ULYSSE qui dira vingt4 1 Introduction à l Ingénierie Didactique Études et observations dune situation mathématique : C20 Esquisse dun curriculum

ULYSSEULYSSE qui dira vingt4qui dira vingt4 11

Introduction à l’Introduction à l’Ingénierie Didactique Ingénierie Didactique

Études et observations d’une Études et observations d’une situation mathématique : C20situation mathématique : C20

Esquisse d’un curriculum Esquisse d’un curriculum


Une Situation Une Situation

mathématiquemathématique

1.1. Qui dira vingt?Qui dira vingt?

2.2. Comparaison de deux utilisations Comparaison de deux utilisations didactiques du problème « qui dira 20? »didactiques du problème « qui dira 20? »

3.3. De « Qui dira 20? » à… la divisionDe « Qui dira 20? » à… la division

ULYSSE qui dira vingt4 3

Pour introduire la théorie des Pour introduire la théorie des situations…situations…

► ……voici l’étude d’une situation qui a été reproduite de voici l’étude d’une situation qui a été reproduite de nombreuses fois avec des élèves de 10-12 ans. Je prie ceux qui la nombreuses fois avec des élèves de 10-12 ans. Je prie ceux qui la connaissent bien de me pardonner ce « pèlerinage aux sources ».connaissent bien de me pardonner ce « pèlerinage aux sources ».

► Elle n’a pourtant pas grand intérêt dans les curriculums Elle n’a pourtant pas grand intérêt dans les curriculums ordinaires de mathématiques, mais elle peut être très utile pour ordinaires de mathématiques, mais elle peut être très utile pour initier les élèves au raisonnement mathématique et pour leur initier les élèves au raisonnement mathématique et pour leur donner une idée du fonctionnement des hypothèses, des preuves donner une idée du fonctionnement des hypothèses, des preuves et des théorèmes. En ce sens elle constitue une véritable et très et des théorèmes. En ce sens elle constitue une véritable et très vivante première leçon d’épistémologie. D’autres suivront… vivante première leçon d’épistémologie. D’autres suivront…

► C’est pourquoi elle a beaucoup servi pour expliquer le B A BA de C’est pourquoi elle a beaucoup servi pour expliquer le B A BA de la la théorie des situations mathématiquesthéorie des situations mathématiques et pour montrer et pour montrer comment les leçons classiques pouvaient être enrichies par une comment les leçons classiques pouvaient être enrichies par une initiation convenable à la initiation convenable à la résolution des problèmesrésolution des problèmes et à et à l’activité l’activité mathématiquemathématique. .


1. Qui dira vingt?1. Qui dira vingt?

UN MODELE pour une UN MODELE pour une SITUATION MATHEMATIQUE SITUATION MATHEMATIQUE

à usage didactique à usage didactique


Règles du jeuRègles du jeu

► Le premier joueur dit : « 1 » ou « 2 » Le premier joueur dit : « 1 » ou « 2 » ex: 1ex: 1

► Le second peut ajouter 1 ou 2 à ce qu’a dit le Le second peut ajouter 1 ou 2 à ce qu’a dit le premier premier ex: 3ex: 3

► A tour de rôle chacun dit un nombre en « montant » A tour de rôle chacun dit un nombre en « montant » de 1 ou de 2 sur le nombre dit par son adversairede 1 ou de 2 sur le nombre dit par son adversaire

► Celui qui dit 20 gagne la partie. Celui qui dit 20 gagne la partie. (Consigne)(Consigne)

Remarque de TSM : Pour le joueur A, l’adversaire B fait partie de m(A) le milieu de A. et il le fait évoluer en partie indépendamment de la volonté de A. A est donc en présence d’un « milieu » non pas seulement d’un ensemble de conditions amorphes


Exemple : une partieExemple : une partie

► Joueur AJoueur A

► Joueur B Joueur B

Le joueur B a gagnéLe joueur B a gagné

11 44 88

33 66

1111

1133

99 1122

1155

1166

1188

1177

2200


Les étapes de la « leçon »Les étapes de la « leçon »

► 1. La consigne1. La consigne : : le professeur montre comment jouerle professeur montre comment jouer (3min)(3min)

