UE3 PHYSIQUE - Dunod

Salah Belazreg

PARCOURS

SANTÉ& L.AS

PHYSIQUEUE3

© EdiScience, 2020

EdiScience est une marque de Dunod Éditeur11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff

www.dunod.com

ISBN 978-2-10-081197-7

Avant-propos

Cet ouvrage, destiné aux étudiants de la L1 Santé (PASS, LAS), s’ajoute à l’ouvragede Biophysique de la même collection.Il est le fruit d’une longue expérience et de nombreuses années d’enseignement de laphysique et de la biophysique dans le secondaire et le supérieur. Il s’adresse princi-palement aux étudiants de 1re année Santé (PASS, LAS), mais il intéressera aussi lesétudiants en classes préparatoires BCPST ainsi que les étudiants en 1re et 2e annéede Licence scientifique (L1 et L2).Son but est de présenter de façon claire et progressive l’ensemble des notions àconnaître par les étudiants de première année santé (PASS, LAS) et son usagesuppose que l’étudiant ait une connaissance complète du programme actuel despremières et terminales scientifiques.Chaque chapitre indique clairement les objectifs à atteindre et comporte, en plus ducours et d’une synthèse finale, des exercices et des QCM.Il présente de nombreux sujets d’adaptation progressive aux programmes et auxexigences de ces examens et concours difficiles.

Les choix pédagogiques qui ont guidé ma démarche sont :

• les cours, exposés de façon détaillée, présentent les résultats fondamentaux ainsique des compléments sur des notions plus délicates ;• les exercices, classés par niveau de difficulté, sont tous suivis de leurs solutions

détaillées. Ils permettront ainsi aux étudiants de tester leurs connaissances et tirerle maximum de profit de chaque mise en situation. De plus, certains nécessi-tant une réflexion plus approfondie exciteront et combleront la curiosité des plusaudacieux ;• les QCM, en fin de chaque chapitre, sont de véritables exercices de réflexion.

Ainsi, avant de proposer des solutions rapides et sans démarches rigoureuses, ilimporte de bien connaître la totalité du cours, et pas seulement les formules. Unerésolution approfondie vous permettra de vous entraîner à ce type d’épreuve afinde gagner compétence et rapidité.

J’espère que cet ouvrage rendra les plus grands services aux étudiants, en com-plément de leur cours, notamment grâce aux exercices et QCM résolus et je suispersuadé qu’il constituera un outil précieux pour la préparation de ces examens etconcours difficiles, et leur souhaite bon courage.

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III

Avant-propos

RemerciementsMes remerciements vont à l’équipe du Professeur Rémy Perdrisot du service de bio-physique et médecine nucléaire de la faculté de médecine et de pharmacie de Poitierspour les annales qu’ils m’ont fournies.Merci à mon épouse, le Docteur Frédérique Belazreg, pour son aide, sa relecture desdifférents chapitres, ses conseils pour les exemples et les applications médicales citésdans ce manuel. Merci à mes enfants pour leur patience et compréhension.Je remercie également les éditions Dunod pour le soin et la présentation apportés àla réalisation de cet ouvrage.Que les lecteurs, collègues enseignants et étudiants, qui voudront bien me formu-ler leurs remarques constructives et critiques ou me présenter leurs suggestionssusceptibles d’améliorer cet ouvrage en soient par avance remerciés.

Poitiers, 23 février 2020 Salah Belazreg

Attention

Pour les QCM, chaque question comporte une ou plusieurs réponses exactes. Vous devezindiquer pour chacune d’elles si elle est vraie (en cochant la proposition) ou fausse

