136 A~Cm utah'

Une Propri6t6 Carac|6ris|ique des Ovo'/des Associ6s aux Groupes de Suzuki

P~tl"

J. TITS

1. Enonc6 des r6sultats. Dans eet article, E d6signera toujours un espace projectif sur un corps commuta t i f K, et ]" un ovoide de E, c'est-A-dire [4] une pat t ie non vide de E jouissant des propri6t6s suivantes : route droite de E coupe /1 en 0, 1 ou 2 points, et pour tou t point a E / ' , la r6union des (<tangentes s F e n a~) c'est-h-dire des droites den t l ' interseetion avec 1 ' est r6duite /~ a, est un hyperplan. Celui-ci est ~ppel~ l 'hyperp lan tangent A F en a.

Trois esp~ces particuli6res d 'ovoides in terviendront ici, ee sent les quadriques ovaleS (i. e. non vides et ne con tenan t pas de droites), les ovoides d translations [4] et l# a-quadriques par/aites [5]. Rappelons bri~vement la d6finition analyt ique de ees derni6res (on t rouvera dans [5] une d6finition g6om6trique, plus ~(naturelle0, et diverses propri6t6s des a-quadriques). L 'espace E a ici trois dimensions et K est ~0 corps de caract~ristique 2 poss6dant un endomorphisme a den t le cart6 est l 'end~ morphisme de Frobenius, c 'est-s tel quc (x~) ~ = x 2. Soit x, y, z un syst6rne d! eoordonn@s non homog6nes dans E, rendu affin par le ehoix d ' un plan h 1,infix1' Alors, l 'ensemble d '6quat ion

z = x ~+2 + x y + y~

plus le point ~ l'infini sur la droite x = y ~ 0 est un eye,de, et un ovoide de E es~ u~e ~-quadrique parfai te s'il es~ projec~ivement 6quivalent ~ celui-l'~.

Soient a un point de F et A une droite tangente "~ F e n a. L 'ensemble ~" des droite~ contenant a et non tangentcs h I a une s t ructure naturelle d espaee affin (ayanV" dimension de moins que E), en eorrespondanee biunivoque avee-F - - {a ((~projeeti~ st6r6ographique~ 0. A la droite A correspond naturel lement une direction D d a~s ] (la direction des droites de F repr6sentant les plans de E contenan t A ct non tangeOt:

F). Une projectivit6 de E, conservant if, sera dite un glissement (de if) de centre et d 'axe A si elle conserve a e t indui t sur 2' une translat ion dans la direction D. Si la dimension de E est au moins 6gale b~ 3, cela revient ~ dire que la projectivit~ e~ question ]aisse invariantes toutes les droites tangentes s / ' on a ainsi quo toUS le~ plans eontenant A. La tangente A sera dite transitive si route t ranslat ion de F d aus': direction D est induite par un glissemcnt, ou, ee qui revient au m6me, si pour ~ i �9 , .~a~ plan a. contenant A, ]e groupe des glissements d axe A est t ransi t i f sur ]1 5~ g ~ t (il suffit 6videmment qu'il en soit ainsi pour un seul plan a non tangent ~ / ' et c ~ nan t A).

V01. XVII, 1966 Propri6t6 Caract6ristique des Ovoi'des 137

Toute �9 ~ ~angente ~ u n e h v D e m u a d r i q u e ova le ou '~ u n ovoide ~r t r a n s l a t i o n s es t transitive T~ . ~ - ? - .

�9 ~ n e a - q u u d r i q u e pa r lMte possbde u n e et u n e seule t a n g e n t e t r a n s i t i v e en ehaeua de ses poin ts . N o u s n o u s p roposons d ' 6 t a b l i r iei (par. 2) la r6c ip roque de ees assertions duns of. [4]): le eas d ' u n espaee E s t rois d i m e n s i o n s (pour le cas de la d i m e n s i o n 2,

Thfiort~me 11), Soient E un espace pro]ecti/ d trois d imensions et /~(c E) u n ovo~de

P~ au moins une tanffente transitive en chacun de ses points. Alors, F est une qUadriffue ovale, ou bien lc corps de base K est un corps de caractdristique 2 et I" est u~ ~176 d translations ou nne a-quadrique par[alto, a ddsignant un endomorph, isme de K , racine carrie de l'

endomorph~sme de Yrobenius .

pa?l I (n ~ 2.4) que l ' hvpo thSse fa i te sur 1" duns eet 6none5 p e u t ~tre r emplae6e Verra

~a SUivante "" ' ' - ' , "" " ossSde d e u x t a n en te s tran .... (la e o n e l u s m n r e s t a n t m e h a n g e e ) . 1 ox olde ] p �9 ~ g �9 tr~n:'i~!Ves non coneourun te s . P a r cont re , il ex is te des ovoides pos s6dun t d e u x t a n g e n t e s

ires eoncouran te s , e t qu i ne s o n t pus de F u n des t ro i s t y p e s en ques t ion . E n : : ~ i un eXemple. So i en t K l e e o r p s d e s n o m b r e s r b e l s , x , y , z u n s y s t ~ m e d e e o o r d o n n 6 e s

r6,,~:"~176 duns E, k, k' , l, m q u a t r e n o m b r e s r6els s t r i c t e m e n t posit ifs , e t / ' la "mon des ensembles d6finis p a r les d e u x sys t6mes suivant . s :

{kx2 + ly2 + m z 2 = 1 (k ' x 2 + ly2 + m z 2 = 1 , x =>_ O, ' e t Ix ~< O.

Alors, il est facile de voh' que F es t u n ovoide , que les t a n g e n t e s "~ la eon ique in te r - st;:~:in, d e F e t d u p l a n x - - - - - O s o n t t r u n s i t i v e s , e t q u e e e s o n t l e s s e u l e s t a n g c n t e s

~lves de F si k ~= k' (si k = k ' , / " est u n e q uad r ique ) . Au par.

diate le 3, nous m o n t r o n s que le th6or6me 1 a p o u r cons6quence p re sque imm6-

Th60r6me ' e l or s de base K ~oit l- 2. Soit n la d imens ion de 1 espace E . Supposor~' qu e c p n~,- ~ corps fini Fo de a dl&nents et aue le groupe des collindations (automorphisme~ non , ~sCtireme . u, . ~ , ~ �9 �9 . �9 . �9 lune ct nt hneawes2) ) de E conservant I so~t doublement trans~t,[ sur 1 . Alors

e~ trois conditions suivantes est remplie:

n _~ 2 et 1 ~ est une conique;

n ~ 3 et F est une quadrique ovale; n ~ 3 d~fini , q ~ 22m+t et F est une a-~uadrique par/aite o~ a est l 'automorplhisme de K

ov~i ~ fait, ee r6su l tu t es t sans in t6 rS t s i n > 3 - - on sa l t a lors qu ' i l n ' e x i s t e aucun eat :~edans E (ef [31 e t le n ~ 3 2~ - - ou s i n = 2 ou 3 e t si la ca rac t6 r i s t ique de K ult['6. "~ j . z q~a~ ffrente de 2 - - uuque! eus t o u t ovoide, sans restriction, est u n e con ique ou u n e

Urlqne (el [1, 3] I l e o , " ' )-

th6o.~ ~ Probable q u ' o n p e u t uussi d 6 m o n t r e r s i m p l e m e n t (et peu t -6 t r e g6n6ral iser) le ~C~e 2 ' ' " - �9 " ' Po r t~ , a 1 a ide des c u r u e t 6 n s a t m n s d o n n e e s p a r M. SUZUKI des g roupes qu l

~ nom.

~} ~e th6orgtne r6pond g une quesgion posse "s l'~mteur p~w P DE.~OWSKI ~%lli~eoresulgat un Deu moins'~6n6ral ~ue l 'on obgient en rem la ~ng dens eeg 6none6 le lnot~

P projectivttcs~, a ete annonce dans [4, w 1].

138 J. Tx~s ^ac~. u ~ '

Notons enfin que, m o y e n n a n t un rSsultat de P. DEM~OWSK~, le thSor~me 2 four,it une ~num6ration eomplSte des plans conformes (de MSbius) finis, d 'ordre pair (i. e. den t lea cireonfSrences ont un nombre impair de points), doublement homog~es (cf. [2]).

2. D6monstrat ion du th~or~,ne 1.

2.1. ,Notations, d~finition. Pour le moment , il ne sera fair aucune hypothSse sur la dimension de l 'espace E ni sur l'ovoYde F. Si ~, ~, ~ . . . . repr6sentent des va ri6t~s lin6aires, on notera ~ v ~7 v ~ v .. . la plus peti te vari6t6 lin6airc qui les cent[ont. Tj~e vari6t6 lin6airc den t l ' intcrsection avec 1 ' comprend au moins deux points sera ctite 8~cantc (~ I~).

2.2. Si une coil[halation lai,sa'e invariants to~v lc,r poinl,v de 1", c'es't l'identitd.

En effet, i l es t clair qu 'une tellc collin6ation laisse invar iant t ou t hyperplan tang e~t F ainsi que tou t hyperplan s6cant, or t ou t point de E est une intersection d'hYP er"

plans rencont ran t 1 ".

