Une brève histoire des idées de Galilée à Einstein

ne brève histoire des idées de Galilée à Einstein .

L’ouvrage de Copernic déclencha une révolution intellectuelle dont les répercussions sont encore sensibles aujourd’hui. Si le modèle copernicien était exact, ne fallait-il pas conclure qu’Aristote, Ptolémée et saint Thomas d’Aquin s’étaient trompés, et qu’il fallait, comme source de la connaissance, substituer au principe de l’autorité des Anciens le principe de la soumission aux faits ? (Claude Boucher, Fides, 2008).Dans son dernier livre, Une brève histoire des idées de Galilée à Einstein, le mathématicien canadien Claude Boucher fait le portrait du progrès de la science en fonction de six scientifiques qui ont chamboulé l’ordre des idées de leur temps : Galilée, Pascal, Harvey, Darwin, Freud et Einstein.

Pourquoi retenir Galilée en tant que fondateur de la science moderne?

Quel rôle a tenu le monde arabe dans l’histoire de la science occidentale?

Dans quel but Blaise Pascal a-t-il conceptualisé son fameux pari? Combien de temps a-t-il fallu avant que les médecins s’entendent

sur le fait de la circulation du sang dans le corps humain? Pourquoi Freud utilisait-il de la cocaïne dans ses pratiques

médicales?

Ecoutez les réponses de Claude Boucher

Claude Boucher a enseigné pendant de nombreuses années au département de mathématiques et d’informatique de l’Université de Sherbrooke. Depuis sa retraite, il a donné une série de conférences très appréciées (dont Les Grandes découvertes et Le Big Bang et tout ce qui s’ensuit) destinées à la formation des adultes

Libellés : Conférence;interview, Histoire des mathématiques, Infos et actualités ; en librairie

# Guy Marion @ 07:38 0 comments créer un lien vers ce billet

29 novembre 2008

Rasoir d'Occam

Le rasoir d’Occam est un principe de raisonnement que l'on attribue au frère franciscain et philosophe Guillaume d'Occam (XIVe siècle), mais qui était connu et formulé avant lui :« Les multiples ne doivent pas être utilisés sans nécessité » (« pluralitas non est ponenda sine necessitate »). Aussi appelé « principe de simplicité », « principe de parcimonie », ou encore « principe d'économie », il exclut la multiplication des raisons et des démonstrations à l'intérieur d'une construction logique.Le principe du rasoir d'Occam consiste à ne pas utiliser de nouvelles

http://www.blogger.com/email-post.g?blogID=33369353&postID=4103625884000109376

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hypothèses tant que celles déjà énoncées suffisent, à utiliser autant que possible les hypothèses déjà faites, avant d'en introduire de nouvelles, ou, autrement dit, à ne pas apporter aux problèmes une réponse spécifique, ad hoc, avant d'être (pratiquement) certain que c'est indispensable, sans quoi on risque d'escamoter le problème, et de passer à côté d'un théorème ou d'une loi physique.L'un des personnages du roman et du film Le nom de la rose d'Umberto Eco, le moine franciscain Guillaume de Baskerville, est, de l'aveu même d'Eco, un clin d'œil à Guillaume d'Occam (Premier jour, Vêpres : « Il ne faut pas multiplier les explications et les causes sans qu'on en ait une stricte nécessité »).Source : Wikipédia

Libellés : Histoire des mathématiques


04 novembre 2008

14 et 15 novembre 2008 : L’Institut Henri Poincaré fête ses 80 ans

Les 14 et 15 novembre 2008, seront fêtés les 80 ans de l’Institut Henri Poincaré, les 60 ans du séminaire Bourbaki et les 60 ans du séminaire d’histoire des mathématiques.



http://www-math.u-strasbg.fr/ihp80/

Ces trois anniversaires donneront lieu à :des conférences : M. Audin, M. Epple, H. Gispert, B. Hoffmann, L. Mazliak,

J. Oesterlé, N. Schappacher, R. Siegmund-Schultze,...des tables rondes : Mathématiques et physique à l’IHP, Histoires d’IHP,

avec J. Ritter, B. Julia, H. Nocton, J. Roubaud, M. Broué..un jeu concours ouvert à tous.

Site web créé à cette occasion.

Libellés : Histoire des mathématiques, Infos et actualités


14 octobre 2008

Qui est-ce ?

1) Mathématicien français,né en 1871 à Paris, mort en 1956, professeur à la Faculté des sciences de Paris, membre de l'Académie des sciences, il a été aussi un homme politique , député, ministre.2) Reçu à la fois premier à l'École polytechnique et à l'École Normale, qu'il a choisie,il a également été reçu premier à l'agrégation de mathématiques. Refusant les offres des industriels, il se consacra à la recherche.3) C'est un spécialiste de la théorie des fonctions et des probabilités.4) Avec Henri Lebesgue, il était parmi les pionniers de la théorie de la mesure et de son application à la théorie des probabilités.5) Une tribu portant son nom est nommée en son honneur

Libellés : Connaissance des mathématiciens, Histoire des mathématiques


13 octobre 2008

Histoire des Sciences: BibNum





BibNum est un projet de bibliothèque numérique de textes scientifiques antérieurs à 1940, commentés par des scientifiques contemporains qui souhaitent partager leur intérêt pour ces textes et analysent leur impact dans la science et la technologie actuelle.

MAITRE D'OEUVRE : CERIMES Centre de ressources et d’information multimedia pour l’enseignement supérieurAlexandre Moatti, directeur de la publication de www.science.gouv.fr et auteur du blogwww.maths-et-physique.netest éditeur du site BibNum.

Libellés : Histoire des mathématiques, Messages aux collègues


30 septembre 2008

L’intelligence du calcul ( par Dominique Tournès)

Extraits d'une excellente conférence donnée en 2007 par Dominique Tournès, professeur des universités, directeur de l’IREM (institut de recherche en mathématiques) de la Réunion :

"...Faute de percevoir l’intelligence du calcul, on a trop souvent tendance à le réduire à une activité pauvre, répétitive et sans âme. Tant chez les maîtres que dans la culture commune, le calcul est fréquemment considéré comme la partie la moins noble des mathématiques, celle qui,

http://bibnum.education.fr/



ne nécessitant pas de réflexion, peut être automatisée et éventuellement déléguée à une machine. Parfois même, comme le calcul est aussi la partie la plus visible des mathématiques,l’homme de la rue confond mathématiques et calcul, ce qui fait que ce sont les mathématiques dans leur ensemble qui sont perçues comme une activité sans intelligence."

Plus loin:

"...La réduction du raisonnement et de la résolution de problèmes au calcul est une constante de l’activité mathématique. Par exemple, Descartes et Fermat ramènent la géométrie d’Euclide à des calculs dans un système de coordonnées et l’étude des courbes à celle de leurs équations.Un peu plus tard, Newton et Leibniz ramènent les problèmes de longueurs, d’aires, de volumes et de centres de gravité à des calculs de primitives. Ainsi, la géométrie analytique et le calcul infinitésimal permettent de traiter systématiquement et de façon routinière de larges classes de problèmes là où, auparavant, il fallait, comme le faisait Archimède, inventer une méthode particulière pour chaque situation. Si le calcul évite souvent d’avoir à penser, en contrepartie, il atteint vite ses limites. Il est long, fastidieux, parfois inextricable. Aussi,inversement, un autre courant des mathématiques tend à remplacer le calcul par des raisonnements abstraits portant sur des objets de niveau supérieur. Pour reprendre l’exemple de la géométrie analytique, cette théorie, si prometteuse au départ, a buté rapidement sur l’obstacle de systèmes d’équations difficiles à résoudre ou dont la solution était difficile à interpréter. Cela a donné naissance à l’algèbre linéaire, une nouvelle façon synthétique d’aborder certains problèmes en évitant les calculs sur les coordonnées. Mais l’algèbre linéaire, à son tour, a engendré des calculs : le calcul vectoriel, le calcul matriciel ou le calcul barycentrique, qui ont permis à nouveau de remplacer certains raisonnements par desprocédures automatiques.

Les mathématiques sont ainsi une dialectique permanente entre deux tendances :d’un côté, remplacer les raisonnements par des calculs,de l’autre côté,remplacer les calculs par des raisonnements..."

le texte intégral de cette conférence (page 33 à 47)

Une vidéo de la conférence

Libellés : Conférence, Histoire des mathématiques


26 septembre 2008



La duplication du cube

La duplication du cube est un problème classique de mathématiques. C'est un problème géométrique, faisant partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la quadrature du cercle et la trisection de l'angle. Ce problème consiste à construire un cube, dont le volume est deux fois plus grand qu'un cube donné, à l'aide d'une règle et d'un compas. Cela revient

donc à multiplier l'arête du cube par .

Le problème a son origine dans une légende rapportée par Ératosthène dans Le Platonicien et par Théon de Smyrne dans son Arithmétique. Les Déliens, victime d'une épidémie de peste, demandèrent à l'oracle de Delphes comment faire cesser cette épidémie. La réponse de l'oracle fut qu'il fallait doubler l'autel consacré à Apollon, autel dont la forme était un cube parfait. Les architectes allèrent trouver Platon pour savoir comment faire. Ce dernier leur répondit que le dieu n'avait certainement pas besoin d'un autel double, mais qu'il leur faisait reproche, par l'intermédiaire de l'oracle, de négliger la géométrie.

La question intéressa de nombreux mathématiciens. Plusieurs solutions furent proposées par intersection de coniques ou par intersection de figures spatiales, mais aucune solution plane ne fut trouvée avec la seule utilisation de la règle et du compas.

En 1837, Pierre-Laurent Wantzel établit un théorème donnant la forme des équations des problèmes solubles à la règle et au compas.

Il démontre que n'est pas constructible.

La duplication du cube est donc impossible à réaliser.



22 septembre 2008

Continent sciences : Les 50 ans de l’IHES

Ecouter l'émission du lundi 22 septembre 2008 dont l'invité est Jean-Pierre Bourguignon , directeur de l’IHES (institut des hautes études scientifiques) , à l'occasion des 50 ans de cette institution.



Fondé en 1958, L’IHES , au sud de Paris, est entièrement dévolu aux mathématiques et à la physique théorique. L’établissement fonctionne selon des règles très originales : ses trois ou quatre membres permanents, nommés à vie, ne sont soumis à aucune autre contrainte que celle d’être présents six mois par an. Le centre accueille, pour des périodes variées, un flux constant de scientifiques du monde entier;ceci a fait dire à Marcel Boiteux, le dernier président : "L'IHÉS est un foyer rayonnant, une ruche et en même temps un monastère où germent des travaux profonds longuement mûris dans le calme".Cette école ,depuis sa création, a été couronnée par 7 médailles Field (l’équivalent du prix Nobel pour les mathématiques), c’est énorme ! Un grand pays comme l’Allemagne par exemple n’a obtenu en 50 ans qu’une seule médaille Field.Peu de gens savent que la région parisienne est une véritable« Mathematic Valley »L’Ile-de-France accueille en effet plusieurs centaines de chercheurs, issus des pépinières traditionnelles parisiennes que sont l’Ecole polytechnique et l’Ecole normale supérieure, fondées toutes deux sous la Révolution, mais aussi les universités Pierre-et-Marie-Curie (Paris VI), Denis-Diderot (Paris VII) et d’Orsay, ainsi que l’Institut des hautes études scientifiques de Bures-sur-Yvette qui attire à lui tout seul un nombre impressionnant de scientifiques et de mathématiciens de renommée mondiale

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16 septembre 2008

Duplication du carré et maïeutique de Socrate.(message à JFS*)

Etant donné un carré, construire un carré d'aire double. Le carré donné est AEIH de côté 1. Le carré ABCD est de côté 2;le carré EFGH, construit sur les milieux de ce carré, réalise la duplication du carré AEIH.



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Socrate l'aurait proposé à un esclave,afin de démontrer que la science est en chacun de nous En vérité, l'esclave se trompa et pensa qu'il suffisait de doubler le côté du carré donné ,ce qui quadruple l'aire initiale.L'esclave propose ensuite de considérer un carré dont le côté est la moyenne arithmétique du côté initial et de son double. Socrate l'amène à trouver que l'aire vaut alors les 9/4 de l'aire initiale. L'esclave arrive à une impasse : il ne peut trouver un nombre solution du problème.

Socrate le guide alors vers la voie géométrique, il reproduit 3 carrés semblables au premier et trace une diagonale. L'esclave poursuit le raisonnement et construit enfin la solution au problème.

En rouge le carré initialEn pointillé, les tracés de SocrateEn bleu, la réponse de l'esclave

D'après Socrate, l'esclave a retrouvé en lui une vérité qu'il possédait ; la démarche employée procède de la maïeutique (du grec μαιευτικη, par analogie avec le personnage de la mythologie grecque Maïa, qui veillait aux accouchements) technique qui consiste à bien interroger une personne pour lui faire exprimer (accoucher) des connaissances qu'elle

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n'aurait pas conceptualisées.*JFS est le regretté maître de philosophie du lycée Jean Moulin, docteur es maïeutique.

Source : Wikipédia , pour partie.



01 août 2008

Colloque Gabriel Lamé -Nantes, 15-17 janv. 2009:Les pérégrinations d'un ingénieur du XIXe siècle

La fiche d'inscription sera disponible début septembre sur le site du Centre François Viète

15-16-17 janvier 2009 à la MSH de Nantes (nouveaux locaux)

(Centre François Viète d’histoire des sciences et des techniques et MSH Ange Guépin)

Gabriel Lamé (1795-1870) est un ingénieur, physicien et mathématicien important. Il a été élève de Polytechnique et professeur de cette École, ingénieur du corps des Mines et professeur à la Sorbonne. Ce personnage est exemplaire, car à partir de lui nous pourrons évoquer aussi bien les prouesses techniques du XIXe siècle (les ponts suspendus) que les nouvelles conceptions physiques (sur l’élasticité par exemple) en passant par des investigations mathématiques (sur la fameuse conjecture de Fermat par exemple). Il y a exactement 150 ans paraissaient les Leçons sur les coordonnées curvilignes et leurs diverses applications (1859) de



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Gabriel Lamé, dans lequel celui-ci appelait à « l’avènement futur d’une science rationnelle unique ».



15 juillet 2008

Pappus d'Alexandrie.



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Si on a pu construire une chaîne de cercles(par exemple 11 cercles sur la figure ci-contre), tangents entre eux et tangents aux cercles C1 et C2, alors on pourra construire une autre chaîne d'autant de cercles, en partant d'un cercle quelconque tangent à C1 et C2.Cette propriété est due au mathématicien Grec Pappus.Pappus d'Alexandrie vécut au IVe siècle après J.C. Il est un des plus importants mathématiciens de la Grèce antique, connu pour son ouvrage Synagoge (traduit en français sous le titre de « Collection mathématique»).

Il enseigne à Alexandrie au début du IVème s., et, par l'intermédiaire de ses nombreux disciples, fait renaître un intérêt pour les mathématiques. Vers 340, il écrit son ouvrage Mathamatikon sinagogon biblia i.e. Collections mathématiques qui, comme son nom l'indique, reprend toutes les connaissances grecques en géométrie. Pappus redonne les principaux résultats d'Euclide, Archimède et Ptolémée. Il complète certaines propriétés, simplifie quelques démonstrations. Cependant, il propose aussi de nouveaux résultats. Il est le premier à réfléchir sur la méthode analytique de résolution d'un problème : on suppose le résultat, on en tire les conséquences qui caractérisent l'objet cherché, et on vérifie dans la synthèse que celui-ci convient. Son œuvre se compose de huit livres, dont le premier et une partie du second sont perdus.

Dans le livre III, Pappus étudie la théorie des proportions et classe les constructions géométriques en trois groupes : celles qui se font avec des droites et des cercles; celles qui utilisent en plus des sections coniques; celles qui font appel à des courbes. Il donne des indications sur les trois grands problèmes de l'antiquité, affirmant que la duplication du cube et la trisection de l'angle sont à classer dans la deuxième catégorie, et que la quadrature du cercle fait partie de la troisième.

