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UE 4 Applications des équations différentielles Dr. M-A Dronne PACES, Pôle Est, Lyon 20 septembre 2011 1

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UE 4Applications des équations différentielles

Dr. M-A Dronne

PACES, Pôle Est, Lyon

20 septembre 2011

1

Objectifs

1Ecrire une équation différentielle selon le contexte

2Reconnaître les caractéristiques d’une équation différentielle

3Connaître les solutions de 2 types d’équations différentielles

4Comprendre l’utilisation des équations différentielles dans 2applications (épidémiologie, pharmacocinétique)

2

Plan

Plan du coursI Rappels de notations et définitions

I ExemplesI BactériologieI PharmacologieI Physique

I Caractéristiques des équations différentielles

I Solutions de 2 types d’équations différentielles

I ApplicationsI EpidémiologieI Pharmacocinétique

3

Rappels sur les notations des dérivéesSoit y une fonction de la variable t (on note y(t))

Dérivée première (= d’ordre 1) de y par rapport à t

y ′(t) =dy(t)

dt

Dérivée seconde (= d’ordre 2) de y par rapport à t

y ′′(t) = y (2)(t) =d2y(t)

dt2

Dérivée n ième (= d’ordre n) de y par rapport à t

y (n)(t) =dny(t)

dtn

4

Rappels sur les notations des dérivées

Remarque 1Ne pas confondre la notation puissance et la notation de l’ordrede dérivation :

I y (2) = y ′′ ⇒ dérivée d’ordre 2 de yI y2 = y × y ⇒ y élevé à la puissance 2

Remarque 2En physique, utilisation de la notation y et y pour les dérivéespar rapport au temps.

I y = y ′ ⇒ dérivée première de y par rapport au tempsI y = y ′′ ⇒ dérivée seconde de y par rapport au temps

5

Rappels sur les calculs de dérivées

Formules usuelles de dérivationcf. fiches sur spiral

I Dérivées de fonctionsI Dérivées de fonctions composées

6

Equations différentielles (ED)Généralités

Définition d’une EDUne équation différentielle (ordinaire) est une équation dontl’inconnue y est une fonction et qui fait intervenir au moins unedérivée de y :

y ′ et/ou y ′′ et/ou ... et/ou y (n)

ExemplesSoit y une fonction de t

5y (3) = 7 cos t → ED2y ′′ + (2t)y ′ + 5 = 6t2 → ED

4y2 + 3t = 7 → pas ED

7

Equations différentielles (ED)Généralités

ObjectifI L’objectif est de résoudre l’ED afin de déterminer

l’expression de y en fonction de t . On dit aussi que l’on"intègre" l’ED.

⇒ Solution : y(t)

I L’expression y(t) est la solution générale de l’ED.

Solution généraleI Si l’ED est d’ordre 1, sa solution générale comporte 1

constante arbitraire. Cette expression définit donc unefamille de solutions.

I Si l’ED est d’ordre n, sa solution générale comporte nconstantes arbitraires.

8

Equations différentiellesGénéralités

Condition(s) initiale(s)Pour pouvoir calculer la (ou les) constante(s) arbitraire(s) ettrouver ainsi la solution recherchée, il faut connaître une (ouplusieurs) conditions initiales (CI).

I Si l’ED est d’ordre 1, il faut connaître 1 CI.Il s’agit par exemple de la valeur de y quand t = 0.

y(0) = y0

I Si l’ED est d’ordre n, il faut connaître n CI.

9

Système d’équations différentiellesGénéralités

Définition d’un système d’EDUn système d’ED (ou système différentiel) comporte plusieursED liées entre elles (= qui dépendent les unes des autres).

ExempleSoit y1 et y2 deux fonctions de t .{

y ′1 = 2y1 + 5y2y ′2 = 4y1 + 2y2

(1)

Il s’agit d’un système d’ED. Chaque ED dépend de y1 et de y2.

10

Système d’équations différentiellesGénéralités

ObjectifL’objectif est de résoudre le système afin de déterminer lesexpressions des fonctions y1, y2,..., yn en fonction de t .

