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© Pierre-Olivier Descoteaux, 2020
Étude numérique d'une turbine à axe vertical équipée de pales flexibles
Mémoire
Pierre-Olivier Descoteaux
Maîtrise en génie mécanique - avec mémoire
Maître ès sciences (M. Sc.)
Québec, Canada
Étude numérique d’une turbine à axe vertical équipée de pales flexibles
Mémoire
Pierre-Olivier Descoteaux
Sous la direction de :
Mathieu Olivier, directeur de recherche
ii
Résumé
Les turbines à axe vertical longtemps gardées dans l’ombre des turbines à axe horizontal commencent
depuis quelques années à prendre davantage de place sur le marché des énergies renouvelables. Ce
nouvel engouement pour cette technologie est notamment dû aux récentes avancées quant à leur efficacité
les rendant de plus en plus concurrentielles. Ce présent mémoire s’inscrit dans la recherche sur
l’amélioration de cette technologie en considérant l’utilisation de pales flexibles agissant comme un système
passif de variation d’angle d’attaque. Il sera question dans un premier temps d’une étude 2D employant une
turbine à pales droites munie d’un bord de fuite flexible. Cette étude est réalisée dans un premier temps afin
de sélectionner les meilleures caractéristiques pour une étude 3D qui est menée par la suite. Un modèle
employant la mécanique des fluides numériques couplé à un modèle d’élément fini est employé et validé
dans ce mémoire. Le logiciel OpenFOAM utilisant une librairie maison pour le couplage solide est utilisé en
2D. La résolution du domaine 3D est quant à elle réalisée en employant le logiciel StarCCM+ ainsi qu’un
couplage fluide structure intégrée à même le logiciel. Également, la modélisation de la turbulence est
réalisée en employant le modèle de turbulence RANS k-ω SST, dans sa forme instationnaire. Les résultats
de la première étude 2D montrent une augmentation de l’efficacité pour des conditions d’opération en
dessous et au-delà du point de meilleur rendement. Cependant, il est également démontré que l’utilisation
de pales flexibles diminue l’efficacité de la turbine à son point de meilleur rendement. Enfin, l’impact des
effets 3D sur le comportement dynamique des pales flexibles vient changer les observations réalisées en
2D au point de meilleur rendement. En effet, la modélisation tridimensionnelle du problème permet de mettre
en lumière une augmentation globale de l’efficacité de la turbine en réduisant considérablement la traînée
des pales en agissant directement sur la formation des tourbillons de bout de pale.
iii
Abstract
Vertical-axis turbines, long kept in the shadow of horizontal-axis turbines, are starting to gain more
importance in the renewable energy market nowadays. This new trend comes from recent advances in the
efficiency, making them more competitive. This thesis takes part in the actual research by considering a
flexible blade as a possible passive system to improve the efficiency of this technology. At first, a 2D study
using a straight blade turbine with a flexible trailing edge is done in order to select the best characteristics
for a 3D study which is carried out subsequently. A model employing computational fluid dynamic coupled
to a finite element model is used and validated in this thesis. OpenFOAM software is used with an in-house
library which allows fluid-solid couplings in 2D. The resolution of the 3D domain is conducted by using
StarCCM+ software as well as a fluid-solid coupling integrated into the software. Also, the turbulence
modeling is performed using the unsteady form of the RANS k-ω SST turbulence model. The result of the
2D study shows an increase in efficiency for the operating conditions below and above the optimal efficiency
point compared with a turbine with rigid blade. It is also shown that the flexible blades decrease the efficiency
of the turbine at the optimal efficiency point. However, the impact of 3D effects on the dynamic behaviour of
flexible blades changes the observations made in 2D at the optimal efficiency point. Indeed, the three-
dimensional modeling of the problem makes it possible to highlight an overall increase in the efficiency of
the turbine by considerably reducing the vortex drag of the blades by acting directly on the formation of the
tip vortices.
iv
Table des matières
Résumé ........................................................................................................................................................ ii
Abstract ........................................................................................................................................................ iii
Table des matières ...................................................................................................................................... iv
Liste des figures ........................................................................................................................................... vi
Liste des tableaux ........................................................................................................................................ ix
Liste des Symboles et acronymes ................................................................................................................ x
Remerciements .......................................................................................................................................... xiv
Avant-propos .............................................................................................................................................. xv
Introduction ................................................................................................................................................... 1
Contexte et motivation .............................................................................................................................. 1
Historique énergétique ......................................................................................................................... 1
Enjeux des turbines à axe vertical et horizontal en exploitation ........................................................... 3
Littérature sur les systèmes de déformation actifs et passifs ............................................................... 9
Objectifs et structure du mémoire ........................................................................................................... 14
Chapitre 1 Modélisation et méthode de résolution ...................................................................................... 15
1.1 Modélisation du problème aéroélastique ................................................................................... 16
1.2 Solveur fluide et solide .............................................................................................................. 22
1.2.1 Équations gouvernant le fluide .............................................................................................. 22
1.2.2 Équations gouvernant le solide ............................................................................................. 23
1.2.3 Modélisation de la turbulence ............................................................................................... 25
1.2.4 Maillage dynamique .............................................................................................................. 30
1.2.5 Condition initiale .................................................................................................................... 33
1.3 Couplage fluide-structure .......................................................................................................... 36
1.4 Validations et limites du modèle ................................................................................................ 38
1.4.1 Validation et adaptation de l’algorithme 2D à un profil NACA en rotation ............................. 38
1.4.2 Validation de la méthodologie de couplage 3D avec l’utilisation du problème de Turek et
Hron 39
1.4.3 Limitation en densité et en flexibilité ..................................................................................... 46
1.4.4 Limitation des fréquences ..................................................................................................... 47
1.5 Conclusion ................................................................................................................................. 49
Chapitre 2 Étude 2D d’une turbine à axe verticale munie de pale avec un bord de fuite flexible ............... 51
2.1 Résumé ..................................................................................................................................... 51
2.2 Performances of vertical axis hydrokinetic turbines with chordwise-flexible blades .................. 52
v
2.2.1 Abstract ................................................................................................................................. 52
2.2.2 Nomenclature ........................................................................................................................ 53
2.2.3 Introduction ........................................................................................................................... 53
2.2.4 Problem definition ................................................................................................................. 55
2.2.5 Numerical methods ............................................................................................................... 57
2.2.6 Verification and validation ..................................................................................................... 59
2.2.7 Results .................................................................................................................................. 62
2.2.8 Conclusion ............................................................................................................................ 69
Chapitre 3 Étude 3D d’une turbine à axe verticale munie de pale avec un bord de fuite flexible ............... 71
3.1 Résumé ..................................................................................................................................... 71
3.2 Approche de la simulation ......................................................................................................... 72
3.3 Indépendance du maillage ........................................................................................................ 74
3.4 Étude des effets de la flexibilité sur la plage d’efficacité de la turbine ....................................... 77
3.5 Étude des effets tridimensionnels à bas 𝝀 ................................................................................ 79
3.6 Étude des effets tridimensionnelles à haut 𝝀 ............................................................................ 85
3.7 Étude des effets tridimensionnels près du point de meilleur rendement ................................... 89
3.8 Conclusion de l’étude 3D .......................................................................................................... 91
Conclusion .................................................................................................................................................. 92
Retour sur les résultats et les objectifs ................................................................................................... 92
Études future possible ............................................................................................................................ 93
Bibliographie ............................................................................................................................................... 94
vi
Liste des figures
Figure 1: Turbine à axe horizontal (HAT) (Turbinesinfo, 2011) ..................................................................... 2
Figure 2: Turbine à axe vertical (VAT) (Firstfiled Ltd, 2009) ........................................................................ 2
Figure 3: Revenus du marché de l'éolienne pour la turbine à axe vertical et à axe horizontal en milliard de
dollar USD (Global Buisness Development, 2017). ...................................................................................... 2
Figure 4: Turbine à axe vertical déployable sur ponton de la compagnie New Energy. ............................... 3
Figure 5: Comparaison de la force de trainée des pales pour une turbine à axe horizontal et une turbine à
axe vertical munie de deux pales. Tirée de l'étude menée par Borg & Collu (2015).................................... 4
Figure 6: Turbine à axe verticale avec des pales de type hélicoïdale (Christi, 2019). ................................. 5
Figure 7: Comparaison du couple produit par une turbine à pale hélicoïdale et à pale droite opérant à
basse vitesse de rotation et étant composée de trois pales (Tuyen, et al., 2014). ....................................... 6
Figure 8: Triangles de vitesse que voient les pales à trois différents instants dans un cycle. ...................... 7
Figure 9: Courbes obtenues via l'analyse théorique quasi-stationnaire des triangles de vitesses (a) l'angle
d'attaque, (b) la norme du vecteur vitesse résultante et (c) la puissance théorique obtenue. ...................... 8
Figure 10: Turbine à axe vertical de type Savonius (Harshal, et al., 2016).................................................. 9
Figure 11: Définition de l'angle de calage. .................................................................................................. 10
Figure 12: Concept de pale flexible présenté par Dag Herman (2015) représentant deux cambrures
différentes. .................................................................................................................................................. 12
Figure 13: (A) Concept de la turbine à axe vertical avec pale flexible présenté par Dag Herman (2015)
ainsi que (B) la turbine installée dans le canal à eau de la centale électrique de Sarpefossen en Norvège.
.................................................................................................................................................................... 12
Figure 14 : Définition des paramètres géométriques d'importance pour le problème. ................................ 16
Figure 15: Illustration des paramètres décrivant la flexibilité de l'aile. ........................................................ 19
Figure 16: Schéma de la définition du domaine de calcul en 2D. ............................................................... 20
Figure 17: Schéma de la définition du domaine de calcul en 3D. ............................................................... 21
Figure 18: Comparaison du coefficient de puissance en fonction de la position angulaire de la turbine pour
une simulation réalisée avec et sans loi de paroi à 𝜆 = 2. ........................................................................ 26
Figure 19: Comparaison du coefficient de puissance en fonction de la position angulaire de la turbine pour
une simulation réalisée avec et sans loi de paroi à 𝜆 = 3. ........................................................................ 27
Figure 20: Coefficient de puissance en fonction de la position de la pale dans le cycle pour les différents
modèles de turbulence appliqués à la résolution d’une aile flexible à 𝜆 = 2, Σ = 10 et 𝛿 ∗= 15. ......... 28
Figure 21: Comparaison des champs de vorticité pour différents modèles de turbulence et ce à différente
position dans le cycle. ................................................................................................................................. 29
Figure 22: Maillage obtenu après 55 000 itérations en utilisant l’emplacement des nœuds précédents. ... 32
Figure 23: Maillage obtenu après 55 000 itérations en utilisant l'emplacement des nœuds initiaux. .......... 32
Figure 24: Efficacité en fonction du nombre de cycles pour une pale rigide à 𝜆 = 4.25 ........................... 33
Figure 25: Efficacité en fonction du nombre de cycles pour une pale à Σ = 5, 𝛿 ∗= 15 et 𝜆 = 4.25. .... 34
Figure 26: Efficacité en fonction du nombre de cycles pour une pale à Σ = 10, 𝛿 ∗= 15 et 𝜆 = 3. ....... 35
Figure 27: Comparaison des forces de pression et de frottement aux forces de réactions solide pour une
pale rigide instationnaire. ............................................................................................................................ 38
Figure 28: Schématisation du problème de Turek et Hron (pas à l'échelle). .............................................. 39
Figure 29: Section de maillage près du corps utilisé pour le calcul de résolution moyenne. ...................... 41
vii
Figure 30: Coefficient de force (a) et (b) et déplacement du bout de la plaque (c) pour le cas FSI2. Les
données de référence ont été prises d’une base de données libre d’accès (FEATFLOW/FEAST team,
2011). .......................................................................................................................................................... 42
Figure 31: Séquence de vorticité pour FSI2. .............................................................................................. 43
Figure 32: Coefficient de force (a) et (b) et déplacement du bout de la plaque (c) pour le cas FSI3. Les
données de référence ont été prise d’une base de données libre d’accès (FEATFLOW/FEAST team,
2011) . ......................................................................................................................................................... 44
Figure 33: Séquence de vorticité pour FSI3. .............................................................................................. 45
Figure 34: Exemple de problème de maillage à la suite de la rotation 1D des sections de maillage. ......... 46
Figure 35: Représentation de l'espace paramétrique avec différents matériaux potentiellement employable
dans la fabrication d'une pale flexible. ........................................................................................................ 47
Figure 36: Rapport entre la fréquence naturelle et la fréquence de rotation pour différentes interactions
fluide-solides et flexibilités pour une section constante. ............................................................................. 48
Figure 37: Outline of the vertical-axis turbine showing the main geometric parameters and velocity
triangles at a given position. ....................................................................................................................... 55
Figure 38: Illustration of the flexible blade. Instantaneous (𝛼) and effective (𝛼𝐸𝑓𝑓 ) angles of attack are
also shown. ................................................................................................................................................. 55
Figure 39: Computational domain and boundary conditions. Note that the image is not to scale. .............. 59
Figure 40: Fluid and solid domains meshes. For the sake of illustration, only the coarse meshes are
shown. ........................................................................................................................................................ 60
Figure 41: Power coefficient over the second cycle for three different meshes. ......................................... 61
Figure 42: Power coefficient of a turbine with rigid blade over the third cycle. Three different meshes are
compared with the reference results of Boudreau & Dumas (2017). .......................................................... 62
Figure 43: (a) Effect of blade flexibility on turbine efficiency 𝜂 for various tip-speed ratios 𝜆 at Σ = 10.
Effect of 𝛿 ∗ and Σ on the efficiency 𝜂 at low (b), optimal (c), and high tip-speed ratios 𝜆 (d). .................. 63
Figure 44: Comparison of a rigid blade’s and a flexible blade’s vorticity field (𝛴 = 10 and 𝛿 ∗ = 15) at
𝜆 = 2. ...................................................................................................................................................... 64
Figure 45: Comparison of a rigid blade’s and a flexible blade’s pressure field (𝛴 = 10 and 𝛿 ∗ = 15) at
𝜆 = 2. ...................................................................................................................................................... 65
Figure 46: Instantaneous power coefficient for different dimensionless flexibilities and pressure-to-inertia
ratios. .......................................................................................................................................................... 66
Figure 47: Power coefficient for a flexible and a rigid blade at a tip-speed ratio of 𝜆 = 7. ....................... 68
Figure 48: Comparison of a rigid blade’s and a flexible blade’s pressure field (Σ = 10 and 𝛿 ∗ = 15) at
𝜆 = 7. ...................................................................................................................................................... 69
Figure 49: Maillage moyen du domaine fluide au plan de symétrie de la turbine (𝑧/𝑏 = 0). ................... 72
Figure 50: Maillage moyen du domaine fluide sur l'envergure de la pale. .................................................. 73
Figure 51: Maillage très grossier du bord de fuite solide sur l'envergure de la pale. .................................. 74
Figure 52: Comparaison du coefficient de puissance pour une configuration rigide à 𝜆 = 4.25 d'une pale
avec des données de référence (Villeneuve, et al., 2020). ......................................................................... 75
Figure 53: Efficacité en fonction de la vitesse de rotation de la turbine obtenu au 9ème cycle. .................... 77
Figure 54: Coefficient de puissance en fonction de la position angulaire pour une pale 3D rigide et une
pale avec le bord de fuite flexible à 𝜆 = 2. ................................................................................................ 79
Figure 55: Distribution du coefficient de puissance sur l’envergure de la pale à la section (a) identifiée
dans la Figure 54 à 𝜃 = 90°. .................................................................................................................... 80
Figure 56: Distribution du coefficient de puissance sur l’envergure de la pale à la section (b) identifiée
dans la Figure 54 à 𝜃 = 130°. .................................................................................................................. 81
viii
Figure 57: Distribution du coefficient de puissance sur l’envergure de la pale à la section (c) identifiée
dans la Figure 54 à 𝜃 = 140°. .................................................................................................................. 81
Figure 58: Coefficient de puissance en fonction de la position angulaire de la pale pour différentes
positions 𝑧/𝑏. Les paramètres de cette configuration sont Σ = 10, 𝛿 ∗= 15 et 𝜆 = 2. ........................ 82
Figure 59: Séquence de déformation du bord de fuite flexible (Σ = 10, 𝛿 ∗= 15) à la suite du
décrochage aérodynamique. ...................................................................................................................... 83
Figure 60: Séquence de déformation du bord de fuite flexible (Σ = 10, 𝛿 ∗= 15) à la suite du passage
du tourbillon éjecté. ..................................................................................................................................... 84
Figure 61: Comparaison du coefficient de puissance à différentes positions angulaires pour une pale
flexible ainsi qu’une pale rigide 3D. ............................................................................................................ 86
Figure 62: Séquence de déformation du bord de fuite flexible à 𝜆 = 5. .................................................. 87
Figure 63: Isocontour de champs de vorticité pour comparaison du tourbillon en bout de pale à 𝜃 = 260°
et 𝜆 = 5. .................................................................................................................................................. 88
Figure 64: Coefficient de puissance en fonction de la position azimutal. .................................................... 89
Figure 65: Isocontour de champs de vorticité pour comparaison du tourbillon en bout de pale à 𝜃 = 100°
et 𝜆 = 3. .................................................................................................................................................. 90
ix
Liste des tableaux
Tableau 1: Paramètres fluide et solide du problème de validation de Turek et Hron. ................................. 40
Tableau 2: Liste des différents paramètres utilisés en 2D et en 3D ............................................................ 49
Tableau 3: Caractéristique et tolérance sur les résidus utilisés pour la validation du maillage ................... 75
x
Liste des Symboles et acronymes
Symboles
𝑥𝑝 Point de retenu de la pale
𝛼 Angle d’attaque de la pale
𝛼0 Angle de calage de la pale
𝛼𝑒𝑓𝑓 Angle d’attaque effectif
R Rayon de la turbine (𝑅 =𝐷
2)
λ Ratio de vitesse en bout de pale (𝜆 =𝜔𝑅
𝑈∞)
ν Viscosité cinématique
Vitesse de rotation de la turbine (𝜔 =𝑑𝜃
𝑑𝑡)
𝜌𝑓 Densité du fluide
𝜌𝑠 Densité du solide
𝑈∞ Vitesse amont de l’écoulement
𝛿∗ Flexibilité de la pale (𝛿∗ =𝜌𝑓(𝜔𝑅)
2𝑐3
𝐸𝐼′)
Σ Ratio d’interaction (Σ =𝜌𝑓𝑅
𝜌𝑠𝑒)
𝜃 Position angulaire de la pale
D Diamètre de la turbine
xi
W Vitesse relative de l’écoulement
c Corde de la pale
N Nombre de pale
e Épaisseur maximale de la pale
E Module de Young
𝐼′ Inertie de section linéique (𝐼′ =𝑒
12)
𝑃(𝜃) Puissance instantanée
𝐶𝑃 Coefficient de puissance (𝐶𝑃 =𝑃(𝜃)
1
2𝜌𝑓𝑈∞
3 𝐷 )
𝐶𝑃′ Coefficient de puissance pour une section dans
l’envergure de la pale (𝐶𝑃′ =𝑃′(𝜃)
1
2𝜌𝑓𝑈∞
3 𝐷 )
𝜂 Efficacité de la turbine (𝜂 =1
2𝜋∫ 𝐶𝑃(𝜃) 𝑑𝜃2𝜋
0)
Re Nombre de Reynold (𝑅𝑒 =𝑈∞𝐷
𝜈)
𝜎 Solidité de la turbine (𝜎 =2𝑁𝑐
𝐷)
휀 Ratio de blocage (휀 = (𝐴𝑇𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑒
𝐴𝐷𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛𝑒) × 100)
b Envergure de la pale
D Traînée
L Portance
xii
Acronymes
LE Bord d’attaque (Leading Edge)
TE Bord de fuite (Trailing Edge)
VAT Turbine à axe vertical (Vertical Axis Turbine)
HAT Turbine à axe horizontal (Horizontal Axis Turbine)
xiii
La vie c’est comme une boîte de chocolats,
on ne sait jamais sur quoi on va tomber.
Robert Zemeckis (Forrest Gump)
xiv
Remerciements
La réalisation de ce mémoire a été possible grâce au concours de plusieurs personnes à qui je voudrais
témoigner toute ma gratitude.
Je voudrais tout d’abord adresser toute ma reconnaissance à mon directeur de maîtrise, M. Mathieu Olivier,
pour sa patience, sa disponibilité et surtout ses judicieux conseils, qui ont grandement contribué à alimenter
mes recherches et mes réflexions.
Je désire aussi remercier le professeur Guy Dumas qui a su me transmettre énormément de ses
connaissances en mécanique des fluides. Sa passion et son expérience dans le domaine ont été une source
inestimable d’inspiration pour moi durant la réalisation de mes études graduées.
Je voudrais également exprimer ma reconnaissance envers mes amis et collègues du LMFN qui m’ont
apporté un soutien moral et intellectuel tout au long de mon passage au laboratoire. Dès mes débuts au
laboratoire en tant que stagiaire, vous m’avez accueilli et étiez toujours disponible pour partager vos
connaissances avec moi. J’ai adoré les moments passés à jouer au SpikeBall avec vous. Les midis passés
à écouter les nombreuses histoires farfelues de Kevin, de même que les soirées avec la gagne du LMFN
vont certainement me manquer! Également, je voudrais te remercier Olivier Paré-Lambert pour avoir
répondu un nombre incommensurable de fois à ma question à savoir comment on efface un dossier en ligne
de commande.
