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CHAPITRE 7 ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes Un mécanisme est un ensemble de solides reliés entre eux dans le but d’obtenir une loi de mouvement particulière. 7.1.1. Mécanisme en chaîne ouverte L’éolienne de la figure 7.1 est un mécanisme en chaîne ouverte, il peut être représenté par un graphe qui a l’allure suivante : mat nacelle hélice Mouvement de rotation d’axe (O, z 0 ) Mouvement de rotation d’axe ( A, x 1 ) O x 0 y 0 z 0 x 1 A z 2 B Nacelle 1 Mas 0 Hélice 2 Figure 7.1. – Mécanisme en chaîne ouverte Le graphe de structure du mécanisme est constitué de solides liés en série. Le mouvement du dernier solide par rapport au premier solide est une combinaison des mouvements entre chaque solide. Les robots, les manipulateurs, les grues,…, ont souvent une structure en chaîne ouverte. 7.1.2. Mécanisme en chaîne fermée Le moteur 2 temps de la figure 7.2 est un mécanisme en chaîne fermée, il peut être représenté par un graphe bouclé. Le graphe de structure du mécanisme est un graphe bouclé, dans lequel la dernière pièce du mécanisme est relié à la première. 1

ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

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CHAPITRE 7ÉTUDE DES MÉCANISMES

7.1. MécanismesUn mécanisme est un ensemble de solides reliés entre eux dans le but d’obtenir une loi de mouvement

particulière.

7.1.1. Mécanisme en chaîne ouverteL’éolienne de la figure 7.1 est un mécanisme en chaîne ouverte, il peut être représenté par un graphe

qui a l’allure suivante :

mat

nacelle

hélice

Mouvement de rotationd’axe (O, #»z0)

Mouvement de rotationd’axe (A, #»x1)

O

#»x0 #»y0

#»z0#»x1

A

#»z2 B

Nacelle 1

Mas 0

Hélice 2

Figure 7.1. – Mécanisme en chaîne ouverte

Le graphe de structure du mécanisme est constitué de solides liés en série. Le mouvement du derniersolide par rapport au premier solide est une combinaison des mouvements entre chaque solide.

Les robots, les manipulateurs, les grues,…, ont souvent une structure en chaîne ouverte.

7.1.2. Mécanisme en chaîne ferméeLe moteur 2 temps de la figure 7.2 est un mécanisme en chaîne fermée, il peut être représenté par un

graphe bouclé. Le graphe de structure du mécanisme est un graphe bouclé, dans lequel la dernière piècedu mécanisme est relié à la première.

1

Page 2: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

7. Étude des mécanismes

O0

A

B

#»y0

#»x0

#»x1

#»y2

S3

S2

S1

S0

carter

manivelle+ hélice

piston

bielle

Mouvement derotation d’axe(O, #»z0)

Mouvement derotation d’axe(A, #»z0)

Mouvement derotation d’axe(B, #»z0)

Mouvement detranslation dedirection #»y0

Figure 7.2. – Mécanisme en chaîne fermée

7.1.3. Mécanisme en chaîne complexeLes mécanismes ont souvent une structure plus complexe, avec plusieurs chaînes fermées.

(a) robot delta 2D

S0

S1 S2 S7

S6

S4 S8

S5

S3

L02L07

L26 L76

L68L46

L45 L85

L01

L13

L15

(b) graphe de structure du robotDelta 2D

Figure 7.3. – Chaîne complexe :Robot delta 2D

2 Lycée Charlemagne-Paris

Page 3: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

7. Étude des mécanismes

7.2. Liaison élémentaire7.2.1. Mouvements élémentaires

Entre deux solides, même s’il est théoriquement possible de réaliser tout mouvement du plus simpleau plus complexe, on se limite en général à des mouvements simples réalisables entre des élémentsgéométriques simples (plan, cylindre, sphère, ligne). À ces surfaces élémentaires on ajoute l’hélice. Letableau 7.1 précise les différents mouvements.

plan cylindre sphèreSphère

contact ponctuel contact linéique (ligne cir-culaire)

contact surfacique (sphère)

cylindre

contact linéique (ligne decontact)

contact surfacique (cy-lindre)

plan

contact surfacique (plan)

Table 7.1. – Surfaces élémentaires en contact

plan cylindre sphèreSphère contact ponctuel

2 translations dans le plan3 rotations autour du pointde contact

contact linéique (ligne cir-culaire)1 translation (suivant l’axedu cylindre)3 rotations autour du centrede la sphère

contact surfacique (sphère)0 translation3 rotations autour du centrede la sphère

cylindre2 translations (dans le plan)2 rotations autour de la nor-male et autour de la ligne decontact

contact surfacique (cy-lindre)1 translation (suivant l’axe)1 rotation autour de l’axe

plancontact surfacique (plan)2 translations (dans le plan)1 rotation⊥ au plan

Table 7.2. – Surfaces élémentaires en contact

Lycée Charlemagne-Paris 3

Page 4: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

7. Étude des mécanismes

7.3. Liaisons normalisées

À partir des ces différentes associations de surfaces élémentaires, on construit les différentes liaisonsnormalisées que l’on retrouve dans « tous » les mécanismes.

Ces liaisons sont décrites dans la norme française NF E 04-015 et la norme européenneNF EN ISO 3952-1.

Ces liaisons normalisées permettent de construire un modèle schématique du mécanisme permettantl’analyse à la fois des mouvements (étude cinématique et géométrique) que l’étude du comportementsous les efforts appliqués (étude statique ou dynamique).

Le schéma est l’outil de communication technique par excellence. Afin qu’il soit compris par grandnombre, les symboles utilisés dans les schémas sont le plus souvent normalisés, ou font l’objet de conven-tions. Ces liaisons normalisées sont décrites dans les tableaux qui suivent.

On retrouve pour chaque tableau :

— le nom et la désignation normalisée de la liaison ;

— une représentation graphique 3D de la liaison ;

— les caractéristiques cinématiques de la liaison ;

— le torseur cinématique écrit au point et dans la base dans lesquels il est minimal ;

— les symboles plan et en perspective.

Remarque 1 :(

#»x ,#»

? ,#»

?)

se comprend comme, « Toute base comportant le vecteur #»x ».

Remarque 2 : Ces liaisons et symboles doivent être parfaitement sus.

Liaison PivotLiaison Pivot d’axe (O, #»x )

#»x

#»yO

#»z V1/0

=

ωx 00 00 0

∀P∈(O, #»x )( #»x ,

#»? ,

#»? )

— nc = 1 : une seule liberté, la rotation au-tour de l’axe de rotation.

— La forme canonique du torseur est lamême en tout point de l’axe de rotation.

— Le torseur cinématique est un torseurglisseur.

Symbole 2D

#»yO

#»z#»xO

#»z

Symbole 3D

#»x#»y

O

#»z

4 Lycée Charlemagne-Paris

Page 5: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

7. Étude des mécanismes

Liaison GlissièreLiaison Glissière de direction #»x

#»x#»y

O

#»z V1/0

=

0 Vx0 00 0

∀P

( #»x ,#»? ,

#»? )

— nc = 1, une seule liberté, la translationsuivant #»x .

— La forme canonique est valable en toutpoint de l’espace.

— Le torseur cinématique est un torseurcouple.

#»yO

#»z#»xO

#»z

#»x

#»yO

#»z

Liaison HélicoïdaleLiaison Hélicoïdale d’axe (O, #»x )

#»x#»y

O

#»z V1/0

=

ωx Vx0 00 0

∀P∈(O, #»x )( #»x ,

#»? ,

#»? )

avec Vx = ϵp

2 · πωx

— nc = 1 : la rotation et le translation sui-vant l’axe (O, #»x ) sont dépendantes.Vx = ϵ

p2 · π

ωx avecp le pas de la liaison hélicoïdaleϵ = ±1 en fonction du sens du pas de lavis.

