UNE INTERPRETATION PHYSIQUE D E L'AMBIGU'IT~,, DE SHANNON

par Julien LOEB Ing6nieur en chef des T616eommunications.

SOMMAIBE. - - Un JtJment de circuit bruyant peut gjndralement $tre reprgsentg par une sdrie de probabilltJs de transition, c'est-d-dire des probabilitgs ak~ pour que chaque symbole Sk transmis soit (/aussement) refu comme le symbole Si. On construit une matrice a~,ec ces probabilitJs de telle [afon que les proprigtJs statistiques des dldments de circuit ~n cascade puissent ~tre calculJes au moyen de la multiplication des matrices. Lorsqu'il y a de nombreux symboles et que le bruit est additi[ (modulation d'amplitude et types semblables de modulation) les matrices de~iennent des ~ grilles ~ et le rJsultat est beaucoup plus simple car ces ~ grilles ~ peuvent ~tre multipliJes de la m~me fafon que le sont les simples polyn6mes alg~briques. On trot~r dans ce cas, l'interprgtation physique de l'~ ambiguitJ ~ de SHArP,Ore. L' instrument math~matique qui a ~t~. dJr ici peut $tre appliquJ d des probl~mes plus compliquds,

tels que des gldments de circuit non lingaires, des bruits non gaussiens ou des codeurs.

PLA~ . - - 1. I n t r o d u c t i o n . - - 2. D d f l n i t i o n d e l a m a t ~ q c e des probabi l i t~s . 3. -- P t o p ~ d t ~ s d e s c o e [ f l e q e n t s . - - 4. l ~ n o n c ~ d u t h ~ o r ~ m e de Bayes . - - 5 Appl ica t ion aux sys t~mes de m e s u r e s et t g l ~ m e s u r e s . Introduct ion des ~ g r i l l e s ~ . - - 6. t ~ l d m e n t s d e c i r c u i t s e n c a s c a d e . - - 7. Appl i ca t ion du t h ~ o r ~ m e

de B a y e s p o u r l a modula t ion de l ' ampl i tude . - - 8. C a l c u l d e l ' a m b i g u f t ~ . - - 9 C o n c l u s i o n s .

t . - - I N T R O D U C T I O N .

A pr6sent, c'est devenu une affirmation presque triviale de dire qu'une t~16mesure n'est qu'un domaine particulier des t~16communications. L'effet

sont d6finies par l'ensemble des nombres al l , a l M _ 2 e tc . . .

Le nombre a~k est la probabilit~ pour que le symbole Sk soit transmis comme S~. Lorsque a~ # 0 pour i # k, il y a une erreur dans la trans-

.

S~

all

a12

S ' 1

- 8 ' 2

3

a3M-1 aM-2 1

a H - 2 S - I ' - , . ~ $ , M _ 2

aM-1 M-1 ~ S ' M - 1

F~o. 1. - - Tableau des probabilit6s de t ransit ion entre un symbole 6mis et un symhole re~u (cas g6n6ral).

d'un 61fiment de circuit op6rant sur des messages transmis discrets a pour la premiere fois 6t~ 6tudi6 par C. E. SHANNON [I]. Le module d'un 616ment de circuit peut gtre repr6sent~ par le diagramme de la figure t.

Les propri6t6s statistiques de l'616ment de circuit

mission. SHXNNON [t] nous apprend comment d6duire un hombre synth6tique, ~ savoir la capacit~ de l'616ment de circuit, d'apr~s la connaissance de m~.

Le but de cet article est de montrer comment cet ensemble de coefficients peut gtre utilis6 h l'aide de

- - 78 - -

t. 13, noe 3-4,19571 INTERPRETATION PHYSIQUE DE L'AMBIGOITE DE SHANNON 2 / 5

l'alg~bre matricielle, afin de calculer le comporte- probabilit6 bi~ pour que ~ solt caus6 par un sym- mcnt d'un 616ment de circuit, bole Si transmis ? Le r6sultat connu est :

2 . ~ D I ~ F I N I T I O N D E L A M A T B I C E

D E S IPBOB.g3B 13r.ITl~.S.

Partons des donn6es suivantes. Aux bornes d'entr~e, il y a M symboles S~S~ ... S ~

chacun d'eux 6tant caract6ris6 par une probabilit6 Px -.. P~. L'61~ment de circuit est caract~ris6 par M ~ hombres ar qui sont d~finis dans le premier paragraphe. Ceci nous permet de calculer les pro- babilit~s des symboles P~ ... P ~ regus. Dans le cas g~ntral, un symbole S~ peut avoir 6t~ produit par n'importe quel symbole &.