Enfin, je ne peux passer outre ma reconnaissance envers ma copine Élisabeth, mes parents Serge et Lyne
et de ma sœur Katerine. Leur présence, leur écoute, leur confiance en moi et leur soutien constant m’ont
donné des bases solides me permettant de persévérer et de me surpasser. Je les remercie tous
énormément.
xv
Avant-propos
Ce mémoire contient l’insertion d’un article réalisé dans le cadre des travaux de recherche. Les informations
sur ce dernier sont les suivantes :
P. O. Descoteaux and M. Olivier (2020). Performances of vertical axis hydrokinetic turbines with
chordwise-flexible blades. En révision, soumis le 29 mai 2020 dans le Journal of Fluids and Structures,
Numéro d’article : YJFLS-2020-372.
Comme premier auteur, j’ai réalisé les simulations numériques ainsi que les analyses préliminaires. J’ai
rédigé la première version de l’article qui a par la suite été révisé par le professeur Mathieu Olivier. La
version présentée dans le mémoire n’est qu’une adaptation au format du mémoire. L’intégralité de l’article
y est présente sans modification et dans sa langue de publication.
1
Introduction
Contexte et motivation
Historique énergétique
Depuis l’avènement de la révolution industrielle, le mode de vie des sociétés modernes
occidentales est intimement lié à la présence d’énergie facilement accessible. À l’heure actuelle, ce mode
de vie s’étend de plus en plus vers les pays en développement principalement grâce à l’utilisation des
énergies fossiles. Pour cette raison, il est estimé que l’utilisation de ces dernières continuera de connaître
une augmentation moyenne de deux pour cent par an (OCDE, 1999) au cours des prochaines années. En
raison des émissions de gaz à effet de serre responsable des changements climatiques, l’utilisation de ces
énergies devient de plus en plus contestée à travers le monde. Dans ce contexte de crise environnementale
globale, la transition vers les énergies renouvelables apparaît comme la pierre angulaire de lutte contre ces
changements climatiques.
Depuis quelques années, plusieurs types d’énergies sont donc mis de l’avant pour la recherche
dans le but de les rendre plus performants, mais aussi plus rentables à opérer. Le marché de l’éolienne en
est un bel exemple. En effet, ce dernier a connu une explosion au cours des années 1970 en raison des
sommes énormes injectées dans la recherche et le développement de cette technologie. À l’époque, les
recherches se sont majoritairement concentrées sur les éoliennes plus classiques du type des éoliennes à
axe horizontal (HAT) illustré à la Figure 1 qui est le type couramment rencontré aujourd’hui. Cependant, il
existe évidemment d’autres types d’éoliennes offrant de nouvelles possibilités non exploitées jusqu’à
présent qui gagnent en popularité. C’est notamment le cas de la turbine à axe vertical (VAT) illustrée à la
Figure 2 dont il sera question dans ce mémoire.
2
Figure 1: Turbine à axe horizontal (HAT) (Turbinesinfo,
2011)
Figure 2: Turbine à axe vertical (VAT) (Firstfiled Ltd, 2009)
Il est intéressant d’étudier ce type de turbine, car ce marché est appelé à prendre de plus en plus
d’importance au cours des prochaines années. En effet, les estimations illustrées la Figure 3 des revenus
générés et projetés par les turbines à axe vertical comparativement aux turbines à axe horizontal tendent à
montrer une augmentation de la portion de marché qui sera occupée par celles à axe vertical (Global
Buisness Development, 2017).
Figure 3: Revenus du marché de l'éolienne pour la turbine à axe vertical et à axe horizontal en milliard de dollar USD (Global Buisness Development, 2017).
L’augmentation projetée du nombre d’éoliennes à axe vertical est en majeure partie due à un nouveau type
de production d’énergie, qui se veut être une production à plus petite échelle incorporée aux espaces
publics, aux routes et aux infrastructures telle que le Greenway Self Park à Chicago.
Le même constat est également vrai avec le marché de l’hydrolienne de petite envergure où les
turbines à axe vertical commencent aussi à occuper une proportion toujours de plus en plus grandissante.
Certaines compagnies telles que New Energy conçoivent des systèmes d’hydrolienne à axe vertical de
3
dimensions modestes dédiés à l’implantation facile et rapide dans les rivières (New Energy, 2016), ce qui
se veut une belle alternative pour les pays et régions en développement ou à faible demande énergétique.
Un prototype de cette hydrolienne incorporé à un ponton est illustré à la Figure 4.
Figure 4: Turbine à axe vertical déployable sur ponton de la compagnie New Energy.
Enjeux des turbines à axe vertical et horizontal en exploitation
De nos jours, les turbines à axe horizontal représentent toujours la plus grande proportion de la
production d’énergie éolienne et hydrolienne. Cependant, l’augmentation de la demande en énergie
nécessite de produire des éoliennes de plus grand diamètre et donc des profils de pale toujours plus
complexe et difficile à produire. De son côté, la turbine à axe vertical exploitant le concept proposé par
Darrieus (1926) semble intéressante pour ce point du fait qu’elle utilise un profil extrudé, ce qui rend sa
production relativement simple en comparaison avec la turbine à axe horizontal.
Théoriquement, les deux types de turbines devraient fournir une efficacité similaire à celle de la
turbine à axe horizontal de l’ordre de 45 %. Cependant, Avallone (1978) a démontré qu’en réalité, l’efficacité
des turbines à axe vertical est plutôt de l’ordre de 30 %. Bien que ces deux concepts ne datent pas d’hier,
ils ont été laissés de côté durant plus de 50 ans avant que la crise pétrolière des années 1970 ne vienne
débloquer des fonds pour la recherche en énergie renouvelable. Ce n’est qu’alors que différents groupes
de recherche ont commencé à les étudier et à les optimiser. Cependant, comme l’éolienne à axe horizontal
bénéficie de toutes les avancées réalisées durant ces années sur les hélices des avions, les turbines à axe
horizontal partent donc avec une bonne longueur d’avance sur celles à axe vertical. Il s’agit donc de la
principale raison qui fait en sorte qu’environ 80% des éoliennes en exploitation dans le monde sont du type
HAT (Global Buisness Development, 2017). Cependant, depuis quelques années, la recherche sur les
turbines à axe horizontal tend à ralentir alors que celle sur les turbines à axe vertical tend à s’accélérer. Il
est donc envisageable de croire que d’ici quelques années, des percées dans le domaine de l’éolienne à
4
axe vertical lui permette de devenir concurrentielle et peut-être même surpasser la turbine à axe horizontal
conventionnelle.
L’amélioration de la technologie de la turbine à axe vertical semble très intéressante quant aux
gains en simplicité d’utilisation qu’il serait possible de rencontrer. Par exemple, la turbine à axe vertical ne
demande aucun système d’alignement vis-à-vis l’écoulement. Cette dernière peut donc accepter des
écoulements provenant de n’importe quelle direction. Cette polyvalence d’utilisation permet à des machines
relativement simples d’être employées dans des écoulements très fluctuants. De plus, les générateurs
peuvent être placés à leur base ce qui simplifie grandement leur entretien. Ainsi, pour des applications
hydrolienne, il est possible de placer le générateur à l’extérieur de l’eau ce qui permet d’augmenter
considérablement sa longévité. Également, ces machines produisent des intensités sonores beaucoup plus
faibles que les HAT ce qui est bien souvent à la base des problèmes d’implantation des éoliennes dans les
communautés.
D’un autre côté, ces turbines possèdent certains inconvénients. En effet, une particularité des
turbines à axe vertical est que les pales de ces dernières voient des conditions aérodynamiques fluctuant
rapidement durant un cycle. Il en résulte donc la production d’un couple qui est non-uniforme au générateur.
Il devient alors difficile de convertir un tel couple en une puissance constante pouvant être envoyé sur un
réseau. Une telle fluctuation du couple n’est cependant pas ou très peu présente pour une HAT comme le
démontre Borg & Collu (2015) dans la figure suivante :
Figure 5: Comparaison de la force de trainée des pales pour une turbine à axe horizontal et une turbine à axe vertical munie de deux pales. Tirée de l'étude menée par Borg & Collu (2015).
5
En plus des problèmes d’uniformisation de la puissance, la charge cyclique importante que cela engendre
peut avoir des répercussions critiques sur la durée de vie des composantes. Pour pallier ce problème,
plusieurs chercheurs ont émis différentes solutions permettant de niveler le plus possible ces charges
cycliques. Parmi celles-ci, on retrouve l’augmentation du moment d’inertie permettant de diminuer les pics
de puissance (Yang & Li, 2013) et ainsi niveler le couple au générateur. Aussi, une des solutions les plus
évidentes, qui est également le sujet le plus étudié à l’heure actuelle sur la turbine à axe vertical, est le
nombre de pales. En effet, plus la turbine compte de pales et plus cette dernière va tendre à uniformiser
son couple résultant. Cependant, il n’est évidemment pas possible d’augmenter à l’infini le nombre de pales.
En effet, l’augmentation du nombre de pales se traduit par le fait même par une augmentation de l’effet de
blocage sur l’écoulement, ce qui diminue l’efficacité de la turbine. Le paramètre sans dimension
communément utilisé pour quantifier ce blocage est la solidité 𝜎 définie plus en détail dans la section 2.1.
Blackwell et al. (1976) et Sheldahl et al. (1980) ont tous deux démontré que pour un faible blocage tel que
𝜎 < 0.2, il était possible d’obtenir des efficacités de l’ordre de 40%, alors que pour des blocages plus
important tels que 𝜎 > 0.5, il était difficile de dépasser 30 % (Rawlings (2008); Navabi (2008); Howell et
al. (2010)). De plus, une autre approche couramment rencontrée permettant de diminuer les fluctuations
importantes du couple au générateur est d’utiliser des turbines composées de pale hélicoïdale tel qu’il est
illustré sur la Figure 6.
Figure 6: Turbine à axe verticale avec des pales de type hélicoïdale (Christi, 2019).
Diverses études (Tuyen et al. (2014), Marsh et al. (2015) et Gosselin (2015)) ont démontré que l’utilisation
de turbines à axe vertical équipées de pales hélicoïdales permettait de diminuer les fluctuations importantes
du couple de manière significative. La Figure 7 présente les résultats d’une étude numérique où il est
possible de noter cette diminution de fluctuation pour une turbine constituée de trois pales opérant à basse
vitesse de rotation. Ils ont également démontré dans cette étude que les pales hélicoïdales aidaient au
démarrage de la turbine. Cependant, la diminution des fluctuations était généralement accompagnée d’une
6
diminution des efficacités globales des turbines particulièrement à leur point de meilleur rendement. Cette
diminution de l’efficacité s’explique par un phénomène de décrochage. En effet, même si la pale est un
continuum dans son ensemble, chaque petit segment de cette dernière peut être vu comme possédant un
angle d’attaque légèrement différent du segment au-dessus ou en dessous. Cela veut donc dire que lorsque
les couches limites d’un segment commencent à se séparer, habituellement près du point de portance
maximal, cette séparation se propage par la suite facilement au reste de la pale. Ainsi, c’est via la
propagation du décrochage que les pales hélicoïdales vont voir leur efficacité réduite.
Figure 7: Comparaison du couple produit par une turbine à pale hélicoïdale et à pale droite opérant à basse vitesse de rotation et étant composée de trois pales (Tuyen, et al., 2014).
De plus, une particularité de ces turbines, fonctionnant avec la portance, est qu’elles ne démarrent
pas naturellement. C’est-à-dire, qu’il faut bien souvent un mécanisme permettant à la turbine de démarrer
sa rotation qui sera maintenue par la suite grâce à la portance générée sur ses pales. Bien que les études
transitoires, nécessaires pour l’analyse du démarrage, ne fassent pas parti du présent mémoire, il était tout
de même intéressant de mentionner le point, car il permet de bien mettre en lumière le fonctionnement de
la turbine. En effet, tel que mentionné précédemment, ce type de turbine fonctionne par portance. C’est-à-
dire, que les pales de la turbine produisent un couple grâce à l’orientation du vecteur portance (L) généré
par celles-ci. Une représentation du concept via l’utilisation des triangles de vitesse est illustrée sur la Figure
8. Cette illustration permet de bien visualiser les vecteurs de forces générés de même que leurs orientations
en trois différentes positions dans un cycle. Pour la définition des différents paramètres, se référer à la
section 1.1.
7
Figure 8: Triangles de vitesse que voient les pales à trois différents instants dans un cycle.
À vitesse de rotation constante, les pales de la machine voient donc dans leur référentiel des angles
d’attaque (𝛼) de même que des vitesses fluctuantes tel qu’illustré sur la Figure 9a et 9b. Il est ainsi possible
de calculer théoriquement, en assumant une hypothèse d’un écoulement quasi-stationnaire, la portance et
la trainée produite par une pale, permettant ainsi de comprendre comment il est possible d’obtenir un couple
avec cette turbine. Comme l’approche présentée à la figure ci-dessous ne prend pas en compte le
comportement dynamique de l’écoulement de même que le déficit de vitesse du sillage, il va de soi, que les
graphiques considérant la dynamique de l’écoulement vont avoir des comportements différents en
particulier dans la portion aval, soit l’intervalle 𝜃 ∈ [180° à 360°].
8
Figure 9: Courbes obtenues via l'analyse théorique quasi-stationnaire des triangles de vitesses (a) l'angle d'attaque, (b) la norme du vecteur vitesse résultante et (c) la puissance théorique obtenue.
Le problème du démarrage survient lorsque la vitesse de rotation 𝜔𝑅 est nulle. Comme ce type de turbine
est conçu pour opérer en portance et non en traînée, il est habituellement assez symétrique face à
l’écoulement du point de vue de sa traînée. Bien qu’une dissymétrie existe, elle n’est habituellement pas
suffisante pour combattre les forces de friction de la machine permettant de la mettre en marche. À l’opposé,
certains concepts de turbine à axe vertical comme celle de type Savonius illustrée à la Figure 10 sont conçus
pour opérer en traînée et produisent donc intrinsèquement des profils non-symétriques de traînée dans
l’écoulement pour leur permettre de générer un couple et d’en extraire de l’énergie.
9
Figure 10: Turbine à axe vertical de type Savonius (Harshal, et al., 2016).
Il est cependant généralement admis que leur efficacité est de loin inférieure à celle opérant à partir de la
portance. C’est d’ailleurs une des raisons pourquoi le concept d’intérêt dans ce mémoire est une machine
fonctionnant par portance.
De plus, il existe deux techniques communément utilisées pour permettre de mettre en opération
les turbines à axe vertical fonctionnant par portance. La plus rencontrée consiste à utiliser le générateur ou
un moteur externe pour initier la rotation de la machine. Les petites machines vont habituellement utiliser
leur propre générateur alors que celle de plus grande envergure vont quant à elle avoir recours à un moteur
complémentaire. La deuxième technique consiste à utiliser un système permettant de modifier l’angle des
pales. Ce mécanisme permet donc de rendre la trainée de la machine dissymétrique lui permettant ainsi de
démarrer sa rotation. La section suivante présentera davantage ce mécanisme et ses variantes.
Littérature sur les systèmes de déformation actifs et passifs
Parmi les différentes solutions existantes permettant de répondre aux problématiques
d’uniformisation du couple et de démarrage des turbines à axe vertical, il est possible de retrouver les
systèmes de déformation actif de l’angle de calage des pales. Ces systèmes fonctionnent de la même
manière que les systèmes de démarrage et de contrôle de vitesse que l’on retrouve chez les turbines à axe
horizontal. C’est-à-dire que l’angle que fait la pale avec l’écoulement peut être modifié pour permettre à la
turbine d’amorcer sa rotation ou à l’inverse, de diminuer sa vitesse de rotation pour l’arrêter. Le système
appliqué à la turbine à axe vertical pousse le concept plus loin en permettant des ajustements d’angle de
haute fréquence permettant ainsi d’ajuster l’angle des pales à chaque position dans un cycle. Le but est de
permettre à la machine de démarrer, mais aussi d’augmenter son efficacité. En effet, comme il est possible
10
de modifier l’angle d’incidence de l’écoulement vu par les pales, il devient alors possible d’augmenter
l’efficacité de la turbine en conservant un angle optimal vis-à-vis l’écoulement. L’angle de calage se définit
donc comme l’angle engendré par la perpendiculaire du rayon et la corde de la pale (𝛼𝑜) dans la Figure 11.
Figure 11: Définition de l'angle de calage.
Dans un premier temps, plusieurs auteurs ont étudié l’effet d’ajouter un angle de calage qui demeurerait
constant en chaque position du cycle, mais qui serait variable en fonction de la vitesse de rotation de la
turbine ((Andrzej & Stephen (2009); ZHANG et al. (2014) et Yanzhao et al. (2018)). Ils ont tous démontré
le bénéfice sur l’efficacité de la turbine d’ajouter un angle de calage différent pour la vitesse d’opération. Ils
ont également démontré que les portions du cycle les plus affectées par cet ajout sont les portions du cycle
où les pales de la turbine sans angle de calage seraient alignées avec l’écoulement.
Un autre groupe de recherche (Liang, et al., 2016) a quant à lui démontré qu’il était possible de
doubler l’efficacité d’une turbine en l’équipant d’un système actif de variation de l’angle de calage qui est
fonction de sa position dans le cycle. L’étude a été réalisée à basse vitesse de rotation, c’est-à-dire pour un
𝜆 d’opération de 1.5 (voir la section 2.1 pour la définition du paramètre 𝜆). Le profil de variation d’angle de
calage pour le système de contrôle a été déterminé via une étude paramétrique réalisée numériquement en
2D. Ils ont par la suite validé leurs résultats avec un modèle expérimental en soufflerie. Cependant, l’énergie
requise pour la variation des angles n’a pas été prise en considération dans le calcul de l’efficacité de la
turbine. De plus, ils ont mis en lumière l’augmentation de la plage d’exploitation efficace pour 𝜆 compris
entre 1.5 et 2.5 de même que l’amélioration du démarrage de la turbine lorsque leur profil d’angle de calage
était employé.
D’autres auteurs ont plutôt utilisé le concept d’angle de calage variable en se concentrant
particulièrement sur les problèmes de démarrage de la turbine mentionné à la section 1.1.2. C’est
notamment le cas de Chougule, et al. (2013) qui ont démontré avec une méthode de tubes de courant
double qu’il était possible de faire démarrer une turbine qui était originellement incapable de démarrer d’elle-
même en ajoutant une variation de l’angle de calage de 2.5 degrés. De plus, Shek & Mueller (2016)
mentionne également l’amélioration du démarrage en utilisant un système actif. Dans cet article, ils mettent
de l’avant la polyvalence de cette technologie. Il est notamment question du démarrage, mais aussi de
11
l’ajustement du contrôle actif en fonction des conditions d’opérations et du décrochage des pales pour
l’obtention d’augmentation d’efficacité autant à basse vitesse de rotation qu’à haute vitesse.
Un autre concept intéressant a montré qu’il était possible d’obtenir expérimentalement une
augmentation de l’efficacité de 35 % sur une turbine possédant initialement une efficacité de 32.3%
(Erickson, et al., 2011), sans utiliser de contrôle actif conventionnel. Il a plutôt utilisé un mécanisme à came
permettant de reproduire un mouvement préalablement établi. La même démarche avec d’autres profils a
par la suite été reprise par d’autres auteurs qui ont eux aussi démontré des augmentations en efficacité de
l’ordre de 12 % sur une turbine de 500 W (Prasad & Soren, 2014). L’avantage de procéder ainsi est de
bénéficier d’une variation de l’angle de calage ne nécessitant aucun ajout de puissance. En effet, bien que
les contrôleurs actifs offrent de meilleurs rendements leur application en pratique est souvent très difficile à
réaliser, de même que d’assurer un bon fonctionnement à long terme (Liang, et al., 2016).
Par la suite, des chercheurs se sont intéressés à des pales utilisant un système actif, non pas pour
changer l’angle de calage, mais pour changer la forme de ces dernières. Par exemple, Mohamed &
Mohamed (2017) ont montré qu’il est possible d’augmenter l’efficacité d’une turbine de 35 % en modifiant
la forme du bord d’attaque pour des utilisations à faible 𝜆. Cette déformation (vers l’extérieur de la zone de
rotation de la turbine) a comme effet d’augmenter la magnitude du tourbillon généré au bord d’attaque ainsi
que de contrôler le moment où ce dernier sera formé. Selon l’auteur, ce tourbillon augmente la performance
de la turbine en augmentant la zone de succion qui à son tour augmente la différence de pression entre
l’extrados et l’intrados de la pale. Dans une autre publication, ils ont également montré qu’il était possible
d’augmenter de 38 % l’efficacité d’une turbine en modifiant la forme du bord de fuite toujours pour des
faibles 𝜆. Encore une fois, cette augmentation est due à une augmentation en intensité du tourbillon généré
au bord d’attaque. Le même comportement a également été observé par Lui & Xiao (2015) et Zhu (2007)
pour des ailes oscillantes flexibles.
