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ufr sciences des organisations

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THESE

Pour l’obtention du titre deDOCTEUR EN INFORMATIQUE

spécialité: aide à la décision

Exploitation de preferences non-classiques

dans les problemes combinatoires:

modeles et algorithmes pour les graphes

Candidat: Olivier SPANJAARD

JURY

Directeur de thèse: Patrice PERNY

Professeur à l’Université Paris VI

Rapporteurs: Didier DUBOIS

Directeur de recherche CNRS, Université Toulouse III

Michel MINOUX

Professeur à l’Université Paris VI

Suffrageants: Bernard ROY

Professeur à l’Université Paris-Dauphine

Roman SLOWINSKI

Professeur à l’Université de Technologie de Poznan

Jacques TEGHEM

Professeur à la Faculté Polytechnique de Mons

Invité: Philippe VINCKE

Professeur à l’Université Libre de Bruxelles

Présentée et soutenue publiquement le 16 Décembre 2003

L’université n’entend donner aucune approbation ni improbation aux opinions émisesdans les thèses : ces opinions doivent être considérées comme propres à leurs auteurs.

Table des matières

Introduction 1

1 Modélisation des préférences et problèmes de décision combinatoires 41.1 Aide à la décision et modélisation des préférences . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Aide à la décision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Modélisation des préférences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Problèmes combinatoires discrets et méthodes de résolution . . . . . . . . 161.2.1 Problème combinatoire discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2 Méthodes constructives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.3 Limites des méthodes constructives connues . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Une approche AD des problèmes combinatoires . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.1 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.2 Problèmes de décision combinatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Quelques approches formelles existantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.1 Le formalisme des dioïdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.2 Le formalisme fondé sur les préférences . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.5 Positionnement et organisation de notre travail . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 Quelques alternatives typiques au cadre classique 342.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Problèmes combinatoires multicritères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.1 Les dangers de l’agrégation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.2 Concepts de base de l’optimisation multicritère . . . . . . . . . . . 372.2.3 Enumération des arbres couvrants %P -efficaces . . . . . . . . . . . 392.2.4 Enumération des chemins %P -efficaces . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.5 Recherche heuristique multicritère . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3 Problèmes avec des préférences ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3.2 Optimisation en l’absence d’information cardinale . . . . . . . . . . 522.3.3 Optimisation en présence d’information purement ordinale . . . . . 54

2.4 Problèmes combinatoires incorporant une idée de robustesse . . . . . . . . 572.4.1 Un premier exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.4.2 Robustesse d’une solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.4.3 Représentation avec des vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4.4 Représentation avec des intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

iii

iv TABLE DES MATIÈRES

3 Arbres et chemins préférés 633.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2 Problèmes et algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.1 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.2 Algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3 Admissibilité des algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3.1 Etude de quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3.2 L’axiome de préadditivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3.3 Admissibilité de l’algorithme inspiré de Kruskal . . . . . . . . . . . 733.3.4 Admissibilité de l’algorithme inspiré de Prim . . . . . . . . . . . . 753.3.5 Admissibilité de l’algorithme adapté de Bellman . . . . . . . . . . 793.3.6 Implémentation informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.4 Problèmes fondés sur une relation de préférence non-préadditive . . . . . . 813.4.1 Deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.4.2 Retrouver la préadditivité par approximation des préférences . . . 843.4.3 Utiliser des conditions plus faibles en diminuant les exigences . . . 87

3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4 Recherche heuristique fondée sur les préférences 914.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2 Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.1 Le formalisme des multi-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2.2 Recherche heuristique fondée sur les préférences . . . . . . . . . . . 93

4.3 L’algorithme PBA∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.4 Terminaison, complétude et admissibilité de PBA∗ . . . . . . . . . . . . . 98

4.4.1 Axiomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.4.2 Terminaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.4.3 Complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.4.4 Admissibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.5 Comparaison avec d’autres variantes de A∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5 Chemins bottleneck sur une échelle partiellement ordonnée 1065.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.2 Un problème d’acheminement d’un produit toxique . . . . . . . . . . . . . 1075.3 Le critère mappipref . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.3.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.3.2 Le problème étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.4 Considérations de complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.4.1 Un cas polynômial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.4.2 Complexité dans le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.5 Le dioïde construit autour de mappipref . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.5.1 Résultats préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.5.2 Le dioïde proposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.6 Algorithme général de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.6.1 L’algorithme de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.6.2 Algorithme de comparaison selon mappipref . . . . . . . . . . . . . 119

TABLE DES MATIÈRES v

5.6.3 Complexité de l’algorithme général . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6 Recherche de solutions robustes dans les graphes d’états 1226.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.2 Un problème de recherche de solutions robustes . . . . . . . . . . . . . . . 1236.3 Une définition de la robustesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.3.1 Proposition d’une axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.3.2 Lien avec la dominance de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.4 Recherche des solutions robustes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.4.1 Considérations de complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.4.2 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.5 Discriminer entre des solutions robustes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.5.1 Proposition d’une nouvelle axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . 1376.5.2 Un théorème de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Conclusion 143

vi TABLE DES MATIÈRES

Introduction

La problématique décisionnelle est devenue centrale aujourd’hui en informatique, tant

au niveau des systèmes d’aide à la décision que dans le développement de systèmes de

décision automatique. Elle se rencontre dans de nombreux domaines applicatifs, comme

le choix stratégique dans l’entreprise ou la planification d’opérations.

Les systèmes d’aide à la décision visent à faciliter la tâche d’un individu ou d’une

collectivité face à un choix complexe. Les situations où l’on peut être amené à faire ap-

pel à un tel système sont multiples, allant de décisions de gestion impliquant un grand

nombre d’individus (à la fois en tant qu’acteurs au sein du système objet de la décision

et en tant qu’acteur du processus de décision), comme le choix de l’emplacement d’une

infrastructure de transports, jusqu’à des problèmes plus quotidiens avec un grand nombre

de solutions potentielles, comme l’élaboration d’emplois du temps, la gestion d’ateliers

de production ou la mise en place de systèmes de recommandation.

Les systèmes de décision automatique ont quant à eux connu leur essor avec le déve-

loppement de l’intelligence artificielle. Ils sont par exemple mis en œuvre pour le pilotage

d’agents autonomes dans des environnements complexes, ou encore le contrôle du déclen-

chement de systèmes automatiques en fonction de conditions extérieures. A la différence

des systèmes d’aide à la décision, la décision finale se fait sans intervention humaine.

Dans les problèmes pratiques, on rencontre principalement trois sources de difficulté.

Tout d’abord, on est souvent amené à prendre en compte plusieurs points de vue ou cri-

tères potentiellement conflictuels. Par exemple, dans le choix d’un itinéraire autoroutier,

les préférences des différentes communautés urbaines impliquées sont rarement en adé-

quation ; dans le choix d’un nouveau véhicule, les critères de performance et les critères

économiques sont souvent divergents, etc. Ensuite, une deuxième source de difficulté est

le caractère souvent imprécis, incertain, voire incomplet de l’information dont on dispose.

Ainsi, le guidage d’un robot mobile équipé de plusieurs capteurs dans un environnement

mal connu doit tenir compte de la nature imprécise de l’information. Enfin, une dernière

source de difficulté, et non des moindres, est le nombre parfois combinatoire de solutions

1

2 Introduction

potentielles à envisager. A ce titre, la constitution d’équipages et de rotations en trans-

port aérien est un très bon exemple de problème qu’on ne sait résoudre que de façon

heuristique (c’est-à-dire ici en deux temps : une phase de constitution des équipages, et

une phase de construction des rotations).

Face à ces difficultés, le recours à une intervention scientifique pour préparer la déci-

sion semble naturel. Les enjeux d’une telle démarche ne sont néanmoins pas les mêmes

selon qu’on se situe dans le contexte de l’aide à la décision ou de la décision automa-

tique. En aide à la décision, le décideur (il peut s’agir éventuellement d’une collectivité

d’individus) va souhaiter une préparation “rationnelle” des décisions afin de conforter

ses choix. Le nœud du problème se situe alors dans la modélisation des préférences et

l’exploitation de ce modèle pour guider les choix. En décision automatique, on cherche

plutôt des algorithmes efficaces pour se substituer à la décision humaine. La recherche

d’un comportement le plus adéquat possible passe là encore par une approche scientifique

des procédures décisionnelles.

Les modèles formels développés en théorie de la décision fournissent des réponses aux

problématiques soulevées par les deux premiers facteurs de complexité, i.e. la prise en

compte de plusieurs critères ou points de vue, et la prise en compte de l’imprécision,

l’incertitude, voire la mauvaise détermination. En ce qui concerne le troisième facteur de

difficulté, i.e. l’aspect éventuellement combinatoire du problème, de nombreuses réponses

sont apportées par les travaux en algorithmique pour les problèmes combinatoires, que

ce soit en Recherche Opérationnelle (RO) ou en Intelligence Artificielle (IA).

La réalité nous confronte souvent à des situations où plusieurs de ces difficultés co-

existent, c’est-à-dire qu’on rencontre des problèmes qui mêlent des aspects multicritères

et combinatoires, incertains et combinatoires, voire les trois à la fois. On est alors amené

à prendre en compte simultanément des préoccupations de modélisation et d’algorith-

mique. La préoccupation de modélisation est liée d’une part à la représentation des objets

réels, d’autre part à la représentation de l’information préférentielle qui devra guider la

décision. La préoccupation algorithmique est, quant à elle, liée à la résolution du problème

formalisé. Ces préoccupations deviennent critiques dans les problèmes combinatoires.

Objectif de la thèse. L’objectif de cette thèse est précisément de marier les préoc-

cupations de modélisation des préférences et d’algorithmique dans l’étude de problèmes

décisionnels admettant un nombre combinatoire de solutions potentielles. Nos travaux

portent sur des problèmes combinatoires dans les graphes (arbres couvrants préférés,

chemins préférés, recherche heuristique dans les graphes d’états) où les préférences sont

représentées par des structures mathématiques diverses (relations binaires, valuations

Introduction 3

dans un dioïde). Nous proposons des algorithmes de résolution et examinons les condi-

tions sous lesquelles leur terminaison et leur admissibilité sont garanties. Enfin, nous

proposons des spécifications de ces algorithmes généraux dans des contextes décisionnels

particuliers.

Organisation de la thèse. Les deux premiers chapitres sont consacrés à l’exposé des

motivations de notre travail et à l’étude de travaux antérieurs typiques de la prise en

compte de préférences non-classiques dans les problèmes combinatoire. Le chapitre 1 est

destiné à justifier notre démarche à l’aide de multiples exemples. Dans le chapitre 2, nous

présentons quelques travaux révélateurs des difficultés liées à la prise en compte de pré-

férences non-classiques dans les problèmes combinatoires. Dans les chapitres 3 et 4, nous

proposons un cadre unificateur pour l’étude des problèmes combinatoires fondés sur les

préférences. Ils illustrent l’aspect normatif de notre travail en identifiant des conditions

axiomatiques suffisantes pour étendre la programmation dynamique et l’approche glou-

tonne à des préférences représentées à l’aide d’une simple relation binaire sur les solutions.

Alors que le chapitre 3 est consacré à l’extension de méthodes de résolution développées

en RO, le chapitre 4 est lui dédié à la recherche heuristique dans les graphes d’états pour

la résolution de problèmes en IA. Enfin, les résultats obtenus sont exploités dans les deux

derniers chapitres dans le cadre de problèmes munis de préférences spécifiques. Dans le

chapitre 5, on développe un modèle d’optimisation en présence d’information ordinale qui

étend naturellement le problème de recherche d’un chemin de capacité maximum. Enfin,

dans le chapitre 6, nous proposons un cadre axiomatique justifiant l’emploi de modèles

non-classiques pour la recherche de solutions robustes dans les problèmes combinatoires,

et présentons un algorithme pour la recherche heuristique dans les graphes d’états en

présence de plusieurs scénarios.

Chapitre 1

Modélisation des préférences et

problèmes de décision combinatoires

Résumé. Dans ce chapitre, nous commençons par présenter brièvement le domaine

de l’aide à la décision. Nous donnons ensuite quelques exemples de problèmes de déci-

sion classiques (décision multicritère, décision dans l’incertain, rangement d’ensembles

d’objets) et les concepts de base de la modélisation des préférences. Nous soulignons

alors que les travaux en théorie de la décision se sont surtout efforcés jusqu’à au-

jourd’hui à proposer des modèles de préférence sophistiqués pour guider le choix d’un

décideur parmi un ensemble réduit d’alternatives. Nous nous intéressons ensuite au

domaine de l’optimisation combinatoire discrète. Nous donnons quelques exemples de

problèmes combinatoires classiques et soulignons que les travaux dans ce domaine

portent essentiellement sur l’exploration efficace d’un ensemble combinatoire de solu-

tions potentielles, en s’appuyant sur les bonnes propriétés de la structure de l’espace

des solutions et/ou des problèmes. Par contre, le modèle de préférence adopté est assez

frustre. Nous justifions alors la préoccupation de marier le soucis de modélisation fine

des préférences et celui de la conception d’algorithmes de recherche efficaces dans un

ensemble combinatoire de solutions. Enfin, nous terminons ce chapitre par la présen-

tation de quelques travaux existants qui vont dans ce sens.

4

1. Modélisation des préférences et problèmes de décision combinatoires 5

1.1 Aide à la décision et modélisation des préférences

1.1.1 Aide à la décision

Le domaine de l’aide à la décision (AD) recouvre un large champ d’investigations, au

carrefour de l’informatique, des mathématiques appliquées, de l’économie et de la gestion.

Cette appellation désigne, selon Roy (1985),

“l’activité de celui qui, prenant appui sur des modèles clairement explicités

mais non nécessairement complètement formalisés, aide à obtenir des éléments

de réponses aux questions que se pose un intervenant dans un processus de

décision, éléments concourant à éclairer la décision et normalement à prescrire,

ou simplement à favoriser, un comportement de nature à accroître la cohérence

entre l’évolution du processus d’une part, les objectifs et le système de valeurs

au service desquels cet intervenant se trouve placé d’autre part.”

Ce champ de recherche, aux frontières imprécises, regroupe des travaux dans des

domaines divers, parmi lesquels la modélisation des préférences, la programmation ma-

thématique, la théorie de la décision, la théorie des jeux, l’algorithmique, la théorie de la

complexité, etc. Par ailleurs, depuis le début des années 90, les modèles formels pour la dé-

cision ont connu un intérêt croissant en intelligence artificielle (IA), où se développent des

travaux fructueux portant sur la représentation concise des préférences, la décision quali-

tative, la décision collective, la planification, les problèmes de satisfaction de contraintes,

etc. C’est pourquoi une partie des domaines de recherche de l’IA nous semblent pouvoir

aujourd’hui être considérés comme faisant partie intégrante de l’AD, tant au niveau des

modèles de décision que de l’algorithmique pour les problèmes combinatoires.

Malgré cette hétérogénéité apparente des travaux menés en AD, il est néanmoins pos-

sible de dégager des caractères communs aux différentes démarches d’AD. En particulier,

on peut distinguer deux phases principales dans une intervention d’AD :

– la structuration : concevoir un modèle qui soit une représentation de la réalité,

– la résolution : explorer l’espace des possibles afin d’établir une recommandation.

Précisons d’emblée que certains auteurs (Cohen, 1995) préfèrent expliciter deux phases

supplémentaires à une méthodologie d’aide à la décision :

– l’identification du problème (qui dans certains contexte ne va pas de soi) qui est un

préalable aux deux autres,

– la validation qui vient en dernier lieu et qui consiste à vérifier la pertinence des

recommandations.

Dans le cadre de l’étude de modèles formels pour l’aide à la décision, l’effort de l’ana-

lyste porte principalement sur la phase de structuration et la phase de résolution. C’est

pourquoi il ne nous semble pas souhaitable ici d’expliciter les deux autres phases. Nous

détaillons maintenant les caractéristiques respectives de la phase de structuration et de

6 1. Modélisation des préférences et problèmes de décision combinatoires

la phase de résolution.

Lors de la phase de structuration, on est amené à identifier les actions possibles (pro-

jets, candidats, sites...), parmi lesquelles on distingue les actions potentielles qui désignent

les actions jugées réalisables. La collecte de l’information préférentielle est une tâche es-

sentielle qui complète cette phase.

Lors de la phase de résolution, l’analyste cherche à établir une recommandation en

fonction de la problématique sous-jacente au problème décisionnel. A la suite de Roy

(1985), on peut distinguer trois principales problématiques1 :

• le choix (α) : il s’agit d’identifier un ensemble aussi réduit que possible d’actions

“meilleures” que les autres (e.g., recherche de l’itinéraire le plus rapide d’un point à

un autre).

• le rangement (γ) : il s’agit de classer tout ou partie des actions selon un ordre de préfé-

rence décroissante (e.g., classement des meilleurs candidats à un concours de la fonction

publique).

• l’affectation (β) : il s’agit d’affecter des actions à des catégories prédéfinies, ordonnées

ou non (e.g., évaluation d’étudiants, diagnostic médical).

De nombreux travaux en aide à la décision sont axés sur la notion de préférences,

qui guide les choix des individus et des collectivités. Nous présentons dans le paragraphe

suivant les concepts de base en modélisation des préférences.

1.1.2 Modélisation des préférences

Concepts de base

Le concept mathématique de base pour représenter des préférences sur un ensemble

fini X d’actions potentielles est celui de relation binaire.

Définition 1 On appelle relation binaire sur X un sous-ensemble du produit cartésien

X ×X.

On appelle graphe de la relation binaire R ⊆ X × X le graphe orienté qui a pour

ensemble de sommets X et pour ensemble d’arcs R. Les relations binaires utilisées en

modélisation des préférences permettent de rendre compte le plus fidèlement possible de

préférences observées sur des actions. Dans ce document, % représente une relation de

préférence.

1Précisons ici que l’auteur distingue une quatrième problématique, la description, que nous omettonsici car elle ne vise pas à l’élaboration d’une recommandation.


Définition 2 Pour toute relation binaire % sur un ensemble X, la partie symétrique

(resp. partie asymétrique) de % est la relation ∼ (resp. ≻) définie sur X par :

∀x, y ∈ X, x ∼ y ⇐⇒ (x % y) et (y % x)

∀x, y ∈ X, x ≻ y ⇐⇒ (x % y) et non(y % x)

Les relations %, ≻ et ∼ ont les interprétations suivantes :

– la proposition x % y signifie que x est au moins aussi bien que y ;

– la proposition x ≻ y signifie que x est strictement préféré à y ;

– la proposition x ∼ y signifie que x est indifférent à y.

Deux actions x et y sont dites incomparables lorsque non(x % y) et non(y % x).

