Un Théorème de Finitude pour les Morphismesq-Convexes

Un Th~'or~me de Finitude pour les Morphismes q-Convexes

par PIERRE SIEGFRIED

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O. Introduction

Un th6or6me classique de Cartan-Serre (1953) affirme que si X est un espace analytique compact et ~ un faisceau coh6rent sur X, alors les cohomologies H n (X, ~-) sont de dimension finie (sur C) pour tout n~>0.

En 1960, Grauert a d~montr6 [4] une forme relative de ce th6or~me qui s'~nonce de la mani6re suivante:

Si rc:X~S est un morphisme propre d'espaces analytiques et ~" un faisceau coh6rent sur X, alors les faisceaux images-directes RnTr.~ sont des faisceaux coh6rents sur S. (Le th6or6me de Cartan-Serre n'est autre que le cas particulier o~ S est r~duit ~t un point).

Andreotti-Grauert ont obtenu en 1962 [2] des th6or~mes de finitude pour une classe d'espaces non-compacts, les espaces q-convexes. Plus pr6cis6ment, si ~" est un faisceau coh6rent sur un espace q-convexe X, alors les eohomologies H ~ (X, ~ ' ) sont de dimension finie pour n/> q + 1.

Pour g6n6raliser ces th6or~mes au cas relatif, nous reprenons la d6finition des morphismes q-convexes n : X ~ S d'espaces analytiques introduite par Knorr [7]. Cette d6finition implique la q-eonvexit6 des fibres de Ir et une propri6t~ de continuit6 de ces fibres. Pour les morphismes q-convexes, nous d6montrons l'analogue du th6or6me de Grauert. Plus pr~cis6ment:

Si z r :X~S est un morphisme q-convexe et ~" un faisceau coherent sur X, alors les faisceaux images-directes RnTr.~ - sont coh6rents pour n I> q + 1.

Nous d6montrerons ~galement que pour les ouverts de Stein S ' = S e t n i> q + 1, les Hn(rc -1 (S'), o~-) sont des espaces s~par6s (done Fr~chet) et que les sections de Rnrr.o ~- au-dessus de S' sont pr6cis6ment les 616merits de cet espace de cohomologie. Ces r6sultats sont annonc6s dans [12].

Des cas particuliers de ce th6or6me ont 6t6 d6montr~s par Knorr [7], Knorr- Schneider [8] et Siu [13], [14].

La d6monstration de Grauert de son th6or6me central est longue et difficile. Des d6monstrations plus simples ont 6t6 trouv6es par Forster-Knorr [3], Kiehl-Verdier [6] et Houzel. (Elles sont toutes bas6es sur des id6es de Malgrange et Grothendieck). Tandis que les d6monstrations du th6or6me de l'image directe pour les morphismes q-convexes d6j~ connues sont calqu6es sur celle de Grauert, la n6tre utilise les m6- thodes de Forster-Knorr. L'adaptation de cette d6monstration au cas q-convexe fait intervenir plusieurs ditticult6s techniques, mais la diff6rence essentielle consiste ~t

418 Pm~tR~ S ~ I ~ D

obtenir un th6or6me d'approximation de cocycles (du type de Runge) int6ressant en soi. Remarquons en passant que ce r6sultat n'a pas d'analogue dans le cas propre.

J'ai le grand plaisir de remercier ici Otto Forster de son aide pr6cieuse, ses conseils constants et son amiti6. Je remercie 6galement Knut Knorr de nombreuses conversa- tions.

I, M O R P H I S M E S q-CONVEXES

Dans ce chapitre, nous g6n6ralisons les th6or6mes d'6puisement pour les espaces q-convexes d'Andreotti-Grauert (cf. I-2]) au cas des espaces relatifs. Un premier r6sultat est d6montr6 dans (1.13). Afin d'obtenir un th6or6me plus pr6cis (th6or6me (I.20)), nous devons imposer l'hypoth6se (voir (I.16)) que certains groupes de cohomologie sont des espaces s6par6s (done Fr6chet). Nous d6montrons 6galement (voir (I.17)) un th6or6me d'approximation du type th6or6me de Runge. A l'aide des techniques d6velopp6es dans les chapitres suivants, nous montrerons dans (IV.6) que cette hypoth6se de s~paration d~coule du th~or~me (1.13).

1. Recouvrement standards

Soit (X, Cx) un espace analytique complexe d6nombrable ~ l'infini (non n6ces- sairement r6duit).

(I.1) D]~FINITION. Une famille ~ = (U~)~ I est un recouvrement standard de X si les Us sont des ouverts de Stein de X qui forment une base d6nombrable de la topologie de X.

Pour un Cx-module coh6rent ~' , les espaces vectoriels C ~ (q/, ~-) (resp. Z ~ (~', ~-)) des cochaines (resp. cocycles) altern6s sont munis naturellement d'une structure d'espace de Fr6chet. En vertu du th6or6me de Leray sur les recouvrements acycliques, on a un isomorphisme canonique

H.(x,

et la topologie induite sur H n (X, ~-) (qui n'est pas s6par6e en g6n6ral) ne d6pend pas du choix de r [9]). Pour un sous espace ouvert YcX, ~ r = {U~q/[ U c Y} est un recouvrement standard de Y.

(I.2) Remarques. 1) Pour ~eC' (q/ r , ~") on d6finit ~eC~(r ~-), l'extension par z6ro de ~, de la mani6re suivante:

~' _J~o...~, si ( io , . . . , i , ) eNerfadr o...~.- ~0 sinon

Un th6or~me de finitude pour les morphismes q-convexes 419

la restriction ~l Y= ~ l q / r est alors r 2) Soit a ' : K ' ~ L " un morphisme de complexes. Si pour un n, o ~-1 et

a*:H ~ ( K ' ) ~ H ~ (L') sont surjectifs, alors a ~ J Z ~ ( K ' ) ~ Z ~ (L') est surjectif. En particulier, si ~' et ~* sont deux recouvrement standards de X, ~ * c ~ , la restriction Z ~ (q/, ~ ' ) ~ Z ~ (q/*, ~-) est surjectif.

3) Soit Y ~ X un ouvert; alors la restriction H*(X, ar)--.H~(Y, ~ ) est d'image dense si et seulement si Z" (~', S t ) ~ Z ~ (q/r, ~ ' ) est d'image dense pour un recouvrement standard q /de X (et par cons6quent pour tout recouvrement standard de X).

La d6monstration de la proposition suivante, qui est de nature topologique, est facile.

(I.3) PROPOSITION. Soit all un recouvrement standard de X; V, W c X des ouverts, X= V u W. Alors il existe un recouvrement standard ql*=all de X tel que:

Nerf~//* = N e r f ~ , u Nerfq/~.

2. Morphismes q-eonvexes; th~or~mes d'~puisements en degr~ > q + 1

(1.4) DI~FINITION. Soit f 2cC Nun ouvert et zl ..... zN les coordonn6es canoniques de C N. Une fonction ~p:CN ~ R de classe c~,o est strictement q-convexe si pour tout aef2, la forme de Levi

~92~p L , (a) = ~< s :---:-_ (a) dz,|

1 ~i, j ~ N OZiOg j

a au moins N - q valeurs propres positives.

(1.5) DEFINITION. Soit X un espace analytique. Une fonction r est strictement q-convexe si pour tout aeX, il existe une carte (U, ~k, I2) (o~ U c X est un voisinage ouvert de a, f 2 c C N un ouvert et ~b: U ~ f 2 un plongement ferm6) et une fonction @: I2 ~ R strictement q-convexe telle que tp [ U= @ o ~.

On montre que cette d6finition est ind6pendente du choix de la carte [1"1. Les fonctions ~p:X~ R de classe c~,o sont d6finies de mani~re analogue.

(1.6) D]~FINITION. Soit n:X--, S u n morphisme d'espaces analytiques, nes t un morphisme q-convexe (resp. q-complet) s'il existe une fonction q~:X~ R et un yER tels que:

1) l{x sl ~ ( x ) > y } soit strictement q-convexe (resp. tp soit strictement q- convexe)

2) pour tout ceR, ~ [ {xeX[ q~(x)~<c} soit propre.

420 PmRRE SIEGFRIED

La fonction q~ est appel6e fonction d'6puisement, ~ la constante exceptionelle. (1.7) Remarques. 1) Si S est un point et r c : X ~ S q-convexe (resp. q-complet)

alors X est strictement (q + 1)-convexe (resp. (q + 1)-complet) au sens d'Andreotti- Grauert [2]. Nous appellerons ces espaces q-convexes (resp. q-complets).

2) Les fibres d'un morphisme q-convexe (resp. q-complet) sont des espaces q-convexes (resp. q-complets). La r6ciproque est visiblement fausse (la projection C 2 - {0} ---r C n'est pas 0-convexe).

A partir de maintenant, nous supposerons toujours que S est d6nombrable l'infini (lorsque S est Stein par exemple). Dans ce cas, l'espace Xest aussi d6nombrable /t l'infini.

(1.8) Notations. Soit ~: X-o S u n morphisme q-convexe, ~0 une fonction d'6puise- merit et q /un recouvrement standard de X. Posons, pour S ' = S e t ce R:

I s

%(s')=

(I.9) LEMME. Soit X un espace de Stein, q~:X--+R + une fonction strictement q-convexe ~ valeurs positives, o~ un Ox-module cohdrent et ~ un recouvrement standard deX.

Soit c~R; alors i) X~ est q-complet, en particulier

H " ( X c , ~ ) = O n>~q+l

ii) l'image par la restriction

Z q (all, a~) - . Z ~ ( % , ~ )

est dense. Ddmonstration. Soit (0:X-oR une fonction d'6puisement strictement 0-convexe

(une telle fonction existe vu qu'un espace de Stein est 0-complet, cf. [10]), et on peut supposer ~p ~t valeurs positives. La fonction ~ = ~p + (c-~0) -1 est alors une fonction d'6puisement strictement q-convexe de Xc= {~p <c} d'ofa i) (cf. [2]).

Lorsque ~p est propre, donc une fonction d'6puisement de X, l'affirmation ii) n'est autre que le th6or6me 12 p. 248 de [2]. Pour d6montrer le cas g6n6ral, il suffit (cf. (I.2.3)) de montrer que l'image par la restriction Z ~ (q/, 3 r ) ~ Z q (q/*, ~-) est dense, ofl q/* est le recouvrement de X~ d~fini par q/*= { U e ~ [ U�9

Pour cela, soit K = X cun compact; pour r/> 0 assez petit et c~ ~R convenablement choisi, l'ouvert Y= {xeX[ rp(x)+r/~b (x)<c~} jouit de la propri6t6 K = Y�9

Comme q~ +r/~, est une fonction d'6puisement de X strictement q-convexe et que q/r = q/~ on d6duit ii).


Soit E un espace vectoriel localement convexe; l'espace s6par6 associ6 E~p est l'espace quotient de E par l'intersection des noyaux de routes les semi-normes continues sur E.