— pas à droite : Vx = +p

2 · πωx

— pas à gauche : Vx = − p2 · π

ωx

— la forme canonique est vraie en tout pointde l’axe (O, #»x ).

#»yO

#»z#»xO

#»z

#»x

#»yO

#»z

Lycée Charlemagne-Paris 5

Page 6: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

7. Étude des mécanismes

Liaison Pivot GlissantLiaison Pivot Glissant d’axe (O, #»x )

#»x#»y

O

#»z V1/0

=

ωx Vx0 00 0

∀P∈(O, #»x )( #»x ,

#»? ,

#»? )

— nc = 2 : deux degrés de liberté :— une translation suivant la direction

#»x ,— une rotation autour de l’axe (O, #»x )

— la forme canonique est vraie pour toutpoint de l’axe de rotation

#»yO

#»z#»xO

#»z

#»x

#»yO

#»z

Liaison SphériqueLiaison Sphérique de centre C ou liaison rotule de centre C

#»x#»y

C

#»z V1/0

=

ωx 0ωy 0ωy 0

C∀B

— nc = 3 : trois degrés de liberté : les troisrotations perpendiculaires passant par lecentre de la sphère.

— la forme canonique n’est valable que en Cmais dans toute base.

#»xC

#»z

#»x

#»yC

#»z

6 Lycée Charlemagne-Paris

Page 7: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

7. Étude des mécanismes

Liaison Sphérique à doigtLiaison Sphérique à doigt de centre C, de doigt d’axe (O, #»x ) et de normale #»y

#»z#»x

C

#»y V1/0

=

ωx 0ωy 00 0

C

( #»x , #»y , #»z )

— nc = 2 : deux degrés de liberté :— la rotation autour de l’axe du doigt,— la rotation autour de l’axe normal à

la rainure— la forme canonique n’est valable que au

centre C de la sphère et dans une base quicontient l’axe du doigt et la normale à larainure.

#»xC

#»z

#»x

#»yC

#»z

Liaison Appui PlanLiaison Appui Plan de normale #»z

#»x#»y

O

#»z V1/0

=

0 Vx0 Vz

ωz 0

∀P

(#»? ,

#»? , #»z )

— nc = 3 : 3 degrés de liberté :— la rotation autour de la normale au

plan,— les deux translations dans le plan.

— La forme canonique est vrai en tout pointde l’espace dans une base qui contient lanormale au plan.

#»xO

#»z

#»y#»z

O

#»x

Lycée Charlemagne-Paris 7

Page 8: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

7. Étude des mécanismes

Liaison Sphère Cylindre - Linéaire AnnulaireLiaison Sphère Cylindre de centre C et d’axe (C, #»x )

#»x#»y

C

#»z V1/0

=

ωx Vxωy 0ωz 0

C

( #»x ,#»? ,

#»? )

— nc = 4 : 4 degrés de liberté :— les trois rotations de centre C

— la translation le long de l’axe du cy-lindre

— La forme canonique n’est valable que enC et dans une base contenant l’axe du cy-lindre.

#»yO

#»z#»xC

#»z

#»x

#»yC

#»z

Liaison Cylindre Plan - Linéaire RectiligneLiaison Cylindre Plan de normale #»z et de droite (I, #»x ), I un point de la droite de contact

#»x

#»yI

#»z V1/0

=

ωx Vx0 Vy

ωz 0

∀P∈(I, #»x )

( #»x , #»y , #»z )

— nc = 4 : 4 degrés de liberté :— deux rotations : une autour de la

droite de contact (roulement) et uneautour de la normale au plan (pivo-tement).

— deux translations dans le plan— La forme canonique est valable en tout

point P de la droite de contact (I, #»x )et dans la base comportant la droite decontact et la normale au plan.

#»yI

#»z#»xI

#»z

#»x

#»yI

#»z

8 Lycée Charlemagne-Paris

Page 9: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

7. Étude des mécanismes

Liaison Sphère Plan - ponctuelleliaison Sphère Plan de normale (I, #»z ), I point de contact

#»x#»y

I

#»z V1/0

=

ωx Vxωy Vyωz 0

∀P∈(I, #»z )(

#»? ,

#»? , #»z )

— nc = 5 :— 3 rotations— 2 translations

— la forme canonique est vraie en tout pointde l’axe (I, #»z ).

#»xI

#»z

#»x

#»yI

#»z

Lycée Charlemagne-Paris 9

Page 10: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

7. Étude des mécanismes

7.4. Schéma cinématiqueLe schéma cinématique d’un mécanisme est un modèle filaire du mécanisme utilisant les symboles

normalisés des liaisons. Ce modèle est utile tant au niveau de la conception que de l’analyse a posterioripour réaliser l’étude cinématique (trajectoire, vitesse,..).

Le schéma peut être réalisé en une vue en perspective ou en plusieurs vues en projection.— La position relative des liaisons doit être respectée (perpendicularité, parallélisme, alignement,

orientation précise, ?).— Les pièces dessinées très succinctement (un simple trait en général) relient les différentes liaisons.— On ne doit pas privilégier une position particulière dans la représentation.Le schéma doit être clair et permettre la compréhension du mécanisme.Le schéma cinématique ne doit comporter que des pièces indéformables (pas de ressort).Dans certain cas, une représentation plane peut suffire pour décrire le mécanisme.

a ). Principe de réalisation d’un schéma cinématique

— On commence par déterminer les groupes cinématiques, c’est à dire l’ensemble des solides quin’ont pas de mouvement relatif entre eux.

— On identifie ensuite les surfaces en relation entre chaque groupe cinématique et les mouvementsrelatifs.

— À chacune de ces relations on associe une liaison cinématique normalisée.— On construit finalement le schéma pour une position quelconque du mécanisme

Nous allons nous appuyer sur plusieurs mécanismes pour préciser ces règles.

Exemple : Exemple guide : pompe oscillante

Figure 7.4. – Pompe oscillante

— # »

OA = e · #»x4 (excentration e = 5 mm),— # »

OB = ℓ · #»x1 (ℓ = 50 mm),— # »

AB = µ · #»x3,— le diamètre du piston est d = 10 mm,

— α = ( #»x1, #»x4),— β = ( #»x1, #»x3),

— ω =d α

dt,

en régime permanent, ω = 1 000 tour/min.

10 Lycée Charlemagne-Paris

Page 11: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

7. Étude des mécanismes

Groupes cinématiques : La pompe de la figure 7.4 est constitué de 4 groupes cinématiques indé-pendants : le corps (1), le barillet (2), le piston (3)et la manivelle (4).

Surfaces et mouvements relatifs :

— Le contact entre le corps et le barillet est réalisé par un cylindre et deux plans. le seulmouvement possible est la rotation autour de l’axe du cylindre (B, #»z1), les deux plansempêchent la translation.

— la liaison entre le piston et le cylindre est réalisée grâce à une surface cylindrique, lepiston peut coulisser et tourner autour de son axe (A, #»x3).

— La liaison entre le piston et la manivelle est aussi réalisée par un cylindre (A, #»z1). il sembleque le piston peut aussi coulisser le long de cet axe par rapport à la manivelle.

— La manivelle pivote autour de l’axe (O, #»z1) par rapport au bâti.

Liaisons : On peut donc associer les liaisons suivantes

— Entre (2) et (1) : liaison Pivot d’axe (B, #»z1), le paramètre du mouvement est.β = ω21.

— Entre (3) et (2) : liaison Pivot Glissant d’axe (A, #»x3), le paramètre du mouvement de trans-lation est .

