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UN THEOREME DE LA THEORIE STATISTIQUE DES MODELES LINEAIRES
p a r
H . BRENY
Mai t r e de c o n f e r e n c e s A l 'Un ive r s i t~ de Liege (*)
I. INTRODUCTION.
1, 1. O n s a l t que , dar ts le c a l cu l de l a t a b l e d ' a n a l y s e de v a r i a n - ce d ' u n m o d u l e l i n 6 a i r e d o n n ~ , o n e s t s o u v e n t a m e n ~ tt c a l c u l e r les s o m m e s de ca r r~s d u e s A c e r t a i n s c e s p a c e s de c o n t r a s t e s ~ . L a p r ~ s e n t e n o t e a p o u r o b j e t de d ~ c r i r e u n e m ~ t h o d e p e r m e t t a n ~ d ' e f f e c t u e r s i m p l e m e n t a c a l c u l d a n s des cas a s sez g 6 n ~ r a u x , a i n - si que q u e l q u e s e x e m p l e s d ' a p p l i c a t i o n ; b i en qu 'u t i l i s~e i m p l i c i - t e m e n t p a r b e a u c o u p d ' a u t e u r s , c e t t e f o r m u l e n e p a r a i t p a s a v o i r j a m a i s e t6 d a c r i t e d ' u n e m a n i ~ r e e x p l i c i t e ; e n p a r t i c u l i e r , o n n e l a t r o u v e pas , c o m m e te l le , d a n s [ I I ] , o u v r a g e p o u r t a n t r~cen~ e t q u a s i e x h a u s t i f .
1, 2. Af in de f ixer les n o t a t i o n s , r a p p e l o n s b r i ~ v e m e n t les p r ~ - s u p p o s e s d u p r o b l ~ m e . O n c o n s i d ~ r e u n v e c t e u r a l ~ a t o i r e x( ~', d o n t les c o m p o s a n t e s x~ . . . . . x . ( a p p e l ~ e s r e t d i s - pos~es e n c o l o n n e ) s o n t de s v a r i a b l e s a l e a t o i r e s n o r m a l e s , m u t u e l - l e m e n t i n d 6 p e n d a n t e s , d ' e c a r t - t y p e c o m m u n r d o n t les m o y e n - n e s s o n t f o n c t i o n s l i n ~ a i r e s d ' u n c e r t a i n n o m b r e de p a r a m ~ t r e s . O n c o n s i d ~ r e auss i les v e c t e u r s de l ' e s p a c e ~--ffl* , d u a l de l ' e s p a c e ~ l des o b s e r v a t i o n s , r e p r ~ s e n t e s c o m m e l i gnes (it n c o l o n n e s ) :
g ' r _ ~ [[ g~ , . . gn !l
est , p a r d e f i n i t i o n , la f o n c t i o n n e l l e l i n ~ a i r e
n
---> ~___j gi X~. X [
(*) <<Associe>> du F o n d s N a t i o n a l (Belge) de la R e c h e r c h e Sc len t i f ique . Les notes (appel~es par chlffres arabes entre parentheres) et les r~f6rences bibllographiques (appel~es par chlffres romains entre crochets) se trouvent en fln de texte.
2 H, BRENY
E t a n t donnes s tels vecteurs , gl T, . . . , g T, l i n e a i r e m e n t i nde - p e n d a n t s , on se propose de ca lculer la s o m m e de caxr6s due l 'espace des r e n t r e les gi T x, c. a d. le sous-espace ~ * de ~ * engendr~ p a r les vec teurs de la f o r m e
n n
~ g~T avec ~ ~k 0. (2)
1 1
2. THEORIE.
2, 1. Nous suppose rons e s s e n t i e l l e m e n t que tou t e s les va r i ab les a l6a to i res g ! x o n t u n e m~me var iance , e t que tou tes les pa i res ( g i T x , g k T x ) (4 =/= k ) on t une m 6 m e covar iance ; exp l i c i t emen t , nous suppose rons
l gk T gk = A, gk w gl = B , (k , l = 1, . . . , 8;
A # B . Ic # l).
P o u r ca lculer la s o m m e de car res duc ~ l 'espace ~ * , il suff i t , d ' apr~s la th~or ie g~n~rale des modules l in~aires, de m e t t r e en ~vidence une base o r t h o g o n a l e de cet espace.
2, 2. L e m m e . L'espace ~ * des con t r a s t e s E Xkgk T (E Xk ---- 0) a d m e t c o m m e base les s- -1 vec teurs
hk T : g l T + g2 T -F . . . -F g T _ l - - ( k - - 1) gk T, I (1)
k : 2 , . . . , s .