(I.10) LEMME. Soit X un espace analytique, ~" un d)x-module cohdrent et q/un recouvrement standard de X. Soient Xo, Y c X des ouverts tels que X= Xo • Y. Suppo- sons que:

1) H~+~ (Y, ~-)- -0 2) Hq+a(Xoc~ Y, ~ ' ) = 0 3) L'image par la restriction Zq(q/r, ~ ) ~ Z~(~xo~r, j r ) est dense. Alors, la restriction

H a+l (X, ~-)sep--) H q+l (Xo, ~)sep

est injective. Ddmonstration. I1 faut montrer que si ~eZ q+ 1 (og, o~-) tel que ~ I Xo E~ a+ 1 (~Xo, #v),

alors ~E/~ q+l (ok', ~ ) , o/1/~q+a est l'adh6rence de 6C q dans Z a+a (o~ Cq+l). On peut supposer que ~ v6rifie la propri6t6:

Nerfq /= Nerf~//Xo w Nerfq/r (*);

en effet, il existe, par (I.3), q/* c ~ ' qui v6rifie cette propri6t6, et l'hypoth6se 3) est satisfaite pour ~g* car Z q (q/Xo~ r, ~ - ) ~ Z~ (q/*o~ r, ~ ' ) est surjectif par (I.2.2).

Comme ~ [ Xo~.Bq+l(~/xo, ~-), il existe une suite (tlv)=Cq(qlXo, ~ ) telle que ~ IX o et en vertu de 1), il existe (eCq(q/r, ~-) tel que 6 ( = ~ I Y" On a donc

~(~lXo~r-r dans Z~+~(qgxo~r,,~)

Par 2), l 'homomorphisme

~: c~(~o~,, ~)-~ z~+~ (~xo~, ~)

est surjectif et il existe doric (th6or6me de Banach) une suite (fl~)cC~(~Xo~r, ~-) telle que

6 ~ = 6 ( r l ~ [ X o c ~ Y - ~ l X o n Y ) et fl'--*0.

Soit

:=~" I Xo ~ Y - ~ I Xo ~ r - f l v ~ z ~ ( ~ o ~ , , ~-);

par 3.), il existe (~7*)=Zq(Ok'r, ~ ' ) telle que

~V l Xon Y-: - - ,O

4 2 2 I'mRRE SIEGFRIED

Soit f l ' e C q ( ~ / r , ~ ) l'extension par z6ro de fl~ (cf. (I.2.1)). Posons, pour (io ..... i~)eNerfr (compte tenu de ( , ) )

Stho f~ si (i o .. . . . iq)eNerfq/xo ~'~~162 sinon "

En utilisant la propri&6 (,), on v6rifie facilement que

Soit ~ : X ~ S un morphisme q-convexe, ~p:X~ R une fonction d'6puisement de constante exceptionnelle ~, ~" un 0x-module coh6rent et ~/un recouvrement standard.

(I.11) LEMME. Soit S ' ~ S un ouvert de Stein et ceR, c>% Alors il existe une famille finie (UI)I<.~<.N d'ouverts de Stein de {xeX l q~(x)> v} et Co>0 tels que pour tout e, O <~ e <<. %, il existe des ouverts Xk C X, O ~ k <~ N, avec les propridt~s:

1) Pour tout k, O <<.k <<.N, il existe une fonction d'dpuisement ~k : X ~ R de constante exceptionnelle ~ telle que: Xk= {xeX [ ~kk(X)< C).

2) a Xk+I (S')=Xk(S')U(Xk+I (S ' )n Uk+x (S')), O<~k<.N-1. 9) xo(s')=Xo(S')=x, (s')=...=xN(s')=xc+,(s').

3) a) H"(Xk(S')n U,(S'), ~- )=0 , n>>.q + l, O<<.i, k <~N. 9) L'image par la restriction

est dense, 0 <~ k <~ N - 1. Ddmonstration. D6signons par

X ~= {x~X I ~,(x)> ?) Ao= { ~ x l ~ ( ~ ) = ~}.

Alors A~ n X(S') est compact et il existe un recouvrement fini de A~ n X(S' ) par

des ouverts de Stein U~=X ~, 1 <.i<.N. Soit v � 9 1 us un voisinage de A~nX(S ' ) dans X. II existe r/> 0 tel que

X~(S')w V(S')=Xc+,(S')

Soit ~ : X ~ R, 1 <~i<.N des fonctions cg~ avec les propri6t6s: a) supp (~t)c Ul l<~i~N b) ~i>~0 et ~ = l ~ ( x ) = l , Vx~V. Fixons %, 0 < % ~<q, tel que pour tout ,, 0~<~<%, les fonctions

k

q~-* ~ ~i, l<~k<~N i = l

soient strictement q-convexes.

Un th6or~me de finitude pour les morphismes q-eonvexes 423

Posons, pour e, O~<8<eo

k

~kk=q ~ -e ~ ~t, l<<.k<~N, i = 1

~,o=~O, x~={x~Xl~(x)<c}

d'oh 1); l'affirmation 2) r6sulte des conditions impos6es aux ~i. 3) est une cons6quence du Lemme (I.9).

(1.12) PROPOSITION. Soit S ' ~ S un ouvert de Stein et cER, ?<c. Ators, il existe eo > 0 tel que pour tout c', c <<. c' <~ c + Co, on ait

1) H"(Xr ~ r ) + H " ( X r ~ ) est un isomorphisme en degr~ n > q + 1 ; un ~pimorphisme en degr~ n = q + 1

2) H ~+I (Xc, (S'), ~)s~p --) Hq+1 (Xr ~),~p est un isomorphisme.

D~monstration. Soient Co, (Ui)I.<i.<N comme dans le lemme pr6c6dent. La suite des Xk du lemme v6rifie la propri&6 2, a):

x,+1 (s ' )=x, (s ' )~ (x~+1 (s ' )n u,+1 (s'))

Appliquons la suite exacte de Mayer-Vietoris ([2], p. 236), (en posant X k = X k (S'), u, = v, (s')):

H '-~ (X~ V~+I, 5)-~ n ' (x~+. ~)--, H'(X~, ~)eH'(X~+I c~ V~+I, ~ ) -~ H*(X~ U~+,, ~ )

Par (I. 1 1.3.a), H ~ (Xk+ 5, ~ ' ) ~ H~ (X~, #-) est surjective (bijective) si 11> q + 1 (l> q + 1). Par induction on obtient alors 1). Pour 2) on applique (I.10).

(1.13) THI~OR~ME. Soit 7 t : X ~ S un morphisme q-convexe, r une fonction d'~puisement de constante exceptionnelle ~e t ~ un d)x-module cohdrent. Soit S ' ~ S un ouvert de Stein et c, c' ~R, 7<c<c' . Alors les restrictions

1) H"(Xc.(S ' ) , ~ ) - ~ 21"(Xc(S'), ~ ) 2t" (X(S ' ) , ~ ) -* H" (Xc (S') , ~ )

sont des isomorphismes en degr~ n > q + 1 ; des ~pimorphismes en degr~ n = q + 1.

2) m +1 (X<(S') , ~ ) ~ , -~ 21,+1 (X~(S'), ~ ) ~ 214+1 ( x ( s ' ) , ~ ) ~ - ~ 214+1 (x,(s'), ~ ) ~

sont des isomorphismes. Pour la d6monstration de ce th6or~me, nous avons besoin d'une proposition qui

r6sulte facilement de (I.2.2):

424 PIERRE SIEGFRIED

(1.14) PROPOSITION. Soit X un espace analytique, (Xi)ieN une suite d'ouverts co X de X,X~+ I ~ Xi, U i = t X i = et soit ~ un Ox-module cohdrent. Si pour tout ieN,

H" (Xi+l, ~ ' ) ~ H"(Xi, ~ ') est surjectif, alors, pour tout ieN, H"(X, ~ ) ~ H"(Xi, ~ ) est surjectif.

Ddmonstration du thdorkme. Posons: Xc = Xc (S'), q/c = q/c (S '). a) D6montrons d'abord que les homomorphismes de 1) sont surjectifs; il suffit

pour cela de montrer que s i c > ~, et n i> q + 1, H" (X, ~ ' ) ~ H" (X~, ~ ' ) est surjectif. Pour net c fix6s, consid6rons la famille ~r des sous-ensembles A c I-c, oo] qui v6rifient les propri6t6s:

1) ceA 2) si a, beA et a<b, alors H"(Xb, ~ ) ~ H"(X,, ~ ) est surjectif.

d est ordonn6 inductif et contient donc un 616merit maximal Ao; posons ~=supAo (~< oo). Alors ~eAo car il existe une suite (ak)cA o qui converge vers ~ et on applique (1.14). Si on avait ~< oo, alors A o u {~ +e) serait un 616ment de ~r pour ~ assez petit par (I.12) et A 0 ne serait pas maximal, done ~= oo.

b) D6montrons que les homomorphismes de 1) sont injectifs pour n>q+ 1; il suffit pour cela de montrer que sic > ~ et n > q + 1, H" (X, ~ ' ) ~ H" (X,, ~ ) est injectif. Pour c et n fix6s, consid6rons l'ensemble C= I-c, oo] des c' tels que H" (X,,, o~-)

H" (X,, ~-) soit injectif. Soit ~ = sup C et montrons que ~ e C. Soit (c~)~ C une suite croissante qui converge vers ~. Soit q/un recouvrement standard de Xet ~ eZ" (q/~, ~-). Alors, pour tout i, ~ ] Xc, = fir/i, r/~ e C"- ~ (q/c,, ~-)- Par (I.2.2), on peut choisir les r/i de telle mani~re que r/~+~ I X c,= r/i; d'oh ~=~Sr/. Alors ~= ~ par (1.12).

c) D6monstration de 2). Compte tenu de la premiere partie du th6or~me, il suflit de montrer que H ~+~ (X, ~')~p ~ H ~+l (X,, ~')~p est injectif. Soit C ~ I-c, oo] l'ensemble des c' tels que H~+~(X,,, ~)~p- - .H q+~ (Xc, o~')~p soit injectif; soit ~=supC. Montrons que ~eC; soit (ci)~C une suite croissante qui converge vers ~ et ~ e Z ~+~ (q/~, ~ ' ) tels que

~ [ Xc(S')e/~+~ (q/c, ~-). Alors r162 ~ ) .

Soit done (r/~)~N = C~ (q/c,, ~ ' ) tel que 5r/~' ~ ~ s iv ~ oo ; en vertu de (I.2.1), on peut supposer r/~'eC~+~(~ ~-). En appliquant le proc6d6 diagonal ~t la suite double (r/~'),~N, i~N, on en d6duit que ~e/~ ~+~ (q/~, ~ ) . Compte tenu de (1.12.2) on voit que 0~= O0.

