Un critère de rupture multiaxial pour matériaux fragiles

Un critère de rupture multiaxial pour matériaux

fragiles

Michel Aubertin et Richard Simon

Résumé: La plupart des matériaux fragiles ont en commun une faible déformabilité à la rupture et une résistance ultime quidépend de la géométrie de chargement. La surface qui permet d’exprimer la condition de rupture dans l’espace des contraintesprincipales a une forme caractéristique qui peut être définie par un critère mathématique approprié. Dans cet article, lesauteurs présentent un critère multiaxial simple basé sur l’utilisation de deux fonctions quadriques. Pour des essais decompression triaxiale conventionnelle, le critère proposé, appelé critère MSDP, se réduit au critère de Mises–Schleicher àfaible contrainte moyenne et il prend la forme du critère Nadai–Drucker–Prager à plus haute contrainte moyenne. Le critèreMSDP s’exprime à partir des trois contraintes principales ou à partir des invariants I1, J2 et J3. Il comprend quatre paramètrescaractéristiques, chacun ayant une signification particulière en regard des propriétés des matériaux. La validité du critère estmontrée à partir de résultats tirés de la littérature sur la roche, le béton et la fonte.

Mots clés : rupture, matériaux fragiles, roche, béton, fonte.

Abstract: Most brittle materials show little straining at failure and an ultimate strength that depends upon loading geometry.The surface that defines failure in stress space has a characteristic shape that may be defined by an appropriate mathematicalcriterion. In this paper, the authors present a simple multiaxial criterion formulated from two quadric functions. Underconventional triaxial compression, the MSDP criterion reduces to the Mises–Schleicher criterion at low mean stress and ittakes the shape of the conical Nadai–Drucker–Prager criterion at higher mean stress. The MSDP criterion can be expressedfrom the three principal stresses or from the usual invariants I1, J2, and J3. It includes four characteristic parameters, eachhaving a particular significance regarding material properties. The validity of the criterion is shown using experimental resultstaken from the literature on rock, concrete, and grey cast iron.

Key words: failure, brittle materials, rock, concrete, cast iron.

Introduction

Tous les matériaux montrent une certaine non-uniformité dedéformation en raison de la présence de défauts structuraux,tels les fissures, les pores et les interfaces entre les grains. Lorsde sollicitations mécaniques, ce sont généralement ces défautsqui sont à l’origine d’une éventuelle localisation des déforma-tions associée à la rupture de l’élément de volume considéré.

On s’intéresse depuis longtemps à la condition de rupturede matériaux fragiles tels que la roche, le béton, la fonte, leverre, le plâtre ou la résine (Wastiels 1979; Meredith 1990;Andreev 1995; Theocaris 1995). Bien que chacun de ces diversmatériaux utilisés par l’ingénieur ait ses caractéristiques pro-pres, ils partagent néanmoins certains traits communs vis-à-visleur comportement mécanique. Par exemple, ce sont des

matériaux dont la résistance ultime en compression uniaxialeCo excède largement leur résistance en traction axiale To. Deplus, leur résistance à la rupture, exprimée à partir de la con-trainte déviatorique maximale supportée pendant un essai,dépend fortement de la géométrie de chargement; cela signifieque l’ampleur des trois contraintes principales influence larésistance ultime du matériau. Pour les matériaux fragiles sol-licités uniaxialement, on observe également que la chargemaximale pouvant être supportée par un élément de volumereprésentatif (EVR) est généralement atteinte à faible défor-mation (g < 1%), et que la courbe contrainte–déformation au-delà du pic de résistance montre une chute marquée.

La rupture des matériaux fragiles est associée à l’apparitionde macrofissures et de déformations très localisées. La ruptureconstitue évidemment une condition limite que l’ingénieurtente d’éviter lors de la conception des ouvrages. La conditionde rupture est fréquemment définie dans l’espace des contrain-tes à l’aide d’une surface dont l’expression mathématiquereprésente le critère de rupture. Celui-ci est généralement ob-tenu à partir d’essais de laboratoire qui permettent le charge-ment selon un cheminement de contraintes bien défini. Lacharge maximale supportée par l’éprouvette testée représentealors la résistance au pic, ou résistance ultime, associée à larupture. La réalisation de plusieurs essais sous différentes con-ditions de chargement permet d’obtenir différents points sur lasurface de rupture, et celle-ci est usuellement expriméemathématiquement à partir d’expressions plus ou moins em-piriques permettant un bon ajustement de la formulation aux

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Reçu le 24 février 1997. Révision acceptée le 13 août 1997.

M. Aubertin 1 et R. Simon.Département des génies civil,géologique et des mines, École polytechnique de Montréal,C. P. 6079, succursale centre-ville, Montréal, QC H3C 3A7,Canada.

Les commentaires sur le contenu de cet article doivent êtreenvoyés au directeur scientifique de la revue avant le 31 août1998 (voir l’adresse au verso du plat supérieur).

1. Auteur correspondant (tél. : (514) 340-4711, poste 4046;téléc. : (514) 340-4477; e-mail :[email protected]).

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résultats expérimentaux. Comme la condition de rupture revêtune grande importance dans plusieurs types de travauxd’ingénierie, il n’est pas surprenant de retrouver dans la littéra-ture une multitude de critères développés pour les matériauxfragiles. Mentionnons les critères de Brestler et Pister (1958),William et Warnke (1974), Ottosen (1977), Hsieh et al.(1982), Lade (1982), Yamaguchi et Chen (1987) et Dungar(1987) utilisés pour le béton, ceux de Fairhurst (1964), Bi-eniawski (1974), Hoek et Brown (1980), Kim et Lade (1984),Ramamurthy et al. (1985), Johnston (1985), Desai et Salami(1987), Kwasniawski (1989), Carter et al. (1991) et Papan-tonopoulos et Atnatzidis (1993) développés pour les roches,ainsi que ceux de Nadai (1950), Stassi-D’Alia (1961, 1967),Aplin et Eggeler (1989), Kim et Yeh (1994) et Theocaris(1995) employés pour divers autres matériaux fragiles. Chacunde ces critères possède ses avantages et ses limitations.Évidemment, aucun n’est universel ni ne fait l’unanimité, etleur utilisation doit être adaptée aux besoins exprimés.

Dans cet article, les auteurs proposent un critère de rupturemultiaxiale dont la formulation repose sur l’utilisation de deuxfonctions quadriques distinctes. Ce critère relativement simpleimplique certaines conditions qui ne se retrouvent pas dans laplupart des critères de rupture cités plus haut. La formulationproposée repose sur des considérations physiques, particu-lières à des états de chargement spécifiques, qui sont présen-tées dans ce qui suit. Les équations du critère proposé sontutilisées avec divers résultats d’essais tirés de la littérature surdifférents matériaux.