I1 es t c la i r en e f fe t que ~ * est de d imens ion s - - 1 , e t que hk T E ~ * (k = 2 . . . . . S ; il suff i t donc de d ~ m o n t r e r que les hk T son t l i n 4 a i r e m e n t i n d @ e n d a n t s , ce qui r6sul te du l e m m e su ivan t .
2, 3. L e m m e . Les s - - 1 vec teurs hk T ( k ---- 2 . . . . . s) son t 2 ~ 2 o r t h o g o n a u x : hk w h i ---~ 0 (2 <-- k < l --< s).
Soit en e f f e t a ca lculer le p r o d u i t hk w ht ( l > k ) . II est c o m m o d e de dresser le t ab l eau s u i v a n t (valable m~me si l ---- Ic + 1), qui me t en ~vidence les coeff ic ients des t e rmes g,T gj dans ce p r o d u i t :
tn ..; :. t-l .... tn t-l ~ l'l
t:l l'l t"'
;.. :;J l'l. o ::cl t;:lc: Z :;J l'l. o ::cl
l'l' ~
A-
B
A-
B
A-B
TOTA
L
(k-I)
(A
-B
)
-(/-
I)Il
-(1
-1
)8
-(l-
I)gt
8Ii
8'-
1
B Il8k
Il B8k
-l
II A82
A 1\gl
I I I I I I I II
1\II...
AIll...
BI
-(l-
I)B
--
--
--
--
--
--1
--
--
--
--
-1
--
--
---
-(k-I)B
-(k-I)B
...
-(k-I)B
I-(k-I)A
...-(k-I)B
I+
(k-l)
(l-
I)B
II
g[-
l
T 8, gT2 T
-(k
-I)
gk
w
4 H. BRENY
L a s o m m e des c o e f f i c i e n t s de ce t a b l e a u e s t m a n i f e s t e m e n t n u l l e , ce qu i p r o u v e le l e m m e .
2, 4. L e m m e . O n a
Ilk T h k - - k ( k - 1) ( A - B). (2)
E n e f f e t , o n a
k -- i k --1 k --1
i = l i ~ 1 j.-~i i=1.
k - - I
(k - - 1) __~ gi T gk + (]C - - 1) 2 ga T gk -~ i = l
----- ( k - - 1 ) A + ( k - - l ) ( k - - 2 ) B - - 2 ( k - - l ) 2B +
+ ( k - - 1 ) Z A = k ( k - - l ) ( A - - B )
q . e . d . 2, 5. Thdordme. O n a
s c l g * l = [ s ( a - - s ) ] - , s ( g ~ x ) - ~ - _ g ~ x . (3) 1
E n e f f e t , e n v e r t u d e s l e m m e s 2, 2 e t 2, 3 c l - d e s s u s ,
scl *l=sclh: . . . . . I = sc/h l
m a i s , t e n a n t c o m p t e d u l e m m e 2, 4, e n o b t i e n t
S C t h k T I -= ( h k T X)" / (hk "r h) =
= [ k ( k - - l ) ( A - - B ) ]--1 [ g i T x + . . . . .}_ g-Tk_ 1 X - - ( k - - l ) g k T X ] z,
e~ d o n c , e n p o s a n t , p o u r p l u s de s impl i c i tY , gk T x = Sk,
1 " [St + ... + S k - , - - - ( k - - 1 ) Sk] 2
A - - B k=~ k ( k - - 1 )
E n v e r t u d ' u n e i d e n t i t 6 a l g 6 b r i q u e b i e n c o n n u e - - e t d ' a i l l e u r s a i s 6 e a d e m o n t r e r p a r r 6 c u r r e n c e - - , l a s o m m e d u s e c o n d h o m b r e v a u t , q u e l s q u e s o i e n t les h o m b r e s S~,
( l / s ) s _ S. - ~ - s~ 1
e t Ie t h 6 o r @ m e e s t d 6 m o n t r 6 .
UN THEOR~ME DE LA THEORIE STATISTIQUE...
l ~ e m a r q u e . I1 e s t b i e n c o n n u que , si l ' o n p o se
B
S, = ( l / s ) ~ Sk, 1
on a i d e n t i q u e m e n t
( l / s ) s S~ ~ - Sk = ( S k - - S,)~. 1
(4)
~ . APPLICATIONS.
3, 1. Le c a s d ' a p p l i c a t i o n le p l u s s i m p l e e s t ce lu i off t o u t e s les o b s e r v a t i o n s o n t la m ~ m e m o y e n n e e t off gkWx ---- Xk; ~ * n ' e s t a l o r s a u t r e que l ' e s p a c e des <~erreurs>>, e t SC l ? r / * l / ( s - - 1 ) e s t l ' e s t i m a t e u r c l a s s i q u e de ~2. L a f o r m u l e (4) e s t a p p l i c a b l e ici a v e c A ---- 1, B ---- 0, s = n, e t se r ~ d u i t 6 v i d e m m e n t ~t la f o r m u l e el~- m e n t a i r e b i e n c o n n u e .
