurs

importantes du signal k = 0, . . . ,N − 1,

X(f) =N−1∑k=0

x(k)e−j2πkf

2. et discretiser la frequence f sur [0,1[. On choisit ∆ = 1/N , c’est a dire fn = n/N pour

n = 0, . . . ,N − 1.



X(n

N) =

N−1∑k=0

x(k) e−j2πknN avec n = 0, . . . ,N − 1

On obtient ainsi N valeurs X(0),X(1/N), . . . ,X(N − 1/N) correspondant a la transformee

de Fourier discrete (TFD).

Par definition la TFD est une application lineaire qui a N valeurs complexes (x(0), . . . ,x(N−1)) associe N valeurs complexes (X0, . . . ,XN−1) et on note

Xn =N−1∑k=0

x(k) e−j2πknN avec n = 0, . . . ,N − 1

La suite Xn est une suite periodique de periode N .

La TFD inverse donne

x(k) =1

N

N−1∑n=0

Xn ej2πknN avec k = 0, . . . ,N − 1

2.5.1 Remarques

– La TFD represente les valeurs echantillonnees de la TF d’un signal discret de duree

finie, x0, . . . ,x(N − 1).

– Si x(k) n’est pas de duree finie, on a les valeurs echantillonnees de la TF du signal

discret x(k) ΠN(k), ΠN(k) etant le fenetre rectangulaire de longueur N . Ceci entraıne

des oscillations dans la TF et l’utilisation de fenetres de ponderation g(k) pour les

faire disparaıtre (Hamming, Hanning).

– La TFD ne represente les valeurs echantillonnees de la TF d’un signal a temps continu

x(t) que si x(t) est a duree limitee [0,NTe] et si sa TF X(f) a un spectre a bande

limitee [− 12Te, 12Te

]. Comme il n’existe pas de signaux a duree et a bande limitee, on

commet une erreur systematique en considerant les Xn comme des echantillons de la

TF X(f) .


2.6 Fenetres de ponderation 113

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5TF pour N=256

Fréquence

N = 256

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5TF pour N=260

Fréquence

N = 260

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5TF pour N=266

Fréquence

N = 266

2.5.2 Exemple

On cherche a determiner la TFD Xn du signal

x(k) = A cos(2πf0fek)

Xn =N−1∑k=0

x(k) e−j2πknN avec n = 0, . . . ,N − 1

Signal reel −→ le module du spectre est une fonction paire

Signal echantillonnee −→ le module du spectre est une fonction periodique (fe)

TFD −→ frequences discretes

−→ Signal a support borne

multiplication en temps=convolution en frequence

2.6 Fenetres de ponderation

Nous allons dans ce paragraphe, decrire plusieurs fenetres de ponderation, en montrer les

avantages et leur limites.

Bien que ce ne soit pas une regle generale, dans ce paragraphe, les fenetres etudiees seront

placees symetriquement autour de l’origine pour simplifier les calculs. Les resultats etablis

dans ce cas pourront etre modifies aisement pour d’autres positions a l’aide du theoreme du

retard.



80 90 100 110 120 130 140−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Temps

Fenêtre rectangulaire

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

Fréquences

1/N

Module de la transformee de Fourier

80 90 100 110 120 130 140−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Temps


−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−300

−250

−200

−150

−100

−50

0

50

Fréquences

Module de la transformee de Fourier en dB

2.6.1 Fenetre rectangulaire

La maniere brutale de limiter la duree d’un signal est de le multiplier par un signal rectangulaire

(fonction Porte), possedant N echantillons unites. Au niveau spectral cette multiplication

revient a convoluer la TF de x(t) par la TF de la fonction porte. Cette operation de

convolution a pour effet d’introduire des ondulations dans le spectre.

En regle generale la resolution en frequence sera d’autant meilleure que :

– le lobe principale (central) est etroit,

– les lobes secondaires (lateraux) sont bas.

Malheureusement la reduction en hauteur des lobes secondaires s’accompagne toujours de

l’elargissement du lobe principal. Il faut donc accepter un compromis entre ces deux effets.

2.6.2 Fenetre de Hamming

L’equation de la fenetre de Hamming est donne par la relation suivante pour α = 0.54 : w(k) = α + (1− α) cos(2πk/N)) pour |k| ≥ N/2

= 0 ailleurs(2.1)

Remarque

La fenetre de Hanning est obtenue pour α = 1/2 dans l’equation 2.1.


2.6 Fenetres de ponderation 115

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Temps

Fenêtre de Hamming

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−60

−40

−20

0

20

40

Fréquences

2.6.3 Fenetre de Kaiser

Une autre famille de fonctions fenetre a ete proposee par Kaiser. Elle permet selon la valeur

d’un parametre β, de specifier dans le domaine des frequences le compromis entre la largeur

de lobe principal et l’amplitude des lobes secondaires. Une caracteristique importante ce

cette famille de raffinee de fenetres est qu’il est possible d’obtenir de fortes attenuations

des lobes secondaires tout en conservant une largeur minimale pour la pic central. La forme

generale de cette fonction est la suivante : w(k) =I0[β√N2−4k2]

I0(βN)pour |k| ≥ N/2

= 0 ailleurs(2.2)

ou I0 est la fonction de Bessel de premiere espece d’ordre zeros et ou β caracterise l’echange

d’energie entre le pic central et les lobes secondaires. La largeur du pic central augmente

avec β.

2.6.4 Exemple

On genere un signal compose de deux sinusoıdes de frequence 200 et 400 Hz, echantillonne

a 8000 Hz et ayant 512 points. On calcule la TF de ce signal apres multiplication par



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

Temps

Fenêtre de Kaiser

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−60

−40

−20

0

20

40

Fréquences

β = 0.8

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps

Fenêtre de Kaiser

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−60

−40

−20

0

20

40

Fréquences

β = 2

une fenetre rectangulaire, de Hamming et de Kaiser. la resolution en frequence est donc

feN

= 16Hz.

2.7 La transformee de Fourier rapide

La transformee de Fourier rapide ou FFT (Fast Fourier Transform) est une technique de

calcul rapide de la TFD. L’algorithme de base, utilise un nombre de points N = 2p et son

gain en temps par rapport a un calcul direct est de l’ordre de N/log2(N). Pour N = 1024,

la FFT est donc environ 100 fois plus rapide.


2.7 La transformee de Fourier rapide 117

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x=2*cos(2*pi*200*t)+3*cos(2*pi*400*t)

Temps

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.5

1

1.5


Fréquences

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.5

1

1.5

Fenêtre hamming

Fréquences

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.5

1

1.5

Fenêtre kaiser

Fréquences


118

Sixieme partie

Etude des signaux aleatoires


119

Chapitre 1 Rappels sur les probabilites

1.1 Introduction

Jusqu’a present, nous avons parle des signaux deterministes dans l’etude des systemes

lineaires invariant dans le temps, sans mentionner le role important que jouent les phenomenes

aleatoires en traitement du signal et plus particulierement en telecommunications.

En effet, le modele deterministe ne convient plus a expliquer tous les phenomenes qui peuvent

se produire dans une chaıne de transmission par exemple.

1.2 Probabilites

1.2.1 Definitions

Une experience est dite aleatoire si l’on ne peut prevoir son resultat, le lancer de des, le jeu

de pile ou face.

L’ensemble S de tous les resultats possibles d’une experience aleatoire est appele ”univers”

a cette experience. Chaque resultat d’un tirage aleatoire correspond a une epreuve. Un

ensemble d’epreuves constitue un ”evenement”. On dit qu’un evenement est lie a une

experience si pour tout resultat appartenant a S on sait dire si cet evenement a eu lieu

ou non. L’association de nombres reels aux evenements definis sur S constitue une mesure

de probabilite.


120 Chapitre 1. Rappels sur les probabilites

1.2.2 Definitions complementaires

– le complementaire d’un evenement A, note A, est l’evenement constitue de l’ensemble

des elements de S qui n’appartient pas a A.

– L’union des evenements A et B, note A∪B est l’evenement constitue de des elements

qui appartiennent a A, a B, ou les deux a la fois.

– L’intersection des evenements A et B, notee A ∩ B, se compose de l’ensemble des

evenements qui appartiennent simultanement a A et B.

– L’evenement qui ne contient aucun element est dit evenement nul, note ∅.

– Deux evenements sont disjoints s’ils n’ont aucun point commun, c’est a dire si A∩B =

∅.

– Si tout point de A appartient a B, on dit que A est un sous-ensemble de B, et on le

note par A ⊂ B.

1.2.3 Algebre des evenements

– A ∪ A = S,

– A ∩ A = ∅,

– A ∩ S = A,

– (A ∪B) = A ∪B,

– (A ∩B) = A ∩B,

Les operations d’union et d’intersection possedent les proprietes suivantes :

– Commutativite : A ∪B = B ∪ A,A ∩B = B ∩ A.

– Associativite : A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C.

– Distributivite : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

1.2.4 Probabilite d’un evenement

Definition classique

Une definition classique, postule que la probabilite d’un evenement A a pour expression :


1.2 Probabilites 121

P (A) =NA

N

ou N est le nombre de resultats possibles et NA le nombre de resultats faisant partie de

l’evenementA. Notons que dans cette definition, tous les resultats sont supposes equiprobables.