On trouve dans le livre IV des généralisations de théorèmes, entre autres celui de Pythagore, et des études de courbes, en particulier la spirale d'Archimède.

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Le livre V, inspiré de Zénodore , mathématicien grec du IIème s., traite des isopérimètries. Pappus démontre qu'à périmètre égal, un polygone a une aire d'autant plus grande qu'il a de côtés, justifiant ainsi que les cellules des abeilles soient hexagonales plutôt que carrées ou triangulaires. Dans le livre VII, Pappus s'intéresse aux coniques. Il étudie les propriétés du foyer et des directrices. Il semble qu'Apollonius connaissait déjà ceux-ci pour les coniques à centre, mais il est certain que Pappus innove pour la parabole. On y trouve aussi les théorèmes, comme celui de Guldin, qui permettent de calculer le volume de solides de révolution. Il détermine de nouvelles courbes comme lieu de points dont les distances à quatre, cinq ou six droites vérifient certaines relations.

Les livres VI et VIII sont consacrés à l'optique et à la mécanique. L'œuvre de Pappus est une synthèse de la géométrie de l'Antiquité. Il faudra attendre plus de mille ans pour en améliorer les résultats.Pour toutes ces raisons, Pappus est considéré comme le dernier grand géomètre de l'Antiquité grecque.

C'est en effet par Pappus que nous sont parvenues les sources les plus riches des mathématiques grecques, et que nous connaissons les titres et le contenu des grands traités de l'époque hellénistique (la Petite Astronomie, le Trésor de l'Analyse).

De nos jours , son nom est resté attaché au théorème de Pappus.

Voici l'énoncé du théorème de Pappus:

Soient A, B, C trois points d’une droite (d) et A', B', C' trois points d’une droite (d').L'intersection des droites (BC') et (B'C), des droites( CA') et (C'A), et des droites (AB') et (A'B) sont trois points alignés (en rouge sur la figure).


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09 juillet 2008

L’Institut des Hautes Etudes Scientifiques (IHES) a 50 ans cette année.

Fondé en 1958, L’IHES (Institut des hautes études scientifiques) au sud de Paris, est entièrement dévolu aux mathématiques et à la physique théorique. L’établissement fonctionne selon des règles très originales : ses trois ou quatre membres permanents, nommés à vie, ne sont soumis à aucune autre contrainte que celle d’être présents six mois par an. Le centre accueille, pour des périodes variées, un flux constant de scientifiques du monde entier.Cette école ,depuis sa création, a été couronnée par 7 médailles Field (l’équivalent du prix Nobel pour les mathématiques), c’est énorme ! Un grand pays comme l’Allemagne par exemple n’a obtenu en 50 ans qu’une seule médaille Field.Peu de gens savent que la région parisienne est une véritable« Mathematic Valley »L’Ile-de-France accueille en effet plusieurs centaines de chercheurs, issus des pépinières traditionnelles parisiennes que sont l’Ecole polytechnique et l’Ecole normale supérieure, fondées toutes deux sous la Révolution, mais aussi les universités Pierre-et-Marie-Curie (Paris VI), Denis-Diderot (Paris VII) et d’Orsay, ainsi que l’Institut des hautes études scientifiques de Bures-sur-Yvette qui attire à lui tout seul un nombre impressionnant de scientifiques et de mathématiciens de renommée mondiale

Ecouter Jean-Pierre Bourguignon, Directeur de l’IHES et Directeur de recherche au CNRS (1'58")



02 juillet 2008

La corde égyptienne ou corde à 13 noeuds.





La propriété des triangles rectangles appelée propriété de Pythagore, était déjà connue des géomètres égyptiens de l'époque pharaonique, donc bien avant la naissance de Pythagore. Ils l'appliquaient en architecture et en arpentage pour construire des angles droits :

La corde égyptienne est une corde avec 13 noeuds et 12 intervalles d'égale distance.

Avec cet outil, vous pouvez construire :

- un carré avec des côtés de 4 noeuds,

- un rectangle avec des côtés de 3 et 5 noeuds

- un triangle rectangle avec un côté à 4 noeuds et un à 5, qui permet de dessiner des angles de 90°, 60° ou 30°

- une pyramide

- un cercle

Aujourd'hui encore, certains maçons se servent de cet instrument pour vérifier leurs angles droits.



18 juin 2008

La Statistique ou l’Ecole du Doute par Marc Hallin

Marc Hallin est un Mathématicien-Statisticien d’envergure et de réputation mondiales qui fait la fierté de de l’Académie royale de Belgique. Dans cet exposé destiné à un public général, il esquisse les grandes étapes historiques et philosophiques de sa discipline en relation avec d’autres

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sciences notamment la physique, la génétique et l’économie. Il exprime sa propre philosophie des sciences.

Le doute engendre la science.

En outre, il a conçu une mise en scène proprement théâtrale. Une rencontre du Vrai et du Beau. Dans le doute.

Stat_Hallin.pdf



06 juin 2008

« Mathematic Valley »

Méconnue du grand public, l’école française de mathématiques est issue d’une longue tradition et occupe l’une des toutes premières places dans le monde.Les mathématiques sont partout. Elles envahissent l’imagerie médicale, l’économie, la banque, l’industrie pharmaceutique, la biologie... Elles sont omniprésentes mais secrètes. En empruntant Météor, une ligne de métro parisien sans conducteur, les usagers n’imaginent pas un seul instant que sa conception a nécessité la mobilisation de 150 mathématiciens durant cinq ans.

Peu de lycéens savent aussi que leur pays est considéré comme la troisième puissance mathématique de la planète, derrière les Etats-Unis et la Russie.

Cette excellence s’inscrit dans une longue histoire, qui commence avec le mathématicien Viète, au XVIe siècle. Elle s’est poursuivie ensuite avec Descartes (XVIIe siècle), Fermat (XVIIe siècle), Lagrange (XVIIIe-XIXe siècles), Laplace (XVIIIe-XIXe siècles), Galois (XIXe siècle)..., et a culminé avec l’un des plus grands mathématiciens de tous les temps : Henri Poincaré (1854-1912), sans doute le dernier à avoir eu une connaissance universelle des mathématiques et de leurs applications.Aujourd'hui , avec 3 000 chercheurs dans les universités et 300 au CNRS (Centre national de la recherche scientifique), la France compte , en proportion de sa population, le plus grand nombre de mathématiciens au monde.La région parisienne est une véritable « Mathematic Valley »L’Ile-de-France accueille en effet plusieurs centaines de chercheurs, issus des pépinières traditionnelles parisiennes que



sont l’Ecole polytechnique et l’Ecole normale supérieure, fondées toutes deux sous la Révolution, mais aussi les universités Pierre-et-Marie-Curie (Paris VI), Denis-Diderot (Paris VII) et d’Orsay, ainsi que l’Institut des hautes études scientifiques de Bures-sur-Yvette en région parisienne, un établissement de recherche aussi original que prestigieux.Fondé en 1958, L’IHES (Institut des hautes études scientifiques) au sud de Paris, est entièrement dévolu aux mathématiques et à la physique théorique. L’établissement fonctionne selon des règles très originales : ses trois ou quatre membres permanents, nommés à vie, ne sont soumis à aucune autre contrainte que celle d’être présents six mois par an. Le centre accueille, pour des périodes variées, un flux constant de scientifiques du monde entier.



03 juin 2008

Leopold Kronecker

"Dieu fit le nombre entier, le reste est l'oeuvre de l'homme".Leopold Kronecker

Depuis, les logiciens ont découvert que nous pouvions quasiment exclure Dieu de nos hypothèses de travail ; quasiment mais pas totalement.En effet,tous les nombres entiers peuvent être construits à partir de l'ensemble vide. En apparence, on obtient ainsi tout à partir de rien mais il s'agit d'un faux semblant car l'ensemble vide, ce n'est pas le néant.C'est beaucoup plus , puisqu'un axiome est nécessaire pour en assurer l'existence.

Libellés : Citations, Connaissance des mathématiciens, Histoire des mathématiques


02 juin 2008

Scolarité du surdoué Galois au lycée Louis-Le-Grand





En 1823,âgé de 12 ans,Evariste Galois entra au lycée Louis-le-Grand à Paris : sa première école !Dans sa biographie intitulée « genus and stupidity », Bell décrit cette école comme étant d'une froideur désespérante. «Barricadée de barreaux et de grilles, dominé par un directeur d'école ayant plus d'un préposé de prison que d'un enseignant, l'endroit ressemblait à une prison, elle en était une ». Bell qui s'appuie sur la biographie de Dupuy exagère. Dupuy, quant à lui, a écrit : « Sensible comme il l'était, l'enfant dut éprouver une impression singulière, en passant du village natal et de la maison paternelle, où la vie était grave et riante à la fois, dans cette sombre demeure du vieux Louis-le-Grand, toute hérissée de grilles et remuée de passions sous son aspect de geôle : passion du travail et des triomphes académiques, passions des idées libérales, passions des souvenirs de la Révolution et de l'Empire, haine et mépris de la réaction légitimiste. »

C'est une époque marquée par une turbulence d'événements politiques : il existait alors un triangle de tensions déséquilibrées entre les puissances cléricales, royalistes et républicaines qui ne manquèrent pas d'influencer le quotidien du lycée Louis-le-Grand. Ainsi les enseignants se succédaient à une cadence assez rapide et justement comme Galois entrait à Louis-le Grand, un nouveau proviseur, Monsieur Berthet, fut nommé. Croyant qu'il avait été mis en place afin de préparer le retour des jésuites, les élèves se révoltèrent. En conséquence 40 élèves furent renvoyés.Durant cette première année de lycée, Galois, qui était un nouveau, ne prit part à aucune activité de type politique, son bulletin scolaire était brillant et il obtint plusieurs prix.Dupuy écrit : « Cependant, on sait que l'internat eut une influence décisive sur son caractère ; ce fut, sans doute, la première crise de sa vie d'enfant. »Une grande obscurité entoure le parcours chronologique de sa scolarité. A mon avis, cela est dû à l'énumération des classes dans le système scolaire français : on y appelle la première année du lycée la « sixième », et, l'année précédant le bac la « première. » On sait cependant qu'Evariste fut admis d'emblée en 4e et donc, qu'il sauta deux classes d'un coup.Ses débuts sont bons et soulignent la bonne préparation qu'il a obtenue de sa mère, mais en 1825/ 26, son attitude change.Durant l'hiver, il souffrit d'une douleur auriculaire persistante, certainement due aux conditions de vie très rigoureuses de l'internat. Bell en donne une interprétation plutôt « romantique » disant que son génie mathématique commença alors à se manifester.A la fin de cette année-là, le père d'Evariste reçut une lettre du directeur du lycée, l'informant qu'il serait préférable pour son fils de redoubler sa classe de première (appelée alors classe de Rhétorique) en raison de son manque de maturité.Son père refusa et Evariste passa dans la classe supérieure, cependant quelques mois plus tard, en janvier, il dut retourner en seconde.En février, Evariste Galois, s'inscrivit en classe de Mathématiques, dans le cours de Monsieur Vernier. C'est alors qu'il fit connaissance avec le texte de Legendre sur la

géométrie et sur la théorie des équations selon les travaux de Lagrange. Par ailleurs, il continuait à afficher un désintérêt total pour toutes les autres matières. Ses professeurs se plaignaient de son manque de participation au cours et de ses devoirs non faits.Dans le deuxième bulletin annuel, on peut lire l'annotation suivante : « C'est la fureur des mathématiques qui le domine, aussi je pense qu'il vaudrait mieux pour lui que ses parents consentent à ce qu'il ne s'occupe que de cette étude ; Il perd son temps ici et n'y fait que tourmenter ses maîtres et se faire accabler de punitions».Quand il est finalement admis en première, son comportement ne change pas ! Voici quelques remarques des professeurs rapportées dans la biographie de Dupuy : « Sa facilité ne paraît plus qu'une légende à laquelle on cessera bientôt de croire ; Il n'y a trace dans les devoirs, quand il daigne en faire, que de bizarrerie et de négligence ; Il est toujours occupé de ce qu'il ne faut pas faire, il l'affecte même ; Il prend à tâche de fatiguer ses maîtres par une dissipation incessante ; Il baisse tous les jours. »Texte de Bernard Bychan ; extrait du site :Les archives de Evariste Le Galois



22 mai 2008

Le Palais de la découverte menacé !

Le néo-libéralisme aime les sciences et les techniques tant qu'il peut y voir une utilité et des retombées sonnantes et trébuchantes mais il déteste l'intérêt gratuit qu'on peut leur porter.Le Palais de la Découverte semble menacé de disparition par des projets gouvernementaux.Ce serait une grave atteinte contre la pensée, contre la connaissance, contre la culture.

Que l’on soit scientifique, littéraire, artiste, quelle que soit la forme de créativité ou d’engagement dans le monde, le Palais ouvre des voies, jette des ponts entre les savoirs, les expériences, les intuitions. Nul besoin de connaissances approfondies pour ressortir en se sentant plus intelligent, plus curieux, plus humain.Le Palais est aussi un grand incubateur de vocations scientifiques.Plus de la moitié des scientifiques franciliens, dont certains prix Nobel, disent y avoir trouvé leur vocation, dans l’émerveillement de visites enfantines.La France manque cruellement de scientifiques et d’ingénieurs, tout le



monde le sait. Ce serait une totale absurdité de détruire un lieu créateur de tant de motivation chez les jeunes.Le Palais est enraciné dans une idée visionnaire.Il a été créé pendant le Front Populaire par Jean Perrin, prix Nobel de physique pour ses travaux sur l’atome, à l’époque où, ministre du Front Populaire, il créa aussi le CNRS.Son ambition était de : « … répandre dans le public le goût de la culture scientifique, en même temps que les qualités de précision, de probité critique et de liberté de jugement que développe cette culture et qui sont utiles et précieuses à tout homme… » ...Le savoir et la curiosité sont un bien, un trésor, un héritage.Veut-on le détruire ?

Le texte d'origine , la pétition et votre signature ici

Libellés : Histoire des mathématiques, Infos et actualités, Messages aux collègues


20 mai 2008

Le paradoxe de Russel

On peut formuler le paradoxe ainsi : l'ensemble des ensembles n'appartenant pas à eux-mêmes appartient-il à lui-même ? Si on répond oui, alors, comme par définition les membres de cet ensemble n'appartiennent pas à eux-mêmes, il n'appartient pas à lui-même : contradiction. Mais si on répond non, alors, il a la propriété requise pour appartenir à lui-même : contradiction de nouveau. On a donc une contradiction dans les deux cas, ce qui rend l'existence d'un tel ensemble paradoxal. Redit dans le langage formel actuel, si l'on pose :

y = {x | x ∉ x}

on a immédiatement que y ∈ y ⇔ y ∉ y,donc chacune des deux possibilités, y ∈ y et y ∉ y, mène a une contradiction.Le paradoxe utilise très peu des propriétés de l'appartenance, une relation binaire suffit, ce qui a permis à Bertrand Russell de l'illustrer sous la forme plus imagée, mais qui a la même structure, du paradoxe du barbier. Un barbier se propose de raser tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux-là. Le barbier doit-il se raser lui même ? L'étude des deux possibilités conduit de nouveau à une contradiction. On résout le problème en affirmant qu'un tel barbier ne peut exister (ou, en jouant sur les mots, qu'il n'est pas un homme), ce qui ne surprendra personne : il n'y a pas vraiment de paradoxe. Plus exactement la démonstration qui précède constitue justement une démonstration de la



non-existence d'un tel barbier.Pourquoi les choses ne sont-elles pas aussi simples en théorie des ensembles ? Un principe qui semble assez naturel est de considérer que toute propriété, plus précisément tout prédicat du langage, définit un ensemble : celui des objets qui vérifient cette propriété. Mais si l'on utilise ce principe, dit principe de compréhension sans restriction, on doit admettre l'existence de l'ensemble paradoxal, défini par le prédicat « ne pas appartenir à soi-même » -- c'est ce que l'on a fait justement en « définissant » l'ensemble y = {x | x ∉ x} -- et la théorie devient contradictoire.