⇒ Solution : y1(t), y2(t), ..., yn(t)

Conditions initialesPour trouver la solution recherchée, il faut avoir des conditionsinitiales (CI).S’il y a n ED d’ordre 1 dans le système, il faut n CI.Il s’agit par exemple des valeurs des fonctions y1, y2,...ynquand t = 0.

y1(0) = y10 , y2(0) = y20 , ..., yn(0) = yn0

11

Exemple 1Bactériologie

Enoncé du problèmeI Soit une population de bactéries qui se développent dans

un milieu favorable (listeria dans du fromage au lait cru).I On veut connaître le nombre de bactéries au cours du

temps afin de déterminer une date limite de consommation(= temps au delà duquel le nombre de bactéries devientdangereux pour la santé).

Schéma du problème

T = 0B(0) = B0

T = t1B(t1)

T = t2B(t2)

12

Exemple 1Bactériologie

Hypothèse simple"Production" de bactéries proportionnelle au nombre debactéries présentes à chaque instant.

Formulation par une EDSoit B le nombre de bactéries (fonction du temps t) :

dBdt

= k .B

avec B(0) = B0

k : coefficient de proportionnalité (réel)

13

Exemple 1Bactériologie

Solution de l’EDSolution⇒ B(t) = B0.ekt

Graphique

Temps

Nom

bre

de b

acte

ries

Bmax

Tmax

Evolution de B(t)

⇒ Modèlemono-exponentiel

Tmax : date limite deconsommation (temps

auquel B > Bmax )

14

Exemple 2Pharmacologie

Enoncé du problèmeI Soit un complexe qui se forme lorsqu’un ligand se fixe sur

un récepteur et qui devient alors actif pour transmettre un"signal" à l’intérieur de la cellule lui permettant de produireune protéine particulière.

I On veut connaître la concentration en complexe au coursdu temps afin d’en déduire la concentration en protéinesproduite par la cellule.

Schéma du problème

Ligands

Récepteurs

Complexes

Protéine

15

Exemple 2Pharmacologie

Hypothèses simplesI Réaction irréversible : L + R → CI Pas de production ni de dégradation de L, R ou CI "Production" de C proportionnelle aux concentrations de L

et R présents dans le milieu.

Formulation par un système d’ED3 espèces : L (ligand), R (récepteur) et C (complexe) :

d [C]

dt= k .[L][R] (avec [C](0) = 0)

d [L]dt

= −k .[L][R] (avec [L](0) = L0)

d [R]

dt= −k .[L][R] (avec [R](0) = R0)

(2)

k : vitesse de réaction (k ∈ R) 16

Exemple 2Pharmacologie

Solution du systèmeSolution⇒ [C](t), [L](t) et [R](t)

Graphique

Temps

Con

cent

ratio

nEvolution de L(t), de R(t) et de C(t)

Ligands

Recepteurs

Complexes

Etape suivante : détermination de la production de protéine([P](t)) à chaque instant à partir de [C](t)

17

Exemple 3Physique (mécanique (cf. cours TS))

Enoncé du problèmeI Soit un solide de masse m soumis à un ressort de

constante de raideur k .I On veut connaître l’évolution de sa position au cours du

temps.

Schéma du problème

R

P

F

0 x

P : poids du mobileR : force de réactionF : force de rappel

18

Exemple 3Physique (mécanique (cf. cours TS))

Hypothèse simpleAbsence de frottement

Formulation par une EDI Fonction : x (position du mobile sur (Ox))I Equation du mouvement du solide selon l’axe (Ox) :

md2xdt2 + kx = 0⇐⇒ mx + kx = 0

Conditions initialesI ED d’ordre 2⇒ 2 CII Exemple :

x(0) = x0 et x(0) =dx(0)

dt= v0

19

Exemple 3Physique (mécanique (cf. cours TS))

Solution de l’EDSolution⇒ x(t) : fonction trigonométrique (cos)

Graphique

t

posi

tion

x0

Evolution de x(t)

⇒ Régime périodique

20

Synthèse des 3 exemples

ED trouvées

I Bactériologie =⇒ dBdt

= k .B

I Pharmacologie

d [C]

dt= k .[L][R]

d [L]dt

= −k .[L][R]

d [R]

dt= −k .[L][R]

I Physique =⇒ mx + kx = 0

⇒ Caractéristiques (et solutions) des ED très différentes

21

Caractéristiques des ED

Caractéristiques à savoir reconnaîtreI OrdreI Linéarité / non linéaritéI Coefficients constants / non constantsI Avec / sans second membre

22

Caractéristiques des EDOrdre

DéfinitionL’ordre de l’ED est l’ordre de la plus haute dérivée.