Definition axiomatique

La probabilite d’un evenement A, notee P (A), est un nombre reel associe a A qui satisfait

a l’ensemble des axiome suivants :

– Axiome 1 : P (A) ≥ 0

– Axiome 2 : P (S) = 1

– Axiome 3 : P (A ∪B) = P (A) + P (B) si A ∩B = ∅

A partir de ces trois axiomes, on peut etablir les proprietes suivantes, toutes tres interessantes :

– P (A) ≤ 1, il s’en suit que P (A) = 1− P (A),

– P (∅) = 0,

– P (A) ≤ P (B) si A ⊂ B,

– P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).

Probabilite conditionnelle

La probabilite conditionnelle d’un evenement A par rapport a l’evenement B, note P (A|B),

a pour definition :

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B)(1.1)

ou P (B) 6= 0 et P (A ∩B) est la probabilite conjointe de A et B. On peut en deduire la loi

de Bayes :

P (B|A) =P (A|B)P (B)

P (A)(1.2)

ou P (B|A) est la probabilite conditionnelle de B par rapport a A.



Evenements independants

Deux evenements A et B sont dits statistiquement independants si et seulement si :

P (A ∩B) = P (A)P (B)

alors l’equation 1.1 devient :

P (A|B) = P (A)

Soit A1,A2, . . . ,An un ensemble d’evenements definis sur S. Ces n evenements sont dits

mutuellement independants si et seulement si

P (Ai ∩ Aj) = P (Ai)P (Aj)

P (Ai ∩ Aj ∩ Ak) = P (Ai)P (Aj)P (Ak)

...

P (Ai ∩ Aj ∩ . . . ∩ Ak) = P (Ai)P (Aj) . . . P (An)

Probabilite totale

SoitN evenementsA1,A2, . . . ,AN mutuellement exclusifs constituant exhaustivement l’ensemble

S, c’est a dire verifiant les conditions suivantes :

Ai ∩ Aj = ∅ i 6= j = 1,2, . . . N

et

A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ AN = S

Soit B un evenement quelconque defini sur S. Alors :

P (B) =N∑k=1

P (B ∩ Ak) =N∑k=1

P (B|Ak)P (Ak)

que l’on appelle probabilite totale de l’evenement B.


1.3 Variables aleatoires reelles 123

1.3 Variables aleatoires reelles

Une variable aleatoire (VA) X(λ) (en majuscule) est une fonction qui associe un nombre

reel, appele valeur x (en minuscule) de X(λ), a chaque epreuve λ de S en respectant les

conditions suivantes :

– L’ensemble {λ : X(λ) ≤ x} est un evenement pour tout nombre reel x.

– P{λ : X(λ) = −∞} = 0 et P (λ : X(λ) ≤ ∞) = 1

Si X ne peut prendre qu’un ensemble denombrable de valeurs distinctes, on dit que X est

une variable aleatoire discrete. Si X peut prendre une valeur quelconque sur un ou plusieurs

intervalles de la droite reelle, alors X est une variable aleatoire continue.

Le nombre d’appels telephoniques arrivant a un bureau est une variable aleatoire discrete,

alors que la date exacte de l’arrivee d’un de ces appels est une variable aleatoire continue.

1.3.1 Histogramme

Dans la majorite des cas, on peut associer a un evenement une mesure qui est un nombre

reel, par exemple une mesure de longueur ou de temperature. Pour caracteriser la variable,

on commence par decouper l’intervalle des reels en segments [xk,xk+1]. Puis, on effectue N

mesures et on construit un histogramme. Pour cela on compte le nombre de fois nk ou le

resultat de la mesure x appartient a chacun de ces segments. On tient compte du fait que

les segments couvrent l’axe des reels et sont disjoints et on definit la probabilite

proba(x ∈ [xk,xk+1[) = limN→∞

nkN

(1.3)

On reduit la taille des intervalles en faisant tendre leur nombre vers l’infini.

1.3.2 Fonction de repartition

On definit la fonction de repartition de la variable aleatoire X comme etant la probabilite

que X soit strictement inferieure a x :

FX(x) = P (X < x) pour tout x variant de −∞ a +∞ (1.4)



−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.50

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Valeurs de x

Nb d’occurences de x

Fig. 1.1 – Exemple d’histogramme

C’est une fonction non decroissante qui peut presenter des paliers et des discontinuites. Elle

tend vers 0 lorsque x→ −∞ et 1 lorsque x→ +∞.

Les proprietes de FX(x) sont les suivantes :

– FX(−∞) = 0,

– FX(∞) = 1,

– 0 ≤ FX(x) ≤ 1,

– FX(x1) ≤ FX(x2) si x1 ≤ x2,

– P{x1 < X ≤ x2} = FX(x2)− FX(x1).

Exemples

Le premier exemple correspond a la fonction de repartition d’un signal de type gaussien.

Le second exemple consiste a etudier le lancer de de (6 faces). La variable aleatoire est une

variable aleatoire discrete et si le de n’est pas truque on a

FX(x) =6∑i=1

P (xi)u(x− xi)


1.3 Variables aleatoires reelles 125

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.50

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

valeur de x

Fonction de répartition

soit

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fonction de répartition pour le lancer de dé

1.3.3 Densite de probabilite

La probabilite que x appartienne a l’intervalle [xk,xk + dx[ est



proba(x ∈ [xk,xk + dx[) = dFX(x)

proba(x ∈ [xk,xk + dx[) = pX(x)dx

avec FX(x) differentiable et pX(x) correspond a la densite de probabilite (ddp) de la variable

aleatoire X et a donc pour definition :

pX(x) =dFX(x)

dx(1.5)

C’est une fonction non negative, mais ce n’est pas une probabilite, elle n’est pas

necessairement inferieur a un.

les proprietes de pX(x) sont les suivantes :

– pX(x) ≥ 0,

–∫ +∞−∞ pX(x)dx = 1,

– FX(x) =∫ x−∞ pX(ε)dε,

– P{x1 < X ≤ x2} =∫ x2x1pX(x)dx

Dans le cas d’une variable aleatoire discrete, on a :

pX(x) =∑i

P (xi)δ(x− xi) (1.6)

On peut estimer la densite de probabilite en construisant un histogramme pour lequel le

pas d’echantillonnage de l’axe des reels est infiniment grand. Dans l’exemple de la figure

suivante, le nombre d’echantillons est de 1000, 10000 et enfin 100000.


1.4 Lois de repartition particulieres 127

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.50

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

N=1000

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.50

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

N=10000

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.50

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

N=100000

Fig. 1.2 – Convergence de l’histogramme vers la densite de probabilite

1.4 Lois de repartition particulieres

1.4.1 Loi de Bernouilli x

La loi de Bernouilli x prend la valeur 0 avec la probabilite r et la valeur 1 avec la probabilite

(1-r). Sa densite de probabilite s’ecrit :

pX(x) =∑i

P (xi)δ(x− xi) = rδ(x) + (1− r)δ(x− 1)

1.4.2 Loi de poisson

Cette loi correspond a la loi que l’on obtient en comptant des evenements aleatoires independants :

arrivee d’une particule sur un capteur, decompte des appels sur un central telephonique,

comptage de voitures sur une route, etc. C’est la loi centrale des etudes sur les files d’attente

dans les reseaux de communication. Elle depend d’un parametre λ qui caracterise le debit

moyen du flux. La probabilite d’observer k evenements pendant une duree t est donne par

pX(x,t) =(λtk)

k!e−λt (1.7)

pour k ≥ 0 et t ≥ 0 et ou 0! = 1.



0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Densité de probabilité

k=0

k=1

k=2

k=3

k=4

t

Fig. 1.3 – Densite de probabilite p(k,t) de la loi de poisson

1.4.3 Loi uniforme

On dit qu’une variable aleatoire X suit une loi uniforme si elle prend ses valeurs uniquement

dans l’intervalle [a,b[ et que sa densite de probabilite vaut

pX(x) =1

b− a(1.8)

En effet, la densite de probabilite correspond est une constante dans l’intervalle [a,b[.

∫ +∞

−∞pX(x) dx = 1∫ b

a

pX dx = 1

pX =1

b− a

Sa fonction de repartition est composee de 3 segments de droites.

– Pour x < a, pX(x) = 0 donc FX(x) = 0,


1.4 Lois de repartition particulieres 129

– pour [a,b[,

FX(x) =

∫ x

−∞pX(u)du

FX(x) =

∫ x

a

1

b− adu

FX(x) =x− ab− a

– pour x ≥ b, FX(x) = 1

−3 −2 −1 0 1 2 3−0.2

0

0.2

0.4

0.6

x


−3 −2 −1 0 1 2 3−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Fonction de répartition

x

a=−0.5

a=−0.5

b=1.5

b=1.5

Fig. 1.4 – Loi uniforme

1.4.4 Loi normale ou gaussienne

On dit qu’une variable aleatoire X suit une loi normale si sa densite de probabilite a pour

expression :

pX(x) =1

σx√

2πe− (x−mx)2

2σ2x (1.9)

La densite de probabilite passe par son maximum pour x = mx. Cette loi presente plusieurs

caracteristiques importantes :

– Cette loi joue un role fondamental dans l’etude des phenomenes aleatoires que l’on



rencontre dans les systemes physiques. La plupart des processus aleatoires naturels

sont pratiquement gaussiens. De plus, d’apres le theoreme central limite (cf paragraphe

1.8), la somme d’un grand nombre de variables aleatoires, sous certaines conditions

suit une loi normale.