Bertrand Arthur William Russell 1872, 1970, fut un mathématicien, logicien, philosophe, épistémologue, homme politique et moraliste britannique.Considéré comme l'un des plus importants philosophes du XXe siècle, avec une pensée qui peut être présentée selon trois grands axes.La logique et le fondement des mathématiques : Russell est l'un des fondateurs de la logique contemporaine. Son ouvrage majeur, est Principia Mathematica .Il soutint l'idée d'une philosophie scientifique et a proposé d'appliquer l'analyse logique aux problèmes traditionnels, tels que l'analyse de l'esprit, de la matière (problème corps-esprit), de la connaissance, ou encore de l'existence du monde extérieur. Il est ainsi le père de la philosophie analytique.L'engagement social et moral : il écrivit des ouvrages philosophiques dans une langue simple et accessible, en vue de faire partager sa conception d'une philosophie rationaliste œuvrant pour la paix et l'amour.Son œuvre, qui comprend également des romans et des nouvelles, fut couronnée par le prix Nobel de littérature en 1950, en particulier pour son engagement humaniste et comme libre penseur. Enfin, il devint membre du Parlement britannique.

Source : Wikipédia



12 mai 2008

Qui est-ce ?

1949 : Naissance 1968 : Entrée à l'École Normale Supérieure1971 : 1er à l'agrégation de mathématiques1993 : Professeur à l'ENS1998 : Rapport sur la cryptologie remis au gouvernement qui aboutira l'année suivante à la nouvelle réglementation sur la cryptographie.1999 : Devient directeur du département d'informatique de l'ENS2003 : Prix Lazare Carnot de l'Académie des sciences2005 : Médaille d'argent du CNRS2006 : Médaille d'or du CNRS A l'origine de 150 publications (chercheur français vivant ayant le plus important nombre de



publications aux congrès CRYPTO/EUROCRYPT, les plus prestigieux en cryptologie) véritable père fondateur d'une école de cryptologie classant la France aux avant-postes de l'Europe dans la discipline.

Visionner une vidéo où il explique l'histoire de la cryptologie

Libellés : Conférence, Connaissance des mathématiciens, Histoire des mathématiques


Image des sciences : Michel Serres

L'image des sciences est aujourd'hui quelque peu dévalorisée.Les scientifiques, dans l'imaginaire de quelques uns,de plus en plus nombreux,je le crains, seraient des esprits rigides,peu attirés par la littérature,la philosophie ou les arts, anti-écolo, peu soucieux des droits de l'homme, etc...

Michel Serres est né en 1930 à Agen. D’origine gasconne modeste, il entre à l’École Navale ( école scientifique ) en 1949, puis à l’École normale supérieure en 1952 ; il passe l’agrégation de philosophie, sert dans la Marine nationale puis enseigne définitivement la philosophie dans diverses universités. Il est membre de l’Académie française depuis 1990 .Parmi toutes ses œuvres, citons Hermès (de 1969 à 1980), Genèse (1952), Le contrat naturel (1990), Le tiers-instruit (1991), Eloge de la philosophie en langue française ( 1995).Rameaux( 2004). Petites chroniques du dimanche soir( 2006) ; L'art des Ponts Homo pontifex (2006) ;Le mal propre : polluer pour s'approprier ? ( 2008.)

Une réflexion sur les sciences traverse toute votre œuvre. Vous avez d’abord suivi des études scientifiques.Comment avez-vous été amené à passer de l’Ecole navale à la philosophie ?

Michel Serres - Ne croyez pas que les questions concernant l’éthique de la science soient nouvelles. Pour ne prendre qu’un exemple : au lendemain d’Hiroshima, lorsque la physique a produit l’arme de destruction massive, toute ma génération s’est interrogée sur l’éthique de la science. Plusieurs physiciens sont devenus biologistes à cause de la bombe atomique. Cet événement a retenti sur le champ de recherche de toute une génération. Quant à moi, qui avais commencé à travailler dans le champ des mathématiques et de la physique théorique, ce contrecoup a fait de moi un philosophe. Je suis un fils d’Hiroshima.

Certes, je n’avais que quinze ans lors de l’explosion de la bombe. Mais mes professeurs en avaient vécu le choc et m’ont influencé. C’est une fois entré à l’Ecole navale que j’ai découvert la violence de l’arme scientifique.



J’ai démissionné pour réorienter mes études. Il y avait dans ma démarche comme une forme d’objection de conscience.

Pourquoi avoir choisi Leibniz comme premier objet de vos recherches philosophiques ?

Michel Serres - Ce choix est en partie circonstanciel, mais pas totalement. J’ai été témoin de cette révolution qu’a représentée le partage entre mathématiques modernes et mathématiques classiques ; elle impliquait un véritable débat sur les questions de connaissance. Leibniz, mathématicien allemand et philosophe de langue française, avait été le premier contemporain d’une telle révolution scientifique. Je me suis fait philosophe pour une révolution morale, et mon premier travail s’est attaché à une révolution scientifique, les deux impliquant une philosophie. Ce sont donc des raisons à la fois contemporaines et absolument essentielles au problème de la connaissance...

Extrait d'une Interview donnée à la revue Projet en Juin 2003.La suite de l'interview ici

Libellés : Art et mathématiques ; mathématiques et philosophie, Histoire des mathématiques


08 mai 2008

Un dossier de Radio-Canada : Histoire des chiffres.

Il y a quelque 40 000 ans, au moment de leur émergence, les premiers Homo sapiens ne connaissaient pas les chiffres. Selon toute probabilité, tout a commencé lorsqu'ils ont voulu connaître combien de gibier ils avaient abattu. L'idée leur vint de recourir aux entailles. Il y a 20 ou 30 000 ans, pour chaque animal tué, on gravait un trait sur un os ou sur une pierre.

Un excellent dossier sur l'histoire des chiffres,de ses débuts jusqu'à l'invention du zéro; Ici



http://abcmaths.free.fr/blog/uploaded_images/chiffres-734174.bmp



06 mai 2008

Mathématiques et imagination: Lundi 19 mai au centre Pompidou . Avec Jean-Pierre Kahane,Michèle Audin,Isabelle Gallagher, Benoît Rittaud.

Science de la rigueur, spécialité masculine, exercée par des chercheurs solitaires et indifférents aux problèmes de société, réputées trop difficiles, etc. Aussi anciens qu'ils sont tenaces, ces stéréotypes font pâtir les mathématiques d'une image globalement négative dans l'opinion publique… quand ils ne vont pas jusqu'à inspirer la crainte.

Les mathématiques occupent pourtant une place singulière dans le champ des connaissances, par la forme de pensée particulière qu'elles constituent, par leur position vis-à-vis des autres sciences, leur rapport au réel et leur rôle dans la société.

Alors, à quoi servent-elles et quelle est leur place dans la culture et dans la société ? Si elles constituent une autre manière de penser, comment les enseigner ? Sont-elles une école de la rigueur ou avant tout une science de l'imagination ? Les filles peuvent-elles être « bonnes en maths » ? Peut-on jouer avec les mathématiques ?

À partir de ces questions – et d'autres encore – des mathématiciens et des chercheurs viendront proposer leurs réflexions et débattre sur ce que sont les mathématiques aujourd'hui.

19h00Introduction : autour d'une phrase de CondorcetPar Jean-Pierre Kahane, mathématicien, professeur à l'université de Paris-Sud-Orsay, membre de l'Académie des sciences

Table ronde : mathématiques et imagination. Développement du thème par des mathématiciens, chacun partant de son expérience propre de recherche et/ou d'enseignement. Avec : Michèle Audin, mathématicienne, professeur à l'Université de StrasbourgIsabelle Gallagher, mathématicienne, professeur à l'Université de Paris 7

Benoît Rittaud, mathématicien, maître de conférences à l'Université de



Paris 13

20h30Jouets mathématiques Par Tadashi Tokieda, mathématicien, professeur à l'Université de Cambridge

Animation : Ariane Poulatzas, journaliste scientifique



Les métamorphoses du calcul avec Gilles Dowek, Grand Prix de philosophie 2007 de l’Académie française

Si, généralement, on fait débuter l’histoire des mathématiques aux Ve siècle avant J.C., son histoire s’avère plus ancienne, et serait même antérieure à l’écriture. Des premiers raisonnements mathématiques à la démonstration automatique utilisée en informatique, Gilles Dowek nous donne quelques éléments pour comprendre l’évolution des mathématiques.Emission proposée par : Elodie Courtejoie

Suivez ce lien pour écouter

Durée : 00:25:45

Télécharger cette émission (23.6 Mo) :Sur le lien ci-dessus, faire un clic droit et "Enregistrer la cible sous..."



29 avril 2008

Surfaces minimales

En mathématiques et en physique, une surface minimale est une surface minimisant son aire. Ce minimum est réalisé sous une contrainte : un ensemble de points, le bord de la surface, est d'avance déterminé. Si un





cerceau est retiré d'une bassine d'eau savonneuse, un disque de liquide reste fixé. Un souffle dessus déforme légèrement le disque en une calotte sphérique. Si l'étude fait appel à la physique des liquides, le traitement mathématique utilise le langage des surfaces minimales.

Intuitivement, une surface minimale est une surface dont l'aire ou le volume ne peut qu'augmenter lorsqu'on lui applique une perturbation suffisamment petite. Les surfaces minimales forment donc l'analogue en dimension supérieure des géodésiques (courbes dont la longueur ne peut qu'augmenter sous l'effet d'une perturbation assez petite et assez localisée).En 1744, Leonhard Euler (encore lui !) posait et résolvait le premier problème de surface minimale : trouver, entre toutes les surfaces passant par deux cercles parallèles, celle dont la surface était la plus petite. Il découvrit ainsi la caténoïde.

Libellés : Courbes ou surfaces mathématiques, Histoire des mathématiques, Images mathématiques


23 avril 2008

La première horloge à pendule? Galileo Galilei.

A l'âge de dix-neuf ans, observant dans la cathédrale de Pise une lampe qui se balançait à la voûte, et remarquant que les oscillations en étaient isochrones - la période , c'est à dire la durée d'un aller et retour complet du pendule semblait être remarquablement constante pour un pendule donné-Galilée eut l'idée d'appliquer le pendule à la mesure du temps. Toutefois, ce ne fut qu'à la fin de sa vie, dans un ouvrage publié en 1638, qu'il exposa cette découverte. Il dessina en



http://abcmaths.free.fr/blog/uploaded_images/220px-Pisa.Duomo.dome.Riminaldi01-738777.jpg

1641 un projet d'horloge réglée par un pendule oscillant sans la construire. Ce sont finalement Christiaan Huygens et Salomon Coster qui construisirent la première horloge à pendule en 1657.



14 avril 2008

Qui est-ce ?

C'est un mathématicien perse.Il est né à Khiva en 788.Il meurt à Bagdad en 850.Son premier ouvrage, Kitab al jabr ..., donne son nom à l'algèbre.Dans son deuxième ouvrage, il explique le maniement de la numération indienne.Son prénom est Mohammed.Son nom, latinisé au Moyen Âge en Algoritmi, puis en Algorisme par les Européens, est à l'origine du mot algorithme, qui veut dire « procédure ».Lors de sa première conférence en tant que titulaire de la chaire Liliane Bettencourt d'innovation technologique au Collège de France, Gérard Berry a déclaré qu'il ne faisait aucun doute que ce mathématicien était l'inventeur de l'informatique.De manière anecdotique, on lui doit aussi la tradition consistant à appeler X l'inconnue d'une équation mathématique .



31 mars 2008

Drame de sciences

La science a-t-elle jamais été un long fleuve tranquille ? La réponse, bien sûr, est négative. La science et ses applications comportent, elles aussi, comme toute activité humaine, un catalogue de morts, de martyres, de suicidés. Pierre Zweiacker , professeur de physique à





http://www.tv-radio.com/ondemand/france_culture/CONTINENT_SCIENCES/CONTINENT_SCIENCES20080331.ram

l'Université de Lausanne, retrace cette histoire, souvent tragique et bien mal connue.Une émission proposée par France Culture(passer les 3 premières minutes consacrées à l'influence sur l'effet de serre des pets de Kangourou)

Libellés : Conférence;interview, Histoire des mathématiques


28 mars 2008

Le pentagramme et le nombre d'or (par Walt Disney)

"Il y a de la petite partie à la plus grande , le même rapport que de la grande au tout"Phrase de Vitruve , architecte romain du premier siècle avt J.C.Tout rectangle dont les proportions vérifient L / l = (L+l) /Lest un rectangle d'or.Cette proportion égale à (1+rac(5))/2 , baptisée par la lettre grecque Phi ,est le nombre d'or (ou proportion divine).Des milliers de pages ont été écrites sur ce nombre , connu depuis la nuit des temps et qui possède effectivement de nombreuses propriétés mathématiques remarquables.Des séquences filmées aussi . Je possède une vidéo en anglais contenant un dessin animé très bien fait montrant quelques propriétés de la proportion divine . J'ai l'habitude de la faire voir aux élèves en fin d'année car cela me permet, en plus de leur faire découvrir le nombre d'or, de leur laisser croire que je suis très fort en anglais.J'ai retrouvé cet extrait sur le net mais cette fois en français . Le voici:

Un applet géogébra expliquant la spirale d'or

Libellés : Histoire des mathématiques, musique et arts


21 mars 2008

Qui est-ce ?

Il est né un 21 mars , il y a 240 ans exactement.





Il fait ses études chez les Bénédictins à l'École militaire d'Auxerre.

Il intègre l'École normale supérieure, où il a entre autres comme professeurs Joseph-Louis Lagrange et Pierre-Simon Laplace, auquel il succède à la chaire à Polytechnique en 1797.

Il participe à la Révolution, manquant de peu de se faire guillotiner durant la Terreur, sauvé de justesse par la chute de Robespierre.

En 1817, il est élu membre de l'Académie des sciences.

En 1826, il est élu membre de l'Académie française.

Il est connu pour sa Théorie analytique de la chaleur, paru en 1822.

C'est à Grenoble qu'il conduit ses expériences sur la propagation de la chaleur qui lui permettront de modéliser l'évolution de la température au travers de séries trigonométriques.

Ces travaux ont ouvert la voie à la théorie des séries et des transformées qui portent son nom et que les actuels étudiants de MP (maths spé) connaissent bien.

Il a ouvert un champ de travail immense pour les mathématiciens.

Quelques exemples qui doivent beaucoup à ses travaux:

Voulez vous "ausculter" un train d'engrenages sans l'arrêter pour évaluer le risque de casse afin d'intervenir avant celle-ci .

Vous cherchez du pétrole en analysant les ondes réfléchies par le sous-sol .

Vous avez la vie sauve grâce au scanner médical.

Toutes les photos au format JPEG...

Les problèmes posés par sa série sont responsables de 200 ans d'avancées spectaculaires, incluant de nouvelles et célèbres théories, celle des ensembles et celle des ondelettes, pour n'en citer que deux. Et ce n'est apparemment pas terminé!



01 mars 2008



Les mathématiques discrètes.

Les mathématiques discrètes, parfois appelées mathématiques finies, sont l'étude des structures mathématiques fondamentalement discrètes, dans le sens où la notion de continuité n'est pas exigée ou supportée. La plupart des objets étudiés en mathématiques discrètes, si ce n'est pas la totalité, sont des ensembles dénombrables comme celui des entiers.

Les mathématiques discrètes s'intéressent donc à des objets énumérables, comme une succession de nombres entiers, un réseau routier fait de carrefours reliés par des routes, le codage et l'interprétation de données, etc...

Les mathématiques discrètes sont devenues populaires ces dernières décennies du fait de leurs applications dans l'informatique. En effet ,les notations et les concepts des mathématiques discrètes sont utilisés pour exprimer ou étudier des problèmes et des objets en algorithmique et en programmation.

Les mathématiques discrètes interviennent principalement dans :

la théorie des nombres;la combinatoire;la théorie des graphes;la théorie de l'information;la théorie des langagesla théorie de la calculabilité et de la complexité.

