Une correction à l'équation a = v2/r

UNE CORRECTION À L’ÉQUATION

a = v2/r

(ET UNE RÉFUTATION DES LEMMES VI, VII & VIII DE NEWTON)

par Miles Mathis

http://milesmathis.com

UNE CORRECTION À L’ÉQUATION a = v2/r M. Mathis

1 INTRODUCTION

La plupart des gens assument que les corrections d’Einstein aux équation gravi-tationnelles de Newton ont complété l’analyse nécessaire du problème. Einstein aajusté des mathématiques qui étaient déjà très efficaces, et pratiquement rien nereste à faire. C’est la sagesse populaire.

Bien sûr, le travail continue sur le mécanisme de la gravitation, puisqu’il est com-plètement inconnu. Mais les mathématiques de la gravitation sont considéréescomme complètes. Personne ne travaille sur les équations de champ de la relati-vité générale car elles sont supposées correctes.

Cet article démontre que cette supposition ne peut plus être maintenue. J’ai dé-couvert une erreur mathématique élémentaire dans l’une des équations fondamen-tales de Newton. L’équation, et sa dérivation par Newton, n’a jamais été remise enquestion depuis des siècles. L’équation est utilisée aujourd’hui dans de nombreusesthéories ésotériques, y compris la dérivation du rayon de Schwarzschild, la prédic-tion de l’intensité d’une onde gravitationnelle et ainsi de suite. Elle est importéedans ces dérivations en tant que fait connu. De plus, l’équation est utilisée en rela-tivité générale. C’est l’une des préconditions de base de plusieurs parties de diverstenseurs. Je montre que toutes ces dérivations et tous ces calculs sont fatalementcompromis par cette erreur.

Cette équation est a = v2/r. Nous avons tous appris cette équation à l’école,

concernant le mouvement circulaire uniforme. Elle établit la relation entre unevitesse orbitale et une accélération centripète. La raison pour laquelle cette équa-tion est si souvent utilisée dans la physique contemporaine est qu’elle est égale-ment supposée décrire la relation, dans sa forme la plus simple, entre un corpsorbitant et la force de gravitation ressentie par ce corps. C’est de la physique ba-sique, et je suis prêt à parier que personne n’a examiné de près cette équationdepuis très longtemps. Personne n’a certainement eu la perspicacité ou le cran dela remettre en question dans un cours de physique à l’école. Le temps qu’un étu-diant en physique atteigne l’université et de telles équations ne l’intéressent plus –elles doivent être utilisées au besoin mais jamais examinées de plus près.

Je fus conduit à réexaminer cette équation à cause de problèmes apparus dans dif-férents domaines. Dans cet article, je ne vais pas plonger dans la théorie : il suffitde dire que les concepts fondamentaux de la gravitation me semblaient assez at-ténués dans plusieurs domaines d’étude. Ce qui était nécessaire, de mon point devue, ce n’était pas encore plus de maths ésotériques – comme par exemple la pour-suite de théories sur des super-cordes et autres choses semblables – mais plutôt unexamen plus rigoureux des théories et concepts soutenant les mathématiques gra-vitationnelles, et plus spécialement la simple algèbre qui est à la base de la plupartdes maths supérieures. En faisant ainsi, je découvris de nombreuses erreurs qu’on

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UNE CORRECTION À L’ÉQUATION a = v2/r

ne peut, je pense, que déclarer stupéfiantes. Ce papier va parler de l’une d’entreelles.

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2 LA DÉRIVATION DE NEWTON

Newton utilisa l’équation a = v2/r afin de relier sa fameuse équation de la gravita-

tion universelle à la troisième loi de Kepler, c’est-à-dire que F=Gm1m2/r2 devient

t2/r3

= 4π2/Gm2 uniquement en supposant que a = v

2/r.

La dérivation complète se trouve dans tous les manuels scolaires et je ne vais pasla répéter ici. Je la mentionne uniquement dans le but de montrer que a = v

2/r

a constitué une équation fondatrice dès le commencement. Newton la traita lui-même presque comme un axiome. Il « prouva » l’équation dans une des premièresparties des Principia (section 2, proposition 4). J’écris « prouvé » parce que l’équa-tion est en réalité introduite en tant que corolaire, avec seulement l’esquisse d’unepreuve. Le corolaire 1 n’est qu’une phrase intégrée dans un théorème. Voici lecorolaire 1, en intégralité :

« Dès lors, puisque ces arcs sont proportionnels aux vitesses des corps,les forces centripètes seront en raison composée de la raison doubléedes vitesses directement, et de la raison simple des rayons inverse-ment ».

En langage moderne, cela nous donne :

« Puisque les arcs décrivent la vitesse, l’accélération est le carré de lavitesse sur le rayon ».

Newton aurait pu répondre justement que sa phrase ne contenait aucune impli-cation d’égalité exacte. Il disait simplement que la force est proportionnelle à l’in-verse du rayon. Dès lors, si l’égalité n’est pas exacte, l’erreur ne fut jamais de lui.

En fait, dans le paragraphe précédent, il avait déclaré :

« Ces forces tendent au centre des cercles et elles sont entre elles commeles sinus verses des arcs décrits dans de très petits temps égaux, c’est-à-dire comme les carrés de ces mêmes arcs divisés par les diamètres deleurs cercles ».

Je lis cela comme signifiant que, selon la trigonométrie appliquée au problème,la proportion s’applique aux diamètres dans le premier cas. Newton passe alorsdu diamètre au rayon simplement en disant « puisque les diamètres sont commeles rayons ». Pour moi, cela prouve absolument qu’il parle, dans cette section, deproportions et pas d’égalités. Le rayon comme le diamètre sont également propor-tionnels, car la proportion ne prend pas en compte des magnitudes du premierdegré. Si vous êtes proportionnel à 2x, vous êtes proportionnel à x.

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La dérivation actuelle de l’équation ne mentionne jamais la méthode de Newtonutilisant le sinus verse, apparemment du fait que la connaissance des sinus versesn’est plus répandue. Ou il se peut que cette méthode n’est pas mentionnée parcequ’elle est très difficile à pénétrer. Je montrerai qu’elle approche bien plus de larésolution du problème que la dérivation actuelle. Cela ne devrait pas constituerune bien grande surprise, considérant son auteur. Cependant, en se tenant sur lesépaules de Newton, la science moderne aurait dû finalement voir plus loin, dumoins on pouvait l’espérer, étant donnés les 300 ans qu’elle a eus à sa dispositionpour perfectionner son œuvre. Il apparaît au contraire qu’elle a utilisé son tempsà devenir myope, en remplaçant une dérivation légèrement défectueuse par unedérivation constituant un embarras mathématique.

Puisque je prouve plus loin que la dérivation actuelle échoue complètement, il mesemble que je dois également analyser la dérivation originelle de Newton afin demontrer que la science n’a pas, au moins, l’ignominie de remplacer une dérivationcorrecte par une incorrecte. La dérivation de Newton comme l’actuelle font deserreurs fondamentales dans l’analyse du mouvement circulaire.

Newton propose un corps qui se meut de A en B, qui est en cet endroit contraintpar une force qui le fait dévier, et qui continue jusqu’en C. Il possédait dès lecommencement une vitesse constante, et dès lors AB = Bc = BC. Newton postuleque c est l’endroit où le corps se serait rendu en l’absence de la force. Il cherche lataille et la direction de la force qui lui permettent de faire dévier le corps de c versC. Il assume que d est le vecteur accélération causé par cette force, puisqu’il est ladifférence entre les deux vecteurs.

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En trigonométrie, le sinus verse est simplement la section externe du rayon, quandle rayon a été coupé par une ligne projetée à partir de l’extrémité de l’arc. Newtonne trace jamais cette ligne dans ses diagrammes des Principia, ce qui est en soiintéressant. Newton aimait cacher ses maths, pour une raison ou une autre. Onassume généralement que cette raison consistait à égarer la compétition, maisdans ce cas-ci cela me semble être de l’obstruction. Cacher de bonnes maths peutêtre de bonne guerre pour certains, mais cacher de mauvaises maths est toujoursquelque chose de moins noble. Ce que Newton cache pouvait paraître clair pourdes gens du 17e siècle, mais c’est très obscur aujourd’hui. Le sinus verse approchede zéro très rapidement pour des angles très petits, de façon telle qu’il puisseassumer l’équation connue sous le nom de équation sagitta 1 :

sinus verse = h2/2r (où h = rθ).

