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Trigonométrie Résolution d’équation trigonométrique – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 1 Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : résolution d’équation trigonométrique dans en utilisant les valeurs remarquables du cosinus et du sinus d’un angle Exercice 2 : résolution d’équation trigonométrique dans à l’aide des formules fondamentales Exercices 3 et 4 : résolution d’équation trigonométrique dans un intervalle donné de Exercices 5 et 6 : résolution d’équation trigonométrique dans en utilisant les angles associés Exercice 7 : résolution d’équation trigonométrique de degré 2 Exercice 8 : résolution d’équation trigonométrique dans en utilisant les formules de duplication Exercices 9 et 10 : équations trigonométriques difficiles Remarque : Les relations et formules de cette fiche sont valables pour tout réel . Trigonométrie Résolution d’équation trigonométrique Exercices corrigés

Trigonométrie Résolution d’équation trigonométrique · Exercices 9 et 10 : équations trigonométriques difficiles Remarque : Les relations et formules de cette fiche sont valables

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Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique – Exercices corrigés

© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

1

Sont abordés dans cette fiche :

Exercice 1 : résolution d’équation trigonométrique dans en utilisant les valeurs remarquables du

cosinus et du sinus d’un angle

Exercice 2 : résolution d’équation trigonométrique dans à l’aide des formules fondamentales

Exercices 3 et 4 : résolution d’équation trigonométrique dans un intervalle donné de

Exercices 5 et 6 : résolution d’équation trigonométrique dans en utilisant les angles associés

Exercice 7 : résolution d’équation trigonométrique de degré 2

Exercice 8 : résolution d’équation trigonométrique dans en utilisant les formules de duplication

Exercices 9 et 10 : équations trigonométriques difficiles

Remarque : Les relations et formules de cette fiche sont valables pour tout réel .

Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique

Exercices corrigés

Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique – Exercices corrigés

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2

Résoudre dans les équations suivantes :

Rappel : Valeurs remarquables dans

Valeurs du cosinus et du sinus d’angles compris entre

Valeurs du cosinus et du sinus d’angles compris entre

.

1ère

équation

( )

( )

2ème

équation

( )

( )

3ème

équation

( )

( )

4ème

équation

( )

( )

Exercice 1 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1

Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique – Exercices corrigés

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3

Résoudre dans les équations suivantes :

( ) (

) (

)

( ) (

) (

)

Rappel : Résolution d’équation trigonométrique

( ) ( ) { ( )

( )

( ) ( ) { ( )

( )

1ère

équation

( ) (

)

( ) (

) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2ème

équation

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Exercice 2 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 2

Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique – Exercices corrigés

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4

3ème

équation

( ) (

)

( ) (

) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

4ème

équation

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Résoudre dans [

] les équations suivantes :

(

) ( ) (

)

Avant de résoudre les équations dans [

], déterminons les solutions dans .

1ère

équation

Exercice 3 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 3

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5

(

) (

)

( )

( )

( )

Si :

[

] Donc

est solution.

Si :

[

] Donc

est solution.

Si :

[

] Donc

est solution.

Si :

[

] Donc

est solution.

Si :

[

] Donc

n’est pas solution.

Pour tout entier , l’équation n’admet pas de solution de [

].

Si :

( )

[

] Donc

n’est pas solution.

Pour tout entier relatif , l’équation n’admet pas de solution de [

].

En résumé, l’ensemble des solutions de l’équation dans [

] est :

{

}

2ème

équation

( ) (

)

( ) (

) ( )

( )

( )

Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique – Exercices corrigés

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6

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

Les réels solutions de l’équation initiale ( ) dans [

] sont les solutions de ( ) et ( ) où est un

entier relatif à déterminer pour que [

].

Intéressons-nous tout d’abord aux solutions de ( ).

Si :

[

] Donc

est solution.

Si :

[

] Donc

est solution.

Si :

[

] Donc

est solution.

Si :

[

] Donc

n’est pas solution.

Pour tout entier , l’équation ( ) n’admet pas de solution de [

].

