Transmission Sur Lignes

  • View
    216

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Courant

Transcript

Denis Prtre, dernire rvision : 25/01/20021 Transmission sur lignes Rfrences:Cours 1998 de C. Brielmann Leitungstheorie, G. S. Moschytz, U. Brugger et J. Rosenblatt 1Introduction Une ligne lectrique est une structure deux conducteursparallles dont la gomtrie transversale estuniforme sur toute la longueur. Les principales gomtries sont : - la ligne coaxiale - la ligne bifilaire symtrique - la ligne bifilaire torsade - la ligne microruban Le comportement d'une ligne ne satisfait pas aux quations de Kirchoff car les temps de propagation ne sont plus ngligeables. Par exemple, un instant donn, le courant entrant dans la ligne n'est pas gal au courant sortant l'autre extrmit, en particulier dans le cas d'un saut de courant. La Figure 1 illustre le cas dun rgime harmonique (le signal inject est de forme sinusodale). IIEHII++++++++ + Q < 0 Q > 0+++++++++ Q < 0 Q > 0 Q < 0+++++++++Q > 0II+++++++++Q > 0 Q < 0II Figure 1 Transmission sur lignes 2 Pour que la thorie qui suit soit valable, on demande de plus que lloignement des conducteurs soit petit par rapport la longueur donde du signal, sinon on a des effets tels que ceux qu'illustre la Figure 2. II Q < 0+++++++++Q > 0II+++++++++Q > 0 Q < 0E Figure 2 2Reprsentation dune ligne 2.1Niveau macroscopique Dans la plupart des cas, une ligne est branche sur un gnrateur d'impdance Zg et une charge ZT (terminaison). Nous utiliserons la coordonne z dans le sens gnrateur charge et la coordonne d=Lz dans l'autre sens (voir Figure 3). zd00LLGnrateur ChargeZGZTLigne Figure 3 Transmission sur lignes 3 2.2Niveau microscopique tronon lmentaire Toute ligne rgulire et uniforme se laisse reprsenter lectriquement par une somme de tronons lmentaires trs petits (longueur dz), comme lillustre la Figure 4. Le comportement de la ligne n'est vraiment quivalent qu' la limite quand dz 0. dz Figure 4 La reprsentation dun seul tronon lmentaire est illustre par la Figure 5.R'.dz L'.dzG'.dz C'.dz v(z,t) v(z+dz,t)i(z,t) i(z+dz,t) Figure 5 2.2.1Paramtres primaires Chaque tronon lmentaire est caractris par les quatre paramtres suivants : -la rsistance liniqueR[/m] -la conductance liniqueG[S/m] -l'inductance liniqueL[H/m] -la capacit liniqueC[F/m] Ces paramtres sont dtermins par la gomtrie transversale de la ligne partir des quations de Maxwell et des proprits conductrices et dilectriques des matriaux constituant la ligne. LesparamtresLetCsontdonnsenannexe;ilssontindpendantsdelafrquencejusqu' 1 GHz environ. Le paramtre R reprsente les pertes ohmiques dansles conducteurs. Comptetenudel' effet pelliculaire (en anglais : skin effect), R augmente avec la frquence. LeparamtreGreprsentelespertesdilectriquesdansl'isolantentrelesdeuxlignes.Il augmente aussi avec la frquence mais reste pratiquementngligeable en-dessous de 1 MHz. On le dfinit souvent par rapport au facteur de qualit Q : Q' C' G (1) Quelques exemples : Polythylne :Q 5000 Polystyrne :Q 5000 Transmission sur lignes 4 Lorsque les paramtres R et G sont nuls, on dit que la ligne est sans pertes. Cette simplification est trs souvent admise pour les lignes courtes. 2.2.1.1Ligne coaxiale Pour une ligne coaxiale on montre que : fd1d1' Re i0

,_

+ (2)

,_

ie0 rddln2' C (3)