Newton propose que, à la limite, h = l’arc. Et, puisque le sinus verse est propor-tionnel à la force centripète, l’accélération doit être proportionnelle à arc2

/2r. Deplus, dit-il, l’arc est égal à la vitesse, si bien que a est proportionnel à v2

/2r. Maisle sinus verse est seulement la moitié de la force, déclare-t-il [voir prop. I, coro-laire IV], donc l’accélération entière devient a = v

2/r. Vous pouvez constater que

l’équation sagitta est la clé qui permet de comprendre la dérivation de Newton.Newton ne révèle rien de tout cela dans les Principia, mais c’est la seule manièrede comprendre ses commentaires sur le sinus verse.

Ceci représente les maths cachées de Newton, telles qu’elles sont. Elles sont subti-lement perverties de plusieurs façons, dont par exemple son utilisation du lemmeVII. Dans le lemme VII, Newton déclare qu’à la limite (quand l’intervalle entredeux points va vers zéro), l’arc, la corde et la tangente sont tous égaux. Mais sicela est vrai, alors sa diagonale comme le sinus verse doivent être zéro. Selon lelemme VII, tout va soit vers l’égalité soit vers zéro à la limite, ce qui n’aide pasvraiment à calculer une solution. Ni l’équation du sinus verse ni le théorème dePythagore ne s’appliquent lorsque nous allons à une limite telle que définie parNewton. Je montrerai ci-dessous, grâce à une analyse simple, que la tangente doitpouvoir rester plus longue que la corde à la limite ; c’est seulement alors que leproblème peut être résolu sans la moindre contradiction.

Avant de réaliser cela, il est intéressant de noter que Newton obtient presque labonne réponse, malgré des lemmes fautifs. Le sinus verse nous donnera la réponsecorrecte, à condition que nous analysions l’intervalle correct. Le sinus verse devientégal à a uniquement si nous considérons la longueur de l’arc de A à b. Newton aconsidéré la longueur de l’arc de A à C. Nous devons projeter la perpendiculairede b à la place de C afin d’obtenir le sinus verse correct. Si nous faisons cela, noustrouvons en fait que le sinus verse = a à la limite.

1. « flêche » en latin (NDT).

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Une fois que nous avons trouvé a de cette manière, il n’y a cependant pas besoin dele doubler, car en trouvant le sinus verse nous avons utilisé l’angle θ et la longueurde l’arc de A à b. Ceci doit donc constituer notre intervalle. Vous pouvez voir quela seule différence entre ma correction et la méthode de Newton est qu’il trouvela force sur l’intervalle de A à C, alors que je trouve la force de A à b. Sa force estle double de la mienne et son arc est le double du mien, et dès lors tout devraitrester pareil. Mais ce n’est pas vraiment aussi simple.

Ce que nous trouvons par la méthode de Newton une fois d découvert est la forcerequise pour amener le corps de c à C durant l’intervalle B à C. J’agrée sur le faitque cette force est de

d = 2a = v2/r.

Newton répand alors cette force sur l’intervalle A à C, et nous obtenons notreéquation actuelle. Il est évident que la force requise pour amener de A à C est dedeux fois la force pour l’amener de A à b. Si j’admets que a = v

2/2r, alors je dois

admettre que d = v2/r. Je l’admet. Mais il reste un très gros problème. Newton estallé à la limite pour trouver d. Je suis allé à la limite pour trouver a. Nous sommestous deux supposés être au rapport ultime. Je viens juste de montrer, cependant,qu’il a trouvé la solution non pas sur un mais sur deux intervalles. Il commence laproposition I par ce qui suit :

« Supposé que le temps soit divisé en parties égales, et que dans la pre-mière partie de ce temps, le corps, par la force qui lui a été imprimée,décrive la ligne AB : suivant la première loi du mouvement dans un se-cond temps égal au premier, il se dirigerait directement vers c, le longde la ligne Bc égale à AB ».

Il a donc postulé deux intervalles de temps. Vous ne pouvez pas postuler deuxintervalles de temps pour ensuite postuler que vous êtes à l’intervalle ultime. L’in-tervalle ultime est le dernier intervalle de la série. Il ne peut pas être subdivisé plusavant, par une variable de temps ou par quoi que ce soit d’autre. Dès lors d = v

2/r

doit s’appliquer à deux intervalles de temps. C’est la force requise pour amener lecorps à deux fois la distance de l’arc ultime, en vertu du raisonnement même deNewton.

Vous pouvez peut-être déjà voir qu’il est beaucoup plus simple et logique de laisserAb être l’intervalle ultime, de façon que l’arc Ab soit composé des vecteurs AB etBb. Ensuite nous pouvons résoudre pour a, en utilisant soit un sinus verse soit lethéorème de Pythagore – ce que je fais ci-dessous. Dans les deux cas, nous trouvonsque sur l’intervalle ultime, a = v

2/2r.

Je voudrais souligner une chose avant de continuer. J’ai cité Newton ci-dessus,quand il dit que l’arc est la vitesse, comme étant dérivée par sa méthode et par

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ses équations (qui sont toujours utilisées aujourd’hui). Ceci signifie que la variablev dans toutes les équations finales doit être comprise comme étant la vitesse or-bitale. Elle n’est pas la vitesse tangentielle. La vitesse tangentielle est représentéepar un vecteur en ligne droite le long de la tangente. Ce qui signifie qu’il se meutdans cette direction. C’est ce que représente ce vecteur. La vitesse tangentielle necourbe pas et elle ne suit pas la courbe de l’arc. Dans le diagramme ci-dessus, lavitesse tangentielle sur le premier intervalle est AB et la vitesse orbitale est Ab.Newton nous donne la vitesse tangentielle pour commencer, lorsqu’il nous donneAB ; ensuite, nous recherchons la vitesse orbitale. La vitesse qui suit la courbe del’arc est la vitesse orbitale, et elle est la variable vitesse dans l’équation finale deNewton a = v

2/r. Historiquement, les physiciens n’ont pas gardé séparées ces deux

variables vitesse, mais vous devez apprendre à le faire quand vous suivez les argu-ments et les diagrammes dans cet article. Les deux vitesses ont été amalgamées, etquand nous regardons des équations modernes comme v = rω, il y a confusion :nous ne savons pas de quelle vitesse nous parlons. Les manuels contemporainsnous affirment que le v dans cette équation représente la vitesse tangentielle, maisce n’est pas le cas. C’est la vitesse orbitale.

En analysant plus profondément ce problème, je prouverai également que l’arc nedécrit pas la vitesse – ni aucune autre vitesse réelle – et que nous avons besoind’une autre équation pour exprimer a en fonction de la vitesse tangentielle. Lavitesse tangentielle et la vitesse orbitale ne sont pas les mêmes choses – bien quepar le lemme VII de Newton, elles aient été prises pour la même chose à traversl’Histoire. La vitesse tangentielle est la tangente et la vitesse orbitale est l’arc. Lelemme VII affirme qu’elles sont la même longueur à la limite. Je prouverai quec’est faux. En plus de cela, je vous demanderai de considérer le fait élémentairesuivant : un arc est une courbe. Une courbe ne peut pas décrire une vitesse, carpar définition une vitesse ne peut pas courber. Une courbe décrit une accélération,comme nous le savons tous. La vitesse orbitale est une vitesse uniquement surl’intervalle ultime – où elle devient droite. Mais même en cet endroit, elle n’est paségale à la vitesse tangentielle, comme je le montrerai.

Il peut également être utile de souligner que l’équation linéaire de base pour l’ac-célération est v2

= v2

0 + 2ar. Cette équation se trouve au premier chapitre de laplupart des manuels de physique. Il m’a fallu plusieurs années après avoir rédigécet article pour me rappeler que cette équation se réduit à

v2

= 2ar

v2

2r= a

Il est vraiment incroyable que personne n’ait pensé à connecter ces deux équations.

