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Cours et exercices corrigés de mathématiques - TS - document gratuit disponible sur JGCUAZ.FR TS - GEOMETRIE DANS L'ESPACE Ce document totalement gratuit (disponible parmi bien d'autres sur la page JGCUAZ.FR rubrique mathématiques) a été conçu pour aider les élèves de Terminale S en mathématiques. Conforme au programme 2012 , il contient le cours (définitions, théorèmes, démonstrations), 36 exercices corrigés dans le moindre détail , des énoncés d'examens et/ou de concours. La progression proposée est celle que je pratique dans mes classes. Au fur et à mesure, j'ai inséré des remarques, conseils et points méthode, sur la base de mon expérience d'enseignant en lycée. Ce document n'a pas la prétention de se substituer à l'assiduité nécessaire au cours , mais pourra permettre au lecteur de rattraper une absence, de réviser une notion et/ou de préparer une évaluation, le temps de recherche des exercices (et non pas une lecture immédiate du corrigé , même si celui- ci est écrit "juste en dessous"!) étant une condition nécessaire à la réussite. La navigation peut s'effectuer de manière interactive pour ceux qui utilisent la version PDF de ce document. Pour toute remarque, merci de vous rendre sur la page JGCUAZ.FR où vous trouverez mon adresse électronique (qui est [email protected] à la date du 11/01/2017) Egalement disponible une page facebook https://www.facebook.com/jgcuaz.fr Montpellier, le 11/01/2017 Jean-Guillaume CUAZ, professeur de mathématiques, Lycée Clemenceau, Montpellier depuis 2013 Lycée Militaire de Saint-Cyr, de 2000 à 2013 TS - lois de probabilités Page 1/60 Version du 11/01/2017

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TS - GEOMETRIE DANS L'ESPACE

Ce document totalement gratuit (disponible parmi bien d'autres sur la page JGCUAZ.FR rubrique

mathématiques) a été conçu pour aider les élèves de Terminale S en mathématiques.

Conforme au programme 2012, il contient le cours (définitions, théorèmes, démonstrations), 36

exercices corrigés dans le moindre détail , des énoncés d'examens et/ou de concours.

La progression proposée est celle que je pratique dans mes classes.

Au fur et à mesure, j'ai inséré des remarques, conseils et points méthode, sur la

base de mon expérience d'enseignant en lycée.

Ce document n'a pas la prétention de se substituer à l'assiduité nécessaire au cours, mais pourra

permettre au lecteur de rattraper une absence, de réviser une notion et/ou de préparer une évaluation,

le temps de recherche des exercices (et non pas une lecture immédiate du corrigé, même si celui-

ci est écrit "juste en dessous"!) étant une condition nécessaire à la réussite.

La navigation peut s'effectuer de manière interactive pour ceux qui utilisent la version PDF de ce

document.

Pour toute remarque, merci de vous rendre sur la page JGCUAZ.FR où vous trouverez mon adresse

électronique (qui est [email protected] à la date du 11/01/2017)

Egalement disponible une page facebook https://www.facebook.com/jgcuaz.fr

Montpellier, le 11/01/2017

Jean-Guillaume CUAZ,

professeur de mathématiques,

Lycée Clemenceau, Montpellier depuis 2013

Lycée Militaire de Saint-Cyr, de 2000 à 2013

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GEOMETRIE DANS L'ESPACE - PROGRAMME OFFICIEL(2012) Contenus Capacités attendues Commentaires

Droites et plans Positions relatives de droites

et de plans : intersection et

parallélisme.

Étudier les positions relatives de droites et

de plans. Le cube est une figure de référence

pour la représentation des positions

relatives de droites et de plans. Orthogonalité :

- de deux droites ;

- d’une droite et d’un plan.

Établir l’orthogonalité d’une droite et d’un

plan. On étudie quelques exemples de

sections planes du cube. Ce travail est

facilité par l’utilisation d’un logiciel de

géométrie dynamique.

Géométrie vectorielle Caractérisation d’un plan par

un point et deux vecteurs

non colinéaires.

On étend à l’espace la notion de

vecteur et les opérations associées.

On fait observer que des plans dirigés

par le même couple de vecteurs non

colinéaires sont parallèles.

Il est intéressant de présenter la

démonstration du théorème dit « du

toit ». Vecteurs coplanaires.

Décomposition d’un vecteur

en fonction de trois vecteurs

non coplanaires.

Choisir une décomposition pertinente dans

le cadre de la résolution de problèmes

d’alignement ou de coplanarité.

On fait percevoir les notions de liberté

et de dépendance.

Repérage. Utiliser les coordonnées pour :

- traduire la colinéarité

- caractériser l’alignement ;

- déterminer une décomposition de vecteurs

On ne se limite pas à des repères

orthogonaux.

Représentation paramétrique

d’une droite. La caractérisation d’un plan par un

point et deux vecteurs non colinéaires

conduit à une représentation

paramétrique de ce plan.

[SI] Cinématique et statique d’un

système en mécanique.

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Produit scalaire

Produit scalaire de deux

vecteurs dans l’espace :

définition, propriétés.

On étend aux vecteurs de l’espace la

définition du produit scalaire donnée

dans le plan.

Vecteur normal à un plan.

Équation cartésienne d’un

plan.

Déterminer si un vecteur est normal à un

plan. On caractérise vectoriellement

l’orthogonalité de deux droites et on

introduit la notion de plans

perpendiculaires.

Caractériser les points d’un plan de l’espace

par une relation 0ax by cz d+ + + =

avec a , b , c trois réels non tous nuls.

Déterminer une équation cartésienne d’un

plan connaissant un point et un vecteur

normal.

Déterminer un vecteur normal à un plan

défini par une équation cartésienne.

Démontrer qu’une droite est orthogonale à

toute droite d’un plan si et seulement si elle

est orthogonale à deux droites sécantes de

ce plan.

Choisir la forme la plus adaptée entre

équation cartésienne et représentation

paramétrique pour :

- déterminer l’intersection d’une droite et

d’un plan ;

- étudier la position relative de deux plans.

Perpendiculaire commune à deux

droites non coplanaires.

Intersection de trois plans.

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SOMMAIRE

Droites et plan de l'espace

Vecteurs et repérage dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace

Exercices de synthèse

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POSITIONS RELATIVES DE DROITES ET PLANS

1) Plans dans l'espace a) Un plan est défini par :

- trois points non alignés ou

- deux droites sécantes ou

- deux droites strictement parallèles.

b) Si un plan P contient deux points distincts A et B de l’espace, alors il contient la droite (AB).

On note ( )AB P⊂

3) Tous les résultats de géométrie plane (théorèmes de Thalès, de Pythagore...) s’appliquent dans

chaque plan de l’espace.

Dans la suite du paragraphe, ABCDEFGH est un cube.

2) Positions relatives de deux droites

Deux droites de l’espace sont soit coplanaires (c’est-à-dire qu’il existe un plan les contenant toutes

les deux), soit non coplanaires (c’est-à-dire qu’il n’existe aucun plan les contenant toutes les deux).

Si elles sont coplanaires, alors elles sont soit sécantes, soit parallèles (strictement parallèles ou

confondues).

Droites coplanaires Droites non coplanaires

Droites sécantes Droites parallèles

(AD) et (AF) sont

sécantes en A

Si I est le centre de ADHE,

(AH) et (AI) sont confondues

(AD) et (FG) sont

strictement parallèles

(BC) et (AF) sont non

coplanaires

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Exemple :

ABCDEFGH est le cube ci-contre.

Les droites (EG) et (GC) sont coplanaires et sécantes en G.

Les droites (BC) et (FG) sont coplanaires et parallèles.

Les droites (EF) et (AC) sont non coplanaires

3) Positions relatives de deux plans

Deux plans de l'espace sont soit sécants (leur intersection est une droite), soit parallèles

Plans sécants Plans parallèles

Les plans (CGH) et (ADH) sont

sécants selon la droite (DH)

Les plans (BCG) et (ADH)

sont strictement parallèles

Les plans (EAD) et (ADH)

sont confondus

Deux plans sont parallèles lorsqu'ils ne sont pas sécants

4) Positions relatives d'une droite et d'un plan

une droite et un plan de l'espace sont soit sécants (leur intersection est un point), soit parallèles

Droite et plan sécants Droite et plan parallèles

La droite (AH) est sécante en H au

plan (DCG)

La droite (AH) est strictement

parallèle au plan (BCG)

(AH) est contenue dans le

plan (ADH)

Une droite et un plan sont parallèles lorsqu'ils ne sont pas sécants

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5) Parallélisme dans l'espace

Propriété :

Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.

Si deux plans sont parallèles à un même plan alors ils sont parallèles entre eux

Propriété :

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan.

d est parallèle à 1d et 1d est contenue dans le plan P

donc d est parallèle à P

Propriété :

Si deux droites sécantes 1d et 2d d'un plan P sont parallèles à deux droites sécantes 1d ′ et 2d ′ d'un

plan P′ , alors P et P′ sont parallèles

Propriété :

Si deux plans P et P′ sont parallèles, alors tout plan qui coupe P coupe aussi P′ et les droites

d'intersection d et d ′ sont parallèles

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Théorème du toit :

Si deux plans P et P′ sont sécants selon une droite ∆ ,

et si d et d ′ sont deux droites parallèles contenues

respectivement dans P et P′ , alors la droite ∆ est

parallèle à d et d ′ .

6) Orthogonalité dans l'espace

Définition :

Deux droites sont dites orthogonales si leurs parallèles passant par un même point sont

perpendiculaires dans le plan qu'elles définissent.

Exemple :

Dans ce cube ABCDEFGH ci-contre, (EF) et (GC) sont

orthogonales car (EF)//(HG) et ( ) ( )HG GC⊥

Deux droites perpendiculaires sont orthogonales mais la réciproque est fausse

Définition :

Dire qu'une droite d et un plan P sont orthogonaux signifie que

la droite d est orthogonale à deux droites sécantes du plan P .

Propriété :

Si une droite d est orthogonale à un plan P , alors elle est orthogonale à toutes les droites du plan P .

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Projeté orthogonal sur un plan :

P est un plan et M est un point.

