UNIVERSITE DE M’SILA DEPARTEMENT …virtuelcampus.univ-msila.dz/factech/wp-content/uploads/2016/04/... · REMERCIEMENTS Le travail présenté dans cette thèse a été effectué

UNIVERSITE DE M’SILA FACULTE DE TECHNOLOGIE

DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE

THESE

Présentée par : ZEGHLACHE Samir

En vue de l’obtention du

DOCTORAT

Spécialité : Electronique

Intitulé : Commande non linéaire d’un appareil à vol

vertical

Soutenue le : 23/09/2014 devant le jury composé de :

Djamel CHIKOUCHE Professeur - Université de M’sila Président

Djamel SAIGAA Professeur - Université de M’sila Rapporteur

Kamel Kara Maître de conférences A - Université de Blida Co-Rapporteur

Farid KHABER Professeur - Université de Sétif Examinateur

Abdelkrim ALLAG Professeur - Université de Biskra Examinateur

Amar MEZACHE Professeur - Université de M’sila Examinateur

Promotion : 2013/2014

REMERCIEMENTS

Le travail présenté dans cette thèse a été effectué au LASS, Laboratoire d’Analyse des

Signaux et Systèmes de l’université de M’sila.

Je tiens d' abord à exprimer toute ma gratitude et ma reconnaissance à

Monsieur SAIGAA Djamel, Professeur à l’université de M’sila, pour m’avoir encadré et

soutenu durant ces années de thèse. Je le remercie aussi pour son aide précieuse, les

conseils et les connaissances dont il a su me faire profiter. Il m’est difficile d’exprimer

en quelques mots toute l’admiration que je lui porte.

Je suis extrêmement reconnaissant à Monsieur KARA Kamel, Maître de

conférences (A) à l’université de Blida, pour avoir accepté d’être mon co-directeur de

thèse. Ses très nombreux commentaires et suggestions ont considérablement amélioré à la

fois le contenu et la présentation de cette thèse. Qu’il reçoit ici le témoignage de toute ma

gratitude pour ses grandes qualités humaines et pour son soutien moral.

Je remercie Monsieur CHICOUCHE Djamel, Professeur à l’université de M’sila

pour l’honneur qu’il me fait en présidant ce jury, et par son esprit scientifique de haut niveau,

pour m’avoir orienté vers le plus approprié.

J’adresse également mes très sincères remerciements à l’ensemble des membres pour

l’honneur qu’ils m’ont fait pour avoir accepter de faire partie de ce jury en acceptant

d’examiner et d’évaluer cette thèse. J’exprime mes vifs respects au Monsieur KHABER

Farid, Professeur à l’université de Sétif, au Monsieur ALLAG Abdelkrim, Professeur à

l’université de Biskra, au Monsieur MEZACHE Amar, Maître de conférences (A) à

l’université de M’Sila. Soyez assurés messieurs les membres du jury de ma profonde

reconnaissance pour l’attention que vous avez portée à cette thèse et pour le temps que vous

avez consacré à son évaluation.

Je tiens également à remercier l’ensemble des personnels administratifs et enseignants

des départements d’Electronique et de Génie Electrique ainsi que le directeur et les membres

du Laboratoire d’Analyse des Signaux et Systèmes de l’Université de M’Sila, qui resteront

anonymes dans cette page, mais qui m’ont permis de mener à terme ce travail dans une

ambiance très amicale.

Je tiens à remercier tous ceux qui ;

D'une façon ou d'une autre, m'ont aidé pendant l’élaboration de cette thèse,

Certains par leurs conseils et leurs connaissances scientifiques…

D’autres par leur soutien permanent et leur disponibilité…

Dédicaces

A la mémoire de mon père Mohamed

A ma chère mère Assia

A ma femme Asma et ma petite fille Assia

A mes sœurs Imene, Nawel, Wafa, Amira

I

Table des Matières Table des Matières………………………………………..………………….…………… I

Liste des Figures……………………………………………………………………………....... VI

Liste des Tableaux……………………………………………………………………………… XIV

Introduction générale………………………………………..…………………………. 1

Chapitre I : Etat de L’art

I.1. Introduction…………………………………………………………………………. 6

I.2. Classification des drones……………………………………………………………. 6

I.2.1. Classification selon la taille………………………………………………. 6

I.2.2. Classification selon le mode de propulsion……………………………… 7

I.3. Applications et utilisation………………………………………………………….. 10

I.3.1. Applications militaires…………………………………………………… 10

I.3.2. Applications civiles……………………………………………………….. 12

I.4. Technologie des capteurs pour la localisation des drones………………………….. 13

I.4.1. Capteurs Proprioceptifs………………………………………………….. 13

I.4.1.1. Accéléromètres………………………………………………….. 13

I.4.1.2. Gyroscopes……………………………………………………… 13

I.4.1.3. Centrales inertielles (IMU : Inertiel Measurement Unit)………. 14

I.4.2. Capteurs Extéroceptifs…………………………………………………… 14

1.4.2.1. Compas magnétiques………………………………………….. 14

I.4.2.2. Gyrocompas……………………………………………………. 14

I.4.2.3. Localisation sur balises (GPS : Global Positioning System)…. 14

I.4.2.4. Capteurs télémétriques……………………………………….... 15

I.4.2.5. Caméra………………………………………………………….. 15

I.5. Commande des drones…………………………………......................................... 16

1.5.1. Les techniques de commande linéaires………………………….. 16

1.5.2. Les techniques de commande non linéaires……………………... 17

I.6. Conclusion…………………………………………………………………….......... 20

Chapitre II : Modélisation D’hélicoptère à Deux Degré de Liberté et Six Degré

de Liberté

II.1. Introduction………………………………………………………………………… 22

II.2. Modélisation d’un hélicoptère a deux degré de liberté de type TRMS 33-007-

4M5………………………………………………………………………………..

22

II

I.2.1. Description du TRMS 33-007-4M5………………………………………. 22

II.2.2. Modèle non linéaire………………………………………………………. 23

II.2.3. Sous système d’élévation…………………………………………………. 23

II.2.3.1. Moment gravitationnel 1vM ………………………………........ 24

II.2.3.2. Moment de la force aérodynamique 2vM …………………........ 25

II.2.3.3. Moment des forces centrifuge 3vM …………………………...... 26

II.2.3.4. Moment de friction 4vM ……………………………………...... 28

II.2.3.5. Moment d’inertie vJ ………………………………………….... 28

II.2.4. Sous système d’azimut…………………………………………………… 28

II.2.4.1. Moment de la force aérodynamique……………………………. 29

II.2.4.2. Moment de friction…………………………………………....... 29

II.2.4.3. Moment d’inertie……………………………………….............. 30

II.2.4.4. Dynamiques des propulseurs (hélices + moteurs DC)………..... 30

II.2.5. Modèle d’état……………………………………………………………… 32

II.2.6. Le modèle découplé………………………………………………………. 33

II.2.6.1. Modèle 1 DDL vertical…………………………………………. 33

II.2.6.2. Modèle 1DDL horizontal……………………………………….. 34

II.2.7. Paramètres du modèle…………………………………………………...... 34

II.2.8. Réponse en boucle ouverte……………………………………………...... 36

II.3. Modélisation d’un quadrotor a six degrés de Liberté……………………………..... 36

II.3.1. Les possibilités de vol du quadrotor……………………………………… 36

II.3.2. Modèle Dynamique……………………………………………………...... 38

II.3.3. Dynamique du rotor………………………………………………………. 41

II.4. Conclusion………………………………………………………………………….. 44

Chapitre III : Commande par Linéarisation Entrée-Sortie

III.1. Introduction…...…………………………………………………………............... 45

III.2. Commande par linéarisation entrée-sortie……….…………....………….............. 45

III.2.1. Commande par linéarisation entrée-sortie des systèmes monovariables... 45

III.2.1.1. Degré relatif ………………………………………………….... 45

III.2.1.2. Dérivée de Lie………………………………...………………... 46

III.2.1.3. Forme normale……………………………...……………......... 47

III.2.1.4. Linéarisation exacte par régulation d'état statique…………….. 49

III

III.2.1.5. Linéarisation exacte d'un système en forme normale…………. 49

III.2.1.6. Linéarisation exacte d'un système en forme quelconque...……. 50

III.2.2. Commande par linéarisation entrée-sortie des systèmes multivariables… 51

III.3. Commande par linéarisation entree-sortie appliquées au TRMS………………..... 52

III.3.1. Calcule du degré relatif ……………………………………………..…… 52

III.3.2. Synthèse de la loi de commande…………………………..…………….. 53

III.3.3. Résultats de simulation…………………………………………………... 54

III.4. Commande par linéarisation entrée-sortie appliquées au quadrotor…………….... 56

III.4.1. Stratégie de commande……………………...…………………………… 56

III.4.2. Synthèse de la commande par linéarisation entrée-sortie……………….. 57

III.4.2.1. Sous système de translation…………………………...…........ 57

III.4.2.2. Sous-système d’orientation……………………..…………….. 59

III.4.3. Résultats de simulation………………………………...………………… 61

III.5. Commande par linéarisation entrée-sortie avec extension dynamique appliquée au

quadrotor………….……………………………………………………………….

64

III.5.1. Synthèse de la commande Modèle simplifié du quadrotor……………… 64

III.5.1.1. Commande des postions (x, y, z) et des angles (φ,θ)…………... 65

III.5.1.2. Commande de l’angle (ψ)…………………………………….... 66

III.5.2. Résultats de simulation…………………………...……………………… 67

III.6. Conclusion……………………………………...…………………………............. 70

Chapitre IV : Commande par Mode Glissant

IV.1. Introduction …………………………………………..……………….................... 72

IV.2. Commande par modes glissants d’ordre simple…………………………………... 72

IV.2.1. Choix des surfaces de glissement………...…………………………….... 73

IV.2.2. Condition de glissement……………...………………………………...... 73

IV.2.3. Calcul de la commande………………..……………………………….... 74

IV.2.4. Expression analytique de la commande………………………..……...... 75

IV.2.5. Elimination du phénomène du chattering………………………..………. 76

IV.2.6. Différentes structures de la commande par mode de glissement…........... 77

IV.2.6.1. Structure par commutation au niveau de l’organe de

Commande………………………………………………….......

77

IV.2.6.2. Structure par commutation au niveau d’une contre réaction

d’état……………………………………………………………..

78

IV

IV.2.6.3. Structure de régulation avec ajout de la commande

équivalente……………………………………………………...

78

IV.3. Commande par mode glissant avec des surfaces de glissement non linéaires

appliquée au TRMS……………………………………………………………......

79

IV.3.1. Surface de glissement non linéaire proposée…………………................ 79

IV.3.2. Synthèse de la commande……………………………………………...... 80

IV.3.3. Résultats de simulation………………………………………………...... 83

IV.4. Commande par mode glissant avec des surfaces de glissement non linéaires

appliquée au quadrotor............................................................................................

85

IV.4.1. Surface de glissement non linéaire proposée……………………….…… 85

IV.4.2. Synthèse de la commande……………………..……………………….... 86

IV.4.3. Résultats de simulation……………………………..…………………… 87

IV.5. Principe de modes glissants d’ordre supérieur…………….……………………… 90

IV.5.1. Position du problème…………………………..………………………… 91

IV.5.2. Mode glissant d’ordre deux…………………..……………………..….... 92

IV.5.3. Conditions de convergence en temps fini…………………………..……. 93

IV.5.4. Algorithmes de commande glissant d'ordre deux (Super Twisting)…….. 94

IV.6. Commande par mode glissant d’ordre deux appliquées au TRMS……………….. 95

IV.6.1. Résultats de simulation…………………………………………..……… 96

IV.7. Commande par mode glissant d’ordre deux appliquées au quadrotor……………. 98

IV.7.1. Résultats de simulation……………………………….…………………. 98

IV.8. Conclusion………………………………………………………………………… 101

Chapitre V : Commande par Mode Glissant Flou et Commande Par

Backstepping

V.1. Introduction………………………………………………………………................ 103

V.2. Commande par mode glissant flou…………………………………........................ 103

V.2.1. Mise en œuvre de la commande par mode glissant flou………………….. 104

V.3. Commande par la methode du backstepping……………………………………….. 107

V.3.1. Cas des systèmes d’ordre n……………………………………………………….. 110

V.3.2. Association des commandes mode glissant et backstepping…………………...... 111

V.3.3. Association des commandes mode glissant flou et backstepping……………….. 111

V.4. Commande d’un hélicoptère a deux degrés de liberté de type TRMS 33-007-

4M5………………………………………………………………………………….

112

V

V.4.1. Commande par mode glissant flou……………………………………….. 112

V.4.2. Résultats de simulation…………………………………………………… 113

V.4.3. Commande par mode glissant et backstepping …………………………. 115


V.4.5. Commande par mode glissant flou et backstepping……………………… 121


V.5. Commande d’un hélicoptère a six degrés de liberté de type quadrotor…………… 124

V.5.1. Commande par mode glissant flou……………………………………….. 124


V.5.3. Commande par mode glissant et backstepping………………………….. 128


V.5.5. Commande par mode glissant flou et backstepping……………………… 134


V.6. Etude comparative…………….……………………………………………………. 137

V.7. Commande par mode glissant flou et backstepping a base d’observateur du

quadrotor…………………………………………………………………………....

140

V.7.1. Synthèse de l’observateur……………………………………………....... 140

V.7.2. Synthèse des lois de commande………………………………………….. 142

V.7.3. Résultats de simulation…………………………..……………………….. 143

V.8. Conclusion………………………………………………………………….............. 146

Conclusion Générale……………………………………............................................... 148

Bibliographie…………………………………………………………………………………… 150

VI

Liste des Figures

Figure I.1. Catégories des drones……………………………………………………… 7

Figure I.2. Classification selon le mode de propulsion……………………………….. 8

Figure I.3. avion 3D…………………………………………………………………… 8

Figure I.4. Le T-Wing (à gauche) et l’HoverEye (à droite)…………………………… 9

Figure I.5. Hélicoptères à trois hélices. Le Vectron (a), l'hélicoptère auto-stable (b)

et le Tri-rotor de Compiègne (c)……………………………………………………….

9

Figure I.6. Hélicoptères à quatre hélices: quadrirotor de pennsylvanie (a), X19 quad-

tilt-rotor aircraft (b), le drone du laboratoire IBISC (c) et le drone de la NASA (d)…..

10

Figure I.7. Support au combat : (a) coopération UAV-UGV, (b) éclaireur…………… 11

Figure I.8. Drone militaires de surveillance : (a) global hawk (North grumman, 1000

kg de charge utile) et (b) sperwer (sagem)……………………………………………..

11

Figure I.9. Le Predator, drone multi missions, utilisé par l’US Air Force depuis 1995

Figure I.10. Contrôle des Feux de forêts (a), (b) épandage engrais, (c) Surveillance

des lignes électriques…………………………………………………………………...

12

Figure II.1. Hélicoptère à deux degrés de liberté TRMS 33-007-4M5…………...…… 23

Figure II.2. Forces de gravités agissantes sur le TRMS……………………………….. 24

Figure II.3. Moments de la force aérodynamique et de friction……………………….. 26

Figure II.4. Moments de la force centrifuge…………………………………………… 27

Figure II.5. Moments des forces dans le plan horizontal……………...………………. 29

Figure II.6. Schéma bloc des moteurs……………………………………...………….. 31

Figure II.7. Schéma bloc du TRMS 33-007-4M5……………………………...……… 33

Figure II.8. Schéma bloc du modèle vertical…………………………………………... 34

Figure II.9. Schéma bloc du modèle horizontal……………………………………….. 34

Figure II.10. Réponses libres du modèle du TRMS………………………...………… 36

Figure II.11. Réponses du modèle du TRMS pour h vu u 0.5 volt et αv0=αh0=0

rad…................................................................................................................................

36

Figure II.12. Exemple type d’un quadrotor……………………………………………. 37

Figure II.13. Les mouvements du quadrotor…………………………………………... 37

Figure II.14. Configuration du quadrotor…………………………...…………………. 38

Figure III.1. Schéma d'un système monovariable en forme normale………………….. 49

Figure III.2. Linéarisation exacte par régulation d'état statique………………...……... 49

VII

Figure III.3. Schéma du système linéarisé……………………….…………………….. 50

Figure III.4. Découplage d’un système non linéaire multivariable……………………. 51

Figure III.5. Retour d’état dynamique…………………………………………………. 52

Figure III.6. Schéma bloc de la commande par linéarisation entrée-sortie appliquée au

modèle du TRMS 33-007-4M5…………………………………...……………………

54

Figure III.7. Performances de commande dans le cas d’une trajectoire carrée : (a) et

(b) réponses du système, (c) et (d) signaux de commande………………..…………...

55

Figure III.8. Performances de commande dans le cas d’une trajectoire sinusoïdale :

(a) et (b) réponses du système, (c) et (d) signaux de commande……………………...

55

Figure III.9. Performances de commande en présence d’une perturbation externe: (a)

et (b) réponses du système, (c) et (d) signaux de commande……………………..…...

56

Figure III.10. Schéma général de commande du quadrotor……………………...……. 57

Figure III.11. Résultats de poursuite, dans le cas des trajectoires de référence en

échelon, selon les axes , , ,X Y Z ……………………......…………………………….

61


échelon, selon , ……………...…………………..…………………………….......

62

Figure III.13. Signaux de commande, dans le cas des trajectoires de référence en

échelon………………………………………………………………………………….

62

Figure III.14. Vitesse angulaires des quatre rotors, dans le cas des trajectoires de

référence en échelon…………………..………………………………………..............

62

Figure III.15. Trajectoire globale du quadrotor en 3D, dans le cas des trajectoires de

référence en échelon……………………...……………………………………….........

62

Figure III.16. Résultats de poursuite, des trajectoires en forme sinusoïdale, selon les

axes , , ,X Y Z ………….………………...………………………………………........

63

Figure III.17. Résultats de poursuite, des trajectoires en forme sinusoïdale, selon

, ……………………………………………………………………………………

63

Figure III.18. Signaux de commande dans le cas des trajectoires en forme

sinusoïdale……………………………………………………………………………...

64

Figure III.19. Vitesse angulaires des quatre rotors dans le cas trajectoires en forme

sinusoïdale……………………………………………………………………………...

64

Figure III.20. Trajectoire globale en 3D (cas des formes sinusoïdales) ………………. 64

Figure III.21. Schéma bloc de la commande du quadrotor par linéarisation entrée-

sortie avec extension dynamique…………………………………….…………………

67

VIII


échelon, selon les axes , , ,X Y Z ………………………………...…………………...

67


échelon, selon , ………………………….……………………………………….

68

Figure III.24. Signaux de commande, dans le cas des trajectoires de référence en

échelon…........................................................................................................................

68

Figure III.25. Vitesse angulaires des quatre rotors, dans le cas des trajectoires de

référence en échelon……………………………………………………………………

68

Figure III.26. Trajectoire globale du quadrotor en 3D, dans le cas des trajectoires de

référence en échelon……………………………………………………………………

68

Figure III.27. Résultats de poursuite, des trajectoires en forme sinusoïdale, selon les

axes , , ,X Y Z ………………………………………………………….……………...

69

Figure III.28. Résultats de poursuite, des trajectoires en forme sinusoïdale, selon

, ……………………………………………………………………………………

69

Figure III.29. Signaux de commande dans le cas des trajectoires en forme

sinusoïdale……………………………………………………………………………...

70

Figure III.30. Vitesse angulaires des quatre rotors dans le cas des trajectoires en

forme sinusoïdale……………………………….………………………………………

70

Figure III.31. Trajectoire globale en 3D (cas des formes sinusoïdales) ………………. 70

Figure IV.1. Convergence du système glissant……………………………………… 73

Figure IV.2. Valeur continue eqU prise par la commande lors de la commutation

entre maxU et minU .………………………………………………………………..……

75

Figure IV.3. Représentation de la fonction sign……………………………………….. 76

Figure IV.4. Fonction saturation avec un seuil et deux seuils (zone morte)……...…… 76

Figure IV.5. Fonction «smooth»……………………………………………………….. 77

Figure IV.6. Structure de régulation par commutation au niveau de l’organe de

commande………………………………………………………………………………

77

Figure IV.7. Structure de régulation par commutation au niveau de la contre réaction

d’état……………………………………………………………………………………

78

Figure IV.8. Structure de régulation par ajout de la commande équivalente…………… 78

Figure IV.9. Schéma bloc de la commande par mode glissant avec des surfaces non

linéaires…………………………………………………………………………………

83

IX

Figure IV.10. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de

référence carré…………………...……………………………………………………..

84


référence sinusoïdal…………………………………………………………………….

84

Figure IV.12. Réponses du système et signaux de commande avec augmentation des

forces aérodynamiques………………………………………………………………...

85

Figure IV.13. Trajectoire dans l’espace de la poursuite : (a) d’un signal carré, (b)

d’un signal sinusoïdale…………………………………………………………………

85

Figure IV.14. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes

, , ,X Y Z ………………………………………………………………………………

88

Figure IV.15. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon , …………… 88

Figure IV.16. Signaux de commande…………………...……………………………... 88

Figure IV.17. Vitesses angulaires des quatre rotors…………………...…………......... 89

Figure IV.18. Trajectoire globale du quadrotor en 3D…………………...…………..... 89


, , ,X Y Z ………………………………………………………………………………

89

Figure IV.20. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon , …………… 89

Figure IV.21. Signaux de commande………………………………………………….. 90

Figure IV.22. Vitesses angulaires des quatre rotors……………………...……………. 90

Figure IV.23. Trajectoire globale du quadrotor en 3D………………………………… 90

Figure IV.24. Trajectoire du mode glissant d’ordre 2…………………………………. 92

Figure IV.25. Convergence en temps fini de l'algorithme Super Twisting……………. 95

Figure IV.26. Schéma bloc de la commande par mode glissant d’ordre deux

appliquée à l’hélicoptère à deux degrés de liberté de type TRMS 33-007-4M5……….

95


référence carré…………………...……………………………………………………..

96


référence sinusoïdale………………………………...…………………………………

97

Figure IV.29. Réponses du système et signaux de commande avec augmentation des

forces aérodynamiques (test de robustesse) ……………………………………….......

97

Figure IV.30. Trajectoires de référence en 3D : (a) signal carré, (b) signal

sinusoïdale. …………………………………………………………………………….

98

X


, , ,X Y Z ………………………………………………………………………………

99

Figure IV.32. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon , ………….… 99

Figure IV.33. Signaux de commande …………………………………………………. 99

Figure IV.34. Vitesse angulaires des quatre rotors ……………………………………. 100

Figure IV.35. Trajectoire globale du quadrotor en 3D………………………………… 100


, , ,X Y Z ………………………………………………………………………………

100

Figure IV.37. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon , …….……… 100

Figure IV.38. Signaux de commande …………………………………………………. 101

Figure IV.39. Vitesse angulaires des quatre rotors ……………………………………. 101

Figure IV.40. Trajectoire globale du quadrotor en 3D ………………………………... 101

Figure V.1. Partition floue de l’espace autour de la surface de glissement dans le plan

de phase ………………………………………………………………………………..

105

Figure V.2. Fonctions d’appartenance de l’entrée s et de sortie uf ……………………. 106

Figure V.3. Résultats de l’inférence des règles floues pour différentes valeurs de r …. 107

Figure V.4. Structure de l’association des commandes mode glissant flou et

backstepping……………………………………………………………………………

112

Figure V.5. Schéma bloc de la commande par mode glissant flou appliquée au TRMS

33-007-4……………………………………………………………………………….

112

Figure V.6. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de

référence carré (commande par mode glissant flou) ……………..……………………

113


référence sinusoïdale (commande par mode glissant flou) ………………...………….

114

Figure V.8. Réponses du système et signaux de commande avec augmentation des

forces aérodynamiques (commande par mode glissant flou) ………………………….

114

Figure V.9. Résultats de poursuite en 3D : (a) signal de référence carré, (b) signal de

référence sinusoïdale (commande par mode glissant flou) ……………………………

115

Figure V.10. Schéma bloc de la commande glissante-backstepping appliquée au

TRMS 33-007-4M5 ……………………………………………………………………

115


référence carré (commande glissante-backstepping) ………………………………......

119

XI


référence sinusoïdale (commande glissante-backstepping) ……………………………

120


forces aérodynamiques (commande glissante-backstepping) …………………………

120

Figure V.14. Résultats de poursuite en 3D : (a) signal de référence carré, (b) signal de

référence sinusoïdale (commande glissante-backstepping) ……………………………

121

Figure V.15. Schéma bloc de la commande par mode glissant flou et backstepping

appliquée au TRMS 33-007-4M5………………………...……………………………

122


référence carré (commande par mode glissant flou et backstepping) ……………...….

123


référence sinusoïdale (commande par mode glissant flou et backstepping) ……...…...

123


forces aérodynamiques (commande par mode glissant flou et backstepping) ………...

124

Figure V.19. Résultats de poursuite en 3D : (a) d’un signal sinusoïdale, (b) d’un

signal carré (commande par mode glissant flou et backstepping) …………………….

124

Figure V.20. Schéma bloc de la commande par mode glissant flou appliquée sur le

quadrotor………………………………………………………………………………..

125

Figure V.21. Système d’inférence flou utilisé pour calculer la commande

discontinue……………………………………………………………………………...

125

Figure V.22. Résultats de poursuite des trajectoires en échelon selon les axes

, , ,X Y Z …...................................................................................................................

126

Figure V.23. Résultats de poursuite des trajectoires en échelon selon les axes , … 126

Figure V.24. Les signaux de commande (trajectoire en échelon)……………………... 126

Figure V.25. Vitesse angulaires des quatre rotors (trajectoires en échelon)…………... 127

Figure V.26. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (trajectoire en échelon) ……….. 127

Figure V.27. Résultats de poursuite des trajectoires sinusoïdaux selon les axes

, , ,X Y Z ………………………………………………………………………………

127


, ………..…………………………………………………………………………..

127

Figure V.29. Les signaux de commande (trajectoires sinusoïdaux) …………………... 128

Figure IV.30. Vitesse angulaires des quatre rotors (trajectoires sinusoïdaux)…...……. 128

Figure IV.31. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (trajectoires sinusoïdaux)...…... 128

XII


, , ,X Y Z ……………………………………………………………………………....

131

Figure V.33. Résultats de poursuite des trajectoires en échelon selon les axes , … 132

Figure V.34. Les signaux de commandes (trajectoires en échelon) ………………...… 132

Figure V.35. Vitesse angulaires des quatre rotors (trajectoires en échelon) ………….. 132

Figure V.36. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (cas des trajectoires en

échelon)………………………………………………………………………………...

132


, , ,X Y Z ………………………………………………………………………………

133

Figure V.38. Résultats de poursuite des trajectoires sinusoïdaux selon les axes , .. 133

Figure V.39. Les signaux de commandes (trajectoires sinusoïdaux)………………….. 133

Figure V.40. Vitesse angulaires des quatre rotors (trajectoires sinusoïdaux)…………. 134

Figure V.41. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (cas des trajectoires

sinusoïdaux)…………………………………………………………………………….

134

Figure V.42. Schéma bloc de la commande par mode glissant flou et backstepping

appliquée sur le quadrotor……………………………………...………………………

134


, , ,X Y Z …...................................................................................................................

135

Figure V.44. Résultats de poursuite des trajectoires en échelon selon les axes , …. 135

Figure V.45. Les signaux de commandes (trajectoires en échelon) …………………... 135

Figure V.46. Vitesse angulaires des quatre rotors (trajectoires en échelon) ………….. 136


échelon)………………………………………………………………………………...

136


, , ,X Y Z ………………………………………………………………………………

136

Figure V.49. Résultats de poursuite des trajectoires sinusoïdaux selon les axes , ... 136

Figure V.50. Les signaux de commandes (trajectoires sinusoïdaux) ……………...….. 137

Figure V.51. Vitesse angulaires des quatre rotors (trajectoires sinusoïdaux) …...……. 137

Figure V.52. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (trajectoires sinusoïdaux)……… 137

Figure V.53. Structure de commande avec observateur……………………………….. 142

Figure V.54. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes , , ,X Y Z ... 143

Figure V.55. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes , ……. 144

XIII

Figure V.56. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes , , ,X Y Z ... 144

Figure V.57. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes , ……. 144

Figure V.58. Erreurs d’estimation sur les trajectoires réelles selon les axes , ,X Y Z …. 145

Figure V.59. Erreurs d’estimation sur les trajectoires réelles selon les angles , ….. 145

Figure V.60. Erreurs d’estimation sur les trajectoires réelles selon les axes , , ,X Y Z ... 145

Figure V.61. Erreurs d’estimation sur les trajectoires réelles selon les axes , ……. 146

Figure V.62. Les signaux de commandes ……………………………………………... 146

XIV

Liste des Tableaux

Tableau II.1. Paramètres du modèle de TRMS 33-007-4M5……………………....... 35

Tableau II.2. Paramètres mécanique et électrique du modèle du quadrotor………..... 43

Tableau V.1. Etude comparative entre les commandes développées pour le

TRMS 33-007-4M5…………………………………………………………………..

138

Tableau V.1. Etude comparative entre les commandes développées pour le

quadrotor……………………………………………………………………………...

139

Introduction générale


1



Les récentes avancées en informatique et dans la technologie des capteurs associés à la

réduction des coûts de fabrication des drones ont rendu raisonnable le prix de la construction

physique de robots volants miniatures qui permettent l'exécution d'un grand nombre de taches.

Le pilotage automatique d'avions et d'hélicoptères est né avec l'aviation moderne et a

évolué au cours du temps pour satisfaire des besoins de plus en plus contraignants. Il peut être

utilisé lorsque la tache à réaliser est trop répétitive ou trop difficile pour le pilote. La maîtrise

de la commande automatique de l'évolution des drones miniatures contrôlés par radio ouvre la

voie à des applications dans les domaines de la sécurité (surveillance de l'espace aérien, du

trafic urbain et interurbain), de la gestion des risques naturels (surveillance de l'activité des

volcans), de l'environnement (mesure de la pollution de l'air, surveillance des forêts), pour

l'intervention dans des environnements hostiles (milieux radioactifs, déminage des terrains

sans intervention humaine), la gestion des grandes infrastructures (barrages, lignes à haute

tension, pipelines), l'agriculture (détection et traitement des cultures infestées) et la prise de

vue aérienne dans la production de films [1].

Il faut noter que contrairement, aux robots manipulateurs classiques, la plupart de ces

systèmes mécaniques sont sous actionnés [2] (le nombre d'entrées de commande est inférieur

au nombre de degrés de liberté). La nécessité de différencier ces deux catégories provient du

fait que ces robots ne se commandent pas de la même façon. En effet, le manque d'actionneurs

pour ces engins induit une grande difficulté dans la conception de la commande. Au début des

années 90, la communauté automatique a montré un regain d'intérêt pour le problème de

commande de ces systèmes. La dynamique d'un avion à décollage (et atterrissage) vertical

(VTOL Vertical Take-Off and Landing), par exemple, a fait l'objet d'une étude très

approfondie, a constitué une source énorme de connaissances et a permis des développements

supplémentaires à la théorie des systèmes plats et aux techniques de linéarisation entrées-

sorties.

Plus récemment, des équipes universitaires, avec le support des industries et des

gouvernements, essayent de mettre au point des robots d'intérêt collectif régis par des

systèmes dynamiques fortement non linéaires [3]. On peut citer, les projets de contrôle de

dirigeables souples (Blimps en anglais) des laboratoires français (équipe RIA du LAAS-

CNRS, CEMIF de l'Université d'Evry, INRIA ...) ou encore les projets concernant la

commande d'hélicoptères de petite taille (une vingtaine d'universités américaines, l'ETH de

2


Zurich, Heudiasyc de Compiègne, INPG de Grenoble et le Cemif d'Evry). Il est bien clair que

le point important qui ressort de ces projets est le sous actionnement des systèmes étudiés. Les

robots volants sont généralement de cette nature puisque le mécanisme de contrôle ne fournit

qu'une ou deux entrées de commande pour la dynamique de translation et deux ou trois

entrées de commande pour la dynamique de rotation.

