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Tutoriel pour le logiciel FEMM (Simulations électromagnétiques avec la

méthode des éléments finis)

Volet électrostatique

Marlène Clisson et Marc Boulé

École de technologie supérieure

Été 2014

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1. Le logiciel en quelques mots Ce logiciel FEMM (Finite Element Method Magnetics) est gratuit, en anglais, et est accessible à l’adresse suivante : http://www.femm.info/wiki/HomePage. Vous devez le télécharger à partir du lien Download pour l’utiliser. Il permet de simuler des problèmes d’électrostatique et de magnétostatique. Le site vous présente plusieurs exemples ainsi qu’un manuel d’utilisation complet en anglais. Notez que pour des paramètres décimaux, utilisez le point et non la virgule.

Fonctionnement du logiciel Les schémas des problèmes sont dessinés en 2D. Le logiciel sépare la région qui nous intéresse en triangles plus ou moins gros suivant la précision. Ensuite chaque solveur sélectionne un ensemble de fichiers de données qui correspond à notre problème. Puis le solveur résout les équations différentielles partielles correspondantes pour obtenir les valeurs de champ désiré. Les équations de Maxwell sont utilisées. Dans le cas des problèmes électrostatiques, seul le champ électrique nous intéresse, ainsi le champ magnétique n’est pas considéré.

2. La barre du menu principal

Pour annuler une opération : <CTRL> + <Z> Pour afficher les propriétés d’un objet : <SPACE> Le bouton de droite permet de sélectionner l’objet le plus proche, en fonction du type d’objet choisi dans « bloc objet ». Le bouton de gauche dépose un objet correspondant au choix sélectionné dans « bloc objet ». Lorsqu’un objet est sélectionné, il devient rouge. Pour entrer les coordonnées d’un point (nœud) : <TAB> Voici la barre de menu pour la solution finale : (en mode électrostatique)

Maillage Visualisation des résultats

Nœud

Segment

Matériau

Courbe

Exécution de la procédure de calcul

Bloc objet

Déplacer

Copier Coin rond

Donne les propriétés du conducteur avec le voltage et

la charge de l’objet

Maillage

Met les lignes équipotentielles.

Peut choisir le nombre

Gradient de potentiel ou de

champ électrique

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3. Création d’une simulation électrostatique. Voici les différentes étapes pour faire une simulation d’un problème électrostatique. Les informations générales seront présentées dans la colonne de gauche tandis que l’exemple particulier sera présenté dans la colonne de droite. Le but sera donc de déterminer la capacité d’une sphère conductrice ayant un potentiel de 1 volt et un rayon de 1 cm. Voir le fichier le fichier Sphère-Asymptotic.FEE. 1. Lorsque vous démarrez le logiciel, une

fenêtre vide s’ouvre. Vous devez cliquer sur

l’icône suivant: . Ensuite, choisir le type de problème Electrostatics problem ou Magnetics problem. Une fenêtre apparait avec les barres de menu principales.

Notre exemple est un problème d’électrostatique.

Avant de dessiner le problème, il est important de regarder la symétrie du problème. 2. Paramètres du problème :

Pour spécifier la symétrie, aller dans la barre de menu principal, et cliquer sur Problem.

a. Choisir le type de symétrie : Planar ou Axisymétric. La symétrie Planar signifie que l’objet d’étude entre et sort de « l’écran », comme un long fil infini où l’on représenterait sa section en 2D. La symétrie Axisymétric signifie que l’on tourne autour d’un axe vertical, comme un cylindre de dimension finie.

b. Choisir l’unité des longueurs. c. On peut également jouer sur la précision

et sur l’angle des triangles. d. Un commentaire utile peut aussi être noté

dans la boite « Comment ».

La sphère présente une symétrie Axisymétric. Elle tourne autour d’un axe qui passe par son centre. L’unité à choisir est le centimètre. Pour le reste, on laisse tel quel.

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3. Le schéma de simulation : Ensuite, dessiner le schéma en utilisant le bouton nœuds. Pour cela, placer des nœuds de telle sorte à reproduire notre problème. Pour rentrer directement les coordonnées, utiliser la touche <TAB>. Utiliser le bouton Segment ou Courbe pour relier les deux nœuds. Si vous voulez effacer un point, se mettre sur le bouton point, et sélectionner le point avec le bouton droit de la souris (celui-ci devient rouge), puis <Suppr>. Même démarche pour les autres éléments du bloc objet. Pour faire un zoom approprié une fois que les nœuds ont été entrés, appuyez sur le bouton

(« Zoom extents ») situé à la gauche de l’écran. Les deux boutons au-dessus permettent de faire un « Zoom-in » et un « Zoom-out », tandis que les flèches (autant les boutons à l’écran que les touches sur le clavier) permettent de déplacer la vue.

