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Université d’Angers. DEUG STU2. fluide 1. 0. fluide 2. x. P1 – Réflexions & transmissions aux interfaces. 1/21. IV – Réflexions et Transmissions aux interfaces. Il est ici question du comportement d’une onde à l’interface de deux milieux de propagation différents. - PowerPoint PPT Presentation
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Université d’AngersUniversité d’Angers
DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions & transmissions aux interfacesP1 – Réflexions & transmissions aux interfaces
IV – Réflexions et Transmissions aux interfacesIV – Réflexions et Transmissions aux interfaces
Il est ici question du comportement d’une onde à l’interface de deux milieux de propagation différents.
1 – Interface fluide-fluide1 – Interface fluide-fluide
Considérons l’interface entre deux fluides (1) et (2), de masses volumiques 1 et 2 , et de compressibilités 1 et 2 .
fluide 1
fluide 2
11,
22, 0
x
iU
tU
rU
1/21
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DEUG STU2DEUG STU2P1 – Réflexions & transmissions aux interfacesP1 – Réflexions & transmissions aux interfaces
11,
22, 0
x
iU
tU
rUPuisqu’il s’agit de fluides, les ondes propagées sont toutes longitudinales. On a donc les vitesses de propagation suivantes :
111 1 c 222 1 cet
En arrivant sur l’interface, l’onde incidente Ui donne naissance à une onde réfléchie Ur et une onde transmise Ut.
Afin de formaliser le comportement de l’onde à l’interface, il nous faut exprimer les vibrations en notation complexe :
Puisque : ierz sinicos r
et que :
cx
tUtxU xx cos),( 0
cx
tUcx
tUtxU xxx sinicos),( 00
cx
tU x iexp0
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On peut alors écrire l’expression complexe des trois ondes impliquées dans le passage à l’interface :
01
exp ii i
xU U t
c
01
exp ir r
xU U t
c
02
exp it t
xU U t
c
on tient compte du sens de propagation et de la nature du milieu de propagation.
Définissons les coefficients de réflexion et de transmission pour les amplitudes de vibration :
0
00
0
00
rrU
i ix
t tU
i ix
UUr
U U
U Ut
U U
coefficient de réflexion
coefficient de transmission
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Comme on doit vérifier la continuité des amplitudes à l’interface :
0 0i r tx x
U U U
0 0 0i r tU U U
De même, on doit vérifier la continuité des pressions acoustiques :
0 0i r tx x
p p p
1
1 ii
Up
x
1
1 rr
Up
x
2
1 tt
Up
x
où
01
exp iii
U xU t
x x c
0
1 1
iexp ii
xU t
c c
01 1 1
i exp ii i
xp U t
c c
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On trouve de même :
01 1 1
i exp ir r
xp U t
c c
et 0
2 2 2
i exp it t
xp U t
c c
donc : 0 0i r tx x
p p p
0 0 01 1 2 2
i ii r tU U Uc c
Soit encore : 1 10 0 0
2 2i r t
cU U U
c
Définissons alors les coefficients de réflexion et de transmission pour les amplitudes de pression acoustique :
0
00
01 1
2 2 00
rrp
i ix
t tp
i ix
Upr
p U
p Uct
p c U
1 1
2 2
p U
p U
r r
ct t
c
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0 0 0i r tU U U
1 10 0 0
2 2i r t
cU U U
c
0
0
rU
i
Ur
U
p Ur r
Bilan : 0
0
tU
i
Ut
U
1 1
2 2p U
ct t
c
par soustraction par addition
1 10 0
2 2
2 1r t
cU U
c
1 10 0
2 2
2 1i t
cU U
c
0 1 1 1 1
2 2 2 20
1 1r
i
U c cc cU
2 2 1 1
2 2 1 1U
c cr
c c
0