Toutefois, malgré l'importance des résultats réalisés jusqu'à ce jour dans le domaine

des systèmes sous actionnés, ceux-ci ne restent applicables que sur des systèmes simples et

possédant une structure particulière. Par exemple, les techniques de linéarisation entrées-

sorties ne s'appliquent qu'aux systèmes triangulaires; les techniques d'asservissement visuel ne

restent applicables que sur des systèmes complètement actionnés et caractérisés par des

dynamiques lentes. Les systèmes plus complexes tels que l'hélicoptère et le quadrotor, sur

lequel porte notre étude, sont des systèmes qui ont été très peu considérés et pour lesquels on

trouve peu de résultats, concernant leur commande, dans la littérature. Une des raisons

expliquant cela est qu'une représentation simple du comportement dynamique complet de

l'hélicoptère ou du quadrotor dans tous ses modes de vol n'existe pas.

Ceci est dû au fait que leurs dynamiques complexes résultent principalement de la

nature variable des forces aérodynamiques dans les différentes conditions de vol. En effet,

bien que les effets aérodynamiques soient en réalité continus, lorsque l'on passe d'un vol

stationnaire à un vol en marche avant, les expressions données dans la littérature sont

différentes pour chaque cas.

L'automaticien ne peut que s'appuyer sur ces modèles. Par ailleurs, une approche

raisonnable du problème, du point de vue du contrôle, consiste à considérer chaque condition

de vol comme un problème à part. Il apparaît que la dynamique d'un hélicoptère pour des

manœuvres proches du vol plané est la plus simple. Ceci est dû principalement aux forces

aérodynamiques liées à la vitesse du vent relatif qui sont dans ce cas négligeables.

Le peu de modèles dynamiques proposés ces dernières années souffrent d'un

problème majeur consistant en la détermination précise des forces aérodynamiques générées

par la rotation des pales [3].

En effet, la plupart des développements théoriques actuels, dans le domaine de la

commande des drones à voilures tournantes, essaient de franchir la modélisation explicite de

ces effets aérodynamiques et, par conséquent, les lois de commande proposées ne sont pas

robustes vis-à-vis du changement des paramètres de vol.

3


La commande à structure variable est un sujet qui a attiré l’attention de plusieurs

chercheurs depuis longtemps. Le principe de cette technique de commande est de forcer la

dynamique du système à suivre, au mieux, une dynamique désirée, imposée par des systèmes

autonomes stables, ce qu’on appelle les surfaces de glissement. Dans la littérature, les

surfaces de glissement se trouvent comme des systèmes autonomes stables et souvent

linéaires.

Dans la commande à structure variable, la commande par mode de glissement avec

l’ajout de la commande équivalente est considérée comme une commande complète. Celle-ci

contient un terme continu (commande équivalente) pour pré-positionner l’état futur de

système et un terme discontinu de hautes fréquences (commande discontinue) pour assurer

l’attractivité de la surface et la compensation des erreurs de modélisation, et aussi pour réduire

l’effet des perturbations exogènes. La commande discontinue donne naissance à une

dynamique parasite appelée communément “chattering” en anglais, ou phénomène de

réticence en français. Celle-ci se caractérise par des oscillations persistantes de hautes

fréquences. Plusieurs techniques ont été proposées pour réduire ou éliminer ce phénomène.

Les solutions par limitation de la condition de glissement sont les plus utilisées dans les

applications en temps réel. Ces techniques sont basées sur la définition d’une zone autour de

la surface, à l’intérieur de laquelle une condition de glissement moins stricte que la condition

signe est appliquée. Ainsi, le terme “ sign (s) ” dans la partie de glissement de la commande

est souvent remplacé par un terme à variation plus douce.

Les différents points motivants notre recherche sont, principalement, les suivants :

1) Synthétiser des surfaces de glissement non linéaires stables, en se basant sur le critère

de stabilité au sens de Lyapunov. Ces surfaces doivent garder les mêmes propriétés

cruciales que celles d’une surface linéaire, nécessaires pour la synthèse d’une loi de

commande par mode de glissement.

2) Utiliser les outils de l’intelligence artificielle, notamment la logique floue pour

remédier aux problèmes de la commande à structure variable classique. Ainsi, pour

résoudre le problème de “chattering” dû au terme de correction.

3) Proposer une méthode pour la synthèse systématique des surfaces de glissement en se

basant sur la commande récursive (backstepping).

Contributions

Le travail mené dans le cadre de cette thèse a donné lieu aux contributions suivantes :

4


1) Synthèse d’une loi de commande par linéarisation entrée-sortie. Cette loi a été validée,

en simulation, en considérant la commande du système non linéaire multi-entrées multi-

sorties à double rotors (Twin Rotor MIMO System : TRMS 33-007-4M5) modélisant un

hélicoptère à deux degrés de liberté. Nous avons aussi appliqué cette loi à la commande

du modèle d’un hélicoptère à six degrés de liberté de type quadrotor.

2) Proposition des surfaces de glissement non linéaires d’ordre un, asymptotiquement

stables, pour une classe de systèmes.

3) Synthèse d’une loi de commande à structure variable en utilisant les surfaces de

glissement non linéaires proposées pour les deux types d’hélicoptère.

4) Synthèse d’une loi de commande par mode glissant d’ordre deux basée sur

l’algorithme de super twisting pour les deux types d’hélicoptère.

5) Synthèse d’une loi de commande Floue-glissante pour la commande du modèle du

TRMS 33-007-4M5 ainsi que celui du quadrotor.

6) Synthèse des lois de commandes hybrides de type glissante-backstepping dont les

surfaces de glissement sont synthétisées d’une manière systématique.

7) Proposition d’une loi de commande floue-glissante backstepping. Nous avons

appliqué cette commande sur le modèle du TRMS et celui du quadrotor.

8) Synthèse d'un observateur non linéaire pour le quadrotor

Organisation de la thèse

Cette thèse, composée de cinq chapitres, est organisée de la manière suivante :

Dans le premier chapitre, nous avons introduit une description générale des appareils à vol

vertical (drones) ; à savoir les avantages de ces derniers, leur classification, ainsi que les

domaines d'intérêt civil et militaire. Nous trouvons aussi dans ce chapitre un état de l’art

relatif à la commande de ces appareils.

Le second chapitre est consacré à la modélisation dynamique du TRMS 33-007-4M5,

modélisant un hélicoptère à deux degrés de liberté, ainsi qu’à celle d’un hélicoptère à six

degrés de liberté de type quadrotor.

La synthèse et les résultats de simulation de la commande par linéarisation entrée-sortie

sont présentés dans le troisième chapitre.

5


Dans le quatrième chapitre, nous proposons des surfaces de glissement non linéaires du

premier ordre. Ensuite, en utilisant ces surfaces, nous nous intéressons à la synthèse des

lois de commande glissantes d’ordre un et d’ordre deux.

Le cinquième chapitre est consacré à la commande glissante combinée avec les outils de

l’intelligence artificielle. Nous présentons la synthèse d’une commande floue-glissante

comme étant une nouvelle méthodologie de conception des lois de commande pour les

systèmes aéronautiques. Ensuite, nous mettons l’accent sur la commande glissante-

backstepping et la commande hybride floue glissante backstepping. Nous présentons

aussi, dans ce chapitre, une étude comparative entre les différentes lois de commandes

proposées. Enfin, nous considérons la synthèse d'un observateur non linéaire pour le

quadrotor.

Nous terminons ainsi cette thèse par une conclusion générale avec des perspectives.

Chapitre I Etat de l’art

Chapitre I

Etat de l’art

6


I.1. Introduction

Les appareils à vol vertical ou les drones (UAV : Unmanned Aerial Vehicle) sont des

aéronefs inhabités qui utilisent les forces aérodynamiques pour produire un vol vertical. Ils

peuvent être pilotés à distance, autonomes ou semi autonomes [4]. Ils sont susceptibles

d’emporter différentes charges utiles, les rendant capables d’effectuer des tâches spécifiques,

pendant une durée de vol qui peut varier en fonction de leurs capacités. L’utilisation des

drones a d’abord été connue dans les applications militaires, comme la surveillance et la

reconnaissance et comme plateforme de désignation de cible ou comme arme. Puis, plusieurs

applications civiles sont devenues concurrentes, notamment dans l’observation des

phénomènes naturels (Avalanches, volcans…), la pulvérisation des pesticides sur les surfaces

agricoles, la surveillance de l’environnement (exemple : mesures de la pollution) et des

réseaux routiers, la maintenance des infrastructures…etc.

Dans ce chapitre, nous présentons les drones, leurs classifications, leurs champs

d’application ainsi que l’analyse bibliographique des différentes techniques de commande des

drones.

I.2. Classification des drones

Il n’existe pas une façon unique pour classer les drones, ils peuvent être répartis selon

plusieurs critères : autonomie, portée, altitude, mission, systèmes de contrôles…etc.

I.2.1. Classification selon la taille

On peut distinguer les catégories suivantes :

HALE (Haute Altitude Longue Endurance) : ce sont des drones, le plus souvent à

voilure fixe, capables de rester très longtemps en vol et de collecter des informations sur de

très longues périodes (entre 12 et 48 heures) [5].

MALE (Moyenne Altitude Longue Endurance) : ayant une grande autonomie, ils sont

utilisés pour des vols de longue durée à une moyenne altitude opérationnelle.

Ces drones font partie de la classe de grande taille. Ils peuvent embarquer des armes, ce

qui nécessite généralement d’avoir un humain dans la boucle, ce dernier doit garder la

décision de tir et pouvoir à tout moment annuler la mission [5].

Micro drones : ce sont des drones ayant des tailles variant du centimètre à quelques

dizaines de centimètres et caractérisés par une faible charge. Généralement, propulsés

électriquement, ils permettent ainsi de faire des vols en intérieur [6].

7


Mini drones : ce sont des drones plutôt légers et de taille réduite (jusqu’ à quelques

kilogrammes et d’une envergure jusqu’à 1 à 2 mètre) facilitant la mise en œuvre d’une

autonomie relativement faible (de 10 à 30 minutes). Ils sont, en général, utilisés pour

l’observation de zones à accès difficiles. La figure I.1 présente les différentes catégories des

drones [6].

Figure I.1. Catégories des drones [6].

I.2.2. Classification selon le mode de propulsion

Le fonctionnement aérodynamique fournit une autre possibilité de classification.

Ainsi, les drones peuvent être structurés principalement en trois familles [7]:

drones à voilures fixes : utilisent des ailes fixes dans leur mode de déplacement.

drones à ailes battantes : utilisent des ailes comme celles des oiseaux ou de certains

insectes.

drones à voilures tournantes : utilisent le même organe (rotors) pour la propulsion et

la sustentation. Ce type de drones est capable d’atterrissage et de décollage verticaux,

ainsi que de vol stationnaire à basse et à faible altitude.

La figure I.2 montre quelques exemples des drones à voilures fixes, voilure tournantes et ailes

battantes.

8


Les drones à voilure tournante se subdivisent, quant à eux, en quatre sous-classes qui sont

comme suit :

Les Mono-rotor : Ils sont caractérisés par l'utilisation d'un seul rotor comme actionneur

principal. Dans cette catégorie, nous trouvons essentiellement les convertibles (figure I.3).

Figure I.3. avion 3D [7].

Les birotors : Il existe plusieurs types de configurations à deux rotors tels que l’hélicoptère

classique composé d’un rotor principal et d’un rotor en queue. Les appareils sans plateaux

cycliques (autre que les hélicoptères notamment) utilisent des ailerons pour faire pivoter les

rotors. Il existe aussi des appareils possédant deux rotors sur le même axe tournant dans des

sens opposés et des ailerons qui baignent dans le flux d’air de ces rotors (figure I.4).

Voilures fixes Voilures tournantes Ailes battantes (ornithoptères)

Figure I.2. Classification selon le mode de propulsion [6].

9


Figure I.4. Le T-Wing (à gauche) et l’HoverEye (à droite) [8].

Les trirotors : Moins performant en vol que les quadrotors, le trirotor (figure I.5) est constitué

de deux rotors à l’avant qui tournent dans des sens opposés pour modifier le tangage et d’un

rotor en arrière pour régler le roulis.

Figure I.5. Hélicoptères à trois hélices. Le Vectron (a), l'hélicoptère auto-stable (b) et le Tri-rotor de Compiègne (c) [9].

Les Quadrotors: Un quadrotor est un engin volant doté de quatre rotors placés aux extrémités

d’une armature en croix (Figure I.6). Ces quatre rotors lui fournissent la force verticale

(portance) qui lui permet de décoller.

Son principe de fonctionnement est comme suit : Deux rotors de même axe tournent

dans le sens horaire tandis que les deux autres tournent dans le sens inverse. Ses mouvements

possibles sont le Gaz (montée ou descente verticale), le Roulis ou Tangage qui est une

orientation que prend le quadrotor, et le Lacet qui est une rotation du quadrotor autour de lui-

même.

(a) (b)

(c)

10


Figure I.6. Hélicoptères à quatre hélices: quadrotor de pennsylvanie (a), X19 quadtilt-rotor aircraft (b), le drone du laboratoire IBISC (c) et le drone de la NASA (d) [10].

I.3. Applications et utilisation

Les drones sont développés à l’origine pour remplacer l’homme dans des

environnements ou des situations dangereuses. Ces engins sans pilote présentent de nombreux

avantages tels que [11] :

la diminution des contraintes liées à la sécurité,

l’accomplissement des missions à haut risque ou dans des zones inaccessibles à

l'homme,

la réduction des coûts.

Le domaine d’application des drones, qui ne cesse de s’élargir, relève tant du domaine

militaire que civil. Principalement, on peut distinguer les applications militaires et les

applications civiles.

I.3.1. Applications militaires

Les lourdes pertes subies pendant la seconde guerre mondiale par les aviations

d’observation de chacun des antagonistes suscitèrent l’idée d’un engin d’observation militaire

sans équipage (ni pilote, ni observateur). Pendant la guerre du Vietnam, les Américains ont

utilisé des drones (Firebee) pour localiser les rampes de lancement des missiles sol-air

soviétiques «SAM-2».

Lors de la guerre du Golfe, les britanniques, les français commencèrent à se servir de

drones et les américains l’ont fait appel au drone (Pioneer) pour la surveillance jour/nuit,

l’acquisition des objectifs, et les réglages de l’artillerie.

De leur côté, les Israéliens ont saturé les défenses aériennes le long du canal de Suez lors de la

guerre du Kippour (1973) et ce, avec un grand nombre de drones bon marché.

(c) (d)

(b) (a)

11


Mais c’est surtout au cours des trois derniers conflits majeurs impliquant les forces

internationales de l’OTAN (intervention au Kosovo, en Afghanistan et en Irak) que les drones

ont vraiment pu démontrer leurs capacités opérationnelles, accomplissant indifféremment des

missions d’observation aérienne ou d’attaque au sol. En règle générale, on peut décomposer

en trois grandes catégories, les missions militaires confiées aux drones :

la surveillance et le renseignement,

le support au combat,

le combat proprement dit.

Ces missions sont illustrées par les figures I.7 – I.9.

Figure I.7. Support au combat : (a) coopération UAV-UGV, (b) éclaireur [7]. Figure I.9. Le Predator, drone multi missions, utilisé par l’US Air Force depuis 1995 [12].

(a) (b) Figure I.8. Drone militaires de surveillance : (a) global hawk (North grumman, 1000 kg

de charge utile) et (b) sperwer (sagem) [12].

(a) (b)

12


I.3.2. Applications civiles

Tous les avantages reconnus des drones pour les applications militaires sont

transposables aux applications civiles. On peut citer :

- Dans le domaine de la sécurité: surveillance de l'espace aérien, du trafic urbain et

interurbain,

- Dans la gestion des risques naturels: surveillance de l'activité des volcans;

- La protection de l'environnement: mesure de la pollution de l'air, surveillance des

forêts,

- L'intervention dans des sites hostiles: milieux radioactifs, déminage des terrains

(cartographie de terrains minés),

- La gestion des grandes infrastructures: barrages, lignes à haute tension, pipelines,

- L'agriculture: détection et traitement des cultures,

- La prise de vue aérienne dans la production des films,

- Télécommunications mobiles, publicité et radiodiffusion (télévision, ...),

- Géodésie et mesures atmosphériques.

Figure I.10. Contrôle des Feux de forêts (a), (b) épandage engrais, (c) Surveillance des lignes électriques [7].

(a) (b)

(c)

13


I.4. Technologie des capteurs pour la localisation des drones

Les véhicules aériens sans pilote sont équipés de plusieurs instruments et capteurs

permettant leur localisation et l’acquisition des différentes grandeurs nécessaires à la mise en

œuvre de leur système de commande et de décision. Ces capteurs sont habituellement classés

en deux familles [13, 14] :

1. Les capteurs proprioceptifs mesurent le déplacement du drone entre deux instants.

L’intégration de leurs mesures permet d’estimer la situation courante du véhicule

relativement à sa situation initiale. Ces capteurs donnent des résultats qui se dégradent

avec le temps. Il faut donc leur adjoindre un système permettant de recaler

périodiquement la situation absolue du véhicule.

2. Les capteurs extéroceptifs mesurent la situation absolue du drone par observation de

points de repère naturels (amers visuels) ou artificiels (balises, satellites...) dont la

situation est connue dans un référentiel attaché à l’environnement. Ces capteurs peuvent

être utilisés tout au long du parcours soit pour mesurer en permanence la situation

absolue du mobile, soit pour recaler périodiquement la navigation à l’estime. Ils peuvent

intervenir également pour assurer la sécurité du véhicule (perception de l’environnement

proche, contrôle de l’attitude de la plate-forme) et pour construire en ligne un modèle de

l’environnement exploré.

Nous décrirons les capteurs appartenant à ces deux grandes familles, en limitant notre

étude aux capteurs susceptibles d’être embarqués par des engins volants, et de petite taille.

I.4.1. Capteurs Proprioceptifs

I.4.1.1. Accéléromètres

Les accéléromètres peuvent être utilisés pour déterminer la position du véhicule par

double intégration. C’est le principe de la navigation inertielle. Leurs mesures ne sont pas

encore suffisamment précises pour être directement exploitées en navigation.

Dans le cas de véhicules qui ont une accélération faible par rapport à la gravité, les

accéléromètres peuvent être utilisés pour fournir la direction de la gravité. Ils fonctionnent

alors comme des inclinomètres [5].

I.4.1.2. Gyroscopes

Un gyroscope est un appareil permettant d’effectuer une mesure de la rotation absolue

de son boîtier. On retrouve deux types les gyroscopes mécaniques et les gyroscopes à laser

(fibres optiques). Il faut tenir compte de la dérive des mesures au cours du temps et effectuer

14


régulièrement des recalages absolus (on ne les utilise pas seuls, mais en composants intégrés

de centrales inertielles) [5].

I.4.1.3. Centrales inertielles (IMU : Inertiel Measurement Unit)

Une centrale inertielle (IMU) est un système complet, composé au minimum de 3

accéléromètres et de 3 gyroscopes permettant de mesurer les composantes selon les 3 axes de

l’accélération non gravitationnelle et de la vitesse instantanée de rotation du véhicule par

rapport à un référentiel inertiel (qui est confondu avec le repère terrestre dans la plupart des

cas). Les centrales inertielles sont des systèmes complexes et chers. Elles intègrent une

électronique permettant de corriger les données capteurs : compensation de l’accélération au

niveau de la mesure des gyroscopes, auto-compensation en température, orthogonalisation des

axes de mesures, etc. On distingue deux types principaux de centrales inertielles : les centrales

strap-down et les centrales à plate forme stabilisées [5].

I.4.2. Capteurs Extéroceptifs

1.4.2.1. Compas magnétiques

Le compas magnétique, appelé aussi magnétomètre, indique la direction du nord

magnétique. Généralement, la déclinaison magnétique est compensée pour que le capteur

délivre en permanence une mesure absolue du capteur par rapport à la direction du nord

géographique. L’inconvénient majeur de ces capteurs est leur perturbation par les masses

magnétiques environnantes ainsi que par les champs magnétiques parasites, induits par la

proximité de moteurs électriques par exemple [5].

I.4.2.2. Gyrocompas

Le premier effet des gyroscopes est la permanence de l’axe de rotation de la toupie

dans une direction donnée, ce qui permet de les utiliser comme indicateurs de direction à

condition que leur dérive soit la plus faible possible.

Plus lourds et plus onéreux que les compas magnétiques, mais insensibles aux perturbations

magnétiques, les gyrocompas constituent une solution intéressante pour les drones de grande

taille [5].

I.4.2.3. Localisation sur balises (GPS : Global Positioning System)

Le système GPS est un système de positionnement par satellites conçu initialement

pour des applications militaires. Son utilisation pour des applications civiles (géodésie,

localisation de mobiles, etc.) est actuellement en plein essor [5].

15


Ce système comporte 24 satellites répartis de telle sorte qu’en tout point du globe, on

peut en observer simultanément 4 à 8, avec une élévation d’au moins 15°.

Pour le positionnement absolu, le mobile à localiser est muni d’un récepteur qui

mesure sa distance par rapport à plusieurs satellites Chaque satellite envoie un message qui

permet de calculer ses coordonnées spatiales dans un repère terrestre à l’instant de

l’observation. La distance entre le satellite et le récepteur est estimée à partir du temps mis par

le signal du satellite pour atteindre le récepteur.

En pratique, l’information redondante de 4 à 8 satellites permet un positionnement

avec une erreur allant de quelques mètres à 20 m, suivant le code utilisé (civil ou militaire), la

qualité des éphémérides, etc.

Pour obtenir des précisions meilleures, il faut utiliser un mode de positionnement

relatif, c’est à dire la position d’un récepteur GPS par rapport à un autre récepteur GPS. C’est

ce qu’on appelle le GPS différentiel ou DGPS, et la précision est réduite aux centimètres.

I.4.2.4. Capteurs télémétriques

Cette catégorie regroupe les capteurs permettant d’acquérir des mesures sur

l’environnement qui les entoure. Leur principe est toujours le même : le télémètre émet un

signal qui lui est renvoyé par l’obstacle le plus proche dans la direction d’émission. L’écart de

temps entre le signal émis et le signal reçu permet de retrouver la distance à l’obstacle. Mais

ils diffèrent par la nature des signaux qu’ils émettent (acoustiques, optiques,...). On distingue

ainsi :

1. Les télémètres à ultrasons

2. Les télémètres laser à balayage

3. Les télémètres radars Ultra-Large-Bande

I.4.2.5. Caméra

La camera vidéo est un des capteurs extéroceptifs les plus performants, qui fournit une

information particulièrement riche sur l’environnement. Elle permet de transmettre les

images vues par le drone, vers l’opérateur au sol. Dans certains cas, on traite les informations

transmises par la caméra sur un PC au sol via une carte d’acquisition d’images pour

déterminer la position de l’engin, pour faire du suivi de trajectoire, ou bien pour la détection

d’obstacles.

16


I.5. Commande des drones

Ces dernières années, la conception et la mise au point des algorithmes de commande

pour les hélicoptères drones a fait l’objet d’un certain nombre d’études. Ceci est dû au besoin

de produire des véhicules aériens manœuvrables et autonomes, pour des applications

militaires ou civiles. Alors qu’ils sont plus lents et moins efficaces que des avions, les

hélicoptères sont capables de décollages et d’atterrissages verticaux, de vols stationnaires, et

en général ils sont plus manœuvrables dans des espaces limités. Par conséquent, les

hélicoptères représentent l’une des meilleures plates-formes pour des opérations dans des

environnements urbains ou encombrés. Cependant, la dynamique de l’hélicoptère est plus

compliquée que celle d’un avion à voilure fixe : l’hélicoptère est en soi instable sur certaines

plages de vol et présente une dynamique fortement couplée, et les caractéristiques de vol

changent nettement en dehors de l’enveloppe de vol.

Concernant la commande des hélicoptères drones, certains présentent des lois de

commande basées sur le modèle linéaire des drones, alors que d’autres considèrent le modèle

entier.

1.5.1. Les techniques de commande linéaires

Des approches de commandes linéaires telles que les correcteurs PID peuvent alors

être utilisés. Cette démarche a été adoptée dans plusieurs travaux antérieurs. Par exemple

dans [15], la commande d’un hélicoptère Yamaha R-50 a été considérée en utilisant pour

chacune des boucles (mouvement longitudinal, mouvement latéral, altitude et lacet) un

correcteur de type (PID).

La commande optimale linéaire a été également utilisée pour la commande des drones.

Dans le travail présenté dans [16], la technique de commande LQR (Linear Quadratic

Regulator) a été appliquée sur un modèle linéaire d’hélicoptère. Une comparaison entre la

commande PID et la commande LQR, en considérant un modèle linéairesé de la dynamique

de rotation d’un quadrotor, est présentée dans [17].

Afin de prendre en compte les non linéarités de la dynamique de rotation de ce type de

véhicule, un correcteur PD et un correcteur PD2 compensant les couples gyroscopiques et de

Coriolis ont été proposés pour la stabilisation en attitude d’un hélicoptère [18].

Une méthode de stabilisation et de poursuite de trajectoires basée sur la notion de platitude a

été développée par A.Chamseddine [19]. Cette méthode, permettant la poursuite d’une

trajectoire planifiée, a été appliquée sur le modèle linéarisé du quadrotor classique X4. La

technique de commande Hinf est aussi l’une des techniques de commande qui ont été utilisées

17


pour la commande des drones. Un algorithme de commande Hinf, développé par M.Chen et

M.Huzmezan est appliqué sur une plateforme pivotant librement, est présenté dans [20].

Dans [21], nous trouvons une application de trois types de commandes LQG/LTR (Linear

Quadratic Gaussian/ Loop Transfert Recovery) et Hinf pour contrôler les différents modes de

vol (longitudinal et latéral) d’un hélicoptère en présence des perturbations dues aux

dynamiques des rotors et au changement de point de vol amenant l’hélicoptère dans une

plage de vol différente. En raison des pondérations ajoutées et de l’utilisation du filtre de

Kalman, l’ordre des correcteurs LQG et LTR est assez élevé par rapport à celui du correcteur

Hinf. En plus, les correcteurs LQG et LTR sont moins robustes que le correcteur Hinf surtout

en présence de perturbations.

On peut aussi citer les travaux de Takahashi [22] qui utilise la commande H2 pour le

modèle linéaire de l’hélicoptère. D’autres algorithmes de commande utilisant directement le

modèle non linéaire du drone et basés sur les techniques Hinf loop shaping et sensibilité mixte

ont été développés [23-27]. La stratégie de commande Hinf loop shaping, basée sur les

techniques d’optimisation LMI (linear matrix inequality) [27], permet d’aboutir à un

correcteur d’ordre relativement faible et donnant de bonne performance de commande.

L’élaboration de lois de commande linéaires pour contrôler le mouvement d’un

hélicoptère pose de nombreux problèmes car les modèles linéaires simplifiés sont

généralement loin de la réalité du système physique. Le modèle dynamique complet d’un

hélicoptère engendre en réalité des incertitudes qui constituent des erreurs de la dynamique

par rapport au modèle linéaire, et, par conséquent, rend l’élaboration de lois de commande

linéaires très difficile. Donc la meilleure solution est de synthétiser des commandes non

linéaires basées sur une modélisation complète du système physique.

1.5.2. Les techniques de commande non linéaires

Les conceptions de contrôleurs non linéaires sont généralement basées sur la notion de

la linéarisation de la boucle fermée [28, 29] du modèle non linéaire de l’hélicoptère. L’idée

est de transformer la dynamique non-linéaire en forme linéaire en utilisant le retour d’état,

avec la linéarisation entrée/état correspondant à une linéarisation complète ou partielle du

modèle. Koo et Satsry [30], ont proposé une linéarisation entrée-sortie approximative pour le

modèle dynamique du drone. Ensuite, ils ont utilisé ce modèle pour développer deux lois de

commande.

18


D’autres travaux, en utilisant la méthode directe de Lyapunov et tenant en compte du

modèle complet de l’hélicoptère, ont été élaborés pour le suivi de chemin, le suivi de

trajectoires ou encore la stabilisation à une position fixe [31-33].

Quelques méthodologies de commande adaptative ont été développées pour la

commande des drones. Par exemple dans [34], une approche de l’inversion du modèle à

structure adaptative, dans laquelle les non linéarités cinématiques ainsi que les incertitudes sur

les forces aérodynamiques et de propulsion sont incorporées, a été considéré. D’autres

configurations de la commande adaptative non linéaire des drones basée sur les réseaux de

neurones peuvent être trouvées dans la littérature. Par exemple dans [35, 36], la commande

par réseau de neurones pour un hélicoptère drone basée sur l’inversion du modèle

approximatif et la linéarisation de la boucle fermée a été proposée. Dans la plupart de ces

travaux le problème de stabilité n’est pas considéré. Une approche rigoureuse de la

commande adaptative non linéaire pour un UAV utilisant les réseaux de neurones est

présentée dans [37]. Cette approche est basée sur une structure de boucles imbriquées (boucle

interne pour la stabilisation d’attitude, et boucle externe pour le suivi de trajectoire), où

chaque boucle utilise l’inversion dynamique approximative en plus d’un réseau de neurones

pour la linéarisation en boucle fermée compensant l’inversion imparfaite. Les poids du réseau

de neurones utilisé sont adaptés en ligne pour réduire au minimum l’erreur de suivi.

Les techniques prédictives ont été aussi utilisées pour la commande des drones. En

effet, plusieurs algorithmes de commande prédictive ont été développés. Par exemple, une

commande prédictive, qui tient compte de la planification des trajectoires avec des contraintes

d’entrée et d’état tout en suivant la position et l’angle de lacet désirés, a été proposée pour la

commande du modèle non linéaire d’un hélicoptère drone [38]. Plusieurs techniques de

commande Hinf non linéaire d’un hélicoptère à six degrés de liberté ont fait l’objet de

plusieurs travaux de recherche [39-42]. Le travail considéré dans [43] présente une stratégie

de commande hybride entre la technique Hinf non linéaire et la commande prédictive pour

résoudre le problème de suivi de trajectoire d’un hélicoptère à quatre rotors.

Le problème de la conception Hinf non linéaire pour un hélicoptère de laboratoire à

deux rotors (deux degré de liberté) a été présenté dans [44]. L’approche présentée dans cet

article considère un procédé non linéaire Hinf pour le rejet de perturbation sur la dynamique

réduite des rotors, y compris des limites intégrales sur l’erreur de suivi pour faire face aux

perturbations persistantes. Le contrôleur résultant présente la structure d’un PID non linéaire,

avec des constantes à temps variables selon la dynamique du système. La méthodologie

19


considérée a été validée par des résultats expérimentaux en utilisant cet hélicoptère. Une

application de la commande linéarisante sur la dynamique longitudinale (sous actionnée) du

même hélicoptère de laboratoire a été donnée dans [45]. D’autres méthodes de commande

basées sur le calcul évolutif, tels que les algorithmes génétiques, ont été envisagées. Par

exemple, dans le travail présenté dans [46], un algorithme génétique a été utilisé pour

déterminer les paramètres optimaux d’un correcteur PID utilisé pour stabiliser un hélicoptère

à deux degrés de liberté.

Des meilleurs résultats ont été obtenus avec la technique de commande non linéaire

par backstepping ; la convergence des états internes du quadrotor a été garantie quelque soit

les états initiaux. Cette technique de commande a été renforcée par la suite avec l’ajout de

l’action intégrale [47]. Cette approche a été validée sur l’hélicoptère à quatre rotors dans

diverses expériences de vol.

Le problème de stabilité pour deux types différents des drones (X4, XSF) a été étudié

en appliquant deux approches différentes [48]. Dans la première approche la technique de

backstepping combinée avec et la théorie de Lyapunov, tandis que dans la deuxième

approche la logique floue à été utilisée pour élaborer une commande pour le modèle

Lagrangien du drone XSF.

Le travail présenté dans [49] montre une autre application de la commande par

backstepping sur un modèle d’un hélicoptère drone pendant le vol stationnaire en négligeant

les faibles forces latérales et longitudinales. La fonction de Lyapunov dérivée a été utilisée

pour analyser la performance de la boucle fermée du modèle complet. Il a été montré que s’il

existe des bornes sur l’erreur initiale et sur les paramètres de trajectoire, des performances

acceptables pour le suivi de trajectoire du système pourraient être obtenues.

