Un modèle de croissance a deux variables de commande: Arbitrage entre loisir et consommation

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Un modèle de croissance a deux variables de commande: Arbitrage entre loisir etconsommationAuthor(s): Dominique Lacaze and Daniel BadellonSource: Cahiers du Séminaire d'Économétrie, No. 14 (1972), pp. 95-129Published by: L'INSEE / GENES on behalf of ADRESStable URL: http://www.jstor.org/stable/20075458 .

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UN MOD?LE DE CROISSANCE

A DEUX VARIABLES DE COMMANDE:

ARBITRAGE ENTRE LOISIR ET CONSOMAAATION

par

Dominique LACAZE et Daniel BADELLON

Groupe de math?matiques ?conomiques, Universit? de Paris VI

Le probl?me trait? par MM. Lacaze et Badellon porte sur "l'arbitrage entre loisir et

consommation", par le recours ? une fonction d'utilit? qui fait intervenir ces deux variables.

Le mod?le de croissance qui permet de formaliser le probl?me ne diff?re pas fonci?rement de ceux auxquels on fait g?n?ralement appel en vue de telles recherches.

Les auteurs pr?cisent d'ailleurs leurs intentions en ces termes :

"Un probl?me de contr?le optimal est ainsi d?fini, qui comprend une variable d'?tat (le

taux de capital) et deux variables de commande (le taux d'activit? et le taux

d'?pargne net). Le principe du maximum permet de d?crire avec pr?cision les

trajectoires optimales en fonction des conditions initiales et finales : capital initial,

capital final et dur?e de la p?riode de d?veloppement. On voit comment les valeurs

respectives de l'utilit? marginale du loisir et du prix du capital gouvernent ces

?volutions".

La fondation de production retenue en l'esp?ce n'appelle pas d'observation particuli?re si ce n'est qu'elle a ?t? choisie "homog?ne de degr? \". Quant ? la fonction d'utilit?, elle

d?pend naturellement de la consommation et du loisir ; les hypoth?ses qui la concernent

sont elles-m?mes conformes aux r?gles couramment admises. Pour les applications, la

formule adopt?e offre l'avantage de simplifier les calculs ; elle se pr?te en outre ais?ment ?

l'interpr?tation ?conomique de la solution.

Faisant alors usage d'un mod?le r?duit, MM. Lacaze et Badellon poursuivent la

r?solution du probl?me en d?terminant le maximum, calcul? sur la dur?e de l'horizon, d'une

int?grale repr?sentative de l'utilit? par t?te. Voici, en bref, les r?sultats auxquels ils

aboutissent quant ? leur sens ?conomique :

? "... une unit? suppl?mentaire de bien a m?me valeur, qu'on l'agr?ge au capital ou

qu'on le consomme".

? "La valeur du taux d'activit? est d?termin?e "de fa?on que la valeur du capital obtenu gr?ce ? un suppl?ment unitaire d'activit? soit ?gale ? l'utilit? marginale du

loisir",

? "La valeur du taux d'actualisation reste tr?s stable. Son ?volution d?pend peu du

capital final".

? "Son ?volution va ? l'inverse de celle du taux d'?pargne. En effet, un fort taux

d'actualisation est la marque d'une forte pr?f?rence pour le pr?sent et accompagne un moindre effort d'intestissement".



96

L'application num?rique ? laquelle ont proc?d? les auteurs se r?f?re en dernier lieu aux

donn?es des travaux pr?paratoires du VIe Plan, ? savoir :

- ann?e initiale 1965, - ann?e terminale 1990, -

valeurs mon?taires estim?es en francs 1965.

Relativement ? l'objet propre de leur ?tude, MM. Lacaze et Badellon ont recherch?

"quelle pouvait ?tre la forme d'une fonction objectif o? figure le loisir. Une somme

pond?r?e de logarithmes semble acceptable ? condition de prendre une ?lasticit? d?crois

sante entre loisir et consommation".

R.R.

*

SOMMAIRE

INTRODUCTION

I. Pr?sentation du mod?le

II. Principe du maximun et maximisation de l'hamiltonien

III. R?gionnement du plan (k,7r) et interpr?tation ?conomique

IV. Description des trajectoires optimales

V. Donn?es pour la r?solution num?rique

VI. Variation de l'?volution optimale en fonction du capital final

VIL Variation de l'?volution optimale en fonction de l'importance accord?e au loisir.

VIII. Comparaison avec les ?tudes ant?rieures

Annexe : R?solution num?rique en nouvelle base.

CONCLUSION

INTRODUCTION

On aborde le probl?me de l'arbitrage entre loisir et consommation par l'?tude d'un mod?le de croissance global, o? la fonction d'utilit? fait intervenir ces deux grandeurs. Ce mod?le comporte un minimum de consommation par t?te variable dans le temps et une demande exog?ne (consommation des administrations et investissements non productifs). Le progr?s technique est exog?ne.

Un probl?me de contr?le optimal est ainsi d?fini, qui comprend une variable d'?tat (le taux de capital) et deux variables de commande (le taux d'activit? et le taux d'?pargne net). Le principe du maximum permet de d?crire avec pr?cision les trajectoires optimales en fonction des



97

conditions initiales et finales : capital initial, capital final et dur?e de la p?riode de d?veloppe

ment. On voit comment les valeurs respectives de l'utilit? marginale de la consommation, de

l'utilit? marginale du loisir et du prix du capital gouvernent ces ?volutions. On distingue ainsi

diverses r?gions correspondant ? diff?rents comportements ?conomiques.

Le mod?le a donn? lieu ? des applications num?riques. Pour cela, on a choisi comme

fonction ?conomique une somme pond?r?e de logarithmes, ce qui revient ? se donner l'?lasticit? entre loisir et consommation. Une m?thode originale de r?solution s'inspirant des r?sultats de la

discussion math?matique a ?t? mise au point. Les donn?es num?riques ont ?t? emprunt?es aux

?tudes faites dans le cadre du Commissariat du Plan.

On consid?re la famille d'?volutions optimales correspondant aux diverses valeurs possibles du capital final. L'une de ces ?volutions est r?guli?re et conduit ? des taux d'?pargne et

d'actualisation sensiblement constants apr?s un r?gime transitoire initial : c'est cette ?volution qui sera retenue.

On ?tudie ?galement les variations de l'?volution optimale en fonction de l'importance accord?e au loisir. Celle-ci est caract?ris?e par la valeur donn?e ? l'?lasticit? de substitation entre

loisir et consommation.

A l'issue de ces ?tudes, on a retrouv? tr?s exactement les caract?ristiques de l'esquisse C du

plan. Les valeurs des taux d'?pargne et d'actualisation obtenues sont tr?s satisfaisantes.

Nous remercions Alain Bernard pour l'aide qu'il nous a apport?e dans le choix des donn?es

num?riques.

I - PRESENTATION DU MODELE

Soient :

?t =

?0ept la population totale.

Lt : le nombre d'heures utilis?es pour produire ? l'?poque t ; c'est une variable endog?ne.

Nf : la somme des temps affect?s ? un travail productif et au loisir. Cette grandeur est ob

tenue en enlevant dans une semaine ce qui est temps contraint, c'est-?-dire le temps

d?volu aux trajets, aux obligations m?nag?res et besoins physiologiques. Pour avoir N,, on multiplie en suite par le nombre de semaines et par l'effectif des travailleurs employ?s

dans les branches. C'est une donn?e(*).

Le loisir sera ?gal ? N, ?

Lf avec : Lt < Nf.

