Une méthode inverse à régularisation évanescente

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Série II b, p. 639–644, 2000Mécanique des solides et des structures/Mechanics of solids and structures(Mécanique des solides numérique/Computational solid mechanics)

Une méthode inverse à régularisation évanescenteAlain CIMETIERE, Franck DELVARE, Frédéric PONS

Université de Poitiers et ENSMA, Laboratoire de modélisation mécanique et de mathématiques appliquées,boulevard Marie et Pierre Curie, Téléport 2, BP 30179, 86962 Chasseneuil Futuroscope cedex, FranceCourriel : [email protected] ; [email protected] ; [email protected]

(Reçu le 3 janvier 2000, accepté après révision le 26 juin 2000)

Résumé. L’objectif de la note est de présenter une nouvelle méthode de résolution pour les problèmesinverses de type Cauchy, ou encore à données surabondantes sur une partie de la frontière.La méthode proposée est itérative. Elle présente l’avantage de ne perturber le problème,ni par modification de l’opérateur, ni par ajout de conditionsa priori sur la solution.La présentation est faite dans le cas d’un problème modèle pour le laplacien. Des testsnumériques attestent de l’efficacité de la méthode. 2000 Académie des sciences/Éditionsscientifiques et médicales Elsevier SAS

problèmes inverses / équation de Laplace / méthode des éléments finis / régularisation

An inverse method with vanishing regularisation

Abstract. A new resolution method for inverse Cauchy problems is presented. The proposed methodis iterative. It possesses the advantage to not perturbe the problem neither by an operatormodification nor by introduction of an a priori information on the solution. The presentationis made on a model problem for the Laplace’s equation. Numerical simulations provethe method efficiency. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicalesElsevier SAS

inverse problems / Laplace’s equation / finite element method / regularisation

Abridged English version

Given a physical model, an inverse problem consists in determining unmeasurable quantities frommeasurable quantities. Inverse problems are usually ill-posed in Hadamard’s sense because they are verysensitive to errors on measured data [1].

Inverse problems occur in many scientific fields, for instance in mechanics. Domain identification,boundaries identification, initial conditions determination, defaults localisation are inverse problems [2–6].

Inverse problems can be solved by probabilistic [7] or deterministic techniques. The main deterministicmethods are quasi-reversibility ones [8,9] and the Tikhonov regularisation method [10,11]. The quasi-reversibility method, introduced by Lattès and Lions, and the Tikhonov method have the disadvantageof perturbing the problem operator. Moreover, the Tikhonov method needs a priori information about theinverse problem solution.

We introduce an original inverse method which reduces the inverse problem (1) resolution to theresolution of a sequence of optimisation problems under equality constraints. At each iteration the iterativealgorithm (2) accesses that: firstly, the solution is harmonic inΩ , secondly, the solution is the nearest oneto ϕ andψ data on the boundary partΓd and does not deviate too much from the solution obtained at

Note présentée par Huy DUONG BUI .

S1620-7742(00)01236-8/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 639

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the previous iteration on the entire boundaryΓ . In case of compatible data, we show that the so definedsequence(up)p∈N converges to solution of the Cauchy problem (1). It is also proved that the limit does notdepend on value of the coefficientc.

To characterize the spaceH , we use the usual finite element method. After discretization of the boundaryΓ into N elements (Nd on Γd), a condensation technique ofΩ onto Γ leads to the system ofN linearequations (3). Its solutions approximate the elements ofH . Problem (2) is replaced by its discretizedversion (4). The optimal solution of (4) satisfies (5). So at each iteration, a3N × 3N linear system isto be solved. The limit of the iterations sequence satisfies problem (7).

The numerical simulations (figures 1–5) prove the algorithm efficiency (accuracy and robustness). Thealgorithm can take into account noisy data up to 10% noise levels (figure 6).

1. Introduction

Sont généralement qualifiés d’inverses les problèmes pour lesquels on se propose de déterminer unegrandeur inaccessible à la mesure, reliée par l’intermédiaire d’un modèle physique à une autre grandeurmesurable. La résolution des problèmes inverses consiste en l’inversion de ces modèles. Cette inversion estsouvent mal posée, c’est-à-dire qu’il faut faire face à des problèmes d’existence et d’unicité de la solutionmais aussi à des problèmes de stabilité de cette solution par rapport aux imperfections qui entachent lesmesures [1].

En mécanique des matériaux, on rencontre de nombreux problèmes inverses. On pourra consulter, à cesujet, l’ouvrage de Bui [2], mais aussi les travaux récents d’Andrieux et al. [3] pour la détection de fissures,de Zhang et al. [4] pour la détermination de contraintes résiduelles, de Bonnet [5] pour l’identificationd’obstacles dans un milieu élastique ou encore de Lesnic et al. [6] pour les problèmes aux limites de typeCauchy dont l’objet est d’identifier des grandeurs à partir de données surabondantes sur une partie de lafrontière.

