TS Chap 1 : Généralités sur les fonctions

8/12/2019 TS Chap 1 : Gnralits sur les fonctions

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CHAPITRE 1 GNRALITS SUR LES FONCTIONS

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Ensemble de dfinition et rductionsventuelles1.Ensemble de dnition

Dans , les intervalles sont les ensembles suivants o : intervalles ouverts :] ; a [ ; ]a ; b [ ; ]b ; +[ ; intervalles ferms :] ; a ] ; [a ; b] ; [b ; +[ ; intervalles semi-ouverts ou semi-ferms :[a ; b[ ; ]a ; b ] ; intervalles particuliers :

et Lensemble de dnition D f dune fonction f est lensemble des l-ments ayant une image par f .

Remarque : D f est un intervalle ou une runion dintervalles.

2.Parit dune fonctionSoit une fonction f dnie sur un ensemble D symtrique par rapport zro , cest--dire que pour tout x de D, x appartient D.

Consquence : si f est paire ou impaire, alors on peut rduire ltude de f

3.Priodicit dune fonctionSoit un relT strictement positif et une fonction f densemble de dni-tion D .

Consquence : on peut rduire D un intervalle dtude damplitude T contenudans D.On peut reprsenter f sur cet intervalle, puis on obtient toute la courbe en utilisant des translations de vecteur avec

Parit def Dnition lment de symtriede la courbe f

Paire axe des ordonnesImpaire origine du repre

Le nombreT est une priode def si, et seulement si pour tout relx de D, et

1

a b

] ; +[= ] a ; a ] a ; a [[ ]a ; a [.= = =

D f x / f x( ) existe{ }.=

f x( ) f x( )=

f x( ) f x( )=

+ D .

x T +( ) D f x T +( ) f x( ) .=

kT i k .


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c o u r s

s a v o i r - f a i r e e x e r c i c e s c o r r i g s

e

xemples dapplication

Rduire lensemble de dnition de la fonctionf dnie par :

corrig comment Indication : on commence par chercher une priode pour la fonction f : pour cela onsait que les fonctions sinus et cosinus sont de priode 2 .

Donc 2 est une priode def , ce qui permet de choisir un intervalle damplitude

2 pour tudier f .Conseil : en cas de parit de la fonction f, il est prfrable de choisir un intervallecentr en zro donc, ici, lintervalle [ p ; p ].

etsoitLa fonctionf est donc impaire.On peut en dnitive rduire lintervalle dtude de f [0 ; p ].Consquences : si on appelle 1 la reprsentation def pour par sym-trie de 1 par rapport lorigine O du repre on obtient 2. La courbe estdonc la reprsentation def pourLa reprsentation def , sur sobtient par des translations de vecteurs de

, avec

Soit la fonction dnie partudier la parit def et rduire si possible son ensemble dtude.

corrig comment Indication : il faut commencer par dterminer lensemble de dnition de f. existe si et seulement si soit ( et et ) donc :On remarque que est symtrique par rapport 0, donc on peut tudier laparit de f .

et ; donc la fonc-tion f est impaire.On peut rduire lensemble dtude

f x( ) xcos2x .sin=

x , f x 2+( ) x 2+( )cos2 x 2+( )sin=f x 2+( ) xcos2xsin f x( ) .= =

x ; [ ] , x ; [ ] f x( ) x( )cos2 x( )sin=f x( ) xcos2xsin f x( ) .= =

x 0 ; [ ], 1 2

x ; [ ] . k2( ) i

1 2 k .

f x( ) x2 1+

x3 x--------------- .=

f x( ) x3 x 0 x 1 x 1 x 0 D f ] ; 1[ ] 1 ; 0[ ] 0 ; 1[ ]1 ; +[. =

D f

x D f ( ) x D f ( ) f x( )x( )2 1+

x( )3

x( )------------------------------- x

2 1+

x3

x( )----------------------- - f x( )= = =

] 0 ; 1[ ]1 ; + [.


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CHAPITRE 1

GNRALITS SUR LES FONCTIONS

12

Variations et oprations sur les fonctions

1.

Variations dune fonction sur un intervalle

Soit une fonctionf

dnie sur un intervalle I de son ensemble de dnition.

2.

Extrema dune fonction

Soit une fonctionf

dnie sur un intervalle I de son ensemble de dnition D

.

Remarques : si I

= D, alors lextremum est absolu, sinon il est relatif ou local.Si M ou m existe, alors il existe un rel x

0

de I tel que ou

3.