Dans le cadre du cycle de conférence :Quand les mathématiques se font discrètes, la Cité des sciences et de l'industrie vous donne rendez-vous le mardi 13 mai 2008 à 18H30, pour une conférence ayant pour thème :

Les suites de Fibonacci aléatoires, par Benoît RITTAUD,maître de conférences à l'université Paris-XIII.

Libellés : Conférence, Histoire des mathématiques, Infos et actualités


23 février 2008

Les chiffres romains

Les chiffres romains étaient utilisés par les Romains de l'antiquité pour, à partir de seulement sept lettres,écrire des nombres entiers jusqu'à environ 4 999.Contrairement à l’idée reçue, les chiffres romains ne sont pas acronymiques : le symbole qui représente le chiffre n’est pas l’initiale du chiffre en question.



Ainsi, C n’est pas l’abréviation de centum, ni M celle de mille.Ils proviendraient plutôt d’anciennes entailles dont les figures ont fini par être confondues avec des lettres.

Le repérage n'est pas aisé dès que le nombre d'encoches dépasse une poignée, parce que l'oeil ne perçoit pas clairement les collections au delà de trois ou quatre items: lire IIIIIIII est pratiquement impossible (par comparaison à VIII, beaucoup plus simple). Le berger est naturellement conduit à intercaler régulièrement des encoches de forme différente, pour servir de repère visuel; et le regroupement naturel (pour un berger comptant sur ses doigts) est par groupes de cinq. Un tel regroupement est toujours utilisé de nos jours sur les règles à mesurer.Le repère "cinq" naturel pourra être une encoche plus longue (utilisée sur les règles), ou en biais (utilisée sur les tailles), mais ces deux marques ne se différencient pas bien des encoches simples quand il s'agit de les transcrire. Les marques simples finalement utilisées sont formées par une encoche double (en forme de V)I 1

V 5

X 10

L 50

C 100

D 500

M 1000

Un nombre écrit en chiffres romains se lit de gauche à droite : si un chiffre est plus grand ou égal à son successeur, on l’ajoute à la somme ; s’il est plus petit, on le soustrait. Ainsi, XXVI = 10 + 10 + 5 + 1 = 26 ; XXIV = 10 + 10 + (5-1) = 44.

La langue latine confirme l’ancienneté du procédé soustractif : ainsi, dix-neuf se dit undeviginti (« un ôté de vingt ») et dix-huit duodeviginti (« deux ôté de vingt »).Le système de numération romain est un système décimal où le zéro n’existait pas, ce qui rendait les calculs difficiles.Les géomètres et les comptables ont donc besoin d’instruments qui les aident à calculer.À l’époque républicaine , les Romains utilisent un abaque compteur:il s’agit d’une table, divisée en colonnes dont chacune représente une puissance de dix, dans l’ordre décroissant de gauche à droite.

Source:wikipedia



11 février 2008

Topologie

La topologie est une discipline des mathématiques qui traite de la recherche des invariants dans une géométrie débarrassée de toute idée de mesure ou de distance. Appliquée à l'étude des surfaces, par exemple, elle recense les invariants qui résistent à la déformation de celles-ci. D'apparition récente (milieu du XIXème siècle avec Listing, Möbius, etc...), la topologie délaisse toute métrique pour s'intéresser de manière qualitative aux rapports spatiaux entre les différentes parties des figures.

La topologie se distingue d'abord de la géométrie euclidienne par la conception de l'équivalence entre deux objets. En géométrie euclidienne, deux objets sont équivalents si on peut transformer l’un en l’autre à l’aide d’isométries (rotations, translations, réflexions, etc.…) c'est-à-dire, des transformations qui conservent la valeur des angles, des longueurs, des aires, des volumes et autres. En topologie, deux objets sont équivalents dans un sens beaucoup plus large. Ils doivent avoir le même nombre de morceaux, de trous, d’intersections etc.… En topologie, il est permis de doubler, étirer, tordre etc.…des objets mais toujours sans les rompre, ni séparer ce qui est uni, ni coller ce qui est séparé. Par exemple, un triangle est topologiquement la même chose qu’un cercle, c'est-à-dire qu’on peut transformer l’un en l’autre sans rompre et sans coller. Mais un cercle n’est pas la même chose qu’un segment (on doit casser le cercle pour obtenir le segment).

C’est la raison pour laquelle on présente parfois la topologie comme une « géométrie de la feuille de caoutchouc » : c’est comme si l'on étudiait la géométrie avec une feuille de caoutchouc que l’on pourrait contracter, étirer, etc. Une plaisanterie traditionnelle entre topologues —



http://abcmaths.free.fr/blog/uploaded_images/tasse-762246.gif

mathématiciens travaillant sur la topologie — raconte d'ailleurs qu’un topologue est une personne qui ne sait pas distinguer une tasse d’un beignet.

Mais cette explication intuitive, quoique ingénieuse, est partielle et biaisée. Elle pourrait nous porter à croire que la topologie traite seulement d’objets et de concepts géométriques ; alors qu’au contraire, c’est la géométrie qui traite un certain type d’objets topologiques. Historiquement, la topologie a succédé à la géométrie, dont elle est une généralisation ; mais mathématiquement, la topologie précède la géométrie, qui n'en est qu'un cas particulier : les manuels et traités qui, comme celui de Bourbaki, procèdent du général au particulier, commencent ainsi par traiter de la topologie, dont dérivent les concepts et théorèmes de la géométrie.L’origine de la topologie est l’étude de la géométrie dans les cultures antiques. Le travail de Leonhard Euler datant de 1736 sur le problème des sept ponts de Königsberg est considéré comme l’un des premiers résultats de géométrie qui ne dépend d’aucune mesure, c’est-à-dire l’un des premiers résultats topologiques.Le terme « topologie », fut introduit en allemand en 1847 par Johann Benedict Listing dans « Vorstudien zur Topologie ».



19 janvier 2008

Augustin Louis Cauchy

Augustin Louis Cauchy, né à Paris en 1789 et mort à Sceaux en 1857, fut l'un des mathématiciens les plus prolifiques, derrière Leonhard Euler,



avec près de 800 parutions et sept ouvrages; sa recherche couvre l’ensemble des domaines mathématiques de l’époque.

Son œuvre a fortement influencé le développement des mathématiques au XIXe siècle. La négligence dont fit preuve Cauchy envers les travaux d'Évariste Galois et de Niels Abel, perdant leurs manuscrits, a cependant entaché son prestige.

Professeur à l'Ecole Polytechnique et au Collège de France, ses cours ont contribué à construire l'analyse sur des nouvelles bases.

Quelques résultats obtenus par CAUCHY :

En géométrie, il démontra qu'il n'existait que neuf polyèdres réguliers (les cinq convexes connus depuis l'antiquité et quatre non convexes)

Il a redémontré d'une autre manière la formule d'Euler sur les polyèdres(S + F – A = 2 où S est le nombre de sommets, F le nombre de faces et A le nombre d'arêtes du polyèdre.) et l'a même généralisé.

Il réforma complètement l'analyse en redéfinissant rigoureusement certains concepts (notions de limites, de continuités, ...)

Il créa la théorie des fonctions d'une variable complexe (avec les fonctions holomorphes, le théorème des résidus, les intégrales sur un chemin, ...)

On appelle suite de Cauchy, toute suite vérifiant : étant fixé arbitrairement, il existe Ntel que pour tout m et n supérieur à N, on ait |um – un | <

On montre que toute suite convergente est une suite de Cauchy, et que dans le cas où la suite est une suite réelle, la réciproque est aussi vraie.



28 décembre 2007

La conjecture de Goldbach.

En 1742, le mathématicien prussien Christian Goldbach écrivit une lettre au mathématicien suisse Leonhard Euler dans laquelle il proposait la conjecture suivante :Tout nombre supérieur à 5 peut être écrit comme une somme de trois nombres premiers.Euler, intéressé par le problème, répondit avec la version plus forte de la



conjecture :Tout nombre pair plus grand que deux peut être écrit comme une somme de deux nombres premiers. Par exemple,4 = 2 + 26 = 3 + 38 = 3 + 510 = 3 + 7 = 5 + 512 = 5 + 714 = 3 + 11 = 7 + 7

La conjecture originale est connue de nos jours sous le nom conjecture faible de Goldbach, la suivante est la conjecture de Goldbach forte. Celle-ci était connue de René Descartes. La version forte implique la version faible, puisque n'importe quel nombre plus grand que 5 peut être obtenu en ajoutant 2 ou 3 à un nombre pair plus grand que 2.Cette conjecture a fait l'objet de recherches par plusieurs théoriciens des nombres et a été vérifiée par ordinateur pour tous les nombres pairs jusqu'à 3*10^(17) à la date du 26 décembre 2005.La conjecture de Goldbach , qui est l'un des plus vieux problèmes non résolus de la théorie des nombres et des mathématiques a inspiré de nombreux romanciers.Afin de faire de la publicité pour le livre Uncle Petros and Goldbach's Conjecture de Apostolos Doxiadis, l'éditeur britannique Tony Faber offrit un prix de 1 000 000 $ pour une preuve de la conjecture en 2000. Le prix ne pouvait être attribué qu'à la seule condition que la preuve soit soumise à la publication avant avril 2002. Le prix n'a jamais été réclamé.



22 décembre 2007

La bataille des corps flottants

Les théories de Galilée lui attirent nombre d'ennemis. En septembre 1611, une fameuse controverse l'oppose à Delle Combe, devant le duc Cosme II de Médicis. Elle porte sur les raisons qui font que la glace flotte sur l'eau. Galilée arrive à démontrer que c'est parce que la glace est moins dense que l'eau, ce



qui remet en cause la doctrine aristotélicienne.Une vidéo de France 5 Education

Libellés : Documentaire télé, Histoire des mathématiques


Quand mathématiques et physique divorcent : Le paradoxe de Banach-Tarski .

L'infini est inaccessible - on peut l'approcher mais jamais l'atteindre - absent de la réalité, insaisissable, abstrait.

Infini et limite:

L'infini renvoie à la notion de limite - limite hors d'atteinte et non frontière franchissable.

De la limite à l'extrême limite, la mesure comme arbitre:

L'extrême limite reste dans le domaine du tangible. C'est le dernier lieu accessible où la mesure s'impose comme arbitre.

La théorie mathématique de la mesure a donné lieu en 1924 auparadoxe de Banach-Tarski.Ce paradoxe, montre qu’il est possible de couper une boule de en un nombre fini de morceaux et de réassembler ces morceaux pour former deux boules identiques à la première.Il montre qu’il existe des morceaux non-mesurables, sans quoi on obtiendrait une contradiction(la longueur, la surface ou le volume étant des exemples de mesures).Il remet en cause notre notion intuitive de volume, puisque il n’y pas de« création » de matière, donc il existe des parties de pour lesquelles la notion de mesure(et donc de volume) n’a pas de sens.La démonstration de ce paradoxe utilise l’axiome du choix, qui a été et est toujours contesté par certains mathématiciens. Par ailleurs, cet axiome est nécessaire pour construire des ensembles non mesurables.

C'est le grand divorce entre la physique dont les théories sont étayées par les résultats de mesure, et les mathématiques où la mesure même est objet de théorie.



http://abcmaths.free.fr/blog/uploaded_images/Tarski-702269.png



03 décembre 2007

Explication de l'arithmétique binaire : Un texte prophétique de Gottfried Wilhelm von Leibniz

Leibniz, un des plus grands esprits du millénaire, fut le premier à comprendre l'intérêt de la numération binaire pour le calcul automatique. Ci dessous, une partie de ce texte absolument prophétique écrit en 1703.

"Le calcul ordinaire d'Arithmétique se fait suivant la progression de dix en dix. On se sert de dix caractères, qui sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, qui signifient zéro, un et les nombres suivants jusqu'à neuf inclusivement. Et puis allant à dix, on recommence, et on écrit dix par 10, et dix fois dix ou cent par 100, et dix fois cent ou mille par 1000, et dix fois mille par 10 000, et ainsi de suite.

Mais au lieu de la progression de dix en dix, j'ai employé depuis plusieurs années la progression la plus simple de toutes, qui va de deux en deux, ayant trouvé qu'elle sert à la perfection de la science des Nombres. Ainsi je n'y emploie point d'autres caractères que 0 et 1, et puis allant à deux, je recommence. C'est pourquoi deux s'écrit ici par 10, et deux fois deux ou quatre par 100, et deux fois quatre ou huit par 1000, et deux fois huit ou seize par 10 000, et ainsi de suite .

Table des nombres

o o o o o 0 0

o o o o o 1 1

o o o o 1 0 2

o o o o 1 1 3



http://abcmaths.free.fr/blog/uploaded_images/Leibniz-704288.jpg

o o o 1 0 0 4

o o o 1 0 1 5

o o o 1 1 0 6

o o o 1 1 1 7

o o 1 0 0 0 8

o o 1 0 0 1 9

o o 1 0 1 0 10

o o 1 0 1 1 11

o o 1 1 0 0 12

o o 1 1 0 1 13

o o 1 1 1 0 14

o o 1 1 1 1 15

o 1 0 0 0 0 16

o 1 0 0 0 1 17

o 1 0 0 1 0 18

o 1 0 0 1 1 19

o 1 0 1 0 0 20

o 1 0 1 0 1 21

o 1 0 1 1 0 22

o 1 0 1 1 1 23

o 1 1 0 0 0 24

o 1 1 0 0 1 25

o 1 1 0 1 0 26

o 1 1 0 1 1 27

o 1 1 1 0 0 28

o 1 1 1 0 1 29

o 1 1 1 1 0 30

o 1 1 1 1 1 31

1 0 0 0 0 0 32

On voit ici d'un coup d'oeil la raison d'une propriété célèbre de la progression géométrique double en Nombres entiers, qui porte que si on n'a qu'un de ces nombres de chaque degré, on en peut composer tous les autres nombres entiers au-dessous du double du plus haut degré. Car ici, c'est comme si on disait par exemple, que 111 ou 7 est la somme de quatre, de deux et de un, et que 1101 ou 13 est la somme de huit, quatre et un. Cette propriété sert aux Essayeurs pour peser toutes sortes de masses avec peu de poids et pourrait servir dans les monnaies pour donner plusieurs valeurs avec peu de pièces ..."

La suite est ici





02 décembre 2007

Avant les calculatrices ? Les tables de logarithme et la règle à calcul; c'était il y a .... moins de quarante ans !

Le principe de la règle à calcul est dû à l'invention par Neper des logarithmes (cette fonction qui permet de passer d'un produit à une somme et inversement) et on retrouve ce même principe dans les anciens livres constitués de tables de logarithmes. Ces longues tables sont constituées de deux colonnes : la première contient un nombre, la deuxième son logarithme. Il suffit alors pour faire le produit de deux nombres de la première colonne, d'additionner les deux nombres correspondant de la deuxième colonne. Par exemple, si je veux faire 71×92. Je regarde en face de 71 son logarithme, on trouve 1,85126. En face de 92, on a 1,96379. On fait la somme 1,85126+1,96379 et on trouve 3,81505. Il ne reste plus qu'à trouver ce dernier nombre dans la deuxième colonne, pour obtenir le résultat du produit dans la première colonne : On trouve 6532.

La règle à calcul reprend ce principe à l'aide de ses graduations : celles-ci ne sont pas espacées régulièrement mais suivant une échelle

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logarithmique. Le déplacement de la réglette permettant de faire une addition , il suffit de lire les graduations pour obtenir le résultat de la multiplication.

Un peu d’histoire :

John Napier (1550-1617), plus connu sous son nom francisé Neper, est un théologien, physicien, astronome et mathématicien écossais.

Les mathématiques n’étaient pas son activité principale mais il ne manquait pas d’idées pour simplifier les calculs. Il établit quelques formules de trigonométrie sphérique, popularisa l’usage du point pour la notation anglo-saxonne des nombres décimaux mais surtout inventa les logarithmes.

Son objectif était de simplifier les calculs trigonométriques nécessaires en astronomie. Il s’attacha à définir le logarithme d’un sinus en s’appuyant sur des considérations mécaniques de points en mouvement et sur le lien entre les progressions arithmétique et géométrique.