D’un autre côté, la déformation peut être réalisée de manière passive, c’est-à-dire sans aucun
apport en énergie pour produire la déformation de la pale. Cette déformation est plutôt réalisée via
l’interaction fluide-structure. La bonne déformation est obtenue en choisissant judicieusement la masse ainsi
que la rigidité de la pale flexible. Pour réaliser une pale alliant matériaux actuellement utilisés dans la
fabrication des turbines à axe vertical avec une déformation passive, il est alors plus facile d’obtenir des
déformations de grande amplitude lorsque le fluide utilisé a une densité importante comme l’eau. La
possibilité d’utiliser des pales flexibles pour une turbine à axe vertical a été proposée pour la première fois
par Eelco, et al. (2009) dans une étude numérique utilisant un solveur potentiel jumelé à un solveur de
couche limite le tout couplé avec les équations de dynamique des solides. Par la suite, les premières études
expérimentales ont été menées par Dag Herman (2014) et Dag Herman (2015). Ce dernier a utilisé des
12
éléments structurels flexibles composés de tiges en acier ainsi que d’un revêtement polyvinyle et de nylon
pour former les profils des pales. Les profils de déformation qu’il est alors possible d’obtenir avec son
approche sont présentés à la Figure 12.
Figure 12: Concept de pale flexible présenté par Dag Herman (2015) représentant deux cambrures différentes.
Un fait important à noter de son étude est que le point de retenue de l’aile est monté sur un ressort de
torsion ce qui lui permet de changer son angle de calage de manière passive également. Les résultats
expérimentaux obtenus tendent à montrer qu’une turbine équipée de pales flexibles obtient des rendements
légèrement supérieurs à ceux d’une turbine équipée de pales rigides. La grande distinction survient dans la
stabilité de la turbine à s’ajuster aux perturbations de l’écoulement. En effet, les pales flexibles tendent à
uniformiser l’efficacité moyenne de la turbine ce qui se traduit en des vitesses de rotation plus stables avec
moins de pics de contraintes internes dans la turbine. Ils ont également montré que les vibrations induites
par les pales étaient considérablement réduites. Les tests ont été menés sur un seul prototype de grande
envergure (Figure 13) pour un bas 𝜆. Le groupe de recherche prévoit analyser de nouvelles configurations
dans les prochaines années.
Figure 13: (A) Concept de la turbine à axe vertical avec pale flexible présenté par Dag Herman (2015) ainsi que (B) la turbine installée dans le canal à eau de la centale électrique de Sarpefossen en Norvège.
13
Une autre étude expérimentale menée par Jonathan, et al. (2014) sur les effets inertiels d’une pale
munie d’un bord de fuite flexible opérant dans l’air a démontré qu’il était possible d’améliorer l’efficacité à
basse vitesse. Ils mettent également en lumière eux aussi l’uniformisation du couple vis-à-vis des
fluctuations de vitesse de l’écoulement. Cependant, lorsque la vitesse augmente, les effets inertiels tendent
à déformer la pale de manière néfaste pour l’extraction d’énergie de la machine. Fait intéressant à noter de
cette étude est que malgré le fait que la pale n’ait pas été conçue pour démarrer d’elle-même cette dernière
démarrait d’elle-même la plupart du temps.
14
Objectifs et structure du mémoire
L’objectif du mémoire est de rendre compte de l’impact de l’utilisation d’un système passif de déformation
des pales sur l’efficacité d’une turbine à axe vertical. Pour ce faire, les différents objectifs secondaires
suivant devront être rencontrés :
▪ Déterminer l’impact de la flexibilité au point de meilleur rendement de la turbine.
▪ Déterminer l’impact de la flexibilité sur la plage de haute efficacité de la turbine.
▪ Explorer et comprendre les nouveaux mécanismes se rattachant à la flexibilité de la pale.
Pour ce faire, l’analyse de cette problématique se fera sur quatre chapitres. Dans un premier temps,
l’introduction a présenté un portrait de l’avancement de la recherche vis-à-vis des turbines à axe vertical
ainsi que les différents systèmes de variation de l’angle de calage actif et passif qui ont déjà été étudiés. Le
but de ce chapitre est de présenter les recherches antérieures qui ont été réalisées par la communauté
scientifique sur le sujet permettant ainsi de mieux comprendre les enjeux qui entourent cette technologie.
Le chapitre 1 permet de bien définir la problématique étudiée. Pour ce faire, la méthodologie suivie dans le
but d’obtenir un modèle fiable permettant de prédire le comportement dynamique d’une turbine équipée de
pales flexibles dans le sens de la corde est présentée. Ce chapitre présente donc la théorie de même que
les techniques utilisées pour modéliser le problème.
Par la suite, pour déterminer les paramètres qui influent sur la performance d’une turbine à axe vertical avec
pales flexibles, une étude paramétrique en 2D est menée et présentée dans le chapitre 2. Cette étude est
présentée sous forme d’un article. Ce dernier fait ressortir les mécanismes clés gouvernant la
problématique. Il donne ainsi une bonne idée de l’impact associé à l’utilisation de pales flexibles.
De plus, dans le but de pousser plus loin les observations réalisées en 2D, le chapitre 3 présente une étude
menée en 3D à partir des paramètres optimaux tirés du chapitre 2. Le chapitre 3 se rapprochant ainsi le
plus de la réalité va donc permettre d’obtenir la réponse à la problématique.
Enfin, une discussion récapitulative va conclure la présente étude en réalisant la synthèse des démarches
et résultats obtenus au travers de ce mémoire.
15
Chapitre 1 Modélisation et méthode de résolution
Ce chapitre traite de la modélisation réalisée pour la résolution numérique du problème
aéroélastique d’une turbine à axe vertical équipée de pales flexibles. La première partie traite de la portion
modélisation du problème ainsi que des métriques utilisées pour l’évaluation des performances. De plus,
comme ce problème sera résolu sous une forme sans dimension, les équations seront également
présentées sous cette forme. Il sera question autant de la modélisation du problème via l’approche 2D que
de la modélisation du problème en 3D. La seconde partie de ce chapitre porte sur la méthode numérique
employée pour la résolution du problème fluide-structure. Cette section traitera notamment des équations
employées, mais également des modules intégrés au logiciel OpenFOAM et STAR CCM+ qui ont été
utilisés. La méthode de couplage fluide-structure maison utilisée de même que la méthode de couplage
commercial utilisée dans STAR CCM+ seront également présentées. La dernière partie de ce chapitre est
quant à elle consacrée à la validation et aux limites des modèles de résolution utilisés. On y retrouve
notamment une validation de la méthodologie de couplage réalisée en 3D, mais aucune validation du
couplage n’est présentée pour le 2D. La raison étant que la validation de ce dernier est déjà présentée en
détail dans la thèse de Olivier (2014). Cependant, il est tout de même inévitable que certaines validations
aient quand même dues être réalisées permettant de passer de la plaque mince oscillante employé dans la
thèse de Olivier (2014) au profil NACA en rotation utilisé dans ce mémoire.
16
1.1 Modélisation du problème aéroélastique
La modélisation du problème d’aéroélasticité commence par la représentation du mouvement
qu’effectue une turbine à axe vertical. Ce mouvement se caractérise par une vitesse angulaire constante
(𝜔) de la pale autour d’un axe perpendiculaire à un écoulement donné. Ce mouvement est représenté à la
Figure 14. Cette dernière illustre une vue de haut d’une turbine qui serait placée à la verticale dans un
écoulement provenant de la gauche vers la droite de vitesse (𝑈∞). Le profil d’aile utilisé dans le présent
mémoire est un profil NACA 0015. Le choix de ce profil provient des analyses menées par Gosselin (2015)
et Gosselin, et al. (2016) qui ont démontré le potentiel intéressant de ce profil pour une application à la
turbine à axe vertical.
Figure 14 : Définition des paramètres géométriques d'importance pour le problème.
Le point d’attache de la pale est situé à une distance (𝑥𝑝) du bord d’attaque de l’aile le long de la
corde de cette dernière. Ce point représente l’emplacement du lien rigide reliant la pale au centre de rotation.
Le calcul de la performance d’une turbine à axe vertical s’obtient dans un premier temps en déterminant le
coefficient de puissance instantané. Ce dernier est défini dans la littérature comme étant :
𝐶𝑃 =𝑃(𝜃)
12𝜌𝑓𝑈∞
3𝐷 , (1.1)
où (𝜌𝑓) est la densité du fluide considéré, (𝐷) est le diamètre de la turbine et (𝑃(𝜃)) est la puissance
instantanée pour une position angulaire (𝜃) donnée dans le cycle. Cette puissance instantanée est obtenue
en multipliant le couple instantané de la turbine (𝑀(𝜃)) à sa vitesse angulaire (𝜔) comme :
17
𝑃(𝜃) = 𝑀(𝜃)𝜔 . (1.2)
La mesure du couple est tirée des forces fluides ainsi que des forces inertielles agissant à un point
positionné à une distance (𝑥𝑝) du bord d’attaque. Ainsi les forces agissant sur ce point de retenue sont par
la suite exprimées en termes de moment au centre de la turbine. L’efficacité de la turbine s’obtient enfin en
intégrant la puissance instantanée sur un cycle comme suit :
𝜂 =1
2𝜋∫ 𝐶𝑃(𝜃) 𝑑𝜃2𝜋
0
. (1.3)
Dans le même ordre d’idée, il est possible de définir un coefficient de force pour la composante de force
tangente (𝐶𝑥) et normale à la pale (𝐶𝑦). Tous deux définis comme suit :
𝐶𝑥 =𝐹𝑥(𝜃)
12𝜌𝑓𝑈∞
2𝐷, 𝐶𝑦 =
𝐹𝑦(𝜃)
12𝜌𝑓𝑈∞
2𝐷 . (1.4)
Les paramètres importants permettant de définir le problème sont donnés sous leur forme sans dimension.
Dans un premier temps, il y a le facteur de vitesse spécifique (𝜆) qui peut être interprété comme une vitesse
de rotation sans dimension. Ce facteur est défini par :
𝜆 =𝜔𝑅
𝑈∞ . (1.5)
Également, il y a le nombre de Reynolds qui est utilisé pour caractériser le rapport entre l’inertie convective
et les forces visqueuses dans l’écoulement. Ce dernier est exprimé comme suit :
𝑅𝑒 =𝑈∞𝐷
𝜈 . (1.6)
Ensuite, le paramètre de solidité permet de donner une relation sur le nombre de pales utilisées. Il permet
notamment de représenter le blocage moyen de la turbine dans l’écoulement, en caractérisant la proportion
de l’aire des pales par rapport à l’aire balayée par ces dernières. Ce dernier est défini comme suit :
18
𝜎 =2𝑁𝑐
𝐷 , (1.7)
où (𝑁) est le nombre de pales et (𝑐) la corde d’une pale. Dans ce mémoire, une seule pale a été considérée
(𝑁 = 1) alors que des configurations à trois pales sont habituellement rencontrées. Ce choix est fait afin
de simplifier le problème ainsi que le temps de résolution. Cependant, il est tout de même attendu que les
cas présentés représentent le comportement de la turbine munie de plusieurs bras possédant la même
solidité. Ce constant a notamment été rapporté par Gosselin, et al. (2016) sur des turbines équipées d’un
et trois bras possédant la même solidité.
Ces paramètres sans dimension sont les paramètres utilisés dans la littérature des turbines à axe vertical.
Dans le présent mémoire, deux paramètres sans dimensions de plus doivent être utilisés pour tenir compte
de la flexibilité des pales. Ces derniers utilisent la même approche que celle présentée par Olivier (2014).
Le premier paramètre représente le ratio des forces de pression sur les forces inertielles. Ce dernier permet
donc de déterminer si les forces dominantes qui produisent la déformation de la pale sont induites par
l’inertie de la pale ou bien par les forces de pression du fluide. L’approximation des forces inertielle est
définie comme étant :
𝐹𝐼 = 𝜌𝑠𝑒𝑐⏟𝑚
∙ 𝜔2𝑅⏟𝑎
, (1.8)
où (𝜌𝑠) est la densité du solide et (𝑒) l’épaisseur du profil. L’approximation des forces de pression est quant
à elle définie selon la théorie des plaques minces (Abbott & Doenhoff, 1959) comme étant :
𝐹𝑃 =1
2𝜌𝑓(𝜔𝑅)
2𝑐 𝐶𝐿 , (1.9)
où 𝐶𝐿 ≈ 2𝜋𝛼 ≈ 2 si 𝛼 est considéré comme étant évalué à 20°. Ce qui représente un angle d’attaque
effectif typique vu par la pale dans son cycle. Ainsi, réutilisant les deux dernières équations, le ratio des
forces de pression sur les forces inertielle se définit comme étant :
Σ =𝜌𝑓𝑅
𝜌𝑠𝑒 (1.10)
Ce paramètre sera défini comme le paramètre d’interaction. Ainsi, une interaction fluide-structure forte sera
caractérisée par Σ ≫ 1 alors qu’une interaction fluide-structure faible sera plutôt caractérisée par Σ ≪ 1.
19
Enfin, le dernier paramètre sans dimension utilisé permet de quantifier la magnitude de la déformation de
la pale. Ce dernier est analogue à la normalisation d’une solution élémentaire de poutre chargée et se définit
comme :
𝛿∗ =𝜌𝑓(𝜔𝑅)
2𝑐3
𝐸𝐼′, (1.11)
où 𝐼′ est l’inertie de section linéique se définissant comme 𝐼′ =𝑒
12. Le paramètre 𝐸 est le module de Young
de la section solide flexible.
En pratique, comme la composition interne de la pale est sujette à de grandes variations en raison
des différentes techniques de fabrication des pales une rigidité uniforme a donc été considérée. La rigidité
de l’aile est donc applicable à une pale possédant une rigidité composée d’un produit constant entre l’inertie
de section et un module de Young (𝐼′𝐸 = 𝑐𝑡𝑒). La nomenclature associée à cette flexibilité est illustrée sur
la Figure 15:
Figure 15: Illustration des paramètres décrivant la flexibilité de l'aile.
Bien que deux configurations de flexibilité aient été analysées, une seule a retourné des résultats
intéressants permettant de figurer dans le présent mémoire. La configuration présentée est celle avec un
bord de fuite flexible soit la zone en gris pâle sur la Figure 15. Également, la position du point d’attache
(𝑥𝑃) va demeurer constante tout au long de ce mémoire comme étant située au tiers de corde, soit 𝑥𝑝
𝑐=
1
3,
dans le but de se comparer à des études de référence menées sur la même turbine en 2D et 3D (Boudreau
& Dumas (2017) et Villeneuve, et al. (2020)). La modélisation 3D n’utilisant pas une inertie de section
constante, mais une inertie de section qui est fonction de l’épaisseur du profil devrait fournir des résultats
légèrement différents de ceux obtenus avec la pale 2D. Également, l’envergure de la pale considérée en
3D est la même que celle de l’étude de Villeneuve et al. (2020) soit : b/c = 7.5.
La résolution du problème fluide-structure a été réalisée en utilisant la mécanique des fluides numérique.
Cette dernière est par la suite jumelée de manière bidirectionnelle à une résolution numérique de la
dynamique de déformation des solides via l’utilisation de la méthode des éléments finis. Cette approche
consiste donc à étudier la dynamique du fluide autour des corps, via la résolution des équations de Navier-
20
Stokes en même temps que de prendre en compte sa rétroaction avec le corps solide. La section suivante
1.2 donne davantage d’information sur cette méthode de résolution numérique employée. De plus, les
dimensions des domaines ainsi que les conditions aux limites utilisées avec cette approche de calcul sont
schématisées à la Figure 16 et Figure 17. Pour assurer la rotation de la pale autant en 2D qu’en 3D, une
zone de maillage en rotation a été utilisée. Une interface non conforme est utilisée pour assurer le raccord
des deux zones de maillage employées. Le maillage n’a donc pas besoin d’être conforme c’est-à-dire que
les nœuds du maillage en rotation et du domaine ne sont pas obligés de correspondre le long de cette
interface.
Figure 16: Schéma de la définition du domaine de calcul en 2D.
Le domaine considéré pour l’étude 3D est illustré à la Figure 17. Ce dernier utilise toutefois un plan de
symétrie passant en son centre de manière à diviser le domaine en deux sections symétriquement égales
pour ainsi diminuer le temps de calcul d’un facteur 2.
21
Figure 17: Schéma de la définition du domaine de calcul en 3D.
Le coefficient de blocage des domaines 2D et 3D définit comme étant :
휀 = (𝐴𝑇𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑒
𝐴𝐷𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛𝑒) × 100, (1.12)
est le même que ceux des simulations des références (Boudreau & Dumas (2017) et Villeneuve, et al.
(2020)), soit 1.3% en 2D et de 0.17% en 3D.
22
1.2 Solveur fluide et solide
Toutes les simulations 2D présentées dans ce mémoire ont été réalisées sur la version 1712 du
logiciel OpenFOAM. Le code utilisé est basé sur la librairie de couplage développée par Olivier (2014). Dans
la résolution de ce couplage fluide-structure le domaine fluide est résolu avec un code de volume fini de
deuxième ordre alors que le solide est quant à lui résolu avec un solveur d’élément fini utilisant les fonctions
d’Hermite. Pour assurer la stabilité numérique du couplage, un terme de compressibilité artificielle est ajouté
dans les cellules en contact avec le corps déformable. Les détails de l’algorithme de couplage ainsi que la
définition de la compressibilité artificielle peuvent être retrouvés dans la thèse d’Olivier (2014). D’un autre
côté, les simulations menées en 3D ont été réalisées sur la version 2019.2 du logiciel commercial STAR
CCM+ de Siemens.
De plus, en raison du grand nombre de simulations requises et de la complexité de la physique en
jeu, il a été décidé d’utiliser la forme instationnaire des équations de Reynolds moyennées (URANS) avec
le modèle de turbulence 𝑘-𝜔 SST pour la résolution de l’écoulement.
1.2.1 Équations gouvernant le fluide
Les équations gouvernant le domaine fluide devant être résolues afin de simuler l’écoulement
autour des turbines sont les équations de Navier-Stokes. Il est ainsi question de l’équation de quantité de
mouvement se définissant comme:
𝜕𝐯
𝜕𝑡+ 𝐯 ∙ ∇𝐯 = −∇(
𝑝
𝜌𝑓) + 𝜈∇2𝐯, (1.13)
où 𝐯 et 𝑝 sont respectivement les champs de vitesse et de pression du fluide. De même que l’équation de
continuité définie comme:
∇ ∙ 𝐯 = 0. (1.14)
Tel que mentionné précédemment, la résolution de ces équations a été réalisée via une discrétisation du
domaine fluide avec la méthode des volumes finis. Il s’agit actuellement de la méthode la plus utilisée pour
la résolution de ce type de problématique. Également, la résolution en 2D et 3D de ces équations a été
réalisée en utilisant une approche découplée pour le calcul de la vitesse et de la pression avec l’algorithme
SIMPLE pour « Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equation » (Patankar & Spalding, 1972). Tel que
son nom l’indique, l’algorithme SIMPLE classique utilise une équation pour la correction de pression afin de
23
fermer le système permettant ainsi la résolution des équations de Navier-Stokes. C’est cette technique qui
est utilisé dans le logiciel StarCCM+ alors qu’une variante très similaire est utilisée dans OpenFOAM.
1.2.2 Équations gouvernant le solide
La modélisation du solide a été réalisée avec deux approches différentes. La première approche
est utilisée pour la résolution de la problématique 2D. Cette dernière est réalisée suivant la même
méthodologie que celle développée par (Olivier, 2014). Ce dernier a utilisé une méthode d’éléments finis
basée sur les polynômes d’Hermite pour la résolution de sections de plaques planes déformables. Étant
donné que la structure interne de la pale n’est pas déterminée à ce stade-ci, il a été convenu que la pale
considérée dans la présente analyse 2D possède une raideur constante dans le sens de la corde (𝐸𝐼′ =
𝑐𝑡𝑒). La résolution de ce problème revient donc à résoudre le même problème qu’une plaque plane
déformable. Cependant, étant donné que cette étude est réalisée dans un premier temps pour explorer
l’espace paramétrique du problème, cette approximation permet d’éliminer la dépendance à la structure
interne de la pale. De plus, il est envisageable qu’une rigidité uniforme soit effectivement obtenue lors de la
fabrication d’une vraie pale en utilisant une conception interne judicieuse. Allant dans ce sens, les équations
différentielles du déplacement de la pale (𝑑𝑥, 𝑑𝑦) dans l’espace x-y selon le référentiel de la Figure 16 sont
définies comme suit:
𝜌𝑠𝑒𝜕2𝑑𝑥
𝜕𝑡2=
𝜕
𝜕𝑥[𝑁′ (1 +
𝜕𝑑𝑥
𝜕𝑥)] +
𝜕
𝜕𝑥(𝑀′
𝜕2𝑑𝑦
𝜕𝑥2) +
𝜕
𝜕𝑥2(𝑀′
𝜕𝑑𝑦
𝜕𝑥) − 𝑝
𝜕𝑦
𝜕𝑥+ 𝜏 (1 +
𝜕𝑑𝑦
𝜕𝑥), (1.15)
𝜌𝑠𝑒𝜕2𝑑𝑦
𝜕𝑡2=
𝜕
𝜕𝑥(𝑁′
𝜕𝑑𝑦
𝜕𝑥) −
𝜕2
𝜕𝑥2[𝑀′ (1 +
𝜕𝑑𝑥
𝜕𝑥)] −
𝜕
𝜕𝑥(𝑀′
𝜕2𝑑𝑥
𝜕𝑥2) − 𝑝 (1 +
𝜕𝑥
𝜕𝑥) − 𝜏
𝜕𝑑𝑦
𝜕𝑥, (1.16)
où (𝑝) est la pression du fluide et (𝜏) est le cisaillement à la paroi de la pale déformée. On note que ces
équations sont écrites en suivant une approche lagrangienne rapportée sur la configuration initiale (non
déformée) de la structure. En utilisant la théorie des poutres d’Euler-Bernoulli, il est possible de fermer le
système en ajoutant deux équations additionnelles décrivant les forces normales internes (𝑁′) et le moment
interne (𝑀′).