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3 LA SOLUTION ACTUELLE

Newton a fourni une preuve mathématique qui était à la fois minime et opaque,mais les manuels actuels offrent une solution légèrement plus explicite. Ce que j’airecopié ici constitue la dérivation mathématique standard de a = v

2/r. J’ai recopié

les étapes ci-dessous d’un récent manuel de faculté.

Voici donc la dérivation acceptée de a = v2/r :

Soit v0 la vitesse tangentielle initiale, comme on peut la voir sur la première illus-tration.

Puisque v0 et v sont tous deux perpendiculaires à r, les deux angles θ doivent êtreégaux ; dès lors, les triangles affichés sont similaires ; dès lors, quand t→ 0,

∆v/v = ∆l/r

∆v = v∆l/r

a = limt→0

∆v

∆t

= limt→0

v∆l

r∆t

Et puisque la vitesse, v, de l’objet est limt→0∆l∆t

,

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a = v2/r.

Le manuel dit :

« Quand ∆t est très petit, ∆l et les angles sont aussi très petits, donc vsera presque parallèle à v0, et ∆v leur sera essentiellement perpendi-culaire. Ainsi, ∆v pointe vers le centre du cercle ».

Les erreurs sont ici nombreuses. Laissant de côté l’organisation conceptuelle et lecalcul pour un moment, permettez-moi de parler du problème le plus importantd’abord. Dans sa dérivation, le manuel assume que la variable v dans la dernièreéquation est la même que celle dans la première. Mais ce n’est pas le cas. Dansla première ligne de la dérivation, la variable v représente la vitesse tangentielle.Quatre lignes plus loin, on nous dit « la vitesse de l’objet, v, est de limt→0

∆l∆t

».Mais cela représente la vitesse orbitale ! La variable v a été échangée. Vouspouvez voir que v dans leur premier diagramme n’est pas de lim ∆l

∆t, puisque lim ∆l

∆t

est la vitesse courbée de A à B : v n’est qu’une composante de cette vitesse ; vest une ligne droite ! Mais le manuel substitue l’une pour l’autre. Autrement dit,v∆l/r∆t devient magiquement v2

/r. Mais, si v 6= limt→0∆l∆t

, alors la substitutiondoit échouer. Elle échoue, et la dérivation échoue avec elle.

Une analyse plus profonde de la situation montre que v est la vitesse tangentielle,∆l/∆t est la vitesse orbitale, et elles ne seront jamais égales – sur aucun intervalle,y compris un intervalle infinitésimal. Le manuel a besoin d’indices pour différen-cier les deux, comme vt et vorb (pour v orbitale). vorb = ∆l/∆t, mais vt 6= ∆l/∆t, etdonc l’équation a = v

2/r devrait être lue a = vtvorb/r si le manuel suivait sa propre

méthode correctement.

vt vorbr 6= v

2

r .

Il n’est finalement pas clair si v, dans l’équation actuelle, s’applique à la vitesseorbitale ou à la vitesse tangentielle, car la dérivation fait les deux suppositions.

À l’intention de ceux qui sont déjà dans la confusion, permettez-moi de le dired’une manière légèrement différente. Cette dérivation moderne est un tour deprestidigitation, un tour de passe-passe. Tout comme un magicien repenti, je vaisvous révéler le truc. Retournez à l’illustration et notez qu’ils ont étiqueté les deuxvitesses tangentielles v0 et v. Pourquoi ? Les deux vecteurs sont des vitesses tan-gentielles, ils sont juste en des positions différentes. Mais ce qui nous intéresse,c’est la longueur ou valeur numérique des vecteurs, pas leur position. Les valeursnumériques sont les mêmes, et donc les vecteurs devraient porter le même nom.En valeur, v0 = v ; les nommer différemment est juste un trucage. C’est ce trucagequi permet aux magiciens ici de vous faire aller de v0 à v et de compléter cettepreuve malhonnête. Examinez de nouveau l’équation

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∆v/v = ∆l/r.

Demandez-vous : ne devrions-nous pas plutôt avoir ici

∆v/v0 = ∆l/r ?

C’est en cet endroit que la substitution a lieu. C’est là que la main est plus rapideque l’œil. Comme vous le voyez, v0 est devenu v, de façon à ce que lorsque l’arcest également défini par v, les deux sembleront les mêmes sur la page. Ensuite, lesmagiciens peuvent substituer l’un pour l’autre et obtenir le résultat désiré.

Il est vraiment choquant de trouver de telles tricheries maladroites en mathéma-tique et en physique fondamentales.

Mais il y a encore plus de problèmes. notez que les magiciens se permettent defaire des substitutions dans une équation aux limites. Je parle de l’équation

a = limt→0

∆v

∆t

Ils substituent v∆l/r là-dedans. Mais vous ne pouvez pas faire cela, parce queces variables sont capturées par le signe limite. Cette équation se lit : « la limite,lorsque t va vers zéro, du changement en v, etc ». Ce n’est pas la même chose quesimplement « changement en v ». La substitution est interdite. Après la substitu-tion, vous voyez, vous avez ∆l allant vers la limite, tandis qu’avant vous aviez ∆v.Pour faire la substitution, vous devez assumer que les deux variables delta vontvers la limite de la même façon, mais vous ne pouvez pas assumer cela. La raisonspécifique pour laquelle vous ne pouvez pas l’assumer est parce que les deux deltasne sont pas équivalents. ∆l, comme ∆t, est un simple intervalle. Mais ∆v est unchangement en vitesse, ce qui n’est pas un simple intervalle. Un changement envitesse est déjà une accélération, par définition, ce qui signifie qu’il ne s’agit pasde la même sorte de variable que ∆l. Dans le calcul, vous devez différencier deslongueurs, des vitesses et des accélérations, habituellement à l’aide de variablesprimées, mais ici nous n’avons rien de tout cela. Une accélération ressemble exac-tement à une vitesse ici, sans la moindre différence de notation.

Et les problèmes continuent. La partie (b) tout entière de l’illustration est fausse.∆v 6= v − v0, parce que cette math est concernée par des valeurs, comme je l’aidit. La valeur numérique de v est la même que la valeur numérique de v0, etdonc ∆v ne peut valoir que zéro ici. Un corps en orbite ne change pas la valeurnumérique de sa vitesse. Il possède une vitesse constante. La différence entre v

et v0 n’est ici qu’une différence d’angle. Résoudre de cette façon ne peut donc

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qu’être appelée « perverse ». Même Newton ne tenta pas de soustraire une tangented’une autre. Examinez de nouveau sa dérivation. Il analyse des longueurs, desvitesses et des accélérations dans le même intervalle, mais pas dans des intervallessubséquents. Le vecteur v ne devrait pas faire partie de cette analyse, et l’utiliserici afin de fabriquer une preuve n’est rien d’autre qu’une invraisemblablementmauvaise mathématique.

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4 LA VARIATION DE FEYNMAN

Certains vont prétendre que j’ai simplement pris un mauvais exemple de preuveà partir d’un mauvais manuel. Pour répondre à cette assertion, je vais fournir unepreuve différente extraite d’un livre complètement différent. Je vais critiquer unepreuve de l’équation par Richard Feynman. Feynman, nous dit-on, est renommépour pouvoir expliquer des problèmes difficiles lucidement et succinctement. J’ex-trais la preuve du livre intitulé Six Not-so-Easy Pieces.

Feynman fait varier légèrement le problème, comme à son habitude. Peut-être celanous fera-t-il sortir de notre ornière. Il postule toute vitesse le long d’une courbe,et pas nécessairement un cercle.

Comme vous pouvez le voir d’après ce diagramme, la vitesse tangentielle varie, etcela nous donne deux composantes à l’accélération (dans le premier diagramme,vous pouvez ignorer les petits vecteurs r et l’origine o : ils n’ont rien à voir avec leproblème. Et le vecteur pour ∆v est placé exprès au mauvais endroit par Feynman.Je ne le réprimanderai pas pour cela. Il « corrige » ces erreurs dans le seconddiagramme. Je le réprimande pour cette correction).

