Travaux pratiques Math Spé PC 2017-2018

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Mesures et incertitudes

La théorie sur les incertitudes nous indique que la moyenne m des mesures est, à priori, le meilleur

estimateur collectif de la grandeur mesurée. Mais la mesure de la valeur de la moyenne ne permet pas de

mettre en évidence la dispersion des mesures.

Si 1000 élèves réalisaient le même dosage d’un produit chimique, ces 1000 mesures auraient une répartition

selon la loi "normale" en forme de cloche avec une forte densité de points autour de la valeur moyenne.

Avec cette loi, il est possible de déterminer l'intervalle de confiance dans lequel la probabilité de trouver la

vraie valeur est assez grande.

L’intervalle de confiance, par exemple au niveau de confiance de 95%, est celui dans lequel la valeur

cherchée a 95% de chances de se trouver.

L’incertitude absolue M est égale à la demi-largeur de l’intervalle de confiance.

La précision de la mesure est l'incertitude relative exprimée en pourcentage :M

M.100 .

Mesurande : C’est la grandeur à mesurer, mais éventuellement complétée par quelques informations importantes

comme par exemple la température, la pression…

La valeur vraie : jamais accessible Mvrai

La mesure m :

la mesure de M est la donnée de la valeur moyenne m des mesurages assortie de

l’incertitude absolue M pour un niveau de confiance donné.

Résultat d’une mesure sous la forme M = m ±M

Erreur absolue de mesure : Er = m-Mvrai

o Erreur aléatoire : Era = mi- m

Elle affecte la précision des mesures

o Erreur systématique : Ers = m -Mvrai

Elle affecte l’exactitude des mesures

Il y a trois types d’incertitudes systématiques :

Instrumentales (pipettes, alimentation électrique qui varie…)

Dues à la méthode (cinétique lente pour un dosage, ajout de l’indicateur coloré pour le

dosage…)

Personnelles (manque de pratique !)

Bonne précision mauvaise précision bonne précision

Bonne exactitude bonne exactitude mauvaise exactitude

La précision traduit le degré de proximité (ou reproductibilité) que l'on observe entre différentes mesures qui

ont été obtenues par la même méthode.

L'exactitude exprime la proximité entre un résultat et sa valeur réelle ou présumée telle. Cette notion

nécessite la comparaison entre différentes méthodes.

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o Evaluation des incertitudes par des méthodes statistiques donne l’erreur aléatoire : type A

Elle nécessite de faire de nombreuses mesures notés mi

On choisit la moyenne arithmétique.

L’écart-type est donné par la formule :

k

mmkn

)²(1

1exp

Pour un ensemble de n mesures indépendantes (en général une dizaine en TP = nombre de

binôme), la précision s'obtient à partir de l'incertitude absolue statistique :

MS = n

t exp.

Le coefficient t dépend de n et peut être lu dans une table (table de Student) :

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t95% 12,7 4,3 3,18 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26

t99% 63.7 9,93 5,84 4,6 4,03 3,71 3,5 3,36 3,2

n 12 14 16 18 20 30 50 100 ∞

t95% 2,2 2,16 2,13 2,11 2,09 2,04 2,01 1,98 1,96

t99% 3,11 3,01 2.95 2,9 2,86 2,76 2,68 2,63 2.57

o Evaluation de l’erreur par des méthodes non statistiques : type B

Lecture des données :

L’incertitude est indiquée : on l’utilise

o concentration sur la bouteille de solution

o incertitudes liées à la verrerie utilisée (voir en annexe)

L’incertitude n’est pas indiquée :

o par convention, on considère que le dernier chiffre significatif est connu à ±0,5 pour les

concentrations

o l’appréciation du dosage est au mieux « à la goutte près » soit un volume de 0,05 mL

o Evaluation des incertitudes totales

Il faut souvent combiner les méthodes de type A et de type B, pour obtenir une meilleure évaluation de

l’incertitude :

On admet alors la formule suivante : 2)²( BA MMM

Cette formule implique que tous les M ont un niveau de confiance identique à 95%

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Incertitude composée : lorsque la grandeur est une fonction de plusieurs

On peut être amené à faire des incertitudes absolues composée lorsque la grandeur est une fonction

de plusieurs paramètres :y=f(x1, x2,xk…)

y =

k

xkxk

f)²(

Exemple dosage d’un acide par une base :

Pour le calcul d’une concentration par dosage, on part de la relation expérimentale.

A l’équivalence on aura : Ca=Cb.Vb/Va

Ca/Ca)²=(Cb/Cb)²+(Vb/Vb)²+(Va/Va)²

ECRITURE DU RESULTAT : M = m ± M, unité et niveau de confiance

Nombre de chiffre significatif :

On écrira M au mieux avec 2 chiffres significatifs. Le nombre de chiffres significatifs retenus pour m

dépend alors de M.

Exemple : on réalise la mesure de la concentration d’une solution. Après plusieurs mesurages, on en sort

une moyenne calculée de 0,32074 mol/L et C = 0,013 mol/L.

On écrit donc : C = 0,321 0,013 mol/L

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Précision de la verrerie Burette graduée :

Verrerie jaugée :

Fioles jaugées

Pipettes jaugée :

Capacité (m L) Subdivisions (mL ) Tolérance (m L)

Classes A et AS

5 0,01 0,01

10 0,02 0,02

10 0,05 0,02

10 0,1 0,02

25 0,05 0,03

25 0,1 0,03

50 0,l 0,05

110 0,2 0,08

Classe A Classe B

Tolérance < 0,2% sur le

volume indiqué

Tolérance < 0,5% sur le

volume indiqué

Capacité (mL) Tolérance (mL )

Classe A

0,5 0,005

1 0,005

2 0,006

5 0,01

10 0,015

20 0,02

25 0,025

50 0,035

Capacité (mL ) Tolérance (m L )

Classe A

_ . _ _

5 0,016

10 0,016

25 0,03

50 0,06

100 0,1

200 0,16

250 0,22

500 0,28

1000 0,36