Si :

( )

[

] Donc

n’est pas solution.

Pour tout entier relatif , l’équation ( ) n’admet pas de solution de [

].

En résumé, l’ensemble des solutions de l’équation ( ) dans [

] est :

{

}

Intéressons-nous désormais aux solutions de ( ).

Si :

[

] Donc

est solution.

Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique – Exercices corrigés

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7

Si :

[

] Donc

est solution.

Si :

[

] Donc

est solution.

Si :

[

] Donc

est solution.

Si :

[

] Donc

est solution.

Si :

[

] Donc

n’est pas solution.

Pour tout entier , l’équation ( ) n’admet pas de solution de [

].

Si :

( )

[

] Donc

n’est pas solution.

Pour tout entier relatif , l’équation ( ) n’admet pas de solution de [

].

En résumé, l’ensemble des solutions de l’équation ( ) dans [

] est :

{

}

Finalement, les solutions de l’équation initiale est la réunion des solutions et .

{

} {

} {

}

Résoudre dans puis dans les équations suivantes.

( ) (

) (

) (

)

Exercice 4 (2 questions) Niveau : facile

Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique – Exercices corrigés

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1ère

équation

Résolvons dans un premier temps l’équation proposée dans .

( ) ( )

Déterminons dans un second temps les solutions dans ]– ].

Si :

. Or, ]– ]. Donc est solution dans ]– ].

Si :

. Or, ]– ]. Donc n’est pas solution dans ]– ].

Pour tout entier , l’équation n’admet pas de solution.

Si :

( ) . Or, ]– ]. Donc n’est pas solution dans ]– ].

Pour tout entier , l’équation n’admet pas de solution.

En définitive, l’équation admet une solution unique dans ]– ]. On a { }.

2ème

équation

Tout d’abord, résolvons dans l’équation proposée.

( ) (

)

( ) (

) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

Dorénavant, précisons les solutions de l’équation dans ]– ].

Intéressons-nous tout d’abord aux solutions de ( ).

Si :

– Donc

est solution.

Correction de l’exercice 4

Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique – Exercices corrigés

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9

Si :

– Donc

n’est pas solution.

Pour tout entier , l’équation ( ) n’admet pas de solution dans ]– ].

Si :

– Donc

est solution.

Si :

– Donc

n’est pas solution.

Pour tout entier relatif , l’équation ( ) n’admet pas de solution dans ]– ].

En résumé, l’ensemble des solutions de l’équation ( ) dans ]– ] est :

{

}

Intéressons-nous désormais aux solutions de ( ).

Si :

– Donc

est solution.

Si :

– Donc

est solution.

Si :

– Donc

est solution.

Si :

– Donc

n’est pas solution.

Pour tout entier , l’équation ( ) n’admet pas de solution de ]– ].

Si :

– Donc

est solution.

Si :

Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique – Exercices corrigés

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10

– Donc

n’est pas solution.

Pour tout entier relatif , l’équation ( ) n’admet pas de solution de ]– ].

En résumé, l’ensemble des solutions de l’équation ( ) dans ]– ] est :

{

}

Finalement, les solutions de l’équation initiale est la réunion des solutions et .

{

} {

} {

}

Résoudre dans les équations suivantes :

( ) (

)

Rappel : Angles associés

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1ère

équation

1ère

méthode :

(

)

( ) (

) ( )

( )

( )

( )

Exercice 5 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 5

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( )

2ème

méthode :

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2ème

équation

(

)

( ) (

) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

Etudions les solutions selon les valeurs de , entier relatif, et remarquons alors que les solutions de ( ) se

trouvent dans l’ensemble des solutions de ( ).

( )

( )

( )

( )

( )

Ainsi, l’ensemble des solutions de l’équation est : {

}

3ème

équation

( ) (

) (

) (

)

{

( )

(

) ( )

{

( )

( )

{

( )

( )

{

( )

( )

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{

( )

( )

Résoudre dans puis dans l’équation suivante : ( ) (

)

Pour tout réel,

( ) (

) (

) (

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

⏟ ( )

( ) ( )

( )

( )

Les solutions dans l’intervalle sont :

En effet,

Si :

Ces deux valeurs appartiennent à l’intervalle donc elles sont solutions de l’équation.