La rupture des matériaux fragiles

On doit distinguer les phénomènes de rupture à l’échelle localede ceux survenant à l’échelle globale. Dans le premier cas, larupture touche un élément de volume représentatif EVR, « rep-resentative volume element, RVE », qui est suffisammentgrand par rapport à la dimension des grains pour être considéréhomogène, et suffisamment petit pour que les variations struc-turales à grande échelle puissent être négligées et que seulesles irrégularités géométriques soient prises en compte. Leséprouvettes de laboratoire utilisées lors d’essais normaliséspeuvent généralement être considérées comme un EVR, et leurrupture reflète donc ce qui se produit à une échelle locale. Larupture globale se produit, quant à elle, à une échelle beaucoupplus grande, et elle dépend souvent de la géométrie des macro-défauts et autres éléments structuraux. On ne s’intéresse iciqu’au phénomène de la rupture à l’échelle locale, pour desmatériaux isotropes ayant un comportement fragile.

Les matériaux fragiles sont généralement peu poreux(porosité inférieure à environ 5–10%). Leur surface de rupturedans l’espace des contraintes principales est fermée le long del’axe des contraintes hydrostatiques de traction (traction designe négatif) et demeure ouverte le long de l’axe des contrain-tes hydrostatiques positives puisque celles-ci ne peuventcauser la rupture, du moins dans le domaine jugé d’intérêt ici.

Avant d’atteindre la rupture, les matériaux fragiles soumisà un chargement déviatorique passent par différents stades. Parexemple, une roche dure soumise à un essai de compressionuniaxiale montre d’abord une phase de serrage (ou de contrac-tion élastique) due à la fermeture des microfissures, suivied’une phase d’élasticité linéaire, puis d’une phase inélastiquelorsque la contrainte appliquée excède le seuil d’amorce de

propagation des fissures (Paterson 1978). Cette propagation defissure pourra éventuellement conduire à la rupture de l’éprou-vette lorsque la charge atteint sa valeur maximale (résistanceau pic). Des processus à peu près similaires sont aussi observéspour le béton (Yamaguchi et Chen 1987).

On peut considérer que la rupture de la plupart des ma-tériaux fragiles implique la génération et la propagation demicrofissures. Celles-ci, une fois que l’ampleur du facteur deconcentration de contraintes à leur périphérie atteint une cer-taine valeur critique, croissent parallèlement à l’axe de lacontrainte principale majeure σ1 (après une phase de réorien-tation). Ainsi, diverses études sur des modèles bidimension-nels (Brace et Bombolakis 1963; Adams et Sines 1978; Horiiet Nemat-Nasser 1986; Ashby et Sammis 1990; Li et Nordlund1993) et tridimensionnels (Germanovitch et al. 1996) ont mon-tré que la rupture résulte habituellement de la propagation etde l’éventuelle coalescence de ces défauts. Ces études ontaussi montré que l’amorce de la propagation des fissures etleur interaction subséquente menant à la rupture de l’EVRdépendent fortement de la géométrie de chargement (le cheminparcouru dans l’espace des contraintes). De plus, comme l’ontsouligné McClintok et Walsh (1962), l’application de con-traintes de compression, qui permettent la fermeture des mi-crofissures, engendre la mobilisation d’une résistancefrictionnelle sur les faces en contact, d’où une influence mar-quée de la composante hydrostatique du tenseur de contraintessur le seuil de propagation et sur la résistance ultime desmatériaux.

Bien que les processus physiques associés aux déforma-tions inélastiques et à la rupture des matériaux fragiles soientrelativement bien connus, il n’existe malheureusement pas en-core de théorie satisfaisante pour exprimer d’une façonmathématique simple et pratique la surface de chargement ul-time de ces matériaux. C’est la principale raison qui incitel’ingénieur à avoir recours à des formulations empiriques.C’est ce type de formulation qui est proposé dans ce qui suit.

Description de la surface de rupture

La surface de rupture est souvent représentée graphiquementdans l’espace tridimensionnel des contraintes principales σ1,σ2, σ3 (avec σ1 ≥ σ2 ≥ σ3). Elle peut aussi être visualisée dansle plan octaédrique (plan π), dans le plan (J2)1/2 − I1 (où J2 estle deuxième invariant du déviateur des contraintes Sij et I1 estle premier invariant du tenseur des contraintes σij), dans le plandes contraintes triaxiales conventionnelles σz − √2σx (où σz estla contrainte appliquée selon l’axe z et σx est la contrainteappliquée perpendiculairement à l’axe z, avec σx = σy), ou dansle plan d’un chargement biaxial σz – σx (avec σy = 0).

La figure 1 montre, dans le plan des contraintes triaxialesconventionnelles, l’allure du critère de rupture proposé ici.Cette forme est basée sur des considérations physiques etphénoménologiques qui peuvent être résumées en utilisant despoints et des segments spécifiques identifiés sur la courbe derésistance ultime montrée à la figure 1.

Lorsque l’EVR est sollicité par un chargement uniaxialselon l’axe z, sa résistance est de Co en compression et de Toen traction. Ces valeurs peuvent être obtenues aisément à partird’essais normalisés, et constituent deux conditions particu-lières introduites dans plusieurs critères. Ces deux conditionssont représentées par les points A et B à la figure 1. Le point D

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représente pour sa part un état de chargement biaxial de trac-tion, avec σx = σy et σz = 0. Dans ce cas, on trouve une valeurσx plus grande que To (ou |σx| < |To|), tel que montré par lesrésultats de Grassi et Cornet (1949) et de Coffin et Schenec-tady (1950) sur de la fonte (voir aussi Stassi-D’Alia 1961,1967; Theocaris 1995). On anticipe également qu’un état dechargement sphérique de traction (σx = σy = σz) entraîne unerésistance inférieure, en valeur absolue, à un chargement axial(|σx| < |To|; voir point C). Il est à noter que plusieurs critèresde rupture existants, souvent inspirés du critère bidimension-nel de Griffith (1921, 1924), considèrent que la rupture entraction ne se produit que lorsqu’une des contraintes princi-pales devient égale à To. C’est toutefois une vision qui n’estsupportée ni par la physique du problème, ni par une analysethéorique des conditions de rupture en chargement de tractionmultiaxiale. On peut ainsi montrer facilement que si, à la rup-ture, la composante perpendiculaire à la fissure est égale à To,alors la valeur individuelle des contraintes principales seraplus grande que To (ou plus petite que To en valeur absolue)dans le cas d’un chargement biaxial ou sphérique de traction.En ce sens, l’approche de type Griffith est une approche nonconservatrice qui peut engendrer une surestimation de la résis-tance des matériaux fragiles soumis à de tels types de charge-ment.