La probabilit6 d'avoir S~ venant de S~ est 6gale h la probabilit6 de S,, multipli~e par la probabilit6 ai, pour que l'616ment de circuit transforme S, el3 S~.

La probabilit6 totale P~ pour S~ sera obtenue en ajoutant les probabilitts concermmt tous les S,. Ainsi :

k

Si nous 6crivons la matrice :

[-a,~ , ,~ a,.~ . . . . . . a ~ - l

( 2 ) l I L OM~ . . . . . . . . . . al~MA

et les ensembles de P~ et P~ comme vecteurs [P] et [P'], symboliquement, nous avons

(3) [P'] = [a] . [P].

Cette notation matriciel]e donne imm~diatement la mani~re de calculer l'effet d'un 616ment de circuit formb de plusieurs ~l~ments de circuit abc en s~rie.

La r6ponse est :

= . . . . [ b ] . [P].

En d'autres termes, la matrice F de l'616ment de circuit complet est

(5) r . . . . [ b ] .

3 . ~ P B O P B I ~ T ~ . S D E S C O E F F I C I E N T S .

Supposons qu'un symbole .P~ a et6 trois. Nous sommes stirs qu'un des symboles S' est re~u. Aussi, quand P~ = 1,

Z p ~ = t ilvient: Y , a ~ = l quelquesoi tk

(6) a~ + a~ . . . . . . + aM~ = t

Pour M ~ coefficients, il y a M relations et seule- merit M coefficients sont ind~pendants.

4 . - ~ - N O N C ~ D U T H I ~ . O B I ~ M E D E B A Y E S

Le thtor~me de Bayes rtpond h la question suivante.

]~tant donn6 un symbole S~ regu, quelle est la

(7) b~ pia~s _ pia~r p~ p~aj~ + p2a~ + . . . . + p~ai~"

Cette formule nous permet de dire que le syst~me de probabilit6s est c los: ~tant donn~ un symbole re~u S~, obligatoirement l'un parmi les S~ est la cause. En effet, la somme Z b~ mesurera la probabi-

t lit~ pour qu'un des Sr soit la cause.

De (7) nous tirons :

(8) Y~ bij = (plait + p2ai2 + . . . . . . + p~ai~) = t . (plaj~ + p2aje + + pMaM)

C'est un r tsuhat connu que la matrice bo ne repr~sente plu~ les seules propritt6s de l'616ment de circuit lui-meme, puisqu'elle d6pend aussi des pi.

5 . ~ A P P L I C A T I O N S A U X S Y S T ~ M E S

D E I V E E S U B E S E T T i ~ . L i ~ . M E S U B E S .

I N T B O D U C T I O N D E S c~ G B I L L E S ,~.

Dans un autre article [2], nous avons indiqu~ comment cette th~orie peut gtre utihste pour des syst~mes h code binaire afin de trouver l'effet des 616ments de circuit mis en cascade.

Dans le present article, nous analyserons les autres types de modulation en ttl6mesure. Cette analyse vaudra 6galement pour la mesure directe d'une quantit~ physique.

Du prtsent point de vue, des syst~mes tels que : - - modulation de frtquence,

modulation par largeur d'impulsions, modulation par position d'impulsions,

seront traitts de la mgme fa~on. Contrairement h la modulation par impulsions

codtes (o5 deux symboles seulement existent) tous ces systgmes utilisent un grand hombre de sym- boles. Par exemple, si la quantit6 physique h trans- mettre est repr~sent~e par une tension comprise entre 0 et 100 V, avec une incertitude d'environ 0,1 V au dtpart , il y aura i 000 symboles discrets aux bornes d'entr~e de l'616ment de circuit.

On peut supposer d'abord que l'effet du bruit sur la ligne de transmission ajoute une tension altatoire avec une r6partition de GAvss, mais cette hypoth~se n'est pas essentielle quant h l'analyse qui suit. Comme nous ne pouvons pas nous int6resser ~ plus de i 000 symboles distincts, nous quantifierons l'effet du bruit, et repr~senterons les choses par le schema de la figure 2.