(1.15) COROLLAIRE. Avec la condition suppl~mentaire aux hypothbses du th~- orbme (1.14): le morphisme n : X ~ S est q-complet, on a

n-(x(s'),

p o u r n>q+l e t c e R .

Un th6or~me de finitude pour les morphismes q-convexes

3. Th6or6mes fl'6puisement en degr6 q + 1

425

Soit rc :X~ S u n morphisme q convexe; nous dirons que rc satisfait ~t l'hypoth6se (s6p) si la propri6t6 suivante est v6rifi6e:

(1.16) HYPOTHESE (s6p). Quels que soient une fonction d'~puisement tp de constante exceptionnelle ~=~(q~), S ' � 9 un ouvert de Stein et ceR, y<c, l'espace H~+ 1 ( X~ ( S ') , ~ ) est sdpard pour tout d)s-module coherent ~ (c'est donc un espace de Frdchet).

(1.16) est 6quivalent ~t:

B ~§ ( ~ ( s ' ) , ~ - ) ~ z ~+~ (~c(s') , ~).

est un sous espace ferm6, r 6tant un recouvrement standard arbitraire de X. Nous montrerons au chapitre IV que tout morphisme q-convexe v6rifie l'hypoth6se

(s6p).

(1.17) THI~OREME. Soit rc : X ~ S un morphisme q-convexe qui vdrifie l'hypothbse (s6p) et q~ une Jbnction d'dpuisement de constante exceptionnelle y. Soit S ' r un ouvert de Stein; alors, pour c, c' e R, y < c < c',

z ~ ( ~ , ( s ' ) , ~)-, z*(~(s'), ~) z~(~(s'), ~)-, z~(~(s'), ~)

sont d'image dense (o~ ~ est un recouvrement standard de X). La d6monstration de ce th6or6me, qui est analogue ~t la partie a) de la d~monstration

de (I.13), d6coule des deux lemmes suivants:

(1.18) LEMME. Supposons que l'hypothkse (s6p) soit v~rifi~e. Soit S ' ~ S un ouvert de Stein et ceR, y<c. Alors il existe eo>0 tel que pour tout c' eR, c<c ' <~eo,

z~(~c,(s'), ~)-+ z~(~c(s'), ~)

soit d'image dense.

(1.19) LEMME. (Principe d'~puisement de Mittag-Leffler). Soit (Xi, Q~)~eN un systOme projectif d'espaces mdtriques complets tel que Q~:Xt+ 1 ~ X~ soit d'image dense. Alors, pour tout ioEN, la projection

li+_m Xi ~ Xio

est d'image dense. En particulier, si pour un io, Xio#O, alors l i m X ~ 0 . 4"--

4 2 6 I'IERRE $1F~FRIED

Le lemme (I. 19) est d6montr6 dans [2], page 246. Ddmonstration de (1.18). D6finissons eo comme dans (I.11) et introduisons les

notations

x~=x~(s'), u,= u,(s'), ~=~(s ' ) .

(Xk (S'), Ui (S') comme dans (I.11)). Par induction, il suffit de montrer que

z~(r247162 O<~k<~N-1

est d' image dense. Compte tenu de (I.2.3) et (1.3), on peut supposer que

Nerf q/x~ +, = Nerf q/xk u NerfaCx~ + ~,~ v~ + ,. (*)

Soit ~eZ~(q/x~, J ' ) ; en vertu de (I.11) il existe (#~)~r~Z~(qlx~+~v~+,, ~ ) tel que

q~ l x ~ u~+,--,r I x~n u~+~.

Posons (compte tenu de ( .)) , pour (io . . . . . i~)eNerf~xk+,

v (~io i~ si (io,...,iq)eNerfqlx k ~ h o . . . i , = ~ v '" sinon. s ,.* iq

Alors

6rt~oO dans Bq+l(~x~§ )

et comme

a: c . (~x .+ , . ~ ) -~ B "+' (%,~+,, ~ )

est un morphisme surjectif d'espaces de Fr6chet, il existe (y~)= C q (~'x~ +,, ~ ' ) tel que y ' ~ 0 , 67~=~r/~. Alors rl~--y'eZ~(allx~§ .~) et r / ' - - y ' ~ ~.

(1.20) THI~OREME. Soit zc :X~S un morphisme q-convexe, ~p une fonction d'dpuisement de constante exceptionnelle y, ~ un Ox-module coherent et supposons que l'hypothbse (s6p) soit v~rifi~e. Alors, pour tout ouvert de Stein S ' �9 on a:

1) H ~+1 (X(S'), ~r) est s~par~ 2) pour c, e'eR, y<c<c',

H ,+~ (x~,(s'), : ) - ~ H '+~ (x~(s'), ~ ) H '+~ (X(S'), ~ar)~ H,+~ (X~(S'), ~')

sont des isomorphismes.

Un th~,or~me de finitude pour les morphismes q-convexes 427

DJmonstration. Par (I. 13.2) on a: 1 ) =, 2). Pour prouver 1), il suffit de montrer que que B q+~ (all(S'), ~ ) c Z q+l (ql(S') , ~ ) est un sous-espace ferm6 pour un recouvre- merit standard q/ de X. Soit (c~)cR une suite croissante non born6e et ~eB q+l x (ad(S'), ~ ') ; en vertu de (s6p) on a:

I xc,=a ,

Compte tenu de (I.17), on peut appliquer (I.19) au syst~me projectif

+ (s'),

(1.21) COROLLAIRE. Avec la condition suppl6mentaire aux hypothbses du thdorkme (1.20): q~ est q-complet, on a:

H n ( x ( s ' ) , ~ ' ) = H ' ( X c ( S ' ) , # - ) = 0

pour n>/q + 1 et ceR.

II. RECOUVREMENTS ET COMPLEXES ASSOCII~S

Ce chapitre est d6stin6 ~t l'6tude du complexe image directe d'un morphisme q-convexe z~ :X~S pour un faisceau coh6rent ~" sur X. Pour cela, on compare H" (Xc, ~-) ~ la cohomologie d'une famille finie de polydisques relatifs de X (famille distingu6e, voir paragraphe 1 et 2) qui recouvrent Xc. A l'aide des syst~mes de faisceaux li6s on construit au paragraphe 3 un complexe de faisceaux quasi libres dont la cohomologie est isomorphe ~t celle d6finie par la famille distingu6es (pour la d~finition des faisceaux quasi libres, voir (II. 13)). Les propri&6s de ces trois cohomologies sont 6nonc6es dans (II. 11).

Nous supposerons toujours donn6e la situation suivante: rc: X--, S est un morphisme globalement q-convexe, ~p une fonction d'6puisement de constante exceptionnelle y, ~" un r coherent.

1. Families distingu~es

Soit D ( r ) = {zeC N ] Iz~l <r}, r>0, le polydisque de rayon r. Soit U c X un ouvert et j : U ~ Sx D(1) un morphisme.

(II. 1) D]~FINITION. Le couple (U, j ) (ou U tout court) est un ouvert admissible si j e s t un plongement ferm6 tel que le diagramme suivant commute (p: S • D (1) ~ S


d6signe la projection)

U J -~ S x D ( 1 )

S

Posons, pour 0 < r ~< 1 et S ' = S

U(r, S ' ) = j -x (D(r) x S').

(11.2) LEMME. Soient 0 < r < r ' ~ < 1, x e X et V un voisinage de x. Alors il existe un ouvert admissible (U, j ) tel que

a) U= V, b) x~ U(r' , S), c) U(r, S)=O. D6monstration. Soit U un ouvert de X, x~ U= V, et tel qu'il existe un plongement

ferm6 f : U ~ D ( 1 ) avec f ( x ) = 0 . Soit r*, r < r * < r ' et Dx (1 )=C; posons

j : U ~ S x D ( 1 ) x D I ( 1 )

y ~ Qr(y) , f (y) , r*);

(U, j ) r6pond g la question. Soit 1[= (U~)~I une famille d'ouverts admissibles; nous noterons, pour 0 <r~< 1,

S' c S ,

s')=(V,(r, lu (r, S')l = U u, (r, s'). i e l

(11.3) D]~FINITION. Soient c~R , O<~i<~p, p > 0 , Co <Cl < " " <% et So c S. Une famille ~.I = (Ui)~ i e s t distingu6e pour Co .... , c v au dessus de So si 1I est une famille finie d'ouverts admissibles et s'il existe des nombres r6els rk, Rk, 1 <~ k <~p,

O<r~ <R~ < r 2 < R 2 < . . . <rp<Rp<~ 1

tels que, pour tout ouvert S ' = So, on ait

X ~ _ , ( S ' ) c I I I ( r k , S ' ) Ic lU(R~, S ' ) I c a X ( S ' ) ~ X ~ ( S ' ) , k = l .... ,p.

(11.4) PROPOSITION. Soient cteR, O<<.i<~p, e o < ' " < c p et S o r un ouvert. Alors il existe une famille ~ distingude pour c o .... , cp, au-dessus de So.

Ddmonstration. Soient RkeR, 1 <~k<~p, tels que 0<R~ < ..- < R p < 1. Consid6rons, pour tout k, la famille des ouverts admissibles U k v6rifiant les conditions:

a) u R r b) Uk(Rk-~, S ) = ~ .

Alors les uk(RR, S ) recouvrent le compact X~_I(So) (en vertu de (II.2)) donc un

U n th6or~me de finitude pour les morph i smes q-convexes

nombre fini uk(Rk, S),..., Utk~(Rk S) d'entre-eux. Pour rk<Rk Uk(rk, S) .... , Ul~(rk, S) recouvrent encore X~_~ (So). La famille

v6rifie les propri6t4s, les r k, Rk 6tant ceux d6finis darts la d6monstration.

2. Complexes associ6s

429

assez grand, les

et

C'(U(r', S'), ,~r)~C'(U(r, S'), ~')

la restriction naturelle. I1 existe un recouvrement standard q / d e X qui v6rifie les propri6t6s suivantes: d6signons par Jk l 'ensemble d'indices de qGk(So); il existe

% : J k ~ {1 .... . N}, ak: {1 ... . . N} "-*Jk

tels que

Zkotrk=id

U~(So)=U~k,(rk+l, So) k = 0 , . . . , p - 1 Ui(Rk, So)c U~ki(So) k= 1 ..... p

Pour k =0, . . . , p - 1 et S ' c So, on a

if: C'(U ( rk+ . S'), ~) -~ C'(~ck (S'), ~) .

Pour k = l .... , p e t S'cSo, o n a

a~:C" (~ck (S ' ) , ~ ) - ~ O ( a (Rk, S ' ) , ~ ) .

Pour k = 1 .... , p - 1 , le diagramme suivant est alors commutatif:

(b) r C'(U (rk+ 1, S'), ~')~C'(qlck (S ), ~')

C'(U(Rk, S'), .~)

(b)

(c)

(a)

Soit l I = (Ui)l < i~N une farnille distingu6e pour c o .... , Cp au-dessus de So (So�9 D6signons par C'(Ui(r', S'), ,~') le complexe de cochaines altern6es ~t coefficients dans ~q~', soit 6 l 'op6rateur cobord. Les C t sont des Os (S ')-modules et 6 est r lin6aire.