– Tout l’information est donnee directement par la moyenne mx et la variance σx de la

variable aleatoire X. 95 % des valeurs de x sont contenues dans l’intervalle [x−2σ,x+

2σ].

– Elle permet des developpements mathematiques efficaces.

mx x

1/(2π)0.5

4 σ = 95%

Fig. 1.5 – Loi normale

1.5 Moyennes statistiques

Souvent on peut caracteriser une variable aleatoire uniquement par des informations partielles

comme la valeur moyenne de la variable aleatoire et sa dispersion autour de cette valeur

moyenne (variance).


1.5 Moyennes statistiques 131

1.5.1 Esperance mathematique

On appelle moyenne statistique (ou moment d’ordre 1), la quantite E est appelee esperance

mathematique :

E[X] = mx =

∫ +∞

−∞x pX(x) dx (1.10)

Si X est une variable aleatoire discrete, a partir de la relation 1.6, il vient :

E[X] = mx =

∫ +∞

−∞x

[∑i

P (xi)δ(x− xi)

]dx =

∑i

xi P (xi) (1.11)

Dans le cas ou les probabilites sont uniformement reparties, c’est-a-dire lorsque P (xi) = 1N

pour i = 1, . . . ,N , la relation 1.11 devient :

E[X] = mx =1

N

N∑i=1

xi (1.12)

ce qui donne la moyenne arithmetique des xi.

1.5.2 Fonction d’une variable aleatoire

L’esperance mathematique de Y = g(X) a pour expression :

E[Y ] =

∫ +∞

−∞y p(y)dy

soit

E[Y ] = E[g(X)] =

∫ +∞

−∞g(x)p(x)dx

Si X est une variable aleatoire discrete :

E[Y ] =∑i

g(xi)P (xi)

1.5.3 Fonction de deux variables aleatoires

L’esperance mathematique de Z = g(X,Y ) a pour expression :



E[Z] = E[g(X,Y )] =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞g(x,y)p(x,y)dxdy

Si X et Y sont des variables aleatoires discretes alors :

E[Z] = E[g(X,Y )] =∑i

∑k

g(xi,yk)P (xi,yk)

ou P (xi,yk) = P [X = xi,Y = yk]

1.5.4 Remarques

On notera que l’esperance mathematique est un operateur lineaire :

E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] (1.13)

E[cX] = c E[X] (1.14)

ou c est une constante.

1.5.5 Moments et variance

Le moments d’ordre n de la variable aleatoire X a pour expression :

Mn = E[Xn] =

∫ +∞

−∞xnp(x)dx (1.15)

Le moment d’ordre centre n de X a pour definition :

E[(X −mx)n] =

∫ +∞

−∞(x−mx)

n pX(x) dx (1.16)

avec mx = E[X].

Le moment centre d’ordre 2 de X est appele variance de X, soit :

var[X] = σ2x = E[(X −mx)

2] (1.17)


1.6 Moments conjoints et covariance 133

La racine carre de la variance, notee σx, est appelee ecart type de X. La variance est une

mesure de la dispersion des valeurs de X autour de sa valeur moyenne mx.

σ2x = E[X2 − 2mxX +m2

x] = E[X2]− 2mx E[X] +m2x = E[X2]−m2

x (1.18)

−4 −2 0 2 4 6 8 10 120

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−2

0

2

4

6

8

10

12

Signal aléatoire de loi gaussienne

σ2x = 4, mx = 4

3 4 5 6 7 8 9 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5003

4

5

6

7

8

9

10

Signal aléatoire de loi gaussienne

σ2x = 1, mx = 6

Fig. 1.6 – Illustration de la moyenne et de la variance d’une variable aleatoire gaussienne

1.5.6 Fonction caracteristique

La fonction caracteristique d’une variable aleatoire X a pour definition :

ΦX(u) = E[ejuX ] =

∫ +∞

−∞ejuX pX(x) dx (1.19)

ou u est une variable reelle. Cette fonction passe par un maximum a l’origine et verifie la

propriete :

|ΦX(u)| ≤ ΦX(0) = 1

1.6 Moments conjoints et covariance

Un des objectifs fondamentaux du calcul des probabilites est d’etablir un lien eventuel entre

plusieurs resultats d’experiences. On est ainsi amene a etudier le comportement conjoint de



plusieurs variables aleatoires comme le poids et la taille des individus d’un groupe, ou bien

l’age des conjoints d’un couple, etc.

1.6.1 Repartition conjointe

Soit deux variables aleatoires X et Y definies sur S. On definit FXY (x,y), la fonction de

repartition conjointe de X et Y , de la facon suivante :

FXY (x,y) = P (X ≤ x,Y ≤ y) (1.20)

Les evenements se composent de toutes les epreuves λ de S pour lesquelles on a simultanement

X(λ) ≤ x et Y (λ) ≤ y.

La densite de probabilite conjointe de X et Y a pour expression :

pXY (x,y) =∂2

∂x∂yFXY (x,y) (1.21)

ce qui implique que pXY (x,y) ≥ 0

1.6.2 Repartition marginale

Les fonctions FX(x) et FY (y) sont appelees fonction de repartition de probabilite marginales :

FX(x) = FXY (x,∞) (1.22)

FY (y) = FXY (∞,y) (1.23)

Les densite de probabilite marginales pX(x) et pY (y) ont pour expression :

pX(x) = F ′X(x) =

∫ +∞

−∞pXY (x,y)dy (1.24)

pY (y) = F ′Y (y) =

∫ +∞

−∞pXY (x,y)dx (1.25)

(1.26)



1.6.3 Repartition conditionnelle

La fonction de repartition conditionnelle deX par rapport a l’evenement A a pour definition :

FX(x|A) = P (X ≤ x|A) =P (X ≤ x,A)

P (A)avec P (A) 6= 0 (1.27)

ou P (X ≤ x,A est la probabilite de l’evenement conjoint X ≤ x ∪ A.

La densite de probabilite conditionnelle de X par rapport a A a pour definition :

pX(x|A) =dFX(x|A)

dx(1.28)

Soit X et Y deux variables aleatoires definies sur S. La densite de probabilite conditionnelle

de X par rapport a l’evenement Y = y a pour valeur :

pX|Y =pXY (x,y)

pY (y)avec pY (y) 6= 0 (1.29)

ou pY (y) est la densite de probabilite marginale de Y .

1.6.4 Variables aleatoires independantes

Deux variables aleatoires X et Y sont independantes si :

FXY (x,y) = FX(x)FY (y)

ou encore :

pXY (x,y) = pX(x) pY (y)

et pX|Y = pX(x)

Soit X et Y deux variables aleatoires de probabilite conjointe pXY (x,y).

1.6.5 Correlation

La correlation de X et de Y , que l’on note RXY , et qui a pour expression :



RXY = E[XY ] =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞x y pXY (x,y) dxdy (1.30)

1.6.6 Covariance

La covariance de X et de Y , notee CXY , se definit comme suit :

CXY = E[(X −mx)(Y −my)] (1.31)

En developpant la relation, on obtient :

CXY = E[XY ]− E[X] E[Y ] = RXY −mxmy (1.32)

1.6.7 Coefficient de correlation

Le coefficient de correlation de X et Y a pour definition :

ρ ==CXYσx σy

(1.33)

ou σx, σy sont respectivement les ecarts types de X et Y . On peut montrer que |ρ| ≤ 1, il

s’en suit que |CXY | ≤ σx σy.

Si deux variables aleatoires X et Y sont non correlees si et seulement si CXY = 0. Dans ce

cas

E[XY ] = E[X] E[Y ] (1.34)

1.6.8 Evenements orthogonaux

Deux evenements sont dits orthogonaux (au sens de la correlation)si :

RXY = E[XY ] = 0 (1.35)



1.6.9 Variables conjointement gaussiennes

Les variables X et Y sont dites conjointement normales si leur probabilite conjointe a pour

expression :

pXY (x,y) =1

2πσxσy√

1− ρ2e

[(x−mxσx

)2−2ρ(x−mxσx

)(y−myσy

)+(y−myσy

)2](1.36)

Cette formule fait apparaıtre les variances de chacune des deux variables, leur moyenne, ainsi

que leur coefficient de correlation. Si le coefficient de correlation est nul (ρ = 0), pXY (x,y)

s’ecrit comme le produit

pXY (x,y) =

(1

σx√

2πe− (x−mx)2

2σ2x

)(1

σy√

2πe− (y−my)2

2σ2y

)(1.37)

Les variables sont donc independantes. La figure 1.7 represente pXY (x,y) pour mx = 0,

σx = 3, my = −1 et σy = 1).