2.3. Soient a un point de F et F l' espace a]fin dent les points repr~sentent les droit I pc~ssant par a et sdcantes d 1 . Alors, l 'applieation du ffroupe des coil[halations de " conservant I" et a dans le groupe des collinSations de F qui d tout ~ldment du pre~nier groupe /air correspondre la trans/ormation de F qu'il induit, est un monomorphis~"

C'est une cons6quence imm6diate de 2.2.

2.4. Si une collindation con,~ervant 1' laisse invariants tousles points de l,intersecti~ de 1~ avec un hyperplan sdeant, son carrd est la trans/ormalion identique.

Soient 7~ la collin6ation et g l 'hyperplan sSeant en question. En ver tu de 2.2, il suffit de mont re r que pour tou t point a ~ / ' , on a ze 2 (a) ~ a. Si 7~ (a) = a, et en par ~iOl" lier si a ~ /1 n cz, c 'est 6vident. Soit done a :~ z (a) , et soit b le point d ' intersection cle~ avec la droite a v ze(a). E n ver tu de 2.2, appliqu6 b~ ]a restriction de ~ ~, ~, le poha$ est invarian~ par ~. I1 e n e s t done de m~me de la droite a v b ---- ~z (a) v b. 1Par c0~" s(~quent ze2(a) appar t ien t ~ cette droite, laquelle coupe [ ' en les points a e t st( a)' Puisque ~(a) :~ a, on a ze2(a) . ;z(a), done z~2(a) = a.

2,5. Soient a u n point de 1 ~, A une droite tangente d 1" en u et 7~ une collin~ati@ conservant 1~, ae t tousles plans eontenant A . Alors, z~ est un fflissement d' axe A o~ bi@ laisse invariants tous les points d 'un hyperplan sdeant passant par a.

La projectivit6 induite ar 7~ dans l'es ,~ee r o ' e e t i f d o n t les oints re r6senter~tle~ �9 , P P P ] ,p P .~

droites de E passant par a, laisse invariantes routes les droites passant par un lo~ s (le point reprSsentutif de A). C'est done une homologie, et elle laisse invariants t0~ les points d ' u n hyperplan. Celui-ci correspond 's un h7~erolan g de E contenant a: et ~ conserve toutes les droites de E passant par a et contenues dans ct. S~ . t angent ~ _]7, cela sign[fie que z e s t un glissement. Si ~ est s6cant, il r~sulte de 2.2 q0~ ~, qui conserve tous le s points de l ' intersection [ ' n g, induit sur ~r la transforma~i~ identiquc.

Vol. XVII, 1966 PropriOt6 Caract&istique des OvoMes 139

2.6. Si le corps K a au moins quatre ~l&nents, et si n d&igne la dimension de E, il ezistr n + 2 points appartenant d F et tels que n + 1 quelconques d' entre eux ne soient pas cOntenu8 dana un m~me hyperplan.

Soient %, an deux po in t s d i s t inc t s a p p a r t e n a n t ~ 1 ', ~.z, . . . , :r ~, n p lans e~ la droi te ao v an ct tels que n - - 1 quelconques d ' e n t r e cux ne soient pas ~:t~ nus dans un mOme hw)ero lan , a~ (i = 1, , n - 1) un p o i n t de F ( 3 ctt,

~ ue a 0 et an, Ao (resp An) la dro i te in te rsec t ion de ~ et de l ' h y p e r p l a n a0 v V a ~ I V , , . .

'~ . V an_ 1 (resp. a i r a2v "-" v an), e t enfin a un po in t de I (3 ~ n ' a p p a r t e n a n t Pan_ (tei'h `40 n i s An ( l 'exis tence d ' u n tel po in t a es t assurOe p a r le fair que, en v e r t u rae~, YpothOse fai te sur K, F n ~ possOde au moins cinq points) . On vOrifie immOdiate-

"~ que los n + 2 po in t s a0, a l . . . . . an , a r empl i s sen t los condi t ions de l'OnoncO.

u2~7: HYpothBse; notat ions. L a d imension de l ' espace E sera dorOnavant (dans to m par. 2) supposOe 6g~le g 3. E n ee qui coneerne 1", nous lui imposerons s ~e~Ot?: nt poss6der au moins deux t angen tes t r ans i t ives en des po in t s d is t incts . Les de

~res A et B dOsigncrons tou jours deux tel les t angentes , e t a a t b (avec a . b) leurs Points de tangenee.

2.8, 8oient c u n point de I ~ n' appartenant pas de a v B, B ' la tangente en b rencontrant ,4 et C la tangente en c rencontrant B'. Supposons que B ' 4=- B (c' est-de-dire que A e t B ~e Soient pas concourantes). Alors, il existe une pro]ectivit~, produit de glissements d'azes A e t B, qui trans/orme b et B' respeetivement e n c et C.

La droite (b v A) (3 (e v B) con t i en t b e t n ' e s t pas t angen te g F (sinon elle eo[n- eideraitest ~, ~ la lois avec B, puisque elle est contenue dans c v B, e t avee B ' , puisque e]le

~li ntenne dans b v A = a v B ' ) . Soi t d son second po in t d ' i n t e r see t ion avec F . L~ s lSseraent d ' a x e A qui amOne b sur d t r ans fo rme B en une d ro i t e du p lan b v A -~ ~ 'av B, 1 ~ , aquelle coupe done B ' . E n la composan t avcc le g l i ssement d ' a x e B qui "e~e d sur c, on ob t i en t une p ro jec t iv i t6 poss6dan t la propr id t6 de l '6none6.

~:" 1Si., i et B ne sont pas concourantes, le groupe engendrd par lez glissements d' axe A A et g issements d'axe B est transiti/ sur F.

Soit c verb, ~ a n po in t de F n ' a p p a r t e n a n t "s aucun des deux p lans a v B e t b v A. E n

~ e 2 8 - , �9 , B ~- �9 , le ~roune en~endr6 na r les Mlssements d axe A et los ~hssements d axe , . . ; 0 ~ 1 r _ ~ ~ " o . r ~ o

e t t ~,eat nne p ro jee t iv i t6 a m e n a n t b sur e, e t a nssi, en i n t e rve r t i s s a n t los roles de u , 1 1 r l e . . . . .

~vee 1 pro]ee t lwt6 a m e n a n t a su re . Leur quo tmn t amene b sur a. E n le eomposan t (a v '~es glissements d ' a x e B, on ob t i en t des project ivi tOs a m e n a n t b e n t o u t p o i n t de

" ~ F . . . . . . {b}. Ce resu l t a t , combine avec 2.8, e t a b h t no t re asser tmn.

2.10 8i A le~ u~..oo~l'" et B sont concourantes, le groupe engendrd par les fflissements d axe A et par[i~7~.V~ents d'axe B est doublement transiti/ sur la sectior~ plane (A v B ) ( ~ I1. En

~er [4, thdor~me 3.1.1], (A v B) (3 1 ~ est une eonique ou un ovogde de lranslatio~s..

soa~ ~, s A ~ (A v B) ~ I ' , e t soi t e un oo in t de A, d i s t inc t de a e t b. L ' o r b i t e de c - ~ ' action de " " ' - orbit^ s g l issements d axe A (resp. B) es t A - - {a} (resp. A - - {b}), done son

sons Fac t ion du groupe engendr6 p a r les g l issements d ' a x e A e t les g l i ssements

140 J. Trrs Artcm rate'

d ' axe B est A. Le groupe en question est donc t ransi t i f s u r / I . Mais le sous-grot, Pe do stabilit6 de a contient les glissements d 'axo A et est donc encore t ransi t i f sur/1 ~ (a~. Le groupe lui-m6me est done doublement t ransi t i f sur d .

2.11. Tout gllssement d'axe A induit sur A une projeclivit~ parabolique ou bien la Iran,s]ormatiou identique.

Si car. K -- p =~ 0, la p-i~me puissance d 'une glissement est l ' identit6 (en vertU de 2.3) et notre assertion en r6sulte.

Soit ear. K ~- 0, et supposons qu'il existe nn glissement d 'axe A induisant sur ,4 u ~e projectivit6 hyperbolique, de points fixes a, a'. Puisque les glissements d'axe fl commuten t entre eux, en ver tu de 2.3, ils laissent t o u s l e point a invariant . Sol f un point que, lconque de/~. La droite a ' v c e s t tangente '~ 1", car si elle rencont ra i t" en un point c 4= c, le ghssement' d ' axe A t rans formant c e n c' am~nerait c' en un P ~ de 1 ", distinct de c et c' (puisque car. K * 2) et align6 avec eux (puisque c v c ~-- c v a ' = c 'v a ') . Donc le point a ' appar t ien t h tous los plans tangents ~ ] ' . Com0ae c 'est 6v idemment le seul point de la droite a ' v b qui jouit de cette propri6t6, il eSt invar iant par tou t glisscment d ' axe B. E n ver tu de 2.9 et 2.1 0, !} existe une projeetivi~ produi t de glissements d axes A ou B, et amenan t a sur b D aprbs ce qu on vient voir, clle conserve a', donc transforme A ~ a v a ' en B ' = b v a ' . I1 s 'ensuit que la tangente B ' est transitive. En ver tu de 2.10, l ' intersection (A v B') (3 1" est u~e conique. La polarit6 par rappor t h celle-ci 6tablit une correspondance projective e~![~ A et le pinceau des droites contenues duns A v B ' et passant par a La projeetiVl.~

" d~ induite par un glissement quelconque sur ce pinceau 6rant unipotente, il enes$ m~me de la restriction du glissement 's A contra i rement "s l 'hypoth6se raise.