IV

Table des matières

Avant-propos III

Chapitre 1Grandeurs physiques. Équations aux dimensions 1

1. Les grandeurs physiques 1

2. Système international d’unités 2

3. Équations aux dimensions 2

4. Analyse dimensionnelle 3

Exercices et QCM corrigés 4

Chapitre 2Cinématique du point 6

1. Référentiels et repères 6

2. Vitesse et accélération 10

3. Étude de quelques mouvements 13

4. Mouvements relatifs et absolus 16


Chapitre 3Dynamique newtonienne 30

1. Les différentes actions auxquelles peut être soumis unsystème mécanique 30

2. Centre d’inertie. Quantité de mouvement 36

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V

Table des matières

3. Le principe d’inertie (1re loi de Newton) 37

4. Les référentiels galiléens 37

5. Relation fondamentale de la dynamique (2e loi de Newton) 39

6. Principe des actions réciproques (3e loi de Newton) 40

7. Validité de la relation fondamentale 41

8. Conservation de la quantité de mouvement 42

9. Moment cinétique 43


Chapitre 4Équilibre d’un solide – Solide en rotation autour

d’un axe fixe 59

1. Les effets d’une force 59

2. Moment d’une force 62

3. Conditions générales d’équilibre d’un solide 64


Chapitre 5Travail. Puissance. Énergie 70

1. Travail et puissance d’une force 70

2. Théorème de l’énergie cinétique 73

3. Énergie potentielle. Énergie mécanique 76


Chapitre 6Conservation de la quantité de mouvement –

Choc entre deux particules 88

1. Définitions 88

2. Chocs entre deux particules 89


VI

Table des matières

Chapitre 7Électrostatique 99

1. Champ et potentiel électrostatique 99

2. Le dipôle électrostatique 108


Chapitre 8Électrocinétique des courants continus 127

1. Le courant continu 127

2. Loi d’Ohm 130

3. Conductivité. Mobilité 134

4. Énergie électrique 136

5. Force électromotrice d’un générateur. Force contreélectromotrice d’un récepteur 137


Chapitre 9Électromagnétisme 150

1. Le champ magnétique 150

2. Champ d’induction magnétique créé par un élémentde courant 153

3. Flux d’induction magnétique 156

4. Action d’un champ magnétique−→B sur un élément de circuit

parcouru par un courant 157

5. Action d’un champ magnétique−→B sur un circuit fermé 160


Chapitre 10Mouvement d’une particule chargée

dans un champ uniforme 174

1. Action d’un champ électrique uniforme sur une particulechargée 174

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VII

Table des matières

2. Action d’un champ magnétique uniforme sur une particulechargée 178


Chapitre 11Courants transitoires 195

1. Réponse d’un circuit R,C à un échelon de tension 195

2. Applications 201

3. Réponse d’un circuit R,L à un échelon de tension 204


Chapitre 12Mécanique des fluides 217

1. Généralités sur les fluides 217

2. Fluide en équilibre 220

3. Fluide en mouvement (ou dynamique des fluides) 223

4. Dynamique des fluides réels 227


Chapitre 13Les phénomènes de surface 246

1. Tension superficielle des liquides 246

2. Ascension capillaire 252


Chapitre 14Thermodynamique 261

1. Le gaz parfait. Théorie cinétique 261

2. Premier principe ou principe de la conservation de l’énergie 266

3. Second principe ou principe d’évolution 270

VIII

Table des matières

4. Équilibre d’un corps pur sous deux phases 270


Chapitre 15Ondes 294

1. Généralités sur les ondes 294

2. Ondes stationnaires 301

3. Exemples d’ondes progressives 303

4. Vitesse du son 308

5. L’effet Doppler-Fizeau 310

6. Notions sur les ondes électromagnétiques 314


Chapitre 16Interférences. Diffraction 325

1. Interférences de deux ondes 325

2. Diffraction 333


Chapitre 17Le photon 349

1. L’effet photoélectrique 349

2. L’effet Compton 353


Chapitre 18Niveaux d’énergie dans un atome 362

1. Spectres d’émission et d’absorption 362

2. L’atome de Bohr. Niveaux d’énergie des électrons 363

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IX

Table des matières

3. Spectres des atomes. Cas de l’atome d’hydrogène 368

4. L’atome de Sommerfeld 370

5. Notion de nombre quantique 373


Chapitre 19Mécanique ondulatoire 383

1. Les aspects de la lumière 383

2. Onde associée à une particule 383

3. Principe d’incertitude de Heisenberg 385

4. Probabilité de présence 386

5. Équation de Schrödinger 387


Chapitre 20Le laser. Oscillateur à fréquence optique 395

1. Caractéristiques d’un faisceau laser 395

2. Principe de fonctionnement 398

3. Quelques applications du laser 404


Chapitre 21Optique géométrique 419

1. Quelques notions de base de l’optique géométrique 419

2. Notion d’objet et d’image 424

3. Dioptres 426

4. Systèmes centrés 432

5. Les lentilles 433


X

Table des matières

Chapitre 22Œil et instruments d’optique 445

1. Aberrations 445

2. L’œil 448

3. Les instruments d’optique 450


Index 465

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XI

Grandeurs physiquesÉquations aux dimensions

1

PPlanlanlan

1. Les grandeurs physiques2. Système international d’unités3. Équations aux dimensions4. Analyse dimensionnelle

OObjectifsbjectifsbjectifs

• Savoir établir une équation auxdimensions

• Retrouver l’unité d’une grandeur phy-sique dans le système S.I.

La physique a pour but de décrire des phénomènes et étudier leurs propriétés : leursétudes nécessitent la définition de grandeurs physiques. À chaque grandeur physiquecorrespond une unité et l’ensemble des unités est regroupé dans un système universel,le système international.

1. Les grandeurs physiques

La physique est une science basée sur l’observation de phénomènes physiques, etl’étude de ces phénomènes nécessite la définition de grandeurs physiques.On appelle grandeur physique toute propriété physique mesurable.Une grandeur physique est mesurable si on sait définir l’égalité, la somme et le rap-port de deux grandeurs de son espèce.La mesure de la grandeur s’obtient donc par comparaison entre deux grandeurs phy-siques de même nature dont l’une est choisie comme unité.

ExempleIl est possible d’exprimer la masse d’un solide en fonction de la masse d’un solidede référence de notre choix. Pour cela, il faut choisir le solide de référence etl’unité de masse.

L’unité légale de masse (S.I.) est le kilogramme, de symbole kg. C’est par définition,la masse d’un cylindre de platine irridié déposé au bureau international des poids etmesures (pavillon de Breteuil à Sèvres).Toute masse se mettra donc sous la forme : m = x kg.

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1

1 Cours Grandeurs physiques. Équations aux dimensions

2. Système international d’unitésDes grandeurs fondamentales ont été choisies : elles sont au nombre de sept (tableauci–dessous). L’ensemble des unités est regroupé dans un système cohérent et univer-sel d’unités, appelé le système international (S.I.).Toute grandeur physique peut donc s’exprimer sur la base de ces unitésfondamentales.

Grandeurs fondamentales Unités SymbolesMasse kilogramme kgLongueur mètre mTemps seconde sIntensité du courant électrique ampère ATempérature kelvin KQuantité de matière mole molIntensité lumineuse candéla cd

Unités supplémentairesAngle plan radian radAngle solide stéradian sr

3. Équations aux dimensions

Le principe des équations aux dimensions consiste à ramener les différents para-mètres qui interviennent dans une formule aux grandeurs fondamentales du systèmeinternational d’unités.Le tableau ci-après donne quelques grandeurs physiques et leur dimension.

Grandeur physique Dimension UnitéMasse M kgLongueur L mTemps T sIntensité du courant électrique I A

Exemples

Unité d’une accélération.