µ = v32, celui du mouvement de rotation n’est pas précisé, on le note ω32 .— Entre (4) et (3) : liaison Pivot Glissant d’axe (A, #»z1), le paramètre de rotation n’est pas

précisé, on le note ω43.— Entre (4) et (1) : liaison Pivot d’axe (O, #»z1), le paramètre de rotation .

α = ω .

7.5. Graphe de structure

Le graphe de structure, ou graphe des liaisons, est un graphe qui précise les différents classes cinéma-tiques équivalentes et les différentes liaisons entre ces groupes cinématiques.

Sur le graphe de structure du mécanisme, on précise, pour chaque liaison, sa désignation et le torseurcinématique. Ce graphe permet de synthétiser la description du mécanisme.

Un groupe de solide forme une classe d’équivalence cinématique lorsque les solides du groupe n’ontaucun mouvement entre eux.

Exemple : Exemple guide : pompe oscillante -2

Pour la pompe oscillante, le graphe de structure est le suivant :

Bâti (1)

Barillet (2)

Piston (3)

Manivelle (4)

Pivot d’axe (B, #»z1) :V2/1

=

0 00 0

ω21 0

∀P∈(B, #»z1)(

#»? ,

#»? , #»z1)

Pivot Glissant d’axe (A, #»x3) :V3/2

=

ω32 v320 00 0

∀P∈(A, #»x3)( #»x3,

#»? ,

#»? )

Pivot d’axe (A, #»x1) :V43

= 0 00 0

ω43 v43

∀P∈(A, #»z1)(

#»? ,

#»? , #»z1)

Pivot d’axe (O, #»z1) :V41=

0 00 0

ω41 0

∀P∈(O, #»z1)(

#»? ,

#»? , #»z1)

Figure 7.5. – Graphe de structure de la pompe oscillante

Lycée Charlemagne-Paris 11

Page 12: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

7. Étude des mécanismes

7.6. Schéma cinématiqueÀ partir de cette analyse des différentes classe cinématique et des liaisons, il est possible de tracer le

schéma cinématique.Le schéma cinématique doit être tracé dans une position quelconque représentative du fonctionne-

ment. Cette position doit permettre de réaliser le paramétrage du mécanisme.On peut en général tracer l’ébauche du schéma en « s’appuyant » sur le dessin.1. On commence par positionner les points particuliers et les axes ,2. On place ensuite les liaisons sur les axes, on choisit une couleur par solide ,3. On relie ensuite les liaisons en utilisant la couleur correspondant au solide,4. On arrange le schéma pour avoir une représentation compréhensible ,5. Il est tout à fait possible pour ce mécanisme de réaliser uniquement un schéma plan

12 Lycée Charlemagne-Paris

Page 13: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

7. Étude des mécanismes

Exemple : Exemple guide : pompe oscillante -3

#»z1

#»x1

#»y1

O

B

A#»z1

#»z1

#»x3

#»x4

Etape 1 : mise en place des axes

#»z1

#»x1

#»y1

O

B

A

#»z1

#»z1

#»x3

#»x4

Etape 2 : mise en place des liaisons#»z1

#»x1

#»y1

O

B

A

#»z1

#»z1

#»x3

#»x4

Etape 3 : Relier les liaisons, les solides

#» z 1

#»x 1

#»y 1

O

B

A

#»z1

#»z1

#»x3

#»x4

#»x1

#»y1

O

B

A

#»x3

#»x4

1

43

β

µ

7.7. Schéma cinématique minimal

Le schéma cinématique minimal est obtenu en remplaçant si possible, les liaisons en série et ou enparallèle par les liaisons équivalentes.

Nous verrons un peu plus loin la notion de liaison équivalente (7.10).Le schéma cinématique minimal fait « disparaître » des solides et des liaisons, il est à utiliser avec

précaution et uniquement pour l’étude cinématique et la compréhension cinématique du mécanisme. Ilne doit pas être utilisé pour réaliser des calculs d’hyperstatisme (deuxième année) ou des calculs d’effortdans les liaisons.

7.8. Schéma technologique

Il est parfois nécessaire afin de mieux comprendre le fonctionnement d’un mécanisme de compléter leschéma cinématique en ajoutant des constituants technologiques tels les ressorts, les clapets d’un circuithydraulique, …

Lycée Charlemagne-Paris 13

Page 14: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

7. Étude des mécanismes

On peut aussi préciser la forme de certaines pièces.Ce schéma devient alors un schéma technologique.

7.9. Étude cinématique des chaînes de solides

Un mécanisme est constitué de solides reliés par des liaisons cinématiques. L’ensemble de ces liaisonset des solides forment une chaîne de solides.

Cette chaîne peut-être représentée par un graphe dit graphe de structure (ou graphe des liaisons). Surce graphe, les solides sont les nœuds et les liaisons les arcs.

S1

S2

Si

Si+1

Sn

L1

L2

LiLn−1

(a) Chaîne ouverte

S1

S2

Si

Si+1

Sn

L1

L2

LiLn−1

Ln

(b) Chaîne fermée

S1

S2

Si

Si+1

SnSk

Sl

L1

L2

LiLn−1

Ln

Lk

Ll Lm

Lp

(c) Chaîne complexe

Figure 7.6. – Chaînes de solides

a ). Chaîne ouverte

Soit un mécanisme représenté par le graphe de structure en chaine ouverte de la figure 7.6a. Nousavons déjà vu cette forme pour l’éolienne, on retrouve cette structure dans les mécanismes de type robot,grue, …

On dit aussi que les liaisons en chaine ouverte sont des liaisons en série.Réaliser l’étude cinématique d’un mécanisme en chaîne ouverte revient à déterminer le torseur ciné-

matique du dernier solide de la chaîne par rapport au solide de référence. Il suffit pour cela de décom-poser le torseur cinématique en une somme de torseur cinématique passant par chacune des liaisonsconstituants le mécanisme.

Vn/1

=

# »

Ωn/1# »

VPn∈n/1

Pn

avec Pn, un point de Sn

Vn/1

=

# »

Ωn/n−1# »

VPn∈n/n−1

Pn

+

# »

Ωn−1/n−2# »

VPn∈n−1/n−2

Pn

+ +

# »

Ωn/1# »

VPn∈2/1

Pn

Remarque importante : Pour que cette égalité ait un sens, il est est obligatoire que tous les torseurssoient écrits au même point. On choisira le point le plus judicieux pour faire les calculs (maximiser leszéros).

Exercice 1- Étude cinématique de l’éolienneCorrigé page ??

Reprendre l’exercice sur l’éolienne de la page ??Q1. Tracer le schéma cinématique

14 Lycée Charlemagne-Paris

Page 15: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

7. Étude des mécanismes

Q2. Écrire le torseur cinématique de la pale de l’hélice (2) par rapport au mas (0) en A puis en B.Q3. Écrire ce torseur cinématique en O, justifier que ce point est le plus judicieux pour décrire le mou-vement de l’hélice.Q4. Existe-t-il une liaison cinématique normalisée équivalente à ces deux liaisons en série?

b ). Chaîne fermée

Un mécanisme en chaîne fermée est décrit par le graphe de structure de la figure 7.6b.Nous avons déjà vus que le comportement géométrique de ces mécanismes est obtenu en écrivant la

fermeture géométrique, c’est à dire la relation vectorielle reliant les points caractéristiques de chaquesolide.

Soit Oi, le point caractéristique du solide Si, la relation de fermeture de la chaîne géométrique s’écrit :# »

O1O2 +# »

O2O3 + · · ·+ # »

Oi−1Oi + · · ·+ # »

On−1On +# »

OnO1 =#»

0 .

