TRAVAUX DIRIGÉS DE l’UE MNBif Informatique 3A MÉTHODES ...utbmjb.chez-alice.fr/Polytech/MNBif/TDMNBif.pdf · Travaux Dirigés 3. Équations non-linéaires 7 Exercices facultatifs

TRAVAUX DIRIGÉS DE l’UE MNBif

Informatique 3A

MÉTHODES NUMÉRIQUES DE BASE

2020-2021, Automne

N. Débit & J. Bastien

Document compilé le 16 septembre 2020

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Liste des Travaux Dirigés

Avant-propos iii

Travaux Dirigés 1. Interpolation 1Exercices facultatifs 2

Travaux Dirigés 2. Intégration 3Exercices facultatifs 4

Travaux Dirigés 3. Équations non-linéaires 7Exercices facultatifs 10

Travaux Dirigés 4. Équations différentielles 15

Travaux Dirigés 5. Systèmes d’équations linéaires 19Exercices facultatifs 19

Bibliographie 21

i

Avant-propos

Ce polycopié constitue les TD de Méthodes Numériques de Base du département Informatique 3A (2020-2021,Automne).

Ce polycopié de TD est normalement disponible à la fois• en ligne sur http://utbmjb.chez-alice.fr/Polytech/index.html à la rubrique habituelle ;• en cas de problème internet, sur le réseau de l’université Lyon I : il faut aller sur :

— ’Poste de travail’,— puis sur le répertoire ’P:’ (appelé aussi ’\\teraetu\Enseignants’),— puis ’jerome.bastien’,— puis ’Polytech’,— puis ’Informatique 3A’.— enfin sur ’MNBif’.

Des exercices facultatifs, non traités en séances (sauf si demande), sont proposés sur cette version distribuéesur le Ouaib et le réseau.

iii

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TRAVAUX DIRIGÉS 1

Interpolation

exercice 1.1.Le but de cet exercice est, entre autre, de justifier la convention (1.24) du polycopié de cours.

(1) En redéfinissant rapidement, an, pour a réel et n entier relatif, expliquer pourquoi a0 = 1 (cela, de façonélémentaire, au niveau collège.).

(2) De la même façon, montrer que, si I est un ensemble vide, le produit

P =∏

i∈I

xi,

doit être choisi conventionnellement égal à 1 et que la somme

S =∑

i∈I

xi,

doit être choisie conventionnellement égale à 0.

exercice 1.2.On connaît les valeurs d’une fonction g aux points x0 = 1, x1 = 2 et x2 = 6 :

g(x0) = −3, g(x1) = 1, g(x2) = 2.

(1) Construire les interpolants de Lagrange pour trouver le polynôme de degré au plus 1 (noté Π1(g)),interpolant la fonction g aux nœuds x0 et x1. Pour α = 1.8, donner une valeur approchée de g(α).

(2) Construire les interpolants de Lagrange pour trouver le polynôme de degré au plus 2 (noté Π2(g)),interpolant la fonction g aux nœuds x0, x1 et x2. Donner une valeur approchée de g(α).

(3) Traiter de nouveau ces deux questions en utilisant la forme de Newton.

(4) Comparer les deux méthodes et conclure.

exercice 1.3. Soient a = 6, b = 7, A = 2, B = 3. On se donne la fonction :

f(x) = ln (Ax+ B) , x ∈ [a, b]

(1) Donner l’expression du polynôme Π3f de degré 3 interpolant f aux nœuds de Chebyshev x0, x1, x2, x3,que l’on calculera.

(2)

Estimer l’erreur E3(f) = maxx∈[a,b] |f(x)−Π3f(x)| sachant que la fonction |ω4(x)| = |∏3

i=0(x−xi)|est représentée par la figure 1.1.

exercice 1.4. Soit la fonction à valeurs réelles :

∀x ∈ [0, 1], f(x) = sin(x

3

)

.