Nous voyons d'apr~s la figure 2 que la trans- mission d'un symbole Sk sur l'61~ment de circuit bruyant ne produira probablement pas t o u s l e s symboles S'. I1 n'y aura que quelques coefficients ak,~+v diff~rents de 0. Par exemple, ils peuvent ~tre considtr~s comme rtsultant de l'~chantillon- nage d'une courbe gaussienne (fig. 3).

Nous pouvons 6crire :

(9) ak, k+, ; k e - ~ ' l , ' . .

- - 7 9 - -

3/5

Ici r e s t un hombre entier e t r o un nombre sans dimensions qui exprlme la largeur d 'une eourbe gaussienne en termes d'intervalles d'6chan- tillonnage.

.~.. ~ . ~ B'K-2

SK "~ ~ ' - 8'K-I -- a~-l~ K

"-. ~ "~+~,~TTr"--"--~.s'z +

~'~ '~+2,~..~~ 8, K + 2

Fro, 2. -- Probabilitfis de transition akt clans le cas d'une erreur de mesure.

Le coefficient ~, est d6termin~ par la relation

(10) Z ak./~+r = ~.

~,K+z ~,K+p

Fro. - - 3. D6duction ~ par t i r d 'une courbe de Gauss des probabil i t6s de t rans i t ion art.

Si la courbe de la figure 3 n'est pas gaussicnne, nous pouvons encore consid~rer n ' importe quelle s6rie de ar.~+t de sorte que (10) soit valable.

Consid6rons maintenant un symbole S~ pas trop rapproch~ de chaque extr6mit6 0 ou i 000. En fait, la s6rie des a~.~+t ne d~pend pas de k : elle est la mgme pour tousles symboles S~ (sauf pour quelques- uns, tels que S~ et S~99).

Donc, l'effet du bruit est simplement repr~sent~ par une s6rie de probabilit6s de transition :

( t t ) a _ ~ a _ v + l . . . . . a _ ~ a o a ~ a2 . . . . . a q _ l aq.

Ainsi, dans le cas de modulation d 'ampli tude ou d 'autres syst~mes fonctionnant avec un grand nombre de symboles, la matrice de l '6quation (2) a une forme tr~s simple :

a l

ao al O a _ ~ . . . . . a _ ~ a o a ~ . . . . aq 0 0 0

( t9) a = 0 0 a _ v . . . . . . ao a~ . . . . aq 0 0

0 0 0 a _ v . . . . . ao . . . . . . . aq 0

ao

Si nous n6gligeons les ~16ments sup~rieurs et inf~rieurs, nous sommes en pr6sence d 'un op6rateur plus simple qu'une matrice h~ n termes. Cet op~ra- teur, que, h la suite d 'une conversation avec le D r K. Kv~z [3], nous proposons d'appeler ((grille ,,, 6tablit une relation lin~aire entre deux rang~es de nombres

J . LOEB [ A N N A L E S DES TI~LI~COMMUNICATION$

Beaucoup de t ravaux ont d6jh 6t6 faits sur le calcul num6rique des suites temporelles [4, 5, 6]. L 'au teur pense que les r6sultats de ces t ravaux peuvent gtre r6sum6s et synth6tis6s par rutil isation de ces (( grilles )~.

Ce qu'on appelle op6rateur d 'avancement E darts la technique du calcul num6rique peut gtre utilis6 pour repr6senter une (c grille ~.

Appliquer la matrice a de r6quation (12) h une suite de nombres nl, ns -.. nk (c'est-h-dire faire la convolution des deux s6ries de hombres) revient h multiplier la s6rie n par l 'op6rateur.

(13) a _ v E - r + a _ v + l E - ~ + l + . . . . + ao + a l E + . . . . -4- aqEq.

L'application de deux cc grilles )) A et B rune apr6s l 'autre revient h l 'application du produit de deux (( grilles )). Si :

A = a _ v E - v + . . . . + ao + . . . . aqEq,

B = b _ r E - t + . . . . + bo + . . . . bsE s,

le produit A B sera calcul6 de la mgme mani~re qu 'un produit de deux p(dyn6mes. Par exemple, si :

A = E - ~ + I + 2 E .

B = E - 2 + 2 + E ,

le produit sera :

E - 3 + E - 2 + 4 E - ~ + 3 + 5 E + 2 E ~- Un r6sultat important est que les propri6t6s des

(( grilles r sont remarquables dans la th6orie des matrices : elles sont commutat i~,es A B = B A .