3, 2. D a n s le cas d ' u n m o d e l e de c l a s s i f i c a t i o n s i m p l e a v e c u n m ~ m e n o m b r e , r, d ' o b s e r v a t i o n s d a n s c h a c u n e des s c l a s s e s (4).
Xl~
XL~
X'-b 1
2% r
X s , 1
Xs, 1
I,{ g
6 H. BRENY
l ' h y p o t h ~ s e /~, = ... -- ~, s ' e p r o u v e e n c o m p a r a n t a l a s o m m e de c a r r e s de l ' e s p a c e d e s e r r e u r s ce l le de l ' e s p a c e ~ * d e s c o n t r a s - t e s E Xk mk T X (E ~k = 0), Off, p a r d e f i n i t i o n ,
mk T x ~ S k - - Xk, 1 + .-. + X k , r ( k = 1 . . . . . S).
On a mk T mk = r, m~ T m~ = 0 k =/= 1),
d e s o r t e q u e l a f o r m u l e (4) c o n d u i t ici, e n p a s a n t
S = Z Z X i , k,
S C I~*I = ( 1 / r s ) s S k ~ - - S : .
3, 3. D a n s le ca s d ' u n m o d u l e e n i l o t s f o r t u i t s (<<randomized b l o c k s ~ ) a v e c t t r a i t e m e n t s e t r i lo t s , l e s r t m o y e n n e s d e s o b s e r - v a t i o n s s o n t l i ee s a r + t p a r a m ~ t r e s Bi, Tk p a r l a r e l a t i o n (~)
X b ]
X b r
X2, 1
X2, r
Xt , 1
.
X t , r
1 1
1
1
1 1
1 1
1 1
B~
Br
T 1
T t
L ' h y p o t h ~ s e de l ' a b s e n c e d e d i f f e r e n c e e n t r e s t r a i t e m e n t d e - t e r m i n e s , p. ex. : c e u x de r a n g s kt, ...,/c,, s ' e p r o u v e a u m o y e n de l a s o m m e d e c a r r e s de l ' e s p a c e d e s c o n t r a s t e s
8
~, g'~ x (~ ~, = o)
I
UN TIrIEOR~-ME DE LA THEORIE STATISTIQUE. . .
d ~ f i n i r ~ p a r t i r de r
g k T X ~ S~-~ X Xk,].
I c i , gk T gk : r, gk T g, : 0 (~ :# l)
d e s o r t e q u e , s i l ' o n p o s e
S(.) = 22 ~ x k i , : 2: Sk i , i I i
l a f o r m u l e (4) s ' a p p l i q u e i m m e d i a t e m e n t :
i = i ki (s) "
3, 4. D a n s t o u s l e s e x e m p l e s c i - de s su s , les v e e t e u r s gk T 6 t a l e n t 2 ~t 2 o r t h o g o n a u x . I1 n ' e n e s t p l u s de m e m e d a n s le cas d ' u n m o - dule e n i l o t s i n c o m p l e t s equ i l i b r e s , a v e c s t r a i t e m e n t s r 6 p a r t i s e n b ilOts de r u n i t e s e x p e r i m e n t a l e s c h a c u n , c h a q u e t r a i t e m e n t e t a n t r6p616 t fo l s e t a s soc i e p lo i s a c h a q u e a u t r e t r a i t e m e n t , s e l o n u n e m a t r i c e d ' i n c i d e n c e I I nl, ~ [1 (i = 1 . . . . . s, ] = 1 . . . . . b) d o n t les e l e m e n t s n o n n u l s s o n t n o t e s so i t n,.ji.k (/C = 1 . . . . ,/3.
so i t nq, t , i (l = 1 . . . . , r ) ; o n a
~'~ h i , j = ] ; ~'~ h i , j : r ; J i
Ce m o d b l e s ' 6 e r i t (4,5)
g
Xl~ h, t
X l ' jr, f
X2, iz, z
X+,j.,,
Xt, is, f
~jt , t , 1
~j . . . .
~J.,t ~ 1
ni, jnk , j = p. -j
~j~,s , b 1
t3h, r, b 1
~ j , , , , b 1
.
~j+,,, b 1
8 j . , f , b 1
S l
T1
T,
8 H . B R E 1 7 Y
T o u t c o n t r a s t e E h, T~ (E X~ = 0) a d m e t c o m m e e s t i m a t e u r p r i v i l 6 g i e l ' e x p r e s s i o n N A~ V~ d 6 f i n i e ~ p a r t i r d e
b
V i ]" S i s . -~- - - A.a n i , h S . h ~ gi TX, h=[
f
S i , = Z X i , j , , k - - t i T X ' k=l
r
S , h : Z Xih , I ' h ~ b i T x .