Soit Πnf le polynôme interpolant la fonction f aux nœuds équidistribués x0, x1, . . . , xn.

(1) Estimer l’erreur d’interpolation En(f) = maxx∈[0,1] |f(x)−Πnf(x)| en fonction du degré n du polynômeΠnf . Etudier le comportement de l’erreur lorsque n −→ +∞.

1

2 1. INTERPOLATION

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 70

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

Figure 1.1. Le graphique de la fonction x 7→ |ω4(x)|.

(2) Trouver le nombre minimal de nœuds équirépartis pour que En(f) ≤ 10−4.

(3) Est-ce que tous les résultats sont encore valables pour g définie par

∀x ∈ [6000, 6001], f(x) = sin

(

x− 6000

3

)

?

exercice 1.5. Soit la fonction f à valeurs réelles :

f(x) = e−x2

, x ∈ [0, 1].

On considère le polynôme composite Πh1f de degré 1 par morceaux qui interpole la fonction f sur N sous-

intervalles de longueur uniforme h.Trouver le nombre minimal N de sous-intervalles pour que l’erreur Eh

1 (f) = maxx∈[0,1] |f(x) − Πh1f(x)| soit

inférieure à 0.5 10−6.

exercice 1.6. On dispose des résultats expérimentaux pour la position f(t) d’une étoile à différents temps t,

t 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000

f(t) 4.4836 5.4086 6.5509 7.8307 9.2060 10.6105 12.0076

(1) Utiliser la forme de Newton du polynôme d’interpolation (table des différences divisées) pour estimer laposition de l’étoile au temps τ = 3.1, au moyen d’un polynôme cubique.

(2) Donner l’expression analytique de l’erreur pour le polynôme obtenu.

(3) Donner une approximation de l’erreur commise dans cette estimation.

Exercices facultatifs

exercice 1.7.Démontrer les formules (1.50) page 24 du cours à partir de l’interprétation géométrique de la figure 1.10 (ducours).

UCBL/Polytech 2020-2021 Automne Informatique 3A TD de MNBif N. Débit & J. Bastien

TRAVAUX DIRIGÉS 2

Intégration

On pourra consulter les formules d’erreur données en page 4.

exercice 2.1. On recherche une approximation de l’intégrale I =

∫ 1

0

e−x2

dx, dont on ne connait pas la

primitive.

(1) Donner une approximation de cette intégrale en appliquant la méthode du trapèze composite sur 4

sous-intervalles.

(2) Indiquer le terme d’erreur globale que l’on fait par cette méthode de trapèze composite.

Théoriquement de combien devrait-on diminuer le pas d’intégration, i.e., la largeur des intervalles,pour faire une erreur 4 fois moins grande que celle commise en question 1 ? Justifier votre réponse.

(3) Déterminer alors le nombre d’intervalles minimal nécessaire pour déterminer l’approximation de l’inté-grale I par la méthode du trapèze composite avec une erreur de 1.0 10−4.

(4) Donner une approximation de cette intégrale en appliquant la méthode de simpson composite sur 2

sous-intervalles.

(5) Déterminer maintenant le nombre d’intervalles minimal nécessaire pour déterminer l’approximation del’intégrale I par la méthode de Simpson composite avec la même erreur que précédemment, 1.0 10−4.

exercice 2.2. On considère la formule de quadrature suivante pour approcher l’intégrale∫ 1

−1

g(t) dt,

Q(g) =4

3g

(

−1

2

)

− 2

3g(0) +

4

3g

(

1

2

)

. (2.1)

(1) Utiliser cette formule pour approcher l’intégrale∫ 1

−1

xe−x dx.

(2) Utiliser maintenant cette formule pour approcher l’intégrale∫ 3

1

x ln (x) dx.