Pour 0 < r < r ' < 1, soit


On d6finit alors: l ) Pour rk<~r<R~, k = l ..... p

C" (1I (r, S ' ) , o~) --. C" (~ck- ~ (S'), o~) (1)

le compos~ de (a) et (b). 2) Pour r <~ Rk, k = 1,..., p

C'(~ck(S ' ) , ~ ) - * C'(U (r, S'), ~ ) (2)

le compos6 de (c) et (a). 3) Pour k = 1 .... , p

c. ( ~ . (s '), ~ ) -~ o (q~k_, (s'), ~ ) (3)

de la mani6re suivante: soit rk<~r<~Rk; (3) est alors le compos6

, c ' ( ~ A s ), ~) c.(a(r, s'), ~)~c.(r ~) ;

cette d6finition 6tant ind6pendante du choix de r. (II.5) Remarques. 1) Si rk<<.r<~Rk, rk_l<~r'<~Rk_l, le compos6

, (_322) , c'(U(r, s'), ~)~c'(~k_,(s ), ,~) c'(r~(r, s'), ,~)

est le morphisme de restriction (a). 2) Le morphisme (3) n'est pas le morphisme de restriction

~: c.(~c~(s'), ~)-~c.(~c~_, (s'), a:)

induit par q/~_, ( S ' ) c q/~k (S') . Mais les homomorphismes induits en cohomologie

0", (3)* :Hi (C" (ql,k (S '), ~') ~ H' (C" (allck_t (S '), .~))

sont les m~mes ([5], Lemma 2.6.1). Soient S', S" des ouverts de S, S"=S'~So, on a des morphismes de restriction

C.(q~AS'), ~")__, C.(~% (S~), ~ ) c ' (u(r , s'), a;)- , c ' (u(r , sO, ~ ) .

ces morphismes 6tant compatibles avec les morphismes d6finis ci-dessus.

3. Syst~,mes de faisceaux li~s

Nous rappelons ici des r~sultats d~crits dans I-3], o~ l 'on trouvera une d~scription d&aill6e avec d6monstrations.

Un th6or6me de finitude pour les morphismes q-convexes 431

Soit U=( (Ui , j ~ ) ) l ~ N une famille finie d'ouverts admissibles de X, j~: Ui ~ S • D~ (1). Soit

A .={ (k o . . . . . k,,) lO<ko<. . .<k , ,~N} , A= [..) A,,. n~0

Pour ~ A , S ' = S et r~< 1, on a par produit fibr6, un plongement ferm6 (au-dessus de S ' )

j~: U~(r, S ' ) ~ S ' • D~(r)

off

v~ (r, s ')= A t:, (r, S'), O~ (r)= I~ O,(~).

Pour ~, fleA, cr on a un diagramme commutatif

vp (r, s') ~ v~(r, s') tJ, lJ-

s' x z)# (r) ~ s' x o~ (r)

o~ zG# est la projection et i l'inclusion.

(11.6) D]~FINITION. Un syst6me de faisceaux li6s (ffi,, ~,#) sur (S ' x D~ (r) , rG# ), r ~< 1, S ' c S, est la donn6e de:

a) une famille ((fi~)~a de faisceaux analytiques sur S ' x D,(r) . b) une famille (~k,#), = B de morphismes de faisceaux

v6rifiant les conditions:

f f ~ = id, ~k,~ = ((n~#), Ipv# ) o~k#~.

On d6finit de mani6re 6vidente un morphisme de syst~mes de faisceaux li6s. Si ~r est un Ox-module, ~" induit un syst~me de faisceaux li6s j , ~ - : ( j , ~ ' ) ~

= (j~), ~.

(11.7) LEMME. Soit ~" un Ox-module coherent, S ' c S u n ouvert de Stein. Alors pour tout ouvert de Stein So C c S ' et r < l , il existe une rdsolution

~k_+..._+ ~X _+ ~O + j ,~_+O

4 3 2 PIERRE SIEGFRIED

sur(SoxD~(r) , zGa) ,o i t les k k = ( ~ , t~a) sont des systbmes de faisceaux li~s et les ~ des faisceaux libres de type fini sur So x D~ ( r ).

Soit ( ~ , ~k~a ) un syst6me de faisceaux li6s sur ( S ' x D~ (r), rGa); posons

C" (r, S', ~ ) = @ F (S' x D, (r), ffi~) ot~A n

et soit

f:Cn(r, S', (~)--*C"+' (r, S', (~)

d6finie de la fa~on suivante: soit ~ = (r (r, S ' , frO, alors

n + l

(br = E ( - 1 ) ' ~kaa , (Ca,) i = 0

off f l = ( k o . . . . . k . + , ) e A . + l et f l i = ( k o . . . . , fq,..., k.+~) . Si ~" est un d?x-module, on a un isomorphisme

C'(]I(r, S'), ~ ) ~ C'(r, S' , j . ~ ) . (,)

Soit ~- un d~x-module coh6rent et soient ro, So tels que que la r6solution du lemme (11.7) existe au-dessus de (So x D~(ro), n~a). Pour r<~ro et S ' c S o consid6rons le complexe double C' ( r ,S ' , ~ ' ) et soit ~ ' ( r , S ' ) le complexe simple associ6:

C~(r, S')= ~_,=, C'(r, S'), ak).

L'homomorphisme C" (r, S' , ~o) _~ C" (r, S' , j ,~ - ) d6finit un morphisme t~" (r, S ' ) -~ C" (r, S' , j , ~ ' ) d'ofi, compte tenu de ( , )

t - - ~ t z':C'(r, S ) C'( lI(r , S ), A~).

(11.8) PROPOSITION. Avec les notations introduites ci-dessus et pour r<~ro, S" = So un ouvert de Stein, on a

1) s')-.c'(U(r, est un quasi-isomorphisme (cAM. ~" induit un isomorphisme en cohomologie).

2) ~n: ~ . (r, S ') ~ C" (• (r, S'), ~ ) est surjectifpour tout n. 3) Pour tout n>/O, il existe un nombre fini de polydisques D i ( r ) c C n', l <<.i<~k,

tels que

6"(r, s ' ) = @ r(s' • D,(r), r


4. Propri~t6s ties complexes

433

(11.9) Notations.

c.(r s')=c.(vzc(s'), ~) C'(r,S')=C'(U(r,S'),~).

Nous pouvons r6sumer les r6sultats obtenus jusqu'ici de la fa~on suivante: Soit rc:X~ S un morphisme q-convexe, go une fonction d'6puisement de constante

exceptionnelle ~ et ~- un d~x-module coh6rent. Soit So �9 un ouvert et Co, c 'eR, ~<Co<C' et peN. Soient cl . . . . . cpeR, Co<C1 < ' " <%<~c'. Alors il existe

a) une famille 1I = (U,)l <. l<.N distingu6e pour Co ... . Cp au-dessus de So; b) un recouvrement standard q/ de X jouissant des propri&6s du num6ro 2); c) un complexe ~'(Rp, So) construit au num6ro 3). (Alors (~'(r, S ' ) est bien

d6fini pour r ~< Rp, S ' c So). On obtient alors pour tout ouvert S ' c So un diagramme commutatif, les morphismes 6tant ceux d6finis dans 2) et 3):

c'(~,, s')

(~'(r, S')-E~C'(r, S')

0(%_ 1, S')

c.(c~, s')

C'(r', S') ~-~ C'(r', S')

o(c,, s')

r~<~r<~Rp

(II.lO)

rl <~ r' <<.Rt

(II. 11) PROPOSITION. Soit S ' c So un ouvert de Stein. 1) Pour k, 1, O~l<<.k<~p,

H" (C" (ck, S ')) "-* H" (C" (c,, S'))

est: surjectif pour n >>. q + 1, bijectif pour n > q + 1.


2) Pour k, 1, O<~l~k<<.p, H ~+1 (C'(ck, S ' ) ) - 0~ H q+l (C'(c t, S'))-O est bijectif. 3) Pour k, O<~k<~p et r>~rk+l,

H"(C'(r, S'))--* H"(C'(ck, S'))

est surjectif pour n >I q + 1 4) Pour r, rl <~r<~Rp,

z*:H"(C~'(r, S ' ) ) ~ Hn(C'(r, S'))

est bijectif , n >i O. 5) Pour n > N(N= nombre d'ouverts de ~)

C"(r,S')=O, ~n(r,S ')=O.

6) Soit Q=dimX~,(S') (Q<oo). Les complexes

C'(c k, S'), C'(r, S'), ~'(r, S ' )

sont acycliques en degr~ > Q. D~monstration. 1 et 2) r6sultent de (I.13), de (II.5.2) et du th6or6me de de Leray

sur les recouvrement acycliques; 3) r6sulte de 1); 4) r6sulte de (II.8.1); 5) est 6vident; 6) r~sulte du th~or~me de Leray et d'un th6or~me classique ([11], Satz 2).

5. Complexes de pr~faisceaux et faisceaux quasi libres

Pour &udier les propri6t6s des faisceaux images directes R"n,~', nous introduisons les complexes de pr6faisceaux de On-modules

*'(c): v C.(c, v) U) U) (II.12)

off U= So est un ouvert (avec les mSmes notations que cidessus). Remarquons que c~n (r), ~" (r) sont m~me des faisceaux.

(11.13). D~FINITION. Les 0s-modules de la forme

@ p', l < . t ~ l

sont appel6s 0n-modules quasi libres (ou faisceaux quasi libres), o~ leN, Dj (R)= C N' est un polydisque de rayon R > 0 ind6pendant de i (N~>0, si Ni=O, Dr(R) est un point) etp~: S • Dj (R) ~ S la projection.


Etant donn6 ~ (R)= �9 P', Os x DaR), on d6finit, pour r < R, ~ ( r ) = @ p~, d~ s • Oa,) et on a un homomorphisme de restriction f l : 2 ( R ) ~ ( r ) . Nous 6tudierons au chapitre IV des propri6t6s int6ressantes des faisceaux quasi libres.

Le diagramme (II.10), transcrit en termes de pr6faisceaux, devient

e.(cp)

r + e.(co)

(II.14)

off les ~" sont des complexes de faisceaux quasi libres. (II.15) Remarque. D6signons par F(5 le faisceau associ6 ~t un pr6faisceau (5.

Alors

R"zcc,~ = H" (F~" (c)) = FH" (c~. (c)).

III. TECHNIQUES DE DI~MONSTRATION

Le but de ce chapitre est de d6montrer les affirmations A (q + I) et B (q), qui sont 6nonc6es dans (III.8) et (III.10). La d6monstration, qui suit les m6thodes de [3], utilise des techniques d'espaces de Fr6chet. On notera que la coh6rence des faisceaux R " n , 5 pour n > q + 1 (avec re: X ~ S q-convexe) d6coule d6j~t de A (q + 1).