Les trois relations induites par % de préférence stricte, indifférence et incomparabilité

partitionnent le produit cartésien X×X et constituent ce qu’on appelle une structure de

préférence sur X. Au sein d’un ensemble X, nous dirons qu’une action x est %-dominée

dès lors qu’il existe une action y ∈ X pour laquelle y ≻ x, et %-efficace si il n’existe pas

une telle action dans X. Généralement, les actions %-efficaces dans X sont considérées

comme les “meilleures”. Cet ensemble est noté M(X, %) :

M(X, %) = x ∈ X : ∀y ∈ X, non(y ≻ x)

Cet ensemble est non-vide (M(X, %) 6= ∅) dès lors que la relation de préférence % est

quasi-transitive, c’est-à-dire qu’elle vérifie :

∀x, y, z ∈ X (x ≻ y) et (y ≻ z) =⇒ (x ≻ z)

Lorsque la relation n’est pas quasi-transitive, Schwartz (1972) suggère de s’intéresser à

l’ensemble des actions %-efficaces dans X, où % désigne la fermeture transitive de % :

% =∞⋃

n=1

%n où

%1 = %

%n = % %n−1

En effet, % est quasi-transitive et donc M(X, %) 6= ∅.

Le modèle traditionnel de préférence (Vincke, 1989) consiste à utiliser une fonction de

valuation ϕ, qui associe à chaque action une valeur numérique représentant son attrait.

Une action est préférée à une autre si et seulement si la valeur correspondante de la

fonction est plus grande :

x ≻ y ⇐⇒ ϕ(x) > ϕ(y)

x ∼ y ⇐⇒ ϕ(x) = ϕ(y)∀x, y ∈ X

Il est facile de vérifier que la structure de préférence sous-jacente est un préordre

complet entre les actions, c’est-à-dire qu’on peut ranger les actions de la “meilleure” à


la “moins bonne”, avec d’éventuels ex-aequo. Plus formellement, un préordre complet %

vérifie les propriétés suivantes :

% est complète : ∀x, y ∈ X (x % y) ou (y % x)

% est transitive : ∀x, y, z ∈ X (x % y) et (y % z) =⇒ (x % z)

Les solutions %-efficaces au sens de ce modèle sont donc :

M(X, %) = arg maxx∈X

ϕ(x)

Approche traditionnelle dans différents problèmes de décision

A la façon de Perny (2000), on peut distinguer quelques “concepts formels” caracté-

risant les problèmes de décision2 :

• X : la représentation formelles de l’ensemble des actions possibles. Cet ensemble peut

être donné en extension (liste d’éléments) ou en compréhension (système de contraintes).

• I : l’information préférentielle, qui peut selon les cas être exprimé en extension (par

exemple par la donnée d’une ou plusieurs relations binaires sur l’ensemble des actions,

ou par la donnée de un ou plusieurs critères et d’un jeu de poids reflétant l’importance

relative des critères) ou en compréhension (par la donnée d’une règle de comparaison des

éléments dans l’espace de description).

• P : la problématique α, β ou γ, qui indique la manière dont le problème de décision

est formalisé et le type de résultat recherché.

On peut donc représenter formellement tout problème de décision par un triplet

(X, I, P ).

L’approche traditionnelle consiste à ramener un problème de décision à l’optimisation

d’une fonction ϕ définie sur X. Elle a été utilisée dans différents problèmes de décision :

• problèmes de décision multicritère : Ces problèmes se caractérisent par la prise en

compte d’un ensemble explicite de critères Q = 1, . . . , q. On a alors X ⊆ X1× . . .×Xq

où Xi est l’ensemble des évaluations possibles d’une action sur le critère i et les éléments

de X sont des vecteurs de performances (x1, . . . , xq) sur les critères 1, . . . , q. On dispose

d’une relation de préférence %i pour chaque Xi. Dans le cadre de la problématique du

choix, on cherche à proposer une action qui soit la plus adéquate en prenant en compte

l’ensemble des critères. On peut par exemple représenter ce problème par l’un des triplets :

(X, %1, . . . ,%q, %Q, P )

(X, ϕ1, . . . , ϕq, λ, P )

2L’expression “problème de décision” s’interprète ici dans le contexte de la théorie de la décision etne doit pas être confondue avec l’acception du terme en théorie de la complexité.


selon qu’on adopte respectivement une représentation relationnelle (%i est la relation de

préférence sur le critère i, %Q est une relation d’importance entre les critères) ou une

représentation numérique (ϕi est une fonction critère et λ est un jeu de poids sur les

critères).

Exemple 1 On considère un ensemble X de 4 élèves. Chaque élève est représenté par un

vecteur (x1, . . . , x4) correspondant à ses notes (sous forme de lettres) dans les différentes

matières d’une promotion. Il s’agit alors d’inférer un rangement global des étudiants à

partir des vecteurs (i) (e, a, c, d), (ii) (b, f, c, d), (iii) (e, a, d, c) et (iv) (b, f, d, c) sachant

que a ≻i b ≻i c ≻i d ≻i e ≻i f pour tout i ∈ 1, . . . , 4.

L’approche la plus connue pour aborder ce problème est la théorie de l’utilité mul-

tiattribut (e.g., Fishburn, 1970; Keeney et Raiffa, 1976) qui repose sur une hypothèse de

maximisation d’une fonction d’utilité agrégeant les différents critères pris en considéra-

tion. Le modèle le plus utilisé au sein de cette théorie est le modèle additif (e.g., Debreu,

1960; Luce et Tukey, 1964; Krantz, 1964; Fishburn, 1970; Wakker, 1989; Gonzales, 1996),

c’est-à-dire qu’on suppose l’existence de q fonctions d’utilité U1, . . ., Uq sur X représen-

tant les q relations %1, . . ., %q. La relation de préférence % entre vecteurs correspond

alors au préordre complet induit par la fonction U = U1 + . . . + Uq :

x ≻ y ⇐⇒ ∑qi=1 Ui(xi) >

∑qi=1 Ui(yi)

x ∼ y ⇐⇒ ∑qi=1 Ui(xi) =

∑qi=1 Ui(yi)

∀x, y ∈ X

• problèmes de décision dans l’incertain : Ces problèmes se caractérisent par la prise en

compte explicite de l’incertain. Les éléments de X sont des actes, autrement dit des fonc-

tions de l’ensemble des états de la nature S = s1, . . . , sq (traduisant les différents états

possibles du monde susceptibles d’affecter la conséquence d’un acte) dans l’ensemble des

conséquences Z (Savage, 1954). La problématique dominante en décision dans l’incertain

est celle du choix : on cherche à proposer un acte qui soit le plus adéquat, en prenant

en compte deux relations binaires %S et %Z , l’une représentant les croyances du déci-

deur sur les états de la nature et l’autre représentant ses préférences sur les conséquences

possibles. On peut donc représenter ce problème par le triplet :

(ZS , %S , %Z, α)

Exemple 2 On considère un ensemble X de 4 actes. Chaque acte x ∈ X est représenté

par un vecteur (x1, . . . , x4) correspondant à ses conséquences parmi Z = a, b, c, d, edans les états de la nature s1, . . ., s4 : (i) (e, a, c, d), (ii) (b, f, c, d), (iii) (e, a, d, c) et

(iv) (b, f, d, c) sachant que a ≻Z b ≻Z c ≻Z d ≻Z e ≻Z f et s1 ≻S s2 ≻S s3 ≻S s4.

Dans le travail fondateur de Savage concernant la théorie de l’utilité espérée, il est montré

qu’un ensemble de conditions raisonnables sur la préférence observée sont suffisantes à


l’existence d’une fonction d’utilité scalaire U sur les conséquences et d’une distribution

de probabilités P sur les états de la nature telles que les préférences sur les actes suivent

le critère de l’utilité espérée. La relation de préférence % entre les actes correspond alors

au préordre complet induit par l’utilité espérée :

x ≻ y ⇐⇒ ∑qi=1 P (si)U(xi) >

∑qi=1 P (si)U(yi)

x ∼ y ⇐⇒ ∑qi=1 P (si)U(xi) =

∑qi=1 P (si)U(yi)

∀x, y ∈ X

• rangement d’ensemble d’objets : on considère un ensemble E d’objets et une relation

de préférence %E sur E. On cherche à ranger les éléments de X = 2E à partir de la

relation %E . Une telle problématique apparaît dans les choix en incertitude complète

(aucune information sur les croyances du décideur), les choix d’ensemble d’options (les

options sont des alternatives mutuellement exclusives parmi lesquelles un agent choisira

ensuite), les choix d’assemblées, etc. (e.g., Barberà et al., 2001). On peut donc représenter

ce problème par le triplet :

(2E , %E , γ)

Exemple 3 Devant la carte d’un restaurant, on a des préférences gastronomiques sur

l’ensemble des plats E= e1, e2, e3, e4, e5, e6 proposés : e1 ≻E e2 ≻E e3 ≻E e4 ≻E e5 ≻E

e6. On cherche alors à déterminer une relation de préférences entre les menus (sans tenir

compte du prix), un menu x étant caractérisé par un vecteur de booléens (x1, . . . , x6) ∈ X,

où xi = 1 si le ième plat est dans le menu et xi = 0 sinon. Les menus proposés sont :

(i) (1, 0, 1, 1, 1, 0), (ii) (0, 1, 1, 1, 0, 1), (iii) (1, 0, 1, 1, 1, 0), (iv) (0, 1, 1, 1, 0, 1).

Une façon simple d’envisager un rangement d’ensembles d’objets à partir d’un range-

ment des objets est la suivante : on choisit une fonction d’utilité U : E → R représentant

%E , puis on range les ensembles selon l’utilité additive totale des éléments de chaque

ensemble :x ≻ y ⇐⇒ ∑q

i=1 xiU(ei) >∑q

i=1 yiU(ei)

x ∼ y ⇐⇒ ∑qi=1 xiU(ei) =

∑qi=1 yiU(ei)

Justification axiomatique et condition d’indépendance

Les trois modèles de préférences présentés ci-dessus ont comme point commun de

s’appuyer sur une justification axiomatique. La voie axiomatique, comme la caractérise

Roy (1992),

“vise à apprendre quelque chose sur le fait que, dès lors que l’on prend comme

point de départ certains concepts, certains principes, certaines règles, alors

tel modèle de représentation découle des principes, telle procédure s’impose,

tel résultat devient vérifié.”


En théorie de la décision, les axiomes reflètent le comportement décisionnel d’un individu

ou d’une collectivité. Ils portent ordinairement sur la structure des préférences ou des

choix. Une approche axiomatique permet de mettre en exergue deux principaux types de

résultats :

– des résultats de compatibilité ou d’incompatibilité des axiomes entre eux (cf. théo-

rème d’impossibilité d’Arrow en théorie du choix social),

– des résultats de représentation par un modèle mathématique compatible avec les

propriétés axiomatiques (si possible des caractérisations, c’est-à-dire un ensemble

de propriétés telles qu’il ne reste plus place que pour un seul modèle).

On peut distinguer deux sens au terme axiome : exigence à satisfaire (critère de rationa-

lité) ou hypothèse de travail. C’est dans le second sens qu’il sera utilisé dans cette thèse,

et non dans une conception normative de l’axiome en tant que formalisation d’une règle

à suivre idéale.

Les différentes caractérisations axiomatiques des trois modèles de préférence donnés

ci-dessus (utilité multiattribut, utilité espérée, utilité additive) ont en commun la condi-

tion d’indépendance suivante (e.g., Wakker, 1989; Fishburn et Wakker, 1995) :

(xI , z−I) % (xI , w−I) ⇐⇒ (yI , z−I) % (yI , w−I) (1.1)

où I est un sous-ensemble des dimensions du vecteur et où (xI , z−I) désigne le vecteur

t ∈ X tel que ti = xi si i ∈ I et ti = zi sinon. Cette condition a les interprétations sui-

vantes dans les différents problèmes de décision (e.g., Wakker, 1989; Bouyssou et Vincke,

2002) :

• en décision multicritère, on parle d’indépendance mutuelle au sens des préférences, pour

signifier que les préférences entre des actions qui ne diffèrent que par leurs évaluations sur

un sous-ensemble I de critères ne dépendent pas des évaluations communes des critères

de 1, . . . , n \ I.

• en décision dans l’incertain, on parle de principe de la chose sûre (Savage, 1954), pour

signifier que la préférence entre deux actes ne dépend pas des conséquences communes

sur un sous-ensemble d’états de la nature.

• pour le rangement d’ensembles d’objets, on parle d’indépendance vis-à-vis des expan-

sions communes, pour signifier que la préférence entre deux ensembles ne dépend pas de

leur partie commune.

Cette condition, lorsqu’elle est vérifiée, est particulièrement utile car elle autorise des

raisonnements toutes choses égales par ailleurs et facilite ainsi la formulation du com-

portement décisionnel. Hormis son interprétation en terme de comportement décisionnel,

la condition 1.1 contribue à une représentation concise des préférences. En effet, la re-


présentation globale et explicite des préférences par une relation binaire aboutit à une

description finale fidèle mais volumineuse. Face à cette difficulté, une voie de recherche

active en modélisation des préférences vise à élaborer des modèles permettant de décrire

les préférences de façon compacte. En particulier, des modèles graphiques de représenta-

tion des préférences se développent en IA (Boutilier et al., 1999; Domshlak et Brafman,

2002; Boutilier et al., 2003), qui s’appuient sur la condition d’indépendance (appelée

condition Ceteris Paribus3). Ainsi, dans les exemples 1, 2 et 3, supposons qu’on sache

qu’il existe une relation d’ordre complète vérifiant la condition 1.1, mais que seules les

préférences sur (i), (ii) et (iii) aient été explicitées : (iii) ≻ (i) ≻ (ii). On peut alors en

déduire que (iii) ≻ (iv) ≻ (ii) et la seule inconnue qui subsiste est la préférence entre

(i) et (iv). Lorsque le nombre de solutions potentielles à examiner est très grand, cette

aptitude à exprimer de façon concise un ensemble de préférences est très utile.

Critique de l’approche traditionnelle

Longtemps l’approche traditionnelle a prévalu dans les démarches mises en oeuvre

par les analystes pour guider les choix des décideurs. On parlait alors non pas d’aide à

la décision mais plutôt de recherche opérationnelle. Pourtant, comme souligné par Roy

(1968; 1977), cette quête de l’optimum impose des exigences qui ne sont pas toujours

vérifiées en pratique :

“Parler d’optimum, c’est faire référence à une action potentielle dont on peut

prouver qu’elle est au moins aussi bonne que n’importe quelle autre qui pour-

rait lui être substituée. Pour donner sens à ce concept d’optimum, il est par

conséquent nécessaire de disposer d’un modèle de préférences qui permette de

comparer n’importe quelle action potentielle à n’importe quelle autre selon

une relation qui soit complète et transitive. (exigence 1)

Cette condition revient à dire qu’il est possible de bâtir un critère unique (que

ce soit avec une approche mono ou multicritère).

Pour donner sens à l’optimum, il est également nécessaire d’avoir défini (et

cela avant même la construction du critère) la nature des entités qu’il s’agit

d’évaluer et de comparer. Les entités doivent être modélisées sous forme d’ac-

tions potentielles qui soient telles que

la mise à exécution de l’une quelconque d’entre elles (notam-

ment si elle devait être l’optimum) exclut la mise à exécution

de n’importe quelle autre. (exigence 2)

3Ceteris Paribus signifie toutes choses égales par ailleurs.


De telles actions potentielles sont communément appelées des alternatives (au

sens anglo-saxon du terme). L’alternative est par conséquent un modèle d’ac-

tion potentielle qui doit appréhender la décision dans sa globalité.

Une troisième exigence doit encore être satisfaite pour pouvoir donner sens au

concept d’optimum. Pour que l’alternative la meilleure (ou l’une des meilleures)

au sens du critère élaboré puisse être regardée comme étant l’optimum,

il faut avoir cerné, de façon exhaustive, non ambiguë et défini-

tive, l’ensemble de toutes les alternatives susceptibles d’être

envisagées.” (exigence 3)

(Roy, 2000)

Précisons ici les principales critiques que l’on peut faire à l’exigence 1 :

• la préférence n’est pas toujours transitive. Les problèmes réels comportent souvent

des données imprécises. Dans une telle situation, il n’est pas aisé d’associer une valeur

numérique unique à une action. On va alors associer un intervalle de valeurs [xl, xr] à

une action x ∈ X. Une structure possible de préférence entre intervalles est la suivante :

x ≻ y ⇐⇒ xl > yr

x ∼ y ⇐⇒ [xl, xr] ∩ [yl, yr] 6= ∅∀x, y ∈ X

Cette structure est appelé ordre d’intervalle (e.g., Roubens et Vincke, 1984) :


% est de Ferrers : ∀w, x, y, z (w % x) et (y % z)⇒ (w % z) ou (y % x)

Dans une telle structure, la préférence est intransitive. En effet, considérons trois ac-

tions x, y et z, à qui on associe respectivement les intervalles [1, 3], [2, 5] et [4, 6]. On

vérifie alors x % y, y % z, et pourtant z ≻ x (voir figure 1.1).

x

y

z

Fig. 1.1 – La préférence n’est pas toujours transitive.

• il peut y avoir des situations d’incomparabilité. Dans les problèmes réels, les différents

aspects à prendre en compte pour comparer des actions ne sont pas nécessairement ré-

ductibles à un critère unique. On peut donc se trouver face à un problème de comparaison

d’actions susceptible d’impliquer des critères multiples et potentiellement conflictuels. Si


on doit prendre q critères en considération, l’évaluation d’une action x est un vecteur

(x1, . . . , xq) (une composante par critère considéré). Face à une telle situation, l’homme

d’étude peut ne pas pouvoir, savoir ou vouloir trancher (Roy, 1985). La théorie de l’uti-

lité multiattribut est inapte à prendre en compte de tels comportements. Une alternative

simple quoique peu discriminante est d’utiliser la dominance de Pareto :

x ≻ y ⇐⇒∀i ∈ 1, . . . , m, xi ≥ yi

∃i ∈ 1, . . . , m, xi > yi

x ∼ y ⇐⇒ ∀i ∈ 1, . . . , m, xi = yi

Clairement, un tel modèle conduit à une structure de préférence incomplète. Par exemple,

sur la figure 1.2, on ne peut comparer ni x avec z, ni y avec z. En effet, considérons deux

actions x, z auxquelles on associe respectivement les vecteurs (1, 4) et (2, 3) : x et z sont

alors incomparables.

• la préférence stricte n’est pas toujours transitive. Pour l’illustrer, plaçons-nous à nou-

veau dans un cadre multicritère et adoptons cette fois la relation de préférence stricte

majoritaire suivante :

x ≻ y ⇐⇒ |i : xi > yi| > |i : yi > xi|

Cette relation de préférence stricte est intransitive. En effet, considérons trois actions x,

y et z auxquelles on associe respectivement les vecteurs (8, 1, 6), (3, 5, 7) et (4, 9, 2). On a

alors le circuit suivant dans les préférences strictes : z ≻ y, y ≻ x et x ≻ z. Un tel phéno-

mène est connu sous le nom d’effet Concorcet (1785). On le rencontre dans les méthodes

de surclassement développées en aide multicritère à la décision et dans les méthodes de

critère 1

critère 2

x

y

z

Fig. 1.2 – La préférence n’est pas toujours complète.


vote majoritaire.