Sa description du nouvel outil parue en 1614 dans Mirifici logarithmorum canonis descriptio fut lue par Henry Briggs qui le rencontra en 1615 et poursuivit son œuvre, prenant pour sa part l’option du logarithme décimal.

En 1617, Napier publie sa Rhabdologie, dans laquelle il présente un procédé mécanique pour simplifier les opérations de produit (multiplications et divisions) qui portera le nom de bâtons de Napier.

C'est d'abord en Allemagne que les logarithmes vont se développer . Au début de 1617, KEPLER, fortuitement à Vienne, a l'occasion de consulter le premier ouvrage de NEPER. Le parcourant rapidement, il commet une erreur d'interprétation. Il en fera part l'année suivante dans une lettre a un ami:

" Un baron écossais dont je n'ai pas retenu le nom, propose un brillant travail dans lequel il remplace la nécessité de la multiplication et de la division, par la simplicité de l'addition et de la soustraction, sans employer les sinus: en échange, il a besoin de la règle des tangentes: et la variété, la longueur, la lourdeur de l'addition et de la soustraction se substituent à la difficulté des multiplications et divisions"

Or KEPLER utilise évidemment la règle des sinus, que ce soit dans un triangle plan ou sphérique; pour lui, le travail de NEPER ne présente pas d'intéret.

Dans le courant de 1618, il a cependant en main l'ouvrage de Benjamin URSINUS: "Trigonometria Logarithmica John Neperi"; il reconnait alors son erreur et se montre enthousiaste de ce nouveau calcul . En 1619, enfin, le livre "Mirifici Logarithmorum descriptio " arrive à Linz, chez KEPLER, lequel entreprend assez rapidement d'en modifier le concept pour l'adapter à ses

besoins. Son adhésion est telle qu'il dédie ses éphémerides de1620 (parues fin 1619) au "célèbre et noble seigneur JOHN NEPER, baron de MERCHISTON".

La diffusion sur le continent de cette nouvelle notion est surtout due aux tables publiées par le flamand Adrien ULACQ, en 1628, reprenant les tables de BRIGGS . Le but était de fournir un traité de calcul pratique, en particulier à l'usage des arpenteurs. Les premières tables furent suivies d'autres, de plus en plus précises, et mentionnant leur utilisation prioritaire pour les calculs trigonométriques.

La méthode de construction des tables passe d'abord, évidemment par la détermination des logarithmes des nombres premiers; les autres sont alors calculés par simple sommation.

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28 novembre 2007

Galileo Galilei (Galilée)

La philosophie est écrite dans ce vaste livre qui constamment se tient ouvert devant nos yeux (je veux dire l’Univers), et on ne peut le comprendre si d’abord on n’apprend pas à connaître la langue et les caractères dans lesquels il est écrit. Or il est écrit en langue mathématique, et ses caractères sont les triangles, les cercles et autres figures géométriques, sans lesquels il est humainement impossible d’en comprendre un seul mot, sans lesquels on erre vraiment dans un labyrinthe obscur.



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Galilée, l’Essayeur

Né à Pise en 1564, Galileo Galilei est le fils d’un musicien et compositeur florentin. D’abord novice au collège du monastère de Vallombrosa, il poursuit des études de médecine à l’université de Pise. Mais il est plus attiré par les mathématiques et quitte l’université sans diplôme. En 1588, sur la géographie de l’Enfer de Dante à l’Académie de Florence lui vaut les louanges de Guidobaldo del Monte qui l’aide à obtenir la chaire de mathématiques de Pise. A 35 ans, Galilée étudie les mouvements et décrit la chute des corps. Du haut de la tour de Pise, il lâche des balles de plomb, de bois, de papier et découvre que, quelle que soit leur masse, tous les corps sont animés du même mouvement. Il est également le premier à énoncer le principe de relativité. Lorsqu’on est à bord d’un navire qui vogue en ligne droite et à vitesse constante, on ne ressent aucun mouvement. On est immobile par rapport au navire mais le navire se meut par rapport à la Terre. En fait, rien n’est absolument immobile et tout dépend du référentiel dans lequel on se place.

En mai 1609, Galilée entreprend la construction d’une lunette afin de mener ses propres expériences. Cet instrument lui permettra aussi de gagner l’argent dont il manque cruellement. Il fabrique lui-même les lentilles et obtient une lunette grossissant six fois sans déformation de l’image. Fort de ce premier succès, il réalise une nouvelle lunette d’un grossissement de neuf. Il en fait la démonstration en août 1609 aux Sénateurs de la République de Venise. Ces derniers, enthousiasmés, y voient aussitôt des applications militaires. Mais le mérite de Galilée fut de braquer sa lunette, non pas vers la Terre, mais vers le ciel.

Partisan de Copernic depuis au moins vingt ans, Galilée enseigne pourtant à ses élèves de l’université la théorie de Ptolémée, couramment admise, selon laquelle la Terre se trouve au centre de neuf sphères concentriques portant les planètes et les étoiles. Il doit rester prudent face à l’Inquisition et à ses collègues, déjà peu enclins à la sympathie vis-à-vis d’un homme qui critique ouvertement l’enseignement d’Aristote.

Au début de l’année 1610, Galilée observe le ciel avec sa dernière lunette. En pointant l’instrument sur Jupiter, il découvre trois puis quatre étoiles alignées autour de la planète. Il trouve rapidement l’explication : Jupiter possède des satellites. En juillet de la même année, il devient « Premier mathématicien du studium de Pise et Premier mathématicien et Philosophe du grand-duc de Toscane » et s’installe à Florence en septembre ; ce contre l’avis de ses amis qui lui conseillent de rester à Venise, la seule puissance qui ose encore résister au Pape.

C’est à cette période que Galilée publie ses premiers résultats dans un ouvrage rédigé en latin : Le Messager des étoiles. Il y expose ses observations de la Lune, qui n’est pas une sphère parfaite mais se révèle montagneuse et accidentée. Il y donne également une explication de la "lumière cendrée" qui n’est autre que le clair de Terre reflété par la Lune. 1610 est une année faste pour Galilée. Il est au faîte de sa gloire et reçoit l’appui d’astronomes illustres comme Kepler ou encore Clavius, chef des astronomes du Pape. Il sera d’ailleurs invité à Rome l’année suivante et y rencontrera un franc succès. Dans le même temps, il poursuit ses recherches et fait

de nouvelles découvertes qui se révèlent capitales. En pointant sa lunette sur Vénus, il observe des phases, comme celles de la Lune, et des variations de sa taille apparente. Pour lui, cela ne fait aucun doute : la planète tourne autour du Soleil et se déplace par rapport à la Terre.

Mais ces succès attisent les rancœurs et les ennemis de Galilée passent à l’offensive dès 1612, tant sur les plans scientifique que religieux. Les universitaires conservateurs, adeptes d’Aristote, condamnent les théories coperniciennes et s’acharnent contre l’un des disciples de Galilée, Castelli. Le vrai danger vient des théologiens, qui jugent le système copernicien contraire aux Ecritures. Galilée s’attache alors à prouver la compatibilité des Ecritures et du système héliocentrique. En 1616, il décide de se rendre à Rome afin de convaincre les ecclésiastiques du bien-fondé de ses théories. Il y rédige un opuscule sur les marées, preuves du mouvement de la Terre. Mais il est trop tard et en février 1616, les propositions coperniciennes selon lesquelles le soleil est le centre immobile du monde et la Terre se meut sont jugées hérétiques. En mars de la même année, l’ouvrage dans lequel Copernic expose ses théories est mis à l’Index et Galilée est prié de ne plus professer de telles hérésies. Il reste prudent pendant sept années et ne fait plus allusion aux théories coperniciennes.

En 1623, le cardinal Maffeo Barberini devient pape et prend le nom d’Urbain VIII. Jeune, sportif et libéral, il représente l’espoir des milieux intellectuels et progressistes. Galilée, qui connaît bien le nouveau pape, tente alors de réhabiliter Copernic. En 1624, il reçoit l’aval du pape pour la rédaction d’un ouvrage contradictoire sur les différents systèmes du monde, à condition qu’il soit parfaitement objectif. Galilée, malade, met plusieurs années à le rédiger et c’est en 1631 que le livre reçoit l’imprimatur sous réserve de quelques corrections. Dialogue où dans les rencontres de quatre journées il est disserté au sujet des deux principaux systèmes du monde, le ptoléméen et le copernicien, en proposant sans aucune détermination les raisons philosophiques et naturelles tant en faveur de l’une que de l’autre des parties sort des presses florentines en février 1632.

Coup de théâtre : le pape Urbain VIII, furieux, ordonne la saisie de l’ouvrage. Mais il est trop tard et il a déjà été diffusé. Galilée est convoqué au Saint-Office en septembre de la même année. Il ne s’y rend qu’en hiver, menacé d’arrestation. Comment expliquer la réaction du pape, pourtant libéral et ami de Galilée ? Il semble qu’Urbain VIII n’ait pas apprécié le fait que Galilée, malgré le titre de son ouvrage, n’ait pas respecté leur accord et qu’il se soit livré à l’éloge des théories coperniciennes. Mais Galilée apparaît également comme une victime de la raison d’état. En effet, Urbain VIII se trouve à cette époque dans une situation difficile. Il est soupçonné de favoriser les idées novatrices au détriment des valeurs traditionnelles et sa politique pro-française, alors que la France soutient les protestants, lui attire les foudres de nombres de catholiques. C’est donc pour calmer ses adversaires qu’il leur « offre » le procès de Galilée.

Les audiences débutent en avril 1632. Galilée est accusé d’avoir enfreint l’interdiction de 1616 de défendre les théories de Copernic. Il est jugé coupable en juin, doit abjurer ses erreurs et est assigné à résidence. Il s’installe alors dans sa maison de la banlieue de Florence et y séjourne jusqu’à sa mort le 8 janvier 1642. Galilée ne sera réhabilité qu’en 1757 avec le retrait de l’interdiction de 1616.

Source : Infosciences.fr

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27 novembre 2007

Algorithme

Nom qui vient de « Al Khwarizmi » , surnom du mathématicien arabe Muhammad Ibn Musa (IXè siècle) , né à Khwarizem, en Ousbekistan.

Définition du dictionnaire des Mathématiques de A. Bouvier, M George, F Le Lionnais :

Suite finie de règles à appliquer,

o dans un ordre déterminé,o à un nombre fini de données,o en un nombre fini d’étapeso pour arriver avec certitude, à un certain résultat et cela indépendamment des

données.

Définition donnée par Wikipédia :

Un algorithme est un moyen pour un humain de présenter la résolution par calcul d’un problème à une autre personne physique (un autre humain) ou virtuelle (un calculateur). En effet, un algorithme est un énoncé dans un langage bien défini d’une suite d’opérations permettant de résoudre par calcul un problème. Si ces opérations s’exécutent en séquence, on parle d’algorithme séquentiel. Si les opérations s’exécutent sur plusieurs processeurs en parallèle, on parle d’algorithme parallèle. Si les tâches s’exécutent sur un réseau de processeurs on parle d’algorithme réparti ou distribué.

Les algorithmes dont on a retrouvé des descriptions exhaustives ont été utilisés dès l’époque des Babyloniens, pour des calculs concernant le commerce et les impôts.

L’algorithme le plus célèbre est celui qui se trouve dans le livre 7 des Éléments d’Euclide. Il permet de trouver le plus grand diviseur commun, ou PGCD, de deux nombres.

Soient deux entiers naturels a et b, dont on cherche le PGCD. Le cas où a ou b est nul ne nécessite aucun algorithme ; on l'exclut.

On commence par calculer le reste de la division de a par b, qu'on note r ; puis on remplace a par b, puis b par r, et on ré-applique le procédé depuis le début.



On obtient ainsi une suite, qui vaut 0 à un certain rang ; le PGCD cherché est le dernier reste non nul.

Calculons, par exemple, le pgcd de 1071 et 1029 (égal à 21) par cet algorithme avec les étapes suivantes :

a b r

1071 1029 421029 42 21

42 21 0



20 novembre 2007

Il y a près de 4 siècles ,Descartes expliquait comment construire le produit de deux nombres, pour "le fun", bagatelle destinée à étayer sa "méthode"



Descartes commença par élaborer une méthode qu'il voulait universelle, aspirant à étendre la certitude mathématique à l'ensemble du savoir, et espérant ainsi fonder une mathesis universalis, une mathématique universelle. C'est l'objet du Discours de la méthode (1637). Il affirme ainsi que l'univers dans son ensemble (mis à part l'esprit qui est d'une autre nature que le corps) est susceptible d'une interprétation mathématique. Tous les phénomènes doivent pouvoir s'expliquer par des raisons mathématiques, c'est-à-dire par des figures et des mouvements conformément à des « lois ».

Le principal apport de Descartes en mathématique est l'application des méthodes de l'algèbre aux problèmes de la géométrie, pratiqués presque sans changement depuis l'antiquité . Mais les mathématiques ne sont pour lui qu'un moyen d'éprouver sa méthode, de s'y exercer, car il n'y a pas de science à laquelle on puisse demander des exemples aussi certains et évidents ;

mais il n'en ferait pas grand cas si elle ne servait…

« qu'à résoudre les vains problèmes dont les calculateurs et les géomètres ont coutume d'amuser leurs loisirs ; et je croirais, dans ce cas, n'avoir réussi qu'à m'occuper de bagatelles avec plus de subtilité peut-être que les autres. »

cliquer sur l'image pour l'agrandir

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14 novembre 2007

Histoire et enseignement des mathématiques

Le 21 novembre 2007 ,dans le cadre des mercredis de l'INRP , Evelyne Barbin et Anne Boyé communiqueront les résultats de leurs travaux.

Autour de l’ouvrage Histoire et enseignement des mathématiques : rigueurs, erreurs et raisonnements, INRP, 2007

Quels sont les apports de l’histoire des mathématiques pour la réflexion sur l’enseignement mathématique et scientifique aujourd’hui ? Dans la formation des enseignants et dans la classe ? Quatre équipes de professeurs de mathématiques ont travaillé sur ces questions dans le cadre d’un projet IREM-INRP. Leurs travaux montrent que les idées de rigueur, d’évidence et de démonstration ont changé au cours des époques.Ces constats suscitent de nombreuses questions sur les apprentissages. Qu’accepte-t-on comme rigoureux, comme évident ? Que décide-t-on de démontrer ? Quand et pourquoi ? Est-ce qu’il y a des niveaux de rigueur et d’abstraction au cours de la scolarité ? Quelles explicitations, quelles réponses, les enseignants doivent-ils élaborer pour eux-mêmes ou pour leurs élèves ?

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Intervenantes

Evelyne Barbin, professeur des universités en histoire des sciences, université de Nantes, responsable de la commission inter-IREM « épistémologie et histoire des mathématiques »

Anne Boyé, professeur agrégé de mathématiques associé à l'INRP, animatrice à l'IREM des Pays-de-la-Loire

Bibliographie thématique

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12 novembre 2007

Du théoricien de génie Henri Poincaré au météorologue Edward Lorenz : La théorie du chaos est un centenaire très moderne



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"Le simple battement d'ailes d'un papillon au Brésil pourrait déclencher une tornade au Texas". Cette métaphore, devenue emblématique du phénomène de sensibilité aux conditions initiales, est souvent interprétée à tort de façon causale : ce serait le battement d'aile du papillon qui déclencherait la tempète. Il n'en est rien. Cependant une donnée infime, imperceptible, peut aboutir à une situation totalement différente de celle calculée sans tenir compte de cette donnée infime.

L'effet papillon est probablement la théorie mathématique dont le nom, en frappant l'imaginaire du commun des mortels, est le plus connu du grand public. Développé en 1963 pour décrire les phénomènes atmosphériques et signifier qu'il y a peu d'espoir qu'on puisse prévoir la météo à très long terme, l'effet papillon est aujourd'hui devenu une théorie plus florissante que jamais entre les mains des mathématiciens.