(3) On a appliqué la formule de quadrature composite, Ih, associée à la formule (2.1) introduite ici, pour

approcher l’intégrale∫ 3

1

x ln (x) dx. Le tableau suivant montre l’erreur commise pour différentes valeurs

de h, longueur de chaque sous-intervalle :

h erreur1 2.284218 e-40.5 1.439331 e-50.25 9.033080 e-7

Déduire de façon approximative l’ordre de convergence q ∈ N de cette formule composite.

3

4 2. INTÉGRATION

Erreurs des méthodes d’intégration

Méthodes élémentaires sur [a, b]. Dans le tableau qui suit, η appartient à ]a, b[.

méthode erreur

rectangle (b−a)2

2 f ′(η)

milieu (b−a)3

24 f ′′(η)

trapèze − (b−a)3

12 f ′′(η)

Simpson − (b−a)5

2880 f (4)(η)

Méthodes composites (composées) sur [A,B] avec un pas h = (B−A)/N . Dans le tableau qui suit, η appartientà [A,B].

méthode erreur

rectangle hB−A2 f ′(η)

milieu h2B−A24 f ′′(η)

trapèze −h2B−A12 f ′′(η)

Simpson −h4B−A2880 f

(4)(η)


exercice 2.3. On considère la formule de quadrature Q(f) = α1f(0) + α2f(1) + α3f′(0), pour approcher

numériquement l’intégrale I(f) =

∫ 1

0

f(x) dx, f étant une fonction continue sur l’intervalle [0, 1] et dérivable

en 0.

(1) Trouver les poids αj , j = 1, 2, 3, tels que la formule intègre exactement des polynômes jusqu’au degré2. Quel est le degré d’exactitude de cette formule ?

(2) Utiliser la formule de quadrature trouvée pour calculer l’intégrale I =

∫ 1

0

e−x2

dx.

exercice 2.4.Soit f , une fonction continue sur l’intervalle [−1, 1]. On considère la formule de quadrature

Q(f) = W0f(x0) +W1f(x1). (2.2)

où les points x0 et x1 sont donnés par

x0 = −1/3√3, (2.3)

x1 = 1/3√3, (2.4)

pour approcher numériquement l’intégrale

I(f) =∫ 1

−1

f(x)dx. (2.5)

(1) (a) Trouver les poids W0 et W1, pour que la formule (2.2) intègre exactement les polynômes jusqu’audegré 1.

(b) On propose dans cette question de procéder autrement pour éviter le calcul de l’inverse d’une matrice.


EXERCICES FACULTATIFS 5

(i) Calculer Π1(f), le polynôme d’interpolation de f sur le support {x0, x1} en fonction de f(x0) etf(x1).

(ii) Calculer

I(

Π1(f))

=

∫ 1

−1

Π1(f)(x)dx, (2.6)

en fonction de f(x0) et f(x1).

(iii) En justifiant et en utilisant l’égalité de Q (Π1(f)) et de I(

Π1(f))

, en déduire de nouveau l’ex-pression des poids W0 et W1.

(2) Calculer le degré d’exactitude de cette formule.

(3) Utiliser la formule mise au point pour approcher l’intégrale donnée par

I(f) =∫ 1

−1

e−x2

dx. (2.7)

exercice 2.5.Soit f , une fonction continue sur l’intervalle [−1, 1]. On considère la formule de quadrature

Q(f) = W0f(x0) +W1f(x1) +W2f(x2). (2.8)

où les points x0, x1 et x2 sont donnés par

x0 = −1/5√15, (2.9)

x1 = 0, (2.10)

x2 = 1/5√15, (2.11)

pour approcher numériquement l’intégrale

I(f) =∫ 1

−1

f(x)dx. (2.12)

(1) (a) Trouver les poids W0, W1 et W2, pour que la formule (2.8) intègre exactement les polynômes jusqu’audegré 2.

(b) On propose dans cette question de procéder autrement pour éviter le calcul de l’inverse d’une matrice.