1. Topologies

Soit (S, Os) un espace analytique et 5 un r coh6rent. Alors, pour tout ouvert S ' c S , ~ ' ( S ' ) est muni naturellement d'une structure d'espace de Fr6chet. Par semi-norme sur 5 ( S ' ) , nous entenderons toujours semi-norme continue; une semi-norme sur 0 s (S') sera de plus suppos6e multiplicative, ~ savoir q (xy) <~ q (x) q(y).

(III. 1) D]~FINITION. Soit p une semi-norme sur ~" (S); une semi-norme q sur r est adapt6e ~t p si

qofl <~p

o/1/~ : ,~-(S)~ s r (S ') d6signe la restriction.


(111.2) LEMME. Soit S ' � 9 alors il existe une semi-norme p sur ~ ( S ) telle que la famille des semi-normes sur ~ ( S ') adaptdes ~t p dkfinissent la topologie de ~" ( S ').

Soit D ( R ) c C Nun polydisque et zl ..... z N les coordonn6es canoniques de C N.

(III.3) LEMME. Tout XeOsxo(R)(S x D(R)) admet un ddveloppement unique en s~rie de Taylor

x= ~ a~ ~ a~er

et la s~rie

converge pour toute semi-norme q sur 0 s (S) et tout r < R (pour ct = (~1 .... , ctN) on pose

Les (z/R) ~ forment donc une d~ s (S)-base Fr6ch6tique de d~ s • D(R) (S x O (R)) que nous noterons ((~)~N~. Remarquons que la restriction de la base de r (S x D (R)) ~t S ' x D (R) est la base de C (S' x D (R)).

Introduisons les semi-normes (multiplicatives) sur 0 (S x D (R)):

pour x = ~ a~(~, / r \ l~ l

oh q est une semi-norme sur 0 s (S) et r < R. On v6rifie que la topologie d6finie par ces semi-normes est la topologie d'espace de Fr6chet naturelle de ~ (S x D (R)).

Soit . ~ ( R ) = E)l~<i~xpk Os• avec D~(R)cC N', un d~s-module quasi libre. Alors .L~(R) (S) est muni d'une structure d'espace de Fr6chet et il existe une Os(S )- base (r6union des bases des Os• ) que nous noterons ((~)~A, oh A = {(i, a') ] 1 <~i<<.I et a'eNN'}. Pour a=( i , ~'), soit I~1 = I~'1. Si x=(x l , . . . , x t )e e f t ( R ) (S), posons:

llxllq,= sup {llx,llq,} l ~ t ~ l

oh q est une semi-norme sur r et r<R. (111.4) Remarques. 1) Pour toute semi-norme q sur Cs(S), il existe une constante

M telle que

[ r \ l~l


2) Pour toute semi-norme q sur r et r<R, on a

q (a~)~< Ilxll~, x = E a ~

3) q(a~) II(~ll~r< ~ .

437

4) Soit S ' ~ S , r < R et fl: L7 (R) (S) ~ f f ( r ) (S ' ) la restriction. Soit p une semi- norme sur d~s(S ), q une semi-norme sur d)s(S' ) adapt6e ~tp et e<r. Alors

II/~xl[~< Ilxllp, Vx~.~(R) (S)

Soient ~ , ~ de spr6faisceaux de Cs-modules Fr6ch6tiques (c'est h dire pour tout ouvert S ' c S, ~ - ( S ' ) et (5 (S ' ) sont munis d'une structure de r (S')-module Fr6ch6- tique et les applications de restriction sont continues).

(III.5) DI~FINITION. Un morphisme ~0 :~- - , (fi est continu si ~o :~" (S ' ) ~ O (S ') est un morphisme continu de Os(S')-modules Fr6ch6tique pour tout ouvert S ' c S. Les pr6faisceaux c~ (Ck) ' cgt (r) et c~l ( r ) de (II. 12) sont des Os-modules Fr6ch6tiques et les morphismes du diagramme (11.14) sont tous continues.

La remarque suivante, qui est une cons6quence imm6diate du th6or6me de Banach, nous sera utile dans la suite.

(Ill.6) Remarque. Consid6rons le diagramme

E

F ~--~G,

E, F, G 6tant des espaces de Fr6chet, ~0, ~ des applications lin6aires continues, surjective. Soit (qi) une famille de semi-normes sur E qui d6finit la topologie. Alors, pour toute semi-norme p sur F, il existe une semi-norme qe(q~) et une constante M telles que

VxeE, 3yeF tel que ~(y)=~p(x) et p(y)<<.Mq(x).

2. Les affirmations ,4 (n) et B(n)

Soit S u n espace de Stein, 7c:X~ S u n morphisme q-convexe, ~o une fonction d'6puisement de constante exceptionnelle y e t ~- un Cx-module coh6rent.

438 r, mRV.E SmGFRmD

Soit s . �9 un ouvert de Stein et coeR, ?<Co. On peut alors effectuer les constructions indiqu6es au chapitre II : soit c ' e R , Co<C' et So un ouvert de Stein, S. �9162 Posons

Q=dimXc,(So) ( Q < oo), p=Q-q+3

et soient c 1 ... . . %, Co<C1 < " " <cv~<c'. I1 existe alors une famille ~=(Ui)l<~i<~N dis- tingu6e pour Co .... , cp au-dessus de So, un recouvrement standard q/ de X et un complexe c~. ( r ) (au-dessus de So) tels qu 'on ait un diagramme (II.14).

(111.7). Soit O, rp<O<Rp, fix6 une fois pour toutes. (Ill .8) Affirmation A (n), n/> q + 1. I1 existe un ouvert de Stein S,, S.�9 et un

complexe de d~s-modules libres de type fini

...__, 0 _ , L a " ~ ~ " + 1 .~d ..._,~ La~__, 0_ , . . .

d6tant 0s-lin6aire et continu. De plus, il existe des morphismes continus (de Os-pr6- faisceaux au-dessus de S,)

~ ' : ~ ' ' - ' ' g ' ( C k ) k = 0 .. . . . p ~ ' : ~ " ~ c ~ ' ( r ) rl~r~R p ~" : ~'a" ---~ c~" ( r ) rl~r~R p

compatibles avec les morphismes du diagramme (11.14) et tels que pour tout ouvert de Stein S ' c S,

~*: H' (~ . (S ')) -~/t' (c. (c~, S '))

soit 1) b i j e c t i f p o u r l > n et k = 0 .... , p ; 2) s u r j e c t i f p o u r l = n et k = 0 .... . p lorsque n > q + l

k = 0, 1 lorsque n = q-t- 1. Introduisons le ~<mapping cylinder>> de ~* (pour la situation A (n)):

~ ' ( r ) = ~ ' ( r ) e . z '+~

la diff6rentielle &ant d6finie par

a: oC' (c~)--, ar'+ ~ (c~) (x, y) (6x + ey, - dy)

Un th6or6me de finitude pour los morphismes q-convexes 439

et de m~me pour les autres complexes. Nous noterons

K'(Ck, S')=OK'(Ck) (S')=Cl(ck, S ' ) ~ e ' + I ( S ' ) etc.

(111.9). La propri6t6 de ~* dans A (n) est 6quivalente ~: pour tout ouvert de Stein S ' c Sn, le complexe K" (Ck, S')) est acyclique en degr6

1) l>n et k = 0 .... . p 2) l=n et k = 0 .... ,p lorsque n > q + l

k = 0, 1 lorsque n = q + 1. (III. 10) Affirmation B(n-1), q + 1 <<.n <<. Q +2. On suppose que les conditions de

l'affirmation A (n) sont remplies. Alors il existe: 1) un ouvert de Stein S'n_~, S.�9169 2) Qn_l, rs<Qn_~<R,,avecs=n-q+l si n = q + l

s = l si n = q + l 3) un morphisme d~s-lin6aire continu au-dessus de S~_ 1

(Q) -+ z n - ,

(avec 0 comme dans (III.7) et ~ff' comme ci-dessus) tel que le diagramme suivant commute

z" -+ ( 0 )

(off fl d6signe la restriction). La premi6re pattie de la d6monstration du th6or6me de l'image directe consiste ~t

prouver A (q + 1) et B (q); pour cela, nous proc~dons par induction. (III. 11) Schdma d'induction 1) A (Q + 1) est vrai 2) B ( Q + I ) est vrai 3) A(n)+B(n)=~B(n-1) n>>.q+l 4) B(n-1)=~A(n-1) n>~q+2.

L'affirmation A (Q + 1) est trivialement vraie avec ~a '=0; cela en vertu de (II.11.6). D'autre part, les complexes s de A ( n + l ) et de A(n) seront les mSmes en degr6 t> n + 1, et les complexes ~ " pour les situations A (n + 1) et A (n) seront done les m~mes en degr6 ~>n.

3. D~monstration de B(Q+ 1)

(111.12) Affirmation C (m), m~ Q + l. I1 existe i) un ouvert de Stein S', S ,~S ' r


ii) 0m, rp<Qm<Q (Q c o m m e dans (II1.7)) iii) un morphisme Os-lin6aire continu au dessus de S~,

~m :(~" (o)-~ z" (~. (e~))

tel que le diagramme suivant soit commutatif (avec/3 la restriction)

(~'~(e) ~ z" ((~.(~))

zm(~'(em))

Visiblement C (Q + 1) = B (Q + 1). D'autre part, C(m) est trivialement vrai si m > N, car c~m(r)=0 par (11.11.5). Montrons que C ( m ) ~ C ( m - 1 ) , m > Q + l . Soit S ' - 1 un ouvert de Stein, S. �9169 et Qm-1, rv<Qm-: <Qm"

(1II.13) LEMME. 1l existe un morphisme Os-linOaire continu au-dessus de S '_ I

h:(~- (o)-~ (~m- ~ (e._ 1)

tel que le diagramme suivant commute (avec fl la restriction)

zm(~?'(e))

( ~ m - 1 /t m (em-1)~Z ((~'(e.-,))

C ( m - 1) est une cons6quence imm6diate du lemme: en effet, consid6rons le diagramme (au dessus de S~,_ 1)

(~m-1 (Q) ~ ( / . (e)

et posons nm- 1 = / 3 - h o 6 .

Pour d6montrer le lemme, consid6rons le diagramme

(~m P (Q, sin)

~m-~ (Ore, S;,)& Z,~(~.(Om, S~,)

En vertu de (II.11.6), 6 est un morphisme surjectif d'espaces de Fr6chet. Soit (~)~A


la base de ~" (Q, S ' ) et p une semi-norme sur O s (S'~) qui v6rifie les conditions de (II1.2) pour S'~_I�9 Par (III.6), il existe Q*, 0<Q*<Q, une semi-norme P sur d)s(S" ), une constante M et (O~)~,t~ C ' -1 (e.,, S ' ) tels que

(~]a=~m~, ltgl,lJpem_,<~Mll~,lJPo .