−5

0

5

−5

0

5

0

0.02

0.04

0.06

x

p(x,y) de variables aléatoires gaussiennes

y

Fig. 1.7 – Densite de probabilite d’un couple de VA gaussiennes



1.7 Changement de variables

1.7.1 Fonction de variables aleatoires

Etant donne une variable aleatoire X et une fonction g(x), l’expression

Y = g(X)

constitue une autre variable aleatoire dont la fonction de repartition est :

FY (y) = P (Y ≤ y) = P (g(X) ≤ y) (1.38)

1.7.2 Determination de la densite de probabilite

Pour trouver la densite de probabilite pY (y), on resout l’equation y = g(x). En designant

par xk les racines reelles de l’equation y − g(x) = 0, on a :

pY (y) =∑k

pX(x)

|g′(xk)|(1.39)

ou g′(x) est la derivee de g(x).

1.7.3 Formule de changement de variables

Definition

Soit deux variables aleatoires X1 et X2 de densite de probabilite conjointe pX1X2(x1x2) et

deux fonctions g1(x1,x2) et g2(x1,x2), considerons les deux variables aleatoires suivantes :

Y1 = g1(X1,X2)

Y2 = g2(X1,X2)

et supposons que la transformation soit bijective : a tout couple (y1,y2) donne, il existe alors


1.7 Changement de variables 139

une solution unique (x1,x2) qui s’ecrit : y1 = g1(x1,x2)

y2 = g2(x1,x2)⇔

x1 = h1(y1,y2)

x2 = h2(y1,y2)

Dans ce cas la densite de probabilite des variables aleatoires (Y1,Y2) a pour expression :

pY1Y2(y1,y2) = pX1X2(h1(y1,y2),h2(y1,y2)) |J(y1,y2)| (1.40)

ou J(y1,y2) represente le Jacobien de la transformation defini par :

J(y1,y2) = det

∣∣∣∣∣∣∂h1(y1,y2)

∂y1

∂h1(y1,y2)∂y2

∂h2(y1,y2)∂y1

∂h2(y1,y2)∂y2

∣∣∣∣∣∣ (1.41)

Plutot d’utiliser directement la formule 1.40 pour calcule la densite de probabilite, il est

parfois avantageux de revenir a la definition de la fonction de repartition de (Y1,Y2) en

determinant dans le plan (x1,x2) le domaine qui verifie {g1(x1,x2) ≤ y1} et {g2(x1,x2) ≤ y2},puis integrer sur ce domaine le fonction pX1X2(x1,x2). Pour obtenir la densite de probabilite,

il suffit ensuite de deriver successivement par rapport a y1 et y2 suivant la formule 1.21.

Exemple

Considerons deux variables aleatoires X et Y de densite de probabilite conjointe pXY (x,y)et

soit a calculer la densite de probabilite de la variable aleatoire Z = X + Y . Pour cela

considerons la transformation (x,y)→ (t,z)definie par :

t = x

z = x+ y⇔

x = t

y = z − t

Le Jacobien de la transformation s’ecrit :

J(t,z) =

∣∣∣∣∣∣∂x∂t

∂x∂z

∂y∂t

∂y∂z

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣ 1 0

−1 1

∣∣∣∣∣∣ = 1



et donc

pZ(t,z) = |J(t,z)|pXY (x,y) = pXY (t,z − t)

On en deduit la densite de probabilite de Z en integrant sur t (calcul de la loi marginale) :

pZ(z) =

∫ +∞

−∞pXY (t,z − t)dt

Dans le cas ou X et Y sont des variables aleatoires independantes, pXY (x,y) est a variables

separees et pZ(z) prend la forme d’un produit de convolution entre pX(x) et pY (y) :

pZ(z) =

∫ +∞

−∞pX(t)pY (z − t)dt (1.42)

1.8 Somme d’un grand nombre de variables aleatoires

independantes

La somme d’un grand nombre de variables aleatoires independantes de meme loi tend vers

une variable gaussienne. On peut generaliser ce resultat au cas ou les variables aleatoires ne

sont pas de meme loi et partiellement independantes. Ce qui justifie l’utilisation des variables

aleatoires gaussiennes pour representer les phenomenes aleatoires relativement complexes.

1.9 Exercices

1.9.1 Variables aleatoires, fonctions de repartition et densites

I. La densite de probabilite d’une variable aleatoire X a pour expression :

pX(x) =

k pour x ∈ [a1,a2[

0 ailleurs

ou k est une constante.

– Determiner la valeur de k.

– Soit a1 = −1 et a2 = 2. Evaluer la proba(|X| ≤ 1/2).


1.9 Exercices 141

II. La densite de probabilite de X a pour expression :

pX(x) = ke−axu(x)

ou a est une constante positive. Determiner la valeur de la constante k et dessiner

pX(x).

III. La probabilite conjointe de X et Y a pour expression :

pXY (x,y) = ke−(ax+by)u(x)u(y)

ou a et b sont des constantes positives. Determiner la valeur de k.

IV. La probabilite conjointe de X et Y a pour expression :

pXY (x,y) = xy e−(x2+y2)/2u(x)u(y)

– Evaluer les densites de probabilite marginales pX(x) et pY (y).

– X et Y sont-ils independants?

1.9.2 Moyennes statistiques

I. Soit Y = aX + b. Montrer que si la moyenne de X est mx et sa variance σ2x, alors,

my = amx + b et σ2y = a2σ2

x.

II. En utilisant l’equation 1.39, evaluer et tracer pY (y) pour Y = X2, lorsque X suit une

loi gaussienne avec mx = 0 et σ2x = 1.

III. Calculer la covariance de X et Y :

– lorsque X et Y sont independants.

– lorsqu’il existe entre X et Y la relation Y = aX + b.


142 Chapitre 2. Signaux aleatoires

Chapitre 2 Signaux aleatoires

2.1 Introduction

Il existe de nombreux signaux naturels ou artificiels, comme les signaux de parole issu

d’un micro, la consommation d’electricite, un signal binaire de transmission, ou encore la

temperature journaliere releve a midi.

Dans ces exemples, on ne peut pas predire exactement l’echantillon suivant avant de l’avoir

observe. On ne peut donc pas considerer ces signaux comme deterministes ou il est difficile de

trouver un modele mathematique d’evolution, ou les variations fines ne sont pas interessantes

ou le signal est trop important a memoriser. Pour toutes ces raisons, on modelise ce signal

x(k) comme la realisation d’un processus aleatoireX(k). On ignorera les valeurs instantanees

du signal pour s’interesser aux valeurs statistiques (valeur moyenne, variance, fonction

d’autocorrelation,...).

L’analyse spectrale de processus aleatoire fait appel aux valeurs statistiques. Un processus

stochastique X(t) est une variable aleatoire indexee par le parametre continu t alors que le

processus X(t) peut-etre continu ou discret. Un processus stochastique a une energie infinie

et l’analyse spectrale est obtenue en prenant la TF de la fonction d’autocorrelation, c’est la

densite spectrale de puissance. On traitera dans la suite de ce cours, des processus aleatoires

stationnaires au second ordre et ergodiques.


2.2 Les moments temporels, les relations de base 143

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2

−1

0

1

2

Ep

reu

ve

1

Processus stochastique

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.5

1

Ep

reu

ve 2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−10

−5

0

5

10

Ep

reu

ve 3

Fig. 2.1 – Processus stochastique

2.2 Les moments temporels, les relations de base

2.2.1 Moyenne temporelle

On appelle moyenne temporelle, la quantite :

x(t) = limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2x(t) dt

2.2.2 Autocorrelation temporelle

On appelle autocorrelation temporelle, la quantite :

x(t)x(t+ τ) = Rxx(τ) = limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2x(t)x(t+ τ) dt



2.3 Caracteristiques statistiques d’un processus aleatoire

2.3.1 Moyenne statistique

Definition

On appelle moyenne statistique, la quantite E appele esperance mathematique :

E[X(t)] = mx(t) =

∫ +∞

−∞x p(x,t) dx (2.1)

ou p(x,t) correspond a la densitete de probabilite de la variable aleatoire X(t).

2.3.2 Autocorrelation, autocovariance statistiques

On appelle autocorrelation statistique, la quantite :

Rxx(t1,t2) = E[X(t1)X(t2)] =

∫ ∫ +∞

−∞x1 x2 p(x1,x2; t1,t2) dx1 dx2 (2.2)

avec p(x1,x2; t1,t2) la densite de probabilite conjointe des deux variables aleatoires X(t1) et

X(t2).

On defini egalement la fonction d’autocovariance statistique par :

Cxx(t1,t2) = E[(X(t1)−mx(t1)) (X(t2)−mx(t2))] (2.3)

ainsi que la variance (t1 = t2) par Var[X(t)] = E[(X(t)−mx(t))2] = σ2

2.4 Stationnarite, Ergodicite

2.4.1 Stationnarite au sens strict

Un processus aleatoire X(t) est dit stationnaire au sens strict si ses proprietes statistiques

sont invariantes lorsqu’on change l’origine des temps :

p(x1,x2, . . . ,xn; t1,t2, . . . ,tn) = p(x1,x2, . . . ,xn; t1 + c,t2 + c, . . . ,tn + c) (2.4)


2.4 Stationnarite, Ergodicite 145

quel que soit c.