𝑁′ = 𝐸𝑒�̃� = 𝐸𝑒 [𝜕𝑑𝑥
𝜕𝑥+1
2((𝜕𝑑𝑥
𝜕𝑥)2
+ (𝜕𝑑𝑦
𝜕𝑥)2
)], (1.17)
𝑀′ = 𝐸𝐼′�̃� = 𝐸𝐼′ [𝜕2𝑑𝑦
𝜕𝑥2+ (1 +
𝜕𝑑𝑥
𝜕𝑥) −
𝜕𝑑𝑦
𝜕𝑥
𝜕2𝑑𝑥
𝜕𝑥2], (1.18)
24
où �̃� est la déformation de Green-Lagrange et �̃� est la courbure modifiée de la poutre déformée (Epstein &
W. Murray, 1976). Les paramètres géométriques définis à la section 2.1 sont repris ici. En effet, 𝑒 est
l’épaisseur du profil de la pale (ici, l’épaisseur maximale du profil est utilisée), 𝐸 son module de Young et 𝐼′
son inertie de section. Tel que mentionné précédemment, le produit 𝐸𝐼′est considéré constant dans l’étude
2D.
La deuxième approche employée a trait au problème 3D. Étant donné que la mécanique des
solides étudie le déplacement d’un domaine solide sous l’action d’une force ou d’une contrainte, les lois
fondamentales qui régissent la mécanique des solides en 3D sont les mêmes lois qui décrivent la mécanique
des fluides, à savoir la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie. De plus,
pour un solide, il est plus naturel de représenter ces équations sous leur forme Lagrangienne. Ainsi, sous
cette forme, l’observateur suit le solide dans sa déformation dans l’espace et le temps. Il va de soi que, sous
cette approche, la masse est toujours conservée. En effet, la masse 𝑀 qui est contenue dans un volume
de contrôle matériel en déformation va par définition toujours demeurer la même que celle présente dans
le volume initialement non déformé :
𝑀 = ∫ 𝜌(𝑡)𝑑𝑉 =𝑉
∫ 𝜌𝑜𝑑𝑉 = 𝑐𝑡𝑒𝑉𝑜
(1.19)
Également, l’équation de déplacement et de déformation d’un corps solide est gouvernée par l’équation
d’équilibre de Cauchy. Cette dernière exprime la conservation de la quantité de mouvement d’un solide.
Dans une approche lagrangienne, les termes de convection disparaissent et la dérivée temporelle de la
vitesse est réduite à la dérivée partielle seconde du déplacement :
𝜌�̈� − ∇ ∙ 𝝈 − 𝒃 = 0, (1.20)
où u est le vecteur de déplacement du corps solide, le paramètre b est le vecteur de force sur le corps par
unité de volume et σ est le tenseur de contraintes symétrique (c’est-à-dire que 𝝈 = 𝝈𝑇). L’équation (1.20)
est sujette à des conditions aux limites de Dirichlet et de Neumann qui se traduisent respectivement comme
des conditions sur les déplacements (𝒖 = �̅�) et des conditions sur les chargements (𝜏 = 𝝈 ∙ 𝒏 = �̅� ).
Une formulation alternative du problème peut être exprimée sous la forme du principe du travail virtuel.
Cette approche est particulièrement adaptée à la discrétisation par la méthode des éléments finis. C’est
notamment cette approche qui est employée dans le logiciel STAR CCM+ (2018) pour la résolution du
25
domaine solide. Pour obtenir la dérivée selon le principe du travail virtuel, l’équation (1.20) est multipliée par
une fonction test (𝛿𝒖) et intégrée sur le domaine.
𝛿𝛱 = ∫ 𝛿𝒖𝑉
∙ (𝜌�̈� − ∇ ∙ 𝝈 − 𝒃) 𝑑𝑉 = 0. (1.21)
Cette formulation utilise comme fonction test le déplacement virtuel (𝛿𝒖), qui doit satisfaire les conditions
aux limites de type Dirichlet.
Comme pour les simulations 2D, les simulations 3D considèrent la non-linéarité géométrique
produite par les déformations. Cela permet ainsi de modéliser les déplacements et les rotations importants.
Pour les phénomènes géométriquement linéaires (petits déplacements) et les matériaux linéaires, les
équations d'équilibre sont linéaires et peuvent être satisfaites dans la configuration non déformée. Pour les
phénomènes géométriquement non-linéaire (grands déplacements), les équations d'équilibre doivent être
transformées pour être exprimées dans la configuration non déformée, ce qui induit la non-linéarité dite
géométrique. Pour résoudre ces équations, STAR-CCM+ met à jour la matrice de rigidité à l'aide d’une
méthode d'itération de Newton. À chaque itération, le solveur direct résout le système d'équations
linéarisées. Notons que, dans cette étude, la loi de comportement d’un solide élastique linéaire est utilisée.
La non-linéarité provient donc exclusivement des grands déplacements.
1.2.3 Modélisation de la turbulence
Bien qu’il existe plusieurs modèles de turbulence les plus communs sont le modèle à une équation
de transport de Spalart-Allmaras SA (Spalart & Allmaras, 1994), le modèle à deux équations 𝑘-휀 (Chien,
1982) ainsi que le modèle 𝑘-𝜔 (Wilcox (1988) et Wilcox (2008)) ou sa variante la plus connue 𝑘-𝜔 SST
(Menter, 1994). Le modèle utilisé dans le présent mémoire est le modèle 𝑘-𝜔 SST qui est en fait une
combinaison du modèle 𝑘-휀 et du modèle 𝑘-𝜔. En effet, ce dernier reproduit le comportement du modèle
𝑘-𝜔 près des parois alors que la résolution du champ loin de la paroi est plutôt attributaire au comportement
du modèle 𝑘-휀. Pour ce qui est de la résolution des équations jusqu’à la paroi, deux approches sont
envisageables. La première méthode la plus commune consiste à utiliser une loi de paroi permettant ainsi
de diminuer le nombre de cellules nécessaire à la résolution des couches limites. Cette approche se veut
basée sur l’existence d’une région logarithmique dans le profil de vitesse de la couche limite turbulente. Le
modèle 𝑘-휀 utilise une loi de paroi pour résoudre la couche limite alors que les modèles SA et 𝑘-𝜔 résolvent
les équations URANS jusqu’à la paroi, ce qui veut dire que le maillage doit être résolu jusqu’à la paroi pour
l’utilisation adéquate des modèles SA et 𝑘-𝜔. Le critère communément admis pour l’évaluation du maillage
près de la paroi est le critère de qualité 𝑦+ (Gersten, 2017) défini comme :
26
𝑦+ = Δ𝑠√𝜏𝑚/𝜌
𝜈 , (1.22)
où Δ𝑠 est l’épaisseur de la première cellule à la paroi et 𝜏𝑚 le cisaillement à la paroi. Les paramètres 𝜌 et
𝜈 sont quant à eux les propriétés du fluide considéré. Pour avoir un maillage résolu en URANS jusqu’à la
paroi il faut habituellement avoir 𝑦+ ≈ 1. Lorsqu’une loi de paroi est employée, 𝑦+ doit alors être supérieur
à 30 permettant de se situer dans la région logarithmique de la couche limite turbulente (Ferziger & Perić,
2002).
Dans la plupart des cas, lorsque la couche limite demeure attachée à la paroi l’utilisation ou non
d’une loi de paroi donne essentiellement les mêmes résultats (voir la Figure 19 étude en 2D). Cependant,
lorsque la couche limite est détachée le modèle utilisé avec une loi de paroi ne permet pas de prédire le
décollement de la couche limite au même endroit que lorsqu’aucune loi de paroi est utilisée. Les figures
suivantes montrent la différence sur le coefficient de puissance instantané obtenue pour une simulation
réalisée avec le modèle 𝑘-𝜔 SST avec et sans loi de paroi à un régime d’opération qui produit des couches
limites détachées (𝜆 = 2, Figure 18) et un régime d’opération avec couches limites attachées (𝜆 = 3,
Figure 19). À noter que les simulations sans loi de paroi utilisent un maillage résolu jusqu’à la paroi.
Figure 18: Comparaison du coefficient de puissance en fonction de la position angulaire de la turbine pour une simulation réalisée avec et sans loi de paroi à 𝜆 = 2.
27
Figure 19: Comparaison du coefficient de puissance en fonction de la position angulaire de la turbine pour une simulation réalisée avec et sans loi de paroi à 𝜆 = 3.
L’impact de l’utilisation ou non d’une loi de paroi sur la solution apparaît bien sur la Figure 18. En effet, à
cette vitesse d’opération la pale est sujette à de grandes variations d’angles d’attaque compris entre 30° et
−30°, donc à des gradients de pression adverse qui font décoller la couche limite. Il est ainsi possible d’en
déduire que le point de décollement n’est pas le même pour les deux modèles. Cependant, même avec un
modèle qui n’utilise pas de loi de paroi, il est souvent très difficile d’obtenir le décollement de la couche limite
à la même position que ce que l’on observe expérimentalement (Simao Ferreira, et al. (2007); Castelli, et
al. (2011)).
Comme la présente étude est exigeante en termes de calcul, le modèle employé est le modèle 𝑘-
𝜔 SST. Le but est ainsi d’utiliser un modèle qui se veut le moins demandant possible en termes de calcul.
Également, le fait d’utiliser un seul modèle permet de ne pas introduire d’erreurs qui seraient liées à
l’utilisation de différents modèles de turbulence. Cependant, une étude a tout de même été réalisée sur
l’impact des différents modèles lorsqu’ils sont appliqués à une pale flexible. Encore une fois, l’impact des
différents modèles est plus marqué lorsqu’il y a séparation de la couche limite. Pour cette raison, l’étude
comparative des modèles de turbulences est donc menée à un faible 𝜆. Premièrement, les paramètres
utilisés pour définir les quantités typiques des différents modèles se basent sur les recommandations de
Spalart et Rumsey (2007). Le niveau de turbulence utilisé pour la condition d’entrée dans les simulations
28
correspond à une intensité turbulente (𝐼𝑛𝑡) de 1 %. La détermination de l’énergie cinétique turbulente (𝑘)
et du taux de dissipation d'énergie cinétique (휀) a été obtenue comme suit :
𝑘 =3
2(𝑈∞𝐼𝑛𝑡)
2, (1.23)
휀 =𝐶𝜇3/4
𝑘3/2
𝑐 , (1.24)
où 𝐶𝜇 est une constante définie comme étant égale à 0.09 (OpenFOAM, 2019). De même que le taux de
dissipation spécifique de la turbulence (𝜔) définit comme :
𝜔 =√𝑘
𝐶𝜇𝑐. (1.25)
Pour le modèle de SA, la quantité de viscosité tourbillonnaire a été posée telle que 𝜈𝑡/𝜈 = 3 et 𝜈/𝜈 =
6.67. La Figure 20 illustre le coefficient de puissance en fonction de la position dans le cycle pour les
différents modèles de turbulence. À noter que les résultats présentés sont indépendants du maillage utilisé.
Figure 20: Coefficient de puissance en fonction de la position de la pale dans le cycle pour les différents modèles de turbulence appliqués à la résolution d’une aile flexible à 𝜆 = 2, Σ = 10 et 𝛿∗ = 15.
29
Il est alors possible de constater que les différentes courbes sont superposées dans les zones attachées
correspondant à des angles 𝜃 de [300 à 360] et [0 à 90]. Le même constat peut être fait en regardant le
champ de vorticité sur la figure suivante. Les différences majeures sont présentes dans les zones où
l’écoulement est détaché. Il est cependant possible d’observer des comportements très similaires pour les
modèles 𝑘 − 𝜔 et SA. En effet, dans ces deux modèles, la pale tend à se déformer lorsque le tourbillon
éjecté passe près de son bord de fuite à 𝜃 = 200. Comme il sera expliqué dans le chapitre 2, un des
mécanismes importants à faible 𝜆 dépend de l’interaction que la pale a avec ce tourbillon. Il est donc
intéressant de noter que la présence de cette interaction ne semble pas être un artifice induit par le modèle
de turbulence utilisé, mais à un phénomène physique.
Figure 21: Comparaison des champs de vorticité pour différents modèles de turbulence et ce à différente position dans le cycle.
Les simulations en 3D utilisent elles aussi le modèle de turbulence 𝑘-𝜔 SST. Ce choix est basé sur les
constats réalisés en 2D en accord avec les études retrouvées dans la littérature (Villeneuve, et al., 2019).
30
1.2.4 Maillage dynamique
Pour assurer la prise en charge de la déformation du maillage vis-à-vis la déformation de la pale,
deux différentes méthodes ont été employées pour la résolution du domaine 2D et 3D. Pour débuter, le
maillage 2D utilise une interpolation pondérée par l’inverse de la distance (Inverse Distance Weighted, IDW).
Cette dernière est basée sur l'hypothèse que les déplacements des nœuds qui sont proches les uns des
autres sont plus semblables que ceux qui sont plus éloignés (Olivier, (2014); Witteveen & Bijl, (2009)). Pour
prédire une valeur pour tout emplacement non mesuré, l’IDW utilise les valeurs mesurées dans le cas
présent, il s’agit des nœuds aux parois déformées de la pale. Ces dernières ont donc plus d'influence sur la
valeur prédite que ceux plus éloignés. Pour ce faire, l’IDW suppose que chaque point mesuré a une
influence locale qui diminue avec l’inverse de la distance. Ainsi, la nouvelle position des nœuds s’obtient
comme suit :
𝑑′(𝑥𝑖) =∑ 𝑑𝑗𝜙𝑁𝑗 = 1 (𝑥𝑖𝑗)
∑ 𝜙𝑁𝑗 = 1 (𝑥𝑖𝑗)
, (1.26)
où
𝜙(𝑥𝑖𝑗) =1
‖𝑥𝑖 − 𝑥𝑗‖𝑝. (1.27)
La méthode donne donc des poids plus importants aux points les plus proches de l'emplacement de
prédiction. Ces poids diminuent par la suite en fonction de la distance. Ces derniers sont par la suite élevés
à une puissance 𝑝 donnée. Par conséquent, à mesure que la distance augmente, les poids diminuent
rapidement. Le taux auquel les poids diminuent dépend de la valeur de la puissance 𝑝 utilisée. Par exemple,
si la puissance est nulle, il n'y a pas de diminution avec la distance, et comme chaque poids est le même,
la prédiction sera la moyenne de toutes les valeurs de données dans le domaine considéré. Lorsque la
puissance augmente, les poids des points éloignés diminuent rapidement. Notons que le choix de la
puissance 𝑝 est empirique et dépend du maillage. Dans le présent mémoire, une puissance 𝑝 de 3.5 a été
utilisée basé sur la littérature (OpenFOAM, 2019).
Pour ce qui est du maillage 3D, la méthode de déformation du maillage employée est la méthode
d’interpolation par fonctions à base radiale (Radial Basis Functions, RBF). Cette méthode génère un champ
d’interpolation via un système d’équations (STAR-CCM+, 2018). Comme les nœuds aux surfaces restent
ainsi solidaires à ces dernières, la nouvelle position des nœuds avoisinants est donc déterminée à partir de
la position 𝒅𝑖′ connue de ceux-ci pour chaque nœud 𝑖 exprimé comme :
31
𝒅𝑖′ =∑ 𝑓𝑏,𝑗
𝑁
𝑗 = 1(𝑟𝑖𝑗)𝜿𝑗 +𝝓, (1.28)
où 𝑓𝑏,𝑗(𝑟𝑖𝑗) est la fonction à base radiale. Cette dernière se définit comme :
𝑓𝑏,𝑗(𝑟𝑖𝑗) = √𝑟𝑖𝑗2 + 𝑐𝑗
2. (1.29)
Le paramètre 𝑟𝑖𝑗 est la grandeur de la distance entre deux nœuds exprimés comme :
𝑟𝑖𝑗 = |𝑿𝑖 − 𝑿𝑗|. (1.30)
Dans les équations (1.28) à (1.30), le paramètre 𝜿𝑗 est le coefficient d’expansion, 𝑿𝑖 est la position du
nœud 𝑖, N est le nombre de nœuds de contrôle et 𝑐𝑗 est la contrainte de base définie comme étant 0 dans
le présent mémoire. Le vecteur de contrainte 𝝓 est utilisé pour satisfaire une contrainte additionnelle qui
est :
∑ 𝜿𝑗𝑁
𝑗 = 1= 0. (1.31)
Cette contrainte additionnelle est utilisée pour contraindre l’expansion lorsque 𝑿 est très grand. Ce qui fait
en sorte que le système d’équations (1.28) et (1.31) peut être résolu pour obtenir la coordonnée cartésienne
de chacun des 𝜿𝑗 et des composantes des vecteurs 𝝓. Ceci mène donc à l’obtention du champ
d’interpolation des positions désirées :
𝒅′(𝑿) =∑ 𝑓𝑏,𝑗(𝑟)𝜿𝑗 +𝝓,𝑁
𝑗=1 (1.32)
où 𝑓𝑏,𝑗(𝑟) est appliqué à chaque nœud du maillage déformable. Cette équation peut alors être utilisée pour
déplacer les nœuds du maillage en calculant de déplacement 𝒅′. De plus, comme la résolution de ce
système d’équations est de l’ordre 𝑂(𝑁2) opérations l’utilisation d’un filtre linéaire permettant d’accélérer
la méthode jusqu’à 𝑂(𝑁 𝑙𝑜𝑔(𝑁)).
32
Il a également été observé en 3D, que le déplacement combiné de la rotation rigide et de la
déformation du maillage engendre une erreur résiduelle sur la structure du maillage initial qui s’amplifie au
gré des itérations. La Figure 22 illustre l’impact qu’engendre cette erreur sur le maillage à l’interface de la
zone de maillage en rotation et du domaine.
Figure 22: Maillage obtenu après 55 000 itérations en utilisant l’emplacement des nœuds précédents.
La correction de cette erreur est possible, mais engendre une augmentation du temps de calcul. En effet,
comme l’algorithme de déformation du maillage utilise la solution du pas de temps précédent comme
solution de départ, la persistance de cette erreur est alors inévitable. La solution est donc d’utiliser le
maillage initial tourné en rotation rigide, mais non déformé comme point de départ de la solution. Comme
l’illustre la Figure 23, cette approche règle le problème, mais augmente considérablement le temps de calcul
de la déformation du maillage. C’est tout de même cette approche qui a été employée pour la résolution
des simulations en 3D.
Figure 23: Maillage obtenu après 55 000 itérations en utilisant l'emplacement des nœuds initiaux.
33
1.2.5 Condition initiale
Étant donné la sensibilité du système d’équations fluide-structure, la résolution de ce dernier est très
capricieuse en ce qui a trait à la condition initiale imposée. En effet, pour les cas d’interaction forte (Σ > 1)
ainsi que de moyenne à haute flexibilité (𝛿∗ > 1 ), l’utilisation d’un champ de vitesse uniforme comme
condition initiale est alors impossible. La solution se met alors à osciller jusqu’à divergence. L’origine de ces
oscillations provient de l’accélération soudaine du solide qui est par la suite combinée à la rétroaction du
champ de pression du fluide. Lorsque les accélérations sont trop importantes, la divergence est alors
presque inévitable dans la plupart des cas. La technique alors employée est d’utiliser le champ de vitesse
provenant d’une solution de pale rigide et de s’en servir comme condition initiale pour la pale flexible. En
procédant ainsi, la pale utilise le champ de vitesse et d’accélération provenant de la pale rigide. Elle ne se
trouve donc pas accélérée de manière trop importante. De plus, procéder ainsi permet de sauver du temps
de calcul dans les simulations 2D. En effet, comme il est possible de le constater sur la Figure 24, il faut en
moyenne 70 cycles pour obtenir une convergence sur l’efficacité (𝜂) de la turbine. Comme la résolution
s’effectue beaucoup plus rapidement pour une pale rigide que pour une pale flexible, il est alors avantageux
d’utiliser une pale rigide dans un premier temps pour obtenir un champ de vitesse convergé.
Figure 24: Efficacité en fonction du nombre de cycles pour une pale rigide à 𝜆 = 4.25
Par la suite, la même procédure est employée avec les pales flexibles. Comme le montre la Figure
25, il faut alors moins d’itération avant d’obtenir une solution asymptotiquement stable. Cette stratégie est
34
avantageuse à deux niveaux. D’abord, puisqu’une simulation flexible demande en moyenne quinze à vingt
fois plus de temps de calcul qu’une simulation rigide, démarrer la simulation avec une pale rigide permet de
réduire le temps de calcul de chaque simulation. De plus, une même simulation rigide peut servir de champ
initial pour plus d’une simulation de pale flexible.
Figure 25: Efficacité en fonction du nombre de cycles pour une pale à Σ = 5, 𝛿∗ = 15 et 𝜆 = 4.25.
D’un autre côté, une approche différente est employée pour la résolution des simulations en 3D.