Soit r/~eC m-~ (0,,-~, S) la restriction de g/~. Par (III.4.1 et 4), on a pour toute semi- norme q sur d)s(S ) adapt6e ~tp et r<O,~_~

/o*'~ I,I

) On pose

Par (III.4.2), on a q(a,)<<,(~/R)I[xllqR pour Q*<R<Q, donc ~q(a,)II~hllq, converge pour q adapt6e ~t p e t r<0, ,_ l . Alors ~ a,r/, converge vu qu'il existe suffisam- ment de semi-normes q adapt6es/t p.

4. A(n)+B(n)=~B(n-1), n>~q+l

Par B(n), on a un morphisme d~s-lin6aire continu au-dessus de S.

~.: :r z"(~'(0.))

qui jouit encore des propri6t6s de B(n) (~" d6signe ici le << mapping cylinder)> pour la situation A (n)).

Soit Q,_I, rs<Q,-l<R,, ( s = n - q + l si n > q + l , s = l si n = q + l ) e t soit S',_~ un ouvert de Stein, S,�9169

(III.14) LEMME. 1l existe un morphisme Os-lindaire continu au-dessus de S',-i

h: ~"(Q)--, ~?"- 1 (0._,)

tel que le diagramme suivant commute

z"(~.(o))

V / I p ~"-~ (Q._~)~z"(~.(~._~))


B(n-1) est une cons6quence imm6diate du lemme; en effet, consid6rons le diagramme (au-dessus de S',_ 1)

.,r (e)~ +"(e)

On pose alors

z~_l = f l - h o ~.

Pour d6montrer le lemme, soit Q*, ~,-1 <Q* <R~ (Q,_~ et s comme ci-dessus) et consid6rons le diagramme

~r s,)

z ~(~r s.)) l'

.'r (o*, s . )~ z"(~.(e*, s.))

(111.15). On a Imflorc, c lmO. On voit cela facilement en consid6rant le diagramme.

+" (o., s . ) -~ K"(o., S.)

K" (~, s.)

+" (e*, s . )-~ K n (~*, s.)

et en tenant compte du fait que K" (c~, S,) est acyclique en d6gr6 n (III.9). Consid6rons le produit fibr6:

N = K e r {~'~'(Q, S , ) ~ "-~ (~?*. S,) P - L ~ Z'(~t~'(~*, S,))}.

En vertu de (Ili.15), la projection

g , : N - ~ X o , s.)

est un morphisme surjectif d'espaces de Fr6chet.

Soit ( ~ ) ~ A la base de ~.n(Q, S~) et p une semi-norme sur ~Ps(S,) qui v6rifie les propri&6s de ( I l i .2)pour S'~_I~S,. En vertu du th~or6me de Banach appliqu6 h ~,

Un th6or~me de finitude pour les morphismes q-eonvcxes 443

il existe une semi-norme P sur 0 s (S,) et ~, 0 < ~ < Q, une constante Met ~ ~ K"- l (0", S,) tels que

Soit ~7~e K ' -1 (Q._ l, S'~_ 1) la restriction de ~ ; alors par (III.4.1 et 4), on a, pour toute semi-norme q sur @s (S'~_ 1) adapt~e ~ p e t r < Q._ 1,

On pose alors

�9 eA ~eA

Pour la convergence, voir la fin de la d~monstration de (III. 13).

5. B ( n - 1 ) = * , A ( n - 1 ) , n>~q+2

Dans ce paragraphe, nous supposerons toujours que B ( n - 1 ) est vrai,

(III,16) LEMME. 11 existe un ouvert de Stein S,_ l, S , cS~_I �9 un ~s-module .~ libre de type fini et un morphisme @s-lindaire continu au-dessus de S~_~ (au sens des prdfaisceaux)

z " -

tel que, pour tout ouvert de Stein S" c S,_

6 + ~ * : C " - ~ (c._~, S ' ) e ~ - . Z"-~ (K'(e~_ ~, S ' ) )

soit surjectif ( s = n - q + 1 eomme dans B ( n - 1 ) et 3i r" est le ~mapping eylinder)) pour la sguation A (n)).

Remarquons que ~ff"- 2 ( c , _ 2) = c r 2 (e~_ 2 ). Avant de d$montrer ce lemme, montrons comment on peut en d6duire A ( n - 1 ) . En vertu de (II. 11.1) et de propri&~s el6mentaires du ~ mapping cylinder)~, l 'homo-

morphisme

H "-1 (K'(c m S . _ , ) ) ~ H "-I (K'(c~_2, S.-1))

PIERRE SIEGFRIED

est surjectif; par (I.2.2), il enest donc de m~me de

Z " - ' ( r ' ( c ~ , S._I))-~ Z " - ' (/r S,-1)).

II existe donc un morphisme Cs-lin6aire au-dessus de S._ 1

~,:~-~z"-l(~.(~))

tel que le diagramme suivant commute

�9 l ,-in 1 ~ ( s , _ , ) - - ~ - (K.(%, s,_,)) "4"

z "-~ (K.(~,_~, s._ 1)).

O n d e f i n i t t~ 2 : ~ -~ Z n-1 (~'% (Rp)) e n r e n d a n t c o m m u t a t i f le diagramme

. z ~ z " - l (~ r . (~ ) )

Z "-1 (OU.(Rv)).

En vertu de (L2.2) et (IL8,1)

z "-1 (/~. (R~, s ._l))-~ z "-1 (K.(R~, S._l))

est surjectif; on peut done d6finir ~a:~* ~ Z"-1 ( ~ . (Rp)) de teUe mani6re que le diagramme suivant commute

6~ qh, , Zn-1 ( ,~(-,(r

| . , \ . 2 t Z "-1 (OU'(Rv)) Z -a (~U.(Rv))

Par composition avec les morphismes de (II.14), (si on d6signe par qB tous les morphismes d6finis ei-dessus), on d6finit a et d par

. ~ - ~ Z .-1 (JC. (~k))=~, - ' ( c , ) ~ " ~=(~ , - d ) : .~ -~ Z" - I ( a r . ( ~ ) ) = ~ " - 1 (~)e_~" ( , )

s163 z "-1 ( ~ " (r))m ~ " - ' (r)~)~q ~"

Lr complexe ..qo. de A ( n - 1 ) est alors dSfini par

. . . . . --, 0 & .~ - , ~ . --, .2,o, + 1 --,...

Les morphismes a" de A ( n - 1) sont ceux de A (n) en degre >1 n e t ceux qui figurent dam ( , ) en degr6 n - 1.


Pour d6montrer (III.16), consid6rons le diagramme d6duit de (II. 14):

~ ' ( c , )

~ ' ( r ) ~ 3Y"(r) r=<~r' <~r<~R~

~ . ( / ) -+ ~.(~,)

~'(~=_,)

~'(r")--,S'(~") r=-l~"~R=_,

~'(~=-~)

Posons:

~ l , -1 (r', r") = Ker{Z n-1 (o,~'(r ' ))O,~"- 2 (r") p- ~ Z"-I (Og"(r"))}

445

(avec fl la restriction) et

q~:9~ "-~ (r ', r") ~ Z "-1 (~" ( r ' ) )

la projection. Soit

,, s , ) = ~ - , ,,) M " - l ( r ' , r , ( r ' , r (S') .

(III.17). PROPOSITION. Pour tout ouvert de Stein S' ~S'~-I, on a: 1) la somme des homomorphismes

z "-~ (or s'))

1' M ~-1 (r', r", S ' ) ~ Z "-1 (.r S'))

est surjective. 2) l'homomorphisme (obtenu par composition)

Z" - ' (K ' ( r ' , S ' ) / cp (M"- I ( r ' , r " ,S ' ) )~ H"-I (K" (c=_ 2, S '))

est surjectif. La d6monstration de cette proposition est facile; il suflit de remarquer que

K'(r, S ' ) ~ K ' ( r , S') est un quasi-isomorphisme par (II.11.4) et que les homo-


morphismes

H n - t (K'(r , S ' ) ) ~ H "-1 (K'(c~_,, S ' ) ) H "-1 (K ' ( r ' , S ' ) )oH" - ' (K'(c~_ 2, S ' ) )

sont surjectifs par (ILl 1.3). Pour prouver (111.16) il suffit donc de montrer: (111.18). I1 existe un ouvert de Stein S~_1, S.~S.-t �9 un Os-module .La

libre de type fini au-dessus de S._ 1 et un morphisme Os-lindaire continu (au-dessus de S~-I)

~k:Ae ~ Zn-1 (.,~. ( r ' ) )

tel que, pour tout ouvert de Stein S ' c S._l, l 'homomorphisme

~k + ~p :.La (S ' )~ )M "-1 (r ', r", S ' ) ~ Z ~-1 (K'(r ', S'))

soit surjective. Pour ddmontrer cette affirmation, rappelons que par B ( n - 1 ), on a un morphisme

~.-1 :or "-1 (0)-~ z ~ (Y" (0~- ~))

au-dessus de S'n-i (r~<Qn-l<R~, s=n-q+l ) . Considdrons le diagramme:

~ . - 1 (Rp, S'~_ 1) l'

~ - ~ (o, s~_~)

M~(o._,, R~_,, S'~_,) ~-.Z ~-~ (#'(o.-~, S;_~))

off ~0 + re,_ t ~ fl est surjectif par (III. 17.1 ). Muni de la topologie induite,

Up ~,C: ~ n - - 1 , n - 2 , M ~-~(~_~, Rs_~, ~ _ . ~ (~_~, S~_~)~r (R._. S~_~)

est un espace de Fr&:het et cette topologie est ddfinie par les semi-normes:

II (x, Y)II~,R = sup { Ilxll~., II YllaR}

avec r<o . -1 , R<Rs-1 et q semi-norme sur r (III.19). Soit S.-1, S.�9 un ouvert de Stein, soit ((~)~,t la base

Un th6or~mr de finitude pour les morphismes q-convexes 447

de ~ . - 1 (Q, S' .-1) et p une semi-norme sur r qui v6rifie les conditions de (iI1.2) pour S._1G S'~_1.

