Troisième partie: Schémas équivalents de transformateurs · La plupart des schémas équivalents sont organisés autour d'un transformateur parfait modélisant le couplage entre

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III - 330

Troisime partie:

Schmas quivalents de transformateurs

III - 331

Contenu de la troisime partie Cette troisime partie est consacre l'tude des schmas quivalents de transformateurs tels qu'on peut les utiliser dans des simulations lectriques du convertisseur. Au contraire de la seconde partie, le travail revt ici un caractre plus bibliographique, partant d'une recherche des schmas quivalents existants pour dgager les plus intressants d'entre eux. Le chapitre X constitue une introduction aux schmas quivalents. Dans une premire tape, on y cerne les spcificits des schmas utiliser pour la simulation des transformateurs au sein des convertisseurs de puissance. La plus grande partie du chapitre est ensuite consacre l'examen des lments constitutifs de base modlisant les diffrents effets magntiques, dissipatifs et lectrostatiques. On y tudie galement les schmas les plus usuels. Le chapitre XI tudie un schma particulier: le schma CCS. On en analyse la constitution, qui est discute, et on prsente les rsultats de l'implmentation qui en a t faite et teste au moyen d'un transformateur rel. Le chapitre XII examine deux schmas supplmentaires: les schmas LEG. L'un est un schma inductif multisorties tandis que l'autre est un schma complet (modlisant l'ensemble des effets inductifs, dissipatifs et capacitifs) limit deux enroulements. Enfin le chapitre XIII examine de manire complmentaire d'autres approches menant des schmas divers. Les conclusions de cette troisime partie sont rassembles dans la synthse du chapitre XIV.

X - Elments constitutifs III - 332

X. Elments constitutifs Dans ce premier chapitre, qui tient lieu d'introduction aux schmas quivalents, nous passons en revue les trois types de phnomnes modliser: les effets magntiques (modliss par des coupleurs et des inductances), dissipatifs (rsistances) et lectrostatiques (capacits). Nous dtaillons les principales options disponibles pour traduire ces effets et introduisons les notions qui seront utiles pour l'tude de schmas quivalents particuliers dans les chapitres suivants. L'tape d'identification des lments est galement aborde. Plan du chapitre

X.1 Introduction ............................................................................................................... 333

X.2 Phnomnes magntiques........................................................................................ 336

X.3 Phnomnes dissipatifs ............................................................................................ 348

X.4 Phnomnes lectrostatiques................................................................................... 352

X.5 Conclusion.................................................................................................................. 356

X.1 - Elments constitutifs: Introduction III - 333

X.1 Introduction Dans ce premier point, nous prcisons quelque peu la notion de schma quivalent telle qu'examine dans le contexte de notre recherche. Le schma quivalent tant un modle, une comparaison peut tre faite avec les modles en lments finis utiliss dans la seconde partie de cette thse. Nous cernons ensuite les particularits des schmas quivalents utiliser dans le cadre de la simulation de convertisseurs de puissance.

X.1.1 Le schma quivalent en tant que modle Le but d'un schma quivalent, dans le cadre de notre travail, est de reproduire certains comportements d'une pice magntique. Cette dfinition insiste par elle-mme sur le fait qu'on ne peut reproduire tous les aspects d'une pice relle. Une premire tche est donc de cerner les effets modliser en fonction de l'application laquelle on destine le schma. Insistons sur le fait que le schma quivalent idal n'existe pas. Nous prsenterons dans cette troisime partie de nombreux exemples de schmas: certains sont trs complets mais lourds utiliser, d'autres, plus basiques, s'avrent adquats dans des applications plus cibles. On peut galement recourir diffrents schmas pour une mme pice magntique suivant le degr de prcision souhait. De ce fait, un schma quivalent se caractrise tout autant par les lments qu'il comporte que par les effets dont il tient ou ne tient pas compte et par le domaine sur lequel il est valable. Un parallle peut d'ailleurs tre fait avec la deuxime partie de ce travail: un schma quivalent est un modle, au mme titre que les modles utiliss en lments finis. Nous ne ferons donc rien d'autre, une fois de plus, que des simulations. Cette fois cependant, nous nous efforcerons de remplacer une pice magntique relle par un schma quivalent en lments localiss utilisable dans un simulateur de circuit tel Spice ou Saber. Ce faisant, nous simplifions le dispositif rel de manire bien plus drastique que par une simulation par lments finis puisque nous passons de plusieurs dizaines de milliers d'quations quelques quations seulement. La rduction du modle dans de telles proportions n'est videmment possible que parce que nous nous limitons maintenant au comportement "extrieur" du transformateur, c'est--dire aux courants et tensions vus par celui-ci en interaction avec les autres lments du convertisseur. Nous abandonnons tout ce qui concerne la comprhension des champs lectromagntiques "l'intrieur" de la pice. L'utilisation conjointe des deux types de modles lements finis et schma quivalent est d'ailleurs une illustration supplmentaire du principe consistant toujours utiliser le modle le plus appropri pour tudier un effet donn61.

61 On assiste cependant une volution vers des simulations couplant le modle en lments finis de la pice magntique aux quations de circuit du convertisseur. Le module Saber MMP ainsi que la mthode du schma quivalent lectromagntique des IV.3 et XIII.2 en sont des exemples.


Compte tenu de la rduction du nombre d'quations, le modle simplifi que constitue un schma quivalent oblige accepter certaines approximations ou hypothses. Des phnomnes ayant une certaine extension dans l'espace, comme on l'a vu dans la premire partie, sont en effet traduits par un ensemble d'lments localiss, dont le nombre et la rpartition varient d'un schma l'autre et influencent le domaine de validit du schma. Enfin, il ne suffit pas d'imaginer un schma quivalent et de connatre son champ d'application: il faut encore lui associer une mthode pour identifier ses diffrents lments partir de la pice relle ou d'une simulation par lments finis. Cette tape constitue souvent en elle-mme un problme spcifique. En rsum, on peut donc dire qu'un schma quivalent se caractrise par sa structure et les lments qu'il comporte, mais aussi:

- par les phnomnes qu'il prend ou ne prend pas en compte, - par les approximations et hypothses sur lequel il est bas, - par l'application concerne et le domaine dans lequel il est valable, - et par la mthode d'identification qui l'accompagne.

X.1.2 Spcificit des schmas quivalents pour les convertisseurs de puissance La plupart des schmas quivalents sont organiss autour d'un transformateur parfait modlisant le couplage entre un primaire et un ou plusieurs secondaires, ce qui reflte la fonction premire d'un transformateur. Ce transformateur parfait est complt d'lments supplmentaires (inductances, rsistances, capacits) visant modliser les "imperfections" de la pice relle. Ces imperfections doivent tre modlises avec soin car elles ont un impact important sur le fonctionnement du convertisseur: chute de tension sur les inductances de fuite, pertes abaissant le rendement, rsonances entre inductances et capacits parasites, etc. Si elles peuvent tre gnantes, elles sont cependant galement souvent mises profit. C'est ainsi que les chutes de tension permettent de limiter les gradients de courant, que certaines topologies utilisent les rsonances pour commuter les semi-conducteurs en dissipant moins de pertes, que les pertes du transformateur permettent d'adoucir les formes d'ondes en amortissant les rsonances, etc. On comprend donc facilement dans ce contexte la ncessit de disposer de schmas quivalents fiables et dtaills. En ce qui concerne les convertisseurs de puissance, trois spcificits orientent le choix du type de schma:

- la grande majorit des transformateurs possdent plusieurs secondaires dlivrant des tensions diffrentes,

- les formes d'ondes sont fortement charges en harmoniques, - en fonctionnement normal, le noyau n'entre pas en saturation.


La prsence de plusieurs sorties, entre lesquelles existent des couplages, demande videmment de considrer des schmas admettant plus de deux enroulements. On trouve couramment des transformateurs comportant quatre enroulements de puissance ou davantage. Compte tenu de la prsence d'un grand nombre d'harmoniques, ces schmas doivent galement tre valables sur une large gamme de frquence, spcialement si le convertisseur fait appel une topologie rsonante. Deux origines peuvent tre distingues dans la variation des impdances en fonction de la frquence: les effets quasi-statiques d'une part, dj tudis dans la seconde partie, et les rsonances entre inductances et capacits parasites du transformateur d'autre part. Rappelons que les courbes d'impdance typiques d'un transformateur rel ont t prsentes au II.3.3 (p. 59). Enfin, l'absence de saturation en fonctionnement normal permet en gnral d'ignorer la non-linarit de l'inductance de magntisation, ce qui simplifie fort heureusement le schma. On doit par contre prendre en compte ce phnomne dans certains cas spcifiques, comme par exemple celui des inductances saturables parfois utilises dans les secondaires des convertisseurs multisorties.

X.1.3 Conclusion Aprs avoir, dans la seconde partie, tudi les champs l'intrieur du transformateur, nous nous attachons maintenant le caractriser "de l'extrieur" pour insrer son modle en lments localiss dans la simulation d'un convertisseur. Parmi les nombreux schmas disponibles, nous devons cerner celui ou ceux qui conviennent bien notre application tant par leur structure que par les phnomnes pris en compte, les hypothses considres, le domaine de validit et la mthode d'identification de leurs lments. Tout l'intrt d'un schma rside dans sa manire de tenir compte des "imperfections" du transformateur rel, qui jouent souvent un rle dcisif dans le fonctionnement du convertisseur. Les diffrentes manires de prendre en compte ces imperfections (effets magntiques, dissipatifs ou capacitifs) sont dveloppes dans la suite de ce chapitre. Les caractristiques gnrales des transformateurs utiliss dans les convertisseurs de puissance nous amnent a priori diriger notre tude vers les schmas linaires, multisorties et valables sur une large gamme de frquence.

X.2 - Elments constitutifs: Phnomnes magntiques III - 336

X.2 Phnomnes magntiques Un schma quivalent de transformateur s'articule videmment d'abord autour d'lments modlisant les phnomnes magntiques, savoir des coupleurs et des inductances. Pour passer d'un modle "spatial" en deux ou en trois dimensions un tel schma, deux dmarches sont examines: la premire est base sur une approche rigoureuse que nous appelons "matricielle" tandis que la seconde, lgrement plus empirique, mne au schma classique bien connu.