Il semble d'autre part raisonnable de se fixer pour Lf une borne sup?rieure N^ correspondant

? l'horaire de travail en l'ann?e initiale. Cette grandeur sera donc calcul?e en multipliant ce nombre

d'heures par l'effectif employ? dans les branches(2).

(1) L'enqu?te sur les budgets temps (Etudes et Conjoncture, septembre 1966) ?value ? 70,4 heures le temps

consacr? hebdomadairement au travail et au loisir, dont 46 heures pour le travail. Si l'on suppose que cette propor

tion reste fixe, c'est-?-dire si l'importance accord?e au temps contraint reste constante et si, d'autre part, on repr?

sente par h0ent l'?volution des effectifs employ?s dans les branches, on obtient :

Nf =

70,4 x 52 x h0ent

Initialement, le loisir est alors : N0

- L0

= (70,4 x 52 - 46 x 48) h0

.

(2) Avec les m?mes hypoth?ses : Nj

= 46 x 48 x h0ent



98

Nous poserons donc :

Soient encore :

Ct : la consommation des m?nages.

Rf : la demande exog?ne qui comprend la consommation des administrations et les investis sements non productifs.

Kf : le capital productif.

Y, =

F(Kf, Lt) : la production. La fonction F pourra d?pendre du temps et tenir compte ainsi du progr?s technique. Cette fonction sera suppos?e homog?ne de degr? 1 et on

fera quant aux d?riv?es, les hypoth?ses habituelles :

Ft>0 F,>0 Ft2<0 F2<0 Fw>0

F,(0,/)=oo F,(*,0)=oo Fk2.F?2-Fl,>0 On s'impose un minimum de consommation par t?te :

Ct>c0ey<?t =M,

o? c0 repr?sente le niveau initial de la consommation par t?te et o? 7 repr?sente le taux d'aug mentation minimum.

La production doit satisfaire ? la demande exog?ne Rf et au minimum de consommation Mf.

On doit avoir :

F(K, , L,) > R, 4- M, =

W,

L'exc?dent ?ventuel doit ?tre r?parti entre investissements productifs et consommation. Si on

introduit un taux d'?pargne net s G [0, 1], la valeur de l'investissement est :

K, 4-uK, =s[F(Kr,L,)- W,]

avec 0 < s < 1

La consommation s'?crit alors :

C, =M, + (1 -s)(F(K,,L,)- Wr)

ou C, =

sWf f (1 -

s) F(K,, Lf) -

R,

La fonction d'utilit? d?pend de la consommation Ct et du loisir N, -

Lf , soit :

?(Cf , N, -

Lf)

Si U(x,y) est cette fonction, nous supposerons que :

?; > 0 ?; > 0 ?r'2 < 0 ?;^

< o ?;'y = o

?;(o,>o = oo

?;(jc,o) = 00

On a fait l'hypoth?se U^, = 0 parce qu'elle simplifiait les calculs et qu'elle ?tait v?rifi?e par la

fonction d'utilit? retenue en pratique. Les r?sultats devraient cependant pouvoir s'?tendre au cas U" > 0

xy ^ yJm



99

En se fixant un taux d'escompte psychologique ?, on maximise

Max f e-6t\J(Ct, N, -

Lf)

Enfin, on se donne un capital terminal minimum K^.

dt

K^K,

Mod?le en variables r?duites :

En divisant par N't exog?ne, on pose :

L^ =_?L_ ,

=KL_ =Wi_ =^_

n; c

n; n; Wt

n; r'

n; le mod?le s'?crit : 0 < / < 1

'

F(k,l)>wt

Si on prend N't de la forme : NJ =

N|, ent

K K . , K K * =

?;-:N' = --/i- D'o?

N' N2 N' N'

? 4- (n 4- u) /: = s[F(k, /)

? wt] et on posera X = n 4- u

0<s< 1

On a aussi : fcT > kf

Enfin r?duire les variables revient ? modifier comme suit la fonction d'utilit? :

?(c,, n, -

Lf) = ? n;

. ?l , n; N'~,

Lf 1= ?[n;c, n;(P,

- oi = u(c, p,

- o

N, o? pt = ?- > 1 et o? U est une fonction qui d?pend du temps par l'interm?diaire de Nf exog?ne

"t _

Cette fonction U v?rifie les m?mes hypoth?ses que U puisque :

u; = d;n;>o

u"2 =

u;' - n;2 < o... 2

En r?capitulant l'ensemble du mod?le :

T

o

avec c = swt 4- (1

- s) F(k, l)

- rt

k = s[F(k,l)

- wt]

- X?:

On maximise / e dt

U(c , pt -

/) dt



100

Sous les contraintes : 0 < / < 1

0<s< 1

F(k, f)>wt

kj. ^ kf

On obtient un probl?me de contr?le optimal non autonome, avec contrainte sur la variable d'?tat. Il comporte :

une variable d'?tat : le taux de capital k

deux variables de commande : le taux d'activit? /

le taux d'?pargne net s

Etant donn? k, si nous appelons ?(k) le taux d'activit? minimum pour qu'il y ait une solution

r?alisable, c'est-?-dire pour qu'on puisse satisfaire la consommation minimale et la demande

exog?ne :

F(k,?)>wt <* l>l(k)

o? ?(k) est d?termin?e par l'?quation

F[k,?(k)]=wt

Graphique 1

L'ensemble des contraintes devient donc

/(*) < / < 1

0< s < 1

II - PRINCIPE DU MAXIMUM ET MAXIMISATION DE L'HAMILTONIEN

On applique le principe du maximum en appelant it le multiplicateur. Si ^ est le multipli cateur habituel, on a pris en fait pour la commodit? des ?quations ir = tyeSt. D'o? :

H = U +tt[s(F -

wt)- \k]

et ? = (X + ?) n - [stt 4- (1

- s) U?] Fk 4- oV(k)

Pour la commande optimale, l'hamiltonien est maximum comme fonction de s et de /. Notons bien que dans U(c, 1 - /) avec c =

swt 4- (1 -

s) F(k l) -

rt, s et / interviennent.

F(*,/) A



101

Dans tout ce qui suit, on se placera ? un instant t donn?. On va d'abord consid?rer H = H (s, /)

pour / fix?. Le maximum par rapport ? s est alors

Max H (s, /) =

Hj(/) obtenu pour s = s Al) . s

On cherchera ensuite ? maximiser Hx(l) par rapport ? /. On appellera /* et s* = s1(l<r) les valeurs

pour lesquelles H est maximum, qui correspondront ? une trajectoire extr?male.

Maximisation par rapport ? s

3H 32H ? = [7T

- Ui(c)] [F

- wt] et ? =

U;'(c). (F -

wt)2 < 0

Trois cas sont donc possibles :

bV\

Sj(/) = 0 ~ ? < 0 ou tt< U;(F

- rt) bs

,(/)=!*. ?>0 ou * > \J'x(wt -

rt) OS

0 < Sj (/) < 1 d?termin? par tt = U^ [swt + (1

- s) F -

rt]

Graphique 2

Maximisation par rapport ? l

Nous devrons envisager divers cas dont les fronti?res ne font intervenir que les variables

(k, 7t). Notons que, lors de cette maximisation, k et ir sont fix?s.