O n a
gi T gi = 7"z ti T ti ~ 2 r E n~, h t [ r bh -k N 7~i,2h bh T bh -~ h h
: r z f - - 2 7" ~ ni,2h -Jr r E n~,~,, = r -~ / - - r E n~, h = r 2 J' - - r [ ; ti h h
gi T gk = r2 ~ T tk - - r ~ n ; , h tk T bh - - h
r ~ hi, h b h T tk + E n,, h n~, h b h T bl, = h h
- - 2 r ~ ni, h ha, l, --k r ~ - - - - - ~ ? 2 i , h T / k , h ~--- - - 7" p . 11 h
L a f o r m u l e (4) s ' a p p l i q u e d o n e ic i a v e e A = r 2 / - - r / e t
B = - - r p ,
,done avec
A - - B : r 2 f - - r f + r p = r p s .
O n a p a r c o n s e q u e n t
S C I ~ * I = ( 1 / r p s :) s V , ~ - - V, .
Mais
1 i ~ 1
,~ b
: r ~ S i . - - r ~ S . h : : 0 ; i = l h = l
o n a d o n e , f i n a l e m e n t ,
UN THF-OR~-ME DE LA THEORIE STATISTIQUE...
NOTES
(I) Pour une pr~sentatlon plus intrinseque de ces probl~mes, on pourra
se reporter a If].
(2) Rappelons que
w2r gkTX = (gkTgk)~r2; COU (gkTX, gtTx----- (gkTgl ) o -2.
(3) D a n s la n o t a t i o n d ' u n e m a t r i c e , les c a s e s r i d e s s o n t c en s 6 es ~ t re o c c u p e e s p a r des 0.
(4) ~ , ~ = 0 ou 1 s u i v a n t que ,~ ~ fl ou ~ = ~.
REFERENCES
[ I ] BRENY, H.: ModUles l in~a i re s en a n a l y s e s t a t i s t i q u e . L'Enseignement mathdmatique, 2 ... . s~rfe, t. VI (1960), 51.
[ I I ] CCHEFF~, H.: Ana ly s i s of v a r i a n c e . N e w - Y o r k . Wi ley (1959). U n l v e r s l t e de Ll6ge, C e n t r e d ' A n a l y s e s t o c h a s t i q u e , 5 2. 1961.
RESUMEN
El objeto de este articulo es dar un m~todo, bastante general, para
efectuar los c~Iculos de la suma de cuadrados que aparecen en los cuadros
del an~llsis de la varlanza. A tal fin se introduce un espaclo vectorial; los elementos x (t) pertene-
cientes a este espaclo son vectores aleatorlos, cuyas componentes x, ..., x,,
(llamadas <<observaciones>> y dispuestas en columna) son variables aleato-
rias normales, mutuamente independientes con desvlaci6n tiplca o- comfin
y cuyas medias son funciones lineales de cierto nfimero de parametros.
Se considera otto espacio ,~/* dual del anterior, cuyos elementos tenen n
componentes dlspuestos en linea: y dado S elementos en este define un
subespacio e~ * de ~)yf* engendrado pot los vectores
,\k gk con Ak = 0. i 1
Se c o n s l d e r a que las v a r i a b l e s a l e a t o r i a s g T x t i e n e n 18. m i s m a v a r i a n z a y que todos los p a r e s g~Tx gk'l~ X (i=/=h) t i e n e n u n a m l s m a c o v a r i a n z a , s l e n d o
gh T gk = A, gk TgL = B
] 0 H. BRENY
P a r a e a l c u l a r l a s u m a d e c u a d r a d o s e n el e s p a c i o ~ * s e d e m u e s t r a l o s
s i g u l e n t e s l e m a s :
L e m a 1.~ E l e s p a c l o ~ * de los c o n t r a s t e s a d m i r e c o m o b a s e l o s S - I
T v e c t o r e s h k T = gt~ + g.zT ... gk - - L - - (k - - . 1) gk T
k = 2 . . . S
L e m a 2. ~ L o s S - 1 v e c t o r e s hkT (k = 2 . . . S ) s o n 2 a 2 o r t o g o n a l e s .
L e m a 3. ~ S e v e r l f i c a hkT h k = k (k - - 1) (A - B) . B a s ~ n d o s e e n l o s l e m a s a n t e r l o r e s s e d e m u e s t r a el s i g u i e n t e T e o r e m a : S e v e r l f i c a q u e
sc IW* I : sc I h:"h: I : ~ sc l h:l k=2
A c o n t l n u a e l 6 n s e h a c e n a l g u n a s a p l i c a e l o n e s d e l r e s u l t a d o a n t e r i o r .