Par ailleurs, l’exigence 2 n’est pas toujours vérifiée car il se peut qu’une décision soit

naturellement hiérarchisée en décisions partielles dont l’ensemble constitue la division

globale (itinéraire d’un promeneur). Enfin, on peut constater combien l’exigence 3 est

discutable en considérant l’exemple du choix d’un nouvel équipement par une collecti-

vité (Schärlig, 1985). En effet, la liste des équipements est souvent susceptibles de subir

d’importantes modifications (fin d’un modèle, apparition d’un nouveau modèle) au cours

de la négociation. Cependant, nous ne remettrons pas en cause les exigences 2 et 3 dans

le cadre de ce travail.

Des approches alternatives

Face aux limites de l’approche traditionnelle en aide à la décision, des approches al-

ternatives se sont développées, ne s’appuyant pas nécessairement sur des représentations

numériques :

• en décision multicritère, l’utilisation de graphes pour la représentation des préférences

s’est largement développée (Roy, 1968; Roy et Bertier, 1973; Jacquet-Lagrèze, 1975; Roy,

1978; Roubens, 1982; Roubens et Vincke, 1985; Doignon et al., 1986), en particulier sous

l’impulsion des travaux de B. Roy et des méthodes de surclassement. Par ailleurs, les

modèles à base de règles pour la modélisation des préférences ont fait l’objet de multiples

travaux ces dernières années (Greco et al., 2000, 2001).

• en décision dans l’incertain, des approches ordinales ont vu le jour, certaines se basant

sur la théorie des possibilités (Dubois et Prade, 1995; Dubois et al., 1997, 1998; Sab-

badin, 1998), d’autres justifiant l’utilisation de règles d’agrégation importées des règles

majoritaires utilisées dans les procédures de vote (Fargier et Perny, 1999; Dubois et al.,

2002).

• pour le rangement d’ensemble d’objets, de nombreuses règles d’extension d’un ordre

sur un ensemble à un ordre sur ses parties ont été étudiées en théorie du choix social.

Un résultat d’impossibilité classique (Kannai et Peleg, 1984), fondé sur deux axiomes

simples, établit qu’il n’est pas possible de ranger des ensembles d’objets en se basant à la

fois sur un critère de qualité totale de chaque ensemble et un critère de qualité moyenne

de chaque ensemble. Intuitivement, le problème vient de la contradiction entre ces deux

critères lorsqu’on rajoute un élément à un ensemble qui diminue sa qualité moyenne (mais

augmente sa qualité totale). Néanmoins, Fishburn (1984) et Holzman (1984a) montrent

qu’il est possible d’obtenir des règles d’extensions compatibles avec des versions affaiblies

des deux axiomes. Des résultats de caractérisation ont également été mis en avant (Heiner

et Packard, 1984; Pattanaik et Peleg, 1984; Holzman, 1984b).


1.2 Problèmes combinatoires discrets et méthodes de réso-

lution

1.2.1 Problème combinatoire discret

Nous appellerons problème combinatoire discret tout problème où il faut optimiser une

certaine fonction objectif sur un ensemble fini mais très grand de solutions réalisables,

défini implicitement comme une sous-famille F de l’ensemble des parties d’un ensemble

fini E de composantes élémentaires. Nombre de problèmes abordés dans les graphes, sur

lesquels on a défini éventuellement une fonction de valuation ϕ sur les arêtes (ou les arcs),

rentrent dans cette catégorie.

Exemple 4 (arbre couvrant minimum) On se donne un graphe connexe G = (V, E)

valué par une fonction ϕ à valeurs entières. Une solution réalisable de F est un ensemble

de n − 1 arêtes sans cycle. On recherche une solution réalisable F ∈ F qui minimise la

fonction objectif∑

e∈F ϕ(e).

Exemple 5 (plus court chemin) On se donne un graphe orienté valué G = (V, E)

sans circuit, comportant une source s et un puit t. Une solution réalisable de F est un

chemin de s à t. On recherche une solution réalisable F ∈ F qui minimise la fonction

objectif∑

e∈F ϕ(e).

Comme l’illustrent les exemples 4 et 5, la fonction objectif se définit la plupart du

temps dans les problèmes combinatoires comme la somme des valuations des compo-

santes élémentaires d’une solution réalisable. La structure de préférence correspondante

est donc :F1 ≻ F2 ⇐⇒

∑e∈F1

ϕ(e) <∑

e∈F2ϕ(e)

F1 ∼ F2 ⇐⇒∑

e∈F1ϕ(e) =

∑e∈F2

ϕ(e)(1.2)

Ici la valeur numérique de la fonction objectif représente un coût, ce qui explique le sens

de l’inégalité dans la définition de la préférence stricte.

Dans les problèmes combinatoires discrets, il n’est pas envisageable de lister l’ensemble

des solutions réalisables car elles sont en nombre trop important. C’est pourquoi on utilise

des méthodes d’énumération implicite pour rechercher la meilleure solution au sens de la

structure de préférence 1.2.

1.2.2 Méthodes constructives

Les procédures constructives (Farreny et Ghallab, 1987) progressent en éliminant des

alternatives et en réduisant l’ensemble des solutions potentiellement optimales. Divers

paradigmes de conception d’une telle procédure constructive existent :


• l’approche par augmentation. On procède en augmentant des solutions partielles (por-

tions de solutions complètes), en les testant au fur et à mesure, et en ne retenant que celles

susceptibles de conduire à une solution complète. L’ensemble des solutions partielles est

noté F (notons que F ⊆ F). L’adéquation d’une procédure particulière à un problème

particulier est liée aux propriétés que vérifient les éléments de F . On parle de structure

de l’espace des solutions. L’identification d’une structure commune permet de résoudre

des problèmes combinatoires apparemment distincts de manière similaire. Par exemple,

un problème combinatoire s’inscrit dans une structure de matroïde lorsque l’ensemble Fvérifie :

∀F ∈ F , F ′ ⊂ F =⇒ F ′ ∈ F∀Fp, Fp+1 ∈ F , |Fp| = p et |Fp+1| = p + 1 =⇒ ∃e ∈ Fp+1 \ Fp tel que Fp ∪ e ∈ F

Les éléments de F sont dits indépendants. L’algorithme glouton (Algorithme 1) pro-

cède par augmentation et permet de trouver un sous-ensemble indépendant F tel que∑

e∈F ϕ(e) soit minimum.

Exemple 6 (construction de l’arbre couvrant minimum) Le problème de l’arbre

couvrant minimum s’inscrit dans une structure de matroïde avec :

F = sous-ensembles d’arêtes de E ne comportant pas de cycle

L’algorithme glouton est connu dans ce contexte sous le nom d’algorithme de Kruskal

(1956). Il consiste à sélectionner les arêtes d’un graphe partiel initialement sans arête,

en itérant n − 1 fois l’opération suivante (n étant l’ordre du graphe) : choisir une arête

de valuation minimum ne formant pas de cycle avec les arêtes précédemment choisies.

Algorithme 1 Schéma d’un algorithme glouton

Pas 1. Poser F0 = ∅. Classer les composantes élémentaires dans E par ordre décroissantselon ϕ : e1 ≤ e2 ≤ . . . ≤ en.

Pas 2. A l’étape i la iieme composante élémentaire est examiné. Soit Fi−1 la solutionpartielle obtenue à l’étape i− 1. Si Fi−1 ∪ei ∈ F poser Fi = Fi−1 ∪ei, sinon poserFi = Fi−1.

Pas 3. S’arrêter lorsqu’on obtient une solution complète. Sinon retourner au pas 2.

fin

• l’approche par décomposition. On procède par décomposition du problème initial en

sous-problèmes jusqu’à atteindre des problèmes élémentaires facilement résolus, dont on

recompose les solutions respectives pour obtenir celle du problème de départ. L’adéqua-

tion d’une procédure particulière à un problème particulier est liée aux relations qu’ont


les sous-problèmes entre eux. On parle de structure de l’espace des problèmes. Encore une

fois, l’identification d’une structure commune permet de résoudre des problèmes combi-

natoires apparemment distincts de manière similaire. Par exemple, un problème s’inscrit

dans une structure séquentielle (e.g., Gondran et Minoux, 1979) lorsqu’il est possible de :

1. plonger le problème dans une famille de problèmes (Πi) (i = 1, . . . , n) de même

nature ;

2. relier par une relation de récurrence les valeurs (πi) (i = 1, . . . , n) des solutions

optimales de ces problèmes : πi = r(π1, . . . , πi−1).

La programmation dynamique permet de résoudre des problèmes qui ont une structure

séquentielle. L’algorithme de programmation dynamique (Algorithme 2) procède par dé-

composition et permet de trouver une solution F optimale.

Exemple 7 (construction du plus court chemin) Dans un graphe sans circuit, le

problème de plus court chemin est résoluble par programmation dynamique4 :

1. famille de problèmes : (Πi) recherche du plus court chemin du sommet 1 au sommet

i (le sommet 1 correspond au sommet s) ;

2. relation de récurrence : π1 = 0, πi = minj∈S−1(i) πj +ϕ(j, i), où πi désigne la valeur

du plus court chemin du sommet 1 au sommet i.

L’algorithme 2 est spécifié à partir de la relation de récurrence. Pour retrouver le chemin

optimal correspondant, on définit le vecteur P (i) par P (i) = j si π(i) = π(j) + ϕ(j, i).

La donnée du vecteur P (i) permet de retrouver le chemin optimal en itérant k ← P (k)

pour k = i jusqu’à 1.

Algorithme 2 Schéma d’un algorithme de programmation dynamique

Pas 1. Poser π1 = 0.

Pas 2. A l’étape i la valeur πi est déterminée grâce à la relation de récurrence πi =r(π1, . . . , πi−1).

Pas 3. S’arrêter lorsqu’on obtient πn. Sinon retourner au pas 2.

fin

1.2.3 Limites des méthodes constructives connues

Les méthodes constructives exploitent au mieux les propriétés de la structure de préfé-

rence utilisée pour réaliser une énumération implicite efficace de l’ensemble des solutions

4Dans un graphe quelconque sans circuit de valeur négative, il est également possible de se ramenerà un système séquentiel en considérant des chemins empruntant au plus k arcs, successivement pourk = 1, . . . , n − 1 (où n le nombre de sommets du graphe).


potentielles. C’est pourquoi lorsqu’on sort de la structure de préférence (1.2) la plupart

des algorithmes proposés dans la littérature deviennent caducs.

Exemple 8 (plus court chemin stochastique) Cet exemple est adapté d’un article

de Sniedovich (1981b), concernant la procédure de Kao (1978) pour un problème de voya-

geur de commerce avec des coûts stochastiques. On s’intéresse à un problème de plus court

chemin où les temps de parcours (en minutes) des différents arcs du graphe suivent des

lois normales N(m, σ2). Considérons le graphe de la figure 1.3. On suppose qu’on part

du sommet s à 12H00 pour se rendre en voiture au sommet t où on a un train à prendre

qui part à 13H10. On recherche le chemin le plus adéquat pour se rendre de s à t.

Il existe deux chemins P1 = (s, 1, 3, t) et P2 = (s, 2, 3, t) pour se rendre de s à t.

En notant T (Pi) la variable aléatoire représentant le temps de parcours du chemin Pi

(i = 1, 2), on remarque que P (T (P1) ≤ 70) > P (T (P2) ≤ 70) puisque :

(70− (27+25+13))/√

12 + 16 + 0 = 2.5/√

7 > 2/√

7 = (70− (25+30+13))/√

4 + 3 + 0

Dès lors, on a plus de chance d’attraper le train avec le chemin P1 qu’avec le chemin P2.

Malheureusement, l’approche par programmation dynamique échoue car au sommet 3 on

a :

(70− 52)/√

28 = 9/√

7 < 15/√

7 = (70− 55)/√

7

On retient donc le chemin (s, 2, 3) au sommet 3, ce qui nous conduit au choix erroné du

chemin P2 au sommet t.

Face à ces limites, il semble nécessaire de développer une nouvelle approche des pro-

blèmes combinatoires, susceptible de prendre en compte des structures de préférence

sophistiquées, et d’examiner les problèmes algorithmiques que cela soulève.

1

s 3 t

2

N(27; 12)

N(25; 4)

N(13; 0)

N(25; 16)

N(30; 3)

Fig. 1.3 – Une instance de plus court chemin stochastique.


1.3 Une approche AD des problèmes combinatoires

On a vu dans les sections 1.1 et 1.2 que :

– en aide à la décision, l’attention des chercheurs porte sur la conception de modèles

de décision sophistiqués pour guider le choix parmi un ensemble réduit d’alterna-

tives ;

– en optimisation combinatoire, l’attention des chercheurs porte sur la conception

d’algorithmes efficaces pour trouver la meilleure solution au sens d’un modèle de

préférence assez frustre.

Notre propos dans cette thèse est de marier ces deux préoccupations, tout en préservant

l’exactitude des algorithmes proposés. En effet, dans de nombreuses situations réelles, la

définition d’une fonction coût additivement décomposable s’avère délicate voire inoppor-

tune.

1.3.1 Quelques exemples

A titre d’illustration, considérons les trois problèmes suivants motivés par des préoc-

cupations réelles :

Exemple 9 (planification des prises de vue d’un satellite) Divers travaux récents

(Gabrel et al., 2002; Gabrel et Murat, 2003; Lemaître et al., 2003) portent sur l’exploita-

tion d’un satellite qui a pour mission de réaliser des photographies de la terre. Une telle

technologie étant très coûteuse, elle est co-financée et co-exploitée par plusieurs agents

(états, organismes, civils, militaires...). L’exploitation du satellite doit donc être à la fois

efficace (pas de sous-exploitation) et équitable (chaque agent attend un “retour sur inves-

tissement” en rapport avec sa contribution financière). Ce problème se formalise comme

un problème d’allocation équitable, caractérisé par les données suivantes :

– un ensemble N = 1, . . . , n d’agents,

– un ensemble I d’images à affecter,

– un ensemble ∆i ⊆ I de requêtes (sous-ensemble d’images) pour chaque agent i,

– un quota qi ∈]0, 1[ pour chaque agent i (avec∑n

i=1 qi = 1), proportionnel à sa

contribution financière,

– un poids wi(r) ∈ R fixé par l’agent i à sa requête r.

Un partage est un vecteur x = (x1, . . . , xn), où xi ⊆ ∆i est la part de l’agent i dans

x. On désigne par ui(x) l’utilité individuelle du partage x pour l’agent i, qui représente

son degré de satisfaction. Pour simplifier la présentation, on suppose que ces utilités sont

normalisées sur l’intervalle [0, 1] (c’est-à-dire qu’elles sont sur la même échelle).

Lemaître et al. ont proposé divers procédures d’exploitation partagée efficaces et équi-

tables pour ce problème. En particulier, les auteurs présentent une approche égalitariste


conduisant à un ordre complet entre vecteurs, c’est-à-dire telle que :


% est antisymétrique : ∀x, y ∈ X (x % y) et (y % x) =⇒ (x = y)


Cette approche consiste à rechercher la meilleure allocation réalisable au sens de l’ordre

complet leximin (Dubois et al., 1996) entre vecteurs :

x %leximin y ⇐⇒

x = y

ou ∃i ≤ n : x(j) = y(j) pour j < i et x(i) > y(i)

où x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n) sont les composantes du vecteur x ordonnées par ordre

croissant. Ce critère leximin est appliqué aux vecteurs :

u1(x)

q1, . . . ,

un(x)

qn

Un tel critère tend à sélectionner des partages qui maximisent les utilités individuelles

(de sorte que l’allocation est efficace) pour lesquels les ratios ui(x)qi

sont proches de l’éga-

lité, c’est-à-dire que les ui(x) sont proportionnels aux qi (de sorte que l’allocation est

équitable).

Exemple 10 (problème de requêtes multi-sites sur internet) On considère un pro-

blème de requête pour une recherche d’informations sur le web (Etzioni et al., 1996;

Papadimitriou et Yannakakis, 2000). On s’intéresse plus précisément aux méta-moteurs

de recherche (MetaCrawler, BargainFinder, etc.) qui répondent aux requêtes en interro-

geant simultanément plusieurs moteurs de recherche. Ces services sont aujourd’hui gra-

tuits. Malheureusement, certains moteurs de recherche pourrait devenir payants à l’ave-

nir. Lorsque ces mécanismes de facturation seront mis en place, il faudra alors arbitrer

entre le bénéfice offert par l’accès à l’information d’une part, et son coût d’autre part. Ce

problème se formalise comme un problème d’optimisation combinatoire multicritère. Afin

d’obtenir l’information désirée, le méta-moteur a la possibilité d’interroger un ensemble

N = 1, . . . , n de moteurs simultanément. Les données suivantes sont disponibles pour

chacun des moteurs :

– le coût d’accès ci au moteur i (exprimé en euros/mois),

– la probabilité pi qu’une information donnée soit trouvée par le moteur i,

– le temps d’accès ti au moteur i.

De plus, on se fixe un coût d’accès total maximum C. Le problème est de déterminer le

sous-ensemble S ⊆ N de moteurs de recherche que le méta-moteur doit interroger pour

lancer une requête multiple, sous une contrainte de coût.


On dispose d’une contrainte de coût∑

i∈S ci ≤ C et de deux critères ϕ1 et ϕ2 :

ϕ1(S) = 1−Πi∈S(1− pi)

ϕ2(S) = maxi∈S ti

sur lesquels s’appliquent les ordres complets %1 et %2 (au sens de la probabilité et du

temps), définis par :

S1 %1 S2 ⇐⇒ ϕ1(S1) ≥ ϕ1(S2)

S1 %2 S2 ⇐⇒ ϕ2(S1) ≤ ϕ2(S2)

On est alors ramené à un problème de sac-à-dos bicritère :

maxS⊆N ϕ1(S1)

minS⊆N ϕ2(S2)

s.c.∑

i∈S ci ≤ C

où on recherche les solutions qui ne sont dominées strictement par aucune autre dans 2N

au sens de la dominance de Pareto %P entre vecteurs :

x %P y ⇐⇒ ∀i ∈ 1, . . . , n, xi %i yi

On parle de solutions Pareto-efficaces (%P -efficaces). Remarquons que la relation %P est

ici un ordre partiel, c’est-à-dire telle que :

% est réflexive : ∀x ∈ X x % x

% est antisymétrique : ∀x, y ∈ X (x % y) et (y % x) =⇒ (x = y)


Exemple 11 (chemin de capacité maximum) On considère un problème d’achemi-

nement de données numériques dans un réseau de télécommunication. Chaque ligne e du

réseau est capable d’assurer un certain débit d’information maximum. Lors du transfert

de données, le problème est alors de trouver l’itinéraire le plus efficace dans le réseau.

Ce problème se formalise comme la recherche d’un chemin de capacité maximum,

c’est-à-dire qui maximise le débit minimum le long des lignes empruntées. Deux chemins

P1 et P2 se comparent donc selon la règle suivante :

P1 ≻min P2 ⇐⇒ mine∈P1 ϕ(e) > mine∈P2 ϕ(e)

P1 ∼min P2 ⇐⇒ mine∈P1 ϕ(e) = mine∈P2 ϕ(e)

Nous verrons que cet exemple, bien qu’il soit monocritère, ne se ramène pas au modèle

classique de l’optimisation combinatoire (voir section suivante).


aide à la décision optimisation combinatoire

action potentielle solution réalisablestructure de préférences fonction objectif

α, β, γ α, β

Tab. 1.1 – Aide à la décision et optimisation combinatoire.