Une sphère est représentée par un demi-cercle qui tourne autour de l’axe vertical (z). Ici, nous avons les coordonnées (0; 1) et (0; -1) pour la sphère. On relie les deux points avec une Courbe en précisant un angle de 180° et des segments de 1°. Il faut sélectionner le point du bas en premier sinon la demi-sphère sera inversée.

La demi-sphère

(0; 1)

(0; -1)

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4. Conditions aux frontières Il est nécessaire de définir une frontière pour permettre de limiter le calcul. Nous reviendrons plus en détail sur les frontières à l’annexe 3. C’est une notion importante, son choix est primordial. Elle ne doit pas influencer le calcul du champ électrique. Elle permet seulement de limiter la zone de calcul.

a. Dessiner la frontière extérieure. b. Cliquer sur l’onglet Properties, puis

Boundary, Add Property. c. Nommer la frontière puis définir les

paramètres. d. Ensuite faire apparaitre les propriétés de

l’objet correspondant à la frontière et lui assigner la nouvelle frontière (dans Boundary cond.) La touche <SPACE> ou le

bouton permettent d’accéder aux propriétés d’un objet sélectionné.

e. La méthode Kelvin transformation demande des étapes supplémentaires (annexe 3).

Répétez l’étape 3 mais avec un rayon de 5 cm : ce sera la frontière extérieure. Le calcul du maillage se fera entre les deux demi-cercles. Relier les deux courbes par des segments verticaux. Faites un « Zoom extents » ou un « Zoom out » afin de bien cadrer les quatre noeuds. Ensuite, définissez une propriété pour la frontière. Puisque l’on peut considérer l’objet comme une source ponctuelle vu de l’infini, en axisymetric on impose que le coefficient c0 soit égale à ��/� (voir l’annexe 3 partie 2 pour plus de détails). Attention ε0 se note avec la lettre e et la lettre o, et le rayon doit être en mètre !

Assignez cette propriété à la frontière extérieure (inutile de l’appliquer aux segments verticaux).

Frontière

extérieure

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5. Le choix des matériaux et des milieux.

Il est important de déterminer l’environnement autour de notre objet d’étude, et dans le cas d’isolants, l’intérieur des objets eux-mêmes.

Avec le bouton , on définit l’environnement autour de l’objet.

a. Dans le menu Properties, cliquer sur Materials, puis Add Property.

b. Nommer le type de milieu ou de matériau puis définir les paramètres.

c. Sélectionner puis cliquer dans la région autour de l’objet pour déposer une étiquette dans le schéma.

d. Clic droit pour sélectionner. e. Ouvrir les propriétés (<SPACE>) pour

assigner le milieu précédemment créé. f. Décocher Let Triangle choose Mesh Size et

inscrire la taille voulue. (Voir l’annexe 2 sur le maillage pour de plus amples détails).

Il y a de l’air autour de la sphère; il faut donc définir ce « matériau » . La permittivité diélectrique relative de l’air est, à toutes fins pratiques, égale à 1.

Placez une nouvelle étiquette dans la région entre les deux cercles et ouvrez sa fenêtre de propriétés. Assignez le nouveau milieu créé (soit l’air), tout en spécifiant une taille de maillage de 0.025. Dans les dimensions choisies, cette taille donne un bon compromis entre la précision et le temps de calcul (voir l’annexe 2 pour plus de détails).

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6. Définir le voltage ou la charge

Il est important d’indiquer que l’objet de l’étude porte une charge sinon il ne produit pas de champ électrique !

a. Sélectionner Properties puis Conductors. b. Utiliser Add Property pour créer les

charges ou les voltages nécessaires. c. Sélectionner les lignes ou courbes

(bouton ligne ou courbe + clic droit) et leur assigner le voltage ou la charge voulu(e) en ouvrant la boîte de dialogue de propriétés avec <SPACE>.