2.12. Coordonn~(;s. Duns la suite, (X, Y, Z, T) d6signera un syst~me de coOr" donn6es homog6nes duns E, qui sera toulours ehozsl de telle faqon que le poln~ la droite A et le plan tangent h / 1 en a soient respeet ivement donn6s par les 6quati011' X = Y = T = 0 , X = T = 0 et T = 0 , et que le point X = Y = Z = 0 al~176 tienne ~ F. Nous ferons d'ailleurs un usage plus fr6quent des coordonn6eS ~00 homog6nes eorrospondantes X / T , Y / T Z / T , qui seront not6es x, y z. L,expresSi~176 abr6g6e: <(la t r ans formatmn d 6quatmns x ' = . . . , y . . . . , z = ...)> sera utll~ pour d6signer la t ransformat ion qui t ransforme le point de coordonndcs x, y, z e0 le point de coordonn6es x', y ' , z' donn6es par les 6quations en question, iNotons encore que X, Y, T (resp. x, y) peuvent 8tre eonsid6r6es comme des eoordonn6es dans le p!~ projcct i f des droites passant par a (resp. duns le plan affin dos droitcs s6cantes h I ' passant par a).

2.13. Les glissement8 d'axe A ont pour ~quations gdnSrales

( i ) y ' = y q - t ,

z' = q~(t)x -~- 2 k t y -~- z q- z ( t ) ,

o~ k e K est une coustante non nulle et o~z les /onction~' q~, Z : K ---> K satis]ont acj

Vol. XVII, ~966

identit~,~.

Propri6t6 Caract6ristique des Ovoi'des 141

9o(t + t') = ~(t) + q~(t'),

z(t q- t') = z(t) q- ;/(t ') q- 2 k i t ' .

L'en~emble F ~ {a} est ddfini par une 5quation de la /orme z = / ( x ) q- q~(y)x @ Z(Y), ~t on a 1 (0) = O.

Soient

(iii) x ' = x , y' = y + t ,

z' = q~ ( t ) x + ~ ( t ) y + z + Z (t) les 6- . s6co~uatl~ du gl issement qui indui t sur le p lan affin des droites passan t par a e t

~ e s ~ ~p ]a t ransla t ion d '6quat ions x ' = x, y ' = y q- t. Le fMt que le coefficient dez d for~_ans la derni6re 6quat ion est 6gal '~ 1 r6sulte de 2.11. Expr imons que les t rans-

~Llons (iii) fb rmen t groupe. Il v ient (iv)

q~(t + t') = ~( t ) + cp(t'),

(v) v,(t -I- r ) = v,(t) + v , ( t ' ) , z ( t q- t') =- z( t ) @ z( t ' ) @ ty)(t ' ) .

Partieulier t ~ 0 ~ , ~ , , ~(0) = y;(0) = Z( )0 = 0 . S i ea r . K - - 2, i l r 6 s u l t e d e (v) o h l o n fair deux ~ L que ~0(1) = 0. Pa r eontre, si ear. K ~: 2, on doi t avoi r ~o(1) ~: 0, sinon les

~ransform6s sueeessifs du point, (0, 0, 0) pa r (iii) avee t = 1 aura ien t pour coora ~ba:~~ (0, 1, Z ( 1 ) ) e t (0, 2, 2 Z (1)), et ils seraient align6s avec (0, 0, 0), ce qui est

r ~rCle puisque ees trois oints a a r t iennent s [ ' On est done en droi t de poser ~~ ~ o1_ P ' PP ~ " ~ avee ]c ~= 0. De (v) il r6sulte que t"r = t~( t ' ) . E n partieulier, ~(t) =

-" t .(1) ~ 2kt. La premi6re h~ part ie de l '6none6 r6sulte de eeei et de (iv), (v). Pour ~a lr la seeonde, il suffit de noter que l ' in terseet ion de _P -- {a} avee le plan y = 0 : aae 6Cluatio n de la forme z = ] (x), et que le t ransform6 par (iii) du point (x, 0, [ (x)) st le point (x, t , / ( x ) + q~(t)x + z( t ) ).

e o ~ : " ~)ans ] 'assert ion suivanbe et sa d6monst ra t ion , les ast6risques repr6sentent des ntes, 616ments de K, qu' i l est inutile de pr6ciser.

8oit zt Une pro#ctivit~ conservant F, a e t A , et soit (.oo) * r 0

l~ ~atriee rewdsentan t la parHe homog&~e de ~, exwim~e en eoordonndes x, y, z. Alors, e .~. ~.~ ou bien car. K = 2.

~Pri~aons que le t ransform6 du point (0, y, Z (Y)) e _F par 7e appar t i en t ~ F. I1 v ient

* y + s z ( y ) + * = ](*) + q0(ry + , ) , + z ( r Y - t - * )

uu enCOre, eompte tenu de 2.13,

, y q - s z ( y ) -- qJ(ry) , - - x ( r y ) = *.

142 J. TITS nrtcH. ,l~Ts.

La constance du second m e m b r e est nulle puisque le premier m e m b r e s 'annule pour y --~ 0. P a r polarisat ion, la re lat ion pr6c6dente devient alors, toujours d 'aprSs 2.15,

2 k s y z y 2 ~ 21cr2yly2, d'ofi l '6nonc6.

2.15. Hypotheses. Dor6navant , et jusqu"s la fin du par. 2, on supposera q~e if rempl i t les condit ions de l '6nonc6 du th~or~me 1, e'est-t~-dire poss5de au moins ~ tangcntc t rans i t ive en chacun de ses points, et n ' e s t ni une quadr ique ni un ovdide ~ translat ions. De cette dernibre hypothSsc et de [1, 31, il r6sulte que si K ---- Fq, c~ fini de q 616ments, q est une puissance de 2 au moins 6gale '~ 8. Pour les besoins de la pr6sente d6monst ra t ion , nous en re t iendrons seulement la conclusion trSs partielle, susceptible d ' une simple vSrifieation, quc le corps K a au moins qua t rc 61(~mentS"

2.16. Le groupe enyendr~ par l ~ ylissements de 1 ~ eat transiti] sur F.

Si -pposs~de deux tangentes t rans i t ives non concourantes, ce]a r6sulte de 2.9. Sirl0~, c 'es t une consdquence imm6dia te de 2.10.

2.17. E n ehacun de ses points, F poss~de une el une seule tangente transitive.

I1 r6sulte imm6d ia t emen t des d6finitions que si deux tangentes s _Fen un ~ a~e point sont t ransi t ives , routes les tangentes en ce poin t le sont, auquel c a s / ' n 'a qUe des tangentes t ransi t ives , en ve r tu de 2.16. Mais alors, d 'aprSs 2.10, routes les secti0as planes de F sont doub lemen t homogbnes au sens de [4], et il r6sulte du thSorbl~e 4.1.2 de cot article que 1 ' est une qnadr ique ou un ovoide '~ t ranslat ions.

2.18. Supposons que cur. K = 2 et que la /onetion cf du n ~ 2.13 soit identiquen~ed nulle. A lors, il existe uue constante h ~ K, h :~ 1, telle que pour tous xo, Yo ~ K, il exist I une projeetivitd conservant _Pet ae t induisant sur le plan a/fin des droites s~cantes passes par a, l'homoth~tie de centre (xo, yo) et de rapport h.

On peut , sans nuh'e 's la g6n6ralit6, choisir le syst~me de coor'donn~es d u n ~ $.15 de telle fapon que le p lan z ---- 0 soit t angen t t~/~ au point (0, 0, 0). Alors, Z -1 (0) ~ (~'~ et il r~sulte de 2.13 (ii) que la fonct ion z : K - - > K est injective. Soient ti(i ~ 1, J deux 615ments distincts, non nuls, de K. Nous nous proposons de mon t r e r que la c ~ t an te h = Z (ts)/X (tz) joui t de la propri6t~ ~none~e.

Puisque q)~--0, 1 ' - - { a } est d6fini par l '6quat ion z - - - - / ( x ) + Z(Y)" ~os0~S zo ~ / ( x o ) + Z(Yo). Du fai t que Z e s t injectif, il r6sulte que la droi te x q- ~0 ~ = z + zo = 0 est t angentc s _F, donc, que le p lan t angen t 's F au point (x0, yo, ~o} a une 6quat ion de l~ forme z + z0 = l (x + x0). Moyennan t le changement de eoordo~" ndes (x, y, z) --~ (x d- xo, y + Yo, z + zo + l (x + xo)), lequel n'alt~re pas la ]onctlo~ Z (ni pa r eonsbquent la eonstante h), on peu t supposer que x0 = Y0 -~ 0.