1.3.2 Problèmes de décision combinatoires

Remarquons tout d’abord qu’un problème combinatoire est un problème d’AD. En

effet, même s’il existe une terminologie propre aux problèmes combinatoires, elle peut

facilement être mise en correspondance avec la terminologie générique de l’AD, comme

indiqué sur le tableau 1.1. Ainsi, un problème combinatoire est un problème de décision

représenté par un triplet (F , %, α) (où % représente la relation de préférence utilisée entre

solutions réalisables), avec comme spécificité que l’ensemble des actions potentielles et le

modèle de préférence sont tous deux définis en compréhension.

Le modèle classique de l’optimisation combinatoire se ramène à l’usage d’une fonction

objectif comme définie dans l’équation (1.2). Ceci n’est pas sans conséquence sur la

structure de préférence résultante, comme le montre le résultat suivant issu de la théorie

du mesurage extensif (Krantz et al., 1971) :

Théorème 1 (Roberts et Luce, 1968) Soient X un ensemble non vide, % une rela-

tion binaire sur X, et un opérateur binaire de concaténation fermé sur X. On peut

représenter numériquement une relation binaire % sur X par une fonction f : X → R

vérifiant pour tous x, y ∈ X les deux propriétés suivantes :

i) x % y ⇐⇒ f(x) ≤ f(y)

ii) f(x y) = f(x) + f(y)

si et seulement si les hypothèses suivantes sont vérifiées :

H1 : % est un préordre complet (complet et transitif)

H2 : x (y z) ∼ (x y) z (associativité faible)

H3 : x % y ⇔ x z % y z ⇔ z x % z y (préadditivité)

H4 : x ≻ y ⇒ ∀w, z ∈ X, ∃n ∈ N : nx w % ny z

(propriété archimédienne)

En posant X = mE et = + (on note mE l’ensemble des multi-ensembles d’éléments de

E ; un multi-ensemble A est un ensemble fini dans lequel chaque élément e à un ordre

de multiplicité A(e) ; la somme de deux multi-ensembles A et B est un multi-ensemble

C dont l’ordre de multiplicité d’un élément e est C(e) = A(e) + B(e)), on déduit du

résultat précédent que l’utilisation d’une fonction objectif additivement décomposable

(i.e. satisfaisant i et ii du théorème 1) pour diriger la recherche suppose implicitement


vérifiées les quatre hypothèses H1, . . . , H4 du théorème.

D’une part, on peut remarquer que l’hypothèse H1 n’est rien d’autre que l’exigence 1

du modèle traditionnel de l’aide à la décision. A ce titre et puisqu’un problème combina-

toire est un problème de décision, on peut reprendre à notre compte les critiques formulées

par B. Roy dans le cadre de l’aide à la décision parmi un ensemble réduit d’alternatives.

On ne remettra néanmoins pas en cause la transitivité de la préférence stricte. En effet,

même si la règle de Schwartz permet de pointer un ensemble de solutions intéressantes, il

n’est pas envisageable de réaliser une fermeture transitive sur un ensemble combinatoire

de solutions.

D’autre part, les exemples 9, 10 et 11 montrent que ces hypothèses ne sont pas tou-

jours naturellement vérifiées dans les problèmes réels :

• dans l’exemple 9, on remarque sans peine que ce critère ne vérifie pas l’hypothèse

H3. Pour ce faire, il suffit de considérer les vecteurs (5, 2) et (4, 3). Il est clair que

(4, 3) ≻leximin (5, 2) et pourtant (5, 2) + (1, 5) ≻leximin (4, 3) + (1, 5).

• dans l’exemple 10, il est clair que ce modèle de préférence viole l’hypothèse H1 puisque

les préférences induites sont partielles. Par exemple, considérons un ensemble de trois sites

1, 2, 3, dont les vecteurs (coût,probabilité,temps) respectifs sont (20, 0.8, 2), (10, 0.5, 3)

et (10, 0.6, 2). Nous énumérons ci-dessous l’ensemble des parties de 1, 2, 3 avec les vec-

teurs correspondant :1 (20, 0.8, 2)

2 (10, 0.5, 3)

3 (10, 0.6, 2)

1, 2 (30, 0.9, 3)

1, 3 (30, 0.92, 4)

2, 3 (20, 0.8, 5)

1, 2, 3 (40, 0.96, 7)

Les solutions 1, 2 et 1, 3 sont toutes deux incomparables. Ce sont les deux solutions

%P -efficaces du problème.

• dans l’exemple 11, l’hypothèse H4 n’est pas vérifiée car 2 ≻min 3 (en identifiant un

chemin au multi-ensemble des valuations de ses arcs) mais 5, 2, 2, . . . ≺min 4, 3, 3, . . ..

Ces types de problèmes ne peuvent donc pas se réduire au modèle classique de l’op-

timisation combinatoire. Pour les qualifier, nous parlerons dorénavant de problèmes de

décision combinatoires, qui se caractérisent par le fait que F et % sont tous deux définis

en compréhension. Lorsque l’une des hypothèses H1, H2, H3 ou H4 n’est pas vérifiée, on

parle de préférences non-classiques.


Précisons que l’hypothèse H2 ne sera pas remise en cause dans ce travail. Par ailleurs,

l’hypothèse H3 nécessite une attention particulière car elle établit un lien fort entre struc-

ture de l’espace des solutions (ou des problèmes) d’une part, et structure des préférences

d’autre part. Cette hypothèse est très voisine de propriétés exploitées en optimisation

combinatoire comme en aide à la décision :

• en optimisation combinatoire, l’hypothèse H3 est proche de la condition de monotonie

(e.g., Morin, 1982) utilisée en programmation dynamique, qui rend valide le principe

d’optimalité5. Si on considère un problème de plus court chemin où la relation de récur-

rence s’écrit πi = minj∈S−1(i) f(πj , ϕ(j, i)) (où f est une fonction de R2 dans R) alors la

condition de monotonie s’énonce :

∀x, y, z ∈ R, x ≥ y =⇒ f(x, z) ≥ f(y, z)

Ceci illustre bien l’importance de l’hypothèse H3 dans la résolution des problèmes com-

binatoires.

• en aide à la décision, l’hypothèse H3 est proche de la condition d’indépendance, qui

contribue en particulier à une représentation concise des préférences. Ceci permet de faire

un parallèle entre :

– utilisation des préférences entre solutions partielles pour en déduire des préférences

entre solutions complètes dans les méthodes constructives,

– utilisation des préférences entre certaines solutions pour en déduire des préférences

entre d’autres solutions en théorie de la décision.

Comme on le verra, l’hypothèse H3 sera d’une grande importance dans nos travaux.

Elle est d’ailleurs déjà omniprésente dans les travaux visant à proposer une approche

de la résolution des problèmes combinatoires laissant la plus large place possible dans le

choix de la structure de préférence qui sera adoptée.

1.4 Quelques approches formelles existantes

Nous présentons ici deux formalismes pour aborder la présentation unifiée des procé-

dures de résolutions de différentes variantes d’un même problème combinatoire :

– le formalisme des dioïdes est ancré dans les conventions utilisées par la communauté

des chercheurs en mathématiques,

– le formalisme fondé sur les préférences s’inscrit lui dans la lignée des travaux théo-

riques menés en AD.

Notre travail de thèse relevant de l’aide à la décision, le formalisme que nous développons

dans cette thèse se rapproche plutôt de ce dernier.

5“Toute sous-politique d’une politique optimale est optimale.”


1

s t

2

2

4

3

4

1

Fig. 1.4 – Approche algébrique pour le plus court chemin.

1.4.1 Le formalisme des dioïdes

La théorie des dioïdes permet de factoriser de nombreuses variantes d’un même pro-

blème combinatoire. En effet, de nombreux algorithmes se ramènent à résoudre des sys-

tèmes d’équations linéaires dans une structure algébrique adéquate, comme le montrent

(e.g. Gondran et Minoux, 1979, 2000, 2001). Pour préciser notre pensée, considérons le

graphe de la figure 1.4. Supposons dans un premier temps qu’on cherche à déterminer le

plus court chemin de s à t pour le critère de la somme des coûts le long de ses arcs. Pour

ce faire, on applique l’algorithme indiqué dans l’exemple 8. Le lecteur vérifiera sans peine

que l’algorithme nous conduit bien au chemin optimal (s, 2, t) de coût 5. Supposons main-

tenant qu’on cherche à déterminer le plus court chemin de s à t pour le critère bottleneck

(i.e., qui minimise la valuation maximum le long du chemin). Pour ce faire, on applique le

même algorithme en utilisant la relation de récurrence : πi = minj∈S−1(j) max(πj , ϕ(j, i)).

L’algorithme nous conduit alors au chemin optimal (s, 1, 2, t) de coût 3. On remarque

donc que le changement du critère d’évaluation n’a pas remis en cause la validité de

l’approche. La justification de l’algorithme est similaire dans les deux cas. L’approche

algébrique s’est précisément développée pour fournir un cadre unificateur et repose sur

des propriétés de l’ensemble de valuation utilisé, muni d’une loi de composition interne.

Il s’agit de factoriser ainsi différentes variantes d’un même problème en ne s’intéressant

qu’aux propriétés algébriques de représentation du problème.

Les algèbres de chemins

Les dioïdes ou “algèbres de chemins” ont été essentiellement étudiées par Gondran et

Minoux (1979; 2001) à partir de la deuxième moitié des années 70. Un dioïde se définit

comme suit :

Définition 3 Un dioïde (S,⊕,⊗,0,1) est un ensemble S muni de deux opérations ⊕ et

⊗, qui satisfont les axiomes suivants :


(A1) (S,⊕) est un monoïde commutatif avec 0 comme élément neutre :

a⊕ b = b⊕ a,

(a⊕ b)⊕ c = a⊕ (b⊕ c),

a⊕ 0 = a.

(A2) (S,⊗) est un monoïde avec 1 comme élément neutre, et pour lequel 0 est un élément

absorbant :(a⊗ b)⊗ c = a⊗ (b⊗ c),

a⊗ 1 = 1⊗ a = a,

a⊗ 0 = 0⊗ a = 0.

(A3) ⊗ est distributive vis-à-vis de ⊕ :

(a⊕ b)⊗ c = (a⊗ c)⊕ (b⊗ c),

a⊗ (b⊕ c) = (a⊗ b)⊕ (a⊗ c).

(A4) la relation de préordre canonique relativement à ⊕ (définie par b % a ⇐⇒ ∃c : b =

a⊕ c) est une relation d’ordre, c’est-à-dire qu’elle est antisymétrique.

Remarque 1 L’abandon de l’axiome (A4) conduit à la définition d’un semi-anneau,

structure algébrique mise en avant dans la littérature anglo-saxonne.

Gondran et Minoux montrent comment un très grand nombre de problèmes de chemi-

nement dans les graphes peuvent se formuler et se résoudre dans des structures algébriques

plus générales que (Z+ ∪ +∞, min, +, +∞, 0). Ces structures ont un rôle unificateur

puisqu’un même algorithme permet alors de résoudre de nombreux problèmes de chemine-

ment, parmi lesquels : plus court chemin, plus long chemin, chemin de fiabilité maximum,

chemin de capacité maximum, chemin avec actualisation, etc. On remarque que l’hypo-

thèse H3 de préadditivité est très proche de l’axiome A3 de distributivité de ⊗ vis-à-vis

de ⊕. En effet, considérons un ensemble A non vide muni d’une loi de composition interne

. Si % est un ordre complet sur A, alors en posant :

S = A

a⊕ b = M(a, b, %)

a⊗ b = a b

la distributivité de ⊗ vis-à-vis de ⊕ s’écrit :

∀a, b, c ∈ A M(a, b, %) c = M(a c, b c, %)

ce qui implique la compatibilité de la relation d’ordre % avec (A, ) :

a % b =⇒ a c % b c

Plus généralement, selon Gondran et Minoux (2001, p.174) :


“Chaque fois que l’on aura défini une relation d’ordre [%] non totale sur un en-

semble T et une opération munissant T d’une structure de monoïde commuta-

tif compatible avec la relation d’ordre, on pourra rechercher dans S = P(T ) les

chemins [%-]efficaces, lesquels correspondent aux chemins [maximaux] pour

la relation d’ordre.”

Cette approche algébrique intéresse également les chercheurs en IA.

SCSPs et VCSPs

Dans le cadre des problèmes de satisfaction de contraintes (CSP), un CSP classique

est défini par la donnée d’une séquence de variables, d’une séquence de domaines finis

pour ces variables, et enfin d’une séquence de contraintes définissant les uplets de valeurs

autorisés pour ces variables. Le problème consiste à chercher une valeur pour chacune

des variables de façon à ce que toutes les contraintes soient simultanément satisfaites.

Dès lors qu’on suppose une certaine flexibilité des contraintes, on se ramène alors à des

problèmes d’optimisation qui sont fonctions de la façon de modéliser cette flexibilité. Pour

factoriser ces différents problèmes, deux approches algébriques voisines se sont développés

parallèlement :

– une approche fondée sur les semi-anneaux (Bistarelli et al., 1995, 1997),

– une autre approche s’appuyant sur une structure de valuations des contraintes qui

soit un monoïde commutatif (Z,⊗) complètement ordonné (Schiex et al., 1995,

1997), c’est-à-dire tel qu’on puisse définir sur Z une relation d’ordre compatible

avec la loi ⊗ (on retrouve une condition de préadditivité).

Ces deux approches se nomment respectivement problèmes de satisfaction de contraintes

fondés sur un semi-anneau (SCSP) et problèmes de satisfaction de contraintes valués

(VCSP).

Exemple 12 On reprend ici un exemple tiré de Schiex et al. (1997) :

“Vous devez organiser un repas de thèse réunissant des alsaciens et des bour-

guignons. Afin de satisfaire tous les esprits chauvins de la tablée, il vous faut

à tout prix utiliser des produits provenant de ces deux régions. Or le plat prin-

cipal ne peut être que du coq au vin (Bourgogne) ou du baekeroffae (cuit au

Riesling), les seuls vins disponibles sont un Pinot noir (vin rouge alsacien) et

un Pommard (Bourgogne rouge). Votre bon goût ( ?) vous empêche d’accom-

pagner le coq au vin d’autre chose que d’un vin rouge bien charpenté, quant

au baekeroffae, il faudrait utiliser un vin blanc d’Alsace.”

Les variables du problème sont le vin et le plat, qui ont pour domaines respectifs Pinot,Pom-

mard et Coq,Baekeroffae. Il y a trois contraintes : (c1) la satisfaction des alsaciens,

(c2) la satisfaction des bourguignons et (c3) le bon goût. La première contrainte autorise


les uplets (Pinot,Baekeroffae), (Pinot,Coq) et (Pommard,Baekeroffae) ; la deuxième au-

torise les uplets (Pommard,Coq), (Pommard,Baekeroffae) et (Pinot,Coq) ; la troisième

autorise l’uplet (Pommard,Coq). On remarque qu’il n’existe pas de uplet satisfaisant si-

multanément les trois contraintes.

Dans le paradigme des VCSP, on va associer une valeur à chacune des contraintes,

puis définir une règle de composition de ces valeurs. On cherche alors le uplet pour lequel

la valeur obtenue par composition des valeurs des contraintes violées est minimum. Dans

l’exemple 12, si on associe une valeur de 50 à la contrainte c1, une valeur de 30 à la

contrainte c2 et une valeur de 100 à la contrainte c3, et qu’on utilise l’addition comme

règle de composition (on parle alors de CSP à pénalités), on obtient les valeurs indiquées

dans le tableau 1.2 pour les différents uplets. Si on suppose que la valeur totale corres-

pond à la douleur esthétique collective de l’ensemble des participants, le choix se porte

sur l’uplet (Pommard,Coq), de valuation minimum. De nombreux formalismes peuvent

s’instancier dans ce cadre, parmi lesquels : CSP classiques, CSP possibilistes ou flous,

CSP à pénalités, CSP probabilistes, etc.

uplet contraintes violées valeur

(Pinot,Coq) c3 100(Pinot,Baekeroffae) c2, c3 130

(Pommard,Coq) c1 50(Pommard,Baekeroffae) c3 100

Tab. 1.2 – Les valeurs des uplets dans le paradigme VCSP

Dans le paradigme SCSP, à la différence du précédent, une valeur est affectée à chaque

uplet vis-à-vis de chaque contrainte. Ainsi, dans l’exemple 12 et concernant la contrainte

(c3), on peut supposer que la douleur esthétique ressentie par l’accompagnement du

coq par un vin rouge plus commun est moindre et donc attribuer une valeur de 40 à

la violation de la contrainte (c3) par l’uplet (Pinot,Coq). De plus, on peut supposer que

l’accompagnement du Baekeroffae par un vin rouge qui reste alsacien impose une douleur

esthétique de 70 seulement. On obtient alors les valeurs indiquées dans le tableau 1.3.

uplet contraintes violées valeur

(Pinot,Coq) c3 40(Pinot,Baekeroffae) c2, c3 100

(Pommard,Coq) c1 50(Pommard,Baekeroffae) c3 100

Tab. 1.3 – Les valeurs des uplets dans le paradigme SCSP


Le choix se porte ainsi vers l’uplet (Pinot,Coq). Précisons que les semi-anneaux utilisés

dans les SCSP ont une loi ⊕ idempotente et une loi ⊗ commutative. Or, l’idempotence

de l’opération ⊕ est suffisante pour que la relation de préordre canonique relativement à

⊕ soit une relation d’ordre. En conséquence, ces types de semi-anneaux appartiennent à

la classe des dioïdes.

Ces deux approches sont comparées plus en détails dans Bistarelli et al. (1999). Il y est

montré que la différence principale entre les deux réside dans la capacité du cadre SCSP

à fonctionner avec un ordre partiel, contrairement au cadre VCSP. Quoiqu’il en soit, la

problématique commune aux deux approches est bien l’extension d’une relation d’ordre

sur les valeurs des contraintes violées en une relation d’ordre sur les multi-ensembles de

valeurs (d’où l’hypothèse de commutativité de l’opération ⊗).

Remarque 2 L’approche SCSP a été récemment étendue pour prendre en compte une

métrique sur les valeurs du semi-anneau (Ghose et Harvey, 2002). Il s’agit alors de

chercher une solution à distance moindre d’un point de référence.

Généralisations de la recherche heuristiquement ordonnée

Farreny (1999) propose une généralisation des algorithmes de recherche heuristique-

ment ordonnée. La recherche heuristique dans les graphes en IA est une algorithmique

très voisine de celle déployée en RO pour aborder le problème de plus court chemin. A

la différence du problème de plus court chemin où le graphe est donné en extension, la

recherche heuristique se fait dans un graphe qui est développé partiellement durant la

recherche. L’autre différence entre les deux approches est liée à l’utilisation d’une heu-

ristique pour engendrer et explorer une partie aussi réduite que possible du graphe. La

généralisation de Farreny s’appuie sur plusieurs dimensions de la recherche heuristique, et

en particulier la notion de longueur de chemin. Pour ce faire, l’auteur utilise un monoïde

de valuation (V,⊗) et il définit une fonction ℓ qui respecte les règles suivantes :

1. pour tout arc e : ℓ(e) = c(e),

2. ℓ(suite vide d’arcs) = 1,

3. pour toutes suites finies S et S′ d’arcs, ℓ(concaténation de S et S′) = ℓ(S)⊗ ℓ(S′).