La commande non linéaire par retour d’état dynamique est une technique qui a été

appliquée dans quelques projets sur un hélicoptère à quatre rotors. L’objectif est de

transformer le système en boucle fermée en sous systèmes linéaires, contrôlables et découplés

[50, 51].

La dynamique de la trajectoire à suivre est établie en se basant sur une nouvelle

approche d’asservissement visuel développé récemment pour l’asservissement visuel des

corps rigides sous actionnés. Les travaux présentés dans [52-56] sont les premiers résultats de

l’application de cette commande sur un hélicoptère drone. Par exemple, dans [55, 56] on a

utilisé la commande visuelle pour commander un hélicoptère à quatre rotors et un avion à

décollage et atterrissage verticaux.

20


La commande des véhicules aériens sans pilote a aussi fait l’objet de nombreux

travaux utilisant la commande par mode glissant linéaire et non linéaire [57-59]. La méthode

de commande par mode glissant multivariable, introduite dans [57], a été appliquée sur le

modèle linéarisé de l’hélicoptère type PUMA à 9 DDL (Degré De Liberté) pendant le vol

stationnaire. Les travaux présentés dans [58, 59] ont été consacrés à l’application de la

commande par mode glissant sur le modèle d’un hélicoptère à 4 rotors. En particulier, dans

[57], après avoir effectué une linéarisation exacte du modèle de l’hélicoptère, un observateur

à mode glissant a été utilisé pour le stabiliser. Un estimateur adaptatif a été ajouté au système

pour estimer l’effet des perturbations externes comme le vent.

La commande par mode glissant est caractérisée par une robustesse vis à vis des

incertitudes structurelles et des perturbations externes pour la commande des drones.

Cependant, l’inconvénient principal associé à cette méthodologie est l’apparition des

vibrations (phénomènes de chattering) dans les actionneurs qui peut endommager le système.

Généralement, dans la synthèse de la loi de commande par mode de glissement, la

surface de glissement est définie comme un système linéaire autonome et stable. Néanmoins,

la dynamique imposée par un tel système est plus lente que celle imposée par un système non

linéaire, d’où l’importance d’utiliser ce dernier type de systèmes pour synthétiser la surface de

glissement dans certaines applications. Dans notre travail, nous développons une surface de

glissement non linéaire, telle que la non linéarité est engendrée via une fonction bornée de

type sigmoïde, la surface proposée et même la non linéarité qui la caractérise, garde la

simplicité dans la synthèse de la loi de commande. Pour remédier au problème du phénomène

de chattering nous avons combiné les systèmes d’inférence flous avec la commande à régime

glissant qui est insensible aux perturbations extérieur pouvant agir sur la stabilité de

l’hélicoptère.

I.6. Conclusion

Il existe une grande diversité de familles de drones à voilures fixe et tournante, qui

possède chacune ses spécificités techniques. Le choix d’une architecture de drones n’est pas

anodin et doit notamment correspondre aux missions pour lesquelles il sera employé, ainsi

qu’aux degrés de performances recherchés.

Afin de permettre l’exploitation des drones sans intervention humaine, un système de

commande et de décision doit être mis en place. Etant donné que le modèle dynamique

décrivant un drone est fortement non linéaire, extrêmement couplé et sujet à de multiples

incertitudes, le problème de commande des drones est une tâche délicate qui nécessite

21


l’utilisation des techniques de commande plus élaborées. Certains paramètres du système

dépendent des conditions d’environnement (par exemple des constantes aérodynamiques) ou

de l’hélicoptère (par exemple la pente de la courbe de portance). Les paramètres inconnus du

système rendent également les conditions d’équilibre de l’hélicoptère inconnues. En fait, ces

caractéristiques ont suscité l’intérêt d’un grand nombre de chercheurs dans le domaine de

l’automatique et ont fait de ce modèle un exemple académique pour tester l’efficacité de

nombreux algorithmes de commande.

Malgré le grand nombre de méthodologies de commande qui ont été développées, le

problème de sensibilité des véhicules aériens sans pilote aux perturbations externes et de la

charge importante de calcul reste posé et continuer à susciter l’intérêt de la communauté des

automaticiens pour développer et tester de nouvelles techniques de commande. Le chapitre

suivant fait l’objet de la modélisation de l’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés

de liberté.

Chapitre II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté

Chapitre II

Modélisation d’hélicoptère à deux degrés

de liberté et à six degrés de liberté

22


II.1. Introduction

Afin de concevoir un contrôleur de vol, on doit d'abord comprendre profondément les

mouvements de l’avion, sa dynamique et par conséquent ses équations dynamiques. Cette

compréhension n’est pas simplement nécessaire pour la conception du contrôleur, mais elle

permet aussi de s'assurer que les simulations du véhicule prend un comportement aussi proche

que possible de la réalité quand la commande est appliquée. Beaucoup de tentatives de

modélisation d’un drone sont disponibles dans la littérature, tel que le modèle établi par

Lozano [60] en utilisant la méthode Euler-Lagrange, celui proposé par Bouabdallah [61], ou

encore la modélisation basée sur les méthodes évolutionnaires [62]. Le modèle présenté par

Hamel [1], [63, 64], basé sur le formalisme de Newton et qui intègre la dynamique des

actionneurs, a été obtenu à partir de la dynamique d'un corps rigide associé au fuselage auquel

sont ajoutées les forces aérodynamiques générées par les rotors.

En utilisant le formalisme de Newton, nous présentons, dans ce chapitre, la description

et la modélisation dynamique d’un hélicoptère à deux degrés de liberté type TRMS 33-007-

4M5 [65]. Nous y présentons aussi la description des possibilités de vol d’un (UAV) de type

quadrotor à six degré de liberté ainsi que ses mouvements de base.

II.2. Modélisation d’un hélicoptère à deux degrés de liberté de type TRMS 33-007-4M5

II.2.1. Description du TRMS 33-007-4M5

Le TRMS (Twin Rotor Mimo System) est un système physique aérodynamique conçu

pour le développement et l’implémentation de nouvelles lois de commandes (figure II.1). Ceci

inclut, la modélisation de la dynamique du système, l’identification, l’analyse et la conception

de divers contrôleurs par des méthodes classiques et modernes. Son comportement ressemble

à celui d'un hélicoptère, de point de vue de commande ; il présente un système non linéaire

d'ordre supérieur avec des couplages significatifs. Il comprend les éléments suivants :

Une poutre qui peut pivoter sur sa base de telle manière qu'elle puisse tourner

librement dans le plan vertical et horizontal.

Deux propulseurs (principal et secondaire) fixés aux deux extrémités de la poutre, ils

sont formés d’une hélice, un moteur à courant continu ainsi qu’un bouclier pour des

raisons de sécurité.

Un contrepoids fixé sur la tige à son pivot, son rôle est de diminuer les vibrations

(oscillations) de la poutre.

Une tour pour maintenir la poutre.


Une base comprenant des circuits électroni

filtrage des signaux entrants et sortants.

Un boîtier de marche/arrêt des moteurs

Figure II.1. Hélicoptère à deux degré

II.2.2. Modèle non linéaire

Le modèle physique est développé sous certaines hypothèses

premier lieu, on suppose que les dynamiques du sous

différentielles du premier ordre. De plus, on suppose que les frottements sont de type

visqueux, et que le sous-système hélice

aérodynamiques [65].

II.2.3. Sous système d’élévation

D’abord, considérons la rotation de la poutre dans le

de l’axe horizontal. En appliquant l

2

2

vv v

dM J

dt

Avec :

4

1v vi

i

M M

8

1v vi

i

J J

L’équation (II.1) peut être écrite sous la forme

1 2 3 4v v v v v vJ M M M M

Où :

Trajectoire de rotation verticale

Moteur à courant continue de l’axe horizontal

Trajectoire de rotation horizontale

Moteur à courant continue

vertical

23

II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté

Une base comprenant des circuits électroniques pour l’adaptation, synchronisation et

es signaux entrants et sortants.

er de marche/arrêt des moteurs.

Hélicoptère à deux degrés de liberté TRMS 33-007-4M5

physique est développé sous certaines hypothèses simplificatrices. En

premier lieu, on suppose que les dynamiques du sous-système rotor sont des équations


système hélice-air peut être décrit par les lois d’écoulement

Sous système d’élévation

D’abord, considérons la rotation de la poutre dans le plan vertical. C’est

de l’axe horizontal. En appliquant la seconde loi de Newton on obtient :

L’équation (II.1) peut être écrite sous la forme :

1 2 3 4v v v v v vJ M M M M

v

Trajectoire de rotation verticale

oteur à courant continue de l’axe horizontal

On Off

Trajectoire de rotation horizontale

Moteur à courant continue de l’axe

vertical

II Modélisation d’hélicoptère à deux degrés de liberté et à six degrés de liberté

ques pour l’adaptation, synchronisation et

4M5 [65].

simplificatrices. En

système rotor sont des équations


air peut être décrit par les lois d’écoulement

plan vertical. C’est-à-dire autour

(II.1)

(II.2)

(II.3)

(II.4)

24


vM : La somme des moments dans le plan vertical

vJ : La somme des moments d’inertie par rapport à l’axe horizontal

v : L’angle d’élévation de la tige

1vM : Moment de la gravitation

2vM : Moment de la force aérodynamique

3vM : Moment de la force centrifuge

4vM : Moment de friction

Les différents moments sont calculés comme suit :

II.2.3.1. Moment gravitationnel Mv1

Pour déterminer les moments de la gravitation appliqués à la poutre et qui la mettent

en rotation autour de l’axe horizontal, on considère la situation illustrée dans la figure II.2

Figure II.2. Forces de gravités agissantes sur le TRMS.

1 . . cos sin2 2 2

t m bv tr ts t mr ms m v b cb cb v

m m mM g m m l m m l l m l

(II.5)

L’équation (II.5) peut être écrite sous la forme :

1 cos sinv v vM g A B C (II.6)

cost vl

cosm vl

ml

tl v x

y

sinb vl

cb bl l

ts trm g m g

tm g

bm g

mm gms mrm g m g

cbm g

25


Avec :

2

2

2

ttr ts t

mmr ms m

bb cb cb

mA m m l

mB m m l

mC l m l

(II.7)

Où :

1vM : Le moment correspondant aux forces de gravités

mvm : La masse du rotor principal

mm : La masse de la partie principale de la tige

trm : La masse du rotor secondaire

tm : La masse de la partie secondaire de la tige

cbm : La masse du contrepoids

bm : La masse de la tige du contrepoids

msm : La masse du l’hélice principale

tsm : La masse de l’hélice secondaire

ml : La longueur de la partie principale de la tige

tl : La longueur de la partie secondaire de la tige

bl : La longueur de la tige du contrepoids

cbl : La distance entre le contrepoids et l’articulation

g : L’accélération gravitationnelle

II.2.3.2. Moment de la force aérodynamique Mv2

Pour déterminer les moments des forces propulsives appliquées à la tige on considère

la situation illustrée dans la figure II.3.

26


Figure II.3. Moments de la force aérodynamique et de friction.

2 ( )v m v mM l F (II.8)

Où :

2vM : Le moment de la force aérodynamique développé par le rotor principal

m : La vitesse angulaire du rotor principal

( )v mF : Exprime la dépendance de la force aérodynamique de la vitesse

angulaire du moteur. Elle doit être mesurée expérimentalement

II.2.3.3. Moment des forces centrifuge Mv3

L'équilibre statique du vilebrequin est obtenu lorsque la résultante des forces

centrifuges est nulle, plus précisément lorsque le centre de gravité se trouve sur l'axe de

rotation. Néanmoins, l'équilibre statique n'implique pas nécessairement l'équilibre dynamique.

En effet, le vilebrequin peut donner lieu à un moment de flexion dû aux forces centrifuges

d'autant plus grandes que le mouvement de rotation est important (figure II.4). Ce moment est

donné par :

6

3 3,1

V V ii

M M

(II.9)

y

cost vl

cosm vl

ml

tl x

sinb vl

cb bl l

bm g

v mF

v

27


Figure II.4. Moments de la force centrifuge.

(II.10)

Avec :

hh

d

dt

(II.11)

h : Vitesse angulaire de la tige autour de l’axe vertical et h est l’angle d’azimut de la tige

2 23,1 sin cosv h tr ts t v vM m m l

(II.12)

2 23,2 sin cos

4t

v h t v v

mM l

(II.13)

2 23,3 sin cosv h mr ms m v vM m m l

(II.14)

2 23,4 sin cos

4m

v h m v v

mM l

(II.15)

2 23,5 sin cos

4b

v h b v v

mM l

(II.16)

2 23,6 sin cosv h cb cb v vM m l

(II.17)

2 2 2 2 23 sin cos

4 4 4t m b

v h tr ts t mr ms m b cb cb v v

m m mM m m l m m l l m l

(II.18)

Posons :

2 2 2 2

4 4 4t bm

tr ts t mr ms m b cb cb

m mmH m m l m m l l m l

(II.19)

On peut écrire (II.18) sous la forme compacte suivante :

2

3 sin cosv h v vM H (II.20)

x

O

v

M

bF m w w OM

2 sinb vF m OM w

3,1

cos( ) sin( )

v tr ts h h t

h h

t t v t v

M m m l

k

l l j l k

28


II.2.3.4. Moment de friction Mv4

Ce moment est donné par :

4v v vM k (II.21)

Avec :

vv

d

dt

(II.22)

v : La vitesse angulaire autour de l’axe horizontal

vk : Constante de friction.

II.2.3.5. Moment d’inertie Jv

D’ après la figure II.2 on peut déterminer le moment d’inertie par rapport à l’axe

horizontal. On remarque que ce moment est indépendant de l’angle d’élévation

21

2

2

23

2

4

25

2

6

2 27

2 28

3

3

3

2

v mr m

mv m

v cb cb

bv b

v tr t

tv t

msv ms ms m

v ts ts ts t

J m l

lJ m

J m l

lJ m

J m l

lJ m

mJ r m l

J m r m l

(II.23)

ou :

msr : Le rayon de l’hélice principale

tsr : Le rayon de l’hélice secondaire

II.2.4. Sous système d’azimut

De la même façon, on peut décrire le mouvement de la tige autour de l’axe vertical, le

mouvement horizontal peut être décrit comme étant un mouvement de rotation d’un solide :

2

2

hh h

dM J

dt

(II.24)

29


Où : hM est la somme des moments des forces agissantes dans le plan horizontal, et hJ est la

somme des moments d’inertie par rapport à l’axe vertical.

Ainsi :

2

1h hi

i

M M

(II.25)

8

1h hi

i

J J

(II.26)

II.2.4.1. Moment de la force aérodynamique

Pour déterminer les moments de forces appliquées à la tige, on considère le cas

présenté dans la figure II.5.

Figure II.5. Moments des forces dans le plan horizontal.

1 cosh t h t vM l F (II.27)

Où :

t : La vitesse angulaire du rotor secondaire

h tF : Exprime la dépendance de la force aérodynamique de la vitesse angulaire

du rotor secondaire.

II.2.4.2. Moment de friction

Le moment de friction est donné par l’équation suivante :

2h h hM k (II.28)

Avec :

hk Constante de friction

thF

Axe de rotation vertical h

ml

tl

1hM

30


II.2.4.3. Moment d’inertie Ce moment est donné par :

2

1

2

2

2

3

2

4

2

5

2

6

227

228

cos3

cos3

sin3

cos

cos

sin

cos2

cos

mh m v

th t v

bh b v

h tr t v

h mr m v

h cb cb v

tsh ts ts lt v

h ms ms ms m v

mJ l

mJ l

mJ l

J m l

J m l

J m l

mJ r m l

J m r m l

(II.29)

Ou sous forme compacte :

2 2( ) cos sinh v v vJ D E F (II.30)

D, E et F sont des paramètres constants. Ils sont donnés par :

2 2

2 2

2 2

3

3 3

2

bb cb cb

m tmr ms m tr ts t

tsms ms ts

mD l m l

m mE m m l m m l

mF m r r

(II.31)

Où :

trJ : Le moment d’inertie dans le moteur secondaire,

mrJ : Le moment d’inertie dans le moteur principal,

vS : Le moment angulaire dans le plan vertical,

hS : Le moment angulaire dans le plan horizontal.

II.2.4.4. Dynamiques des propulseurs (hélices + moteurs DC)

Les deux moteurs sont à courant continu commandés en tension. On considère le

modèle simple d’un MCC (Moteur à Courant Continu) avec une charge extérieure donnée

par :

( )ib L

KI u K T

R (II.32)

31


Avec :

: Vitesse angulaire du moteur (rad/s).

u : Tension de commande (V).

I : Moment d’inertie.

R : Résistance de l’armature.

bK : Constante de la FEM.

iK : Constante du couple.

LT : Couple résistant généré par la charge.

La charge, LT , ici représente les frottements mécaniques et les frottements

aérodynamiques générés par la rotation de l’hélice. Puisque ces frottements sont difficiles à

modéliser, on a introduit une nouvelle variable vvu pour le vertical et hhu pour l’horizontal

ainsi que deux fonctions non linéaires statiques. Ensuite, il suffit de déterminer leurs

caractéristiques statiques expérimentalement

Le sous-système devient alors un système de premier ordre avec une fonction non

linéaire à sa sortie :

1vvvv mr v

mr

m v vv

duu K u

dt T

P u

(II.33)

1hhhh tr h

tr

t h hh

duu K u

dt T

P u

(II.34)

Le schéma bloc des moteurs de chaque sous-système est présenté par la figure II.6.

Figure II.6. Schéma bloc des moteurs.

Où

mrT : La constante du temps du moteur principal.

trT : La constante du temps du moteur secondaire.

mrK : Le gain statique du moteur principal.

1sT

K

mr

mr v vvP u vu

vvu m

1tr

tr

K

T s h hhP u hu hhu t

32


trK : Le gain statique du moteur secondaire.

II.2.5. Modèle d’état

En utilisant les équations précédentes, on peut écrire les équations décrivant le

mouvement du système comme suit :

21cos sin sin 2

2m v m v v v v h v

v

v

l F k g A B C HdS

dt J

(II.35)

vv

d

dt

(II.36)

tr tv v

v

JS

J

(II.37)

cos

( )t h t v h hh

h v

l F kdS

dt J

(II.38)

hh

d

dt

(II.39)

cos

( )mr m v

h h

h v

JS

J

(II.40)

En choisissant comme :

- Entrée : Tv hU u u

- Vecteur d’état : Tv v vv h h hhX S u S u

- Sortie : T

v hY

On obtient le modèle d’état ci-dessous :

1 2 6

3

2 2 6 1 1

2

3 15 1 12 2

1 1

3 3

3 14 5 2 2

1 1

5 21

cos sin

cos1sin cos

cos sin

1

cos

cos sin

1

cos sin

trh

v

m f v v v trh

v v v v

mr v

v

mr v

mr

mr v

Jx x P x

J

l S F P x K J gx x P x A B x C x

J J J J

J P x xx H x x

J D x E x F

x x K uT

J P x xx x

D x E x F

xD x E

3 16 1 52 2 2

1 1 1

6 6

coscos

cos sin

1

mr vt f h h h

tr h

tr

J P x xl S F P x x K x

x F D x E x F

x x K uT

(II.41)

33


La figure II.7 montre le diagramme fonctionnel du TRMS :

Figure II.7. Schéma bloc du TRMS 33-007-4M5 [65].

II.2.6. Le modèle découplé

En contraignant le mouvement de la tige dans un seul plan soit l’horizontal ou le

vertical, on obtient deux sous modèles chacun ayant un degré de liberté.

II.2.6.1. Modèle à 1 DDL vertical

Ce modèle est dérivé du modèle couplé, en fixant l’angle d’azimut h , et en posant

0hu .

On choisit le vecteur d’état suivant :

T

v v vvX S u (II.42)

La représentation d’état est alors :

1 2

3 2 1 1

2

3 3

( ) cos( ) sin( )

1

m v v v

v

mr v

mr

x x

l F P x k x g A B x C xx

J

x x K uT

(II.43)

Le schéma bloc du sous-système vertical est présenté par la figure II.8

hf FS vtl cos vhJ

1s1 s1

vf FS mlvJ

1 s1 s1

vh

vmr

J

J

cos

hK

h

th

-

vvh H cossin2

- tv

v

tr

J

J

Kv

vv CBAg sincos

v

hu

vu

Ph GH

Pv

Gv

hS

vS

34


Figure II.8. Schéma bloc du modèle vertical.

Remarque II.1

Le modèle vertical obtenu ne dépend pas de l’angle d’azimut h .

II.2.6.2. Modèle à 1 DDL horizontal

De la même façon que pour le modèle vertical, dans le modèle couplé on pose

0v v , 0vu et on choisit T

h h hhX S u comme vecteur d’état, on obtient le modèle

horizontal suivant :

1 2

3 0 22

0

3 3

( ) cos( )

( )

1

t h h v h

h v

tr h

tr

x x

l F P x k xx

J

x x K uT

(II.44)

Le schéma bloc du sous-système horizontal est présenté par la figure II.9

Figure II.9. Schéma bloc du modèle horizontal.

II.2.7. Paramètres du modèle

Ces paramètres peuvent être classés en trois catégories :

Paramètres physiques.

Caractéristiques non linéaires.

Les constantes de temps et les gains statiques.

Les caractéristiques non linéaires des moteurs sont données par les fonctions suivantes [65] :

6 5 4

3 2

5 4 3

2

90.99 ( ) 599.73 ( ) 129.26 ( )

1238.64 ( ) 63.45 ( ) 1283.41

2020 ( ) 194.69 ( ) 4283.15 ( )

262.

( )

(

27 ( ) 379 .8

)

6 3

v vv vv vv vv

vv vv vv

h hh hh hh hh

hh hh

P u u u u

u u u

P u u u u

u u

(II.45)

vf FS mlvJ

1s1 s1 - tv

Kv

vv CBAg sincos

v vu Pv

Gv

vS

hf FS vtl cos vhJ

1s1 s1

hK

h

th

- hu

Ph GH hS

35


Les fonctions aérodynamiques sont données par [65] :

12 5 9 4 6 3

4 2 2

14 5 11 4 7

2

v m

3

3.48 (10 ) ( ) 1.09 (10 ) ( ) 4.123 (10 ) ( )

1.632 (10 ) ( ) 9.544 (10 )

3 (10 ) ( ) 1.595 (10 ) ( ) 2.511 (10 ) ( )

1.808 (10 4) ( ) 0.080

( )

( )

80

m m m

m m

h t t t t

t t

F

F

(II.46)

Les valeurs numériques des différents paramètres sont regroupées dans le tableau (II.1) :

Paramètres Valeur

A 0.0946875 kgm2

B 0.11046 kgm2

C 0.01986 kgm2

D 0.04988 kgm2

E 0.004745 kgm2

F 0.006230 kgm2

H 0.048210 kgm2

fS 0.000843318

vJ 0.055448 kgm2

mrJ 0.000016543 kgm2

trJ 0.0000265 kgm2

ml 0.24 m

tl 0.25 m

mrT 1.432 sec

trT 0.3842 sec

mrK 1

trK 1

vK 0.0095

hK 0.00545371

g 9.81 m/s2

Tableau II.1. Paramètres du modèle de TRMS 33-007-4M5 [65].

36


II.2.8. Réponse en boucle ouverte

Les figures II.10 et II.11, montrent les réponses libres ( h vu u 0 volt) du modèle du TRMS,

avec les conditions initiales : αv=αh=0 rad.

Figure II.10. Réponses libres du modèle du TRMS.

Figure II.11. Réponses du modèle du TRMS pour h vu u 0.5 volt et αv0=αh0=0 rad.

La réponse libre du sous-système d’élévation est oscillatoire amortie, cela est due aux

forces gravitationnelles qui agissent uniquement sur le plan vertical, et poussent le simulateur

à se stabiliser en un point d’équilibre αv=-0.93 rad. Par contre, le sous-système d’élévation

reste dans sa position d’origine tant qu’il n’y pas d’excitation du rotor de queue.

Lorsqu’on excite le système, le sous-système vertical tend vers un nouveau point d’équilibre

car la commande de 0.5 volt n’est pas suffisante pour l’élever vers un angle supérieur.

Cependant, le sous système horizontal a le comportement d’un intégrateur, il diverge même

pour de petites excitations. Ceci est dû essentiellement à la faible inertie du mouvement

horizontal où il n’y a pas de force de gravité qui s’oppose au mouvement.

II.3. Modélisation d’un quadrotor à six degrés de liberté

II.3.1. Les possibilités de vol du quadrotor

Le quadrotor est doté de quatre rotors dont les hélices sont à pas fixe qui lui permettent

la sustentation par une variation de la vitesse angulaire de ses rotors.

0 50 100 150-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

alp

ha

h (

rad

)

0 50 100 150 -2

-1.5

-1

-0.5

0

Temps (s)

alp

ha

v (

rad)

0 50 100 1500

200

400

600

800

Temps (s)

alp

ha

h (

rad)

0 50 100 150-1.5

-1

-0.5

0

0.5

Temps (s)

alp

ha

v (r

ad)

37


Deux hélices de même pas sont montées en opposée et tournent dans le même sens et les deux

autres hélices tournent dans le sens opposé (figure II.12).

Figure II.12. Exemple type d’un quadrotor [66].

Les mouvements possibles du quadrotor sont présentés par la figure II.13 :

Le mouvement vertical (Sustentation) s’obtient de la contribution des quatre hélices

au même temps.

Le déplacement suivant l'axe X se produit suite à une rotation autour de l'axe Y, cette

dernière se crée à cause de la différence de portance des rotors 1-3 (Tangage θ).

Le déplacement suivant l'axe Y se produit suite à une rotation autour de l'axe X, cette

dernière se crée à cause de la différence de portance des rotors 2-4 (Roulis φ).

Le mouvement en lacet nécessite que deux rotors du même axe tournent dans un

sens tandis que les deux autres dans l’autre sens (Lacet ψ).

Figure II.13. Les mouvements du quadrotor.

c- Le lacet

1

2 3

4

a- Le tangage 3

1

2

4

1

2 3

4

b- Le roulis

38


II.3.2. Modèle Dynamique

Pour étudier le mouvement du quadrotor on utilise deux repères (figure II.14) : le

repère E(X, Y, Z) lié à la terre et supposé galiléen, le repère B(x, y, z) lié au corps du

quadrotor.

Figure II.14. Configuration du quadrotor.

Afin de pouvoir comprendre au mieux le modèle dynamique développé ci-dessous, voilà les

différentes hypothèses de travail :

La structure du quadrotor est supposée rigide.

Le centre de masse et l’origine du repère lié à la structure coïncident.

Les hélices sont supposées rigides.

Les forces de portance et de trainée sont proportionnelles aux carrés de la vitesse de

rotation des rotors.

Sous ces hypothèses, il est possible de décrire la dynamique du fuselage comme celle

d’un corps rigide dans l’espace à laquelle viennent s’ajouter les forces aérodynamiques

provoquées par la rotation du rotor. En utilisant le formalise de Newton-Euler, les équations

de la dynamique s’écrivent sous la forme suivante :

( )

f t g

f a g

v

m F F F

J J

(II.47)

où:

: représente la position du centre de masse du quadrotor par rapport au repère inertiel {E}

(liée à la terre),

m : la masse totale de la structure,

J : est la matrice d’inertie au centre de masse, exprimé dans le repère {B}, considérée

diagonale, car la structure du quadrotor est supposée symétrique.

y E x

z

F1 F4

F3 F2

M1 M4

M2 M3 mg

y

z

x

B

39


(II.48)

: désigne la vitesse angulaire du quadrotor exprimée dans le repère {B}. Elle est donnée

par :

1 0

0

0

Sin

Cos Cos Sin

Sin Cos Sin

(ІI.49)

Dans le cas où le quadrotor réalise des mouvements angulaires de faible amplitude le vecteur

peut être assimilé à , ,T

.

La matrice R est la matrice de transformation homogène reliant le repère lié au solide au

repère inertiel [60].

Rotation de l’axe z

cos( ) sin( ) 0

( , ) sin( ) cos( ) 0

0 0 1

Rot z

Rotation de l’axe y

cos( ) 0 sin( )

(y, ) 0 1 0

sin( ) 0 cos( )

Rot

Rotation de l’axe x

1 0 0

(x, ) 0 cos( ) sin( )

0 sin( ) cos( )

Rot

On a donc :

R( , , ) ( , ) ( , ) ( , )Rot z Rot y Rot x

cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin

sin cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin

sin cos sin cos cos

S

(II.50)

est la matrice anti-symétrique ; pour un vecteur donné T][ 321 elle est définie

comme suit :

0 0

0 0

0 0

x

y

z

I

J I

I

z

x

z'

x'

y, y'

x

y

x'

y'

z ,z'

y

z

y'

z'

x, x'

40


3 2

3 1

2 1

0

0

0

(II.51)

Ff est la résultante des forces de poussée générées par les quatre rotors. Elle est donnée par :

4

1

*f ii

Cos Cos Sin Sin Cos

F Cos Sin Sins Sin Cos F

Cos Cos

(II.52)

avec :

2i p iF K (II.53)

Où pK désigne le coefficient de portance et i désigne la vitesse angulaire du rotor en

question.

Ft est la résultante des forces de trainée selon (X, Y, Z). Elle est donnée par :

0 0

0 0

0 0

ftx

t fty

ftz

k

F k

k

(II.54)

où ftxk , ftyk , ftzk sont les coefficients des forces de trainée selon les trois axes.

Fg regroupe les forces liées à la gravité :

0

0gF

mg

(II.55)

f représente le vecteur résultant des moments appliqués sur la structure du quadrotor :

4 2

3 1

2 2 2 21 2 3 4

( )

( )

( )

f

d

d F F

d F F

K

(II.56)

d est la distance entre le centre de masse du quadrotor et l’axe de rotation du rotor et est dK

le coefficient de trainée.

a représente le vecteur résultant des frottements dus aux couples aérodynamique :

2

0 0

0 0

0 0

fax

a fay

faz

k

k

k

(II.57)

faxk , fayk , fazk sont les coefficients des frottements aérodynamiques selon les trois axes.

g représente l’ensemble des couples dus aux effets gyroscopiques :

41


4

1 1

0

0

( 1)

g ri i

i

J

(II.58)

avec rJ et

i représentent l’inertie et la vitesse angulaire, respectivement, du rotor en

question.

A partir des relations précédentes on obtient le modèle dynamique complet suivant qui régit le

quadrotor :

1

1

1

22

23

1{ }

1{ . }

1{ }

1[ ( ) ]

1[ ( ) ]

1[ ( )

ftx

fty

ftz

y z fax r

x

z x fay r

y

x y

z

x Cos Cos Sin Sin Sin U k xm

y Cos Sin Sin Cos Sin U k ym

z Cos Cos U k z gm

I I dU k JI

I I dU k JI

I II

24 ]fazU k

(II.59)

où, 1U , 2U , 3U et 4U sont les entrées de commande du système et s’écrivent en fonction des

vitesse angulaires des quatre rotors comme suit :

2112

2 2

23 3

244

0 0

0 0

p p p p

p p

p p

d d d d

K K K KU

K KU

K KU

K K K KU

(II.60)

et :

1 2 3 4

(II.61)

II.3.3. Dynamique du rotor

Le rotor est un ensemble constitue d’un moteur à courant continu entrainant une hélice

via un réducteur. Le moteur à courant continu est régit par la dynamique suivante :

2

e

m r s r

diV ri L k

dt

k J C k

(II.62)

Les différents paramètres du moteur sont définis comme suit :

V : est la tension d’entrée du moteur.

42


i : est la vitesse angulaire du moteur.

ek , mk : sont des constantes des couples électrique et mécanique respectivement.

rk : est la constante du couple de charge.

r : désigne la résistance du moteur.

rJ : désigne l’inertie du rotor.

sC : représente le frottement.