Lorsque l’on applique simultanément des contraintes decompression et de traction, comme c’est le cas entre les pointsD et A ou entre les points B et F à la figure 1, les critèresinspirés du modèle de Griffith (1921, 1924) considèrentusuellement que la résistance est soit contrôlée par la plusgrande contrainte de traction uniquement, avec rupture siσz = To ou si σy = σx = To, ou soit contrôlée par la contrainte decompression maximale qui doit nécessairement être inférieureou égale à Co. De tels critères n’admettent pas la condition|σz| > |To| ou |σx| > |To|. Cependant, certains résultats d’essaisde laboratoire, tels ceux rapportés par Andreev (1995,fig. 6.175b et 6.176b) sur du mortier et du plâtre et ceux deHunsche (1994, fig. 3.19) sur du sel gemme, indiquent que

l’application d’une contrainte de compression relativementfaible (σx ≤ 0,5Co–0,6Co) perpendiculairement à l’axe de trac-tion peut contribuer à augmenter significativement la résis-tance du matériau. C’est ce qui est montré à la figure 1 au pointG. Cet effet pourrait être relié au serrage du matériau dû à lafermeture des microfissures qui crée une résistance accrue, soiten raison d’une rigidité plus grande du matériau autour desfissures critiques (cas de fissures planaires ouvertes) ou enraison de la friction mobilisable sur des faces en contact pourles fissures fermées (fissure avec bifurcation « wing cracks »).Néanmoins, lorsque la contrainte de compression devient suf-fisamment grande, elle participe à son tour à la propagationdes fissures conduisant à la rupture de l’EVR, ce qui entraîneune réduction de la résistance ultime exprimée à partir de la(des) contrainte(s) de traction.

L’effet positif d’une contrainte de compression sur la résis-tance à la traction selon σz est aussi confirmé indirectementpar les expériences de Biret et al. (1989) qui ont démontré quel’application d’une contrainte de confinement contribue à ac-croître le facteur critique d’intensité de concentration de con-traintes KIC lors d’essais sur la propagation des fissuresréalisées sur des roches.

Le point F de la figure 1 représente pour sa part la résistanced’un matériau à un chargement de compression biaxiale. Plu-sieurs critères de rupture récents considèrent alors queσx = σy > Co (Ottosen 1977; Lade 1982, 1993). Cela est con-firmé par divers résultats d’essais (Mills et Zimmerman 1970;Maso et Lereau 1980).

Au-delà du point A (=Co), alors que toutes les contraintessont de compression, la propagation des fissures fermées im-plique que la résistance frictionnelle le long des faces en con-tact doit être dépassée (McClintok et Walsh 1962). La valeurdu coefficient de friction mobilisable le long de surfaces decontact ne devrait toutefois pas être considérée comme uneconstante. En effet, on sait qu’une augmentation de la con-trainte normale peut engendrer le cisaillement des aspéritésprésentes sur les faces soumises à des déplacements relatifs,comme c’est le cas avec les discontinuités géologiques en mas-sifs rocheux (Patton 1966; Ladanyi et Archambault 1970). Ons’attend donc à ce que la pente de la courbe du critère deruptures, qui reflète la mobilisation de cette friction, décroisseprogressivement à mesure que la contrainte de confinementaugmente. Cette réduction de la pente cesse lorsque toutes lesaspérités ont été cisaillées et que le glissement frictionnel sefait sur des surfaces aplanies. La contribution de cette frictionà la résistance du matériau devient ainsi proportionnelle à l’an-gle de friction résiduelle φr (ou à l’angle de friction de baseφb). La pente du critère de rupture dans le plan σz − √2σx estalors constante, comme c’est le cas au-delà du point E à lafigure 1. On considère ainsi que la rupture des matériauxfragiles répond à un critère linéaire de type Coulomb à fortecontrainte moyenne (I1 > IT), alors qu’à plus faible contraintemoyenne, l’angle de friction apparent est plus élevé et varieavec la contrainte moyenne. Ceci a notamment été observépour le béton (Chen et Chen 1975) et pour les roches (Singhet al. 1989; Charlez 1991).

Lorsque l’on observe le critère de rupture dans le plan(J2)1/2 − I1 à la figure 2a, on constate que la courbe de résis-tance ultime correspondant à la condition d’essai de compressiontriaxiale conventionnelle CTC (où σz = σ1 ≥ σx = σy = σ2 = σ3) estsituée plus haut que celle correspondant à la condition

E

oo-

-

A

D

C B

F

2

z

ox-

oy-

ox-

z

G

o = o-x

z

-

Fig. 1. Représentation schématique de la surface de rupture dans leplan des contraintes triaxiales conventionnelles.

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d’extension triaxiale ET (où σz = σ3 ≤ σx = σy = σ2 = σ1). Cecireflète l’effet de la contrainte principale intermédiaire σ2 surla résistance ultime des matériaux, tel que montré par les ob-servations expérimentales sur divers matériaux (Mills et Zim-merman 1970; Akai et Mori 1970). Dans ce plan, le critère estcourbe jusqu’à la condition de transition IT, au-delà de laquelleil devient une droite de pente α en CTC. Dans le plan π, lecritère prend l’allure d’un triangle arrondi (fig. 2b).

Notons qu’une augmentation encore plus importante de lacontrainte moyenne pourrait éventuellement conduire à uncomportement semi-fragile ou même ductile. Dans de tellescirconstances, d’autres processus physiques, impliquant sou-vent des glissements intracristallins à l’échelle microscopique,contribuent au comportement inélastique du matériau (Murrell1990; Aubertin et al. 1994). Cet aspect n’est pas abordé ici,mais le critère proposé n’est pas incompatible avec ce type decomportement (Aubertin et Simon 1997).

Formulation du critère MSDP

Bien que certains critères de rupture soient formulés en fonc-tion des déformations cumulées, il est de pratique couranted’exprimer le critère en fonction de l’état des contraintes ap-pliquées sur l’EVR. On utilise alors une fonction mathéma-tique du type suivant :

[1] F[σij] = 0

où σij est le tenseur de contraintes et F est une fonction appro-priée. Pour les matériaux isotropes, le choix des axes deréférence n’influence pas la condition de rupture puisqu’il n’ya pas de directions préférentielles. On a donc invariance ducritère de rupture face au système de référence, ce qui permetde formuler le critère en fonction des contraintes principales.L’équation 1 peut ainsi être réécrite de la façon suivante (Nadai1950) :

[2] F(σ1,σ2,σ3) = 0

où σ1, σ2 et σ3 représentent les contraintes principales ma-jeures, intermédiaires et mineures respectivement. Certainscritères de rupture ont été formulés en utilisant seulement lesdeux contraintes principales extrêmes, σ1 et σ3, négligeantainsi l’effet de la contrainte principale intermédiaire σ2. Celaest quelquefois avantageux, car les critères à deux contraintes

principales peuvent aisément être représentés dans le planσ1 – σ3 ou dans le plan des contraintes de Mohr τ – σ. Il esttoutefois reconnu maintenant qu’il est préférable d’utiliser lestrois contraintes principales pour formuler un critère de rup-ture.