Il déclare : « la tangente accélération vers le parcours est bien entendu juste lechangement en longueur du vecteur ». Je suis d’accord. Mais je souligne que dansle mouvement circulaire uniforme, cette composante de l’accélération sera de zéro,car la longueur du vecteur ne change pas. Ensuite, il calcule l’autre composante,l’accélération à angle droit de la courbe. Vous pouvez constater la décompositiondans sa seconde illustration. Cette illustration clarifie certains points qui sont lais-sés dans le vague dans les illustrations des manuels. Vous pouvez voir, en premierlieu, que l’angle droit bâti par ∆v⊥ existe à l’intersection avec v2, pas avec v1. Il ditensuite que ∆v⊥ = v∆θ, où « v est la magnitude de la vitesse ». Il ne spécifie pasde quelle vitesse il s’agit, mais il est clair qu’il parle de v1, car c’est l’hypoténuse.C’est la seule façon dont l’équation peut sembler fonctionner, à première vue.

Mais nous avons déjà de gros problèmes. ∆v⊥ = vθ est une fausse équation. J’es-père que vous pouvez comprendre qu’elle devrait être ∆v⊥ = v sin θ.

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Il y a plus. Supposons que l’accélération tangentielle soit de zéro sur cet intervallede la courbe. Nous retournons au mouvement circulaire dans ce cas. Nous gar-dons le second diagramme de Feynman mais nous perdons ∆v‖. Mais vous pouvezconstater que cela rend v2 plus court que v1. Le triangle de Feynman doit être untriangle rectangle pour que sa dernière équation fonctionne. Mais les longueurs nes’additionnent pas. v2 −∆v‖ 6= v1. Ceci signifie que pour calculer une accélérationperpendiculaire, il doit avoir une accélération parallèle négative. Logiquement im-possible.

Feynman s’emmêle encore plus les pinceaux. Dans l’étape suivante, il donne a⊥ =

v⊥/∆t. Cette égalité devrait être a⊥ = v sin θ/∆t. Mais pour obtenir ∆θ/∆t, dit-il,si « à n’importe quel moment donné, la courbe est approchée comme un cercle derayon r, alors dans un temps ∆t la distance s est bien sûr v∆t, où v est la vitesse ».Ce qui nous donnerait

∆θ = v∆t/r

∆θ/∆t = v/r

a⊥ = v2

/r

J’espère que vous pouvez voir qu’il a fait exactement la même « erreur » à cetteétape que le manuel. Vous devez retourner à sa première illustration pour trouvers. Une fois s trouvé, vous constatez que s courbe : s est une distance le long del’arc. Il déclare que s = v∆t, mais ce n’est tout simplement pas vrai. Il a déjà définiv comme étant la magnitude de v1. Dès lors, v∆t décrit une longueur en lignedroite le long de ce premier vecteur v1 – pas une longueur le long de la courbe. Ila confondu la vitesse tangentielle et la vitesse orbitale. Ses variables ont changéde la même façon que dans le manuel. Il ne nous dit pas non plus à la fin ce quereprésente v dans l’équation finale. Le lecteur n’en a aucune idée puisqu’il a définiv des deux façons.

De plus, il a caché une étape précédant ∆θ = v∆t/r ci-dessus. Il a besoin d’uneéquation pour la longueur de l’arc s, qui serait

∆θ/2π = s/2πr

∆θ = s/r

Notez que ce n’est pas la même chose que sin θ = s/r, et dès lors la substitutionéchoue. Rappelez-vous que nous avions ∆v⊥ = v sin θ. Vous pouvez comprendrepourquoi Feynman a supprimé cette étape. Il ne désirait pas être l’objet d’un exa-men approfondi. De plus, l’équation ∆θ = s/r ne fonctionne que si θ est mesuré

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en radians. Mais Feynman ne peut pas mesurer l’angle en radians et espérer ob-tenir une solution de cette manière. Il veut une vitesse mesurée en m/s, pas enradians/s.

Notez également l’étrange notation pour l’angle. Un angle est habituellement sim-plement représenté par une variable, pas par une variable delta. C’est-à-dire θ,pas ∆θ. Un angle est déjà compris comme étant un changement en direction : ledelta est superflu. Mais dans ces dérivations, Feynman comme le manuel utilisentla notation delta. Pourquoi ? Afin de faire croire que la dérivation fonctionne. Afinde tromper l’œil. Un trompe l’œil. Ce signe delta fait croire que la variable est plusque ce qu’elle est. C’est une sorte de mystification. Vous la voyez pour la premièrefois et vous vous dites : « qu’est-ce que cela signifie ? ∆θ ? Cela veut-il dire quelquechose de plus que θ ? Je ne sais pas, mais peut-être que Feynman le sait. Cettepreuve doit fonctionner, puisque je sais déjà que a = v

2/r, donc je ferais mieux de

prétendre que je comprends ce qui se passe ici ». Le problème, vous le voyez main-tenant, est que personne ne sait ce qui se passe ici. La preuve est un blanchiment.

Et finalement, notez que Feynman a tout simplement fait un travail de copie surl’illustration ridicule du manuel. Plus spécifiquement, il a placé v2 comme saillanthors de l’extrémité de l’arc. Il nous avertit avec désinvolture que des additionsde vecteurs ne fonctionnent « que lorsque les queues des vecteurs se trouventau même endroit », et il déplace ainsi la queue de v2 vers celle de v1. Ce qu’iloublie en passant, c’est que des additions de vecteurs ne peuvent fonctionner quelorsque les vecteurs se trouvent dans le même intervalle. Importer arbitrairementun vecteur à partir d’un intervalle subséquent juste parce que vous en avez besoinpour pervertir une équation ne vaut pas mieux que de tracer des vecteurs sansqueue ou des vecteurs à trois têtes.

La preuve de Feynman échoue. Elle échoue en au moins trois endroits en unedemi-page de dérivation.

Je ne sais franchement pas quoi penser de tout cela. Je ne peux réellement pas dé-terminer si Feynman et les autres ne sont pas capables de suivre quelques courtesdémonstrations de géométrie de collège ou bien s’il existe une conspiration desti-née à cacher ces erreurs. Il est absolument incroyable que les plus grands espritsdu vingtième siècle n’aient pu voir ces erreurs. Cette séquence d’étapes dans lelivre de Feynman est tellement clairement truquée que cela, je pense, ne peut quesignifier une chose : ce fut fait délibérément. Vous pourriez penser que l’équationde la longueur de l’arc fut laissée de côté parce que tout le monde la connaît parcœur. Je crois qu’elle fut laissée de côté afin d’aider la manipulation consistant àcacher la substitution inégale de sin θ par ∆θ. Si Feynman et d’autres comme lui nepeuvent voir ces erreurs, c’est un très mauvais signe. S’ils le peuvent, c’est un trèsmauvais signe également, car cela signifie que nous sommes victimes d’une sortede casuistique jésuite – on nous ment pour notre bien. Nous devons croire quela science n’est pas un château de cartes supplémentaire, de peur que nous nous

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enfuyions dans la nuit en hurlant. Dès lors, nous devons croire en ces dérivationsabsurdes. C’est la foi. Credo quia absurdum. Je suspecte que cette dérivation estutilisée simplement parce qu’elle fut utilisée par Newton, et nous n’avons jamaisété capables de l’améliorer. Elle produit les nombres corrects expérimentalement ;qui va se soucier qu’elle soit pleine de trous ?

Pour lire ma critique de la preuve de cette équation par Maxwell, vous pouvez allerici. Pour voir ma critique d’une preuve « technique » de cette équation sur Youtube,vous pouvez aller ici.

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http://milesmathis.com/maxwell.pdf

http://milesmathis.com/maxwell.pdf

http://milesmathis.com/avr3.pdf


5 MA SOLUTION

Nous avons vu trois différentes dérivations ratées provenant de gens aussi renom-més que Newton et Feynman (bien que je ne devrais probablement pas mettreNewton et Feynman dans la même phrase). Je ne critiquerai pas la dérivationde Huygens ici, car je la considère comme équivalente à celle de Newton. Huy-gens, comme Newton, montra correctement la proportionnalité de l’accélération,du rayon et de la « vitesse ». Mais il ne montra pas de façon incontestable l’égalité.Je vais le faire maintenant, à l’aide d’une méthode très transparente.