Il existe une unique droite M∆ passant par M et

orthogonale à P .

On dit que le point M ′ d'intersection de M∆ et P est le

projeté orthogonal du point M sur le plan P

Projeté orthogonal sur une droite :

d est une droite et M est un point.

Il existe un unique plan MP passant par M et orthogonal à d.

On dit que le point M ′ d'intersection de MP et d est le projeté

orthogonal du point M sur la droite d

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POSITIONS RELATIVES DE DROITES ET PLANS - EXERCICES

Exercice n°1 (correction)

ABCDEFGH est un cube et I,J,K sont les milieux respectifs des

arêtes [AB], [EF], [FG].

Etudier la position relative

1) des droites (EF) et (HK)

2) de la droite (IK) et du plan (BCF) 3) de la droite (AI) et du plan (FGC)

4) des plans (EFG) et (EAD) 5) des plans (IJK) et (BFH)

Exercice n°2 (correction)

ABCD est un tétraèdre.

I,J,K sont les points des arêtes respectives [AB], [AC], [AD]

tels que : 13

AI AB= , 34

AJ AC= et 12

AK AD=

Préciser, en justifiant, la position relative :

a) des droites (IJ) et (BC) b) des droites (IJ) et (BD)

c) de la droite (IJ) et du plan (BCD)

d) des plans (IJK) et (BCD). tracer leur droite d'intersection

Exercice n°3 (correction)

ABCD est un tétraèdre et I,J,K sont les milieux des arêtes respectives

[AB], [BC], [CD].

Le plan (IJK) coupe [AD] en L.

1) a) Démontrer que les droites (LK), (IJ), (AC) sont parallèles b) Démontrer de même que les droites (IL), (JK), (BD) sont parallèles.

c) En déduire que IJKL est un parallélogramme.

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Exercice n°4 (correction)

ABCDEFGH est un pavé droit.

1) Démontrez que la droite (AE) est parallèle au plan (BFHD).

2) Démontrez que la droite (EH) est parallèle au plan (BFGC).

3) a) Démontrez que la droite (EB) est parallèle au plan (DCGH).

b) Démontrez que la droite (AF) est parallèle au plan (DCGH).

c) La propriété « si deux droites sont parallèles au même plan alors ces deux droites sont

parallèles » est-elle vraie ?

4) Soit O le centre de la face ABCD et O’ le centre de la face EFGH.

a) Démontrez que la droite (BF) est parallèle au plan (BFHD).

b) Démontrez que la droite (BF) est parallèle au plan (AEGC).

c) Démontrez que la droite (BF) est parallèle à la droite (OO’).

Exercice n°5 (correction)

ABCDEFGH est un cube, I et K sont les points des arêtes [EH] et [BC]

tels que : 12

EI EH= et 14

CK CB= .

Construire la section du cube par le plan (IFK)

Exercice n°6 (correction)

ABCDEFGH est un cube.

1) a) Démontrer l'orthogonalité de la droite (DA) et du plan (DCH)

b) En déduire que les droites (DA) et (HC) sont orthogonales.

c) En déduire l'orthogonalité de la droite (HC) et du plan (DGA), puis celle

des droites (HC) et (DF)

2) Démontrer que (AH) et (FC) sont orthogonales, puis que (AH) et (EDF) sont orthogonaux.

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Exercice n°7 (correction)

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. Les points I, J et K sont placés ci-dessous.

Le but de l’exercice est de tracer la section de ABCDEFGH par le plan (IJK).

1) Tracer le segment intersection du plan (IJK) avec la face EFGH.

2) Tracer le segment intersection du plan (IJK) avec la face ABFE.

3) a) Expliquer pourquoi les droites (IJ) et (FG) sont sécantes. Notons L leur point d’intersection.

b) Déterminer la droite intersection des plans (IJK) et (BCGF). Tracer alors le segment intersection

du plan (IJK) avec la face BCGF.

4) Comment sont les plans (ABCD) et (EFGH) ? Tracer alors le segment intersection du plan (IJK)

avec la face ABCD.

5) Poursuivre et terminer le tracé de la section de ABCDEFGH par (IJK).

6) Le parallélépipède ABCDEFGH étant coupé en deux par le plan (IJK), représenter ci-dessous

chacune des deux parties obtenues.

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Exercice n°8 (correction)

I appartient au plan (ABFE), J et K au plan (ABCD). Tracer la section du plan IJK avec le pavé.

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POSITIONS RELATIVES DE DROITES ET PLANS - CORRECTION

Correction de l'exercice n°1 (retour à l'énoncé)

1) Les droites (EF) et (HK) appartiennent toutes les deux au plan (EFGH) et sont sécantes dans ce plan 2) La droite (IK) est sécante au plan (BCF) en K (et elle n’est pas incluse dans ce plan car I n’appartient pas à ce plan) 3) La droite (AI) est sécante (et même orthogonale) au plan (FGC) en B (et elle n’est pas incluse dans ce plan car I n’appartient pas à ce plan) 4) Les plans (EFG) et (EAD) sont sécants (et même perpendiculaires) suivant la droite (EH) 5) Les plans (IJK) et (BFH) sont sécants car (HF) et (JK) qui sont des droites appartenant respectivement aux plans (BFH) et (IJK) sont sécantes

Correction de l'exercice n°2 (retour à l'énoncé)

a) Les droites (IJ) et (BC) sont coplanaires dans le plan (ABC)

Dans ce plan, les droites (IJ) et (BC) se coupent en E car ACAJ

ABAI

b) Les droites (IJ) et (BD) ne sont pas coplanaires.

En effet, s’il existait un plan P qui contienne les points I,J,B et D alors le point A (point de la droite

(BI)) et le point C (point de la droite (AJ)) appartiendraient à P. Alors les points A,B,C et D seraient

coplanaires. Or ceci est absurde car ABCD est un tétraèdre.

c) La droite (IJ) n’est pas contenue dans le plan (BCD) et le point E est commun à (IJ) et (BCD)

d’après la question a)

d) Les deux plans (IJK) et (BCD) ne sont pas confondus et contiennent le point E. Donc ils sont

sécants selon une droite ∆ passant par E.

Pour construire ∆ , on procède comme dans la question a) en construisant le point d’intersection F

de (JK) et (CD) dans le plan (ACD). ∆ est alors la droite (EF)

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Correction de l'exercice n°3 (retour à l'énoncé)

1) a) Les plans (IJK) et (ACD) sont sécants selon la droite (LK). Ils contiennent respectivement les

droites (IJ) et (AC) qui sont parallèles (théorème des milieux dans ABC).

Donc, d’après le théorème du toit, les droites (LK) (IJ) et (AC) sont parallèles.

b) Dans le triangle ACD, K est le milieu de [CD] et (KL) est parallèle à (AC), donc L est le milieu

de [AD].

Les plans (IJK) et (BCD) sont sécants selon la droite (JK). Ils contiennent respectivement les droites

(IL) et (BD) qui sont parallèles (théorème des milieux dans ABD).

Donc, d’après le théorème du toit, les droites (IL), (JK) et (BD) sont parallèles.

c) D’après la question a), les droites (IJ) et (LK) sont parallèles et d’après la question b), les droites

(IL) et (JK) sont parallèles. Le quadrilatère IJKL a donc ses côtés opposés parallèles, c’est donc un

parallélogramme.

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Correction de l'exercice n°4 (retour à l'énoncé)

1) Dans le rectangle ABFE, (AE) est parallèle à (BF).

Dans le rectangle AEHD, (AE) est parallèle à (HD).

La droite (AE) est donc parallèle à deux droites parallèles du plan (BFHD), donc est parallèle au

plan (BFHD).

2) Dans le rectangle EFGH, (EH) est parallèle à (FG).

Dans le rectangle EBCH, (EH) est parallèle à (BC).

La droite (EH) est donc parallèle à deux droites parallèles du plan (BFGC), donc est parallèle au

plan (BFGC).

3) a) Le plan (ABFE) est parallèle au plan (DCGH), donc toute droite incluse dans le plan (ABFE)

sera parallèle au plan (DCGH). C’est le cas de la droite (EB)

b) Pour les mêmes raisons, la droite (AF) étant incluse dans le plan (ABFE), elle est parallèle au

plan (DCGH)

c) La propriété « si deux droites sont parallèles au même plan alors ces deux droites sont

parallèles » est fausses, car (EB) et (AF) sont toutes les deux parallèles au plan (DCGH), mais ne

sont pas parallèles entre elles

4) a) La droite (BF) est incluse dans le plan (BFHD), donc est parallèle au plan (BFHD).

b) Le raisonnement est identique à celui de la question 1) : Dans le rectangle ABFE, la droite (BF)

est parallèle à la droite (AE). Dans le rectangle BCGF, la droite (BF) est parallèle à la droite (CG).

La droite (BF) est donc parallèle à deux droites parallèles du plan (ACGE), donc est parallèle au

plan (ACGE)

c) La droite (OO’) est l’intersection des plans (BFHD) et (ACGE)

Le théorème du toit nous permet alors d’affirmer que la droite (BF) est parallèle à la droite (OO’)

Correction de l'exercice n°5 (retour à l'énoncé)

Les plans (ADH) et (BCG) sont parallèles. Or le plan (IFK) coupe le plan (BCG) selon la droite

(FK), donc le plan (IFK) coupe le plan (ADH) selon la parallèle ∆ à (FK) passant par I

On note J le point d’intersection de ∆ et (HD).

On procède de même pour les plans parallèles (EFG) et (ABC). Le plan (IFK) coupe donc le plan

(ABC) selon la parallèle ∆′ à (IF) passant par K.

On note L le point d’intersection de ∆′ et (CD).

La section du cube par le plan (IFK) est le pentagone IFKLJ

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Correction de l'exercice n°6 (retour à l'énoncé)

1) a) La droite (DA) est perpendiculaire aux deux droites sécantes (DC) et (DH) du plan (DCH),

donc (DA) et (DCH) sont orthogonaux.

b) La droite (DA) est orthogonale au plan (DCH), donc elle est orthogonale à toute droite du plan

(DCH), en particulier à la droite (HC).

c) La droite (HC) est orthogonale aux deux droites sécantes (DA) et (DG) du plan (DGA), donc

(HC) et (DGA) sont orthogonaux.