► 2. 2. Les élèves jouent 1 contre 1Les élèves jouent 1 contre 1. . Au bout de quatre parties individuelles certains élèves pensent « il Au bout de quatre parties individuelles certains élèves pensent « il

faut jouer 17 ». faut jouer 17 ». (situation d’action).(situation d’action). Il est temps alors Il est temps alors d’arrêter cette phase. (durée 7 minutes)d’arrêter cette phase. (durée 7 minutes)

► 3. 3. Les élèves jouentLes élèves jouent 1 équipe contre 1 équipe1 équipe contre 1 équipe Le jeu oppose au tableau un représentant de chacune des deux Le jeu oppose au tableau un représentant de chacune des deux

équipes qui doivent rester muettes pendant la partie.équipes qui doivent rester muettes pendant la partie. ((Jeu 1)Jeu 1) (jeu2)(jeu2) Entre les parties les équipes discutent de leurs Entre les parties les équipes discutent de leurs

stratégies. stratégies. (situation de formulation)(situation de formulation) (durée 25 minutes)(durée 25 minutes)► 4. Le 4. Le Jeu de la découverteJeu de la découverte concours de concours de

théorèmesthéorèmes équipes contre équipeséquipes contre équipes (situation de (situation de validation, de preuve)validation, de preuve)


Vocabulaire des situationsVocabulaire des situations

► Les Les positionspositions : [1; 2; … ; 19; 20] : [1; 2; … ; 19; 20]► Les Les états de la situationétats de la situation : {A;B}X [0; 1; 2; … ; 20] : {A;B}X [0; 1; 2; … ; 20]

► État initial : 0 . État final : 20. État initial : 0 . État final : 20. ► Une Une règlerègle d’action, d’action, des états permisdes états permis ► Des Des actantsactants (ou agents) et leur répertoire de (ou agents) et leur répertoire de

décisionsdécisions► Un Un EnjeuEnjeu : : effectif ou rhétoriqueeffectif ou rhétorique ► Une Une décision: décision: « jouer 4 »;« jouer 4 »; ► Une Une partiepartie : : une suite [An1, Bn2, …, X20], ou comme dans le une suite [An1, Bn2, …, X20], ou comme dans le

tableau : (A, [n1, n2, …, 20]) 0 < ni+1 –ni <3 tableau : (A, [n1, n2, …, 20]) 0 < ni+1 –ni <3 ► Toutes les parties possibles. Toutes les parties possibles. ► Une Une stratégiestratégie : : mauvaisemauvaise : « ajouter toujours 2 »; ou : « ajouter toujours 2 »; ou bonne bonne : :

« commencer par 2 puis compléter à 3 »« commencer par 2 puis compléter à 3 »► Une Une tactiquetactique : « jouer 17 si on peut » : « jouer 17 si on peut »


Schéma de la situation d’Schéma de la situation d’actionaction (jeu 1 contre 1)(jeu 1 contre 1)

11 44

33Joueur, actant

Information

Décision, Action, Transformation du milieu

Milieu

L’actant n’a pas besoin de dire ce qu’il fait ni de le justifier… Il peut donc être incapable de le faire.

L’observateur ne le sait pas, il peut au plus créer un « modèle implicite d’action »


Études de la situation d’action Études de la situation d’action 11

► Études a prioriÉtudes a priori : choix des paramètres but, pas etc. : choix des paramètres but, pas etc. ► Études expérimentalesÉtudes expérimentales. Quelles sont les conditions dans lesquelles . Quelles sont les conditions dans lesquelles

les élèves découvrent les tactiques et la stratégie de C20? les élèves découvrent les tactiques et la stratégie de C20? ► « Qui dira 7 » (C7) : le disque moniteur (ne joue que la stratégie « Qui dira 7 » (C7) : le disque moniteur (ne joue que la stratégie

gagnante). La courbe d’apprentissage peut être approchée par un gagnante). La courbe d’apprentissage peut être approchée par un « modèle Stimulus-réponse » « modèle Stimulus-réponse » (45 enfants). (45 enfants).