(i) Calculer Π2(f), le polynôme d’interpolation de f sur le support {x0, x1, x2} en fonction de f(x0),f(x1) et f(x2).

(ii) Calculer

I(

Π2(f))

=

∫ 1

−1

Π2(f)(x)dx, (2.13)

en fonction de f(x0), f(x1) et f(x2).

(iii) En justifiant et en utilisant l’égalité de Q (Π2(f)) et de I(

Π2(f))

, en déduire de nouveau l’ex-pression des poids W0, W1 et W2.

(2) Calculer le degré d’exactitude de cette formule.

(3) Utiliser la formule mise au point pour approcher l’intégrale donnée par

I(f) =∫ 1

−1

e−x2

dx. (2.14)

TRAVAUX DIRIGÉS 3

Équations non-linéaires

exercice 3.1.On considère la fonction suivante

f(x) = e2x − 2 x− 8.

(1) Déterminer le nombre des racines de l’équation f(x) = 0 pour x ≥ 0.

(2) (a) Est-ce que la méthode de la bissection converge sur l’intervalle [0, 1.2] ?

(b) Faire quatre itérations de la méthode de la bissection à partir de l’intervalle [0, 1.2].

(3) Sans faire d’itérations, déterminer combien vous devriez faire d’itérations pour calculer la racine à l’aidede la méthode de la bissection, avec une précision de ε = 1.0 10−8. en partant de l’intervalle [1.0, 2.0].

(4) Répondre aux questions 1, 2 et 3 lorsque

f(x) = x− cos (x)

dans l’intervalle [−1.0, 2.0].

exercice 3.2.On rappelle l’exemple 3.8 page 69 du cours, rappelé ci-dessous :

Exemple 3.1. On considère le polynôme P donné par

P (x) = x2 − 3− 2x.

dont les racines sont {3,−1}. On transforme l’équation P (x) = 0 en une équation de point fixe de trois façons différentes. Elle est

équivalente à gi(x) = x, pour i ∈ {1, 2, 3} avec

g1(x) =√2x+ 3,

g2(x) = 3 (x− 2)−1 ,

g3(x) = 1/2 x2 − 3/2.

Les comportements de convergence dépendent du choix de gi comme le montre le tableau 3.1.

Les deux premiers choix présente une convergence vers l’une des racines de P , tandis que le dernier choix correspond à une

divergence.

Nous démontrons, dans cet exercice, les différents comportements observés.

(1)

On considère la fonction g définie par

∀x ∈ R, g(x) =√2 x+ 3. (3.1)

et on posea = 2, b = 4. (3.2)

(a) Montrer que g a un unique point fixe r sur [a, b] et que la méthode du point fixe est convergentepour tout point de x0 ∈ [a, b] vers r = 3.

(b) Soit (xn)n∈N, la suite associée à la méthode du point fixe. Déterminer l’entier n à partir duquel|xn − r| ≤ ε où ε = 1. 10−3.

7

8 3. ÉQUATIONS NON-LINÉAIRES

n g1 g2 g3

0 4 4 4.

1 3.3166247903554 1.5000000000000 6.500000000000

2 3.1037476670488 −6 1.962499999999 101

3 3.0343854953017 −0.3750000000000 1.910703125000 102

4 3.0114400194265 −1.2631578947368 1.825243215942 104

5 3.0038109192912 −0.9193548387097 1.665756383672 108

6 3.0012700375978 −1.0276243093923 1.387372164872 1016

7 3.0004233159999 −0.9908759124088 9.624007619305 1031

8 3.0001411020150 −1.0030506406345 4.631076132821 1063

9 3.0000470336363 −0.9989841527834 1.072343307399 10127

10 3.0000156778378 −1.0003387304383 5.749600844623 10253

11 3.0000052259414 −0.9998871026012 +∞12 3.0000017419800 −1.0000376338825 +∞13 3.0000005806599 −0.9999874555299 +∞14 3.0000001935533 −1.0000041815075 +∞15 3.0000000645178 −0.9999986061661 +∞16 3.0000000215059 −1.0000004646115 +∞17 3.0000000071686 −0.9999998451295 +∞18 3.0000000023895 −1.0000000516235 +∞19 3.0000000007965 −0.9999999827922 +∞20 3.0000000002655 −1.0000000057359 +∞21 3.0000000000885 −0.9999999980880 +∞22 3.0000000000295 −1.0000000006373 +∞23 3.0000000000098 −0.9999999997876 +∞24 3.0000000000033 −1.0000000000708 +∞