Il est aussi possible d’exprimer le critère de rupture à partird’invariants appropriés (Chen et Han 1988). Par exemple, onpeut écrire :

[3a] F[I1,J2,J3] = 0

ou

[3b] F[σm,σe,θ] = 0

où I1 est le premier invariant de σij, J2 est le deuxième invariantdu tenseur des contraintes déviatoriques Sij, J3 est le troisièmeinvariant de Sij, σm est la contrainte moyenne (σm = I1/3), σe estla contrainte équivalente de von Mises (σe = (3J2)1/2) et θ estl’angle de Lode (défini plus loin). C’est la fonction génériquede l’équation 3 qui est utilisée comme point de départ pourformuler le critère proposé. Ce critère possède les caractéris-tiques présentées à la section précédente. Il peut s’écrire de lafaçon suivante :

[4] (J2) 1/2 − FoFπ = 0

où Fo représente la fonction définissant le critère dans le plan(J2)1/2 − I1 et Fπ est la fonction associée à sa forme dans le plandes contraintes octaédriques (plan π). Dans le cas de Fo, onutilise une combinaison du critère Mises–Schleicher (Lubliner1990) pour la portion courbe, et du critère de Nadai (1950)pour la portion linéaire. Le critère Mises–Schleicher (MS), quiest représenté par une surface parabolique, a souvent été utilisépour décrire les conditions de rupture de divers matériauxfragiles (Stassi-D’Alia 1961, 1967; Tschoegel 1971; Theocaris1995). À partir de l’équation 4, il peut s’écrire :

I 1

IT

CTC

ET

J 2

Fig. 2a. Représentation du critère MSDP dans le plan (J2)1/2 − I1;CTC, compression triaxiale conventionnelle; ET, extension triaxiale.

b = 0,75

0 de -30 a 30o o

o-2

o-3

o-1

--

b = 1,00

Fig. 2b. Représentation du critère MSDP dans le plan π.

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[5] Fo = 131/2[(σc − σt)I1 + σcσt]

1/2

où σc et σt sont des propriétés caractéristiques du matériau.Lorsque σc = σt, on retrouve le critère classique de von Mises.Comme le critère MS est symétrique autour de l’axe I1 (c’estun cercle dans le plan π), σc devient Co et σt est égal à |To|; cen’est pas tout à fait le cas avec le critère MSDP proposé ici,comme on le verra plus loin. Le critère Mises–Schleicher,aussi connu sous le nom de von Mises modifié, a également étéutilisé pour définir la limite élastique de divers matériaux(Raghava et Caddell 1973; Zachary et Riley 1977; Freire etRiley 1980; Lee 1988, 1989; Skrzypek et Hetnarski 1993;Hjelm 1994; Aubertin et Simon 1997).

Pour sa part, le critère conique de Nadai (1950), qui est uneextension tridimensionnelle simplifiée du critère de Coulomb,a surtout été popularisé grâce aux travaux de Drucker et Prager(1952) sur les sols. Il peut s’exprimer de la façon suivante :

[6] Fo = αI1 + k

où α et k sont les paramètres de résistance du matériau pour lecritère Drucker–Prager (DP). La valeur de α représente lapente du critère dans le plan (J2)1/2 − I1 et k est l’ordonnée àl’origine dans le même plan. La valeur de α peut être reliée àl’angle φ obtenu dans le plan de Mohr (τ – σ). Pour les essaisCTC, on peut écrire (Humpheson et Naylor 1976) :

[7] α =2 sin φ

31/2(3 − sin φ)

Comme le critère MS, le critère DP est symétrique dans leplan π. Pour une valeur de α = 0, ce critère devient le critère

I 1

DP MSDP MS

J 2

Fig. 3a. Représentation de la composante (J2)1/2 = Fo du critère proposé (MSDP), du critère Mises-Schleicher (MS), et critère Drucker-Prager

(DP) pour φ = φb.

s

s

3

3

2

2

s

s

1

1

s

s

Fig. 3b. Représentation de la composante (J2)1/2 = Fo du critère

MSDP dans un espace tridimensionnel.


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de von Mises, d’où son appellation alternative de von Misesextensionné.

Pour les matériaux fragiles, on utilise ici le critère MS pourde faibles valeurs de I1, et le critère DP (soit celui deNadai–Drucker–Prager) à plus forte valeur de I1. On peut alorsadopter l’équation 5 pour I1 ≤ IT et l’équation 6 pour I1 > IT.Afin d’avoir continuité, on définit :

[8] IT =σc − σt

12α2−

σcσt

σc − σt

et

[9] k =σc − σt

12α+

ασcσt

σc − σt

On peut aussi exprimer une combinaison des deux critèresprécédents en les couplant de la façon suivante :

[10] Fo = 131/2

σc − σt)I1 f + σcσt

1/2

avec

[11] f = 1 +3α2 ⟨I1 − IT⟩

σc − σt

Dans ce cas, la fonction Fo est définie de façon unique.Les auteurs ont nommé ce critère MSDP. La figure 2a déjà

présentée illustre la forme de ce critère dans le plan(J2)1/2 − I1. La figure 3a compare la fonction Fo du critèreMSDP avec celle des critères MS et DP. La figure 3b montrela fonction (J2)1/2 = Fo dans un espace tridimensionnel.

Pour ce qui est de la fonction Fπ observable dans le plan

I 1

J 2

Fig. 4a. Influence de σc (avec σc1 > σc2 > σc3) sur l’allure du critère MSDP dans le plan (J2)1/2 − I1.

I 1

J 2

t1 t2 t3

Fig. 4b. Influence de σt (avec σt1 > σt2 > σt3) sur l’allure du critère MSDP dans le plan (J2)1/2 − I1.

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des contraintes octaédriques, diverses formulations ont étéproposées pour les géomatériaux (Nayak et Zienkiewicz 1972;Desai et Siriwardare 1984; Chen et Han 1988). Une fonctionsimple, issue d’une formulation elliptique dans un système àtrois axes, est ici utilisée (Aubertin et al. 1994) :

[12] Fπ =

b[b2 + (1 − b2) sin2(45° − 1,5θ)]1/2

L’angle de Lode est défini avec la convention suivante(Nayak et Zienkiewicz 1972) :

[13] θ = 13

sin−1

3(3)1/2

2

J3

(J2)3/2

; −30° # θ # 30°

Lorsque l’angle de Lode θ est de 30° (CTC), la fonction Fπprend une valeur de 1. Lorsque l’angle de Lode est de −30°

(ET), la fonction Fπ prend la valeur du paramètre b. L’allurede cette fonction dans le plan π est montrée à la figure 2b.

Application du critère

La validité du critère proposé à la section précédente estévaluée à partir de résultats d’essais tirés de la littérature, pourdivers matériaux fragiles. L’application du critère implique ladétermination de quatre constantes, soient :

(i) σc qui est égale à Co, dont la valeur est obtenue par desessais de compression uniaxiale;

(ii) σt dont la valeur est proche de |To|, la valeur absolue dela résistance à la traction uniaxiale;

(iii) φr, l’angle de friction résiduelle du matériau, qui peutêtre estimé à partir d’essais sur des surfaces polies (pourφr . φb). La valeur de φr permet d’obtenir la valeur de l’angleα (équation 7), ce qui permet de calculer la valeur de IT(équation 8).

