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TRANSMISSION D’UN MOUVEMENT DE ROTATION CI4 : Performances des chaînes de transmis ssion Transmission d’un mouvement de rotation COURS Edition 1 - 04/03/2018 Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 1/24 CHAÎNE D’INFORMATION ACQUERIR TRAITER COMMUNIQUER CHAÎNE D’ENERGIE ALIMENTER DISTRIBUER CONVERTIR TRANSMETTRE ACTION

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TRANSMISSION D’UN MOUVEMENT DE ROTATION

CI4 : Performances des chaînes de transmissionCI4 : Performances des chaînes de transmission

Transmission d’un mouvement de rotation COURS

Edition 1 - 04/03/2018

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CHAÎNE D’INFORMATION

ACQUERIR TRAITER COMMUNIQUER

CHAÎNE D’ENERGIE

ALIMENTER DISTRIBUER CONVERTIR TRANSMETTRE

ACTI

ON

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PROBLEMATIQUE

« L’énergie mécanique en sortie de la fonction CONVERTIR

doit être acheminée vers l’effecteur qui va agir sur la matière d’oeuvre. Cette énergie mécanique, majoritairement de

rotation, subit des modifications de vitesse et de direction par l’intermédiaire de courroies, chaînes et roues dentées»

B - MODELISERB - MODELISERB - MODELISER

B1 Identifier et caractériser les grandeurs physiques agissant sur un système

Qualifier les grandeurs d'entrée et de sortie d'un système isoléB1 Identifier et caractériser les grandeurs physiques agissant sur un système Associer les grandeurs physiques aux échanges d’énergie et à la

transmission de puissanceC - RESOUDREC - RESOUDREC - RESOUDRE

C2 Procéder à la mise en oeuvre d’une démarche de résolution analytique

Déterminer la loi entrée-sortie d’une chaîne cinématique simple

Crédits : TSI JF

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Transmission d’un mouvement de rotation COURS

Problématique Edition 1 - 04/03/2018

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SommaireA. _____________________________________________________Transmission indirecte! 5

A.1.Généralités 5

A.2.Transmission par chaîne ou courroie 5

A.3.Types de courroies 6

A.4.Avantages de la transmission indirecte 6

A.5.Inconvénients de la transmission indirecte 7

A.6.Tableau comparatif des solutions de transmission indirecte 7

B. _______________________________________________________Transmission directe! 8

B.1.Généralités 8

B.2.Transmission par adhérence 8

B.3.Transmission par obstacle 9B.3.1. Développante de cercleB.3.2. Géométrie du contact

B.4.Caractéristiques d’un engrenage 10B.4.1. Rapport de transmissionB.4.2. Caractéristiques de la denture

B.5.Types d’engrenages 13B.5.1. Forme de la dentureB.5.2. Axes des roues engrénées

C. ______________________________________________________Trains épicycloïdaux! 17

C.1.Généralités 17

C.2.Caractéristiques des trains épicycloïdaux 18C.2.1. Combinaison à 1 entrée / 1 sortieC.2.2. Combinaison à 2 entrées / 1 sortieC.2.3. Combinaison 1 entrée / 2 sortiesC.2.4. Types de trains épicycloïdaux

C.3.Etude cinématique 20C.3.1. Condition de roulement sans glissement en AC.3.2. Condition de roulement sans glissement en BC.3.3. Formule de WillisC.3.4. Moyen simple de détermination du rapport de transmissionC.3.5. Autre expression de la formule de Willis

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Sommaire Edition 1 - 04/03/2018

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C.4.Condition de montage 22C.4.1. Train à 1 satelliteC.4.2. Train à 2 satellitesC.4.3. Train à 3 satellitesC.4.4. Généralisation

C.5.Trains épicycloïdaux particuliers 23C.5.1. Trains complexesC.5.2. Différentiel

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A. Transmission indirecte

A.1. Généralités

La transmission d’un mouvement de rotation sera qualifiée d’indirecte lorsqu'elle met en oeuvre un lien souple tel que des courroies ou des chaînes.