Comme a =dvdt=

d2x

dt2(cas d’un mouvement rectiligne), alors

[a] =[x][t2] ([a] : se lit dimension de a).

Or [x] = L et [t] = T , donc [a] =L

T2= LT−2

Dans le système (S.I.), une accélération s’exprime donc en m.s−2.

Unité d’une force.

Comme F = ma, alors [F] = [m] [a], soit [F] = MLT−2

Dans le système (S.I.), une force s’exprime en kg.m.s−2.

2

Grandeurs physiques. Équations aux dimensions Cours 1

Le tableau ci-dessous donne quelques grandeurs dérivées (elles dérivent des unitésfondamentales) ainsi que leurs unités.

Grandeur Équations aux dimensions Unités de base Noms

Force MLT−2 kg.m.s−2 newton : N

Pression ML−1T−2 kg.m−1.s−2 pascal : Pa

Travail ML2T−2 kg.m2.s−2 joule : J

Puissance ML2T−3 kg.m2.s−3 watt : W

Charge Q = IT A.s coulomb : C

Potentiel ML2T−2Q−1 kg.m2.s−3A−1 volt : V

Capacité M−1L−2T2Q2 kg−1m−2s4A2 farad : F

Résistance ML2T−1Q−2 kg.m2.s−3A−2 ohm : Ω

Conductance M−1L−2TQ2 kg−1.m−2.s3A2 siemens : S

Champ magnétique MT−1Q−1 kgs−2A−1 tesla : T

Inductance ML2T−2I−2 kgm2s−2A−2 henry : H

4. Analyse dimensionnelle

L’analyse dimensionnelle permet :

de vérifier l’homogénéité d’une formule ;de rechercher les relations entre les différentes grandeurs physiques liées entreselles.

ExempleL’étude du mouvement d’un pendule montre que sa période Tp dépend à priori dela masse m, de la longueur l du fil et de la valeur de g (accélération de la pesanteurdu lieu de la mesure).Supposons que la période Tp s’exprime par une relation de la forme :

Tp = Cste.mαlβgγ

La relation doit être homogène, donc[Tp

]= [m]α [l]β

[g]γ

Comme [m] = M, [l] = L et[g]= LT−2, alors

[Tp

]= T = MαLβ(LT−2)γ

= MαLβ+γT−2γ

L’identification des exposants des différentes dimensions conduit à :

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩α = 0β + γ = 0−2γ = 1

d’où

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩α = 0

β =12

γ = −12

La période du pendule simple s’écrit donc : Tp = Cste.l12 g− 1

2 = Cste

√lg

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1 Entraînement Grandeurs physiques. Équations aux dimensions

SSynthèseynthèseynthèse

Je sais définir• Une grandeur physique• Le système international d’unités

Je connais• Le principe des équations aux

dimensions• Les unités de base des grandeurs

physiques usuelles

Je sais• Établir une équation aux dimensions• Retrouver l’unité d’une grandeur physique dans le système S.I.

QQuestions à choix multiplesuestions à choix multiplesuestions à choix multiples

1 Un corps solide, en mouvement dans un fluide visqueux, reçoit de la part du fluide une

force de frottement−→f .

Dans le cas d’un écoulement laminaire et pour un corps sphérique de rayon r,−→f = −6πηr−→v où η représente le coefficient de viscosité du fluide et −→v le vecteur vitessedu solide.La dimension de η est : r 1. L−1.T−1 r 2. M.L−1.T−1

L’unité de η dans le système S.I. est : r 3. N.m−2.s r 4. Pa.s r 5. kg.s−1.m−1

2 La valeur de la force d’interaction entre deux corps ponctuels, séparés d’une distance ret portant respectivement les charges q1 et q2, est donnée par la loi de Coulomb :

f =1

4πε0

|q1q2|r2

r 1. La dimension de f est M.L−1.T−2,

r 2. L’unité de f est le kg.m.s−2.3. La dimension de ε0 est : r a) M.L−3.T4.A r b) M−1.L−3.T4.A2.

r 4. L’unité de ε0 est kg−1.m−3.s4.A2.

3 Isaac Newton établit au XVIIe siècle l’expression de la célérité du son dans l’air :

v =

√Pμ

avec∣∣∣∣∣ P : pression de l’air ;μ : masse volumique de l’air

La dimension de P est :r 1. M3.L2.T−2 r 3. M.L−1.T−2 r 5. M−1.L.T−2

r 2. M−2.L.T−1 r 4. M.L.T−1

4

Grandeurs physiques. Équations aux dimensions Entraînement 1

CCorrigésorrigésorrigés

1 Bonnes réponses 2. et 5.

De f = 6πηrv, il vient : [η] =[f ]

[r].[v]De f = ma, on déduit [f ] = M.L.T−2.

Ainsi : [η] =M.L.T−2

L.L.T−1= M.L−1.T−1

L’unité de η est donc le kg.m−1.s−1.

2 Bonnes réponses 2. 3.b. et 4.

De f = ma (2eme loi de Newton), on déduit [f ] = [m] · [a]Comme [m] = M et [a] = L.T−2, alors [f ] = M.L.T−2.L’unité de f est donc le kg.m.s−2.

On a f =1

4πε0

|q1q2|r2

, donc : ε0 =1

4πf|q1q2|

r2

Et par suite : [ε0] =1

[f ][q]2

[r]2

Déterminons la dimension d’une charge.De la définition de l’intensité d’un courant électrique (qui est débit de charges), il vient :

i =dqdt

, soit dq = idt

Ainsi [q] = [i].[Δt] = I.T.

Dimension de ε0 : [ε0] =1

M.L.T−2

(I.T)2

L2= M−1.L−3.T4.I2

L’unité de ε0 est donc le kg−1.m−3.s4.A2.