Soient b le poin t de coordonnbes (0, 0, 0) et d le poin t de coordonn~es homog~es (0, 1, 0, 0). E n ve r tu de l 'hypoth~se fai te sur q~, les gl issements de centre a induise~ l ' identi t5 sur le p lan T = 0 (plan t angen t ~ /1 en a). P a r raison d ' h o m o g ~ n $ ~ les gl issements de centre b induisent l ' identi t~ sur le p lan Z = 0. Or, d 'apr~s 2.9 e 2.10, il existe une projectivit~, p rodui t de gl issements de centres a ou b, qui ~mb~e a sur b. Puisqu 'el le laisse inva r i an t tous les points de la droite Z ---- T ---- 0, elle txa~"

V01. XVII, 1966 Propri6t@ Caract6ristique des 0voi'des 143

f~ A ~ a v d e n la droite b v d d '6quat ions X = Z = 0, qui ne peu t done 6tre que la ta.ngente t ransi t ive B s 11 en b.

ta~:~t?~ (i = 1 ,2 ) le poin t de coordonn6es (0, t~, x(t~)). Le plan t angen t fl~ et la tra~:r Ue transit ive B~ .~ 1" en b~ sont les t ransform6s du plan t angen t et de la t angen te t ive~lve ea b par le gl issement d ' axe A qui t r ans forme b e n b~. I ls ont donc respec- l~,,. ent pour 6quations, en eoordonn6es non homo~6nes, z - - t. et z - - t - - x - - 0 ~,squ e . . . . . - - Z(~) Z(~) . . . . sat- ~, 0 et B~ sont coplanaires, il existe un gl issement ~,, d ' axe Bt, qui am6ne a lea :~id ~ qui 6change a et b puisque car. K = 2. Ce gl issement laisse invar ian t tous don~ 'm~s du plan fli ( toujours paree que ~v = 0 et pa r raison d 'homog6n6it6) e t a

vuur 6quations

X ' = z (t~) X ,

Y' = Z(&) Y,

Z ' = z(t~)" T ,

T ' = Z .

L,e quotient Tz. T~ 1 indui t alors sur le p lan affin des droites s6eantes passan t pa r a l h~ de centre (0, 0) et de r appo r t h = Z (t2)/X (tO.

h 2.19. 8i ear. K = 2, la [onction q) du n ~ 2.13 n'est pas nulle. A u t r e m e n t dit, les Y~~ d ~

u n 2.18 ne peuvent ~tre rt!al~s&s. L e r

affi~ s Upe engendr6 pa r toutes les homoth6t ies de r appo r t h donn6, # 1, d ' un plan ,o"" eontient toutes les t rans la t ions I1 s 'ensuit , d 'anr~s 2 18 ue si car K 2 et [ ~ c a O ' l e g r o u p e d e s p r o j e e t i v i t 6 s e o n s e r v a n t I ~ e t a i n d u i t s n r l ' e p l a n a f f i n d e s d r o i t e s toute: es passant par a u n gr0upe con tenan t routes les t ranslat ions. A u t r e m e n t dit ,

les tangentes .s F e n a sont t ransi t ives, ce qui eontredi t 2.17.

2.20. L'ovo~de 1" poss~de deux tangentes transi t ives non concourantes.

t ~ Y : p~176 qu'il en soit au t rement , soient d le poin t de concours de A et B, et C la reds nte transit ive en un point de 1" n ' a n o a r t e n a n t pas au plan A v B La droite C siti,._ ."~ zi et B, done nasse n a r d I1 e n e s t alors de m6me de route t an~en te t ran-

v t ~ ~1, /-~ 1- J.- �9 o

~t~- " , puisqu 'une telle tan~ente rencontre oa r hvDothSse A B e t C I1 s 'ensui t ta~~ r . K ~ 2 sinon t A v B ~ r 3 F serai t une coni ue en ve r tu de 3 1 0 et ses �9 "~er~, ' , , q ( �9 ), d~ ~o ~es ne seraient has routes eoneourantes. Choissons le syst6me de coordonn6es 616:e2"12 de telle fa~on que d soit le po in t de coordonn6es (0, 1, 0, 0), soit Yo un r4,s~lte ~deeK tel que q(Y0) # 0 (el. 2.19), et posons xo = Z(Yo)/q~(Yo) et zo = / ( x o ) . I1 d6,u . e 2.13 que les points (x0, 0, Zo) et (xo, Yo, z0) appa r t i ennen t ~ F. La droite ta~,~t l~ x - - x0 = z - - zo --= 0, qui jo int le po in t (x0, 0, z0) ~ d, n ' e s t donc pas

o ' - re ~ 1", d'ofi une contradict ion. 2'21 L ' i - " ", nterseetion de tows les p lans tangents d F est vide ou est [ormde d 'un seul

v~ n apyartenan t h aucune tangente transi t ive. ~ien '

e t ~v eette m t n o t uelcon ue de et C la t an ente t rans i t ive ee ~o" , ersection, c u p in q q / ' g '," Pas ~ mr. L ensemble T e s t vide, est r6duit 's un point ou est une droite ne passan t q~e~ re. ~n tou t eas, route t anuente s 1"en e coune T e n un point au plus I1 s 'ensui t

~01.1 �9 ~ ~ " t . . . . . . glissement est lkdent~t6 sur T (que t ou t gl~ssement lmsse T m v a r m n t est

144 J. TITS ARCH. N p'TII'

6 v i d e n t a priori) . Ceei 6 t a n t v r a i quel clue so i t c, le g r o u p e engendr6 p a r les glisse~ae~t~ �9 - ' r ~ de 1 lalsse i n v a r i a n t t o u t p o i n t de T. Mais a lors , u n te l 13oint ne Deut al0parte~l

a u e u n e t a n g e n t e t r a n s i t i v e de 1', s i n o n il a p p a r t i e n d r a i t '~ t o u t e t a n g e n t e t, ransJtlv~ - - d ' a p r b s 2.16 e t 2.17 - - ce qu i con t r c d i r a i t 2.20. E n p a r t i e u l i e r , C fh T =- 0 done es t v ide ou es t r d d u i t s un point, .

2.22. Soit g nn p lan sgcant conlenant a. S i routes les projectivitds conservant 1" eta conservant auss i le p lan o~, eelui .ci co'ntient A e t la tanffente transi t ive en lout point de

o F est contenue daw~ ~.

E t a n t i n v a r i a n t p a r tout. g l i s s e m e n t d ' a x e A, le p l a n e c o n t i c n t A . So i l b ~ e (n ~.i e t s u p p o s o n s que la t a n g e n t e t r a n s i t i v e B e n b ne so i l pa s c o n t e n u e dar ts g. Soi l / l (rEsp. B ' ) la t a n g e n t e en a (resp. b) qu i r e n c o n t r e B (resp. A) . E t a n t i nva r i an t e P~ t o u t g l i s s e m e n t d ' a x e A, A ' r e n c o n t r e la t a n g e n t e g rans i t ive en t o u t p o i n t de ~tn J' P u i s q u e ~. e s t i n v a r i a n t p a r r o u t e co l l i nga t ion c o n s e r v a n t a e t 1', il en es t de m~roe de A ' . ] )our t o u t p o i n t c ~ F , so i l D(c) ]a t r a n s f o r m 6 e de A ' pat" les co]] in6at ions c~ r a n t F e t a m e n a n t a sur c. I l r6su l te de 2.8 (oil on i n t e r v e r t i t les r61es de a e t b) que s,

, . , i10 tls t E A v b = B v a = g , la d r o l t e D ( c ) r e n c o n t r e A = - D ( a ) en un p o i n t q u e t u o t e r o n s d(c). P o s o n s d : l" c3 (a v B) - - {a, b }. E n t r a n s i b r m a n t le r6salta~ p rbc6den t p a r les g l i s s e m e n t s d ' a x e B on v o l t que si a ' e A e t si c e s t un i)oint de J

, . , , . , . ~ o u t ; r e t, n a p p a r t e n a n t pas ~ B v a , les d r m t e s D ( a ) e t D(c) se r e n e o n t r e n t . S1 en , , �9 , e l

n a p p a r t i e n t pas h e c t a 4: a, on d o i t a v o i r d(c) = d(a ' ) , car les d ro i t e s D(a) , jO(c! si D ( a ) son t a lo rs d e u • 's d e u x e o n c o u r a n t e s sans ~.tre cop l ana i r e s . Cela 6taIa!,, il

. . . . . . " ' " 2 1 ~ ) , " a , a E d on a d ( a ) = d ( a ); en effet , ]e co rps K a y a n t au morns 4 e l e m e n t s ( �9 ~, �9 . . , , , , a -V p~ ex l s t e au morns un p o i n t c de F n a p p a r t e n a n t a a u c u n des p l a n s c~, a v B , �9 r~

a v B (il suff i t de cons id6re r un p l an s6ean t fl conten ,~nt B ' , d i s t i n c t des t ro i s prer~ - ' ant P~ p l a n s ci t6s, e t de ehois i r d a n s la s ec t ion p l a n e f l n F un p o i n t c n a p p a r t e n j

, �9 . i t~ , �9 ~ l't~ a la d r m t e fl ~ ( a v B ) ) , e t p o u r un te l po in t , on a d(a ) = d(e) : d (a ). DemgnonSP t la v a l e u r c o m m u n e des d(a') p o u r t ous les p o i n t s a ' e A On a a lors dr = d nour~~ p o i n t c de 1 ~ n ' a p p a r t e n a n t pas h :~ ; en effet, il ex i s t e t o u j o u r s un p o i n t a ' ~ zJ ~e~ ~r c n ' a p p a r t i e n n e pas A a' v B ' , e t on a a lors d(c) : d(a ' ) = d. Le p o i n t d es t i n v a r ~

�9 , �9 , . . ~ . . . r ~ l:) 0 w p a r les g h s s e m e n t s d axe B, p m s q u fl e s t le p o i n t d m t e r s e c t m n des dro~tes D ( ) .,f a ' ~ A k3 {a} ; en,part iculicr ,~ il appa r t i en t , , '~ B. D ' a u t r e p a r t , .il est. . . . . . auss i i n v a r i a~$onte~a,,~ ~'~' les g l i s s emen t s d axe A, e~r si ~ d6signe un p l a n q u e l e o n q u e , d i s~me t oe ~ ev ~ a0 ~, A, le point, d es t l ' i n t e r s e c t i o n des d ro i t e s D (c), avee c �9 c~'. Mais a lors , d es t invar~ 0 ~ p a r un g r o u p e de pro jec t , iv i t6s e o n s e r v a n t / 1 c t t r a n s i t i f sur 1" (2 9) 11 a p p n r t i e ~ t do b. t o u s l e s p l a n s t a n g e n t s 's if , ce qu i e o n t r e d i t 2 .2 l , p u i s q u e d �9 B.