Cette solution sera retenue les entraxes sont importants. On retiendra :

• la transmission par courroie plate• la transmission par courroie crantée• la transmission par chaîne

A.2. Transmission par chaîne ou courroie

En faisant l’hypothèse de non glissement de la courroie, le rapport de transmission est défini par

k = ω2

ω1=R1R2

La transmission indirecte conserve le sens de rotation : les poulies tournent dans le même sens.

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Transmission indirecte Edition 1 - 04/03/2018

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A.3. Types de courroies

A.4. Avantages de la transmission indirecte

• Simplicité de mise en oeuvre• Possibilité de transmettre la rotation sur des entraxes importants• Absence de lubrification dans le cas des courroies• Absorption des variations de couple

Par ailleurs, dans le cas des courroies plates, la torsion de la courroie permet de modifier le sens et la direction des axes de rotation :

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Transmission indirecte Edition 1 - 04/03/2018

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A.5. Inconvénients de la transmission indirecte

• Transmission non synchrone dans le cas de la courroie plate : un glissement est systématiquement présent, de l’ordre de 3%

• Nécessité d’un mécanisme de réglage de la tension. Ce mécanisme est installé sur le brin mou• Lubrification recommandée pour la transmission par chaîne

A.6. Tableau comparatif des solutions de transmission indirecte

Chaîne Courroie crantée Courroie trapézoïdale Courroie Poly V

Vitesse maximale (m/s)

Couple transmissible

Rapport de transmission maxi

Lubrification

Avantages

Inconvénients

35 60 40 80

+++++ - ++ -

9 10 15 40

Oui Non Non Non

Durée de vieSynchronePuissance

Vitesses élevéesSilence

Entretien

Couple transmisSilence

Entretien

VitesseRapport de

transmissionEntretien

Bruit Glissement Rendement Durée de vie

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B. Transmission directe

B.1. Généralités

La transmission directe ne fait pas appel à un élément intermédiaire : deux roues sont en contact direct, et le sens de rotation est alors inversé.

La transmission de puissance se fait :

• par adhérence dans le cas d’un contact de deux roues lisses• par obstacle dans le cas d’un contact de deux engrenages

La transmission par adhérence est limitée aux faibles puissances, afin de ne pas risquer le glissement relatif des roues.

B.2. Transmission par adhérence

La condition de non glissement au point I s’écrit :

VI∈s/e! "!!!!

= 0"

Alors VI∈s/0! "!!!!

−VI∈e/0! "!!!!

= 0"

Or

VI∈s/0! "!!!!

=dOsI! "!!

dt⎤

⎦⎥R0

= Rs #θs x0!"!

et

VI∈e/0! "!!!!

=dOeI! "!!

dt⎤

⎦⎥R0

= −Re #θe x0!"!

D’où :

Re !θe + Rs !θs = 0

Soit le rapport de transmission : k =ωs

ωe

= −ReRs

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B.3. Transmission par obstacle

B.3.1. Développante de cercle

La transmission de la puissance est obtenue par l’intermédiaire d’une denture, dont le profil permettant de limiter les glissements relatifs des dents est la «développante de cercle».

Cette courbe, appelée également anti-clothoïde, est une trajectoire dans laquelle les normales des points sont les tangentes d’un cercle :

L'équation paramétrée de cette trajectoire est :

M (t)x(t)= r cost + t sin t( )y(t)= r sin t − t cost( )

⎧⎨⎪

⎩⎪

Elle possède la propriété intéressante suivante : les tangentes à une développante de cercle qui tourne uniformément autour de son centre suivent une trajectoire rectiligne

B.3.2. Géométrie du contact

B.3.2.1. Cercles primitifs

L’étude cinématique des engrenages peut se faire par analogie avec la transmission par adhérence, dans laquelle les roues en contact sont caractérisées par un diamètre appelé «diamètre primitif» de l’engrenage

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B.3.2.2. Angle de pression

Le contact entre deux dents d’un engrenage génère une action mécanique dont l’angle par rapport au plan tangent des cercles primitifs est appelé «angle de pression»

Pour les engrenages classiques, cet angle de pression vaut α = 20°

B.4. Caractéristiques d’un engrenage

Une transmission par engrenage fait intervenir deux roues dentées, dont la plus petite est appelée le pignon et la plus grande la roue.