Table 3.1. Valeurs des itérés du point fixe xn pour plusieurs choix de gi

(c) Calculer les termes de la suite correspondant en choisissant x0 = 4.

(2)


∀x ∈ R, g(x) = 3 (x− 2)−1

. (3.3)

et on posea = −2, b = 1/4. (3.4)

(a) Montrer que g a un unique point fixe r sur [a, b] et que la méthode du point fixe est convergentepour tout point de x0 ∈ [a, b] vers r = −1.

(b) Soit (xn)n∈N, la suite associée à la méthode du point fixe. Déterminer l’entier n à partir duquel|xn − r| ≤ ε où ε = 1. 10−3.

(c) Calculer les termes de la suite correspondant en choisissant x0 = 1/4.

(3)


∀x ∈ R, g(x) = 1/2 x2 − 3/2. (3.5)

et on posea = 2, b = 4. (3.6)

Montrer que la méthode du point fixe est divergente pour tout point x0 de [a, b] \ {3}.


3. ÉQUATIONS NON-LINÉAIRES 9

exercice 3.3.On considère la fonction à valeurs réelles : f(x) = 4 cos (1/4 π x) + 2 e−x sur l’intervalle [0, 4].

(1) Montrer l’existence et l’unicité d’un zéro x∗ sur l’intervalle [0, 4].

(2) Ecrire la méthode de Newton pour la fonction f et montrer que la convergence est quadratique.

(3) Soit xn+1 = g(xn) la méthode de point fixe associée à la méthode de Newton. Démontrer que l’inégalité

|xn+1 − x∗| ≤ D |xn − x∗|2

est satisfaite pour D = 12 maxx∈[0,4]

|g′′(x)|.

(4) On se place désormais sur l’intervalle [1.8, 2.3] et on admet que l’étude précédente est encore valable surcet intervalle.

Déterminer l’expression en fonction de D permettant d’obtenir le nombre minimal d’itérations né-cessaire pour avoir une erreur inférieure à 1.0 10−10. Donner ce nombre d’itérations lorsque D ≤ 0.2.

exercice 3.4.On s’intéresse à l’équation

p(x) = 0, (3.7)

où

p(x) = x4 − 13x3 + 45x2 + 25x− 250. (3.8)

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6−300

−200

−100

0

100

200

300

400

500

600

Figure 3.1. Fonction p.

La fonction polynôme p est représenté en figure 3.1. L’application de la méthode de Newton à l’équation (3.8)a produit les résultats donnés dans les tableaux 3.2 et 3.3 page suivante et sur les figures 3.2 et 3.3 page 11.

(1) (a) Utiliser les résultats numériques du tableau 3.2 et de la figure 3.2 pour analyser la convergence decet algorithme.

(b) Pour déterminer l’ordre de convergence de cet algorithme, on pourra, dans un premier temps, observerle nombre de chiffres significatifs apparemment exacts.


n xn

0 −3.000000000000000

1 −2.272727272727273

2 −2.027579162410623

3 −2.000320918281175

4 −2.000000044129854

5 −2.000000000000001

6 −2.000000000000000

7 −2.000000000000000

Table 3.2. Itérations de la méthode de Newton pour x0 = −3.

n xn

0 4.000000000000000

1 4.352941176470588

2 4.576207479797041

3 4.720572778683755

4 4.815024216214991

5 4.877245757124600

6 4.918408748717789

7 4.945713169389419

39 5.000050774973653

40 5.000035026141282

41 5.000021788054147

42 5.000004682255494

43 5.000004682255494

Table 3.3. Itérations de la méthode de Newton pour x0 = 4.