X.2.1 Couplages

Flux et coefficients d'inductance

L'laboration d'un schma quivalent suppose de passer d'un problme gomtrique dcrit dans un espace deux ou trois dimensions (ce que nous appelons un modle "spatial") seulement quelques grandeurs caractristiques: les lments localiss d'un schma lectrique. Dans un premier temps, nous cherchons uniquement reprsenter les phnomnes magntiques ou "inductifs", c'est--dire le fait qu'une variation du flux embrass par un conducteur induit dans celui-ci une force lectromotrice. Le flux embrass dpend prcisment des caractristiques gomtriques et physiques (ici la permabilit) du problme. Dans un matriau linaire, celles-ci peuvent tre rsumes en un coefficient d'inductance L constant liant le flux au courant qui lui donne naissance:

(X.2-1)

Plus prcisment, l'inductance est proportionelle au carr du nombre de tours de l'enroulement (N) et inversment proportionnelle la rluctance:

(X.2-2)

Cette rluctance est l'analogue magntique de la notion de rsistance. Elle vaut classiquement pour un tube de flux de longueur l et de section S constante:

(X.2-3)

C'est donc bien cette dernire grandeur qui permet finalement la traduction d'un phnomne spatial en une seule grandeur caractristique, propre au modle considr. Certains schmas sont d'ailleurs bass sur la dcomposition du problme gomtrique en rluctances (voir XIII.1). Sachant qu'un courant variable, par l'intermdiaire du flux, induit une force lectromotrice non seulement dans le conducteur qui porte ce courant mais galement dans tout conducteur plac proximit, on est amen considrer, pour un systme de n enroulements, n2 coefficients d'inductances, ou, en tenant compte de la symtrie de la matrice, n inductances propres et n(n-1)/2

Li=

=

2NL

Sl

=


inductances mutuelles qui traduisent l'ensemble des effets inductifs existant entre les n conducteurs. Du point de vue des effets magntiques, un transformateur linaire deux enroulements par exemple est donc fondamentalement caractris par le systme ci-dessous:

(X.2-4)

C'est ce systme, singulirement rduit par rapport au modle spatial initial, que nous devons traduire en un schma quivalent adquat.

Couplage parfait

Considrons un transformateur deux enroulements. La fonction premire du transformateur est d'assurer un couplage entre ces deux enroulements, couplage qui trouve son origine dans l'existence d'un flux commun ceux-ci. Le couplage est parfait lorsque la totalit du flux est commun aux deux enroulements. Une telle situation est obtenue thoriquement pour deux spires bobines autour d'un noyau de permabilit infinie. L'examen des rluctances montre qu'on a alors:

(X.2-5)

Les courants et tensions sont alors lis par le rapport du nombre de spires, not et dfini par:

(X.2-6)

En vertu de (X.2-5), le systme initial (X.2-4) dgnre en effet en62:

(X.2-7)

Compte tenu de ce systme simplifi caractris par une valeur unique (), un lment suffit pour caractriser la notion de couplage idal. Il s'agit du transformateur parfait ou "coupleur" qu'on retrouve dans de nombreux schmas. Nous reprsentons cet lment par le symbole de la Figure III-1 ci-dessous. Le terme "coupleur" ainsi que sa reprsentation, au signe des courants prs, sont emprunts Kradec [103].

62 La seconde quation du sysme (X.2-7) traduit la conservation de la puissance.

+=

+=

dtdi

Ldtdi

Mv

dtdiM

dtdiLv

22

12

2111

==

21

12

iivv

===

1

2122

22

1

1

NNM

NL

NL

1

2

NN

=


v1 v2

i1 i2

Figure III-1: Coupleur (transformateur parfait) deux enroulements

La notion de coupleur peut tre facilement gnralise n enroulements. Imaginons en effet davantage d'enroulements sur le mme noyau de permabilit infinie: tous voient nouveau un mme flux, ce qui amne crire:

(X.2-8)

avec les rapports de couplage ij:

(X.2-9)

Nous associons au systme (X.2-8) le symbole du coupleur multiple (reprsent ici pour n=4):

v1 v2

v3

i1 i2

i3

12

13

v4i4

14

Figure III-2: Coupleur multiple quatre enroulements

Contrairement ce que la figure ci-dessus pourrait laisser croire, aucun enroulement du coupleur n'est privilgi. Le sens des flches indique simplement comment sont dfinis les rapports de couplage partir d'un enroulement choisi par convention comme le primaire. Les trois "secondaires" sont nanmoins galement parfaitement coupls entre eux. La dissymtrie de la

=

=

=

k

N

kk

iijj

ii

vv

211

i

jij N

N=


reprsentation vient simplement du fait que trois valeurs (12 et 13 et 14) suffisent caractriser un coupleur quatre enroulements.

Note sur l'implmentation des coupleurs

Les coupleurs, qui sont des lments idaux, interviennent dans la plupart des schmas quivalents. Il faut donc tre mme de les implmenter dans un simulateur de circuit. On utilise gnralement dans ce but des sources commandes [176], c'est--dire des sources de courant et de tension dont la valeur dpend du courant ou de la tension un autre endroit du circuit. Les sources commandes, que nous reprsentons en gris, font partie des lments de base disponibles dans les simulateurs de circuit. Le coupleur quatre enroulements de la figure prcdente peut par exemple tre remplac par le schma de la Figure III-3 ci-dessous.

v1

i1

13i312i2 14i4

12v1

i2

v2

13v1

i3

v3

14v1

i4

v4

Figure III-3: Implmentation d'un coupleur quatre

enroulements au moyen de sources commandes63 Un tel schma correspond effectivement aux quations (X.2-8) du coupleur, une nuance importante prs: les sources commandes introduisent un sens dans les galits. Ces sources calculent en effet les membres de gauche conformment aux tensions et courants dans les membres de droite, mais pas l'inverse. Si les coupleurs sont implments de cette manire, disposer une source de tension sur un des secondaires (par exemple pour simuler une mesure) ou une source de courant au primaire n'a aucun sens dans le simulateur de circuit. De ce fait, l'implmentation des coupleurs elle-mme introduit une distinction entre enroulements puisque la source de tension doit obligatoirement tre place au primaire. Une autre possibilit, que nous n'avons pas teste, apparat nanmoins comme une alternative. Il est en effet possible dans Spice de dfinir des mutuelles simplement en entrant un coefficient de

63 On notera que les sources de courant au primaire sont opposes au courant i1. Ceci s'explique par la convention choisie pour les courants au secondaire, dfinis positifs lorsqu'ils sont entrants.


couplage entre deux inductances existantes. L'emploi de coefficients de couplage unitaires (c'est--dire vrifiant (X.2-5)) entre des inductances fictives devrait permettre une implmentation plus directe et plus satisfaisante du point de vue de la symtrie du schma.

X.2.2 Approche matricielle

Couplage imparfait

En pratique, il est impossible de coupler parfaitement deux enroulements: il existe toujours dans les dispositifs rels un "flux de fuite" qui rduit le flux commun par rapport au cas prcdent. L'importance de cette rduction est caractrise par le coefficient de couplage que nous avons dj voqu ci-dessus et dont la valeur devient maintenant infrieure l'unit:

(X.2-10)

Dans le cas d'un couplage magntique imparfait, le quadriple ne peut plus tre dcrit par un coefficient unique : il faut revenir au systme (X.2-4) caractris par les trois valeurs L1, L2 et M. C'est ici que commence vritablement l'laboration d'un schma quivalent dans lequel nous essayons de traduire l'imperfection de la pice relle par rapport l'idalit du coupleur.

Premiers schmas quivalents

La premire possibilit pour modliser un couplage imparfait est d'introduire directement les coefficients d'inductance L1, L2 et M (cette dernire valeur par l'intermdiaire d'un coefficient de couplage) dans Spice. Le "schma quivalent" se confond alors avec la matrice des coefficients d'inductance. Cette approche est uniquement utilise pour des modlisations sommaires du transformateur car elle limite assez fortement l'ajout d'lments supplmentaires. Dans le mme ordre d'ides, on peut obtenir un schma gnral pour un nombre quelconque d'enroulements en connectant une inductance entre chaque paire de terminaisons du transformateur (Figure III-4, [103]). Un tel schma, qui dcoule d'une analyse du systme en admittances, comporte effectivement n(n+1)/2 variables qui forment un systme quivalent celui des coefficients d'inductance. Il est nanmoins difficile interprter physiquement. On ne peut notamment exclure l'apparition d'inductances ngatives. La symtrie apparaissant dans ce schma montre bien le traitement systmatique appliqu aux quations, dans lequel aucun enroulement n'est privilgi. C'est la raison pour laquelle nous qualifions l'approche suivie ici de "matricielle", par opposition une dmarche plus empirique consistant ajouter des lments des endroits bien choisis, dtruisant parfois la symtrie du schma comme nous en verrons des exemples.

21LLMk =


v1

v2 v3

v4

i2

i1

i3

i4

Figure III-4: Exemple de schma matriciel pour n=4

En modifiant lgrement les quations (X.2-4) du quadriple, on trouve encore un schma particulier pour n=2, quivalent, une transformation "triangle/toile" prs, au schma prcdent (Figure III-5). Il est galement peu utilis pour les mmes raisons (inductances ngatives) mais s'approche du schma classique que nous examinons dans le point suivant.

M

L1-M L2-M

v1 v2

i1 i2

Figure III-5: Schma quivalent deux enroulements

Schma mailles auxiliaires

Enfin, une dernire variante assez intressante tire profit de la possibilit d'utiliser des sources commandes [142]. Supposons en effet qu'on rcrive les quations de base (X.2-4), pour le quadriple en rgime, de la manire suivante:

(X.2-11)

avec

(X.2-12)

+=+=

22212

12111

vvvvvv

=

=

kjkjk

jjjj

iMjv

iLjv


Les sources commandes permettent de calculer dans des mailles auxiliaires la valeur de chaque terme vjk individuellement comme dans le schma de la Figure III-6.

v1

v12i1

L1

v11

v2

v21 i2

L2

v22

i2M12

v12

i1M21

v21

Figure III-6: Schma mailles auxiliaires pour n=2 (en haut: mailles principales; en bas: mailles auxiliaires)

Ces mailles auxiliaires et les sources commandes permettent en fait d'implmenter les inductances mutuelles en associant une tension dans un enroulement au courant dans un autre enroulement. Pour les termes diagonaux vjj, il est plus simple d'insrer directement une inductance classique puisque le courant et la tension appartiennent la mme branche. Ce type de schma peut trs facilement tre gnralis n enroulements: chaque maille principale doit alors contenir n-1 sources commandes en tension correspondant n-1 inductances mutuelles dans les n mailles secondaires. Nous en verrons un exemple au chapitre suivant. Si le schma mailles auxiliaires n'claire pas davantage la signification physique des coefficients d'inductance, il permet nanmoins l'usage d'lments tout--fait classiques dans les simulateurs de circuit ainsi que l'extension d'autres types de phnomnes.