3 Bonne réponse 3.

Comme v =

√Pμ

, alors v2 =Pμ

. Ainsi P = v2 · μComme [v] = L.T−1 et [μ] = M.L−3, alors [P] = (L.T−1)2 × M.L−3 = L2.T−2 × M.L−3

= M.L−1.T−2

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2 Cinématique du point

PPlanlanlan

1. Référentiels et repères2. Vitesse et accélération3. Étude de quelques mouvements4. Mouvements relatifs et absolus

OObjectifsbjectifsbjectifs

• Savoir repérer un mobile dans les diffé-rents systèmes de coordonnées

• Savoir établir l’expression d’une vitesseet d’une accélération dans les différentssystèmes de coordonnées

• Savoir calculer une vitesse et une accé-lération

• Déterminer l’équation d’une trajectoiredans un référentiel donné

• Savoir faire une décomposition de vi-tesse et d’accélération

La cinématique est l’étude du mouvement d’un corps indépendamment des actionsqui le produisent et qui sont capables de le modifier. Dans ce chapitre, on s’intéresseau mouvement d’un point matériel, objet de dimensions négligeables par rapportaux distances parcourues. Dans le cas d’un solide (ensemble de points matériels), ons’intéressera au mouvement d’un point particulier : le centre d’inertie G du solide. Lemobile désignera donc, soit le point matériel M, soit le centre d’inertie G du solide.

1. Référentiels et repères

1.1. La relativité du mouvementUn objet est en mouvement par rapport à un autre objet (celui qui sert de référence)si sa position change au cours du temps par rapport à cet objet de référence.

ExempleObservons le mouvement d’une personne assise dans un train. Pour un observateur(A) situé dans le même wagon, cette personne peut apparaître immobile ; maispour un observateur (B) situé sur le quai d’une gare, et qui voit passer le train, lapersonne assise se déplace bien sûr en même temps que celui-ci (Fig. 2.1).

6

Cinématique du point Cours 2

(B)(A)

Figure 2.1

Ainsi, pour repérer la position d’un point mobile M, il est donc nécessaire de préciserle référentiel. Dans toute la suite, le référentiel sera supposé fixe et non déformable aucours du temps. Lorsque le référentiel est choisi, on doit définir un repère d’espace,lié au référentiel, pour déterminer chaque position du mobile. De même, il faut définirune chronologie et un repère de temps.

1.2. RepèresAu référentiel choisi, on associe un repère. Le repère sera fixe par rapport auréférentiel.

En coordonnées cartésiennesTout point M peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z). Si O estl’origine du repère, le vecteur position s’écrit :

−−→OM = −→r = x

−→i + y

−→j + z

−→k

où (−→i ,−→j ,−→k ) est une base orthonormale directe liée au référentiel (Fig. 2.2).

O

X

Y

Z

M

ijk

H

Figure 2.2

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2 Cours Cinématique du point

En coordonnées polaires (cas d’un mouvement plan)On définit un axe Ox, axe polaire, et une origine O ou pôle.Un point mobile M peut être repéré par ses coordonnées polaires (r, θ) où r = OM et

θ = (−→Ox,−−→OM) (Fig. 2.3).

O x

y

M

uru

r

i

ju

u

Figure 2.3

Le vecteur position s’écrit donc :−−→OM = −→r = r−→ur.

où −→r est appelé rayon vecteur et θ l’angle polaire,

et (−→ur,−→uθ) est une base locale mobile, orthonormée directe, liée à M.

En coordonnées cylindriquesLe mobile sera repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z) et le vecteur

position s’écrit :−−→OM = −→r = −−→OH +

−−→HM = r−→ur + z−→uz.

où (−→ur,−→uθ,−→uz) est une base orthonormée directe mobile liée à H (Fig. 2.4).

O

X

Y

Z

M

z

H ur

uu

uzur

Figure 2.4

En coordonnées sphériquesLe mobile sera repéré par ses coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) et le vecteur position

s’écrit−−→OM = −→r = r−→ur (Fig. 2.5).

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O

M

ur

uθ

uϕ

ϕ

r

x

y

z

θ

Figure 2.5

Les vecteurs −→ur,−→uθ et −→uϕ sont définis à partir du point M.

Dans la base cartésienne, les coordonnées des vecteurs de base s’écrivent :

−→ur

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ sin θ cosϕsin θ sinϕ

cos θ

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ −→uθ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ cos θ cosϕ

cos θ sinϕ− sin θ

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ −→uϕ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ − sinϕ

cosϕ0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠La correspondance entre coordonnées cartésiennes et coordonnées sphériques est :⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = r sin θ cosϕy = r sin θ sinϕz = r cos θ

avec

{θ ∈ [0, π]ϕ ∈ [0, 2π]

En coordonnées curvilignesSi on choisit sur la trajectoire un sens de parcours positif, un point mobile M peutêtre repéré sur sa trajectoire C par son abscisse curviligne s =

�

AM où A est un pointorigine fixe de la trajectoire (Fig. 2.6).

MA

+C

Figure 2.6

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2. Vitesse et accélération

2.1. Vitesse

DéfinitionSoit un point M mobile dont la position dans un référentiel (R) est repérée parles coordonnées cartésiennes (x, y, z).La trajectoire du mobile M relativement à (R) est l’ensemble des points del’espace occupés successivement par le mobile M au cours du temps.

Soient deux points M et M′, les positions occupées par le mobile aux instants t et t′.

La vitesse moyenne du mobile entre les dates t et t′ est le vecteur −→vm =

−−−→MM′

t′ − t(Fig. 2.7).