La droite (HC) est donc orthogonale à toute droite du plan (DGA), en particulier à la droite (DF).

Correction de l'exercice n°7 (retour à l'énoncé)

1) Le segment [IJ] appartient aux deux plans (IJK) et (EFGH), donc il est intersection du plan (IJK)

avec la face EFGH.

2) Le segment [JK] appartient aux deux plans (IJK) et (ABFE), donc il est intersection du plan (IJK)

avec la face ABFE.

3) a) Les deux droites (IJ) et (FG) sont coplanaires, et dans leur plan commun, elles ne sont pas

parallèles (car J n’appartient pas à [EH]. Elles sont donc sécantes en un point L

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b) Puisque L est le point d’intersection de (IJ) et (FG), L est un point de (IJ) donc du plan (IJK), et

L est un point de la droite (FG) donc du plan (BCGF)

De plus K est un point commun aux plan (IJK) et (BCGF)

Ainsi, le segment intersection du plan (IJK) avec la face BCGF est le segment (KL)

4) Les plans (ABCD) et (EFGH) sont parallèles

Traçons le point M intersection des droites (JK) et (AB) dans la face « frontale » ABFE

Le point M appartient à la face ABCD puisqu’il appartient à la droite (AB), et appartient au plan

(IJK) puisqu’il appartient à la droite (JK). Le point M appartient donc à l’intersection des deux plans

(IJK) et (ABCD)

Puisque les plans (ABCD) et (EFGH) sont parallèles, il existe, dans le plan (ABCD), une parallèle à

la droite (IJ) passant par M. Cette parallèle est entièrement contenue dans le plan (IJK) car elle est

parallèle à (IJ) et passe par un point M appartenant au plan (IJK)

Notons N et P les points d’intersection de cette parallèle avec respectivement (BC) et (DC)

Ces points appartiennent au plan (IJK) ainsi qu’au plan (ABCD) (car ils appartiennent à (BC) et

(CD). Le segment intersection du plan (IJK) avec la face ABCD est donc le segment [NP]

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5) L’intersection du plan (IJK) et de la face (BCGF) est le segment [KN] car les deux points

appartiennent au plan (IJK) (par construction du point N) et à la face (BCGF)

Notons Q le point d’intersection de (NP) et (AD). Alors Q appartient au plan (IJK) puisque (NP) est

entièrement contenue dans ce plan. De plus Q appartient à la face (ADHE) car il appartient à (AD)

Finalement Q appartient aux deux plans (IJK) et (ADHE). Si on note R l’intersection de (IQ) et

(HD), le segment intersection de (IJK) et de la face (ADHE) est le segment [IR]

Enfin, le segment intersection de la face (DCGH) et de (IJK) est par voie de conséquence le

segment [RP]

6)

TS - Géométrie dans l'espace Page 19/60 Version du 11/01/2017

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Correction de l'exercice n°8 (retour à l'énoncé)

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VECTEURS ET REPERAGE DANS l'ESPACE On étend à l'espace la définition et les propriétés des vecteurs étudiées dans le plan.

1) Vecteurs colinéaires et coplanaires Propriété :

Deux vecteurs non nuls u

et v

sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que v ku=

.

Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l'espace.

Propriété :

A et B étant deux points distincts de l'espace, la droite (AB) est l'ensemble des points M de l'espace

tels que AB

et AM

soient colinéaires.

On dit que AB

est un vecteur directeur de la droite (AB).

Propriété :

A,B et C sont trois points non alignés de l'espace, P est le plan (ABC).

Un point M appartient au plan P si et seulement si

il existe des nombres réels x et y tels que :

AM xAB y AC= +

Preuve :

1) Dans le plan P, puisque les points A,B et C sont non alignés, les vecteurs AB

et AC

sont non

colinéaires donc pour tout point M de P, le vecteur AM

se décompose en fonction de AB

et AC

,

ainsi il existe des nombres réels x et y tels que : AM xAB y AC= +

2) Réciproquement, soit M un point de l'espace tel que AM xAB y AC= +

, avec x et y deux

nombres réels. Notons N le point de la droite (AB) tel que AN xAB=

. L'égalité AM xAB y AC= +

se réécrit successivement AM AN y AC AM AN y AC NM y AC= + ⇔ − = ⇔ =

.

M est donc un point de la droite parallèle à (AC) passant par N. Donc ( )N ABC∈ et ( )M ABC∈

TS - Géométrie dans l'espace Page 21/60 Version du 11/01/2017

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Vocabulaire :

De façon générale, un plan est défini par un point A et deux vecteurs non colinéaires u

et v

.

On parle alors du plan ( ); ,A u v

ou du plan de repère ( ); ,A u v

et on dit que les vecteurs u

et v

sont

des vecteurs directeurs de ce plan.

Définition :

Trois vecteurs non nuls u

, v

et w

sont coplanaires si et

seulement si leurs représentants de même origine O ont des

extrémités A,B et C telles que O,A,B et C appartiennent à un

même plan.

Propriété :

u

, v

, w

sont des vecteurs de l'espace tels que u

et v

ne sont pas colinéaires.

u

, v

, w

sont coplanaires si et seulement si il existe des nombres réels x et y tels que : w xu yv= +

Preuve :

Pour un point O quelconque de l'espace, A,B,C sont définis par u OA=

, v OB=

et w OC=

.

u

et v

ne sont pas colinéaires, ce sont donc deux vecteurs directeurs du plan ( )P OAB= .

u

, v

, w

coplanaires signifie que C appartient au plan P, c'est-à-dire qu'il existe des nombres réels x

et y tels que : OC xOA yOB= +

c'est-à-dire w xu yv= +

TS - Géométrie dans l'espace Page 22/60 Version du 11/01/2017

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2) Repérage dans l'espace Théorème :

Soit O un point de l'espace et i

, j

et k

trois vecteurs non coplanaires.

Pour tout point M de l'espace, il existe un unique triplet de réels ( ); ;x y z tels que :

OM xi y j zk= + +

Preuve :

1) Existence

Soit P le plan passant par O et dirigé par les vecteurs i

et j

(qui ne sont pas colinéaires car i

, j

et

k

ne sont pas coplanaires)

Soit M ′ le point d'intersection de P et de la droite parallèle à ( )Ok

passant par M.

i

, j

et OM ′

sont coplanaires avec i

et j

non colinéaires, donc il existe deux réels x et y tels que

OM xi y j′ = +

.

D'autre part, MM ′

et k

sont colinéaires donc il existe un réel z tel que MM zk′ =

.

D'où OM OM MM xi y j zk′= + = + +

2) Unicité

Supposons qu'il existe deux triplets de réels ( ); ;x y z et ( ); ;x y z′ ′ ′ tels que OM xi y j zk= + +

et

OM x i y j z k′ ′ ′= + +

. En soustrayant membre à membre, ces deux égalités, on obtient

( ) ( ) ( ) 0x x i y y j z z k′ ′ ′− + − + − =

ou encore ( ) ( ) ( )x x i y y j z z k′ ′ ′− + − = −

.

Comme i

, j

et k

ne sont pas coplanaires, il ne peut exister de couples de réels ( );α β tels que

k i jα β= +

. On en déduit que 0z z′− = et par suite x x′= , y y′= et z z′=

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Définition :

( ); ;x y z est le triplet de coordonnées du point M dans le repère ( ); , ,O i j k

.

x est l'abscisse de M, y est l'ordonnée de M et z est la côte de M.

( ); ;x y z sont aussi les coordonnées du vecteur OM

Propriétés :

Soit deux points ( ); ;A A AA x y z et ( ); ;B B BB x y z dans le repère ( ); , ,O i j k

* Le vecteur AB

a pour coordonnées B A

B A

B A

x xy yz z

− − −

* Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées

+++

2;

2;

2BABABA zzyyxxI

* Si de plus, ( ); , ,O i j k

est orthonormé, ( ) ( ) ( )222ABABAB zzyyxxABAB −+−+−==

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Propriétés :

Soit deux vecteurs x

u yz

et x

v yz

′ ′ ′

dans le repère ( ); , ,O i j k

.

* Les vecteurs u

et v

sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes triplets de coordonnées.

* Le vecteur u v+

a pour triplet de coordonnées x xy yz z

′+ ′+ ′+

* Le vecteur ku

a pour triplet de coordonnéeskxkykz

* Si de plus, ( ); , ,O i j k

est orthonormé, 2 2 2u x y z= + +

3) Représentation paramétrique de droites et de plans Une droite D de l’espace peut être déterminée de manière unique par :

- 2 points A et B

- OU un point A et un de ses vecteurs directeurs 0u ≠

qui dirige la droite D.

La droite D est alors constituée de l’ensemble des points M tels que AM

et u sont colinéaires,

c’est-à-dire pour lesquels il existe un réel t tel que AM tu=

.

On peut ainsi dresser un système d’équations paramétriques de la droite D :

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Exemple :

D est la droite passant par (1;3; 2)A − et de vecteur directeur 456

u

.

On parle de représentation paramétrique de D , car les coordonnées de tous les points de D sont

données en fonction d’un seul paramètre t .

On pourrait noter ( )( )( )

1 4

3 5

2 6

x t t

y t t

z t t

= +

= + = − +

Définition :

Soit ( ); , ,O i j k

est un repère de l'espace.

La droite D passant par le point ( ); ;A A AA x y z et admettant le vecteur ( ); ;u a b c

pour vecteur

directeur est l'ensemble des points ( ); ;M x y z tels que ( ) ,A

A

A

x x atS y y bt t

z z ct

= + = + ∈ = +

Le système (S) est appelé représentation paramétrique de la droite D.

t est appelé paramètre de cette représentation.

Il existe une infinité de représentations paramétriques pour une droite.

Application :

Si on connaît des systèmes d’équations paramétriques de deux droites 1D et 2D , on peut notamment

étudier leur position relative (parallélisme, orthogonalité, droites sécantes, droites non coplanaires).

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Propriété :

Soit ( ); , ,O i j k

est un repère de l'espace.