(iv) b, le facteur de proportionnalité qui dicte sa forme aucritère MSDP dans le plan π (b ≤ 1); cette valeur est obtenueen comparant les résultats d’essais CTC et ET pour une mêmevaleur de I1.

L’influence de ces paramètres sur le critère dans le plan(J2)1/2 − I1 est montrée aux figures 4a à 4c. Á la figure 4a, onconstate que l’augmentation de σc rehausse la position ducritère dans le plan (J2)1/2 − I1, alors que l’augmentation de σtdéplace l’origine du critère tel que montré à la figure 4b. Unaccroissement de α, correspondant à un accroissement de φr,change l’inclinaison du critère de même que la position dupoint de transition IT (fig. 4c). Enfin, on peut voir à la figure 4dprésentée dans le plan π qu’une augmentation du facteur bréduit l’écart entre la résistance en CTC et en ET.

Même si chacun des quatre paramètres requis pour l’appli-cation du critère est facile à obtenir, ils ne sont pas toujoursfournis explicitement dans les données tirées de la littérature.Lorsque l’un ou l’autre de ces paramètres n’est pas directementmesuré, on peut aisément l’estimer en réalisant un ajustementde la courbe du critère sur les données disponibles. La validitédu critère est alors démontrée en comparant les valeurs es-timées avec les valeurs anticipées. Par exemple, si la valeur de|To| (– σt) ou de φb n’a pas été déterminée spécifiquement lors

I 1

J 2

1 2 3a a a

Fig. 4c. Influence de α (avec α1 < α2 < α3) sur l’allure du critère MSDP dans le plan (J2)1/2 − I1.

b = 0,75

b = 0,90s2

s3

s1

b = 1,00

Fig. 4d. Influence de b sur la forme du critère MSDP dans le plan π.


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0

20

40

60

80

100

120

-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400

I 1 (MPa)

(MP

a)

c = 55 MPa t = 2 MPa

φb = 23,5° IT = 139 MPa

J 2

s s

Fig. 5a. Le critère MSDP appliqué à un marbre dans le plan (J2)1/2 − I1 (valeurs expérimentales tirées de Schwartz 1964).

0

100

200

300

400

500

600

-200 300 800 1300 1800

I 1 (MPa)

c = 200 MPa t = 10 MPa

φb= 29° IT = 309 MPa

(MP

a)J 2

Fig. 5b. Le critère MSDP appliqué à une durite dans le plan (J2)1/2 − I1 (valeurs expérimentales tirées de Byerlee 1968).

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d’une campagne d’essais de laboratoire, on applique le critèrepar un ajustement qui fournit des valeurs estimées de σt ou deφb, que l’on peut alors comparer à des valeurs typiques ob-tenues sur ce même matériau. C’est la démarche qui a étésuivie ici.

Les premières applications se font sur des roches soumisesà des essais CTC. Les figures 5a à 5d montrent le critère et les

résultats d’essais tirés de la littérature pour un marbre, unedurite, un grès et un calcaire. Dans ces quatre cas, la valeur deφb (ou φr) estimée est tout à fait compatible avec les valeurstypes mesurées sur de telles roches (Barton et Choobey 1977).Pour ce qui est de σt (– To), les valeurs déduites de l’applica-tion du critère MSDP à partir d’essais de compression sontconcordantes avec les valeurs usuelles sur ces mêmes types de

Fig. 5c. Le critère MSDP appliqué à un grès dans le plan (J2)1/2 − I1 (valeurs expérimentales tirées de Smith et al. 1969).

I 1 (MPa)

(MPa

)J 2

0

50

100

150

200

250

300

350

400

-100 0 100 200 300 400 500 600 700 800

c = 245 MPa t = 15 MPa

φb= 27° IT = 436 MPa

Fig. 5d. Le critère MSDP appliqué à un calcaire dans le plan (J2)1/2 − I1 (valeurs expérimentales tirées de Byerlee 1968).


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roches (Charmichael 1982; Goodman 1989; Lade 1993).Comme on peut le constater, le critère MSDP décrit très bienles résultats obtenus, en plus de fournir une estimation réalistedes paramètres du modèle.

Les figures 6a à 6c montrent l’application du critère dansle plan π lorsque l’on dispose de résultats d’essais pour dif-férentes géométries de chargement. Il s’agit des résultats deAkai et Mori (1970), de Mogi (1971) et de Amadei et Robinson(1986) projetés sur un même plan adimensionnel. Il y a encoreune fois une excellente concordance entre le critère et ces

résultats d’essais, et ici aussi le critère MSDP fournit une es-timation réaliste des paramètres σt et φb.

Le critère MSDP est également appliqué au béton, aux fig-ures 7a et 7b. Pour évaluer la validité du critère, on considèreque le paramètre σt (.|To|) devrait se situer entre 0,05Co et0,13Co (Ottosen 1977; Lade 1982; Dungar 1987; Chen et Han1988), et que la valeur de φb devrait être de l’ordre de 25 à 35°(Oñate et al. 1987). De nouveau, on constate que le critèreproposé offre une bonne concordance avec les résultats expéri-mentaux. Il est aussi intéressant de noter que la valeur du fac-teur b est de 0,75 pour le béton comme pour les roches.

Enfin, la figure 8 montre le critère appliqué à la fonte griseà partir des données fournies par Coffin et Schenectady (1950).Là encore, on peut considérer que le critère représente bien lesrésultats obtenus.

Discussion

Le critère MSDP est intéressant pour l’ingénieur puisqu’il estsimple et facile à appliquer. Les paramètres sont en outreaisément obtenus expérimentalement. Il repose de plus sur desconsidérations physiques et théoriques réalistes, ce qui le dist-ingue de plusieurs autres critères existants, surtout pour defaibles valeurs de I1 et pour des valeurs de I1 supérieures à IT.

Le critère MSDP résulte de la combinaison de deux fonc-tions quadriques, jouxtées à un lieu d’intersection. Dans saforme univoque (équation 10), on a une transition pratique-ment imperceptible entre celles-ci. La forme générale del’équation générique à la base de ces deux critères (pourFπ = 1) peut s’écrire de la façon suivante :

[14] ax2 + by2 + (c1 + c2z)z + d = 0

où x, y, z sont les coordonnées selon les axes cartésiens retenus;a, b, c1, c2 et d sont les variables ouvertes qui définissent laforme et l’ampleur de la surface dans l’espace des contraintes.À partir de cette équation, on peut obtenir jusqu’à 17 surfaces

Fig. 6a. Le critère MSDP appliqué à une dolomie dans le plan π; σc

= 300 MPa, σt = 35 MPa, IT = 374 MPa, φb = 30°, b = 0,75 (valeursexpérimentales tirées de Mogi 1971).

