Denis Prtre, dernire rvision : 25/01/20021 Transmission sur lignes Rfrences:Cours 1998 de C. Brielmann Leitungstheorie, G. S. Moschytz, U. Brugger et J. Rosenblatt 1Introduction Une ligne lectrique est une structure deux conducteursparallles dont la gomtrie transversale estuniforme sur toute la longueur. Les principales gomtries sont : - la ligne coaxiale - la ligne bifilaire symtrique - la ligne bifilaire torsade - la ligne microruban Le comportement d'une ligne ne satisfait pas aux quations de Kirchoff car les temps de propagation ne sont plus ngligeables. Par exemple, un instant donn, le courant entrant dans la ligne n'est pas gal au courant sortant l'autre extrmit, en particulier dans le cas d'un saut de courant. La Figure 1 illustre le cas dun rgime harmonique (le signal inject est de forme sinusodale). IIEHII++++++++ + Q < 0 Q > 0+++++++++ Q < 0 Q > 0 Q < 0+++++++++Q > 0II+++++++++Q > 0 Q < 0II Figure 1 Transmission sur lignes 2 Pour que la thorie qui suit soit valable, on demande de plus que lloignement des conducteurs soit petit par rapport la longueur donde du signal, sinon on a des effets tels que ceux qu'illustre la Figure 2. II Q < 0+++++++++Q > 0II+++++++++Q > 0 Q < 0E Figure 2 2Reprsentation dune ligne 2.1Niveau macroscopique Dans la plupart des cas, une ligne est branche sur un gnrateur d'impdance Zg et une charge ZT (terminaison). Nous utiliserons la coordonne z dans le sens gnrateur charge et la coordonne d=Lz dans l'autre sens (voir Figure 3). zd00LLGnrateur ChargeZGZTLigne Figure 3 Transmission sur lignes 3 2.2Niveau microscopique tronon lmentaire Toute ligne rgulire et uniforme se laisse reprsenter lectriquement par une somme de tronons lmentaires trs petits (longueur dz), comme lillustre la Figure 4. Le comportement de la ligne n'est vraiment quivalent qu' la limite quand dz 0. dz Figure 4 La reprsentation dun seul tronon lmentaire est illustre par la Figure 5.R'.dz L'.dzG'.dz C'.dz v(z,t) v(z+dz,t)i(z,t) i(z+dz,t) Figure 5 2.2.1Paramtres primaires Chaque tronon lmentaire est caractris par les quatre paramtres suivants : -la rsistance liniqueR[/m] -la conductance liniqueG[S/m] -l'inductance liniqueL[H/m] -la capacit liniqueC[F/m] Ces paramtres sont dtermins par la gomtrie transversale de la ligne partir des quations de Maxwell et des proprits conductrices et dilectriques des matriaux constituant la ligne. LesparamtresLetCsontdonnsenannexe;ilssontindpendantsdelafrquencejusqu' 1 GHz environ. Le paramtre R reprsente les pertes ohmiques dansles conducteurs. Comptetenudel' effet pelliculaire (en anglais : skin effect), R augmente avec la frquence. LeparamtreGreprsentelespertesdilectriquesdansl'isolantentrelesdeuxlignes.Il augmente aussi avec la frquence mais reste pratiquementngligeable en-dessous de 1 MHz. On le dfinit souvent par rapport au facteur de qualit Q : Q' C' G (1) Quelques exemples : Polythylne :Q 5000 Polystyrne :Q 5000 Transmission sur lignes 4 Lorsque les paramtres R et G sont nuls, on dit que la ligne est sans pertes. Cette simplification est trs souvent admise pour les lignes courtes. 2.2.1.1Ligne coaxiale Pour une ligne coaxiale on montre que : fd1d1' Re i0

,_

+ (2)

,_

ie0 rddln2' C (3)