Le plan P passant par ( ); ;A A AA x y z et de vecteurs directeurs ( ); ;u a b c

et ( ); ;v a b c′ ′ ′

est l'ensemble

des points ( ); ;M x y z tels que ( ) , ,A

A

A

x x at a tS y y bt b t t t

z z ct c t

′ ′= + + ′ ′ ′= + + ∈ ∈ ′ ′= + +

Preuve :

( ); ;M x y z appartient à P si et seulement si AM

, u

et v

sont coplanaires, c'est-à-dire qu'il existe

deux réels t et t′ tels que AM tu t v′= +

.

Cela se traduit en termes de coordonnées par : ( )A

A

A

x x ta t aS y y tb t b

z z tc t c

′ ′− = + ′ ′− = + ′ ′− = +

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VECTEURS ET REPERAGE DANS L'ESPACE - EXERCICES

Exercice n°9 (correction)

ABCD est un tétraèdre et I le milieu de [CD].

M est le point tel que 12

AM AD AI BD= + −

.

Démontrer que le point M appartient au plan (ABC).

Exercice n°10 (correction)

ABCDEFGH est le cube représenté ci-contre.

I est le centre de la face BCGF, K est le milieu de [HG] et J le point

tel que 14

BJ BA=

a) A l'aide de la relation de Chasles, démontrer que : 2AK JI=

b) Que peut-on en déduire pour les deux droites (AK) et (JI) ?

Exercice n°11 (correction)

ABCD est un tétraèdre. M est le point tel que 13

BM BA=

et G est

le centre de gravité de la face ACD.

a) Démontrer que la droite (MG) est parallèle à la droite (BI) où I

est le milieu de [CD].

b) En déduire que la droite (MG) est parallèle au plan (BCD)

Exercice n°12 (correction)

ABCDEFGH est le cube représenté ci-contre.

I est le milieu du segment [EB] et J celui de l'arête [FG].

Démontrer que les vecteurs AB

, AH

et IJ

sont coplanaires

TS - Géométrie dans l'espace Page 28/60 Version du 11/01/2017

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Exercice n°13 (correction)

ABCDEFGH est le parallélépipède rectangle représenté ci-

dessous.

I et J sont les milieux des arêtes [AE] et [CG].

Démontrer que les vecteurs AB

, IJ

et EH

sont coplanaires.

Exercice n°14 (correction)

ABCDEFGH est le cube représenté ci-contre.

I et J sont les centres respectifs des faces ADHE et BCGF.

a) Démontrer que 2AC HF IJ+ =

b) En déduire que les vecteurs AC

, HF

et IJ

sont coplanaires.

Exercice n°15 (correction)

ABCD est un tétraèdre

M est le point tel que : 13

AM AB=

et N est le milieu de l'arête [CD].

Exprimer le vecteur MN

en fonction des vecteurs AB

, AC

et AD

Exercice n°16 (correction)

ABCDEFGH est le cube représenté ci-contre.

I est le centre de la face ADHE et J celui de la face BCGF.

A l'aide de calculs de coordonnées dans le repère

( ); , ,A AB AD AE

, démontrer que les droites (AJ) et (GI) sont

parallèles.

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Exercice n°17 (correction)

ABCD est un tétraèdre.

On note G le centre de gravité du triangle BCD.

Déterminer les nombres réels a , b et c tels que :

AG aAB bAC cAD= + +

Dans toute la suite, l'espace est muni d'un repère ( ); , ,O i j k

.

Exercice n°18 (correction)

Les points A et B ont pour coordonnées respectives (3;5;-2) et (4;-3;1).

1) Calculer les coordonnées du vecteur AB

.

2) Calculer les coordonnées du point I, milieu de [AB].

Exercice n°19 (correction)

On considère les points A(2,4,-7) et B (-2,1,-1). Calculer la norme du vecteur AB

Exercice n°20 (correction)

1) Les vecteurs ( )3;6;12u

et ( )2;4;8v

sont ils colinéaires ?

2) Quelles sont les coordonnées du vecteur u v+ ?

3) Quelles sont les coordonnées du vecteur 2 5u v− ?

Exercice n°21 (correction)

Soient A(-2;1;10); B(-3;1;-2) et C le point tel que =5 +4OC i j k−

.

Déterminer les coordonnées du vecteur 4 2u AC AB= +

.

Exercice n°22 (correction)

Soient 11;3;2

A

. B(-1 ;4 ;1), C(2 ;3 ;0) et D(1 ;4 ;0).

Montrer que les points A,B,C et D sont coplanaires.

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Exercice n°23 (correction)

On donne les points A(-2;3;1) et B(5;2;-2).

a) Ecrire une représentation paramétrique de la droite (AB)

b) Les points M(-9;4;4) et N(12;1;1) appartiennent-ils à cette droite ?

Exercice n°24 (correction)

Dans un repère de l'espace, d et d ′ sont deux droites de représentations paramétriques respectives :

2 21 ,

1

x ty t tz t

= + = − + ∈ = +

; 1 32 ,

x ky k kz k

= − + = − + ∈ =

1) Démontrer que les droites d et d ′ ne sont pas parallèles

2) Donner les coordonnées de leur point d'intersection

Exercice n°25 (correction)

Dans un repère de l'espace, d et d ′ sont deux droites de représentations paramétriques respectives :

3 0,51 3 ,1

x ty t tz t

= − + = + ∈ = +

; 1,75 4

8,5 24 ,3,5 8

x ty t tz t

= − − = − ∈ = −

Démontrer que les droites d et d ′ sont confondues.

Exercice n°26 (correction)

On donne les points A(-1;1;2) et les vecteurs ( )1;0;1u

et 1 ; 1;12

v −

a) Ecrire une représentation paramétrique du plan ( ); ,A u v

b) Le point B(1;2;3) appartient-il à ce plan ?

c) Le point C(0;-1;4) appartient-il à ce plan ?

d) Déterminer l'intersection d de ce plan et du plan ( ); ,O i j

.

Préciser un point et un vecteur directeur de d.

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VECTEURS ET REPERAGE DANS L'ESPACE - CORRECTION

Correction de l'exercice n°9 (retour à l'énoncé)

( )12

AI AC AD= +

donc :

1 1 12 2 2

12

12

AM AD AC AD BD

AD BD AC

AB AC

= + + −

= − +

= +

Donc, le point M appartient au plan (ABC).

Correction de l'exercice n°10 (retour à l'énoncé)

a) On écrit 4AK AB BK JB= + =

1 12 2

AK AH HK BG HG BG AB= + = + = +

1 1 14 4 2

JI JB BI AB BI AB BG= + = + = +

Des égalités 12

AK BG AB= +

et 1 14 2

JI AB BG= +

on déduit 2AK JI=

b) Puisque 2AK JI=

, les deux droites (AK) et (JI) sont parallèles

Correction de l'exercice n°11 (retour à l'énoncé)

a) Méthode 1 :

D'après la relation de Chasles, 1 23 3

MG MB BA AG AB AB AG AB AG= + + = − + = − +

, puis

32

BI BA AI AB AG= + = − +

car G est le centre de gravité du triangle ACD et car (AI) est la

médiane issue de A.

Des égalités 23

MG AB AG= − +

et 32

BI AB AG= − +

, on déduit 32

BI MG=

.

Les droites (MG) et (BI) sont donc parallèles

TS - Géométrie dans l'espace Page 32/60 Version du 11/01/2017

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Méthode 2 :

Dans le triangle ABI, les points M et G appartiennent respectivement à [AB] et [AI].

De plus 23

AMAB

= par hypothèse et 23

AGAI

= car G est le centre de gravité du triangle ACD et car

(AI) est la médiane issue de A. La réciproque du théorème de Thalès entraîne que (MG)//(BI)

b) Puisque (MG) est parallèle à une droite du plan (BCD), elle est parallèle à tout le plan (BCD)

Correction de l'exercice n°12 (retour à l'énoncé)

D’après la relation de Chasles, IJ AJ AI= −

J est le milieu de [FG], donc 1 12 2

AJ AF AG= +

et I est le milieu de [EB] donc 1 12 2

AI AE AB= +

On obtient alors ( )12

IJ AF AG AE AB= + − −

Or AF AE EF AB− = =

, donc :

( )1 12 2

IJ AB AG AB AG= + − =

Or d’après la relation de Chasles, AG AB BG AB AH= + = +

Finalement, 1 12 2

IJ AB AH= +

. Ainsi, les vecteurs AB

, AH

et IJ

sont coplanaires

Correction de l'exercice n°13 (retour à l'énoncé)

D’après la relation de Chasles,

1 1 1 12 2 2 2

IJ IA AB BC CJ AE AB EH CG AE AB EH AE AB EH= + + + = − + + + = − + + + = +

Puisque 1 1IJ AB EH= × + ×

, on en déduit que les vecteurs AB

, IJ

et EH

sont coplanaires.

Correction de l'exercice n°14 (retour à l'énoncé)

a) D'après la relation de Chasles,

0 0

2 2AC HF AI IJ JC HI IJ JF IJ AI HI JC JF IJ+ = + + + + + = + + + + =

b) Puisque 1 12 2

IJ AC HF= +

, on en déduit que les vecteurs AC

, HF

et IJ

sont coplanaires.

TS - Géométrie dans l'espace Page 33/60 Version du 11/01/2017

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Correction de l'exercice n°15 (retour à l'énoncé)

D'après la relation de Chasles,

( )1 1 1 13 2 3 2

1 1 1 1 1 13 2 2 3 2 2

MN MA AC CN AB AC CD AB AC CA AD

AB AC AC AD AB AC AD

= + + = − + + = − + + +

= − + − + = − + +

Correction de l'exercice n°16 (retour à l'énoncé)

J est le milieu de [FC], F a pour coordonnées (1 ;0 ;1) et C a pour coordonnées (1 ;1 ;0), donc J a

pour coordonnées 1 11; ;2 2

. Ce sont aussi les coordonnées du vecteur AJ

.

I est le milieu de [AH], H a pour coordonnées (0 ;1 ;1) donc I a pour coordonnées 1 10; ;2 2

D’autre part, G a pour coordonnées (1 ;1 ;1) donc celles du vecteur GI

sont 1 11; ;2 2

− − −

On en déduit que GI AJ= −

. Les vecteurs AJ

et GI

sont colinéaires donc les droites (AJ) et (GI)

sont parallèles.