M

M'

vm= MM't'-t

O

M0r r'

C

°

Figure 2.7

M

M0

C

°

v

u

°

Figure 2.8

La vitesse instantanée du mobile, à l’instant t, est un vecteur −→v porté par la tangenteà la trajectoire au point M (Fig. 2.8), dirigé suivant le sens du mouvement, et quis’écrit :

−→v = d−−→OMdt=

d−→rdt

où −→r = −−→OM (2.1)

Expression de la vitesse dans différents systèmesde coordonnées

En coordonnées cartésiennes

Soit (−→i ,−→j ,−→k ) une base orthonormale directe liée au référentiel (R).

10


Le vecteur position s’exprime : −→r = −−→OM = x−→i + y

−→j + z

−→k .

Ainsi :

−→v = dxdt−→i +

dydt−→j +

dzdt−→k car

−→i ,−→j et−→k sont des vecteurs constants.

Si on pose x =dxdt

, y =dydt

et z =dzdt

, alors −→v a pour coordonnées

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x =dxdt

y =dydt

z =dzdt

(2.2)

En coordonnées polaires (cas d’un mouvement plan)Le point M est repéré par ses coordonnées polaires (r, θ) « mais ici, la base employée(−→ur,−→uθ) est mobile par rapport au repère ».

Le vecteur position −→r = −−→OM s’écrit donc −→r = r−→ur.

Le vecteur vitesse est : −→v =−→drdt=

ddt

(r−→ur

), soit

−→v = drdt−→ur + r

d−→ur

dt= r−→ur + rθ−→uθ (2.3)

card−→ur

dt= θ−→uθ (voir exercice 2)

Les composantes de −→v sont donc :

{rrθ

Dans le repère de Frenet (Cas d’une trajectoire plane)

On introduit un repère mobile (−→τ ,−→n ) (Fig. 2.9), lié au mobile M tel que :⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩−→τ : vecteur unitaire porté par la tangente à la courbe et orienté dans le sens du

mouvement ;−→n : vecteur unitaire orthogonal à −→τ et dirigé vers la concavité de la trajectoire.

On a alors −→v = v−→τ .

ρ représente le rayon de courbure de la trajectoire : c’est le rayon du cercle tangent àla trajectoire sur une petite portion autour du point M (Fig. 2.9).

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M

M0

C°

°τ

ρ

n

+O

+

°M τ

n

ρ

O+

Figure 2.9

Si la trajectoire est un cercle de rayon R, ρ = R.Si la trajectroire est une droite, le rayon de courbure ρ tend vers l’infini.

En coordonnées cylindriquesLe point M est repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z).

Le vecteur position−−→OM s’écrit donc

−−→OM =

−−→OH +

−−→HM = r−→ur + z−→uz.

Ainsi −→v =−−−−→dOM

dt= r−→ur + rθ−→uθ + z−→uz.

2.2. Accélération

DéfinitionL’accélération du mobile, à l’instant t, est la dérivée dans (R) par rapport autemps, du vecteur vitesse, soit :

−→a =−→dvdt=

d2−→rdt2

(2.4)

Expression de l’accélération dans différents systèmesde coordonnées

En coordonnées cartésiennes

Comme −→v = dxdt−→i +

dydt−→j +

dzdt−→k , alors

−→a = d−→vdt=

d2x

dt2−→i +

d2y

dt2−→j +

d2z

dt2−→k = x

−→i + y

−→j + z

−→k (2.5)

12


En coordonnées polaires


ddt

(r−→ur + rθ−→uθ

)= r−→ur + rθ−→uθ + rθ−→uθ + rθ−→uθ − rθ2−→ur, soit

−→a = (r − rθ2)−→ur + (rθ + 2rθ)−→uθ

avecd−→ur

dt= θ−→uθ et

d−→uθdt= − θ−→ur.

Dans le repère de Frenet

−→a = aτ−→τ + an

−→n avec

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩aτ =

dvdt

an =v2

ρ

En coordonnées cylindriques

−→a =−→dvdt= (r − rθ2)−→ur + (rθ + 2rθ)−→uθ + z−→uz

3. Étude de quelques mouvements

3.1. Les mouvements rectilignes

Figure 2.10

Le mobile M se déplace le longd’une droite sur laquelle sera choisi

un vecteur unitaire−→i (Fig. 2.10).

La trajectoire rectiligne sera orien-tée selon un axe x′Ox.Le vecteur position s’écrit donc−−→OM = x

−→i .

On déduit donc −→v = x−→i et −→a = x

−→i .

Mouvement rectiligne uniformeSuivant l’axe x′Ox la vitesse instantanée est −→v = −→v0 = v0

−→i =−−→cste.

Comme −→v = −−→cste alors −→a = d−→vdt=−→0 .

De plus, comme v =dxdt= v0 alors, x =

∫ t0 v0dt = v0t + x0 où x0 est l’abscisse du

point M à la date t = 0.

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oduc

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non

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.

13


Pour un mouvement rectiligne uniforme, on a donc :{v = v0 = cste

x = v0t + x0(2.6)

Remarque

Dans l’écriture v =dxdt

, v ne représente pas la norme de la vitesse.

Mouvement rectiligne uniformément varié

Le mouvement est rectiligne uniformément varié si −→a = −→a0 = a0−→i =−−→cste.

Le mouvement est accéléré si −→a .−→v > 0.Le mouvement est décéléré si −→a .−→v < 0.

Comme −→a = d−→vdt

alors v =∫ t

0 a0dt = a0t + v0 où v0 est la vitesse du mobile à t = 0.

Ainsi x =12

a0t2 + v0t + x0 (x0 abscisse du mobile à t = 0).