(J’ai tracé v de cette manière uniquement pour le faire correspondre à l’illustrationdu manuel, afin de montrer à quel point cela est absurde. Dans ma solution, cevecteur est superflu).

Dans mon tracé, un triangle rectangle est formé par le rayon, la vitesse tangentielleet ∆v ajouté à un autre rayon. Quelle que soit la longueur que vous donniez auvecteur de vitesse tangentielle, le triangle rectangle est concerné. Notez égalementque dans mon illustration, ∆v pointe toujours vers le centre du cercle. Il ne pointepas vers le centre uniquement lorsque t , ∆v ou l’arc d est zéro. Il pointe vers lecentre si vo est très long ou s’il est infinitésimal. Maintenant, tout ce dont nousavons besoin, c’est du théorème de Pythagore.

v2

o + r2

= (∆v + r)2

∆v2

= v2

o − 2∆v r

17


Pour résoudre, nous pouvons alors traiter cette dernière équation comme uneéquation quadratique et utiliser la méthode standard pour trouver la racine carrée(voyez vos manuels de mathématiques) :

∆v = a = ±√

4r2+4v2o−2r

2

Si nous assumons un mouvement positif autour du cercle, ceci se réduit à

a =√v2

o + r2 − r

Avant toute chose, notez que ∆v = a. Ce vecteur est l’accélération centripète. Cevecteur est le nombre que nous recherchons. J’ai suivi l’exemple du livre et deFeynman en décrivant complètement à quoi s’applique ∆v. Jusqu’ici. Mais il estclair que ∆v n’est pas un vecteur vitesse. C’est un vecteur accélération. Bien en-tendu, la forme à elle seule nous montre la différence. Un vecteur delta v n’estpas la même chose qu’un vecteur v. Un vecteur delta v est clairement un vecteuraccélération. Feynman et le manuel insinuent qu’il est la différence entre une vi-tesse tangentielle et la suivante : une différence entre des vitesses constitue uneaccélération. Mais j’ai montré que le vecteur accélération ∆v peut être calculé àpartir d’une seule vitesse tangentielle, étant donné le rayon. C’est la différenceentre la vitesse tangentielle et la vitesse orbitale, mesurée sur le même intervalle.En ce sens, mon analyse reflète celle de Newton, qui dit la même chose. Voyezci-dessus où Newton définit la longueur d comme étant la différence entre la vitessetangentielle et la vitesse orbitale, mesurée sur le même intervalle. Mon illustrationreflète également la sienne, comme vous pouvez le constater. Retournez juste sonillustration, et son d est mon ∆v. La seule différence est que je fait pointer monvecteur vers le centre du cercle.

Certains diront : « Cela ne marchera pas. Vous devez différentier. Vous devez trou-ver vos valeurs en un dt. Tel que vous le présentez, vous obtiendrez une valeurdifférente selon que vous résoudrez à ∆t = 1, ∆t = 5 ou ∆t = dt. Un changementdans la longueur de votre vecteur vo changera la longueur de votre vecteur a ».

Non, c’est faux : vo est une constante dans le cas que vous présentez. Si vous faitesjuste varier les temps afin de faire changer vo en longueur, vous parlez d’un cercleparticulier. Vous ne parlez pas de tout cercle. Dès lors, si vous augmentez le ∆t deun à cinq, par exemple, vous augmentez également la distance le long du vecteur :dès lors la vitesse reste la même. Un plus petit vecteur vitesse dans ce cas n’est pasune vitesse différente ; c’est la même vitesse mesurée sur un temps plus petit. Sivous faites diminuer de ∆t = 5 jusqu’à dt et que le triangle est de plus en pluspetit, la valeur pour vo ne diminue pas. La vitesse égale x/t, rappelez-vous. Lalongueur du vecteur exprime seulement le x, mais le t est toujours sous-entendu.

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Nous n’avons pas besoin de différentier, parce que la différentiation produiraitun changement dans ce vecteur. Cela nous demanderait de considérer le vecteur∆v comme une vitesse, et nous calculerions un changement dans cette vitesse, un∆∆v, durant un intervalle infinitésimal dt. Non seulement cela n’est pas nécessairemais c’est absurde. Si le vecteur était une vitesse, il ne changerait pas sur unintervalle, ni sur un grand intervalle ni sur un intervalle minuscule dt. Dès lors,a 6= dv/dt et a 6= d∆v/dt. Ces équations ne donneraient que a = 0. ∆v est déjà undifférentiel – il est la différence entre deux vitesses – et dès lors il serait redondantde le différencier. Le théorème de Pythagore fonctionne en tout t, même dt. Maisil n’y a pas de limite ici, puisque la valeur pour a est la même, que vous la calculiezà n’importe quel intervalle (un grand triangle) ou à proximité de zéro (un triangleminuscule).

Pensez de la façon suivante : l’équation a = dv/dt décrit un rapport de changemententre v et t. Si v ne change pas quand t change, alors v est une constante. Ladérivée d’une constante est zéro. Dès lors, cela n’a aucun sens de différentier unevitesse constante, même si elle est étiquetée ∆v.

Vous pourriez dire : « OK, mais tout ceci est-il légal ? Ne pouvez-vous pas combi-ner différents vecteurs dans une addition de vecteurs ? N’existe-t-il pas une règleconcernant le mélange de vecteurs d’accélération et de vecteurs de vitesse ? ». Oui,il y a des règles. La longueur du vecteur représente uniquement sa valeur numé-rique : c’est la raison pour laquelle vous devez soigneusement garder un œil surles angles. Mais personne n’a jamais vu de problème dans la façon avec laquelledes vecteurs distance et des vecteurs vitesse étaient combinés dans ce problème,historiquement parlant. La rayon du cercle n’est clairement pas une vitesse ; c’estune distance. Mais le manuel comme Feynman utilisent le rayon et les vecteursvitesse comme des valeurs qui peuvent être placées dans une même équation. Sivous pouvez faire cela, pourquoi pas utiliser des vecteurs accélération également ?La réponse est que vous le pouvez, et Newton, le manuel et Feynman le font tous,eux aussi. Ils n’attirent simplement pas l’attention là-dessus. Ils résolvent ce pro-blème sans même jamais définir leurs variables. Le tour de passe-passe consiste,apparemment, à ne rien définir : alors tout le monde l’acceptera sans poser dequestion. Mais le vecteur ∆v de Feynman doit aussi être un vecteur accélération,exactement comme le mien. Pourquoi pensez-vous qu’il est écrit avec un delta ?Un delta v est une accélération. Le vecteur n’a aucun sens en tant que vitesse, nidans ce diagramme ni dans le mien. Si Feynman l’avait défini comme un vecteurvitesse, alors veuillez noter que ce vecteur ne change pas en longueur tout au longdu cercle – si le mouvement est circulaire. S’il n’y a pas de changement dans cevecteur vitesse, alors a⊥ doit être zéro. Ni la vitesse orbitale ni la vitesse tangen-tielle (ni le vecteur ∆v) ne changent en magnitude sur un quelconque intervalle,et donc calculer tout changement en tout v, ou un a qui était un changement env, ne nous donnerait que le nombre 0. Le nombre que nous avons toujours obtenudans l’équation a = v

2/r pour a ne peut signifier que le vecteur accélération que je

viens juste de trouver.