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Les engrenages les plus courants sont des engrenages à contact extérieur, mais il existe également des engrenages à contact intérieur.

Remarque : Dans un tel cas, le sens de la rotation n’est pas inversé

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B.4.1. Rapport de transmission

B.4.1.1. Cas de deux roues dentées à contact extérieur

Comme dans le cas du contact par adhérence, le rapport de transmission dans le cas de deux engrenages est donné par la relation :

k = ωs

ωe

= −ReRs= −

Ze

Zs

où Ze désignent le nombre de dents de la roue d’entrée, menante,

et Zs le nombre de dents de la roue de sortie, menée.

B.4.1.2. Généralisation à un train d’engrenages

On appelle roue «menante» une roue motrice, et roue «menée» une roue réceptrice.

n est le nombre de contacts extérieurs du train d’engrenages

Le rapport de transmission est alors déterminé par la formule de Willis :

i =ω

sortie

ωentrée

= −1n( ) Zmenantes∏Zmenées∏

B.4.2. Caractéristiques de la denture

B.4.2.1. Diamètre primitif

Comme vu précédemment, le diamètre primitif correspond au diamètre fictif permettant l’analogie avec un contact direct par adhérence

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B.4.2.2. Pas primitif de la denture

Le pas primitif correspond à la longueur de l’arc de cercle primitif compris entre deux dents successives.

Pour que deux engrenages puissent être compatibles, il faut que le pas de chacune des roues soit identique

B.4.2.3. Module de la denture

Le module d’une denture permet d’établir une relation entre le diamètre primitif et le nombre de dents. Il s’agit d’une valeur normalisée, déterminée en fonction du couple à transmettre.

Les relations entre diamètre primitif D, pas p, nombre de dents Z et module m sont les suivantes :

D = mZp = mπ

B.5. Types d’engrenages

On classe les engrenages par la forme de leur denture (droit ou hélicoïdale), et également par la position relative des axes de rotation (parallèles, concourants, ...)

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B.5.1. Forme de la denture

Les engrenages à denture droite sont les plus faciles à réaliser. En revanche, ils sont bruyants

Ils autorisent des déplacements axiaux

Les dentures hélicoïdales autorisent quant à elles la transmission de couples plus important.

Les dentures des engrenages doivent être de sens opposés pour que l’engrènement puisse être obtenu.

Cet engrenage génère des efforts axiaux, qui se retrouvent dans les paliers :

Pour contrer ce phénomène, on peut avoir recours à l’emploi d’un couple de roues à denture opposée : les roues à chevron (dont la forme est à l’origine du logà de la marque Citroën). Bien qu’idéale, cette solution est onéreuse à mettre en oeuvre.

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B.5.2. Axes des roues engrénées

On distingue les engrenages à axes parallèle et les engrenages à axe concourant.

Engrenages à axes parallèles Engrenages à axes concourants

Les engrenages à axes concourant sont appelés engrenages à roues coniques. Le sommet des cônes doivent coïncider, ce qui nécessite un réglage précis des positions des engrenages

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Outre les cas évoqués précédemment, on trouve également des engrenages particuliers, qui sont les engrenages à axes non parallèles et non concourants : les engrenages à roue et vis sans fin.

Dans ce cas particulier, la formule de Willis devient :

k = ωs

ωe

=Ze

Zs

où Ze désigne le nombre de filets de la vis

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Les caractéristiques de la transmission par vis-écrou sont les suivantes :

• Rapport de transmission pouvant être très élevé (entre 1/5 et 1/150)• Frottement important au niveau de la denture, engendrant un rendement faible et une usure importante• Le système est le plus souvent irréversible, à l’exception des cas où l’angle d’hélice est inférieur à la

valeur du demi-angle au sommet du cône d’adhérence

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C. Trains épicycloïdaux

C.1. Généralités

Les réducteurs à train d’engrenages classiques présentent l’inconvénient d’être rapidement encombrants dès lors que l’on souhaite obtenir un rapport de transmission important.