Les trois cas pr?c?dents se retrouvent ainsi dans le plan (l, ir) :

*4

u;[F(*./(*))-rf] =

U>,-r,) 7T

u;(F(*,l)-rf)

t^w =

\J'x(F(k,l)-rt)

l{k) lx 00

Graphique 3



102

On envisage alors la maximisation de Hl par rapport ? / dans les trois cas :

*<u;[F(*,l)-r,]

*>U>,-r,)

U;[F(*,l)-rr]<ir<U;(w,-rr)

b2H. On utilise le fait que ?^ ^ 0 et on distingue divers sous-cas selon que le maximum est atteint

bl en /* =

/(?), en /* = 1 ou pour ?(k) < /* < 1. Nous ne reprendrons pas ici cette discussion

(voir[l]), mais en donnerons les r?sultats et la signification ?conomique. La r?solution num?

rique est bas?e sur ces r?sultats.

Nous avons d?j? dit que les fronti?res d?limitant tous ces cas ne font intervenir que k et n.

Nous obtenons donc dans le plan (k , n) un certain nombre de r?gions pour chacune desquelles nous connaissons les valeurs s* et /* prises par s et /.

III - REGIONNEMENT DU PLAN (k, ir) ET INTERPRETATION ECONOMIQUE

Nous avons donc, dans le plan (k, n), diff?rentes r?gions selon qu'? l'optimum les variables de commande s et / atteignent ou non leurs bornes. Les r?gions sont trac?es ? un instant / fix?.

/* = 1

G') s* < 1 : 7r =

U>*w, + (l -s*)F-rt)

/* = !

0 k k

F(i, 1) = w, V'x(wt

- rt). F,(?, /(*)) =

U;(/(*))

Graphique 4



103

La r?gion dans laquelle doit se passer la majeure partie de l'?volution ?conomique pour un

pays ?volu?, est la r?gion G qui correspond ? un comportement n?o-classique.

Dans cette r?gion, les valeurs optimales s* et /* ne sont pas obtenues en but?e contre des

contraintes, mais comme solutions des ?quations :

0<s* < 1 : 7T = u;[s*wf 4-(l

- s*)F(?:, /*)

- rt]

/,(*)</*< 1 : 7r.F,(fc,r) =

U;(/*) La variable ir - \?je6t est le multiplicateur associ? ? l'?quation diff?rentielle d'accumulation du

capital. C'est un indice de valeur de ce capital repr?sentant la valeur des services futurs que pourra rendre une unit? suppl?mentaire de celui-ci en l'?poque consid?r?e. En fait, c'est plut?t \jj qui a

cette interpr?tation et tt est deflate du taux d'escompte psychologique (voir [7]).

Le taux d'?pargne s prend donc une valeur optimale s* telle que la valeur du capital soit

?gale ? l'utilit? marginale de la consommation. En quelque sorte, ? l'optimum, une unit? suppl? mentaire de bien a m?me valeur, qu'on l'agr?ge au capital ou qu'on la consomme. En fait, il

voudrait mieux commenter ainsi l'?galit? :

,(,=**-?' = e~6t

U'x

o? figure i// et e~5tU, v?ritable fonction d'utilit?. Cette remarque, consistant ? multiplier l'?quation par e~8t, est valable dans toute la suite.

D'autre part, le taux d'activit? / est d?termin? par la seconde ?quation de fa?on que la valeur du capital obtenu gr?ce ? un suppl?ment unitaire d'activit? soit ?gale ? l'utilit? marginale du loisir.

En ?crivant cette ?quation

u;(c)-Fl(*f/*) =

u;(n nous obtenons l'?galit? de l'utilit? marginale du travail (conduisant ? une consommation suppl?

mentaire) et de l'utilit? marginale du loisir, ce qui est une formulation ?quivalente en vertu de

l'?quation pr?c?dente. L? aussi, en quelque sorte, ? l'optimum, il est ?quivalent d'affecter une

heure suppl?mentaire au travail ou au loisir.

Dans cette r?gion, la consommation est sup?rieure au minimum prescrit (s* < 1) et le taux d'activit? est inf?rieur ? 1, c'est-?-dire que l'horaire de travail a d?cru par rapport ? l'ann?e initiale.

Dans la r?gion D, nous avons 7r > U^(wf -

rt). La valeur d'une unit? de capital est donc

sup?rieure ? l'utilit? marginale de la consommation, m?me si l'on est au minimum de consom mation (si on ?tait au-dessus, l'utilit? marginale serait encore inf?rieure). Il est donc normal que

l'on ait s* = 1. On investit au maximum. La consommation est r?duite au minimum impos?.

Nous avons d'autre part :

/(*) < /* < 1 avec /* : ir- Ff(ik, /*) =

U?(/*)

L'interpr?tation est la m?me que pr?c?demment. C'est ?videmment l'utilisation du travail ? la

production d'un suppl?ment de capital qui est ici prise en compte.

Par contre, dans la r?gion G' nous avons : t? F;(fc, 1) > U^(l).

La valeur du capital obtenu

gr?ce ? un suppl?ment unitaire d'activit? est sup?rieure ? l'utilit? marginale du loisir pour un

taux d'activit? ?gal ? 1 (et si on ?tait en dessous, cette utilit? marginale serait encore inf?rieure).



104

On a donc int?r?t ? travailler au maximum (c'est-?-dire au m?me rythme qu'en l'ann?e initiale

soit /* = 1) pour investir, ou pour consommer puisque d'autre part s* est d?termin? par :

7T = u;(c)

La situation dans la r?gion D* est obtenue en combinant les r?sultats obtenus dans les deux pr? c?dentes r?gions. C'est une r?gion o? l'on investit au maximum (s*

= 1), la consommation ?tant

r?duite ? la consommation minimum, et o? d'autre part, on travaille autant qu'en l'ann?e initiale

(/* =

1).

On pourra se trouver dans l'une des trois r?gions D, G', D' en d?but d'?volution, quand un

effort pr?alable permet d'am?liorer la suite des consommations futures. La plus ou moins grande

importance donn?e au loisir par rapport ? la consommation dans la fonction ?conomique, nous

situera dans l'une ou l'autre.

La r?gion F se rencontrera par contre en fin d'?volution si le capital final que l'on s'est

impos? est suffisamment faible et l'horizon du mod?le suffisamment ?loign?. C'est une r?gion o?

l'on ne fait plus d'investissement productif (s* =

0) ce qui correspond ?

tt<U;(c) La valeur l* est d?termin?e par :

U'x[F(k,n~rt).Fl(k,n =

\J'y(l?)

?galit? entre utilit? marginale du travail (conduisant ? une consommation suppl?mentaire) et

utilit? marginale du loisir. C'est l'?conomie de cigale, o? le capital se d?pr?cie au taux p.

Si lors de cette ?volution, on atteint la valeur k, on ne satisfait plus qu'aux exigences mini

males wt de consommation et demande exog?ne. Le taux d'activit? est alors le taux minimum

l(k). On est dans la r?gion E.

Toute cette discussion a pu ?tre faite en restant ? l'instant r, car it est un r?sum? du futur.

En effet, cette variable repr?sente les services futurs d'une unit? de capital, c'est-?-dire les con

sommations futures et aussi la n?cessit? d'atteindre KT =

Kg.

On a ainsi obtenu de mani?re rigoureuse et syst?matique des r?sultats de th?orie ?conomique d?crivant diff?rents types de comportement.

IV. DESCRIPTION DES TRAJECTOIRES OPTIMALES

Nous pouvons d?crire dans le plan (k, tt) les trajectoires extr?males, c'est-?-dire les trajec toires v?rifiant les conditions d'optimalit? car ces ?volutions sont maintenant d?termin?es par le

syst?me diff?rentiel :

k=f(k,ir,s\ n

it =g(k,iT,s<t, /*)

o? s* et /* prennent, dans les diff?rentes r?gions, les valeurs caract?ris?es pr?c?demment.