En projetant cette équation vectorielle dans une base orthonormée, on obtient 3 équations scalairesreliant les différents paramètres géométriques. Dans le cas d’un mécanisme plan, on obtient 2 équationsscalaires, déduites de la projection de cette relation sur les axes du plan.

De la même manière pour réaliser l’étude cinématique, nous allons écrire la fermeture cinématique.Soit, un mécanisme en chaîne fermée composé de n solides et n liaisons (fig 7.6b).Pour chaque liaison Li, on peut écrire le torseur cinématique entre les deux solides Si et Si+1 de la

liaison au point Oi caractéristique de la liaison.

V(i+1)/i

=

# »

Ω(i+1)/i# »

VOi∈(i+1)/i

Oi

La fermeture cinématique s’obtient en écrivant la somme des torseurs en un même point :V1/2

+V2/3

+ · · ·+

V(i−1)/i

+Vi/(i+1)

+ · · ·+

Vn/1

=

0

Cette relation permet d’obtenir 2 équations vectorielles, et après projection 6 équations scalaires.

# »

Ω1/2# »

VOi∈(1/2

Oi

+

# »

Ω2/3# »

VOi∈(2/3

Oi

+ · · ·+

# »

Ω(n−1)/n# »

VOi∈(n−1)/n

Oi

+

# »

Ωn/1# »

VOi∈(n/1

Oi

=

0#»

0

Oi

Remarque : cette somme de torseur ne peut se calculer que si les torseurs sont écrits en un mêmepoint et en projection dans une même base.

Exercice 2- Pompe oscillante -2Corrigé page ??

On reprend l’exemple de la pompe oscillante de la page 10 et le schéma cinématique.Q1. Écrire la fermeture cinématique, en déduire la relation entre .

µ et.θ.

c ). Chaîne complexe

On appelle mécanisme en chaîne complexe, un mécanisme constitué de plusieurs boucles entrelacéescomme sur la figure 7.6c.

Pour réaliser l’étude d’une chaîne complexe, il suffit d’étudier chaque boucle fermée indépendante.

Lycée Charlemagne-Paris 15

Page 16: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

7. Étude des mécanismes

Nombre cyclomatique Le nombre cyclomatique µ caractérise le nombre de cycle indépendant d’unmécanisme complexe.

µ = L − N + 1

avec L, le nombre de liaisons et N, le nombre de solides.Remarque : le nombre cyclomatique est souvent noté µ ou γ.

Exercice 3- Robot Delta 2DCorrigé page ??

À partir du graphe de structure du robot Delta 2D de la page 2.Q1. Déterminer le nombre cyclomatique µ.

7.10. Liaisons cinématiquement équivalentesOn appelle liaison cinématiquement équivalente entre deux pièces, la liaison qui se substituerait à

l’ensemble des liaisons réalisées entre ces pièces avec ou sans pièce intermédiaire.La liaison équivalente doit avoir le même comportement que l’ensemble des liaisons auquel elle se

substitue. On considère deux types de liaisons équivalentes : les liaisons en série et les liaisons en paral-lèles.

S1 S2

Si

Sj

L1Li

Lj

S1 S2

Leq

(a) Liaisons en série

S1 S2

L1

L2

Li

Ln

S1 S2

Leq

(b) Liaisons en parallèle

Figure 7.7. – Liaisons équivalentes

a ). Liaisons en série

Des liaisons sont dites en série lorsque le graphe a la structure 7.7a. On retrouve en fait la structured’une chaîne ouverte.

Étude cinématique On recherche le torseur cinématique du mouvement du solide 2 par rapport ausolide 1 :

V2/1

. En décomposant sur les solides intermédiaires, on obtient :

V eq2/1

=V2/j

+Vj/i

+ · · ·+

Vi/1

On constate que, le torseur cinématique de la liaison équivalente à plusieurs liaisons en série est égal

à la somme des torseurs cinématiques des liaisons de la chaîne.Remarque : chaque torseur doit être écrit au même point avant de calculer la somme.

16 Lycée Charlemagne-Paris

Page 17: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

7. Étude des mécanismes

b ). Liaisons en parallèle

Lorsque plusieurs liaisons relient directement deux solides, les liaisons sont dites en parallèle (fig 7.7b).

L’ensemble des liaisons Li en parallèle impose le mouvement du solide 2 par rapport au solide 1, letorseur cinématique

V2/1

représente ce mouvement.

On note :V i

2/1

, le torseur cinématique de la liaison Li entre les deux solides S1 et S2.

Chaque liaison élémentaire Li ne peut que respecter le mouvement global du solide 2 par rapport ausolide 1, on peut donc écrire :

V i2/1

=V2/1

Le comportement cinématique de la liaison équivalente Leq doit aussi respecter le mouvement global dusolide 2 par rapport au solide 1 :

V eq2/1

=V2/1

d’où la condition que doit respecter le torseur de la liaison équivalente :

V eq2/1

=V1

2/1

=V2

2/1= · · · =

V i

2/1

= · · · =

Vn

2/1

Pour déterminer, à partir de l’étude cinématique, la liaison équivalente à n liaisons en parallèle, il suffitde résoudre le système de 6 · n équations déduit des égalités de torseurs ci-dessus.

7.11. Mécanisme plan

On considère que le mouvement d’un solide par rapport à un autre peut être assimilé à un mouvementplan sur plan, lorsqu’il existe un plan invariant dans le mouvement relatif de ces deux solides.

Corollaire :

Si un plan invariant existe, alors tous les plans parallèles à ce plan sont des plans invariants. Le vecteurrotation du solide S2 par rapport au solide S1 est porté par la normale au plan invariant. Pour tout pointM du solide S2, est toujours parallèle au plan invariant ainsi que sa trajectoire dans S1.

Remarque : pour une étude cinématique, on ne s’intéresse qu’au mouvement sans prendre en compteni les causes ni la masse des solides, on peut donc choisir comme plan d’étude du mouvement n’importequel plan parallèle au plan invariant. Par contre il sera nécessaire lors d’une étude des efforts (étudestatique ou dynamique) , de choisir un plan d’étude qui respecte aussi la symétrie de répartition desefforts et des masses.

Seules trois liaisons sont utilisables dans le cas d’un mécanisme plan, le tableau 7.3 précise la modéli-sation cinématique plan pour chacune de ces liaisons (la notation [0] précise que la valeur 0 est imposéepar le modèle plan).

On considère, dans le tableau, un mécanisme plan de normale #»z .

Remarque importante : dire qu’un mécanisme est plan, c’est déjà faire des hypothèses sur l’orientationdes liaisons (toutes les rotations sont perpendiculaires au plan d’étude donc parallèles) cela revient àsimplifier le modèle d’étude. Cette hypothèse risque de faire disparaître des contraintes de montage(L’hyperstaticité sera étudiée en deuxième année).

Lycée Charlemagne-Paris 17

Page 18: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

7. Étude des mécanismes

Liaison torseur cinématique

Articulationd’axe normal auplan d’étude

[0] 0[0] 0ωz [0]

O

( #»x , #»y , #»z )

, nci = 1

Glissière la direc-tion #»u est dans leplan

[0] Vu[0] 00 [0]

O

( #»u , #»v , #»z )

, nci = 1

Ponctuelle la nor-male au contact #»nest dans le plan.

[0] Vuωz 0[0] [0]

O

( #»n , #»t , #»z )

, nci = 2

Table 7.3. – Liaisons dans le plan

7.12. ExercicesExercice 4- Table à colonnes

Corrigé page ??

tablecolonnes

visbâti

Figure 7.8. – Table à colonnes

La table coulissante est constituée d’une tablemobile qui coulisse sur deux colonnes parallèlesfixées sur le bâti, elle est entraînée par un méca-nisme vis-écrou.Q1. Identifier les liaisons du mécanisme (fi-gure 7.8) puis tracer le graphe des liaisons.Q2. Tracer le schéma cinématique 3D.Q3. Déterminer la liaison équivalente réalisée parles deux colonnes de guidage entre la table et lesdeux supports.Q4. Tracer le schéma cinématique minimal.