► « Qui dira 20 »: l’analyse des réponses de « Qui dira 20 »: l’analyse des réponses de 60 classes60 classes montre que montre que► 1.1. des « théorèmes en actes » apparaissent dans l’ordre : 20, 17, des « théorèmes en actes » apparaissent dans l’ordre : 20, 17,

14, 11, 8. L’élève qui apprend est celui qui perd et non celui qui 14, 11, 8. L’élève qui apprend est celui qui perd et non celui qui gagne gagne

► 2.2. la vitesse d’apparition des théorèmes décroît: la récurrence ne la vitesse d’apparition des théorèmes décroît: la récurrence ne joue pas sauf vers la 15e partie pour une partie des élèves joue pas sauf vers la 15e partie pour une partie des élèves

► 3.3. Seuls, les deux premiers sont explicitables, (20 et 17) les autres Seuls, les deux premiers sont explicitables, (20 et 17) les autres sont utilisés mais trop incertains pour être dits sont utilisés mais trop incertains pour être dits

► 4.4. A partir de la 25 A partir de la 25ièmeième partie, s’ils ne sont pas formulés, les partie, s’ils ne sont pas formulés, les théorèmes en actes disparaissent, dans l’ordre inverse de leur théorèmes en actes disparaissent, dans l’ordre inverse de leur apparitionapparition. .

► 5.5. Le processus de découverte bute sur une idée des élèves : le Le processus de découverte bute sur une idée des élèves : le jeu « devrait » laisser une certaine liberté au départ jeu « devrait » laisser une certaine liberté au départ

► Aucun modèle Stimulus Réponse semblable à C7 ne convient à Aucun modèle Stimulus Réponse semblable à C7 ne convient à C20C20


apparition/disparition

0

1

2

3

4

5

6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

rang des parties

théo

rèm

es Ap.seuil 0.05

Ap seuil 0.02

Ap.seuil 0.01

Di.seuil 0.5

20

17

11

14

8

5


L’apparition des théorèmes (TIA) en situation d’action

Nombre ajoutéChoix significatif de 1: o

Choix significatif de 2 : Aucun choix significatif:

Apparition des théorèmes :

Nombres laissés par l’adversaire

6. Comment les théorèmes apparaissent-ils? Le diagramme ci-dessous, montre les décisions significatives des élèves. Les ronds blancs correspondent à l'addition significative de 1, les points noirs à l'addition significative de 2.

Exemple: dès la 3ième partie, et dans toutes les parties suivantes (colonne) au « nombre laissé » 18, les élèves répondent en ajoutant 2 (points noirs).

L'absence de signe indique des choix équilibrés (aucun n’est significatif).

Numéro de la partie jouée

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Le théorème 20 apparaît à la 3ième partie, le 17 à la 7ième, le 14 à la 13ième. La zone d’incertitude comprend 6 à 7 nombres et recule au fil de l’apparition des théorèmes. Avant, les élèves ajoutent seulement 2 pour atteindre plus vite cette zone d’incertitude


Schéma de la situation de formulation Schéma de la situation de formulation

de stratégiesde stratégies (équipe contre équipe)(équipe contre équipe)

ÉmetteurÉmetteur RécepteurRécepteur

Milieu

Informations

33

4411

Élève qui est au tableau

Le Groupe ne pourra pas agir ni conseiller son champion pendant la partie

Conseils, stratégies

ÉmetteurÉmetteur RécepteuRécepteurr


Études de la situation de formulation Études de la situation de formulation 22

► Situation de formulation des stratégies: Les actants disposent Situation de formulation des stratégies: Les actants disposent déjà du vocabulaire nécessaire, déjà du vocabulaire nécessaire,

► Ici, c’est aussi une situation de débats informels dans les Ici, c’est aussi une situation de débats informels dans les groupes groupes

► Les positions sont très variées, joueurs potentiels ou effectifs, Les positions sont très variées, joueurs potentiels ou effectifs, émetteurs d’idées ou contradicteurs, se réfèrent aux résultats émetteurs d’idées ou contradicteurs, se réfèrent aux résultats ou aux anticipations etc.ou aux anticipations etc.

► Tous les élèves sont concernés. Les échanges sont nombreux Tous les élèves sont concernés. Les échanges sont nombreux et vifs : Les élèves investissent le jeu de façon plus forte. et vifs : Les élèves investissent le jeu de façon plus forte.