Étant donné que les itérations prennent plus de temps en 3D, il est alors impensable de faire 100 cycles de
convergence. Il est toutefois connu (Villeneuve, et al., 2020) que les simulations 3D atteignent un régime
permanent beaucoup plus rapidement que les simulations 2D. Ainsi, une étude de convergence illustrée à
la Figure 26 a permis de déterminer qu’il faut 9 cycles avant d’obtenir une solution proche de la convergence.
C’est donc ce seuil qui a été utilisé dans la présente étude. Également, comme le logiciel employé pour les
simulations 3D utilise un stabilisateur permettant de supporter une condition initiale impulsive, aucun champ
rigide n’a donc été requis pour initialiser les simulations.
35
Figure 26: Efficacité en fonction du nombre de cycles pour une pale à Σ = 10, 𝛿∗ = 15 et 𝜆 = 3.
36
1.3 Couplage fluide-structure
Il existe deux approches communément rencontrées lorsqu’il est question d’interaction fluide-
structure. La première est une approche unidirectionnelle. C’est-à-dire que seules les forces du fluide sont
transférées vers la région solide à travers l'interface fluide-structure. Cependant, les simulations couplées
unidirectionnelles ne conviennent qu'aux applications où les effets des déplacements de structure sur le
fluide sont négligeables. Lorsque ces effets ne sont pas négligeables, comme c’est le cas dans le présent
mémoire, il faut plutôt procéder avec une approche bidirectionnelle. Dans cette approche, les régions fluides
et solides échangent des forces fluides et des déplacements solides à travers l'interface fluide-structure. La
résolution de l’approche bidirectionnelle peut quant à elle être réalisée de deux manières : en utilisant une
approche couplée ou partitionnée. Du point de vue de la stabilité numérique, il serait souhaitable d’utiliser
une approche couplée pour la résolution d’un système fluide-structure. Cependant, en raison de l’utilisation
d’un solveur partitionné dans le domaine fluide (méthode de projection de type SIMPLE), l’approche
employée pour le couplage n’a pas le choix d’être partitionnée également. La résolution du domaine fluide
s’effectue donc en alternance avec le domaine solide jusqu’à la convergence des deux domaines. Il a
cependant été démontré que cette technique de résolution est habituellement moins stable qu’une approche
complètement couplée en raison du caractère incompressible du fluide (Causin, et al. (2005) et Olivier,
(2014)). Diverses techniques existent, permettant de rendre le calcul stable. La plus populaire est
assurément d’utiliser un facteur de relaxation dans la procédure itérative. Cependant, procéder ainsi
augmente considérablement le nombre d’itérations requises avant l’obtention de la convergence. C’est
pourtant cette technique qui a été utilisée pour les calculs en 3D sur le logiciel Star CCM+. De plus, pour
augmenter la stabilité de la solution le solveur utilise une valeur de masse ajoutée comme préconditionneur
de l'algorithme implicite. Le solveur ajoute une correction de force qui est proportionnelle au produit du fluide
déplacé par unité de surface et au changement de l'accélération de la structure. Ce préconditionneur est
particulièrement important dans les applications d’interaction forte.
Pour les calculs en 2D, une autre approche a plutôt été envisagée. En effet, il est possible d’utiliser
un terme de compressibilité artificiel dans les cellules fluides adjacentes au corps déformable. Bien que
cette approche ait été employée par divers auteurs (Degroote, et al. (2010c) et Järvinen, et al. (2008)),
l’approche utilisée dans ce mémoire se base sur la librairie développée par Olivier (2014) sur OpenFOAM
lors de ses travaux sur les ailes oscillantes flexibles. Ce dernier a démontré que l’utilisation de cette méthode
est particulièrement efficace pour des problèmes de fluide-structure partitionné de plaque plane en condition
de propulsion ainsi que d’extraction d’énergie (Jeanmonod & Olivier, 2017). En effet, elle agit sur le
problème de stabilité directement à sa source soit dans la contrainte d’incompressibilité du fluide. Ainsi, la
méthode de compressibilité artificielle supprime l'instabilité de masse ajoutée en supprimant le caractère
elliptique de l'équation de la pression dans la marche itérative. Ce terme est incorporé au début du
37
processus itératif et s’estompe progressivement au fur et à mesure que les itérations convergent et que le
débit reste incompressible.
38
1.4 Validations et limites du modèle
1.4.1 Validation et adaptation de l’algorithme D à un profil NACA en rotation
Comme certaines modifications de l’algorithme développé par Olivier (2014) ont été nécessaires
pour permettre de passer d’un profil de plaque mince à un profil NACA 0015, leur validation est alors
essentielle pour s’assurer des bons résultats obtenus. Étant donné que le solveur solide employé en 2D est
un solveur 1D, il est donc requis que les forces aux parois fluides soient reportées sur une ligne centrale.
Dans ce cas-ci, cette dernière coïncide donc avec la corde de la pale. Ainsi, considérant que la surface du
profil NACA est plus importante en raison de sa courbure, les forces ainsi reportées sur la corde doivent
donc prendre en compte ce correctif. La validation de cet ajout a été réalisée à la Figure 27, en comparant
les forces au point d’attache solide (𝑥𝑝) aux forces fluides agissant sur le corps. Ainsi, ces deux dernières
devraient donc être égales. Pour ce faire, une simulation en régime instationnaire a été réalisée à un 𝑅𝑒 de
1 × 107.
Figure 27: Comparaison des forces de pression et de frottement aux forces de réactions solide pour une pale rigide instationnaire.
39
1.4.2 Validation de la méthodologie de couplage D avec l’utilisation du
problème de Turek et Hron
Étant donné que la validation du couplage fluide-structure employée en 2D a préalablement été
réalisée par (Olivier, 2014), la même approche a été reproduite pour confirmer la validité des résultats
obtenus en 3D. Ainsi, le problème de Turek et Hron a été utilisé pour s’assurer que la méthodologie de
couplage fluide-structure retourne les bons résultats. Ce problème dont les résultats ont été largement
validés par la communauté scientifique a été émis pour la première fois par Turek & Hron (2006) et les
résultats publiés (Turek & Hron, 2010) servent maintenant de référence pour la validation d’algorithme de
couplage fluide-structure.
Ce problème fait intervenir un cylindre placé dans un écoulement incompressible. Une plaque
flexible est ajoutée dans son sillage. Cette plaque sera par la suite amenée à osciller en interaction avec
les tourbillons de Von Kármán éjectés du cylindre. La figure suivante présente la géométrie du problème
considéré.
Figure 28: Schématisation du problème de Turek et Hron (pas à l'échelle).
Dans ce problème, l’origine est placée dans le coin inférieur gauche et le centre du cylindre est
placé à la coordonnée (2𝐷, 2𝐷). Les paramètres qui régissent le problème sont les suivants :
𝐿
𝐷= 25,
𝐻
𝐷= 4.1,
𝑙
𝐷= 3.5,
ℎ
𝐷= 0.2, (1.33)
Les simulations du problème sont réalisées en 3D avec une seule cellule d’épaisseur. Les plans du domaine
en z utilisent une condition de symétrie pour reproduire les conditions 2D du problème de référence. De
plus, toutes les surfaces du domaine possèdent une condition de non-glissement à l’exception des plans de
symétrie, de l’entrée et de la sortie du domaine. Pour la sortie du domaine, une condition de pression
moyenne est imposée comme étant �̅�𝑠𝑜𝑟𝑡𝑖𝑒 = 0. Enfin, la condition imposée à l’entrée est un profil de
vitesse définit comme :
40
𝑉𝑒𝑛𝑡𝑟é𝑒
�̅�= 1.5
𝑦(𝐻 − 𝑦)
(𝐻2)2 𝑓 (
𝑡�̅�
𝐷), (1.34)
où �̅� est la vitesse moyenne de l’écoulement et la fonction 𝑓 (𝑡�̅�
𝐷) est donné par :
𝑓 (𝑡�̅�
𝐷) =
{
1
2−cos (
𝜋𝑡2)
2
𝑡�̅�
𝐷< 𝑇∗
1 𝑡�̅�
𝐷≥ 𝑇∗
. (1.35)
Ce problème de validation suggère trois régimes d’opérations possibles définies comme FSI1, FSI2 et FSI3.
Dans la présente validation, le régime d’opération FSI1 n’a pas été considéré puisqu’il atteint un état
stationnaire, ce qui n’est donc pas intéressant dans le présent contexte d’étude. Le tableau suivant définit
les paramètres utilisés dans chacun des deux régimes d’opération.
Tableau 1: Paramètres fluide et solide du problème de validation de Turek et Hron.
FSI2 FSI3
𝜌∗ =𝜌𝑠𝜌𝑓
10 1
𝐸∗ =𝐸
𝜌𝑓�̅�2
1.4 × 103 1.4 × 103
𝑅𝑒 =�̅�𝐷
𝜈 100 200
𝑇∗ 20 40
Coefficient de poisson 0.4 0.4
Le maillage du domaine fluide et solide utilisé est présenté à la Figure 29. Ce dernier est composé d’un
maillage structuré dans son ensemble à l’exception du bout de la plaque. Le maillage présenté est un
maillage de résolution moyenne afin de bien visualiser les éléments de maillage. Le maillage utilisé pour les
calculs est un maillage quatre fois plus fin que celui de la Figure 29.
41
Figure 29: Section de maillage près du corps utilisé pour le calcul de résolution moyenne.
Enfin, les résultats des simulations présentent une très bonne correspondance avec ceux obtenus
par Turek & Hron (2006). En effet, La Figure 30 (a) et (b) présente la comparaison réalisée pour les
coefficients de force de la simulation FSI2. La longueur de référence utilisée pour le calcul des coefficients
est celle de la combinaison de la plaque et du cylindre (𝐷 + 𝑙). La Figure 30 (c) illustre quant à elle le
déplacement du bout de la plaque.
42
Figure 30: Coefficient de force (a) et (b) et déplacement du bout de la plaque (c) pour le cas FSI2. Les données de référence ont été prises d’une base de données libre d’accès (FEATFLOW/FEAST team, 2011).
Ce scénario fait intervenir des déplacements de grande amplitude comme le témoigne la séquence d’images
de la Figure 31.
43
Figure 31: Séquence de vorticité pour FSI2.
44
La même comparaison est réalisée pour le cas FSI3 et présentée à la Figure 32. Ce dernier présente des
déformations moins importantes que le cas précédent comme en témoigne la séquence d’images de la
Figure 33. Encore une fois, il est possible de noter la ressemblance entre la simulation et les données de
référence.
Figure 32: Coefficient de force (a) et (b) et déplacement du bout de la plaque (c) pour le cas FSI3. Les données de référence ont été prise d’une base de données libre d’accès (FEATFLOW/FEAST team, 2011) .
45
Figure 33: Séquence de vorticité pour FSI3.
46
1.4.3 Limitation en densité et en flexibilité
Lorsqu’il est question d’une étude paramétrique, il est bien entendu question de définir des limites
à cette étude. Dans ce mémoire, la limite de l’étude réalisée a été bornée par deux critères. Le premier, le
plus limitant, concerne la déformation du maillage. Il est connu que les simulations à grande déformation ou
bien à grande interaction fluide-solide comportaient bien souvent leur lot de problèmes de déformation du
maillage. En effet, le problème de déformation vient de la rotation des sections produite par le solveur 1D
qui peut engendrer la superposition des nœuds du maillage aux parois. Ainsi avec la métrique employée, il
était difficile de dépasser un 𝛿∗ de 100 ou bien un Σ de 20. Lorsque ces limites sont dépassées, le maillage
fluide aux parois déformables se trouvait trop déformé comparativement à sa forme originale tel qu’illustré
à la Figure 34, ce qui conduit ultimement à la divergence de l’algorithme.
Figure 34: Exemple de problème de maillage à la suite de la rotation 1D des sections de maillage.
Une autre limitation qui a également été prise en considération est l’aspect conception ou de
réalisme physique d’une turbine avec des pales flexibles. Comme l’étude est menée en paramètre sans
dimension, la validation de la plage paramétrique a été réalisée en se basant sur une turbine opérant dans
de vraies conditions. Ainsi, il est possible de constater les implications associées à la conception d’une pale
possédant un 𝛿∗ de 15 et un Σ de 10 par exemple. Pour ce faire, l’hydrolienne de Dag Herman (2015) a été
utilisée comme référence. Dans cet exemple, le fluide considéré est de l’eau et les conditions d’opération
ainsi que les dimensions de la turbine sont respectivement :
𝑅𝑒 = 107, 𝜆 = 3 𝑒𝑡 𝑅 = 3.5 𝑚
La Figure 35 illustre l’espace paramétrique couvert dans ce mémoire en y ajoutant les matériaux qui
composent ses limites. On remarque ainsi que pour obtenir une certaine flexibilité, des matériaux de type
polymères devraient être employés et que ces derniers se limitent à un 𝛿∗ de 20. Au-delà de ce point, il
47
faudrait plutôt jouer sur la structure interne de la pale pour obtenir les caractéristiques désirées. Pour ce qui
est de l’interaction fluide-solide, des matériaux légers comme les polymères vont engendrer des interactions
très fortes. Il serait alors possible de les combiner avec des métaux pour obtenir un composite possédant
un Σ plus faible.
Figure 35: Représentation de l'espace paramétrique avec différents matériaux potentiellement employable dans la fabrication d'une pale flexible.
Le graphique précédent agit à titre d’exemple simplement pour faire comprendre que la plage de fabrication
possible d’une pale flexible devrait être de l’ordre de grandeur des données présentées, mais qu’ils sont
sujets à variation d’une plage d’opération à l’autre.
1.4.4 Limitation des fréquences
Il est communément admis qu’une structure excitée à sa fréquence de résonnance va voir ses
déformations s’amplifier de cycle en cycle. Cependant, comme l’ont démontré Jeanmonod et Olivier (2017),
pour une aille oscillante, lorsqu’il est question d’extraction d’énergie, une machine opérant à un tel point
peut voir ses performances diminuer. Il n’en reste pas moins que ce point demeure intéressant. Pour avoir
une idée des paramètres requis pour opérer à la fréquence naturelle, il faut considérer l’effet de la masse
ajoutée par le déplacement du fluide. Comme il n’existe pas de solution analytique pour un profil de pale au
même titre que pour un cylindre oscillant, des simulations ont été réalisées permettant de déterminer la
fréquence naturelle de cette dernière dans diverses compositions.
48
Figure 36: Rapport entre la fréquence naturelle et la fréquence de rotation pour différentes interactions fluide-solides et flexibilités pour une section constante.
La Figure 36 présente le ratio de la fréquence naturelle de la pale sur la fréquence de rotation de la turbine.
L’effet de la masse ajoutée est nettement plus important pour le cas d’interaction forte soit Σ = 10, ce qui
est le comportement attendu en raison de la densité du fluide plus importante vis-à-vis la densité du solide.
Pour avoir une configuration qui permettrait d’avoir une fréquence naturelle égale à la fréquence de rotation
en interaction forte, il faudrait un matériau qui permet d’aller jusqu’à un 𝛿∗ > 103. Tel que discuté
précédemment, l’application pratique d’une telle configuration est peu réaliste du point de vue fabrication,
car il faudrait alors utiliser des matériaux tellement flexibles qu’il ne pourrait pas produire de déformation
intéressante pour l’extraction d’énergie. Pour cette raison, l’étude se limitera à une plage de 𝛿∗ < 102.
L’opération à la fréquence naturelle ne sera donc pas étudiée davantage.
49
1.5 Conclusion
Le Tableau 2 fait le récapitulatif des paramètres numériques utilisés pour les simulations 2D et 3D.
Tableau 2: Liste des différents paramètres utilisés en 2D et en 3D
Paramètre Valeur
2D 3D
Logiciel utilisé pour le domaine
fluide OpenFOAM (Volumes finis) STAR CCM+ (Volumes finis)
Logiciel utilisé pour le domaine
solide
Algorithme maison (Éléments
finis) STAR CCM+ (Éléments finis)
Forme des équations de Navier-
Stokes
Moyenne de Reynolds
instationnaire (URANS)
Moyenne de Reynolds
instationnaire (URANS)
Modèle de turbulence 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇 𝑘 − 𝜔 𝑆𝑆𝑇
Algorithme de résolution SIMPLE SIMPLE
Intensité turbulente à l’entrée du
domaine 1% 1%
Algorithme de déformation du
maillage
Inverse Distance Weighted
(IDW) Radial Basis Functions (RBF)
𝑦+ 30+ 45+
Type d’interface de maillage Non-conforme Non-conforme
Nombre de pas de temps par
cycle 1000 1000
Critère de convergence sur le
déplacement 1e-9 1e-8
Critère de convergence sur la
vitesse 5e-7 1e-5
Corde de la pale 𝑐 = 1 𝑐 = 1
50
Vitesse de rotation Variable Variable
Blocage 1.3% 0.17%
Envergure ∞ 𝑏/𝑐 = 7.5
Rayon de la zone de rotation 6.65c 6c
51
Chapitre 2 Étude 2D d’une turbine à axe verticale
munie de pale avec un bord de fuite flexible
2.1 Résumé
Dans un premier temps, les résultats de l’analyse en 2D ont mené à la rédaction d’un article soumis
au « Journal of Fluids and Structures » de l’éditeur Elsevier. Cet article présente une étude paramétrique
des turbines à axe vertical (VAT) équipées de pales flexibles dans le sens de la corde. Tel que décrit dans
le chapitre 1, l’étude est réalisée avec des simulations numériques basées sur un code d'interaction fluide-
structure partitionné maison, implémenté au sein du logiciel OpenFOAM. Les simulations 2D sont effectuées
à un nombre de Reynolds élevé de 107, représentatif des applications hydro-cinétiques. Les résultats
présentés font intervenir une turbine équipée d’une seule pale flexible utilisant un profil NACA 0015.
L’objectif de l’utilisation de pales flexibles est de profiter de l’évolution périodique des conditions
hydrodynamiques autour des pales et d’évaluer les possibilités d’augmenter l’efficacité de la turbine en
ayant recourt à des déformations passives. En effet, les pales expérimentent des variations apparentes de
vitesse et d’angle d’attaque durant un cycle. Par conséquent, il est possible de choisir judicieusement les
propriétés structurelles de la pale pour bénéficier des déformations induites par les forces de pression de
manière à améliorer passivement sa forme. Les effets de l’interaction fluide-structure liés à la flexibilité et à
l'inertie de la pale ont été étudiés et les mécanismes qui permettent l'amélioration de l'efficacité sont
présentés. Il est notamment démontré que la flexibilité introduit un mécanisme permettant d’atténuer les
effets néfastes liés au décrochage aérodynamique et augmente l’efficacité de la turbine à basse vitesse de
rotation. La flexibilité réduit également la traînée de la pale dans la section aval du cycle lorsque la turbine
fonctionne à des vitesses de rotation élevées, ce qui contribue à l'amélioration de l'efficacité à ces vitesses
d’opération. En contrepartie, des flexibilités modérées entrainent une légère diminution de l’efficacité de la
turbine en son point de meilleur rendement. Les résultats globaux montrent cependant que la flexibilité de
la pale tend à étendre sa plage de bonne efficacité, ce qui offrent des avantages intéressants lorsque la
turbine fonctionne dans des conditions de débit changeantes.
52
2.2 Performances of vertical axis hydrokinetic turbines with
chordwise-flexible blades
Pierre-Olivier Descoteaux and Mathieu Olivier
2.2.1 Abstract
This paper presents a parametric study of Vertical-Axis Turbines (VAT) equipped with chordwise-
flexible blades. The study is carried out with numerical simulations based on a partitioned Fluid-Structure
Interaction (FSI) code implemented within OpenFOAM. The 2D simulations are carried out at a Reynolds
number of 107 based on the turbine diameter, which is representative of hydrokinetic applications. Results
involving a single-blade rotor with a flexible NACA 0015 profile are presented. The objective in using
chordwise-flexible blades is to take advantage of the periodically changing hydrodynamic conditions and
assess the possibility of increasing the efficiency of the VAT by allowing passive foil deformations. Indeed,
blades undergo variations of apparent speed and angle of attack during a cycle. Therefore, pressure-based
blade deformations can be used to improve their shape passively, provided that the structural parameters
are chosen properly. The FSI effects related to the flexibility and the inertia of the blades were investigated
and the mechanisms that allow efficiency improvements are presented. It is shown that flexibility introduces
a stall mitigation mechanism that helps in improving the efficiency of low tip-speed ratio configurations.
Flexibility also reduces blades’ drag in the downstream portion of the cycle when the turbine operates at a
high tip-speed ratio, which contributes to efficiency improvements of high tip-speed ratio configurations. At
optimal tip-speed ratio, flexibility slightly reduces the efficiency, although this reduction remains small for
moderate flexibilities. Overall, results also show that blade flexibility tends to extend the tip-speed ratio range
of high efficiency configurations, which may provide interesting advantages when the turbine operates in
changing flow conditions.