Exercice 5- Patin à rotuleCorrigé page ??

20

pied

patin

table

Un pied est en liaison avec une table par l’inter-médiaire d’un patin à rotule.Q1. Identifier les liaisons entre le pied et la table,donner le symbole, le torseur cinématique de cha-cune des liaisonsQ2. Tracer le graphe des liaisons.Q3. Tracer le schéma cinématique.Q4. Déterminer la liaison équivalente entre le piedet la table.Q5. Quel est l’intérêt de cette réalisation?

18 Lycée Charlemagne-Paris

Page 19: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

7. Étude des mécanismes

Exercice 6- Tête de boucheuseCorrigé page ??

FonctionnementLa tête de boucheuse est installée sur une chaîne d’embouteillage, elle permet d’enfoncer un bouchon

en liège dans le col de la bouteille. Son fonctionnement est synchronisé avec l’avancement des bouteilles.La mise en plan et l’écorché ne présente que le mécanisme de transformation de mouvement.L’arbre moteur n’est entraîné en rotation, que lorsque une bouteille et un bouchon se présentent sous

la boucheuse.

— Le repère (O, # »xx0 , # »yx0 , # »zx0) est associé au carter (0).

— L’arbre (1) est en rotation par rapport au carter (0), on note (O, #»x1) (avec #»x1 = #»x0 et ( #»y0, #»y1) =( #»z0, #»z1) = θ l’axe de rotation.

— Un second repère (O, # »x12, # »y12, # »z12) est aussi associé à l’arbre (1). Ce second repère permet de posi-tionner l’axe incliné de l’arbre (1). L’axe (O, # »x12) est incliné par rapport à l’axe (O, #»x1) d’un angleconstant α = ( #»x1, # »x12) = ( #»y1, # »y12) = 15° et #»z1 = # »z12.

— Le repère (O, #»x2, #»y2, #»z2) est associé à l’ensemble boitier oscillant, doigt , avec ( # »y12, #»y2) = ( # »z12, #»z2) =ϕ et # »x12 = #»x2. L’axe (O, #»y2) est l’axe du doigt.

On pose # »

OA = λ · #»y2 avec # »

OA · #»y0 = d = 100 mm et # »

OA · #»x0 = µ avec µ la course du piston.L’arbre moteur entraîne dans son mouvement le bloc oscillant (2) autour de l’axe, le doigt solidaire du

bloc oscillant déplace grâce à la rotule le piston (4) suivant #»x4 = #»x0.L’animation du fonctionnement est disponible sur http ://sciences-indus-cpge.papanicola.info/Tete-

de-Boucheuse.

Figure 7.9. – Tête de boucheuse

Q1. Identifier les différentes liaisons, tracer le graphe de structureQ2. Tracer le schéma cinématique sur l’épure

Lycée Charlemagne-Paris 19

Page 20: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

7. Étude des mécanismes

Q3. Écrire la fermeture géométrique, montrez que : µ = −d · cos θ · tan α

Q4. Écrire la fermeture cinématique. Déterminer la relation entre.θ et

.λ.

20 Lycée Charlemagne-Paris

Page 21: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

CHAPITRE 8TRANSMISSION DE PUISSANCE

Cette partie ce veut une simple approche de quelques solutions technologiques intervenant dans laréalisation d’un mécanisme

Nous allons étudier dans un premier temps les solutions technologiques permettant de transmettrede la puissance, puis les quelques solutions permettant de réaliser les principales liaisons cinématiques.

Transmettrel’énergie

Énergiemécaniqueωe, Ce

Énergiemécaniqueωs, Cs

Il souvent nécessaire de modifier les caractéristiques de l’énergie fournie par un actionneur (moteur/-vérin) pour l’adapter aux besoins du mécanisme. Les problématiques principales sont :

— Réduire / augmenter la vitesse de rotation— Transformer un mouvement de rotation en mouvement de translation— Moduler la vitesse de sortie pour une vitesse d’entrée constante

8.1. Réduire / augmenter la vitesse de rotationLes réducteurs à anegrenages, les mécanismes de transmission par chaîne ou couroies, sont parmi les

principales technologies utilisées.

réducteurs à engrenages réducteurs poulie courroie réducteurs pignon- chaine

Table 8.1. – Réduire ou augmenter la vitesse

21

Page 22: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

8. Transmission de puissance

Les actionneurs principaux que nous utilisons sont les moteurs, qu’ils soient électriques, ou thermique,ils développent une énergie mécanique transmise par un mouvement de rotation (par abus de langageon nomme souvent cette énergie : énergie mécanique de rotation). La puissance fournie (motrice) estalors de la forme :

Pm = Cm · ωm

avec : ωm la vitesse de rotation de l’arbre de sortie du moteur et Cm le couple moteur.

Figure 8.1. – Caractéristiques d’un moteur Jonhson HC971-2-LG-101 (moteur type moteur de tondeuse)

Le fonctionnement optimal du moteur n’est en général obtenu que pour un couple de valeur (ωm, Cm).ainsi on voit sur la courbe des caractéristiques du moteur CC (figure 8.1) que le rendement du systèmeest maximal (η ≈ 0,7) pour un couple moteur (Torque en anglais) de Cm = 100 mN m et une vitesse derotation de 4 800 tr/min. On comprends bien en voyant cette courbe que même si la vitesse de rotationde ce moteur peut varier de 0 à ≈ 6 200 trmin qu’il serait ridicule de l’utiliser sur toute cette gamme, lerendement serait alors médiocre.

Adapter la vitesse avec un réducteur montre ici tout son intérêt, on fait fonctionner le moteur le plusproche possible de son rendement optimal, et on réduit la vitesse mécaniquement pour obtenir la vitessedésirée au niveau de l’effecteur.

Plusieurs solutions sont envisageables pour modifier la vitesse de rotation.

a ). Réducteurs à engrenages

On appelle engrenage un ensemble de deux solides (S1) et (S2) en mouvement par rapport à un réfé-rentiel (0), tel que la rotation de l’un, autour d’un axe fixe ou mobile, entraîne la rotation de l’autre avecun rapport des fréquences angulaires constant (homocinétique) :

r =ω2/0

ω1/0

Les engrenages sont une transmission de mouvement par obstacle (dents).On trouve des engrenages parallèles, concourants (ou coniques) et quelconques. Les dents peuvent

être droites, hélicoïdales ou spiroïdale (figure 8.2).

22 Lycée Charlemagne-Paris

Page 23: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

8. Transmission de puissance

(a) Engrenages parallèles à den-ture droite

(b) Engrenages parallèles à den-ture hélicoïdale

(c) Engrenages coniques à den-ture droite

(d) Engrenages coniques à den-ture spirale

(e) Engrenages parallèles(pignon et couronne)

(f) Engrenages à roue et vis sansfin

Figure 8.2. – Engrenages

Caractéristiques des roues dentées L’engrènement entre les deux roues dentées nécessite que les pro-fils des dents soient conjugués, c’est à dire des profils capable de rouler l’un sur l’autre, dans le mouve-ment de (S2) par rapport à (S1) (figure 8.3). Les profils conjugués les plus utilisés en mécaniques, sontdes développantes de cercle.