Oprations sur les fonctions

Variations de f

Dnitions

f

croissante sur I

f

dcroissante sur I

Extrema def sur I Dnitions

M

est le maximum

de f

sur I

m

est le minimum

de f

sur I

Oprations Les fonctionsf

et g

sont dnies sur IDnitions

Addition f + g

Multiplication parun rel non nul k f

Multiplication f g

Composition

2

x I( ) x I( )

x x f x( ) f x ( )

x x f x( ) f x ( )

x I( )

f x( ) M

f x( ) m

f x0( ) M = f x0( ) m .=

x I( )

f g +( ) x( ) f x( ) g x( )+=

k f ( ) x( ) k f x( )=

f g ( ) x( ) f x( ) g x( )=

h f f x( ) J

h f ( ) x( ) h f x( )[ ]=


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c o u r s s a v o i r - f a i r e e x e r c i c e s c o r r i g s

4. Variations et oprations sur les fonctions Si les fonctionsf et g ont mme variation, alors leur compose est crois-sante, sinon elle est dcroissante. Si les fonctionsf et g ont mme variation sur un intervalle I, alors leursomme a mme variation que chacune delles. Si les fonctionsf et g ont mme variation et sont strictement positives surun intervalle I, alors leur produit a mme variation que chacune delles.

e xemple dapplication Soit la fonctionf dnie sur parDcomposerf en fonctions usuelles pour tudier ses variations.

corrig comment On peut crire avec .f 1 est croissante sur etf 1 : ;f 2 est dnie sur .

Or sur [1 ; 0],f 2 est dcroissante donc est dcroissante sur ; etf 2croissante sur[0 ; 1] donc est croissante sur

f et f et f et f et

k f

k k 0 k 0 k 0 k 0

2--- ;

2 --- f x( ) sin2x .=

f f 2 f 1=f 1 x( ) x ; x

2--- ; 2 --- sin =

f 2 x( ) x2 ; x 1 ; 1 [ ] = 2--- ;

2 ---2--- ;

2 --- 1 ; 1 [ ] 1 ; 1 [ ]

x 0

f 11

1

2---

2---

0

f 2 f 12--- ; 0

f 2 f 1 0 ; 2 --- .

x 1 0 1

f 21 1

0


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CHAPITRE 1


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Comparaisons et positions relativesde deux courbes

1.

Majoration et minoration de fonctions

Soit une fonctionf

dnie sur un intervalle I de son ensemble de dnition.

Remarque : tout extremum est majorant ou minorant dune fonction sur un inter-valle, mais la rciproque est fausse.

Autrement dit, un majorant ou un minorant nest pas ncessairement atteint.

Une fonction f

est borne

sur un intervalle I, si elle est la fois majore etminore.

2.

Positions relatives de deux courbes

On appellereprsentation graphique

de la fonction f

, lensemble des pointsde coordonnes dans un repre quandx

dcrit D

.tudier la position relative de deux courbes reprsentant deux fonctions f et g revient tudier le signe de la diffrence

Si alors ce qui signie que

f

est strictementau-dessus de

g

.Si alors ce qui signie que

f

est strictementau-dessous de

g

.Si pour certaines valeurs dex

, alors

f

est

g ont des pointscommuns pour chacune de ces valeurs.

3.Construction dune courbe partir de celle dunefonction de rfrence

Soit f une fonction de rfrence dnie sur un ensemble D et reprsentedans un repre orthonorm.

Dnitions

M est un majorant de f

m est un minorant de f

3

x I( )

f x( ) M

f x( ) m

x ; f x( )( ) O ; i j,( )

f x( ) g x( ).

f x( ) g x( ) 0, f x( ) g x( )

f x( ) g x( ) 0, f x( ) g x( )

f x( ) g x( )=

O ; i j,( )


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c o u r s


e

xemple dapplication

Soit la fonctionf

dnie sur

par :

tudier les positions relatives de la droite

dquation et de lacourbe

reprsentant f

.

c

orrig comment

Indication :

tudier les positions relatives de la droite D

et de la courbe

revient

tudier le signe de

Le signe de cette diffrence est celui de x

1

car

Si cest--dire si alorsdonc

est strictement au-dessus de

pour Si cest--dire si alorsdonc

est strictement en dessous de

pour Si alors

et

ont le point A

(

1 ; 3

)

en commun.

Fonctionsdnies par

Conditionsdexistence

Transformations permettantde passer de

f

g

Translation de vecteur .

Translation de vecteur .

Symtrie daxe

Sur ,

g

=

f

;sur , symtrie daxe

g

est paire, donc :sur ,

g

=

f

=

;sur , symtrique de par rap-port laxe

g x( ) f x( ) b+= x D b j

g x( ) f x a( )= x a( ) D a i

g x( ) f x( )= x D O ; i( ).

g x( ) f x( )= x D D + D O ; i( ).

g x( ) f x( )= x D D + D

O ; j ( ).

f x( ) 2x 5 x 1x2 1+--------------- .+ +=

y 2x 5+=

f x( ) 2x 5+( ) x 1x2 1+--------------- .=

x2 1+ 0.

x 1 0 x ]1 ; +[, f x( ) 2x 5+( ) 0,x ]1 ; + [.

x 1 0 x ] ; 1[, f x( ) 2x 5+( ) 0,x ] ; 1[.

x 1,=


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CHAPITRE 1


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Symtries de la courbe reprsentativedune fonction

1.