2.23. l ' our tout point c �9 11, soil ~1 (c) l 'ensemble des points c' ~ 1" tels que les ta~tge~l~ transi t ives en c et c , o~ent conconrantes. Alors , A (c) ne peut gtre l'intersectior~ de " d' un p lan sdcant.

P a r r a i son d ' h o m o g 6 n 6 i t 6 (2.16), si zl (c) est,, p o u r un p o i n t c, l ' i n t e r s e c t i o n de 11~ I

Yol. XVII, 1966 Propri6t6 Caract6rist ique des Ovoides 145

~ ensuit que cr qui e o n t i e n t c e t C ' , co inc ide avec 0r E n ou t re , il r6su l te de 2.10 n e d c �9 �9

tra , ( ) es t une e o m q u e , ou bran que car . K -~ 2 e t que A (c) es t Mors un ovo ide h ~s i a t i ons . So ien t a b ~ I ' ehois is de te l s I b s e n quc a q~ A (b) e t so i t f l l e p l a n tangent .

_, e n b. La d ro i t e ~. (a) (3 (a v B) n ' e s t I)as t a n g e n t e h 1 ' s inon, 6 t a u t e o n t e n u e d ' m s ~/a), elle sera~t c o n f o n d u e avec A e t on aural t . A c a v B, d ' o u a a A (b). So l t a ' le Point, d i s t inc t de a, off la d r o i t e en q u e s t i o n r e c o u p e / 1 e t so i t T, le g l i s s e m e n t d ' a x e B (Di arn6ne a s u r a ' . On a ~(r162 = or ~ ~(a). E t a n t un g l i s s emen t , -v i n d u i t su r ~(a) Une 61ation ( t r a n s l a t i o n ) d ' a x e ~r (a) (3 fl, l aque l l e conse rve 6 v i d e m m e n t A (a). On ~i~2, ll'ert c a r ae t6 r i s t i q u e 4= 2~ une con ique ne p e u t 5t re i n v a r i a n t e p a r une 61at ion non Ce' �9 le, done on a ear . K = 2, e t r o u t e s les t a n g e n t e s ~ A (a) se c o u p e n t en un p o i n t d.

all.m, e t a n t i n v a r i a n t p a r T, a p p a r t i e n t h ft. Ceci 6 t a n t v r a i quel que so i t b ~ A (a), on voit que le p o i n t d a p p a r t i e n t / ~ tons les p l a n s t a n g e n t s s F . C o m m e il a p p a r t i e n t anssi h A, ceci es t en c o n t r a d i c t i o n avec 2.21.

2.24. Soient B ' la tangente en b qui rencontre A , et c u n point quelconque, di.~'tinct de b et appurtenan t d (a v 13) (3 17". Alors , la tangente transi t ive e n c rencontre B ' .

t- I1 suffit de r e m a r o u e r (me le ~ l i s s e m e n t an~en ,^ , . . _ d ' a x e B qui a m b n e a su r c, am6ne A sur la " ~ ~rans i t ive en c, e t c o n s e r v e / 3 ' .

8 : : 2 ! �9 Soient K de caract&ist ique O, Po, P1 . . . . . P r des polyn6mes et u a K * : K - - { 0 } . ~vosons que pour tout entier n, on air

(i) ~ P t (n) ui,~ = O . i = 0

Alert, le~ polyn6mes P l sent tous ident iquement nu l s ou bien u e s t une racine de l' unit~ orclre ~ r .

deS:}ent s , t les degr6s r e spee t i f s de P0 e t P r (un p o l y n 6 m e i d e n t i q u e m e n t nu l es t de

qu~e:e~tl). On p r o e 6 d e r a p a r i n d u c t i o n sur les t r i p l e s (r, s, t) o rdonn6s l e x i e o g r a p h i -

~ : ~ u r (r, s, t) ~ (0, - - 1, - - 1) l '6nonc6 es t t r iv ia l . S i s o u t = - - I , on e s t i m m 6 d i a t e - en ~2 ramen6 ~, l ' h y p o t h 6 s e d ' i n d u c t i o n sur r ( lorsque s = - - 1, il suff i t de m e t t r e u de 'aCteur duns (il) So i en t ( tone s' t # - - 1, e t s u p p o s o n s que u ne so i t pus r ac ine

~e ct o rd re ~ ,r. On a, p o u r t o u t n, ~ Z,

r

~.. (P~ (n + 1) u i - - Pi (n)) v i~, = i = 0

- - P l (n) u ~" = O . - P i ( n + 1)~('~+~) - = i = 0 Le %1

a ~ Yn6me P 0 ( x + 1) - - P o ( x ) a y a n t un degr6 in f6 r ieur "~ eelui de x, on p o u t cl~t"~u, er l ' h y p o t h 6 s e d ' i n d u c t i o n s u r ~ h ce t t e re[t~tion e t on en d6du i t , en p a r t i c u l i e r , (it) t in + 1) ~__ u - r P r ( n ) . P a r a p p l i c a t i o n i t6rSe de ee t t e r e l a t i on , il v i e n t

8it ~ 0 P r ( n ) = P r ( O ) u - r n .

l'h . . . . . , eeci imphque" que u - r n ne d 6 p e n d pus de n, d o n e que u - r = | , c o n t r a i r e m e n t zPOth~se fa i t e s u r u . S i t _--> 1, l ' h y p o t h 6 s e d ' i n d u e t i o n sur t, a p p l i q u 6 e h (it) (duns

Ardliv dcr Mathemal ik X y l l l 0

146 J. T~s ~acm ~ "

laquelle u -1 joue le rble de u) fair apparai t re une contradiction. Celle-ei provient de l 'hypoth6se faite sur u.

2.26. Soi t 7r u n pro]ectivi t~ conservan t F e t a est i n d u i 8 a n t s u r le p i n c e a u des p l a ~

con tenan t A u n e project iv i td l )arabolique. A l o r s , vr" est u n e projeet iv i td un ipo ten te .

Si car. K -~ p r 0, il r6sulte de 2.4 et 2.5 que ~rv est une glissement ou une pro- jectivit5 involut ive; su ivant le cas, on a ~p" = 1 ou vr2p = 1, ce qui, dans l 'un et l ' autre cas, 6tablit notre assertion.

Soit done car. K --~ 0, et supposons que la projeetivit6 :r 2 ne soit pas mfipotente- ~a ver tu de 2.14, la part ie homog6ne de 7r, eonsid6r6e comme subst i tut ion ]in6aire de x, y, z, a pour valeurs propres 1, u, u~ (u e K*). Pu i squ 'on a suppos6 :r 2 non unipo~entY' u ~: 1, - - 1 , et ces trois valeurs propres sent distinctes. On peut done choisir le syst6me de coordonn6es x, y, z de telle fapon que ~ air des 6quations de la forme

[ ' -~ x -~ l ,

y ' - - - - u y ,

z ' = u~ ( z - zo) + z o .

En ver tu de 2.20, il existe au moins un point d e / ~ tel que la tangente transitive e~ ce point nc rencontre pas A. Si x0 est la premidre coordonnSe d ' u n tel point, le 10~ (:co, 0, [ (x0)) qui est transferred de celui-l~ par un glissement d 'axe A poss~de l a m ~$e propri6t6. Mais alors, m o y e n n a n t le changement de coordonn~es (x, y, z) --> (x ~ ~0, y, z - - ] (x0)), on peut supposer que la tangente t ransi t ive B au point b de coordo~n~es

~ 0~ (0, 0, 0) ne rencontre par A. E l l e n est pas non plus contenue dans le plan y ~ ' e sinon il cn serait de m~me de la tangente transi t ive au point (1, 0, ] (1)), t ransforms cl b par ~, done aussi, en ver tn de 2.10, de la tangente transi t ive au point a. En ~ ul~v plian~ encore la coordonn6e y par un ~l~ment de K* convenablement choisi, on peat' supposer que B appar t ien t au plan x ~ y. Soient z - - h x ~ x - - y ~ 0 ses ~quatio~s' z - - l y -~ x ~ 0 les 4quations de la tangente B ' en b qui rencontre A, et

X j ~ ~

y' = y - } - n ,

z ' = r n x -[- 2 k n y ~- z ~ k n 2 -~- s n

les 6quations du glissement ~n d ' axe A qui augmente ]a coordonnSe y de n (r et s s ~162 des constantes ind~pendantes de n ; la forme des ~quations de ~n se d4duit de 2.1~)'

, - - s t ' Le point Qn (~n (b)) appar t ien t au plan x ----- y, qui n e s t autre que a v B, oar c u , .