On retrouve ici l’approche qui conduit aux algèbres de chemins, sans que soit explicité

l’opération ⊕ de sélection des meilleurs chemins.


1.4.2 Le formalisme fondé sur les préférences

Programmation dynamique fondée sur les préférences

Mitten (1974) a introduit la programmation dynamique fondée sur les préférences, qui

consiste à remplacer la fonction à valeurs réelles utilisée habituellement par des relations

de préférence entre les politiques partielles en chacun des états. Il considère un processus

de décision séquentiel fondé sur les ensembles suivants :

– l’ensemble N = 1, . . . , n des étapes,

– l’ensemble S des états,

– l’ensemble D = Dx : x ∈ S des décisions (Dx représentant l’ensemble des déci-

sions qu’on peut prendre dans l’état x).

Il suppose de plus que les sous-ensembles S1, . . . , Sn d’états possibles à chaque étape sont

disjoints. Dans ce cadre, une politique δ consiste à associer à chaque état x une décision

δ(x). En notant Sn = S0∪. . .∪Sn et Sx = x∪Sn−1, une politique partielle δ(Sx) associe

une décision à chaque état de Sx. On dispose d’une relation de préférence %x⊆ ∆x×∆x

pour chaque état x ∈ S, où ∆x représente l’ensemble des politiques partielles menant à

l’état x. On cherche les politiques %x-efficaces menant à chacun des états x de Sn. Mitten

donne des conditions suffisantes sur la structure des préférences pour que la procédure

récursive habituelle (consistant à garder en chaque état x les politiques partielles %x-

efficaces) y aboutisse :

(A1) Pour chaque état x ∈ S la relation de préférence associée %x est un préordre complet.

(A2) M(∆x, %x) 6= ∅ pour tout x ∈ S.

(A3) Si une politique partielle α %x-domine une autre politique partielle β pour tous les

états x à une étape donnée, alors ajouter la même décision au deux politiques partielles

en un même état de l’étape suivante ne peut pas conduire à préférer β à α :

Si x ∈ Sn et α, β ∈ ∆x avec α(x) = β(x) et si α(Sy) %y β(Sy)∀y ∈ Sn−1 alors α %x β

A travers ce dernier axiome, on retrouve une nouvelle fois une forme de condition de

préadditivité bien utile d’un point de vue algorithmique.

Remarque 3 Sobel (1975) présente une étude similaire de la programmation dynamique

dans le cadre de processus de décision markoviens.

Différents auteurs ont ensuite tenter d’exploiter le cadre de Mitten pour résoudre des

problèmes combinatoires stochastiques :

– chaîne d’assemblage (Kao, 1976),

– voyageur de commerce (Kao, 1978),

– sac-à-dos (Steinberg et Parks, 1979).


Malheureusement, ces auteurs ont une interprétation erronée de la condition (A3), comme

montré dans Sniedovich (1980, 1981b,a), ce qui les conduit à utiliser des critères de

comparaison qui ne sont pas préadditifs. C’est pourquoi les procédures proposées ne

sont pas optimales. Pour faire face à une telle situation, la programmation dynamique

généralisée a été développée.

Programmation dynamique généralisée

La programmation dynamique généralisée a été développée par Carraway et al. (1989,

1990). Elle est basée sur un principe faible d’optimalité qui s’énonce comme suit :

Une politique optimale est composée de sous-politiques susceptibles de faire

partie d’une politique optimale

En évaluant des politiques partielles en terme de leur impact sur le problème global, les

errements potentiels liés à la vision locale de la programmation dynamique traditionnelle

sont évité. Ainsi, l’exactitude de la procédure récursive de résolution est assurée.

Exemple 13 Carraway et al. montrent comment modifier la procédure de Kao (1978)

pour résoudre de façon exacte le problème de voyageur de commerce avec des coûts sto-

chastiques. Pour le problème de plus court chemin stochastique de l’exemple 8, leur ap-

proche consisterait à remarquer qu’un chemin partiel ne peut conduire à un chemin op-

timal dès lors que l’espérance et la variance sont toutes deux supérieures à celles d’un

autre chemin au même sommet. Dès lors, un chemin n’est coupé par l’algorithme que s’il

remplit cette condition. Sur le graphe de la figure 1.3, le chemin (s, 2, 3) de loi N(52; 28)

n’est pas coupé au sommet 3 car le chemin (s, 1, 3) de loi N(55; 7) ne remplit pas cette

condition.

1.5 Positionnement et organisation de notre travail

Les divers problèmes de décision combinatoires évoqués dans ce chapitre sont parti-

culièrement complexes en raison de la présence simultanée de deux difficultés :

– la nécessité de prendre en compte des structures de préférences non-classiques,

– la nécessité d’explorer un ensemble combinatoire de solutions potentielles.

Il apparaît que ces deux difficultés ont été envisagées principalement de manière sépa-

rée jusqu’alors car chacune d’entre elles suffit à complexifier significativement la recherche

d’une bonne solution. On peut ainsi aborder de manière indépendante :

• les travaux sur la modélisation des préférences menés en aide à la décision. Ils ont

produit de nouveaux modèles décisionnels au pouvoir descriptif accru qui permettent

d’expliquer, de prédire ou de simuler des comportements décisionnels sophistiqués. Les

modèles développés ne sont que très peu utilisés dans le cadre de problèmes combinatoires


car la recherche des solutions préférées pose des problèmes algorithmiques non-résolus.

• les travaux de nature algorithmique menés en optimisation combinatoire et en recherche

heuristique. Ils ont permis d’apporter des solutions opérationnelles pour le traitement de

problèmes combinatoires divers fréquemment rencontrés en pratique. Cependant, la dif-

ficulté combinatoire a souvent conduit les individus à ne considérer que des structures

de préférences assez frustres et les algorithmes ne conviennent généralement pas pour

exploiter des préférences plus sophistiquées.

A la lumière des exemples évoqués en section 1.3.1, il apparaît souhaitable de ma-

rier ces deux préoccupations pour aborder des problèmes combinatoires en cherchant à

exploiter des structures de préférences non-classiques (voir section 1.3.2). C’est précisé-

ment dans cette direction que s’inscrit notre travail de thèse qui concerne la recherche de

solutions préférées dans les graphes pour l’aide à la décision.

Nous étudierons plus particulièrement les problèmes de recherche d’arbres couvrants

et de cheminement dans des graphes munis de préférences. Au regard des travaux formels

évoqués plus haut, la spécificité de notre étude se situe à deux niveaux :

– au niveau de la structure de l’espace des solutions, on va s’intéresser à développer

une approche fondée sur les préférences pour des problèmes d’arbres couvrants,

alors que les travaux existants portent essentiellement sur des systèmes séquentiels.

– au niveau de la structure des préférences : on va s’intéresser à l’exploitation d’une

relation binaire non-nécessairement complète dans les problèmes de graphes ; même

si les dioïdes et la programmation dynamique généralisée offrent la possibilité for-

melle de travailler avec des relations de préférence incomplètes, ce champs d’inves-

tigation a été peu exploré jusqu’à aujourd’hui (on privilégie souvent des structures

complètes de préférences).

De plus, nous n’adopterons pas exclusivement le point de vue normatif qui consisterait

à mener une étude systématique sur l’utilisation de structures algébriques adaptées à la

résolution efficace de problèmes. Nous adopterons souvent un point de vue prescriptif qui,

étant donné un modèle décisionnel jugé pertinent pour un problème combinatoire, vise

à proposer des solutions algorithmiques adéquates pour la détermination des solutions

préférées.

Chapitre 2

Quelques alternatives typiques au

cadre classique pour l’optimisation

Résumé. Dans ce chapitre, nous relatons quelques travaux portant sur des problèmes

combinatoires ne relevant pas du modèle classique, en mettant l’accent sur les problèmes

de cheminements et d’arbres couvrants. Nous examinons trois types de problèmes de

décision combinatoires qui nous semblent particulièrement significatifs et qui se carac-

térisent par la prise en compte de :

– critères multiples,

– préférences ordinales,

– préférences incorporant une idée de robustesse.

Pour chaque type de problème, nous décrivons les motivations qui ont conduit à le

formuler puis nous retraçons l’historique des travaux dans la littérature.

34

2. Quelques alternatives typiques au cadre classique 35

2.1 Introduction

Depuis une vingtaine d’années environ, de plus en plus de travaux en optimisation

combinatoire font appel à des préférences non-classiques. Nous nous intéressons ici plus

particulièrement aux problèmes d’arbres couvrants et de cheminements, étudiés sous

l’angle de trois problématiques particulières débouchant naturellement sur trois types de

problèmes de décision combinatoires :

• problèmes combinatoires multicritères : nous désignons par ce terme les problèmes

combinatoires se caractérisant par la prise en compte explicite de plusieurs points de

vue, éventuellement conflictuels.

• problèmes combinatoires avec préférences ordinales : nous désignons par ce terme les

problèmes combinatoires se caractérisant par l’absence d’évaluations numériques sur les

composantes élémentaires.

• problèmes combinatoires incorporant une idée de robustesse : nous désignons par ce

terme les problèmes combinatoires se caractérisant par la prise en compte explicite de

l’incertitude ou de l’imprécision des données.

2.2 Problèmes combinatoires multicritères

Le domaine de l’optimisation combinatoire multicritère s’est largement développé

depuis une dizaine d’années, comme en témoignent plusieurs états de l’art récents (Ulungu

et Teghem, 1994; Ehrgott et Gandibleux, 2000; Ehrgott, 2000b). Il permet d’aborder

des problèmes d’optimisation combinatoire en présence de différents points de vue non-

réductible à un seul. Ces problèmes étaient souvent abordés de manière simplifiée en

résumant les divers aspects à prendre en compte en un critère coût unique. Si ce choix est

parfois adéquat, il existe pourtant des situations dans lesquelles la formulation explicite

des divers critères à optimiser est nécessaire, comme le montre la sous-section suivante.

2.2.1 Les dangers de l’agrégation linéaire

Considérons le graphe de la figure 2.1 et supposons qu’on recherche le meilleur chemin

pour aller de s à t. Il y a trois chemins possibles : P1 = (s, 1, t), P2 = (s, 1, 2, t) et

P3 = (s, 2, t), de vecteur-coûts respectifs (20, 2), (11, 12) et (2, 20). On pourrait penser

pouvoir se ramener au modèle classique en valuant les arcs e ∈ E selon une somme

pondérée des coûts sλ(e) = λ1ϕ1(e) + λ2ϕ2(e). On obtient alors :

P P1 P2 P3

sλ(P ) 20λ1 + 2λ2 11λ1 + 12λ2 2λ1 + 20λ2

36 2. Quelques alternatives typiques au cadre classique

1

s t

2

(8, 1)

(1, 12)

(2, 3)

(12, 1)

(1, 8)

Fig. 2.1 – Recherche d’une solution de meilleur compromis.

(2,20)

(20,2)

(11,12)

Fig. 2.2 – Représentation dans l’espace des critères.

La fonction étant à minimiser, on observe que P3 sera le meilleur chemin si on optimise

avec un jeu de poids tel que λ1 > λ2. A l’inverse, P1 sera le meilleur chemin si l’on

optimise avec un jeu de poids tel que λ1 < λ2. On constate que P2 n’apparaît jamais

dans les solutions optimales. Il n’existe donc aucun jeu de poids permettant d’obtenir P2

à partir d’un algorithme de plus court chemin appliqué à un graphe dont les arcs sont

valués par la fonction sλ. Ceci est lié à la position des chemins dans l’espace des critères

(voir figure 2.2). En effet, le point (11, 12) se situe au-dessus de la droite joignant les

points (2, 20) et (20, 2), ce qui le rend inaccessible à une somme pondérée. Un décideur

pourrait croire qu’il doit donc choisir entre P1 et P3 mais que P2 est de toute façon

disqualifié. Pourtant, le chemin (s, 1, 2, t) est la solution de meilleur compromis dans une

telle situation. Une approche simple pour modéliser la notion de compromis consiste à

rechercher un chemin P qui minimise maxi=1,2 ϕi(P ). Malheureusement, ce critère unique

de synthèse n’est pas additivement décomposable. C’est pourquoi il semble nécessaire de

développer des algorithmes propres au cas multicritère.


2.2.2 Concepts de base de l’optimisation multicritère

Nous rappelons ici quelques concepts de base qu’on retrouve dans la plupart des

démarches d’optimisation multicritère.

Modélisation des préférences

En optimisation multicritère, on dispose de q fonctions de valuation ϕ1, . . . , ϕq à

valeurs dans N (les critères) et la valeur d’une solution réalisables F ∈ F selon ϕi

(i = 1, . . . , q) est définie comme :

ϕi(F ) =∑

e∈F

ϕi(e)

A chaque solution réalisable correspond donc un point dans l’espace des critères. La

relation de préférence la plus utilisée entre vecteurs-coûts est la Pareto-dominance (%P -

dominance en abrégé) :

∀x, y ∈ Nq, x %P y ⇐⇒ ∀i ∈ 1, . . . , q, xi ≤ yi

La partie asymétrique de cette relation est appelée Pareto-dominance stricte :

∀x, y ∈ Nq, x ≻P y ⇐⇒∀i ∈ 1, . . . , q, xi ≤ yi,

∃i ∈ 1, . . . , q, xi < yi.

Au sein d’une famille X de vecteurs, nous dirons qu’un vecteur x est %P -dominé s’il

existe un vecteur y dans X pour lequel y ≻P x, et %P -efficace si il n’existe pas un tel

vecteur dans X.

Complexité des problèmes d’optimisation multicritère

Tout d’abord, précisons que ces problèmes combinatoires, comme c’est plus générale-

ment le cas pour de nombreux problèmes fondés sur des préférences incomplètes, ne sont

pas stricto sensu des problèmes de recherche puisqu’ils ne portent pas sur la recherche

d’une unique solution mais de plusieurs solutions. Ainsi, l’étude de la complexité de tels

problèmes se fait de manière indirecte en étudiant par exemple (Serafini, 1986; Ehrgott,

2000a) :

• le nombre de solutions renvoyées au pire des cas. En particulier, on trouve dans la lit-

térature plusieurs exemples d’instances pathologiques pour lesquelles toutes les solutions

réalisables sont incomparables, comme nous le verrons plus loin.

• la complexité du problème de décision associé (problème de recherche d’une solution

%P -dominant un vecteur donné). Dans le cas monocritère, l’étude de la complexité des


problèmes combinatoires est généralement réalisée sur un problème oui/non1 comme

“Est-ce qu’une propriété Pr est vérifiée sur un graphe G = (X, U) ?", ou “Etant donné

un entier k et un problème de minimisation (resp. maximisation), est-ce qu’il existe une

solution de valeur strictement plus petite (resp. strictement plus grande) que k ?”. Etant

donné un problème d’optimisation combinatoire π, cette dernière question est le problème

oui/non associé (noté D(π)). La complexité de D(π) est souvent un bon indicateur de la

difficulté de résolution de π (π est très vraisemblablement difficile à résoudre dès lors que

D(π) est NP-complet2. Dans le cadre multicritère, le problème de décision s’écrit comme

suit : “Etant donné q entiers k1, . . . , kq et un problème multicritère de minimisation (resp.

maximisation), est-ce qu’il existe une solution dont la valeur sur le critère i (i = 1, . . . , q)

est plus petite (resp. plus grande) que ki (i = 1, . . . , q) ?”. De même que dans le cadre

classique, si le problème oui/non est NP-complet alors le problème d’énumération des

solutions %P -efficaces3 est au moins aussi difficile.

• la complexité du problème de comptage associé (compter le nombre de solutions effi-

caces) : la description formelle précise de la classe des problèmes ♯P-complets a été in-

troduite par Valiant (1979). Intuitivement, quand un problème appartient à cette classe,

l’existence d’un algorithme polynômial pour compter le nombre de solutions optimales

est très improbable. Dans le cadre multicritère, on recherche le nombre de solutions %P -

efficaces. Une fois encore, énumérer les solutions %P -efficaces est au moins aussi difficile

que de les compter.

La notion d’algorithme d’approximation polynômiale a été étendue au cas multicri-

tère. Dans le cas monocritère, un algorithme d’approximation polynômiale vise à propo-

ser une solution réalisable en temps polynômial, avec garantie de qualité de la solution.

Dans le cas multicritère, on commence par définir la Pareto-dominance de rapport ρ

(%ρP -dominance en abrégé) comme suit :

∀x, y ∈ Nq, x %ρP y ⇐⇒ ∀i ∈ 1, . . . , q, xi ≤ ρ.yi

Un algorithme d’approximation polynômiale A de rapport ρ ≥ 1 a alors pour objectif

de proposer en temps polynômial un ensemble X de solutions tel que (Warburton, 1987;

1Dans la littérature en optimisation combinatoire, ce type de problème est appelé problème de décision.Afin de ne pas créer d’ambiguïté avec la notion de problème de décision combinatoire que nous avonsintroduit, nous n’utiliserons pas cette terminologie ici.

2La classe NP désigne l’ensemble des problèmes oui/non pour lesquels on peut vérifier en tempspolynômial qu’une solution potentielle est effectivement une solution. La classe P ⊆ NP regroupe lesproblèmes les plus faciles (en un certain sens) de NP, i.e. résolubles en temps polynômial. A l’opposé, laclasse des problèmes NP-complets (e.g., Garey et Johnson, 1979) regroupe les problèmes les plus difficilesde NP : la résolution de l’entre d’entre eux en temps polynômial permettrait la résolution de n’importequel problème de NP en temps polynômial.

3Plus précisément, la recherche d’un ensemble quotient, c’est-à-dire une solution pour chaque vecteur%P -efficace dans l’espace des critères.


Papadimitriou et Yannakakis, 2000) :

∀S′ ∈ F , ∃S ∈ X , S %ρP S′

A partir de cette définition, on peut aussi étendre les notions de :

– schéma d’approximation polynômiale : une suite d’algorithmes Aε garantissant un

rapport ρ = 1 + ε en un temps O(n1/ε) pour tout ε > 0 ;

– schéma complet d’approximation polynômiale : une suite d’algorithmes Aε garan-

tissant un rapport ρ = 1 + ε en un temps O(1εnk) pour tout ε > 0.

2.2.3 Enumération des arbres couvrants %P -efficaces

Le problème de l’arbre couvrant minimum dans sa version standard est réputé être

l’un des plus faciles de l’optimisation combinatoire. Le passage au multicritère change

complètement cet état de fait, comme nous allons le voir.