Fig. 6c. Le critère MSDP appliqué à un calcaire dans le plan π; σc =35 MPa, σt = 4 MPa, IT = 74 MPa, φb = 24°, b = 0,75 (valeursexpérimentales tirées de Amadei et Robinson 1986).

Fig. 6b. Le critère MSDP appliqué à un grès dans le plan π; σc =141 MPa, σt = 2 MPa, IT = 271 MPa, φb = 30°, b = 0,75 (valeursexpérimentales tirées de Akai et Mori 1970).

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quadriques (Selby 1975). La forme particulière utilisée ici peutêtre réécrite comme suit (Skrzypek et Hetnarski 1993) :

[15] Aσe2 + Bσm

2 + Cσm − 1 = 0

qui représente une surface symétrique autour de l’axe σm (ouI1). Si l’on définit les constantes A, B et C à partir d’essais decompression uniaxiale (σe = σc = Co et σm = σc/3), de traction

axiale (σe = –σt = To et σm = –σt/3) et de cisaillement simple(σe = 3τo et σm = 0), on obtient :

[16] A = 13τo

2

[17] B = 9σcσt

− 3τo

2

[18] C =3(σt − σc)

σcσt

La paraboloïde de Mises–Schleicher est obtenue lorsque :

[19] τo =

σcσt

3

1/2

et le cône de Nadai s’obtient pour :

[20] τo =2σcσt

31/2(σc + σt)

L’obtention du critère MSDP peut donc se faire (pour Fπ = 1)en utilisant l’équation 15 avec les équations 16 à 18, en prenantune valeur de τo donnée par l’équation 19 pour 3σm ≤ IT, oupar l’équation 20 pour 3σm > IT. Peu importe la forme choisie,le critère MSDP demeure simple à formuler et à appliquer.

Rappelons enfin que lorsque l’on introduit la fonction Fπavec b < 1 dans le critère, ce qui lui donne sa forme particulièredans le plan π, la valeur de σt n’est pas exactement égale àcelle de |To| en raison de l’asymétrie entre les conditions θ =30° et θ = –30°. La différence entre les deux valeurs est toute-fois relativement petite. Par exemple, si σc = Co = 120 MPa etσt = 10 MPa, alors To = –9,76 MPa pour b = 0,75 et To =–9,92 MPa pour b = 0,90; la différence entre σt et |To| disparaîtpour b = 1 (forme circulaire du critère dans le plan π).

Fig. 7a. Le critère MSDP appliqué au béton dans le plan (J2)1/2 − I1 (valeurs expérimentales tirées de Mills et Zimmerman 1970).

Fig. 7b. Le critère MSDP appliqué au béton dans le plan π; σc =23 MPa, σt = 2,3 MPa, IT = 30 MPa, φb = 30°, b = 0,75 (valeursexpérimentales tirées de Mills et Zimmerman 1970).


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En terminant, il est bon de souligner que le développementd’un critère de rupture conventionnel, comme le critèreMSDP, fait abstraction de phénomènes particuliers observéschez plusieurs matériaux fragiles. Par exemple, l’effetd’échelle, la dispersion des résultats d’essais et l’effet de l’his-torique de chargement sur la résistance à la rupture sont desaspects négligés. Ceux-ci devraient néanmoins être considérés

lors de l’analyse du comportement d’une structure impliquantde tels matériaux.

Conclusion

Un critère de rupture multiaxial simple, applicable à diversmatériaux fragiles, est proposé. Ce critère est basé sur l’utili-sation de deux fonctions quadriques qui représentent, pour desconditions spécifiques de compression triaxiale convention-nelle, le critère de Mises–Schleicher à faible contraintemoyenne et celui de Drucker–Prager à plus forte contraintemoyenne. Le critère est exprimé en fonction des invariants I1,J2 et J3. Il est non linéaire dans le plan (J2)1/2 − I1 et il prend laforme d’un triangle arrondi dans le plan des contraintes oc-taédriques. Il est ici appliqué avec succès au comportement deroches, de béton et de fonte grise. Chacun des quatreparamètres du critère est simple à obtenir et possède une signi-fication particulière.

Remerciements

Ces travaux ont reçu un support financier du Conseil de recher-ches en sciences naturelles et en génie du Canada(OGP0089749) et de l’Institut de recherches en santé et ensécurité du travail de Québec Les auteurs remercient Lucettede Gagné, Madeleine Guillemette, Line Parisien et HélèneLalumière pour l’aide apportée à la préparation du manuscrit.

Bibliographie

Adams, M., et Sines, G. 1978. Crack extension from flaws in abrittle material subjected to compression. Tectonophysics, 49 :97–118.

Akai, K., et Mori, H. 1970. Ein versuch über bruchmecanismus von

Fig. 8a. Le critère MSDP appliqué à la fonte grise dans le plan (J2)1/2 − I1 (valeurs expérimentales tirées de Coffin et Schenectady 1950).

Fig. 8b. Le critère MSDP appliqué à la fonte grise dans le plan π;σc = 725 MPa, σt = 242 MPa, IT = 3026 MPa, φb = 15°, b = 0,75(valeurs expérimentales tirées de Coffin et Schenectady 1950).

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sandstein unter mehrachsigen spannungszustand. Proceedings ofthe 2nd International Congress on Rock Mechanics, Belgrade.Vol. 2. pp. 207–213.

Amadei, B., et Robinson, M.J. 1986. Strenght of rocks in multiaxialloading conditions. Proceedings of the 27th U.S. Symposium onRock Mechanics, Tuscaloosa, Ala., pp. 47–55.

Andreev, G.E. 1995. Brittle failure of rock materials. Test results andconstitutive models. Balkema, Rotterdam.

Aplin, P.F., et Eggeler, G.F. 1989. Multiaxial stress rupture criteria forferritic steels. Mechanics of Creep Brittle Material, Proceedings ofthe European Mechanics Colloquium 239. Éditeurs : A.C.F. Cocks etA.R.S. Ponter. Elsevier Applied Science, London. pp. 245–261.

Ashby, M.F., et Sammis, C.G. 1990. The damage of brittle solids incompression. Pageoph, 113(3) : 489–521.

Aubertin, M., et Simon, R. 1997. A damage initiation criterion for lowporosity rocks. International Journal Rock Mechanics & MiningSciences, 34 : 3–4, Paper No. 017 (10 pages sur CD ROM, El-sevier Science Ltd.).

Aubertin, M., Gill, D.E., et Ladanyi, B. 1994. Constitutive equationswith internal state variables for the inelastic behavior of soft rocks.Applied Mechanics Review, ASME, 47(6–2) : S97–S101.

Barton, N., et Choobey, V. 1977. The shear strength of rock joints intheory and practice. Rock Mechanics, 10(1) : 1–54.

Bieniawski, Z.T. 1974. Estimating the strength of rock materials.Journal of South African Institute of Mining and Metallurgy,March, pp. 312–320.