Les trains épicycloïdaux permettent d’obtenir des rapports de transmission élevés tout en maintenant un encombrement raisonnable.

Ils présentent la caractéristique d’avoir certains pignons dont les axes de rotation sont mobiles

Ils sont constitués :

• d’un planétaire intérieur,• d’un planétaire extérieur,• de satellites insérés entre les planétaires, reliés entre-eux par un arbre

porte-satellite

Dans cette figure :

(1) est le planétaire d’entrée

(2) est un satellite

(3) est le planétaire de sortie, ou couronne

(4) est l’arbre porte-satellite

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C.2. Caractéristiques des trains épicycloïdaux

Il existe donc 3 arbres en rotation. Par conséquent, plusieurs combinaisons sont envisageables.

C.2.1. Combinaison à 1 entrée / 1 sortie

il s’agit de la combinaison la plus courante est de bloquer une des mobilités, et on obtient alors un réducteur

Le rapport de transmission dépend de l’arbre immobilisé. Il est ainsi possible de créer un réducteur à plusieurs rapports de transmission (utilisation dans les boîtes de vitesse automatiques par exemple).

C.2.2. Combinaison à 2 entrées / 1 sortie

Dans cette combinaison, 2 arbres sont pilotés et la vitesse de sortie dépend des vitesses de ces 2 arbres

C.2.3. Combinaison 1 entrée / 2 sorties

Il s’agit ici du différentiel de voiture, permettant de transmettre la rotation de l’arbre en sortie de boîte de vitesses aux deux roues à des vitesses différentes en virage. Dans ce cas, l’entrée est la rotation du porte-satellite, les roues étant reliées aux planétaires.

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C.2.4. Types de trains épicycloïdaux

On distingue 4 types de trains épicycloïdaux, en fonction de la position relative des planétaires et des satellites.

• un satellite à simple denture• un planétaire intérieur• un planétaire extérieur

• un satellite à double denture• un planétaire intérieur• un planétaire extérieur

• un satellite à double denture• deux planétaires intérieurs

• un satellite à double denture• deux planétaires extérieurs

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C.3. Etude cinématique

On considère un train épicycloïdal de type II.

O1A! "!!

= R1y4!"!

O2A! "!!!

= −R2 y4!"!

O2B! "!!!

= R '2 y4!"!+α"z

O3B! "!!!

= R3y4!"!+β"z

Les profils des dentures sont des développantes de cercle, induisant un non glissement aux contacts A et B

C.3.1. Condition de roulement sans glissement en A

VA∈1/2! "!!!!

="0⇒VA∈1/4! "!!!!

+VA∈4/2! "!!!!

="0

Or VA∈1/4! "!!!!

=VO1∈1/4! "!!!!

+ AO1! "!!!

∧Ω1/4

! "!!= −R1y4

!"!( )∧ ω1/4

"z( ) = −R1ω1/4 x4!"!

(Formule de Varignon)

et VA∈4/2! "!!!!

=VO2∈4/2! "!!!!!

+ AO2

! "!!!∧Ω4/2

! "!!!= R2 y4

!"!( )∧ ω4/2

"z( ) = R2ω4/2 x4!"!

On en déduit alors une première relation :

R1ω1/4 − R2ω4/2 = 0 [1]

CI4 : Performances des chaînes de transmissionCI4 : Performances des chaînes de transmission

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C.3.2. Condition de roulement sans glissement en B

VB∈2/3! "!!!!

="0⇒VB∈2/4! "!!!!

+VB∈4/3! "!!!!

="0

Or VB∈2/4! "!!!!

=VO2∈2/4! "!!!!!

+ BO2

! "!!!∧Ω2/4

! "!!!= −R '2 y4

!"!( )∧ ω2/4

"z( ) = −R '2ω2/4 x4!"!

et VB∈4/3! "!!!!

=VO3∈4/3! "!!!!!

+ BO3

! "!!!∧Ω4/3

! "!!!= −R3y4

!"!( )∧ ω4/3

"z( ) = −R3ω4/3x4!"!