,_

ie 0 rddln2' L (4) avec : rsistivit des conducteurs [m]Cu 20 C :=17,5 nm + 3,9/C Al 20 C :=27,8 nm + 4,0/C diDiamtre du conducteur intrieur [m] deDiamtre du conducteur extrieur [m] 0Permittivit du vide [As/Vm]0 = 8.854210-12 As/Vm 0Permabilit du vide [Vs/Am]0 = 410-7 Vs/Am rPermittivit relative de lisolant [-]Polythylne :r 2.3 Polystyrne :r 2.5 rPermabilit relative de lisolant [-]La plupart du temps,r 1 2.2.1.2Ligne bifilaire symtrique Pourunelignesymtriquel'effetpelliculaireenhautefrquenceestmodifiparlaproximit desconducteurs.Lecalculestcomplexeetsetrouvedanslalittraturespcialise.Maisces lignessontsurtoututilisesenbassefrquenceet,jusqu'unedizainedekHz,l'effet pelliculaire peut tre nglig. 2.2.2Analyse du tronon lmentaire EnappliquantlesloisdeKirchoffaucircuitdelaFigure5(Dveloppementcompletdans lannexe 2), on obtient l' quation des lignes : ( ) ) t , z ( v ' G ' Rt) t , z ( v' C ' R ' G ' Lt) t , z ( v' C ' Lz) t , z ( v2222 + + + (5) o v(z, t) est la tension en un point z de la ligne au temps t. Transmission sur lignes 5 Cettequationdiffrentielledeuxvariablesnapasdesolutiongnraleanalytique. Nanmoins des solutions existent pour des cas particuliers. Ligne sans perteSi Ret Gsont nuls, alors on a une quation des ondes classique. Rgime harmoniqueLe signal transport est de forme sinusodale. Dans ce cas, la rsolution de (5) est aise. 3Ligne sans pertes Si R et G sont nuls, lquation des lignes (5) se simplifie : 2222t) t , z ( v' C ' Lz) t , z ( v (6) Lquation (6) est une quation donde classique. On pose : 222ph22t) t , z ( vv1z) t , z ( v (7) La vitesse de phase vph (dans ce cas prcis on a vph = vgr) caractrise la vitesse de propagation de londe. On trouve finalement (c: vitesse de la lumire) : r rphc' C ' L1v (8) Les solutions de (7) sont des fonctions vp(x) + vr(x), drivables deux fois, dont l'argument x est linaire en t et z : ) t v z ( v ) t v z ( v ) t , z ( vph r ph p + + (9) o :vp(zvpht)onde progressive non dformable vr(z+vpht)onde rflchie non dformable Londe progressive se dplace dans le sens de z et londe rflchie dans le sens de d (voir Figure 3 page 2). Ces deux fonctions vp et vr sont lies par les conditions aux extrmits (gnrateur et charge). Par exemple si la ligne est termine par un court-circuit en z=L, on a : V 0 ) t v L ( v ) t v L ( v ) t , L ( vph r ph p + + (10) On en conclut que, pour toute valeur t, on a : ) L ( v ) L ( vp r (11) Cette situation est illustre par la Figure 6. On considre 3 valeurs de t : t1Londe progressive se dplace normalement du gnrateur vers le court-circuit. t2Londe se situe en bout de ligne. Le court-circuit gnre une onde rflchie de tension oppose celle de londe progressive de sorte que la tension en z=L soit toujours nulle. t3Londe rflchie se dplace normalement du gnrateur vers le court-circuit. Elle a une tension de signe oppos celle de londe progressive. Transmission sur lignes 6 zt1z=Lt3t2v(z,t) = vp(zvph.t) + vr(z+vph.t) VphVphvp(zvph.t)vr(z+vph.t) VphVph Figure 6 4Rgime harmonique Le rgime harmonique admet que la tension et le courant varient sinusodalement dans le temps en tout lieu sur la ligne. Pour la tension, on aura la forme gnrale: )) z ( t cos( ) z ( V 2 ) t , z ( veff + (12) La valeur efficace Veff et la phase dpendent du lieu. On dfinit lephaseur de la tension par (lettre majuscule) : ) z ( jeffe ) z ( V ) z ( V (13) On retrouve la fonction du temps ainsi : ( ) ( ) ( ) ) z ( V arg t cos ) z ( V 2 e ) z ( V 2 Re ) t , z ( vt j+ (14) La notion de phaseur est trs importante dans le domaine des tlcommunications; elle permet de saffranchir de la variable temporelle t en rgime harmonique. Ainsi, on retrouve des phaseurs lorsque lon tudie les diffrents types de modulations (AM, FM, PM, QAM, etc.). A prsent on rsout (5) laide de (13) et (14) : ( ) ) z ( V ' G ' R ) z ( V ' C ' R ' G ' L j ) z ( V ' C ' Lz) z ( V222 + + + (15) En simplifiant : ) z ( V ) z ( V ) ' C j ' G ( ) ' L j ' R (z) z ( V222 + + (16) La solution de cette quation est: z2z1e V e V ) z ( V + (17) avec :) ' C j ' G ( ) ' L j ' R ( j + + + (18) Le terme z1e V de (17) correspond londe progressive et le terme z2e V correspond londe rflchie. Transmission sur lignes 7 On a : V1 et V2Constantes complexes Exposant linique de propagation [m-1] Affaiblissement linique [Np/m] Dphasage linique [rad/m] Si la ligne est sans perte (R= G= 0), on obtient le cas particulier : ' C ' L j j (19) 4.1Affaiblissement linique On considre une ligne de longueur infinie sur laquelle se dplace une onde progressive seulement (pas donde rflchie : on verra plus tard que ce cas priori irraliste est possible en adaptant limpdance de terminaison ZT voir 4.5 page 10). On a : ( ) ( )) z t ( j z1t j z ) j (1e e V 2 Re e e V 2 Re ) t , z ( v + (20) ( ) ( )1z1V arg z t cos e V 2 ) t , z ( v + (21) Cest une onde progressive qui sattnue exponentiellement. La Figure 7 illustre v(z, t=0) et v(z, t=T/4) pour un cas particulier deV1, , et . On constate que londe se dplace en sattnuant de gauche droite le long de z. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.910.50.51V1 2 V1 2 v z t 0 , ( )v z t 1 , ( )0 V1 e z ( )e z ( ) zmax zmin z Figure 7 On appelle affaiblissement linique le paramtre : ) Re( [Np/m] (22) On le donne trs souvent en dB, sachant que : 686 . 8dB [dB/m](23) En fait, 8.686 = 20/ln(10). L'affaiblissement d'un tronon de ligne de longueur L, sans onde rflchie, vaut donc : ( ) L L) 10 ln(20e log 20) L z ( V) 0 z ( Vlog 20 AdBL11dB (24) Transmission sur lignes 8 Si on imagine prsent une onde qui serait compose exclusivement dune onde rflchie (situation purement thorique), on obtient le cas troublant suivant : ( ) ( )) z t ( j z1t j z ) j (1e e V 2 Re e e V 2 Re ) t , z ( v + + (25) ( ) ( )1z1V arg z t cos e V 2 ) t , z ( v + + (26) Cest une onde rflchie qui augmente exponentiellement le long de z ! Pas de panique. Il faut bien comprendre que cette onde se dplace en fait dans le sens de d, donc dans le sens contraire de z. Elle sattnue donc exponentiellement dans son sens de propagation. La Figure 8 illustre v(z, t=0) et v(z, t=T/4) pour un cas particulier deV2, , et . On constate que londe se dplace en sattnuant de droite gauche le long de d. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.910.50.51V1 2 V1 2 v z t 0 , ( )v z t 1 , ( )0 V1 e z ( )e z ( ) zmax zmin z Figure 8 A noter que dans une ligne sans pertes, = 0 (voir lquation (18)). 4.2Dphasage linique On appelle dphasage linique le paramtre : ) Im( [rad/m](27) Il est dans le domaine spatial ce que la pulsation est au domaine temporel. La priode spatiale sappelle longueur donde et est note pa