Le$mbredupianone semblepas être assez bien reproduit lorsque l’onu$lise la théorie linéaire des cordes, car les cordes se déforment nonseulement transversalement,maisaussi longitudinalement,et le couplageentre ces deux vibra$ons estnon linéaire. L’observa$ondu spectre d’unenotedepianorejointce@eaffirma$on,caronytrouvenonseulementlesharmoniqueshabituelles,retrouvéesparunmodèlelinéairedecorde,maisaussidesfréquencesappeléespar$elsfantômes,quisontexpliquésparcecouplagenonlinéaire.

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∂2

t ui − ∂x(∂uHi(∂xui,∂xvi)) = −Fi(t)δ(x − x0)∂2

t vi − ∂x(∂vHi(∂xui,∂xvi)) = 0

d2ξ

dt2=∑

i

Fi(t)Fi(t) =KiΦ(ui(x0, t) − ξ(t)) +Ri

d

dtΦ(ui(x0, t) − ξ(t))

E(t) =Nc∑

i=1

(12

∫ L

0(∂tui)2 +

∫ L

0Hi(∂xui) + KiΨ

(ui,1(x0)− ξ(t)

))+

M

2|U ′(t)|2 +

12|ΩU(t)|2 +

12|ξ′(t)|2

MODÉLISATION ET SIMULATION NUMÉRIQUE D’UN PIANO DE CONCERTJuliette Chabassier - juliette.chabassier@inria.fr

Projet POEMS – INRIA Rocquencourt / UME - ENSTA

Cordesgravesenaciergainédecuivre.Lescordesontunegranderaideurquidoitêtrepriseencomptedanslamodélisa$oncarellecontribueau$mbredupiano.

Cordesaiguësenacier.Pourunemêmenote,plusieurscordessontmontéesafind’améliorerladuréedusonainsiquesonvolume.

Cadreenfontedes$néàsupporterlatensiondescordes:plusde20tonnes!

Tabled’harmonieenépicéa,renforcéeàl’arrièreparunbarrage.

VUEÉCLATÉED’UNPIANODECONCERT L’ANALYSENUMÉRIQUE

µ∂2U∂t2

− ∂

∂xF

(∂U∂x

)= 0(3)

Cette structure de système est connue sous le nom de structure hamiltonienne si cette fonctionF : RN −→ RN est le gradient d’une autre fonction, dénommée alors hamiltonien du système. SoitΦ : R −→ R une primitive de φ : R −→ R, alors on peut montrer que

(4) ∇U

[Φ d

(∂U∂x

)]= F

(∂U∂x

)

En effet,

∇U

[Φ d

(∂U∂x

)]= ∇U

[d(∂U

∂x

)]Φ′ d

(∂U∂x

)

Or, on peut écrire que

d(∂U∂x

) =∣∣∣ex +

∂U∂x

(x, t)∣∣∣− 1 =

√∣∣∣ex +∂U∂x

(x, t)∣∣∣2− 1 =

√1 + 2ex.

∂U∂x

+(∂U

∂x

)2− 1

D’où son gradient :

∇U

[d(∂U

∂x

)]=

ex + ∂U∂x (x, t)∣∣ex + ∂U∂x (x, t)

∣∣

On en conclut que si Φ′ = φ, la formule (4) est correcte. Quelle que soit la loi de comportement dumatériau dépendant de l’allongement relatif, on a donc montré que le système mécanique obtenuétait toujours hamiltonien.