6 . - ~L~KIVIENTS D E C I R C U I T E N C A S C A D E

A pr6sent, rut i l isat ion de l '6quation g~n6rale (5) sera tr~s facile. Nous dirons que la (( grille ~ relative aux ~l~ments de circuit en cascade, dont les (( grilles ~ sont ~1 cr ... ~s, est le produit des ~ grilles )~ indi- viduelles.

Nous savons que lorsque ~1 as ... as sont exprim6s, comme c'est le cas dans (13), par des polyn6mes en E h puissances positives et n6gatives, la multipli- cation est faite de la mgme fa~on que si les c( grilles ), 6talent de simples polyn6mes alg6briques.

Nous pouvons v6rifier que le produit de deux ~( grilles ~ de probabilit~s, c'est-h-dire des (c grilles ~ caract6ris6es par 2 ak ~- I e t E bt ~- 1, est une

k | c~ grille ~ de probabilit6 C telle que E cs = 1.

$

En effet, raisons la multiplication

(ao + axE + a2E 2 + . . . . + a~E") (bo + b ,E + . . . + bkEk).

Le r6sultat sera :

aobo + (a~bo + aobi)E + (a~b~ + a2bo + aob2)E ~ + . . .

La somme E c, des coefficients de routes les

puissances de 'E comprenant le terme constant aob o sera la somme de tous les produits a,,b,,, chaque paire de nombres m n n'apparaissant qu'une

- - 8 0 - -

t . 13, n ~ 3-4, 1958]

fois. E t ,X c , = (ao + a, + ... + a,)(bo § b~ + . . .+ b,) r

alors que par d~finition a o + a I § ... + a , = '1 et b0 -4- bi -4- ... + b, = t

Nous avons aussi

Ec~= 1. $

| N T E R P R E T A T I O N P H Y S I Q U E DE L A M B I G U I T E DE S H A N N O N 4 / 5

7 . - A P P L I C A T I O N D U TH]~ .OR~.ME D E B A Y E S P O U R LA M O D U L A T I O N

DE L ' A M P L I T U D E .

A la r$ception de l'6]6ment de circuit, consid6- rons un symbole S~. A priori, il peut avoir 6t6 caus6 par n'iniporte lequel des symboles transmis &.

La probabilit~ b~ pour que le symbole S~ soit la cause du symbole S~ est donn~e par l '6quation (7). En plus, supposons que nous n'avons, a priori, aucune id6e sur ce que S~ peut ~tre (ce He serait pas le cas, si, par exeInple, nous mesurions la tension de notre secteur ~lectrique qui ne serait pas tr~s diff6rente de l l 0 V).

Dans l '6quation (7) nous exprimerons notre ignorance en ~crivant que tous les p~ sont 6gaux h une valeur unique p = I I M (M = I 000) lorsque nous d6cidons de distinguer entre 1 000 niveaux d 'ampli tude h l'entr6e).

Nous tirons de (7)

(14) bij = a i t l (a~ l -}- ai2 + . . . . + a i m ),

Au d6nominateur, nous avons la somme de tous les termes de n ' imporle quelle ligne horizontale en (12). Cette somme est 6gale h 1, parce que colnme on peut le voir en (1) nous trouvons la mgme suite de termes horizontalement et verticalement, et les 6quations (6) sont applicables h ce eas.

Ainsi (~4) devient :

(15) bi~ = a~ = a~_~ (]es ai_~ sont pris de (10)).

En d 'aut res termes, darts ce cas, quand nous n 'avons pas de connaissance, a priori, des symboles transmis, nous pouvons ~tablir que (( la probabilit~ pour que S, soit la cause de S~-, est 6gale h la proba- bilit6 pour que (faussement ou non) & soit trans- mis comme S~ )). Un autre r~suhat est que les proba- bilit6s p~ = ~ a~t Pt sont toutes les m~mes eL

!

~gales h 1/M.

8. -- CALCUL DE L'~c AIVI'BIGUIT~ )).

Suivant la th6orie de SHANNON, consid6rons un symbole regu S~-. Nous allons calculer le nombre de (( messages )) compos6s de N symboles transmis qui aurait pu faire apparaitre S~. Statistiquement, il est ~gal h

(t6) ~ = 2 -~v X br lOg2 b ~. i

Dans la th~orie g6n~rale, on doit encore falre la moyenne pour tous les S~ re9us, mais iei tous les p~ sont 6gaux et nous obtenons le r6suhat :

(17) v = 2 - N ~ a i ] og 2 a t = 2 NHy i

off les m sont ceux de l'6quation, (10) et de la figure 3.