X.2.3 Identification des lments du schma Comme on l'a dit, outre la constitution du schma quivalent se pose galement la question de l'identification de ses lments soit des mesures ralises sur un transformateur rel soit, si celui-ci n'existe pas encore, un modle (analytique, par lments finis, etc). En ce qui concerne la pice relle, on ralise en principe n(n+1)/2 mesures, typiquement des essais en court-circuit et circuit ouvert, permettant de calculer autant d'lments dans le schma. En ce qui concerne le modle, une mthode largement rpandue consiste identifier terme terme l'nergie magntostatique du modle avec celle du schma quivalent. Dans le schma de la Figure III-5 par exemple, l'nergie magntostatique vaut:

(X.2-13)

2)(

2)(

2)( 221

222

211 iiMiMLiMLWm

++

+

=


ou encore

(X.2-14)

Or, en supposant le problme linaire, on sait grce au principe de superposition que le champ magntique pour une configuration quelconque des courants dans les enroulements est la somme des champs magntiques dus chaque courant considr individuellement. En notant Hj le champ relev dans une simulation o seul l'enroulement j est parcouru par un courant ij, on peut crire pour n=2 (l'intgrale portant sur tout le volume du problme64):

(X.2-15)

En dveloppant cette dernire relation et en l'identifiant terme terme (X.2-14), on obtient les formules des coefficients d'inductance (rcrites ici pour n quelconque):

(X.2-16)

(X.2-17)

Lorsqu'on connat le champ magntique sur base de simulations ou d'un rsultat analytique, ces formules fournissent un moyen de calculer les coefficients d'inductance directement par intgration [3][170]. Cette mthode gnrale, applicable d'une manire analogue pour calculer les pertes et les coefficients de capacit, possde par contre l'inconvnient d'utiliser simultanment les rsultats de deux simulations (notes ci-dessus j et k) pour le calcul des coefficients mutuels. Il faut encore noter que si le schma lui-mme peut tre soumis une forme d'onde quelconque, l'identification rduit sa validit une seule frquence. La dpendance en frquence des effets magntiques ne peut tre modlise qu'au prix d'lments supplmentaires.

X.2.4 Approche classique

Schma de base deux enroulements

Plutt qu'une description en coefficients d'inductance, d'interprtation peu aise, on prfre habituellement utiliser pour un transformateur deux enroulements le schma classique de la Figure III-7. Celui-ci est construit autour d'un coupleur (transformateur parfait) auquel on ajoute des lments parasites: une inductance de magntisation et deux inductances de fuite. On peut vrifier qu'on

64 Dans (X.2-15) et les quations analogues, la notation * dsigne le complexe conjugu et les champs sont supposs exprims en valeurs efficaces.

21

222

211

22iMiiLiLWm ++=

++== VVm dVHHHHdVHHW*

2121* )()(

21)(

21 rrrrrr

= V jjj

j dVHHiL )(1 *2

rr

+= V kjkjkj

jk dVHHHHiiM )(

21 ** rrrr


retrouve les quations d'un quadriple magntostatique et donc que ce schma est quivalent aux formulations prcdentes en prenant:

(X.2-18)

Lf1 Lf2

Lmv1 v2

i1 i2

Figure III-7: Schma quivalent de base d'un transformateur deux enroulements

Si le schma ci-dessus est trs proche de celui de la Figure III-5 obtenu par l'approche matricielle, l'ide est ici d'obtenir une interprtation plus aise base sur les notions d'impdance de magntisation et de fuite, plutt que sur les coefficients d'inductance et de couplage. D'aprs Kradec [103], ce schma classique ne remplit cependant pas encore toutes les attentes pour plusieurs raisons.

Discussion du schma classique deux enroulements

La premire raison concerne le calcul des trois inductances. En thorie, celles-ci peuvent tre obtenues par intgration de la densit d'nergie magntostatique sur le volume occup par le flux correspondant, d'o l'interprtation aise des lments du schma: Lm s'identifie au flux commun et chacune des inductances Lf1 et Lf2 au flux de fuite d'un enroulement. Mais si cette dmarche convient bien pour quelques cas thoriques, il est difficile de sparer clairement les trois domaines pour les transformateurs rels, dans lesquels les spires d'un enroulement ne sont ni ponctuelles ni confondues. Une solution alternative consiste calculer les coefficients d'inductance Lj et Mjk comme au X.2.3 et en dduire les valeurs de Lm, Lf1 et Lf2 sur base des relations (X.2-18) avec =N2/N1. Mais pour les transformateurs rels, cette mthode peut galement mener des inductances de fuite ngatives comme le montre un exemple donn dans [103]. En pratique, l'interprtation physique des lments du schma n'est donc pas si aise qu'on pourrait le croire.

=

=

=

ML

MLL

MLL

m

f

f

22

11


Kradec fait remarquer que le schma quivalent de la Figure III-7 introduit fondamentalement quatre variables (Lm, Lf1, Lf2 et ) alors que le quadriple est pour sa part caractris entirement par trois coefficients: L1, L2 et M. Une des valeurs du schma peut donc tre choisie arbitrairement. On gale gnralement le rapport du coupleur au rapport du nombre de spires en rfrence au transformateur parfait (X.2-7). Mais tout comme dans le schma de la Figure III-5 (qui n'est en fait qu'un cas particulier correspondant =1), ce choix peut conduire des inductances ngatives. A l'inverse, Kradec montre qu'on obtient toujours des valeurs positives condition de prendre:

(X.2-19)

En choisissant le rapport du coupleur dans cette gamme de valeurs, on peut obtenir plusieurs schmas diffrents, quivalents entre eux. Par exemple, la valeur

(X.2-20)

mne deux inductances srie gales tandis que les valeurs extrmes M/L1 et L2/M correspondent respectivement une inductance de fuite primaire ou secondaire nulle. On retrouve ici le fait, dj identifi dans la premire partie de la thse (II.3.3 par exemple), que la sparation de l'inductance de fuite en deux contributions attribuables chacune un enroulement est une opration arbitraire [185]. Conformment cette ide, Kradec appelle Lf1 et Lf2 des inductances de fuite partielles, leur somme tant l'inductance de fuite totale. Le fait que le rapport de couplage du transformateur parfait puisse tre diffrent du rapport du nombre de spires apparat lorsque toutes les spires d'un mme enroulement n'embrassent pas exactement le mme flux. Dans ces circonstances, la notion de flux embrass par un enroulement devient videmment insuffisante pour modliser dans toute leur complexit des phnomnes rpartis sur un certain volume. Au sujet de la rpartition des inductances de fuite, citons galement le travail de fin d'tudes de Daphn Gilon [67] consacr l'tude d'un type de commutation rsonante: le ZVT ("Zero Voltage Transition"). Dans le cadre de ce travail, nous avons pu constater pour un transformateur deux enroulements qu'il tait obligatoire de rpartir l'inductance de fuite en deux parties pour modliser de manire satisfaisante les formes d'ondes aux alentours de la rsonance. Pendant une phase de la commutation, les deux diodes secondaires sont en effet simultanment passantes, ce qui a pour effet de court-circuiter l'inductance de magntisation en l'absence d'inductance de fuite secondaire, menant un comportement non conforme aux mesures. Ceci illustre bien le fait que chaque schma, jusqu'aux lments qui le composent, doit tre particularis l'application considre. Le schma classique de la Figure III-7, s'il est effectivement d'une interprtation plus facile pour beaucoup de modles thoriques, doit donc tre utilis avec discernement pour les transformateurs rels, surtout si les inductances de fuite jouent un rle important dans le fonctionnement du convertisseur.

ML

LM 2

1

1

2)(LL

Msigne=


Gnralisation n enroulements

Un autre inconvnient du schma classique ci-dessus est qu'il ne se prte pas facilement une gnralisation pour plus de deux enroulements. La dmarche habituelle consiste ajouter des secondaires au moyen d'un coupleur multiple, et attribuer chacun de ceux-ci une inductance de fuite partielle (Figure III-8, dans laquelle la notation ' dsigne une impdance reporte au secondaire).

12

Lf1 Lf2'

Lm

13

Lf3'

Figure III-8: Extension du schma classique plusieurs enroulements

Cette dmarche est cependant incomplte puisqu'elle ne tient pas compte des couplages rels existant entre les secondaires: la preuve en est qu'un tel schma contient 2n variables, ce qui est trop peu pour reprsenter les n(n+1)/2 coefficients d'inductance. Diffrentes possibilits existent pour tenir compte de ces couplages. Nous en donnerons deux exemples aux chapitres XI et XII.

X.2.5 Conclusion Les effets magntiques, c'est--dire les forces lectromotrices induites dans un systme de n conducteurs, peuvent tre caractriss en rgime linaire et une frquence donne par n(n+1)/2 grandeurs: les coefficients d'inductance. Deux possibilits principales existent pour traduire ceux-ci en un schma quivalent utilisable dans un simulateur de circuit. La premire est l'approche matricielle, dans laquelle aucun enroulement n'est privilgi. Le systme est dcrit au moyen d'inductances dont certaines peuvent prendre des valeurs ngatives et est donc relativement difficile interprter physiquement.


La seconde approche consiste partir d'un transformateur parfait (dont l'implmentation dans un simulateur de circuit n'est pas triviale) et lui adjoindre des lments parasites menant au schma classique bien connu. Malgr la cohrence et l'interprtation aise des lments dans des cas thoriques idaliss, certains cas pratiques font apparatre des inductances ngatives. On peut nanmoins remdier ce problme en modifiant le rapport du coupleur parfait, qui devient alors indpendant du rapport du nombre de spires des enroulements. D'autre part, la gnralisation de ce schma classique un nombre quelconque d'enroulements pose galement certaines difficults. On dispose donc d'une part d'une mthode rigoureuse mais relativement opaque quant son interprtation et d'autre part d'un schma apparemment plus proche des notions "physiques", mais qui doit tre utilis avec discernement. En gardant ces deux approches complmentaires, nous cherchons maintenant complter le schma quivalent pour tenir compte des effets dissipatifs et capacitifs.