,_

ie 0 rddln2' L (4) avec : rsistivit des conducteurs [m]Cu 20 C :=17,5 nm + 3,9/C Al 20 C :=27,8 nm + 4,0/C diDiamtre du conducteur intrieur [m] deDiamtre du conducteur extrieur [m] 0Permittivit du vide [As/Vm]0 = 8.854210-12 As/Vm 0Permabilit du vide [Vs/Am]0 = 410-7 Vs/Am rPermittivit relative de lisolant [-]Polythylne :r 2.3 Polystyrne :r 2.5 rPermabilit relative de lisolant [-]La plupart du temps,r 1 2.2.1.2Ligne bifilaire symtrique Pourunelignesymtriquel'effetpelliculaireenhautefrquenceestmodifiparlaproximit desconducteurs.Lecalculestcomplexeetsetrouvedanslalittraturespcialise.Maisces lignessontsurtoututilisesenbassefrquenceet,jusqu'unedizainedekHz,l'effet pelliculaire peut tre nglig. 2.2.2Analyse du tronon lmentaire EnappliquantlesloisdeKirchoffaucircuitdelaFigure5(Dveloppementcompletdans lannexe 2), on obtient l' quation des lignes : ( ) ) t , z ( v ' G ' Rt) t , z ( v' C ' R ' G ' Lt) t , z ( v' C ' Lz) t , z ( v2222 + + + (5) o v(z, t) est la tension en un point z de la ligne au temps t. Transmission sur lignes 5 Cettequationdiffrentielledeuxvariablesnapasdesolutiongnraleanalytique. Nanmoins des solutions existent pour des cas particuliers. Ligne sans perteSi Ret Gsont nuls, alors on a une quation des ondes classique. Rgime harmoniqueLe signal transport est de forme sinusodale. Dans ce cas, la rsolution de (5) est aise. 3Ligne sans pertes Si R et G sont nuls, lquation des lignes (5) se simplifie : 2222t) t , z ( v' C ' Lz) t , z ( v (6) Lquation (6) est une quation donde classique. On pose : 222ph22t) t , z ( vv1z) t , z ( v (7) La vitesse de phase vph (dans ce cas prcis on a vph = vgr) caractrise la vitesse de propagation de londe. On trouve finalement (c: vitesse de la lumire) : r rphc' C ' L1v (8) Les solutions de (7) sont des fonctions vp(x) + vr(x), drivables deux fois, dont l'argument x est linaire en t et z : ) t v z ( v ) t v z ( v ) t , z ( vph r ph p + + (9) o :vp(zvpht)onde progressive non dformable vr(z+vpht)onde rflchie non dformable Londe progressive se dplace dans le sens de z et londe rflchie dans le sens de d (voir Figure 3 page 2). Ces deux fonctions vp et vr sont lies par les conditions aux extrmits (gnrateur et charge). Par exemple si la ligne est termine par un court-circuit en z=L, on a : V 0 ) t v L ( v ) t v L ( v ) t , L ( vph r ph p + + (10) On en conclut que, pour toute valeur t, on a : ) L ( v ) L ( vp r (11) Cette situation est illustre par la Figure 6. On considre 3 valeurs de t : t1Londe progressive se dplace normalement du gnrateur vers le court-circuit. t2Londe se situe en bout de ligne. Le court-circuit gnre une onde rflchie de tension oppose celle de londe progressive de sorte que la tension en z=L soit toujours nulle. t3Londe rflchie se dplace normalement du gnrateur vers le court-circuit. Elle a une tension de signe oppos celle de londe progressive. Transmission sur lignes 6 zt1z=Lt3t2v(z,t) = vp(zvph.t) + vr(z+vph.t) VphVphvp(zvph.t)vr(z+vph.t) VphVph Figure 6 4Rgime harmonique Le rgime harmonique admet que la tension et le courant varient sinusodalement dans le temps en tout lieu sur la ligne. Pour la tension, on aura la forme gnrale: )) z ( t cos( ) z ( V 2 ) t , z ( veff + (12) La valeur efficace Veff et la phase dpendent du lieu. On dfinit lephaseur de la tension par (lettre majuscule) : ) z ( jeffe ) z ( V ) z ( V (13) On retrouve la fonction du temps ainsi : ( ) ( ) ( ) ) z ( V arg t cos ) z ( V 2 e ) z ( V 2 Re ) t , z ( vt j+ (14) La notion de phaseur est trs importante dans le domaine des tlcommunications; elle permet de saffranchir de la variable temporelle t en rgime harmonique. Ainsi, on retrouve des phaseurs lorsque lon tudie les diffrents types de modulations (AM, FM, PM, QAM, etc.). A prsent on rsout (5) laide de (13) et (14) : ( ) ) z ( V ' G ' R ) z ( V ' C ' R ' G ' L j ) z ( V ' C ' Lz) z ( V222 + + + (15) En simplifiant : ) z ( V ) z ( V ) ' C j ' G ( ) ' L j ' R (z) z ( V222 + + (16) La solution de cette quation est: z2z1e V e V ) z ( V + (17) avec :) ' C j ' G ( ) ' L j ' R ( j + + + (18) Le terme z1e V de (17) correspond londe progressive et le terme z2e V correspond londe rflchie. Transmission sur lignes 7 On a : V1 et V2Constantes complexes Exposant linique de propagation [m-1] Affaiblissement linique [Np/m] Dphasage linique [rad/m] Si la ligne est sans perte (R= G= 0), on obtient le cas particulier : ' C ' L j j (19) 4.1Affaiblissement linique On considre une ligne de longueur infinie sur laquelle se dplace une onde progressive seulement (pas donde rflchie : on verra plus tard que ce cas priori irraliste est possible en adaptant limpdance de terminaison ZT voir 4.5 page 10). On a : ( ) ( )) z t ( j z1t j z ) j (1e e V 2 Re e e V 2 Re ) t , z ( v + (20) ( ) ( )1z1V arg z t cos e V 2 ) t , z ( v + (21) Cest une onde progressive qui sattnue exponentiellement. La Figure 7 illustre v(z, t=0) et v(z, t=T/4) pour un cas particulier deV1, , et . On constate que londe se dplace en sattnuant de gauche droite le long de z. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.910.50.51V1 2 V1 2 v z t 0 , ( )v z t 1 , ( )0 V1 e z ( )e z ( ) zmax zmin z Figure 7 On appelle affaiblissement linique le paramtre : ) Re( [Np/m] (22) On le donne trs souvent en dB, sachant que : 686 . 8dB [dB/m](23) En fait, 8.686 = 20/ln(10). L'affaiblissement d'un tronon de ligne de longueur L, sans onde rflchie, vaut donc : ( ) L L) 10 ln(20e log 20) L z ( V) 0 z ( Vlog 20 AdBL11dB (24) Transmission sur lignes 8 Si on imagine prsent une onde qui serait compose exclusivement dune onde rflchie (situation purement thorique), on obtient le cas troublant suivant : ( ) ( )) z t ( j z1t j z ) j (1e e V 2 Re e e V 2 Re ) t , z ( v + + (25) ( ) ( )1z1V arg z t cos e V 2 ) t , z ( v + + (26) Cest une onde rflchie qui augmente exponentiellement le long de z ! Pas de panique. Il faut bien comprendre que cette onde se dplace en fait dans le sens de d, donc dans le sens contraire de z. Elle sattnue donc exponentiellement dans son sens de propagation. La Figure 8 illustre v(z, t=0) et v(z, t=T/4) pour un cas particulier deV2, , et . On constate que londe se dplace en sattnuant de droite gauche le long de d. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.910.50.51V1 2 V1 2 v z t 0 , ( )v z t 1 , ( )0 V1 e z ( )e z ( ) zmax zmin z Figure 8 A noter que dans une ligne sans pertes, = 0 (voir lquation (18)). 4.2Dphasage linique On appelle dphasage linique le paramtre : ) Im( [rad/m](27) Il est dans le domaine spatial ce que la pulsation est au domaine temporel. La priode spatiale sappelle longueur donde et est note par le symbole . EspaceTemps 2 2 T (28) A noter que et sont lis par la trs importante formule suivante : phv (29) Les formules (28) et (29) sont connatre par cur. Transmission sur lignes 9 4.3Vitesse de phase et vitesse de groupe Les vitesses de phase et de groupe sont dfinies ainsi : Vitesse de phaseVitesse de groupe phv grv (30) La vitesse de phase sur une ligne est infrieure la vitesse c d'une onde lectromagntique dans le vide. On appelle coefficient de vitesse, le rapport vph/c. Il dpend essentiellement de la permittivit relative du dilectrique r et varie habituellement entre 0,7 et 0,9. La vitesse de phase correspond la vitesse avec laquelle le zro dune impulsion sinusodale se dplace. La vitesse de groupe est la vitesse avec laquelle lenveloppe dune impulsion sinusodale se dplace. Les vitesses de phase et de groupe sont illustres par la Figure 9. vphvphvphvphvphvgrzv(z) Figure 9 Idalement, les vitesses de phase et de groupe sont gales. Lorsque ce nest pas le cas, on a de la dispersion. Le principe de la dispersion est illustr par la Figure 10. Si on gnre une impulsion de dure T1 au dbut dune ligne dispersive, celle-ci arrive en terminaison dforme et de dure T2>T1. A noter galement le retard pur en terminaison, valable galement pour une ligne non dispersive. LigneT1T2ligne idaleligne dispersive Figure 10 Attention La dispersion nest pas le seul phnomne qui dforme et largit les impulsions ! Un filtre passe-bas provoque le mme effet, mme sil nest absolument pas dispersif ! Transmission sur lignes 10 4.4Impdance caractristique Considrons une ligne infinie sur laquelle n'existe pas d'onde rflchie (voir Figure 11). z 0GnrateurZGLigneV(z)I(z)Z0 => Z0 => Figure 11 Les phaseurs de tension et de courant sont donns par : z1e V ) z ( V (31) z1e I ) z ( I (32) Limpdance caractristique est le rapport des phaseurs de tension et de courant pour une onde progressive. On obtient (voir le dveloppement complet dans lannexe 2) : ' C j ' G' L j ' RIVe ) z ( Ie ) z ( V) z ( I) z ( VZ11z1z10 + + (33) 4.5Adaptation Si limpdance de terminaison est gale limpdance caractristique (ZT = Z0), alors on est exactement dans la mme situation quune ligne de longueur infinie. On parle alors dadaptation. Du point de vue du gnrateur, la Figure 11 et la Figure 12 sont strictement identiques. z 0GnrateurZGLigneV(z)I(z)Z0 => Z00LdL Figure 12 On constate :a) Une ligne termine par son impdance caractristique n'a pas d'onde rflchie. b) L'impdance l'entre d'une telle ligne estZ0. De manire gnrale, on a Z(z) = Z0 quel que soit z. Ladaptation dune ligne est trs souvent dsire pour viter les rflexions. Transmission sur lignes 11 4.6Comportement en basse frquence On admet L> R et C>> G. On obtient pour les paramtres secondaires :