O1 O2I

α

Figure 8.3. – Engrenage à denture droite

La terminologie et les définitions sont définies à partir des engrenages à denture droite en dévelop-pante de cercle (les dents sont parallèles à l’axe de rotation). Dans le cadre de ce cours, nous ne dévelop-perons pas les spécificités des autres formes de dents

Profil de la denture Le profil d’une dent est une développante de cercle. Ce type de profil est le plusutilisé, il permet d’avoir un angle de pression constant pendant tout l’engrènement (valeur usuelleα = 20°). Les profils en développante de cercle sont des profils conjugués.Le roulement des deux développantes l’une sur l’autre est homocinétique, c’est à dire que ω2/0

ω2/0=

Lycée Charlemagne-Paris 23

Page 24: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

8. Transmission de puissance

O M0

PR

bRb · θ

M(θ)

θ

Le point M(θ) de la dévelop-pante de cercle est défini par :

# »

OP ·# »

PM(θ) = 0

∥# »

PM(θ)∥ = Rb · θ

# »

OM(θ) =

(xM = Rb (cos θ + θ · sin θ)

yM = Rb (sin θ − θ · cos θ)

)

avec Rb le rayon du cercle debase.

Figure 8.4. – Développante de cercle

cte est constant pendant tout le mouvement.La développante est construite en faisant rouler une droite sur le cercle de base (figure 8.4).

O1 O2I

α = 20°

Ligne de pression

cercle de base

cercle primitif

cercle de tête

Figure 8.5. – Terminologie des roues dentées

Cercle de base : Le rayon du cercle de base Rb (Db le diamètre) permettant de tracer la développantede cercle (figure 8.4).

Diamètre primitif – Cercle primitif : Le diamètre primitif est défini à partir du diamètre de base etl’angle de pression désiré. Le diamètre du cercle primitif est noté Dp.

Dd = cos α · Dp

On appelle circonférence primitive la circonférence du cercle théorique de contact.Pour un engrenage (à angle de pression donné) , les cercles de base et primitifs sont uniques, ilsdéfinissent le rapport de la transmission :

r =∣∣∣∣ω20

ω10

∣∣∣∣ = Rp1

Rp2=

Rb1 · cos α

Rb2 · cos α=

Rb1

Rb2

Les deux cercles primitifs sont tangents, on note I le point de tangence, en ce point, on peut écrireque la roue dentée (S2) roule sans glisser sur la roue dentée (S1). On a alors :

# »

VI∈2/1 =#»

0

24 Lycée Charlemagne-Paris

Page 25: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

8. Transmission de puissance

pas primitif Le nombre de dents Z sur la circonférence primitive est obligatoirement entier. On appellepas primitif la quantité :

pp =π · Dp

Z

Module Le module est une grandeur caractéristique de l’épaisseur de la dent :

m =Dp

Z

Cette grandeur, comme le pas primitif caractérise l’épaisseur de la denture. Deux roues dentées nepeuvent engrener que si elles ont le même module.Les modules sont normalisés. Le choix d’un module pour un engrenage dépend principalementde l’effort sur les dentures.

Ligne de pression, angle de pression C’est la ligne tangente aux deux cercles de base, elle porte en per-manence l’effort de contact s’exerçant sur les roues.Le point M de contact est toujours sur la ligne de pression. La tangente en M aux deux profilsest toujours perpendiculaire à la ligne de pression. L’angle de pression est constant pendant toutl’engrènement.

SymbolisationPignon Couronne Pignon conique Roue et vis sans fin

×

Lycée Charlemagne-Paris 25

Page 26: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

8. Transmission de puissance

Étude cinématiqueTrain simple à axes parallèles : Un train simple, est un train d’engrenage dans lequel tous les roues

dentées sont en pivot par rapport à un même référentiel et parallèles.Soit le train simple représenté sur la figure 8.6

— Le pignon (1) de rayon primitif R1 comporte Z1.— Le pignon (2) de rayon primitif R2 comporte Z2 dents.

On pose aussi :

( #»x0, #»x1) = ( #»y0, #»y1) = α ⇒ # »

Ω1/0 =.α · #»z0 = ω10 · #»z0

( #»x0, #»x2) = ( #»y0, #»y2) = β ⇒ # »

Ω2/0 =.β · #»z0 = ω20 · #»z0

soit les torseurs cinématiques :V1/0

=

# »

Ω1/0 = ω10 · #»z0# »

VO1∈1/0 =#»

0

O1

etV2/0

=

# »

Ω2/0 = ω20 · #»z0# »

VO2∈2/0 =#»

0

O2

0

#»y0

#»z0

I

O1

O2

#»x1

#»x2

#»x0

#»y0

I

O1

O2

(a) contact extérieur

0

#»y0

#»z0

I

O1

O2#»x1

#»x2

#»x0

#»y0

I

O1

O2

(b) contact intérieur

Figure 8.6. – Train simple

Les deux pignons roulent l’un sur l’autre sans glisser en I

# »

VI∈2/1 =#»

0 =# »

VI∈2/0 −# »

VI∈1/0#»

0 =# »

VI∈2/0 −# »

VI∈1/0#»

0 =# »

VO2∈2/0 +# »

Ω2/0 ∧# »

O2 I − # »

VO1∈1/0 −# »

Ω1/0 ∧# »

O1 I#»

0 =#»

0 + ω20 · #»z0 ∧ (−R2 · #»y0)−#»

0 − ω10 · #»z0 ∧ (R1 · #»y0)#»

0 = +R2 · ω20 · #»x0 + R1 · ω10 · #»x0

ce qui nous donne le rapport de transmission d’un train d’engrenage simple à contact extérieur àaxes parallèles :

r =ω20

ω10= −R1

R2

qui devient, en fonction du nombre de dents de chaque pignon :

r =ω20

ω10= −Z1

Z2

26 Lycée Charlemagne-Paris

Page 27: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

8. Transmission de puissance

Dans le cas d’un engrenage à contact intérieur (figure 8.6b) la relation devient :

r =ω20

ω10=

R1

R2

qui devient, en fonction du nombre de dents de chaque pignon :

r =ω20

ω10=

Z1

Z2

Si le contact est extérieur, les deux arbres tournent en sens opposés, et dans le même sens si lecontact est intérieur. Le rapport de transmission est le rapport inverse du nombre de dents.Cette relation entre deux arbres est généralisable pour les engrenages coniques, par contre le sensde rotation ne peut pas être facilement précisé (à étudier au cas par cas). Dans le cas des engrenagesà roues et vis sans fin, pour la vis on prendra le nombre de filets.

Généralisation train simple : Soit le train d’engrenages de la figure 8.7

#»y0

#»z01

2

0

Z1

Z2a

Z2b

7

6

4

35

0

O56

JZ3

Z4a

Z4b

Z5a

Z5b

Z6

Figure 8.7. – Généralisation train simple

L’arbre (1) est l’arbre d’entrée, l’arbre (6) et l’arbre (7) sont deux arbres de sortie.Ce train d’engrenage est un train simple, toutes les roues dentées sont en liaison pivot par rapportau solide (0).Déterminons dans un premier temps r51 =

ω50

ω10.

r51 =ω50

ω10

r51 =ω50

ω40· ω40

ω30· ω30

ω20· ω20

ω10

avec

— ω20

ω10= − Z1

Z2a(engrenage simple parallèle à contact extérieur, inversion du sens de rotation)

— ω30

ω20= −Z2b

Z3(idem)

— ω40

ω30= − Z3

Z4a(idem)

Lycée Charlemagne-Paris 27

Page 28: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

8. Transmission de puissance

— ω50

ω40=

Z4b

Z5a(engrenage simple parallèle à contact intérieur, même sens)

d’où

r51 =ω50

ω10

r51 = (−1)3 · Z1

Z2a· Z2b

Z3· Z3

Z4a· Z4b

Z5a

r51 = (−1)3 · Z1 · Z2b · Z4b

Z2a · Z4a · Z5a

On reconnaît au numérateur les roues dentées entrainantes et au dénominateur les roues dentéesentraînées. Le signe est défini par le nombre de contact extérieur du train d’engrenage.La roue (3) qui est à la fois entraînée (par (2b)) et entraînante n’apparaît pas.Cette formule peut être mémorisée sous la forme :