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Feynman dit que a⊥ = ∆v⊥/∆t. Mais ∆v⊥ est toujours la même dans un mouve-ment circulaire, par définition. C’est une constante dans son diagramme commedans le mien. Dès lors, dans son équation, a = 0. Et nous voyons encore un autretruc qu’il a utilisé pour pervertir sa preuve. Pour que cette équation fonctionne, v⊥devrait être un vecteur vitesse. Autrement, la forme de l’équation n’a aucun sens.Dans le diagramme vectoriel, il étiquette la vitesse tangentielle v1. Puis il étiquettela vitesse perpendiculaire ∆v⊥. L’une est une variable et l’autre est une variabledelta. Pour quelle raison ? Ce sont des types équivalents de vecteurs selon sonéquation. S’il en est ainsi, alors ∆v⊥ devrait être étiqueté simplement v⊥. Il le faitdans le but de rendre le problème confus. Il a besoin d’un nombre pour ∆v⊥ pourle mettre dans son équation : a⊥ = ∆v⊥/∆t. Et il obtient un nombre. Cela sembleimpliquer que l’équation donnera un nombre non nul pour a⊥. Mais par sa nota-tion, ce dont nous aurions vraiment besoin pour rendre l’équation réelle est ceci :a⊥ = ∆∆v⊥/∆t. Nous avons besoin d’un changement dans sa variable vitesse –qu’il a étiqueté ∆v⊥ sans raison. Un changement dans sa vitesse perpendiculairedevrait donc se lire ∆∆v⊥. Mais ∆∆v⊥ = 0.

Si Feynman avait commencé par admettre que ∆v⊥ est un vecteur accélération,je pourrais répondre que son équation n’aurait pas fonctionné de cette façon nonplus. a⊥ = ∆v⊥/∆t est faux, car vous auriez alors a⊥ = a⊥/∆t. Le reste de sa sub-stitution devient tordu également s’il définit ∆v⊥ comme un vecteur accélération.Mais cet élément doit être l’un ou l’autre. Il est soit un vecteur accélération soit unvecteur vitesse, mais j’ai montré qu’aucune de ces alternatives ne fonctionne danssa preuve.

Vous pourriez dire que mon ∆v est une constante également. Oui, c’est une accé-lération constante. Mais elle n’est pas zéro puisque je ne l’ai jamais différenciée.

Comme preuve finale que mon analyse de a = ∆v est correcte, retournez au débutde la preuve de Feynman. Rappelez-vous qu’il disait : « La tangente accélérationvers le parcours est bien entendu juste le changement en longueur du vecteur ».Ah, ah ! Aucune différentiation ni placement du changement en longueur du vec-teur en ∆v ici. Si vous traduisez cette citation en une équation mathématique, ellese lit : a‖ = ∆v. C’est tout. Si la tangente accélération vers le parcours est com-prise de cette manière, pourquoi l’accélération perpendiculaire devrait-elle êtrecomprise d’une manière alambiquée quelconque ? La réponse : ce n’est pas le cas.Elle est comprise exactement de la même manière.

De plus, avec l’accélération tangente dans son exemple, vous pouvez différenciersi vous le désirez : cela n’a aucune importance du moment que vous utilisez labonne variable vitesse. Si vous différenciez v1 dans son diagramme (pas ∆v‖),vous obtenez a‖. Vous obtenez aussi ∆v‖, puisque a‖ = ∆v‖. En d’autres termes,

a‖ = dv1/dt = ∆v‖ 6= d∆v‖/dt.

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De même,

a⊥ 6= d∆v⊥/dt.

Vous ne pouvez pas différencier ∆v⊥ afin de calculer a⊥, car ∆v⊥ ne change pasau cours du temps. Et vous ne pouvez pas utiliser les autres trucs de Feynman, carj’ai déjà montré qu’ils ne sont tous que des tours de passe-passe.

Quelqu’un pourrait noter que mon équation présente une mauvaise notation pourune accélération. Oui, c’est exact. En utilisant le théorème de Pythagore sur lalongueur des vecteurs, j’ai perdu leur notation. Je n’ai trouvé que la longueur duvecteur accélération, ce qui signifie sa valeur numérique. Cependant, je montreraiplus bas que ce n’est pas crucial. Je montrerai également que la notation dansl’équation actuelle est incorrecte.

Comme plainte finale, quelqu’un pourrait noter que le vecteur ∆v ne courbe pas :comment peut-il être une accélération ? Un diagramme vectoriel est une simplifi-cation conceptuelle. La longueur du vecteur représente le ∆x et la direction re-présente la direction, mais rien ne peut illustrer le changement de temps. Il estcompris que le même changement en temps est sous-jacent pour tous les vecteurs.Tous les vecteurs dans le diagramme existent durant le même intervalle de temps.Mais la variable t est complètement ignorée. Si vous placez un vecteur accéléra-tion dans un diagramme, c’est la même chose. La variable t est ignorée. Mais sivous avez une accélération et que la variable t est ignorée, alors le vecteur necourbe pas. Il ressemble juste à un vecteur vitesse. Une accélération courbe sur ungraphique x, t parce que vous tracez x par rapport à t. Dans ces illustrations, nousne traçons pas par rapport à t, nous ignorons t. Il est dès lors possible d’avoir, dansune illustration, un vecteur accélération qui ne courbe pas. Il n’est pas possibled’avoir une courbe qui n’est pas une accélération, mais il est possible d’avoir uneaccélération qui ne courbe pas.

De plus, nous avons accepté depuis des siècles que l’accélération centripète pointevers le centre du cercle à chaque instant. À chaque fois qu’elle est tracée dans unmanuel, elle est représentée comme un vecteur en ligne droite. Si l’Histoire l’areprésentée comme un vecteur en ligne droite, ce n’est pas moi qu’il faut répri-mander.

La chose suivante à noter est que ma nouvelle équation fournit des proportionstrès similaires à l’équation actuelle entre a, r et vo. Si vous pensez que mon équa-tion semble complètement différente de l’équation actuelle, je vous encourage ày introduire quelques nombres. Oui, elle fournit différentes valeurs en presquetoutes les situations, mais ces valeurs changent pratiquement de la même manièreque dans l’équation actuelle. Ce qui veut dire que lorsque r et vo changent, la va-leur pour a augmente ou diminue à la même vitesse que dans l’équation actuelle.Je vous encourage à tester l’équation plutôt que de la rejeter d’emblée.

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Maintenant, retournons à ma preuve. Ma dernière équation est la relation entrel’accélération et la vitesse tangentielle. Mais que se passe-t-il si nous voulons ob-tenir la vitesse orbitale ?

Quand t → 0, d → b, et le triangle formé par vo, ∆v et b se rapproche de plus enplus d’un triangle rectangle, avec l’angle droit au point B. Vous pouvez voir dansmon illustration que l’angle en B est obtus. Mais quand l’arc d devient plus petit,l’angle diminue, atteignant une limite à 90°. En ce cas,

b2

+ ∆v2

= v2

o.

Quand t → 0, b devient le vecteur vitesse orbitale vorb, ce qui est ce que nousrecherchons.

v2

orb + ∆v2

= v2

o.

De ci-dessus,

v2

o + r2= (∆v + r)2.

Donc, par substitution,

v2

orb + ∆v2

+ r2

= ∆v2

+ 2∆vr + r2

2∆vr = v2

orb

∆v =v

2

orb

2r

a =v

2

orb

2r

∆v =√v2

o + r2 − r

v2

orb

2r=

√v2

o + r2 − r

vorb =

√2r

√v2

o + r2 − 2r2

22


Comme certains peuvent s’en rendre compte, je viens juste de résoudre le pro-blème en utilisant la conception même de Newton d’un rapport ultime. J’ai appli-qué le théorème de Pythagore sur le dernier intervalle de la série – un intervallequi n’est pas nul. Je le traite comme un intervalle réel, pas comme un intervalleinfinitésimal mystique, pas comme un intervalle « évanescent » (le terme utilisépar Newton). C’est un intervalle normal 2 et il n’existe aucune raison valable de nepas utiliser le théorème de Pythagore sur cet intervalle.

Je souligne une fois de plus qu’à la limite, l’angle en B (entre b et ∆v) est de 90°,mais vo 6= vorb. Pour que vo soit égal à b, l’angle en B devrait dépasser 90°. il devraitêtre légèrement aigu. Mais cela impliquerait un intervalle de temps négatif. B, dèslors, ne peut dépasser 90°. 90° est la limite. Et lorsque l’angle est à 90°, vo est plusgrand que vorb.