,_

+ ' C' L' G' L' C' R21HF[Np/m] (39) ' C ' LHF [rad/m](40) ' C' LZHF 0 [](41) ' C ' L1v vHFgrHFph (m/s) (42) On constate :a) L'affaiblissement linique varie en f cause de l'effet pelliculaire tant que G reste ngligeable. b) L'impdance caractristique ne dpend plus de la frquence et est purement relle (Z0=R0). Les valeurs usuelles sont 50, 75, 300 . c)Les vitesses de phase et de groupe sont identiques et ne dpendent plus de la frquence. Transmission sur lignes 12 4.7.1Comportement dune ligne sans perte Le comportement dune ligne sans perte est identique au comportement HF lexception de laffaiblissement linique qui est nul. 4.7.2Conclusion Le comportement HF est quasiment toujours souhait. Anciennement, on rpartissait des inductances le long des lignes tlphoniques (88,5 mH tous les 1830 m) afin damliorer le rapport L/R et par consquent le comportement de la ligne en basse frquence. Ce procd est appel pupinisation. Malheureusement, les lignes pupinises ont une bande passante trs limite et ne peuvent pas tre utilises pour lesmultiplex numriques 2B+D ou 2 Mbit/s. Pour cela elles doivent tre dpupinises. 4.7.3Exemple dapplication Ligne coaxiale PTT 2,6/9,5 100 kHz: R=12,8 /km, L=0,265 mH/km, G=1 nS/km (environ) et C=47 nF/km. Le comportement haute frquence est valable dans ce cas ds 100 kHz. A cette frquence, on obtient en calculant exactement (pas dapproximation) : kmdB694 . 0 kmrad219 . 2 km 832 . 2 c 9439 . 0 vph c 9451 . 0 vgr 7 . 2 j 14 . 75 Z0 Avec les approximations HF du 4.7, on aurait obtenu : kmdB694 . 0 kmrad217 . 2 km 834 . 2 c 945 . 0 v vgr ph 09 . 75 Z0 4.8Ligne dsadapte cas gnral Au long de cet (trs) important chapitre, nous allons travailler avec le schma dfini par la Figure 13. 0ZGVinI(z)Zi nZT, T0LdLin=>V(z)VTZ(z)(z)z=> Figure 13 Rappelons limportante quation (17) pour une ligne non adapte : z2z1e V e V ) z ( V + (43) Transmission sur lignes 13 On montre la relation suivante pour le phaseur de courant : ) e I ( e I e I e I ) z ( Iz2z1z2z1 + (44) On prfre parfois employer le phaseur rflchi I2 que +I2 car le courant rflchi se dplace dans le sens de d et non de z, comme lindique la Figure 14. z 0ZGV1etI1etZT0LdL=>V2etI2et= >sens positif de Vsens positif de I Figure 14 La Figure 14 est quelque peu trompeuse en ce sens que lon pourrait croire que les ondes progressive (V1(z), I1(z)) et rflchie (V2(z), I2(z)) sont localises en des endroits bien prcis de z et pas ailleurs. En fait, les ondes progressive et rflchie sont prsentes simultanment partout sur la ligne ! Les quations (43) et (44) sont valables pour toutes les valeurs de z. Les ondes progressive et rflchie sont individuellement soumises limpdance Z0, un peu comme si comme chacune de ses ondes parcourait individuellement une ligne adapte (voir (33)). On conclut : 11z1z10IVe Ie VZ (45) 22z2z20IVe Ie VZ (46) 4.8.1Coefficient de rflexion Le coefficient de rflexion (z) est extrmement important. On le dfinit par le rapport entre le phaseur de tension de londe rflchie divis par celui de londe progressive : z 2inz 212z1z2e eVVe Ve V) z ( [](47) Le coefficient 12inVV) 0 z ( correspond au coefficient de rflexion en dbut de ligne. Le coefficient L 2in Te ) L z ( correspond au coefficient de rflexion en terminaison. Lquation (47) sexprime encore ainsi : ( ) L z 2Tz 2ine e ) z ( (48) d 2T) d L ( 2ine e ) d ( (49) Transmission sur lignes 14 Si on veut dfinir par rapport aux phaseurs de courant, on trouve selon (45), (46) et (47) : z 2inz 212 z 21 02 0 z 212e eIIeI ZI ZeVV) z ( (50) et on en conclut que : 1212inIIVV (51) On constate :a)Si la ligne est adapte (cas particulier), (z)=0 quel que soit z. b) (z) est priodique de priode /2. c)Si la ligne est sans pertes (=0, =j), on remarque daprs (48) que T in) z ( constant quel que soit z. La Figure 15 illustre le parcours de pour une ligne avec pertes.ReImz=0inz(z0)z0z0+/2z=Ld Figure 15 Le module de diminue avec d et augmente avec z. La courbe de (z) effectue une rotation de 360 degrs chaque priode /2. A noter que si la ligne tait sans pertes, le parcours de (z) serait circulaire et non en forme de spirale. 4.8.2Phaseurs pour une ligne dsadapte Les quations (43) et (44) se laissent crire ainsi en tenant compte de (50) : ( ) ) z ( 1 e V ) z ( Vz1 + (52) ( ) ) z ( 1 e I ) z ( Iz1 (53) Lorsque z=0, on a les cas particuliers suivants : ( )in1 2 1 in1 V V V V + + (54) ( )in1 2 1 in1 I I I I + (55) Transmission sur lignes 15 On en conclut (toujours en z=0) : inin11VV + 1in2V V (56) inin11II 1in2I I (57) 4.8.3Impdance dune ligne dsadapte Enprsenced'uneonderflchie,l'impdancelelongdelalignen'estplusconstantemais vaut : ( )( ) ) z ( 1 e I) z ( 1 e V) z ( I) z ( V) z ( Zz1z1 + ()(58) On simplifie en tenant compte de (45) : ) z ( 1) z ( 1Z ) z ( Z0 + (59) Par rapport d, on trouve : ) d ( 1) d ( 1Z ) d ( Z0 + (60) Ce rsultat dpend indirectement des constantesV1 et V2 qui dpendent leur tour des conditions aux extrmits (gnrateur et charge). On dduit facilement de (59) et (60) les relations suivantes : 00Z ) z ( ZZ ) z ( Z) z (+ (61) 00Z ) d ( ZZ ) d ( Z) d (+ (62) A la charge, les relations ci-dessus donnent : 0 T0 TTZ ZZ Z+ (63) D'o l'impdance en fonction de la charge et de la distance : ) L z ( 2T) L z ( 2T0e 1e 1Z ) z ( Z + (64) d 2Td 2T0e 1e 1Z ) d ( Z + (65) On constate :a)Si ZT=Z0 (adaptation), on a T=(z)=0, Z(z)=Z0, V(z)=V1e-z b) Si ZT=0 (court-circuit), on a T = 1. c)Si ZT= (ligne ouverte), on a T = 1. Transmission sur lignes 16 4.8.3.1Exemple dapplication Soit une ligne avec les coordonnes suivantes : Zg = 50 impdance du gnrateur Z0 = 75 impdance caractristique de la ligne ZT = 200 impdance de terminaison = 2 dB/kmaffaiblissement linique vph = 2.8108 m/svitesse de phase de la ligne Vgen = 10 VeffValeur efficace du signal au gnrateur f = 1 MHzfrquence du sinus L = 1kmlongueur de la ligne 1)Donner lnergie dissipe par limpdance de terminaison. 2)Dterminer (z), Z(z), |V(z)| et |I(z)| 3)Donner les tensions v(0, t) et v(L, t). On rsout en suivant soigneusement les tapes : a)On trouve et : m 28010 110 8 . 2fv68ph (66) mrad10 244 . 222 - (67) b)On convertit : mNp10 255 . 2kmNp2255 . 0kmdB24 (68) c)On trouve : 1 -2 4m 10 244 . 2 j 10 255 . 2 j + + (69) d)On calcule le coefficient de rflexion la terminaison : 455 . 075 20075 200Z ZZ Z0 T0 TT++ (70) e)On remonte le coefficient de rflexion jusqu la sortie du gnrateur :226 . 0 j 181 . 0 eL 2T in (71) f)On calcule limpdanceZin : + 97 . 46 j 07 . 9511Z Zinin0 in(72) Transmission sur lignes 17 g)Le schma de la Figure 13 est simplifi en z=0 par la Figure 16. ZGZi nVgenVi nIin Figure 16 On trouve Vin :eff146 . 0 jineffin Gingen inV e 954 . 6 VV 01 , 1 88 . 6Z ZZV V + (73) h)Selon (52), on trouve en z=0 : ( )in1 in1 V V +

,_

inininZVI (74) Donc, toujours pour z=0 (voir galement lquation(56)) : effinin1V 253 . 0 j 78 . 51VV + + (75) i)On reprend (52) pour z=L (phaseur de tension en terminaison) : ( )eff736 . 2 jTeffTL1 TV e 716 . 6 VV 647 . 2 172 . 6 1 e V V + + (76) k)Puissance dissipe dans ZT : mW 226ZVRe PT2T