Il existe deux grandes approches pour résoudre les problèmes inverses : les méthodes probabilistes [7]et les méthodes déterministes. Parmi ces dernières, on trouve la méthode de quasi-réservibilité [8,9] quiconsiste à remplacer le problème inverse par un problème bien posé au sens d’Hadamard et à rechercherdes quasi-solutions mais aussi les méthodes de type régularisation qui stabilisent les solutions du problèmeinverse régularisé vis-à-vis de faibles variations des données [10,11].

L’objectif de la note est de présenter une nouvelle stratégie pour la résolution des problèmes inversesde type Cauchy. La présentation est faite sur un problème modèle associé au laplacien. Le principe dela méthode consiste à faire apparaître la solution du problème inverse comme la limite d’une suite(up),chaque termeup étant la solution d’un problème bien posé, d’optimisation sous contrainte égalité. Ainsi,on se trouve ramené à résoudre une succession de problèmes bien posés.

2. Principe de la méthode

SoitΩ un domaine borné deR2, de frontièreΓ = Γd ∪Γi. Soientϕ etψ deux fonctions données surΓd.On se propose de résoudre le problème de Cauchy suivant :∆u= 0 dansΩ

u= ϕ surΓdu′ = ψ surΓd

(1)

oùu′ est la dérivée normale deu.

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Le problème ci-dessus n’admet pas toujours de solution. On parle dans la suite de donnéesϕ et ψcompatibles lorsqu’il existe une fonctionu harmonique définie surΩ telle queϕ (respectivementψ) soitla trace deu (respectivement deu′) sur Γd. Ce problème est connu pour être très sensible aux faiblesperturbations sur les donnéesφ etψ. Les méthodes disponibles pour le résoudre utilisent pour la plupart destechniques de régularisation qui permettent d’approcher le problème (1) par un problème moins sensible àces perturbations. Cependant, ces façons de procéder présentent l’inconvénient de modifier le problème (1),soit en remplaçant l’opérateur du problème par un autre qui est sensé lui être voisin (par exemple la méthodede quasi-réversibilité), soit en injectant des informationsa priori sur la solution.

Nous introduisons, ici, une nouvelle méthode qui, tout en s’inspirant du principe de régularisation deTikhonov, présente l’avantage de ne perturber le problème (1), ni par une modification de l’opérateur, nipar ajout de conditionsa priori sur la solution. La méthode est itérative. À chaque étape, il s’agit de résoudreun problème d’optimisation sous contrainte égalité, où la fonctionnelle à optimiser est la somme de deuxtermes. Le premier donne l’écart surΓd entre le couple(v, v′) et les données(φ,ψ), le second l’écartsur toute la frontière entre le couple(v, v′) et le résultat de l’itération précédente. Ce second terme faitpenser au terme de régularisation que l’on rencontre usuellement dans les méthodes de type Tikhonov, maisici, la régularisation se comporte de manière évanescente au cours des itérations. L’équation aux dérivéespartielles du problème est prise en charge par la contrainte égalité. En termes mathématiques, il s’agit derésoudre le problème d’optimisation suivant :

Étant donnésc > 0 etu0 = 0 trouverup+1 dansH tel que :

fp(up+1)6 fp(v) pour toutv dansH =v ∈H3/2(Ω) tel que∆v = 0 dansΩ

(2)

avecfp(v) = ‖v− ϕ‖2H1(Γd) + ‖v′ −ψ‖2L2(Γd) + c‖v− up‖2H1(Γ) + c‖v′ − u′p‖2L2(Γ).

3. Convergence de la méthode

On suppose les donnéesϕ etψ compatibles. Alors le problème de Cauchy admet une solution uniqueuddansH . On a les résultats de convergence suivants :(i) un converge fortement versud dansH1(Γd) ;(ii) u′n converge fortement versu′d dansL2(Γd) ;(iii) un converge faiblement versud dansH1(Γ ) ;(iv) u′n converge faiblement versu′d dansL2(Γ ).

Ces résultats de convergence donnés sont vrais pour toutc > 0.