~ . 11~ quent (2.24) la tangente t ransi t ive ~ n ( 7 ~ n ( S ) ) en ce point rencontre B' . $1 ~o exprimons ceci analy t iquement , il v ient :

k n 2 -~ (8 - - 1)n -}- zo - - ( 2 k n "z - - I n ) u n - - ( h n -{- z o ) u ~n = O .

Cette relation dolt ~tre v6rifi6e pour t ou t entier n. D ' au t r e part , on ~ vu que u ~. 1, - - 1 . Pa r cons6quent (2.25) les polyn6mes en n qui in terviennent dans la relaf~0~ pr6c6dente sent ident iquement nuls. E n partieulier, k ---- 0, ce qui est en contradio~i~ avee 2.13.

u XVII, 1966 Propri6t~ Caract~ristique des OvoMes 147

2.27.8oient 11 un plan projecti/ sur un corps ayant au moins quatre dl~ments, A un dv.~ e dam 1-1 qui est soit une conique soit "an ovoi'de d translations et c, d deux points et d -~" appartenant ?t A. Alors, le groupe engendrd par les glissements de zJ de centrer c

contient une projectivitd conservant c et d et dent le carr~ n'est pas l'identitd.

S i d est une conique, on peut l ' identifier h une droite projective, les glissement deveaaat des translations, et notre assertion exprime une propri6t6 bien connue du grOUpe pSL2" Le cas d ' u n ovoide ~ t ranslat ions se ram5ne imm6dia tement h celui-l'~ si oft observe que, d 'apr6s [4, 2.3], / / p o s s b d e un s o u s - p l a n / 1 ' d6fini sur un corps P~ aussi au moins quatre 616ments (le corps L, clans les nota t ions de [4]), tel que c, d r H ' , q u e / / ' (~ A soit une conique et que les glissements de M ' n / I soient iaduits par les glissements de A conservant M' .

~/:~28. 11 existe un projectivitd unipotente conservant F e ta et ne conservant pas chaque "contenant A.

tr:~.PP~176 pour commencer qu'fl cxistc au moins un point b tel que la tangente "asltlve B e n ca point rencontre A. Alors (2.23) il existe au moins un point b' ~ 1"

de tenant pas h a v B, tel que la tangente t ransi t ive en b' rencontre A. I1 r4sulte . v et 2.27 qu'i l existe des projectivit6 z~, z~', telles que ~ r ( / ' ) = ~r' ( / 1 ) = _/',

~ ( ~ ) ~ , , ,

ae%. ~ (a) ~ a, z(b) = b, ~z (b') = b , re 2 ~: Id. # ~z '~. D 'apr6s 2.4 et 2.5, z~ et ~ ' e uvent induire l ' identit6 sur le pinceau des plans eontenant A ; d ' au t r e part , elles

e~ respect ivement les plans A v b et A v b' qui sent distincts. I1 s 'ensuit quele c~ ~ g, g -1 ze,-1 poss6de la propri6t6 do l '6none6.

�9 t reste ~ consid6rer le eas olt deux tangentes transi t ives quelconque d e / 1 sent non C~ I1 existe alors (2.22) au moins une projectivit6 g c o n s e r v a n t / ' , a e t ne ~:~s.ervant pas tous les plans con tenan t A. Si ~r induit une projectivit6 parabolique sttr 1'~:~ aeeuu des plans con tenan t A, ~r elle-m~me ou ~2 satisfait ~ la condit ion de

unce selon que car. K = 2 ou ~ 2 (2.26). Si au contraire z~ conserve un plan s6cant ~:~ A, il existe (toujours d 'apr6s 2.22) une projectivit6 ~ ' c o n s e r v a n t / ' , a e t

"Unservant pas :~, et le" commutateu-r ~ zr' g -1 zr'-~ rcmpli t la condit ion voulue.

2.29 L a o " ~ o �9 , ~Ointo "~ / nchon q~ d u n 2.13 est lin~aire. Les r d axe A ont une droite de

~ lewes commune qui coincide avec A ou non selon que car. K ~ 2 ou ~= 2.

])'aPr~s 2.28, I" est invar iant par une projectivit6 ~ d '6quat ions

[ x ' , = x + t ,

/ Y,=*x+Yq-*' e ~ t * ^ ( z = * x + * y + z + * ,

s~4.~ ~ et off les ast6risaues reDr6sentent des 616ments de K qu'i l est inutile de s~ct~io: r. En expr imant qua z~ tr~nsforme la section de /" par le plan x = 0 en la 1'.~ a Par le ~lan x - - t e 'est "~ dire 1'ensemble d '6auat ions x - - z - - 0 en

~usenable d'6~u " - - , - - -~ - - Z(Y) - - airs ,+ , q a tmns x - t - - - - - z - ] ( t ) - t ~ o ( y ) - Z(Y), on t rouve, tous calculs

' ~ ~enant compte des identit6s 2.13 (ii) une relation de la forme

tq~(y) = . y q- , ,

10.

148 J. T~TS ~rtc~, ~A~I~.

qui exprime que cp est linSairc, Puisque ~v(0) = 0, on a g)(y) = ly , ~vee l ~ K, Ce]~ 6tant, le glissement d'(~quations 2.13 (i) laisse fixes tous les points de la droite d'eq ua" tions l X - / - 2 k Y = T = 0, laqucllc est confondue avec A ou non selon qae car. K = 2 ou . 2, puisque k . 0.

, .30. ~o'tt ~ un plan s&ant d 1~ contenant A . Alors, les plans tangents gt F aux po**ttsdoe r (3 F o n t un point eommun et unseul , lequel appartient 5 A si et seuleme~t s'i ear K ~ *'

Posons A = (1' ~ ~.) - - {a}, et soit d le point d ' intersection du plan tangent e~ ~o point de A a v e c [ a droite des points fixes du groupe des glissements d 'axe A. Ce groupe 6tant t ransi t i f sur A, le point d appar t ien t aux plans tangents cn touS los points de A. C'est le seul point jouissant de eette propri6t6, car s'il y e n avai t un a utre" s o i t d ' , la droite d v d' serait invar iante par tous le s glissements d 'axe A et, vu ~.I~ et 2.19, eontiendrai t a, ce qui est absurde puisque a ne peut appar teni r au plaO tangent en nn point distinct de lui-mSme.

2,31. Les plans tangents 5 ] ' ne sont pas tous concourants.

Supposons que les plans tangents g F aient un point c o m m u n d . La caract,~ris~iq~ ~ de K ne peut alors 5tre (~gale '~ 2, sinon d appar t iendrai t s routes les tangentes tranS'" t i res ~ 1" (2.30) cn contradict ion avec 2.20. Soit z~ unc projeetivit5 unipotentc co~Serl

' ' lt.ilt' v a n t I , a, et nc eonscrvant pas tous les plans con tcnan t A, et soit ~, un plan conteI~ la droite a v d (qui est dist inctc de A puisque car. K # 2). Quitte h la multiplier par un glissement d 'axe A convenable, on peut supposer que la projectivit6 zl conserve ~' Laissant fixes a e t d, elle induit l ' idcntit5 sur la droite a v d, donc indui t une ~la$i0~ d 'axe a v d dans le plan q.. Mats alors, si b d6signe un point quelconque de (F (3 g) " - - {a}, les points b, u(b) et ~u (b) sont align6s, ce qui est absurde puisqu'i ls appareled" nent ~ ]1.

2.32. Soit o: le plan tangent gt F en a. Pour route droite D s&ante h P et contena'a! o, I a p soit z~a (D) la droite intersection de ~ avec le plan tangent & ~ au point (D n F) {~d

A lors, l 'application ~Za s'4tend en une projectivitd du plan project i /des droites ~bss" .... par a 8ur le dual du plan ~.

Soient a et b tels que les tangentcs transit ives A et B ne soient oas coI)lala~Lre! (2.20), soit c un point de _P n (a v B) dist inct de a e t b, smt C la tangente t'r~nsltlW en e. Posons B ' = (a v B) n ~ c t C' = (a v C) n ~. Les droites B ' et C' sont disti~c~l'

de 1 , en contradict ion avce 2.31. Soit ~ (resp. ~) le pineeau des plans con :f , S t 1 ) '

(resp. C') et soit ), : ~ ,~. a v d ( resp . /~ :~ -+ a v e) 1 application d~finie comme ~(g) (= /z (~ ) ) = a e t 1 image par ~ (resp./z) du transform6 de a v B (resp. a v 0)f; e nn glissement donn5 quclconque d 'axe A est le t ransibrm4 de d (resp. e) par ce ro glissement. I1 rSsulte de 2.13 et 2.29 que ). et ]z sont des projectivit~s.