,_

(77) On dtermine encore (z) et Z(z) au moyen de (48) et (59) : ( ) L z 2Te ) z ( ) z ( 1) z ( 1Z ) z ( Z0 + (78) Transmission sur lignes 18 Le rsultat est illustr par la Figure 17. 1 0.5 0 0.5 110.500.51Im z ( ) ( )Re z ( ) ( )200 100 0 100 2002001000100200Im Z z ( ) ( )Re Z z ( ) ( ) Figure 17 On voit que limpdance Z(z) devient parfois trs petite. Le module |Z(z)| est illustr par la Figure 18. 0 200 400 600 800 10000100200ZT0 Z z ( )zmax zmin z Figure 18 On constate comme prvu une priodicit de /2=140 m. On dtermine V(z) et I(z) au moyen de(52) et (58) : ( ) ) z ( 1 e V ) z ( Vz1 + (79) ) z ( Z) z ( V) z ( I (80) 0 200 400 600 800 10000510Vg0 Vg V z ( )zmax zmin z Transmission sur lignes 19 0 200 400 600 800 100000.05100 mA 0 mA I z ( )zmax zmin z Figure 19 On constate que la tension efficace varie le long de la ligne entre 7.5 Veff et 4 Veff. Pour la tension v(z=0, t), on trouve : ( ) V ) 146 . 0 t f 2 cos( 835 . 9 e V Re 2 ) t , 0 ( vt f 2 jin (81) Pour la tension v(z=L, t), on trouve : ( ) V ) 736 . 2 t f 2 cos( 498 . 9 e V Re 2 ) t , L ( vt f 2 jT+ (82) 4.9Ligne sans pertes dsadapte Lexemple prcdent est assez compliqu du fait que lon tient compte des pertes. Si lanalyse temporelle v(z=z0, t) reste possible, lanalyse spatiale v(z, t=t0) est extrmement lourde; il est quasi- impossible de sen sortir sans laide dun logiciel performant de type Mathcad. Si la ligne est considre comme sans pertes (=0, =j), lanalyse peut tre plus pousse et les rsultats sont plus intressants. 4.9.1Phaseur de tension pour une ligne sans pertes et dsadapte On r-crit (52) pour une ligne sans pertes, en tenant compte de (48) et (49) : ( )) L z ( 2 jTz j1e 1 e V ) z ( V + (83) ( )d 2 jT) L d ( j1e 1 e V ) d ( V + (84) Retenons uniquement (84) et considrons le module : d 2 jT1e 1 V ) d ( V + (85) Transmission sur lignes 20 Cette fonction varie le long de la ligne, comme lexplique la Figure 20. 1(d)V(d)/V1d|V|min/|V1|r = |T|= |in|ReIm|V|max/|V1| Figure 20 A chaque demi- longueur donde /2, le coefficient de rflexion fait un tour complet. Si on avait considr une ligne avec pertes, une spirale remplacerait le cercle de la Figure 20. On dduit immdiatement : ( ) | | 1 V VT1max + (86) ( ) | | 1 V VT1min (87) Ces deux quations bien pratiques permettent de connatre les valeurs min et max de la tension sur laligne. On dfinit le rapport d'onde stationnaire : TTminmax11VVROS + (88) Le ROS permet donc de mesurer simplement le coefficient de rflexion (module seulement). On constate :a)Si ZT=Z0 (adaptation), on a V(z)=V1, donc |V|max = |V|min = |V1|. Le cercle de la Figure 20 a un rayon nul, ce nest quun point. b) Si ZT=0 (court-circuit) ou si ZT= (ligne ouverte), on a |T| = 1. Le cercle de la Figure 20 a un rayon r=1, il passe donc par lorigine. On a |V|max=2|V1|,|V|min=0 et ROS=. Cela signifie quil existe des endroits o il ny a pas de tension du tout (|V|min=0) et dautres ou la tension est gale deux fois londe progressive (|V|max=2|V1|). 4.9.1.1Emplacement des min et max Les quations (86) et (87) ne disent rien quant lemplacement des min et des max de |V(z)| le long de z ou d. En examinant la Figure 20, on dduit pour |V|max : Td 2 jTmaxmaxe ) d ( (89) On dveloppe un peu : ( ) 2 k jTd4jarg jTe e emaxTavec kZ(90) Transmission sur lignes 21 et on trouve, en comparant les arguments : ( )2k arg4dTmax + avec kZ(91) En tenant un raisonnement identique, on trouve dmin : ( ) ( )2k arg4dTmin + + avec kZ(92) 4.9.1.2Exemple dapplication (avec charge en terminaison) Soit une ligne sans pertes avec les coordonnes suivantes : Zg = 50 impdance du gnrateur Z0 = 75 impdance caractristique de la ligne ZT = 100 + j100 impdance de terminaison vph = 2.8108 m/svitesse de phase de la ligne Vgen = 10 VeffValeur efficace du signal au gnrateur f = 1 MHzfrquence du sinus L = 1 kmlongueur de la ligne 1)Donner le ROS. 2)Donner les valeurs de tension maximales et minimales sur la ligne et leurs emplacements. a)On trouve =280 m et =2.24410-2 rad/m. b)On calcule le coefficient de rflexion la terminaison : 807 . 0 j0 T0 TTe 511 . 075 j 100 10075 j 100 100Z ZZ Z + + ++ (93) c)On remonte le coefficient de rflexion jusqu la sortie du gnrateur :046 . 0 j 509 . 0 eL4jT in (94) d)On calcule limpdance Zin : + 7 . 28 j 22811Z Zinin0 in(95) e)En z=0, on a le shma quivalent suivant : ZGZi nVgenVi nIin Figure 21 On trouve Vin :effin Gingen inV 184 . 0 j 22 . 8Z ZZV V + (96) Transmission sur lignes 22 f)Selon (56), on trouve pour z=0 : eff0084 . 0 jeffinin1V e 445 . 5 V 046 . 0 j 445 . 51VV + + (97) g)On a donc les valeurs de tension maximales et minimales suivantes (phaseurs) : ( )( )effT1mineffT1maxV 66 . 2 | | 1 V VV 23 . 8 | | 1 V V + (98) h)Attention, les valeurs donnes correspondent des phaseurs. Si on veut les valeurs de tension relles, on a : v(z, t)max=11.64 V et v(z, t)min = 3.76 V. i)Voyons o se situent les nuds et les ventres. ( )2k arg4dTmax + avec kZ(99) ( ) ( )2k arg4dTmin + + avec kZ(100) Si on tablit un tableau : dzMAXMIN 17.97 m982.03 mx 87.97 m912.03 mx 157.97 m842.03 mx 227.97 m772.03 mx 297.97 m702.03 mx 367.97 m632.03 mx 437.97 m562.03 mx 507.97 m492.03 mx 577.97 m422.03 mx 647.97 m352.03 mx 717.97 m282.03 mx 787.97 m212.03 mx 857.97 m142.03 mx 927.97 m72.03 mx 997.97 m2.03 mx Transmission sur lignes 23 La Figure 22 illustre le rsultat |V(z)| calcul avec Mathcad : 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 10000510Vg0 Vg V z ( )VmaxVminzmax zmin z Figure 22 Si on calcule la valeur instantane v(z, t) pour diffrentes valeurs de t, on a le rsultat de la Figure 23. 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 100010505102 Vmax 2 Vmax v z t0 , ( )v z t1 , ( )v z t2 , ( )v z t3 , ( )v z t4 , ( )v z t5 , ( )v z t6 , ( )v z t7 , ( )V z ( ) 2 V z ( ) 2 zmax zmin z Figure 23 En ligne continue est dfinie lenveloppe des tensions possibles sur z, en lignes traitilles sont donnes quelques possibilits v(z, t=ti). Transmission sur lignes 24 4.9.1.3Exemple dapplication (avec court-circuit en terminaison) Reprenons exactement les mmes donnes qu'au 4.9.1.2, mais avec un court-circuit en terminaison (ZT = 0, T= 1). Sans refaire tout le dveloppement, voici l'quivalent de la Figure 23 : 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000100102 Vmax 2 Vmax v z t0 , ( )v z t1 , ( )v z t2 , ( )v z t3 , ( )v z t4 , ( )v z t5 , ( )v z t6 , ( )v z t7 , ( )V z ( ) 2 V z ( ) 2 zmax zmin z Figure 24 On constate :a)Il y a des valeurs de z (appelsdes nuds) o la tension est toujours nulle ! Ces points reprsentent des court-circuits locaux. b) Il y a des