Dans le cas où la loi de comportement Φ est affine, la loi de comportement est la loi de Hooke,qui s’écrit :

(5) φ(τ) = T0 + EA τ soit T (x, t) = T0 + EA(∣∣∣ex +

∂U∂x

(x, t)∣∣∣− 1

)

Ainsi en posant Φ(τ) = T0 τ + EA τ2

2 , le système s’écrit sous sa forme hamiltonienne :

µ∂2U∂t2

− ∂

∂x∇U

[Φ d

(∂U∂x

)]= 0

En utilisant alors les expressions des fonctions, on a :

µ∂2U∂t2

− ∂

∂x

(T0

ex + ∂U∂x (x, t)∣∣ex + ∂U∂x (x, t)

∣∣ + EA(∣∣∣ex +

∂U∂x

(x, t)∣∣∣− 1

) ex + ∂U∂x (x, t)∣∣ex + ∂U∂x (x, t)

∣∣)

= 0

µ∂2U∂t2

− ∂

∂x

(EA

(ex +

∂U∂x

(x, t))

+ (T0 − EA)ex + ∂U

∂x (x, t)∣∣ex + ∂U∂x (x, t)

∣∣)

= 0

En projetant sur les deux axes et en développant remarquant que ex ne dépend pas de x, onobtient le système :

µ∂2u

∂t2=

∂

∂x

EA∂u

∂x− (EA− T0)

∂u∂x√(

∂u∂x

)2 +(1 + ∂v

∂x

)2

, x ∈ Ω, t > 0,

µ∂2v

∂t2=

∂

∂x

EA∂v

∂x− (EA− T0)

(1 + ∂v

∂x

)√(

∂u∂x

)2 +(1 + ∂v

∂x

)2

, x ∈ Ω, t > 0,

7

Phénomènephysique Modélisa$on Simula$onnumériquePhysique AnalyseNumérique

Lacompréhension scien$fiquedumonde reposesur deuxprincipes : lacapacité àétudier lesphénomènes observés, et lacapacité à lesprévoir. Laphysique donne les équa$ons quiperme@entde comprendre etdécrire ceque l’on observe, et c’estl’analysenumériquequipermetdefairecalculeràunordinateurlesconséquencesd’uneexpérience«virtuelle»dansunmondequisecomporteraitselonceséqua$ons.

L’objetdemathèseest,delamêmefaçonquecidessus,dedéterminerleson(etbiend’autresinforma$ons)d’unpianoquin’ajamais été construit. J’u$lise pour cela la connaissance physique des vibra$ons des cordes, de la table d’harmonie et de lapropaga$ondu sondans l’air afin d’écrire unensemble d’équa$ons, c’est à dire unmodèle du piano, et créer une simulaKonnumérique,c’estàdireunmondevirtueloùcepianoexistera,vibrera,etgénéreraunson.

Lemodèledoit refléter laphysiquesous‐jacenteauproblèmeétudié, etenpar$culier ildoitposséderdebonnespropriétéscommeavoiruneuniquesoluKon.Ladémonstra$onmathéma$quedecespropriétésn’estsouventpasévidenteetestpourtantcruciale.

Latransi$onentre lemodèleet lasimula$onnumériquen’estpas immédiateet il fauts’assurerque lescalculs effectués parl’ordinateur,résuméssous lenomde«schémanumérique»,vontbienconduireàuneapproximaKondelasolu$ondumodèle(quel’onnesaitpascalculerexactement).Plusieurscritèressontu$lisésparlesanalystesnumériciensafindequalifierunschémanumérique : stabilité,convergence,ordrede convergence. Lorsqu’onconnaîtdespropriétés de l’équa$ondumodèle, ilestbond’essayerdelesretranscrireauniveaudiscret(numérique)afind’améliorerlaconvergence.

PHÉNOMÈNESNONLINÉAIRES

SYSTÈMEDECORDESCOUPLÉESÀUNMARTEAUETUNCHEVALET

Spectre expliqué par la théorie linéaire

Partiels dits «fantômes»

L’interac$ondumarteauaveclescordesestégalementunphénomènenonlinéaire.En effet, non seulement la pression exercée n’est pas une fonc$on linéaire del’écrasement dumarteau ; mais de plus, àmême écrasement, la force n’est pas lamêmeselonquelemarteauestentraindesecompresseroudesedécompresser.

cordeaurepos

cordeendéplacement

mouvementd’un

point

mou

vemen

ttransversal

mouvementlongitudinal

Lechevaletestsupposémobiledansles3direc$ons,secomportantcommeunoscillateur.