Biret, F., Valentin, G., Gordo, B., et Henri, J.P. 1989. Influence de lapression sur la ténacité des roches. Rock at great depth. Balkema,Rotterdam. pp. 165–170.

Brace, W.F., et Bombolakis, E.G. 1963. A note on brittle crackgrowth in compression. Journal of Geophysical Research, 68 :3709–3713.

Brestler, B., et Pister, K.S. 1958. Strength of concrete under combinedstresses. ACI Journal, 55 : 321–345.

Byerlee, J.D. 1968. Brittle-ductile transition in rocks. Journal of Geo-physical Research, 73 : 4741–4750.

Carter, B.J., Scott Duncan, E.J., et Laitai, E.Z. 1991. Fitting strengthcriteria to intact rock. Geotechnical and Geological Engineering,9 : 73–81.

Charlez, P.A. 1991. Rock mechanics. Vol. 1. Theoritical fundamen-tals. Éditions Technics, Paris.

Charmichael, R.S. 1982. Handbook of physical properties of rocks.Vol. II. CRC Press, Boca Raton, Fla.

Chen, A.C.T., et Chen, W.F. 1975. Constitutive relations for concrete.ASCE Journal of the Engineering Mechanics Division, 101 :465–481.

Chen, W.F., et Han, D.J. 1988. Plasticity for structural engineers.Springer-Verlag, New York.

Coffin, L.F., et Schenectady, N.Y. 1950. The flow and fracture of abrittle material. Journal of Applied Mechanics, 17 : 223–248.

Desai, C.S., et Salami, M.R. 1987. Constitutive model for rocks.ASCE Journal of Geotechnical Engineering, 113 : 407–423.

Desai, C.S., et Siriwardare, H.J. 1984. Constitutive laws for engineer-ing materials with emphasis on geologic materials. Prentice-HallInc. Englewood Cliffs, N.J.

Drucker, D.C., et Prager, W. 1952. Soil mechanics and plastic analysison limit design. Quaterly of Applied Mathematics, 10(2) : 157–165.

Dungar, R. 1987. A viscoplastic bounding surface model for concreteunder compressive and tensile conditions and its application toarch dam analysis. Constitutive laws for engineering materials:theory and applications. Elsevier Science Publishing, New York.pp. 849–856.

Fairhurst, C. 1964. On the validity of the Brazilian test for brittlematerials. International Journal of Rock Mechanics, 1 : 535–546.

Freire, J.C.F., et Riley, R.F. 1980. Yield behavior of photoplasticmaterials, Experimental Mechanics, 20 : 118–125.

Germanovitch, L.N., Carter, B.J., Ingraffea, A.R., Dyskin, A.V., et

Lee, K.K. 1996. Mechanics of 3-D crack growth under compres-sive loads. Rock Mechanics, Tools and Techniques. Proceedingsof the 2nd North American Rock Mechanics Symposium.Éditeurs : M. Aubertin, F. Hassani et H. Mitri. Balkema, Rotter-dam. pp. 1151–1160.

Goodman, R.E. 1989. Introduction to rock mechanics. 2e éd. JohnWiley & Sons, New York.

Grassi, R.C., et Cornet, I. 1949. Fracture of grey-cast-iron tubes underbiaxial stresses. Journal of Applied Mechanics, ASME (June), 71 :178–182.

Griffith, A.A. 1921. The phenomena of rupture and flow in solids.Philosophical Transactions of the Royal Society of London,221A : 163–198.

Griffith, A.A. 1924. The theory of rupture. Proceedings of the First Inter-national Congress Applied Mechanics. Delft. Partie 1. pp. 55–63.

Hjelm, H.E. 1994. Yield surface for grey cast iron under biaxial stress.Journal of Engineering Materials & Technology, ASME, 116 :148–154.

Hoek, E., et Brown, E.T. 1980. Empirical strength criterion for rockmasses. ASCE Journal of the Geotechical Engineering Division,106: 1013–1035.

Horii, H., et Nemat-Nasser, S. 1986. Brittle failure in compression:splitting, faulting and brittle-ductile transitions. PhilosophicalTransactions of the Royal Society of London, A319 : 337–374.

Hsieh, S.S., Ting, E.C., et Chen, W.F. 1982. A plasticity-fracturemodel for concrete. International Journal of Solids and Structures,18(3) : 181–197.

Humpheson, C., et Naylor, D.J. 1976. The importance of the form ofthe failure criterion. Numerical Methods in Soil Mechanics andRock Mechanics. Éditeurs : G. Born et H. Meissner. University ofKarlsruhe. pp. 17–30.

Hunsche, U. 1994. Uniaxial and triaxial creep and failure tests onrock: experimental technique and interpretation. Visco-plastic be-haviour of geomaterials. CISM Courses and Lectures No. 350.Éditeurs : N.D. Cristescu et G. Gioda. Springer-Verlag, Wien.pp. 1–54.

Johnston, I.W. 1985. Comparison of two strength criteria forintact rock. ASCE Journal Geotechnical Engineering, 111 :1449–1454.

Kim, M.K., et Lade, D.V. 1984. Modeling rock strength in threedimensions. International Journal of Rock Mechanics, MiningSciences and Geomechnical Abstracts, 21 : 21–33.

Kim, C.H., et Yeh, H.Y. 1994. Development of a new yielding crite-rion: the Yeh-Stratton criterion. Engineering Fracture Mechanics,47 : 569–582.

Kwasniawski, M. 1989. Laws of brittle failure and of B–D transi-tion in sandstones. Rock at great depth. Éditeurs : V. Maury etD. Fourmaintraux. Balkema, Rotterdam. pp. 45–58.

Ladanyi, B., et Archambault, G. 1970. Simulation of shear behaviorof a jointed rock mass. Proceedings of the 11th U.S. Symposiumon Rock Mechanics, University of California, Berkeley, Calif.pp. 105–125.

Lade, P.V. 1982. Three parameter failure criterion for concrete.ASCE Journal of Engineering Mechanics, 108: 850–863.

Lade, P.V. 1993. Rock strength criteria. The theories and evidence.Comprehensive rock engineering — principles, practice and pro-jects. Éditeur : J.A. Hudson. Pergamon Press, Oxford. Vol. 1.pp. 255–284.

Lee, J.H. 1988. Some exact and approximate solutions for the modi-fied von Mises criterion. Journal of Applied Mechanics, 55 :260–266.

Lee, J.H. 1989. Characterization of strain hardening for a simple pres-sure-sensitive plasticity model. Acta Mechanica, 77 : 133–151.

Li, C., et Nordlund, E. 1993. Deformation of brittle rocks under com-pression — with particular reference to microcracks. Mechanicsof Materials, 15 : 223–239.

Lubliner, J. 1990. Plasticity theory. McMillan Publishing, New York.


© 1998 CNRC Canada

L97-092.CHPTue Jun 23 15:41:38 1998


Maso, J.C., et Lereau, J. 1980. Mechanical behavior of Darney sand-stone in biaxial compression. International Journal of Rock Me-chanics, Mining Sciences and Geomechanical Abstracts, 17 :109–115.