Exemples

2y ′ + (2t)y2 + 5 = 6t2 → ED du 1er ordre4y (2) + 3y ′ + (cos t)y = 7 → ED du 2nd ordre

23

Caractéristiques des EDLinéarité

DéfinitionUne ED linéaire ne contient pas de termes non linéaires en y

Exemples de termes non linéaires (en y )I y2, yn,

√y , 1/y , ln(y), cos(y), sin(y), ...

I y ′2, y ′n,√

y ′, 1/y ′, ln(y ′), cos(y ′), sin(y ′), ...I yy ′, y/y ′

Exemples

4y ′′ + 3y ′ + (cos t)y = 7t3 → ED linéaire4y ′′ + 3y ′ + (y + t)y = 7 → ED non linéaire

4y ′′ + 3yy ′ + 7y = 7 → ED non linéaire

24

Caractéristiques des EDCoefficients

DéfinitionI Les coefficients sont les termes situés devant y , y ′, y ′′,...I Ils sont dits non constants s’ils dépendent de t .

Exemples

4y ′′ + 3y ′ + 7y = cos t → Coefficients constants4y ′′ + (3t)y ′ + 7y = 8 → Coefficients non constants

25

Caractéristiques des EDSecond membre

DéfinitionI Le 2nd membre regroupe l’ensemble des termes de l’ED

qui ne comportent ni y ni y ′ ni y ′′...I Il peut être constant ou fonction de t .I Il se met classiquement à droite du signe égal.

Exemples

4y ′′ + 3y ′ = cos t → 2nd membre : d(t) = cos t4y ′′ + 3y ′ + sin t + 6 = 0 → 2nd membre : d(t) = − sin t − 64y ′′ + 3y ′ + (sin t)y = 0 → 2nd membre : d(t) = 0

⇒ équation sans 2nd membre

26

Caractéristiques des systèmes d’ED

Caractéristiques à savoir reconnaîtreI OrdreI Linéarité / non linéaritéI Coefficients constants / non constantsI Avec / sans second membre

27

Caractéristiques des systèmes d’EDOrdre

DéfinitionL’ordre d’un système est l’ordre de l’ED qui a la plus hautedérivée.

ExempleSoit y1 et y2 deux fonctions de t .{

y ′1 = 2y1 + 3y2

y ′′2 = y ′2 + 4y1(3)

⇒ Système d’ordre 2

28

Caractéristiques des systèmes d’EDLinéarité

DéfinitionUn système est dit linéaire si toutes ses ED sont linéaires (=pas de terme non linéaire en chacune des fonctions et pas determe "mixte").

ExempleSoit y1 et y2 deux fonctions de t .{

y ′1 = 2y1 + 3y2 + 7t2

y ′2 = y1 + 4y1 × y2(4)

⇒ Système non linéaire (terme mixte y1 × y2)

29

Caractéristiques des systèmes d’EDCoefficients

DéfinitionUn système est dit "à coefficients constants" si toutes les EDsont à coefficients constants.

ExempleSoit y1 et y2 deux fonctions de t .{

2y ′1 = 2y1 + 3y2 + sin t

y ′2 = y1 + 4y2 + 5√

t(5)

⇒ Système à coefficients constants

30

Caractéristiques des systèmes d’EDSecond membre

DéfinitionUn système est dit "avec second membre" si au moins une desED du système comporte un second membre.

ExempleSoit y1 et y2 deux fonctions de t .{

y ′1 = 3ty1 + 2y2 + sin t

y ′2 = y1 + 4y2(6)

⇒ Système avec second membre

31

Caractéristiques des ED des exemplesBactériologie (fonction B)

dBdt

= k .B ⇐⇒ B′ − kB = 0 (k ∈ R)

⇒ ED linéaire, du 1er ordre, à coefficients constants et sans 2nd

membre.