ωs

ωe= (−1)n · ∏ roues menantes

∏ roues menées

avec n le nombre de contacts extérieurs.Déterminons maintenant :ω60

ω50et ω60

ω50Nous avons vus que

|r65| =∣∣∣∣ω60

ω50

∣∣∣∣ = Z5b

Z6

Pour déterminer le signe, il faut faire une étude en tenant compte de l’orientation des repères.Soit O56 le point d’intersection des deux pivots entre (5) et (0) et entre (6) et (0).On note J le point de roulement sans glissement entre les deux roues dentées (5) et (6) avec # »

O56 J =R5 · #»y0 − R6 · #»z0

On pose # »

Ω5/0 = ω50 · #»z0 et # »

Ω60 = ω60 · #»y0

# »

VJ∈5/6 =#»

0 =# »

VJ∈5/0 −# »

VJ∈6/0# »

VJ∈5/6 =# »

Ω5/0 ∧# »

O56 J − # »

Ω6/0 ∧# »

O56 J# »

VJ∈5/6 = ω50 · #»z0 ∧ (R5 · #»y0 − R6 · #»z0)− ω60 · #»y0 ∧ (R5 · #»y0 − R6 · #»z0)# »

VJ∈5/6 = −ω50 · R5 · #»x0 − R6 · ω60 · #»x0

finalement

r65 =ω60

ω50= −R5

R6= − Z5

Z6b

Par contre pour r75 =ω70

ω50nous avons

r75 =ω70

ω50=

R5

R6=

Z5

Z6b

Les deux arbres (6) et (7) tournent en sens inverse l’un de l’autre.Train épicycloïdal : On appelle train épicycloïdal, une train d’engrenage dans lequel tous les axes ne

sont pas fixes dans le référentiel lié au carter.

28 Lycée Charlemagne-Paris

Page 29: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

8. Transmission de puissance

Figure 8.8. – Train épicycloïdal

Une animation d’un réducteur à train épicycloïdal est disponible sur le site http ://sciences-indus-cpge.papanicola.info/Train-epicycloidal-295.

On adopte pour décrire les trains épicycloïdaux, une désignation spécifique des différentes rouesdentées :

— Planétaire : les roues dentées qui tournent autour d’un axe fixe par rapport au bâti. Il y a engénéral 2 planétaires (pignon et/ou couronne). Sur le schéma de la figure ??, le pignon P1 etla couronne P2 sont des planétaires.

— Satellite : le pignon tournant autour d’un axe du porte-satellite. Il engrène sur les deux pla-nétaires. Les satellites ont une trajectoire épicycloïdale. Il peut il y avoir 1, 2, 3 ou 4 satellitessur la périphérie en fonction de la puissance à transmettre. Sur le schéma, le pignon S est unsatellite.

— Porte-satellite : Le porte satellite ne comporte pas de dents, il supporte les satellites, Il tourneautour du même axe que les deux planétaires.

Lycée Charlemagne-Paris 29

Page 30: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

8. Transmission de puissance

Portesatellite

Satellite

Couronneplanétaire

Pignonplanétaire

Figure 8.9. – Réducteur épicycloïdal simple eclaté

OP1 P2

SA

PS

0

I

J

#»z0

# »xPS

P2

# »xP2I

J

A

S

# »xS

O

# »xPS

P1 # »xP1

#»x0

#»y0

# »yPS

— ( #»x0, # »xP1) = α,# »

ΩP1/0 = ωP1/0 · #»z0

— ( #»x0, # »xPS) = β,# »

ΩPS/0 = ωPS/0 · #»z0

— ( #»x0, # »xP2) = θ,# »

ΩP2/0 = ωP2/0 · #»z0

— ( # »xS, # »xPS) = γ,# »

ΩS/0 = ωS/PS · #»z0

— # »

OA = RPS · # »xPS =(R1 + RS) · # »xPS

— # »

OI = R1 · # »xPS

— # »

AJ = RS · # »xPS

— # »

OJ = R2 · # »xPS =(R1 + 2 · RS) · # »xPS

Figure 8.10. – Schéma cinématique d’un train épicycloïdal

Sur un train épicycloïdal, chacun des planétaires ou le porte-satellite peut être l’arbre d’entrée oude sortie.

On se propose de déterminer la relation entre ωPS/0, ωP1/0 et ωP2/0 pour le réducteur de la fi-gure 8.10.

On sait que le satellite (S) roule sans glisser en I par rapport au pignon planétaire (P1) et en J parrapport à la couronne planétaire (P2) : # »

VI∈S/P1 =#»

0 et # »

VI∈S/P2 =#»

0 .

30 Lycée Charlemagne-Paris

Page 31: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes

8. Transmission de puissance

Pour le point I, on décompose # »

VI∈S/P1 sur les trois solides (S), (PS) et (P1) :# »

VI∈S/P1 =#»

0 =# »

VI∈S/PS +# »

VI∈PS/0 −# »

VI∈P1/0# »

VI∈S/P1 =#»

0 =# »

VA∈S/PS +# »

ΩS/PS ∧# »

AI +# »

VO∈PS/0 +# »

ΩPS/0 ∧# »

OI − # »

VO∈P1/0 −# »

ΩP1/0 ∧# »

OI#»

0 =#»

0 + ωS/PS · #»z0 ∧ (−RS · # »xPS) +#»

0 + ωPS/0 · # »xPS ∧ R1 · # »xPS −#»

0 − ωP1/0 · #»z0 ∧ R1 · # »xPS#»

0 = −RS · ωS/PS · # »yPS + R1 · ωPS/0 · # »yPS − R1 · ωP1/0 · # »yPS

d’où une première relation :

−RS · ωS/PS + R1 · ωPS/0 − R1 · ωP1/0 = 0

Pour le point J, on décompose de même sur les solides (S), (PS) et (P2) :# »

VJ∈S/P2 =#»

0 =# »

VJ∈S/PS +# »

VJ∈PS/0 −# »

VJ∈P2/0# »

VJ∈S/P2 =#»

0 =# »

VA∈S/PS +# »

ΩS/PS ∧# »

AJ +# »

VO∈PS/0 +# »

ΩPS/0 ∧# »

OJ − # »

VO∈P2/0 −# »

ΩP2/0 ∧# »

OJ#»

0 =#»

0 + ωS/PS · #»z0 ∧ (+RS · # »xPS) +#»

0 + ωPS/0 · # »xPS ∧ R2 · # »xPS −#»

0 − ωP2/0 · #»z0 ∧ R2 · # »xPS#»

0 = +RS · ωS/PS · # »yPS + R2 · ωPS/0 · # »yPS − R2 · ωP2/0 · # »yPS

d’où la seconde relation :

+RS · ωS/PS + R2 · ωPS/0 − R2 · ωP2/0 = 0

Ces deux relations s’écrivent en isolant ωS/PS :

R1 · ωPS/0 − R1 · ωP1/0 = RS · ωS/PS

R2 · ωPS/0 − R2 · ωP2/0 = −RS · ωS/PS

on peut en déduire une relation entre les trois vitesses de rotation ωPS/0, ωP1/0 et ωP2/0 cette rela-tion peut s’écrire soit :

Relation de Willis : on fait le rapport

ωPS/0 − ωP2/0

ωPS/0 − ωP1/0= −R1

R2= −Z1

Z2= λ

on nomme λ la raison basique du train épicycloïdal entre (P1) et (P2).