Complexité et approximation

De façon assez similaire à Hansen pour les chemins (voir section 2.2.4), Emelichev

et Perepelitsa (1988) et Hamacher et Ruhe (1994) construisent des instances pour les-

quelles les nn−2 arbres couvrants d’un graphe complet à n sommets sont incomparables et

%P -efficaces. Ils considèrent des graphes complets à n sommets comportant un ensemble

E = e1, . . . , em d’arêtes valuées par (2i, 2n − 2i−1) (i = 1, . . . , n). Par conséquent,

ϕ1(ei) + ϕ2(ei) = 2n pour tout ei ∈ E et donc ϕ1(T ) + ϕ2(T ) = (n − 1)2n pour tout

arbre couvrant T . Par unicité de la représentation d’un nombre en binaire, deux arbres

couvrants distincts ont des images distinctes dans l’espace des critères. Les nn−2 arbres

couvrants du graphe (Cayley, 1889) sont donc %P -efficaces et incomparables entre eux

(alignés dans l’espace des critères, voir figure 2.3). Le problème oui/non associé à l’énu-

mération des arbres couvrants %P -efficaces a été prouvé NP-complet (Serafini, 1986).

Néanmoins, en ce qui concerne la ♯P-complétude du comptage des arbres couvrants

%P -efficaces, la question reste ouverte. Papadimitriou et Yannakakis (2000) ont mon-

tré récemment qu’on peut développer un schéma complet d’approximation polynômiale

pour un problème d’optimisation multicritère dès lors qu’il existe un algorithme pseudo-

polynômial4 pour la version exacte. Ils en déduisent qu’il existe des schémas complets

d’approximation polynômiale pour les problèmes suivants :

– énumération des chemins %P -efficaces,

– énumération des arbres couvrants %P -efficaces,

– énumération des couplages %P -efficaces.

4Respectant la définition de Garey et Johnson (1979), nous dirons qu’un algorithme est pseudo-polynômial si sa complexité est polynômiale de la taille de l’instance et de la plus grande donnée del’instance.


cône de dominance*

Critère 1

Critère 2

Fig. 2.3 – Solutions alignées dans l’espace des critères.* le cône de dominance désigne l’ensemble des points de l’espace qui sont %P -dominés par un pointdonné.

Algorithmes d’énumération

Dans le cas bicritère, Hamacher et Ruhe (1994) ont proposé une approche en deux

phases pour énumérer les arbres couvrants %P -efficaces. Les méthodes en deux phases (Ulungu

et Teghem, 1995) consistent à :

– énumérer les solutions efficaces supportées en résolvant le problème pour un jeu de

relations de préférence %λ. Une solution est dite supportée s’il existe λ ∈ Rq pour

laquelle la solution est %λ-efficace avec :

∀x, y ∈ Rq, x %λ y ⇐⇒q∑

i=1

λixi ≤q∑

i=1

λiyi

– rechercher les solutions non-supportées dans les triangles rectangles engendrés par

deux solutions supportées x et y consécutives (voir figure 2.4).

Après avoir déterminé les solutions supportées, Hamacher et Ruhe procèdent à une re-

cherche par voisinage entre deux solutions supportées consécutives tant qu’elles ne sont

pas suffisamment proches en terme de distance euclidienne dans l’espace des critères et

qu’on trouve encore des points. On obtient alors une approximation, sans garantie, de la

frontière efficace. Ramos et al. (1998) ont proposé un algorithme exact, en utilisant une

approche par séparation et évaluation pour déterminer les solutions non-supportées.


y

x

Critère 1

Critère 2

Fig. 2.4 – Les méthodes en deux phases.

Dans le cas général, le problème de l’énumération des arbres couvrants %P -efficaces

est symptomatique des pièges de l’optimisation combinatoire multicritère, et plus géné-

ralement de tout modèle de préférence introduisant de l’incomparabilité. En effet, de

nombreux auteurs ont cru proposer une procédure exacte d’énumération avant que celle-

ci ne soit finalement invalidée. En premier lieu, Corley (1985) a proposé un algorithme

généralisant l’algorithme de Prim. Etant donné un graphe G = (V, E), il s’agit de déve-

lopper une arborescence de recherche dont nous donnons ici une description informelle :

• la source de l’arborescence est un sommet quelconque de V ,

• un noeud de l’arborescence correspond à un graphe partiel connexe sans cycle couvrant

les sommets V ′ ⊆ V ,

• une branche correspond au choix d’augmenter le graphe partiel avec une arête %P -

efficace dans le cocycle5 joignant V ′ et V \ V ′.

Corley affirme que cet algorithme renvoie l’ensemble des solutions efficaces du graphe.

Pourtant, cette affirmation est erronée comme l’établit le contre-exemple de la figure 2.5.

On remarque en effet qu’on peut obtenir l’arbre c, d, e de valeur (5, 5) en partant du

sommet 1 (en prenant par exemple l’arête d puis l’arête c puis l’arête e), alors que l’arbre

a, d, f de valeur (4, 4) le domine. L’algorithme de Corley est donc susceptible de ren-

voyer des arbres %P -dominés. Néanmoins, nous montrerons dans le chapitre 3 que tout

arbre couvrant %P -efficace figure dans l’ensemble des solutions renvoyées par cet algo-

rithme. Ainsi, l’algorithme de Corley énumère un sur-ensemble des arbres %P -efficaces.

Hamacher et Ruhe (1994) ont signalé cette erreur et ont alors suggéré de couper les arbres

5Pour tout X ⊂ V , le cocycle Ω(X) est l’ensemble (v, w) ∈ E : v ∈ X et w ∈ V \ X.


1 2

4 3

e (2, 2)

f (0, 3)

c (2, 2)

a (3, 0)

b (4, 4)d (1, 1)

Fig. 2.5 – Une instance conduisant à l’échec de l’algorithme de Corley.

%P -dominés à chaque niveau de profondeur de l’arborescence de recherche :

“In our experiments we used a modified version of Corley’s algorithm which

excludes in each iteration subtrees which are non-efficient.”

Cette version modifiée de l’algorithme de Corley a été reprise par Zhou et Gen (1999)

pour évaluer un algorithme génétique d’énumération des arbres couvrants %P -efficaces.

Malheureusement, comme il est montré dans Knowles et Corne (2002), le remède est

ici pire que le mal car cette version modifiée est susceptible d’ “oublier” des arbres %P -

efficaces, et de renvoyer des arbres %P -dominés (indétectables même en procédant via des

comparaisons par paire dans l’ensemble renvoyé). Nous présentons sur la figure 2.6 notre

propre contre-exemple factorisant ces deux constats. En effet, on vérifie aisément par

énumération exhaustive que les arbres couvrants %P -efficaces de ce graphe sont b, c, d,c, d, e, b, c, f et c, e, f. Pourtant, en partant du sommet 3, l’algorithme de Corley

modifié renvoie les arbres a, c, f, b, c, f et c, e, f. On constate donc que les arbres

%P -efficaces b, c, d et c, d, e sont omis. De plus, l’omission de l’arbre b, c, d de valeur

(11, 22) est d’autant plus regrettable qu’en conséquence l’arbre %P -dominé a, c, f de

valeur (12, 22) est renvoyé à sa place. L’origine de l’erreur vient de ce que l’arbre b, c, dne comporte pas de sous-arbre (graphe partiel connexe sans cycle) %P -efficace parmi les

sous-arbres à la profondeur 2 dans l’arborescence de recherche. En effet, le sous-arbre

c, d de valeur (10, 12) est %P -dominé par le sous-arbre e, f de valeur (10, 10), et le

sous-arbre b, c de valeur (4, 15) est %P -dominé par le sous-arbre c, f de valeur (4, 14).

Ces inexactitudes successives s’expliquent vraisemblablement par une confusion liée

à la présence de plusieurs solutions partielles à prendre en considération dans la contre-

partie multicritère de l’algorithme glouton (Algorithme 1, p.17). En effet, dans le cas

monocritère, lors de l’augmentation d’une solution partielle élément par élément jusqu’à

aboutir à une solution complète, il est équivalent de :

– choisir un élément minimum parmi les éléments restants,


1 2

4 3

e (9, 1)

f (1, 9)

c (3, 5)

a (8, 8)

b (1, 10)d (7, 7)

Fig. 2.6 – Une instance conduisant à l’échec de l’algorithme de Corley modifié.

– choisir un élément tel que la solution augmentée obtenue soit minimum parmi les

complétions de cette même solution partielle.

De même, dans le cas multicritère, il est équivalent de :

– choisir un élément %P -efficace parmi les éléments restants,

– choisir un élément tel que la solution augmentée obtenue soit %P -efficace parmi les

complétions de cette même solution partielle.

Par contre, il n’est pas équivalent de :

– choisir un élément %P -efficace parmi les éléments restants,

– choisir un élément tel que la solution augmentée obtenue soit %P -efficace parmi

toutes les complétions de toutes les solutions partielles de même taille.

C’est cette différence qui, selon nous, explique que le comportement des algorithmes ne

soit pas conforme aux intuitions de leurs auteurs. A ce titre, Serafini (1986) a montré

que pour tout arbre couvrant T %P -efficace il existe un rangement R des arêtes du

graphe compatible avec %P (c’est-à-dire tel que %P⊆ R) pour lequel l’algorithme de

Kruskal renvoie T . A contrario, les exemples précédents montrent que couper les sous-

arbres %P -dominés peut être préjudiciable. Plus généralement, l’exemple suivant de D.

Vanderpooten6 montre que, dans un ensemble E de 8 éléments, il peut exister un sous-

ensemble A de 4 éléments tel que :

A ∈M(X ⊆ E : |X| = 4, %P )

∀X ⊆ A, |X| = 3⇒ ∃Y ⊆ E, |Y | = 3 et Y ≻P X

Exemple 14 On considère l’ensemble de vecteurs :

a : (18, 5), b : (17, 7), c : (9, 14), d : (12, 11), e : (2, 20), f : (18, 6), g : (20, 2), h : (11, 13)

Le sous-ensemble a, b, c, d est %P -efficace parmi les sous-ensembles de taille 4. En effet,

en énumérant les sous-ensembles de taille 4 dans l’ordre croissant du second critère (on

6Communication personnelle.


déduit chaque nouvel ensemble du précédent en procédant à un échange de coût marginal

minimum entre un élément inclus dans le sous-ensemble et un élément extérieur au sous-

ensemble), on obtient successivement les ensembles suivants :

g, a, f, b, g, a, f, d, g, a, b, d, g, f, b, d, g, f, b, h, g, f, b, c, a, f, b, c,a, f, d, c, a, b, c, d, . . .

et les vecteurs-coûts correspondants sont respectivement :

(73, 20), (68, 24), (67, 25), (67, 26), (66, 28), (64, 29), (62, 32), (57, 36), (56, 37), . . .

On vérifie donc bien que le sous-ensemble a, b, c, d est %P -efficace. Pourtant tous ses

sous-ensembles de taille 3 sont %P -dominés par un autre sous-ensemble de taille 3 :

b, c, d par a, e, f (car (38, 31) ≻P (38, 32))

a, c, d par b, e, g (car (39, 29) ≻P (39, 30))

a, b, d par c, f, g (car (47, 22) ≻P (47, 23))

a, b, c par d, g, h (car (43, 26) ≻P (44, 26))

A partir de cet exemple, on peut construire une instance du problème de l’énumération

des arbres couvrants %P -efficaces pour laquelle l’algorithme de Corley modifié ne renverra

pas l’arbre %P -efficace a, b, c, d (en partant du sommet 5 sur le graphe de la figure 2.7).

En effet, les deux sous-arbres a, b, c et b, c, d sont dominés respectivement par les

sous-arbres d, g, h et a, e, f à la profondeur 3 de l’arborescence de recherche. En

toute rigueur, il faudrait vérifier que les branches menant au sous-arbres d, g, h et

a, e, f ne sont pas elles-mêmes coupées en amont dans l’arborescence de recherche,

mais nous épargnons au lecteur ces calculs fastidieux. De façon similaire, on peut ainsi

espérer obtenir le même type de contres-exemples pour divers problèmes combinatoires

multicritères.

2.2.4 Enumération des chemins %P -efficaces

Le problème de l’énumération des chemins %P -efficaces est l’un des premiers problème

d’optimisation multicritère a avoir suscité l’attention des chercheurs opérationnels Vincke

(1974); Hansen (1980). Il reste aujourd’hui l’un des problèmes de l’optimisation multicri-

tère pour lequel le plus de travaux ont été réalisés.

Complexité et approximation

Hansen (1980) a exhibé une instance de ce problème pour laquelle tous les chemins

de la source au puit sont %P -efficaces (voir figure 2.8). En effet, pour tout chemin P de

1 à n = 2p + 1 sur ce graphe :

ϕ1(P ) + ϕ2(P ) =

p−1∑

i=0

2i


1

5 2

4 3

a (18, 5) f (18, 6)

g (20, 2)

d (12, 11)

h (11, 13)

b (17, 7)

c (9, 14)e (2, 20)

Fig. 2.7 – Une instance construite à partir d’un exemple général.

1 3 5 ... n

2 4 ... ...

(0, 20)

(20, 0)

(0, 0)

(0, 21)

(21, 0) (0, 0)

(0, 2p−1)

(2p−1, 0) (0, 0)

Fig. 2.8 – L’instance de Hansen.

Par unicité de la représentation d’un nombre en binaire (pour chaque chemin, on peut

écrire sa valeur sur le premier critère directement en base 2), tous les chemins ont des

valeurs distinctes sur le premier critère. Les 2p chemins du graphe sont donc %P -efficaces

et incomparables entre eux (alignés dans l’espace des critères). Le problème oui/non

associés à l’énumération des chemins %P -efficaces est NP-complet (Serafini, 1986). Le

problème de comptage des chemins %P -efficaces est ♯P-complet (Serafini, 1986).

Dans le cas bicritère, Hansen (1980) a proposé un schéma d’approximation polynô-

miale pour l’énumération des chemins %P -efficaces, qui garantit un rapport de 1+ε sur le

premier critère et pas d’erreur sur le second critère. Cet algorithme utilise une technique

de rounding and scaling. Il s’agit de rendre plus grossière l’échelle des valuations sur le

premier critère afin de diminuer la complexité de l’algorithme. Pour obtenir l’intuition

de ce résultat, considérons le nuage de points de la figure 2.9. En attribuant la même

valeur sur le critère 1 à tous les points se situant entre les deux mêmes lignes pointillées

verticales, on constate qu’on passe de 8 points %P -efficaces à 3 seulement (les points

encadrés sur la figure). C’est ce phénomène qui permet de limiter à la fois le nombre

d’itérations de l’algorithme et le nombre de solutions renvoyées.


critère 1

critère 2

Fig. 2.9 – Méthode de rounding and scaling.

A notre connaissance, le premier a avoir proposé un schéma d’approximation poly-

nômiale pour l’énumération des chemins %P -efficaces dans le cas général est Warburton

(1987), qui propose également un algorithme pseudo-polynômial pour ce problème. On

peut aujourd’hui voir ce résultat comme une instance du résultat plus général de Papa-

dimitriou et Yannakakis (2000) (voir section 2.2.3).

Algorithmes d’énumération

Dans le cas bicritère, on peut utiliser la k-optimisation pour énumérer les chemins

%P -efficaces (Clímaco et Martins, 1982). En effet, l’ensemble des solutions %P -efficaces

se situe dans le carré dont une diagonale rejoint le point idéal x∗ et le point nadir x∗ dans

l’espace des critères (e.g. Ehrgott, 2000b). Les vecteurs x∗ et xN sont déterminés par la

procédure suivante :

1. déterminer le chemin P ∗i optimisant la ième fonction critère ;

2. poser x∗i = ϕi(P

∗i ) ;

3. poser xNi = maxjϕi(P

∗j ).

Le point idéal (resp. le point nadir) constitue une approximation optimiste (resp. pes-

simiste) des solutions %P -efficaces. Pour l’exemple de la section 2.2.1, le point idéal est

(2, 2) et le point nadir est (20, 20).

Contrairement au principe glouton, le principe d’optimalité de la programmation dy-

namique reste valide quand on passe du modèle classique au modèle multicritère étudié ici,


autrement dit une politique %P -efficace est formée de sous-politiques %P -efficaces. Nous

renvoyons à Trzasskalik (1994) pour une introduction à la programmation dynamique

multicritère discrète et à Henig (1983) pour la programmation dynamique multicritère

dans le cadre de processus de décision markoviens.

Concernant plus particulièrement l’énumération des chemins %P -efficaces, on appelle

algorithme par étiquetages un algorithme qui procède par assignations successives d’en-

sembles de vecteurs aux différents sommets du graphe. Au cours de l’algorithme, l’en-

semble des vecteurs assignés à un sommet correspond à l’ensemble des valeurs des chemins

%P -efficaces pour s’y rendre détectés jusqu’alors. A la fin de l’algorithme, l’ensemble des

vecteurs assignés à un sommet correspond à l’ensemble effectif des valeurs des chemins

%P -efficaces pour s’y rendre. L’expression “développer une étiquette” signifie tester si le

chemin correspondant conduit à des chemins %P -efficaces nouveaux vers les successeurs.

Si c’est le cas, on met à jour les étiquettes des successeurs en supprimant les éventuelles

étiquettes correspondant à des chemins %P -dominés. On peut distinguer deux principaux

types d’algorithmes par étiquetages :

- par étiquetages successifs. Ces algorithmes procèdent par mise à jour des étiquettes des

différents sommets jusqu’à stabilisation. On développe ici des sommets, c’est-à-dire qu’on

développe simultanément toutes les étiquettes qui sont assignées à un même sommet. A

chaque développement d’un sommet, on met à jour les étiquettes de ses successeurs en

recalculant l’ensemble des chemins %P -efficaces détectés. L’algorithme de Ford (e.g. Gon-

dran et Minoux, 1979), qui appartient à cette catégorie, a fait l’objet de généralisations

multicritères (Vincke, 1974; Corley et Moon, 1985). Rappelons qu’il ne doit pas exister

de circuit absorbant sur un critère pour que cet algorithme soit valide (un circuit dont la

somme des valuations des arcs sur un critère est strictement négative).