► Sauf 17 les théorèmes en actes n’émergent pasSauf 17 les théorèmes en actes n’émergent pas► Il n’est observé aucun progrès individuel dans la résolution du Il n’est observé aucun progrès individuel dans la résolution du

problème à la fin de cette phase problème à la fin de cette phase ► Pourtant cette phase est essentielle pour que la suivante Pourtant cette phase est essentielle pour que la suivante

concerne tous les élèves. concerne tous les élèves. ► Les élèves qui ont les meilleures idées ne sont pas compris et Les élèves qui ont les meilleures idées ne sont pas compris et

se désespèrentse désespèrent


La situation de Validation:La situation de Validation: « le jeu de la découverte »« le jeu de la découverte »

► Les deux équipes s’affrontent pour établir une stratégie sûre. Le Les deux équipes s’affrontent pour établir une stratégie sûre. Le professeur ne précise les règles qu’au fur et à mesure. professeur ne précise les règles qu’au fur et à mesure.

► un groupe un groupe proposepropose une déclaration qui selon lui « aide à une déclaration qui selon lui « aide à gagner » (une conjecture). Exemple : Il faut jouer 17 si on peut. gagner » (une conjecture). Exemple : Il faut jouer 17 si on peut.

► L’autre équipe, l’L’autre équipe, l’opposantopposant, soit « passe », soit l’adopte (et paie le , soit « passe », soit l’adopte (et paie le droit de l’utiliser), soit la contredit et un débat s’ouvre avec trois droit de l’utiliser), soit la contredit et un débat s’ouvre avec trois issues possibles : la déclaration est « vraie » ou « fausse » ou « issues possibles : la déclaration est « vraie » ou « fausse » ou « indécise ». indécise ».

► L’opposant doit mettre la proposition contestée en contradictionL’opposant doit mettre la proposition contestée en contradiction Par un contre exemple: l’observation des parties passées Par un contre exemple: l’observation des parties passées Par une explication (un raisonnement, une preuve) Par une explication (un raisonnement, une preuve) Par un défi (qui revient à produire un contre exemple) en obligeant Par un défi (qui revient à produire un contre exemple) en obligeant

le proposant à jouer ce qu’il dit et en gagnant la partie (Moyen de le proposant à jouer ce qu’il dit et en gagnant la partie (Moyen de coercition contre l’entêté, mais coûteux si on a tort, et de toute coercition contre l’entêté, mais coûteux si on a tort, et de toute façon incertain)façon incertain)

D’autres critères apparaîtront pour « valider » une déclaration.D’autres critères apparaîtront pour « valider » une déclaration.► Les nombreuses règles sont « enseignées » au fur et à mesure et Les nombreuses règles sont « enseignées » au fur et à mesure et

« apprises » par la pratique. « apprises » par la pratique.


Déroulement de la situation de preuveDéroulement de la situation de preuve ► Enseignant : Enseignant : Équipe A, pouvez-vous faire une déclaration vraie Équipe A, pouvez-vous faire une déclaration vraie

et utile pour gagner ?et utile pour gagner ? vous serez les «proposants ».vous serez les «proposants ».► Élève de A : « on est sûr de gagner si on peut dire 17 ».Élève de A : « on est sûr de gagner si on peut dire 17 ».► Élève de B : Élève de B : oui c'est ce qu'on voulait dire !oui c'est ce qu'on voulait dire !► Autre élève de B : Autre élève de B : Mais je ne suis pas d'accord, il y a des fois Mais je ne suis pas d'accord, il y a des fois

où on a joué 17 et on n'a pas gagné. Je peux jouer 17 et perdre où on a joué 17 et on n'a pas gagné. Je peux jouer 17 et perdre si je veux.si je veux.

► … … ► Élève b de B : Élève b de B : Nous quatre, on n'est pas d'accord avec le reste Nous quatre, on n'est pas d'accord avec le reste

de l'équipe B. On veut mettre en doute le théorème.de l'équipe B. On veut mettre en doute le théorème.► Enseignant : Vous voulez obliger les A à jouer en commençant Enseignant : Vous voulez obliger les A à jouer en commençant

par 17 ? Élève b de B : Euh.... non ! on veut demander une par 17 ? Élève b de B : Euh.... non ! on veut demander une démonstration.démonstration.

► Les autres élèves de B : non ! non ! c'est sûr , il faut jouer 17... Il Les autres élèves de B : non ! non ! c'est sûr , il faut jouer 17... Il faut accepter sinon ils vont marquer des points !faut accepter sinon ils vont marquer des points !