En négligeant l’effet inductif des moteurs à cause de leur taille réduite, le modèle dynamique

des moteurs est approximé par :

2

210 iiii bV 4,1i (II.63)

avec r

r

r

me

r

s

J

k

rJ

kk

J

C 210 ,, et

r

m

rJ

kb .

Le modèle (II.59) développé précédemment peut être réécrit dans l’espace d’état sous

la forme ( ) ( )x f x g x U en considérant 1 12[ ..... ]TX x x comme vecteur d’état du

système.

Soit :

],,,,,,,,,,,[ zzyyxxX (II.64)

De (II.59) et (II.64) on obtient la représentation d’état suivante :

1 2

12 9 2

3 4

14 10 4

5 6

9 116 11 6 1

7 8

28 8 8 7 10 12 3 4

9 10

210 5 10 4 8 12 6 12 2 3

11 12

212 2 12 1 10 8 3 10 1 2

cos cos

x

y

x x

Ux a x U

m

x x

Ux a x U

m

x x

x xx a x U g

m

x x

x a x a x x b U

x x

x a x a x x a x b U

x x

x a x a x x a x b U

(II.65)

43


1 2 3

4 5 6

7 8 9 10 11

1 2 3

, ,

, ,

, , , ,

1, ,

y z fax r

x x x

fayz x r

y y y

x y faz ftx fty ftz

z z

x y z

I I K Ja a a

I I I

KI I Ja a a

I I I

I I K K K Ka a a a a

I I m m m

d db b b

I I I

(II.66)

où :

11 9 7 11 7

11 9 7 11 7

cos sin cos sin sin

cos sin sin sin cos

x

y

U x x x x x

U x x x x x

(II.67)

Les Paramètres mécanique et électrique du modèle du quadrotor sont regroupés dans le

tableau (II.2) [67] :

Paramètres Désignation Valeur

pK Coefficient de portance 52.9842 10 . / /N m rad s

dK Coefficient de trainée 72.2320 10 . / /N m rad s

m Masse de quadrotor 486 g

d Distance entre le centre de

masse du quadrotor et l’axe de rotation du rotor

25 cm

J Matrice d’inertie du quadrotor

3 23.8278,3.8288,7.6566 10 . / /diag N m rad s

faK Coefficient des frottements aérodynamique

45.5670,5.5670,6.3540 10 . / /diag N m rad s

ftK Coefficient des forces de

trainées selon , ,X Y Z 45.5670,5.5670,6.3540 10 . / /diag N m m s

rJ Inertie du rotor 5 22.8385 10 . / /N m rad s

ek Constante du couple électrique

0.0216

sC Frottement 35.8326 10

rk Constante du couple de charge

73.4629 10

Tableau II.2. Paramètres mécanique et électrique du modèle du quadrotor.

44


II.4. Conclusion

Nous avons présenté, dans ce chapitre, une modélisation analytique d’un hélicoptère à

deux degrés de liberté de type TRMS 33-007-4M5. Le modèle obtenu est non linéaire et

fortement couplé. Afin de simplifier la tâche de développement des lois de commande, nous

avons considéré le découplage du modèle complet en deux sous systèmes, selon les deux

plans vertical et horizontal. Ensuite, nous avons envisagé la modélisation dynamique d’un

hélicoptère à six degrés de liberté de type quadrotor. En effet, nous avons utilisé le

formalisme de Newton-Euler pour établir un modèle qui décrit presque tous les phénomènes

physiques agissant sur le quadrotor. Le modèle établi montre la nature couplée, complexe,

non linéaire, multi variable et sous-actionné de ce système. Les modèles obtenus seront

utilisés, dans les chapitres suivants, pour mettre en œuvre les différentes lois de commande.

Chapitre III Commande par linéarisation entrée-sortie

Chapitre III

Commande par linéarisation entrée-sortie

45


III.1. Introduction

La synthèse de la commande d’un hélicoptère est généralement difficile. Cette

difficulté provient soit de la non linéarité de ses équations dynamiques et/ou le fort couplage

entre eux, soit de l’incertitude sur les paramètres aérodynamiques, qui est souvent inconnue.

Ces problèmes deviennent de plus en plus difficiles à contourner par les algorithmes de

commande classiques, telle que la commande à actions proportionnelles, intégrales et

dérivées, surtout lorsque les exigences de la dynamique du système bouclé sont trop strictes.

Pour se faire, de nombreuses stratégies de commande non linéaires ont été étudiées et

appliquées sur les hélicoptères drones, et ce, dans le but d’aboutir à des algorithmes de

commande de haute performance permettant le rejet des perturbations non mesurables et

assurant une bonne robustesse vis-à-vis des incertitudes paramétriques. Grace à sa simplicité,

la commande par linéarisation entrée-sortie, a été appliquée sur plusieurs types de systèmes

non linéaires et a montré une bonne efficacité. Son principe consiste à trouver une

transformation qui permet de compenser les non linéarités du modèle et ainsi rendre la

relation entre la sortie d’un système et son entrée complètement linéaire. Nous nous

envisageons, dans ce chapitre, d’appliquer cette stratégie de commande sur les modèles des

deux types d’hélicoptères, déjà donné dans le chapitre précédent, en vue de régler leur

position.

III.2. Commande par linéarisation entrée-sortie

III.2.1. Commande par linéarisation entrée-sortie des systèmes monovariables

Soit le système non linéaire suivant :

( ( )) ( ( )) ( )

( ( ))

x f x t g x t u t

y h x t

(III.1)

- x est un vecteur de nR (le vecteur d'état du système),

- u est un scalaire représentant l'entrée (c-à-d la commande),

- y est un scalaire représentant la sortie,

- ( ( )), ( ( ))et ( ( ))f x t g x t h x t sont des fonctions non linéaires.

III.2.1.1. Degré relatif

Nous introduisons maintenant la notion de degré relatif d'un système. C'est une notion

très importante car elle est à la base d'une condition nécessaire et suffisante permettant

d'affirmer ou d'infirmer le fait que le système soit linéarisable de manière exacte.

46


Définition III.1

Le degré relatif (noté r) d'un système SISO (single input single output) peut être défini

de manière intuitive comme étant, le nombre minimum de fois qu'il faut dériver par rapport au

temps l'expression de la sortie (y) pour voir apparaître explicitement l'entrée (u) est donnée

par :

(1)1

(2)2

( 1)1

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

.

.

.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

rr

r

y x h x

y x h x

y x h x

y x h x

y x a x b x u

(III.2)

Remarque III.1

Le degré relatif n'est pas défini aux points x de l'espace d'état tel que

a(x) = 0.

III.2.1.2. Dérivée de Lie

Soit : nh R R une fonction scalaire et : n nf R R un champ de vecteur.

On utilise la notation ( ) : nfL h x R R pour designer la fonction scalaire ( ) ( )f

hL h x f x

dx

qui est aussi appelée la dérivée de Lie de h dans la direction du champ de vecteur f.

De la même manière, on peut noter, pour k =0, 1, 2, 3,…………

1

0

( ) ( ) ( ( )) ( )

( ) ( )

kk kf fk

f

hL h x f x L h x f x

dx x

L h x h x

(III.3)

Remarque III.2

- Le degré relatif r est le nombre de fois qu’il faut dériver la sortie y pour que la commande u

apparaisse ; cela se vérifie comme suit :

(III.4)

et comme ( ) 0gL h x alors : ( )fy L h x

( ) ( )

( ) ( )f g

h h hy x f x g x u

x x x

y L h x L h x u

47


De la même manière on trouve :

2

( 1) 1

( ) 1

( ) 1

( )

.

.

( )

( )

( ) ( )

f

r rf

r rf

r r rf g f

y L h x

y L h x

y L h x xx

y L h x L L h x u

(III.5)

III.2.1.3. Forme normale

La notion de forme normale d'un système non-linéaire est basée sur la définition d'un

nouveau vecteur d'état au moyen d'un changement de variables. Ce nouveau vecteur d'état

permet d'exprimer les équations d'état du système sous une forme considérablement plus

simple que celle de départ. Par la suite, lorsque nous devrons appliquer une régulation d'état

au système, il sera plus aisé d'utiliser les équations exprimées en forme normale.

Changement de variable

Pour tout point x de l'espace d'état en lequel le degré relatif r est défini, nous pouvons

définir un nouveau vecteur d'état ( )z x . Les r premières composantes de ( )x sont

définies comme étant les dérivées d'ordre 0 à ( 1)r de la sortie donnée par :

1

(1)2

(2)3

( 1)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

.

.

.

( ) ( )rr

x y x

x y x

x y x

x y x

(III.6)

II a été démontré dans [68] que r ≤ n et que ces r fonctions qualifient un changement

de variable partiel régulier. Il a été également démontré que si r < n, il est possible de trouver

des fonctions 1, ,.......,r r telles que le changement de variable complet soit régulier. De

plus, il est possible d'assurer que l'expression de leur dérivée temporelle ne fasse pas

apparaître l'entrée explicitement.

Equations d'état

Pour chacune des ( 1)r premières composantes du vecteur d'état, sa dérivée est égale

à la composante suivante du vecteur d'état. Autrement dit :

48


(1)1 2

(3)2 3

( )1

( )

( )

.

.

.

( )rr r

z y x z

z y x z

z y x z

(III.7)

Pour la composante d'ordre r, étant donné (III.7), nous obtenons :

( ) ( ) ( ) ( )rrz y x a x b x u (III.8)

Vu que le changement de variable est régulier, nous en déduisons :

1 1( ( )) ( ( ))

( ) ( )

r

z z

z a z b z u

a z b z u

(III.9)

Avec ( ) 0za z par définition du degré relatif.

Si les 1 ,.......r n ont été choisies telles que leur dérivée ne fasse pas apparaître u, nous

obtenons pour r + 1 < i < n :

( )i iz q z (III.10)

( )iq z représente la dynamique des zéros.

Forme normale

Les équations d'états prennent donc la forme :

1 2

2 3

1

1 1

.

.

( ) ( )

( )

.

.

( )

r r

r z z

r

n n

z z

z z

z z

z a z b z u

z q z

z q z

(III.11)

La sortie s'exprime simplement par y=z1.

La structure de ces équations est illustrée dans la figure III.1. Le système représenté sous cette

forme est dit représenté en forme normale.

49


Figure III.1. Schéma d'un système monovariable en forme normale.

III.2.1.4. Linéarisation exacte par régulation d'état statique

La régulation d'état statique consiste à appliquer au système une entrée ne dépendant

que de son vecteur d'état actuel (x) et d'une entrée de référence (v) :

( ) ( )u x x v (III.12)

Le système régulé est donc de la forme :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ( ))

x f x g x x g x x u t

y h x t

(III.13)

La figure III.2 illustre le bloc diagramme de cette régulation.

Figure III.2. Linéarisation exacte par régulation d'état statique.

III.2.1.5. Linéarisation exacte d'un système en forme normale

Considérons un système exprimé en forme normale et tel que son degré relatif soit

égal à son degré propre (r = n).

1 2

2 3

1

.

.

( ) ( )

n n

n z z

z z

z z

z z

z a z b z u

(III.14)

vxx

xhy

uxgxfx

u y

x

v

uzazb zz

u rz rz 2z yz 1

1rz nz

nir

zqz ii

1

50


Nous avons vu dans l'équation (III.9) que ( ) 0za z . Nous pouvons donc appliquer

l'entrée suivante au système :

1

( ) ( )( )

z

z

u z b z va z

(III.15)

Les équations d'états du système régulé sont donc :

1 2

2 3

1

.

.

n n

n

z z

z z

z z

z v

(III.16)

La figure III.3 illustre le schéma bloc correspondant.

Figure III.3. Schéma du système linéarisé.

Le système régulé peut donc être considéré comme une chaîne d'intégrateurs, c'est-à-

dire un système linéaire et commandable. En assignant la dérivée d'ordre n de la sortie de

référence (y(r)) à l'entrée de référence (v), nous obtenons bien la sortie de référence comme

sortie du système (y = y(r)).

Remarque III.3

Nous venons de voir que la condition r = n est suffisante à la linéarisation exacte du

système. Il a été démontré dans [68] que cette condition est nécessaire.

III.2.1.6. Linéarisation exacte d'un système en forme quelconque

La linéarisation présentée dans la section précédente repose sur deux opérations :

un changement de variable ( )z z .

une régulation d'état.

On peut démontrer que l'ordre de ces deux opérations n'a pas d'importance [68]. De

plus, il n'est pas nécessaire de passer par la forme normale pour calculer l'expression de u. En

effet, dans le cas où r = n, nous pouvons calculer directement u(x) à partir de l'expression de

( )ry (équations (III.2) et (III.5)) [68].

1

( ) ( )( )

u x a x vb x

nzV nz 3z 2z yz 1

51


1

1 rfr

g f

u x L h x vL L h x

(III.17)

III.2.2. Commande par linéarisation entrée-sortie des systèmes multivariables

La commande par bouclage non linéaire des systèmes multivariables consiste à

transformer, par bouclage, le système en systèmes monovariables indépendants. Avant

tout, on considère que le système non linéaire de p entrées et p sorties a pour forme:

Figure III.4. Découplage d’un système non linéaire multivariable.

p

i

ii uxgxfx1

(III.18)

i iy h x 1,2, ,i p (III.19)

Où 1 2, , nx x x x est le vecteur d’état, 1 2, , pu u u u est le vecteur des commandes

et iy représente le vecteur des sorties. f, gi sont des champs de vecteurs lisses et hi est une

fonction lisse.

Soit le système défini par :

x f x g x u

y h x

Avec

n

p

p

x

u

y

(III.20)

En dérivant la sortie y, on obtient l’équation suivante :

uxBxAy (III.21)

Définition III.2

Le degré relatif noté r de la sortie yp est le plus petit ordre de dérivation k tel que l’on

ait :

( ), ,

, 0

kp k p k p

k p

y A x B x u

Avec B x

(III.22)

Le système défini par (III.20) est découplable par bouclage statique si et seulement si :

1u

pu

1y

py

1

p

1v

pv

1y

py

52


1

1

1

, ,

, ,

prrp

p

y yrang p

u u

(III.23)

Le problème consiste à trouver une relation linéaire entre l’entrée et la sortie en

dérivant la sortie jusqu’à ce qu’au moins une entrée apparaisse en utilisant l’expression :

1

1

j j

pr rrj

j j j gi f j ii

y L h x L L h x u

Avec 1,2,3,j p (III.24)

Qui peut être exprimé sous forme matricielle :

1

1 0 0p

Trrpy y A x B x u (III.25)

avec

xhL

xhL

xA

prf

rf

p

1

0

1

et

xhLLxhLLxhLL

xhLLxhLLxhLL

xhLLxhLLxhLL

xB

prfgp

rfgp

rfg

rfg

rfg

rfg

rfg

rfg

rfg

p

p

pp

p

p

111

21

21

21

11

11

11

0

21

22

2

2

1

11

2

1

1

La loi de linéarisation est donnée donc sous la forme :

10 0u B x A x V (III.26)

xB0 doit être une matrice inversible.

Le vecteur (V) représente les nouvelles commandes conçues afin d’imposer une

nouvelle dynamique.

Remarque III.4

Dans le cas où la matrice xB0 n’est pas inversible, il faut faire un retour d’état

dynamique comme le montre la figure III.5.

Figure III.5. Retour d’état dynamique.

Ou 1 représente l’ordre de la dérivée de la commande 1u

III.3. Commande par linéarisation entrée-sortie appliquées au TRMS

Nous allons synthétiser deux lois de commandes linéarisantes pour chaque sous-

système. Ensuite, nous appliquons une commande linéaire, à savoir « le placement de pôle »

sur les modèles obtenus.

py

1y1u

pu

xB 10 n’ést

pas inversible

1

py

1y

pu

xB 10

inversible

1u

53


III.3.1. Calcule du degré relatif

Reprenons la représentation d’états du sous système vertical :

vvv

vvv

udxCx

xgxbxfx

xx

33

1232

21

(III.27)

mr

mrv

mrv

v

vv

T

Kd

Tc

J

Kb

,1

(III.28)

3 3

1 1 1

( )

cos sin

mv f v v

v

vv

lf x S F P x

J

gg x A B x C x

J

(III.29)

Nous dérivons y jusqu’à l’apparition de la commande on trouve :

1 2y x x (III.30)

2 3 2 1v v vy x f x b x g x (III.31)

3 13 3 2 1 2

3 1

( ) ( )v vv v v v v v v

f x g xy C x d u b f x b x g x x

x x

(III.32)

Puisque la commande apparaît dans la 3ème dérivée de la sortie y=x1 donc le sous

système vertical a par conséquent un degré relatif rv=3. Ceci nous permet de conclure que le

sous-système vertical est complètement linéarisable.

Les mêmes étapes sont reprises afin d’extraire le degré relatif du sous système horizontal. On

trouve rh=3.

III.3.2. Synthèse de la loi de commande

La loi de commande par linéarisation entrée-sortie est donnée par l’équation suivante :

vxhL

xhLLu r

frfg

1

1 (III.33)

avec v est un placement des pôles dans le plan de Z.

La loi de commande pour chaque sous système horizontal et vertical est donc calculée par :

hhhh

hh

hh

h vxbxfbxx

fc

x

fd

u 5666

6

1 (III.34)

v

vvvvv

vv

vv

v vxx

xgxgxbxfbx

x

fc

x

fd

u 21

11233

3

3

1 (III.35)

54


vv et hv sont obtenus avec un placement des pôles adéquat qui assure la convergence du

système. Ils sont donnés par :

56655444

123322111

xbxfxxx

xgxbxfxxx

v

v

hhd

vvvd

h

v

(III.36)

où les valeurs de 1 6,..., sont choisies de tel sorte que l’équation caractéristique du sous

système horizontal dans le plan Z est 75.446.252.2 2 sss et celle du sous système

vertical est 98.712.287.1 2 sss . Le schéma bloc de la commande du TRMS est présenté

dans la figure III.6.

Figure III.6. Schéma bloc de la commande par linéarisation entrée-sortie appliquée au modèle du TRMS 33-007-4M5.

III.3.3. Résultats de simulation

Les figures III.7 à III.9 présentent les résultats de simulation de la technique de

linéarisation entrée-sortie appliquée au modèle du TRMS. Toutes les simulations ont été

effectuées avec les positions initiales αh (0)= 0 rad et αv (0)= -0.93 rad pour les sous systèmes

horizontal et vertical respectivement. A partir de ces figures nous pouvons constater, que ce

soit dans le cas d’une trajectoire carrée (figures III.7 (a) et (b)) ou sinusoïdale (figures III.8 (a)

et (b)), que l’erreur de poursuite et la valeur du dépassement sont faibles. Nous pouvons

également constater que les signaux de commande sont relativement lisses (figures III.7 (c) et

(d), figures III.8 (c) et (d)).

Pour conclure sur la robustesse de cette technique de commande vis-à-vis des

perturbations externes, nous avons augmenté, durant l’intervalle du temps [10 s 15 s], la

valeur de la force aérodynamique pour les deux sous-systèmes horizontal et vertical (figures

dx1 vu

dx4 41 xy

TRMS 33-007- 4M5

Horizontal

Vertical 12 xy

Placement des pôles

hv Commande par

linéarisation entrée-sortie

vv Commande par


Placement des pôles

hu

55


III.9 (a) – (d)). Nous remarquons qu’il y a une dégradation sévère des performances de

poursuite ; cette dégradation disparait avec l’annulation de cette augmentation.

Figure III.7. Performances de commande dans le cas d’une trajectoire carrée : (a) et (b) réponses du système, (c) et (d) signaux de commande.

Figure III.8. Performances de commande dans le cas d’une trajectoire sinusoïdale : (a) et (b) réponses du système, (c) et (d) signaux de commande.

(a) (b)

(c) (d)

(a) (b)

(c) (d)

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

alp

ha

h (

rad)

Désiré Actuel Désirée Réelle

1

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

Temps (s)

alp

ha

v (

rad)


0 10 20 30 40 50 60-3

-2

-1

0

1

2

3

uh (

vo

lt)

Temps (s)0 10 20 30 40 50 60

-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uv (

vo

lt)

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

alp

ha

h (

rad)


0 10 20 30 40 50 60 -1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

alp

ha

v (r

ad)


0 10 20 30 40 50 60 -3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uh (

vo

lt)

Temps (s)

0 10 20 30 40 50 60-3

-2

-1

0

1

2

3

uv

(vo

lt)

56


Figure III.9. Performances de commande en présence d’une perturbation externe: (a) et (b) réponses du système, (c) et (d) signaux de commande.

III.4. Commande par linéarisation entrée-sortie appliquées au quadrotor

III.4.1. Stratégie de commande

Toutes les commandes stabilisantes sont conçues afin d’assurer la poursuite des

trajectoires désirées suivant les trois axes (X, Y, Z) et l’angle du lacet ψ. La stratégie de

commande adoptée est basée sur la décomposition du système d'origine en deux sous

systèmes : le premier concerne la commande en position tandis que le second est celui de la

commande en orientation. Les angles de roulis et de tangage désirés sont calculés par :

arcsin sin cosd x yU U (III.37)

sin sinarcsin

cos cos cos cosx

d

U

(III.38)

où Ux et Uy sont données par l’équation (II.67).

Le schéma de la figure (III.10) illustre la stratégie de commande adoptée :

(a) (b)

(c)

0 5 10 15 20 25 30 35-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

alp

ha

v (

rad)

Désirée Réelle

Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv

Fh Fv

0 5 10 15 20 25 30 35-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uh (

vo

lt)

(d)

0 5 10 15 20 25 30 35-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uv (

vo

lt)

Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv

Fh Fv

Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv

Fh Fv

0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

Temps (s)

alp

ha

h (

rad)

Désirée Réelle

57


Figure III.10. Schéma général de commande du quadrotor.

III.4.2. Synthèse de la commande par linéarisation entrée-sortie

Etant donné le modèle dynamique du système sous la forme d’état (II.59), la fonction f x est

alors :

2

9 2

4

10 4

6

11 6

8

28 8 7 10 12

10

25 10 4 8 12 6 12

12

22 12 1 10 8 3 10

x

a x

x

a x

x

a xf x x

a x a x x

x

a x a x x a x

x

a x a x x a x

, (III.39)

et le vecteur de sortie Y est défini par :

1

3

5

7

9

11

x

x

xY

x

x

x

(III.40)

III.4.2.1. Sous système de translation

Le degré relatif de ce sous-système se calcule de la manière suivante :

,,

zyx ,,

z

z

y

y

x

x

Contrôleur de position

1U

2U

3U

4U

, ,

, ,

, ,

d d d

d d d

d d d

d

x y z

x y z

x y z

,

,

,

d d

d d

d d

d

d

d

Contrôleur d’orientation

58


1 1

1 1 2

11 2 9 2 x

y x

y x x

Uy x a x U

m

(III.41)

Alors le degré relatif est : 1 2r

2 3

2 3 4

12 4 10 4 y

y x

y x x

Uy x a x U

m

(III.42)


3 5

3 5 6

9 113 5 11 6 1

cos cos

y x

y x x

x xy x a x U g

m

(III.43)


1 2 3 16r r r n (III.44)

1n étant l’ordre du sous système de translation ; cela induit la non existence d’une dynamique

de zéros.

Le difféomorphisme

011 1 1 1

12 1 1 2

21 2 3

22 2 3 4

31 3 5

32 3 5 6

f

f f

f f

f f

z L h x y x

z L h x L x x

z h x x

z L h x L x x

z h x x

z L h x L x x

(III.45)

Alors

11 1

12 2

21 3

22 4

31 5

32 6

z x

z x

z x

z x

z x

z x

et

1 11 1 2 2

1 12 2 9 2 1

2 21 3 4 2

2 12 4 10 4 2

31 5 6

3 9 112 6 11 6 1 3

cos cos

x

y

z x x z

Uz x a x U v

m

z x x z

Uz x a x U v

m

z x x

x xz x a x U g v

m

(III.46)

Tel que

1 1 1 1 2 2 1

2 3 3 3 4 4 3

3 5 5 5 6 6 5

d d

d d

d d

v k x x k x x

v k x x k x x

v k x x k x x

(III.47)

59


Pour la synthèse des différentes lois de commande stabilisantes nous avons utilisé la

technique de placement de pôles. Les pôles choisis sont comme suit :

1 2

3 4

5 6

0.2782 6.7218

0.2619 2.1381

0.6972 4.3028

p p

p p

p p

(III.48)

Après calcul des différents polynômes caractéristiques et identification des

coefficients ik , les valeurs de ces derniers sont comme suit :

1

2

3

4

5

6

1.87

7

0.56

2.4

3

5

k

k

k

k

k

k

(III.49)

Par identification terme à terme entre le système d’équations (III.46) et le système

d’équations (III.47), il en résulte que les trois lois de commande du sous système de

translation sont comme suit :

1 1 1 2 2 9 21

3 3 3 4 4 10 41

1 5 5 5 6 6 11 69 11cos cos

x d

y d

d

mU k x x k x a x

U

mU k x x k x a x

U

mU k x x k x g a x

x x

tel que 1 0U et 9 11cos cos 0x x (III.50)

III.4.2.2. Sous-système d’orientation

Le degré relatif de ce sous-système se calcule comme suit :

4 7

4 7 8

24 2 8 8 7 10 12 3 4

y x

y x x

y x a x a x x b U

(III.51)


5 9

5 9 10

25 9 5 10 4 8 12 6 12 2 3

y x

y x x

y x a x a x x a x b U

(III.52)


6 11

6 11 12

26 11 2 12 1 10 8 3 10 1 2

y x

y x x

y x a x a x x a x b U

(III.53)


60


4 5 6 26r r r n (III.54)

2n étant l’ordre du sous système de translation ; cela montre qu’il n’y a pas une dynamique de

zéros.

Le difféomorphisme

041 4 4 7

42 4 7 8

51 5 9

52 5 9 10

61 6 11

62 6 11 12

f

f f

f f

f f

z L h x y x

z L h x L x x

z h x x

z L h x L x x

z h x x

z L h x L x x

(III.55)

Alors

41 7

42 8

51 9

52 10

61 11

62 12

z x

z x

z x

z x

z x

z x

et

4 41 7 8 2

4 22 8 8 8 7 10 12 3 4 4

5 51 9 10 2

5 22 10 5 10 4 8 12 6 12 2 3 5

61 11 12

6 22 12 2 12 1 10 8 3 10 1 2 6

z x x z

z x a x a x x b U v

z x x z

z x a x a x x a x b U v

z x x

z x a x a x x a x b U v

(III.56)

Tel que

4 7 7 7 8 8 7

5 9 9 9 10 10 9

6 11 11 11 12 12 11

d d

d d

d d

v k x x k x x

v k x x k x x

v k x x k x x

(III.57)

Les pôles choisis sont comme suit :

7 8

9,10

11,12

1.1127 1.8873

1.5 1.9365

2.5 0.866

p p

p j

p j

(III.58)

et les valeurs des coefficients ik , obtenues de la même manière que dans le cas du sous-

système de translation, sont données par :

7

8

9

10

11

12

2.1

3

6

3

7

5

k

k

k

k

k

k

(III.59)

Il en résulte que les trois lois de commande du sous système d’orientation sont comme suit :

61


24 7 7 7 8 8 8 8 7 10 12

3

23 9 9 9 10 10 5 10 4 8 12 6 12

2

22 11 11 11 12 12 2 12 1 10 8 3 10

1

1

1

1

d

d

d

U k x x k x a x a x xb

U k x x k x a x a x x a xb

U k x x k x a x a x x a xb

(III.60)


Dans cette simulation nous avons utilisé, pour calculer les différentes lois de

commande développées dans la section précédente, l’ensemble des paramètres du modèle du

quadrotor qui sont donnés dans le tableau II.2. Nous avons également considéré des

trajectoires de référence en échelon et de forme sinusoïdale. Les performances de commande

obtenues sont illustrées par les figures III.11 à III.20.

Nous remarquons qu’il y a une bonne poursuite des trajectoires de référence en

échelon (figures III.11 et III.12). Cependant, des dépassements sont observés dans le cas des

directions (y, , ), (figures III.11 (b), III.12 (a) et (b)). Ces dépassements ne sont pas tolérés

et peuvent être dangereux lorsqu’il s’agit d’un atterrissage. Les figures III.13 (a – d), montrent

que les commandes obtenues sont plus ou moins lisses. La figure III.14 présente la vitesse

angulaire des quatre rotors, tandis que la figure III.15 illustre la forme de la trajectoire globale

en trois dimensions.

Figure III.11. Résultats de poursuite, dans le cas des trajectoires de référence en échelon, selon les

axes , , ,X Y Z .

(a)

(c)

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Temps (s)

x (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Temps (s)

z (m

)

Désirée Réelle

(b)

(d)

0 10 20 30 40 50 60

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

Temps (s)

ksi (

rad)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps (s)

y (m

)

Désirée Réelle

62


Figure III.12. Résultats de poursuite, dans le cas des trajectoires de référence en échelon, selon , .

Figure III.13. Signaux de commande, dans le cas des trajectoires de référence en échelon.

(a) (b)

(a) (b)

(c) (d)

Figure III.14. Vitesses angulaires des quatre rotors, dans le cas des

trajectoires de référence en échelon.

Figure III.15. Trajectoire globale du quadrotor en 3D, dans le cas des


0 10 20 30 40 50 60-20

-15

-10

-5

0

5

x 10

Temps (s)

phi (

rad)

-3

0 10 20 30 40 50 60-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

Temps (s)

theta

(ra

d)

0 10 20 30 40 50 601

2

3

4

5

6

7

8

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

1 (

N)

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

2 (

N)

-3

0 10 20 30 40 50 60-4

-2

0

2

4

6

x 10

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

3 (

N)

-3

0 10 20 30 40 50 60-2

0

2

4

6

8

10x 10

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

4 (

N.m

)

-3

0 10 20 30 40 50 600

50

100

150

200

250

Temps (s)

vite

sse

wi (

rad/s

)

w1 w2 w3 w4

00.5

11.5

22.5

0

0.5

1

1.5

20

0.5

1

1.5

2

x (m)y (m)

z (m

)

Désirée

Réelle

63


Dans le cas des trajectoires en forme sinusoïdale, nous remarquons que l’erreur de

poursuite est importante (figures III.16 (a) – (c)) et que les commandes calculées n’arrivent

pas à stabiliser les angles , à la valeur zéro (figures III.17 (a) et (b)). La figure III.20

montre la forme, en trois dimensions, de la trajectoire globale dans ce cas.

Figure III.16. Résultats de poursuite, des trajectoires en forme sinusoïdale, selon les axes , , ,X Y Z .

Figure III.17. Résultats de poursuite, des trajectoires en forme sinusoïdale, selon , .

(a) (b)

(c)

(a)

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Temps (s)

x (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

6

7

8

Temps (s)

z (m

)

Désirée Réelle

600 10 20 30 40 50-0.02

-0.015

-0.01 -0.005

0

0.005 0.01

0.015 0.02

Temps (s)

the

ta (

rad

)

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

y (m

)

1.5

Désirée Réelle

(d)

0 10 20 30 40 50 60

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

Temps (s)

ksi (

rad)

Désirée Réelle

(b)

0.04

0 10 20 30 40 50 60

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01 0.02 0.03

Temps (s)

phi (

rad)

64


Figure III.18. Signaux de commande dans le cas des trajectoires en forme sinusoïdale.

III.5. Commande par linéarisation entrée-sortie avec extension dynamique appliquée au quadrotor

III.5.1. Synthèse de la commande avec un modèle simplifié du quadrotor

Reprenons le modèle dynamique du quadrotor donné par l’équation (II.59), en utilisant

l’hypothèse des petits angles tout en ignorant les couples aux effets gyroscopiques, les

frottements aérodynamiques et les forces de trainées, nous obtenons le modèle dynamique

simplifié suivant :

Figure III.19. Vitesses angulaires des quatre rotors dans le cas des trajectoires en forme sinusoïdale.

Figure III.20. Trajectoire globale en

3D (cas des formes sinusoïdales).