valeurs de z (appelsdes ventres) o l'oscillation est maximale (|V|max=2|V1|). Transmission sur lignes 25 4.9.1.4Exemple dapplication (avec ligne ouverte en terminaison) Reprenons exactement les mmes donnes qu'au 4.9.1.2, mais avec une ligne ouverte en terminaison (ZT = , T=1). Sans refaire tout le dveloppement, voici l'quivalent de la Figure 23 : 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 100010505102 Vmax 2 Vmax v z t0 , ( )v z t1 , ( )v z t2 , ( )v z t3 , ( )v z t4 , ( )v z t5 , ( )v z t6 , ( )v z t7 , ( )V z ( ) 2 V z ( ) 2 zmax zmin z Figure 25 On constate :a)Il y a des valeurs de z (appelsdes nuds) o la tension est toujours nulle, quand bien mme la ligne est ouverte en terminaison ! Ces points reprsentent des court-circuits locaux. b) Il y a des valeurs de z (appelsdes ventres) o l'oscillation est maximale (|V|max=2|V1|). Transmission sur lignes 26 4.9.1.5Exemple dapplication (avec adaptation en terminaison) Reprenons exactement les mmes donnes qu'au 4.9.1.2, mais avec une ligne adapte en terminaison (ZT = Z0, T=0). Voici encore une fois l'quivalent de la Figure 23 : 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 10005051.5 Vmax 1.5 Vmax v z t0 , ( )v z t1 , ( )v z t2 , ( )v z t3 , ( )v z t4 , ( )v z t5 , ( )v z t6 , ( )v z t7 , ( )V z ( ) 2 V z ( ) 2 zmax zmin z Figure 26 On constate qu'il n'y a plus ni ventres ni nuds; il ne reste qu'une onde progressive qui se dplace du gnrateur la charge. 4.9.2Comportement de l'impdance Z(d) pour ZT = 0 ou ZT = Lorsque la terminaison d'une ligne sans pertes est un court-circuit (T= 1), onr-crit (60) l'aide de (49) : ( ) d tg Z je ee eZe 1e 1Ze 1e 1Z ) d ( Z0d j d jd j d j0d 2 jd 2 j0d 2Td 2T0 + + + (101) Lorsque la terminaison d'une ligne sans pertes est une ligne ouverte (T= 1), onobtient : ( ) d tgZ je ee eZe 1e 1Ze 1e 1Z ) d ( Z0d j d jd j d j0d 2 jd 2 j0d 2Td 2T0 + + + (102) Dans les deux cas ci-dessus les impdances sont purement ractives (pertes ngliges). De tels tronons appels stubs sont utiliss en UHF et en hyperfrquence pour remplacer des ractances localises.Transmission sur lignes 27 4.10Abaque de Smith L'abaque de Smith permet de dterminer graphiquement, en rgime harmonique, l'impdance et le coefficient de rflexion le long d'une ligne dsadapte et sans pertes. La mthode est base sur les relations (49) et (62), que lon rappelle ici : 00Z ) d ( ZZ ) d ( Z) d (+ (103) d4jTd 2 jTd 2Te e e ) d ( (104) Hypothses: -modle HF valable (Z0 = rel) -pertes ngligeables ( = 0 et = j) On dfinit l'impdance normalise : x j rZ) d ( XjZ) d ( RZ) d ( Zz0 0 0 + + (105) En transformant un peu, on adapte (103) : 2 2 2 22 200x ) 1 r (x 2jx ) 1 r (1 x rx j ) 1 r (x j ) 1 r (1Z) d ( Z1Z) d ( Z) d (+ + ++ + + + + + + (106) L'abaque de Smith est unplan complexe de la variable (d) en fonction des paramtres r et x dfinis ci-dessus. Pour cela on reprsente les deux jeux de courbes : a)r = constante (r =0 ... ) b)x = constante (x = - ... +). On montre que les courbes "r = constante" sont des cercles de caractristiques suivantes dans le plan complexe : centre =j 01 rr ++rayon =1 rr+(107) Transmission sur lignes 28 La Figure 27 illustre quelques exemples du parcours de (d) pour quelques valeurs constantes de r. Re()Im()r=0r=1r=3r=1/3 Figure 27 On montre encore que les courbes "x = constante" sont des cercles de caractristiques suivantes dans le plan complexe : centre = xj1+ rayon =x1(108) La Figure 28 illustre quelques exemples du parcours de (d) pour quelques valeurs constantes de x. x=1x= 1x=0Re()Im()x= 0.5x= 2x= 2 x= 0.5 Figure 28 Transmission sur lignes 29 On distingue sur labaque les situations dadaptation, de court-circuit et de ligne ouverte, comme lillustre la Figure 29. Re()Im()Ligne ouverte, = 1Adaptation, = 0Court-circuit, = 1 sens de z(vers la charge) sens de d(vers le gnrateur)Demi-plan suprieur :impdances de type inductifDemi-plan infrieur :impdances de type capacitif Figure 29 4.10.1 Dplacement le long de la ligne En dveloppant (104), on trouve pour une ligne sans pertes : d4jTd 2 jTd 2Te e e ) d ( (109) Lecoefficientderflexiontournedanslesensdesaiguillesd'unemontrede2tourspar longueur d'onde parcourue sur la ligne en direction du gnrateur (sens de d), comme lillustre la Figure 29 ci-dessus. 4.10.2 Exemple dapplication Soit une ligne sans pertes avec les coordonnes suivantes : Z0 = 50 impdance caractristique de la ligne ZT = 100 + j100 impdance de terminaison =280 mlongueur donde L = 30 mlongueur de la ligne Donner limpdance de ligne Zin au moyen de labaque de Smith. a)On normalise limpdance de terminaisonj 2 2ZZx j r z0TT T T + + . b)On cherche sur labaque lintersection des cerclesr=2 et x=2.c)A laide dun compas dont la pointe est plante dans =0, on fait pivoter le point obtenu en b) de o o1 . 77 360m 140m 30 dans le sens de d (sens des aiguilles de la montre). On constate quon a adapt le tour complet 360 la demi- longueur donde 140m. A remarquer que cette opration est bien plus facile excuter si on se rfre lchelle externe de labaque. d)On lit sur labaque au point obtenu en c)7 . 1 j 1 . 1 x j r zin in in + c)On dnormalise : 85 j 55 Z z Z0 in in Transmission sur lignes 30 5Rgime impulsionnel La rponse indicielle dune ligne est la rponse de cette ligne un saut unit, comme lillustre la Figure 30. u(t) Z0ZTZGs(t) rponse indicielle s(t)fonction indicielle u(t)t Figure 30 Une impulsion rectangulaire p(t) de dure T peut tre dcompose en deux sauts u(t) dcals de T : ) T t ( u ) t ( u ) t ( p (110) Dans un systme linaire, la rponse q(t) se dcompose de la mme manire : ) T t ( s ) t ( s ) t ( q (111) Ce principe de linarit est illustr par la Figure 31. p(t) Z0ZTZGq(t) tTp(t) q(t)s(t)s(tT) Figure 31 Le principe s'applique toute suite priodique ou alatoire d'impulsions rectangulaires. Il suffit donc de connatre s(t) pour pouvoir dterminer la forme d'une impulsion ou d'une suite d'impulsions rectangulaires l'mission. Transmission sur lignes 31 5.1Effet pelliculaire et non-linarit L'tude des rgimes impulsionnels dans les lignes est simplifi si l'on nglige les pertes comme nous le verrons un peu plus bas. Sur les lignes longues on doit tenir compte de l'effet pelliculaire. La distribution du courant dans les conducteurs varie pendant le transitoire, donc la rsistance linique dpend du temps: R=R(t). L'quation des lignesn'est plus linaire.1 On approxime ce problme de la manire suivante : a)Larponseindicielleestcomposed'unretardpur(tempsdepropagationTpetlongueur de ligne L) : ) T t ( s ) ' t ( sp (112) HFphpvLT (113) b)et d'un transitoire (norm entre 0 et 1) :

