Travaux Pratiques Démographie des Travaux Pratiques Démographie des populations avec structure d’âge: populations avec structure d’âge: matrice de Lesliematrice de Leslie

Pablo InchaustiPablo InchaustiMarie-Agnès CoutellecMarie-Agnès CoutellecYvan LagadeucYvan Lagadeuc

Patrick Holt Leslie

N

R

N

R(t)

Modèle 1Modèle 1: croissance : croissance exponentielle exponentielle déterministedéterministe

Modèle 2Modèle 2: croissance : croissance exponentielle exponentielle stochastiquestochastique

Suppositions du modèleSuppositions du modèle::1. L'histoire de vie de la population 1. L'histoire de vie de la population

peut se résumer par le taux de peut se résumer par le taux de croissance annuel, qui croissance annuel, qui est est constant au cours du tempsconstant au cours du temps..

2. Tous les individus sont 2. Tous les individus sont équivalents du point de vue équivalents du point de vue démographique (homogénéité démographique (homogénéité individuelle) quels que soient leur individuelle) quels que soient leur âge, leur taille et leur sexe. âge, leur taille et leur sexe.

3. Disponibilité des ressources 3. Disponibilité des ressources illimitée.illimitée.

4. Maturité sexuelle immédiatement 4. Maturité sexuelle immédiatement après la naissance. après la naissance.

Suppositions du modèleSuppositions du modèle::IdemIdem à celles du modèle 1 sauf que à celles du modèle 1 sauf que le taux de croissance varie au cours le taux de croissance varie au cours du temps. du temps. (Stochasticité (Stochasticité environnementale) environnementale)

Notion de risque de Notion de risque de déclin/extinctiondéclin/extinction::

Paramètres et conditions:Paramètres et conditions:•N(0)=10N(0)=10• avg(R)=1.06 (2% de croissance avg(R)=1.06 (2% de croissance annuelle)annuelle)• std (R)=0.2std (R)=0.2• t=20 années (durée de la t=20 années (durée de la simulation)simulation)• 100 itérations.100 itérations.

Paramètres et conditions:Paramètres et conditions:•N(0)=10N(0)=10•R=1.06 (6% de croissance R=1.06 (6% de croissance annuelle)annuelle)•t=20 années (durée de la t=20 années (durée de la simulation)simulation)

Paramètres et conditions:Paramètres et conditions:

• S0=0.706; S1=0.717;

S2=0.751; S3=0.725

• F1=F2=F3=0.48

• Effectifs initiaux[29, 20, 14, 34]=97 ind.• t=1,5,10 années (durée de la t=1,5,10 années (durée de la simulation)simulation)

Modèle 3Modèle 3: structure d’âge déterministe (matrice de : structure d’âge déterministe (matrice de Leslie)Leslie)

)t(N

)t(N

)t(N

)t(N

*

SS00

00S0

000S

FFF0

)1t(N

)1t(N

)1t(N

)1t(N

3

2

1

0

32

1

0

321

3

2

1

0

Suppositions du modèleSuppositions du modèle::1. Hétérogénéité inter-individuelle: 1. Hétérogénéité inter-individuelle:

les taux démographiques (survie les taux démographiques (survie et fécondité) varient selon l ’âge et fécondité) varient selon l ’âge des individus des individus

2. Les taux démographiques sont 2. Les taux démographiques sont constants au cours du tempsconstants au cours du temps..

3. Disponibilité des ressources 3. Disponibilité des ressources illimitée.illimitée.

0 1 2 3+S0 S1

S3

S2

F2

F3

F1

Convergence vers la structure d’âge stableConvergence vers la structure d’âge stable

Années

1967 1973 1979 1985 1991 1997S

uccè

s re

prod

ucte

ur0.20.30.40.50.60.70.80.9

Années

1967 1973 1979 1985 1991 1997

Sur

vie

adul

te

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

Moyenne = 0.69Moyenne = 0.69Ecart-type= 0.11Ecart-type= 0.11

Moyenne = 0.93Moyenne = 0.93Ecart-type= 0.05Ecart-type= 0.05

Les moyennes et les écart-types des Les moyennes et les écart-types des taux démographiques sont estimés taux démographiques sont estimés à partir d’un programme de suivi à partir d’un programme de suivi individuel des individus marqués.individuel des individus marqués.