0 10 20 30 40 50 600

50

100

150

200

250

Temps (s)

vite

sse w

i (ra

d/s

)

w1

w2

w3

w4

-1-0.5 0

0.51

-1 0

10

1

2

3

4

5

6

7

y (m)

z (m

)

Désirée Réelle

x (m)

(a)

7

0 10 20 30 40 50 60

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

1 (

N)

-3

0 10 20 30 40 50 60

-8

-6

-4

-2

0

2

4x 10

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

2 (

N)

(b)

(d)

0 10 20 30 40 50 60-2

0

2

4

6

8

10x 10

-3

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

4 (

N.m

) (c)

0 10 20 30 40 50 60-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1x 10

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

3 (

N)

-3

65


1

1

1

2

3

4

1

1

1

1

x

y

z

x U Sinm

y U Sinm

z Cos Cos U gm

dU

I

dU

I

UI

(III.61)

III.5.1.1. Commande des postions (x, y, z) et des angles (φ,θ)

Le modèle du sous système de translation de l’équation (III.61) peut se réécrire sous la

forme matricielle suivante :

1

2

3

1sin 0 0

01

0 sin 0 0

1sin cos 0 0

m Ux

y Um

z g U

m

(III.62)

La loi de commande est calculée par :

1U B A V

(III.63)

Avec :

1sin 0 0

1sin 0 0

1sin cos 0 0

m

Bm

m

et

0

0A

g

(III.64)

Le vecteur 1 2 3, ,V v v v représente les nouvelles commandes conçues afin d’imposer

une nouvelle dynamique. La matrice B n’est pas inversible, il faut faire un retour d’état

dynamique en intégrant la commande U1 deux fois. Nous obtenons alors :

66


211

(4)

(4) 211

(4)

2 21 1 1 1

1

1

2cos sin

2cos sin

2 2 2sin cos sin sin sin cos cos cos

1 1sin 0 cos

1 1sin cos 0

1cos cos

y

y

UU

m mxU

y Um m

zU U U U

m m m

dU

m m I

dU

m m I

m

1

2

3

1 1

1 1sin cos cos sin

x y

U

U

Ud d

U Um I m I

(III.65)

avec :

1

1

1

2 1

3

1 1

211 1

211 2

1 1

1 1sin 0 cos

1 1sin cos 0

1 1 1cos cos sin cos cos sin

2cos sin

2cos sin

2 2sin cos sin

y

y

x y

dU

m m IU

dU U

m m IU

d dU U

m m I m I

UU v

m m

UU v

m m

U Um m

2 21 1 3

2sin sin cos cos cosU U v

m

(III.66)

et :

(4) (3)1 1 2 3 4

(4) (3)2 1 2 3 4

(4) (3)3 1 2 3 4

x x x x x x x xd

y y y y y y y yd

z z z z z z z zd

v x k e k e k e k e

v y k e k e k e k e

v z k e k e k e k e

(III.67)

dx xxe , dy yye , dz zze

Nous pouvons choisir les gains 41 ,, xx kk , 41 ,, yy kk , 41 ,, zz kk , afin d'obtenir la

dynamique d'erreurs stables et convergeant vers zéros.

III.5.1.2. Commande de l’angle (ψ)

Pour la commande de l’angle de lacet nous avons choisi d’utiliser le régulateur PD

décrit par l’équation suivante :

4 1 2d d dU k k (III.68)

où 1k est le gain dérivé et 2k est le gain proportionnel.

La figure III.21 présente le schéma de commande adoptée :

67


Figure III.21. Schéma bloc de la commande du quadrotor par linéarisation entrée-sortie avec extension dynamique.


Dans cette section, nous présentons les résultats de simulation de la commande par

linéarisation entrée-sortie avec extension dynamique appliquée au modèle du quadrotor. Nous

avons effectué ces simulations en utilisant les lois de commande développées ci-dessus et les

valeurs des paramètres du modèle du quadrotor regroupées dans le tableau II.2. Les résultats

obtenus sont représentés par les figures III.22 à III.29.

Les figures III.22 à III.26 montrent les performances de commande obtenues dans le

cas des trajectoires en échelon. Nous obtenons, une bonne précision de poursuite et nous

remarquons que, dans ce cas, la poursuite s’effectue sans aucun dépassement (figure III.22 (a)

– (d)). Les figures III.23 (a) et (b) montrent la convergence des angles , vers zéro.

Egalement, les signaux de commande obtenus, dans ce cas, sont plus ou moins lisses.

Figure III.22. Résultats de poursuite, dans le cas des trajectoires de référence en échelon, selon les

axes , , ,X Y Z .

(a) (b)

(c) (d)

Quadrotor

,

x

x

y

y

z

z

Placement de pole

, ,x y z

1

s

Commande par


Commande PD de

l’angle ψ

dx

dy

dz

d

1U

1U

2U

3U

1v2v

3v

U4

1

s

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps (s)

y (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Temps (s)

x (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Temps (s)

z (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

Temps (s)

ksi (

rad)

Désirée Réelle

68


Figure III.23. Résultats de poursuite, dans le cas des trajectoires de référence en échelon, selon , .

Figure III.24. Signaux de commande, dans le cas des trajectoires de référence en échelon.

(a) (b)

Figure III.25. Vitesses angulaires des quatre rotors, dans le cas des


Figure III.26. Trajectoire globale du

quadrotor en 3D, dans le cas des


00x (m) y (m)

0.51

1.52

2.5

0.5

1

1.5

20

0.5

1

1.5

2

z (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

Temps (s)

phi (

rad)

0 10 20 30 40 50 60-0.04

-0.02

0

0.02 0.04 0.06 0.08

0.1

0.12

Temps (s)

theta

(ra

d)

(d)

(a) (b)

(c)

0 10 20 30 40 50 60-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

2 (

N)

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

6

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

1 (

N)

7

0 10 20 30 40 50 60-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

3 (

N)

0 10 20 30 40 50 60-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

4 (

N.m

)

0 10 20 30 40 50 60 0

50

100

150

200

250

Temps (s)

vite

sse w

i (ra

d/s

)

w1

w2

w3

w4

69


Dans le cas des trajectoires en forme sinusoïdale nous remarquons que l’erreur de

poursuite est plus ou moins faible (figures III.27 (a)-(c)) et que les angles , sont stabilisées

autour de zéro avec des oscillations de faible amplitude (figures III.28 (a) et (b)).

Figure III.27. Résultats de poursuite, des trajectoires en forme sinusoïdale, selon les axes , , ,X Y Z .

Figure III.28. Résultats de poursuite, des trajectoires en forme sinusoïdale, selon , .

(a) (b)

(d) (c)

(a)

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Temps (s)

x (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Temps (s)

y (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

6

7

Temps (s)

z (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

ksi (

rad)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02 0.04 0.06 0.08

Temps (s)

phi (

rad)

(b)

0 10 20 30 40 50 60-0.04 -0.03 -0.02 -0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Temps (s)

the

ta (

rad

)

70


Figure III.29. Signaux de commande dans le cas des trajectoires en forme sinusoïdale.

III.6. Conclusion

Dans ce chapitre, après avoir présenté les fondements théoriques de la commande par

linéarisation entrée-sortie, nous avons considéré la commande d’un hélicoptère à deux degrés

de liberté de type TRMS 33-007-4M5 ainsi que la commande d’un hélicoptère à six degrés de

liberté de type quadrotor.

En utilisant le modèle découplé en deux sous-systèmes (horizontal et vertical) du

TRMS, donné dans le chapitre précédent, et en se basant sur la technique de commande par

linéarisation entrée-sortie, nous avons développé pour chaque sous-système une loi de

commande. Les résultats de simulation des lois de commande développées et appliquées sur

le modèle du TRMS ont montré la limitation en performance de cette technique, surtout en

(c)

Figure III.30. Vitesses angulaires des quatre rotors dans le cas des trajectoires en forme sinusoïdale.

Figure III.31. Trajectoire globale en

3D (cas des formes sinusoïdales).

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

6

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

1 (

N)

0 10 20 30 40 50 60-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

la c

om

ma

nde U

2 (

N)

Temps (s)

(a) -3

Temps (s)0 10 20 30 40 50 60

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

x 10

la c

om

ma

nde U

3 (

N)

(b)

(d)

0 10 20 30 40 50 60-5

0

5

10

15x 10

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

4 (

N.m

)

-3

-1 -0.50

0.51

-1-0.5

00.5

10

1

2

3

4

5

6

7

x (m)y (m)

z (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 600

50

100

150

200

250

Temps (s)

Vite

sse w

i (ra

d/s

)

w1 w2 w3 w4

71


présence des perturbations externes. Nous avons considéré aussi l’application de cette

stratégie de commande sur le modèle d’un hélicoptère de type quadrotor. Les résultats de

simulation ont montré que cette technique présente une faible précision dans la poursuite des

trajectoires de références. Enfin, nous avons appliqué la commande par linéarisation entrée-

sortie avec extension dynamique sur le modèle du quadrotor. Des meilleures performances ont

été obtenues en comparaison avec la stratégie de commande par linéarisation entrée-sortie.

Particulièrement, nous avons obtenu une meilleure précision de poursuite et des valeurs de

dépassement admissibles. Afin de développer des lois de commande plus robustes, nous

considérons, dans le chapitre suivant, la commande par mode de glissement.

Chapitre IV Commande par mode glissant

Chapitre IV

Commande par mode glissant

72

Chapitre IV Commande par Mode Glissant

IV.1. Introduction

La commande par mode glissant a connu un essor considérable durant les dernières

décennies [69, 70]. Ceci est dû aux propriétés de sa convergence rapide et sa grande

robustesse par rapport aux erreurs de modélisation et des perturbations externes [71, 72].

Emelyanov [73]. a proposé une nouvelle famille de modes glissants appelé les modes

glissants d’ordre supérieur. Ceux-ci sont caractérisés par une commande discontinue agissant

sur les dérivées d’ordre supérieur de la variable de glissement. Ils préservent les principaux

avantages de la précédente approche, et permettent de supprimer le phénomène de chattering

tout en assurant une meilleure précision de convergence par rapport aux imperfections de

modèle ou d’organes de commande. L’ordre de glissement caractérise en particulier le degré

de continuité des dynamiques du système au voisinage de la surface de glissement et

correspond au nombre de dérivées continues de la variable à contraindre. Pour cela, des

algorithmes de commande capables de générer des régimes glissants de tout ordre doivent être

synthétisés.

Notre objectif, dans ce chapitre, est de construire des lois de commande par mode

glissant afin de résoudre le problème de poursuite de trajectoires, pour les deux types

d’hélicoptères présentés dans le chapitre II, en présence d'incertitudes tout en réduisant au

maximum le phénomène de chattering.

IV.2. Commande par modes glissants d’ordre simple

L’idée de base de la commande par mode glissant est premièrement d’attirer les états

du système dans une région convenablement sélectionnée, puis de concevoir une loi de

commande qui maintiendra toujours le système dans cette région. En résumé, une commande

par mode glissant est conçue en deux étapes [28], [72], [74] (figure IV.1) :

- Détermination d’une surface de glissement.

- Définition d’une loi de commande stabilisante qui pourra contraindre le système à avoir

le comportement désiré.

73


Figure IV.1. Convergence du système glissant.

IV.2.1. Choix des surfaces de glissement

En général, la forme de la surface dans le plan de phase est présentée par [28] :

et

eSr 1

(IV.1)

avec Td

reeexxe ][ )1(

où :

x est la variable à réguler, e est l’erreur de réglage, est une constante positive qui

interprétera la bande passante du contrôle désiré et r est le degré relatif du système.

On aura donc :

Pour 1r

eeS (IV.2)

Pour 2r

eeeS (IV.3)

IV.2.2. Condition de glissement

Soit le système dynamique non linéaire décrit par l'équation d’état suivante :

Utxgtxfdt

dx,,

(IV.4)

où Xx (un ouvert de ℜ�) est le vecteur d’état, xf et xg sont des fonctions définies

surℜ�, avec :

La condition de glissement peut être formulée en déterminant une fonction scalaire de

Lyapunov :

:xV tel que 0 V x x .

txd

0S

Convergence vers l’état désiré

Convergence vers la surface de glissement

Trajectoire 0,0 xx x

x 0x

0S tx

dxx

74


La fonction de Lyapunov est choisie de façon à décroître dans le temps. L’idée est de trouver

une commande qui assure cette décroissance en rendant négative la dérivée de la fonction de

Lyapunov.

Soit :

xSxV 2

2

1

(IV.5)

où xS décrit la distance du point x de la surface de glissement 0xS .

Pour que la fonction de Lyapunov se décroit, nous devons assurer que [72, 73] :

0 xSxSxV (IV.6)

Cette condition assure que la surface S soit attractive pour la trajectoire de phase : sous

certaines conditions, le point représentatif de l'évolution du système dans l'espace de phase

peut être maintenu sur la surface 0xS qui est choisie à priori. L'état du système bouclé est

alors plongé dans l'état d’un système "réduit" de dimension inférieure et libre appelé système

équivalent, dont les coefficients de son équation caractéristique sont identiques à ceux de cette

surface [75].

IV.2.3. Calcul de la commande

Les deux composants de la commande sont :

seq UUU

(IV.7)

eqU , la commande équivalente ou nominale, est déterminée par le modèle du système, on peut

la considérer comme la valeur moyenne continue que prend la commande lors d'une

commutation rapide entre deux valeurs maxU et minU (figure IV.2).

sU , correspond à la commande qui garantit l'attractivité de la variable à contrôler vers la

surface et satisfait la condition 0S x S x .

La figure IV.2 présente l’évolution de la commande équivalente l’ors de la commutation entre

maxU et minU .

75


maxU

t

U eqU

minU

Figure IV.2. Valeur continue eqU prise par la commande lors de la commutation entre maxU et minU .

IV.2.4. Expression analytique de la commande

En régime de glissement idéal, l’expression des surfaces et de leurs dérivées sont

nulles. Ceci se traduit par :

0

0

xS

U s

(IV.8)

Donc :

0,,

Utxgtxf

x

SxS

T

Avec eqUU

(IV.9)

Ainsi, la commande équivalente est donnée par :

txfx

Stxg

x

SU

TT

eq ,,

1

(IV.10)

Avec la condition de transversalité :

0,det

txg

x

ST

(IV.11)

Le régime idéal n’est pratiquement jamais réalisable, on doit ainsi faire usage du

deuxième terme de la commande pour ramener l’état du système vers la surface à chaque fois

qu’il s’en écarte. Il convient donc de prendre :

xSsignKxSUs

(IV.12)

où mKKdiagK ,1 et la fonction sign est représentée sur la figure IV.3.

76


-1

1

Si

iSSign

Sat (Si)

Si

Sat (Si)

Si

�

1

-1

��

1

-1

Figure IV.3. Représentation de la fonction sign.

IV.2.5. Elimination du phénomène du chattering

L'un des principaux inconvénients du réglage par mode de glissement est le

phénomène du chattering. Qui peut endommager les actionneurs par des sollicitations trop

fréquentes et nuire au fonctionnement et aux performances du système. Dans le but de réduire

ces oscillations plusieurs solutions ont été apportées, comme par exemple remplacer la

fonction sign par une fonction de saturation caractérisée par un ou deux seuils (figure IV.4) :

Figure IV.4. Fonction saturation avec un seuil et deux seuils (zone morte).

Ces deux fonctions sont respectivement définies par :

1

1

si S

Ssat S si S

si S

2

21

12

1

10

SsiSsign

SsiS

Ssi

Ssat (IV.13)

La fonction de smooth (figure IV.5) est aussi utilisée:

77


-1

+1

S

Smooth(S)

Figure IV.5. Fonction «smooth».

IV.2.6. Les différentes structures de la commande par mode de glissement

Dans les systèmes à structure variable utilisant la commande par mode de glissement,

on peut trouver trois configurations de base pour la synthèse des différentes commandes. La

première correspond à la structure la plus simple où la commutation a lieu au niveau de

l’organe de commande lui-même. On l’appellera, structure par commutation au niveau de

l’organe de commande. La deuxième structure fait intervenir la commutation au niveau d’une

contre-réaction d’état. Enfin, la dernière structure est une structure par commutation au niveau

de l’organe de commande avec ajout de la “ commande équivalente ”. Dans la suite de cette

thèse, nous retenons la dernière structure.

IV.2.6.1. Structure par commutation au niveau de l’organe de commande

Le schéma d’une structure par commutation au niveau de l’organe de commande est

donné par la figure IV.6. Cette structure de commande est la plus classique et la plus utilisée.

Figure IV.6. Structure de régulation par commutation au niveau de l’organe de commande.

Cette structure correspond au fonctionnement tout ou rien des interrupteurs de

puissance associés, dans une grande majorité d’applications, aux variateurs de vitesse. Elle a

été utilisée pour la commande des moteurs pas-à-pas [76].

∑

Loi de commutation Si(x)

Umax

Umin

Perturbation

Sortie Ui

X

78


IV.2.6.2. Structure par commutation au niveau d’une contre réaction d’état

Le schéma fonctionnel d’une telle structure est donné par la figure IV.7. C’est la

structure la moins exigeante au niveau de la sollicitation de la commande [76]. Elle a été mise

en œuvre dans la commande de moteurs à courant continu et à aimants permanents, ainsi que

dans la commande des machines à induction [77]. Elle s’appuie sur la commande par contre

réaction d’état classique où le réglage de la dynamique du système est réalisé par les gains de

réglage. La non linéarité provient de la commutation entre les gains, donc on à créé une

commutation au niveau de la dynamique du système.

Figure IV.7. Structure de régulation par commutation au niveau de la contre réaction d’état.

IV.2.6.3. Structure de régulation avec ajout de la commande équivalente

Une telle structure dont le principe est montrée sur la figure IV.8, présente un réel

avantage. Elle permet de prépositionner l’état futur du système grâce à la commande

équivalente donnée par l’équation (IV.10) qui n’est rien d’autre que la valeur désirée du

système en régime permanent. L’organe de commande est beaucoup moins sollicité, mais on

est plus dépendant des variations paramétriques.

Figure IV.8. Structure de régulation par ajout de la commande équivalente.

∑

Perturbation

Sortie

X

Loi de commutation Si(X)

Ueq

+

+

1

-1

ΔU

∑

Loi de commutation Si(X)

Perturbation

Sortie Ui

X K1

K2

79


IV.3. Commande par mode glissant avec des surfaces de glissement non linéaires appliquée au TRMS

L’utilisation des surfaces linéaires dans la synthèse des lois de commande par mode

glissant est jugée satisfaisante en terme de stabilité [78, 79]. Toutefois, la dynamique imposée

par ce choix est relativement lente. Des surfaces de glissement non linéaires pourront être

utilisées pour remédier à cet inconvénient.

Dans cette partie, des surfaces non linéaires sont proposées pour une classe des

systèmes non linéaires dont le degré relatif est r=2 et r=3. En fait, plusieurs approches pour la

synthèse de ce type de surfaces ont été proposées. Dans [80], la surface proposée est

constituée de deux termes, un terme linéaire qui est défini par le critère de stabilité de Herwitz

et un autre terme non linéaire utilisé pour améliorer les performances au régime transitoire.

Cependant, cette surface requiert trop de calcul et ainsi ses applications sont restreintes pour

le cas des systèmes d’ordre supérieur.

Un travail intéressant sur la synthèse de surfaces de glissement non linéaires est

présenté dans la référence [81]. Plusieurs surfaces disponibles dans la littérature peuvent être

considérées comme celle proposée dans notre travail. Dans le paragraphe suivant, nous

introduisons une surface de glissement non linéaire pour la classe des systèmes non linéaires

décrits par l’équation IV.4. Celle-ci, est inspirée du travail présenté dans [81].

IV.3.1. Surface de glissement non linéaire proposée

Nous définissons i une surface de glissement non linéaire d’ordre deux par :

22i i i i i i ie e e e (IV.14)

avec :

0i , 0 0 (Λ(⋅) est une fonction de classe C1), et i i ide x x est l’erreur de

poursuite.

Nous considérons, la fonction de Lyapunov Vi définie par [28] :

2 2 2

0

1 1

2 2

ie

i i i iV e e x dx (IV.15)

Ainsi, la dérivée temporelle de Vi est :

2i i i i i iV e e e e (IV.16)

22i i iV e (IV.17)

et selon le théorème de Lyapunov, 0i est asymptotiquement stable si et seulement si

0iV . Il faut alors, déterminer la fonction Λ(⋅), de telle sorte que [28] :

80


. 0 0 0 0i i ie e e et (IV.18)

Pour ce choix, l’erreur de poursuite ei tend au moins asymptotiquement vers zéro ( 0ie t

quand t ). En effet, lorsque i i ie k e , on est dans le cas linéaire et ei converge

exponentiellement vers zéro ( 0ie t quand t , avec 0i ie t e ).

Dans notre travail, nous définissons la fonction Λ(⋅) comme étant une fonction

sigmoïde, avec :

2

21

1

12

i ii e

i ii

ee

et

d ee

de

i > 0 (IV.19)

Définition IV.1

Pour un ε donné, tel que : 0 < ε <1, la fonction continue Λε , de ℜ→ℜ, est dite une fonction

ε−sigmoïde si elle vérifie, pour z , les relations suivantes [82] :

0,z z z ≠0 (IV.20)

00 (IV.21)

zzz

zzz

sgn1

1 (IV.22)

Pour 1 2, , ...,T

nx x x x , un vecteur de ℜn, Λε (x) est aussi un vecteur de ℜn qui a pour

composantes 1 2, , ...,T

nx x x .

IV.3.2. Synthèse de la commande

Avant l'application d’une technique de commande à un système complexe il faut

choisir entre deux stratégies de commande : la commande centralisée, ou la commande

décentralisée. Dans ce choix, on doit s’appuyer sur les critères suivants : réalisabilité de la

commande, temps de calcul et ordre du régulateur.

L'utilisation de la commande centralisée nécessite une bonne connaissance du

système, donc un temps de calcul très grand. Par contre, l'utilisation de la commande

décentralisée facilite la synthèse et donne des lois de commandes non gourmandes en temps

de calcul.

81


Le système global (le TRMS) sera décomposé en deux sous-systèmes (vertical et

horizontal), chacun d'eux est commandé indépendamment de l’autre (figure IV.9). Les

interconnexions seront considérées comme étant des perturbations.

Figure IV.9. Schéma bloc de la commande par mode glissant avec des surfaces non linéaires appliquée au hélicoptère à deux degrés de liberté de type TRMS 33-007-4M5.

D’après les équations (II.43) et (II.44), nous obtenons pour le sous système vertical et le sous

système horizontal les représentations d’état suivantes :

- Sous système vertical :

vvv

vvv

udxCx

xgxbxfx

xx

33

1232

21

(IV.23)

mr

mrv

mrv

v

vv

T

Kd

Tc

J

Kb

,1

(IV.24)

3 3

1 1 1

( )

cos sin

mv f v v

v

vv

lf x S F P x

J

gg x A B x C x

J

(IV.25)

+

Equivalent control

+

dx4

dx1

+

+

+

-

hu

eqhu

41 xy 6

5

x

x

3

2

x

x

svu

Commande équivalente

eqvu

vu

TRMS 33-007- 4M5

Horizontal

Vertical

12 xy

-


Surface non linéaire

+ shu

Commande discontinue



82


- Sous système horizontal :

hhh

hh

udxCx

xbxfx

xx

66

565

54

(IV.26)

0

6 6 00

1,

( ) cos

hh

h v

trh h

tr tr

th f h h v

h v

Kb

J

Kc d

T T

lf x S F P x

J

(IV.27)

.

Les lois de commande synthétisées pour chaque sous système vertical et horizontal, en

utilisant les surfaces de glissement proposées ci-dessus, assurent la stabilité au sens de

Lyapunov. Elles se présentent comme suit :

h eqh sh

v eqv sv

u u u

u u u

(IV.28)

564

226

6

6

6

6

12

21

xbxfbxeeexx

xfc

x

xfd

u hhhdhh

hhhhv

hh

h

eqh

(IV.29)

6

6

1sinsh dh h

hh

u k gf x

dx

, dhk > 0 (IV.30)

2

1

11231

223

3

3

3

3

12

21

xx

xgxgxbxfbxeeex

x

xfc

x

xfd

u vvvvvdv

vvvvv

vv

vv

eqv

(IV.31)

3

3

1sinsv dv v

vv

u k gf x

dx

, dvk > 0 (IV.32)

Les erreurs de poursuite sont définies par :

1 1

4 4

h d

v d

e x x

e x x

(IV.33)

et les surfaces de glissement non linéaires sont données, pour chaque sous système, par :

2

2

2

2

h h h h h h h h

v v v v v v v v

e e e e e

e e e e e

, , 0h v (IV.34)

avec :

212

11

2

hhh

eh

ede

ed

ee

hh

, h > 0 (IV.35)

83


212

11

2

vvv

ev

ede

ed

ee

vv

, v > 0 (IV.36)

Démonstration

Soit la fonction de Lyapunov suivante :

21

2h hV (IV.37)

Si 0hV , alors 0. hh , on peut dire alors que la condition nécessaire de glissement

est vérifiée et la stabilité au sens de Lyapunov est garantie.

Soit :

2 6 624 6 6 5

6 6

avec 0

2 12

h dh h dh

h hhh h h h h d h h h h h h

k sign S k

f x f xe e e x c x d u b f x b x

x x

(IV.38)

alors :

6 2 2

6 4 6 56 6

6

12 1 sin

2

h hh h h h h h h d h h h dh h

hh

f xu c x e e e x b f x b x k g

f x xd

x

(IV.39)

Nous suivons les mêmes étapes pour extraire vu .

IV.3.3. Résultats de simulation

Dans cette section, nous présentons les résultats de simulation de la commande du

modèle mathématique du TRMS en utilisant les lois de commandes développées ci-dessus.

Dans cette simulation, nous avons utilisé les valeurs des paramètres du modèle présentées

dans le tableau II.1 et les conditions initiales : αh (0) = 0 rad et αv (0) = -0.93 rad.

Les résultats obtenus (figures IV.10 - IV.13) sont satisfaisants. En particulier, nous

avons obtenu une bonne précision de poursuite des trajectoires de référence, des valeurs de

dépassement maximales admissibles et un temps de réponse d’environ 6 sec (ceci est

acceptable par rapport à la nature des systèmes aéronautiques). Pour conclure sur la

robustesse des lois de commandes développées, nous avons considéré l’augmentation de la

force aérodynamique entre 10 et 15 sec de chaque sous système horizontal et vertical (figure

IV.12). Nous pouvons constater, sur cette figure, que les performances de commande n’ont

pas été affectées par cette augmentation.

Sur Les figures IV.10 (c), IV.10 (d), IV.11 (c), IV.11 (d), IV.12 (c), IV.12 (d), nous

voyons que les commandes appliquées au TRMS sont des signaux de hautes fréquences, ce

qui est considéré comme un inconvénient majeur de cette commande.

84


Figure IV.10. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de référence carré.

Figure IV.11. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de référence sinusoïdal.

(a) (b)

(d) (c)

(a) (b)

(c) (d)

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

alp

ha

h (

rad

)

Désirée Réelle

Temps (s)

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

1

alp

ha

v (

rad)

Désirée Réelle

3

0 10 20 30 40 50 60-3

-2

-1

0

1

2

Temps (s)

uh (

vo

lt)

0 10 20 30 40 50 60 -3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)u

v (

vo

lt)

1

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

Temps (s)

alp

ha

h (

rad)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60 -1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

alp

ha

v (r

ad)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-3

-2

-1

0

1

2

Temps (s)

uh (

vo

lt)

3

0 10 20 30 40 50 60-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uv

(vo

lt)

85


Figure IV.12. Réponses du système et signaux de commande avec augmentation des forces

aérodynamiques.

Figure IV.13. Trajectoire dans l’espace de la poursuite : (a) d’un signal carré, (b) d’un signal sinusoïdale.

IV.4. Commande par mode glissant avec des surfaces de glissement non linaires appliquée au quadrotor

IV.4.1. Surface de glissement non linéaire proposée

Nous définissons is une surface de glissement non linéaire d’ordre un par :

i i is e e (IV.40)

avec :

i i ide x x est l’erreur de poursuite et Λ(⋅) est une fonction de classe C1.

Nous considérons la fonction de Lyapunov Vi définie par:

(a) (b)

(c) (d)

(a) (b)

0 5 10 15 20 25 30 350

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Temps (s)

alp

ha

h (

rad)

Désirée Réelle

Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv

Fh Fv

0 5 10 15 20 25 30 35-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

alp

ha

v (

rad)

Désirée Réelle

Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv

Fh Fv

0 5 10 15 20 25 30 35-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uh (

vo

lt)

0 5 10 15 20 25 30 35-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uv (

vo

lt)

020

40

60

-0.5

0

0.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)alphah (rad)

alp

ha

v (r

ad)

Désirée Réelle

020

4060

-0.5

0

0.5

-1

-0.5

0

0.5


alp

ha

v (r

ad)

Désirée Réelle

86


21

2i iV e (IV.41)

Ainsi, la dérivée temporelle de Vi est :

i i i

i i i

V e e

ou

V e e

(IV.42)

Selon le théorème de Lyapunov, 0is est asymptotiquement stable si et seulement si

0iV . Il faut alors déterminer la fonction Λ(⋅) de telle sorte que:

. 0 0 0 0i i ie e e et (IV.43)

Pour la commande du quadrotor nous définissons la fonction Λ(⋅) comme étant une

fonction sigmoïde, avec :

2

21

1

12

i ii e

i ii

ee

et

d ee

de

i > 0 (IV.44)

IV.4.2. Synthèse de la commande

Les lois de commande assurant la stabilité au sens de Lyapunov se présentent comme

suit [83] :

22 12 1 2 12 1 10 8 3 10 12 11

1

22 23 2 5 10 4 8 12 6 12 10 9

2

22 34 3 8 8 7 10 12 8 7

3

1

11

2

11

2

11

2

d

d

d

x

U k sign S a x a x x a x e eb

U k sign S a x a x x a x e eb

U k sign S a x a x x e eb

mU

U

244 9 2 2 1 1

255 10 4 4 3 1

1

261 6 11 6 6 5 11 9

11 9

1 / 02

1 / 02

1 / cos cos 0cos cos 2

x d

y y d

z d

k sign S a x x e e U

mU k sign S a x y e e U

U

mU k sign S a x z g e e x x

x x

(IV.45)

tel que ,i ik 2 R

Démonstration

Soient les erreurs de poursuite suivantes :

1

i i id

i i

e x x

e e

1,...,11i (IV.46)

Les surfaces non linéaires choisies sont comme suit :

87


12 11

10 9

8 7

2 1

4 3

6 5

x

y

z

S e e

S e e

S e e

S e e

S e e

S e e

(IV.47)

Soit la fonction de Lyapunov suivante :

21

2V S S (IV.48)

Si 0V S alors 0S S . Nous pouvons dire alors que la condition nécessaire de

glissement est vérifiée et la stabilité au sens de Lyapunov est garantie.

Soit :

1

212 11 12 11

22 12 12 1 10 8 1 2 3 10 12 11

12

12

d

d

S k sign S

x x e e

a x a x x b U a x e e

(IV.49)

Alors

22 12 1 2 12 1 10 8 3 10 12 11

1

11

2dU k sign S a x a x x a x e e

b

(IV.50)

2 2 2attractive equivalenteU U U (IV.51)

De (IV.50) et (IV.51) il en résulte :

12

1

22 12 2 12 1 10 8 3 10 12 11

1

11

2

attractive

equivalente d

kU sign S

b

U a x a x x a x e eb

(IV.52)

Les mêmes étapes précédentes permettront d’obtenir 3 4, , ,x yU U U U et 1U


Dans cette partie, nous présentons les résultats de simulation relatifs à l’application

des lois de commande développées ci-dessus à la commande du modèle dynamique du

quadrotor. Les valeurs des paramètres du modèle, utilisées dans les différentes simulations

sont celles données dans le tableau II.2. Nous avons effectué deux simulations en imposant

des trajectoires de référence en échelon dans le premier cas (figures IV.14 – IV.18) et des

trajectoires des références sinusoïdales dans le deuxième cas (figures IV.19 – IV.23).

Nous avons obtenu une bonne précision de poursuite des trajectoires de référence

choisies. Néanmoins, le phénomène de chattering est toujours présent dans les signaux de

commande comme le montre les figures IV.16 et IV.21.