Comme q~ + ~._ 1 o fl est surjectif, on peut appliquer (III .6): il existe 0", 0 < Q* < Q, une semi-norme P sur r une constante M e t

YI.~Mn-'(Q.- , , Rs-1, S'.-1), ~.~K."-' (R v, S'.-1)

tels que

~ o 7 / . + ~ . - 1 o ~ . = n . - ~ r sup{ll~.[lpo, [lr/.ll.,.r._,)~<mllr

En vertu de (III.4.1 et 4) on a: (III.20). Les restrictions

,.~M"-~(r..r~_~.S._.). ~.~ ~"-~(q. S._.)

jouissent de la propri~t6 suivante: Pour toute semi-norme q sur Cs(S.-a) adapt~e ~ p, r<r~, r'<r~_ 1 R<O, on a

.

o~ C est une constante ind~pendante de q, r, r ' , R. Soit Qo, ~ * < # o < q , fix~; on a (avec q et R comme ci-dessus)

~A --- ~EA - - =C < o0. Z \eo/ ll~'lt"~<c Z \Co/ ,.AkOo/

(III.21). I1 existe une partie finie A o ~ A telle que

�9 ~a-Ao \ 0 o /

Pour un ouvert de Stein S ' ~ S~_1, consid6rons le diagramme:

:#"-~ (e, s')

l ~ n - - I

M"- ' (rs, r~_l, S') ~-+ Z "-1 (;~r'(rs, S'))

(III .22) P R O P O S I T I O N . Tout z ~ Z " - ~ (K" ( r~, S ')) s'~crit

z = ~ . - lx + q~y


avec

x = Z a=r aa~d)s(S' ) ~eAo

y e M "-I (rs, rs_l, S').

Cette proposition implique visiblement (III.18) et donc aussi (III.16). La d6monstra- tion se fait par it6ration, utilisant le fait que tO + lr,_ ~ est surjectif par (III. 17.1) e t / t l'aide du lemme suivant:

(111.23) LEMME. l l existe des constantes M1, M2 avec la proprietY: pour tout x~ I~ "-1 (Q, S ' ) , il existe

xl ea~"-i (~, S')

x*= E a&~"- '(e,s ') , a,~Os(S') ~eAo

Yl ~ m " - I (G, r,-1, S')

tels que 1) x=Iz ._ l x* +~r._lx 1 +toYl 2) pour toute semi-norme q sur d)s(S' ) adapt~e gt p (p eomme dans (III.19)) et

O', 0o<Q'<Q, on a: a) Ilxl[l~, ~<�89 HxllqQ, b) q(a. )<~M 1 l[xl[,o,, c~ eA o c) llyalla...,,<~Mzllxll,o., r '<r~,r"<r~_a. D~monstration. Soit

x= Z a&, a,~s(s ' ) . arEA

Posons

xl---- E a,r x*= E a,~,, yt = Z a , , , . ~ A - A o ~eAo ~ A

Ces s6ries convergent par (III.4.2) et (III.20). 1) est visiblement v6rifi& Pour 2), on a par (III.4.2)

/ '0"~ I~<1 / ' ~o \1=I (*)

Posons

L = sup {1,1}, ,,..4o M1 =(~~ Oo

d'o~ 2b).


Pour 2a), on a par ( . ) et (III.21)

a:~A-Ao

Pour 2c), on a par (*) et (III.20)

Ily~llq,,,.~< ~ q(a~)tln~llq~,~fllxllqQ, E - ~r ~A \ Q o J

On pose

/o*\l~l M 2 = C E /-~-] �9

=~A \ e o /

449

IV. LE THI~OR~ME DE L'IMAGE DIRECTE

Dans le premier paragraphe de ce chapitre, nous d6montrons quelques propri6t6s des faisceaux quasi libres. Ces r6sultats combin6s avec ceux des chapitres pr6c6dents nous permettent alors de d6montrer (voir (IV.6)) que tout morphisme q-convexe v6rifie l'hypoth6se de s6paration (1.16) et ensuite le th6or6me de l'image directe (th6or~me (IV. 8)) dans toute sa g6n6ralit~. Un th6or~me d'approximation (voir (IV. 10)) du type th6or6me de Runge g6n6ralisant (I. 17), qui permet d'am61iorer un peu (IV.8.2), est d6montr6 au paragraphe 3.

1. Propri~t~s des faisceaux quasi libres

(IV.l) TH]~OREME. Soit (S, d?s) un espace de Stein, ~ = ~ (R) un t~s-module quasi libres, ~ un d)s-modules cohdrent et tp :~ ~ J : un morphisme continu. Alors

1) le r (5 = Im ~0 est coherent 2) pour tout ouvert de Stein S o c S , tp:s est surjectif (done

~o (s (So))c ~ (So) est un sous espace fermd) 3) pour toute paire de Runge d'ouverts de Stein (So, $1), $1 ~ So ~ S, la restriction

Ker (s (So) ~ ~- (So)) --* Ker (S~ ($1) ~ ~" (S1))

est d'image dense. D~monstration. a) D6montrons d'abord la premiere affirmation et le cas particu-

lier de la deuxi6me lorsque Sor Soit ( ~ ) ~ a la base de ~ ( R ) (S), d " c s le d~s-module coh6rent engendr6 par les ((,)1~1 ~, et ~" = ~0 (d") . En vertu d'un th6or6me bien eonnu ( I-4], Satz 8) la suite croissante (&"), ~ N de sous-modules coh6rents de ~- est stationnaire sur les compacts de S e t ~ = I,.), &" est done un d~s-module coh6rent.

450 r, mm~a~ sm~r~mt~

Posons encore ~r O . zr Pour tout ouvert de Stein So�9 on a les deux propri&6s:

~ ' (So)=-~(So) est un sous espace dense, ( . )

(**)

La premi6re propri&6 est 6vidente. D'autre part, il existe no tel que M I So = ~.o [ So et q~: ~r So--* M [ So est doric surjectif, d'ofi (**) en vertu du th6or6me B.

Pour achever la d6monstration, il suffit de montrer que ~ = M. Compte tenu de (**), on a pour tout ouvert de Stein So�9

(So).

Vu la continuit6 de q~ et la propri&6 (.), &(So) est dense dans q~(L~(So)) (pour la topologie induite par ~'(So)); comme &(So) est ferm6 dans o~'(So), on a

b) D6monstration de 3). Remarquons d'abord que pour un Cs-module quasi libre i f* et une paire de Runge (So, S~) d'ouverts de Stein, S, ~ So ~ S,

est d'image dense. Pour d6montrer 3), il suffit, compte tenu de (1.19), de consid6rer le cas particulier

oia So~S, et ce cas r6sulte de la remarque ci-dessus et du lemme suivant.

(IV.2) LEMME. Soit q ~ : . L ~ comme dans le thdor~me et So~S un ouvert de Stein. Alors il existe un &s-module quasi libre .~* au-dessus de So et un morphisme continu ~k :.o~ ~ .~ I So tel que, pour tout ouvert de Stein S ' c So, la suite

(s')

soit exacte. D~monstration du lemme. Soit ((~)~A la base de &~(S), ~,=q~(~) et soit $1 un

ouvert de Stein, So�9 Comme t~i=q~(.L~) est un Cs-module coh6rent (voir ci-dessus), il existe un entier no tel que (fi I Sl soit engendr6 par les r IS, , I~1 ~<no. Renum6rotons: ((,)l~l~no=((n)l~n~N, et soit ~.=q~(~.) et A~=(~Allml>no}. Consid6rons la suite exacte de Os-modules coh6rents au-dessus de $1 :

o-* mgl s,- o

o~ u est induit par les ~. et ~ = Ker u.


On a: pour tout ~EA 1, il existe G~= (G~ ..... G~)eO~(S1) tel que

~ , = ~ G~r sur S 1. 1 <~n<~N

Affirmation 1. II existe r<R (R c o m m e dans l '6noncd du thdor6me) et un choix des G ~ ( ~ A 1 ) avec la propridtd: pour toute semi-norme q sur r il existe une constante M telle que

[ r "X I'~1 q(G~)<~M~) �9

Pour cela, consid6rons le d iagramme

r (S l ) -* r (So)

(sl)- , (So).

Soitpo une semi-norme sur d~ ($1) qui vdrifie les propridtds de (II1.2) pour So�9 C o m m e u est surjective, il existe une semi-norme Pl sur (fi ($1) telle que pour tout y ~ (fi (S~), il existe x~Og(S1) avec

y=u(x) et po(x)<~pl(y ).

C o m m e ~p est continu, il existe une semi-norme P2 sur 0 s ($1) et r < R tels que

Pl (9 (x)) <~ ILxllp~, V x ~ ($1).

Pour une constante K, on a par (III .4.1)

et il existe G~e~O(S1) avec

u ( G ~ ) = , ~ et po(G~),K(R) I~l.

Vu le choix de Po, on en d6duit le rdsultat. Affirmation 2. Pour tout ouvert S'cSo et x = ~ a a,~,es la sdrie

X a,G~,~d)s(S') ~ e A

converge Vn, 1 ~< n ~< N (pour les G~ de l 'affirmation 1).


En effet, pour une semi-norme q sur ~)s(S') et e, r < e < R (r comme dans l'affirmation 1) on a, par (III.4.2),

/ R'X I~'I q (aD<( -e ) ilxllqo

donc

~ -< q(G.)..~K(~) '~1 Ilxll~ q (a~G,).~ q (a~) ~ -<

Soit FX= ( r l a .. . . . FJ)~0Ss(So), 1 ~<2~<L, un syst6me de g6n6rateurs de ~ [ So. Affirmation 3. Soit S ' c So un ouvert de Stein et

~EA n<~N croat

Pour que q~ (x)= 0, il faut et il sumt qu'il existe b ~ C) s (S'), 1 <<. 2 <~ L, tel s que l'on ait, pour tout n, 1 ~< n ~< N,

a, + E a,G:= Z b~F~, �9 e A t I ~ < ~ < L

En effet,

~o(x)= X (a.+ Z a:C.') r l <<.n<~N ~tEA1

donc rp (x)= 0 si et seulement si

( o.o,,..., o,+ z a.O ) + .--, 1

Consid6rons, au-dessus de So, le Os-module quasi libre

l So .C l So.

Soit (yx)l~x~Lw (r/,),~ a la base de .L~* (So) d6finie par:

y~=(O,..., 1,...,O)eOsZ(So) et r / ,=~, [SoeL~(So).

D6finissons:

0:-~* --' -~ [ So,

O(yD = Z l ~ n ~ N

@(rt,)= [0 si 6A 1

I - Z a~r162 si c ~ A i .

Un th6or6me de finitude pour les morphismes q-convexes

Alors ~0 off: L~* --+ ~" [ So est z6ro; d'autre part, pour S ' Stein et

x = Z a,~,+ Z a~2g7" (S') 1 <<.n<~N ct~A1

tel que cp ( x ) = 0, on a pour tout n

an+ Z a~G:= ~_, bzFZ,. a ~ A l I ~ < ~ L

Alors ~k (z) = x, avec

453

z= ~ b,~ya + ~ Grh I <.)~ <~L ct~Al

ce qui d6montre le lemme. c) La d6monstration de la deuxi6me affirmation du th6or6me pour des ouverts de

Stein arbitraires est maintenant facile. On utilise pour cela l'affirmation 3) du th6or6me et (I. 19).

2. Le th6or6me de l'image directe

Soit S u n espace de Stein, rc:X--,S un morphisme q-convexe, ~o une fonction d'6puisement de constante exceptionnelle c* et ~- un Ox-module eoh6rent.