Pour un mouvement rectiligne uniformément varié, on a donc⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩(1) a = a0 = cste

(2) v = a0t + v0

(3) x =12

a0t2 + v0t + x0

(2.7)

En éliminant t entre les équations (2) et (3) de la relation (2.7), on obtient (voirdémonstration, exercice 1) :

v2 − v20 = 2a0(x − x0) (2.8)

Mouvement rectiligne sinusoïdalUn mobile est animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdal si sa trajectoire est unedroite et sa loi horaire est une fonction sinusoïdale du temps, soit :

x(t) = xm sin(ωt + φ)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣xm : amplitude du mouvement en mω : pulsation en rad.s−1

φ : phase à l’origine en radωt + φ : phase à la date t en rad

Le mobile M se déplace entre deux positions extrêmes M1 et M2 d’abscisses xmet −xm.

La vitesse du mobile

Comme v =dxdt

alors v = x = ωxm cos(ωt + φ).

14


L’accélération du mobile

Comme a =dvdt

alors a = x = −ω2xm sin(ωt + φ) = −ω2x,

soit x + ω2x = 0. On retrouve l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique.

3.2. Mouvement circulaire

O x

y

M

ur

uθθ

R

A

i

j

+

x

y

Figure 2.11

On dit qu’un mobile M a un mouvement circu-laire lorsqu’il se déplace sur un cercle fixe parrapport au repère d’espace choisi (Fig. 2.11).Le repérage de la position du mobile peut être :

en coordonnées cartésiennes : on choisit uneorigine O, centre du cercle de rayon R ;en coordonnées curvilignes : on prendracomme origine le point A, le point de coordon-nées (x = R, y = 0) et comme sens positif lesens direct ;en coordonnées polaires : le mobile M est re-péré par ses coordonnées polaires (r, θ) avec

θ = (−−→OA,−−→OM).

Remarques

si s représente l’abscisse curviligne, on a s = Rθ,−→ur = cos θ

−→i + sin θ

−→j ,

−→uθ = cos(θ +π

2)−→i + sin(θ +

π

2)−→j = − sin θ

−→i + cos θ

−→j .

Vitesse et accélération du mobile

−→v = d−−→OMdt=

ddt

(R−→ur

)= R

d−→ur

dt= Rθ−→uθ = Rω−→uθ, avec ω = θ (vitesse angulaire).


ddt

(Rθ−→uθ

)= Rθ−→uθ − Rθ2−→ur

comme v = Rθ alors Rθ2 =v2

Ret Rθ =

dvdt

ainsi −→a = −Rθ2−→ur + Rθ−→uθ = −v2

R−→ur +

dvdt−→uθ.

Cas particulier du mouvement circulaire uniformeDans ce cas, on a : ω = θ = ω0 = cste et v = v0 = cste.Ainsi −→v = Rω0

−→uθ et −→a = −Rω20−→ur.

L’accélération −→a est centripète et le mouvement est périodique de période T=2πω0

.

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.

15


4. Mouvements relatifs et absolus

La trajectoire, la vitesse et l’accélération du mobile dépendent du référentiel (R)auquel est rapporté le mouvement.Soit un référentiel (R0) considéré comme fixe et (R) un référentiel mobile par rapportà (R0) (Fig. 2.12).

Oy

z

i j

k

O'

x'

y'

z'

i' j'

k'

M.

x

(R0)

(R)

Figure 2.12

Associons au référentiel (R0) le repère d’espace (O,−→i ,−→j ,−→k ) et au référentiel (R) le

repère d’espace (O′,−→i′ ,−→j′ ,−→k′).

Si M est un point mobile dans (R), on appellera :

mouvement relatif, le mouvement de M par rapport à (R),mouvement absolu, le mouvement de M par rapport à (R0),mouvement d’entraînement, le mouvement de (R) par rapport à (R0).

Composition des vitesses

On a−−→OM =

−−−→OO′ +

−−−→O′M =

−−−→OO′ + (x

−→i′ + y

−→j′ + z

−→k′)︸︷︷︸

(−−−→O′M)

,

Commed−−→OMdt=

d−−−→OO′

dt+

d−−−→O′Mdt

, alors

d−−→OMdt︸︷︷︸−→va

=d−−−→OO′

dt+ x

d−→i′

dt+ y

d−→j′

dt+ z

d−→k′

dt︸︷︷︸−→ve

+ x−→i′ + y

−→j′ + z

−→k′︸︷︷︸

−→vr

soit

−→va =−→ve +−→vr (2.9)

16


Lorsque le mouvement d’entraînement est un mouvement de translation, les vecteurs−→i′ ,−→j′ et−→k′ gardent des directions fixes de sorte que :

d−→i′

dt=

d−→j′

dt=

d−→k′

dt=−→0

et par suite

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−→va =d−−→OMdt=−−−→v(M)/(R0)

−→vr =d−−−→O′Mdt

=−−−→v(M)/(R)

−→ve =d−−−→OO′

dt= −→v (R)/(R0)

(si (R) est en translation par rapport à (R0)) (2.10)

Composition des accélérations

Comme−−−→a(M) =

d−→vdt=

ddt

(d−−→OMdt

), alors en dérivant par rapport au temps l’expression

d−−→OMdt=

d−−−→OO′

dt+ x

d−→i′

dt+ y

d−→j′

dt+ z

d−→k′

dt+ x−→i′ + y

−→j′ + z

−→k′, on obtient :

−→aa =−→ar +−→ae +−→ac

avec ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−→aa =d2−−→OM

dt2

−→ae =d2−−−→OO′

dt2+ x

d2−→i′dt2+ y

d2−→j′dt2+ z

d2−→k′dt2

−→ar = x−→i′ + y

−→j′ + z

−→k′

−→ac = 2(xd−→i′

dt+ y

d−→j′

dt+ z

d−→k′

dt)

où −→ac représente l’accélération de Coriolis ou accélération complémentaire.