Edward Lorenz ,météorologue au Massachusetts Institute of Technology, découvre en 1963 que l'on peut obtenir un comportement chaotique avec seulement trois variables, soit un système non linéaire à trois degrés de liberté. Il montre donc qu'une dynamique très complexe peut apparaître dans un système formellement très simple. L'appréhension des rapports du simple et du complexe s'en trouve profondément bouleversée. En particulier, on s'aperçoit que la complexité peut être intrinsèque à un système, alors que jusque-là on la rapportait plutôt à un caractère extrinsèque, accidentel, lié à une multitude de causes.

Chez Lorenz, l'intervention de l'ordinateur est cruciale. La sensibilité aux conditions initiales est en effet révélée par le biais de l'instabilité d'un calcul numérique et c'est en 1972 qu'Edward Lorenz présente l'effet papillon devant l'Association Américaine pour le progrès des Sciences avec une célèbre question : "Le battement d'aile d'un papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas?"

Mais, surtout, Lorenz exhibe sur son écran d'ordinateur l'image surprenante de son attracteur. Dans ses travaux de mécanique céleste, Henri Poincaré en avait eu l'intuition, mais il l'avait évoqué par des phrases obscures. Lorenz, lui, explique sa construction par des procédures itératives et la donne à voir.

Il faudra ensuite près de quinze ans pour que ces résultats soient compris et assimilés par des groupes scientifiques différents, des météorologues aux mathématiciens, des astronomes aux physiciens, aux biologistes des populations, etc.

"Edward Lorenz a hyper-simplifié les équations composant les modèles extrêmement compliqués qui décrivent l'atmosphère afin de mettre en évidence la «sensibilité aux conditions initiales» ou, comme le dit le proverbe, le fait que de petites causes peuvent avoir de grands effets. «Sur ce modèle simplifié, il a vu que le mouvement de l'atmosphère qu'il avait caricaturé était chaotique. Que si on modifiait un tant soit peu une condition initiale, cela pouvait conduire à des états atmosphériques complètement divergents.Lorenz a été très prudent avec sa fameuse métaphore, qui en frappant l'imaginaire du commun des mortels a contribué à populariser sa théorie auprès de toutes les couches de la population. Il disait en effet qu'un seul battement d'ailes d'un papillon peut provoquer un ouragan au Texas, mais il spécifiait bien que ce même battement d'ailes pouvait aussi l'empêcher."affirme le mathématicien Étienne Ghys, directeur de recherche au CNRS (Centre national de recherche scientifique) à l'École normale supérieure de Lyon.

Sans vouloir retirer tout mérite à Lorenz, Étienne Ghys, tient néanmoins à rectifier les faits historiques.«Lorenz a redécouvert des choses que l'on connaissait depuis le début du XXe siècle, souligne-t-il. Henri Poincaré et Jacques Hadamard avaient déjà émis l'idée que, dans la mécanique céleste, comme le mouvement des planètes, il y avait du chaos. Ils ont écrit des articles fort poussés sur cette question, mais ils étaient trop modernes pour leur époque.»

En ce début du XXe siècle, c'est la science déterministe de Newton et Laplace qui prévaut.

"Il y a même des physiciens qui, à la fin du XIXe siècle, ont dit qu'en physique tout était fini, rappelle Étienne Ghys. Ils ne savaient pas qu'allaient survenir la mécanique quantique, la mécanique relativiste, et que notre vision du monde allait changer en profondeur."Selon le déterminisme classique, des causes semblables ou proches induisent des effets semblables. Mais Poincaré et Lorenz ont montré que, si on prend deux causes extrêmement proches, les futurs qu'elles déterminent pourront être très différents, explique le chercheur.

La théorie du chaos nous dit aujourd'hui que, en changeant quasiment rien des conditions initiales, le résultat en sera fortement transformé ..

Les mathématiciens se sont donc appropriés la théorie du chaos dénommée dans leur jargon théorie des systèmes dynamiques.«C'est une théorie florissante et extrêmement riche qui fonctionne très bien. Elle suscite des questions intéressantes, "intéressantes" voulant souvent dire difficiles. En mathématique, le plus difficile c'est souvent de se poser des questions. Elle est florissante aussi parce qu'elle permet de découvrir la solution à des problèmes qu'on ne pouvait résoudre par le passé. Elle possède tous les critères d'une bonne théorie mathématique, parce qu'elle diffuse dans les autres théories, comme la théorie des nombres, par exemple. On imagine rien de plus précis et rigoureux qu'un nombre, mais aujourd'hui on peut comprendre des systèmes dynamiques [ou chaotiques] en théorie des nombres», indique le mathématicien.

Il a donc fallu attendre tout le XXe siècle pour que les mathématiciens acceptent cette imprécision dans les données et l'incorpore dans leurs théories, que l'on désigne aujourd'hui sous l'appellation de théorie des systèmes dynamiques, qui essaie de prendre en compte ce genre d'imprécisionsLe mathématicien français Évariste Galois a démontré pour la première fois au début du XIXe siècle qu'il n'y a aucun moyen de trouver des formules pour résoudre les équations du cinquième degré «Elles ont des solutions, mais elles ne nous sont pas accessibles.

Poincaré a aussi montré que l'immense majorité des équations différentielles [qui régissent le mouvement des choses] ont des solutions, mais qu'on ne pourra jamais les calculer.

C'est ce qui se passe dans les équations de Lorenz, explique Étienne Ghys. Chaque position initiale de l'atmosphère a un futur unique dont la solution existe, mais on ne peut pas en trouver l'équation, on ne peut pas écrire la formule qui donnerait la solution.

Dans les équations de Lorenz, le déterminisme existe mais il est inaccessible et il le demeurera toujours.»

Source :Interview du mathématicien Etienne Ghys parue le 7 novembre dans Le devoir.comL'article original est ici



11 novembre 2007

Joseph Fourier

Joseph Fourier (21 mars 1768 à Auxerre - 16 mai 1830 à Paris) est un mathématicien et physicien français, connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes appelées séries de Fourier.

Il fut professeur à l’École polytechnique, secrétaire de l'Institut d’Égypte, préfet en 1802, baron de l'Empire ; il avait été admis à l’École normale à sa fondation. Élu membre de l'Académie des Sciences en 1817, son élection fut annulée par Louis XVIII et confirmée par un nouveau vote en 1818 : il en devint secrétaire perpétuel.Il fut nommé à l'Académie française le 14 décembre 1826.

Les deux expressions Séries de Fourier et Transformation de Fourier sont employées sans relâche par tous les scientifiques et ingénieurs d'aujourd'hui; leur cursus de formation ne peut "éviter" ces deux notions clefs, et les terrains d'applications sont extrêmement variés.

Voulez vous "ausculter" un train d'engrenages sans l'arrêter pour évaluer le risque de casse afin d'intervenir avant celle-ci? FOURIER!

Vous cherchez du pétrole en analysant les ondes réfléchies par le sous-sol? FOURIER!



http://abcmaths.free.fr/blog/uploaded_images/250px-Joseph_Fourier-717086.jpg

Vous avez la vie sauve grâce au scanner médical? FOURIER!

Toutes les photos au format JPEG... FOURIER encore!

Joseph Fourier a ouvert un champ de travail immense pour les mathématiciens.

Les problèmes posés par sa série sont responsables de 200 ans d'avancées spectaculaires, incluant de nouvelles et célèbres théories, celle des ensembles et celle des ondelettes, pour n'en citer que deux. Et ce n'est apparemment pas terminé!



01 novembre 2007

Irrationnel, algébrique,transcendant :Un vocabulaire souvent mal connu

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qui ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction d’entiers.

Il existe deux types d'irrationnels :les nombres algébriques et les nombres transcendants :Un nombre algébrique est un nombre réel ( ou complexe ) qui est racine d’une équation polynomiale :

où n est un entier supérieur ou égal à 1 et où les coefficients ai sont des nombres entiers (ou, de manière équivalente, rationnels), dont au moins un est non nul.Au contraire ,un nombre transcendant est un nombre réel (ou complexe ) qui n'est racine d'aucune équation polynomiale :La racine carrée de 2 par exemple est irrationnelle, mais pas transcendante puisqu’elle est solution de l'équation polynomiale x²-2=0Un nombre réel (ou complexe) est donc transcendant si et seulement si il n'est pas algébrique.

L'existence de nombres transcendants se démontre facilement par un argument de comptage : il y a une infinité non dénombrable de nombres réels (ce qui signifie qu’on ne peut pas les nommer tous en leur attribuant des numéros ) et seulement une infinité dénombrable de nombres algébriques ; donc la grande majorité des réels sont des nombres qui ne sont pas algébriquesIls sont transcendants.

Rappelons que c’est Pythagore qui a le premier mis en évidence les nombres irrationnels. L’existence des irrationnels aurait été découverte en constatant que la diagonale d'un carré ne contient pas un nombre commensurable de fois la longueur du côté du carré : on ne peut pas



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dire que la diagonale est une fois et demie, ou deux fois, ou deux fois et demie plus longue que le côté.Cela a beaucoup déstabilisé les disciples de Pythagore car cela allait contre leur principe que dans la nature, un nombre entier ou fractionnaire est associé à chaque chose.En revanche , Pythagore et ses disciples refusent le zéro, qu'ils apparentent au « vide », à la « non-existence » et que donc la nature refuse.

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17 octobre 2007

Pythagore , les Pythagoriciens et les Pythagoristes



14 octobre 2007

Copernic et sa révolution

Au début du XVIe siècle, Copernic, le premier, conçoit l'hypothèse héliocentrique pour remplacer le système géocentrique hérité d'Aristote et de Ptolémée. Le Soleil est substitué à la Terre au centre du cosmos, sans que le mouvement parfaitement circulaire des planètes et des étoiles soit encore remis en cause.Aujourd’hui l'expression révolution copernicienne désigne un changement radical de paradigme .Cependant, à quel point ce passage a-t-il été radical, et dans quelle mesure peut-on l’appeler une « révolution » ?Des réponses ici



http://cer1se.free.fr/principia/index.php/pythagore-et-lorigine-du-mot-mathematique/1/





12 octobre 2007

Mathématiques , musique et philosophie.

« A quoi ça sert les maths , monsieur ? »

" A priori , à rien ! C’est comme la philosophie ou la musique .On peut vivre sans .Mais moins bien ! "

Une autre réponse possible est cet extrait d'un texte de Von Neumann:

"Une bonne partie des mathématiques devenues utiles se sont développées sans aucun désir d'être utiles, dans une situation où personne ne pouvait savoir dans quels domaines elles deviendraient utiles. Il n'y avait aucune indication générale qu'elles deviendraient utiles. "

Aujourd'hui,les mathématiques constituent le langage de toutes les sciences et un outil majeur et essentiel pour leur développement et leurs applications concrètes.Et non seulement des sciences de base comme la physique, la chimie, ou la biologie, mais aussi des sciences humaines, de l’informatique, des nouvelles technologies, de la finance. Les mathématiques sont plus que jamais indispensables dans la société. Elles n’ont jamais été aussi vivantes et de nouveaux développements se produisent tous les jours .Il y a eu plus de résultats (importants) publiés depuis 1960 que dans toute l'histoire antérieure des mathématiques.L’âge d’or des mathématiques , c’est l’époque actuelle !

Mathématiques et philosophie :Les mathématiques ont longtemps été une partie de la philosophie. Elles étaient soumises à la logique d'Aristote. C'est Descartes qui a commencé à briser le joug de la philosophie et proposé une méthode différente pour « penser » les mathématiques. Ce fut « Le discours de la méthode », publié en 1637.(pour un plus long développement de ce paragraphe, consultez mon éminent collègue de philosophie:Jean François Sauvage)

Mathématiques et musique :A l’époque de Montaigne , au XVI° siècle , la musique relevait encore des mathématiques.Le compagnonnage entre musique et mathématiques remonte à l'origine commune des théories musicale et mathématique au VI° siècle av. J.-C.Jusqu'à Pythagore, existait une gamme naturelle qu'on utilisait de façon empirique pour chanter ou pour jouer d'un instrument. On connaissait les notes comme monsieur Jourdain faisait de la prose, sans le savoir. La grande découverte de Pythagore, c'est d'avoir établi les bases de la théorie musicale, la gamme, en même temps que les bases de la physique. C'est lui



qui a montré que les intervalles fondamentaux naturels , l'octave, la quinte et la quarte correspondent à des rapports numériques simples.Ces intervalles fondamentaux de la gamme pythagoricienne seront repris et complétés au Moyen Age.Notre gamme actuelle DO, RÉ, MI, FA, SOL, LA, SI est donc la résultante de siècles de recherche initiées par les théories du mathématicien grec Pythagore .



05 octobre 2007

Quiz

Quiz extrait de l'excellent site sur l'histoire des mathématiques réalisé par France 5 Education

Libellés : Histoire des mathématiques, Récréation


En librairie:De George G. Szpiro , la conjecture de Poincaré





Comment Grigori Perelman(ci-dessus) a résolu l'une des plus grandes énigmes mathématiques ( traduit de l'anglais par Bernard Sigaud.)

Loin de nous noyer sous le formalisme abstrait des mathématiques, l'auteur nous entraîne dans une histoire policière qui démarre en France au milieu du XIXe siècle et s'achève en août 2007 à Madrid, par l'attribution de la médaille Fields (équivalent mathématique du prix Nobel) au Russe Grigori Perelman (qui la refusera) . L'homme a triomphé de l'énigme posée par la conjecture de Poincaré.

Rappelons très shématiquement et approximativement ce qu'énonce la conjecture de Poincaré :

Commençons par la dimension 1. Sur une feuille de papier, tracez une ligne raisonnablement sinueuse, sans qu’elle ne se recoupe, puis terminez-la en revenant au point de départ. Bien. Cette ligne fermée, imaginons que ce soit un élastique : il est facile de se convaincre qu’on peut la déformer sans la briser pour obtenir un cercle. Et bien voilà la conjecture de Poincaré en dimension 1 (1, c’est ce qu’on appelle la dimension d’une ligne, en mathématiques).

Passons en dimension 2. Là, il faut faire un petit effort d’imagination. Notre élastique devient alors une sorte de patate, dans l’espace, aussi déformée que vous le voulez, avec des bosses, des creux, mais sans trou. Ce qui nous intéresse, c’est la peau de cette patate, sa surface. Et bien on peut la déformer, cette surface, en imaginant qu’elle soit élastique, pour qu’elle devienne un beau ballon bien rond, c’est-à-dire une sphère. Voilà la conjecture de Poincaré en dimension 2 (qui est la dimension d’une surface, en mathématiques). La conjecture de Poincaré s’énonce en toute dimension: 3,4, etc. On a démontré qu’elle était vraie en dimensions 1,2, vous en êtes maintenant convaincus, mais aussi en dimensions 4,5, et toutes les dimensions supérieures.

Mais il manquait la dimension 3 depuis 1904 :C’est ce manque qu’a comblé Grégori Perelman.

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Il faut imaginer qu’on a un volume (c’est-à-dire un objet de dimension 3), plongé dans l’espace à 4 dimensions. Qu'est-ce que l’espace à 4 dimensions, me direz-vous ? . On peut répondre que c’est l’espace-temps, mais on n’est pas tellement plus avancé... En tout cas, en maths, cela existe. On a des espaces de n’importe quelles dimensions. Donc imaginons un «volume», dans l’espace à 4 dimensions, qui soit raisonnablement bosselé, et surtout sans trou. Et bien on peut le déformer pour qu’il devienne une sphère de dimension 3.Mais qu'est-ce qu'une sphère de dimension 3 ?

Libellés : Histoire des mathématiques, Infos et actualités ; en librairie


28 septembre 2007

Le zéro

Sunya signifie vide en Sanscrit, le zéro est représenté par un petit rond.(pourquoi un rond? on ne le sait pas vraiment.).Traduit en arabe, sunya devient Sifr (le vide).Le zéro est entré en Occident au 12e siècle, traduit en italien, sifr donna zéfirum, mot que Léonard de Pise(vers 1170 - 1250)utilise dans son liber abaci et que l'on utilisera jusqu'au 15e siècle.Après quelques modifications, ce mot aboutit à zéfiro, qui donnera zéro à partir de 1491.Le zéro est une invention récente dans l'histoire de l'humanité.Il n'est donc pas étonnant qu'il pose tant de problèmes aux élèves.