McClintok, F.A., et Walsh, J.B. 1962. Friction on Griffith cracksunder pressure. Proceedings of the 4th U.S. National Congress onApplied Mechanics, Berkeley, Calif. pp. 1015–1021.

Meredith, P.G. 1990. Fracture and failure of brittle polycrystals: anoverview. Deformation processes in minerals, ceramics and rocks.Éditeurs : D.J. Barber et P.G. Meredith. Unwyn Hyman, London.pp. 5–47.

Mills, L.L., et Zimmerman, R.M. 1970. Compressive strength of plainconcrete under multiaxial loading conditions, ACI Journal, 67 :802–807.

Mogi, K. 1971. Effect of the triaxial stress system on the failure ofdolomite and limestone. Tectonophysics, 11 : 111–127.

Murrell, S.A.F. 1990. Brittle-to-ductile transitions in polycrystallinenon-metallic materials. Deformation processes in minerals, ce-ramics and rocks, Éditeurs : D.J. Barber et P.G. Meredith. UnwynHyman, London. pp. 109–137.

Nadai, A. 1950. Theory of flow and fracture of solids. Vol. 1.McGraw-Hill, New York.

Nayak, G.C., et Zienkiewicz, O.C. 1972. Convenient form of stressinvariants for plasticity. Proceedings of the American Society ofCivil Engineers, 98(ST4) : 949–953.

Oñate, E., Oller, S., Oliver, J., et Lubliner, J. 1987. A constitutivemodel for cracking of concrete based on the incremental theory ofplasticity. Computational plasticity — models, software, and ap-plications. Éditeurs : D.R.J. Owen, E. Hinton et E. Oñate. Pin-eridge Press, Swansea, United Kingdom. pp. 1311–1329.

Ottosen, N.S. 1977. A failure criterion for concrete. ASCE Journal ofEngineering Mechanics, 103: 527–535.

Papantonopoulos, C.I., et Atnatzidis, D.K. 1993. A failure criterionfor natural and artificial soft rocks. Geotechnical engineering ofhard soils – soft rocks. Balkema, Rotterdam. pp. 729–735.

Paterson, M.S. 1978. Experimental rock deformation — the brittlefield. Springer-Verlag, Wien.

Patton, F.D. 1966. Multiple modes of shear failure in rock jointsin theory and practice. Proceedings of the 1st Congress of theInternational Society of Rock Mechanics, Lisboa. Vol. 1.pp. 521–529.

Raghava, R.S., et Caddell, R.M. 1973. A macroscopic yield criterionfor crystalline polymers. International Journal of Mechanical Sci-ence, 15 : 967–974.

Ramamurthy, T., Rao, G.V., et Rao., K.S. 1985. A strength criterionform rocks. Proceedings of the Indian Geotechnical Conference,Roorhee. Vol. 1, pp. 59–64.

Schwartz, A.E. 1964. Failure of rock in the triaxial test. Proceedingsof the 6th U.S. Symposium on Rock Mechanics, Rolla, Miss.pp. 109–151.

Selby, S.M. (Éditeur.) 1975. Standard mathematical tables. 23e éd.CRC Press, Boca Raton, Fla.

Singh, J., Ramamurthy, T., et Rao, G.V. 1989. Strenght of rocks atgreat depth. Rock at great depth. Éditeurs : V. Maury et D. Four-maintraux. Balkema, Rotterdam. pp. 37–44.

Skrzypek, J.J., et Hetnarski, R.P. 1993. Plasticity and creep — theory,examples, and problems. CRC Press, Boca Raton, Fla.

Smith, J.L., DeVries, K.L., Bushnell, D.J., et Brown, W.S. 1969.Fracture data and stress–strain behavior of rocks in triaxial com-pression. Experimental Mechanics, 9 : 348–355.

Stassi-d’Alia, F. 1961. Une fonction quadratique des tensions princi-pales comme conditions de plasticité des corps solides. BulletinRILEM, 13 : 44–55.

Stassi-d’Alia, F. 1967. Flow and fracture of materials according to anew limiting condition of yielding. Meccanica, 3 : 178–195.

Theocaris, P.S. 1995. Failure criteria for isotropic bodies revisited.Engineering Fracture Mechanics, 51(2) : 239–264.

Tschoegl, N.W. 1971. Failure surface in principal stress space, mo-lecular order – molecular motion: their response to macroscopicstresses. Journal of Polymer Science, 32 : 239–267.

Wastiels, J. 1979. Failure criteria for concrete under multiaxial stressstates. Proceedings of the Colloquium on Plasticity in ReinforcedConcrete, International Association for Bridge and Structural En-gineering, Lyngby. pp. 3–10.

Williams, K.J., et Warnke, E.P. 1974. Constitutive model for thetriaxial behaviour of concrete. International Association of Bridgeand Structural Engineers Seminar on Concrete Structures Sub-jected to Triaxial Stresses, Paper III–1. Bergamo.

Yamaguchi, E., et Chen, W.F. 1987. On micro-mechanics of fractureand constitutive modeling of concrete materials. Constitutive lawsfor engineering materials: theory and applications. Elsevier Sci-ence Publishing, New York. pp. 939–947.

Zachary, L.W., et Riley, W.F. 1977. Optical response and yield be-havior of a polyester model material. Experimental Mechanics,17 : 321–326.

Liste des symboles

I1 premier invariant du tenseur des contraintes σij(I1 = tr(σij))

J2 deuxième invariant du tenseur des contraintes dé-viatoriques Sij (J2 = SijSij/2)

J3 troisième invariant du tenseur des contraintes dé-viatoriques Sij (J3 = SijSjkSkj/3)

Sij tenseur des contraintes déviatoriques (Sij = σij – δijσm)<x> crochets de MacCauley (<x> = x si x ≥ 0; <x> = 0

si x ≤ 0)δij delta de Kronecker (δij = 1 si i = j; δij = 0 si i ? j)σ contrainte normale dans le plan de Mohrσe contrainte équivalente de von Mises (σe = (3J2)

1/2 )σm contrainte moyenne (σm = I1/3)σ1, σ2, σ3 contraintes principales majeure, intermédiaire et

mineure, respectivement (compression positive)τ contrainte de cisaillement dans le plan de Mohrφ angle de friction interne évalué dans le plan de Mohr

(τ – σ)φb angle de friction de base mesuré sur des surface

aplaniesφr angle de friction résiduelle (φr ≈ φb)θ angle de Lode

θ = tan−1

σ1 − 2σ2 +σ3

31/2(σ1 − σ3)

= 13

sin−1

3(3)1/2

2

J3

(J2)3/2

si −30° # θ # 30°

Can. J. Civ. Eng. Vol. 25, 1998290

© 1998 CNRC Canada

L97-092.CHPTue Jun 23 15:41:40 1998


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Un critère de rupture multiaxial pour matériaux fragiles