Remarques

1. Si le mouvement d’entraînement est une translation sans rotation de (R) alors,

−−−→a(M) =

d2−−→OM

dt2=

d2−−−→OO′

dt2+

d2−−−→O′Mdt2

, soit −→aa =−→ae +−→ar

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.

17


2. Si (R) est en rotation par rapport à (R0), on définit un vecteur rotation−→Ω dont la

direction est confondue avec l’axe instantané de rotation et dont la norme est lavitesse angulaire de rotation (Fig. 2.13).

O

X

X'

Y

Z

ij

k

i'

j'

Y'

θ

Figure 2.13

On montre que : −→aa =−→ar +−→ac

avec ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−→aa =d2−−→OM

dt2

−→ar =d2−−−→O′M

dt2

−→ac = 2−→Ω ∧ −→vr

(2.11)

SSynthèseynthèseynthèse

Je sais définir• Une vitesse• Une accélération• Un mouvement circulaire uniforme• Un mouvement rectiligne sinusoïdal

Je connais• Les différents mouvements usuels• L’expression de la vitesse et de l’accéléra-

tion d’un mobile dans différents systèmesde coordonnées

Je sais• Quels systèmes de coordonnées utiliser pour repérer la position d’un point matériel• Établir les équations horaires pour différents mouvements• Établir la relation entre coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes• Faire une décomposition de vitesse et d’accélération

18

Cinématique du point Entraînement 2

EExercicesxercicesxercices

1 1. Montrer que pour un mouvement rectiligne uniformément varié, on a :

v2 − v20 = 2a0(x − x0).

2. Application : Un mobile glisse le long d’un axe x′Ox d’un plan incliné d’un angleα par rapport à l’horizontale. Ce mobile est lancé à la vitesse −→vA, dans le même sensque x′Ox, et de valeur vA = 1,2 m.s−1.On supposera que le mouvement de M est rectiligne et uniformément varié.Sachant que le mobile rebrousse chemin en un point B tel que AB = 0,8 m,déterminer l’accélération de ce mobile.

2 On considère un mobile M repéré par ses coordonnées polaires (r, θ).

Montrer qu’en coordonnées polaires −→v = r−→ur + rθ−→uθ.3 Une sphère de rayon R est mise en rotation à la vitesse angulaire constante ω, autour

d′un axe (Δ) passant par son centre O.1. Déterminer la vitesse linéaire v d’un point M situé sur la sphère à la latitude λ (angle

entre OM et le plan équatorial de la sphère).2. En déduire la norme de l’accélération a du point M.3. Application numérique. Calculer v et a dans le cas où le point M est un point situé

sur la surface de la terre (la terre étant assimilée à une sphère de centre O et derayon R).

On donne R = 6 380 km, λ = 45 ◦ et période de révolution de la Terre, T = 24 h.

4 Un anneau de faibles dimensions, assimilable à un point matériel M de masse m, glissesans frottement sur une tige rigide (D). La tige (D) tourne dans un plan horitontal (xOy)

autour de l’axe vertical Oz avec la vitesse angulaire ω =dθdt

, où θ représente l’angle

orienté (−→i , −→ur) et −→ur un vecteur unitaire de (D) (Fig. 2.14).

Le mouvement du point matériel Msur la droite (D) est décrit par l’équa-tion horaire : r = r0(1 + sinωt)où r0 est une constante positive et−→r = −−→OM = r−→ur.

O

x

y' y

M

ur

k

θ

(D)

Ω = ω.k

z

z'

x'

Figure 2.14

On appelle mouvement relatif de Mson mouvement sur la droite (D) etmouvement absolu son mouvementpar rapport au repère (O,

−→i ,−→j ,−→k ).

Déterminer, pour l’anneau, dans labase (−→ur, −→uθ) :1. La vitesse et l’accélération

relatives,2. La vitesse et l’accélération

d’entraînement,3. L’accélération de Coriolis.

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.

19

2 Entraînement Cinématique du point

QQuestions à choix multiplesuestions à choix multiplesuestions à choix multiples

5 Un mobile se déplace sur un axe x′Ox. Son mouvement est rectiligne uniformémentaccéléré, d’accélération a = x = −2 m.s−2.À t = 0, il passe en O, origine du repère, avec une vitesse v0 = 10 m.s−1.Le mobile s’arrête à la date :

r 1. t = 2,5 sr 2. t = 5,0 s.

À La date t = 3,0 s :

r 3. L’abscisse du mobile est x = 21 m.r 4. L’abscisse du mobile est x = 12 m

r La vitesse du mobile est v = 4,0 m.s−1.

6 Dans un repère orthonormé (O,−→i ,−→j ,−→k ), la position d’un point mobile M en fonction

du temps est donnée par :⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x(t) = 5,0.t + 2, 0y(t) = 0z(t) = −4,9t2 + 8,7t + 3,0

x, y, z en m et t en s

À la date t = 2, 0 s,la valeur de la vitesse est :

r 1. −5,9 m.s−1

r 2. 12,0 m.s−1

r 3. 34,8 m.s−1

la valeur de l’accélération est :

r 4. −9,8 m.s−2

r 5. 9,8 m.s−2

7 Un point mobile M, considéré comme ponctuel, décrit selon un axe x′Ox un mouve-ment rectiligne uniformément accéléré.Durant un intervalle de temps Δt = 8,0 s, sa vitesse croît de 3,6 m.s−1 à 6,0 m.s−1.L’accélération du point mobile est de :

r 1. 2,4 m.s−2

r 2. 0,3 m.s−2

La distance parcourue par le mobile est de :

r 3. 19,2 mr 4. 38,4 mr 5. 76,8 m

8 La vitesse de rotation maximale à vide d’une perceuse est égale à 2 700 tours/min.La fréquence de rotation f est égale à :

r 1. 282,7 Hzr 2. 45 Hz

20


L’accélération normale d’un point de la périphérie d’un foret de diamètre d = 10 mmest égale à :

r 3. 400 m.s−2

r 4. 1,4 m.s−2

r 5. 10 m.s−2

9 Une particule de masse m décrit dans le plan xOy la trajectoire d’équationsparamétriques :⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x(t) = R sinωty(t) = R(1 − cosωt)z(t) = 0

où R et ω sont des constantes positives.