,_

' t 2aerf 1 ) ' t ( s (114) avec :a = paramtre fonction de la ligne et de sa longueur et x0 ppdp e2) x ( erf2fonction derreur La Figure 32 montre un exemple des principes voqus plus haut. t, t'Tps(t) s(t')t=0 t=Tpt'=0 Figure 32 Le temps dcal pour obtenir 50 % de la valeur finale vaut : fL' t2 25 , 0 (115) Le facteur (2/f) est constant et est dtermin sur la caractristique de laffaiblissement linique (f).On connat encore : 5 , 0 9 , 0' t 30 ' t (90% de la valeur finale)(116) 5 , 0 95 , 0' t 110 ' t (95% de la valeur finale)(117) 1 En principe, le principe de superposition (voir quation (111)) ne sapplique plus pour un systme non-linaire ! Dans la pratique, on lapplique parfois, sachant que laspect approximatif de notre approche est encore plus prononc. Transmission sur lignes 32 La fonction s(t) crot tout dabord rapidement, puis ensuite trs lentement vers une asymptote horizontale s(t)=1. La Figure 33 montre un exemple avec une valeur norme en abscisse t=t/t0,5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.10.20.30.40.50.60.70.80.9110s t ( )10 0 t Figure 33 5.2Rflexions multiples sur une ligne sans pertes Alors qu'en rgime harmonique (rgime permanent) on a seulement une onde progressive et une onde rflchie qui englobent les multiples rflexions produites l'enclenchement, l'analyse d'un rgime transitoire sur une ligne dsadapte ncessite le calcul de ces multiples rflexions la charge et au gnrateur. En fait, en rgime harmonique, on tudie un systme stationnaire (les ondes progressive et rflchie sont stabilises), alors quen rgime impulsionnel, on est toujours dans une situation transitoire. 5.2.1Rflexion la charge On considre une impdance de charge purement relleZT=RT, ainsi quune impdance caractristique Z0 purement relle elle aussi.La Figure 34 illustre un cas o RT < Z0, alors que la Figure 35 illustre un cas o RT > Z0. zt1z=Lt3t2v(z,t) = vp(zvph.t) + vr(z+vph.t) VphVphvp(zvph. t)vr(z+vph.t) VphVph Figure 34 Transmission sur lignes 33 zt1z=Lt3t2v(z,t) = vp(zvph.t) + vr(z+vph.t) Vph Vphvp(zvph. t)vr(z+vph.t) VphVph Figure 35 Note- Lorsque RT < Z0, limpulsion rflchie est de signe inverse limpulsion progressive (situation de la Figure 34). Dans le cas extrme o RT =0 (court-circuit), le rapport entre les deux est de 1. - Lorsque RT = Z0, on a adaptation. Il ny a pas dimpulsion rflchie ! Limpulsion progressive est totalement absorbe par RT. - Lorsque RT > Z0, limpulsion rflchie est de mme signe que limpulsion progressive. Dans le cas extrme o RT = (ligne ouverte), le rapport entre les deux est de 1. Considrons t1, t2 et t3. t1)Onde progressive, on a : 0ph pph pZ) t v z ( i) t v z ( v (118) t3)Onde rflchie, on a : 0ph rph rZ) t v z ( i) t v z ( v + +(119) t2)A la charge, on a :) t v L ( v ) t v L ( v ) t ( vph r ph p T + + (120) ) t v L ( i ) t v L ( i ) t ( iph r ph p T + + (121) ) t ( i R ) t ( vT T T (loi dOhm en z=L)(122) On dfinit (toujours la terminaison z=L) : ) t v L ( i) t v L ( i) t v L ( v) t v L ( vph pph rph pph rT + + (123) On dduit : 0 T0 TTZ RZ R+ (124) Transmission sur lignes 34 5.2.2Rflexion au gnrateur OnconsidreuneimpdancedesortiedugnrateurpurementrelleZG=RG,ainsiquune impdancecaractristiqueZ0purementrelleelleaussi.Parunraisonnementanalogueau chapitre prcdent, on montre que : 0 G0 GGZ RZ R+ (125) 5.2.3Mthode de calcul Il suffit de calculer les ondes progressives et rflchies successives. A tout instant la tension totale sur la ligne est la somme de toutes ces ondes. 5.2.3.1Exemple dapplication (impulsion) Soit une ligne sans pertes avec les coordonnes suivantes : ZG = 25 impdance de sortie du gnrateur Z0 = 75 impdance caractristique de la ligne ZT = 100 impdance de terminaison vph = 2.8108 m/slongueur donde L = 50 mlongueur de la ligne On injecte une impulsion de dure T=10 ns et de tension Vg=10 V. On a la situation classique de la Figure 36. zd00LLGnrateur ChargeZGZTLigne=> Z0VgTTG Figure 36 On aimerait les tensions (resp. les courants) en z=0 (sortie du gnrateur) et z=L (terminaison) pour les valeurs t=0, Tp, 2Tp, , 5Tp. a)On cherche les coefficients de rflexion :5 . 0G et143 . 0T b)On cherche le temps de propagation Tp = L/vph = 178 ns. On a un rgime impulsionnel propre, dans la mesure o le temps de propagation est plus long que la dure de limpulsion.Transmission sur lignes 35 Aux bornes du gnrateur, limpulsion voit limpdance Z0, exactement comme si la ligne tait infinie. De fait, elle peut tre considre comme telle, avant que limpulsion narrive la terminaison et ne soit rflchie. Le schma quivalent est donn par la Figure 37. ZGZ0VgTV01I01 Figure 37 c)On calcule donc la premire tension la sortie du gnrateur : V 5 . 7 VZ ZZVgg 0001 + mA 100Z ZVIg 0g01+ (126) A prsent on peut remplir le tableau : z=0 (sortie du gnrateur, G= 0.5)z=L (terminaison, T= 0.143) vpvrvtot ipiritotvpvrvtot ipiritot t = 0 7.5 V0 V7.5 V100 mA0 mA100 mA0 V0 V0 V0 mA0 mA0 mA t = Tp 0 V0 V0 V0 mA0 mA0 mA7.5V1.071 V8.571 V100 mA-14.3 mA85.7 mA t = 2Tp -0.536 V1.071 V0.536 V-7.14 mA-14.3 mA-21.4 mA0 V0 V0 V0 mA0 mA0 mA t = 3Tp 0 V0 V0 V0 mA0 mA0 mA-0.536 V-0.077 V-0.612 V-7.14 mA1.02 mA-6.12 mA t = 4Tp 0.038 V-0.077 V-0.038 V0.51 mA1.02 mA1.53 mA0 V0 V0 V0 mA0 mA0 mA t = 5Tp 0 V0 V0 V0 mA0 mA0 mA0.038 V0.005 V0.044 V0.51 mA-0.07 mA0.44 mA 5.2.3.2Exemple dapplication (saut indiciel) Soit une ligne sans pertes identique celle du 5.2.3.1. On injecte une impulsionde dure illimite et de tensionVg=10 V.On aimerait les tensions (resp. les courants) en z=0 (sortie du gnrateur) et z=L (terminaison) pour les valeurs t=0, Tp, 2Tp, , 5Tp. On remplit le tableau en se souvenant de toutes les ondes progressives et rflchies : z=0 (sortie du gnrateur, G= 0.5)z=L (terminaison, T= 0.143) vpvrvtot ipiritotvpvrvtot ipiritot t = 0 7.5 V0 V7.5 V100 mA0 mA100 mA0 V0 V0 V0 mA0 mA0 mA t = Tp 7.5 V0 V7.5 V100 mA0 mA100 mA7.5V1.071 V8.571 V100 mA-14.3 mA85.7 mA t = 2Tp 0.536 V1.071 V8.036 V-7.14 mA-14.3 mA78.6 mA7.5V1.071 V8.571 V100 mA-14.3 mA85.7 mA t = 3Tp 0.536 V1.071 V8.036 V-7.14 mA-14.3 mA78.6 mA0.536 V0.077 V7.959 V-7.14 mA1.02 mA79.6 mA t = 4Tp 0.038 V0.077 V7.997 V0.51 mA1.02 mA80.1 mA0.536 V0.077 V7.959 V-7.14 mA1.02 mA79.6 mA t = 5Tp 0.038 V0.077 V7.997 V0.51 mA1.02 mA80.1 mA0.038 V0.005 V8.003 V0.51 mA-0.07 mA80.03mA Transmission sur lignes 36 On constate :a)Le courant itot se stabilise vers la valeur Vg/(Zg+ZT) aprs plusieurs trajets. Limpdance caractristique Z0 nintervient pas dans la valeur de stabilisation de itot (dans notre exemple, 80 mA). Z0 na en fait de linfluence que dans la rapidit laquelle itot converge vers sa valeur de stabilisation. Plus on est proche de ladaptation, plus cette convergence est rapide. En cas dadaptation (cas idal limite), on atteint la stabilisation en un seul trajet (pas donde rflchie) ! b) La tension vtot se stabilise vers la valeur Vg ZT/(Zg+ZT) aprs plusieurs trajets. Mme remarque que pour le point a) en ce qui concerne la valeur de Z0. La Figure 38 illustre les parcours de tension et de courant en z=0 et z=L pour une dizaine de trajets. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1277.588.59Tensions successives en z=0 et z=L9 V 7 V UgnUtnUinfNmax 1 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.060.080.1Courants successifs en z=0 et z=L110mA 50mA IgnItnIinfNmax 1 n Figure 38 Transmission sur lignes 37 6Standardisation 6.1Lignes utilises par les PTT suisses a) Paires torsadesconducteurs Cu, isolation au papier. plusieurs diamtres de 0,4 1,5 mm selon l'affaiblissement dsir. toronnage en quartes DM ou quartes-toile. cbles constitus de plusieurs paires (jusqu' 3'200) en couches ou faisceaux de quartes utilises pour les cbles d'abonns et les cbles intercentraux. pupinisation:augmentationdel'inductancepardesinductancesrpartieslelongdela ligne(88,5mHtousles1830m)pourdiminuerl'affaiblissementdansuneplagerduite defrquence.Leslignespupinisesontunebandepassantetrslimiteetnepeuvent pastreutilisespourlesmultiplexnumriques2B+Dou2Mbit/s.Pourcelaelles doivent tre dpupinises. b) Paires ariennes conducteurs: bronze, Cu, Al, acier cuivr diamtres de 2 4 mm espacement: env 30 cm trs faible affaiblissement et comportement HF pour les frquences vocales principalement utilises pour les lignes d'abonns c) Paires coaxiales (Voir en annexe) conducteurs Cu, isolation polythylne+air (r= 1,1 env.). 3grandeurs(Dint/Dext):minicoax(0,65/2,8),coaxpetitdiamtre(1,2/4,4)etcoax grand diamtre (2,6/9,5). utilises pour les multiplex dans le rseau interurbain. 6.2Normes pour la transmission locale de donnes a) Paires symtriques Pour la transmission de donnes sur de courtes distances ( 10. RB1 = RB2 = 10RA1 Dans le mme rapport que prcdemment. ZR1 = ZR2 = Rcepteurs haute impdance. 7.1.2Fonctionnement Lmission de VE1 vers VR2 est illustre par la Figure 41 (VE2=0). LigneZoVE1VR1ZB1RB1RA1ZR1RA2VR2ZR2ZB2RB2RA2~Vin Figure 41 Transmission sur lignes 40 La ligne est termine par RA2, donc elle est peu prs adapte.Emission Comme ZB1RB1 et RA2RA1, on a VR10 et VinVE1/2. RceptionComme ZR2, VR2Vin. On reoit la tension mise affaiblie d'un facteur 1/2 ( -6 dB) par le passage 2 fils - 4 fils, enplus de l'affaiblissement de la ligne. 7.1.3Proprits et limites dun tel circuit -Z0 varie de ligne en ligne (temprature, pissures, etc.) et |Zo| varie en fonction de la frquence (environ 600 1 kHz, 140 100 kHz). -L'adaptation n'est donc jamais parfaite et une partie du signal mis se retrouve sur le rcepteur du ct metteur: on parle d'cho local comme si l'on avait rflexion.-L'affaiblissement de rflexion peut descendre jusqu' 10 100 dB. ANNEXE 1 Caractristiques liniques 1 Annexe 2 Equation des lignes Du circuit quivalent un lment de ligne on tire les deux quations suivantes : t) t , z ( idz ' L ) t , z ( i dz ' R ) t , dz z ( v ) t , dz z ( v ) t , z ( dv + + (1) t) t , z ( vdz ' C ) t , z ( v dz ' G ) t , dz z ( i ) t , dz z ( i ) t , z ( di + + (2) En divisant par dz et en faisant tendre dz 0, ces deux quations deviennent : t) t , z ( i' L ) t , z ( i ' Rz) t , z ( v (3) t) t , z ( v' C ) t , z ( v ' Gz) t , z ( i (4) On limine le courant en drivant (3) par rapport z et (4) par rapport t : z t) t , z ( i' Lz) t , z ( i' Rz) t , z ( v222 (5) 22 2t) t , z ( v' Ct) t , z ( v' Gt z) t , z ( i (6) On r-crit (5) laide de (6) et (4) : 1]1