53
2.2.2 Nomenclature
𝛼
𝛼Eff
𝑥P
𝜔
𝜃
𝐷
𝑊
𝜈
𝜌𝑓
𝜌𝑠
𝑅
𝑐
angle of attack
effective angle of attack
holding point position
angular velocity
angular position
turbine diameter
relative velocity magnitude
kinematic viscosity
fluid density
solid density
turbine radius
chord length
𝑁
𝑒
𝐸
𝐼′
𝑃
𝜂
𝜆
𝑅𝑒
𝜎
Σ
𝛿∗
number of blades
foil maximum thickness
Young’s modulus
section inertia per unit depth
extracted power
efficiency
tip-speed ratio
Reynolds number
Solidity
pressure-to-inertia ratio
dimensionless flexibility
2.2.3 Introduction
One of the challenges of Vertical Axis Turbines (VAT) is to provide an optimal blade shape that
remains highly efficient in the transient flow regime of the turbine in order to maximize energy harvesting.
Gosselin (2015) and Danao et al. (2012) show that simple modifications like a slight blade pitch angle or
adding camber on the blade may significantly improve the turbine efficiency. Since the blades experience
variable flow conditions during a cycle, such a static shape change is not optimal. Indeed, dynamically
changing the shape of the blades during the operation of the turbine is more promising since the blade shape
can be adapted to the inherent transient flow conditions. This shape modification can be imposed actively
or passively.
54
Active deformations can be produced with a control device. This strategy has been studied by
several authors who have shown its benefits. For example, Bouzaher et al. (2017)show that turbine
efficiency can be increased with properly imposed blade-shape deformations. The same authors specifically
shows that controlling the leading edge shape can improve the efficiency by 35% (Bouzaher & Hadid, 2017)
and changing the trailing edge shape by 38% (Bouzaher, et al., 2016). Also, Liang, et al. (2016) conduct a
numerical and experimental investigation using a blade pitch control system. Their conclusion is that this
system can increase the efficiency and enlarge the tip-speed ratio range where the turbine is efficient. Similar
conclusions were obtained by Chougule & Nielsen (2014) at a lower Reynolds number where the efficiency
of a 500 W turbine was increased by 12%. Despite these improvements, active blade-shape deformation
systems have the drawback of requiring a mechanical system that needs a power source.
On the other hand, the deformation can be produced passively, i.e. without any power input, by
using flexible blades whose rigidity and mass are properly chosen to ensure pressure-based deformations.
That is, the blade must be relatively light with respect to the fluid. This condition is easily met in hydrokinetic
applications as Zeiner-Gundersen (2015) shows. The advantage of using passive flexibility is that no power
supply is required to produce the dynamic deformation. However, the flexible components and materials
must be judiciously chosen such that the resulting deformation leads to a turbine efficiency improvement.
An interesting concept of turbine with flexible blades was proposed by Hoogedoorn, et al. (2009), which has
the ability to adapt its shape as a result of changing flow conditions. The proposed blades were made of a
flexible material with a rigid inner spring. The idea of flexible blades was also studied by Butbul et al. (2014),
who tested the same configuration numerically and experimentally. The two studies show an increase of
performance at low tip-speed ratios. Zeiner-Gundersen (2014) also reached the same conclusion for low
tip-speed ratios by using flexible foils and a passive pitching motion.
The present study focuses on the physical mechanisms and phenomena related to blade chordwise
flexibility that can be exploited to increase the turbine efficiency. Fully-coupled 2D fluid-structure interaction
numerical simulations based on the methodology developed by Olivier (2014) allow the performance
evaluation of a VAT equipped with chordwise-flexible blades. The fluid-structure algorithm is used to perform
numerous two-dimensional URANS simulations at a high Reynolds number. This study consists of a
parametric analysis of the most relevant parameters related to blade deformation. The numerical results
illustrate under what configurations chordwise flexible blades provide better efficiency and wider operating
tip-speed ratio range than rigid blades (Section 2.2.7.1). The mechanisms responsible for the efficiency
increase at low and high tip-speed ratios are also presented (Section 2.2.7.2 and Section 2.2.7.3
respectively).
55
2.2.4 Problem definition
The VAT is characterized by blades rotating at a constant velocity around an axis which is
perpendicular to the direction of the oncoming flow. In this study, a 2D single-blade configuration is used (N
= 1) as shown in Figure 37. According to the definition proposed by Paraschivoiu (2002), the instantaneous
angle of attack (α) experienced by the foil during a cycle is defined with respect to the apparent flow direction
(W in Figure 37). This angle is based on the foil’s chord, which is the line connecting the leading edge and
the trailing edge. It follows that blade deformation has an effect on the apparent angle of attack. As such,
Figure 38 illustrates the effective angle of attack that takes into account the deformation. The blade is held
at point P such that 𝑥𝑃/𝑐 = 1/3 throughout the study. Moreover, only the rear part of the foil is considered
flexible (the light-gray region in Figure 38).
Figure 37: Outline of the vertical-axis turbine showing the main geometric parameters and velocity triangles at a given position.
Figure 38: Illustration of the flexible blade. Instantaneous (𝛼) and effective (𝛼𝐸𝑓𝑓 ) angles of attack are also shown.
The main quantities used to assess the effects of blade flexibility are the instantaneous power
coefficient and the efficiency. The instantaneous power coefficient is defined as:
𝐶𝑃 =𝑃(𝜃)
12𝜌𝑓𝑈∞
3𝐷 , (2.1)
56
where 𝜌𝑓 is the density of the fluid, 𝑈∞ is the upcoming flow velocity, and 𝑃(𝜃) is the instantaneous power
extracted by the turbine at a specific angular position 𝜃:
𝑃(𝜃) = 𝑀(𝜃)𝜔 . (2.2)
The quantity 𝑀(𝜃) is the moment at the turbine axis resulting from the forces acting on point 𝑃 (Figure 38)
and 𝜔 is the turbine angular velocity, which remains constant in this study. Finally, 𝐷 is the turbine diameter
which defines the frontal area swept by the blades. The efficiency is given by averaging the power coefficient
over a cycle:
𝜂 =1
2𝜋∫ 𝐶𝑃(𝜃) 𝑑𝜃2𝜋
0
. (2.3)
Other important parameters are the dimensionless numbers that govern the turbine physics. The
Reynolds number 𝑅𝑒, the tip-speed ratio 𝜆, and the solidity 𝜎 are respectively defined as:
𝑅𝑒 =𝑈∞𝐷
𝜈, 𝜆 =
𝜔𝑅
𝑈∞, 𝜎 =
2𝑁𝑐
𝐷 (2.4)
where 𝜈 is the fluid kinematic viscosity, 𝑁 is the number of blades, and 𝑐 is the chord length. Two more
dimensionless parameters are required to account for flexibility effects. The first one is the pressure-to-
inertia ratio which is defined as:
Σ =𝜌𝑓𝑅
𝜌𝑠𝑒 (2.5)
where 𝜌𝑠 is the density of the foil and 𝑒 is the foil maximum thickness. This parameter is a geometrically
scaled density ratio which represents the ratio of pressure forces over inertia forces. A large value of Σ
means that the deformation of the foil is governed by pressure forces. The second dimensionless parameter
for the flexible blade is the dimensionless flexibility defined as:
𝛿∗ =𝜌𝑓(𝜔𝑅)
2𝑐3
𝐸𝐼′, (2.6)
57
where 𝐸 is the young modulus and 𝐼′ is the section moment of inertia per unit depth at the blade’s maximum
thickness position.
The VAT operating conditions used in the simulations are based on the study carried out by
Boudreau & Dumas (2017) which used a model consisting of one rigid blade with a NACA 0015 profile. The
solidity of the turbine is thus set as 𝜎 = 0.286 and the Reynolds number is set as 𝑅𝑒 = 107. At that
Reynolds number, the turbine behavior is expected to be independent of further increases of the Reynolds
number (Bachant & Wosnik (2016); Chamorro, et al. (2012a)). The objective of the present study is to determine
whether blade chordwise flexibility can further improve the optimal efficiency of the turbine or if it can extend
the tip-speed ratio range where the efficiency remains high. To this end, the parametric space consisting of
the tip-speed ratio λ and the blade flexibility 𝛿∗ will be explored for a few moderate to high pressure-to-inertia
ratios Σ.
2.2.5 Numerical methods
The study is carried out with a partitioned FSI code in which an in-house structural finite-element
solver is coupled to a finite-volume flow solver based on the OpenFOAM library. This numerical methodology
has been used and validated on multiple occasions (Olivier & Dumas, (2016a); Jeanmonod & Olivier,
(2017)). Nevertheless, an overview of the code is provided for completeness.
The finite-volume method in the fluid domain uses second-order discretization schemes and the finite-
element code uses Hermite shape functions. A geometrically nonlinear beam model is used to characterize
the foil displacement in the 𝑥 – 𝑦 space of the undeformed configuration. The corresponding differential
equations are defined as:
𝜌𝑠𝑒𝜕2𝑑𝑥
𝜕𝑡2=
𝜕
𝜕𝑥[𝑁′ (1 +
𝜕𝑑𝑥
𝜕𝑥)] +
𝜕
𝜕𝑥(𝑀′
𝜕2𝑑𝑦
𝜕𝑥2) +
𝜕
𝜕𝑥2(𝑀′
𝜕𝑑𝑦
𝜕𝑥) − 𝑝
𝜕𝑦
𝜕𝑥+ 𝜏 (1 +
𝜕𝑑𝑦
𝜕𝑥), (2.7)
𝜌𝑠𝑒𝜕2𝑑𝑦
𝜕𝑡2=
𝜕
𝜕𝑥(𝑁′
𝜕𝑑𝑦
𝜕𝑥) −
𝜕2
𝜕𝑥2[𝑀′ (1 +
𝜕𝑑𝑥
𝜕𝑥)] −
𝜕
𝜕𝑥(𝑀′
𝜕2𝑑𝑥
𝜕𝑥2) − 𝑝 (1 +
𝜕𝑥
𝜕𝑥) − 𝜏
𝜕𝑑𝑦
𝜕𝑥, (2.8)
where 𝑝 is the fluid pressure and 𝜏 is the fluid shear stress acting on the deformed configuration of the foil.
By using the Euler-Bernoulli beam theory it is possible to close these equations with two additional equations
for the internal normal force 𝑁’ and the internal bending moment 𝑀’ respectively defined as:
58
𝑁′ = 𝐸𝑒�̃� = 𝐸𝑒 [𝜕𝑑𝑥
𝜕𝑥2+1
2((𝜕𝑑𝑥
𝜕𝑥)2
+ (𝜕𝑑𝑦
𝜕𝑥)2
)], (2.9)
𝑀′ = 𝐸𝐼′�̃� = 𝐸𝐼′ [𝜕2𝑑𝑦
𝜕𝑥2+ (1 +
𝜕𝑑𝑥
𝜕𝑥) −
𝜕𝑑𝑦
𝜕𝑥
𝜕2𝑑𝑥
𝜕𝑥2], (2.10)
where �̃� is the Green-Lagrange strain and �̃� is the modified curvature of the deformed beam (Epstein &
W. Murray, 1976). The last two equations also involve the rigidity 𝐸, the thickness e, and the moment of
inertia of the blade’s section 𝐼′. Since the choice of the blade’s internal structure is somewhat arbitrary in
the context of this study, we treated these three parameters as constants such that the structural behavior
of the blade is similar to that of a thin plate.
In the fluid domain, the flow field is solved by using the incompressible Navier-Stokes equations:
𝜕𝐯
𝜕𝑡+ 𝐯 ∙ ∇𝐯 = −∇(
p
𝜌𝑓) + 𝜈∇2𝐯, (2.11)
∇ ∙ 𝐯 = 0, (2.12)
where 𝐯 and 𝑝 are respectively the velocity and the pressure fields. The fluid-solid interface conditions are
provided by momentum and mass conservation, which result in:
𝐯𝑓 = 𝐯𝑠, (2.13)
�̂� ∙ 𝛔𝑓 = �̂� ∙ 𝛔𝑠, (2.14)
where 𝜎 is the Cauchy stress field. Moreover, an artificial compressibility term (that vanishes upon
convergence) is used in the vicinity of the foil to improve the stability of the partitioned coupling scheme
when the fluid-solid interaction is strong, which is the case for most simulations presented in this study
(Degroote, et al., 2010c). Indeed, cases with weak fluid-solid interactions result in constant inertia-based
deformations related to centrifugal effects. Since these deformations reach a steady state, they are not
relevant for the present study because a rigid blade with the proper shape would play the same role.
59
The rotation motion is handled by Arbitrary Mesh Interface (AMI) boundary conditions, as shown in
Figure 39. The computational domain boundaries shown in Figure 39 are such that the blockage ratio is
𝐷/𝐻 = 0.0135, which is sufficient to mitigate confinement effects (see Kinsey & Dumas (2016)).
Regarding turbulence modeling, the 𝑘 − 𝜔 shear stress transport (SST) model is used (Menter, 1994).
This choice is based on the recommendations by Rogowski (2018). Further details on the code are provided
by Olivier (2014) and Olivier & Dumas, (2016a).
Figure 39: Computational domain and boundary conditions. Note that the image is not to scale.
2.2.6 Verification and validation
In this section, the numerical parameters and the different hypotheses used for the numerical
simulations are verified and validated.
The meshes used in the simulations are shown in Figure 40. The fluid domain mesh is composed
of two regions: the outer region and the inner region. The outer region consists of a Cartesian mesh with
successive local refinement near the turbine and its wake region. The inner region, i.e. the rotating zone,
consists of an unstructured mesh made of quadrilateral cells. Near the blade, the mesh cells are parallel to
the surface, the height of the elements is set to ensure that y+ is within the range 35 to 100 for all simulations,
and the mesh growth factor is set to 1.02. These characteristics ensure proper resolution of the boundary
layers in which a wall function is used. The solid domain one-dimensional mesh extends from 𝑥 = 𝑥𝑃 to
𝑥 = 0.95𝑐. Outside this interval, the blade is considered rigid. The blade cross-sections are also shown
in Figure 40. These cross-sections are moved according to the corresponding nodal displacements and
rotations computed by the beam model. The complete mesh used for the simulations contains 46,888 cells.
60
Coarser (the one illustrated in Figure 40) and finer meshes where used on a typical case to assess the
discretization error. Each simulation was run over two cycles with the following physical parameters:
𝑅𝑒 = 107, 𝜎 = 0.286, Σ = 5, 𝛿∗ = 10 (2.15)
Figure 40: Fluid and solid domains meshes. For the sake of illustration, only the coarse meshes are shown.
The numerical parameters of the simulations are summarized in Table 1. Figure 41 shows the efficiency
against the azimuthal angle for each simulation. The difference in efficiency for the second cycle is of 1.92%
between the medium and the coarse mesh and of 0.29% between the medium and the fine mesh. Note also
that simulations of cases with significant boundary layer separation were conducted without the wall
function along with a mesh that ensures the condition y+ < 1 and no significant differences were observed.
Following these results, the medium mesh was deemed suitable for the study. The numerical methodology
also compared favorably with the results of Boudreau & Dumas (2017) for a case involving a rigid blade.
The specific parameters used for that comparison are:
𝑅𝑒 = 107, 𝜎 = 0.286, 𝜆 = 4.25, 𝛿∗ = 0 (rigid). (2.16)
61
The instantaneous power coefficient of the third cycle is reported in Figure 42 for the same three meshes
and time-steps.
Table 1: Characteristics and residual tolerances used for the verification of the numerical resolution.
Coarse Medium Fine Number of cells (fluid)) 31 195 46 888 135 149 Number of cells rotating zone (fluid) 10 655 26 348 52 733 Number of cells (solid) 37 74 148 Time-step, ∆t 7.761581e-3 5.1743879e-3 2.069755e-3 Residual tolerance, pressure 5e-6 5e-7 5e-8 Residual tolerance, velocity 5e-6 5e-7 5e-8 Residual tolerance, displacement 1e-8 1e-9 1e-10 Efficiency (second cycle), η 0.6079 0.6198 0.6180
Figure 41: Power coefficient over the second cycle for three different meshes.
Since most simulations take time to reach a periodic state, the converged (periodic) field of a rigid
blade is used as the initial field for the flexible blade simulations. The rigid-blade simulations are typically
run for a sufficiently long physical time such that the initial fields convect over more than 30D. Then, the
simulation is computed for another 20 turbine cycles with a flexible blade, which is enough to obtain a
periodic response in all cases simulated. The wake is then convected even further, i.e. over at least another
7D (low tip-speed ratio configurations result in even longer wakes).
62
Figure 42: Power coefficient of a turbine with rigid blade over the third cycle. Three different meshes are compared with the reference results of Boudreau & Dumas (2017).
2.2.7 Results
2.2.7.1 Performance of flexible-foil turbines
To understand the impact of using flexible foils in vertical-axis turbines, numerous simulations were
executed at various operating conditions. As stated earlier, we fixed the Reynolds number and the solidity
parameter to 𝑅𝑒 = 107 and 𝜎 = 0.286 respectively. Then, we investigated the effects of varying the
tip-speed ratio 𝜆, the flexibility 𝛿∗, and the pressure-to-inertia ratio Σ. Figure 43 shows a summary of the
results in terms of turbine efficiency.
Figure 43a shows the impact of blade flexibility on the energy extraction efficiency in the 𝜂 − 𝜆
space. In this figure, the pressure-to-inertia ratio is set to Σ = 10. However, all other values of 𝛴 tested
(all larger than 1, hence strong fluid-solid interactions) exhibit a similar trend. That is, increasing blade
flexibility slightly reduces the efficiency of the optimal operating points, but widens and flattens the range of
tip-speed ratio where energy is extracted. As a result, the turbine is less sensitive to tip-speed ratio variations
when operating near the optimal configuration. Consequently, the tip-speed ratio operating range of an
efficient rigid-blade turbine is increased when flexible blades are used. This characteristic is beneficial to
turbines operating in fluctuating conditions. Moreover, moderately flexible blades generally increase the
efficiency of turbines operating at sub-optimal tip-speed ratios, as reported in Figure 43b and in Figure 43d.
Flexibility can even be chosen such that the efficiency at the optimal tip-speed ratio almost remains that of
63
a rigid blade. Indeed, Figure 43a shows that a moderate flexibility of 𝛿∗ = 5 does not significantly reduce
the maximum efficiency point, but produces a slight increase in efficiency at tip-speed ratios lower or higher
than the optimum. However, increasing the tip speed ratio beyond its optimal value significantly reduces the
efficiency. Indeed, very flexible blades tend to align with the apparent flow direction which mitigates
aerodynamic forces, hence the low power extracted. Moreover, since the pressure-to-inertia ratio is high, the
blade deformation quickly adapts to the flow conditions, which generally tends to level the torque variations
on per cycle basis, which, in turn, levels the power output of the turbine. This trend is observed in the results
for both low and high tip-speed ratio configurations (see Figure 46c, Figure 46d, and Figure 47 further
below).
(a)
(b)
(c)
(d)
Figure 43: (a) Effect of blade flexibility on turbine efficiency 𝜂 for various tip-speed ratios 𝜆 at Σ = 10. Effect of 𝛿∗ and Σ on the efficiency 𝜂 at low (b), optimal (c), and high tip-speed ratios 𝜆 (d).
2.2.7.2 Blade flexibility at low tip-speed ratio
As shown in Figure 43a, the best operating point corresponds to a tip-speed ratio close to 3. At
lower tip-speed ratios, a rigid blade undergoes large effective angles of attack such that aerodynamic stall
occurs. This causes a decrease in turbine efficiency, as reported on the left side of the curve in Figure 43a.
64
Although it appears that flexible blades are also affected by this effect, the drop in efficiency is less
pronounced. To better understand why the efficiency is less affected in the case of the flexible blade, results
of simulations carried out at 𝜆 = 2 are further investigated. As shown in Figure 44, both flexible and rigid
blades experience aerodynamic stall in the upstream part of the cycle (0 < 𝜃 < 180°). In each case, the stall
occurs in different positions and affects the power coefficient differently (see Figure 46). It was found that
flexible foils are less affected by the vortex produced at a low tip-speed ratio, because they adapt their shape
in response to the pressure drop associated with the vortex, which, in turn, reduces its intensity (see Figure
44 and Figure 45 at 𝜃 = 200°).
Figure 44: Comparison of a rigid blade’s and a flexible blade’s vorticity field (𝛴 = 10 and 𝛿∗ = 15) at 𝜆 = 2.
This feathering effect that occurs at large pressure-to inertia ratios (strong fluid-solid interactions)
aligns the blade with the flow, which results in smaller effective angles of attack. This effect can also be
interpreted as being equivalent to imposing a negative camber on the blade. According to the classical
aerodynamic theory (Abbott & Doenhoff, 1959), a negative camber shifts the maximum lift coefficient that a
blade profile can reach to a lower value. Therefore, increasing blade flexibility decreases the power
coefficient peak to near 𝜃 = 90°.
65
Figure 45: Comparison of a rigid blade’s and a flexible blade’s pressure field (𝛴 = 10 and 𝛿∗ = 15) at 𝜆 = 2.
However, even though the maximum point of power coefficient is lower for a flexible blade, the vortex
produced by the relatively high effective angle of attack contributes positively to the efficiency by spreading
the power coefficient peak (see the 𝐶𝑃 − 𝜃 curves of Figure 46). Indeed, this vortex generates a low-
pressure zone on the blade, which results in a deformation that reduces the impact of the stall. Even more
interesting is the fact that the vortex passing over the trailing edge (see Figure 45) in the downstream part
of the cycle (180°< 𝜃 < 360°) changes the shape of the blade in a manner that increases the effective
angle of attack. In most cases reported in Figure 46, this results is a local peak of power coefficient around
𝜃 = 210° for cases with large Σ (see the corresponding fields in Figure 44 and Figure 45). Also, as
observed in Figure 46b and Figure 46c, this deformation occurs in an area where the rigid blade provides a
negative power coefficient, thus having a slight levelling effect on the energy extraction during a cycle.