2.4.2 Processus aleatoire stationnaire au second ordre

Un processus aleatoire est stationnaire au sens large (au second ordre) ssi :

1. La moyenne E[X(t)] est independante du temps :

E[X(t)] = mx = cste .

2. La fonction d’autocorrelation ne depend que de τ = t2 − t1 :

Rxx(t1,t2) = Rxx(τ)

Dans ce cas la fonction d’autocovariance est donnee par

Cxx(τ) = Rxx(τ)−m2x

Dans le cas ou X(t) est centre mx = 0 et Rxx(τ) = Cxx(τ)

Exemple

Soit x(t) = A cos(ωt + φ) un processus aleatoire ou A et ω sont deterministes et φ est une

variable aleatoire equirepartie entre [0,2π]. Calculer E[x(t)] ainsi que la fonction d’autocorrelation

Rxx(t1,t2).

2.4.3 Processus ergodique

Un processus aleatoire est ergodique a l’ordre n si les moyennes temporelles jusqu’a l’ordre

n sont independantes du choix de la realisation. De plus, si les resultats obtenus a partir des

moyennes statistiques sont equivalents a ceux obtenus a partir des moyennes temporelles,

alors le processus est ergodique.

Un processus stationnaire du second ordre est ergodique si Rxx(τ) = Rxx(τ)



2.5 Correlation

Dans la suite on suppose que les processus stochastiques sont stationnaires au sens large.

2.5.1 Autocorrelation statistique

L’autocorrelation de X(t) a pour valeur,

Rxx(τ) = E[X(t)X(t+ τ)] (2.5)

Proprietes

Les proprietes de Rxx(τ)

– fonction paire, Rxx(−τ) = Rxx(τ),

– maximum en 0, |Rxx(τ)| ≤ Rxx(0) = E[X2(t)],

2.5.2 Intercorrelation statistique

On definit la fonction d’intercorrelation de 2 processus aleatoires stationnaires X(t) et Y (t)

par :

Rxy(τ) = E[X(t)Y (t+ τ)] (2.6)

avec Rxy(τ) = Ryx(−τ).

Dans le cas ou les processus sont ergodiques, on definit

Rxy(τ) = Rxy(τ) = limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2x(t) y(t+ τ) dt

Les transformees de Fourier de Rxy et de Ryx sont appelees densites interspectrales de

puissance.


2.6 Analyse spectrale des processus aleatoires 147

2.5.3 Autocovariance

Dans ce cas la fonction d’autocovariance est donnee par

Cxx(τ) = E [(X(t)− E[X(t)])(X(t+ τ)− E[X(t+ τ)])] (2.7)

Cxx(τ) = Rxx(τ)−m2x (2.8)

2.5.4 Intercovariance

L’intercovariance de X(t) et Y (t) a pour expression :

Cxy(τ) = E[(X(t)− E[X(t)])(Y (t+ τ)− E[Y (t+ τ)])] (2.9)

Cxy(τ) = Rxy(τ)−mxmy (2.10)

Les deux processus stochastiquesX(t) et Y (t) sont dit mutuellement orthogonaux si Rxy(τ) =

0.

Les deux processus stochastiques X(t) et Y (t) sont dit non correles lorsque

Cxy(τ) = 0.

2.6 Analyse spectrale des processus aleatoires

2.6.1 Densite spectrale de puissance

La densite spectrale de puissance d’un processus aleatoire stationnaire est la transformee de

Fourier de sa fonction d’autocorrelation statistique :

Rxx(τ)TF

−→Γxx(f) =

∫ +∞

−∞Rxx(τ) e−j2πfτ dτ (2.11)

(relation de Wiener–Khintchine)

La densite interspectrale de puissance Γxy ou Γyx correspond a la transformee de Fourier de

Rxy respectivement Ryx.



2.6.2 Le bruit blanc b(t)

Parmi les processus aleatoires, le bruit blanc revet une importance particuliere car il represente

le modele de nombreux phenomenes physiques. Le mot blanc prend son origine dans l’analogie

avec la lumiere blanche, dont la puissance est uniformement repartie sur l’axe des frequences.

Un bruit blanc b(t) de variance σ2b est un signal aleatoire stationnaire au second ordre centre

(mb = 0) dont la fonction d’autocorrelation statistique

Rxx(τ) = E[b(t) b(t+ τ)] = σ2b δ(τ) (2.12)

d’ou

Rxx(τ)TF

−→Γ(f) = σ2

b (2.13)

donc

E =

∫ +∞

−∞Γ(f) df =∞

Le bruit blanc est un signal a energie et puissance infinie.

2.6.3 Le bruit colore

Dans de nombreuses applications, les systemes rencontres ont une largeur de bande limitee

(−B/2,B/2). On modelise souvent le bruit par un processus reel, dont la densite spectrale

de puissance est egale a σ2b dans cette bande et nulle partout ailleurs. Sa puissance est alors

Bσ2b . On parle dans ce cas de bruit colore.

2.7 Processus aleatoires particuliers

2.7.1 Sequences independantes et identiquement distribuees (i.i.d.)

Le modele le plus simple de suite aleatoire est celui ou toutes les variables de la suite ont la

meme loi et sont independantes.


2.7 Processus aleatoires particuliers 149

Considerons un processus aleatoireX(t) et definissons n variables aleatoiresX(t1),X(t2), . . . ,X(tn)

correspondant a n instants de mesure t1,t2, . . . ,tn. On forme un vecteur aleatoire X (n× 1),

qui a pour definition :

X =

X(t1)

X(t2)

. . .

X(tn)

(2.14)

La loi de probabilite d’une variable aleatoire de X, prise a un instant n quelconque, est

independant de n : on dit alors que X est identiquement distribuee.

Quel que soit le nombre d’instants et quelle que soit la suite des instants les variables

aleatoires X(t1),X(t2), . . . ,X(tn) sont mutuellement independantes.

Une telle sequence est designee par sequence aleatoire i.i.d. (Independantes et Identiquement

Distribuees).

Le bruit blanc est un exemple de sequence i.i.d. centree.

2.7.2 Processus aleatoire gaussien

Soit le vecteur aleatoire definit par l’equation 2.14 au paragraphe precedent. Soit x un

vecteur (n× 1) ayant pour definition :

x =

x1

x2

. . .

xn

(2.15)

Ce qui permet de noter {X ≤ x} l’evenement {X(t1) ≤ x1, . . . ,X(tn) ≤ xn}. X(t) est

par definition, un processus gaussien si X presente une densite multivariable conjointement

gaussienne pour tout ensemble fini de valeur ti et pour tout n.

La densite multivariable d’un processus gaussien a pour expression :

p(x) =1

(2π)n/2| det C|1/2exp

[−1

2(x-m)tC−1(x-m)

](2.16)



ou t designe l’operation de transposition matricielle, m est le vecteur moyenne, C est la

matrice de covariance, d’expression :

m = E[X] =

m1

m2

. . .

mn

=

E[X(t1)]

E[X(t2)]

. . .

E[X(tn)]

(2.17)

C =

C11 . . . C1n

. . . . . . . . .

Cn1 . . . Cnn

(2.18)

ou Cij = CXX(ti,tj) = RXX(ti,tj) −mimj expression qui represente la covariance de X(ti)

et X(tj), tandis que det C est le determinant de la matrice C. Les proprietes les plus

importantes d’un processus gaussien sont enumerees ci-apres :

1. un processus gaussien est entierement defini par l’ensemble de ses moyennes mi ainsi

que par ses fonctions d’autocorrelation RXX(ti,tj) avec i,j = 1, . . . ,n.

2. Si l’ensemble des variables aleatoires X(ti), ne presentent aucune correlation , c’est a

dire si Cij = 0 i 6= j, alors les X(ti) sont independants.

3. Si un processus gaussien X(t) est stationnaire au sens large, alors il l’est au sens strict.

4. Si l’on applique un processus gaussien a l’entree d’un systeme lineaire, le processus

aleatoire en sortie est lui aussi gaussien.

2.8 Filtrage des processus aleatoires

2.8.1 Introduction

On se place dans le cas ou les signaux etudies sont stationnaires au sens large et ou le

systeme etudie est lineaire et invariant dans le temps.


2.8 Filtrage des processus aleatoires 151

On a donc defini un sens a la densite spectrale de puissance d’un signal aleatoire pour

chaque frequence sans considerer la transformee de Fourier du signal x(t) lui-meme, mais la

transformee de Fourier de la fonction d’autocorrelation.

Attention ceci est un modele theorique c’est a dire que le calcul de Γ(f) a une frequence

necessite le calcul de l’autocorrelation Rxx(τ) de ]−∞,+∞[. En pratique :

1. On echantillonne les variables x(k), Rxx(k),

x(t)→ x(k) = x(kTe) : on n’a pas de perte d’information si x(t) a une frequence max

≤ fe2

(sinon on utilise un filtre antirepliement).