Chaquecordevibredefaçonnonlinéaire,couplantlesdirec$onstransversaleetlongitudinale.

Lescordessontreliéesauniveauduchevalet.Leurmouvementestdonciden$queencepoint.

L'agrafeestsupposéeimmobile.Lescordesnebougentpasence@eextrémité.

Lemarteauestlancéavecunevitesseini$ale,frappetouteslescordesàlafois,interagissantavecellesdefaçonnonlinéaire.

SCHÉMASPRÉSERVANTUNEÉNERGIE

Unphénomèneest linéairequand,sionajoutedes causes, leurseffets s’ajoutent aussi.Beaucoupdephénomènesphysiquesnesontpaslinéaires,maisilestengénéralplussimpledesupposerqu’ilslesont,cequisouventdonnedesrésultatssa$sfaisants.

Enanalysenumérique,l’appari$ondenonlinéaritéscompliquebeaucouplatâche,enpar$culierlorsqu’ils’agitdedémontrerqueleproblèmeini$alpossèdeunesolu$on,ouqueleschémanumériquedonneunesolu$on,etqu’elleressemblebienàlasolu$onduproblèmeini$al.

Afin de garan$r la stabilité d’un schéma numérique pour un système d’équa$ons non linéaires quiconserveuneénergie,uneméthodeconsisteàfaireensortequeleschémapréserveunéquivalentdiscretdece@eénergie.

Chevalets.Ilstransme@entl’énergievibratoiredes

cordesàlatabled’harmoniequi

vibreraàsontourdansl’airetproduira

lesonquel’onentend.

Claviercomposéde88touches,ac$onnantlesmarteauxàtraversunmécanismecomplexe.

Marteauxcouvertsdefeutre,me@entenmouvementune,deuxoutroiscordesparnote.

MU′′(t) +Ω2U(t) +RU′(t) = −∑i

∇Hi(∂xui,∂xvi)(L, t)

Plus besoin de faire des crash tests et d’abîmer des voitures ! La simula$on numérique nous donnera par le calcul quelledéforma$onauraitsubiunevoitureréellesionl’avaitconstruiteetprojetéecontreunmur...Elledonneaussiparfoisaccèsàdesgrandeursdifficilesàmesurer.

MATHÈSE

Ce@eméthodeestassez facileàme@reenoeuvredans lecasoùl’équa$onestscalaire,c’estàdirequel’on ne résout pas un système d’équa$ons. Le problème de cordes couplées avec un marteau et unchevalet,présentédansl’encadréàdroite,estunsystèmed’équa$ons,nousavonsdoncdûdévelopperuneméthodenumériqued’élémentsfinis enespaceetdifférencesfinies entemps quipréserve l’énergiedusystème.

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∂2

t ui − ∂x(∂uHi(∂xui,∂xvi)) = −Fi(t)δ(x − x0)∂2

t vi − ∂x(∂vHi(∂xui,∂xvi)) = 0

Le systèmed’équa$ons qui poseproblème est celuidumodèledecordes. Le point difficile est detrouver une expression discrètede laquan$téencadréeenrougecicontre:gradientd’unefonc$onnonlinéaire.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5x 10−3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x 10−9

time

Ener

gy

total energybridge energycoupling energystrings energyhammer energyEnergiemarteauEnergiecordesEnergiecouplageEnergiechevaletEnergietotale

Temps

Energie

Lasolu$onquenousproposonsestd’u$liserunedifférencefiniedirecKonnelle pour approcher chaque ligne du gradient. Ce@eméthode conduit à plusieurs schémas possibles, ayant uneconvergenced’ordre1.Unemeilleureconvergence,d’ordre2,esta@einteenfaisantunemoyennepondéréebienchoisiedetouslesschémasdécritsprécédemment.

Force

Ecrasemen

t

Force(N)

Ecrasement(mm)