Trigonométrie

I. Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu

Définition

Dans un triangle rectangle :

Le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport

Le sinus d’un angle aigu est égal au rapport

La tangente d’un angle aigu est égal au rapport

Le cosinus d’un angle aigu se note , de même le sinus de et la tangente de se notent

respectivement et .

Dans le triangle ABC rectangle en A :

;

;

Remarques :

Un cosinus, un sinus et une tangente n’ont pas d’unité.

, et sont des nombres strictement positifs.

II. Deux formules de trigonométries

Quel que soit le triangle ABC rectangle en A :

(1) cos² +sin² (2) tan =

Remarque :

La formule (1) permet de calculer le cosinus de l’angle lorsqu’on connaît le sinus et vice versa.

La formule (2) permet de calculer le cosinus, le sinus ou la tangente de l’angle lorsqu’on connaît deux de ces

nombres.

III. Exercices de référence.

Savoir calculer l’hypoténuse connaissant un angle et un côté

Enoncé

ABC est un triangle rectangle en B tel que : et .

Calculer BC puis donner son arrondi au mm.

Solution

On connaît la longueur BC, le côté opposé à l’angle et on cherche la longueur AC de l’hypoténuse. D’où

l’idée d’utiliser la formule du sinus.

Dans le triangle ABC rectangle en B :

c'est-à-dire

Avec la calculatrice on trouve

Savoir calculer un côté connaissant un angle et l’hypoténuse

Enoncé

EFG est un triangle rectangle en E tel que : et .

Calculer la longueur FE en cm, puis donner son arrondi au mm.

Solution

Dans le triangle EFG rectangle en E :

ce qui donne

Ainsi

Avec la calculatrice on trouve

Savoir calculer un côté connaissant un angle et un coté de l’angle droit

Enoncé

KLM est un triangle rectangle en M tel que : KM=5,4m et .

Calculer la longueur ML en m, puis donner son arrondi au cm.

Solution

Dans le triangle KLM rectangle en M :

.

C’est à dire

.

Ainsi .

Avec la calculatrice on trouve : .

Savoir calculer les mesures des angles connaissant deux côtés

Enoncé

RST est un triangle rectangle en R tel que : et .

Calculer les arrondis au degré des angles et

Solution

Dans le triangle RST rectangle en R :

.

C'est-à-dire

Avec la calculatrice on trouve :

Les angles aigus du triangle RST rectangle en R sont complémentaires

d’où