2. on considere un intervalle fini d’observation.

Le probleme majeur est qu’il faut considerer que le signal reel est stationnaire sur une

longue periode. Ceci n’est pas vrai et on dira que le signal est quasi-stationnaire sur

la preriode d’observation de N echantillons. On a seulement des estimes Rxx(k) de

Rxx(k) et donc Γ(f) sera entache d’erreur. De plus, on a un nombre fini de valeur de

Rxx(k). Pour toute ses raisons on ne parle plus d’analyse spectrale mais d’estimation

spectrale.

2.8.2 Les relations en discret

La fonction d’autocorrelation statistique discrete du processus X(n) aleatoire stationnaire

discret est :

Rxx(k) = E[X(n)X∗(n+ k)]

avec k ∈]−∞,+∞[

La fonction d’intercorrelation statistique entre deux processus X(n) et Y (n) aleatoires

stationnaires est

Rxy(k) = E[X(n)Y ∗(n+ k)]

La densite spectrale de puissance d’un processus aleatoire stationnaire est definie par la

transformee de Fourier de la fonction d’autocorrelation statistique discrete Rxx(k)

Γxx(f) =+∞∑

k=−∞

Rxx(k) e−j2πfk



La densite interspectrale de puissance est :

Γxy(f) =+∞∑

k=−∞

Rxy(k) e−j2πfk

Un bruit blanc discret b(n) de variance σ2b est un processus aleatoire stationnaire, centre,

dont les echantillons b(n) ne sont pas correles entre eux d’ou

Rbb(k)) = σ2b δ(k)

Γbb(k)) = σ2b

avec δ(k)) = 1 pour k = 0 et 0 si k 6= 0.

2.8.3 Filtre lineaire invariant dans le temps

Soit le signal de sortie y(n) issue d’un systeme lineaire de reponse impulsionnelle h(n) excite

par un signal d’entree aleatoire x(n). La convolution lineaire s’ecrit alors,

y(n) =+∞∑l=−∞

h(l)x(n− l) = x(n) ∗ h(n)

L’autocorrelation du signal de sortie s’ecrit

Ryy(k) = E[y(n)y∗(n+ k)]

= E

[(+∞∑l=−∞

h(l)x(n− l)

)(+∞∑p=−∞

h∗(p)x∗(n+ k − p)

)]=

∑l

h(l)∑p

h∗(p)Rxx(k + n− p− n+ l)

=∑l

h(l)∑u

h∗(u+ l)Rxx(k − u)

=∑u

Rhh(u)Rxx(k − u)

Finalement on a

Ryy(k) = Rhh(k) ∗Rxx(k) (2.19)


2.9 Exercices 153

Par transformee de Fourier, on obtient

Γyy(f) = |H(f)|2 Γxx(f)

Dans le cas ou x(n) est un bruit blanc, Rxx(n) = σ2bδ(n) alors, Γyy(f) = σ2

b |H(f)|2.

2.9 Exercices

2.9.1 Stationnarite

I. On considere le processus aleatoire X(t) ayant pour definition :

X(t) = A cos(ωt) +B sin(ωt)

ou A et B sont des VA tandis que ω est une constante.

(a) Quelle est la condition sur E[X(t)] pour que X(t) soit stationnaire.

(b) Montrer que X(t) est stationnaire au sens large ssi A et B sont non correlees et

ont meme variance.

II. Montrer que si X(t) est stationnaire au sens large, on a la relation suivante :

E[(X(t+ τ)−X(t))2)

]= 2[Rx(0)−Rx(τ)]]

2.9.2 Filtrage

1. On definit la fonction d’intercorrelation entre deux signaux aleatoires discrets reels

par

Ryx(k) = E[y(n)x(n− k)]

On suppose que le signal y(n) est issu du filtrage de x(n) par un filtre numerique

lineaire stationnaire de reponse impulsionnelle h(n).

Donner la relation qui lie Ryx(k), h(n) et Rx(n) (fonction de correlation du signal

x(n)).



2. On considere un filtre numerique de reponse impulsionnelle h(n) definie par

h(n) =

bn pour n ≥ 0

0 pour n < 0avec 0 < b < 1

Le signal d’entree x(n) est un signal discret stationnaire centre de fonction d’autocorrelation

Rx(k) = a|k| avec 0 < a < 1

On note y(n) le signal de sortie du filtre.

(a) Preciser pourquoi on a suppose que 0 < b < 1 et 0 < a < 1.

(b) Montrer que la densite spectrale de puissance de x(n) est egale a :

Sx(f) =1− a2

1 + a2 − 2acos(2πf)

(c) Montrer que la densite spectrale de puissance de y(n) est egale a :

Sy(f) =1

1 + b2 − 2bcos(2πf)Sx(f)

(d) Calculer l’intercorrelation Ryx(k).

2.9.3 Processus aleatoires particuliers

Soit X un vecteur aleatoire gaussien a n composantes independantes, selon la relation 2.7.2.

Montrer que la fonction de densite conjointe multivariable a pour expression :

p(x) =1

(2π)n/2∏n

i=1 σiexp

[−1

2

n∑i=1

(xi −mi

σi)2

]ou mi = E[Xi] et σ2

i = var(Xi)


155

Chapitre 3 Identification parametrique

3.1 La transformee en z

3.1.1 Definition

La transformee en z (bilaterale), X(Z), de x(n) est definie par la relation suivante :

X(Z) =+∞∑

n=−∞

x(n)Z−n (3.1)

Z est une variable complexe et la fonction X(Z) possede un domaine de convergence qui

en general est un anneau centree sur l’origine, de rayons R1 et R2. C’est dire que X(Z) est

definie pour R1 < |Z| < R2. Les valeurs de R1 et R2 dependent de la suite x(n).

Si la suite x(n) represente la suite des echantillons d’un signal echantillonnes a la periode

T , la transformation de Fourier de cette suite s’ecrit :

X(f) =+∞∑

n=−∞

x(n) e−j2πfnT

Ainsi pour Z = ej2πfT la transformee en Z de la suite x(n) coıncide avec sa transformee de

Fourier. C’est a dire que l’analyse d’un systeme discret peut se faire avec la transformee en

Z et pour connaıtre la reponse en frequence, il suffit de remplacer Z par ej2πfT .


156 Chapitre 3. Identification parametrique

3.1.2 Transformee en z unilaterale

Dans le cas des signaux et systemes causaux, on utilise la transformee en z unilaterale definie

pour n ≥ 0 :

X(z) =+∞∑n=0

x(n)Z−n (3.2)

3.1.3 Fonction de transfert

Dans le cas d’un filtre lineaire, on rappelle que la relation d’entree (x(n)) sortie (y(n)) est

donnee par le produit de convolution suivant :

y(n) = h(n) ∗ x(n) =+∞∑i=−∞

h(i)x(n− i)

En prenant respectivement la transformee de Fourier et en z on obtient :

Y (f) = H(f)X(f) (3.3)

Y (Z) = H(Z)X(Z) (3.4)

H(Z) est appelee fonction de transfert du filtre et

H(f) =+∞∑

n=−∞

h(n) e−j2πfn

est appele la reponse en frequence. On note que

h(n) =

∫ 1/2

−1/2H(f)ej2πfn df (3.5)

Fonction de transfert d’un systeme stable

Si le systeme est stable, alors sa reponse impulsionnelle est absolument sommable :

+∞∑n=−∞

|h(n)| < ∞


3.1 La transformee en z 157

Cette condition entraıne que l’anneau de convergence doit necessairement contenir le cercle

unite.

Fonction de transfert d’un systeme causal stable

Si le systeme lineaire invariant est causal et stable, le cercle unite doit etre contenu dans

la region de convergence d’un systeme causal. Par consequent, pour un systeme causal et

stable, la fonction de transfert converge a l’interieur d’un cercle dont le rayon est en tout

cas plus petit que l’unite. Ainsi, les poles de la fonction de transfert d’un systeme lineaire

invariant causal et stable doivent se trouver a l’interieur du cercle unite.

On peut, par la position des poles dans ce plan, connaıtre immediatement si le systeme est

stable ou non.

3.1.4 Systemes definis par une equation aux differences

Les systemes lineaires invariants dans le temps, les plus interessants sont les systemes ou les

entrees sorties sont liees par une equation aux differences lineaire a coefficients constants. En

effet, d’une part ils correspondent a des realisations simples et d’autre part ils constituent

une excellente modelisation de nombreux systemes naturels.

Un systeme de ce type est defini par la relation suivante :

y(n) =N∑i=0

aix(n− i)−M∑j=1

bjy(n− j) (3.6)

En appliquant la transformation en z aux membres de cette equation, on obtient :

Y (Z) =N∑i=0

aiZ−iX(Z)−

M∑j=1

bjZ−jY (Z) (3.7)

soit

Y (Z) = H(Z)X(Z)

avec

H(Z) =a0 + a1Z

−1 + . . .+ aNZ−N

1 + b1Z−1 + . . .+ bMZ−M(3.8)



La fonction de transfert du systeme H(Z) est une fraction rationnelle. Les ai et les bj sont

les coefficients du systeme. Certains coefficients du systeme peuvent etre nuls. Pour faire

apparaıtre la reponse en frequence, il suffit de remplacer dans H(Z), la variable Z par ej2πf .