66
(a) 𝜆 = 2, Σ = 2
(b) 𝜆 = 2, Σ = 5
(c) 𝜆 = 2, Σ = 10
(d) 𝜆 = 2, 𝛿∗ = 15
Figure 46: Instantaneous power coefficient for different dimensionless flexibilities and pressure-to-inertia ratios.
Also, as observed in strong fluid-solid interaction cases (Figure 46b and Figure 46c), the most
effective portion of the cycle corresponds to the upstream region (0 < 𝜃 < 180°). This is explained by the fact
that the flow is undisturbed and comes with the proper incidence in this interval, which is also the case for
rigid-blade turbines. In the downstream part of the cycle, where the flow is affected by the wake of the
upstream part, it is observed that the power coefficient remains mostly the same as the rigid blade. This is
because deformations are caused by pressure forces (large 𝛴) which are too small to deform the blade
significantly in this portion of the cycle (see Figure 45 at 𝜃 = 240° and 𝜃 = 300°). Moreover, the small
power coefficient increase observed in this portion (see Figure 46c) is caused by an increase of available
energy since less energy is being extracted in the upstream part of the cycle.
On the other hand, weaker fluid-solid interaction scenarios (Σ smaller than 1, not shown) tend to
decrease the efficiency of the turbine. This is mostly caused by the fact that these cases are more affected
by centrifugal blade deformations, which has an effect equivalent of increasing the camber throughout the
whole cycle. Consequently, the effective angle of attack increases in the upstream part of the cycle, but
67
decreases in the downstream part. At low tip-speed ratios, this results in strong stall effects. Moreover,
inertia based deformations being mostly centrifugal, they tend toward a steady state. Thus, there is no point
in using flexibility to change the blade shape in these cases.
Results with Σ = 2 reported in Figure 46a represent cases with pressure forces being of the same
order of magnitude as inertia forces (moderate fluid-solid interaction). In the upstream portion of the cycle of
these cases, pressure forces and inertia forces are of opposite sign and almost cancel each other. As a
consequence, the power coefficient in this part of the cycle is the same as the rigid blade because the flexible
blade remains mostly undeformed. On the other hand, the pressure contribution is significantly reduced in
the downstream part of the cycle since the blade encounters its wake. The centrifugal effect (inertia-based
deformation) is then mostly responsible for the deformation in this part of the cycle, which reduces the
effective angle of attack and, consequently, the instantaneous power coefficient. Overall, blade flexibility
has a detrimental effect in cases with moderate pressure-to-density ratios.
2.2.7.3 High tip-speed ratio
At high tip-speed ratios the flow field is far less complicated than at low tip-speed ratios. In fact,
since the maximum effective angle of attack reached by the blade during a cycle is smaller than the critical
angle of attack, no aerodynamic stall occurs. In this context, considering that only moderate to high pressure-
to-density ratios are relevant, the main flexibility effect that can increase the power extraction is the
deformation in the downstream part of the cycle. Indeed, flexibility reduces the power extraction potential in
the upstream part of the cycle because the blade tends to align itself with the apparent flow direction in the
same way as for low tip-speed ratios. However, since the effective angle of attack is already below the critical
angle, this feathering effect simply reduces the magnitude of the fluid force, which results in less power being
extracted (see Figure 47 in the region 0 < 𝜃 < 180°).
68
Figure 47: Power coefficient for a flexible and a rigid blade at a tip-speed ratio of 𝜆 = 7.
In the downstream part of the cycle, the lift of rigid blades points in the opposite direction to that
predicted with a velocity triangle. This is due to the curvature of the blade trajectory which has an effect
analogous to foil camber. Indeed, this curvature effect can be replaced by an apparent camber located at the
mid chord and with the same radius as the turbine itself (Bos (2012)). This effect is observed in Figure 48.
According to the velocity triangle, the stagnation point should be on the inner side of the leading edge (lower
side of the foil in Figure 48) and the suction point on the outer surface (upper side of the foil in Figure 48).
However, because of the curvature effect, the stagnation point is actually located on the upper part of the
leading edge and the suction point on the lower surface. The deformation tends to decrease the effective
angle of attack, which benefits flexible foils undergoing strong fluid-solid interaction. Indeed, the flexible foil
tends to align itself with the direction of the flow, which creates a physical camber opposite to the effective
camber related to the curvature of the blade trajectory. Consequently the blade’s drag decreases in this
portion of the cycle, which mitigates the power loss typically observed with rigid blades (see Figure 48 in the
region 180° < 𝜃 < 360°). Also, since the upstream portion of the cycle extracts less energy, the flow passing
through the turbine is more important for a flexible foil, which means that more kinetic energy is available in
the downstream portion. It follows that the blade’s stagnation point is located further on the leading edge on
the inner side. This configuration thus increases pressure on the lower part of the blade and decreases it on
the upper part. These two effects together help to increase the power coefficient in the downstream part of
the cycle.
In Figure 43a, we observe that the efficiency of a vertical-axis turbine decreases as the tip-speed
ratio increases. This well-know trend is explained by the fact that the maximum effective angle of attack
69
decreases as the tip-speed ratio increases (Rezaeiha, et al. (2018)). Indeed, even if the angular velocity is
higher, the relative velocity component normal to the rotation is smaller, which reduces the angle of attack.
On the other hand, following the increase in tangential velocity, the drag of the blade increases, which
causes the observed loss of efficiency at high tip-speed ratios. As mentioned earlier, flexible blades are less
affected by drag increase than rigid blades. Thus, their efficiency remains always higher under operating
conditions dominated by drag. Since flexibility tends to align the profile with the relative flow direction, its
impact is detrimental on the lift, but beneficial on the drag (i.e. it reduces the drag). This is why at the optimal
tip-speed ratio, a flexible blade generally remains less effective than a rigid blade (Figure 43c).
Figure 48: Comparison of a rigid blade’s and a flexible blade’s pressure field (Σ = 10 and 𝛿∗ = 15) at 𝜆 = 7.
2.2.8 Conclusion
Two-dimensional simulations of vertical-axis turbines with chordwise-flexible blades were
conducted using a partitioned fluid-structure interaction code. The objective of this work was to develop a
better understanding of the physics involved and to assess the possibility of increasing turbine efficiency by
leveraging the periodically changing blade shape.
It was found that, at high pressure-to-inertia ratios typical of a turbine operating in water, moderate
blade flexibility has the effect of leveling the efficiency with respect to the turbine’s tip-speed ratio. That is,
the turbine’s efficiency slightly decreases when operating at the optimal tip-speed ratio and increases when
70
operating at non-optimal (either smaller or larger) tip-speed ratios. This behavior would be beneficial to
turbines operating in changing conditions that prevent the optimal tip-speed ratio to be reached
systematically.
The analysis of blade flexibility at low tip-speed ratios revealed a mechanism responsible for
increasing efficiency. Indeed, it was shown that a flexible blade tends to align itself with the flow, which
reduces the instantaneous angle of attack and the intensity of the aerodynamic stall typical of low tip-speed
ratio conditions. Even if the reduction of the angle of attack also reduces the turbine’s efficiency in the
upstream part of the cycle, the whole cycle’s efficiency is increased compared with that of a rigid blade
operating in the same conditions. Such increase is related to the deformation induced by the leading-edge
vortex passing over the blade. This vortex, resulting from the onset of aerodynamic stall, is then mitigated
by the deformation of the blade.
It was also found that the main effect responsible for increasing the power extraction at high tip-
speed ratios is the deformation occurring in the downstream part of the cycle. Since the rotational velocity
at high tip-speed ratio is more important than the upstream flow velocity, the blade sees an apparent
curvature in the flow direction, which results in an effect analogous to foil camber. Since drag is mostly
responsible for the decrease in efficiency at high tip-speed ratios, the increase in camber leads to an
increase in drag, hence a decrease in efficiency. The feathering of flexible blades has the effect of canceling
the effective camber of the blade, which, in turn, reduces the drag of the blade. Consequently, the turbine’s
efficiency increases even though the peak power coefficient decreases.
71
Chapitre 3 Étude 3D d’une turbine à axe verticale
munie de pale avec un bord de fuite flexible
3.1 Résumé
Ce chapitre présente l’étude réalisée sur une turbine munie de pales flexibles en 3D. Cette dernière
se base sur les constats de l’étude paramétrique préalablement réalisée en 2D. Pour ce faire, les métriques
employées ainsi que les conditions d’opération demeurent les mêmes. L’étude est donc réalisée à un
Reynolds de 1 × 107 avec un profil de pale NACA 0015, employant le modèle de turbulence 𝑘 − 𝜔 SST.
Également, les pales employées sont de type droites avec une envergure (𝑏/𝑐) de 7.5. Le logiciel
commercial StarCCM+ est employé dans ce cas-ci pour la réalisation des simulations en couplage fluide-
structure. Le but de cette étude est d’observer l’effet de l’utilisation d’un bord de fuite flexible à différents
régimes d’opération en analysant les effets reliés à la tridimensionnalité du problème. Pour ce faire, une
comparaison des observations est réalisée avec ce qui a préalablement été constaté en 2D. À travers l’étude
2D, il a notamment été question de l’augmentation de l’efficacité des turbines lorsque ces dernières
opéraient à bas et à haut 𝜆. L’analyse des mécanismes responsables de ces augmentations en efficacité
est donc reprise dans ce chapitre avec une considération tridimensionnelle du problème. Il est entre autres
démontré, que les mécanismes responsables de l’augmentation d’efficacité observée en 2D se retrouvent
encore en 3D, mais que leur impact se trouve soit diminué ou augmenté par les effets 3D. C’est notamment
le cas de l’interaction de la pale avec le tourbillon éjecté lors du décrochage. Étant donné qu’en 3D
l’interaction des tourbillons avec le bord de fuite ne se produit pas simultanément sur l’envergure de la pale,
il en résulte donc une déformation qui tend à se propager sur cette dernière. Il s’agit alors d’un comportement
différent de ce qui était observé en 2D, qui ne contribue alors presque plus à l’augmentation d’efficacité de
la turbine. De plus, un nouveau mécanisme lié au tourbillon de bout de pale sera investigué dans ce chapitre.
Il sera notamment démontré que l’interaction de la pale flexible avec ce tourbillon permet de dépasser le
point de meilleur rendement de la turbine rigide et l’augmenter de 2.26%.
72
3.2 Approche de la simulation
La simulation 3D a été réalisée selon le même principe que la simulation 2D, c’est-à-dire que deux
milieux ont été nécessaires pour la résolution du problème fluide-structure. Ainsi, une discrétisation du
domaine fluide a été réalisée dans un premier temps. Cette dernière est composée d’une zone en rotation
englobant l’ensemble de la pale permettant d’assurer le mouvement de rotation de la turbine. La jonction
du maillage en rotation avec le domaine permet de supporter un maillage non conforme à cet endroit. Ce
qui facilite grandement l’imposition de la condition de mouvement en rotation de la turbine. De plus, pour
diminuer le temps de calcul, un plan de symétrie passant au milieu de la turbine a été utilisé permettant
ainsi de diminuer de moitié le nombre de cellules requis. La Figure 49 illustre le maillage sur le plan de
symétrie en question.
Figure 49: Maillage moyen du domaine fluide au plan de symétrie de la turbine (𝑧/𝑏 = 0).
73
Différents types de maillages ont été utilisés ici pour permettre l’obtention de la discrétisation
complète du domaine de calcul. La discrétisation sur l’envergure de l’aile a été réalisée via l’extrusion du
maillage présent sur le plan de symétrie tel qu’illustré sur la Figure 50. Cependant, le bout d’aile a quant à
lui été réalisé avec un maillage non-structuré. La discrétisation du bord de fuite du domaine solide a quant
à elle été réalisée en employant des tétraèdres non-structurés. La Figure 51 illustre cette dernière.
Figure 50: Maillage moyen du domaine fluide sur l'envergure de la pale.
Étant donné que la pale définie à Figure 15 se compose de deux sections, une section rigide et
une section flexible, seulement la section flexible a été discrétisée en milieu solide. Ainsi, le nombre de
calculs requis se trouve encore diminué. Cela fait donc en sorte que la portion bord d’attaque de l’aile ne
possède pas de maillage déformable. Seulement la portion coïncidant avec la section solide possède alors
la faculté de se déformer. Cela engendre donc la nécessité d’imposer deux conditions de déplacement
différentes pour le mouvement de rotation de la pale. L’imposition du mouvement de rotation s’effectue donc
dans un premier temps selon un déplacement rigide des nœuds de maillage à la surface bord d’attaque de
la pale. Par la suite, l’imposition du mouvement pour le solide se fait quant à elle en imposant un
déplacement des nœuds en contact avec la portion bord d’attaque (la section droite sur la Figure 51). Le
reste de la pale est quant à lui libre de se déplacer via les rétroactions des forces fluides et inertielles.
74
Figure 51: Maillage très grossier du bord de fuite solide sur l'envergure de la pale.
Étant donné que le domaine solide ne compose qu’une partie de la pale, le calcul des forces se
fait alors via l’addition de deux parties. Dans la partie bord d’attaque, les forces sont obtenues directement
via l’obtention des forces de pression et de frottement aux surfaces. Pour la partie bord de fuite (portion
illustrée à la Figure 51), considérant l’ajout de forces solide tel que les forces inertielles, une autre approche
est alors préconisée. Le calcul des forces s’obtient donc via l’utilisation des forces de réaction aux
contraintes de cette dernière. C’est-à-dire, les forces de réactions mesurées sur la portion hachurée de la
Figure 51.
3.3 Indépendance du maillage
Une bonne discrétisation du domaine de calcul est essentielle pour s’assurer de l’obtention d’une
bonne solution. Comme les solutions RANS ne représentent que l’écoulement moyen, elles deviennent, au-
delà d’un certain seuil, indépendantes de la discrétisation du maillage. C’est donc ce point qui est recherché
pour permettre le meilleur compromis entre précision et temps de calcul. Ainsi, pour s’assurer de
l’indépendance du maillage utilisé, trois niveaux de raffinement ont été utilisés permettant ainsi de juger à
partir de quel point le maillage est considéré comme suffisamment fin. Le raffinement s’est majoritairement
concentré sur la zone de rotation, car c’est dans cette zone que les gradients sont les plus forts. Une
attention particulière a également été portée à la région solide, car comme il a été observé dans le problème
de validation à la section 1.4.2, la discrétisation est cruciale pour obtenir les bonnes déformations. Dans un
75
premier temps, le Tableau 3 présente les données techniques des différents niveaux de maillage ainsi que
les critères de convergence utilisés pour la validation de la discrétisation du domaine fluide.
Tableau 3: Caractéristique et tolérance sur les résidus utilisés pour la validation du maillage
Type de maillage Grossier Moyen Fin
Nombre de cellules domaine (Fluide)
2 979 742 6 974 961 15 993 918
Nombre de cellules dans la zone de rotation (Fluide)
965 733 2 331 739 3 771 659
Pas de temps par cycle 600 1000 1700 Tolérance sur la pression 1e-4 5e-5 1e-5 Tolérance sur la vitesse 1e-4 5e-5 1e-5 Efficacité au deuxième cycle (𝜂) 0.265 0.272 0.271
La validation de la discrétisation du domaine fluide a été comparée à un cas de référence
(Villeneuve, et al., 2020) en déformation rigide pour assurer sa validité. La Figure 52 illustre cette
comparaison. Ainsi, à la lumière du Tableau 3 et de la Figure 52 le maillage moyen semble être le bon
compromis entre temps de calcul et précision des résultats.
Figure 52: Comparaison du coefficient de puissance pour une configuration rigide à 𝜆 = 4.25 d'une pale avec des données de référence (Villeneuve, et al., 2020).
Par la suite, la validation de la discrétisation solide a été réalisée. Pour ce faire, le maillage moyen
validé à la Figure 52 a été employé pour le calcul du domaine fluide de même que trois niveaux de
discrétisation du domaine solide (58 780, 117 235 et 1 774 755 cellules respectivement). Le point
76
d’opération alors considéré est 𝜆 = 3. Ce dernier permet d’obtenir des déformations de grande amplitude,
ce qui est approprié pour valider la discrétisation du domaine solide. L’efficacité de la turbine (𝜂) obtenue
pour ces trois niveaux est respectivement 0.382, 0.386 et 0.387. Encore une fois, c’est le maillage de
discrétisation intermédiaire (117 235 cellules) qui a été retenu.
77
3.4 Étude des effets de la flexibilité sur la plage d’efficacité de
la turbine
Pour bien cerner l’impact de l’utilisation d’un bord de fuite flexible sur le comportement dynamique
d’une turbine à axe vertical opérant dans des conditions se rapprochant des conditions d’opérations réelles,
des simulations en 3D ont été réalisées à cet effet. Ces dernières, ont été menée pour divers points
d’opération permettant ainsi de couvrir la plage d’utilisation qui serait couverte par une turbine à axe vertical
munie de pales rigides. Ainsi, utilisant la même métrique définissant la puissance (𝜂) et la vitesse de rotation
(𝜆) que celle employée en 2D, il est possible de représenter l’impact de la flexibilité dans un espace (𝜂 −
𝜆). Ce faisant, le choix du ratio d’interaction fluide-solide (Σ) de même que la flexibilité (𝛿∗) provient des
simulations réalisées en 2D. La Figure 53 illustre cet espace paramétrique obtenue après 9 cycles.
Figure 53: Efficacité en fonction de la vitesse de rotation de la turbine obtenu au 9ème cycle.
Une seule configuration de pale flexible a été employée pour l’étude 3D. Le choix des paramètres
de flexibilité (Σ = 10) et (𝛿∗ = 15) étant basé sur les observations réalisées en 2D, la configuration
retenue est celle qui permet d’obtenir des déformations de grande amplitude induites par le fluide de même
qu’une augmentation de l’efficacité significative. Ainsi, pour une raison de ressource de calcul, seulement
cette configuration de flexibilité a été testée en 3D.
78
Sur la Figure 53, plusieurs constats peuvent être tirés. Dans un premier temps, il est possible
d’observer des comportements similaires à ceux présentés au chapitre 2. En effet, la flexibilité tend encore
une fois à élargir la plage de haute efficacité de la turbine à des vitesses de rotation plus élevées et plus
basses. C’est le comportement attendu à la lumière des observations réalisées en 2D. En effet, étant donné
que la pale considérée à une grande envergure, il est connu que la majeure partie de cette dernière se
comporte comme une pale 2D. Ainsi, comme la pale bidimensionnelle voyait une augmentation de sa plage
efficace en raison d’une diminution de l’effet de décrochage à basse vitesse de rotation et d’une diminution
de la traînée à haute vitesse de rotation, il est donc attendu que ces deux effets apparaissent aussi en 3D.
Cependant, ce qui était inconnu est l’impact que peut avoir les effets 3D sur ces effets 2D. Les sections 3.5
et 3.6 vont donc expliquer en détail ces différences attribuables aux effets 3D.
Également, ce qui est possiblement le comportement le plus important, est l’augmentation de
l’efficacité près du point de meilleur rendement de la turbine. Ce comportement n’étant pas présent en 2D,
il est alors surprenant de l’observer en 3D. Cette augmentation de l’efficacité est donc évidemment
attribuable à un effet tridimensionnel. L’analyse de ce point d’opération, menée à la section 3.7, a permis
de déterminer que cette augmentation est induite par l’interaction de la pale flexible avec le tourbillon généré
à son extrémité.
79
3.5 Étude des effets tridimensionnels à bas 𝝀
Tel que présenté à la section précédente, le point de meilleur rendement de la turbine se situe
approximativement à un 𝜆 de 3. En dessous de cette vitesse de rotation, l’efficacité se voit réduite. En effet,
la cause de cette diminution vient du décrochage aérodynamique que subissent les pales en raison des
grands angles d’attaque vues par ces dernières. La section 2.2.7 a présenté en détail ce phénomène de
décrochage, de même que son effet sur l’efficacité de la turbine pour des simulations réalisées en 2D. Ces
mêmes effets sont encore présents en 3D, mais de nouveaux phénomènes attribuables à la
tridimensionnalité du problème viennent alors s’y additionner. Tout d’abord, il a été observé en 2D que les
pales flexibles influençaient énormément l’intensité et la formation des tourbillons éjectés dans la section
amont du cycle 𝜃 ∈ [110° à 220°]. En effet, comme la pale tend à s’aligner avec l’écoulement, le
tourbillon éjecté est alors de magnitude moindre qu’il ne le serait avec une pale rigide. De plus, une fois le
tourbillon éjecté, ce dernier vient interagir avec la pale lors de son passage près du bord de fuite flexible. Il
en résulte donc une déformation qui engendre une légère impulsion de la pale ce qui est favorable pour
l’extraction d’énergie. Les mêmes constats peuvent encore une fois être observés en 3D. Pour ce faire, un
graphique de 𝐶𝑃 en fonction de la position angulaire de la pale est utilisé et illustré à la Figure 54.
Figure 54: Coefficient de puissance en fonction de la position angulaire pour une pale 3D rigide et une pale avec le bord de fuite flexible à 𝜆 = 2.