4. Discrétisation du problème d’optimisation

La discrétisation par éléments finis du domaineΩ , avecN = Nd + Ni nœuds sur la frontièreΓ (Ndsur Γd) et l’utilisation d’une technique de condensation fournissent un système deN équations linéairestraduisant de manière discrète l’harmonicité dansΩ :

AU +BU ′ = 0 (3)

oùU etU ′ représentent respectivement les valeurs discrètes deu et de sa dérivée normale sur la frontièreΓ .Dans la suite, lesN équations (3) sont écritesEk(U,U ′) = 0, pourk = 1, . . . ,N , et on noteHN l’espacevectoriel de dimensionN formé des vecteurs(U,U ′) deRN ×RN solutions du système desN équationsEk(U,U ′) = 0, pourk = 1, . . . ,N . La forme discrétisée du problème (2) est la suivante :

Étant donnésc > 0 et (U0,U′0) = (0,0), trouver(Up+1,U

′p+1) dansHN tel que :

Fp(Up+1,U′p+1)6 Fp(V,V ′) pour tout(V,V ′) dansHN (4)

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En d’autres termes, rechercher(Up+1,U′p+1) revient à minimiser une forme quadratique sousN contraintes

égalités.La solution optimale(Up+1,U

′p+1) est donnée par le problème suivant :

gradFp(Up+1,U

′p+1) =

∑Nk=1 λk gradEk(Up+1,U

′p+1)

Ek(Up+1,U′p+1) = 0 pourk = 1, . . . ,N

(5)

oùλ1, . . . , λN sontN multiplicateurs de Lagrange. Ainsi à chaque itération, il s’agit de résoudre un systèmelinéaire de3N équations pour les3N inconnues(Up+1,U

′p+1, λ1, . . . , λN ).

5. Convergence des solutions approchées. Caractérisation de la limite

Avec le schéma d’éléments finis retenu, tout couple(U,U ′) deHN est en bijection avec un couple defonctionsU deH1(Γ )×L2(Γ ). L’image deHN par cette correspondance est notéHN (Γ ). C’est un sousespace vectoriel deH1(Γ )× L2(Γ ). On note〈. , .〉Γ et 〈. , .〉Γd les produits scalaires induits surΓ et Γd,‖.‖Γ et‖.‖Γd les normes associées. Le couple(ϕ,ψ) est notéUd.

La suite(U p) est alors caractérisée par l’algorithme suivant :

U0 = 0trouverUp+1 ∈HN (Γ ) tel que〈Up+1 −Ud,V 〉Γd + c〈Up+1 −Up,V 〉Γ = 0 ∀V ∈HN (Γ )

(6)

On introduit les sous espaces suivants :

ZN =V ∈HN (Γ ) tel queV |Γd = 0

Z⊥N =

V ∈HN (Γ ) tel que〈V ,W 〉Γ = 0 ∀W ∈ZN

et le problème de Cauchy discret :

trouverUNd ∈Z⊥N tel que

⟨UNd −Ud,V

⟩Γd

= 0 ∀V ∈Z⊥N (7)

Pour toute donnéeUd dansH1(Γd)×L2(Γd), ce problème possède une et une seule solution. De plus, onétablit les résultats suivants :(i) la suite(Up) se trouve dansZ⊥N ;(ii) la suite(Up) converge vers l’unique solutionUN

d du problème de Cauchy discret (7) ;(iii) pour chaque discrétisation deΩ et chaque valeur dec > 0, il existe une constante0 6 k < 1 et une

constanteA> 0 telles que :

∥∥Up −UNd

∥∥Γ6Akp

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6. Tests numériques

Le domaineΩ est le disque de diamètre unité. La longueur deΓd est la moitié de celle deΓ . Les donnéesϕ etψ sont celles correspondant à la fonctionu(x, y) = cosx chy + sinx shy.

Lesfigures 1et 2 donnent les reconstructions deu et u′ sur Γi dans le cas d’un maillage uniforme surtoute la frontièreΓ .

La comparaison des résultats (figures 1, 3 et 4) montrent que pour un même nombre de données et unemême extension deΓd la qualité des résultats surΓi est indépendante du nombre d’inconnuesNi.

La figure 5montre que l’algorithme est capable à partir d’un faible nombre de données de reconstruirela solution (36 données, 324 valeurs recherchées).

La figure 6prouve la robustesse de l’algorithme lorsque les donnéesϕ etψ sont entachées par un bruitaléatoire d’une amplitude égale à 10% de la valeur maximale des données.

Figure 1. Reconstruction deu surΓi(Nd =Ni = 180).

Figure 1. Reconstructedu on Γi(Nd =Ni = 180).

Figure 2. Reconstruction deu′ surΓi(Nd =Ni = 180)

Figure 2. Reconstructedu′ on Γi(Nd =Ni = 180).

Figure 3. Reconstruction deu surΓi(Nd = 180, Ni = 360).

Figure 3. Reconstructedu on Γi(Nd = 180, Ni = 360).



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Figure 6. Reconstruction deu surΓ lorsqueu etu′ sont donnés avec un bruit de 10%

(Nd =Ni = 180).

Figure 6. Reconstructedu on Γ with 10% noisydata(Nd =Ni = 180).

Références bibliographiques

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