Pharmacologie (fonctions [C], [L] et [R])

d [C]

dt= k .[L][R]

d [L]dt

= −k .[L][R]

d [R]

dt= −k .[L][R]

⇒ Système d’ED non linéaire, du 1er ordre, à coefficientsconstants et sans second membre.

32

Caractéristiques des ED des exemples

Physique (fonction x)

mx + kx = 0⇐⇒ mx ′′ + kx = 0 (m et k ∈ R)

⇒ ED linéaire, du 2nd ordre, à coefficients constants et sans 2nd

membre.

33

Solutions des EDGénéralités

DéfinitionI Soit y une fonction de t et soit une ED de y.I Résoudre cette ED revient à trouver l’expression de y en

fonction de t .I Cette expression y(t) est la solution générale de l’ED.

RemarquesI Si l’ED est d’ordre 1, la solution générale comporte une

constante arbitraire⇒ il faut 1 CI

I Si l’ED est d’ordre n, la solution générale comporte nconstantes arbitraires⇒ il faut n CI

34

Solutions de certaines ED

Cas à connaîtreSoit y une fonction de t

I Cas n˚1 :y ′ = g(t)× y

I Cas n˚2 (cas particulier) :

y ′ = a× y (a ∈ R) (cf. cours TS)

35

Solutions de certaines EDCas n˚1

Présentation de l’ED

y ′ = g(t)× y ⇐⇒ y ′ − g(t)× y = 0

g(t) : fonction de t

⇒ ED linéaire, du 1er ordre, à coefficients non constants etsans second membre.

SolutionSolution générale de cette ED :

y(t) = K .eG(t) (K ∈ R)

G(t) : primitive de g(t)

36

Solutions de certaines EDcas n˚1

RemarquesI Solution à connaître mais démonstration (sur Spiral) pas

au programme PACES

I Rappels des calculs de primitives (cf. fiche sur Spiral)Exemple : primitive de 1/y ⇒ ln |y |

I Rappels des propriétés des exp et des ln (cf. fiche surSpiral)Exemple : e(a+b) = ea × eb

37

Solutions de certaines EDCas n˚2

Présentation de l’ED (cf. cours TS)

y ′ = a× y ⇐⇒ y ′ − ay = 0 (a ∈ R)

⇒ ED linéaire, du 1er ordre à coefficients constants et sanssecond membre.

SolutionSolution générale de cette ED :

y(t) = λ.eat (λ ∈ R)

38

Solutions de certaines EDCas n˚2

DémonstrationI Cas particulier du cas précédent pour g(t) = aI Primitive de g(t) :

G(t) = at + b (b ∈ R)

I Solution :y(t) = K .eG(t) = K .e(at+b)

I Avec les propriétés de l’exponentielle :

y(t) = K × eat × eb = (Keb)× eat

I (Keb) : constante que l’on peut appeler λI Solution générale de l’ED :

y(t) = λ.eat (λ ∈ R)39

Solutions de certaines EDCas n˚2

Utilisation de la CII Solution générale de l’ED :

y(t) = λ.eat (λ ∈ R)

I Utilisation de la CI pour trouver la valeur de λ :{y(0) = y0

y(0) = λe0 = λ⇒ λ = y0

I Solution recherchée :

y(t) = y0eat

Exemple de bactériologie

Solution recherchée : B(t) = B0ekt

40

Applications

Applications présentéesI Epidémiologie

I Modèle SI (susceptibles - infectés)I Modèle SIR (susceptibles - infectés - retirés)

I Pharmacocinétique (PK : pharmacokinetics)

41

Application en épidémiologieModèle SI

Enoncé du problèmeSoit une maladie contagieuse (rougeole) qui touche unepopulation de n individus. On considère 2 groupes :

I "Susceptibles" (non malades mais pouvant attraper lamaladie)

I "Infectés" (malades et contagieux).On veut connaître le nombre de malades à chaque instant.