X.3 - Elments constitutifs: Phnomnes dissipatifs III - 348

X.3 Phnomnes dissipatifs En plus des phnomnes magntiques, un schma quivalent doit galement modliser les effets dissipatifs dans le transformateur, savoir les pertes cuivre et les pertes fer. Ces pertes, et plus spcialement les pertes cuivre, varient significativement avec la frquence comme on l'a vu dans la deuxime partie. Nous reprenons l'analyse selon les deux approches examines au chapitre prcdent.

X.3.1 Approche matricielle De manire gnrale, on peut tenir compte de l'ensemble des effets dissipatifs en ajoutant une partie rsistive chaque terme de la matrice des coefficients d'inductance [190]. Pour deux enroulements en rgime sinusodal, on obtient donc le systme:

(X.3-1)

Insistons sur le fait que celui-ci englobe toutes les pertes, quelle que soit leur origine (donc notamment les pertes fer dans un transformateur). Tout comme la rluctance dans le point prcdent, la rsistance apparat ici fondamentalement comme un coefficient rsumant les proprits gomtriques et physiques du systme, pour les effets dissipatifs cette fois (la proprit physique concerne est donc videmment la conductivit lectrique). En supposant la conducticit de chaque matriau constante (c'est--dire en ngligeant la non-linarit et l'hystrse du noyau), on obtient, suivant une dmarche analogue celle du X.2.3, l'expression des "coefficients de rsistance" Rjk par intgration de la densit de puissance dissipe par effet Joule (Jj reprsentant la densit de courant dans tous les conducteurs lorsque seul le conducteur j est parcouru par un courant net non nul ij):

(X.3-2)

(X.3-3)

A basse frquence, l'intgrale (X.3-3) est nulle et (X.3-2) correspond la dfinition classique de la rsistance d'un conducteur. En prsence d'effets quasi-statiques, comme c'est le cas dans les transformateurs de puissance, ces dfinitions s'cartent par contre un peu des notions habituelles. On observe par exemple que la "rsistance propre" Rjj d'un enroulement, suite au fait que l'intgrale s'tend tout le domaine comme pour les coefficients d'inductance, englobe les pertes dues la densit de courant non nulle induite par effet de proximit dans les n-1 autres

+++=+++=

2222121212

2121211111

)()()()(

iLjRiMjRviMjRiLjRv

= V jjj

jj dVJJiR )(11 *2

rr

+= V kjkjkj

jk dVJJJJiiR )(1

21 ** rrrr


conducteurs. La rsistance propre d'un conducteur inclut donc une partie des pertes gnres dans les autres conducteurs [3]. Elle inclut galement les pertes par courants de Foucault dans le noyau. D'autre part, la "rsistance mutuelle" Rjk s'avre reprsenter le surplus des pertes par effet de proximit lorsque plusieurs conducteurs sont parcourus par un courant net (en fait les doubles produits apparaissant du fait que la densit de courant dans un conducteur est la somme de n densits de courant Jj dues aux courants ij). On remarque encore que les pertes totales d'un quadriple en quasi-statique sont donnes, conformment ces dfinitions, par:

(X.3-4)

Schma quivalent

Pour tenir compte des rsistances propres et mutuelles dans un schma quivalent de type matriciel, il suffit, conformment au systme (X.3-1), d'adjoindre chaque inductance une rsistance en srie. L'introduction des effets dissipatifs est donc trs aise puisque les schmas matriciels du X.2.2 gardent la mme structure.

X.3.2 Schma classique

Pertes cuivre

Plutt qu'une dmarche rigoureuse, on prfre dans le schma quivalent classique introduire quelques rsistances supposes d'interprtation physique aise. Pour les pertes cuivre par exemple, on introduit typiquement une rsistance srie dans chaque enroulement comme la Figure III-9. On s'aperoit facilement que cette solution n'est que partielle puisqu'elle introduit n variables alors que le systme, en prsence d'effets quasi-statiques, est caractris par n(n +1)/2 coefficients de rsistance. Dans ce cas, il n'y a videmment pas moyen d'identifier terme terme de manire rigoureuse les pertes totales du systme (X.3-4) avec celles du schma quivalent, qui valent:

(X.3-5)

21122222

2111, 2 iiRiRiRP totJ ++=

2121

22

'2

211, )(' iRRiRiRP sssstotJ +=+=


Lf1 Lf2'

Lm Rfe

Rs1 Rs2'

12

Figure III-9: Schma classique complt pour tenir compte des effets dissipatifs

La variation en fonction de la frquence des pertes cuivre et de l'inductance de fuite, lorsqu'on en tient compte, est gnralement modlise en remplaant chaque impdance srie par une "chelle" compose de rsistances et d'inductances [137][143][176][178], selon une technique qui sera dtaille dans le prochain chapitre.

Pertes fer

Les pertes fer sont quant elles le plus souvent modlises par une simple rsistance en parallle sur l'inductance de magntisation. La dpendance en frquence (en f pour les pertes par hystrse et en f 2 pour les pertes par courants de Foucault) n'est gnralement pas modlise, sauf par exemple par Shellmanns [178], qui propose un rseau d'impdances lgrement plus volu que la classique paire R-L parallle (voir XIII.3.2). Le recours des modlisations plus pousses n'a lieu que lorsqu'on dsire tenir compte de la non-linarit de la ferrite. Il faut alors coupler le schma quivalent un modle du matriau magntique. De tels modles, dont le plus connu est probablement celui de Jiles-Atherton, tentent de reproduire mathmatiquement les cycles d'hystrse majeurs et mineurs qui caractrisent le matriau. On entre l dans un domaine fort complexe traitant notamment de l'origine des pertes dans les matriaux magntiques, un problme qui n'est pas encore entirement rsolu. Des efforts de recherche intensifs sont mens dans cette voie, en premier lieu par les fabricants de noyaux eux-mmes. Ce point, que nous ne dvelopperons pas, a dj t voqu au I.2.3.

X.3.3 Conclusion En ce qui concerne les pertes cuivre, l'approche matricielle fait apparatre, en prsence d'effets quasi-statiques, les notions quelque peu inhabituelles de rsistance propre et de rsistance mutuelle, analogues dissipatifs des coefficients d'inductance. Celles-ci peuvent tre introduites dans un schma de type "matriciel" en ajoutant simplement une rsistance chaque inductance dj prsente. Dans cette formulation, les pertes fer par courants de Foucault sont naturellement prises en compte, la ferrite tant considre comme un matriau conducteur supplmentaire. L'approche retenue dans le schma classique est nettement moins rigoureuse puisqu'elle consiste introduire en srie avec chaque inductance de fuite une rsistance modlisant les pertes cuivre et en


parallle sur l'inductance de magntisation une rsistance reprsentant les pertes fer. Cette solution n'est forcment qu'une approximation puisqu'elle introduit trop peu de variables pour reprsenter tous les coefficients de rsistance.

X.4 - Elments constitutifs: Phnomnes lectrostatiques III - 352

X.4 Phnomnes lectrostatiques Les enroulements n'tant rien d'autre que des conducteurs proches ports des potentiels diffrents, ils introduisent des effets capacitifs dont les principales manifestations sont des rsonances avec les inductances du transformateur ou du convertisseur. Le schma quivalent doit en tenir compte notamment pour l'tude des alimentations rsonantes et de la compatibilit lectromagntique.

X.4.1 Approche matricielle Comme prcdemment pour les inductances et les rsistances, la dmarche la plus rigoureuse consiste identifier les capacits d'un transformateur que nous supposerons d'abord deux enroulements. L'effet physique auquel nous nous intressons ici est de nature purement lectrostatique: il concerne uniquement la rpartition du champ lectrique et du potentiel lectrique dans le transformateur. En simulation, on l'tudie au moyen de simulations diffrentes de celles utilises pour les effets magntiques (voir V.2.2). La difficult principale apparaissant en lectrostatique est une multiplication des variables du problme. En effet, si du point de vue magntique ou dissipatif l'tat d'un transformateur deux enroulements est dcrit par deux courants, trois variables sont ncessaires pour les effets capacitifs: la diffrence de tension sur chacun des deux enroulements mais aussi la diffrence de tension entre ceux-ci, qui est galement une variable du problme part entire.

v3

v2v1

n=2

i1

i3

i2

Figure III-10: En lectrostatique, un transformateur

deux enroulements est un 3-ports Comme on le voit sur la Figure III-10, on peut donc considrer que le systme n'est plus caractris par deux enroulements mais plutt, en supposant une des bornes au potentiel de rfrence, par trois terminaisons. En consquence, il sera dcrit par les quations lectrostatiques:

(X.4-1)

++=

++=

++=

dtdv

Cdt

dvCdtdvCi

dtdv

Cdt

dvC

dtdv

Ci

dtdv

Cdt

dvC

dtdv

Ci

333

232

1313

323

222

1212

313

212

1111


Il faut donc, compte tenu de la symtrie, six coefficients de capacit ou, plus gnralement, n(2n-1) coefficients pour n enroulements. D'un point de vue thorique ou en simulation, ces coefficients peuvent tre calculs par intgration de la densit d'nergie lectrostatique sur tout le domaine par les expressions suivantes:

(X.4-2)

(X.4-3)

dans lesquelles le champ Ej est celui relev dans une simulation o on applique le potentiel vj la terminaison j et un potentiel nul toutes les autres. Les capacits sont toujours considres comme constantes en fonction de la frquence.

Dnombrement des lments de l'approche matricielle

Le bilan des coefficients ncessaires la description des trois types d'effets (inductifs, rsistifs et capacitifs) montre au Tableau 35 qu'on arrive rapidement un nombre fort important d'lments. Un transformateur quatre enroulements, courant dans les convertisseurs de puissance, demande en effet thoriquement 48 coefficients, dont plus de la moiti modlisent des effets capacitifs.

nbre coefficients nbre enroulements Lij Rij Cij Total

2 3 3 6 12 3 6 6 15 27 4 10 10 28 48 n n(n+1)/2 n(n+1)/2 n(2n-1) 3n2

Tableau 35: Coefficients ncessaires la description d'un systme de n enroulements Outre le fait de devoir rsoudre en simulation un systme comptant autant de coefficients pour le transformateur seul, rappelons qu'il faut galement mesurer ou estimer ces coefficients d'une manire ou d'une autre. On comprend mieux ds lors l'intrt du schma quivalent classique qui, bien que contenant certaines approximations, est plus facile manipuler et interprter qu'un systme complet comme on va le voir ci-dessous.