Relation de Ravignaux : on somme les deux relations :

(R1 + R2) · ωPS/0 − R1 · ωP1/0 − R2 · ωP2/0 = 0

Remarque importante : on peut retrouver rapidement la relation de Willis en ne considérant plusle référentiel (0) comme référentiel d’étude mais en choisissant plutôt le référentiel associé au portesatellite (PS). Dans ce référentiel tous les axes du train d’engrenage sont fixes. On peut donc consi-dérer que le train d’engrenage dans ce référentiel est un train simple dans lequel on peut appliquerla relation élémentaire donnant le rapport de transmission en choisissant comme entrée le plané-taire (P1) et comme sortie l’autre planétaire (P2).

La relation s’écrit alors :

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8. Transmission de puissance

ωP2/PS

ωP1/PS= (−1)n · ∏ roues menantes

∏ roues menéesωP2/PS

ωP1/PS= (−1)1 · Z1 · Z3

Z3 · Z2= −Z1

Z2

en décomposant les vitesses en passant par le référentiel (0), on retrouve la relation de Willis :

ωP2/0 − ωPS/0

ωP1/0 − ωPS/0= −Z1

Z2

b ). Poulie-courroie / Pignon-chaine

SymbolisationPoulie - courroie Pignon chaîne

+ +

+ +

Le symbole (non obligatoire) au dessus de lacourroie précise le type de courroie.

— plate :— trapéozidale :

— ronde :— crantée :

Cinématique Pour le mécanisme poulie - courroie, le rapport de transmission est le rapport inverse desrayons

ω20

ω10=

R1

R2

Dans le cas de la transmission par pignon et chaîne, on préfère prendre en compte le nombre de dents :

ω20

ω10=

Z1

Z2

8.2. Transformer un mouvement de rotation en mouvement de translation

Parmi les solutions, on trouve :

a ). Pignon et crémaillère

+

Figure 8.11. – Pignon crémaillère

Si la roue dentée tourne par rapport à un axe fixe de (0),alors la crémaillère translate par rapport à (0).

On note ω10 la vitesse de rotation de (1) par rapport à (0)avec R1 son rayon et v la vitesse de translation de la cré-

32 Lycée Charlemagne-Paris

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8. Transmission de puissance

maillère (2).

|v| = |R1 · ω10|

Le signe est fonction de la position relative de la crémaillèreet de la roue.

b ). Mécanisme vis-écrou

Une liaison vis - écrou, est modélisée par une liaison héli-coïdale. Nous avons déjà décrit la liaison hélicoïdale

v21 = ε · p2 · π

· ω21

avec p le pas. et ε = ±1 en fonction de l’orientation del’hélice (droite ou gauche) de la vis.

Figure 8.12. – Pignon crémaillère

Ce mécanisme n’est pas toujours réversible, les frotte-ments empêchent en général le mouvement inverse. Si onsouhaite une conversion de la translation vers la rotation, ilest nécessaire que le pas de vis soit relativement grand et quele mécanisme soit de grande qualité (on utilisera des vis àbilles).

c ). Bielle manivelle

Le mécanisme bielle - manivelle est utilisé aussi bien dansle sens rotation → translation par exemple dans les pompesque dans l’autre sens (moteur). Dans le sens translation →rotation, le mécanisme n’est pas complètement réversible.Dans les moteurs, c’est l’inertie du système qui assure le fran-chissement des points morts (les points extrêmes du mouve-ment de translation).

Nous avons étudié ce mécanisme lors de l’étude du mo-teur 2 temps .

Figure 8.13. – Moteur 2temps - méca-nisme bielle -manivelle

d ). Mécanismes à cames

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8. Transmission de puissance

Les mécanisme à came, permettent d’obtenir uneloi de transformation de mouvement de rotation entranslation qui peut être complexe. Le poussoir esttenu de suivre le profil usiné sur la came.

L’arbre à cames qui équipe les moteurs à explo-sion (figure 8.14) est une utilisation courante d’unmécanisme à came, le vilebrequin entraîne la rota-tion de l’arbre à came afin d’autoriser l’ouvertureet la fermeture des soupapes permettant l’alimen-tation de la chambre du piston et l’évacuation desgaz brulés.

Un mécanisme à cames n’est en général pas ré-versible.

Figure 8.14. – Mécanisme d’arbre à came / sou-papes

8.3. Moduler la vitesse de sortie pour une vitesse d’entrée constanteVariateur à courroie Variateur toroïdal Variateur à galets coniques

Les variateurs mécaniques étaient fréquemment utilisés dans le passé, ils étaient souvent le seul moyende faire varier continument la vitesse de sortie d’un arbre pour une vitesse d’entrée constante. Ces va-riateurs ne fonctionnant que grâce aux frottements entre les surfaces en contact, ils étaient soumis à uneusure rapide et nécessitaient une maintenance fréquente.

Ils ont été abandonnés avec l’évolution de la commande électronique des moteurs.Ces dernières années, avec l’évolution des technologies et surtout des matériaux ils sont de nouveaux

très en vogue. On les trouve par exemple des variateurs à courroie dans les scooters récents et le variateurtoroïdal développée par Torotrak est utilisé dans les formules 1 (dans le Système de récupération del’énergie cinétique -KERS -).

Pour aller plus loin, je vous invite à lire deux articles sur internet, un sur le variateur à courroie etl’autre sur le variateur toroïdal :

— variateur à courroies :http ://www.okapi38.com/okapi/divers/Acc-T-max/Principe-variateur.htm

— variateur toroïdal :http ://flashinformatique.epfl.ch/IMG/pdf/3-6-page3.pdf

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8. Transmission de puissance

8.4. ExercicesExercice 7- Train épicycloïdal

Corrigé page ??Soit le réducteur décrit par le schéma cinématique de la figure 8.15 avec :— Z1 : nombre de dents du pignon (1) ;— Z4a : nombre de dents du pignon 4a de l’arbre (4) engrenant avec le pignon (1) ;— Z4b : nombre de dents du pignon 4b de l’arbre (4) engrenant avec le pignon (2) ;— Z2 : nombre de dents du pignon (2).

0

1 2

3

4

Figure 8.15. – Réducteur

Q1. Tracer le graphe de structure. Préciser le paramétrageQ2. Nommer, les planétaires, le satellite et le porte satellite.Q3. Déterminer la relation entre ω1/0, ω2/0 et ω3/0.

Étude de différentes configurationOn considère que l’arbre (1) est l’arbre d’entrée, l’arbre (2) est l’arbre de sortie et que (3) est solidaire

de (0).Q4. Déterminer alors ω20

ω10On considère maintenant, que (3) est la sortie et que (2) est solidaire du bâti (0).

Q5. Déterminer ω30

ω10

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Page 36: ÉTUDE DES MÉCANISMES 7.1. Mécanismes
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TABLE DES MATIÈRES

7. Étude des mécanismes 17.1. Mécanismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

7.1.1. Mécanisme en chaîne ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.2. Mécanisme en chaîne fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.3. Mécanisme en chaîne complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

7.2. Liaison élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37.2.1. Mouvements élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

7.3. Liaisons normalisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47.4. Schéma cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107.5. Graphe de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.6. Schéma cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127.7. Schéma cinématique minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137.8. Schéma technologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137.9. Étude cinématique des chaînes de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.10. Liaisons cinématiquement équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167.11. Mécanisme plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.12. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8. Transmission de puissance 218.1. Réduire / augmenter la vitesse de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218.2. Transformer un mouvement de rotation en mouvement de translation . . . . . . . . . . . 328.3. Moduler la vitesse de sortie pour une vitesse d’entrée constante . . . . . . . . . . . . . . . 348.4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

37