Schéma du problème

S(susceptibles)

I(infectés)

k

42

Application en épidémiologieModèle SI

Hypothèse simpleOn suppose que l’augmentation du nombre de malades estproportionnelle au nombre de susceptibles et de malades(contact nécessaire).

Système d’ED2 groupes : S (susceptibles) et I (infectés) :

dSdt

= −k .S.I (avec S(0) = S0)

dIdt

= k .S.I (avec I(0) = I0)(7)

k : taux de contamination

Hypothèse : S(t) + I(t) = n

43

Application en épidémiologieModèle SI

Solution du systèmeSolution⇒ I(t) et S(t)

Graphique

0 10 20 30 40 50 600

100

200

300

400

500

Temps (jours)

Nom

bre

d in

divi

dus

Evolution de S(t) et de I(t)

S

I

I0 = 1, S0 = 500k = 0.001

⇒ Toute la populationdevient infectée

44

Application en épidémiologieModèle SIR

Enoncé du problèmeSoit une maladie contagieuse (rougeole) qui touche unepopulation de n individus. On considère 3 groupes :

I "Susceptibles" (non malades mais pouvant attraper lamaladie)

I "Infectés" (malades et contagieux)I "Retirés" (morts ou mis en quarantaine ou immunisés = ne

pouvant plus ni attraper la maladie ni la transmettre).

On veut connaître le nombre de malades à chaque instant et lenombre de personnes à vacciner pour éviter une épidémie.

45

Application en épidémiologieModèle SIR

Schéma du problème

S(susceptibles)

I(infectés)

k

R(retirés)

r

Historique1ers modèles SIR par Kermack et McKendrick en 1927 à partirde données épidémiologiques de la peste de Bombay(1905-1906)

46

Application en épidémiologieModèle SIR

Système d’ED3 groupes : S (susceptibles), I (infectés) et R (retirés) :

dSdt

= −k .S.I (avec S(0) = S0)

dIdt

= k .S.I − r .I (avec I(0) = I0)

dRdt

= r .I (avec R(0) = 0)

(8)

k : taux de contaminationr : taux de retrait

⇒ Système non linéaire, du 1er ordre à coefficients constantssans second membre

Hypothèse : S(t) + I(t) + R(t) = n47

Application en épidémiologieModèle SIR

Solution du systèmeSolution⇒ I(t), S(t) et R(t)

Graphique (avec un 1er jeu de CI)

0 10 20 30 40 50 600

100

200

300

400

500

Temps (jours)

Nom

bre

d in

divi

dus

Evolution de S(t), de I(t) et de R(t)

S

I

R

I0 = 1, S0 = 500, R0 = 0k = 0.001, r = 0.1

⇒ Pic épidémique au21ème jour

48

Application en épidémiologieModèle SIR

Solution du systèmeSolution⇒ I(t), S(t) et R(t)

Graphique (avec un 2ème jeu de CI)

0 10 20 30 40 50 600

20

40

60

80

100

Temps (jours)

Nom

bre

d in

divi

dus

Evolution de S(t), de I(t) et de R(t)

S

I

R

I0 = 1, S0 = 95, R0 = 0k = 0.001, r = 0.1

⇒ Absence d’épidémie

49

Application en épidémiologieModèle SIR

Etape suivanteDétermination d’un "taux" de vaccination v pour diminuer lenombre de susceptibles :

S(susceptibles)

I(infectés)

k

R(retirés)

rv

dSdt

= −k .S.I − v .S

dIdt

= k .S.I − r .I

dRdt

= r .I + v .S

50

Application en épidémiologieModèle SIR

Solution du systèmeSolution⇒ I(t), S(t) et R(t)

Graphique

0 10 20 30 40 50 600

100

200

300

400

500

Temps (jours)

Nom

bre

d in

divi

dus

Evolution de S(t), de I(t) et de R(t)

S

I

R

I0 = 1, S0 = 500, R0 = 0k = 0.001, r = 0.1, v = 0.1

⇒ Absence d’épidémie

51

Application en pharmacocinétiqueIntroduction

DéfinitionEtude du devenir d’un principe actif (PA) dans l’organisme

Objectif

Etude de l’évolu-tion temporelle de laconcentration en PAdans le compartimentd’intérêt : C(t)