1 10
2 2
2
1
t
i
UcUc
2 2
1 1 2 2
2U
ct
c c
On en déduit aussi :
2 2 1 1
2 2 1 1p
c cr
c c
1 1
1 1 2 2
2p
ct
c c
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En fonction des impédances acoustiques, on a :
1 1 11 1
1Z c
c
2 2 2
2 2
1Z c
c
2 2 1 1 2 1
2 2 1 1 2 1
1 11 1U
c c Z Zr
c c Z Z
1 2
1 2
Z ZZ Z
2 2 2
1 1 2 2 1 2
2 21 1U
c Zt
c c Z Z
1
1 2
2ZZ Z
2 1
1 2p U
Z Zr r
Z Z
1 1 2
2 2 1p U U
c Zt t t
c Z
2
1 2
2ZZ Z
1 2
1 2U
Z Zr
Z Z
1
1 2
2U
Zt
Z Z
2 1
1 2p
Z Zr
Z Z
2
1 2
2p
Zt
Z Z
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Définissons à présent les coefficients de réflexion et de transmission relatifs aux intensités acoustiques :
20
2p
IZ
00
12
pp
Z
0 0 0p c U Z U
0 0
12
I U p
Donc :
r
i
IR
I 0 0
0 0
r r
i i
U pU p
U pr r2
1 2
1 2
Z ZR
Z Z
t
i
IT
I 0 0
0 0
t t
i i
U pU p
U pt t
1 22
1 2
4Z ZT
Z Z
Les coefficients de réflexion et de transmission, qu’ils soient relatifs aux amplitudes de vibration, de pressions acoustiques ou aux
intensités, dépendent uniquement des impédances acoustiques des fluides se trouvant de part et d’autre de l’interface.
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Remarque :
Comme l’interface n’absorbe pas d’énergie, on doit vérifier que
i r tI I I 1 tr
i i
III I
1 R T
Vérification :
2
1 2 1 22
1 2 1 2
4Z Z Z ZR T
Z Z Z Z
2 21 2 1 2 1 2
2
1 2
2 4Z Z Z Z Z Z
Z Z
2 21 2 1 2
2
1 2
2Z Z Z Z
Z Z
2
1 22
1 2
1Z Z
Z Z
CQFD
Voyons les conséquences pour les cas limites…
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2
1 2
1 2
Z ZR
Z Z
1 22
1 2
4Z ZT
Z Z
Si les impédances acoustiques des deux milieux sontidentiques (Z1=Z2), alors on remarque que R = 0 et T =1.
Il n’y a donc pas de réflexion, l’onde est totalement transmise d’un milieu à l’autre. On dit qu’il y a adaptation d’impédance.
Si Z1<<Z2, alors on a R 1 et T 0 : il y a réflexion totale.
Si Z1>>Z2, alors on a R 1 et T 0 : il y a réflexion totale.
On constate alors que la transmission est d’autant plus grande que les impédances acoustiques des deux milieux sont proches.
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Illustration :
Z1 = Zair = aircair = 1,294x331 = 428 kg.m-2.s-1
Z2 = Zsol = solcsol 2500x6000 = 1,5.107 kg.m-2.s-1
Z3 = Zeau = eauceau 1000x1500 = 1,5.106 kg.m-2.s-1
Z1 << Z3 < Z2
Donc:
Tair-eau 10-3 et Rair-eau 1 il y a quasiment réflexion totale.
Tsol-eau 0,33 et Rsol-eau 0,67 les vibrations du sol sont en partie transmises dans l’eau.
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2 – Interface solide-fluide2 – Interface solide-fluide
Si on se place dans la configuration où Zsolide>>Zfluide, alors on peut admettre qu’il y a pratiquement réflexion totale à l’interface.
On considère alors une onde incidente transversale dans le milieu solide :
0
solide
fluide
z
ik
TiU
Trk
TrU'
LrU
Lrk
Après réflexion à l’interface, l’onde transversale donne naissance à deux ondes :
une transversale
une longitudinale
La direction prise par ces deux ondes est régie par la loi de Snell-Descartes…
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0
solide
fluide
z
ik
TiU
Trk
TrU'
LrU
Lrk
Loi de Snell-Descartes :
2
2
1
1 sinsinvv
Milieu (1) Milieu (2)
Or, ici il s’agit d’un seul et même milieu, mais dans lequel la vitesse de propagation diffère selon la nature de l’onde.