X.4.2 Schma classique Les articles traitant de l'introduction des effets capacitifs dans le schma classique sont assez nombreux. Compte tenu du nombre lev de coefficients de capacit, on ne s'tonnera pas de n'y rencontrer quasiment que des schmas deux enroulements.

= V jjj

jj dVEEvC )(1 *2

rr

+= V kjkjkj

jk dVEEEEvvC )(

21 ** rrrr


La solution classiquement rencontre pour tenir compte de manire exhaustive des effets capacitifs consiste effectivement introduire six capacits dans le schma. Une des manires de le faire est illustr la Figure III-11 [160]. Il est possible d'tablir une quivalence entre les capacits de ce schma et les six coefficients de capacit du systme (X.4-1). Cette manire de procder, qui correspond en fait une approche matricielle greffe sur le schma classique, implique l'apparition de capacits ngatives.

schmaclassiqueinductif et

rsistif

Figure III-11: Schma classique complt par six capacits

Compte tenu de la lourdeur de ce schma, surtout gnante au moment d'identifier ses lments, la plupart des modles sont simplifis pour ne plus contenir que quatre, trois, deux, voire une seule capacit [25][28][40][88][146][180]. On jugera ces simplifications acceptables ou non en fonction du degr de prcision qu'on dsire obtenir dans la modlisation, un aspect que nous aurons l'occasion de discuter dans les deux chapitres suivants. A l'inverse de ces simplifications, on relve un modle dix capacits chez Prieto lorsqu'il considre les quatre terminaisons flottantes par rapport la rfrence [160].

X.4.3 Limitation des effets capacitifs Outre les rfrences cites ci-dessus, qui prsentent des modlisations plus ou moins tendues des effets capacitifs, plusieurs articles s'attachent l'analyse de ces effets en vue de les minimiser. Diffrentes stratgies de bobinage sont tudies, notament au moyen de simulations par lments finis, ainsi que la manire de connecter le transformateur dans le convertisseur. On trouvera davantage d'informations dans les rfrences [12], [106], [155] et [156].

X.4.4 Conclusion Pour l'tude des effets inductifs et dissipatifs, nous avons logiquement considr qu'un transformateur comporte autant de ports que d'enroulements. Du point de vue lectrostatique, ce n'est plus vrai puisque les diffrences de tension entre les enroulements font galement partie du problme. On est donc amen considrer n-1 ports supplmentaires, ce qui augmente considrablement le nombre de coefficients prendre en compte.


Si du point de vue capacitif on peut complter le schma classique de manire matricielle (ajoutant six capacits dont certaines ngatives pour deux enroulements), on se limite plus couramment un nombre restreint de capacits bien choisies. On introduit invitablement de ce fait des approximations, dont la validit dpend de l'application concerne. Nous aurons l'occasion de montrer des exemples extrmes de cette dmarche dans les deux chapitres suivants puisque ceux-ci prsentent respectivement des schmas une et six capacits.

X.5 - Elments constitutifs: Conclusion III - 356

X.5 Conclusion Au dbut de ce chapitre, nous avons rappel qu'un schma quivalent se caractrise tout autant par sa structure et les lments qui le composent que par son domaine de validit, les hypothses sur lequel il s'appuie, ou la mthode d'identification choisie. Compte tenu des spcificits des transformateurs utiliss dans les convertisseurs de puissance, nous avons identifi trois critres principaux dans la recherche d'un schma quivalent: il doit tre capable de modliser des transformateurs plus de deux enroulements, il doit tenir compte de la variation en frquence des impdances (due aux effets quasi-statiques et aux rsonances) et il peut tre linaire. Nous avons ensuite envisag successivement les trois types d'effets modliser magntiques, dissipatifs et capacitifs selon deux approches complmentaires. L'approche que nous avons appele "matricielle" consiste, selon diverses mthodes, transposer les quations de dpart du n-ports en un schma o aucun enroulement n'est privilgi. Elle mne des schmas symtriques dont l'interprtation est peu aise et qui contiennent notamment des lments de valeur ngative. Pour tenir compte des trois types d'effets, un schma matriciel complet doit comporter 3n2 lments. Compte tenu de la lourdeur d'un tel modle, la seconde approche, celle du schma classique, tente de limiter la multiplication des lments tout en leur gardant autant que possible un sens physique, ce qui s'avre finalement assez relatif. La dmarche, plus empirique, consiste alors adjoindre un transformateur parfait les lments ncessaires la modlisation des imperfections du transformateur. En ce qui concerne les phnomnes magntiques, les deux approches se rejoignent. Des diffrences apparaissent plus nettement pour les effets dissipatifs et lectrostatiques. L'approche classique donne alors des schmas moins rigoureux mais souvent plus faciles manipuler. En pratique, les deux approches se compltent pour donner des schmas plus ou moins complexes en fonction des approximations qu'on s'autorise. Ayant de cette manire pass en revue les mthodes usuelles pour laborer un schma quivalent, nous dtaillons dans les chapitres XI et XII deux schmas particuliers, le schma CCS et le schma LEG, qui nous apparaissent comme les meilleurs candidats pour modliser les transformateurs de puissance. Nous en analysons l'laboration ainsi que le domaine d'application, de mme que la validit pratique pour le schma CCS que nous avons appliqu un transformateur multisorties rel. D'autres schmas seront encore brivement examins dans le chapitre XIII.

XI - Schma CCS III - 357

XI. Schma CCS On trouve assez peu de schmas multisorties dans la littrature. Parmi ceux-ci, le schma "CCS", pour "Coupled Choke Secondaries" ou "secondaires inductances couples", a t dvelopp par Niemela, Owen et Wilson (Virginia Power Electronics Center). Ce schma, qu'on peut voir comme une extension du schma quivalent classique, est prsent dans une srie de trois articles introduisant successivement:

- un schma multisorties de base comportant uniquement des lments srie et valable une seule frquence [142],

- ce mme schma, modifi pour tenir compte de la variation en frquence des rsistances et des inductances de fuite [143],

- et enfin un schma complet comprenant en plus du prcdent des lments parallles modlisant l'inductance de magntisation, les pertes fer et partiellement les capacits parasites [146].

Ces dveloppements sont prsents successivement dans les trois premiers points du chapitre. Les deux points suivants (XI.4 et XI.5) exposent comment nous avons valid le schma dans Excel et l'avons ensuite mis en uvre dans une application Delphi. L'exemple d'un transformateur rel multisorties permet de cerner plus prcisment les possibilits et limitations de ce schma. Plan du chapitre

XI.1 Schma CCS de base ............................................................................................... 358

XI.2 Modlisation des effets quasi-statiques................................................................. 363

XI.3 Schma CCS complet.............................................................................................. 370

XI.4 Validation du schma sur tableur .......................................................................... 378

XI.5 Mise en uvre dans une application Delphi........................................................ 389

XI.6 Conclusion................................................................................................................ 395

XI.1 - Schma CCS: Schma CCS de base III - 358

XI.1 Schma CCS de base Nous prsentons d'abord la version la plus simple du schma CCS, dcrite dans [142]: un schma multisorties modlisant essentiellement les couplages entre les diffrents secondaires. Le schma ne comporte que des lments srie et est valable une seule frquence. L'identification des lments se fait sur base de mesures d'impdance en court-circuit.

XI.1.1 Schma de base L'ide de dpart est de dvelopper un schma multisorties tenant compte de l'ensemble des couplages entre enroulements. La modlisation des couplages entre les diffrents secondaires est particulirement importante car ceux-ci ont tendance rpercuter sur toutes les sorties les variations individuelles des charges du transformateur (un phnomne connu sous le nom de "cross-effect"). L'approche choisie, dont on trouve l'origine chez Rosa [170], est celle du schma quivalent classique bas sur un transformateur parfait. Pour illustrer les quations, dveloppes pour tout n, nous utilisons le cas particulier d'un transformateur quatre enroulements.

Schma quivalent

Le point de dpart du schma est un coupleur quatre enroulements, reprsent la Figure III-12. A ce stade, le schma comprend trois degrs de libert: les trois rapports de couplage.

v1 v2

v3

i1 i2

i3

12

13

v4i4

14

Figure III-12: Le coupleur multiple, point de dpart du schma CCS

Le but du schma CCS de base est de modliser la non-idalit des couplages ainsi que les effets dissipatifs entre secondaires uniquement. On considre pour cela que ceux-ci forment entre eux un systme de n-1 (et non n) enroulements coupls. Ce systme est donc dcrit par une matrice de n(n-1)/2 coefficients complexes prenant en compte les effets propres et mutuels existant entre les secondaires.