Commentaire de Kalima:Si le zéro pose beaucoup de problèmes aux élèves c'est parce quand ils le rencontrent pour la première fois on leur explique que "zéro c'est rien",du coup 2 divisé par 0 est égal pour certains à 2, logique non puisqu'on divise 2 par rien ce qui revient à ne pas le diviser,pour d'autres 2 divisé par 0 égal 0 puisqu'en divisant par rien on doit obtenir rien !Chez certains 0 divisé par un nombre est impossible car on ne peut diviser le rien !Finalement les élèves rencontrent les mêmes difficultés qu'ont rencontrés les hommes au cours de leur histoire, il n'est pas évident de concevoir 0 comme un nombre à part entière.



26 septembre 2007





Pourquoi 60 minutes par heure et 12 heures par demi-journée?

Le fait que nous utilisons encore actuellement la base 60 dans nos unités de temps est fortement lié à la base 60 babylonienne. L'intérêt de cette base est que les nombres 60 et 12 possèdent beaucoup de diviseurs (2, 3, 4, 5, 6, 10 , 12 et 30 divisent 60 ; 2 , 3 , 4 et 6 divisent 12) ce qui est extrêmement pratique pour segmenter une durée. C’est probablement un facteur qui a permis à ces nombres de survivre jusqu’à nos jours dans les conventions.

Par exemple, 60 minutes forment 1 heure. Une demi-heure, 1/4 d’heure, 1/3 d’heure correspondent respectivement à 30, 15 et 20 minutes. Cette subdivision se fait sans fatigue car les résultats sont entiers. Imaginez maintenant qu’une heure soit composée de 10 minutes. 1/4 d’heure devient 2,5 minute, ce qui est déjà moins pratique … et ne parlons même pas d’1/3 d’heure, qui vaudrait 3,3333… minutes !

Il y a une autre version ici mais elle est beaucoup moins sérieuse



17 septembre 2007

Du barycentre à la conception/fabrication assistée par ordinateur et au logiciel de dessin Illustrator

Le chapitre sur le barycentre (que je vais traiter dans quelques semaines) est un des chapitres suscitant la question qui peut agacer les profs de maths : A quoi ça sert , monsieur ?

J'y réponds donc par avance:

Dans l'industrie et dans l'infographie, on a souvent besoin de représenter dans l'ordinateur des courbes ou surfaces dont le type est soit non classifiable (ni parabole ni cercle...) soit non connu à l'avance. On les regroupe généralement sous le nom de "courbes et surfaces non mathématiques", car l'équation mathématique n'est pas connue par le programmeur. Ces courbes ou surfaces sont en général définies par un ensemble de points, plus ou moins nombreux.

Le problème qui se posait à la Régie Renault consistait à représenter les surfaces de carrosserie dessinées par les designers, pour réaliser les matrices d'emboutissage. La pièce était définie par des sections planes successives. A l'arrivée des machines à commande numérique, la méthode manuelle a dût être abandonnée. Après création d'une maquette 3D (en



bois, plâtre,... modifiée au fur et à mesure), la surface était déterminée par une matrice de points obtenus à l'aide d'une machine à mesurer 3D. Pour obtenir une bonne précision, le nombre de points nécessaire est très important. Le nombre de maquettes réalisées en cours de conception étant important (d'où pertes de temps), on a demandé aux stylistes de créer sur ordinateur, les maquettes pouvant alors être facilement et rapidement réalisées en commande numérique.

Vers 1962, Pierre Bézier, ingénieur chez Renault a alors mis au point une méthode permettant de définir la surface par un nombre minimal de points caractéristiques. Cette méthode doit permettre de modifier facilement la surface par déplacement d'un minimum de points et de pouvoir représenter toute surface (y compris plane), sans "cassure" (continûment dérivable).

L'idée directrice est de tracer une courbe en déplaçant le barycentre d'un certain nombre de points, appelés points de contrôle et affectés des coefficients dépendant d'une variable. En modifiant ensuite la position des points de contrôle, on déforme progressivement la courbe jusqu'à l'obtention du profil recherché.

Voir un applet Géogébra illustrant cette idée.( voir l'applet nécessite l'intallation sur votre ordinateur de l'environnement Java)

Ses recherches aboutirent à un logiciel, Unisurf, qui est à la base de tous les logiciels créés par la suite. Les concepts de CAO et de CFAO venaient de prendre forme.

Renault a pendant longtemps utilisé Unisurf, puis celui-ci a été transformé par Matra Datavision. Aujourd'hui, les dessinateurs travaillent sur Catia. La CAO a réduit les temps de développement de quatre à deux ans.

A l'autre bout du monde, des années plus tard, un groupe de développeurs liés à Apple créa un langage adapté à la future imprimante laser conçue pour le Mac. Il s'agissait de trouver un moyen de définir mathématiquement une courbe, comme le tracé d'un caractère, avant de l'envoyer à l'imprimante...L'un de ces développeurs, John Warnock, connaissait le travail du Français. Tout naturellement, il choisit les courbes de Bézier comme base du langage PostScript et fonda la société Adobe. On sait comment le PostScript fit la fortune de cette start-up devenue multinationale. Et comment le nom de Pierre Bézier fut popularisé par un autre best-seller d'Adobe, le logiciel de dessin Illustrator.

Aujourd'hui, les graphistes et designers utilisent l'outil Plume et tracent des courbes de Bézier sans avoir la moindre idée de leur origine, un peu comme monsieur Jourdain faisait de la prose sans le savoir...

L'idée de Pierre Bézier , fondée au départ sur l'utilisation du barycentre , a entraîné une quasi- révolution industrielle !





13 septembre 2007

Résumé du dessin animé :Voici le fabuleux destind'Eratosthène, l'Arpenteur dela Terre. Il calcula lacirconférence de la Terre auIIIème siècle avant notre ère.Auteur : Poincare

Libellés : Histoire des mathématiques, Récréation


21 mai 2007

Henri Poincaré : (1854-1912) Le dernier capable de comprendre l'ensemble des mathématiques de son époque.

Henri Poincaré ( 1854- 1912 ) est un mathématicien, un physicien et un philosophe français. Théoricien de génie, ses apports à maints domaines des mathématiques et de la physique ont radicalement modifié ces deux sciences. Parmi ceux-ci, citons ses travaux en optique, en relativité, sur le problème des trois corps, en calcul différentiel et en théorie du chaos.



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Comblé d’honneurs, correspondant avec les plus grands penseurs de son époque (Pierre et Marie Curie, Henri Becquerel, M. Planck, W. C. Röntgen, etc...) il incarne la réussite sur tous les tableaux.

Contemporain d’Alfred Binet qui créa en 1905 la première échelle de développement intellectuel (qui mesurait surtout l’adaptation sociale), ses résultats à ce test le classaient parmi les imbéciles ! Enfant, il avait une très mauvaise coordination motrice . Il parla tôt mais mal. Il était extrêmement distrait et maladroit. Mais il était doté d’une mémoire phénoménale, capable de retrouver à la page près les passages qu’il avait lu dans n’importe quel livre. Au lycée , il ne prenait pas de notes pendant les cours de maths.(Exemple à ne pas suivre, bien sûr)

Brillant élève, il obtient le baccalauréat ès lettres et ès sciences en 1871, entre premier à l'École polytechnique en 1873, puis à l'École des Mines en 1875 ; il est licencié ès sciences en 1876. Nommé ingénieur des mines à sa sortie de l'école, il obtient en 1879 le doctorat ès sciences mathématiques à la Faculté des sciences de Paris et devient chargé de cours d'analyse à la Faculté des Sciences de Caen.

Il détient jusqu'à maintenant le record de la moyenne des notes obtenues au concours d'entrée à l'École polytechnique. Il entra major, et en sortit deuxième.Concernant son admission à l'École polytechnique, il existe une légende, selon laquelle il aurait été le seul étudiant à y avoir été admis alors qu'il avait obtenu un zéro à une épreuve , ce qui constitue normalement une note éliminatoire. Ce qui aurait penché en sa faveur serait le fait qu'il ait obtenu la note maximale, soit 20/20, à toutes les autres épreuves. Le jury d'admission aurait été partagé entre le fait de se priver d'un élément aussi brillant que lui, et l'application de la règle du zéro éliminatoire. Cette entorse au règlement demeure unique dans l'histoire de l'École.

En 1905, Poincaré a reformulé les équations des transformations de Lorentz, les mettant dans leur forme classique qui est employée dans tous les livres universitaires encore aujourd'hui. Dans une note à l'Académie des sciences de Paris, il a présenté sa découverte de transformation des vitesses, qui manquait à Lorentz, ce qui permet à Poincaré d'obtenir l'invariance parfaite, qui fut le dernier pas dans la découverte de la théorie de la relativité restreinte.

Si, par conséquent, comme le pensent de nombreux historiens, Albert Einstein était au courant des travaux de Poincaré, alors le travail d'Eintein aura été de trouver les principes physiques sous-jacents au formalisme mathématique de Poincaré.Poincaré serait donc (avec Lorentz) un des pères de la théorie de la relativité.

Poincaré est aussi le dernier à avoir la double spécificité de comprendre l'ensemble des mathématiques de son époque et d'être en même temps un penseur philosophique.

Voir l'excellent film intitulé :Tout est relatif, monsieur Poincaré !

Ce film,produit par l'université de Nancy 2, propose un voyage en images vers un passé à la fois proche et lointain : l'époque d'Henri Poincaré, époque qui a vu naître, dans un même mouvement notre science et notre monde modernes.Il nous raconte le parcours d'un génie exceptionnel, mathématicien, physicien et philosophe.

Libellés : Connaissance des mathématiciens, Documentaire télé, Histoire des mathématiques


20 mai 2007

Le monde est-il mathématique ?

Une vidéo philosophique proposée par le site canal-U (web télévision de l'enseignement supérieur)

À travers des séquences de commentaires de texte, allant de Platon à Poincaré, en passant par Galilée ou Hume, nous découvrons comment, tout au long de l'histoire, les plus grands esprits et les principales écoles de pensée ont abordé la question posée dans le titre . De son côté, le mathématicien nous rend compte de l'impression très forte que donnent les mathématiques d'exister comme un monde indépendant de l'homme et préexistant à lui. En contrepoint de ces témoignages et commentaires de texte, les philosophes des "Archives Poincaré" nous apportent leur propre éclairage et nous montrent comment la question posée doit être remise en cause, pour que l'on puisse se rapprocher d'une réponse.

Intervenants : Jean-Pierre Briand,François Dagognet,Gerhard Heinzmann"Archives Poincaré" : Centre de l'université de Nancy 2 consacré à l'épistémologie et à la philosophie des sciences.

Libellés : Conférence, Documentaire télé, Histoire des mathématiques

# Guy Marion @ 09:44 créer un lien vers ce billet

19 mai 2007

Révolution copernicienne





Au début du XVIe siècle, Copernic, le premier, conçoit l'hypothèse héliocentrique pour remplacer le système géocentrique hérité d'Aristote et de Ptolémée. Le Soleil est substitué à la Terre au centre du cosmos, sans que le mouvement parfaitement circulaire des planètes et des étoiles soit encore remis en cause.L'hypothèse de Copernic est confirmée seulement un siècle plus tard par Galilée, à partir de 1610, grâce aux observations qu'il effectue au moyen de lunettes astronomiques qu'il a lui-même fabriquées. Il découvre les quatre principaux satellites de Jupiter, l'existence d'un relief lunaire et, surtout, les phases de Vénus, qui révèlent une rotation de cette planète autour du Soleil.Peu après, Johannes Kepler définit, en 1619, les lois géométriques et mathématiques qui gouvernent le mouvement elliptique des planètes autour de l'astre solaire.Enfin, c'est à Newton qu'il revient, en 1687, d'établir la théorie de la gravitation universelle.

En moins de deux siècles, la vision que l'homme occidental se faisait du monde se trouvait complètement bouleversée par l'union des sciences astronomique, mathématique et physique

Utilisation actuelle de l'expression révolution copernicienne

Les découvertes scientifiques de la deuxième moitié du XIXe siècle, et surtout du XXe siècle ont montré que la gravitation n'est pas la seule force de l'univers. On trouve en effet l'électromagnétisme, l'interaction faible, et l'interaction forte. Les découvertes de la relativité (générale et restreinte), ainsi que la physique quantique, ont conduit à revoir la prétention selon laquelle l'univers est prédictible selon des "lois" scientifiques.

Ainsi, aujourd'hui, le modèle héliocentrique de l'univers apparaît comme naïf : il ne permet pas d'expliquer la courbure des rayons lumineux dans le voisinage des corps célestes de forte masse, les trous noirs, les pulsars, les quasars, etc.

Du reste, le Soleil n'est pas fixe, comme on le croyait à l'époque de Galilée : il tourne autour du centre de la Voie lactée.

L'expression révolution copernicienne n'a vraiment de sens qu'employée dans son contexte historique. Il est pourtant devenu d'usage courant de l'employer dans des contextes contemporains, notamment pour justifier des décisions radicales dans le domaine scientifique.


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03 mai 2007

Les premières démonstrations mathématiques.

La pratique des mathématiques est bien plus ancienne que la civilisation grecque. On peut supposer que dès l'invention de l'agriculture les problèmes posés par les transactions ou les partages de biens ont nécessité des additions, des soustractions, ou certaines multiplications et divisions simples. Au IIe millénaire av. J.C. les Babyloniens résolvent des problèmes plus difficiles : équations du second degré, mise au point de calendriers. D'autres civilisations encore pratiqueront des mathématiques parfois fort avancées, mais il va se produire en Grèce un phénomène unique.

Considérons par exemple la proposition 20 du livre IX des Éléments d'Euclide, adaptée en langage moderne :« Les nombres premiers sont en nombre infini.

Démonstration : supposons que a,b,c,...,k soient tous les nombres premiers et faisons leur produit augmenté d'une unité : abc...k+1. Alors ce nombre est multiple d'un nombre premier p d'après un théorème du livre VII. Comme p est l'un des nombres a,b,c,....,k, il divise le produit abc...k et comme il divise abc...k+1 il divise leur différence qui est l'unité, c'est absurde. »

On voit d'abord qu'Euclide ne se contente pas d'énoncer une propriété mais en donne une démonstration, qui plus est par l'absurde. De plus la propriété est abstraite, on ne saurait l'établir que par le raisonnement, et elle ne répond pas à un besoin pratique immédiat.

Ces deux aspects, le style déductif et l'abstraction, apparaissent en Grèce et vont continuer de caractériser les mathématiques jusqu'à aujourd'hui.

Extrait d'un article publié sur le site:http://perso.orange.fr/fabien.besnard/



27 avril 2007

L'âge d'or des mathématiques





Beaucoup d'élèves pensent que l'essentiel en mathématiques a déjà été trouvé depuis fort longtemps .Rien n’est plus faux !

Il y a eu plus de résultats (importants) publiés depuis 1960 que dans toute l'histoire antérieure des mathématiques ! L'énorme masse de résultats accumulés est devenue inaccessible à un seul individu : vers 1800, Euler ou Gauss maitrisaient toutes les mathématiques de leur temps, et avaient apporté une contribution essentielle à presque toutes leurs parties ; vers 1900, Poincaré pouvait encore se tenir informé des derniers progrès dans toutes les branches; actuellement, personne ne peut dire qu'il maîtrise le dixième des activités mathématiques de notre temps.Montaigne , penseur , moraliste,savait en gros " à quoi visait chacune des quatre parties en la mathématique " (arithmétique, musique,géométrie,astronomie).Aujourd’hui, la musique et l’astronomie ne relèvent plus des mathématiques. Combien reste-t-il de parties aux mathématiques, alors ?

Soixante-deux! Au sommaire du Zentralblatt MATH – périodique qui rend compte des parutions récentes –, la géométrie et l’arithmétique (rebaptisée théorie des nombres) côtoient 60 autres spécialités : logique, combinatoire, géométrie algébrique, analyse de Fourier, topologie algébrique, analyse numérique, mécanique des fluides, théorie des jeux, etc. Chaque spécialité est, à son tour, divisée en sous-spécialités. Ainsi, la théorie des nombres en présente une vingtaine : équations diophantiennes, géométrie des nombres, sommes d’exponentielles, théorie additive, etc. Pour l’ensemble des mathématiques, le nombre des sous-spécialités répertoriées dépasse 300.Celui qui voudrait savoir en gros à quoi vise chaque partie des mathématiques devrait s’initier à plus de 300 sous-spécialités.