Albatros hurleurAlbatros hurleur

Temps

0 10 20 30 40 50 60

% d

ans

chaq

ue c

lass

e d'

âge

10

15

20

25

30

35

40

STABLE

Temps

0 10 20 30 40 50 60

Effe

ctifs

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Convergence Convergence progressive vers la progressive vers la structure stable d'âge:structure stable d'âge: vecteur propre de la vecteur propre de la matrice de Lesliematrice de Leslie

Tandis que la structure d'âge de la population est en train d’atteindre ses proportions d'équilibre, la population est en expansion exponentielle: valeur propre de la matrice de Leslie

Valeur reproductiveValeur reproductive:: contribution des individus d ’une classe contribution des individus d ’une classe d ’âge (et leurs descendants futurs) à l’accroissement de la d ’âge (et leurs descendants futurs) à l’accroissement de la population: population: vecteur propre ligne de la matrice de Leslie.vecteur propre ligne de la matrice de Leslie.

Importance pour les mesures de contrôle (+/-) de la croissance populationelleImportance pour les mesures de contrôle (+/-) de la croissance populationelle

Notion d’équivalence des individus des différentes classes Notion d’équivalence des individus des différentes classes d’âged’âge:: • t=5 et [97, 0, 0, 0]t=5 et [97, 0, 0, 0]• Interprétation de la valeur propre et du vecteur propre.Interprétation de la valeur propre et du vecteur propre.

Modèle 4Modèle 4: structure d’âge stochastique (matrice de Leslie : structure d’âge stochastique (matrice de Leslie généralisée)généralisée)

matrice de transition plus complexe.matrice de transition plus complexe.

A noterA noter::•La La tailletaille est la variable qui explique le est la variable qui explique le mieux les variations des taux mieux les variations des taux démographiques.démographiques.•A la différence de l'âge, il est possible A la différence de l'âge, il est possible qu'un individu survive et reste dans la qu'un individu survive et reste dans la même classe de taille ou même devienne même classe de taille ou même devienne plus petit, et donc il y a plus de transitions plus petit, et donc il y a plus de transitions possibles entre classes de taille que d'âge possibles entre classes de taille que d'âge

D4

D5

D6

F4

F5

G4

S4

G5

S3S2S1

G2 G3

<50 51-100 101-150 151-200

G1 D3

F2

F3

>200

54

643

532

4321

54321

GS000

DGS00

D0GS0

0DDGS

FFFFG

L

958.0134.0000

014.0793.0052.000

014.00828.0045.00

0037.0095.0859.0090.0

014.0037.0026.0076.0840.0

L

Vale

urs

m

oy

en

ne

s

des

tau

x

dém

og

rap

hiq

ues

Ecar

ts-

typ

e

des

tau

x

dém

og

rap

hiq

ues

110.0020.0000

006.0085.0007.000

006.00056.0005.00

0007.0007.0071.0008.0

006.0011.0005.0011.0077.0

• Durée=30 ans (durée de la simulation) et «Replications» Durée=30 ans (durée de la simulation) et «Replications» =100=100

Quelques questionsQuelques questions:: •Comment faire décroître le risque prédit de déclin (Comment faire décroître le risque prédit de déclin (extinction?)

de la population? de la population? •Sur quels taux démographiques faudra-t-il agir de façon Sur quels taux démographiques faudra-t-il agir de façon

prioritaire? prioritaire? •Quel sera l’effet d’un changement de t (ex: "Duration=10" et Quel sera l’effet d’un changement de t (ex: "Duration=10" et

"Duration=50")"Duration=50") sur l'estimation du risque de déclin sur l'estimation du risque de déclin

((d’extinction ?) ? ?

A vérifiervérifier::

•Trajectory summaryTrajectory summary:: les effectifs diminuent à un taux presque les effectifs diminuent à un taux presque égal à l, mais quand t=30, il peut y avoir entre 3 et 259 individus égal à l, mais quand t=30, il peut y avoir entre 3 et 259 individus (résultats de ma simulation).(résultats de ma simulation).•Extinction/déclinExtinction/déclin:: Probabilité (Ntot Probabilité (Ntot50)=0.618 pour une période 50)=0.618 pour une période de 30 ans.de 30 ans.