- par étiquetages définitifs. Ces algorithmes sont ainsi dénommés selon le principe que

toute étiquette développée correspond à un chemin %P -efficace effectif pour aller au som-

met associé. Soulignons que plusieurs étiquettes peuvent être assignées à un même nœud

car on recherche un ensemble de chemins et non plus un chemin unique. Les développe-

ments sont ordonnés selon la préférence lexicographique entre vecteurs :

x ≻lex y ⇐⇒ ∃k∀i < k : xi = yi

xk < yk

On procède en développant des étiquettes plutôt que des sommets afin de respecter le

principe précédent. En effet, supposons qu’on développe le sommet comportant l’étiquette

lexicographiquement préférée et considérons le graphe de la figure 2.10. Développer l’éti-

quette (0, 0) au sommet 1 engendre les étiquettes (2, 3) en 2, (3, 6) en 4 et (4, 3) en 3 ; on

développe ensuite l’étiquette (2, 3) au sommet 2 qui engendre l’étiquette (5, 5) en 4 ; on


développe alors le sommet 4, ce qui fixe comme définitives les étiquettes (3, 6) et (5, 5) ;

pourtant le développement du sommet 3 conduit ensuite à l’étiquette (5, 4) au sommet 4,

qui %P -domine (5, 5). Hansen (1980) a généralisé l’algorithme de Dijkstra, qui appartient

à cette catégorie d’algorithmes. Rappelons que toutes les valuations doivent être positives

pour que cet algorithme soit valide. Okada et Soper (2000) ont proposé un algorithme

de Dijkstra pour un graphe valué par des intervalles flous en réduisant le problème à

la recherche de chemins %P -efficaces dans un graphe à valuations multicritères. Un en-

semble flou F est équivalent à la donnée d’un référentiel Ω et d’une application, notée

µF , de Ω dans [0, 1] (e.g., Dubois et Prade, 1988; Slowinski, 1998). Pour ω ∈ Ω, µF (ω)

s’interprète comme le degré d’appartenance de ω à Ω. Un intervalle flou I est un en-

semble flou normalisé (i.e., infω∈Ω µI(ω) = 0 et supω∈Ω µI(ω) = 1) sur R dont la fonction

d’appartenance est quasi-concave (i.e., ∀x, y ∈ R,∀z ∈ [x, y], µI(z) ≥ min(µI(x), µI(y))).

Les auteurs considèrent les intervalles flous de type L-R pour lesquels il existe α, β, m,

m tels que la fonction d’appartenance s’écrive :

µI(x) =

L[(m− x)/α] si x < m, α ∈ R+,

1 si x ∈ [m, m]

R[(x−m)/β] si x > m, β ∈ R+.

où L et R sont des fonctions de référence strictement décroissantes sur [0, +∞[ telles que

L(x) = L(−x), R(x) = R(−x), L(0) = R(0) = 1 et L(1) = R(1) = 0. Un tel intervalle

flou est noté (m, m, α, β)LR. La fonction d’appartenance de l’intervalle flou I3 obtenu par

sommation de deux intervalles flous I1 = (a, a, α, β) et I2 = (b, b, γ, δ) est couramment

définie comme suit (principe d’extension, Zadeh, 1977) :

µI3(z) = supz=x+y

minµI1(x), µI2(y)

ce qui revient à fixer I3 = (a + b, a + b, α + β, γ + δ). La relation d’ordre %LR suivante

entre intervalles flous fait sens :

(a, a, α, β) % (b, b, γ, δ) ⇐⇒

a ≤ b,

a ≤ b,

a− α ≤ b− γ,

a + β ≤ b + δ

On ramène ainsi le problème de l’énumération des chemins %LR-efficaces dans un graphes

valué par des intervalles flous (a, a, α, β)LR au problème de l’énumération des chemins

%P -efficaces dans un graphes valué par des vecteurs (a, a, a− α, a + β).

2.2.5 Recherche heuristique multicritère

Une algorithmique très voisine s’est développée en IA pour aborder le problème du

plus court chemin. La procédure la plus célèbre est l’algorithme A∗ (Hart et al., 1968), qui


2

1 4

3

(2, 3)

(4, 3)

(3, 6)

(3, 2)

(1, 1)

Fig. 2.10 – Une instance de plus court chemin bicritère.

est un algorithme de recherche d’un plus court chemin de la source à un des sommets-

buts dans un graphe d’états (appelé ainsi car chaque sommet représente un état d’un

système). Cet algorithme peut être vu comme une extension de l’algorithme de Dijkstra,

à la différence que la recherche est ordonnée par une fonction d’évaluation en chaque

sommet, qui est la somme de la valeur du plus court chemin détecté jusqu’alors pour

aller de la source à ce sommet, et d’une estimation heuristique de la valeur du plus court

chemin pour aller de ce sommet à un des sommets-buts. Dès lors que l’estimation est

minorante, l’algorithme a été prouvé admissible. Diverses variantes ont été proposées :

A∗ε (Pearl et Kim, 1982), Aε (Ghallab, 1983), BF∗ (Dechter et Pearl, 1982), IDA∗ (Korf,

1985)... Depuis une dizaine d’années, des extensions de l’algorithme A∗ ont été proposées

dans le cadre de l’optimisation multicritère7 :

- MOA∗ (Stewart et White III, 1991) : cette variante permet l’énumération des solutions

%P -efficaces.

- U∗ (White et al., 1992) : cette variante est fondée sur la théorie de l’utilité multiat-

tribut, dans la mesure où l’on recherche une solution optimisant une fonction d’utilité

multiattribut. Autrement dit, la relation de préférence entre multi-ensembles de vecteurs

de Nq est :

A %u B ⇐⇒ u(x1, . . . , xq) ≥ u(y1, . . . , yq)

U∗ énumère implicitement tous les chemins %P -efficaces et n’abandonne que ceux pour

lesquels il dispose déjà d’une meilleure solution au sens de la fonction d’utilité.

- METAL-A∗ (Mandow et Millán, 1996) : c’est une variante de MOA∗ lorsqu’on dispose

d’un ordre de priorité sur les critères et de contraintes dures sur leurs valeurs. Autrement

dit, la relation de préférence entre vecteurs de 0, 1q est :

x % y ⇐⇒ (x1, . . . , xq) %lex (y1, . . . , yq)

7Un papier récent de Mandow et de la Cruz (2003) réalise une synthèse de ces différentes variantes.


où x1 (resp. y1) est un booléen représentant l’indice de satisfaction de la contrainte Cj .

La stratégie de recherche est similaire à celle de U∗, c’est-à-dire que l’algorithme s’inscrit

dans une recherche des chemins %P -efficaces.

- ABC (Logan et Alechina, 1998) : c’est une variante de U∗ spécialement conçue pour

les problèmes où l’objectif global est décrit par q contraintes flexibles sur les q critères.

Autrement dit, la relation de préférence entre vecteurs de 0, 1q est :

x %⊑ y ⇐⇒ (x1, . . . , xq) ⊑ (y1, . . . , yq)

où xi (resp. yi) est un booléen représentant l’indice de satisfaction de la contrainte Cj

et ⊑ est un préordre partiel compatible avec la relation de dominance entre vecteurs

(induite par 1 ⊑ 0).

- BCA∗ (Futtersack et Perny, 2000) : cette variante est une spécification de U∗ pour la

recherche d’une solution de meilleur compromis (minimisant la distance de Chebychev

au point idéal).

Mentionnons au passage qu’une application de la recherche heuristique multicritère à

la planification a fait l’objet d’un article publié récemment (Refanidis et Vlahavas, 2003).

Par ailleurs, il est bien connu que l’algorithme A∗ présente de nombreuses similarités

avec les procédures d’exploration par séparation et évaluation (Nau et al., 1984; Labat

et Pomerol, 2003). Pourtant, à notre connaissance, aucune version multicritère de ce

dernier type de procédures n’a été proposée dans la littérature. Dans le cas monocritère,

Roy (1969) a montré l’admissibilité8 des approches de type branch and bound dès lors

qu’un axiome de minoration (l’évaluation de la meilleure solution au sein d’une partie de

F est minorante) et un axiome de coïncidence (l’évaluation d’un ensemble comportant

une solution unique est exacte) sont vérifiés.

Remarque 4 Les développements algorithmiques en optimisation combinatoire stochas-

tique sont assez similaires à ceux de l’optimisation multicritère. Soient X, Y deux va-

riables aléatoires représentant des coûts et [a, b] leur support, la relation de dominance

stochastique (du premier ordre) est définie par :

X %s Y ⇐⇒ [∀α ∈ [a, b], P (X ≤ α) ≥ P (Y ≤ α)]

Dès 1983, Loui proposait des algorithmes pour déterminer l’ensemble des chemins sto-

chastiquement non-dominés d’un graphe. Concernant la recherche heuristique dans les

graphes d’états, Wellman et al. (1995) ont proposé l’algorithme SDA∗ (Stochastic Domi-

nance A∗) pour déterminer les chemins stochastiquement non-dominés. Un raffinement de

l’algorithme permet de travailler dans un contexte à la fois incertain et multicritère (Wur-

man et Wellman, 1996).

8Un algorithme est dit admissible dès lors qu’il renvoie les solutions recherchées.


2.3 Problèmes avec des préférences ordinales

Dans cette section, nous portons notre attention sur des problèmes combinatoires

où l’on ne dispose pas de valuations cardinales sur les composantes élémentaires, mais

seulement d’une relation d’ordre entre composantes élémentaires9. Dans un tel cadre, il

s’agit de trouver une règle qui étende une relation d’ordre %E (éventuellement partielle)

sur un ensemble E en une relation d’ordre %2E (éventuellement partielle) sur l’ensemble

de ses parties 2E .

2.3.1 Motivations

Ce type de problématique est susceptible de survenir dans deux cas principalement :

1. on ne dispose pas de l’information cardinale sur les valuations. A notre connais-

sance, le premier travail s’inscrivant dans un tel cadre est celui de Bartee (1971)

portant sur le mesurage ordinal dans la résolution de problèmes, où il suppose

disposer d’une relation d’ordre complète sur les composantes élémentaires. La pro-

blématique soulevée par l’auteur est classique en théorie du mesurage, et on peut

l’illustrer par l’exemple suivant. Considérons un ensemble E = a, b, c, d, e et la

relation de préférence a ≻E b ≻E c ≻E d ≻E e. Une fonction de coût compatible

sur les sous-ensembles d’éléments consiste à poser ϕ(a) = 1, ϕ(b) = 2, ϕ(c) = 3,

ϕ(d) = 4, ϕ(e) = 5 et ∀X ⊆ E, ϕ(X) =∑

x∈X ϕ(x). Pour A = a, b, c et

B = d, e, on a A ≻P B car ϕ(A) = 6 et ϕ(B) = 9. Pourtant, si on prend comme

fonction de coût compatible les valeurs ϕ(a) = 5, ϕ(b) = 6, ϕ(c) = 7, ϕ(d) = 8,

ϕ(e) = 9 et ∀X ⊆ E, ϕ(X) =∑

x∈X f(x), on obtient alors B ≻P A car ϕ(A) = 18

et ϕ(B) = 17. Bartee (1971) souligne donc que le choix de la solution optimale dé-

pend ici d’une information cardinale supplémentaire qui n’est pas dans le problème

de départ, et que l’affectation de valeurs implique une baisse du degré d’isomor-

phisme entre le problème réel et le modèle numérique, et ce d’autant plus que le

nombre de composantes élémentaires est grand. Formellement, on recherche alors

des procédures permettant de travailler avec des règles de comparaison vérifiant la

condition suivante qui capture une idée proche de l’invariance ordinale (e.g., Dubois

et al., 2002) :

∀A, B ⊆ E, (∀e, e′ ∈ E, ϕ1(e) ≤ ϕ1(e′)⇔ ϕ2(e) ≤ ϕ2(e

′))⇒ (A %1 B ⇔ A %2 B)

(2.1)

où ϕ1 et ϕ2 sont deux fonctions d’évaluation des composantes élémentaires et %1,

%2 sont les préférences induites par la règle de comparaison utilisée. Cette condition

établit que seules les positions relatives des valuations sont importantes.

9Sans perte de généralité, nous supposerons ici que les valuations représentent des coûts, mais lesrésultats qui suivent sont facilement transcriptibles au cas où les valuations représentent des profits


2. les valuations utilisées ont un caractère purement ordinal. Autrement dit, l’affecta-

tion de valeurs aux différentes composantes élémentaires suppose un ordre, sans

qu’on puisse spécifier ou mesurer la distance entre ces valeurs. On parle alors

d’échelle ordinale (e.g., Krantz et al., 1971; Roberts, 1979), c’est-à-dire que toute

transformation strictement croissante des valeurs ne modifie pas l’information four-

nie. Par exemple, l’échelle de difficulté des pistes de ski (vert, bleu, rouge, noir) est

une échelle ordinale. Lorsqu’on travaille avec ce type d’échelle, définir des règles de

comparaison entre solutions ne va pas de soi.

Dans le cas 1 comme dans le cas 2, nous supposons, pour simplifier la présentation, que

la relation d’ordre s’exprime directement sur les composantes élémentaires. De plus, nous

supposons que le choix d’une composante élémentaire représente un coût (les préférences

varient bien évidemment en sens inverse des coûts).

2.3.2 Optimisation en l’absence d’information cardinale

La problématique de l’optimisation en absence d’information cardinale n’est ouverte-

ment mise en avant que par Bartee (1971). Néanmoins, des travaux ultérieurs en décision

combinatoire ordinale peuvent également être rangés dans cette catégorie.

L’ordre de Bartee

Lorsqu’on dispose d’un ordre complet %E sur les composantes élémentaires, en s’ins-

pirant de la proposition faite dans Bartee (1971), on peut envisager de comparer les

solutions à l’aide d’une relation de préférence définie ainsi :

A %B B ⇐⇒ |A| ≤ |B| et ∀i ≤ |A| , a[i] %E b[i] (2.2)

où a[1] ≺E a[2] ≺E a[3] ≺E . . . (resp. b[1] ≺E b[2] ≺E b[3] ≺E . . .) sont les éléments de A

(resp. B) ordonnés selon les préférences croissantes.

Exemple 15 Considérons un ensemble E = a, b, c et la relation de préférence a ≻E

b ≻E c. Entre A = a, b et B = b, c, l’ordre de Bartee conduit à choisir A car b ≻E c

et a ≻E b. Par contre, les ensembles A = a, b et C = c ne sont pas comparables selon

l’ordre de Bartee car |A| > |C| ⇒ non(A %B C) et c ≺E b =⇒ non(C %B A).

Etant donné un ensemble de solutions réalisables, on est amené à s’intéresser aux

solutions %B-efficaces lorsqu’on recherche les solutions susceptibles d’être optimales pour

une représentation scalaire additive des préférences compatible avec l’ordre complet %E

sur les composantes élémentaires.

Exemple 16 Considérons un ensemble E = e1, . . . , e9, la relation de préférence e1 ≻E

e2 ≻E . . . ≻E e9 et les solutions réalisables A = e5, e6, e9, B = e1, . . . , e4 et C =


e7, e8. La solution B est potentiellement optimale car c’est la solution minimum pour

ϕ(ei) = i. En effet, on obtient alors ϕ(A) =∑

e∈A ϕ(e) = 20, ϕ(B) = 10 et ϕ(C) = 15.

En utilisant ce mode de comparaison, Bartee résout des programmes linéaires en va-

riables 0-1 où il ne prend en considération que la relation d’ordre sur les coefficients de

la fonction objectif. Remarquons néanmoins qu’il peut exister des solutions %B-efficaces

pour lesquelles il n’existe pas de représentation numérique additive les rendant opti-

males. Pour s’en rendre compte, il suffit de considérer l’exemple précédent10. On vérifie

non(B %B A) car |B| > |A|, et non(C %B A) car e6 ≻E e7. Par conséquent, la solution A

est %B-efficace. Nous allons maintenant montrer qu’il n’existe pas de fonction ϕ : E → N

pour laquelle ϕ(A) ≤ ϕ(B) et ϕ(A) ≤ ϕ(C). En effet, il faudrait alors vérifier :

ϕ(e5) + ϕ(e6) + ϕ(e9) ≤ ϕ(e1) + . . . + ϕ(e4) (∗)ϕ(e5) + ϕ(e6) + ϕ(e9) ≤ ϕ(e7) + ϕ(e8) (∗∗)

Comme ϕ(e1) + . . . + ϕ(e4) < 4ϕ(e4) < 4ϕ(e5), on déduit de l’inégalité (∗) que

ϕ(e6) + ϕ(e9) < 3ϕ(e5). De plus, comme ϕ(e5) < ϕ(e6), on a également ϕ(e5) + ϕ(e9) <

3ϕ(e5) et donc ϕ(e9) < 2ϕ(e5). On peut alors écrire la séquence d’inégalités 2ϕ(e9) <

2ϕ(e5) + ϕ(e9) < ϕ(e5) + ϕ(e6) + ϕ(e9). On déduit alors de l’inégalité (∗∗) que 2ϕ(e9) <

ϕ(e7)+ϕ(e8), ce qui est impossible. Toutefois, toute solution potentiellement optimale est

%B-efficace car il est clair que toute solution %B-dominée ne peut pas être potentiellement

optimale.

Extension de l’ordre de Bartee pour des ordres partiels

Plusieurs travaux portent sur les problèmes combinatoires impliquant un ordre partiel

sur les composantes élémentaires. La règle d’extension proposée dans divers papiers est

la suivante :

A %2E B ssi |B| ≥ |A| et il existe une injection π : A→ B telle que ∀a ∈ A, a %E π(a)

(2.3)

Lorsque l’ordre %E est complet, on retrouve la règle de l’équation (2.2).

Exemple 17 Considérons un ensemble à quatre éléments a, b, c, d et la relation de

préférence partielle a ≻E c et b ≻E d. Pour A = a, b et B = c, d, A ≻2E B car

a ≻E c et b ≻E d. Par contre, a, d et b, c sont incomparables.

Etant donné un ensemble de solutions réalisables, on est amené à s’intéresser aux

solutions %2E -efficaces lorsqu’on recherche les solutions susceptibles d’être %P -efficaces

pour une représentation vectorielle additive des préférences compatible avec l’ordre partiel

%E sur les composantes élémentaires. Encore une fois, on obtient alors un sur-ensemble

de l’ensemble recherché.10Merci à B. Escoffier pour sa contribution à l’élaboration de ce contre-exemple.


Remarque 5 La comparaison de deux sous-ensembles par ce principe peut se faire en

temps polynômial en utilisant un algorithme de couplage dans un graphe biparti (Bossong

et Schweigert, document de travail).

Des procédures de résolution ont été développées en particulier pour :

– l’énumération des arbres couvrants minimaux d’un graphe (Leclerc, 1977; Flament

et Leclerc, 1983; Bossong et Schweigert, 1999; Schweigert, 1999),

– l’énumération de chemins minimaux (Bossong et Schweigert, 1997).

– la recherche des bases minimales d’un matroïde Gale (1968); Leclerc (1978), qui est

un cas plus général que la recherche des arbres couvrants minimaux d’un graphe.

2.3.3 Optimisation en présence d’information purement ordinale

Les travaux autorisant l’optimisation en présence d’information purement ordinale

ne sont pas toujours présentés en mettant en avant cette caractéristique. Néanmoins,

dès lors qu’ils vérifient la condition (2.1), il semble naturel de les interpréter comme de

l’optimisation en présence d’information purement ordinale.

L’ordre bottleneck

Etant donné un ordre complet, une façon classique de l’étendre consiste à utiliser

l’ordre bottleneck, c’est-à-dire comparer les sous-ensembles sur la base de leurs pires élé-

ments.

Exemple 18 Considérons un ensemble E = a, b, c, d, e et la relation de préférence

a ≻E b ≻E c ≻E d ≻E e. Entre A = a, c, e, B = a, b, d et C = a, c, d, l’ordre

bottleneck conduit à choisir indifféremment B ou C.