1]1

2222t) t , z ( v' Ct) t , z ( v' G ' Lt) t , z ( v' C ) t , z ( v ' G ' Rz) t , z ( v(7) Et finalement : ( ) ) t , z ( v ' G ' Rt) t , z ( v' C ' R ' G ' Lt) t , z ( v' C ' Lz) t , z ( v2222 + + + (8) Par un raisonnement identique, on obtient lquation pour le courant : ( ) ) t , z ( i ' G ' Rt) t , z ( i' C ' R ' G ' Lt) t , z ( i' C ' Lz) t , z ( i2222 + + + (9) Annexe 2 2 Impdance caractristique De (3) on conclut pour un rgime harmonique : ) z ( I ) ' L j ' R (z) z ( V + (10) On considre une ligne adapte (pas de rflexion). On a : z1e V ) z ( V z1e Vz) z ( V (11) z1e I ) z ( I (12) En introduisant (11) dans (10), on obtient : z1z1e I ) ' L j ' R ( e V + (13) Donc : ' C j ' G' L j ' R) ' C j ' G ( ) ' L j ' R () ' L j ' R ( ) ' L j ' R (IV11 + + + + + + (14) Limpdance caractristique est le rapport des phaseurs de tension et de courant pour une onde progressive. On a donc : ' C j ' G' L j ' RIVe ) z ( Ie ) z ( V) z ( I) z ( VZ11z1z10 + + (15) R R f ( ) : R 0.058 m1 G G f ( ) : G 5.935 108 1 m1 Calculs : R i L + ( ) G i C + ( ) : 3.905 104 0.044i + m1 Re ( ) : 3.905 104 Np m1 0.391Npkm 3.392dBkm Im ( ) : 0.044rad m1 Longueur d'onde : 2 : 142.915m Vitesse de phase : vph: vph 2.858 108msImpdance caractristique : Z0R i L +G i C +: Z0 74.08 0.651i Annexe 3 - Exemple de rgime sinusodalCet exemple est bas sur un cble coaxial d'impdance caractristique 75 ohms. On considre l'impdance du gnrateur nulle, c'est dire Zg = 0 ohms.Donnes gnrales :0 8.854187817 1012 C2s2kg m3 : 0 4 107 kg m C2 : Np 1 dB 8.6861 Np Cble coaxial :r 1.1 : tg 0.0001 : Cuivre : 58 106 1 m1 :de 9.5 mm :di 2.6 mm :R f ( )0 1de1di+