On en déduit alors une seconde relation :

R '2ω2/4 + R3ω4/3 = 0 [2]

C.3.3. Formule de Willis

De la relation [1], on tire ω4/2 =R1R2ω1/4

De la relation [2], on tire ω4/2 =R3R '2

ω4/3 = −R3R '2

ω3/4

Soit au final la formule de Willis :

ω1/4ω3/4

=ω1 −ω4

ω3 −ω4

= −R2.R3R1.R '2

= λ Formule de Willis

C.3.4. Moyen simple de détermination du rapport de transmission

La méthode la plus efficace pour retrouver la formule de Willis est d’imaginer l’arbre porte-satellite immobile, et de traiter le train épicycloïdal comme un train de 2 réducteurs simples.

On exprime alors le rapport de transmission en prenant comme référence l’arbre porte-satellite :

λ =ωsortie −ω porte−satellite

ωentrée −ω porte−satellite

= −1( )nZmenantes∏Zmenées∏

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Transmission d’un mouvement de rotation COURS

Trains épicycloïdaux Edition 1 - 04/03/2018

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C.3.5. Autre expression de la formule de Willis

La formule de Willis peut également s’écrire de la façon suivante. Il s’agit alors de la formule de Ravignaux :

ω1 −λω3 + λ −1( )ω4 = 0

C.4. Condition de montage

Les trains épicycloïdaux peuvent comporter 1 ou plusieurs satellites. La configuration la plus fréquente comporte 3 satellites, car elle permet de répartir le couple sans être au détriment de l’encombrement.

C.4.1. Train à 1 satellite

La condition de montage est r3 = r1 +d2

Donc mZ3 = mZ1 +2mZ2

Z3 = Z1 +2Z2

C.4.2. Train à 2 satellites

La condition de montage doit respecter un nombre de dents entier :

Z22+Z12+Z22+Z32= entier , soit Z2 +

Z1 + Z32

= entier

Z1 + Z3 pair

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C.4.3. Train à 3 satellites

On utilise le même raisonnement que précédemment :

Z22+Z13+Z22+Z33= entier , soit Z2 +

Z1 + Z33

= entier

Z1 + Z3 multiple de 3

C.4.4. Généralisation

Le raisonnement est valable quel que soit le nombre de satellites.

On retiendra donc que pour qu’un train épicycloïdal comportant n satellites soit montable, il faut que la somme des nombres de dents des planétaires soit un multiple de n.

C.5. Trains épicycloïdaux particuliers

C.5.1. Trains complexes

Un train épicycloïdal complexe est l’association de plusieurs trains épicycloïdaux en série. Souvent employés dans les boîtes de vitesses automatiques, ce type de train s’étudie en appliquant la formule de Willis de façon successive.

Exemple du «Train Simpson»

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C.5.2. Différentiel

Le différentiel est un train épicycloïdal à 1 entrée et 2 sorties, dit «sphérique», qui permet à partir d’une vitesse de rotation d’entrée d’obtenir 2 vitesses de rotation différentes en sortie.

Ce différentiel, installé sur les véhicules, permet de garantir le non glissement des roues motrices dans un virage.

Dans ce différentiel, les planétaires sont les couronnes 1 et 3 liées aux roues, et les satellites sont les pignons

3. Le porte-satellite est le corps du différentiel 4.

La formule de Willis appliquée à ce différentiel permet alors d’écrire :

ω1/4ω3/4

= −Z3Z2.Z2Z1

Or Z1 = Z3 , donc ω1 −ω4

ω3 −ω4

= −1

En ligne droite : ω1 =ω3 et ω4 =ω1 =ω3

En virage : ω1 ≠ω3 et ω4 =ω1 +ω3

2

L’inconvénient de ce dispositif est lié à la répartition du couple : si une roue est en perte d’adhérence, ou se retrouve hors de la route, alors le couple moteur ira intégralement vers cette roue. C’est la raison pour laquelle un véhicule dont une roue est dans le vide ou patine ne pourra plus avancer, même si l’autre roue est en adhérence.

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