Correction de l'exercice n°17 (retour à l'énoncé)

( ) ( )2 2 2 13 3 3 2

2 1 13 3 3

1 1 13 3 3

AG AD DG AD DI AD DA AI AD DA AB AC

AD AD AB AC

AB AC AD

= + = + = + + = + + +

= − + +

= + +

On a donc AG aAB bAC cAD= + +

avec 13

a b c= = =

Correction de l'exercice n°18 (retour à l'énoncé)

1) Les coordonnées de AB

sont ( )1; 8; 3B A B A B AAB x x y y z z− = − = − − =

2) Le point I milieu de [AB]a pour coordonnées 7 1; 1;2 2 2 2 2

A B A B A Bx x y y z zI + + + = = = −

TS - Géométrie dans l'espace Page 34/60 Version du 11/01/2017

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Correction de l'exercice n°19 (retour à l'énoncé)

Les coordonnées de AB

sont ( )4; 3; 6B A B A B AAB x x y y z z− = − − = − − =

. La norme du vecteur AB

vaut donc : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24 3 6 61B A B A B AAB x x y y z z= − + − + − = − + − + =

Correction de l'exercice n°20 (retour à l'énoncé)

1) Les vecteurs ( )3;6;12u

et ( )2;4;8v

seront colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que

v ku=

, ce qui se traduit par le système 3 2

26 43

12 8

kk kk

= = ⇔ = =

Puisque 23

v u=

, on en déduit que les vecteurs ( )3;6;12u

et ( )2;4;8v

sont colinéaires

2) Les coordonnées de u v+ sont ( )3 2 5;6 4 10;12 8 20u v+ + = + = + =

3) Les coordonnées de 2 5u v− sont ( )2 5 2 3 5 2 4;2 6 5 4 8;2 12 5 8 16u v− × − × = − × − × = − × − × = −

Correction de l'exercice n°21 (retour à l'énoncé)

Puisque C est le point tel que =5 +4OC i j k−

, ses coordonnées sont C(5;4;-1)

Le vecteur AC

ayant pour coordonnées ( )( )5 2 7;4 1 3; 1 10 11AC − − = − = − − = −

et le vecteur AB

ayant pour coordonnées ( )( )3 2 1;1 1 0; 2 10 12AB − − − = − − = − − = −

, le vecteur 4 2u AC AB= +

aura pour coordonnées ( ) ( ) ( )( )4 7 2 1 26;4 3 2 0 12;4 11 2 12 66AC × + × − = × + × = × − + × − = −

Correction de l'exercice n°22 (retour à l'énoncé)

On calcule les coordonnées de : 1 11 1 2;4 3 1;12 2

AB − − = − − = − =

,

et 1 11 1 0;4 3 1;02 2

AD − = − = − = −

Les quatre points A,B,C et D seront coplanaires si et seulement si les trois vecteurs AB

, AC

et AD

sont coplanaires, si et seulement si il existe deux réels x et y tels que AD xAB y AC= +

, ce qui se

traduit par le système 0 2 1

11 0

21 1 12 2 2

x yx

x yy

x y

= − + ×

== + × ⇔ =

− = −

Puisque 2AD AB AC= +

, on en déduit que les quatre points A,B,C et D sont coplanaires

1 12 1 1;3 3 0;02 2

AC − = − = − = −

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Correction de l'exercice n°23 (retour à l'énoncé)

a) La droite d passe par le point A(-2 ;3 ;1) et admet le vecteur ( )7; 1; 3AB − −

pour vecteur

directeur.

Une représentation paramétrique de (AB) est donc 2 7

3 ,1 3

x ty t tz t

= − + = − ∈ = −

b) Existe-t-il un nombre réel t tel que 2 7 9

3 41 3 4

ttt

− + = − − = − =

. Ce système équivaut à 1t = − , donc M

appartient à la droite (AB)

Existe-t-il un nombre réel t tel que 2 7 12

3 11 3 1

ttt

− + = − = − =

. Ce système équivaut à 220

ttt

= = =

, il n’a pas de

solution, donc N n’appartient pas à la droite (AB)

Correction de l'exercice n°24 (retour à l'énoncé)

1) Un vecteur directeur de d est ( )2;1;1u

Un vecteur directeur de d ′ est ( )3;1;1v

Puisque les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires, on en déduit que les droites d et d ′ ne sont pas

parallèles. Elles sont donc soit sécantes soit non coplanaires

2) Pour déterminer leur point d’intersection, on doit résoudre le système 2 2 1 3

1 21

t kt k

t k

+ = − +− + = − + + =

Ce système se réécrit ( )2 1 3 32 3 3 1 1

1 1 1 01 1 1 0

k kt k k kt k t k t k tt k t k t k t

− − = −− = − − = − = − = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ =

− = − = − = − =

Le point d’intersection des droites d et d ′ est le point M(2 ;-1 ;1)

TS - Géométrie dans l'espace Page 36/60 Version du 11/01/2017

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Correction de l'exercice n°25 (retour à l'énoncé)

Un vecteur directeur de d est ( )0,5;3;1u et un vecteur directeur de d ′ est ( )4; 24;8v − −

Puisque 8v u= − on en déduit que les droites d et d ′ sont parallèles.

Démontrons de plus qu’elles sont sécantes.

Pour déterminer leur point d’intersection, on doit résoudre le système 3 0,5 1,75 4

1 3 8,5 241 3,5 8

t kt k

t k

− + = − − + = − + = −

(Attention, ne pas donner le même nom pour le paramètre dans les deux représentations

paramétriques). Ce système est équivalent à :

3 0,5 1,75 4 0,5 4 1,25 0,5 4 1,25 8 2,51 3 8,5 24 3 24 7,5 3 24 7,5 8 2,51 3,5 8 8 2,5 8 2,5 8 2,5

t k t k t k t kt k t k t k t k

t k t k t k t k

− + = − − + = + = + = + = − ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = + = − + = + = + =

Il admet donc une infinité de solutions (et même une seul solution par exemple t = 2,5 et k = 0

suffirait car deux droites parallèles ayant un point commun sont confondues). Les deux droites ont

une infinité de points communs, elles sont donc confondues.

Correction de l'exercice n°26 (retour à l'énoncé)

a) Un point ( ); ;M x y z appartient au plan ( ); ,A u v

si et seulement si il existe deux nombres t et k

tels que AM tu kv= +

, égalité qui se traduit par le système d’équations paramétriques :

( )

( )1 1 11 1 12 2 2

0 1 1 12 21 1

A

A

A

x x t k x t k x t k

y y t k y k y kz t k z t kz z t k

− = × + × − − = + = − + +

− = × + × − ⇔ − = − ⇔ = − − = + = + +− = × + ×

b) Le point B(1;2;3) appartiendra au plan ( ); ,A u v

si et seulement si il existe un couple de réels (t,k)

solutions du système

11 12

1 22 3

t k

kt k

− + + =− =

+ + =

, qui se réécrit

11 12

12

t k

kt

− + + =

= − =

. Ce système n’admettant pas

de solution, le point B(1;2;3) n’appartient pas au plan ( ); ,A u v

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c) Le point C(0;-1;4) appartiendra au plan ( ); ,A u v

si et seulement si il existe un couple de réels

(t,k) solutions du système

11 02

1 12 4

t k

kt k

− + + =− = −

+ + =

, qui se réécrit

11 02

20

t k

kt

− + + =

= =

. Ce système admettant

pour solution le couple (t = 0 ; k = 2) , le point C(0;-1;4) appartient au plan ( ); ,A u v

d) Le plan ( ); ,O i j

étant constitué de l’ensemble des points ( ); ;M x y z tels que z = 0, l’intersection

du plan ( ); ,A u v

et du plan ( ); ,O i j

est constitué de l’ensemble des points ( ); ;M x y z dont une

représentation paramétrique est

( )

( )

1 1 11 1 1 2 212 2 22

1 1 1 2 30 2 2

x t k t t tx t k

y k y k t tt k k t

= − + + = − + + − − = −= − + +

= − ⇔ = − = − − − = + = + + = − −

Un vecteur directeur de d est le vecteur 1 ;1; 12

u −

Un point de d est, par exemple, obtenu pour t = 0, à savoir le point D(-2 ;3 ;-2)

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PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE

1) Produit scalaire dans l'espace

Deux vecteurs u

et v

sont nécessairement coplanaires.

* S'ils sont colinéaires, alors il existe une infinité de plans contenant u

et v

* S'ils ne sont pas colinéaires, ramenons-les à une même origine A et considérons le plan engendré

par A, u

et v

qui contient donc, par construction, les vecteurs u

et v

Définition :

Le produit scalaire de deux vecteurs u

et v

dans l'espace est leur produit scalaire dans un plan les

contenant.

Conséquence :

La définition donnée et les propriétés établies en classe de Première S dans le plan sont donc aussi

valables dans l'espace, à savoir

( )cos ,u v u v u v v u⋅ = × × = ⋅

lorsque 0u ≠

et 0v ≠

( )0 0 ou 0 ou ; ,2

u v u v u v k kπ π⋅ = ⇔ = = = + ∈

. Dans ce cas, on dit que les vecteurs sont

orthogonaux.

1u v u v⋅ = ⋅

où 1v

est le projeté orthogonal de v

sur une droite dirigée par u

2 2 212

u v u v u v ⋅ = + − −

et 2 2 21

2u v u v u v ⋅ = + − −

( )cosAB AV AB AC BAC⋅ = × ×

où A,B et C sont trois points distincts du plan.

Quels que soient les vecteurs u , v , w et le réel k, on a :

( )u v w u w v w+ ⋅ = ⋅ + ⋅ ( )u v w u v u w⋅ + = ⋅ + ⋅

( ) ( ) ( )u kv ku v k u v⋅ = ⋅ = × ⋅

( )2 2 22u v u u v v+ = + ⋅ + ( )2 2 22u v u u v v− = − ⋅ +

( ) ( ) 2 2u v u v u v+ ⋅ − = −

TS - Géométrie dans l'espace Page 39/60 Version du 11/01/2017

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Expression analytique du produit scalaire :

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé ( ); , ,O i j k

, on considère deux vecteurs x

u yz

et x

v yz

′ ′ ′

Alors u v xx yy zz′ ′ ′⋅ = + +

2) Applications à l'orthogonalité Propriété :

Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs sont

orthogonaux

Preuve :

Etant donné la colinéarité de tous les vecteurs directeurs d'une même droite, il suffit de démontrer la

propriété en choisissant un vecteur directeur par droite.