(c) Dans un second temps, on pourra considérer que le dernier itéré (d’indice nf) fournis la valeur exactede la racine recherchée. En considérant la suite des erreurs « approchée » en = xn − xnf

, dontles logarithmes en base 10 sont donnés dans le tableau 3.4, on pourra montrer que l’ordre p de laméthode vérifie

log10(|en+1|) ≈ p log10(|en|) +K

où K est une constante et utiliser le graphique du nuage de points (log10(en), log10(en+1)).

(2) Reprendre la question 1a en utilisant les résultats du tableau 3.3 et de la figure 3.3 pour analyser laconvergence de cet algorithme. Les logarithmes en base 10 des erreurs sont donnés dans le tableau 3.5.


exercice 3.5.

(1)



−3 −2.8 −2.6 −2.4 −2.2 −2−100

0

100

200

300

400

500

600

fonctionitérés de Newtondernière valeur

Figure 3.2. Graphiques des itérés de la méthode de Newton pour x0 = −3.

4 4.2 4.4 4.6 4.8 5−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

fonctionitérés de Newtondernière valeur

Figure 3.3. Graphiques des itérés de la méthode de Newton pour x0 = 4.

On cherche à déterminer les racines de l’équation suivante, dite de Ferrari :

x4 + 6x2 − 60x+ 36 = 0. (3.9)

Le graphique de cette fonction sur [0, 4] est tracé sur la figure 3.4. Comment montrer que l’équation(3.9) n’a que deux racines sur [0, 4] ?


n log10(|xn − xnf|)

0 0.00000

1 −0.56427

2 −1.55942

3 −3.49361

4 −7.35527

5 −15.05150

Table 3.4. Logarithmes des erreurs approchées

n log10(|xn − xnf|)

0 −0.02424

1 −0.22711

2 −0.43238

3 −0.64755

4 −0.88376

5 −1.16452

6 −1.56377

Table 3.5. Logarithmes des erreurs approchées

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−50

0

50

100

150

Figure 3.4. Le graphique de la fonction x 7→ x4 + 6x2 − 60x+ 36 sur [0, 4].

(2) (a) Montrer que cette équation peut être mise sous la forme des équations de point fixe x = gi(x) avec :

g2(x) = − 36

x3 + 6x− 60, (3.10)



ou encore

g3(x) =(

−6x2 + 60x− 36)

1

4 . (3.11)

(b) Montrer que sur [3, 31/10], la fonction g2 vérifie

5 ≤ g′2(x) ≤ 10.

Qu’en déduire sur la méthode du point fixe pour la fonction g2 sur [3, 31/10] ?

(c) (i) Montrer que la méthode du point fixe pour la fonction g3 sur [2, 4] est convergente vers l’uniquesolution de (3.9) sur [2, 4].

(ii) Calculer les sept premiers itérés de la méthode du point fixe en partant de x0 = 2.

(iii) Estimer le nombre d’itérations nécessaires pour calculer la racine avec une tolérance ε = 1.0 10−8.

L’exercice 3.5 est inspiré de [BM03, exercice 4.7 p. 175].

exercice 3.6.On cherche à résoudre l’équation g(x) = x où

g(x) = ln (x) + 2, (3.12)

sur l’intervalleI = [2.0,+∞[. (3.13)

(1) Montrer qu’il existe k ∈ [0, 1[ tel que

∀x ∈ I, |g′(x)| ≤ k. (3.14)

(2) En déduire la mise au point complète (théorie, calcul numérique) de la méthode du point fixe et proposerune approximation numérique avec une précision ε = 1.0 10−5. On admettra l’inégalité suivante : si xn

est la suite définie par xn+1 = g(xn) et α est un point fixe de g

∀n ∈ N∗, |xn − α| ≤ kn

1− k|g(x0)− x0|. (3.15)

exercice 3.7.Démontrez les résultats de l’annexe H du polycopié de cours page 139.