105

Ceci constitue d'ailleurs le principe de la m?thode de r?solution. La seule chose qui nous

manque pour que la trajectoire soit sp?cifi?e, est la valeur initiale ir0 de tt (puisque d'autre part

k0 est donn?). Cette valeur est d?termin?e par t?tonnement de mani?re ? atteindre le capital final kf.

Graphique 5

On se donne une premi?re valeur 7^ qui donne lieu ? une trajectoire (1). Si le capital final

obtenu en T est sup?rieur ? kr

on va prendre une valeur initiale 7r^2) plus faible. Si le capital final

obtenu est alors inf?rieur ? k on a encadr? la trajectoire recherch?e. On prend une valeur de

7T? interm?diaire.

Remarquons que chaque trajectoire obtenue lors de la proc?dure est extr?male, en ?gard au

capital kf atteint. Cette propri?t? est tr?s importante car on verra qu'il faut faire de toute fa?on

une ?tude param?trique en fonction de k?.

La description a priori des diff?rents types de trajectoires extr?males n?cessite des calculs

th?oriques assez longs (voir [1]). On donne seulement ici les r?sultats de cette ?tude.

Cette description est faite dans le plan (k, tt).

On cherche d'abord le lieu des points de ces trajectoires pour lesquels k = 0 ou tt = 0. La d?termination de ces courbes est faite en [1] et permet de situer les extr?males dont on a les

maxima, minima, les points ? tangentes verticales et le sens de variation.

A l'intersection des courbes k = 0 et tt = 0 nous sommes dans une situation de col et cette intersection va servir de turnpike ? l'?volution ?conomique. Cette intersection peut ?tre d?ter

min?e, comme on le voit en [1].

Il faut cependant remarquer que les courbes k = 0 et tt = 0 et les s?paratrices de r?gions que l'on a trac?es en un instant donn?, se d?forment au cours du temps. Ceci est d? au caract?re non autonome du syst?me diff?rentiel puisque wt, rt, F et au besoin U d?pendent de t. L'allure et la disposition des courbes resteront cependant inchang?es au cours du temps.

Pour tracer les extr?males dans le seul plan {k, tt) il nous faut donc supposer que le syst?me diff?rentiel est autonome. S'il ne l'est pas, la variable temps doit intervenir comme troisi?me coordonn?e et il faut imaginer que chacune des courbes pr?c?dentes donne naissance ? une sur

face. Les trajectoires seront trac?es sur de telles surfaces.



106

Graphique 6

Nous allons maintenant d?crire rapidement trois types de trajectoires qui peuvent corres

pondre ? des ?volutions ?conomiques r?elles.

Cette description utilise beaucoup le fait que :

bk bTT ? >0 et ?>0 bir bk

On peut le v?rifier par exemple pour la r?gion D :

k = F(k, /*)- wt

- Xk bk_

bTT



107

Or

De m?me

D'o?

Graphique 7

tt . F|(*. n = u;(/*}

=> F| + ttf2

~ = - u; ^

D'o? : -= - F,---Tj > 0

bTT l

ttF . 4- U

bTT / a/ \ w =

[X + 6 - Ffc(*, /*)] tt - ? = - tt

(Fk2 4- Fw

?)

a/* ? a/1" ^

+ ,f2- =

-u;.?

blT ? TT 0 .,

-=-tt (*F 2 F 2 - irF?. 4- F 2 U") > 0

3* ttF, 4- U" i2 *2 kl *2 y' Ki2 y/\_/ \_/

>0 >0 >0

Les v?rifications sont analogues pour les autres r?gions.

A partir de ces r?sultats, la d?monstration du th?or?me de Turnpike est la m?me que celle

donn?e dans : CASS. ? Optimum Growth in an aggregative model of capital accumulation,

Econometrica, Oct. 1966), du moins dans le cas autonome. Il faudrait, dans le cas non autonome,

reprendre la d?monstration, ce qui n'a pas ?t? fait ici.



108

Trajectoires de type I

i = 0

Graphique 8

Ces trajectoires m?nent de k0 ? kf,

k ?tant constamment croissant et tt d?croissant.

Remarquons que, de fa?on g?n?rale, nous aurons ?;(T) =

kf pour une extr?male, ce qui n'est pas ?vident puisque l'on s'impose seulement k(T) >

kf. Le r?sultat provient de la condition de transversalit? qui s'?crit (voir NEUSTADT.? An

abstract variationnal theory. SIAM Control, Vol. 5, N? 1).

e-&T. tt(T) =

a(T) avec a(T). [*(T) -

kf] = 0

D'o? e-6T tt(T) [?r(T) -

kf] = 0

D'autre part, le temps de parcours est d'autant plus faible que la courbe est plus haute, car dk ? > 0. On d?crira donc, dans la famille de courbes consid?r?es, celle qui correspond ? la p?riode 37T

de d?veloppement T.



109

La description ?conomique de l'?volution se fait en suivant les r?gions travers?es. On se

reportera au paragraphe pr?c?dent. La consommation est en g?n?ral la consommation minimale en d?but d'?volution, c'est-?-dire dans les r?gions D et D'.

Dans les r?gions G et G', elle devient sup?rieure ? ce minimum et on peut voir qu'elle croit constamment. En effet :

bc 1 ? bc

-^r^<0 et

? = 0

Or tt d?cro?t constamment.

Trajectoires de type II

Dans ces trajectoires, k passe par un maximum sup?rieur ? kf puis d?cro?t. Elles sont utilis?es

lorsque le capital terminal impos? est suffisamment faible, eu ?gard ? l'horizon T retenu.

Graphique 9

Soit tx le temps de parcours sur la trajectoire (1) o? le maximum de k est atteint en A: = kf

. Le temps de parcours sur les trajectoires de type I est inf?rieur ? rx . Le temps de parcours sur



110

les trajectoires de type II est sup?rieur ? tx et on peut voir qu'il cro?t quand on consid?re des

trajectoires dont le k maximum cro?t. La d?monstration est la m?me que celle de Cass si l'on

part des in?galit?s :

3* air ?->0 et ?

>0 bir bk

On utilisera donc des trajectoires de type I pour T < rx et des trajectoires de type II pour T > tx .

Ces trajectoires passeront d'autant plus pr?s du turnpike que T est grand.

De m?me que pr?c?demment, la consommation cro?tra constamment dans les r?gions G et

G'. Elle d?cro?tra dans la r?gion F, car on peut voir qu'alors

bc bc ? =0 et ? > 0 btr bk

Trajectoires de type III

Lors de ces trajectoires k cro?t constamment, mais tt passe par un minimum. Elles sont utilis?es

lorsque le capital terminal impos? est tr?s ?lev?.

Comme pour le type I, le temps de parcours est d'autant plus faible que la courbe est haute.

Dans les r?gions G et G', la consommation va cro?tre jusqu'? ce qu'on atteigne le minimum

de 7T, puis va d?cro?tre jusqu'? ?tre ?gale ? la consommation minimale quand on regagne (si c'est

le cas) les r?gions D et D'.

venons de d?crire Enfin, on d?montre en [1] que toutes les trajectoires extr?males que nous

(c'est-?-dire des trajectoires v?rifiant le principe du maximum) sont optimales.