Soient ( )1d et ( )2d deux droites dirigées respectivement par 1u

et ...

Considérons ( )1∆ et ( )2∆ les parallèles respectives à ( )1d et ( )2d passant par un même point.

Elles sont aussi dirigées respectivement par 1u

et 2u

.

( )1d est orthogonale à ( )2d si, par définition, ( )1∆ et ( )2∆ sont perpendiculaires c'est-à-dire si 1u

et

2u

sont orthogonaux.

3) Vecteur normal à un plan Définition :

un vecteur n

est dit normal à un plan P s'il est non nul et

orthogonal à tous les vecteurs contenus dans P.

Propriété :

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si un de ses vecteurs directeurs est un vecteur

normal du plan.

TS - Géométrie dans l'espace Page 40/60 Version du 11/01/2017

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Preuve :

Soient d une droite de vecteur directeur n

et P un plan.

Par définition, d est orthogonale à P si et seulement si d est

orthogonale à toute droite de P .

Cela signifie que n

est orthogonal à tout vecteur contenu dans P,

autrement dit, que n

est un vecteur normal de P.

Propriété :

Si un vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires d'un plan, c'est un vecteur normal à ce

plan

Preuve :

Soient P un plan, u

et v

deux vecteurs non colinéaires de ce plan auxquels est orthogonal un

vecteur non nul n

. Montrons que n

est orthogonal à tout vecteur de P.

Tout vecteur w

de P peut s'écrire w xu yv= +

.

Ainsi ( ) 0n w n xu yv xn u yn v⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ =

4) Parallélisme et perpendicularité de plans

Propriété :

Deux plans sont parallèles si et seulement si tout vecteur normal de l’un est un vecteur normal de

l’autre.

Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l’un est orthogonal à un

vecteur normal de l’autre.

TS - Géométrie dans l'espace Page 41/60 Version du 11/01/2017

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5) Positions relatives droites/droites, plans/plans, droites/plans

u est un vecteur directeur de la droite D. 'u est un vecteur directeur de la droite D'.

n est un vecteur normal du plan P. 'n est un vecteur normal du plan P'.

// ' et 'colinéairesD D u u⇔

// ' et 'colinéairesP P n n⇔

// et orthogonauxD P u n⇔

' et 'orthogonauxD D u u⊥ ⇔

' et 'orthogonauxP P n n⊥ ⇔

et colinéairesD P u n⊥ ⇔

6) Equations cartésiennes de plans

Propriété :

Soient n

un vecteur non nul, A un point de P le plan passant par A et

de vecteur normal n

.

Alors un point M appartient à P si et seulement si 0n AM⋅ =

Preuve :

1) Si M appartient à P alors AM

est un vecteur de P et est donc orthogonal à n

.

2) Réciproquement, soit M un point de l’espace tel que 0n AM⋅ =

.

Considérons H le projeté orthogonal de M sur P.

Alors ( )n AM n AH HM n AH n HM⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅

Puisque AH

est contenu dans P, AH

et n

sont orthogonaux donc 0n AH⋅ =

D’autre part, HM

et n

sont colinéaires donc n HM n HM⋅ = ± ×

0n AM⋅ =

est donc équivalent à 0n HM× =

.

Puisque 0n ≠

; on en déduit HM=0. Le point M est confondu avec le point H, il appartient donc à P.

TS - Géométrie dans l'espace Page 42/60 Version du 11/01/2017

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Théorème :

Dans un repère orthonormal ( ); , ,O i j k

, l'ensemble des points ( ); ;M x y z de l'espace vérifiant

0ax by cz d+ + + = est un plan de vecteur normal ( ); ;n a b c

, lorsque a,b, et c ne sont pas

simultanément nuls.

Démonstration :

1) Soit P un plan de vecteur normal ( ); ;n a b c

, (a,b, et c non simultanément nuls) et passant par le

point ( ); ;A A AA x y z

Alors un point ( ); ;M x y z appartient au plan P si et seulement si 0n AM⋅ =

Les coordonnées de AM

sont A

A

A

x xy yz z

− − −

.

L’égalité 0n AM⋅ =

se traduit par :

( ) ( ) ( ) ( )0 0A A A A A A

d

a x x b y y c z z ax by cz ax by cz− + − + − = ⇔ + + + − + + =

Les coordonnées du point M vérifient donc une équation de la forme ax by cz d+ + =

2) Réciproquement, considérons l’ensemble E des points ( ); ;M x y z tels que 0ax by cz d+ + + =

(a,b, et c non simultanément nuls)

Supposons par exemple que a est non nul. Le point ;0;0dAa

appartient à E car

0 0 0A A Adax by cz d a b c d d da

+ + + = − + × + × + = − + =

L'égalité 0 dax by cz d a da

+ + + = = − +

se réécrit 0da x by cza

+ + + =

c'est-à-dire 0n AM⋅ =

avec ( ); ;n a b c

.

E est donc le plan passant par A et de vecteur normal ( ); ;n a b c

.

TS - Géométrie dans l'espace Page 43/60 Version du 11/01/2017

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Cas particuliers : 1) Les plans parallèles à ( )xOy ont une équation de la forme z k= ou k est un réel

2) Les plans parallèles à ( )xOz ont une équation de la forme y k= ou k est un réel

3) Les plans parallèles à ( )yOz ont une équation de la forme x k= ou k est un réel

TS - Géométrie dans l'espace Page 44/60 Version du 11/01/2017

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PRODUIT SCALAIRE DANS l'ESPACE - EXERCICES

Dans toute la suite, l'espace est muni d'un repère orthonormé ( ); , ,O i j k

.

Exercice n°27 (correction)

Le plan P a pour équation : 3 7 0x y z+ − + =

1) Donner un vecteur normal à P

2) a) Donner les coordonnées d'un point M de P.

b) Le point L(1;-1;2) appartient-il au plan P ?

c) Déterminer le réel z pour que le point N(2;5;z) appartienne au plan P.

Exercice n°28 (correction)

Le plan P a pour équation : 2 6x y z+ + =

1) Donner un vecteur normal à P

2) a) Déterminer les coordonnées du point A, intersection du plan P avec l'axe des abscisses (Ox).

b) Déterminer les coordonnées des points B et C, intersections respectives du plan P avec les axes

(Oy) et (Oz).

3) Dans un repère de l'espace, placer les points A,B et C.

Tracer les droites (AB), (AC) et (BC), traces du plan P sur les plans de coordonnées

Exercice n°29 (correction)

Déterminer un vecteur normal n pour chacun des plans suivants :

1 : 2 1 0P x y z− + + − = 2 : 3 0P x y− = 3 : 2 1 0P y − = 4 : 2 3 0P x z− + =

Exercice n°30 (correction)

Déterminer une équation du plan P passant par le point A et de vecteur normal n

1) A(2;-3;5) et ( )3;2;1n 2) A(4;-2;1) et ( )5;3;2n 3) A(1;1;0) et ( )0;2;1n

Exercice n°31 (correction)

On considère le plan P d'équation : 2 3 6 18 0x y z− + − =

1) Donner un vecteur normal n au plan P

2) Déterminer une équation du plan P' parallèle au plan P passant par le point B(6;-4;-4). TS - Géométrie dans l'espace Page 45/60 Version du 11/01/2017

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Exercice n°32 (correction)

Dans chacun des cas suivants, préciser si les plans P et P' sont parallèles :

a) P d'équation 2 5x y z+ − = et P' d'équation 1 1 72 2

x y z− + − =

b) P d'équation 3 5 4x y z+ − = et P' d'équation 3 9 15 6x y z− − + = −

c) P d'équation 3 2 8x y z+ − = et P' d'équation 4 12 8 32x y z− − + = −

Exercice n°33 (correction)

On considère les points (2;1; 3)A − , (5;2;1)B et (1;1;1)C

1. Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par C et orthogonal à la droite ( )AB .

2. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan P.

3. Déterminer de deux manières la distance du point A au plan P.

4. a. Expliquer pourquoi les droites ( )AB et ( )CH sont perpendiculaires.

b. Déterminer la distance du point C à la droite ( )AB .

5. Soit M un point quelconque de la droite ( )AB . On pose AM t AB=

.

a. Exprimer les coordonnées de M en fonction de t.

b. On pose ( )f t CM= . Montrer que 2( ) 26 26 17f t t t= − + .

c. Etudier les variations de f et en déduire les coordonnées du point M de la droite ( )AB pour lequel

la longueur CM est minimale. Pouvait-on prévoir ce résultat ?

Exercice n°34 (correction)

Une seule réponse juste par question.

Bonne réponse = 1 point Mauvaise réponse = -0,5 point Absence de réponse = 0 point

Aucune justification n'est demandée.

D et 'D sont les droites de représentations paramétriques respectives 1 223

x ty t

z t

= + = − = − +

et '

1 '4 2 '

x ty t

z t

= − = − = +

.

P et 'P sont les plans d'équations cartésiennes respectives 2 1 0x y z+ − + = et 3 0x y z− − = .