Dans notre cas, la courbe de la sphère porte un voltage de 1V, mais la frontière ne porte pas de voltage. On a créé une propriété nommée « 1 volt »,

et on l’assigne à l’arc intérieur :

7. La génération du maillage et la simulation a. Il est maintenant temps de sauvegarder votre fichier à l’aide de la séquence <CTRL>+<S> ou

à l’aide du menu « File » suivi de « Save ».

b. Lancer le générateur de triangle (maillage) : .

c. Lancer la procédure de calcul puis la visualisation d. Un nouvel onglet va s’ouvrir.

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Voici la simulation terminée (Voir Figure 1). On peut y apercevoir le gradient de potentiel électrique

tandis que les courbes équipotentielles ont été enlevées (avec les boutons : ). À l’aide d’un logiciel de traitement d’images, on pourrait dessiner notre objet d’étude complet en faisant une copie miroir.

En choisissant le bouton , on peut voir que la charge accumulée sur la sphère est de 1.11274 pC. La capacité est donc :

C = Q/V = 1,11274 pC / 1 volt C = 1,11274 pF

En comparaison, le calcul théorique est C = 4πε0R = 1,11265 pF.

Figure 1 : Simulation d’une sphère conductrice portant un potentiel de 1 volt, avec un rayon de 1 cm.

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Annexe 1 – La symétrie plane Dans le tutoriel, nous avons étudié une symétrie axisymétric. Nous allons maintenant montrer un exemple de symétrie plane avec deux fils de 0,5 cm de diamètre, espacés de 1,5 cm (centre-à-centre). Vous trouverez la simulation dans le fichier DeuxFils-Asymptotic.FEE. Nous allons reprendre les mêmes étapes que dans le tutoriel, en respectant la même numérotation.

1. Nous reprenons un problème de type électrostatique. 2. Dans Problem, choisir la symétrie Planar, la longueur en centimètre et garder l’angle de 30°. Choisir

une profondeur de 100 cm (la longueur des fils). Notez qu’en symétrie plane, les effets de bords ne sont pas modélisés.

3. Pour le schéma de simulation, il suffit de dessiner deux fils composés de deux demi-cercles chacun. Le schéma de la simulation est présenté ci-dessous dans la Figure 2.

Figure 2 : Schéma de la simulation de symétrie plane avec deux fils de 0,5 cm de diamètre, espacés de 1,5 cm (centre-à-centre).

4. Nous allons définir la frontière extérieure de la même manière que dans le tutoriel, mais en faisant un cercle complet à l’aide de deux demi-cercles de rayons 5 cm. Ensuite, cliquer sur l’onglet Properties → Boundary →Add Property. Nommer cette nouvelle condition « Frontière extérieure ». Mettre BC Type à Mixed et définir le coefficient c0 égal à

��

� avec R, le rayon de la frontière

extérieure en mètre (peu importe les unités du problème). Assigner cette condition à la frontière extérieure.

5. Il faut déterminer l’environnement autour de notre objet d’étude. Ici il s’agit de l’air avec une taille de maillage de 0.03. Reprendre la même procédure que dans la partie principale de ce tutoriel. Dans ce cas présent, nous devons aussi spécifier que l’intérieur des fils, étant conducteurs, n’ont pas à être simulés. Pour cela, il faut ajouter des étiquettes <No Mesh>.

(0; -5)

(0; -1)

(0; -0.5)

(0; 0.5)

(0; 1)

(0; 5)

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6. Il reste à déterminer les voltages sur les objets d’étude. Définir un nouveau conducteur en suivant : Properties → Conductors → Add Property. Nommer les nouveaux conducteurs « conducteurA » et « conducteurB » et mettre 0.5 volt et -0.5 respectivement. Assigner ces nouvelles propriétés aux objets d’étude, c’est-à-dire les fils.

7. Pour finir, nous allons générer le maillage. N’oubliez pas de sauvegarder votre fichier. Exécuter la simulation et ouvrir les résultats.

La Figure 3 présente le résultat de la simulation montrant le gradient du potentiel. Concernant la capacité, le calcul théorique donne C = 15,780 pF alors que la simulation donne C = 15,791 pF.

Figure 3 : Simulation de symétrie plane avec deux fils de 0,5 cm de diamètre, espacés de 1,5 cm (centre-à-centre).