Vous pouvez maintenant voir que cette solution représente une réfutation dulemme VII de Newton. Newton déclare qu’à la limite, l’arc, la tangente et la cordesont tous égaux. Je viens de démontrer qu’à la limite, l’arc et la corde approchentde l’égalité, mais la tangente reste plus grande que ces deux-là. Newton appliquasa limite au mauvais angle. Il l’applique à l’angle θ dans mon illustration ci-dessus,amenant cet angle vers zéro. J’ai montré que la limite doit s’appliquer d’abord àl’angle en B. Cet angle atteint la limite à 90° avant que θ atteigne zéro. Dès lors, θne va jamais vers zéro et la tangente n’est jamais égale à la corde ou à l’arc. C’estpourquoi l’accélération ne va jamais vers zéro (ni d’ailleurs le sinus verse, pourceux qui sont attentifs). Si θ allait vers zéro, nous ne pourrions pas calculer uneaccélération.

Newton déclare que BC est composé de (est l’addition vectorielle de) Bc et de cC,dans la première illustration ci-dessus. Si cela est vrai, alors la vitesse tangentielleet la vitesse orbitale ne peuvent être équivalentes. Cela rendrait BC et Bc équiva-lents à la limite. Cela ne peut être, puisque cela annulerait complètement cC à lalimite. Mais cC est le vecteur accélération. Vous ne pouvez pas annuler ce vecteurà la limite puis déclarer le dériver. L’arc et la tangente ne peuvent être égaux. Lavitesse orbitale et la vitesse tangentielle ne sont jamais égales.

Si le lemme VII est faux, les lemmes VI et VIII doivent l’être également, car cesdeux lemmes sont concernés par l’angle θ allant vers zéro. J’ai démontré que θ

n’est pas zéro à la limite.

Quand je travaille dans l’intervalle ultime, penser de la façon suivante me vienten aide : nous ne pouvons pas amener toutes les quantités vers zéro, car alors nosvariables commencent à disparaître. Nous n’amenons pas B jusqu’à A ni ne laissonsθ égaler zéro. Nous sommes dans l’intervalle ultime dans la série ; nous ne sommespas à zéro. Même le dernier intervalle doit avoir des dimensions, peu importe leur

2. Pour plus de clarification, voir mon article Une redéfinition de la dérivée – pourquoi le calculmarche et pourquoi il ne marche pas (2003).

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http://milesmathis.com/are.html

http://milesmathis.com/are.html


petitesse. Un certain laps de temps doit passer ; une certaine distance doit êtrefranchie. Nous recherchons les dimensions à la fin de ce premier intervalle, pasau début du premier intervalle. Le début du premier intervalle est zéro. La fin dupremier intervalle ne l’est pas. Au début du premier intervalle, sin θ = 0. À la fin dupremier intervalle, sin θ = ∆v/vo 6= 0. Ceci est maintenant généralement compris,sous une forme ou une autre. Ce qui n’est pas compris, apparemment, c’est quecela ruine non seulement les lemmes VI, VII et VIII mais aussi toutes les dérivationsactuelles du mouvement circulaire ainsi que a = v

2/r. Les fondations du calcul

ont été rebâties depuis l’époque de Newton, mais de nombreuses suppositions deNewton sont restées debout à l’intérieur des vieux murs. Elles n’ont jamais étérigoureusement examinées.

Le mouvement circulaire est, au fond, un problème de taux de changement. Nousavons deux changements simultanés. Tandis que le corps se meut en ligne droite, ilest également accéléré vers un point central. Mais un problème de taux de change-ment implique du changement. Le changement n’apparaît que sur des intervallesdéfinis. Si nous amenons nos variables vers zéro, nous ne pouvons pas résoudre,car les changements sont allés vers zéro, et dès lors les rapports, les taux, sontallés vers zéro. Des forces ne peuvent, elles non plus, agir sur des intervalles nulsde temps. Il n’existe rien de tel qu’une force instantanée, par définition physique.Une force doit agir sur un intervalle. La définition d’énergie cinétique, en relationà la force, est claire sur ce point. Une force doit agir pendant un certain tempsou sur un certain intervalle de distance afin de fournir du travail, travail qui estla transmission et l’égalité de l’énergie cinétique. La même chose s’applique à l’ac-célération, bien que ceci ne soit jamais dit aussi clairement dans les définitionsactuelles. Une force doit mouvoir un corps pendant un certain intervalle de tempsou de distance afin de communiquer une accélération. Il n’existe pas de force enun point ou en un instant. Toute force et toute accélération doivent agir pendantun certaine laps de temps. C’est ce que Newton ne comprenait pas parfaitement etce que la physique et le calcul actuels ne peuvent comprendre.

J’ai résolu ce problème en utilisant la conception de Newton du rapport ultime,car elle reflète la conception actuelle du calcul en de nombreux points. J’ai corrigéle lemme VII, mais cela n’a pas affecté ma capacité à utiliser le concept historiquede la limite. Selon moi, ce concept de limite est toujours trop compliqué. Il existeune méthode encore plus facile pour résoudre toute courbe sans utiliser des li-mites ou des séries « infinies ». Cependant, l’utilisation de cette méthode exige laconnaissance de mon article sur la fondation du calcul, connaissance que je nepeux considérer comme acquise dans cet article-ci. Je crois que mes argumentsici sont suffisamment clairs dans leur forme présente, ce qui rend non nécessairel’inclusion de cette méthode dans ce papier.

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6 IMPLICATIONs

Nous avons vu que quelle que soit la vitesse que vous donniez à v dans l’équationfinale – vitesse orbitale ou tangentielle – a 6= v

2/r. Vous pourriez demander « Eh

bien, laquelle est-ce ? Laquelle parmi vos nouvelles équations proposez-vous enremplacement de a = v

2/r ? ». Notez qu’un facteur dans cette décision pourrait

être fourni par Newton lui-même, car dans la preuve que je mentionnais au débutpour la dérivation de la troisième loi de Kepler à partir de son équation gravita-tionnelle, il utilise cette étape : v = 2πr/t, où t est la période de l’orbite et 2πr estla circonférence de l’orbite. Il est clair que ce v est ici la vitesse orbitale. Pour quecette dérivation fonctionne, v dans l’équation a = v

2/r doit être la vitesse orbitale.

Et selon ses maths, ma correction n’affecterait pas sa dérivation de la loi de Kepler.Elle change uniquement la constante : t3/r3

= 2π2/GM à la place de 4π

2/GM.

Cependant, cela nous conduit vers l’embarras final dans toute cette histoire igno-minieuse de bourdes. Non seulement il est maintenant clair que ∆v n’est pas unevitesse, mais vorb n’est pas non plus une vitesse. La vitesse orbitale de Newtonn’est pas une vitesse. Ceci ne devrait pas constituer une surprise, car une vitessene peux pas courber. Toute courbe calculée nous le dit. Toute l’histoire du mouve-ment circulaire nous le dit. Une courbe est une accélération. La « vitesse » orbitaleest un mouvement complexe, composé de la vitesse tangentielle et de l’accéléra-tion centripète. Feynman et le manuel auraient déjà dû savoir ceci, car c’est l’unedes conclusions de tout le problème, mais pour une raison ou une autre ils ontpréféré l’appeler une vitesse et la traiter comme une vitesse dans la dérivation dea. Ils la différencièrent en tant que vitesse ; la mirent dans des équations d’accé-lération en tant que vitesse ; la notèrent comme une vitesse. Ils agirent, pour uneraison ou une autre, comme si la vitesse orbitale était connue et que nous déri-vions l’accélération à partir d’elle. Ils agirent de cette façon parce qu’ils avaientobtenu un nombre pour elle à partir de l’équation ci-dessus, v = 2πr/t. Il était fa-cile pour eux de calculer : les « vitesses » » orbitales sont les choses les plus facilesau monde à calculer à partir de données visuelles. Dès lors, ils pensèrent qu’ilsl’avaient comprise. Mais ce n’était pas le cas, comme il apparaît clairement aprèsces dérivations ratées.

Newton ne la comprenait pas non plus, car il substitua v2/r pour a comme si v

était une vitesse. Dans la preuve de Kepler, il pose ma = mv2/r. Ceci semble très

familier, d’une façon dangereuse, si vous ne savez pas que v est en réalité uneaccélération. Cela pourrait nous conduire dans des effondrements de problèmesd’énergie cinétique équivalents à celui-ci. Il n’y a aucune raison de continuer àétiqueter la vitesse orbitale comme s’il s’agissait d’une vitesse.