Temps

Concentration

Plage des concentrations utiles

Effets indésirables

Inefficacité

Marge thérapeutique

= Indexthérapeutique

52

Application en pharmacocinétiqueIntroduction

ProblèmeOn administre à un patient un analgésique et on souhaiteétudier la façon dont évolue la concentration plasmatique (C)de ce médicament au cours du temps et selon différentsschémas d’administration :

I Par voie intraveineuse (IV), en bolus (= de façoninstantanée)

I Par voie orale (= per os = PO), en 1 prise

53

Application en pharmacocinétiqueModèle mono-compartimental, IV bolus

Partie II On administre tout d’abord au patient une dose (D) de cet

analgésique par voie IV, en bolus.I On considère un modèle mono-compartimental dans

lequel le PA est éliminé du compartiment central avec uneconstante d’élimination ke.

Schéma du problème

D

ke

C(compartiment central)

54

Application en pharmacocinétiqueModèle mono-compartimental, IV bolus

Formulation par une EDI CI : concentration dans le compartiment central

immédiatement maximale :

C(0) = C0 =DV

V : volume de distributionI ED : diminution de PA dans le compartiment central

fonction de l’élimination :

dCdt

= −ke.C ⇐⇒ C′ + keC = 0

Type d’EDED linéaire du 1er ordre à coefficients constants et sans 2nd

membre55

Application en pharmacocinétiqueModèle mono-compartimental, IV bolus

Solution de l’EDSolution⇒ C(t) = C0e−ket

Graphique

Temps

Con

cent

ratio

n

C0

C0/2

T1/2

Evolution de C(t) en IV bolus

⇒ Modèlemono-exponentiel

décroissant

T1/2 : demi-vie du PA(= temps pour lequel

C = C0/2)

56

Application en pharmacocinétiqueModèle "mono-compartimental", PO, 1 prise

Partie III On administre ensuite à ce patient une dose (D)

d’analgésique par voie orale en 1 prise.I On considère un modèle dans lequel le PA est absorbé

dans le compartiment central avec une constanted’absorption ka et en est éliminé avec une constanted’élimination ke.

Schéma du problèmeD

ka

ke

C(compartiment

central)

Ca(compartiment d’absorption)

57

Application en pharmacocinétiqueModèle "mono-compartimental", PO, 1 prise

RemarqueCe modèle est dit mono-compartimental car le compartimentd’absorption n’est pas compté comme un compartiment (=compartiment "virtuel")

Système d’EDdCa

dt= −kaCa (avec Ca(0) = D

V )

dCdt

= kaCa − keC (avec C(0) = 0)(9)

⇒ Système linéaire du 1er ordre à coefficients constants sanssecond membre

58

Application en pharmacocinétiqueModèle "mono-compartimental", PO, 1 prise

Solution du systèmeSolution⇒ Ca(t) et C(t)

Graphique

0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Temps

Con

cent

ratio

n

Cmax

Tmax

Evolution de C(t) en VO 1 prise

⇒ Modèle bi-exponentiel

Tmax : temps auquelC = Cmax

59

Comparaison de profils pharmacocinétiquesAdministrations à dose unique

intraveineuse

intramusculairesous-cutanée

orale

Concentrationplasmatique

Temps

60

Pharmacocinétique / pharmacodynamieModèles et applications

I Pharmacocinétique (PK)⇒ C(t) en fonction de D(t)

I Pharmacodynamie (PD)⇒ E(t) en fonction de C(t)

I PK/PD

Dose

C(t) E(t)

Concentrationplasmatique

D(t)

Effet

ModèlePK

ModèlePD

I PK/PD de population⇒ nécessaire pour les dossiers d’AMM (Autorisation deMise sur le Marché) des médicaments

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Documents sur Spiral Connect

Liste des documentsI Diaporama de cours

I Fiches de coursI Rappels sur les dérivées, les primitives et les fonctions ln et

expI Résolution de l’ED du cas n˚1 (solution à connaître mais

démonstration pas au programme PACES)

I Exemples de QCM

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