V - DONNEES POUR LA RESOLUTION NUMERIQUE

Les donn?es num?riques correspondent ? des travaux faits dans le cadre de la pr?paration au

Ve plan. L'ann?e de base est 1962, qui sera prise pour ann?e initiale. On comptera en francs

1959. L'ann?e terminale sera 1990. La dur?e de l'?volution envisag?e est donc de vingt huit ans.

Nous prendrons pour ?volution de la population totale :

P, =

?0eP* =

46,32 - e0'009' millions d'habitants

Comme nous l'avons vu au d?but, nous prendrons pour N, , somme des temps affect?s au travail

et au loisir :

N, =

70,4 x 52 x h0ent =

70,4 x 52 x 16,02 x 106 x e?'007i

= 58,26 e0'007' milliards d'heures

et

N; = 46 x 48 x 16,02 x 106 x e?>001t =

35,35 e?>001t milliards d'heures

Pour le minimum de consommation, nous avons pris un taux d'accroissement y nul (et avons

ensuite test? l'influence d'un taux de 3 %).



Ill

Mf =

c0P0e*f =

190,5 - e0'009' milliards de F 59

o? 190,5 repr?sente la consommation initiale.

Nous prenons, pour demande exog?ne

R, = 52 . e?'04f milliards de F 59

La fonction de production est une fonction de Cobb Douglas

F = Ae#kl-"la

avec a = 0,77

? =

0,037

et A = 4,855 qui a ?t? calcul? en prenant pour production initiale Y0

= 282 milliards et

pour capital initial K0 =

306,2 M.

Le capital terminal pr?vu ?tait K^

= 1 154 milliards. Mais nous reprendrons cette question par la suite.

Le taux de d?pr?ciation du capital est n = 0,07

D'o? : X = n 4- u = 0,079

Le taux d'escompte psychologique 6 = 0,07

Enfin, on a pris pour fonction d'utilit? :

U = a Log C 4- b Log (N -

L)

a Alors

? est une ?lasticit? de substitution entre loisir et consommation puisque pour U = cons

b tante et par le th?or?me des fonctions implicites :

d(N -

L) a N - L

D'o?

dC b C

a d(N - L) C

b dC N - L

De fa?on incorrecte mais imag?e :

a __ d(N -

L) dC

b~ N-L '

C

a o? l'on voit que

? repr?sente la variation relative de loisir qui est mise en balance avec une va

b

riation relative de 1 % de la consommation. Plus elle est faible, plus la pr?f?rence pour le loisir

est grande.

Nous allons chercher ? ?valuer cette ?lasticit? en retra?ant l'arbitrage fait par un salari? qui travaille une heure de plus pour obtenir un accroissement de consommation AC ? l'aide du salaire

de cette heure suppl?mentaire. Il en r?sulte ?videmment une diminution d'une heure de loisir :



112

a 1 heure Salaire pour 1 heure suppl?mentaire

b loisir annuel d'un salari? Consommation annuelle d'1 salari?

C'est par cette expression que nous avons ?valu? l'?lasticit?. La valeur trouv?e est 1,37. Cette

?valuation est, bien s?r, tr?s grossi?re et seule une ?tude param?trique est int?ressante.

D'ailleurs, la constance de cette ?lasticit? n'est pas, elle-m?me, ?vidente : nous en repar lerons en VII. De toute fa?on, le mod?le permet de prendre en compte une ?lasticit? variable avec le temps. Il faudrait ?videmment une ?tude approfondie des comportements face au pro bl?me de la substitution loisir consommation pour pouvoir trancher a priori. Nous ne pouvons ici qu'explorer un certain nombre de possibilit?s.

Remarque :

Avec l'expression pr?c?dente de l'?lasticit?, nous retrouvons l'?galit? entre utilit?s marginales du travail et du loisir qui est v?rifi?e dans la r?gion G, ? savoir :

1 b Ux F,

= U^ qui s'?crit ici : a

- F,

=

du moins si la productivit? marginale du travail peut appara?tre comme un salaire.

a C Si donc

? est constant, le rapport-variera dans la r?gion G comme la productivit?

b N - L

marginale du travail.

VI - VARIATION DE L'EVOLUTION OPTIMALE EN FONCTION DU CAPITAL FINAL

D'un mod?le de croissance, on attend un taux d'actualisation ? long terme. Ce taux est n?cessaire pour effectuer les choix d'investissements. Son ?volution au cours du temps est obtenue de fa?on simple ? partir de celle de la productivit? marginale du capital. On a :

3Y,

,(')=s1k7-"

o? p est le taux de d?pr?ciation du capital.

La d?termination par un mod?le de croissance d'une ?volution ?conomique acceptable pose un probl?me difficile : celui du capital terminal ? atteindre en fin de p?riode. Faute d'une telle

contrainte, l'?volution se terminerait en effet par la disparition de tout le capital productif. Or, le choix pr?alable d'un tel capital terminal semble aussi difficile que celui d'un taux d'actualisation,

puisque l'un et l'autre posent la question de la modulation de l'effort de production au cours du

temps. Une fa?on, ?videmment, de lever le probl?me est de se placer en horizon infini. Mais une telle hypoth?se ne permet pas le calcul des trajectoires optimales.

Il est donc impossible de choisir valablement et a priori un capital final. Aussi allons-nous examiner toute la famille des trajectoires optimales correspondant aux diverses valeurs possibles de ce capital.



113

Parmi ces trajectoires, nous retiendrons ensuite celle qui correspond ? l'?volution ?conomique la plus r?guli?re, ou encore car les deux choses sont li?es, celle qui se prolonge le plus facilement au-del? de l'horizon consid?r?.

En particulier, la constance du taux d'actualisation semble ?tre souhaitable, ainsi que celle du taux d'?pargne, ce qui correspond ? un effort d'investissement constant. Nous verrons que l'on

peut satisfaire ? ces deux conditions du moins ? partir d'une certaine ?poque. Une trajectoire op timale qui semble ? tous ?gards acceptable est ainsi sp?cifi?e.

Evolution du taux d'activit?

0,95

0,90

? . K,

= 1890,

Kf croissant J '

Graphique 10

Le taux d'activit? reste ?gal ? 1 durant les 7 premi?res ann?es et ceci quel que soit le capital final.

Si le capital final est assez faible (Ky = 1 154, valeur retenue lors des ?tudes faites pr?c?

demment), ce taux se met ? d?cro?tre et m?me assez fortement en fin de p?riode : on peut alors travailler de moins en moins et la croissance de la consommation est obtenue au prix d'une crois

sance moins forte du capital, voire d'une d?croissance de celui-ci.

Plus le capital final est fort, plus cette d?croissance du taux d'activit? est faible. Celui-ci

peut cro?tre en fin de p?riode et reprendre la valeur 1.

Evolution du taux d'?pargne

Le taux d'?pargne s d?finissait jusqu'alors l'investissement par rapport ? la part de la pro duction qui n'est pas automatiquement affect?e ? la demande exog?ne ou ? la satisfaction du

minimum de consommation.

Investissement = Kt 4- p Kt

= s(F

? Wf)

Pour rejoindre la d?finition plus courante, nous d?finirons "s par :

Investissement = J F



114

_ / W\ Nous aurons donc : s = ( 1

? ? 1s pour lequel

C, 4- R, =

(1 -

5") F

20%

17,4%

14%

10%

23,4 '/<

10 20 28

Graphique 11

On note d'abord un r?gime transitoire d'un an o? le taux d'?pargne cro?t fortement. Il

d?cro?t ensuite, et jusqu'? s'annuler, pour des valeurs assez faibles du capital : on abandonne

alors peu ? peu tout effort d'investissement.