1. Les droites D et 'D sont :

a. sécantes b. orthogonales c. non coplanaires

TS - Géométrie dans l'espace Page 46/60 Version du 11/01/2017

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2. Les plans P et 'P sont :

a. parallèles b. orthogonaux c. sécants

3. La droite D et le plan P sont :

a. sécants b. orthogonaux c. parallèles

4. La droite D et le plan 'P sont :

a. sécants b. orthogonaux c. parallèles

5. Un vecteur directeur de la droite intersection de P et 'P est :

a. 5

12

u−

b. 512

u −

c. 51

2u −

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PRODUIT SCALAIRE DANS l'ESPACE - CORRECTION

Correction de l'exercice n°27 (retour à l'énoncé)

1) L’équation de P étant de la forme 0=+++ dczbyax , avec a = 1 , b = 3, c = -1, un vecteur

normal à P est le vecteur ( )cban ;; c’est-à-dire ( )1;3;1 −n

2) a) Le point M(0 ;0 ;7), par exemple, appartient au plan P, car ses coordonnées vérifient

l’équation 3 7 0x y z+ − + =

b) Le point L(1;-1;2) appartient au plan P car ses coordonnées ( )2;1;1 =−== LLL zyxL vérifient

bien l’équation 073 =+−+ LLL zyx

c) Le point N(2;5;z) appartiendra au plan P si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation

de P, à savoir 2407532073 =⇔=+−×+⇔=+−+ zzzyx NNN

Pour que le point N(2;5;z) appartienne au plan P, il faut et il suffit que z = 24

Correction de l'exercice n°28 (retour à l'énoncé)

1) L’équation de P étant de la forme 0=+++ dczbyax , avec a = 2, b = 1, c = 1, un vecteur normal

à P est le vecteur ( )cban ;; c’est-à-dire ( )1;1;2n

2) a) Le point A se trouve sur l’axe des abscisses si et seulement si ses coordonnées sont de la forme

( )0;0; == AAA zyxA et il appartiendra de surcroît au plan si et seulement si ses coordonnées

vérifient l’équation de P, à savoir, 3600262 =⇔=++⇔=++ AAAAA xxzyx .

Le point A(3 ;0 ;0) est le point d’intersection du plan P avec l'axe des abscisses (Ox).

b) Le point ( )BBB zyxB ;; sera à l’intersection du plan P et de l’axe (Oy) si et seulement si ses

coordonnées vérifient simultanément

===

=++==

600

6200

B

B

B

BBB

B

B

yzx

zyxzx

Il s’agit du point B(0 ;6 ;0)

Le point ( )CCC zyxC ;; sera à l’intersection du plan P et de l’axe (Oz) si et seulement si ses

coordonnées vérifient simultanément

===

=++==

600

6200

C

C

C

CCC

C

C

zyx

zyxyx

Il s’agit du point C(0 ;0 ;6)

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3) Voir figure ci-dessous :

Correction de l'exercice n°29 (retour à l'énoncé)

L’équation de 1P étant de la forme 0=+++ dczbyax , avec a = -1 , b = 1, c = 2, un vecteur normal

à 1P est le vecteur ( )cban ;;1 c’est-à-dire ( )2;1;11 −n

L’équation de 2P étant de la forme 0=+++ dczbyax , avec a = 3 , b = -1, c = 0, un vecteur normal

à 2P est le vecteur ( )cban ;;2 c’est-à-dire ( )0;1;32 −n

L’équation de 3P étant de la forme 0=+++ dczbyax , avec a = 0 , b = 2, c = 0, un vecteur normal

à 3P est le vecteur ( )cban ;;3 c’est-à-dire ( )0;2;03n

L’équation de 4P étant de la forme 0=+++ dczbyax , avec a = 2 , b = 0, c = -1, un vecteur normal

à 4P est le vecteur ( )cban ;;4 c’est-à-dire ( )1;0;24 −n

TS - Géométrie dans l'espace Page 49/60 Version du 11/01/2017

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Correction de l'exercice n°30 (retour à l'énoncé)

1) Si ( )1;2;3n est un vecteur normal de P, cela signifie que P admet une équation de la forme

023 =+++ dzyx . Puisque A(2;-3;5) appartient à P, cela signifie que les coordonnées de A

vérifient l’équation de P, à savoir ( ) 5053223023 −=⇔=++−×+×⇔=+++ dddzyx AAA

Une équation de P est donc 0523 =−++ zyx .

2) Si ( )5;3;2n est un vecteur normal de P, cela signifie que P admet une équation de la forme

0235 =+++ dzyx .

Puisque A(4;-2;1) appartient à P, cela signifie que les coordonnées de A vérifient l’équation de P, à

savoir ( )5 3 2 0 5 4 3 2 2 1 0 16A A Ax y z d d d+ + + = ⇔ × + × − + × + = ⇔ = −

Une équation de P est donc 016235 =−++ zyx .

3) Si ( )0;2;1n est un vecteur normal de P, cela signifie que P admet une équation de la forme

02 =++ dzy .

Puisque A(1;1;0) appartient à P, cela signifie que les coordonnées de A vérifient l’équation de P, à

savoir 2001202 −=⇔=++×⇔=++ dddzy AA

Une équation de P est donc 022 =−+ zy .

Correction de l'exercice n°31 (retour à l'énoncé)

1) L’équation de P étant de la forme 0=+++ dczbyax , avec a = 2, b = -3, c = 6, un vecteur

normal à P est le vecteur ( )cban ;; c’est-à-dire ( )6;3;2 −n

2) Puisque le plan P' est parallèle au plan P, le vecteur ( )6;3;2 −n normal à P sera aussi normal à P’

qui admettra donc une équation de la forme 0632 =++− dzyx .

Puisque B(6;-4;-4) appartient à P’, cela signifie que les coordonnées de B vérifient l’équation de P’,

à savoir ( ) ( ) 004643620632 =⇔=+−×+−×−×⇔=++− dddzyx BBB

Une équation de P’ est donc 0632 =+− zyx .

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Correction de l'exercice n°32 (retour à l'énoncé)

a) L’équation de P étant de la forme 0=+++ dczbyax , avec a = 2, b = 1, c = -1, un vecteur

normal à P est le vecteur ( )cban ;;1 c’est-à-dire ( )1;1;21 −n

L’équation de P’ étant de la forme 0=+++ dczbyax , avec a = -1, 21

=b , 21

−=c , un vecteur

normal à P’ est le vecteur ( )cban ;;2 c’est-à-dire

−−

21;

21;12n

Les vecteurs ( )1;1;21 −n et

−−

21;

21;12n n’étant pas colinéaires (il n’existe pas de réel k unique

satisfaisant à la fois

( )

2 1112

112

k

k

k

= − × = − × = −

), les deux plans P et P' ne sont pas parallèles

b) L’équation de P étant de la forme 0=+++ dczbyax avec a = 1, b = 3, c = -5, un vecteur

normal à P est le vecteur ( )cban ;;1 c’est-à-dire ( )5;3;11 −n

L’équation de P’ étant de la forme 0=+++ dczbyax , avec a = -3, b = -9, c = 15, un vecteur

normal à P’ est le vecteur ( )cban ;;2 c’est-à-dire ( )15;9;32 −−n

Puisque les vecteurs normaux respectifs à P et P’, ( )5;3;11 −n et ( )15;9;32 −−n sont colinéaires (on a

12 3nn

−= ), on en déduit que les plans P et P’ sont parallèles.

c) L’équation de P étant de la forme 0=+++ dczbyax , avec a = 1, b = 3, c = -2, un vecteur

normal à P est le vecteur ( )cban ;;1 c’est-à-dire ( )2;3;11 −n

L’équation de P’ étant de la forme 0=+++ dczbyax , avec a = -4, b = -12, c = 8, un vecteur

normal à P’ est le vecteur ( )cban ;;2 c’est-à-dire ( )8;12;42 −−n

Puisque les vecteurs normaux respectifs à P et P’, ( )2;3;11 −n et ( )8;12;42 −−n sont colinéaires (on a

12 4nn

−= ), on en déduit que les plans P et P’ sont parallèles.

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Correction de l'exercice n°33 (retour à l'énoncé)

1. Puisque le plan P est orthogonal à la droite (AB), on en déduit que le vecteur AB

est normal à P.

Les coordonnées de AB

sont ( )( )5 2 3; 2 1 1; 1 3 4B A B A B AAB x x y y z z− = − = − = − = − = − − =

.

Puisque P admet pour vecteur normal ( )3;1;4AB

, son équation est de la forme 043 =+++ dzyx .

Puisque C appartient à P, ses coordonnées vérifient l’équation de P, à savoir 043 =+++ dzyx CCC

équation qui se réécrit 8014113 −=⇔=+×++× dd

Une équation de P est donc 0843 =−++ zyx

2. Puisque ( )3;1;4AB

est un vecteur directeur de la droite (AB), celle-ci admet pour représentation

paramétrique ( )( )( )

+−=+=+=+=+=+=

ttztzttyty

ttxtx

A

A

A

4341

323

Puisque P est orthogonal à la droite (AB), le projeté orthogonal H du point A sur le plan P sera

l’intersection du plan P et de la droite (AB)

Les coordonnées du point H vérifient simultanément

+−=+=+=

tzty

tx

H

H

H

431

32 et 0843 =−++ HHH zyx .

On obtient donc : ( ) ( )211326084341323 =⇔=⇔=−+−++++ ttttt

Le point H a pour coordonnées

−=×+−=

=+=

=×+=

12143

23

211

27

2132

H

H

H

z

y

x

3. La distance du point A au plan P est donnée par :

( ) ( ) ( ) ( )( )

4264

41

49

311232

27 2

22222

=++=

−−−+

−+

−=−+−+−= AHAHAH zzyyxxAH

4. a. Puisque la droite (AB) est orthogonale au plan P, elle sera orthogonale à toute droite contenue

dans le plan P, en particulier à (CH). Comme C appartient à (AB), les droites (AB) et (CH) seront

perpendiculaires.

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b. Puisque (AB) et (CH) sont perpendiculaires, la distance du point C à la droite ( )AB sera donnée

par la distance ( ) ( ) ( ) ( )

4424

41

425

111231

27 2

22222

=++=

−−+

−+

−=−+−+−= CHCHCH zzyyxxCH

5. a. L’égalité AM t AB=

se traduit par :

+−=+=+=

×=−

×=−

×=−

tzty

tx

ztzz

ytyy

xtxx

M

M

M

ABAM

ABAM

ABAM

431

32

b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

172626163216961

143111322222

222222

+−=+−++++=

−+−+−++−+=−+−+−==

ttttttt

tttzzyyxxCMtf CMCMCM

c. Puisque la fonction racine est strictement croissante sur [ [+∞;0 , les variations de f sont identiques

à celles de la fonction polynôme P : 172626 2 +− ttt

Puisque P est de la forme cbtatt ++2 avec a = 26>0, b = -26 et c = 17, elle atteint son

minimum pour 21

2=−=

abt donc pour le point M dont les coordonnées sont

−=×+−=

=+=

=×+=

12143

23

211

27

2132

M

M

M

z

y

x

Il s’agit du point H.