Sur cette figure, il est possible de constater que la magnitude du pic de 𝐶𝑃 vers 90° se trouve diminuée
alors que la plage couverte par ce dernier se trouve à être augmentée. Ce comportement très similaire à ce
qui est observé en 2D est attribuable à l’alignement de la pale avec l’écoulement. Ainsi, comme l’angle
d’attaque perçu par la pale se trouve réduit, il en résulte alors un couple moins important d’où la diminution
du maxima du pic. Cependant, comme le décrochage induit est de moins grande amplitude la reprise est
80
alors plus rapide, ce qui entraîne l’augmentation de la plage observée. Ainsi, même si le maxima est réduit
pour la pale flexible, l’efficacité de cette dernière se trouve à être augmentée dans son ensemble passant
de 26.6% à 27.9%. D’un autre côté, il est difficile, voire impossible, d’observer l’interaction qu’a le tourbillon
avec la pale dans cette figure, comme il est observé en 2D. La raison est que la valeur de 𝐶𝑃 obtenu sur la
figure précédente est le résultat de l’addition de tout ce qui se passe sur l’envergure de la pale pour une
même position angulaire donnée. Ainsi, les effets locaux le long de la pale sont difficilement identifiables.
Pour mieux visualiser ce qui se passe sur l’envergure de la pale et ainsi observer des phénomènes locaux,
trois figures ont été réalisées en différentes positions angulaires d’intérêts. Ces dernières sont identifiées
sur la Figure 54. Premièrement, la Figure 55 présente la contribution du 𝐶𝑃 sur l’envergure de la pale à une
position 𝜃 = 90°.
Figure 55: Distribution du coefficient de puissance sur l’envergure de la pale à la section (a) identifiée dans la Figure 54 à 𝜃 = 90°.
Tel qu’attendu, cette figure permet de bien visualiser la tridimensionnalité du problème. Les effets de bout
d’aile typique des pales 3D apparaissent nettement dans cette figure en 𝑧/𝑏 = ±0.5. Il est ainsi possible
de constater la perte en efficacité reliée à ces effets de bout de pale. De plus, l’effet décrit plus tôt de
l’alignement de la pale flexible avec l’écoulement apparaît bien dans la portion centrale de la pale. En effet,
il est possible d’observer des efficacités moindres pour la pale flexible en comparaison avec la pale rigide.
Il est également possible de constater que cette tendance tend à s’inverser vers les bouts de pale en raison
de l’impact de la flexibilité sur les tourbillons qui y sont générés. Cette inversion d’efficacité est davantage
décrite dans la section 3.6. Pour analyser ce qui se passe lors du décrochage en 3D, une représentation
similaire à la figure précédente a été réalisée à la Figure 56 pour 𝜃 = 130°.
81
Figure 56: Distribution du coefficient de puissance sur l’envergure de la pale à la section (b) identifiée dans la Figure 54 à 𝜃 =
130°.
Sur cette figure, il est possible de constater que la pale rigide décroche en raison des angles d’attaque
effectifs trop importants vus par cette dernière. D’un autre côté, la pale flexible demeure toujours attachée,
car l’angle d’attaque effectif n’a pas encore dépassé l’angle critique. Pour observer le début du décrochage
de la pale flexible, il est possible de se déplacer à 𝜃 = 140°.
Figure 57: Distribution du coefficient de puissance sur l’envergure de la pale à la section (c) identifiée dans la Figure 54 à 𝜃 =
140°.
La Figure 57 est intéressante du fait qu’elle permet à la fois d’illustrer le début du décrochage de la pale
flexible, mais aussi le déplacement du décrochage de la pale rigide sur son envergure. En effet, en regardant
la valeur de 𝐶𝑃′ de la pale rigide, il est possible d’observer que le décrochage de la pale débute environ à
82
𝑧/𝑏 = 0 en 𝜃 = 130° et qu’il se propage juste à environ 𝑧/𝑏 = ±0.25 à 𝜃 = 140°. Ainsi, comme il y
a une propagation du décrochage le long de l’envergure, l’observation de l’interaction du tourbillon avec le
bord de fuite flexible est alors plus difficile qu’en 2D, car il ne s’agit alors plus d’un phénomène instantané,
mais bien d’un phénomène continu. Ainsi pour visualiser ce phénomène d’interaction, des courbes de 𝐶𝑃′
sont produites à différentes positions sur l’envergure et présentées à la Figure 58.
Figure 58: Coefficient de puissance en fonction de la position angulaire de la pale pour différentes positions 𝑧/𝑏. Les paramètres
de cette configuration sont Σ = 10, 𝛿∗ = 15 et 𝜆 = 2.
L’effet du passage des tourbillons sur le bord de fuite s’y fait alors sentir. Il apparaît notamment que
l’interaction de ces derniers avec le bord de fuite survient à une position 𝜃 d’environ 190° comme en 2D.
Cependant, bien que l’effet semble être le même qu’en 2D, sa contribution est beaucoup moins importante.
La raison est que la déformation en 3D est influencée par ce qui se passe de part et d’autre de la pale.
Ainsi, comme l’éjection du tourbillon ne se fait pas au même instant partout sur la pale, il en résulte donc un
effet de retenu de la part des sections qui ne sont pas encore emportées par le tourbillon. Pour visualiser
cet effet de retenue et d’entraînement, une séquence d’image de déformation du bord de fuite est réalisée
à la Figure 59. Sur ces dernières, il est possible d’observer la déformation produite lors du décrochage de
la pale caractérisée par un renflement supérieur débutant au centre de la pale (𝑧/𝑏 = 0) et qui se propage
ensuite latéralement. L’effet tridimensionnel de la déformation se trouve alors à être bien illustré ici. La
deuxième séquence d’images de la Figure 60 illustre quant à elle la déformation induite par le passage du
83
tourbillon. Cette dernière se caractérise, quant à elle, par un renflement inférieur débutant encore une fois
au centre de la pale et qui se propage par la suite.
Figure 59: Séquence de déformation du bord de fuite flexible (Σ = 10, 𝛿∗ = 15) à la suite du décrochage aérodynamique.
84
Figure 60: Séquence de déformation du bord de fuite flexible (Σ = 10, 𝛿∗ = 15) à la suite du passage du tourbillon éjecté.
85
3.6 Étude des effets tridimensionnelles à haut 𝝀
Comme pour le 2D, la diminution d’efficacité rencontrée à haute vitesse de rotation est due à une
augmentation du frottement pariétal des pales de la machine. Il est cependant vrai qu’en raison de la
diminution des angles d’attaque effectifs à haute vitesse de rotation, la traînée induite se trouve à être
diminuée. Le problème est que ce comportement est aussi vrai pour les forces de portance, qui se trouvent
alors plus affectées par rapport aux forces de traînée. Il en résulte donc une diminution de l’efficacité en
fonction de l’augmentation de la vitesse de rotation. Comme la pale flexible tend à adopter la configuration
offrant le moins de traînée possible, cette dernière se trouve alors à agir directement au cœur du problème
inhérent aux hautes vitesses de rotation. La Figure 61 présente une distribution du coefficient de puissance
en fonction de la position angulaire de la pale sur un cycle complet. Cette dernière permet donc de faire le
comparatif entre la pale rigide et la pale flexible à 𝜆 = 5. Sur cette figure, il est possible de voir le même
constat qu’en 2D. C’est-à-dire que la pale tend à se déformer dans la portion amont du cycle ce qui diminue
son efficacité dans cette portion. Cependant, encore une fois, comme la cause de la diminution d’efficacité
à cette vitesse d’opération est la traînée, la pale flexible va donc adopter une configuration qui va être plus
optimale dans le reste du cycle. Ainsi, il va en résulter un coefficient de puissance toujours négatif dans
cette portion. Cependant son impact demeure moins important du point de vue de l’efficacité totale sur un
cycle.
86
Figure 61: Comparaison du coefficient de puissance à différentes positions angulaires pour une pale flexible ainsi qu’une pale rigide
3D.
Pour visualiser l’adaptation de la pale à l’écoulement, la Figure 62 présente la déformation induite au bord
de fuite flexible. Un fait intéressant à noter est que la déformation induite demeure toujours du même côté
de la pale. L’explication de ce comportement est encore une fois le même que celui observé en 2D. C’est-
à-dire que dans la portion aval du cycle, la pale est déformée du côté opposé à ce qu’il devrait être en raison
de l’apparition d’une cambrure effective. Ainsi, les forces de pression engendrées par cette cambrure
effective deviennent donc les forces dominant la déformation dans cette portion du cycle. De plus, il est
possible d’observer la différence de la magnitude de déformation en comparant les résultats obtenus à
haute vitesse à ceux obtenus à la Figure 59 et la Figure 60 pour les basses vitesses de rotation. En effet,
comme les angles d’attaque effectifs sont beaucoup moins importants à haute vitesse de rotation, il en
résulte donc des déformations de moins grandes amplitudes pour un même 𝛿∗. Également, il est intéressant
de noter que la déformation en bout de pale reliée aux tourbillons semble changer de signe vers 𝜃 = 240°.
Cependant, il n’en est rien. Le changement de côté de la déformation observé vient de la diminution de
l’intensité du tourbillon de bout de pale en raison de l’apparition d’un pic de succion du côté extérieur à la
rotation sur le bord d’attaque de la pale. Il s’en suit donc une symétrisation des forces de pression de part
et d’autre de la pale, ce qui tend à diminuer énormément la magnitude du tourbillon tel qu’observé sur la
Figure 63 .
87
Figure 62: Séquence de déformation du bord de fuite flexible à 𝜆 = 5.
88
Figure 63: Isocontour de champs de vorticité pour comparaison du tourbillon en bout de pale à 𝜃 = 260° et 𝜆 = 5.
89
3.7 Étude des effets tridimensionnels près du point de
meilleur rendement
Tel que mentionné à la section 3.4, il est étonnant de constater que la turbine munie d’un bord de
fuite flexible permet d’obtenir des rendements supérieurs en son point de meilleur rendement. Il est en effet
possible de constater une augmentation de 2% de l’efficacité de la turbine lorsque les paramètres de
flexibilité Σ = 10 et 𝛿∗ = 15 sont employés. Étant donné qu’il a été observé en 2D qu’une turbine munie
de pales flexibles ne semble pas pouvoir dépasser les rendements d’une turbine rigide en raison d’une
diminution de l’angle d’attaque au point de meilleur rendement, l’augmentation observée est donc attribuable
à un phénomène 3D. L’analyse de la Figure 64 permet de comprendre la raison derrière cette augmentation.
En effet, lorsque cette figure est comparée à son homologue en 2D, il est possible de constater des
élévations relatives plus importantes de la pale flexible vers 90° et 270°. Or, ces deux positions angulaires
correspondent à des emplacements où la pale perçoit des angles d’attaques plus importants. Il en résulte
donc la génération de tourbillons en bout de pale de plus forte amplitude à ces emplacements. C’est
l’interaction de la pale flexible avec ces tourbillons qui est effectivement responsable du gain en efficacité
observé.
Figure 64: Coefficient de puissance en fonction de la position azimutal.
De plus, il est généralement admis dans la littérature (NASA, 2012) que les tourbillons de bout de pale ont
un effet sur l’écoulement autour de cette dernière. Bien que l’effet cinématique est léger, les conséquences
90
sur l’aérodynamique de la pale sont très importantes. En effet, il est bien connu que ces tourbillons induisent
des champs de vitesse autour d’eux via leur circulation. Cette induction de vitesse se traduit par une légère
vitesse vers le bas tel que représenté dans le référentiel de la Figure 15. Cet effet est mieux connu en
aérodynamique par son appellation anglaise “downwash”. Cette vitesse induite engendre donc à son tour
deux effets néfastes pour la turbine. La première est une diminution de l’angle d’attaque effective de la pale.
Cette diminution est le résultat de l’induction de vitesse vers le bas sur le vecteur vitesse vue par la pale
(𝑊). Cet effet est particulièrement important dans la portion amont du cycle, là où les angles d’attaque
effectifs sont les plus importants.
Le second impact est une induction de traînée supplémentaire. En effet, comme la portance de la pale (L)
est toujours perpendiculaire au vecteur (𝑊) vu par la pale, le vecteur portance se trouve alors légèrement
incliné vers l’arrière par rapport à la verticale. Ainsi, la composante de portance dans la direction horizontale
devient donc une contribution supplémentaire à la traînée totale de la pale. Cet effet est généralement connu
sous le nom de trainée induite.
Étant donné que la pale flexible tend à diminuer l’intensité du tourbillon comme, il en va donc de même avec
les deux effets néfastes que celui-ci engendre. Ainsi, le gain de l’interaction avec le tourbillon se concentrera
dans les portions du cycle où ce dernier est plus intense, comme il est observé à la Figure 65.
Figure 65: Isocontour de champs de vorticité pour comparaison du tourbillon en bout de pale à 𝜃 = 100° et 𝜆 = 3.
91
3.8 Conclusion de l’étude 3D
La motivation derrière ce chapitre est venue de l’étude réalisée en 2D qui a présenté des
mécanismes intéressants permettant d’augmenter l’efficacité de la turbine en l’équipant de pale avec un
bord de fuite flexible. Étant donné qu’il est bien connu que la tridimensionnalité des turbines à axe vertical
vient complexifier l’écoulement autour de ces dernières en réduisant leur efficacité, la validation des effets
observés en 2D a donc été réalisée en 3D. Ainsi, les résultats obtenus dans ce chapitre se rapprochent
davantage de ce qui serait obtenu pour une turbine en utilisation réelle.
Les résultats de l’étude 3D obtenus avec le logiciel commercial STAR CCM+ montrent une
augmentation de l’efficacité de la turbine munie de pales flexibles en comparaison avec ce qui serait obtenu
pour une turbine traditionnellement munie de pales rigides. Ce qui est le plus étonnant de ce chapitre est
que l’augmentation en efficacité obtenue est observée pour toutes les vitesses d’opération de la machine.
Notamment, même l’efficacité de la machine au point de meilleur rendement a été surpassée de 2.26%. Ce
constat est étonnant, car l’étude menée en 2D semblait démontrer qu’une pale flexible ne pouvait en aucun
moment dépasser l’efficacité d’une turbine rigide en son point de meilleur rendement. La raison étant que
ce point se situe juste avant le décrochage aérodynamique de la pale et que la puissance est fonction de la
vitesse de rotation de la turbine. Ainsi, comme les angles d’attaque effectifs des pales flexibles se trouvent
à être diminués, il faut donc des vitesses de rotation plus faibles pour produire des couples similaires aux
pales rigides. Suivant la définition de la puissance définie à l’équation 2.2 pour un même couple donné, la
pale tournant le moins rapidement aurait nécessairement une puissance moindre et donc une efficacité
moindre. L’augmentation d’efficacité observée en 3D a donc une origine tridimensionnelle. Ce qui a été
observé, c’est que la flexibilité de la pale vient agir sur le mécanisme habituellement responsable de la perte
en efficacité des pales d’envergure finie, c’est-à-dire les effets de bout de pale. Il a été observé que la pale
flexible avait tendance à diminuer l’intensité des tourbillons produits à ses extrémités et donc de diminuer
la traînée induite par le fait même. C’est cette contribution qui est responsable du gain en efficacité de la
turbine au point de meilleur rendement. De plus, ce chapitre permet de valider les phénomènes relatifs aux
pales flexibles décrits dans le chapitre 2. Il a notamment été observé qu’à haute vitesse de rotation les pales
flexibles tendent à adopter la configuration offrant le moins de traînée possible. Elles agissent alors
directement sur le mécanisme responsable de la diminution d’efficacité à ce régime. Également, l’interaction
de la pale avec les tourbillons éjectés a pu être observée à basse vitesse de rotation. Cependant, l’effet de
cette interaction qui est très bénéfique en 2D s’est avéré pratiquement négligeable en 3D. La raison est
qu’en 3D les tourbillons ne sont pas tous éjectés en même temps sur l’envergure de la pale. Ainsi, les zones
non décrochées tendent à retenir la déformation ce qui donne des déformations de moins grande amplitude
en plus d’être accompagnées d’un décrochage en cascade qui égalise encore plus l’effet.
92
Conclusion
Retour sur les résultats et les objectifs
L’objectif du mémoire était de rendre compte de l’impact de l’utilisation d’un système passif de
déformation des pales sur l’efficacité d’une turbine à axe vertical. Afin d’y parvenir, le projet a été divisé en
deux phases qui ont permis d’atteindre les trois sous-objectifs. La première phase a permis de cerner la
problématique et d’explorer un espace paramétrique permettant de décrire ce système passif en deux
dimensions. Cette dernière a également fait l’objet d’un article soumis dans un journal scientifique. La
deuxième phase, quant à elle, réutilise les résultats optimaux de la première phase pour mener une étude
tridimensionnelle. Cette dernière est plus représentative des turbines à axe vertical réelles.
Premièrement, dans le but d’évaluer l’impact de la flexibilité sur la plage effective de la turbine,
l’étude paramétrique réalisée en 2D a permis d’évaluer plusieurs concepts à différentes vitesses
d’opérations. Il a alors été observé que les configurations à forte interaction fluide-solide (Σ = 10) et grande
déformation (𝛿∗ = 15) permettait d’augmenter la plage d’efficacité à basse et à haute vitesse de rotation.
Le même constat a par la suite été réalisé en 3D avec les paramètres optimaux trouvés en 2D.
Également, l’impact de la flexibilité au point de meilleur rendement de la turbine a été étudié.
Encore une fois, la première étude a été réalisée en 2D. Cette dernière a permis de conclure qu’il n’était
pas possible pour une pale flexible de très grande envergure (envergure infinie) d’avoir des rendements
supérieurs à une pale rigide. La raison de cette observation est que la pale flexible produit un couple
maximal à plus basse vitesse de rotation en raison des angles d’attaque effectifs induits par la flexibilité.
Ainsi, à couple égal, la pale rigide tournant plus rapidement va nécessairement avoir une puissance
supérieure à celle de la pale flexible. Cependant lorsqu’il est question d’une envergure finie, comme c’est
le cas la majeure partie du temps, il a été observé que la pale flexible tend à avoir une efficacité supérieure
à la pale rigide. L’explication de ce phénomène provient de l’interaction de la pale flexible avec le tourbillon
de bout de pale. Comme cette dernière se trouve beaucoup moins affectée par la traînée induite il en résulte
donc des rendements supérieurs.
Enfin, l’étude de l’utilisation de pales flexibles a permis l’exploration des nouveaux mécanismes se
rattachant à la flexibilité de ces dernières. Il a notamment été question de l’interaction que pouvait avoir la
pale flexible avec le tourbillon éjecté lors du décrochage de cette dernière. En effet, il a été démontré que
la dépression générée par le tourbillon lors de son passage près du bord de fuite induisait une grande
déformation de ce dernier. Cette déformation engendre par la suite une légère impulsion qui est bénéfique
pour l’efficacité de la turbine. Également, un autre mécanisme responsable de l’augmentation de l’efficacité
93
à haute vitesse de rotation est l’adaptation de la pale face à l’écoulement. Ce mécanisme, plus trivial cette
fois, permet tout de même d’augmenter l’efficacité de la turbine de façon significative en réduisant la traînée
de la pale. De plus, le même genre de mécanisme d’adaptation à l’écoulement est aussi présent en bout de
pale. Il va alors permettre de diminuer la traînée induite par les tourbillons produits à cet endroit ce qui va
augmenter l’efficacité dans les positions à fort gradient de pression.
Études future possible
Bien qu’un large éventail de paramètres ait été testé, ce présent travail ne prétend pas avoir exploré
l’ensemble de l’espace paramétrique décrivant la présente problématique. En effet, il reste actuellement
plusieurs aspects à explorer avant de pouvoir produire un concept qui serait viable expérimentalement.
C’est notamment le cas des divers paramètres qui sont demeurés constants et dont leur impact n’a pas été
étudié. On pense entre autres au profil de la pale (NACA 0015), la position du point d’attache (𝑥𝑃/𝑐 =
1/3), l’envergure de la pale (𝑏/𝑐 = 7.5), le nombre de Reynolds (1 × 107) ainsi que la solidité (0.286)
qui sont demeuré constants.
Également, la prochaine étape logique de ce travail menant à une conception concrète d’une
machine serait l’analyse de l’impact de l’interaction des bras de support avec l’écoulement autour de la pale
flexible. Diverses études (Hara, et al., 2019) ont effectivement démontré l’effet néfaste que pouvait
engendrer les bras de support sur la distribution de la pression autour des pales. Bien que ces études ayant
été menée sur des pales rigides permettent d’avoir une bonne idée de l’impact encouru par les pales
flexibles, leurs effets demeurent à tout le moins inconnu pour l’instant. De plus, aucune analyse du sillage
de la turbine à pale flexible n’a été réalisée permettant de se comparer à une turbine traditionnelle. Or, il est
bien connu que ce type d’analyse est crucial pour une future considération d’application en parc.
Enfin, il a été démontré qu’une pale flexible permettait d’améliorer l’efficacité de la turbine au point
de meilleur rendement notamment via la diminution des tourbillons en bout de pale. Ainsi, un concept de
turbine intéressant à étudier ferait intervenir une rigidité hybride dans le sens de l’envergure permettant de
tirer avantage à la fois de la flexibilité en bout de pale et de la rigidité en son centre. Cette turbine pourrait
donc bénéficier de l’efficacité de la pale rigide dans la zone 2D et de l’adaptation au tourbillon en extrémité
de pale.
94
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