Pour Kf = 1 611, le taux d'?pargne devient constant et ?gal ? 15,2%, d?s le milieu de la

p?riode de planification.

Pour des valeurs plus fortes du capital final, le taux d'?pargne recro?t en fin de p?riode, afin que l'on satisfasse ? la contrainte de capital final.

Evolution du taux d'actualisation

On d?finit souvent le taux d'actualisation par :

AC(i 4- dt) 1 4- /(0

= i AC (01

si l'on suppose pouvoir effectuer en t une diminution marginale de la consommation | AC, | qui entra?ne une augmentation ACi+J/en t + dt sans modifier le programme de consommation ul t?rieur. Cette d?finition conduit par un calcul simple et classique ? :

/(0 3K,

M

mais n'est pas convenable ici en d?but d'?volution o? joue la contrainte de consommation mini

male, ce qui rend l'op?ration ?voqu?e ci-dessu? impossible.



115

On peut prendre, par contre, la d?finition du taux d'actualisation comme rapport des prix ? deux ?poques successives, ce qui donne en continu :

i(0 = *

*

o? \?j est le multiplicateur habituel de Pontryagin.

On v?rifie que cette d?finition conduit, dans les r?gions qui nous int?ressent, et si l'on tient

compte des r?ductions effectu?es, ? l'expression de la productivit? nette du capital. Cette question est abord?e en [5] mais est difficile ? r?soudre en toute g?n?ralit?.

/*

15% 14,2%

10<

16,1%

Kf= 1 1

1611

10 20 28

Graphique 12

La valeur du taux d'actualisation reste tr?s stable. Son ?volution d?pend peu du capital final.

Pour Kf

= 1 611, on obtient une valeur pratiquement constante d?s le milieu de la p?riode de planification.

Pour des valeurs inf?rieures du capital final, le taux d'actualisation cro?t en fin de p?riode,

pour des valeurs inf?rieures il d?cro?t. Son ?volution va ? l'inverse de celle du taux d'?pargne. En

effet, un fort taux d'actualisation est la marque d'une forte pr?f?rence pour le pr?sent et accom

pagne un moindre effort d'investissement.

Evolution du capital et de la consommation

Pour de faibles valeurs finales, le capital d?cro?t en fin de p?riode. L'effort d'investissement

n'est plus suffisant pour contrebalancer la d?pr?ciation de celui-ci au taux de p = 7 %. Pour Kf

assez grand, le capital cro?t constamment et cette croissance prend une forme exponentielle.

On note un r?gime transitoire d'un an, o? la consommation reste sensiblement constante.

Cela est d? ? la contrainte de consommation minimale par t?te (cette consommation minimale

?tant ?gale ? la consommation par t?te initiale, on croit au taux de croissance de la population).



116

1500 h

1000 h

Graphique 13

Conclusion :

Une premi?re constatation est la tr?s grande stabilit? de ces courbes durant la premi?re moiti? de la p?riode de planification, c'est-?-dire grosso modo durant les quinze premi?res ann?es.

L'influence de la contrainte de capital final ne se fait pas encore sentir.

On note durant les deux premi?res ann?es un r?gime transitoire assez brusque, le taux

d'?pargne passant de 14 ? 17,4 %. On pourrait adoucir ce ph?nom?ne en s'imposant une croissance

minimale de la consommation par t?te (par exemple au taux de 3 %), ce que permet le mod?le sans modification du programme. Alors le taux d'?pargne ne peut pas cro?tre aussi vite et le

r?gime transitoire est plus ?tal? dans le temps.

Au bout d'une quinzaine d'ann?es, les ?volutions se diversifient On voit clairement que l'?volution la plus satisfaisante correspond ? un capital final de 1 600 milliards. Celle-ci correspond ? une croissance r?guli?re du capital et de la consommation, et surtout ? une grande constance du taux d'?pargne et du taux d'actualisation (r?gime transitoire except?). On obtient ainsi un effort

d'investissement r?gulier, reflet d'une pr?f?rence pour le pr?sent qui reste constante. Cette ?vo

lution peut se prolonger sans ?-coup au del? de l'horizon consid?r?. C'est qu'en fait l'?volution ainsi s?lectionn?e n'est que la restriction ? l'horizon 90 de l'?volution optimale correspondant ? un horizon infini.

Une valeur de 12% obtenue pour le taux d'actualisation semble acceptable ainsi que la

valeur de 15,2 % du taux d'?pargne (on se rappelle ici que s" ne refl?te que l'effort fait en vue

des investissements productifs, la demande exog?ne ?tant compt?e avec la consommation :

C 4- G = (1

- J) Y).



117

Enfin, le taux d'activit? / ne d?cro?t que tr?s peu, ce qui explique d'ailleurs la croissance

assez forte de la consommation et du capital. Nous allons discuter de cette question en VII et

consid?rer en VII et VIII des ?volutions correspondant ? des d?croissances de / beaucoup plus fortes.

Remarque

Nous avons retenu, dans l'?tude pr?c?dente, l'?volution "r?guli?re" correspondant ? des

valeurs pratiquement constantes du taux d'?pargne et du taux d'actualisation apr?s r?gime tran

sitoire.

Or, nous avons pu v?rifier par ailleurs qu'une telle trajectoire correspondait en fait ? la res

triction ? l'horizon T = 28 de la trajectoire en temps infini.

Pour cela, nous avons d?termin? les optimales correspondant ? diverses valeurs du capital final pour un horizon assez ?loign?, disons T = 75. Consid?r?e dans le plan (k, tt), la trajectoire en temps infini est constamment d?croissante. Si, pour cet horizon T =

75, on trouve une tra

jectoire pr?sentant un maximum de k et une trajectoire pr?sentant un minimum de tt, ces deux

trajectoires encadrent la trajectoire en temps infini.

Graphique 14

Si elles sont suffisamment proches pour que leurs restrictions ? l'horizon 28 soient prati

quement confondues, on a d?termin? la restriction de la trajectoire en temps infini ? l'horizon

28. On constate que c'est bien cette trajectoire que nous avons cern?e lors de l'?tude pr?c?dente.

Elle correspond en fait ? des taux d'?pargne et d'actualisation, non pas constants, mais tr?s

lentement d?croissants apr?s r?gime transitoire (seule la deuxi?me d?cimale est affect?e).

La m?thode r?ussit car, pour un horizon ?loign?, les trajectoires ne se diversifient prati

quement qu'assez tard (on joue pour les valeurs initiales de tt sur la 8? ou 9? d?cimale).

VII - VARIATION DE L'EVOLUTION OPTIMALE EN FONCTION DE L'IMPORTANCE ACCORDEE AU LOISIR

Nous avions pris jusque l? pour valeur de l'?lasticit? de substitution entre loisir et consom

a mation :

? = 1,37.

b



118

Nous allons consid?rer les ?volutions obtenues en prenant pour cette grandeur deux valeurs

encadrant la valeur pr?c?dente.

a Pour

? = 1,57, valeur correspondant ? une importance moindre accord?e au loisir, l'?volution

b

obtenue pour K^ = 1611 est tr?s proche de celle obtenue pr?c?demment, ? cela pr?s que le taux

d'activit? reste constamment ?gal ? 1.

a Pour

? = 1,17, une plus grande importance est accord?e au loisir. Nous avons trac? en trait

b

plein l'?volution correspondant ? des taux d'?pargne et d'actualisation constants apr?s r?gime transitoire, ce que l'on obtient pour K^

= 1 514.