Donc :TT vv
'sinsin '
et :LT vv sinsin
sinsinT
L
vv
sin
onde incidentetransversale
onde réfléchietransversale
onde réfléchielongitudinale
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0
solide
fluide
z
ik
LiU
LrkL
rU'
TrU
Lrk
LL vv'sinsin
'
TL vv sinsin
sinsinL
T
vv
sin
Si l’onde incidente est longitudinale, on a :
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3 – Interface solide-solide3 – Interface solide-solide
On considère deux milieux solides (1) et (2) caractérisés par les vitesses de propagation longitudinales et transversales (vL1,vT1) et (vL2,vT2).
On supposera que les vitesses dans le milieu (1) sont inférieures à celles dans le milieu (2).
Solide (2)
z
Lik L
i
Ttk
Ltk
Solide (1)
Lr
Tr
Lrk
Trk
Lt
Tt
11
sinsin
L
Lr
L
Li
vv
Li
Lr
11
sinsin
T
Tr
L
Li
vv
Li
Tr
21
sinsin
L
Lt
L
Li
vv
Li
Lt
21
sinsin
T
Tt
L
Li
vv
Li
Tt
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4 – Application à l’étude des séismes4 – Application à l’étude des séismes
L’étude de la propagation en milieu solide a montré qu’on pouvait distinguer deux vitesses de propagation :
onde longitudinale : vitesse la plus grande onde P (primae)
onde transversale : vitesse la plus faible onde S (secundae)
De part la nature transversale de leurs vibrations, les ondes S sont les plus intenses… donc les plus destructrices.
Toute onde sismique est généralement de très basse fréquence (qq Hz).
L’application directe des différents principes vus dans ce cours n’est pas suffisante ; les raisons principales sont les suivantes :
Le globe terrestre n’est pas un matériau homogène
diversité géologique de la croûte terrestre structure en couches
vitesses de propagation très variées
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Effet de la pression au sein d’un même matériau (par exemple le manteau), la pression augmente avec la profondeur la densité (masse volumique) et les coefficients de Lamé augmentent
alors avec la pression et la profondeur :
globalement, les vitesses augmentent avec la profondeur
Effet des discontinuités
Les discontinuités telles que le passage du manteau solide au noyau externe liquide provoquent des effets complexes dont le plus simple est par exemple l’extinction des ondes S lors de la transmission d’un milieu solide à un milieu liquide.
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S
P
P
0
2
4
6
8
10
12
14
2000 4000 6000profondeur (km)
vit
ess
e (
km.s
-1)
Manteau(solide)
Noyau externe(liquide)
Noyau interne(solide)
Croûte
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Courbure des rais sismiques
L’augmentation continue de la vitesse de propagation avec la profondeur a pour effet la courbure des rais de propagation.
A titre de démonstration, considérons l’interface entre deux milieux caractérisés par des vitesses de propagation voisines :
vv+dv
d
vvv d)dsin(sin
sind
)dsin(v
vv sin
d1
vv
sin)dsin( 0d
Les rais de propagation (rais sismiques) se courbent progressivement avec la profondeur.
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A l’échelle du globe, s’il n’y avait pas de discontinuité, on observerait :
globe parfaitementhomogène
vitesse croissante avec la profondeur
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En tenant compte des discontinuités et de la courbure des rais sismiques, les choses se compliquent…
P
PPPkikP
PkP
PcP
Conventions d’écriture :
P : onde directe
PP : une réflexion en surface
PcP : une réflexion sur le noyau externe (core)
PkP : une transmission par le noyau externe (kern)
i : transmission par le noyau interne (innercore)
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