En mettant en evidence les racines des deux polynomes, on peut exprimer H(Z) par :

H(Z) =N(Z)

D(Z)= a0

∏Ni=1(Z − Zi)∏Mj=1(Z − Pj)

(3.9)

Les Zi et Pj sont respectivement les zeros et les poles de la fonction de transfert H(Z).

L’analyse d’un systeme par sa reponse en frequence correspond a un fonctionnement en

regime permanent; elle est suffisante dans la mesure ou les phenomenes transitoires peuvent

etre negliges. Si ce n’est pas le cas il faut introduire les conditions initiales.

3.1.5 Filtres a reponse impulsionnelle finie

Les filtres numeriques a reponse impulsionnelle finie (RIF) sont des systemes lineaires

discret invariants dans le temps definis par une equation selon laquelle un nombre de sortie,

representant un echantillon du signal filtre, est obtenu par la somme ponderee d’un ensemble

fini de nombres d’entree, representant les echantillons du signal a filtrer. Les coefficients de

la sommation constituent la reponse impulsionnelle du filtre. Ce filtre est du type a memoire

finie, c’est a dire qu’il determine sa sortie en fonction d’informations d’entree d’anciennete

limitee.

L’equation d’entree–sortie est donnee par l’equation :

y(n) =N∑i=0

aix(n− i) (3.10)

Le filtre ainsi defini comporte un nombre N fini de coefficients ai. Considere comme un

systeme discret, il a pour reponse a la suite unitaire la suite h(i) telle que

h(i) = ai si 0 ≤ i ≤ N − 1

h(i) = 0 ailleurs

C’est a dire que la reponse impulsionnelle est simplement la suite des coefficients.



La fonction de transfert du filtre s’ecrit :

H(f) =N−1∑i=0

aie−2iπfT (TF) (3.11)

H(Z) =N−1∑i=0

aiZ−i (TZ) (3.12)

La fonction H(f) est une fonction periodique, de periode fe = 1T

. Les coefficients ai

constituent le developpement en serie de Fourier de cette fonction :

N−1∑i=0

|ai|2 =1

fe

∫ fe

0

|H(f)|2df (3.13)

3.1.6 Exemples

Filtre en cosinusoıde

Soit x(t) represente par ses echantillons x(nT ), preleves a la frequence fe = 1/T . Soit la

relation d’entree sortie suivante :

y(nT ) = 1/2 [x(nT ) + x((n− 1)T )]

Si Y (f) et X(f) designent les transformees de Fourier des signaux y(t) et x(t), il vient

Y (f) = 1/2X(f)(1 + e−2iπfT )

La fonction de transfert s’ecrit donc :

H(f) = e−iπfT cos(πfT )

C’est une operation de filtrage, qui conserve la composante continue et elimine la composante

a la frequence fe/2. Dans l’expression de H(f), le terme complexe e−2iπfT/2 caracterise un

retard τ = T/2 qui est le temps de propagation du signal a travers le filtre.



La reponse impulsionnelle h(t) qui correspond au filtre de fonction de transfert |H(f)|s’ecrit :

h(t) = 1/2 [δ(t+ T/2) + δ(t− T/2)]

../../IUP2/TNS/arma01-eps-converted-to.pdf

Filtre en cosinusoıde


Filtre en cosinusoıde surelevee

Filtre en cosinusoıde surelevee

Soit l’equation recurrente suivante :

y(nT ) = 1/4 [x(nT ) + 2x[(n− 1)T ] + x[(n− 2)T ]]

Comme le filtre precedent, il conserve la composante continue et elimine celle a fe/2. Elle

correspond a la fonction de transfert :

H(f) = 1/4(1 + 2e−2iπf2T + e−2iπf2T ) =e−2iπfT

2(1 + cos(2πfT ))

Le filtre obtenu est dit en cosinusoıde surelevee; son temps de propagation est τ = T . La

reponse impulsionnelle est donne par :

h(t) = 1/4 [δ(t+ T ) + 2δ(t) + δ(t− T )]

Ce filtre est un passe-bas plus selectif que le precedent et il apparaıt clairement que pour

obtenir une fonction de filtrage plus selective encore il suffit d’augmenter le nombre de

termes de la suite x(nT ) sur lesquels porte la sommation ponderee.




3.1.7 Filtres a reponse impulsionnelle infinie

Les filtres a reponse impulsionnelle infinie sont des systemes lineaires discrets invariants dans

le temps dont le fonctionnement est regi par une equation de convolution portant sur une

infinite de termes. En principe, il conserve une trace des signaux qui leur ont ete appliques

pendant une duree infinie, ils sont a memoire infinie. Une telle memoire est realisee par une

boucle de reaction de la sortie sur l’entree. Chaque element de la suite des nombres de sortie

est calcule par sommation ponderee d’un certain nombre d’elements de la suite d’entree et

d’un certain nombre d’elements de la suite de sortie precedents.

Le fait d’avoir cette reponse impulsionnelle infinie permet d’obtenir en general des fonctions

de filtrage beaucoup plus selectives que celles des filtre RIF a quantite de calculs equivalente.

Cependant la boucle de reaction complique l’etude des proprietes et la conception de ces

filtres et amene des phenomenes parasites.

Expression generale

Le filtre RII general a pour expression :

y(n) =N∑i=0

ai x(n− i)−M∑j=1

bj y(n− j) (3.14)

La fonction de transfert (en Z) de ce systeme s’ecrit :

H(Z) =a0 + a1Z

−1 + . . .+ aNZ−N

1 + b1Z−1 + . . .+ bMZ−M(3.15)

C’est le quotient de deux polynomes en Z. Les coefficients ai et bj etant reels, H(Z) est un

nombre complexe.

3.1.8 Comparaison entre les filtres RIF et RII

Les deux types de filtres examines RIF et RII, permettent de satisfaire un gabarit quelconque

donne. La question du choix entre ces deux approches se pose frequemment au concepteur

de systemes. Le critere est la complexite des circuits a mettre en oeuvre; en pratique la

comparaison se ramene principalement a l’evaluation du parametre simple qui constitue le



nombre de multiplications a effectuer.

3.2 Processus aleatoire

L’idee d’utiliser des modeles de filtres pour representer des processus aleatoires est due a

l’origine de Yule (1927). Elle consiste a considerer une suite aleatoire (supposee centree),

comme la sortie d’un filtre lineaire excite par un bruit blanc.

3.2.1 Processus MA

On considere le processus aleatoire (i.i.d.) x(n) comme etant la combinaison lineaire suivante :

x(n) = b0w(n) + b1w(n− 1) + . . .+ bMw(n−M) (3.16)

ou w(n) designe un processus aleatoire reel, centre, stationnaire, blanc de variance σ2w non

correle avec x(n) et {bi} une suite de coefficients reels. Le processus ainsi construit apparaıt

comme la moyenne pondere des M + 1 dernieres valeurs des entrees par la suite {bi}. Pour

cette raison, on parle de moyenne mobile, qui se dit en anglais Moving Average (MA). Par

construction, x(n) est la sortie d’un filtre lineaire dont la reponse impulsionnelle est la suite

{bi}. Ce filtre a donc pour fonction de transfert :

H(z) = b0 + b1z−1 + b2z

−2 + . . .+ +bMz−M (3.17)

Cette fonction de transfert ne possede pas de poles. Elle correspond donc a un filtre a reponse

impulsionnelle fini (filtre stable). Ce modele permet de representer facilement des processus

ayant des ”vallees” dans leur densite spectrale.

3.2.2 Processus AR

Par definition on dit qu’un processus aleatoire x(n) est AutoRegressif (AR), si x(n) verifie

l’equation recurrente suivante :


3.2 Processus aleatoire 163

x(n) + a1x(n− 1) + a2x(n− 2) + . . .+ aNx(n−N) = w(n) (3.18)

x(n) = w(n)− a1x(n− 1)− a2x(n− 2)− . . .− aNx(n−N) (3.19)

ou tous les ai reels. La fonction de transfert du filtre ayant pour sortie la suite x(n) et pour

entree la suite w(n) est donnee par :

H(z) =1

1 + a1z−1 + . . .+ aNz−N(3.20)

Ce modele est tout pole, il correspond a un filtre a reponse impulsionnelle infinie, il pourra

representer des processus ayant des ”pics” dans la densite spectrale. On rappelle qu’un filtre

est stable si et seulement si tous les poles de sa fonction de transfert sont a l’interieur du

cercle unite; l’equation 3.19 admet alors une solution stationnaire unique x(n) qui s’exprime

a partir de w(n) de la maniere suivante :

x(n) =n∑

k=−∞

h(n− k)w(k) (3.21)

ou la suite h0,h1, . . . ,hp, . . . est la suite des coefficients du developpement en serie entiere de

H(z).