Un lecteur pourrait demander comment cette découverte peut être évaluée parrapport à l’ingénierie et à la physique appliquée actuelles. Nous possédons destonnes de preuves empiriques selon lesquelles l’équation historique est vraie. New-ton tentait de dériver une équation qu’il savait déjà vraie d’après les données qu’il

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possédait. Dès lors, l’équation historique a = v2/r dérive pour nous une relation

entre l’accélération centripète et 2πr/t. Nous avons besoin de cette relation et nouspouvons l’utiliser dans des calculs physiques, malgré le fait que la seconde valeurn’est pas une vitesse. Par facilité, nous l’avons appelée une vitesse et sommes re-tournés à nos affaires. Ces deux équations fonctionnent ensemble parce qu’ellessont correctes relativement l’une à l’autre. Ce qui signifie que, si a = v

2/r, alors

v = 2πr/t. Mais le fait est qu’aucune de ces deux relations n’est vraie. L’accéléra-tion orbitale est réellement aorb = 2

√2πr/t, et la relation est a⊥ = a

2

orb/2r.

Ce que cela signifie, c’est que nos équations actuelles ne sont rien d’autre quede l’heuristique directe. Nous les utilisons toutes simplement à cause du fait qu’ilnous est plus facile de mesurer 2πr/t. C’est notre donnée de base, donnée quenous aimons et que nous avons toujours aimé, et que 2πr/t soit une vitesse, uneaccélération ou rien de tout cela n’a jamais compté pour nous. Newton tentait dedévelopper une équation qui contenait cette donnée, et il fit exactement cela. Il dé-veloppa une vraie équation qui relie a et 2πr/t. Malheureusement, il appela 2πr/tune vitesse orbitale, et ce n’est pas la vitesse orbitale. Ce n’est pas non plus l’ac-célération orbitale. C’est juste une relation entre deux variables et une constante.Du fait que Newton dériva une vraie équation, il importait peu (dans la plupartdes situations) que son assignation de variables ait été bâclée. Aussi longtempsque nous nous souvenons que la variable v dans l’équation a = v

2/r est égale à

2πr/t, nous ne pouvons pas nous tromper. Mais nous ne nous sommes pas toujourssouvenus de cela, comme je vais le montrer avec Bohr et la mécanique quantique.

J’ai montré que le cercle décrit, non pas une vitesse, mais une accélération or-bitale. Cette accélération est l’addition vectorielle de la vitesse tangentielle et del’accélération centripète. Pour la trouver, nous utilisons l’équation a⊥ = a

2

orb/2r.Utilisant cette équation, nous trouvons que

(2πr /t)2

r=

a2

orb

2r

aorb =2√

2 πrt

a+ r =√v2

o + r2

a2

+ 2ar = v2

o

vo = a

√1 +

2ra

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Ceci est une autre équation très utile pour la vitesse tangentielle. Elle nous per-mettra de calculer des vitesses et des énergies qui nous ont jusqu’ici échappé, telleque l’énergie d’un photon émis par un électron en orbite.

La réponse à la question : « Laquelle de mes équations doit-elle remplacer l’ac-tuelle ? » est dès lors la première :

a =√v2

o + r2 − r.

Si nous désirons une équation qui relie la vitesse d’un objet en orbite à son accélé-ration centripète, nous devons utiliser cette équation, puisqu’elle est l’unique équa-tion possédant une vraie variable vitesse. Cela fonctionne également par d’autresmoyens, car les proportions des variables dans cette équation restent les mêmesque dans l’équation historique, tandis qu’elles ne le restent pas dans l’équationa = v

2

orb/2r.

Ce qui nous amène à un autre problème. Vous pouvez constater que la physiquen’a jamais possédé un moyen pour mesurer la vitesse tangentielle. La « vitesse or-bitale » peut être aisément calculée par le rapport de la circonférence sur le tempsmis pour parcourir une révolution. Mais la vitesse tangentielle doit être calcu-lée. Vous pouvez la calculer en utilisant mes nouvelles équations, mais avant cetarticle il n’existait pas d’équation pour passer de la vitesse orbitale à la vitesse tan-gentielle. Ni Feynman ni aucun des manuels n’étaient même clairs sur la différence(notez que Newton non plus ne pouvait calculer de l’une à l’autre, puisque d’aprèsle lemme VII elles étaient la même chose).

Les scientifiques théoriques comme les ingénieurs devraient comprendre que deserreurs telles que celle-ci conduisent finalement à la ruine. À court terme, ellespeuvent conduire à de simples échecs d’ingénierie, ce qui est déjà suffisammentmauvais. Mais à long terme, elles conduisent toujours à des impasses théoriques,car une équation bâclée est la façon la plus sûre d’arrêter le progrès scientifique.Une équation correcte est presque infiniment extensible puisque son impédanceest de zéro. Les scientifiques du futur pourront la développer dans toutes les direc-tions possibles. Mais une équation fausse ou imprécise peut stopper définitivementce développement, comme nous en avons de nombreuses preuves. Un mauvais éti-quetage des variables ne constitue pas un échec sémantique ou métaphysique, c’estun échec de la science elle-même.

Tout ceci est extrêmement important, j’espère que vous serez d’accord avec moi. Cequi rend toute cette affaire encore plus importante est que, comme je le montreraidans de futurs articles, cette équation est loin d’être la seule qui soit fatalementfautive. En examinant la physique sous un microscope, j’ai trouvé que l’algèbre etle calcul bâclés exposés ci-dessus sont la règle, pas l’exception : on peut affirmerque cela est pandémique. Ces erreurs infectent le domaine tout entier, y com-pris les plus hauts niveaux. Les mathématiciens et scientifiques modernes se sont

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révélés plus intéressés par des jonglages de matrices complexes et autres mathé-matiques supérieures que par la maîtrise de l’algèbre élémentaire. Ce qui expliquepourquoi une telle erreur dans la dérivation a pu rester invisible aussi longtemps.

Il reste énormément de travail à accomplir en physique de base, malgré les affir-mations orgueilleuses de nombreuses personnes selon lesquelles le domaine estpratiquement achevé. À mon avis, le travail le plus important et le plus urgentà faire se trouve dans l’analyse conceptuelle – en ratissant la masse de travauxthéoriques et mathématiques déjà accomplis et en les rendant consistants. Celasera achevé, non pas à l’aide de mathématiques prétendûment supérieures danslesquelles les concepts originels sont perdus, non pas à l’aide de théories ésoté-riques d’une avant-garde scientifique dans laquelle la production de paradoxesdevient un signe de distinction, mais à l’aide de la simple algèbre, dans laquelleles concepts restent toujours à la surface.

J’ai porté mon attaque dans ce court et choquant article parce que je sais que seulun assaut frontal peut espérer détruire les murailles de la science. Des subtilitésphilosophiques peuvent toujours être rejetées comme arbitraires, subjectives oumétaphysiques, mais j’espère qu’il est impossible d’ignorer de simples maths.

J’ai maintenant trouvé une autre preuve mathématique de la fausseté de l’équa-tion actuelle, puisque j’ai démontré dans mon article sur le viriel que le 2 dansl’équation 2K=-V est le résultat de cette fausse équation. On nous affirme quel’énergie potentielle dans le viriel est le double de l’énergie cinétique, mais cela atoujours été illogique. En corrigeant l’équation a = v

2/r, je suis à même de corri-

ger l’équation 2K=-V, et d’obtenir K=-V. Non seulement ceci rend le viriel logiquemais confirme également ma correction dans cet article-ci. Les deux équationscorrigées se confirment l’une l’autre.

Pour de plus amples informations sur ce problème, lisez mon nouvel article sur πainsi que mon nouvel article sur a = v

2/r.

v v v

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http://milesmathis.com/virial.html

http://milesmathis.com/pi2.html

http://milesmathis.com/avr2.html

Traduction : Bahrmanou

© 26 mai 2014

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Une correction à l'équation a = v2/r