► ……


Schéma de la situation de preuvesSchéma de la situation de preuves

33

4411Milieu

Mêmes informations

Opinions

Preuves

Énoncé sur le milieu

Proposant

Opposant


Études sur la situation de preuve Études sur la situation de preuve 33

► La leçon dure environ 1 heure. A la fin les élèves connaissent La leçon dure environ 1 heure. A la fin les élèves connaissent les nombres gagnants (à cause du jeu à deux équipes). La les nombres gagnants (à cause du jeu à deux équipes). La plupart connaissent le raisonnement réitéré pour établir tous plupart connaissent le raisonnement réitéré pour établir tous les « théorèmes ».les « théorèmes ».

► On a observé un engagement très vif des élèves dans On a observé un engagement très vif des élèves dans chacune des phases. Un grand nombre de prises de parole, de chacune des phases. Un grand nombre de prises de parole, de contestations, d’exemples et de contre-exemples, de défis et contestations, d’exemples et de contre-exemples, de défis et d retraits. d retraits.

► La principale difficulté pour le professeur est de distribuer la La principale difficulté pour le professeur est de distribuer la parole en fonction du déroulement du débat et non en parole en fonction du déroulement du débat et non en fonction de la valeur des arguments ou des conclusions. fonction de la valeur des arguments ou des conclusions.

► Les élèves apprennent les règles de l’argumentation: l’écoute Les élèves apprennent les règles de l’argumentation: l’écoute de l’autre, la prise de parole régulée, la connaissance de l’état de l’autre, la prise de parole régulée, la connaissance de l’état de ce qui est discuté, l’articulation des déclarations… de ce qui est discuté, l’articulation des déclarations…

► Ils apprennent aussi à déceler et à écarter les arguments Ils apprennent aussi à déceler et à écarter les arguments rhétoriques non logiques rhétoriques non logiques


Conclusions et suitesConclusions et suites

► Les phases de cette leçon illustrent Les phases de cette leçon illustrent ► trois types de trois types de situations situations auxquelles correspondent auxquelles correspondent ► trois types de trois types de manifestations de la pensée et du manifestations de la pensée et du

langagelangage mathématique, mathématique, ► et trois types d’et trois types d’apprentissagesapprentissages distincts (Bateson) distincts (Bateson)

► Réf. Tableaux SA (action), SF (com, form), SV (arg, Réf. Tableaux SA (action), SF (com, form), SV (arg, preuv) preuv)

► Voir : comment dériver une situation d’un théorème Voir : comment dériver une situation d’un théorème ou d’une définitionou d’une définition


2. Comparaison de deux 2. Comparaison de deux utilisations didactiques du utilisations didactiques du

problème problème « qui dira 20? »« qui dira 20? »


Études de deux utilisations didactiques Études de deux utilisations didactiques

du même problème mathématiquedu même problème mathématique ► Deux utilisations de ce problème par les professeurs ont Deux utilisations de ce problème par les professeurs ont

été soigneusement définies, contrôlées et comparées. été soigneusement définies, contrôlées et comparées. Stratégie 1Stratégie 1. « Ouverte » (5 classes 101 élèves), conforme à . « Ouverte » (5 classes 101 élèves), conforme à

l’exposé de la situation ci-dessus l’exposé de la situation ci-dessus Stratégie 2.Stratégie 2. « Fermée » (5 classes 106 élèves), pas de phase de « Fermée » (5 classes 106 élèves), pas de phase de

formulation ni de validation. Après le jeu à 1 contre 1, la formulation ni de validation. Après le jeu à 1 contre 1, la découverte est dirigée par le maître qui fait formuler ou formule découverte est dirigée par le maître qui fait formuler ou formule lui-même les explications. lui-même les explications.

Il s’agit donc d’un exposé classique d’un problème et de sa Il s’agit donc d’un exposé classique d’un problème et de sa solutionsolution

► Les observateurs ont interrogé les élèves de diverses Les observateurs ont interrogé les élèves de diverses manières et effectué de nombreuses comparaisonsmanières et effectué de nombreuses comparaisons sur leurs connaissances, sur leur conviction, …: sur leurs connaissances, sur leur conviction, …: le jour même, le lendemain et un mois aprèsle jour même, le lendemain et un mois après Sur la situation C20-3 mais aussi sur C25-3, C24-3, C9-3, C33-5 Sur la situation C20-3 mais aussi sur C25-3, C24-3, C9-3, C33-5


Extraits des ConclusionsExtraits des Conclusions ► « la stratégie II (où les maîtres placent les élèves dans une « la stratégie II (où les maîtres placent les élèves dans une

situation de faible incertitude), offre le jour même de meilleurs situation de faible incertitude), offre le jour même de meilleurs résultats (que I). L'autorité du maître a une réelle efficacité résultats (que I). L'autorité du maître a une réelle efficacité pour une mémorisation et une conviction.pour une mémorisation et une conviction.