Dans ce cas simple (off t o u s l e s p~ sont 6gaux) l 'ambiguit~ a une interpr6tation tr~s simple. En effet, calculons la somme E a~ log s a~ par la m6thode

d 'approximation ordinaire, qui substitue une int~- grale h la somme. Quand nous allons traduire des probabilit6s discr~tes en probabilit6s continues, nous devrons faire at tent ion h l'aspect dimension- nel de la question.

La probabilit6 a, (Hombre pur) est transform6e en densit6 de probabilit~ a(x) dx off :

x est une variable physique l, une tension par exemple,

n e s t l 'unit6 de tension (par exemple, si h l'entr~e nous distinguons entre t 000 diff6rentes tensions, avec une 6chelle V, nous avons h : V i i 000),

est l'6cart type de la r6partition gaussienne de la figure 3.

Nous admettrons que pour a << V, par exemple, serait de l 'ordre de VI20 (erreur 6gale h 5 %). Consid~rons maintenant une fonction :

(18) a(x) = e-x~l '~a ' /a V/~ .

Naturellement

a(x)dx = 1

ai (nombre pur) sera 6gal h l'int~grale de a(x) 6tendue h u n domaine centr~ autour de ieme inter- valle avec une largeur 6gale h n

(19) (,,~ = h e-~' /~,," / ,~ VT~.

C'est cette valeur qui doit 6tre substitu6e dans (17) La somme X a~ log a, sera remplac6e par l'int6grale

i

Le c( h )7 que nous mettons dans le d~nominateur compense les dx au num6rateur. Done :

(20) 11~ trC~-~_ e -~ l'~~ •

(21) ii =-1,4 _ @ /Ca'e-.,,,o, log. ( ~ e - ' i 2" ' ) �9

Le facteur 1,4 est la valeur approch6e de

log l 0Jlog 10 2 Puisque

~s h X 2 l o g ~ e - 2o-~ = log a V / ~ 2~ 2,

(2t) donne approximativement

(22) Hv = 1,4 l,og CV[ ~ h

+I.

-- 81 --

T~E~COMMUNIChTI0~S

5/5 Quand h est tr6s pet i t compar~ h e le logarithme

est plus grand que t et finalement Hv est propor- tlonnel au Iogarithme de l'dcart type (~ exprimd en

dchelons de tension h, multipli~ par V/2-~. Ceci est la correspondance physique de H~ dans notre exemple de t616mesure. Ce calcul peut gtre plutbt consid6r6 comme une v~rification de coh6rence pour cette th~orie, parce que le r~suhat pouvait t!tre pr~vu, au moins quali tat ivement.

Le hombre to ta l des messages compos6s de N symboles discernables h l'entr~e est proportionnel (2Vln) ~ . Apr~s avoir travers6 l'~16ment de circuit b ruyant ce nombre dolt ~tre divis~ par (2~/n) N afin de t rouver combien d 'entre eux restent dis- cernables.

Mais le r6sultat que nous avons at tc int est que ]a similitude des probl~mes de communication et de mesures est for tement ~tablie. Ainsi 1'(( ambiguit~ )7 de SHANNON a re~u dans cet article une interprt:: - ta t ion physique.

9 . ~ C O N a L U S I O N S

Nous avons ~tabli une relation ~troite entre ]a physique (technique de mesures et t~16mesures) et la th6orie des communications. Nous avons v6rifi6 que 1'(( ambiguit6 )) de SHAnnON rer une inter- pr6tation simple darts le cas d 'un bruit gaussien superpos6 sur un signal modul5 en amplitude.

J . L O E B [ANNALES DES T~.L]~COMMUNICATION$

Mais l ' instrument math6mat ique que nous avons d6velopp6 (matrice de probabilit6s de t ransi t ion ou (( grille ))) peut gtre utilis6 main tenant pour des probl~mes plus compliqu6s, tels que brui t non gaussien, 616merits de circuits non lin6aires, codeurs.

Manuscrit re fu le t l mars 1957. Manuscrit r~,is~, recu le 13 septembre 1957.

B IBLIOGRAPHIE

[1] SHANNON (C. E.), A mathematical theory of commu- nication. (Une th6orie math6matique des t616- communications.) Bell. Syst. tech. J., U. S. A. (juil. 1948), 27, n ~ 3, pp. 379-423, 12 fig., 9 r6f. bibl.