88


Figure IV.14. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes , , ,X Y Z

Figure IV.15. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon ,

Figure IV.16. Signaux de commande.

(a) (b)

(c)

(a) (b)

(a) (b)

(c) (d)

(d)

0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Temps (s)

x (m

)

Désirée Réelle 2

Temps (s)

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

y (m

)

Désirée Réelle

Temps (s)

0 10 20 30 40 50 60 0

0.5

1

1.5

2

z (

m)

Désirée Réelle

2.5

0 10 20 30 40 50 60

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

Temps (s)

ksi (

rad)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60 -0.01

-0.005

0

0.005

0.01

Temps (s)

phi (

rad)

0 10 20 30 40 50 60 -0.01

-0.005

0

0.005

Temps (s)

the

ta (

rad)

0.01

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

6

7

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

1 (

N)

0 10 20 30 40 50 60-0.02

-0.015 -0.01

-0.005 0

0.005

0.01

0.015

0.02

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

2 (

N)

60

0.02

Temps (s)

0 10 20 30 40 50-0.02

-0.015

-0.01 -0.005

0

0.005 0.01

0.015

la c

om

ma

nde U

3 (

N)

0 10 20 30 40 50 60-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005 0.01

0.015 0.02

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

4 (

N.m

)

.

.

89




Figure IV.17. Vitesses angulaires des quatre rotors.

Figure IV.18. Trajectoire globale du quadrotor en 3D.

(a) (b)

(c) (d)

(a) (b)

Temps (s) 0 10 20 30 40 50 60

0

50

100

150

200

250

vite

sse w

i (r

ad/s

)

w1 w2 w3 w4

00.5

11.5

22.5

0

0.5

1

1.5

20

0.5

1

1.5

2

x (m)y (m)

z (m)

Désirée

Réelle

Temps (s)

0 10 20 30 40 50 60 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x (

m)

Désirée Réelle

1.5

0 10 20 30 40 50 60 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

y (

m)

Désirée Réelle

Temps (s)

0 10 20 30 40 50 60 0

1

2

3

4

5

6

7

8

z (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1

0

0.1

Temps (s)

ksi (

rad)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60 -0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

Temps (s)

phi (

rad)

0 10 20 30 40 50 60 -0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

Temps (s)

the

ta (

rad)

.

.

90


0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

6

Temps (s)

la c

omm

ande

U1

(N)

0 10 20 30 40 50 60-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

Temps (s)

la c

omm

ande

U2

(N)

0 10 20 30 40 50 60-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

Temps (s)

la c

omm

ande

U3

(N)

0 10 20 30 40 50 60-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Temps (s)

la c

omm

ande

U4

(N.m

)


IV.5. Principe de modes glissants d’ordre supérieur

L’inconvénient majeur de la commande par mode glissant d’ordre un est l’apparition

du phénomène de chattering au niveau de la commande. En pratique, ce phénomène provoque

une usure relativement rapide des organes de commande du processus. Afin de remédier à cet

inconvénient, l’idée de déplacer la discontinuité due à l'élément de commutation de la loi de

commande en régime glissant vers les dérivées d'ordre supérieur de la commande a été

envisagée dans plusieurs travaux de recherche. Le concept de mode glissant d'ordre supérieur

a été introduit dans les années 80 par M. Levantovsky [84] et M. Emelyanov [85, 86].

Contrairement au régime glissant du premier ordre, ce type de lois de commande est

caractérisé par une commande discontinue qui agit sur les dérivées d'ordre supérieur de la

variable de glissement au lieu de la première dérivée. Le phénomène de chattering est ainsi

repoussé sur les dérivées d'ordre supérieur.

(a) (b)

(c) (d)



x (m)y (m) -1

-0.50 0.5

1

-1

0

10

1

2

3

4

5

6

7

z (m

)

Désirée

Réelle

0 10 20 30 40 50 600

50

100

150

200

250

Temps (s)

vite

sse w

i (ra

d/s

)

w1 w2 w3 w4

91


Les principaux avantages de la commande par mode glissant d’ordre supérieur sont :

Conservation des avantages du régime glissant du premier ordre (convergence en

temps fini, robustesse).

Réduction des effets de chattering sur les actionneurs.

Amélioration des performances de la commande.

IV.5.1. Position du problème

Nous considérons un système non linéaire décrit par :

( , , )

( , )

( , )

x f t x u

u U t x

s s t x

(IV.53)

Où :

Xxxx Tn ],....,[ 1 représente le vecteur d’état nX IR .

IRUu représente la commande, elle doit être une fonction discontinue et bornée

dépendant du vecteur d’état et du temps.

f est une fonction supposée suffisamment différentiable, mais connue de façon

incertaine.

t est le temps.

s est une fonction différentiable telle que ses )1( r premières dérivées par rapport au

temps ne sont fonction que de l'état x (ce qui signifie qu'elles ne contiennent aucune

discontinuité).

r désigne le degré relatif du système par rapport à s.

Si r = 1 ( 0su

), le problème de la commande peut être résolu par une loi de commande

en mode glissant du premier ordre. Cependant, une loi glissante du deuxième ordre peut aussi

être utilisée afin d'éviter le phénomène de chattering.

Par contre, si r > 1 ( 0, pour 1,2,..., 1, et 0i rs i r su u

) une commande par mode

glissant d’ordre p (avec p r) doit être utilisée.

L'objectif de la commande par régime glissant d'ordre supérieur est de contraindre le

système à évoluer sur la surface de glissement tout en maintenant s ainsi que ses )1( r

premières dérivées successives égale à zéro.

Soit rS l’ensemble de glissement d’ordre r défini par :

92


( 1) : ... 0rrS x X s s s (IV.54)

Supposons que cet ensemble est non vide et définisse localement un ensemble intégral

au sens de Filippov [87]. Alors la dynamique satisfaisant (IV.54) est appelée mode glissant

d’ordre r par rapport à la fonction contrainte s et la loi de commande générant ce mode est

une commande glissante idéale d’ordre r.

IV.5.2. Mode glissant d’ordre deux

L’avantage principal d'un algorithme glissant du deuxième ordre est la réduction du

phénomène de chattering. Son but est de générer un régime glissant d'ordre deux sur une

surface de glissement s, de telle sorte à avoir :

0 ss (IV.55)

La Figure IV.24 fait apparaître la trajectoire de convergence du système vers la surface s.

Figure IV.24. Trajectoire du mode glissant d’ordre 2.

Nous supposons que les seules informations disponibles au temps t sont : la commande

u(t), la surface s(t,x) et le signe de la dérivée par rapport au temps de s. Si nous dérivons deux

fois l'équation de glissement s, nous aurons les expressions suivantes :

( , ) ( , ) ( , )d dx

s t x s t x s t xdt t x dt

(IV.56)

( , ) ( , ) ( , , )s s t x s t x f t x ut x

(IV.57)

, ,s t x t x v (IV.58)

Avec :

, , , , , , ,

, , ,

t x s t x u s t x u f t x ut x

t x s t x uu

(IV.59)

0 ss 0s

0s

93


Le problème posé est la stabilisation en temps fini du système auxiliaire du

second ordre modélisé par (IV.58), où v représente l’entrée du système auxiliaire

( si 2, si 1)v u r v u r .

Par exemple si 1r , l’équation (IV.58) devient :

, ,s t x t x u (IV.60)

Dans ce cas les algorithmes discontinus sont appliqués à la dérivée par rapport

au temps u , qui devient la nouvelle commande du système considéré et u devient une

variable d'état. De cette façon l'entrée u du système devient continue.

Il existe plusieurs techniques spécialisées d'algorithmes engendrant la convergence de s et s

vers zéro. L’algorithme le plus utilisé dans la littérature est celui de super Twisting [88-

90].

IV.5.3. Conditions de convergence en temps fini

L'objectif d’une loi de commande par mode glissant du deuxième ordre est d'amener s

ainsi que sa dérivée s à zéro dans un temps fini, en utilisant la commande u(t). Afin

d'atteindre ce but, les hypothèses suivantes sont considérées [91-93] :

1. La commande u du système est une fonction bornée et discontinue, définie par

l'ensemble : MU u u U où UM est une constante réelle. Il est supposé que le

système peut admettre des solutions au sens de Filippov sur la variété glissante d’ordre

deux (s = s = 0) quelque soit la variable t.

2. Il existe 1 0,1u telle que pour toute fonction continue u avec 1uu , il existe 1t tel

que 0u pour tout 1tt . Ainsi, la commande 0[ ( )]Mu U sign s t (où 0t est l'instant

initial), assure la convergence en temps fini sur s = 0. Cette condition permet d’établir

que, partant de n’importe quel point de l’espace d’état, il est possible de définir

une commande amenant la fonction contrainte dans la région de linéarité.

3. Il existe des constantes positives 0 , ms K et MK , telle que :

0),( sxts , alors M0 ( , x,u)mK s t Ku

, u , x XU (IV.61)

L'ensemble 0, , : ( , )t x u s t x s est appelé région de linéarité.

4. A l'intérieur de la région de linéarité, Il existe une constante positive telle que :

( , , ) ( , , ) ( , , ) ,s t x u s t x u f t x uu x

(IV.62)

94


Les conditions 3 et 4 impliquent que la dérivée seconde de s est uniformément bornée

dans certain domaine, pour l'entrée considérée.

Pour l'existence de la commande équivalente ueq(t,x) il faut que ,t x soit non nulle. La

fonction ueq(t,x) satisfaisant la relation 0s peut être considérée comme une loi de

commande permettant d'atteindre, en temps fini, la surface (s = s = 0) dans le plan de phase

,s s .

IV.5.4. Algorithmes de commande glissant d'ordre deux (Super Twisting)

Dans cet algorithme, la loi de commande est donnée par [90]:

1 2( ) ( )u u t u t (IV.63)

1

s gn( ) e

e

u si u uu

W i s si u u

(IV.64)

002

0

s gn ( )

s s gn ( )

s i s si s su

i s si s s

(IV.65)

Les conditions suffisantes de convergence sont les suivantes :

0

0

0 0

4 ,

,

,

Mm

mm

m M M m

K

C

K

K C K C

(IV.66)

0

2 0 02

0

,

4 ( ),

( )

0 0.5,

m

M

m m

CW

K

C K W C

K K W C

(IV.67)

Avec Km, KM, W, C0 , ue et s0 sont des constantes positives.

Cette loi de commande est continue, ne requiert aucune information sur la dérivée de s et

présente une bonne robustesse [89], [94]. La convergence de cet algorithme est régie par des

rotations autour de l’origine du diagramme de phase, comme le montre la figure IV.25.

95


Figure IV.25. Convergence en temps fini de l'algorithme Super Twisting.

IV.6. Commande par mode glissant d’ordre deux appliquées au TRMS

Cette commande n’est qu’une généralisation de la commande d’ordre un comme

l’indique son nom « commande d’ordre supérieur ». Son principe consiste à utiliser non

seulement la surface de glissement mais aussi ses dérivées pour avoir moins de discontinuités

et donc moins de chattering. Parmi les algorithmes existants nous avons choisi le Super

Twisting présenté dans le paragraphe précédent et pour lequel nous avons utilisé la surface de

Slotine de la forme suivante :

2

2

2

2

h h h h h h h

v v v v v v v

e e e e

e e e e

avec , 0h v (IV.68)

Figure IV.26. Schéma bloc de la commande par mode glissant d’ordre deux appliquée à l’hélicoptère à

deux degrés de liberté de type TRMS 33-007-4M5.

s

s

+

dx4

dx1

+

-

41 xy

TRMS 33-007- 4M5

12 xy - Algorithme de Super

Twisting

Algorithme de Super Twisting

Horizontal

Vertical

hu

vu

96



Les résultats de simulation de l’application de l’algorithme Super-Twisting pour la

commande du modèle du TRMS sont donnés par les figures IV.27 - IV.30. Les simulations

ont été effectuées en mode de régulation avec les positions initiales αh (0)= 0 rad et

αv (0)= -0.93 rad pour les sous systèmes horizontal et vertical respectivement.

Comme nous pouvons le constater sur les figures IV.27 (c, d), IV.28 (c, d), et

IV.29 (c, d) la commande par mode glissant d’ordre 2 a permis d’atténuer considérablement le

phénomène de chattering tout en préservant les avantages principaux de la commande par

mode glissant simple à savoir : la précision, la rapidité du temps de montée et la stabilité. En

effet, nous avons obtenu une bonne précision dans la poursuite des trajectoires de référence,

un temps de réponse d’environ 5 sec et un dépassement nul (figures IV.27 (a, b), IV.28 (a, b)).

Pour mettre en évidence la robustesse de ce type de commande nous avons augmenté

les forces aérodynamiques Fh et Fv entre 10s et 15s. Les figures IV.29 (a - d) montrent que

cette augmentation n’a pas d’effet sur les performances de commande. La figure IV.30 montre

les trajectoires effectuées par le TRMS en trois dimensions.

Figure IV.27. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de référence carré.

(a) (b)

(c) (d)

Temps (s)

1

0 10 20 30 40 50 60 -1

-0.5

0

0.5

alp

ha

h (

rad)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

alp

ha

v (r

ad)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60 -3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uh (

vo

lt)

0 10 20 30 40 50 60-3

-2

-1

0

1

2

3

uv

(vo

lt)

Temps (s)

97


Figure IV.28. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de référence sinusoïdale.

Figure IV.29. Réponses du système et signaux de commande avec augmentation des forces

aérodynamiques (test de robustesse).

0 5 10 15 20 25 30 35-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

alp

ha

v (r

ad)

Désirée Réelle

0 5 10 15 20 25 30 350

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Temps (s)

alp

ha

h (

rad)

Désirée Réelle

(a) (b)

(c) (d)

(a) (b)

(c) (d)

Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv

Fh Fv

Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv

Fh Fv

0 10 20 30 40 50 60 -1

-0.5

0

0.5

Temps (s)

alp

ha

h (

rad

)

Désirée Réelle

1

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

Temps (s)

alp

ha

v (

rad)

1

0 10 20 30 40 50 60-3

-2

-1

0

1

2

Temps (s)

uh (

vo

lt)

3

0 10 20 30 40 50 60-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uv (

vo

lt)

0 5 10 15 20 25 30 35-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uh (

vo

lt)

0 5 10 15 20 25 30 35-3

-2

-1

0

1

2

3

uv

(vo

lt)

Temps (s)

98


Figure IV.30. Trajectoires de référence en 3D : (a) signal carré, (b) signal sinusoïdale.

IV.7. Commande par mode glissant d’ordre deux appliquées au quadrotor

Pour mettre en œuvre l’algorithme de commande Super Twisting nous avons utilisé les

surfaces de glissement de Slotine suivantes :

12 1 11

10 2 9

8 3 7

2 4 1

4 5 3

6 6 5

x

y

z

S e e

S e e

S e e

S e e

S e e

S e e

tel que tel que i 2 R (IV.69)

Les erreurs de poursuite sont présentées par les équations suivantes

1

i i id

i i

e x x

e e

1,...,11i (IV.70)


Nous avons utilisé l’algorithme de commande Super Twisting, présenté ci-dessus,

pour commander le modèle dynamique du quadrotor donné dans le chapitre II. Les résultats

obtenus, en utilisant une trajectoire de références en échelon, sont donnés par les figures

IV.31 – IV.35 et ceux obtenus en choisissant une trajectoire de référence sinusoïdale sont

donnés par les figures IV.36 – IV.40.

Nous avons obtenu de bonnes performances de commande. En particulier, la poursuite

des trajectoires de références se fait avec une bonne précision, sans dépassement et avec un

temps de réponse acceptable vis-à-vis la dynamique du système (figures IV.31 (a – d), IV.32

(a, b), IV.36 (a – d), IV.37 (a, b)). L’application de l’algorithme Super Twisting a permis

(a) (b)

020

40

-0.5

0

0.5

-1

-0.5

0

0.5

1


alp

ha

v (

rad)

Désirée Réelle

60

0

20 40

60

-0.5

0

0.5

-1

-0.5

0

0.5

Temps (s) alphah (rad)

alp

ha

v (

rad)

Désirée Réelle

99


aussi d’atténuer considérablement le phénomène de « chattering » ; la variation des signaux

de commande obtenus est plus moins douce (figures IV.33 (a- d), IV.38 (a - d))).



(a) (b)

(c) (d)

(a) (b)

(a) (b)

(c) (d) Figure IV.33. Signaux de commande.

Temps (s)

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps (s)

y (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5

2

2.5

Temps (s)

z (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Temps (s)

ksi (

rad)

Désirée Réelle

0.2

0 10 20 30 40 50 60-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

Temps (s)

phi (

rad)

0 10 20 30 40 50-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

the

ta (

rad

)

Temps (s)

60

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

6

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

1 (

N)

0 10 20 30 40 50-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

2 (

N)

60

0 10 20 30 40 50 60

-8 -6 -4 -2 0

2

4

6

8

x 10

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

4 (

N.m

)

-3

0 10 20 30 40 50 60-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

3 (

N)

.

.

100






(a) (b)

(c) (d)

(a) (b)

00.5

11.5

2

0

0.5

1

1.5

20

0.5

1

1.5

2

x (m)y (m)

z (m

)

Désirée Réelle

Temps (s)0 10 20 30 40 50 60

0

50

100

150

200

250

vite

sse w

i (r

ad/s

)

w1

w2

w3

w4

1.5

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

x (m

)

Désirée Réelle

Temps (s)0 10 20 30 40 50 60

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

y (m

)

Temps (s)

0 10 20 30 40 50 600

2

4

6

8

Temps (s)

z (m

)

Désirée Réelle

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Temps (s)

ksi (

rad)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

phi (

rad)

Temps (s)0 10 20 30 40 50 60

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

theta

(ra

d)

Temps (s)

.

.

101



IV.8. Conclusion

Dans ce chapitre, après avoir présenté la commande par mode glissant simple, nous

avons abordé la méthode de synthèse d’une loi de commande par mode glissant en utilisant

des surfaces de glissement non linéaires, ensuite nous avons considéré la commande par mode

glissant d’ordre deux. Pour mettre en œuvre ce type d’algorithmes de commande, nous avons

proposé une surface de glissement non linéaire [83]. Nous avons évalué les performances de

commande des algorithmes développés en considérant la commande de deux systèmes de

complexité différente : le TRMS 33-007-4M5 et le quadrotor. Les résultats de simulation

obtenus sont satisfaisants et montrent que la commande par mode glissant d’ordre deux

permet de remédier au problème de « chattering » rencontré dans le cas de la commande par

mode glissant simple.

(a) (b)

(d) (c)



-1-0.5

00.5

1

-1 0

10

1

2

3

4

5

6

7

x (m)y (m)

z (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60 0

50

100

150

200

250

Temps (s)

vite

sse w

i (ra

d/s

)

w1

w2

w3

w4

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

6

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

1 (

N)

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

2 (

N)

-3

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

3 (

N)

-3

0 10 20 30 40 50 60

-1

0

1

2

3

4x 10

-3

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

4 (

N.m

)

102


Pour améliorer encore les performances de la commande par mode glissant et atténuer

d’avantage le phénomène de chattering, nous envisageons, dans le chapitre suivant, une

combinaison entre la commande par mode glissant et la commande par logique floue.

Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande Par backstepping

Chapitre V

Commande par mode glissant flou et

commande Par backstepping

103

Chapitre V Commande par mode glissant flou et commande par Backstepping

V.1. Introduction

La commande par mode glissant a reçu un intérêt croissant en raison de sa simplicité

de mise en œuvre et sa robustesse vis à vis des incertitudes structurelles et des perturbations

externes. Cependant, la présence de la fonction signe dans la loi de commande donne

naissance à un phénomène de chattering qui peut endommager le système en excitant les

hautes fréquences. Dans le but d’éliminer ce phénomène, sans détériorer les performances de

commande et tout en gardant la robustesse du mode glissant, plusieurs solutions ont été

proposées dans la littérature [95-97]. Ces solutions consistent à combiner plusieurs techniques

de commande pour obtenir de bonnes performances. Dans ce chapitre, nous considérons la

combinaison de la commande par logique floue et la commande par mode glissant en utilisant

des surfaces de glissement non linéaires. Les surfaces de glissement proposées dans le

chapitre précédent seront utilisées dans la mise en œuvre de cette loi de commande hybride.

Pour construire d’une manière systématique les surfaces de glissement, l’idée de

combiner la commande par mode glissant et celle par backstepping est envisagée dans ce

chapitre. Cette approche hybride permet le choix d’une surface de glissement tout en tenant

compte de la dynamique du système à commander. Afin d’améliorer les performances de

commande et de limiter le phénomène de chattering nous présentons la conception de la loi de

commande qui consiste à combiner la commande par mode glissant flou et celle par

backstepping.

Des résultats de simulation de la commande des deux hélicoptères à deux et six degrés

de liberté sont inclus dans ce chapitre pour illustrer les performances des stratégies de

commande proposées.

V.2. Commande par mode glissant flou

La logique floue, dont les bases théoriques ont été établies depuis le début des années

1960, permet d’exploiter les informations linguistiques décrivant le comportement dynamique

du système. Ces informations, fournies par l’expert humain, peuvent être exprimées sous

forme d’un ensemble de règles floues de type Si-Alors. La définition de règles ainsi que de

fonctions d’appartenance à des ensembles dits « ensembles flous » permet aux concepteurs de

mieux appréhender les processus imprécis et difficilement modélisables. L’un des domaines

d’application de la logique floue qui a connu une évolution considérable et qui continue de

susciter l’intérêt de plusieurs chercheurs est celui de la modélisation et la commande des

systèmes [98-100]. Depuis la mise en œuvre du principe de la commande floue pour la

première fois en 1974 [101], plusieurs techniques et applications ont été développées. Cette

104


approche permet d’obtenir, d’une manière simple et sans faire appel à des développements

mathématiques complexes, une loi de commande souvent efficace et présente l’intérêt de

prendre en compte l’expertise d’un opérateur humain. Cependant, le problème de stabilité et

de robustesse de ce type de lois de commande n’est pas encore résolu d’une manière

définitive et reste un sujet de recherche.

Afin, de limiter le phénomène de chattering associé à la commande par mode glissant,

plusieurs techniques de commande basées sur la combinaison de la commande floue et la

commande par mode glissant ont été proposées [102-104]. L’efficacité de ces techniques, plus

particulièrement dans l’atténuation du phénomène de chattering, a été prouvée en considérant

plusieurs applications. En plus, cette approche permet de préserver la simplicité de mise en

œuvre et la robustesse de la commande par mode glissant.

V.2.1. Mise en œuvre de la commande par mode glissant flou

L’intégration de la commande floue avec la commande par mode glissant permet,

d’une part, d’exploiter la robustesse de la commande à structure variable et, d’autre part,

d’utiliser le critère de stabilité de Lyapunov pour analyser la stabilité du système. Cette

nouvelle vision est basée sur l’interprétation des règles de commande floues. Une règle est

généralement une relation floue de la forme [105] :

1 1: ,.....,jj j jn n jR Si x est A x est A alors u est C (V.1)

où ix ( i =1,..., n ) sont les entrées du système flou, jiA est l’ensemble flou correspondant à

l’entrée ix , jc est un singleton et u est la sortie de la jème règle. La structure de commande,

définie par les règles jR , dépend des états du processus et peut alors être considérée comme

étant un système de commande à structure variable (avec une certaine bande limite).

Comme nous l’avons déjà montré dans le chapitre précédent, le terme de correction

discontinu dans une commande à structure variable est donné par :

u K sign s (V.2)

Un mode glissant théorique est idéal et il est rare qu’il se produit dans le cas d’un

système réel. Ceci est principalement dû au retard de commutation et au chattering autour de

la surface de glissement. Cette situation peut être corrigée par un lissage de la commande

discontinue à l’intérieur d’une bande limite (autour de la surface de glissement).

En introduisant une bande limite Φ, la loi de commande à structure variable est alors modifiée

comme suit [106] :

105


.

K s

su K s

K s

(V.3)

L’objectif est de remplacer la commande discontinue u, donnée par (V.3), par une loi

de commande floue fu . L’idée de base pour la conception de cette commande est qu’il est

possible de faire une extension de la surface de glissement s = 0, vers une surface floue

définie par l’expression linguistique suivante :

s est zéro (V.4)

Où s est la variable linguistique correspondant à s, et “zéro” est l’un de ses ensembles flous.

Afin de fuzzifier l’espace autour de la surface de glissement s, on définit cinq sous ensembles

flous (figure V.1), tels que :

1 5, , , , ,...,s sT s NG NM EZ PM PG F F (V.5)

Avec :

NG : négatif grand ; NM : négatif moyen; EZ : environ zéro ; PM : positif moyen ; PG :

positif grand.

Quant à la commande fu , nous définissons aussi cinq sous ensembles flous tels que :

1 5, , , , ,...,u uT u NG NM EZ PM PG F F (V.6)

Où u est la variable linguistique correspondant à fu

Les fonctions d’appartenance des deux variables s et fu , sont illustrées par la figure V.2. On

définit des fonctions d’appartenance de forme triangulaire pour la surface de glissement s et

des singletons pour la commande fu .

Figure V.1. Partition floue de l’espace autour de la surface de glissement dans le plan de phase.

-

NM

PG

PM ZE

NG +

e

e

0s

106


Figure V.2. Fonctions d’appartenance : (a) l’entrée s, (b) la sortie uf .

Dans la figures V.2 (a), le paramètre r ∈ [0,1] est utilisé pour ajuster les points modaux du

sous ensemble ZE (la précision de la commande réside dans l’expression : s est zéro).

Nous définissons pour ce système d’inférence flou, les règles suivantes :

R1: SI s est NG Alors uf est PG

R2: SI s est NM Alors uf est PM

R3: SI s est ZE Alors uf est EZ

R4: SI s est PM Alors uf est NM

R5: SI s est PG Alors uf est NG

On peut écrire aussi :

: , 1, ,5i i isi f uR SI s est F Alorsu est F i (V.7)

Nous considérons X et Y, comme étant l’espace d’entrée et de sortie des règles floues

respectivement. Pour un ensemble flou arbitraire xF dans X, un ensemble flou ixF R est

défini dans l’espace Y par la règle Ri.

En utilisant la méthode d’inférence max-min donnée par [107, 108] :

max min ,min ,i i ixx s u

f fFF R F Fs Xu s u

(V.8)

Dans le cas où la forme de sous ensemble xF est un singleton, on peut écrire :

1

0xF

si s

ailleurs

(V.9)

Pour la phase de défuzzification, on utilise la méthode du centre de gravitée, ce qui nous

donne :

5

15

1

. ii f

i

i

i

s u

u

s

(V.10)

(a) (b)

K

PG PM NM NG Z E

2

K0

2

K

K

fu

fu

PG PM Z E NM NG

r2

0 r

2

s

s

107


Avec, i s le degré d’appartenance de s au sous ensemble Fisi .

Finalement, le résultat d’inférence pour tout s, s’écrit [109]

ssigKu f (V.11)

avec:

11

022

1

0

21

2

1

11

z

zr

r

rz

zrr

z

rz

r

rz

z

zsig (V.12)

La figure V.3, illustre le résultat d’inférence des règles floues pour différentes valeurs

de la variable r. On remarque bien, que la valeur de la variable r joue un rôle important dans

la forme de cette fonction. Pour ri =1, on peut la considérer comme une fonction de saturation.

Par conséquent, on peut améliorer les performances de la commande par l’ajustement de cette

variable.

Figure V.3. Résultats de l’inférence des règles floues pour différentes valeurs de r.

V.3. Commande par la méthode du backstepping

La technique dite « Backstepping », développée par Kanellakopoulos et al. [110], offre

une méthode de conception systématique d’une commande non linéaire. L’appellation

backstepping est particulièrement justifiée par le processus récursif intrinsèque à la synthèse

de la loi de commande. Cette technique permet de construire, d’une façon récursive, la

commande et la fonction de Lyapunov pour un système non linéaire triangulaire. L’idée

consiste à calculer une loi de commande afin de garantir que la dérivée d’une fonction de

Lyapunov soit définie positive et que sa dérivée soit toujours négative.

6.0r

2.0r

1r2

K

K

2

K

K

108


Afin d’illustrer le principe de la méthode du backstepping, on considère le cas des systèmes

non linéaires de la forme suivante :

1 1 1 1 1 2

2 2 1 2 2 1 2 3

3 2 1 2 3 3 1 2 3

, ,

, , , , .

T

T

T

x f x g x x

x f x x g x x x

x f x x x g x x x u

(V.13)

Le vecteur des paramètres est supposé connu. On désire faire suivre à la sortie y=x1 le

signal de référence ry , où , ,r r ry y y et (3)ry sont supposées connues et uniformément bornées.

Le système étant du troisième ordre, le design s’effectue en trois étapes.

Etape1 : On considère d’abord le premier sous système

1 1 1 1 1 2Tx f x g x x (V.14)

La variable d’état x2 est traitée comme une commande et l’on définit la première valeur

désirée par :

1 0 rdx y (V.15)

La première variable d’erreur se définit par :

1 1 0z x (V.16)

Avec ces variables, le système d’équation (V.14) s’écrit :

1 1 0

1 1 2 0T

z x

f g x

(V.17)

Pour un tel système, la fonction quadratique s’écrit :

21 1 1

1

2V z z (V.18)

Elle constitue un bon choix de fonction de Lyapunov. Sa dérivée le long de la solution de

l’équation (V.17), est donnée par :

1 1 1

1 1 1 2 0T

V z z

z f g x

(V.19)

Un choix judicieux de x2 rendrait 1V négative et assurerait la stabilité de l’origine du sous-

système décrit par (V.17). Prenons comme valeur de x2, la fonction α1, telle que :

1 1 2 0 1 1Tf g x c z (V.20)

où c1>0 est un paramètre de design. Cela donne

2 1 1 1 1 01

1 T

dx c z f

g

(V.21)

et la dérivée s’écrit

21 1 1 0V c z (V.22)

109


d’où la stabilité asymptotique de l’origine de l’équation (V.17).

Etape2 : On considère, dans ce cas, le deuxième sous-système par :

2 2 1 2 2 1 2 3, ,Tx f x x g x x x (V.23)

On définit la nouvelle variable d’erreur :

2 2 1z x (V.24)

qui représente l’écart entre la variable d’état x2 et sa valeur désirée α1. A cause du fait que x2

ne peut être forcée à prendre instantanément une valeur désirée, en l’occurrence α1, l’erreur z2

n’est pas, instantanément, nulle. Le design dans cette étape consiste, alors, à forcer l’erreur de

s’annuler avec une certaine dynamique, choisie au préalable.

Les équations du système à commander, dans l’espace (z1, z2), s’écrivent :

1 1 0 1 2 1

2 2 1 2 3

T

T

z f g z

z f g x

(V.25)

Pour lesquelles on choisit la fonction de Lyapunov suivante :

22 1 2 1 2

1,

2V z z V z (V.26)

Cette dernière a pour dérivée, le long de la solution de l’équation (V.25) donnée par :

2 1 2 1 2 2

1 1 1 2 1 0 2 2 2 3 1

1 1 1 1 0 2 2 1 1 2 3 1

21 1 2 2 1 1 2 3 1

,

T T

T T

T

V z z V z z

z f g z z f g x

z f g z f g z g x

c z z f g z g x

(V.27)

Le choix de la valeur désirée (la fonction stabilisante) de x3 devient évident. Cette dernier est

donné par :

3 2 1 1 1 2 2 22

1 T

dx g z f c z

g

(V.28)

où c2 >0, avec 1 calculée analytiquement :

1 1 11 1

1r r

r r

x y yx y y

(V.29)

Un tel choix permet de réduire la dérivée à

2 22 1 1 2 2 0V k z k z (V.30)

Ce qui assure la stabilité asymptotique de l’origine de (V.25).

Etape3 : le système (V.13) est maintenant considéré dans sa globalité. La variable d’erreur 3z

est définie par :

3 3 2z x , (V.31)

110


ce qui permet d’écrire les équations du système dans l’espace des erreurs 1 2 3, ,z z z comme

suit :

1 1 1 2 1 0

2 2 1 3 2 1

3 3 2 3.