Vol. XVII, 1966 Propri6t6 Caract6rist ique des Ovoides 149

Totlte dro i te D s6ean te ~ 1" e t c o n t e n a n t a e s t l ' i n t e r s e e t i o n de d e u x p l a n s / 3 ~ ,~ e t ? ~ W, et il r6sul te i m m 6 d i a t e m e n t de la d6f in i t ion de 2 e t /~ que le p l a n t a n g e n t ~ b~ F .au Point (D r F ) - - {a} c o n t i e n t les p o i n t s 2(fl) e t # (7)- P u i s q u e d e t e ne s e n t p a s ~ a r . l a n t s pa r tous les g l i s s e m c n t s d ' a x e 4, il ex i s t e c e r t a l n e m e n t u n e d r o i t e D te l le

~- a v d ~ a v e, done auss i le p o i n t a, ee qu i e s t a b s u r d e . A p r6sen t , il e s t c l a i r que ire de p r o j e c t i v i t 6 s fl, 3r s e t e n d en une p ro j ee t l va t e 7r,~ d u p l a n p r o j e e t i f des p l a n s

""~enant a su r ~. Sp i t ~ra la ' ' ' e o n t r a g r e d m n t e de ~a. On a

,~ n ~ = ;t(fl) v/~(Y) = ~J(f l) v :~;(Y) = ~a(f l ~ r ) = ~ a ( D )

d'ofl notre 6none6.

2.88. La caract~ristique de K est dgale d 2 el l'application qui envoie tout point de l ~ ~r ur le plan tanaent d I" en ce point s' dtend en une polaritd nulle ~ de E. Les tangentes

ansitive8 de 1 ~ �9 , . sont aulocon]uffuee.s pour ~.

so~~ a~ (i -~ 1 . . . . . 5) c inq p o i n t s de 1" te l s que q u a t r e q u e l c o n q u e s & e n t r e eux ne Q;:~t Pas eop l ana i r e s (2.6, 2.15), e t so i en t ~t los p l a n s t a n g e n t s r e spec t i f s en ces po in t s . u~,,:~re que lconques de ces p l a n s son t non c o n c o u r a n t s : Dour m o n t r e r o a r e x e m p l e a,6ta~;i ~su ams i de :q . . . . . ~.4, il suff i t de r e m a r q u e r que, les d ro i t e s a l v a~ (~ ----- 2, 3, 4) dry', pas eop lana i r e s , les t r a n s f o r m 6 e s de ees d r o i t e s p a r ~ . (cf. 2.32), s s a v o i r les

8 .~ s~ l r ~ , ne son t p a s c o n c o u r a n t e s . de~ ~lt ~ la r6e iproe i t6 p r o j e c t i v e d6finie p a r ~ (a~) ~ ~i (i ~ 1 . . . . . 5). L a p e r m u t a t i o n

~ o i t e s �9 �9 �9 , ; , �9 (q~i de E m d m t e p a r z se ra auss l n o t e e 7~, de m e m e que la c o n t r a g r e d i e n t e de 7~ a~ 2 ;Pp l ique l ' e n s e m b l e des p l a n s de E sur E) . On a, en u t i l i s a n t la n o t a t i o n 7~a du

�9 '2%

: ~ ( a ~ v a y ) - - - o t ~ o t ~ - ~ , ( a ~ v a ~ ) (i ,~ ~- 1 . . . . . 5 ; i C j ) . I1 s'e~ �9 n~ ~ s.mt que la r e s t r i c t i o n de 7r s l ' e n s e m b l e des d r o i t e s e o n t e n a n t a~ co inc ide avec 0~' ~o~t a un p o i n t q u e l c o n q u e d e / 1 , d i s t i n c t des a~, e t ~ le p l a n t a n g e n t "~ 1" en a,

1,:n a(a~ v a) ~_ a~ (~ ~, d o n e 7r(a) - - :r A p r6sen t , il e s t c l a i r que la r e s t r i c t i o n d e xr rel.:~)semble des d r o i t e s c o n t e n a n t a co inc ide avee ~a. ]?our t o u t p o i n t c de E , la

r l - _

at~asi c ~r e n t r a i n e a v c r ~ , d o n e a ~ ~ra(a v c) = ; r ( a v c) --~ a (~ ;r(c), d o n e Pro' a ~ ~(c) ; p a r cons6quen t , ~(:r = a. Ceei 6 r a n t v r a i p o u r t o u t p o i n t a e F , la ~J~Ct iv i t6 n~ es t l l i den t i t 6 (2.2), c ' e s t -~ -d i r e clue ~z es t une po la r i t 6 . E l l e ne p e u t

" ~ ol ' ' " �9 �9 �9 da ,o , p ar~te p a r r a p p o r t h u n e q u a d n q u e , s m o n 1 ( d e n t les p o i n t s s e n t e o n t e n u s elle~ ~ image p a r ~-)-serMt c o n t e n u clans ee t t e q u a d r i q u e , d o n e co ine ide rMt avee

~~ P a r onse en t e s t u n e o l a n t e halle ~ , t a u x h y p o t h 6 s e s fa i t e s (2.15). c ' q u ,, ~r , p " ' tan , e ~o~t ~ u n p l a n s6ean t ~ F c o n t e n a n t A. Le p o i n t de r e n c o n t r e des p l a n s do;~ ~ts. a P e n los p o i n t s de F ~ ~' , qu i n ' e s t a u t r e que ~ (zr a p p a r t i e n t k ~ e t s ~ ' , i r~6d iA , Par eons6q u e n t oar. K = 2 (2.30). L a de rn i6 re a s s e r t i o n de l ' 6nonc6 r6su l te

~ t e n a e n t de 2.30.

2.84 L'o �9 verde ~i. e~t une a-quadrique par/aite, pour un endomorphisme a de K con-

Venableraent chefs

150 J. TITS ARCH. ~h~'

Soient a e t b tels que les t angen tes t r ans i t i ves A e t B ne soient pas concouranf~ (2.20). Choisissons le sys tSme de eoordonn6es d u n ~ 2.12 de te l le fa9on que le point b, la dro i te B e t le p l an t a n g e n t I ' en b a ient r e spec t i vemen t pour 6quat ions x ~ Y ~ = z = 0, y ~- z ~ 0 et z ~ 0. Soi t ~ le p l an t a n g e n t ~ /~ en a, e t soit z la polar i t6 null0 d6finie au n ~ 2.33. On a ~ (a ) = ~, ~(b) = / 5 , 7~(A) = A e t ~ ( B ) ---- B. I1 s,e~suit que ~ a une 6qua t ion de la forme 1 �9 X A Y + Z A T = 0 . E n e x p r i m a n t que ~ e!t i nva r i an t e p a r le g l i ssement 2.13 (i), on vo l t que l n ' e s t au t r e que la eons tan te t011e que ~(t) = lt. Qui t t e ~ mul t ip l i e r les coordonn6es y e t z p a r des cons tantes 0o~" venables , nous pouvons supposer q u e / ( 1 ) = 1 = I.

Soi t g : K --> K la fonct ion d6finie p a r

g(0) = 0 , g C x ) = / ( x ) . x - 2 ( , .~ .0) .

Soient r, s deux 616ments de K que nous supposerohs p rov i so i r emen t non ~ s , c (resp. d) le po in t de coordonn6es non homog6nes (r, O,/(r)) (resp. (s, O,/(s) ))' C (resp. D) la t angen te t r ans i t i ve en ce point , y le p l an d ' 6qua t ion x = r, ~ 10 101~ cparall61e~> h a v C c o n t e n a n t d (c 'es t -k-dire le p lan d v (~ ~ (a v C) ) ), c l l e (~second* po in t d ' i n t e r sec t ion de la dro i te y n b a v e c / 1 (le (~premier~ 6 t an t a), C1 la tang ~ t r ans i t i ve en el, et C~ (resp. B ' ) la t angen te en Cl (resp. b) qui rencont re A. En v e ~ de 2.24, les dro i tes C et D r encon t r en t B ' . Pou r la mSme raison, D rencontre 6'1; en offer, le g l i ssement d ' a x e A qui a m i n e c e n cl t r ans fo rme a v c en 6, do# 6 = a v Cl e t d e a v C1. Le po in t C r B ' a pou r eoordonn6es (0, rg (r), 0) ; s i r ~ 0 c 'es t 6vident , s inon il suffit de r e m a r q u e r que C ~ B ' = n ( c ) n B' , e t que ~(c) a pour 6quat ion

z = r y + / ( r ) .

De m~me, le po in t D ~ B ' a pour eoordonn6es (0, 8g(s), 0). Le p l an a v C a 1 ~176176 6qua t ion y = g (r) . (x + r) ; s i r = 0 c 'es t 6vident , s inon il suffit d ' e x p r i m e r que 10 Pla, ~

' , $ ~, en quest ion con t i en t a, c et C r B . Le p l an r paral lSle au pr6c6dent et eontena~

6vidcnt , s inon il suffit de se r appe le r que D jo in t les po in ts d at D n B ' dent i~s coordonn6es s en t connues E x p r i m o n s que D (~ y, qui n"est au t re que D ~ v~: a p p a r t i e n t au p lan t a n g e n t ~(c~) d 6 q u a t i o n z = ~ x + ry + t; il v ient , toa r6duct ions fai tes,

reg(s) + rZg(r) + z ( ( r + s ) .g ( r ) ) = O.