► Mais déjà le lendemain les résultats chutent alors qu’ils se Mais déjà le lendemain les résultats chutent alors qu’ils se maintiennent et s’améliorent pour les élèves I. maintiennent et s’améliorent pour les élèves I.

► La conviction transmise par le professeur diminue avec le La conviction transmise par le professeur diminue avec le temps, peut être parce qu’elle n'engage pas l'adhésion des temps, peut être parce qu’elle n'engage pas l'adhésion des élèves. élèves.

► Au bout d’un mois les élèves de la stratégie I ont amélioré leurs Au bout d’un mois les élèves de la stratégie I ont amélioré leurs résultats, contrairement aux autres. résultats, contrairement aux autres.

► La situation pédagogique basée sur la transmission directe du La situation pédagogique basée sur la transmission directe du savoir de l'initiateur à l'initié obtient dans un temps de leçon savoir de l'initiateur à l'initié obtient dans un temps de leçon plus restreint, un meilleur apprentissage, mais aussi une perte plus restreint, un meilleur apprentissage, mais aussi une perte rapide de mémorisation et une moindre faculté de transfert rapide de mémorisation et une moindre faculté de transfert dans premiers jours. Elle ne s'améliorera qu'avec le temps. dans premiers jours. Elle ne s'améliorera qu'avec le temps.

► Le temps que l'on croit gagner, en réalité est perdu.Le temps que l'on croit gagner, en réalité est perdu.


► « A l’aide d'une échelle de la certitude, nous avons pu « A l’aide d'une échelle de la certitude, nous avons pu avancer certaines conjectures :avancer certaines conjectures :

► Les enfants de la stratégie I sont plus aptes à élaborer un Les enfants de la stratégie I sont plus aptes à élaborer un raisonnement mathématique et ils acquièrent une certitude raisonnement mathématique et ils acquièrent une certitude d'autant plus forte qu'ils se trouvent plus aptes à le traduire d'autant plus forte qu'ils se trouvent plus aptes à le traduire dans leur discours pour bâtir un raisonnement nouveau.dans leur discours pour bâtir un raisonnement nouveau.

► Les enfants de la stratégie II atteignent un niveau de certitude Les enfants de la stratégie II atteignent un niveau de certitude moins élevé, bien qu'en un premier temps au moment des moins élevé, bien qu'en un premier temps au moment des acquisitions, leur certitude soit meilleure »acquisitions, leur certitude soit meilleure »

► Les observateurs signalent l’importance de ce qui se passe Les observateurs signalent l’importance de ce qui se passe autour du théorème 8, résistance chez les élèves du groupe I, autour du théorème 8, résistance chez les élèves du groupe I, baisse sensible des résultats pour le groupe II. baisse sensible des résultats pour le groupe II.

► Il s’agit en fait d’un conflit entre deux modèlesIl s’agit en fait d’un conflit entre deux modèles ► Mais la stratégie mise en place par les maîtres en situation Mais la stratégie mise en place par les maîtres en situation

fermée est aussi élaborée par une partie des enfants en fermée est aussi élaborée par une partie des enfants en situation ouverte, et pour ceux là, dès le théorème 11 acquis. situation ouverte, et pour ceux là, dès le théorème 11 acquis. Le théorème 8 acquis, le processus s’accélère Le théorème 8 acquis, le processus s’accélère


3. 3. De « Qui dira 20? » à… la De « Qui dira 20? » à… la divisiondivision

Un Curriculum insolite dans Un Curriculum insolite dans l’enseignement des l’enseignement des

mathématiques mais une bonne mathématiques mais une bonne révisionrévision


► 1.1. Qui Qui dira dira 25 ? 29 ? 30 ?25 ? 29 ? 30 ? (sans changer le pas). (sans changer le pas).