Si :

Exercice 6 (2 questions) Niveau : facile

Correction de l’exercice 6

Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique – Exercices corrigés

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Parmi ces deux valeurs, seule la première appartient à l’intervalle donc

est solution de

l’équation ; est en revanche exclue.

Si :

Aucune de ces valeurs n’appartient à l’intervalle . Aucune d’elle n’est donc solution de l’équation.

Pour tout entier naturel , .

Si :

( )

( )

Parmi ces deux valeurs, seule la première appartient à l’intervalle donc est solution de l’équation ;

n’est en revanche pas solution.

Résoudre dans les équations suivantes :

Rappel : Résolution d’équation de la forme

Si , l’ensemble des solutions est l’ensemble vide

Si , l’ensemble des solutions est { }

Si , l’ensemble des solutions est { √ √ }

1ère

équation

( )

( )

( )

( )

Exercice 7 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 7

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2ème

équation

3ème

équation

Rappel : Relation fondamentale entre le sinus et le cosinus d’un angle

On est ainsi amené à résoudre la première équation de cet exercice. D’après ce qui précède, les solutions sont :

( )

( )

( )

( )

Résoudre dans les équations suivantes :

( ) ( )

Rappel : Formules de duplication

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1ère

équation

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Exercice 8 (1 question) Niveau : moyen

Correction de l’exercice 8

Trigonométrie – Résolution d’équation trigonométrique – Exercices corrigés

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( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

Remarquons en effet que les solutions de ( ) se trouvent dans l’ensemble des solutions de ( ). Il suffit de

prendre multiple de : si , alors

( ) ( ).

2ème

équation

( )

Posons . Alors, comme pour tout réel , , il vient que et l’expression

devient .

Soit le discriminant du trinôme du second degré . Alors ( ) .

Comme , admet deux racines réelles distinctes :

En outre, le trinôme est factorisable : ( ) ( ).

On a bien et donc :

( ) (

) ( ) (

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

3ème

équation

( ) ( )

( )

( )

( )

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Résoudre dans l’équation suivante : ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Lorsque , le réel

appartient à l’intervalle si et seulement si :

Or,

Donc la seule valeur de telle que

est .

De même, lorsque , le réel

appartient à l’intervalle si et seulement si :

Or,

Il n’existe donc aucun entier relatif tel

.

Par conséquent,

( )

Il existe un réel unique de tel que

. D’où :

( ) ( )

Exercice 9 (1 question) Niveau : difficile

Correction de l’exercice 9

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A l’aide de la calculatrice, on trouve à près par défaut. En effet, ( ) .

Résoudre dans [

] l’équation suivante : ( ) ( ) ( ) .

Rappel : Formules d’addition

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Résolvons dans [

] l’équation suivante : ( ) ( ) ( ) .

Pour tout réel ,

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ))⏟ ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )⏟ ( )

( ) ( )

( ) ( )⏟ ( )

( ) ( ( ))⏟ ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ( ))⏟ ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⏟ ( )

( ) ( ( ) ( ))

( ) ( ( ) ( ) )

Exercice 10 (1 question) Niveau : difficile

Correction de l’exercice 10

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Etudions le trinôme ( ) ( ) . Pour cela, posons ( ). Remarquons que, pour tout

réel, ( ) , donc . L’expression ( ) ( ) devient .

En posant le discriminant de ce trinôme du second degré d’inconnue , ( ) .

donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes :

( )

( )

En outre, comme , le trinôme est factorisable et ( )( ).

Enfin, comme et , on obtient que :

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( )

)

D’où, pour tout réel ,

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) )

( ) [ ( ( ) ) ( ( )

)]

( ) ( ( ) ) ( ( )

)

( ) ( ( ) ) ( ( )

)

Or, dans [

], on a :

( )

( ) ( )

( )

( )

L’équation ( ) ( ) ( ) admet 3 solutions dans [

] :

.