Exemple

Soit x(n) = sin(ω0nT ), sa transformee en Z est donne par :

X(Z) =Z sin(ω0T )

Z2 − 2Z cos(ω0T ) + 1=

Z−1 sin(ω0T )

1− 2Z−1 cos(ω0T ) + Z−2

La transformee inverse de cette equation est

x(n+ 2)− 2 cos(ω0T )x(n+ 1) + x(n) = 0



Equation de Yule–Walker

L’equation de Yule–Walker exprime une relation entre les coefficients de l’equation 3.19 et

les covariances du processus x(n).

Considerons le processus AR reel d’ordre 1

x(n) = −a1x(n− 1) + w(n)

En prenant l’esperance mathematique de cette derniere equation, on trouve que le processus

x(n) est centre. En effet,

E[x(n)] + a1 E[x(n− 1)] = E[w(n)] (3.22)

comme E[w(n)] = 0 (processus centre), il vient que E[x(n)] = E[x(n− 1)] = 0.

Comme le processus x(n) est centre, la fonction d’autocovariance s’exprime par R(τ) =

E[x(n)x(n+ τ)] et verifie le systeme d’equations :

R(0) + a1R(1) = σ2w

R(−1) + a1R(0) = 0(3.23)

En effet, on obtient ces equations en prenant l’esperance mathematique de x(n)x(n) et

x(n)x(n− 1) a partir de l’equation .

Le systeme d’equation peut se mettre sous forme matricielle RA = c, ou on a pose A =

[1 a1]t et c = [σ2

w 0]t et :

R(0) R(1)

R(−1) R(0)

Partant de systeme d’equations, on peut en deduire a1 et σ2

w par :

a = −R(1)

R(0)et σ2

w = R(0)− R2(1)

R(0)(3.24)


3.3 Application a la prediction lineaire 165

Generalisation

Ces equation se generalisent au cas d’un modele AR d’ordreN dont la fonction d’autocovariance

verifie le systeme matriciel :

R(0) R(1) . . . R(N)

R(−1) R(0). . .

......

. . . . . . R(1)

R(−N) · · · R(−1) R(0)

1

a1...

aN

=

σ2w

0...

0

(3.25)

Comme x(n) est reel, cette matrice est symetrique. Elle depend de N(N + 1)/2 valeurs de

la fonction d’autocovariance, de plus, elle possede une forme particuliere appele matrice de

Toeplitz.

3.2.3 Processus ARMA

Les processus ARMA s’obtiennent en mettant en serie une structure AR et une structure

MA. Soit l’equation recurrente :

x(n) + a1x(n− 1) + . . .+ aNx(n−N) = b0w(n) + b1w(n− 1) + . . .+ bMw(n−M) (3.26)

L’equation du filtre est donne par l’equation 3.15.

On montre que cette equation recurrente admet une solution x(n), stationnaire au second

ordre, unique, qui s’exprime en fonction de w(n), si et seulement si les racines du denominateur,

qui sont les poles de la fonction de transfert, sont de modules inferieur a 1.

3.3 Application a la prediction lineaire

3.3.1 Definitions

Predicteur a un pas d’ordre p

Par definition le predicteur a un pas, d’ordre p cherche a predire le signal a l’instant n,

connaissant le signal aux instants n− 1, n− 2, . . ., (n− p).



x(n|n− 1) = −p∑

k=1

akx(n− k) (3.27)

Predicteur a deux pas d’ordre p

Un predicteur a deux pas d’ordre p serait la valeur predite a l’instant n a partir des valeurs

aux instants n− 2, . . ., (n− p).

Predicteur a α pas d’ordre p

x(n|n− α) = −p∑

k=1

akx(n− α + 1− k)

Erreur de prediction

On definit l’erreur de prediction par :

e(n) = x(n)− x(n|n− 1) (3.28)

Dans le cas ou e(n) est un bruit blanc alors

x(n) = −p∑

k=1

akx(n− k) + e(n)

x(n) sera alors un processus AR. Le probleme est de connaıtre les coefficients ak connaissant

les mesures de x.

Pour determiner les parametres, il faudrait inverser la matrice d’autocovariance (eq. 3.25)

qui est symetrique. Il existe dans la litterature des algorithmes permettant de s’affranchir

de cette inversion. L’algorithme de Levinson en est un exemple.

Algorithme de Levinson

Il consiste a calculer de maniere recursive des predicteurs a un pas d’ordre croissant.

En considerant tout d’abord une matrice 2× 2 :



Rxx(0) Rxx(−1)

Rxx(1) Rxx(0)

1

a11

=

P1

0

On obtient facilement :

a11 = −Rxx(1)

Rxx(0)

P1 = (1− a11(a11)∗)

ou P (0) = Rxx(0) et P1 est la puissance (ou variance) de l’erreur de prediction et a11 est le

coefficient de reflexion. Il pour caracteristique d’avoir un module inferieur a l’unite.

L’algorithme de Levinson s’ecrit alors sous la forme generale :

P0 = Rxx(0)

ki = − [Rxx(i)+∑i−1j=1 a

i−1j Rxx(i−j)]

Pi−1

aii = ki

aij = ai−1j + ki(ai−1i−j

)∗, 1 ≤ j ≤ i− 1

Pi = (1− |ki|2)Pi−1

(3.29)

ou i et j correspondent respectivement a l’ordre et au pas.

3.3.2 Exemple

On cherche a determiner un predicteur a 1 pas.

x(n) = A cos(nω0T + φ)

φ est une variable aleatoire uniformement repartie sur [0,2π].

Rxx(k) =A2

2cos(kω0T )



Methode directe

Predicteur a 1 pas d’ordre 1

Le predicteur a 1 pas s’ecrit x(n|(n− 1)) = a11 x(n− 1).

L’erreur de prediction est egale a e = x(n)− (x)(n|(n− 1)) = x(n)− a11x(n− 1)

La variance de l’erreur de prediction est donnee par V = E[(x(n)− a11x(n− 1))

2]

La meilleure valeur du coefficient a11 est celle qui rend V minimale.

V = E[x2(n)− 2a11x(n)x(n− 1) + (a11)

2x(n− 1)2]

V = Rxx(0)− 2a11Rxx(1) + (a11)2Rxx(0)

On cherche ∂V∂a11

= 0 :

−2Rxx(1) + 2a11Rxx(0) = 0

a11 =Rxx(1)

Rxx(0)= cos(ω0T )

La variance dans ce cas vaut : V = A2

2sin2(ω0T ) ≤ A2

2


Le predicteur a 2 pas s’ecrit x(n|(n− 1)) = a21 x(n− 1) + a22x(n− 2).

L’erreur de prediction : ε(n) = x(n)− x(n|(n− 1)) = x(n)− a21 x(n− 1) + a22x(n− 2)

La variance de l’erreur de prediction :

V = E[(x(n)− a21x(n− 1)− a22x(n− 2)

)2]On determine les coefficients a2i par la minimisation de variance pour chaque coefficients.



∂V

∂a21= E

[−x(n− 1)(x(n)− a21x(n− 1)− a22x(n− 2))

]= 0

∂V

∂a21= Rxx(1)− a21Rxx(0)− a22Rxx(1) = 0

et

∂V

∂a22= E

[−x(n− 2)(x(n)− a21x(n− 1)− a22x(n− 2))

]= 0

∂V

∂a22= Rxx(2)− a21Rxx(1)− a22Rxx(0) = 0

On obtient le systeme suivant :

Rxx(0) Rxx(1)

Rxx(1) Rxx(0)

a21

a22

=

Rxx(1)

Rxx(2)

Ce qui equivaut a :

R a = r

Pour determiner les coefficients a2i , il suffit d’inverser la matrice R; on obtient alors :

a = R−1r

avec Rxx(0) = A2

2, Rxx(1) = A2

2cos(ω0T ), Rxx(2) = A2

2cos(2ω0T ),

On trouve :

a21

a22

=1

sin2(ωoT )

1 − cos(ωoT )

− cos(ωoT ) 1

cos(ωoT )

cos(2ωoT )

=

2 cos(ω0T )

−1



Algorithme de Levinson


i = 1

k1 = −Rxx(1)

Rxx(0)= cos(ω0T )

a1 = k1 = − cos(ω0T )

P0 = Rxx(0) =A2

2

P1 = (1− (k1)2)P0 = (1− cos(ω0T ))

A2

2

i = 2

k2 = −[Rxx(2) + a11Rxx(0)

P1

]= 1

P2 = (1− 1)P1 = 0

a22 = k2 = 1

a21 = a11 + k2a11 = −2 cos(ω0T )


Bibliographie 171

[]


172 Bibliographie

Bibliographie

[1] E. Rudolph, P.Graubmann, and J. Grabowski. Tutorial on message sequence charts

(MSC’96). In FORTE, 1996.

[2] ITU-TS. ITU-TS Recommendation Z.120: Message Sequence Chart (MSC). Geneva,

1997.

[3] Michel Goossens, Sebastian Rahtz, and Frank Mittelbach. The LATEX Graphics

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[4] L. Lamport. LATEX—A Document Preparation System—User’s Guide and Reference

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[6] V. Bos and S. Mauw. A LATEX macro package for Message Sequence Charts—User

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Documents

Transmission Codage Et Traitement Du Signal (1)