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Annexe 2 – Le maillage La détermination de la taille du maillage est une étape importante. Cela revient à déterminer la taille des triangles (éléments). Plus les triangles sont petits, plus ils sont nombreux et donc plus le calcul sera précis. Mais ceci implique que le temps de calcul sera plus long. Des triangles trop gros ne donneront pas suffisamment de précision. Le logiciel propose de faire le maillage lui-même. Typiquement, celui-ci ne met pas suffisamment de triangles, ce qui donne une mauvaise précision. Ce peut être suffisant pour une estimation rapide, mais pour obtenir davantage de précision il est souvent utile de spécifier une taille maximale pour les triangles. Il est important de bien comprendre l’objet d’étude pour avoir une meilleure idée des zones importantes. Il faut trouver le bon équilibre entre la taille des triangles (et donc la précision) et le temps de calcul. Comme indiquée dans le tutoriel, dans les propriétés de l’étiquette du milieu (ex. Air), il suffit de désélectionner « Let Triangle choose Mesh Size » et de spécifier nous-mêmes une grandeur maximale pour les triangles. L’exemple à l’annexe 1 avait le désavantage d’avoir une grande région à simuler, et donc une grande quantité d’éléments. Une bonne pratique consiste à fractionner l’espace d’analyse en plusieurs zones avec des précisions différentes, comme le montre la figure ci-dessous (Voir fichier DeuxFils-AsymptoticDeuxZones.FEE). La taille des points associés aux étiquettes de milieu donne même un aperçu subtil des tailles de triangles imposées (comparer la taille des points verts dans la Figure 4). Dans cet exemple, un cercle de rayon 2 cm a été ajouté pour pouvoir spécifier des triangles maximaux de 0.02 dans la zone intérieure et 0.08 dans la zone extérieure.

Figure 4 : Schéma de simulation de symétrie plane avec deux fils avec la représentation du maillage.

On peut essayer plusieurs conditions pour atteindre celle désirée en commençant par une taille de triangle plus grosse et en affinant au fur et à mesure. Dans le nouvel exemple ci haut, avec deux fois moins de triangles (et d’éléments) que la simulation à l’annexe 1, nous obtenons un résultat de C = 15,786 pF, ce qui est plus près du résultat théorique qu’en utilisant une seule zone. La méthode nous a permis d’augmenter la précision là où c’est important (près des fils), et de diminuer la précision là où ça l’est moins. Étant donné la symétrie du problème, il est possible de réduire la taille du problème davantage en simulant seulement le quart du problème (voir fichier DeuxFils-AsymptoticQuart.FEE. Dans ce cas, la capacité est de C = 2⋅7,8953 pF = 15,791 pF, soit sensiblement la même valeur que celle obtenue en simulant la zone entière, tel qu’effectuée dans l’annexe 1, mais en faisant appel à quatre fois moins de triangles (éléments).

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Annexe 3 – Les conditions aux frontières La simulation par éléments finis nécessite de poser des frontières pour que les calculs soient bornés. Il est important de bien les déterminer comme le montre ici l’exemple. Voici une simulation semblable avec un objet de section rectangulaire, mais avec deux types de frontières. L’image 1 utilise une frontière avec un potentiel nul tandis que l’image 2 montre une frontière de type Asymptotic boundary condition. Nous voyons que la frontière extérieure a mal été définie pour l’image 1, car celle-ci influence les lignes équipotentielles en les confinant à l’intérieur de la zone d’étude.

Le logiciel propose trois façons de spécifier ces frontières :

− Truncation of outer boundaries − Asymptotic boundary condition (ABC) − Kelvin transformation.

Suivant la précision voulue, nous allons choisir une des trois. Voici en quelques mots, une description de chacune.

1. Truncation of outer boundaries.

Avec ce type de frontière on détermine une zone autour de notre objet. La distance entre l’objet d’étude et la frontière doit être équivalente à au moins cinq fois le rayon(ou la longueur) de notre objet. Elle est la méthode la plus simple et celle qui demande le moins de configurations dans le logiciel, mais elle est la moins précise des trois méthodes. Cette région est volontairement trop grande pour éviter que la frontière influence la simulation. Il faut poser que cette frontière extérieure correspond à un voltage nul. Pour cela, il faut définir une frontière fixe en suivant le menu Properties → Boundary → Add Property. Choisir le type Fixed Voltage et inscrire 0 dans la case Fixed Voltage. Ensuite, il faut appliquer cette frontière aux objets qui servent à délimiter la frontière dans le schéma.