Les auteurs font par contre explicitement l'hypothse que le courant magntisant est nul. L'inductance de magntisation tant absente du schma, celui-ci ne comporte donc, outre le coupleur, que des lments srie. Cette hypothse, qui est une particularit par rapport d'autres schmas, revient dire que le couplage entre le primaire et les trois secondaires considrs globalement est parfait, c'est--dire que les ampres-tours du primaire se rpartissent en totalit entre les trois secondaires. Compte tenu de ces considrations, on complte le transformateur parfait de la figure prcdente en ajoutant du ct des secondaires un schma quivalent mailles auxiliaires (X.2.2) de trois enroulements. L'ensemble obtenu forme le schma CCS de base (Figure III-13).

v1

i112

13

14

12v1

i2

v2

ZC,22

vC,2

v23 v24

14v1

i4

v4

ZC,44

vC,4

v42 v43

13v1

i3

v3

ZC,33

vC,3

v32 v34

i2

v32

ZC,32

v42

ZC,42i3

v23

ZC,23

v43

ZC,43i4

v24

ZC,24

v34

ZC,34

Figure III-13: Le schma CCS de base pour un transformateur quatre enroulements

Equations dcrivant le schma

On peut vrifier que le schma obtenu rpond aux quations suivantes:

(XI.1-1)

(XI.1-2)

=

=+=

=

0

)..2(

1

,11

j

n

jj

jCjj

iN

njvvv


qui sont celles d'un coupleur n enroulements (X.2-8) dans les secondaires duquel on introduit des chutes de tension vC,j. Celles-ci modlisent l'ensemble des effets magntiques et dissipatifs relatifs aux secondaires, dcrits par le systme matriciel:

(XI.1-3)

Dans ce systme, chaque impdance comporte une partie rsistive et une partie inductive:

(XI.1-4)

Le systme (XI.1-3) est implment, dans la figure prcdente, par les mailles auxiliaires et les sources commandes (X.2.2). Il faut attirer l'attention sur le fait que le schma CCS ne peut modliser un systme complet n enroulements. Dans notre cas (n=4), un tel systme est en effet dcrit par 10 coefficients complexes, alors que le schma quivalent de la Figure III-13 ne comporte que 9 variables (6 pour le systme au secondaire + 3 coefficients de couplage). Un degr de libert a en effet t enlev par l'hypothse du courant magntisant nul, traduite dans (XI.1-2). Notons encore que, selon le choix des auteurs, les rapports de couplage sont gaux aux rapports du nombre de spires entre enroulements, soit:

(XI.1-5)

En l'absence d'inductance de magntisation, ce choix est logique puisque la totalit des ampres-tours du primaire se rpartit entre les secondaires. La rpartition a donc lieu a priori en fonction du nombre de spires de chaque enroulement. Les imperfections des couplages entre secondaires sont par contre prises en compte dans le schma mailles auxiliaires.

XI.1.2 Identification des lments du schma

Identification aux coefficients d'impdance

Aprs avoir constitu le schma, il est ncessaire d'en identifier les lments ZC,jk. Une premire possibilit est de dduire leurs valeurs des coefficients d'impdance Zjk, disponibles par exemple suite une simulation par lments finis. En introduisant dans les quations d'un systme complet n enroulements l'hypothse du courant magntisant nul (XI.1-2) et en comparant le systme obtenu (XI.1-1) et (XI.1-3), on obtient:

(XI.1-6)

qui donne la solution recherche.

++=

++=

++=

4443432424,

4343332323,

4243232222,

iZiZiZviZiZiZviZiZiZv

C

C

C

jkjkjk MjRZ +=

11111111, ZZZZZ kjjkkjjkjkC +=

j

kjk N

N=


Identification sur base de mesures

L'identification des lments se fait plus couramment sur base de mesures. Compte tenu de l'hypothse particulire sur le courant magntisant, il faut videmment uniquement considrer n(n-1)/2 mesures en court-circuit. Une mesure circuit ouvert n'aurait pas de sens puisque l'impdance de magntisation est suppose infinie. Nous notons Z(jk) l'impdance mesure au port j lorsque le port k est court-circuit, les n-2 autres ports tant laisss circuit ouvert. On voit facilement sur le schma de la Figure III-13 qu'une premire srie de mesures, ralises au primaire en court-circuitant successivement chacun des secondaires, permet de dterminer les impdances propres:

(XI.1-7)

Une seconde srie de mesures ralises entre paires de secondaires permet de trouver la valeur des impdances mutuelles. On obtient aprs calcul l'expression [142]:

(XI.1-8)

On prend galement note de la relation suivante, qui indique une symtrie dans les mesures d'impdance en court-circuit:

(XI.1-9)

On prendra garde de ne pas confondre le port court-circuit et le port d'o l'on effectue la mesure d'impdance. Si on inverse ceux-ci, la relation montre en effet qu'on obtient une valeur d'impdance multiplie par le carr du rapport de couplage (voir aussi XI.4.6).

XI.1.3 Conclusion Le schma prsent ci-dessus rsulte d'un mlange entre un schma quivalent classique (couplage primaire/secondaires) et une approche matricielle (couplages entre secondaires). Au lieu de considrer tous les enroulements comme tant quivalents, une dissymtrie est introduite: le couplage primaire/secondaires est considr comme "parfait" (hypothse d'un courant magntisant nul) alors qu'on modlise la non-idalit des couplages entre secondaires. On obtient de ce fait un schma plus lisible que s'il tait purement matriciel. Compte tenu de la reprsentation des impdances au secondaire, on ne peut exclure dans celles-ci l'apparition de valeurs ngatives. Le schma CCS de base constitue une solution videmment incomplte puisque nombre d'effets ne sont pas pris en compte. C'est cependant un point de dpart trs intressant puisqu'il offre l'avantage de dpasser le stade du transformateur deux enroulements. L'identification des lments est assez simple, autant sur base des coefficients d'inductance que sur base de mesures en court-circuit.

)1(21, jjjjC ZZ =

= )(1

1)1()1(11, )(2

1jk

j

kkjkjjkC ZZZZ

)(

2

1

1)( jk

k

jkj ZZ

=

Commentaire [U70] : Les auteurs indiquent que l'absence d'inductance de fuite au primaire ne doit pas tonner car celle-ci est reporte aux secondaires. (cogiter: demande de rflchir la rpartition del'inductance de fuite entre trois enroulements/une ou plusieurs inductances de fuite?)


Le schma n'est valable qu' une seule frquence. Pour lever cette limitation, les auteurs ont dvelopp un schma modlisant directement la variation des impdances en fonction de la frquence. Le point suivant explique les modifications apporter pour tenir compte des effets quasi-statiques.

XI.2 - Schma CCS: Modlisation des effets quasi-statiques III - 363

XI.2 Modlisation des effets quasi-statiques Comme expliqu dans la seconde partie, les effets quasi-statiques se manifestent par une variation de la rsistance et de l'inductance des enroulements en fonction de la frquence. Pour en tenir compte, les auteurs proposent d'introduire des "chelles" d'impdance, menant un schma appel "FIE-CCS" ("Frequency-Independent-Element Cross-Coupled-Secondaries") [143]. La difficult principale rside alors dans le fait d'identifier les lments constituant les chelles, sur base de mesures ralises sur une certaine gamme de frquence. Mis part cette modification, les hypothses du schma CCS de base restent d'application.

XI.2.1 Impdance variable en frquence

Impdance en chelle

Pour tenir compte de la variation en frquence des impdances srie, une approche assez classique [137][176][178] et finalement fort simple est propose: elle consiste remplacer chaque paire R-L du schma de base (Figure III-13) par une chelle d'impdances comme la Figure III-14. Cette opration concerne toutes les impdances ZC,jk, c'est--dire autant les impdances propres des mailles principales que les mutuelles des mailles auxiliaires. Par convention, nous considrons que le nombre d'chelons U est le nombre total de paires R-L dans l'chelle: la paire R1-L1 srie compte donc pour un chelon.

Ls

L1R1

Rs

R2

L2

RU

LU

Figure III-14: Modlisation d'une impdance variable en frquence par une chelle

L'impdance d'un tel rseau en fonction de la frquence vaut:

(XI.2-1)

Cette fonction comporte des ples aux frquences fqP (q variant de 1 U):

(XI.2-2)

= +

+++=

U

q qq

qqqqeq LR

LRjLRLjRZ

2222

222

11)(

q

qPq L

Rf

2=


Elle peut tre dcompose en une partie rsistive et une partie inductive comme suit:

(XI.2-3)

(XI.2-4)

0,1

1

10

100

1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07 1,E+08

f (Hz)

Req

(ohm

)

2,0E-06

4,0E-06

6,0E-06

8,0E-06

1,0E-05

1,2E-05

1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07 1,E+08

f (Hz)

Leq

(H)

Figure III-15: Courbes typiques d'impdance d'une chelle (U=3)

La Figure III-15 montre l'allure typique des courbes de rsistance et d'inductance quivalentes, obtenues ici pour trois chelons suivant un exemple tir de [143]. Dans cette figure, on peut identifier des paliers horizontaux (en trait interrompu) correspondant aux valeurs particulires:

[ ] =

+

+==U

q Pq

qeqeq

ff

RRfZefR

221

1

)()(

[ ] =

+

+==U

q

Pq

qeqeq

ff

LLfZmfL

221

1

)(1)(

RS1

RS2

RS3

LS1

LS2

LS3


(XI.2-5)

(XI.2-6)

En basse frquence, la courbe de rsistance vaut R1 (=RS1). Au fur et mesure que la frquence augmente, les rsistances R2 RU s'ajoutent successivement, pour arriver finalement un palier valant la somme des rsistances R1 RU, soit RSU. A l'inverse, l'inductance quivalente vaut en basse frquence la somme des inductances L1 LU (soit LS1). Au fur et mesure que la frquence augmente, les inductances L2 LU se retranchent pour rejoindre un palier de valeur L1 (voir galement Figure III-17, p. 368). Les variations obtenues sont donc bien celles correspondant naturellement aux effets quasi-statiques: augmentation de la rsistance et diminution de l'inductance.

Identification des lments de l'chelle

Dans le schma de base valable une seule frquence, il suffit, pour trouver la valeur des lments ZC,jk, d'identifier les rsistances et inductances aux valeurs correspondantes dduites des mesures sur le transformateur rel. Grce aux chelles, on dispose cette fois de plus de degrs de libert puisque les impdances ZC,jk sont rendues variables en frquence. Notons Zmes,jk(f) les courbes d'impdance du transformateur rel auxquelles il faut les identifier. Conformment (XI.1-7) et (XI.1-8), ces courbes sont dduites des mesures d'impdance en court-circuit Z(jk)(f), ralises en un nombre fini de points rpartis sur la gamme de frquence. L'identification pose essentiellement deux problmes:

- le choix de la gamme de frquence du modle (note fInf fSup), - pour chaque impdance, le choix des valeurs Rq et Lq des lments de l'chelle faisant

le mieux correspondre l'impdance de celle-ci (Zeq(f)) la mesure (Zmes(f)). Concernant le premier point, les auteurs insistent sur le fait que le modle n'est destin qu' reproduire les effets quasi-statiques, de sorte que la gamme de frquence est de toute faon relativement limite. Si on largit trop celle-ci, on risque de rencontrer dans le transformateur rel des effets non modliss, dus l'inductance de magntisation pour les frquences infrieures et aux capacits parasites des enroulements pour les frquences suprieures. Ces lments seront par contre intgrs dans le modle CCS au chapitre suivant. La courbe Zmes(f) reprsente d'ailleurs une mesure de "l'impdance de fuite" (limite aux lments srie) plutt que de l'impdance en court-circuit (voir XI.3.4). En se limitant donc aux effets quasi-statiques, on peut voir sur la Figure III-15 que l'impdance de l'chelle est constante aux deux extrmits de la gamme de frquence. Pour la limite fInf, qu'on choisira gnralement dans le domaine statique, ce comportement est bien celui du transformateur

)1(1

UiRRi

qqSi =

=

)1(1

1 UiLLLU

iqqSi +=

+=


rel, l'inverse de la frquence suprieure comme on le verra ci-dessous. En fonction de la largeur de la gamme de frquence comprise entre ces deux limites, il convient de choisir un nombre d'chelons suffisant pour modliser la variation des impdances avec la prcision voulue. Mais il faut d'autre part viter de multiplier les chelons sous peine d'alourdir trs rapidement le modle. En pratique, on ne dpasse pas trois quatre chelons pour les transformateurs multisorties, correspondant typiquement une gamme de frquence de deux trois dcades. En ce qui concerne le choix des lments eux-mmes, on constate une particularit: chaque expression Req(f) (XI.2-3) et Leq(f) (XI.2-4) dpend de l'ensemble complet des valeurs Rq et Lq. Il est donc impossible d'identifier sparment les lments rsistifs et inductifs de l'chelle: on doit plutt recourir une mthode d'identification simultane de tous les lments. Deux mthodes diffrentes sont proposes suivant que l'chelle comporte deux chelons ou plus.