T

T

T

z f g z

z f g z

z f g u

(V.32)

Avec comme fonction de Lyapunov

23 1 2 3 2 3

1, ,

2V z z z V z (V.33)

La dérivée, le long de la solution du système d’équations (V.32), devient :

3 2 3 3

2 21 1 2 2 3 3 2 2 3 2

T

V V z z

c z c z z g u g z f

(V.34)

À présent, on est en présence de la vraie commande u. Un bon choix de celle-ci est donné

par :

2 2 2 3 3 33

1 Tu g z f c zg

(V.35)

où c3>0 et 2 est également calculée analytiquement par :

(3)2 2 1 1 11 1 2

1 2r r r

r r r

x x y y yx x y y y

, (V.36)

Avec ce choix, on a :

2 2 22 1 1 2 2 3 3 0V c z c z c z (V.37)

d’où la stabilité asymptotique de l’origine du système d’équation (V.32). Ceci se traduit par la

stabilité, en boucle fermée, du système original (V.13) et la régulation à zéro de l’erreur de

poursuite ry y . Les deux principaux objectifs du design sont alors atteints.

Les paramètres de design ci sont directement liés à la position des pôles de la boucle

fermée. Leur choix permet de faire un placement des pôles, fixant ainsi la dynamique en

régulation de cette boucle.

V.3.1. Cas des systèmes d’ordre n

L’application récursive du backstepping permet l’extension de la procédure de

design aux systèmes triangulaires de la forme suivante :

1 1 1 1 1 2

2 2 1 2 2 1 2 3

1 1 1 2 1 1 1 2 1

1 2 1 1 2 1

, ,

, , , , , ,

, , , , , , , ,

T

T

Tn n n n n n

Tn n n n n n n

x f x g x x

x f x x g x x x

x f x x x g x x x x

x f x x x x g x x x x u

(V.38)

111


où fi(0)=0, gi ≠0 pour 1≤ i ≤ n

La procédure de design commence à partir de l’équation (V.16) de l’erreur z1. Le

changement de variable adéquat à chaque étape i permet d’appliquer le backstepping

récursivement, en rajoutant l’équation i+1. Partant de α0, on construit les différents αi et Vi .

Ce qui résulte en

1 0

1( )1 1

1 1 1 111

1

rd

ik Ti i

i i k k r i i i i ikdi k rk

x y

x g x y g z c zg x y

(V.39)

où

1

1

1

1

1, ,

ii

i i kkk

i i i

i n

f fx

z x

(V.40)

Les différentes fonctions de Lyapunov sont données par :

2

1

1

1

2

i

i j j

j

V x

(V.41)

La commande u, qui permet d’atteindre les objectifs du design pour le système global, est

donnée par la dernière commande virtuelle αn.

V.3.2. Association des commandes mode glissant et backstepping

L’Association des commandes mode glissant et backstepping a deux avantages :

d’une part le backstepping nous offre une méthode systématique pour synthétiser les surfaces

de glissement et, d’autre part, l’incorporation de la commande par mode glissant s’avère

intéressant dans la simplification des étapes nécessaires pour la synthèse d’une commande

stabilisante par backstepping. Dans cette approche, la variable iz de la dernière étape est

considérée comme une surface de glissement non linéaire.

V.3.3. Association des commandes mode glissant flou et backstepping

Le schéma de la figure (V.4) illustre le principe de cette association. La commande

équivalente est calculée en utilisant la surface de glissement obtenue par la méthode

backstepping. Le système d’inférence flou permet de déterminer la commande attractante à

partir de la surface de glissement obtenu par la méthode backstepping. La commande à

appliquer sur le système est la somme des deux commandes.

112


Figure V.4. Structure de l’association des commandes mode glissant flou et backstepping.

V.4. Commande d’un hélicoptère à deux degrés de liberté de type TRMS 33-007-4M5

V.4.1. Commande par mode glissant flou

Nous considérons ici la commande du modèle du TRMS 33-007-4M5 donné par les

équations (II.43), (II.44) et nous utilisons la loi de commande suivante :

eq fsu u u (V.42)

où :

la commande fsu est calculée par le système d’inférence flou décrit ci-dessus, et ueq, la

commande équivalente, est obtenue en utilisant les équations (IV.29) et (IV.31) et les surfaces

de glissement non linéaires données par l’équation (IV.34). La structure de commande est

illustrée par la figure V.5.

Figure V.5. Schéma bloc de la commande par mode glissant flou appliquée au TRMS 33-007-4M5.

-

+ hu

eqhu

Equivalent control

+

dx4

dx1

-

+

+

41 xy 6

5

x

x

3

2

x

x

fshu+


eqvu

vu

TRMS 33-007- 4M5

Horizontal

Vertical 12 xy

+

h


fsvu

FIS-H

h FIS-H

Référence

Système

Commande équivalente synthétisée par backstepping

Système d’inférence flou

Surface de glissement synthétisée par backstepping

+ -

+

+

113


V.4.2. Résultats de simulation

Les valeurs des paramètres du modèle mathématique du TRMS 33-007-4M5, utilisées

dans la simulation, sont celle présentées dans le Tableau II.1. Les valeurs des autres

paramètres sont :

αh(0) = 0 rad, αv(0) = -0.93 rad, gain de commutation K=10, paramètre d’ajustement r=0.7,

largeur de la bande Φ=0.01.

Les performances de commande obtenues sont données par les figures V.6 (a)-(d) pour

un signal de référence carré et V.7 (a)-(d) pour un signal de référence sinusoïdal. Nous avons

obtenu, pour les deux trajectoires de références, une bonne précision de poursuite et des

signaux de commande présentant moins d’oscillation en comparaison avec ceux obtenus dans

le cas de la commande par mode glissant (figures IV.10 et IV.11). Le test de robustesse réalisé

et présenté par les (figures V.8 (a) - (d)), indique que la propriété de robustesse de la

commande par mode glissant est sauvegardée.

Figure V.6. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de référence carré (commande par mode glissant flou).

(a)

(c) (d)

(b)

Temps (s)

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

1

alp

ha

h (

rad)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

alp

ha

v (r

ad)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uh (

vo

lt)

0 10 20 30 40 50 60 -3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uv

(vo

lt)

114


Figure V.7. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de référence sinusoïdale

(commande par mode glissant flou).

Figure V.8. Réponses du système et signaux de commande avec augmentation des forces aérodynamiques (commande par mode glissant flou).

0 5 10 15 20 25 30 35-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

alp

ha

v (r

ad)

Désirée Réelle

Temps (s)

0 5 10 15 20 25 30 350

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

alp

ha

h (

rad)

Désirée Réelle

(a) (b)

(c) (d)

(a) (b)

(c) (d)

Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv

Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv

Fh Fv

Fh Fv

0 10 20 30 40 50 60-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uh (

vo

lt)

0 10 20 30 40 50 60 -3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uv (

vo

lt)

0 5 10 15 20 25 30 35-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uh (

vo

lt)

0 5 10 15 20 25 30 35-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uv

(vo

lt)

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

alp

ha

h (

rad

)

Désirée Réelle

Temps (s)0 10 20 30 40 50 60

-1

-0.5

0

0.5

1

alp

ha

v (

rad)

Désirée Réelle

115


Figure V.9. Résultats de poursuite en 3D : (a) signal de référence carré, (b) signal de référence sinusoïdale (commande par mode glissant flou).

V.4.3. Commande par mode glissant et backstepping

Nous cherchons à établir, pour chacun des sous systèmes vertical et horizontal, une

loi de commande stabilisante de la forme :

eq cu u u (V.43)

La structure de commande est illustrée par la figure (V.10).

Figure V.10. Schéma bloc de la commande glissante-backstepping appliquée au

TRMS 33-007-4M5.

(a) (b)

+

Equivalent control

+

dx4

dx1

+

+

+

-

hu

eqhu

41 xy

6

5

x

x

3

2

x

x

cvu


eqvu

vu

TRMS 33-007- 4M5

Horizontal

Vertical

12 xy

-


+ chu




h


v

0

20

40 60

-1

-0.5

0

0.5-1

-0.5

0

0.5

1


alp

ha

v (

rad)

Désirée

Réelle

0

20

40

60

-0.5

0

0.5-1

-0.5

0

0.5

Temps (s)

alphah (rad)

alp

ha

v (

rad)

Désirée Réelle

116


Commençons par le sous système vertical dont le modèle, établi dans le chapitre II, et rappelé

par les équations suivantes :

vvv

vvv

udxCx

xgxbxfx

xx

33

1232

21

(V.44)

mr

mrv

mrv

v

vv

T

Kd

Tc

J

Kb

,1

(V.45)

3 3

1 1 1

( )

cos sin

mv f v v

v

vv

lf x S F P x

J

gg x A B x C x

J

(V.46)

Pour déterminer la loi de commande, nous procédons selon trois étapes comme suit :

Etape 1 :

Nous définissons la première variable d’erreur 1vz comme étant l’erreur de poursuite, telle

que :

dv xxz 111 = vdv (V.47)

Nous définissons la première fonction de Lyapunov 1vV par :

211

2

1vv zV (V.48)

Sa dérivée, est donnée par :

1 1 1 1 2 1v v v v dV z z z x x (V.49)

Pour avoir 1 0vV , prenons 2x comme étant la commande virtuelle :

2 1 1 1d v vx x c z , 1 0vc (V.50)

La commande virtuelle 2 dx est alors définie par :

2 1 1 1v v ddx c z x (V.51)

z2v, la variable à stabiliser dans la deuxième étape, est définie par :

2 2 2 2 1 1 1v v v ddz x x x c z x (V.52)

Etape 2:

La fonction de Lyapunov augmentée et sa dérivée sont données par :

22

212

2

1

2

1vvv zzV (V.53)

117


2

2 1 1 2 2v v v v vV c z z z (V.54)

En remplaçant 2vz dans l’équation (V.54) nous obtenons :

2 1 1 2 3 2 1 1 2 1 1v v v v v v v v d dV z z z f x b x g x c x x x

(V.55)

Pour avoir 2 0vV , prenons 13 xgxf vv comme étant la commande virtuelle :

3 1 2 1 2 1 1 2 2v v v v d d v vf x g x b x c x x x c z , 2 0vc (V.56)

La commande virtuelle 3 1v v df x g x est alors définie par :

3 1 2 2 2 1 2 1 1v v v v v v d ddf x g x c z b x c x x x (V.57)

z3v, la variable à stabiliser dans la troisième étape, est définie comme suit :

3 3 1 2 2 1 1 2 1 2v v v v v d v d vz f x g x c z x c x x b x (V.58)

Etape 3:

La fonction de Layapunov augmentée ainsi que sa dérivée sont données par :

2 2 23 1 2 3

1 1 1

2 2 2v v v vV z z z (V.59)

3 12 23 1 1 2 2 3 3 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2

3 1

v vv v v v v v v v d d d v d v

f x g xV c z c z z x x c x c x x x x c x x b x

x x

(V.60)

Avec 3 0vc

La loi de commande backstepping du sous système vertical s’obtient par :

33 2 2 1 2 1 1 1 3 2 1

3

132 3 3 1 2 1

13

...1

vv v v d d d v v v v

vvv

v v v dv

f xC x c x c x x x x b f x b x g x

xu

g xf xx c z c x xd

xx

(V.61)

Prenons maintenant, la variable z3v comme étant la surface de glissement :

3 3 1 2 2 1 1 2 1 2v v v v v v d v d vz f x g x c z x c x x b x (V.62)

La fonction de Lyapunov globale du système, s’écrit alors :

2 2 23 1 2

1 1 1

2 2 2v v v vV z z (V.63)

La dérivée temporelle de cette fonction se calcule comme suit :

3 1 1 2 2v v v v v v vV z z z z (V.64)

3 12 23 1 1 2 2 3 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2

3 1

v vv v v v v v v v d d d v d v

f x g xV c z c z x x c x c x x x x c x x b x

x x

(V.65)

Par ailleurs :

1 1v v v v vq sign k , 0, 11 vv kq (V.66)

3 3v vc z

118


La loi de commande donnée par l’équation (V.61) peut se réécrire, en introduisant la surface

de glissement, de la manière suivante :

33 2 2 1 2 1 1 1 3 2 1

3

132 1 2 1 1 1

13

...1

sin


vvv

v d v v v vv


xu

g xf xx c x x q g kd

xx

(V.67)

Nous pouvons mettre l’expression (V.67) sous la forme v eqv cvu u u , où :

33 2 2 1 2 1 1 1 3 2 1

3

132 1 2 1

13

...1


vvv

v dv


xu

g xf xx c x xd

xx

(V.68)

1 1

3

3

1sincv v v v v

vv

u q g kf x

dx

(V.69)

La loi de commande backstepping du sous système horizontal hu est calculée de la même

manière que la commande vu en utilisant le modèle du sous système horizontal, donné par

(II.44), et en suivant les étapes précédentes. Nous obtenons :

66 2 5 1 5 4 4 4 6 5 3 3 1 5 4

6 6

6

1 hh h h h d d d h h h h h h d

hh

f xu C x c x c x x x x b f x b x c z c x x

f x xd

x

(V.70)

Avec 1 2 3, , 0h h hc c c

En introduisant la surface de glissement donnée par :

3 6 2 2 4 1 5 4 5h h h h h d h d hz f x c z x c x x b x (V.71)

Nous aboutissons à la loi de commande suivante :

66 2 5 1 5 4 4 4 6 5 1 5 4 1 1

6 6

6

1sinh

h h h h d d d h h h h d h h h hh

h

f xu C x c x c x x x x b f x b x c x x q g k

f x xd

x

(V.72)

Avec :

1 1 1 1 , , 0h h h h h h hq sign k q k , (V.73)

La loi de commande précédente peut s’écrire sous la forme h eqh chu u u , avec :

66 2 5 1 5 4 4 4 6 5 1 5 4

6 6

6

1 heqh h h h d d d h h h h d

hh

f xu C x c x c x x x x b f x b x c x x

f x xd

x

(V.74)

1 1

6

6

1sinch h h h h

hh

u q g kf x

dx

(V.75)

119



Les valeurs initiales αh (0) = 0 rad et αv (0) = -0.93 rad, ainsi que les valeurs des

paramètres du modèle données dans le tableau II.1 ont été utilisées dans le calcul des lois de

commande développées ci-dessus.

Les figures V.11, V.12, V.13, et V.14 montrent les performances de la commande

obtenues. Elles sont globalement, caractérisées par la présence d’une erreur de poursuite

relativement grande (figure V.12 (b)) et des oscillations rapides sur les signaux de commande

(figures V.11 (c) et (d), V.12 (c) et (d), V.13 (c) et (d)). La cause principale de ces oscillations

est la présence de la fonction signe dans les lois de commande. Pour examiner la robustesse

de l’algorithme, nous avons augmenté, entre les instants 10 et 15 sec, les valeurs des forces

aérodynamiques Fh et Fv. La figure V.13, montre que cette approche présente une faible

robustesse vis-à-vis des variations paramétriques, telles que la variation des valeurs des forces

aérodynamiques Fh et Fv . En vue d’améliorer les performances de cette approche nous

proposons d’utiliser un système d’inférence flou pour calculer la commande discontinue.

Ceci, est l’objet de la section suivante.

Figure V.11. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de référence carré

(commande glissante-backstepping).

(a) (b)

(c) (d)

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

Temps (s)

alp

ha

h (

rad)

Désirée Réelle

1

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

alp

ha

v (r

ad)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uh (

vo

lt)

0 10 20 30 40 50 60-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uv

(vo

lt)

120


Figure V.12. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de référence sinusoïdale

(commande glissante-backstepping).

Figure V.13. Réponses du système et signaux de commande avec augmentation des forces

aérodynamiques (commande glissante-backstepping).

0 5 10 15 20 25 30 35-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Temps (s)

alp

ha

v (r

ad)

0 5 10 15 20 25 30 350

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Temps (s)

alp

ha

h (

rad)

Désirée Réelle

(a)

(c)

(b)

(d)

(a)

(c)

(b)

(d)

Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv

Fh Fv

Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv

Fh Fv

Temps (s)

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

1 a

lpha

h (

rad

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60 -1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

alp

ha

h (

rad)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uh (

vo

lt)

0 5 10 15 20 25 30 35-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uh (

vo

lt)

0 5 10 15 20 25 30 35-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uv

(vo

lt)

0 10 20 30 40 50 60-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uv (

vo

lt)

Désirée Réelle

121


Figure V.14. Résultats de poursuite en 3D : (a) signal de référence carré, (b) signal de référence sinusoïdale (commande glissante-backstepping).

V.4.5. Commande par mode glissant flou et backstepping

L’objectif de cette partie est l’application de la technique hybride : commande par

mode glissant flou et backstepping sur le modèle du TRMS 33-007-4M5. Le schéma bloc de

cette commande est donné par la figure V.15. La loi de commande à appliquer sur chacun des

sous systèmes du modèle du TRMS est de la forme suivante :

eq fbsu u u (V.76)

La commande attractive fbsu est calculée en utilisant le système d’inférence flou

défini dans le paragraphe V.2.1, et la commande équivalente ueq est calculée en utilisant les

équations (V.50) et (V.52).

(a) (b)

0 20

40

60

-1

-0.5

0

0.5-1

-0.5

0

0.5


alp

hav

(rad)

0

20

40

60

-1

-0.5

0 0.5

1 -1

-0.5

0

0.5

1


alp

hav

(rad)

122


Figure V.15. Schéma bloc de la commande par mode glissant flou et backstepping appliquée au TRMS 33-007-4M5.


Les figures V.16, V.17, V.18, et V.19 montrent les résultats de simulation de

l’application de la commande par mode glissant flou et backstepping sur le modèle

mathématique du TRMS. Nous utilisons les mêmes valeurs des paramètres du modèle et les

conditions initiales utilisées dans les simulations précédentes. La valeur du gain de

commutation et celles du paramètre d’ajustement et de la largeur de la bande sont : K =10, r

=0.7 et Φ = 0.01.

A partir des résultats obtenus (Figures V.16 – V. 18), nous pouvons conclure que cette

technique hybride présente des performances meilleures que celles obtenues dans le cas de

commande par mode glissant et backstepping. Particulièrement, l’erreur de poursuite et le

temps de réponse sont plus faibles, et les signaux de commande présentent moins

d’oscillations. Cependant, la robuste de cette approche reste encore faible pour le TRMS.

hu

eqhu

Equivalent control

+

dx4

dx1

-

+

+

+

41 xy 6

5

x

x

3

2

x

x

fshu+

La commande équivalente

eqvu

vu

TRMS 33-007- 4M5

Horizontal

Vertical 12 xy

+

v

La commande équivalente

-

fsvu

FIS-H

v FIS-H

123


Figure V.16. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de référence carré

(commande par mode glissant flou et backstepping).

Figure V.17. Réponses du système et signaux de commande pour un signal de référence sinusoïdale (commande par mode glissant flou et backstepping).

(a) (b)

(c) (d)

(a) (b)

(c) (d)

0 10 20 30 40 50 60 -1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

alp

ha

h (

rad

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

alp

ha

v (

rad)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uh (

vo

lt)

0 10 20 30 40 50 60-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uv (

vo

lt)

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

alp

ha

h (

rad)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60 -1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

alp

ha

v (r

ad)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uh (

vo

lt)

0 10 20 30 40 50 60-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uv

(vo

lt)

124


Figure V.18. Réponses du système et signaux de commande avec augmentation des forces aérodynamiques (commande par mode glissant flou et backstepping).

Figure V.19. Résultats de poursuite en 3D : (a) d’un signal sinusoïdale, (b) d’un signal carré (commande par mode glissant flou et backstepping).

V.5. Commande d’un hélicoptère à six degrés de liberté de type quadrotor

V.5.1. Commande par mode glissant flou

En vue d’atténuer le phénomène de chattering, l’inconvénient majeur de la commande

par mode glissant, nous utilisons un système d’inférence flou pour calculer la commande

discontinue. Le principe de cette commande est illustré par la figure V.20 [82], [111].

0 5 10 15 20 25 30 35-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

alp

ha

v (

rad)

Désirée Réelle

0 5 10 15 20 25 30 350

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Temps (s)

alp

ha

h (

rad)

Désirée Réelle

(a) (b)

(c) (d)

(a) (b)

Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv

Fh Fv

Fh +0.35Fh Fv +0.35Fv

Fh Fv

0 5 10 15 20 25 30 35-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uh (

vo

lt)

0 5 10 15 20 25 30 35-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

uv (

vo

lt)

0 20

40

60

-1

-0.5

0 0.5

1 -1

-0.5

0

0.5


alp

hav

(rad)

Désirée Réelle60

0 20

40

-1

-0.5

0

0.5 1 -1

-0.5

0

0.5

1


alp

hav

(rad)

Désirée Réelle

125


Figure V.20. Schéma bloc de la commande par mode glissant flou appliquée sur le quadrotor.

La dynamique désirée en boucle fermée est celle choisie par la surface de glissement

suivante :

2

11 i i

eq fs

i i i

i e

u u u

et

s e e

avec

ee

(V.77)

Avec la commande attractive est donnée par :

1 2 3 4 5 6

5

15

1

, , , , ,

, 1...6

T

fs fs fs fs fs fs fs

i ii j j

ifs j

ii j

i

u u u u u u u

s uf

u j

s

(V.78)

La commande fsju est calculée par un système d’inférence flou dont sa description est détaillée par

le schéma suivant :

Figure V.21. Système d’inférence flou utilisé pour calculer la commande discontinue

La commande équivalente equ est calculée en utilisant les expressions (IV.45) et (IV.52)


Nous avons effectué les simulations en mode de régulation pour les sous systèmes de

+

equ

+

+

Quadrotor Surface.1

Surface.2

…

Surface.6

FIS.1

…


-

dX

X

FIS.2

FIS.6

fsu

R1: SI si est NG Alors uf i est PG

R2: SI si est NM Alors uf i est PM

R3: SI si est EZ Alors uf i est EZ

R4: SI si est PM Alors uf i est NM

R5: SI si est PG Alors uf i est NG

Partie prémisse Les règles floues Partie conclusion

is

PG PM Z E NM NG

i 2

iir

0 2

iir

i

is

PG PM NM NG Z E

2iK0

2

iKiK

ifu

iuf

iK

126


translation et d’orientation et utiliser des trajectoires de référence en échelon et sinusoïdaux.

Les résultats obtenus sont donnés par les figures V.22 - V.30.

Figure V.22. Résultats de poursuite des trajectoires en échelon selon les axes , , ,X Y Z

Figure V.23. Résultats de poursuite des trajectoires en échelon selon les axes ,

Figure V.24. Les signaux de commande (trajectoire en échelon).

(a) (b)

(c) (d)

(a) (b)

(a) (b)

(c) (d)

Temps (s)

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps (s)

y (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Temps (s)

z (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

Temps (s)

ksi (r

ad)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

Temps (s)

phi (

rad)

0 10 20 30 40 50 60 -0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Temps (s)

the

ta (

rad)

0 10 20 30 40 50 60 0

1

2

3

4

5

6

Temps (s)

la c

om

ma

nd

e U

1 (

N)

0 10 20 30 40 50 60 -0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0 0.01

0.02

0.03

0.04

Temps (s)

la c

om

ma

nd

e U

2 (

N)

0 10 20 30 40 50 60 -0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

la c

om

ma

nd

e U

3 (

N)

Temps (s)

0 10 20 30 40 50 60 -1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

la c

om

ma

nd

e U

4 (

N.m

)

.

.

127


Figure V.27. Résultats de poursuite des trajectoires sinusoïdaux selon les axes , , ,X Y Z

Figure V.28. Résultats de poursuite des trajectoires sinusoïdaux selon les axes ,

Figure V.26. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (trajectoire en échelon).

Figure V.25. Vitesses angulaires des quatre rotors (trajectoires en échelon).

(a) (b)

(c) (d)

(a)

0 10 20 30 40 50 60 0

50

100

150

200

250

Temps (s)

vite

sse w

i (r

ad/s

)

w1

w2

w3

w4

00.5

11.5

22.5

0

0.5

1

1.5

20

0.5

1

1.5

2

x (m)y (m)

z (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Temps (s)

x (

m)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Temps (s)

y (

m)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

6

7

Temps (s)

z (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0 0.1

Temps (s)

ksi (

rad)

Désirée Réelle

(b)

0 10 20 30 40 50 60-0.03

-0.02

-0.01 0

0.01

0.02 0.03

Temps (s)

theta

(ra

d)

0 10 20 30 40 50 60-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Temps (s)

phi (

rad)

.

.

128


Figure V.29. Les signaux de commande (trajectoires sinusoïdaux).

D’après les résultats de simulation, il apparaît clairement que les erreurs de

poursuite sont faibles et les valeurs des dépassements sont acceptables. En outre, les temps de

réponses, qui caractérisent le régime transitoire, sont aussi faibles. Les figures V.24 (a) – (d),

V.29 (a) – (d) montrent les signaux de commandes obtenues ; ils présentent particulièrement

une forme suffisamment lisse. Ceci, permet d’améliorer la précision au régime établi et

atténuer le phénomène de chattering.

V.5.3. Commande par mode glissant et backstepping

Pour établir les différentes lois de commande « backstepping », nous utilisons le

modèle d’état du quadrotor donné par les équations (II.65) et (II.67) et nous suivons les étapes

récursives suivantes :

D’abord, définissons les erreurs de poursuite comme suit :

(a) (b)

(c)

Figure IV.31. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (trajectoires sinusoïdaux).

Figure IV.30. Vitesses angulaires des quatre rotors (trajectoires sinusoïdaux).

(d)

-1

0 1

-1-0.5

00.5

1 0 1 2 3 4 5 6 7

x (m)y (m)

z (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 600

50

100

150

200

250

Temps (s)

vite

sse w

i (ra

d/s

)

w1 w2 w3 w4

0 10 20 30 40 50 60 0

1

2

3

4

5

6

Temps (s)

la c

om

ma

nd

e U

1 (

N)

0 10 20 30 40 50 60-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

la c

om

ma

nd

e U

2 (

N)

0 10 20 30 40 50 60-0.01

-0.005

0 0.005

0.01 0.015

0.02

Temps (s)

la c

om

ma

nd

e U

3 (

N)

0.01

0 10 20 30 40 50 60 -0.01

-0.005

0

0.005

Temps (s)

la c

om

ma

nd

e U

4 (

N.m

)

Temps (s)

129


1 1 1

, 1,3,5,7,9,11

, 2, 4,6,8,10,12

id i

i

i i i i

x x iz

x x z i

(V.79)

avec ]12,1[0 ii

Les fonctions de Lyapunov prennent alors la forme suivante :

2

21

1, 1,3,5,7,9,11

2

1, 2, 4,6,8,10,12

2

i

i

i i

z i

V

V z i

(V.80)

Considérons, par exemple, le cas où 11i :

11 11 11

211 11

1

2

dz x x

V z

(V.81)

11 11 11 11 11 12dV z z z x x (V.82)

Par application du théorème de Lyapunov ( 1 0V ), la stabilisation de 11z peut être obtenue par

l’introduction d’une nouvelle entrée de commande virtuelle 12x :

12 11 11 11dx x z , 11 0 (V.83)

L’équation (V.60) devient alors :

211 11 11 11 11V z z z (V.84)

Faisons le changement de variable suivant :

12 12 11 11 11dz x x z (V.85)

Pour 12i

12 12 11 11 11

2 212 11 12

1 1

2 2

dz x x z

V z z

(V.86)

12 11 11 12 12V z z z z (V.87)

La dérivée de 12z est donnée par :

212 2 12 1 10 8 3 10 1 2 11 11 11dz a x a x x a x bU x z (V.88)

La loi de commande U2 est alors déduite en satisfaisant 12 0V , nous obtenons :

22 2 12 1 10 8 3 10 11 12 12 12 11

1

1d dU a x a x x a x x z z

b (V.89)

Le terme 12 12z est ajouté afin de stabiliser 11z

Les autres lois de commande 3 4, , ,x yU U U U et 1U peuvent être déterminées de la même

manière. Nous obtenons :

130


23 5 10 4 8 12 6 12 9 10 10 10 9

2

24 8 8 7 10 12 7 8 8 8 7

3

9 2 1 2 2 2 1 11

10 4 3 4 4 4 3 11

1 11 611 9

1

1

/ 0

/ 0

cos cos

d d

d d

x d d

y d d

d

U a x a x x a x x z zb

U a x a x x x z zb

mU a x x x x z z U

U

mU a x y y x z z U

U

mU a x z

x x

5 6 6 6 5 11 9/ cos cos 0dg z x z z x x

(V.90)

Afin de synthétiser les surfaces de glissement de manière systématique, nous faisons appel à

la technique backstepping.

De l’équation (V.85) nous obtenons les surfaces de glissement suivantes :

12 12 11 11 11

10 10 9 9 9

8 8 7 7 7

2 2 1 1 1

4 4 3 3 3

6 6 5 5 5

d

d

d

x d

y d

Z d

S z x x z

S z x x z

S z x x z

S z x x z

S z x x z

S z x x z

(V.91)

Pour obtenir des lois de commande stabilisante, il est nécessaire que 0S S

A partir des équations (V.85) et (V.86) nous avons :

2 2

12 11 12

12 12 11 11 11

1 1

2 2

d

V z z

z x x z

(V.92)

Du système d’équations (V.91) donnant les différentes surfaces de glissement nous avons :

12 12 11 11 11dS z x x z (V.93)

La fonction de Lyapunov 12V peut alors s’écrire :

2 212 1

1 1

2 2V z S (V.94)

La dérivée de cette fonction est donnée par :

12 11 11

212 11 11 2 12 1 10 8 3 10 1 2 11 12d d

V z z S S

V z z S a x a x x a x bU x

(V.95)

Soit :

1 1

12 11 11 11

22 12 1 10 8 3 10 1 2 11 12

d

d d

S q sign S k S

x x z

a x a x x a x b U x

, 2,i iq k (V.96)

L’expression de la loi de commande 2U , donnée par (V.89), peut se réécrire de la manière

suivante :

22 1 1 2 12 1 10 8 3 10 11 12

1

1d dU q sign S k S a x a x x a x x

b (V.97)

131


Nous obtenons donc :

2 1 1

22 2 12 1 10 8 3 10 11 12

1

1

1

1eq d d

U q sign S k Sb

U a x a x x a x xb

(V.98)

En suivant la même procédure les lois de commande données par le système d’équation

(V.90) peuvent se réécrire de la manière suivante [112] :

23 2 2 5 10 4 8 12 6 12 9 10

2

24 3 3 8 8 7 10 12 7 8

3

4 4 9 2 1 2 11

5 5 10 4 3 4 11

1

1

, 0

,

d d

d d

x x x d d

y y y d d

U q sign S k S a x a x x a x xb

U q sign S k S a x a x x xb

mU q sign S k S a x x x x U

U

mU q sign S k S a x y y x U

U

1 6 6 11 6 5 6 11 911 9

0

, cos cos 0cos cos

z z d d

mU q sign S k S a x z g z x x x

x x

(V.99)


Les résultats de la commande glissante-backstepping appliquée au quadrotor sont

illustrés par les figures V.31 – V. 40. Ces résultats ont été pris avec les paramètres du Tableau

II.2.

Figure V.32. Résultats de poursuite des trajectoires en échelon selon les axes , , ,X Y Z .

(a) (b)

(c) (d)

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Temps (s)

x (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps (s)

y (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Temps (s)

z (m

)

Désirée Réelle

600 10 20 30 40 50

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Temps (s)

ksi (

rad)

Désirée Réelle

132



Figure V.34. Les signaux de commande (trajectoires en échelon).

(a) (b)

(a)

(c)

(b)

(d)


échelon).


0 10 20 30 40 50 60-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Temps (s)

phi (

rad)

0 10 20 30 40 50 60-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Temps (s)

theta

(ra

d)

00.5

11.5

22.5

0

0.5

1

1.5

20

0.5

1

1.5

2

x (m)y (m)

z (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 600

50

100

150

200

250

300

Temps (s)

vite

sse w

i (ra

d/s

)

w1

w2

w3

w4

0 10 20 30 40 50 60

0

1

2

3

4

5

6

7

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

1 (

N)

0 10 20 30 40 50 60-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

2 (

N)

0 10 20 30 40 50 60

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

3 (

N)

0 10 20 30 40 50 60-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

4 (

N.m

)

.