Aucun mathématicien n’en sait désormais sur les mathématiques de son temps autant, en proportion, que Montaigne sur celles du sien...

L’âge d’or des mathématiques , c’est l'époque actuelle!



25 avril 2007

Mathématiques et philosophie



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Les mathématiques ont longtemps été une partie de la philosophie. Elles étaient soumises à la logique d'Aristote. Tout le monde était alors d'avis que les mathématiques ne servaient qu'à la mesure de la surface et du volume des objets (géométrie) ou encore à ce que l'on appelait alors les « arts mécaniques ».

C'est Descartes qui a commencé à briser le joug de la philosophie et proposé une méthode différente pour « penser » les mathématiques. Ce fut « Le discours de la méthode », publié en 1637, sans nom d'auteur.Descartes commença donc par élaborer une méthode qu'il voulait universelle, aspirant à étendre la certitude mathématique à l'ensemble du savoir, et espérant ainsi fonder une mathesis universalis, une mathématique universelle. Il affirme ainsi que l'univers dans son ensemble (mis à part l'esprit qui est d'une autre nature que le corps) est susceptible d'une interprétation mathématique. Tous les phénomènes doivent pouvoir s'expliquer par des raisons mathématiques, c'est-à-dire par des figures et des mouvements conformément à des « lois ».Mais quelle était au juste cette fameuse méthode. La voici, en quatre préceptes, comme l'a écrite Descartes :- le premier était de ne recevoir jamais aucune chose pour vraie que je ne la connusse évidemment être telle;- le second, de diviser chacune des difficultés que j'examinerais en autant de parcelles qu'il se pourrait;- le troisième, de conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus simples et les plus aisées à connaître, pour monter peu à peu, comme par degré, jusqu'à la connaissance des plus composés;- et le dernier, de faire partout des dénombrements si entiers et des revues si générales, que je fusse assuré de ne rien omettre.

Même si la méthode de Descartes n'a pas été adoptée d'emblée par tous les mathématiciens, son empreinte sur le développement de la science fut déterminant.



24 avril 2007

Vérité et Mathématiques

Einstein et Gödel

Pendant de nombreux siècles, les mathématiques ont incarné le domaine de la vérité par excellence et on s'est plu à opposer leurs certitudes inébranlables aux discussions interminables des philosophes. En effet,



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depuis les "Éléments" d'Euclide qui est le premier à avoir réellement formalisé la géométrie, les mathématiciens se sont efforcés de construire leurs théories en respectant des règles de logiques et de déductions admises par tous, leur conférant par là-même un statut de vérité absolue. Les mathématiques apportent la preuve de ce qu'elles avancent et la solution d'un problème est toujours unique et définitive (même si elle peut-être complexe) alors que les philosophes semblent s'opposer en débats sans fin sur tout problème abordé.(confere J.F.S. , lycée Jean Moulin) Les mathématiques représentaient ainsi jusqu'au 19ème siècle le domaine de la vérité absolue, définitive et éternelle. Pourtant, Euclide avait laissé avec son 5ème postulat * le premier grain de sable qui allait déboucher des siècles plus tard sur l'irruption des géométries non-euclidiennes et la fin de cette belle certitude absolue des mathématiques.Cette crise des mathématiques atteindra son paroxysme lorsque le mathématicien Gödel énoncera son fameux théorème d'incomplétude qui détruira tous les espoirs de pouvoir formaliser un jour entièrement les mathématiques. Ce théorème affirme que tout système formel consistant est incomplet, c'est-à-dire qu'il possède toujours des propositions indécidables dont on ne pourra jamais dire à l'intérieur de ce même système si elles sont vraies ou fausses, et par suite, qu'on ne peut pas démontrer la consistance d'un système formel sans faire appel à système extérieur.La vérité en mathématiques n'est donc plus unique, absolue et totale mais relative et incomplète.

* "Et si une droite tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces deux droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits."

Ce cinquième et dernier postulat est le plus célèbre de tous les Éléments d'Euclide, si bien qu'il est souvent appelé « le postulat d'Euclide ». Cependant, son énoncé exact est la plupart du temps inconnu par ceux qui citent ce postulat, aussi dit " postulat des parallèles" . Le postulat « par un point extérieur à une droite donnée, ne passe qu'une unique droite qui lui est parallèle » – qu'Euclide n'a jamais écrit – n'est qu'une conséquence du vrai cinquième postulat énoncé ci-dessus.

P.S.

Pour plus de clarté , s'adresser bien sûr à J.F.S. (lycée Jean Moulin Angers)



22 avril 2007

Epistémologie des mathématiques



L'épistémologie * des mathématiques porte essentiellement sur la question de savoir quels sont les fondement des sciences mathématiques et quel est l'objet de cette science par rapport aux autres sciences.

Du point de vue de l'interrogation sur les fondements de cette science on distingue 4 écoles :1 l'école empiriste qui voit dans le nombre et les figures le produit d'une inférence réalisée à partir de l'observation de la nature.2 l'école idéaliste qui voit dans les objets mathématiques des entités existant indépendemment de l'esprit humain ou au contraire purement constituées par lui.3 l'école intuitionniste qui affirme que les progrès en mathématiques se réalisent en dehors du cadre de la science logique.4 l'école logiciste qui affirme que les mathématiques sont fondées sur la logique c'est à dire peuvent être ramenées à un certain nombre d'expressions logiques minimum et dérivées à partir d'elles.

*Le mot vient du grec épistémê («connaissance », «science ») et logos (« discours »). Donc l'épistémologie est littéralement un discours sur la connaissance.Le terme d'origine anglaise est attesté la première fois en 1856, et apparaît en 1906 dans un dictionnaire français comme « critique des sciences » ; c’est-à-dire en tant que discipline de remise en question de la connaissance et des méthodologies scientifiques.Relativement à ses deux étymons, ce terme signifie alors : étude de la connaissance.

P.S. Pour des éclaircissements,prière de s'adresser à J.F.S. (lycée jean Moulin,Angers)



16 avril 2007

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Origine de la théorie des graphes

1) Le tracé de l'enveloppe: Un jeu bien connu consiste à demander de tracer la figure ci-dessus d'un seul trait (sans repasser deux fois au même endroit ) et sans lever le crayon.

L’unique moyen de réussir est de commencer par un sommet d’où partent un nombre impair de traits (en bas à droite ou en bas à gauche), pour arriver à l’autre sommet d’où partent un nombre impair de traits. En effet, pour un point de passage (pas le point de départ ni le point d’arrivée), il est nécessaire que de ce point partent un nombre pair de traits ( car à chaque fois que le tracé y arrive, il doit en repartir)

2) Les ponts de Königsberg : Le célèbre problème posé à Léonhard Euler.Est-il possible de parcourir en boucle toute la ville de Königsberg (composée de 4 quartiers) en traversant chacun de ses sept ponts une fois et une seule ?

Pour résoudre ce problème , Euler retient l’information essentielle : il y a quatre quartiers séparés par l’eau du fleuve, soit quatre “points” à relier par 7 traits qui symbolisent les ponts. Le problème devient : sur le dessin ci- dessous existe-t-il un chemin passant une seule fois par chaque trait ?

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Nous sommes donc ramené à un problème du type du n°1La réponse d’Euler : Il n’y a de solution que si le nombre de points où aboutit un nombre impair de traits est égal à zéro ou à deux ! (par conséquent pas de solutions au problème des ponts de Königsberg)

Ce fut l’amorce de la théorie des graphes qui est restée sans applications pendant des décennies mais qui est incontournable aujourd'hui .

La théorie des graphes n'a jamais été aussi actuelle grâce au développement d'internet. Car �l'ensemble de tous les sites internet du monde peut être vu comme un immense graphe dans lequel les noeuds seraient les sites eux-mêmes et les arêtes les liens hypertextes qui les relient entre eux.

La théorie des graphes est devenue une branche entière des mathématiques



11 avril 2007

Cinq siècles de mathématiques en France .

Un ouvrage de Marcel BergerMarcel Berger est directeur de recherche émérite au CNRS et membre correspondant de l’Académie des sciences. Il a mené une carrière universitaire en France, avec des séjours aux États-Unis et au Japon, et de directeur de recherche au CNRS. De 1972 à 1981, il a présidé la Société mathématique de France et, de 1985 à 1994, il a dirigé l’Institut des hautes études scientifiques de Bures-sur-Yvette.Pour consulter l'ouvrage en ligne , clique sur l'image ci-desssous

http://abcmaths.free.fr/blog/uploaded_images/180px-Konigsburg_graph.svg-719740.png





30 mars 2007

Le nombre d'or

on parle de "divine proportion" lorsque

Si on note a le côté AC et b le côté BC, le nombre d'or est le rapport a/b que l'on note

Avec nos notations la relation

s'écrit :

Si on multiplie tous les termes par phi on obtient l'équation :

http://www.adpf.asso.fr/adpf-publi/publication/page.php?id=46



Cette équation admet comme solution positive

qui est la valeur exacte du nombre d'or :

1,61803398 ... en est une valeur approchée.

De l'équation précédente découlent deux propriétés remarquables:

Le nombre d'or est le seul nombre qui se transforme en son carré lorsqu'on lui ajoute 1 , et devient son inverse lorsqu'on lui soustrait 1 .

Le nombre d'or possède bien d'autres propriétés (algébriques et géométriques)

En particulier, il est lié à la célèbre suite de Fibonacci :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, .....

Pour (presque) tout savoir sur le nombre d'or , écouter la conférence de Pierre Arnoux :

Les merveilles du nombre d'or par Pierre Arnoux (professeur à Aix-Marseille 2)



16 mars 2007

Longueur d'un arc d'ellipse.



D'apparence simple, le calcul de la longueur d'un arc d'ellipse constitue en réalité un vrai casse-tête ! L'intégrale donnant la solution est pour le moins particulièrement délicate à déterminer... (pour tout dire, ce n'est pas possible à l'aide des fonctions usuelles).


# Guy Marion @ 18:33 créer un lien vers ce billet

13 mars 2007

La quadrature du cercle

La quadrature du cercle est un problème classique de mathématiques apparaissant en géométrie. Il fait partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la trisection de l'angle et la duplication du cube.La quadrature du cercle est une locution utilisée encore de nos jours pour désigner un problème impossible à résoudre. Toutefois, en géométrie, le mot quadrature désigne la détermination d’une aire. La quadrature du cercle désigne ainsi la construction d’un carré de même aire qu’un cercle de rayon donné. Or, par la méthode ancienne des géomètres, c’est-à-dire avec un compas et une règle, cette construction est impossible, fait pressenti dès le XVIe siècle.



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21 janvier 2007

Brève histoire de l'analyse

L'analyse est la branche des mathématiques qui traite des nombres réels, des nombres complexes et de leurs fonctions.

L'analyse a pour point de départ la formulation rigoureuse du calcul infinitésimal et l'étude de concepts tels que la continuité, la dérivation et l'intégration.

Dans l'Antiquité et au Moyen Âge respectivement, les mathématiciens grecs et indiens se sont intéressés à l'infinitésimal et ont obtenu des résultats prometteurs mais fragmentaires. Pour des raisons historiques, leurs successeurs immédiats ne purent bâtir sur ces acquis.

L'analyse moderne a été fondée au XVIIe siècle avec le calcul infinitésimal de Newton et Leibniz. Au XVIIe siècle, les thèmes de l'analyse tels que le calcul infinitésimal, les équations différentielles, les équations aux dérivées partielles, l'analyse de Fourrier et les fonctions engendrées étaient principalement développés dans les travaux appliqués. Les techniques de calcul infinitésimal étaient utilisées avec succès pour approcher des problèmes du discret par des problèmes du continu.

Tout au long du XVIIIe siècle, la définition de fonction était un sujet de débat parmi les mathématiciens. Au XIXe siècle, Cauchy fut le premier à donner une fondation logique stricte du calcul infinitésimal en introduisant le concept de suite de Cauchy. Il commença aussi la théorie formelle de l'analyse complexe. Poisson, Liouville, Fourier et d'autres étudièrent les équations aux dérivées partielles et l'analyse harmonique.

Au milieu du XIXe siècle, Riemann introduit sa théorie de l'intégration : l'intégrale de Riemann. Durant le troisième tiers du XIXe siècle, l'analyse se voit arithmétisée par Karl Weierstrass qui pensait que le raisonnement géométrique était en soi fallacieux, il introduit aussi une définition rigoureuse des limites. Puis les mathématiciens commencèrent à s'inquiéter du fait qu'ils supposaient sans preuve l'existence d'un continuum de nombres réels. Richard Dedekind construit donc les nombres réels avec les coupures de Dedekind (voir Construction des nombres réels). En même temps, les essais pour affiner les théorèmes de l'intégrale de Riemann ont mené à l'étude de la « taille » des ensembles discontinus de fonctions réelles.

En outre, des « monstres » (des fonctions continues nulle part, des fonctions continues mais dérivables nulle part, des courbes de remplissage d'espace) commencèrent à être créés. Dans ce contexte, Marie Ennemond Camille Jordan développa sa théorie sur la mesure. Georg Cantor développa ce qu'on appelle aujourd'hui la théorie naïve des ensembles. Au début du XXe siècle le calcul infinitésimal se formalise par théorie axiomatique des ensembles. Henri Lebesgue résolut le problème de mesure et David Hilbert introduit les espaces de Hilbert pour résoudre les équations intégrales. L'idée d'espace vectoriel normé était très étudiée dans les années 1920 et Stefan Banach créa l'analyse fonctionnelle

(Extrait de Wikipédia: portail mathématiques)



21 décembre 2006

Message au malheureux candidat évoqué ici le 17 décembre

« Eppur, se muove » (Et pourtant , elle tourne)

Galileo Galilei, dit Galilée (1564 - 1642)

Galilée aurait prononcé ces mots lors du procès intenté contre lui par les grands prêtres de l'Inquisition au sujet de sa théorie de l'héliocentrisme.

Selon les dignitaires religieux interprétant une déclaration de Josué dans la bible ("Soleil, tiens-toi immobile", Josué 10:12), la Terre est au centre de l'univers et le soleil tourne autour d'elle (c'est la théorie du géocentrisme). L'Eglise catholique a bien du mal à accepter la nouvelle théorie selon laquelle la Terre n'est qu'une planète parmi d'autres au sein du système solaire. Nicolas Copernic, au 16ème siècle, avait déjà avancé cette idée. Elle est confirmée au siècle suivant par Galilée qui, grâce à la lunette astronomique qu'il a développée, a compris que la Terre faisait partie du système solaire et tournait autour du soleil.

En 1633, l'Inquisition lui fait un procès et, pour échapper au bûcher, Galilée accepte à genoux de renier publiquement sa thèse. Mais, selon la tradition populaire, il aurait murmuré ces mots en se relevant : "Eppur, si muove !".



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C'est seulement en 1757 que l'Eglise acceptera l'enseignement de la thèse de l'héliocentrisme. Les livres de Copernic et de Galilée seront inscrits sur l'Index du Vatican, soit interdits par l'Eglise, jusqu'en 1822.



19 novembre 2006

La théorie du chaos

"le simple battement d'ailes d'un papillon au Brésil pourrait déclencher une tornade au Texas". Cette métaphore, devenue emblématique du phénomène de sensibilité aux conditions initiales, est souvent interprétée à tort de façon causale : ce serait le battement d'aile du papillon qui déclencherait la tempète. Il n'en est rien. Cependant une donnée infime, imperceptible, peut aboutir à une situation totalement différente de celle calculée sans tenir compte de cette donnée infime.



18 novembre 2006



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Brève histoire de l'algèbre



12 octobre 2006

Histoire des mathématiques

Un dossier simple mais clair réalisé par France 5 Education


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Documents

Une brève histoire des idées de Galilée à Einstein