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2. Asymptotic boundary condition. Nous avons utilisé celle-ci dans les deux exemples de la partie principale de ce tutoriel. Cette méthode est une version approximative des méthodes de frontière ouverte. En effet, il y a une combinaison de calcul entre la solution analytique à l’extérieur du cercle, et la solution d’éléments finis à l’intérieur. La structure à simuler devrait être placée au centre du domaine circulaire. Dans l’exemple suivant, on constate que ce type de frontière influence beaucoup moins les calculs. Par contre, il sera impossible d’observer adéquatement l’environnement de l’objet si le rayon de la frontière est trop petit.

Pour utiliser cette méthode, il faut définir une frontière asymptotique en suivant le menu Properties → Boundary → Add Property. Choisir le type Mixed et spécifier la valeur du paramètre c0. Ensuite, il faut appliquer cette frontière à la courbe qui sert de frontière dans le schéma. Suivant la symétrie du problème, il n’est pas nécessaire de dessiner un cercle en entier. Attention à bien mettre le rayon de la frontière en mètre dans la formule du coefficient c0. Notez que la constante ε0 peut s’écrire « eo » dans le logiciel. Le choix du paramètre n est décrit plus bas.

�� = ��

��� = 0

Type de symétrie Vue de l’infini n Exemple

Axisymmetric Dipôle 2 Condensateur deux disques Charge ponctuelle 1 Sphère chargée

Planar Dipôle filaire 1 Condensateur deux tuyaux Fil mince -- --

La vue de l’infini représente ce à quoi ressemble la structure à simuler lorsqu’observée de loin. La symétrie plane avec une vue de l’infini de type « fil mince » ne s’applique pas car dans ces cas la référence de potentiel nul à l’infini implique que le potentiel de l’objet devrait être infini et que la capacité devrait être nulle. Dans ce cas, on doit implicitement spécifier la référence de potentiel à un endroit particulier qui n’est pas à l’infini, et ce faisant, la frontière extérieure à utiliser devient alors une frontière de type « Truncation of outer boundaries », tel que présentée à la page précédente. Notons aussi que dans le cas des situations dipolaires, une bonne pratique consiste à placer les objets de sorte que le potentiel soit nul au centre de la région d’analyse. Les notions dans ce dernier paragraphe s’applique aussi dans le cas de la transformation Kelvin.

Lignes équipotentielles non perturbées par la frontière.

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3. Kelvin transformation.

C’est la technique la plus précise. Elle fait partie des méthodes de frontière ouverte. Avec cette technique :

− Les effets extérieurs sont modélisés (en dehors de ce que l’on étudie); − Il n’est pas nécessaire d’avoir des caractéristiques particulières à introduire lors de la

démarche.

Les deux types de symétries sont supportés par cette méthode et dans les deux cas il faut définir une région extérieure à la zone principale contenant l’objet d’analyse. Dans les deux types de symétries, au centre de la région extérieure il faut ajouter un nœud auquel on assigne la propriété de zéro volt. Pour créer la propriété, il faut aller dans le menu Properties → Point →Add property → Specified potential property.

a. Symétrie planar

Pour un problème avec une symétrie Planar, il faut créer deux régions circulaires. La première région contient l’objet d’étude. La deuxième région représente le domaine éloigné. Les deux cercles sont entiers, ce qui signifie que l’on est obligé de dessiner l’objet d’étude en entier. Ensuite, il faut définir deux frontières en suivant le menu Properties → Boundary → Add Property. Choisir le type Periodic. Dans l’exemple qui suit, les deux frontières périodiques ont été nommées PB1 et PB2 : une première pour les deux demi-cercles supérieurs, et une autre pour ceux inférieurs, permettant ainsi de les lier ensemble (voir Figure 5). La deuxième région modélise les solutions de l’espace infini. Les deux cercles doivent avoir le même environnement (par exemple, l’air). La taille et la position du deuxième cercle n’ont pas d’importance. Voici l’exemple avec deux fils parallèles (voir fichier DeuxFils-Kelvin.FEE) . On trace autour de notre objet d’étude un cercle, dont l’environnement intérieur sera de l’air. On trace un deuxième cercle qui représentera l’extérieur. Il faut également mettre « Air » comme environnement. Dans cet exemple, il faut préciser qu’il ne faut pas faire de calcul à l’intérieur du conducteur, en mettant une étiquette <No Mesh>.

Figure 5 : Schéma de simulation de symétrie plane avec deux fils avec une frontière de type Kelvin transformation.

PB1

PB2

Point au potentiel nul

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Voici le résultat de la simulation (Figure 6). Par calculs, on peut montrer que la capacité des deux fils de 1 m est de 15,791 pF, soit le même résultat que les simulations effectuées dans les annexes 1 et 2.