_

, f :L02 lndedi

_

, : L 0.259mHkmC2 r 0 lndedi

_

,:C 47.227nFkmG f ( ) 2 f C tg :Donnes externes :f 2 MHz : 2 f : Long 1 km :Z Long ( ) 25 Zin 46.696 Zin 46.684 1.055i Zin Z 0 m ( ) : Z z ( ) Z01 z ( ) +1 z ( )

_

, :in 0.227 in 0.227 6.551i 103 in 0 m ( ) : z ( ) T e2 z Long ( ) :T 0.495 T 0.495 3.314i 103 + TZT Z0 ZT Z0 +:ZT 25 :Maintenant la ligne n'est plus adapte. On pose l'autre bout de la ligne une rsistance de charge :0 200 400 600 800 1000151296303691215vp0 z ( )vp1 z ( )zvp1 z ( ) vp z4 vph ,

_

,:vp0 z ( ) vp z 0 s , ( ) :vp z t , ( ) 2 Vgeff Re e z ei t ( ) :Vgeff 10 V : z 0 m LongNbPts, Long .. : NbPts 10000 :Onde progressive :On va considrer en premier lieu le cas de la ligne adapte. Seule reste l'onde progressive.On peut voir voluer(z) et Z(z) en coordonnes polaires. Sans pertes, on n'aurait qu'un cercle !0.5 0 0.50.500.5Im z ( ) ( )Re z ( ) ( )0 50 100 150 200 2501251007550250255075100125Im Z z ( ) ( )0Re Z z ( ) ( )L'impdance Z(z) varie considrablement le long de z !0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000255075100125150175200225250Z z ( )zOn voit bien le glissement des ondes progressive et rflchie de/4.0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10003024181260612182430vp z t , ( )vr z t , ( )vtot z t , ( )0zt4 vph : Deuxime cas : 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10003024181260612182430vp z t , ( )vr z t , ( )vtot z t , ( )0zt 0 s : Premier cas : On ne considre ici que la tension V(z,t). On pourrait considrer galement le courant.vr z t , ( ) 2 Re V1 e z z ( ) ei t ( ) :vp z t , ( ) 2 Re V1 e z ei t ( ) :vtot z t , ( ) 2 Re V1 e z 1 z ( ) + ( ) ei t

1] :Cherchons l'onde complte, puis ses composantes progressive et rflchie :V1 V2 + 10V V2 2.932 0.11i V V2 V1 in : V1 12.932 0.11i + V V1Vgeff1 in +:Vrification :Comme on considre Zg=0 (cas purement thorique), on trouve directment :Vgeff 10V Au gnrateur, l'impdance d'entre sera la suivante : ZT 25 EnvV Long ( )EnvI Long ( )25 Z Long ( ) 25 EnvV Long ( ) 6.245V EnvV 0 m ( ) 14.142V Z 0 m ( ) 46.684 1.055i 2VgeffZ 0 m ( ) 0.303A EnvI 0 m ( ) 0.303A Vrifications :0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100000.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5EnvI z ( )zEnvI z ( ) 2 V1 e z 1 z ( ) + ( ) 1Z z ( ) :La tension peut monter assez haut ! Quant au courant, son enveloppe sera diffrente.0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100002.557.51012.51517.52022.525EnvV z ( )zEnvV z ( ) 2 V1 e z 1 z ( ) + ( ) :Cherchons l'enveloppe :Vtot aura des creux et des bosses en suivant z !Examinons prsent l'tat de tension le long de z pour diffrentes valeurs de t :T1f: toT20:t0 0 T to + : t1T8t0 + : t2T4t0 + : t33T8t0 + :t4T2t0 + : t55T8t0 + : t66T8t0 + : t77T8t0 + :0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000201001020vtot z t0 , ( )vtot z t1 , ( )vtot z t2 , ( )vtot z t3 , ( )vtot z t4 , ( )vtot z t5 , ( )vtot z t6 , ( )vtot z t7 , ( )EnvV z ( )EnvV z ( ) 0zU5g U4 :5me tape: sortie du gnrateur-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Itot 79.592mA Itot14nIn : Utot 7.959V Utot14nUn :I41.02mA I4t I3 : U40.077 V U4t U3 :4me tape: terminaison-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Itot 78.571mA Itot13nIn : Utot 8.036V Utot13nUn :Itot 80.029mA Itot16nIn : Utot 8.003V Utot16nUn :I50.51mA I6t I5 : U65.466 103 V U6t U5 :6me tape: terminaison-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Itot 80.102mA Itot15nIn : Utot 7.997V Utot15nUn :I50.51mA I5g I4 : U50.038V Utot 7.5V Utot11nUn :I1100mA I1U1Z0: U17.5V U1Z0Zg Z0 +Uq :1re tape: sortie du gnrateur-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------t 0.143 tZt Z0 Zt Z0 +: g 0.5 gZg Z0 Zg Z0 +:Uq 10 V : Zt 100 ohm : Z0 75 ohm : Zg 25 ohm :Annexe 4 - Rflexion indicielle, exempleI37.143 mA I3g I2 : U30.536 V U3g U2 :3me tape: sortie du gnrateur-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Itot 85.714mA Itot12nIn : Utot 8.571V Utot12nUn :I214.286 mA I2t I1 : U21.071V U2t U1 :2me tape: terminaison-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Itot 100mA Itot11nIn :-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10me tape: terminaisonU10t U9 : U102.789 105 V I10t I9 : I103.719 104 mA Utot110nUn : Utot 8V Itot110nIn : Itot 80mA -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11me tape: sortie du gnrateurU11g U10 : U111.395 105 V I11g I10 : I111.859 104 mA Utot111nUn : Utot 8V Itot111nIn : Itot 80mA -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12me tape: terminaisonU12t U11 : U121.992 106 V I12t I11 : I122.656 105 mA Utot112nUn : Utot 8V Itot112nIn : Itot 80mA -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7me tape: sortie du gnrateurU7g U6 : U72.733 103 V I7g I6 : I70.036 mA Utot17nUn : Utot 8V Itot17nIn : Itot 79.993mA -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8me tape: terminaisonU8t U7 : U83.905 104 V I8t I7 : I85.206 103 mA Utot18nUn : Utot 8V Itot18nIn : Itot 79.998mA -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9me tape: sortie du gnrateurU9g U8 : U91.952 104 V I9g I8 : I92.603 103 mA Utot19nUn : Utot 8V Itot19nIn : Itot 80.001mA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.060.080.1Courants successifs en z=0 et z=LIgnItnIinfn1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1277.588.59Tensions successives en z=0 et z=LUgnUtnUinfn(Valeurs paires pour la terminaison)Itnsi mod n 2 , ( ) 0 = Itotn, Itotn 1 ,( ): Utnsi mod n 2 , ( ) 0 = Utotn, Utotn 1 ,( ):(Valeurs impaires pour le gnrateur)Ignsi mod n 2 , ( ) 0 = Itotn 1 , Itotn,( ): Ugnsi mod n 2 , ( ) 0 = Utotn 1 , Utotn,( ):Attention : il convient de ne pas mlanger les tensions la sortie du gnrateur et en terminaison, qui reprsentent deux courbes bien diffrentes ! Iinf 80mA Iinf Uq1Zg Zt + : Valeur de courant stabilise :Uinf 8V Uinf UqZtZg Zt + : Valeur de tension stabilise :Itot00 A :Utot00 V : Itotn1nkIk : Utotn1nkUk : n 1 Nmax .. :Insi mod n 2 , ( ) 0 = t In 1 , g In 1 ,( ): Unsi mod n 2 , ( ) 0 = t Un 1 , g Un 1 ,( ):I1100mA U17.5V n 2 Nmax .. : Nmax 12 :Au milieu du cble, on verra passer toutes les ondes progressives et rflchies avec une dure gale. Ailleurs dans le cble, les dures seront simplement ingales. Au milieu du cble, donc, on voit ceci :Note : observez le dcalage de 0.5 !n 0 Nmax .. :0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1277.588.59Tensions successives au milieu du cbleUtotnUinfn 0.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.070.080.090.1Courants successifs au milieu du cbleItotnIinfn 0.5 ANNEXE 5 Abaque de Smith