133





(a)

(c)

(b)

(d)

(a) (b)

(a) (b)

(c) (d)

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

6

7

8

Temps (s)

z (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Temps (s)

ksi (

rad)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

Temps (s)

phi (

rad)

0 10 20 30 40 50 60

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

Temps (s)

the

ta (

rad

)

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

6

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

1 (

N)

0 10 20 30 40 50 60-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

2 (

N)

0 10 20 30 40 50 60-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

3 (

N)

0 10 20 30 40 50 60-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005 0.01

0.015 0.02

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

4 (

N.m

)

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Temps (s)

x (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Temps (s)

y (m

)

Désirée Réelle

.

.

134


Les résultats présentés ci-dessus, montrent que nous n’avons pas obtenu de bonnes

performances de commande. En particulier la précision de poursuite des trajectoires de

référence est faible et les signaux de commande présentent des oscillations très rapides.

V.5.5. Commande par mode glissant flou et backstepping

La structure de commande est donnée par la figure V.42. Il s’agit d’utiliser un

système d’inférence flou pour déterminer la commande attractive fbsu . La dynamique en

boucle fermée est définie par les surfaces de glissement synthétisées en utilisant la technique

backstepping. Nous cherchons alors des lois de commande de la forme :

eq fbsu u u (V.100)

où :

La commande équivalente equ est calculée en utilisant les expressions (V.98) et (V.99), et la

commande attractive fbsu est calculée en utilisant le système d’inférence décrit dans le

paragraphe V.5.1.

Figure V.42. Schéma bloc de la commande par mode glissant flou et backstepping appliquée sur le quadrotor.


Les résultats de simulation en utilisant des trajectoires de référence en échelon sont

donnés par les figures V.42 – V. 46, et ceux en utilisant des trajectoires sinusoïdaux sont

donnés par les figures V.47 - V.51.

Figure V.41. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (cas des trajectoires sinusoïdaux).

Figure V.40. Vitesses angulaires des quatre rotors (trajectoires sinusoïdaux).

+

equ

+ +

Quadrotor Surface.1

Surface.2 …

Surface.6

FIS.1

…


-

dX

X

FIS.2

FIS.6

fbsu

-1

0 -1

-0.50 0.5

1 0 1 2 3 4 5 6 7

x (m)y (m)

z (

m)

Désirée

Réelle 1

0 10 20 30 40 50 60 0

50

100

150

200

250

Temps (s)

vite

sse w

i (ra

d/s

)

w1

w2

w3

w4

135


Figure V.43. Résultats de poursuite des trajectoires en échelon selon les axes , , ,X Y Z


Figure V.45. Les signaux de commande (trajectoires en échelon).

(a) (b)

(c) (d)

(a) (b)

(a)

(c)

(b)

(d)

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Temps (s)

x (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps (s)

y (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Temps (s)

z (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005 0.01

0.015

Temps (s)

phi (

rad)

0.02

0 10 20 30 40 50 60

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

Temps (s)

theta

(ra

d)

0 10 20 30 40 50 60

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Temps (s)

ksi (

rad)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-1 0

1

2

3

4

5

6

7

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

1 (

N)

0 10 20 30 40 50 60-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

2 (

N)

0 10 20 30 40 50 60-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04 0.06

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

3 (

N)

0 10 20 30 40 50 60-5

0

5

10

15

20x 10

-3

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

4 (

N.m

) .

.

136




Figure V.47. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (cas des trajectoires en échelon).


(a)

(c) (d)

(b)

(a) (b)

0 10 20 30 40 50 60 0

50

100

150

200

250

Temps (s)

vite

sse w

i (r

ad/s

)

w1

w2

w3

w4

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

x (m

)

Désirée Réelle

1.5

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Temps (s)

y (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

6

7

8

Temps (s)

z (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Temps (s)

ksi (

rad)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

Temps (s)

phi (

rad)

600 10 20 30 40 50-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01 0.02 0.03 0.04

Temps (s)

theta

(ra

d)

00.5

11.5

22.5

0

0.5

1

1.5

20

0.5

1

1.5

2

x (m)y (m)

z (m

)

Désirée Réelle

.

.

137



Cette approche nous a permis d’obtenir de bonnes performances de commande. En

effet, la poursuite des trajectoires de référence se fait avec une bonne précision et avec un

temps de réponse relativement faible (figures : V. 43(a) – (d), V. 44 (a), (b), V. 48 (a) – (d),

V. 49 (a) et (b)), et les signaux de commande sont suffisamment lisses (figures : V. 45 (a) –

(d), V. 50 (a)-(d)).

V.6. Etude comparative

Cette étude permettra de conclure sur les performances des différentes lois de

commande développées pour la commande du TRMS 33-007-4M5 et du quadrotor. Elle est

basée sur le deux critères suivants :

- l’énergie de la commande,

- la somme des carrés des erreurs.

(a) (b)

(c) (d)

Figure V.52. Trajectoire globale du quadrotor en 3D (trajectoires sinusoïdaux).

Figure V.51. Vitesses angulaires des quatre rotors (trajectoires sinusoïdaux).

-1

0

1

-1 -0.5 00.5

10

1

2

3

4

5

6

7

x (m)y (m)

z (m

)

Désirée Réelle

0 10 20 30 40 50 60 0

50

100

150

200

250

Temps (s)

vite

sse w

i (ra

d/s

)

w1

w2

w3

w4

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

4

5

6

7

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

1 (

N)

0 10 20 30 40 50 60

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x 10-3

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

2 (

N)

0 10 20 30 40 50 60

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x 10-3

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

3 (

N)

0 10 20 30 40 50 60

-5 0

5

10

15

20

25x 10

-3

Temps (s)

la c

om

ma

nde U

4 (

N.m

)

138


Les mêmes conditions de simulation, tels que le pas de simulation, la plage temporelle,

les gains de la commande, …etc., ont été utilisées. Les résultats de cette comparaison sont

regroupés dans les tableaux V.1 et V.2.

Tableau V.1. Etude comparative entre les commandes développées pour le TRMS 33-007-4M5.

D’après le Tableau V.1 nous constatons, dans le cas du TRMS 33-007-4M5, que les

valeurs les plus faibles des deux critères J1 et J2 sont obtenues dans le cas de la commande

par mode glissant flou avec des surfaces non linéaires.

Critère

Commandes développées pour le TRMS 33-007-4M5

Commande par mode glissant avec des surfaces non linéaires [113, 114]

Commande par mode glissant d’ordre deux

[115]

Commande par linéarisation entrée-sortie [116]

sim 1 sim 2 sim 1 sim 2 sim 1 sim 2

1

1

1

2

pT

k

J u u

5.50×103 3.94×103 742.364 1.76×103 175.14 78.37

2

1

1

2

pT

k

J e e

500.42

63.23

547.14 64.84 452.29 94.06

Critère

Commandes développées pour le TRMS 33-007-4M5 (suite)

Commande par mode glissant flou avec des surfaces non

linéaires

Commande par mode glissant et backstepping

Commande par mode glissant flou et backstepping


1

1

1

2

pT

k

J u u

160.44 75.99 845.60 1.26×103 180.27 100.05

2

1

1

2

pT

k

J e e

420.75 43.99 631.24 74.52 570.35 93.15

139


Tableau V.1. Etude comparative entre les commandes développées pour le quadrotor.

Dans le cas du quadrotor (tableau V.2), les valeurs les plus faibles des deux critères J1

et J2 sont obtenues avec la commande par mode glissant flou et backstepping.

A partir des résultats présentés dans les tableaux V.1 et V.2, nous pouvons conclure

que la commande par mode glissant combinée avec la commande floue est, en générale, la

plus performante du point de vue minimisation des deux critères, et ceci pour les deux

systèmes aéronautiques. Néanmoins, les performances de cette commande hybride dépendent

des paramètres du système flou utilisé.

La commande par mode glissant, avec des surfaces non linéaires, sollicite une énergie

importante, ceci se voit par l’ordre des valeurs du critère J1 dans les tableaux V.1 et V.2. De

plus, comme nous l’avons dis au préalable, cette commande présente des oscillations très

rapides, ce qui donne naissance au chattering, (phénomène indésirable). Toutefois, cette

Critère

Commandes développées pour le quadrotor

Commande par mode glissant avec des

surfaces non linéaires [117-119]

Commande par mode glissant d’ordre deux

[120]

Commande par linéarisation entrée-

sortie [59, 121]

Commande par linéarisation entrée-sortie avec extension

dynamique [122]

sim 1 sim 2 sim 1 sim 2 sim 1 sim 2 sim 1 sim 2

1

1

1

2

pT

k

J u u

7.008×105 7.006×105 6.82×104 6.82×104 6.83×105 6.82×105 6.82×104 6.82×104

2

1

1

2

pT

k

J e e

2.33×104

2.64×103

1.47×103 365.67 1.28×104 1.23×104 1.10×103 757.45

Critère

Commandes développées pour le quadrotor (suite)

Commande par mode glissant flou avec des

surfaces de glissement non linéaires

Commande par mode glissant et backstepping [58, 123]

Commande par mode glissant flou et backstepping


1

1

1

2

pT

k

J u u

6.82×104 6.80×104 6.97×104 6.95×104 5.36×104 5.32×104

2

1

1

2

pT

k

J e e

908.65 197.84 1.055×103 194.03 805.96 232.41

140


commande manifeste une robustesse vis-à-vis des perturbations exogènes et des erreurs de

modélisation.

La commande hybride par mode glissant et backstepping nous offre une méthode

systématique pour la synthèse des surfaces de glissement. Néanmoins, cette approche

nécessite un développement mathématique avancé.

V.7. Commande par mode glissant flou et backstepping à base d’observateur du quadrotor

Nous présentons ici une nouvelle structure de commande pour le quadrotor à travers la

synthèse d’un observateur non linéaire, pour pouvoir parer aux problèmes suivants :

Erreurs de modélisation.

Etats non accessibles.

Bruits ou perturbations extérieurs.

V.7.1. Synthèse de l’observateur

Considérons le modèle du système (II.65), et soit le vecteur X̂ l’estimé du vecteur X ,

le modèle de l’observateur est une copie du modèle d’origine (celui du système) en ignorant

les couples aux effets gyroscopiques, les frottements aérodynamiques et les forces de trainées.

Il se présente comme suit :

1 12ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ[ ,..., ] , , , , , , , , , , ,TX x x x x y y z z

(V.101)

1 2 1

12 11 9 7 11 7 2

3 4 3

14 11 9 7 11 7 4

5 6 5

9 116 1 6

7 8 7

8 3 4 8

9 10 9

10 2 3 10

11 12 11

ˆ ˆ

ˆ cos sin cos sin sin

ˆ ˆ

ˆ cos sin sin sin cos

ˆ ˆ

cos cosˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

x x

Ux x x x x x

m

x x

Ux x x x x x

m

x x

x xx U g

m

x x

x b U

x x

x b U

x x

12 1 2 12x b U

(V.102)

La dynamique des erreurs d’estimation est donnée par :

141


1 2 1

2 2

3 4 3

4 4

5 6 5

6 6

7 8 7

8 8

9 10 9

10 10

11 12 11

12 12

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

(V.103)

Tel que ˆi i ie x x (V.104)

Les erreurs d’estimation sont données par les relations suivantes :

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5 5

6 6 6

7 7 7

8 8 8

9 9 9

10 10 10

11 11 11

12 12 12

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

e y y

e x x

e y y

e x x

e y y

e x x

e y y

e x x

e y y

e x x

e y y

e x x

(V.105)

Le vecteur de sortie est donné par :

1 3 5 7 9 11TY x x x x x x (V.106)

Pour pouvoir calculer les gains d’observation il est nécessaire que la dynamique de

l’erreur d’estimation (observation) soit stable. Pour se faire nous choisissons une fonction de

Lyapunov candidate fonction de cette dernière et nous essayons ensuite de prouver la stabilité.

Soit : 2 21 2 1 2

1,

2V e e e e (V.107)

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 2

,V e e e e e e

e e e

(V.108)

1 2, 0V e e si et seulement si :

1 1 1 2 1

2 1

e sign e

e

, 1 2, 0 (V.109)

Nous procédons de la même manière pour calculer les autres gains comme suit :

142


3 3 3 4 3

4 3

5 5 5 6 5

6 5

7 7 7 8 7

8 7

9 9 9 10 9

10 9

11 11 11 12 11

12 11

e sign e

e

e sign e

e

e sign e

e

e sign e

e

e sign e

e

(V.110)

V.7.2. Synthèse des lois de commande

Dans ce qui suit, nous allons présenter une nouvelle structure de commande basée

essentiellement sur l’observateur non linéaire présenté par la figure V.53. Nous considérons

que la sortie du système est soumise à des bruits, supposés gaussiens, dues à la navigation

dans des zones de turbulences atmosphériques.

En premier lieu, nous nous permettons de modéliser ces perturbations extérieures par

des bruits blancs additifs à la sortie du système Y (V.106) qui sont de nature gaussienne. En

second lieu, l’effet de ces perturbations est modélisé en biaisant les paramètres du système.

Pour se faire nous proposons un schéma de commande donné par la figure V.53.

Figure V.53. Structure de commande avec observateur.

La loi de commande donnée par (V.99) doit assurer une stabilité exponentielle afin de

garantir la stabilité globale de notre asservissement. Dans cette loi, la commande attractive

fbsu est calculée par le système d’inférence flou décrit dans le paragraphe V.5.1, et la

commande équivalente ueq est calculée par :

Contrôleur d’orientation

dd

dd

dd

,

,

,

x

y

z

1U

x

x

y

y

z

z

Ob

servateu

r no

n lin

éaire

zyxzyx ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ

Contrôleur de position

, , ,

, , ,

, , ,

d d d d

d d d d

d d d d

x y z

x y z

x y z

Trajectoire de reference

+

+

Bruit blanc gaussien

2U

3U

4U

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ,

Bruit blanc gaussien

143


1 11 6 5 6 11 911 9

22 2 12 1 10 8 3 10 11 12

1

23 5 10 4 8 12 6 12 9 10

2

24 8 8 7 10 12 7

3

ˆ ˆ ˆ ˆ, cos cos 0ˆ ˆcos cos

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

1ˆ ˆ ˆ

eq d d

eq d d

eq d d

eq d d

mU a x z g z x x x

x x

U a x a x x a x xb

U a x a x x a x xb

U a x a x xb

8

9 2 1 2 11

10 4 3 4 11

ˆ

ˆ ˆ , 0

ˆ ˆ , 0

xeq d d

yeq d d

x

mU a x x x x U

U

mU a x y y x U

U

(V.111)

Les nouvelles surfaces de glissement choisies sont définies comme suit :

12 12 11 11 11 11

10 10 9 9 9 9

8 8 7 7 7 7

2 2 1 1 1 1

4 4 3 3 3 3

6 6 5 5 5 5

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

d d

d d

d d

x d d

y d d

Z d d

S z x x x x

S z x x x x

S z x x x x

S z x x x x

S z x x x x

S z x x x x

(V.112)


Dans ces simulations la situation suivante a été considérée :

- bruit gaussien, de valeur moyenne nulle, additif à la mesure avec un écart-type égale à 2 m pour

les capteurs de position et 0.05 rad pour celui des angles.

- variation de 100% des paramètres ai et de 100% des paramètres bi pendant la durée de 20 à 25

secondes.

Les résultats obtenus sont représentés par les figures V. 54 à V. 62.

(a) (b)

(c) (d) Figure V.54. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes , , ,X Y Z

0 5 10 15 20 25 30 35 40-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (s)

x (m

)

Désirée Réelle

Estimée

0 5 10 15 20 25 30 35 40-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps (s)

y (m

)

Désirée Réelle

Estimée

0 5 10 15 20 25 30 35 40 -1 -0.5

0 0.5

1 1.5

2 2.5

Temps (s)

z (m

)

Désirée Réelle

Estimée

0 5 10 15 20 25 30 35 40 -1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Temps (s)

ksi (

rad)

Désirée

Réelle

Estimée

.

144


Figure V.55. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes ,

Figure V.56. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes , , ,X Y Z

Figure V.57. Résultats de poursuite des trajectoires désirées selon les axes ,

(a) (b)

(a) (b)

(c) (d)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Temps (s)

phi (r

ad)

Réelle

Estimée

Temps (s)

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

the

ta (

rad)

Réelle

Estimée

Temps (s)

2.5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 -1

-0.5

0 0.5

1 1.5

2

xp

t (m

/s)

Réelle

Estimée

Temps (s) 0 5 10 15 20 25 30 35 40

-0.5

0

0.5

1

1.5

yp

t (m

/s)

Réelle

Estimée

0 5 10 15 20 25 30 35 40 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Temps (s)

zpt

(m/s

)

Réelle

Estimée

2

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.2

0 0.2

0.4

0.6

0.8

1 1.2

ksip

t (r

ad/s

)

Réelle

Estimée

(b)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Temps (s)

the

tapt

(ra

d/s

)

Réelle

Estimée Réelle

Estimée

(a) Temps (s)

Réelle

Estimée

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0 0.1

0.2

0.3

0.4

phip

t (r

ad/s

)

Réelle

Estimée

.

.

.

145


Figure V.58. Erreurs d’estimation sur les trajectoires réelles selon les axes , ,X Y Z

Figure V.59. Erreurs d’estimation sur les trajectoires réelles selon les angles ,

Figure V.60. Erreurs d’estimation sur les trajectoires réelles selon les axes , , ,X Y Z

(a) (b)

(c) (d)

(a) (b)

(a) (b)

(c) (d)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Temps (s)

Erreur d'estimation sur l'axe x

e

rreu

r (m

)

Temps (s) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Erreur d'estimation sur l'axe y

err

eu

r (m

)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Temps (s)

Erreur d'estimation sur l'axe z

err

eu

r (m

)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Temps (s)

Erreur d'estimation sur l'axe ksi

err

eu

r (r

ad)

Temps (s)0 5 10 15 20 25 30 35 40

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3Erreur d'estimation sur l'axe phi

err

eu

r (r

ad)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Temps (s)

Erreur d'estimation sur l'axe theta

err

eu

r (r

ad)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 -1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

Erreur d'estimation sur l'axe xpt

err

eu

r (m

/s)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 -0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Temps (s)

Erreur d'estimation sur l'axe ypt

err

eu

r (m

/s)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Temps (s)

Erreur d'estimation sur l'axe zpt

err

eu

r (m

/s)

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Temps (s)

Erreur d'estimation sur l'axe ksipt

err

eu

r (r

ad/s

) .

.

.

146


Figure V.61. Erreurs d’estimation sur les trajectoires réelles selon les axes ,

Figure V.62. Les signaux de commande.

Les différentes figures montrent que les performances obtenues par cette commande

sont acceptables et que l’observateur non linéaire permet de reconstruire les variables

estimées avec une erreur faible.

V.8. Conclusion

Nous avons envisagé, dans ce chapitre, l’idée de combiner plusieurs techniques de

commande pour améliorer les performances de commande et atténuer le phénomène de

chattering associé à la commande par mode glissant. Plus précisément, nous avons considéré

l’association des commandes par mode glissant et logique floue, la commande par mode

glissant et la commande par backstepping et enfin les trois commandes : mode glissant,

logique floue et backstepping. Les résultats de simulation de la commande des deux systèmes

aéronautiques (TRMS et quadrotor) ont montré l’efficacité de cette approche hybride. En

effet, la commande par mode glissant flou et la commande par mode glissant flou et

backstepping permettent d’atténuer d’une manière considérable le phénomène de chattering

(a) (b)

(a) (b)

(c) (d)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 0

2

4

6

8

Temps (s)

la c

om

ma

nd

e U

1 (

N)

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

Temps (s)

la c

om

ma

nd

e U

2 (

N)

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.01

0

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Temps (s)

la c

om

ma

nd

e U

4 (

N.m

)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 -0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

Temps (s)

la c

om

ma

nd

e U

3 (

N)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 -0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Temps (s)

Erreur d'estimation sur l'axe phipt

e

rreu

r (r

ad/s

)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 -0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Temps (s)

Erreur d'estimation sur l'axe thetapt

err

eu

r (r

ad/s

)

.

147


tout en préservant la robustesse de la commande par mode glissant. En plus, la technique

backstepping offre une méthode systématique pour la synthèse des surfaces de glissement et

garantit la stabilité du système. Nous avons aussi envisagé l’idée d’associer un observateur à

la commande par mode glissant flou et backstepping. Outre, la précision de poursuite des

trajectoires de référence, la loi de commande obtenue présente une bonne robustesse vis-à-vis

des perturbations externe et le biais des paramètres.

Conclusion générale


148



Avec la croissance de l’intérêt des UAV, celui des avions à atterrissage et à décollage

verticaux (VTOL) et le besoin d’une instrumentation discrète et surtout légère, le quadrotor a

connu une grande popularité ces dernières années. Cela dit, la principale motivation pour ce

travail de recherche était la synthèse de lois de commande stabilisantes pour ce type

d’appareils.

Le quadrotor et le TRMS 33-007-4M5 sont des systèmes complexes non linéaires,

multi-variables, instables notamment en mode de vol quasi-stationnaire et présentent une

dynamique fortement couplée. Le problème traité consiste à garantir en premier lieu la

stabilité de ces systèmes ainsi que la poursuite de trajectoires avec plus ou moins des

performances acceptables vis-à-vis le milieu de navigation.

Souvent la commande de tels systèmes évoque de prés les problèmes de la

modélisation dynamique ainsi que le problème de la fidélité du modèle au comportement

dynamique du système, dans tous les modes de vol. Dans ce travail, nous nous somme basé

dans le développement du modèle dynamique du quadrotor sur les travaux de recherche

relatifs à l’identification expérimentale des paramètres d’un quadrotor prototype existant au

niveau de LISV [67]. Pour aboutir à un modèle, le plus réaliste et le plus représentatif

possible, nous avons pris en considération toutes les forces et tous les moments influant sur le

système. Pour le TRMS 33-007-4M5 nous avons utilisé le modèle dynamique délivré par la

société feedback [65].

L’un des objectifs de cette thèse était d’envisager la commande à structure variable

avec une nouvelle vision permettant d’améliorer ses performances. Pour cela, des méthodes

de commande par mode de glissement ont été développées et pour lesquelles des surfaces de

glissement non linéaires ont été proposées. L’autre direction que nous avons suivie, pour

améliorer les performances de cette technique de commande, est celle qui consiste à associer

la commande floue et la commande par mode de glissement. Dans le but de développer une

méthode permettant la synthèse systématique des surfaces de glissement, nous avons aussi

associé la technique de commande par backstepping à la commande par mode de glissement

et la commande par mode glissement flou.

Les résultats obtenus montrent le bon fonctionnement des lois de commande

proposées à travers les performances enregistrées, aussi bien pour les simulations effectuées

sur le modèle du TRMS 33-007-4M5 que pour celles effectuées sur le quadrotor.

149


Cette étude nous a permis de tirer les conclusions suivantes :

En plus de l’amélioration des performances de commande, les avantages de la commande

à structure variable classique avec des surfaces de glissement linéaires ; à savoir la

robustesse vis-à-vis des variations paramétriques et des perturbations exogènes et la

simplicité de synthèse, sont préservés dans la commande à structure variable basée sur

des surfaces de glissement non linéaires.

L’association de la commande floue à la commande par mode de glissement permet

d’atténuer l’effet de chattering, l’inconvénient principal de la commande à structure

variable.

L’introduction de la commande récursive, connue sous le nom backstepping, nous offre

une méthode systématique pour la synthèse des surfaces de glissement. Toutefois, pour

les systèmes d’ordre supérieur, cette approche s’avère difficile à manipuler. En effet, la

synthèse d’une loi de commande via le backstepping nécessite un développement

mathématique un peu compliqué.

A l’issue des travaux réalisés, cette thèse ouvre de nouvelles perspectives de recherche parmi

lesquelles nous citons :

Mise en ouvre expérimentale des lois de commande développées sur le TRMS et le

quadrotor.

Généraliser l’étude des lois de commande proposées pour le cas discret.

Utilisation des algorithmes d’optimisation pour la détermination des différents

paramètres de la loi de commande.

La reformulation des méthodes développées dans un contexte adaptatif.

Validation des commandes proposées sur d’autres types des avions sans pilote.

LISTE DES PUBLICATIONS ET COMMUNICATIONS Publications Internationales : 1- S.ZEGHLACHE, D.SAIGAA, K.KARA, A.HARRAG and A.BOUGUERRA,” Fuzzy Based Sliding

Mode Control Strategy for an Uav Type-Quadrotor”, The Mediterranean Journal of Measurement and Control, Vol. 8, No. 3, pp. 436-445, 2012.

2- S.ZEGHLACHE, D.SAIGAA, K.KARA, A.HARRAG and A.BOUGUERRA,” Backstepping sliding

mode controller improved with fuzzy logic: Application to the quadrotor helicopter”, Archives of control Sciences, Vol. 22, No. 3, pp. 255-282, 2012.

Communication Internationales : 1- S.ZEGHLACHE, D.SAIGAA, K.KARA, A.HARRAG and A.BOUGUERRA, ”Fuzzy Sliding Mode

Control with Chattering Elimination for a Quadrotor Helicopter in Vertical Flight”, Proceedings of the 7th international conference on Hybrid Artificial Intelligent systems-Volume Part I, Pages 125-136, Springer-Verlag Berlin Heidelbreg, 2012.

2- S.ZEGHLACHE, D.SAIGAA, K.KARA and A.BOUGUERRA,”Dynamic Feedback Linearization Strategy Based Lunberger Observer for a 6DOF Quadrotor Helicopter”, Proceeding of the International Science and Technology Conference (ISTEC’2012), Pages 413-420, Dubai, UAE.

3- S.ZEGHLACHE, Abderrahmen BOUGUERRA and Djamel SAIGAA,”Super Twisting Control algorithm Applied to the 2DOF Helicopter (TRMS system)”, Proceeding of the 12th International conference on Sciences and Techniques of Automatic control & computer engineering, 2011, Sousse, Tunisia.

4- S.ZEGHLACHE, Abderrahmen BOUGUERRA and Djamel SAIGAA,” Feedback Linearization Control of a Helicopter-like Twin Rotor MIMO System in Coupled Configuration”, Proceeding of the 12th International conference on Sciences and Techniques of Automatic control & computer engineering, 2011, Sousse, Tunisia.

5- S.ZEGHLACHE, D.SAIGAA, K.KARA and A.BOUGUERRA,”State vector estimation using extended filter kalman for the sliding mode controlled quadrotor helicopter in vertical flight”, Proceeding of the IEEE International Conference on Electrical and Electronics Engineering (ELECO), 2013, Bursa, Turkish.

Communication Nationales : 6- S.ZEGHLACHE, D.SAIGAA and K.KARA, ” Sliding Mode Control Strategy Based Extended Kalman

Filter Observer for a 6 DOF Quadrotor Helicopter”, International Conference on Nanoelectronics, Communications and Renewable Energy, 2013, Jijel, Algeria.

Bibliographie

Bibliographie

150

Bibliographie

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[123] H. Bouadi, M. Bouchoucha, M. Tadjine, ”Sliding mode control based on backstepping approach for an UAV type-quadrotor”, International Journal of Applied Mathematics & Computer Sciences, 4(1), 2008, pp. 60-65.

Résumé

La théorie des systèmes à structure variable fait l’objet de multiples études depuis une cinquantaine d’années. Le but de ce travail est d’entamer cette commande avec une nouvelle vision. Pour cela, des méthodes de commande par mode de glissement ont été abordées. En premier temps, des surfaces de glissement non linéaires ont été proposées. La première méthode mise en évidence est une commande à structure variable basée sur les surfaces non linéaires. La deuxième, fait appel aux outils de l’intelligence artificielle pour remédier aux problèmes de la commande à structure variable classique, à savoir la logique floue. Quant à la troisième, c’est une commande hybride glissante-backstepping, dont le souci est de trouver une méthode systématique pour la synthèse des surfaces de glissement. Les lois de commande développées, dans ce travail, ont été validées par simulation sur un hélicoptère à deux degrés de liberté type TRMS 33-007-4M5 et un hélicoptère à six degrés de liberté type quadrotor. Une tentative de comparaison entre les méthodes est réalisée en termes de performance et de robustesse. En outre, le domaine d’observation non linéaire est exploré et on a aboutit à la synthèse d’un observateur non linéaire pour notre quadrotor afin de reconstruire le vecteur d’état d’une façon complète ou d’une façon partielle et d’estimer les états non mesurables et les effets des perturbations extérieures tels que le vent et les bruits.

Mots clés: Mode de glissement, Backstepping, commande non linéaire, commande floue, commande hybride, observateur non linéaire, modèle dynamique.

Abstract The theory of variable structure system is the subject of multiple studies since about fifty years. The aim of this work is to study this method of control with a new vision. For that, several methods of sliding mode control were reached. At first, nonlinear sliding surfaces were proposed. Then, the first method highlights a variable structure controller based on nonlinear surfaces suggested as above. The second calls the artificial intelligence tools to cure the problems of the traditional variable structure controller: fuzzy logic. The third, it is a hybrid controller sliding–backstepping, while the objective of this combination is to find a systematic method for the synthesis of the sliding surfaces. The developed controllers, in this work, were validated by simulation on the two degree of freedom helicopter type TRMS 33-007-4M5, and in the other side, for the six degree of freedom helicopter type quadrotor. Moreover, the field of nonlinear observation is explored, so we have synthesized nonlinear observers for our quadrotor in order to reconstruct completely or partially the state vector and to estimate the unmeasured states and the effects of the external disturbances such as wind and noise.

Key words: Sliding mode, Backstepping, nonlinear control, fuzzy control, hybrid control,

nonlinear observer, dynamic modelling.

ملخص

في ھذا العمل نتطرق إلى ھذه . الخمسة عقود األخیرة كانت نظریة التحكم اإلنزالقي وال زالت إحدى مجاالت البحث العلمي خاللفي بادئ األمر اقترحنا مساحات . الطریقة في التحكم من منظور جدید، حیث تمحورت دراستنا حول عدة طرق للتحكم اإلنزالقي

أما في.إلنزالقیة المذكورة سلفافالطریقة المقترحة األولى تبرز خوارزم للتحكم اإلنزالقي إعتمادا على المساحات ا. إنزالقیة غیر خطیةوبغیة إیجاد طریقة نظامیة لحساب المساحات اإلنزالقیة، قمنا . الطریقة الثانیة فنستعین بتقنیات الذكاء اإلصطناعي كالمنطق الغامض

ذا العمل، تم إختبارھا قوانین التحكم المقترحة في ھ. خالل الطریقة الثالثة بمزج التحكم اإلنزالقي مع طریقة التحكم بالرجوع المرحليوطائرة مروحیة ذات ستة درجات حریة من TRMS 33-007-4M5بالمحاكاة على طائرة مروحیة ذات درجتي حریة من نوع

بدراسة كما قمنا بالمقارنة بین تقنیات التحكم المقترحة من خالل مزایا ومتانة كل تقنیة، كما قمنانوع رباعیة المروحیات، بھدف التحكم في . من نوع رباعیة المروحیاتمااوصلنا إلى تطویر مراقب الخطي خاص بالروبوت الطائر المراقبة الالخطیة

.وجود إظطرابات خارجیة أو عجز على مستوى أجھزة القیاس بغیة إعادة تشكیل شعاع الحالة للنظام بصفة كاملة أو جزئیة

مراقب ،ھجین تحكم التحكم بالمنطق الغامض، تحكم الخطي، المرحلي، بالرجوع التحكم التحكم اإلنزالقي، :كلمات مفتاحیة

.الخطي، نموذج دینامیكي

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UNIVERSITE DE M’SILA DEPARTEMENT …virtuelcampus.univ-msila.dz/factech/wp-content/uploads/2016/04/... · REMERCIEMENTS Le travail présenté dans cette thèse a été effectué