Figure 6 : Simulation de symétrie plane avec deux fils avec une frontière de type Kelvin transformation.

b. Axisymmetric

Comme précédemment, il y a deux zones, une pour l’objet d’étude et la seconde pour la région extérieure. Les deux zones sont des sphères qui seront reliées entre elles par une condition aux frontières de type Periodic. La seconde sphère doit être sur le même axe que la première sphère. Pour respecter ce type de symétrie, il faut seulement dessiner des demi-cercles. Dans le menu Properties → Exterior region, il faut définir le diamètre des deux sphères et la position du centre de la région extérieure. Le centre doit se trouver sur l’axe des z. Il est important de caractériser l’étiquette servant à définir l’environnement (Bloc label) dans la région extérieure comme appartenant à la celle-ci grâce à l’option prévu dans les propriétés de l’étiquette (illustré à droite). Dans cet exemple, nous reprenons la sphère du tutoriel principal, par contre la région sera plus petite, avec un rayon de 3 cm au lien de 5 cm, et nous diminuerons la taille des triangles à 0.015 (au lieu de 0.025 dans le tutoriel). Avec sensiblement le même nombre d’éléments, la précision a été légèrement améliorée comparativement à l’exemple du tutoriel :

Simulation : C = 1,11258 pF Théorie : C = 1,11265 pF

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Figure 7 : Schéma de simulation de symétrie axisymmetric avec deux fils avec une frontière de type Kelvin transformation.

Figure 8 : Simulation de symétrie axisymmetric avec deux fils avec une frontière de type Kelvin transformation.

PB

Point au potentiel nul

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Annexe 4 – Rafraichissement d’écran et délai d’inactivité Windows

Si la simulation demandée comporte une grande quantité d’éléments, le dessin du maillage ou des gradients peut être problématique sur certains ordinateurs. Lorsque le temps requis pour rafraichir l’interface graphique du logiciel dépasse un certain seuil (cinq secondes typiquement), le système d’exploitation Windows peut parfois interpréter cela comme un signe de non-fonctionnement du logiciel, ce qui peut entrainer un rafraichissement d’écran. Un cycle perpétuel (ou du moins à quelques reprises) peut faire en sorte que le logiciel ne répond plus et est inutilisable. Deux méthodes sont utiles pour enlever ou réduire les problèmes reliés au rafraichissement graphique.

1. Après avoir dessiné le maillage, aller dans le menu Mesh et enlever l’option Show Mesh. De même pour les gradients, aller dans le menu Edit -> Préférences, cliquer sur l’onglet Electrostatics Output, et dans la section Density Plot Defaults, choisir l’option None pour Density Plot Type.

2. Dans une ligne de commande, taper regedit pour ouvrir la base de registre Windows. Aller à l’emplacement suivant : HKEY_CURRENT_USER → Control Panel → Desktop. Dans le menu Édition, choisir Ajouter → Valeur chaine. Donner le nom HungAppTimeout à votre nouvel item. Avec le bouton de droite, cliquer Modifier, et entrer une valeur appropriée en millisecondes, par exemple 10000. Ensuite fermer la base de registre.

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Bibliographie

• D. Meeker, “Finite Element Method Magnetics, Version 4.2 (11Apr2012 Build),” http://www.femm.info, 2012.

• D. Meeker, “Finite Element Method Magnetics Version 4.2 User’s Manual,” 2010.

• K. Baltzis, “The Finite Element Method Magnetics (FEMM) Freeware Package: May it Serve as an Educational Tool in Teaching Electromagnetics?,” Education and Information Technologies, vol. 15, no. 1, pp. 19–36, 2010.

• G. Dhatt, G. Touzot, and E. Lefrançois, “Finite Element Method,” Hoboken, NJ:Wiley, 2012.

• W. Hayt and J. Buck, “Engineering Electromagnetics,” New York, NY:McGraw Hill, 2012.

• M. Boulé, “The Role of Finite Element Method Software in the Teaching of Electromagnetics,” 4th Interdisciplinary Engineering Design Education Conference (IEDEC’14), Santa Clara, Californie, pp. 44–51, mars 2014.

• http://en.wikipedia.org/wiki/Capacitance#Capacitance_of_simple_systems

Remerciements :

Merci à Louis Mbog pour des commentaires détaillés qui ont permis d’améliorer ce tutoriel.