Nous avons trac? en pointill? l'?volution obtenue en conservant Kf

= 1 611.


0,975

Graphique 15

a Pour

? = 1,57, le taux d'activit? reste constamment ?gal ? 1.

b

a Pour

? = 1,17, nous observons une d?croissance assez forte, compar?e ? ce que nous avions

b

obtenu jusqu'alors. La courbe en pointill? indique que si nous conservons Kf

= 1 611, un coup de collier est n?cessaire en fin d'?volution pour atteindre cette valeur du capital final.

Evolution du taux d'?pargne et du taux d'actualisation

a Pour

? = 1,57, l'?volution du taux d'?pargne est pratiquement confondue avec celle obtenue

b

pour ? =

1,37, si ce n'est une l?g?re d?croissance sur la fin, due ? ce que l'on peut investir un b

peu moins pour atteindre K^

= 1612, puisqu'on travaille davantage.



119

.-""'

= 1,57

15,2'

12%

20 28

Graphique 16

Pour ? =

1,17, on donne davantage d'importance au loisir. Le r?gime transitoire est plus b

?tal? que pr?c?demment, la croissance de J ?tant moins rapide. Au bout d'une douzaine d'ann?es, on retrouve l'?volution pr?c?dente, sauf si l'on s'impose de garder K^

= 1611, auquel cas (courbe

en pointill?), un effort d'investissement important est demand? en fin de p?riode.

L'?volution du taux d'actualisation est pratiquement la m?me dans les diff?rents cas.


970 a - = 1,37 900 b

Graphique 17



120

Pour ? =

1,57, l'?volution du capital est pratiquement la m?me que pour ? =

1,37. On b b

obtient une consommation un peu plus forte, gr?ce au fait qu'il n'y a eu aucune diminution de

la dur?e du travail.

a Pour ? =

1,17, correspondant ? une plus grande importance accord?e au loisir, le capital et b

la consommation obtenus sont inf?rieurs ? ce que l'on avait auparavant, et ce d?s le d?but de

l'?volution. Si l'on veut conserver un capital final de K^

= 1 611, les courbes en pointill? indiquent que cela se fait au prix d'une l?g?re diminution de la consommation en fin de p?riode (mais aussi, avons-nous d?j? vu, d'un surcro?t de travail).

Conclusion :

Etant donn? l'incertitude qui p?se sur la valeur de l'?lasticit?, seule une ?tude param?trique est int?ressante, ? l'issue de laquelle on choisira une ?volution acceptable.

La valeur de l'?lasticit? retenue pr?alablement semble trop forte et nous avons surtout explor? ici une zone correspondant ? de faibles diminutions de l'horaire de travail. En effet, obtenir

/ = 0,97 ou / =

0,92 en fin de p?riode, correspond ? une baisse de 3 % ou 8 % de l'horaire du

travail.

Cela n'infirme pas forc?ment la valeur estim?e pour l'ann?e initiale. En effet, on peut penser a

que l'?lasticit? en question va ?voluer au cours du temps. Il faut se rappeler que ?

repr?sente la b

variation relative de loisir qui est mise en balance avec une variation relative de 1 % de la consom

mation. Une baisse parait normale si, un certain niveau de richesse ?tant atteint, la pr?f?rence pour la consommation c?de peu ? peu le pas devant la pr?f?rence pour le loisir. Il serait int?ressant de chercher ce que l'on obtient pour une ?lasticit? de la forme :

a - = u 4- vt b

avec u = 1,37 et v < 0 auquel on donnerait diff?rentes valeurs.

Une chose nous confirme dans cette id?e. Si nous prenons une ?lasticit? assez faible et cons

tante, / va ?tre au d?part inf?rieur ? 1. Ceci n'est pas acceptable si on suppose que le taux / = 1 effectivement observ? en l'ann?e initiale (il est alors ?gal ? 1 par d?finition m?me) est en accord avec les pr?f?rences des individus ? cette ?poque en mati?re de loisir et consommation. A cet

a ?gard, la valeur

? = 1,17 est une valeur limite.

b



121

VIII - COMPARAISON AVEC LES ETUDES ANTERIEURES

Ces ?tudes ont ?t? effectu?es dans le cadre du Commissariat du Plan. D'une part, on r?solvait

des ?quations dynamiques en recherchant des ?volutions ? taux d'?pargne constant, le tout formant

un mod?le tr?s simplifi?.

D'autre part, on employait la programmation lin?aire pour traiter un mod?le d?sagr?g? en

cinq branches, donc plus complexe que le n?tre. Les comparaisons sont donc difficiles, les structures

des mod?les ?tant tr?s dissemblables.

Dans ces deux sortes de mod?les, le loisir n'intervenait pas. Diff?rentes hypoth?ses avaient

?t? faites pour obtenir de fa?on exog?ne l'?volution du nombre d'heures travaill?es. Elles con

duisaient ? prendre Lt =

35,35 = constante.

Nous allons nous replacer dans le cadre de ces hypoth?ses et montrer simplement ici que le

capital final alors retenu, ? savoir K^

= 1 154, semble beaucoup trop faible. Il suffit pour cela de

faire dans notre mod?le b = 0 et N^ =

35,35. Comme le loisir n'intervient plus dans la fonction

?conomique, nous aurons automatiquement Lt =

N^.

Nous avons trac? en trait plein l'?volution correspondant ? des taux d'?pargne et d'actuali

sation constants apr?s r?gime transitoire, et en pointill? l'?volution correspondant ? K^ = 1 154.


0,05 h

15% 14,5'

11,3%

20 28

Graphique 18



122


1500 1420

1 154

Graphique 19

On voit de suite qu'un capital final de 1 154 estinacceptable. Il correspond ? une chute tr?s

importante du taux d'?pargne et le capital s'appr?te m?me ? d?cro?tre en fin de p?riode.

Les valeurs du capital et de la consommation sont ici inf?rieures aux valeurs trouv?es pr?c? demment. C'est que prendre Lt

= 35,35

= constante, revient ? retenir une augmentation du loisir

tr?s sup?rieure ? celle que nous avions obtenue. Obtenir Lt =

35,35 en fin de p?riode (c'est-?-dire

pour t = 28) aurait en effet correspondu ? :

i 28 ? 28 _

N'

35,35

35,35e 0,007x28

= 0,83

Nous avions alors des valeurs de /28 bien plus ?lev?es.

ANNEXE : RESOLUTION NUMERIQUE EN NOUVELLE BASE

L'?tude pr?c?dente a ?t? reprise en utilisant la nouvelle base statistique adopt?e pour les travaux pr?paratoires au VIe Plan. L'ann?e initiale est alors 1965. L'ann?e terminale reste 1990.

La dur?e de l'?volution envisag?e est donc de vingt cinq ans.

On compte en francs 1965, ce qui augmente notablement les valeurs prises par les diverses variables. De plus, le capital est maintenant ?valu? diff?remment. Les param?tres de la fonction de production et le taux de d?pr?ciation sont modifi?s en cons?quence.



123

Nous avons pris pour ?volution de la population totale :

Pf =

?oePt =

48>53 e?,009t millions d'habitants

Nr, somme des temps affect?s au travail et au loisir, est :

N, =

70,4 x 52 x 16,69 xlO6 x e0'009'

= 61,1

- e?>009' milliards d'heures

et

N; =

45,6 x 48 x 16,69.106 x e?>009t = 36,53 e?>009t milliards d'heures

Pour le minimum de consommation :

M* =

coVP' = 288 e?'?09t milliards de F. 65

o? 288 repr?sente la consommation initiale.