XI.2.2 Premire mthode d'identification (deux chelons) Lorsque l'chelle ne compte que deux chelons (U=2), l'identification est fort simple (Figure III-16):

- en basse frquence, il suffit d'identifier les paliers de rsistance et d'inductance avec ceux de la courbe mesure. Compte tenu des relations (XI.2-5) et (XI.2-6), on a:

(XI.2-7)

(XI.2-8)

- l'autre extrmit de l'intervalle, on identifie de la mme manire l'inductance de l'chelle avec celle de la courbe mesure, qui varie lentement:

(XI.2-9)

- par contre faire de mme pour la rsistance n'aurait pas beaucoup de sens puisque la

rsistance de l'chelle atteint un palier mais que la rsistance mesure suit une asymptote oblique (voir par exemple Figure II-13, p. 59). On prfre donc faire correspondre les deux courbes environ au milieu de l'intervalle, une frquence fmid prise dans la zone du graphe o la pente est la plus leve. Le calcul de la rsistance quivalente de l'chelle une telle frquence mne la formule:

(XI.2-10)

La mthode d'identification se rsume donc aux quations (XI.2-7) (XI.2-10).

)(11 InfmesS fRRR ==

)(211 InfmesS fLLLL =+=

)(22 SupmesS fLLL ==

( )

+

=

2

2

1

1

22

2 2)(

411)(2)2(

LfRfR

RfRLf

Rmid

midmes

midmes

mid


Rmes

R

f

Req

R1 Lmes

LS1=L1+L2

f

L1Leq

L

fmid

Figure III-16: Identification des lments d'une chelle deux chelons ("match-point curve fitting")

Le fait de faire correspondre les deux courbes de rsistance en un point particulier de la gamme de frquence a donn son nom cette mthode pour deux chelons: "match point curve fitting". Les auteurs recommandent de choisir la frquence fmid au point o le facteur FR vaut deux65. Toujours d'aprs [143], un modle utilisant une chelle de ce type pour chacune des impdances ZC,jk permet gnralement de prendre en compte les premires harmoniques des formes d'ondes. Elle est cependant trop limite si on dsire un calcul des pertes en prsence d'ondes carres, qui demande la prise en compte de beaucoup plus d'harmoniques.

XI.2.3 Seconde mthode d'identification (deux chelons et plus) Lorsque l'chelle compte plus de deux chelons, une mthode alternative est propose, base essentiellement sur l'identification de l'inductance ("inductance based curve fitting"). La premire tape consiste identifier les valeurs de l'impdance en basse frquence, comme dans la mthode prcdente. L'quation (XI.2-7) pour la rsistance reste valable tandis que (XI.2-8) devient:

(XI.2-11)

La deuxime tape consiste choisir les frquences des ples de la courbe Zeq(f), qui interviennent dans le calcul des rsistance Rq:

- la valeur de R1 tant dj fixe, on passe directement au deuxime ple, qu'on place la frquence fV corrrespondant au point d'inflexion de la courbe d'inductance:

(XI.2-12)

65 L'article original parle d'une frquence o KR vaut deux. Or KR est la notation classique pour un autre facteur, introduit par Carsten et valant FR/X (voir I.3.4 et III.2.2). Nous supposons cependant qu'il s'agit bien du facteur FR puisque l'article parle simultanment du rapport RAC/RDC.

)(1

1 Infmes

U

qqS fLLL ==

=

VP ff =2


- puis on place les ples suivants gale distance sur l'axe des frquences, selon un facteur IP reprsentant un nombre de dcades typiquement compris entre 1,2 et 2 Figure III-17):

(XI.2-13)

Dans la troisime tape, en vue d'identifier l'inductance entre deux ples successifs, on dtermine des frquences intermdiaires fqLS par un dcalage OLS (valeur propose: 0,63IP) partir des frquences des ples:

(XI.2-14)

Enfin on ralise l'identification proprement dite, sur base des valeurs mesures de l'inductance aux frquences fqLS d'une part, et sur base des frquences des ples fqP pour la rsistance d'autre part:

(XI.2-15)

(XI.2-16)

fV=f2P f3P f4P

IP IP

OLS OLSf3LSf2LS

L2

LS1

L3

L

f

Lmes(f)

L1

0

2e tape

3e tape

Figure III-17: Identification des lments de l'chelle

)2(10. Uqff LSOPqLS

q =

=

=

=

)3()()(

)(

)(

1

212

1

UqfLfLL

fLLL

fLL

LSqmes

LSqmesq

LSmesS

LSUmes

=

=

)2(2

)(1UqLfR

fRR

qP

qq

Infmes

)3(10.1 Uqff pIP

qP

q =


par la mthode des inductances (exemple 3 chelons) La Figure III-17 reprsente les tapes 2 et 3 de la dmarche ci-dessus ainsi que l'interprtation des valeurs Lq sur base de la courbe d'inductance mesure. La courbe d'inductance quivalente de l'chelle n'est pas reprsente. On peut remarquer sur cet exemple trois chelons que la gamme de frquence sur laquelle le modle est valable s'tend certainement jusqu' fU+1P (ici f4P) puisque l'inductance du modle est exacte la frquence fULS (ici f3LS). L'article propose encore une mthode de "projection" permettant de dterminer les impdances de fuite lorsque celles-ci sont masques par les rsonances dues aux capacits parasites. Comme on peut le voir, la mthode d'identification pour plus de deux chelons est fort complexe et base sur plusieurs coefficients empiriques. Ceux-ci rendent la mthode assez difficile mettre en uvre en pratique. De plus, il faut remarquer que l'identification de la rsistance est fort alatoire puisque seule la valeur du palier basse frquence est prise en compte. Ce point sera dvelopp la fin du chapitre, lors de la mise en uvre du schma sur un exemple rel.

XI.2.4 Conclusion La variation des impdances en frquence est obtenue par un procd assez classique: l'utilisation de "rseaux" ou "chelles d'impdance" pour toutes les impdances du schma. Ces chelles reproduisent naturellement l'augmentation de la rsistance et la diminution de l'inductance caractristiques des effets quasi-statiques. Elles ne sont par contre pas destines modliser l'influence de l'inductance de magntisation ou des capacits parasites par exemple. La difficult principale consiste dterminer la valeur des lments constituant les chelles partir des courbes mesures sur le transformateur rel. On remarque que la courbe de rsistance quivalente et celle d'inductance quivalente dpendent toutes les deux de l'ensemble des lments de l'chelle, ce qui rend obligatoire une identification simultane des deux courbes. Lorsque l'chelle comporte deux chelons, les auteurs proposent une mthode permettant une identification aise des deux courbes dans une gamme de frquence limite (environ une dcade). En prsence de plus de deux chelons, une seconde mthode, base essentiellement sur l'identification de la courbe d'inductance, apparat nettement plus alatoire: d'une part elle utilise plusieurs coefficients empiriques ajuster, d'autre part l'identification de la rsistance est trs partielle. Compte tenu de la multiplication rapide des lments du schma, il convient en pratique de se limiter trois voire quatre chelons. En fonction du niveau de prcision souhait, on peut esprer une gamme de frquence de deux trois dcades.

XI.3 - Schma CCS: Schma CCS complet III - 370

XI.3 Schma CCS complet En combinant les acquis des XI.1 et XI.2, on dispose d'un schma modlisant les impdances de fuite (inductances et pertes) d'un transformateur multisorties, en ce compris les variations dues aux effets quasi-statiques. La dernire tape consiste complter ces lments srie par des lments parallles tenant compte de l'inductance de magntisation (suppose jusqu'ici infinie), des pertes fer et des capacits parasites.

XI.3.1 Elments parallles Trois effets supplmentaires sont ajouts au schma CCS de base rendu variable en frquence. Pour tenir compte de l'inductance de magntisation et des pertes fer, les auteurs choisissent l'option tout--fait classique consistant ajouter un circuit R-L parallle au primaire du transformateur (voir X.2.4 et X.3.2). Ils y ajoutent encore, toujours en parallle, une unique capacit destine modliser la capacit parasite entre les spires du primaire. Celle-ci peut tre vue comme une simplification extrme du schma six capacits du X.4.2. Le circuit parallle ainsi form (et constitu des trois lments nots RmTot, LmTot et CmTot) sera ensuite distribu l'ensemble des enroulements (XI.3.3).

v1

i112

13

12v1

ZC,22

13v1

ZC,33

RmTot

LmTot

CmTot

i'1

Figure III-18: Premire tape de l'ajout d'lments parallles

Le but poursuivi en ajoutant ces trois lments est double: tendre la gamme de frquence d'une part et d'autre part lever l'hypothse du courant magntisant nul de manire rendre le modle valable pour n'importe quelle condition de charge (y compris circuit ouvert par exemple).