TRAVAUX DIRIGÉS 4

Équations différentielles

exercice 4.1.On étudie l’équation différentielle

∀t ∈ [0, T ], y′(t) = tan (t) y(t), (4.1a)

y(0) = 1, (4.1b)

avec T = 1.

(1) Faire quatre itérations avec un pas h = 0.050 des méthodes d’Euler progressif (dite aussi Euler explicite)d’Euler modifiée (dite aussi Runge-Kutta d’ordre 2) et de Runge-Kutta d’ordre 4 pour le problème (4.1).

(2) Montrer que la solution exacte de (4.1) est donnée par

∀t ∈ [0, T ], y(t) = (cos (t))−1

. (4.2)

Calculer les valeurs exacte de y aux instants ti pour 0 ≤ i ≤ N et comparer aux valeurs approchées.Commenter.

(3) Quelle expression peut-on proposer pour approcher y′(tn) ?.

exercice 4.2.On étudie l’équation différentielle

∀t ∈ [0, T ], y′(t) = −t2 + y(t)t, (4.3a)

y(0) = 1, (4.3b)

avec T = 2.Faire deux itérations avec un pas h = 0.300000 des méthodes d’Euler progressif (dite aussi Euler explicite)d’Euler modifiée (dite aussi Runge-Kutta d’ordre 2) et de Runge-Kutta d’ordre 4 pour le problème (4.3).

exercice 4.3.En posant

y1 = y,

y2 = y′,

y3 = y′′.

transformer l’équation différentielle suivante en une équation d’ordre 1 :

∀t ∈ [0, T ], y(3)(t) = y′′(t)− 2y′(t) + y(t)− 2, (4.4a)

y(0) = 0, y′(0) = 1 y′′(0) = 2. (4.4b)

exercice 4.4.On considère le système mécanique représenté sur la figure 4.1, formé de deux points matériels de masses m1

et m2, d’abscisses par rapport à la position d’équilibre x1(t) et x2(t). Ces deux points matériels sont reliés àtrois ressorts de raideur k1 > 0, k2 > 0 et k3 > 0. On suppose de plus que chacun des points matériels est

15

16 4. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

k1

x1

f1 m1

k2

x2

f2 m2

k3

Figure 4.1. un système mécanique à deux degrés de liberté.

soumis à une force extérieure fi(t) et à une force de frottement égale à −cixi(t) − dix3i (t) où ci, di ≥ 0, pour

i = 1, 2. Le principe fondamental de la dynamique conduit aux deux équations suivantes

m1x1(t) + (k1 + k2)x1(t)− k2x2(t) + c1x1(t) + d1x31(t) = f1(t), (4.5a)

m2x2(t)− k2x1(t) + (k2 + k3) x2(t) + c2x2(t) + d2x32(t) = f2(t). (4.5b)

Le système différentiel (4.5) n’est pas une équation différentielle ordinaire de la forme

Y ′(t) = F (t, Y (t)), (4.6a)

Y (0) = Ξ0, (4.6b)

où Y (t) est un vecteur de Rp, mais nous allons montrer que nous pouvons l’écrire sous cette forme.

Pour toute la suite, nous supposerons, pour simplifier 1 que m1 = m2 = 1.