E n a j o u t a n t membres s membres ce t te re la t ion et celle qu 'on en d6dui t en fa is#~ s = 0, on t rouve , eompte t enu de 2.13 (ii),

(i) r2ff(s) = Z(sf f ( r ) ) .

E n par t icul ier , pou r r = 1,

(~) ~ (s) = x (s).

t )our s = 1, la re la t ion (i) s '6er i t alors

(iii) X (X (r)) - - r~.

Vol. XVII, 1966 Propri&6 Caract~ristique des Ovoi'des 151

I)'aatre Part, en posant s -~ z (r ' ) dans (i), on trouve, compte tenu de (fi),

Z(z(r ) " z (r ' ) ) = r 2 r ' 2 _~_ Z(z ( r r ' ) ) ,

d'eh, en vertu de 2.13 (ii),

Z(z (r ) . z (r ' ) - - z ( r r ' ) ) = O.

La droite x = z ~ 0 6tant tangente "~ if, on a Z -1(0) = {0} ; la relation pr6c6dente l~r done encore s'6erire

(iv) Z(rr ') = z(r ) " z(r ') �9

Les relations (iii), (iv) et 2.13 (ii) montrent que Z est un endomorphisme de K dent le earr~ est l 'endomorphisme de Frobenius, et l'6nonc6 r6sulte slots de (ii).

3, l}dmonstration du th~orbme 2.

3.1. ~otations. D Oevaents, E un e sp : ; : ce paragraphe, K = F~ d6signe lc corps fini de g = pr projectif de dimension n sur K, 1" un ovoide dans E (on

sUPPose qae E en contient un) et F un plan affin sur K.

~.2. La dimension n de E est au plus ~gale d 3. S i eUe est dgale d 3, Y est une quadrique ou bien p ~ 2 et q ~ 8.

~ e 1"1o " �9 r~s,,n mbre de points de 1 est qn-1 q_ 1. Si q * 2, notre proposition exprime des thi;t;~ts de A. BA~LO~TX [1] et ]3. SEaRE [3, n ~ 21]. Si q = 2, e]le se ddduit ais6menf, du ~ne ~e~ e 4.1.2 de [4], compte tenu du fair qu'un ovoide plan sur F2 est manifestement tlitn_e~ et qu'il n'existe pas d 'hyperquadrique ovale dans un espaee projeetif de

eaSlou n ~ 4 sur un corps fini.

A ~: 8oit G u n groupe transiti[ de eollindations de F. S i G contient u n e a/finit6 d' ordre tra~:~, er diffgrent de p possddant un unique point fixe, il eontient aussi un grouse

'~zti] d'a]finitds de F.

& d I G0 le gronpe des affinit6s de F eontenucs dans G. Ce groupe ~tant distingu6 ", sea orbites sent permut6es entre elles par G. I1 s'ensuit que routes les orbites

~:el, /aerae nombre de points et que ee nombre est une puissance de p. Mais slots, 0rbi,~enaent z~ e GO, d'ordre premier diff6rent de p, poss~de un point fixe dans ehaque ~r . . . . : 1 ~ poss~de un seul point fixe dens F, G o n a qu une orbite et est done

~r:u~" ~ 8Oient G u n p-grouTe transiti[ de collindations de _Pet m l'indice dana G du sous. d ~ , ; ~ ~es a]finitds qu'il contient. Alors, il existe une direction D invariante par G, et si [

~ ; te ~ombre des translations dans la direction D contenues dans G, on a 1 ~ qm -1 _~ . En partieulier, l ~ 3, sau[ peut-~tre si q = 2 ou 4.

~B c a r ~" ~ ~ o i , ~ hal q q- 1 de l'enscmble des directions n 6tant pas multiple de p, G poss~de

~'o: "~ nxe D dans eet ensemble. (res:'e,~a~. ~ l'ensemble de toutes les droites parallSles h D, A l 'une d'elles et GA ~ ua) le groupe des 616ments de G (resp. le groupe des affinit6s contenues dans G)

uUaServent .4. Le groupe G~ est transitif sur A, donc 44 GA ~ q. D'autre part ,

152 J. Trrs ^ncm U.~TU.

[GA: G ~ -'> m. Si G ~ se compose un iquement de translations, il en rSsulte que l = # ~,1~~ ~ qm-1. Supposons au contraire quc G~; eontiennc une affinitd Jr qui ne s0i~ pas une translation. On v6rifie ais6ment (par exemple par le ealeul) que le emnrnUta" teur (jr, o) de Jr ct d 'une affinit6 unipotente queleonque 9 conservant D est u~e translat ion darts la direction D et clue deux tels eommutateurs , (Jr, 9) el, (g, if')' coincident si et seulement si 9 et 9' induisent la mSme t rans tbrmat ion de 3 . iI s,ensai~ (luc 1 est au moins 6gal h l 'ordre du groupe des permuta t ion de ~ induites par leS affinit6s contenues dans G. Or ce groupe est, d indict m au plus dans le groupe de toutes les permutat ions de ~ induites par G, lequel est t ransi t i f sur 3 , done au moils d 'ordre q, et on en d6duit ~ nouveau que 1 ~ qm 1. Enfin, m est au plus 6gal h l'ordre r du groupe des automorphismes de K, done qm - t >= qr -1.

3.5. Soil n = 3. Supposons que le groupe des collin~ation~s" de E conservant l" soil doublement transiti/ sur 1'. A lors, 17 poss~de au moins une tangente transitive en ehacaa de ses points.

En vertu de 3.2, nous pouvons supposer que p = 2 et q r 2,4. Pour tou t P ~ ( a c 1 , nous rioter )us Fa le plan affin dont les points reprSsentent les droites passa~f ~

et sScantes '~ 1 ', et Ga (resp. G n) le groupe des collin~ations (resp. des affinitSs) c o n s e r v a n t / l e t a. Par hypothgse, le groupe Ga est t ransi t i f sur Fa, et il en est done de m6me de ses 2-sous-groupes de Sylow, puisque le cardinal de Fa est une puissance de 2. Pour tou t a ~ F, choisissons un 2-sous-groupe de Sylow Sa de Ga et une direction/).~ dans Fa invariante par Sa (cf. 3.4). Soil Ia l 'ensemble des 516ments de Ga qui indtfise~l sur Fa une translation, dist incte de l ' identit6, dans la direction Da, ct soil I la rSU ~i~ de t o u s l e s la. En ver tu de 3.4, Ia a au moins deux 516merits, donc I en a au r~oi~S 2(q 2 + 1). Chaquc 515mcnt de I poss~de un unique point fixe sur 1 ~ et partag e ]~ autres points de 1 ~ en ,~ q2 couples. Comme lc hombre total des couples de points de , est ,_1,. q~ (q2 @ 1 ), il y a au moins un couple de points b, c ~ F 5chang6s par de~ 515ments distincts Jr, O de I . Les involutions Jr et 0 n ' o n t pas le m~me point fixes ~r J.'

�9 , i r d e car deux 61~ments distracts d un mdme I a n e peuvent manifes tement pas avo . couple commun sur _F, donc 7~ et 9 ne commuten t pas et leur produi t ~ = ~e ne~: pas d 'ordre 2. La projectivit6 T induit sur Fb une affinit5 poss4dant un point fixe (l point reprdsentant l~ droite b v c) ; il s 'ensuit, t enan t compte de 2.3, que 1 ordre ~ n 'es t pas une puissance de 2, donc que T poss~de une puissance, soil v', dont l 'ordre eS~ un hombre premier impair. E n ver tu de 2.4, l 'affinit4 de F~ induite par ~' possgde ~oe seul point fixe, et il rSsulte de 3.3 que GI~ opSre t rans i t ivement sur Fb. I1 e n e s t alor2 de mSme du 2-sous-groupe de Sylow S o = Sb n G o de G n, pour la raison indiq~.e~ plus haul. En vcr tu de 3.4, le groupe d'affinitds de Fb induit par S o eontient routes le~ translat ions dans la direction de Do (on a ici m = 1) ; au t r emcn t dit, la tangente ~ ", cnb qui correspond "s Do est transitive. Par raison d'homog6n~it~, _Pposs~de au ~oi~' une t~ngente t ransi t ive en chaeun de ses points.

3.6. Soit n = 2. S i le groupe des collindations de E conservant 1' est douUO~O~t transiti[ sur 1', il eu est de mgme du troupe des pro~ectivitds conservant F, et 1 ~ est r conique.

Les tangentes h 1 ' se coupent routes en un point a (cf. [3], n ~ 113), el, pour raiS0~

Vol. XVII, 1966 t'ropri6t6 Caract6ristique des Ovo'/des 153

e [ l [ n . f l ~ ' , ,

de E"e ratlve,~o toute droite passant par a est tangent, e '~ F. Le groupe des eol lin6ation est d:~ errant 1", consid6r6 comme op6rant sur le pinceau des droites contenaut a, dOllhLl:~ble!nen$ transltlf, done cont lent PSL2(K) (e:[. [6[, n~ qul est aussl 3 1 ~'~'"en--~, u ~ransitif. La derni6re assertion de 1 6none6" r6sulte alors du t.hdor6me

�9 '" ~ e [ 4 ] .

3,7. Le th6or6me 2 r6sulte immSdia tement de 3.2, 3.5, 3.6 et du th6or~me 1.

[I]

[q

A.] 10, 9.]

J.~

J.~

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