[2] Lo~B (J.), Canaux binaires en cascade. Ann. Telecommunic.

[3] Kvr~z (K. S.), Numerical analyses. (L'analyse num~- rique.) Mac Graw-Hill, New-York (t957) 38t pp., 36 fig., 28 tabl , nbses r~f. bibl.

[4] I.~w~s (N. W.), Wavcform Computations by the time series method. (Calcul de formes d'onde au moyen des s&ies temporelles.) Proc. Instn. Electr. Engrs., Part III, G.-B. (sept. ~952), 99, n ~ 61, p p 294-306, 6 fig., 8 tabl., 30 r6f. bibl.

[5] Tzo~so~ (W. E.), A theory of time series for waveforms transmission systems. (Une th6oric des s6ries temporelles pour des syst6mes de transmission d'ondes.) Proc. Insta. Electr. Engrs., Part IV, G.-B. (d~c. ]952), 99, n ~ 4, pp. 397-409, 2 fig., 3 tabl., 29 r6f. bibl.

[6] GUrNOD (M.), M6thode de calcul h l'aide de suites. (Th&e.) Sciences et Techniques. Paul Feissly, 6dit., l,ausanne, (1955).

COMPTE RENDU DE LIVRE (Cette rubrique s'~ehelonne pp. 82, 89, 111, !12.)

POINCELOT (P.), Les flltres de fr6quenee. Mdmorial des Sciences physiques, faseicule LXII, Gauthier- ViUars, Paris, t956, t6,5 • 25, t2~ p., t49 fig. Prix : 1 500 F. [Don de l'$diteur.] Un nouveau livre sur une technique aussi classlque

que celle des filtres de fr6quence, dont les principes et les applications ont d6jh 6t6 l'objet de nombreuses publications et qui ne comporte aucune nouveautd d'importance fondamental% nc peut trouver de justi- fication que dans une presentation claire et rationnellc, limitfie ~ l'essentiel, mais oh cependant les technlciens trouvent un expos~ complet des principes qui leur sont ndcessaires. ]1 s'y ajoute ici le plaisir de trouver en peu de pages, suffisamment denses, sans s&heresse, un expos6 616gant par sa pr6cision m~me, par la logique de son enchalnement, par la sfiret~ de l'adaptation des m6thodes math6matiques aux probl6mes techniques, enfin par le souci de ne pas perdre de rue le but final, qui est d'etre utile. Le lecteur ne pent que se f6liciter de retrouver ces qualit6s dans le nouveau livre de M. POIN- CELOT.

La th~orle des structures it6ratlves est d'abord, comme il se dolt, expos6e. R6sumant une d$monstra-

tion de ce grand th6oricien des t616communications qu'6tait 3.-B. PoMEY, ]'auteur justifie la repr6sentation d'~m quadripSle passif par un rdseau ~ trois 616merits, en T on en YI et part de l~'~ pour en d6velopper les pro- pri~t6s. Envisageant sp~cialement les cha~nes de cellutes comprenant des bobines de self-inductance et des conden- sateurs, iI ne manq,e pas d'indiquer Ic caract6re g6n6ral de cette doctrine. I1 s'attache ensuite particuli~rement aux filtres 61ectriques ordinaires, dits en ~( m)~, et expose la m6thode de leur raise en oeuvre sur trois exemples concrets, effectivement r6alis6s. I1 note, ~ ce propos, la diff6rence entre un filtre et un r6seau correcteur. II n'oublie pas d'avertir que la lecture d'un livre ne saurait se substituer ~ l'exp&ience du laboratoire, mais lui vient en aide, en lui donnant des indications pr6cises, ~vitant les incursions dans des voles sans issue.

Les propri6t(~s des filtres en r6gime transitoire sont bri~vement expos6es. Enfin les sch6mas les plus usuels des cellules de filtre sont donn6s.

Ayant dit tout le m6rite de l'ouvrage examin6 ci- dessus, j'ajoute qu'il signale sans yinsister la m6thode de CAUEn, si int6ressante par sa th~orie et l'originalit6 de ses applications. Puis-je souhaiter que celle-ci, trop pen connue en France, y soit l'objet d'un expos6 semblable

celui de M. POrNCELOT sur les filtres en ~chelle ? L. BOUTI~ILLON.

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