► a) Qui a) Qui dira 25 ?dira 25 ?► Les enfants reprennent le jeu 2 par 2 (comme Les enfants reprennent le jeu 2 par 2 (comme pour pour la course la course

à 20) en notant chaque fois les nombres qu'ils énoncent.à 20) en notant chaque fois les nombres qu'ils énoncent.► Cinq minutes après le commencement de la Cinq minutes après le commencement de la partie partie à 2, la à 2, la

majorité des enfants a demandé que l'on arrête le jeu à 2 majorité des enfants a demandé que l'on arrête le jeu à 2 parce qu'ils avaient trouvé « le truc »parce qu'ils avaient trouvé « le truc »

► Un élève a énoncé :Un élève a énoncé :► « « il suffit de il suffit de mettre mettre 1 1 et après, d'aller de 3 en 3et après, d'aller de 3 en 3► Après Après une phase de vérification, toute la classe e accepté la une phase de vérification, toute la classe e accepté la

proposition.proposition.

► b) b) Qui Qui dira 29 ?dira 29 ?► On On a procédé de la a procédé de la même manière même manière que pour la course à que pour la course à 25.25.► Après deux parties de jeu à 2, un élève a énoncé : au lieu de Après deux parties de jeu à 2, un élève a énoncé : au lieu de

commencer commencer par 1, il faut par 1, il faut commencer par 2 et commencer par 2 et aller de 3 aller de 3 en 3en 3► Vérification par la classe. Proposition acceptée. Vérification par la classe. Proposition acceptée.


► c) Qui c) Qui dira 30 ? dira 30 ? Même déroulement que précédemment. Même déroulement que précédemment. ► Les enfants ont alors remarqué que la liste des nombres de la Les enfants ont alors remarqué que la liste des nombres de la

course à 20 était la même que celle de la course à 29. Ils ont course à 20 était la même que celle de la course à 29. Ils ont déduit aussitôt que ce serait la même pour la course à 26, 23, déduit aussitôt que ce serait la même pour la course à 26, 23, 20, etc.20, etc.

► 22 Même jeu en changeant le pas : qui dira 30?, 38, 40, etc.Même jeu en changeant le pas : qui dira 30?, 38, 40, etc.► II s'agit de trouver avant l'adversaire par quel nombre il faut II s'agit de trouver avant l'adversaire par quel nombre il faut

commencer. Les enfants le cherchent par soustractions commencer. Les enfants le cherchent par soustractions successives du « pas ». successives du « pas ».

► Ainsi, le jeu " Ainsi, le jeu " qui dira 428 ? qui dira 428 ? avec un pas de 27 doit être avec un pas de 27 doit être commencé par 23 (on soustrait pour cela 15 fois 27 de 428). commencé par 23 (on soustrait pour cela 15 fois 27 de 428). 15 est le quotient et 23 le reste de la division de 428 par 27.15 est le quotient et 23 le reste de la division de 428 par 27.

► C’est l’ancien « piquet à cheval » de nos ancêtres. C’est l’ancien « piquet à cheval » de nos ancêtres. ► C'est en raccourcissant cette longue suite de soustractions et C'est en raccourcissant cette longue suite de soustractions et

grâce à diverses découvertes (en particulier la possibilité de grâce à diverses découvertes (en particulier la possibilité de soustraire d'un coup 10, 100, 1 000 fois le pas) que les soustraire d'un coup 10, 100, 1 000 fois le pas) que les enfants réinventent la division.enfants réinventent la division.


La division -La division - Disposition des calculs.Disposition des calculs.

► Soit à effectuer la division 961 093:563. Le dividende est disposé Soit à effectuer la division 961 093:563. Le dividende est disposé d'abord comme l'indique la figure 1 (sous le poteau de rugby).d'abord comme l'indique la figure 1 (sous le poteau de rugby).

► Le quotient sera disposé au-dessus de la barre, Le quotient sera disposé au-dessus de la barre, ► les restes successifs sous le divi dende ; les restes successifs sous le divi dende ; ► les multiplications auxiliaires se feront à gauche des poteaux.les multiplications auxiliaires se feront à gauche des poteaux.► La partie droite sera utilisée pour les décimales La partie droite sera utilisée pour les décimales

QUOTIENT

DIVISEUR

DIVIDENDE

Soustractions du diviseur


CHIFFRES DU QUOTIENT…

CALCULS EN LIGNE

RESTE

Place pour les décimales

Ils peuvent resservir

0

Le chiffre du quotient (ici 1) est placé au-dessus du chiffre des unités du multiple (mille) que l'on soustrait (563), ici le 3.


FIN FIN de ID2de ID2

TSM2TSM2

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