XI.3.2 Identification des lments parallles Les trois lments forment un circuit R-L-C parallle. Ils doivent tre identifis partir de la mesure de l'impdance circuit ouvert du transformateur rel sur toute la gamme de frquence, mesure qui n'a pas encore t utilise ce stade. L'identification se fait donc de manire tout--fait indpendante de celle des impdances srie. On fait d'ailleurs explicitement l'hypothse que les chutes de tension sur celles-ci sont ngligeables circuit ouvert [146]. En consquence, on mesure


en thorie la mme impdance, au carr du rapport de couplage prs, quel que soit le port depuis lequel on effectue la mesure. Supposons donc qu'on ralise une mesure de l'impdance circuit ouvert vue du primaire et qu'on dispose des rsultats en module et en phase sur toute la gamme de frquence, c'est--dire de deux courbes |ZOC(f)| et OC(f). Celles-ci possdent typiquement l'allure illustre ci-dessous. Notre but est de choisir les valeurs RmTot, LmTot et CmTot de manire reproduire des courbes d'impdance similaires.

1,E+02

1,E+03

1,E+04

1,E+05

1,E+06

10 100 1000 10000

f (kHz)

|Zc| (ohm)

-90

-60

-30

0

30

60

90

10 100 1000 10000

f (kHz)

Phase (deg)

Figure III-19: Courbes typiques de l'impdance circuit ouvert

A partir des valeurs|ZOC(f)| et OC(f), on peut calculer un quivalent R-X parallle sur toute la

gamme de frquence de la manire suivante:

(XI.3-1)

(XI.3-2)

)(cos)(

)(f

fZfR

OC

OCP

=

)(sin)(

)(f

fZfX

OC

OCP

=


La valeur maximale de RP(f) indique la frquence de rsonance choisir pour le circuit R-L-C de la Figure III-18. Elle fournit galement la valeur de la rsistance RmTot, gale l'impdance du circuit cette frquence:

(XI.3-3)

(XI.3-4)

En-dessous de cette frquence fres, on sait que le circuit R-L-C est essentiellement inductif. On

peut calculer une inductance quivalente chaque frquence d'aprs:

(XI.3-5)

A l'extrmit infrieure de la gamme de frquence, cette courbe atteint un palier qui fournit la valeur de l'inductance LmTot:

(XI.3-6)

Similairement, on pourrait calculer une capacit quivalente pour les frquences suprieures

la frquence de rsonance:

(XI.3-7)

et prendre pour CmTot la valeur de cette courbe pour la frquence la plus haute de l'intervalle. Cependant la courbe COC(f) tant souvent perturbe par des rsonances supplmentaires non modlises dans le schma CCS, on prfre en pratique calculer CmTot sur base de la frquence de rsonance dj releve:

(XI.3-8)

Les quations (XI.3-3), (XI.3-6) et (XI.3-8) fournissent donc un moyen d'identifier les trois lments du circuit R-L-C.

XI.3.3 Distribution de l'impdance parallle Pour arriver au schma CCS final, les auteurs proposent une dernire opration. Celle-ci consiste distribuer tous les enroulements les lments parallles qui viennent d'tre dtermins. Il suffit pour cela de diviser l'impdance parallle en n circuits R-L-C (dans lesquels on multiplie les

Totm

Totm

resCL

f2

1=

{ } )()(max resPPTotm fRfRR ==

)(sin2)(

2)()(

fffZ

ffXfL

OC

OCPOC

==

)( InfOCTotm fLL =

)(2)(sin

)(21)(

fZff

fXffC

OC

OC

POC

==

Totmres

Totm Lf

C 2)2(1

=


impdances des lments par n puisque les circuits sont en parallle) et de transfrer un circuit chaque secondaire en tenant compte des rapports de couplage (Figure III-20).

v1

i1

Rm1

Lm1

Cm1

i'1

v2

i'2

Rm2

Lm2

Cm2

i2

v3

i'3

Rm3

Lm3

Cm3

i3

v4

i'4

Rm4

Lm4

Cm4

i4

SchmaCCS de

base

Z'(1k)Z(1k)

Figure III-20: Distribution des impdances parallles tous les enroulements

Chaque enroulement est donc complt d'un circuit R-L-C dont les valeurs sont calcules suivant:

(XI.3-9)

Discussion

On peut se demander si cette dernire opration est vraiment utile. D'un point de vue thorique en effet, elle n'est permise rigoureusement que si les chutes de tension sur les lments srie sont ngligeables, hypothse qui est effectivement cite dans [146]. Le rectangle de la Figure III-20 devient alors un simple coupleur au travers duquel les circuits R-L-C sont mis en parallle, justifiant (XI.3-9). Dans cette hypothse, la distribution n'apporte rien au schma et multiplie mme inutilement les lments. Dans le cas o cette hypothse n'est pas rigoureusement respecte, une impdance distribue plutt que localise peut par contre s'avrer intressante. Nous avons en effet rencontr un cas (X.2.4) o le comportement du convertisseur tait mieux reproduit en divisant l'impdance de

=

=

=

TotM

jmj

TotMjmj

TotMjmj

Cn

C

nRR

nLL

21

21

21

1


fuite en plusieurs parties. La distribution rsulte dans ce cas d'une approximation que nous aurons l'occasion d'valuer lors de la mise en uvre du schma dans un cas pratique. D'autre part, on peut remarquer que l'ajout d'une impdance parallle lve bien entendu l'hypothse du courant magntisant nul, prsente dans le schma de base. Du point de vue magntique, on retrouve finalement un schma classique form d'un coupleur, d'une inductance de magntisation (unique mais distribue tous les ports) et d'inductances de fuite reportes aux secondaires. Il conviendrait donc en thorie de remettre en cause le choix des rapports de couplage, conformment l'analyse de Kradec (X.2.4), ce que les auteurs ne font pas.

XI.3.4 Extraction des impdances de fuite Une distinction doit tre faite entre deux types d'impdance. Dans le schma de la Figure III-20, nous avons indiqu deux impdances Z(1k) et Z'(1k), supposes mesures avec le secondaire k court-circuit. La premire est l'impdance de court-circuit, mesurable sur un transformateur rel depuis les bornes de l'enroulement. La seconde est l'impdance de fuite, qui suppose un courant magntisant nul et laquelle s'applique le schma CCS de base. Cette nuance est videmment valable quel que soit l'enroulement depuis lequel on fait la mesure. Ayant mesur une impdance de court-circuit Z(jk) sur un enroulement quelconque, on peut calculer l'impdance de fuite correspondante Z'(jk) condition d'avoir au pralable identifi les lments parallles. Il faut remarquer pour cela que la mise en court-circuit d'un enroulement k annihile videmment l'effet du circuit R-L-C parallle plac sur cet enroulement. Les n-1 autres circuits R-L-C du schma sont par contre encore prsents par l'intermdiaire du coupleur, de sorte que l'impdance parallle totale vue du primaire lorsqu'un secondaire est court-circuit vaut:

(XI.3-10)

Si on dispose de l'impdance en court-circuit sous la forme des courbes |Z(jk)| et (jk), un calcul en admittances montre qu'on peut obtenir l'impdance de fuite correspondante par [146]:

(XI.3-11)

avec les expressions:

(XI.3-12)

=

=

=

Totmjkm

Totmjkm

Totmjkm

CnC

Rn

R

Ln

L

)1(1

11

1

)(

)(

)(

( ) ( )2' )(2' )(

')(

')('

)(

jkjk

jkjkjk

BG

jBGZ

+

=

)()(

)(')(

1cos

jkmjk

jkjk RZ

G =

Commentaire [U71] : Par contre pour la symtrie, a ne se justifie pas ou alors avec une impdance K fois trop importante


(XI.3-13)

XI.3.5 Rcapitulatif

Schma final et dnombrement des lments

La Figure III-21 montre le schma final obtenu en combinant les apports des trois articles [142], [143] et [146]. On y voit le coupleur parfait et les impdances srie variables en frquence (dont les mutuelles entre secondaires), ainsi que les lments parallles. Tel que reprsent, ce schma peut tre directement implment dans un simulateur de circuit puisqu'il utilise des sources commandes. (On se souviendra cependant de la dissymtrie que celles-ci peuvent introduire dans le schma, voir X.2.1).

i'2

v32

ZC,32

v42

ZC,42i'3

v23

ZC,23

v43

ZC,43i'4

v24

ZC,24

v34

ZC,34

12v1 v2

ZC,22v23 v24

Rm2Lm2Cm2

13v1 v3

ZC,33v32 v34

Rm3Lm3Cm3

14v1 v4

ZC,44v42 v43

Rm4Lm4Cm4

i2

i3

i4

v1

i1

13i'312i'2 14i'4Rm1Lm1Cm1

i'1

i'2

i'3

i'4

L1R1

R2

L2

RU

LU

ZC =o

Figure III-21: Schma CCS complet pour un transformateur quatre enroulements

)()()(

)(')(

1sinjkm

jkmjk

jkjk CLZ

B

+=


Les Tableaux 36 et 37 permettent de calculer le nombre d'lments du schma complet en fonction du nombre d'enroulements du transformateur et du nombre d'chelons de chaque impdance ZC, dterminer lui-mme suivant la gamme de frquence et la prcision demandes. On y voit qu'on atteint rapidement une cinquantaine d'lments voire bien davantage pour modliser le transformateur seul.

lments modliss implmentation nbre lments

n-1 sources de courant n -1 transformateur parfait

n-1 sources de tension n -1 n-1 sources de courant n -1

(n-1)(n-2) sources de tension (n -1)(n -2) couplages entre

secondaires (n -1)2 impdances ZC 2U.(n -1)2

lments parallles n circuits R-L-C 3n Total: n 2+3 n -1+2U(n -1) 2 lments

Tableau 36: Dnombrement des lments du schma CCS complet (n: nombre d'enroulements du transformateur, U: nombre d'chelons dans chaque impdance ZC)

nbre chelons (impdances ZC) U=1 U=2 U=3 U=4

n=2 11 13 15 17 n=3 25 33 41 49 n=4 45 63 81 99

nbre enroulements

n=5 71 103 135 167 Tableau 37: Nombre d'lments du schma CCS complet

Identification des lments

En rsum, pour identifier les lments du schma complet partir de mesures, la procdure suivre est la suivante:

- calculer les rapports de couplage du transformateur parfait partir du nombre de spires des enroulements,

- choisir une gamm

Documents

Troisième partie: Schémas équivalents de transformateurs · La plupart des schémas équivalents sont organisés autour d'un transformateur parfait modélisant le couplage entre