(1) Montrer en posant

y1 = x1, y2 = x1, y3 = x2, y4 = x2 (4.7)

que les équations (4.5) sont équivalentes au système

y1(t) = y2(t), (4.8a)

y2(t) = − (k1 + k2) y1(t) + k2y3(t)− c1y2(t)− d1y32(t) + f1(t), (4.8b)

y3(t) = y4(t), (4.8c)

y4(t) = k2y1(t)− (k2 + k3) y3(t)− c2y4(t)− d2y34(t) + f2(t). (4.8d)

(2) Montrer que si l’on se donne les conditions initiales sous la forme

Ξ0 =

x1(0)

x1(0)

x2(0)

x2(0)

(4.9)

alors le système (4.5) s’écrit sous la forme (4.6) avec p = 4.

1. En divisant chacune des deux équations (4.5a) et (4.5b), c’est toujours possible, quitte à modifier les constantes ki, ci et diet les fonctions fi.


4. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 17

(3) Faire cinq itérations avec un pas h = 0.010000 de la méthode d’Euler progressive et avec les valeurssuivantes :

f1 = f2 = 0,

c1 = c2 = c = 0.010000,

d1 = d2 = d = 0.010000,

k1 = k2 = k3 = k = 1,

x1(0) = 1,

x1(0) = 1,

x2(0) = 2,

x2(0) = 1.

Comment peut on obtenir des approximations de y1(ti) et y2(ti) ?

L’exercice 4.4 est inspiré de [BM03, exercice 5.7 p. 215].

TRAVAUX DIRIGÉS 5

Systèmes d’équations linéaires

exercice 5.1. Résoudre le système linéaire suivant par une méthode d’élimination de Gauss avec pivotagepartiel :

1 3 0

1 2 1

1 1 3

x1

x2

x3

=

8

7

7

exercice 5.2. Résoudre le système linéaire suivant par une méthode d’élimination de Gauss avec pivotageglobal (total) :

1 1 0

1 2 1

1 1 2

x1

x2

x3

=

3

2

1

exercice 5.3. Soit le système linéaire suivant AX = b où

A =

2 4 4

2 7 7

2 6 9

, b =

18

27

27

(1) Calculer la factorisation LU de la matrice A. (La factorisation LU est celle définie en cours avec unematrice U ayant des 1 sur la diagonale).

(2) En déduire la solution du système en utilisant les algorithmes de remontée et de descente.


exercice 5.4. Soit A une matrice inversible de dimension 3 dont la décomposition LU obtenue avec permu-tation de lignes est donnée sous la forme compacte :

1 1 1

4 2 2

2 0 3

où O =

1

3

2

est le vecteur de permutations.

(La factorisation LU est celle définie en cours avec une matrice U ayant des 1 sur la diagonale)

(1) Calculer le déterminant de A au moyen de cette décomposition et retrouver la matrice A.

(2) Résoudre le système Ax =

1

2

5

au moyen de la factorisation donnée en utilisant les algorithmes de

remontée et de descente.

exercice 5.5. Résoudre le système linéaire suivant

9x1 −2x2 +x3 = 13

−x1 +5x2 −x3 = 9

x1 −2x2 +9x3 = −11

à l’aide des méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel à partir de x0 = t[0 0 0]. On calculera les 3 premiers itérés.(seuls les premiers itérés seront corrigés en séance).

19

Bibliographie

[BM03] J. Bastien et J.-N. Martin. Introduction à l’analyse numérique. Applications sous Matlab. Ouvrage disponible à la

bibliothèque Sciences de Lyon 1 (cote : 519.4 BAS, 4 ième étage). Voir https://www.dunod.com/sciences-techniques/

introduction-analyse-numerique-applications-sous-matlab. Paris : Dunod, 2003. 392 pages.

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https://www.dunod.com/sciences-techniques/introduction-analyse-numerique-applications-sous-matlab

https://www.dunod.com/sciences-techniques/introduction-analyse-numerique-applications-sous-matlab

Documents

TRAVAUX DIRIGÉS DE l’UE MNBif Informatique 3A MÉTHODES ...utbmjb.chez-alice.fr/Polytech/MNBif/TDMNBif.pdf · Travaux Dirigés 3. Équations non-linéaires 7 Exercices facultatifs