Ce résultat était prévisible car le minimum de la distance entre C et les points M du plan P est

réalisé pour le projeté orthogonal de C sur le plan P, donc pour H.

Correction de l'exercice n°34 (retour à l'énoncé)

1. Les droites D et 'D sont :

a. sécantes b. orthogonales c. non coplanaires

Explication :

Un vecteur directeur de D est ( )1;1;2 −u . Un vecteur directeur de D’ est ( )2;1;1 −−v

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Ces deux vecteurs n’étant ni colinéaires ni orthogonaux, les droites ne sont ni parallèles ni

orthogonales.

De plus, le système

=′−−=′

=⇔

=′−−=′+−−=′+

′+=+−

′−=−

′−=+

721

0

72112

24312

21

tttt

tttttt

tttt

tt n’admettant pas de couple

solution ( )tt ′, on en déduit que les droites D et D’ ne sont pas sécantes. Elles sont donc non

coplanaires

2. Les plans P et 'P sont :

a. parallèles b. orthogonaux c. sécants

Un vecteur normal de P est ( )2;1;11 −n . Un vecteur normal de P’ est ( )3;1;12 −−n

Ces deux vecteurs n’étant ni colinéaires ni orthogonaux, on en déduit que les plans ne sont ni

parallèles ni orthogonaux. Ils sont donc sécants

3. La droite D et le plan P sont :

a. sécants b. orthogonaux c. parallèles

Le système

=+−++−=−=+=

0123

221

zyxtz

tytx

se résout :

( )

==+−=−=−==×+=

=++−−−+++−=−=+=

=+−++−=−=+=

1071038102

211021

01322213

221

0123

221

tzyx

ttttz

tytx

zyxtz

tytx

Puisqu’il admet une unique solution, on en conclut que la droite D et le plan P sont sécants

4. La droite D et le plan 'P sont :

a. sécants b. orthogonaux c. parallèles

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Le système

=−−

′+=

′−=

′−=

0324

1

zyxtz

tytx

se résout :

( ) ( )

=′

×+=

−=

−=

=−′−

′+=

′−=

′−=

=′+−′−−′−

′+=

′−=

′−=

613

61324

6131

613

013624

1

0243124

1

t

z

y

x

ttz

tytx

ttttz

tytx

Puisqu’il admet une unique solution, on en conclut que la droite D et le plan P’ sont sécants

5. Un vecteur directeur de la droite intersection de P et 'P est :

a. 5

12

u−

b. 512

u −

c.

51

2u −

( )

−−==

−−=⇔

−−==

−−+=⇔

−−==

+=⇔

=−−−=++

=−−=+−+

12

35

21

213

21

3

03012

03012

2

21

2

1

yzyy

yx

yzyy

yyx

yzyy

zyx

LzyxLLzy

LzyxLzyx

Un vecteur directeur de la droite intersection de P et 'P est ( )2;1;5 −−v

Un autre est donc ( )2;1;5 −−= vu

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EXERCICES DE SYNTHESE Exercice n°35 (correction) - Baccalauréat TS Pondichery 2016

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

ABCDEFGH désigne un cube de côté 1.

Le point I est le milieu du segment [BF].

Le point J est le milieu du segment [BC].

Le point K est le milieu du segment [CD].

Partie A

Dans cette partie, on ne demande aucune justification

On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L.

Construire en laissant apparents les traits de construction :

- le point L ;

- l’intersection D des plans (IJK) et (CDH) ;

- la section du cube par le plan (IJK).

Partie B

L’espace est rapporté au repère ( ); ; ;A AB AD AE

.

1. Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère.

2. a. Montrer que le vecteur AG

est normal au plan (IJK).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).

3. On désigne par M un point du segment [AG] et t le réel de l’intervalle [0;1] tel que AM t AG=

a. Démontrer que 4533 22 +−= ttMI

b. Démontrer que la distance MI est minimale pour le point

21;

21;

21N

4. Démontrer que pour ce point

21;

21;

21N

a. N appartient au plan (IJK).

b. La droite (IN) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF).

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Exercice n°36 (correction) - Concours FESIC/Puissance11 2016

VRAI ou FAUX ? (Sans calculatrice)

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé ( ); ; ;O i j k

, on donne les plans (P) et (Q) d’équations

cartésiennes respectives (P) : x + y +3z = 1 et (Q) : -y +2z = 4.

(D) est la droite dont une représentation paramétrique est 5 1

21

x ty tz t

= − + = = −

pour tout t réel.

a. Le plan (Q) est orthogonal à l’axe des abscisses.

b. Les plans (P) et (Q) sont sécants suivant une droite ∆ .

c. Une équation cartésienne de ∆ est x +5z = 5.

d. D est parallèle à ∆ .

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EXERCICES DE SYNTHESE - CORRECTION

Correction de l'exercice n°35 (retour à l'énoncé) - Baccalauréat TS Pondichery 2016

Partie A

Voir figure ci-dessous

Partie B

1. Dans le repère ( ); ; ;A AB AD AE

, les coordonnées des sommets du cube sont :

A(0; 0; 0), B (1; 0; 0), D(0; 1; 0), E (0; 0; 1), C (1; 1; 0), F (1; 0; 1), H (0; 1; 1), G (1; 1; 1).

Le point I est le milieu de [BF] donc I a pour coordonnées 11;0;2

I

Le point J est le milieu de [BC] donc J a pour coordonnées 11; ;02

J

Le point K est le milieu de [CD] donc K a pour coordonnées 1 ;1;02

K

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2. a. Le vecteur AG

a les mêmes coordonnées que le point G c’est-à-dire (1; 1; 1).

IJ

a pour coordonnées 1 10; ;2 2J I J I J IIJ x x y y z z − = − = − = −

On a 1 11 0 1 1 02 2

AG IJ ⋅ = × + × + × − =

donc AG

et IJ

sont orthogonaux

JK

a pour coordonnées 1 1; ; 02 2K J K J K JJK x x y y z z − = − − = − =

On a 1 11 1 1 0 02 2

AG JK ⋅ = × − + × + × =

donc AG

et JK

sont orthogonaux

Puisque les vecteurs IJ

et JK

ne sont pas colinéaires et puisque AG

est orthogonal à IJ

et JK

, le

vecteur AG

est normal au plan (IJK).

b. Le vecteur AG

est normal au plan (IJK)

Le plan (IJK) est l’ensemble des points ( ); ;P x y z de l’espace tels que AG

est orthogonal à IP

.

Le vecteur IP

a pour coordonnées 11; ;2I I IIP x x x y y y z z z − = − − = − = −

L’égalité 0AG IP⋅ =

se réécrit : ( ) 11 1 1 1 02

x y z × − + × + × − =

.

Le plan (IJK) a donc pour équation 3 02

x y z+ + − =

3. Puisque M est un point vérifiant AM t AG=

, on a donc A AG

A AG

A AG

x x t xy y t yz z t z

− = ×

− = × − = ×

, d’où on déduit que le

point M a pour coordonnées (t ; t ; t ).

a.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 2 2 22 2

2 2 2 2

11 02

1 1 52 1 2 3 32 4 4

I I IMI IM x x y y z z t t t

t t t t t t t

= = − + − + − = − + − + −

= − + + + − × + = − +

b. Tout trinôme 2ax bx c+ + avec a > 0 est minimal pour 2bxa

= − , donc 2 53 34

t t− + est minimal

pour 3 12 3 2

t −= − =

×

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2MI donc MI est minimal pour 12

t = cela correspond au point de coordonnées 1 1 1; ;2 2 2

4. a. Le plan (I JK) a pour équation 3 02

x y z+ + − = et le point N a pour coordonnées 1 1 1; ;2 2 2

.

On calcule 3 1 1 1 3 02 2 2 2 2N N Nx y z+ + − = + + − = donc le point 1 1 1; ;

2 2 2N

appartient au plan (IJK).

b. Les points I et N appartiennent au plan (IJK) et le vecteur AG

est normal au plan (IJK).

On en déduit que les droites (IJ) et (AG) sont orthogonales.

Le point N étant le milieu de [AG], il appartient à (AG).

On peut donc en déduire que les droites (IN) et (AG) sont perpendiculaires en N.

De plus, le vecteur IN

a pour coordonnées 1 1 1 1 1 11 ; 0 ; 02 2 2 2 2 2

− = − − = − =

et BF AE=

a pour

coordonnées ( )0;0;1BF

.

On calcule 1 10 0 1 0 02 2

BF IN ⋅ = × − + × + × =

donc les vecteurs BF

et IN

sont orthogonaux.

La droite(IN) est orthogonale à la droite (BF).

Le point I appartenant aux deux droites (IN) et (BF), on peut dire que les droites (IL) et (BF) sont

perpendiculaires en I.

Correction de l'exercice n°36 (retour à l'énoncé) - Concours FESIC/Puissance11 2016

a. FAUX car un vecteur normal à (Q) est ( )0; 1;2Qn − qui n’est pas colinéaire à i

b. VRAI car un vecteur normal à (P) est ( )1;1;3Pn tandis qu’un vecteur normal à (Q) est

( )0; 1;2Qn − Les vecteurs Pn et Qn n’étant pas colinéaires, on en déduit que les plans (P) et (Q) ne sont pas parallèles, donc sont sécants suivant une droite ∆ c. FAUX. La droite ∆ est définie par le système d’équations cartésiennes

1 1 2

2 2

3 1 5 52 4 2 4

x y z L x z L Ly z L y z L+ + = + = +

⇔ − + = − + =

d. VRAI Le système d’équations cartésiennes définissant ∆ se réécrit 5 5

2 4 ,x zy z z IRz

= − + = − ∈

Un vecteur directeur de ∆ est donc ( )1 5;2;1u − . Un vecteur directeur de (D) étant ( )2 15;2;1u u− = , on en déduit que les deux droites ∆ et (D) sont parallèles. TS - Géométrie dans l'espace Page 60/60 Version du 11/01/2017