La vitesse de la particule est :

r 1. v = R2ω

r 2. v = R2ω2

r 3. v = Rω

L’accélération de la particule est :

r 4. a = R2ω

r 5. a = Rω2

L’énoncé suivant est commun aux questions 10. et 11.

Une particule M est animée d’un mouvement rectiligne sinusoïdal de périodeT = 50 ms.A l’instant t = 0, le mobile passe par l’origine des axes à la vitesse v0x = −0,5 m.s−1

10 La pulsation ω a pour valeur :

r 1. 0,04π rad.s−1

r 2. 40π rad.s−1

L’amplitude du mouvement est :

r 3. xm = 7,96 cmr 4. xm = 7,96 mmr 5. xm = 3,98 mm

11 L’équation horaire du mobile s’écrit :

r 1. x(t) = 3,98 cos(40πt) ; x(t) en cmr 2. x(t) = 79,6 sin(40πt + π) ; x(t) en mmr 3. x(t) = 3,98 sin(40πt + π) ; x(t) en mm

L’accélération du mobile lorsqu’il rebrousse chemin (pour x > 0) est :

r 4. a = − 31,4 m.s−2

r 5. a = − 62,8 m.s−2

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21

2 Entraînement Cinématique du point

L’énoncé suivant est commun au questions 12, 13 et 14.Un mobile M est repéré par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z) avec :⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x(t) = R(t − sin t)y(t) = R(1 − cos t)z(t) = 0

12 Le vecteur vitesse a pour coordonnées :

r 1.{

x(t) = R(t + cos t)y(t) = −R sin t

r 2.{

x(t) = R(1 + cos t)y(t) = R sin t

r 3.{

x(t) = R(1 − cos t)y(t) = R sin t

La valeur de la vitesse est :

r 4. v = R(1 − cos t)

r 5. v = R√

2√

1 − cos t

13 Le vecteur accélération a pour coordonnées :

r 1.{

x(t) = −R sin ty(t) = R cos t

r 2.{

x(t) = R sin ty(t) = R cos t

r 3.{

x(t) = R sin ty(t) = −R cos t

La valeur de l’accélération est :

r 4. a = R√

2r 5. a = R

14 r 1. L’accélération tangentielle est indépendante du tempsr 2. L’accélération normale est indépendante du temps.r 3. Le mouvement est plan et circulaire.r 4. La valeur du rayon de courbure est ρ = Rr 5. Le rayon de courbure dépend du temps.

15 Deux mobiles M1 et M2 se déplacent à vitesse constante selon deux directionsortogonales et se dirigent tous deux vers un point fixe A.La vitesse du mobile M1 par rapport au mobile M2 est :

r 1. −−−−−→vM1/M2 = −v2−→i

r 2. −−−−−→vM1/M2 = v2−→i − v1

−→j

r 3. −−−−−→vM1/M2 = v1−→i + v2

−→j

r 4. −−−−−→vM1/M2 = v1−→i − v2

−→j

r 5. −−−−−→vM1/M2 = v1−→i − 2v2

−→j

22


CCorrigésorrigésorrigés

1 1. Pour un mouvement rectiligne uniformément varié, on a :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩(1) a = a0 = cste

(2) v = a0t + v0

(3) x =12

a0t2 + v0t + x0

De la relation (2) v = a0t + v0, on tire t =v − v0

a0.

Ainsi la relation (3) devient x =12

a0(v − v0

a0)2 + v0

v − v0

a0+ x0,

soit x − x0 =12

a0

(v − v0

a0

)2

+ v0v − v0

a0=

(v − v0)2

2a0+

2v0(v − v0)2a0

=v2 + v2

0 − 2vv0 + 2v0v − 2v20

2a0=v2 − v2

0

2a0

et par suite : v2 − v20 = 2a0(x − x0).

2. Le mouvement étant rectiligne uniformément varié, on a donc

v2 − v20 = 2a0(x − x0),

avec v0 = vA et v = vB = 0 (le mouvement change de sens)et x − x0 = AB.

a0 =v2 − v2

0

2(x − x0)= − v2

A

2AB

Application numérique : a0 = −0,9 m.s−2

2 On a−−→OM = r−→ur avec −→ur = cos θ

−→i + sin θ

−→j où

−→i et−→j sont des vecteurs constants du

repère de référence (Fig. 2.15).

−→v =−→drdt=

ddt

(r−→ur

)=

drdt−→ur + r

d−→ur

dt

d−→ur

dt=

d−→ur

dθdθdt= θ

d−→ur

dθ.

d−→ur

dθ=

ddθ

(cos θ−→i + sin θ

−→j ) = − sin θ

−→i + cos θ

−→j

= cos(θ +π

2)−→i + sin(θ +

π

2)−→j = −→uθ

Ainsid−→ur

dt= θ−→uθ

De la même façon, on montre qued−→uθdt= −θ−→ur.

Conclusion : −→v = r−→ur + rθ−→uθ.

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UE3 PHYSIQUE - Dunod