(IV.3) LEMME. Soit S . c c S un ouvert de Stein et c<c*. Alors il existe, au- dessus de S . , un complexe

N . . , g " = " �9 �9 - - ~ 0 ---'t ~ r 1 6 2 - - ) ~ / ' q + l - - ~ �9 �9 �9 --') ' , . ~ / / r ---'~ 0 ---~ �9 �9 �9

de d3s-module, avee ~g" fibre de type fini pour n > q et dg q quasi fibre, d diffdrentielle continue, et un morphisme continu de complexes

tel que, pour S' c S . Stein, 1) a * : ~ r " ( ~ ' ( S ' ) ) - - H ~ S ' ) )

soit un isomorphisme en degrd n > q + 1 ; un dpimorphisme en degrd n = q + 1.

2) a : m +~ ( ~ ' ( S ' ) ) s , p-~ ~r '+~ (C'(c, S'))s, p soit un isomorphisme.

D~monstration. Reprenons les constructions A ( q + 1) et B(q) sont done v6rifi6es (avec Co=C ).

du chapitre III; les affirmations


Soit

~,: z~ ( ~ . (c)) -~ ~ ( 0 p : z ~ ( ~ . ( O ) - ~ . ~ §

les projections, qui sont d6fines au dessus de Sq+l (off Sq+l et ,LP. sont comme dans A ( q + l ) et ,YF'(c) est le <<mapping cylinder, de ~.:cp. ~ c~.(c))" Comme

z ~ ( ~ ' . ( c ) ) = {(r x ) ~ ( ~ ) ~ + 1 1 ar = - ~ x , dx=0) ,

le morphisme de complexes

�9 . .-~ o .......... - . z~ (K.(c, s , ) ) z . ~e~+ 1 ( s , ) ~ ~ + ~ (s') -~

c ~-1 (c, s ' ) ~ c ~(~, s ' ) ~ c '+1 (c, s ' ) ~ c ~+~ (c, s ' ) -~

induit en cohomologie un isomorphisme en degr6 >~q+l pour S'r Stein. Soit Bq +1 (c, S' )r ~+1 (c, S') l'adh6rence de ~3C*(c, S') et posons

= ~ - , ( ~ +1 (~, s ' ) ) ~ z~ .1 (~e. ( s ' ) ) ~ ~e~ +1 ( s ' )

Soit S'~S- un ouvert de Stein (S comme dans B(q)) et consid6rons le diagramme: (IV.4)

~ ' ( 0 , s ' )

z ' (~r s ' ) ) - , z ' (K'(0,, s ' ) )

I , Zff(K.(r St)) ~ ..,..~q+ 1 ( S ' )

(he, Oq comme dans B (q)). Soit ),: K* (Q, S ' ) ~ Z q (K" (c, S ' ) ) l 'homomorphisme com- pos6. Visiblement

Impo~c Imp~ B~.~ q~q+ l ( S')

(IV.5) Affirmation. Impoy est dense dans B (pour la topologie de ~ + 1 ( S ' ) ) . t ~ J

De cette atfirmation, on d6duit facilement le lemme en posant: ,Afq--,,~q(0) et

.af r = L p~, n > q, avec d=p o 3': ~ '~ ~ ~'q + 1 e t a q = ~k o ~ :~/t'~ ~ ~ (c). La premiere partie de (IV.3) d6coule alors de A (q + 1) et la deuxi6me de l'attirmation.

Ddmonstration de (IV.5). Soit xeB; alors dx=O (d: .~+I(S ' )~ ~+2(S')) .


Posons

~=~xeBa(c, S') (.)

Consid6rons le diagramme (avec un changement de notations pour ~t)

ze.+ , (s') " ' . c a+' (~,. s')

O+~(o.s ' ) .c~+~(e.s' )

et posons

~' =~' x~C q+ ~ (cp, S'), =~xeC a§ ~ (e, S'), ~=~x~O+~(e. s').

En vertu de (.) , de (11.11.2) et (II.5.2), r (cv, S ') et il existe donc une suite (qk)~C~(cv, S') telle que 6qk~--~ '. Par restriction, il existe done une suite

(ok)= Ca(Q, S ' ) telle que 6 f /k~_ ~. Construisons une suite (~'/k)= C a (Q, S ') telle que -" _~-

6 t /~ . Pour cela, consid6rons le diagramme

O(e, s') -z, c~ (e, s')

P _ ~ q + 1 z~+'(C.(e,s)) z (c.(e,s ' ))

ofa les lignes sont surjectives par (1.2.2) et (II.8). Soit donc (ak)= ~ (O, S'), zak=r/k. Alors

v

(aa ~ + ~) = aO * + ~ -~ 0,

et il existe donc (bk)=z q+l (~'(0, S ' )) telle que

(b k - f a k - ~ ) = 0 et b k o 0 .

Puisque r e s t un quasi-isomorphisme, on a

bk--a~--r S').

Soit (c k) = t~ * (Q, S'), 6c k = b k - 6a k - ~.

On pose ~/k=d'+c k. Consid6rons la suite ((qk, X))= Kq(e, S').

Affirmation. r (~k, x) ~ x. Pour voir cela, rappelons la d~finition de na (II1.14):


rc$=fl-hoO.fl &ant la r6striction., et O(u, v ) = ( 6 u + a v , - d r ) . Donc 7~q(qk, x) = (flqk, X)-- h ((~rl k + ~, O); comme h (5q k + ~, O) ~ O, on en d6duit l'affirmation.

(IV.6) COROLLAIRE. A vec les notations de (IV.3), on a: les espaces H q +1 (~s ( S,)) et H q+a (C'(c, S ')) sont sdpar~s (donc Frdchet) et

a*: Hq+ l (dg" ( S'))--* Hq+ a (C'(c, S '))

est un isomorphisme (d'espaces de Frdchet). En d'autres termes, l'hypoth~se (s6p) de (I.16) est donc toujours v6rifi6e. D~monstration. Dans le diagramme commutatif suivant

H q+t (.At"(S')) ~* ~H q+l (C'(c, S'))

1 . , a*sSP H q + 1 , H q+ (,M (S))~p ." (C'(c, S ))s,p

u et ~ p sont des isomorphismes par (IV.1.2) et (IV.3), et 0r est un 6pimorphisme par (IV.3), d'ofi le r6sultat.

En fait, pour des ouverts S ' �9 la d6monstration du corollaire n'utilise que les r6sultats du th6orSme (IV.l) d6montr6s sous a).

(IV.7) COROLLAIRE. Soit S . ~ S un ouvert de Stein et c<~,*. Alors il existe, au-dessus de S. , un complexe

de ~s-modules libres de type fini et un morphisme (continu) de complexes

~.: ~ ' - - ,~e" (c)

tel que, pour S' c S , Stein,

a*:H"(J[ ' (S ' ) )-- , H"(C'(c, S '))

soit un isomorphisme (d'espaces de Frdchet) pour n >t q + 1. Compte tenu du corollaire pr6c~dent, c'est une cons6quence imm6diate de (IV. 1.1). Ces deux corollaires, (I.20), (II. 15) et le th6or6me B impliquent maintenant trivi-

alement le th6or6me principal.

(IV.8) TH]~OREME. Soit Sun espace de Stein et n:X---, Sun morphisme q-convexe, q~ une fonction d'dpuisement de constante exceptionnelle 7, et ~" un Ox-module coh&ent. Alors


1) les Cs-modules R"n~.~ et R"rr.~ r sont coh~rents et la restriction

R"~,~ ~ R"z~,~

est un isomorphisme pour n >t q + 1 et c > ~ (avec ~c = ~ [ Xc-* S). 2) pour tout ouvert de Stein S ' �9 c>~ et n>~q+l, les espaces H"(X(S ' ) , ~'),

H"(X~(S'), ~ ) sont Fr~chet et les morphismes du diagramme

Ha (X (S'), ~ ) ~ Rnn.J; (S')

H" (X c ( S'), ,~)--~ R"r~,o~ ( S')

sont des isomorphismes (d'espaces de Fr~ehet). On notera que la d6monstration du fait que les espaces H"(X(S ' ) , ~ ) sont

Fr6chet utilise de mani6re essentielle la d6finition globale de la fonction d'6puisement.

3. Un th~or~me d'approximation

(IV.9) THI~OREME. Soit Sun espace de Stein, re: X ~ Sun morphisme q-convexe, q~ une fonction d'dpuisement de constante exceptionnelle y, ~" un Ox-module cohdrent et ql un recouvrement standard de X. Alors, pour c> y et pour (So, $1) une paire de Runge d'ouverts de Stein $1 c So c S, la restriction

Z~(~(So) , ~ ) ~ Z~(~c(Sl) , Jr)

est d'image dense. D~monstration. Compte tenu de (I.19), il suttit de considOrer le cas o~ So�9 et

par (I.17), il suffit donc de montrer que

Z~ (~c (So), ~ ) -~ Z ~ (~c (S1), ~ )

soit d'image dense. Consid&ons les complexes Jg' , oK" (c) et a" : ~ " ~ cg. (c) de (IV.3) (avec S ,=So) ; par (I.2.3), il suffit de montrer que

So)- s,)) (,) soit d'image dense (le recouvrement standard utilis6 pour d6finer c~. (c) n'est pas le recouvrement q/).

(IV.10) LEMME. Le morphisme ~t ' :dt '~cK'(c) construit dans (IV.3) a la pro- printS: pour S' c S . ouvert de Stein,

~ : Z ~ (~g" ( S ' ) ) - , Z ~ ( 0 (c, S '))

est d'image dense.


Ce lemme implique le th~or~me; en effet, comme dans le diagramme

Z~(~.(So)) P, Z q ( ~ . ( S 0 )

l, l, z, (c-(c, So))-, z , (c.(c, sl))

fl est d'image dense par (IV.1.3), on en d6duit (.). D~monstration de (IV. 10). Comrne pour la d6monstration de (IV.3), reprenons les

constructions de A (q +1) (avec Co = c); par (I.17)

z~ (c. (c,, s ' ) ) -* z~ (c. (c, s ' ) )

est d'image dense. Cet homomorphisme se factorise par Z ~ ( C �9 (O, S ' ) ) (comme dans (II.10)), donc

z~(c.(Q, s'))-, z~(c.(~, s'))

est d'image dense. Par (I.2.2) et (II.8)

z,(~.(Q, s'))-, z~(c.(o, s'))

est surjectif. Comme

z'(~.(o, s'))=z,([o(o, s'))= ~'(o, s,)=jr~(s,) et

p o ~ ( Z ~ ( C ' ( e , S ' ) ) ) = 0 ~ '+1 (S')

(avec p e t 7 comme dans OVA)), on en d6duit le r6sultat.

(IV. 11) COROLLAIRE. La deuxiOme partie du thdorbme (IV.8) est vraie pour tout

ouvert de Stein S ' = S.

Pour la d6monstration, utiliser (I.19).

BIBLIOGRAPHIE

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Re~u le 16 janvier 1974

Documents

Un Théorème de Finitude pour les Morphismesq-Convexes