On prend pour demande exog?ne

R, = 68 e?>05S5t milliards de F. 65

Dans la fonction de production : F = Ae?t k1~a Ia

?l = 0,72

? =

0,039 et A =

5,05, calcul? en prenant :

pour production initiale : Y0 = 425 milliards de F. 65

pour capital initial : K0 = 724 " "

Le taux de d?pr?ciation est u = 0,036

Le taux d'escompte psychologique est ? = 0,06.

Etude ? ?lasticit? constante entre loisir et consommation

Nous reprenons, pour cette ?lasticit?, la valeur 1,37 utilis?e pr?c?demment et ?tudions les

?volutions correspondant ? diverses valeurs du capital final.

Les courbes sont tr?s semblables aux pr?c?dentes. Le taux d'?pargne, le capital et la consom

mation prennent cependant des valeurs notablement sup?rieures, ? cause de la nouvelle ?valuation

du capital et du changement de francs. Les courbes se diversifient un peu plus t?t, par suite de

la l?g?re diminution du taux d'escompte psychologique et de la moindre valeur de l'horizon T.

Le r?gime d'?quilibre correspond ? L = 3 800 milliards.



124


l

1

0,95

0,90

Evolution du taux d'?pargne

7*

Kf = 4 320

Evolution du taux d'actualisation

Kf = 3 800 0,985

0,905

10 20 25 t

Graphique 20

Graphique 21

18,5 %

11,8%

10,6 %

Graphique 22



125


4 000

3 000

2 000

1000

4 320

3 800

2110

1440 1390 1 365

Graphique 23



126

Variation de l'?volution optimale en fonction de l'importance accord?e au loisir

Evolution o? la dur?e du travail est exog?ne

On d?termine d'abord l'?volution correspondant ? la r?duction de dur?e du travail la plus couramment retenue lors des travaux pr?paratoires du VIe Plan (41 heures de travail hebdoma

daires et 5 semaines de cong?s pay?s en 1985).

Ceci conduit ? un nombre d'heures travaill?es qui est :

L, =

36,53 e?>0021t

Cette variable est alors prise de fa?on exog?ne. Le mod?le ne proc?de plus par lui-m?me ? l'arbi

trage entre loisir et consommation (on fait b = 0).

Afin de permettre les comparaisons on a fait figurer :

L 36 53e?>0027i / =-_! =

' = ?-0,0063*

N; 36,53 e0'009'

L'?volution r?guli?re (taux d'?pargne et d'actualisation constants apr?s r?gime transitoire) cor

respondant ? cette hypoth?se est trac?e en pointill?s.

On retrouve alors exactement les caract?ristiques de l'esquisse C des travaux pr?paratoires au Plan. Celle-ci pr?voit une croissance annuelle de 6 % pour la production, de 6 % pour la con sommation et de 6,8 % pour les investissements productifs.

Nous trouvons ici une production finale (pour 1990) de Y^

= 1830, une consommation

finale de 1 240, des investissements productifs ?gaux ? 330. Tout ceci correspond ? des taux de croissance annuels d'exactement 6 %, 6 % et 6,5 %.

Trajectoires ? ?lasticit? loisir-consommation consommation constante

On consid?re les ?volutions r?guli?res correspondant ? des ?lasticit?s ?gales ? 1,17 et 1,37. Prendre un nombre sup?rieur ? 1,37 n'entra?nerait aucune modification sensible, puisqu'? partir de ce nombre le taux d'activit? reste pratiquement ?gal ? 1.

La baisse du taux d'activit? est ici bien moins forte que dans l'?volution pr?c?dente, ce qui am?ne ? des valeurs plus fortes du capital et de la consommation.

a Par exemple, l'?volution obtenue pour

? = 1,37, qui correspond ? une d?croissance ? peu

b

pr?s n?gligeable de l'horaire de travail (1,5 % en 25 ans), permet par contre une croissance an nuelle de la consommation de 6,7 %. L'esquisse C se contentait de 6 % mais aboutissait ? une baisse de 15 % de l'horaire de travail en vingt-cinq ans.

Evolution ? ?lasticit? d?croissante

Comme nous venons de le voir, l'hypoth?se d'?lasticit? constante n'est pas tr?s acceptable. Elle ne permet pas de retrouver ici une d?croissance du taux d'activit? conforme ? celle de l'esquisse

a C. En prenant par contre une ?lasticit?

? = 1,3

- 0,013 r, nous avons pu retrouver, avec une

b

pr?cision tr?s satisfaisante, cette ?volution du taux d'activit?. La courbe obtenue est trac?e en

points et tirets, qui approche la courbe en pointill? obtenue en prenant Lt exog?ne.



127

En prenant une telle ?lasticit?, le mod?le permet de retrouver les caract?ristiques de l'esquisse C, y compris l'?volution de la dur?e du travail. Les diff?rences avec l'?volution obtenue en se donnant Lt de fa?on exog?ne (courbes en pointill?) sont en effet insignifiantes. Les courbes de taux d'?pargne et d'actualisation, de consommation et de capital, sont donc confondues avec les courbes pointill?es.

Notons aussi que le mod?le associe ? cette esquisse des valeurs satisfaisantes des taux d'?pargne et d'actualisation (18% et 11 %).


0,85

10 20 25

0,985

0,925

0,854 -~ t

Graphique 24


16,3%

14,2%

12,9% 12,5% 11,8%

11,1%

Graphique 25



128

3000 J

= 1,37

b

= 1,37

/ esquisse G

1,17.

esquisse C

10 ?i?

20

3800

3570 3510

1440

1330 1240

25 t



129

CONCLUSION

L'?tude math?matique d'un mod?le comportant une variable d'?tat et deux variables de

commande a pu ?tre effectu?e.

Diff?rentes politiques ont ?t? d?crites, que commandent les valeurs des utilit?s marginales de

la consommation et du loisir et, d'autre part, le prix du capital. Ces r?sultats de th?orie

?conomique sont obtenus sous des hypoth?ses assez large ne faisant intervenir que les signes des

d?riv?es des diff?rentes fonctions.

Comme aucune m?thode, ? notre connaissance, ne permet de traiter de tels probl?mes non-lin?aires (et nous avons ici de surcro?t une contrainte portant sur la variable d'?tat), une

m?thode originale issue de la discussion math?matique a ?t? mise au point, que D. Badellon

exposera par ailleurs.

La r?solution num?rique nous a permis d'?tudier l'influence de la valeur attribu?e au capital final sur l'?volution optimale. Le choix d'un bon capital final en r?sulte de fa?on tr?s ?vidente.

On obtient ainsi des trajectoires optimales assez r?guli?res pour repr?senter des ?volutions

?conomiques acceptables, d'autant que le r?gime initial peut ?tre adouci ? volont?, gr?ce au jeu de la contrainte de consommation minimale.

On a aussi cherch? quelle pouvait ?tre la forme d'une fonction objectif o? figure le loisir.

Une somme pond?r?e de logarithmes semble acceptable ? condition de prendre une ?lasticit?

d?croissante entre loisir et consommation. On a ainsi retrouv? tr?s exactement les caract?ristiques de l'esquisse C du Plan ? laquelle on a pu associer des valeurs satisfaisantes du taux d'?pargne et

du taux d'actualisation. Le mod?le permet une description pr?cise de celle-ci.

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- Formulation et donn?es du mod?le ? long terme de l'?conomie fran?aise.

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Documents

Un modèle de croissance a deux variables de commande: Arbitrage entre loisir et consommation