Centre de symtrie dune courbe

Soit un point situ dans un repre orthonorm Onveut prouver que

est centre de symtrie de la courbe reprsentative dunefonction f

dont lensemble de dnition est D

f

.

Premire mthode

Alors

est le centre de symtrie de

.

Deuxime mthode

Si g

est impaire, alors

est le centre de symtrie de

.

2.

Axe de symtrie dune courbe

Soit la droite

dquation dans un repre orthonormOn veut prouver que

est laxe de symtrie de la courbe

reprsentativedune fonction f

dont lensemble de dnition est D

f

.

Premire mthode

Alors est axe de symtrie de .

4

a ; b( ) O ; i j,( ).

D f est symtrique par rapport a h , a h+( ) D f , a h( ) D f

f a h +( ) f a h ( )+ 2--------------------------------------------- b=

M x y ,( ) dans O ; i j,( ) et M X ; Y ( ) dans ; i j,( )

x a X += y a Y

+=

a pour quation y f x( ) dans O ; i j,( )= et

a pour quation Y g X ( ) dans ; i j,( )=

x a= O ; i j,( ).

Df est symtrique par rapport a

h , a h+( ) D f , a h( ) D f f a h+( ) f a h( )=


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c o u r s


Deuxime mthode

Si g

est paire, alors

est axe de symtrie de

.

e

xemple dapplication

Montrer que la droite dquation est axe de symtrie de la courbe

repr-sentant la fonction f

, dnie sur

par

c

orrig comment

Indication :

soit lorigine du repre

On considre le point M(x ; y) dans et M(X ; Y) dans

Les formules de changement de repre sont :

La courbe

a pour quation dans elle a pour

quation dans :

soit

g

est dnie sur

car

Pour tout rel X

, et ;

soit

La fonction g

est paire, donc la courbe

est symtrique par rapport laxe; cest--dire quela droite D

dquation est axe de symtrie de

, dans le repre

M x y ,( ) dans O ; i j,( ) et M X ; Y ( ) dans ; i j,( )avec par exemple

a ; 0( )

x a X += y Y

=

a pour quation y f x( ) dans O ; i j,( )=

et

a pour quation Y g X ( ) dans ; i j,( )=

x 2=

f x( ) x2 4x 3+ +

x2 4x 6+ +----------------------------- .=

2 ; 0 ( ) ; i j,( ).O ; i j,( ) ; i j,( ).

x 2 X += y Y .=

f x( ) x2 4x 3+ +

x2 4x 6+ +----------------------------- y = = O ; i j,( ),

; i j,( ) Y 2 X +( )2

4 2 X + ( ) 3 + + 2 X + ( )2 4 2 X + ( ) 6+ +---------------------------------------------------------------------- ,=

Y X 2 1

X 2 2+---------------- - .=

Y g X ( ) X 2 1

X 2 2+---------------- - ,= = X 2 2+ 0.

X g X ( ) X ( )2 1

X ( )2 2+-------------------------=

g X ( ) X 2 1

X 2 2+---------------- - g X ( ).= =

; j ( ) x 2=O ; i j,( ).


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CHAPITRE 1


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Fonctions usuelles5

Fonctions Noms et variations Courbes reprsentatives

et

fonction afnesur

fonction carre

sur

+

sur

fonction cubesur

fonction racine carrestrictement croissante

sur

+

fonction inversesur sur

fonction valeur absoluesur

sur

+

voir page 148 voir page 148

voir page 184 voir page 184

x ax b+a b

xa 0a 0

x ax 2

xa a 0

a 0

x ax 3

ax

a 0

a 0

x xx +

x a

x---

+

a 0a 0

x xx

x xlnx +

x xexpx

b

O

Oa 0

a 0O

OO

a 0

a 0

O

O O

a 0a 0

a 0b 0

O


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c o u r s s a v o i r - f a i r e e x e r c i c e s c o r r i g s

e xemple dapplication Donner, pour chaque proposition une justication, qui soit relative la variationdune fonction usuelle.1. Si alors2. Si alors

3. Si alors

4. Si alors5. Si alors6. Si alors7. Si alors

corrig comment 1. La fonction carre est strictement dcroissante sur .2. La fonction cube est strictement croissante sur .3. La fonction inverse est strictement dcroissante sur .4. La fonction racine carre est strictement croissante sur .5. La fonction logarithme nprien est strictement croissante sur .6. La fonction exponentielle est strictement croissante sur .

7. La fonction afne est strictement dcroissante sur .

Fonctions Noms et variations Courbes reprsentativesfonction cosinus de

priode 2,paire sur[ ; ],dcroissante sur[0 ; ]

fonction sinusde priode 2,impaire sur[ ; ],croissante sur ,

dcroissante sur

x xcosx

x xsinx 0 ; 2---

2--- ;

0

1

2

---

2

---

0

a b 0, a 2 b2 0.a b , a 3 b3.

a b 0, 1b--- 1

a--- 0.

0 a b , 0 a b .0 a b , aln b .lna b , ea eb.a b , 2a 3+ 2b 3.+

+

+

x 2x 3+

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