En optimisation combinatoire, de nombreux algorithmes se réécrivent sans difficulté

avec un critère bottleneck. En particulier, les approches par programmation dynamique

restent valables bien que le principe d’optimalité ne soit plus vérifié. C’est pourquoi

certains auteurs ont mis en avant la notion de monotonie du critère d’évaluation (Mitten,

1974; Morin, 1982), que l’on peut énoncer informellement comme suit :

Soient deux politiques menant à un même état à une étape donnée, si la

première est au moins aussi bonne que la deuxième alors prendre une même

décision à l’étape suivante ne peut pas conduire à rendre la première moins

désirable au sens strict que la deuxième.

On vérifie sans peine que le critère bottleneck satisfait cette condition de monotonie et ne

satisfait pas le principe d’optimalité, comme l’illustre l’exemple suivant.


1

s 2 t

a a

b c

Fig. 2.11 – Une instance de plus court chemin bottleneck.

Exemple 19 Considérons le graphe de figure 2.11 avec a ≻E b ≻E c. Le chemin (s, 2, t)

est optimal au sens du critère bottleneck, et pourtant le sous-chemin (s, 2) est dominé

par le sous-chemin (s, 1, 2).

L’ordre leximax

Dans l’exemple 18, l’ordre bottleneck conduit à choisir indifféremment B ou C car ils

ont le même pire élément d, alors qu’objectivement B est meilleur que C car on obtient B

à partir de C en substituant b à c. Dubois et Fortemps (2003) parlent d’effet de noyade.

L’ordre leximax permet d’éviter ce genre d’écueil :

A ≻leximax B ⇐⇒(|A| < |B| et a(i) = b(i) pour i ≤ |A|ou ∃i ≤ min|A| , |B| : a(j) = b(j) pour j < i et a(i) ≻E b(i)

A ∼leximax B ⇐⇒ A = B

(2.4)

où a(1) ≺E a(2) ≺E a(3) ≺E . . . (resp. b(1) ≺E b(2) ≺E b(3) ≺E . . .) sont les éléments de A

(resp. B) ordonnés selon les préférences croissantes.

Exemple 20 Considérons un ensemble E = a, b, c, d, e et la relation de préférence

a ≻E b ≻E c ≻E d ≻E e. Entre A = a, c, e, B = a, b, d et C = a, c, d, le critère

leximax conduit à choisir B.

L’ordre leximax a été étudié en parallèle dans de nombreux domaines de recherche,

parmi lesquels nous pouvons mentionner :

• la théorie du choix social. Ranger des ensembles d’objets est la problématique centrale

de nombreuses publications en théorie du choix social (e.g., Barberà et al., 2003). Par

exemple, en choix dans l’incertain total, on est amené à comparer des sous-ensembles de

conséquences (parmi lesquelles une unique conséquence se réalise vraiment). Etant donné

un ordre complet sur un ensemble de conséquences, des résultats de caractérisation des

règles d’extension sont mis en avant.

• les problèmes CSPs. Dans certains problèmes de satisfaction de contraintes valuées,

un indice qualitatif d’importance est associé à chaque contrainte et cette relation de


préférence est étendue en une relation de préférence entre solutions en comparant les

sous-ensembles de contraintes violées (Bistarelli et al., 1999, e.g.). L’ordre leximax a été

exploité pour ce type de problèmes dans Fargier et al. (1993).

• le raisonnement non-monotone. Etant donné un langage, c’est-à-dire un ensemble d’ex-

pressions bien formées E, on peut définir une logique L comme un ensemble de couples

(A, B) où A et B sont des ensembles d’expressions dans E. Le sens associé au couple

(A, B) est : de A on peut inférer B. De façon générale, on suppose que la logique L

vérifie la propriété de monotonie suivante : si (A, B) ∈ L, alors (A ∪ A′, B) ∈ L pour

tous les ensembles A, A′ et B d’expressions. Depuis le début des années 80, de nombreux

chercheurs en IA ont porté un grand intérêt à l’étude des modèles de raisonnement non-

monotone (e.g., Léa Sombé, 1989) pour les systèmes à base de connaissances, c’est-à-dire

l’utilisation de logiques violant la propriété précédente. La logique des défauts a émergé

dans ce cadre (e.g., Reiter, 1980). Une théorie des défauts est une paire ∆ = (D, W )

formée d’un ensemble W de formules logiques du premier ordre et d’un ensemble D de

défauts qui sont des règles d’inférence à contenu spécifique. Etant données a, b, c des

formules du premier ordre, la signification intuitive d’un défaut a : b/c est : si a est connu

et si b est cohérent avec ce qui est connu, alors inférer c. Un défaut permet d’exprimer des

assertions telles que : “Typiquement, les étudiants sont jeunes (avec des exceptions pos-

sibles)”. En utilisant de telles règles d’inférences, plusieurs extensions de W peuvent être

dérivées selon l’ordre dans lequel les défauts sont activés. Dans les logiques des défauts

avec priorités, les conflits entre défauts sont résolus à l’aide d’une relation d’ordre entre

eux. Ainsi, étant donné un ordre complet sur les défauts, les extensions possibles peuvent

être comparées selon l’ordre leximax entre sous-ensemble de défauts activés (Lehmann,

1992). Ce principe de comparaison a été généralisé dans Grosof (1991) afin de prendre

en compte un ordre seulement partiel sur l’ensemble des défauts.

Contrairement au critère bottleneck, le critère leximax vérifie le principe d’optima-

lité. Il est également appelé critère lexicographic bottleneck et il a été étudié par Burkard

et Rendl (1991); Della Croce et al. (1999); Dubois et Fortemps (2003). Dans le papier

de Burkard et Rendl (1991), les auteurs proposent des procédures de résolution en se

ramenant à des problèmes numériques monocritères. Della Croce et al. (1999) exposent

des méthodes de résolution de complexité algorithmique moindre via une représentation

vectorielle (en associant une dimension à chaque échelon). Enfin, Dubois et Fortemps

(2003) suggèrent d’exploiter divers raffinements du critère bottleneck en programmation

dynamique.


a b

d c

(3, 3)

(10, 4)

(8, 8)

(2, 10)

(5, 5)(1, 2)

Fig. 2.12 – Un problème d’arbre couvant robuste.

2.4 Problèmes combinatoires incorporant une idée de ro-

bustesse

La recherche de solution robuste dans les problèmes combinatoires est un champ

de recherche qui a été longtemps ignoré, mais qui connaît depuis quelques années un

développement rapide, à l’image de la place croissante que prend l’analyse de robustesse

en aide à la décision (Roy, 2002).

2.4.1 Un premier exemple

On reprend ici un exemple de Vincke (1999). Considérons le graphe complet de la

figure 2.12 et supposons qu’on recherche un arbre couvrant de coût minimum. Deux

scénarios sont envisagés, qui conduisent respectivement aux jeux de coûts correspondant

à la première ou à la deuxième composante des vecteurs. Pour le premier scénario, c’est

l’arbre (a, b), (a, d), (b, c) de coût 8 qui est optimal ; pour le deuxième scénario, il s’agit

de l’arbre (d, a), (d, b), (d, c) de coût 9. Pourtant, aucune de ces deux solutions ne semble

véritablement satisfaisante pour le problème considéré. En effet, la première vaut 17 si le

second scénario se réalise, tandis que la seconde vaut 14 si le premier scénario se réalise.

Par contre, l’arbre (a, d), (d, b), (b, c), qui vaut 9 dans le premier scénario et 10 dans le

deuxième scénario, est proche de l’optimum quel que soit le scénario qui se réalise. On

peut donc préférer le choix de ce troisième arbre qui semble plus robuste. C’est pour faire

face à ce type de problématique que l’optimisation robuste s’est développée.

2.4.2 Robustesse d’une solution

L’ouvrage de référence dans ce domaine est dû à Kouvelis et Yu (1997). Les auteurs

proposent de modéliser l’incertain via un ensemble S de scénarios, définis de manière

implicite ou explicite. Deux concepts de solutions optimales sont en particulier mis en

avant :


- une solution est dite robuste au sens absolu si elle est de coût minimum en raisonnant

au pire des cas, c’est-à-dire que la relation de préférence correspondante entre solutions

est :

F1 % F2 ⇐⇒ maxs∈S

ϕs(F1) ≤ maxs∈S

ϕs(F2)

en notant ϕs(F ) la valeur de la solution F dans le scénario s.

- une solution est dite robuste au sens relatif si le regret qu’elle est susceptible d’engendrer

est minimum, c’est-à-dire que la relation de préférence correspondante entre solution est :

F1 % F2 ⇐⇒ maxs∈S

(ϕs(F1)− ϕs(F∗s )) ≤ max

s∈S(ϕs(F2)− ϕs(F

∗s ))

où F ∗s désigne la solution optimale si le scénario s se réalise.

Deux approches de la robustesse peuvent être distinguées selon la façon dont est défini

l’ensemble des valeurs possibles des composantes élémentaires :

– par des fonctions f : S → N, où S peut être discret ou continu. Cette représentation

convient quand les coûts dépendent d’une variable exogène pouvant un ensemble

de valeurs connues représentées par S (c’est par exemple le cas dans un problème

où les temps de parcours dans un réseau routier dépendent de l’état du trafic, et

qu’un jeu de scénarios bien identifiés est considéré).

– par des ensembles de valeurs possibles : dans ce type de problème, on suppose

l’indépendance des valeurs des différentes composantes élémentaires ; ainsi toute

combinaison de valeurs des composantes élémentaires est considérée (c’est le cas

dans un problème de plus court chemin avec des coûts imprécis). On peut alors

voir l’ensemble S des scénarios comme l’ensemble des combinaisons possibles des

coûts des différentes composantes élémentaires.

Dans la littérature, les travaux relevant de la première approche ont surtout été déve-

loppés dans le cas d’un ensemble fini S = 1, . . . , q de scénarios. On utilise alors des

valuations vectorielles sur les différentes composantes élémentaires. Les travaux relevant

de la seconde approche considèrent principalement le cas où l’ensemble des scénarios est

défini comme un produit cartésien d’intervalles S = Πe∈E [m(e), M(e)], où m(e) (resp.

M(e)) est la valeur minimum (resp. maximum) que peut prendre la composante élémen-

taire e. Nous détaillons les travaux relevant de ces deux types de représentation dans les

deux sous-sections suivantes.

2.4.3 Représentation avec des vecteurs

Cette représentation a été préconisée et développée principalement sous l’impulsion

des travaux de Kouvelis et Yu (1997).


Algorithme 3 max-Glouton(T0,k)

Initialisation : T ← T0 ; k ← (k1, . . . , ks) (entiers positifs tels que∑s

i=1 ki = n − 1 −|T0|) ;Pour i = 1 à s faire :

T ← T ∪ Ti où

|Ti| = ki

T ∪ Ti est un sous-arbreet maxi ϕi(T ∪ Ti) = minT ′ admissible maxi ϕi(T ∪ T ′)

Sortie : Renvoyer T ;

fin

Algorithme 4 max-Gloutonε(j)

Initialisation : soit k un (n− 1− j)-vecteur de 1 ;Appliquer max-Glouton(T0,k) pour tout T0 sous-arbre tel que |T0| = j ;Sortie : Parmi les arbres T ainsi obtenus, renvoyer l’arbre Tj qui minimise maxi ϕi(T ) ;

fin

Arbre couvrant minimum robuste

Warburton (1985) a réalisé une étude sur les heuristiques gloutonnes pour le pro-

blème de recherche d’une base robuste au sens absolu d’un matroïde, dont le problème

de recherche d’un arbre couvrant minimum robuste au sens absolu est une instance par-

ticulière. Il s’intéresse à un algorithme glouton très général où, étant donné T = T0 une

forêt initiale (graphe partiel sans cycle), il ajoute successivement s paquets Ti de ki arêtes

tels qu’à chaque itération T = T ∪Ti est une forêt dont le coût dans le pire des scénarios

est minimum parmi toutes les complétions possibles, jusqu’à obtenir un arbre couvrant. Il

montre que cet algorithme polynômial (Algorithme 3) garantit un rapport q pour T0 = ∅et (k1, . . . , ks) entiers positifs tels que

∑si=1 ki = n − 1 − |T0|. Il propose également un

schéma d’approximation polynômiale (Algorithme 4 pour j > (n − 1)(1 − ε/q)). Ces

résultats sont bien sûr également valables pour le problème de l’arbre couvrant minimum

robuste. Hamacher et Ruhe (1994) ont montré que ce problème est NP-difficile (une

preuve alternative est présentée dans Yu, 1998) et ont proposé un algorithme exact pour

le résoudre. Cet algorithme consiste à énumérer les arbres couvrants dans l’ordre croissant

des coûts selon une somme pondérée des critères jusqu’à obtenir un arbre dont la somme

pondérée des critères est plus grande (au sens large) que la plus grande composante des

arbres précédemment obtenus. Ils montrent qu’alors un arbre couvrant robuste au sens

absolu est inclus dans l’ensemble engendré.


Plus court chemin robuste

Yu et Yang (1998) ont montré que le problème oui/non associé au plus court chemin

robuste est NP-complet, que ce soit pour la robustesse au sens absolu ou au sens relatif.

Ils ont étudié au pire des cas l’heuristique consistant à déterminer le plus court chemin

au sens de la moyenne arithmétique des critères pour approcher le chemin robuste au

sens absolu. Ils obtiennent un rapport d’approximation de θq/(θ + q − 1), où θ désigne

le rapport de la plus grande composante sur la plus petite composante du vecteur-coût

correspondant au chemin renvoyé. Pour ce même problème, Murthy et Her (1992) ont

incorporé à un algorithme classique d’étiquetages successifs des techniques de coupe :

– Une première relaxation possible (revenant à supprimer des contraintes dans le

programme mathématique correspondant) consiste à déterminer les plus courts

chemins pour un critère quelconque du puits aux autres sommets dans le graphe

inversé. Il est clair qu’en un sommet donné la valeur obtenue est un minorant de

la valeur dont sera détérioré le chemin partiel qui y mène. Ceci est vrai pour tous

les critères.

– Une autre relaxation possible (revenant à de la relaxation lagrangienne dans le pro-

gramme mathématique correspondant) consiste à déterminer un plus court chemin

selon une somme pondérée des critères, ce qui est réalisable en temps polynômial

par un algorithme classique. On détermine le meilleur jeu de multiplicateurs en

résolvant le problème dual par un algorithme de sous-gradient.

Les auteurs ont testé leur algorithme en jouant sur l’une ou l’autre de ces relaxations.

Il s’est avéré que les meilleurs résultats ont été obtenus lorsque les deux relaxations ont

été utilisées conjointement. Comme indiqué dans l’article de Yu et Yang (1998), pour

étendre les résultats précédents à la recherche d’un chemin robuste au sens relatif, il

suffit de modifier les valuations des arcs du graphe de façon adéquate, puis d’appliquer

les mêmes algorithmes.

2.4.4 Représentation avec des intervalles

Cette représentation a été préconisée et développée principalement sous l’impulsion

des travaux de Yaman et al. (2001).

Arbre couvrant robuste

Lorsque l’incertitude est représentée par des intervalles, une solution robuste en ab-

solu s’obtient aisément puisqu’il suffit d’appliquer les algorithmes classiques sur l’ins-

tance où l’on cale tous les coûts sur leurs bornes supérieures. Yaman et al. (2001) ont

formulé le problème de l’arbre couvrant robuste au sens relatif sous forme d’un pro-

gramme mathématique en variables mixtes. Ils proposent un prétraitement permettant


de considérablement accélérer la résolution du programme par un solveur. Pour cela, ils

introduisent la notion d’arbre faible, pour désigner un arbre qui est minimum pour au

moins un scénario possible. On parle d’arête faible lorsqu’une arête figure sur un arbre

faible. Inversement, on parle d’arête forte lorsqu’une arête figure sur un arbre couvrant

minimum pour tous les scénarios. Les auteurs montrent ensuite qu’un arbre couvrant

robuste au sens relatif est un arbre faible (il ne contient donc pas d’arête non-faible) et

qu’il existe un arbre couvrant robuste en relatif qui comporte toutes les arêtes fortes. Ils

fournissent des techniques simples de caractérisation des arêtes faibles et des arêtes fortes,

permettant de réaliser le prétraitement en temps polynômial. Une approche par sépara-

tion et évaluation (Montemanni et Gambardella, 2002) et une approche par satisfaction

de contraintes (Aron et Van Hentenrick, 2002) ont ensuite été proposées, qui réexploitent

ces résultats ainsi que d’autres, présentant de meilleurs temps de résolution. Le problème

oui/non associé a récemment été prouvé NP-complet (Aron et Van Hentenrick, 2003).

Plus court chemin robuste

Les travaux sur le plus court chemin robuste avec des valuations intervalles ont été

encore une fois initiés par Yaman et al. (2003). Comme pour le problème de l’arbre

couvrant minimum robuste, les auteurs ont proposé une formulation sous forme d’un

programme mathématique en variables mixtes. Néanmoins, comme démontré par Chanas

et Zieliński (2003), décider si un arc est faible pour le cheminement est un problème NP-

complet. Dès lors, l’algorithme de prétraitement proposé n’est pas un algorithme exact,

mais plutôt une heuristique s’appuyant sur une condition nécessaire pour qu’un arc soit

faible. La procédure de prétraitement permet cependant une réduction significative des

temps de calcul. De façon similaire aux méthodes de k-optimisation mises en oeuvre en

optimisation bicritère, un algorithme fondé sur les k plus court chemins pour le pire

scénario (celui où tous les coûts sont calés sur leurs bornes supérieures) a été présenté

par Montemanni et Gambardella (2003). La principale contribution de ce papier réside

dans la condition d’arrêt de l’algorithme. Cette approche présente l’intérêt de permettre

de traiter des graphes de grande taille en un temps raisonnable. Les mêmes auteurs

ont également développé une approche par séparation et évaluation pour le problème

de plus court chemin robuste (Montemanni et al., 2003), qu’ils présentent comme une

amélioration de l’algorithme précédent. Enfin, précisons que ce problème a récemment

été prouvé NP-difficile (Zieliński, 2003).

2.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons réalisé une brève revue de littérature de travaux portant

sur trois types de problèmes de décision combinatoires :


• décision combinatoire multicritère,

• décision combinatoire ordinale,

• décision combinatoire robuste.

Le panorama dressé suscite plusieurs observations d’ordre général :

• l’utilisation de modèles de préférences sophistiqués a pour conséquence une complexité

accrue des problèmes, comme l’illustrent les résultats de complexité mis en avant en op-

timisation multicritère et en optimisation robuste ;

• les algorithmes développés dans le modèle classique semblent bien s’étendre dans cer-

tains cas (en particulier pour les problèmes de plus court chemin lorsque les préférences

sont compatibles avec le principe d’optimalité), beaucoup plus difficilement dans d’autres

(comme dans la plupart des problèmes d’optimisation robuste) ;

• l’introduction d’incomparabilité dans les modèles conduit parfois à des résultats contre-

intuitifs (cf. énumération des arbres couvrants multicritères) ;

• deux principales stratégies semblent être mises en œuvre pour la résolution de pro-

blèmes de décision combinatoires : l’une consistant à cibler d’abord la recherche sur des

solutions plus faciles à trouver (méthodes en deux phases en optimisation multicritère),

l’autre à réduire l’espace de recherche en utilisant des conditions nécessaires d’optimalité

(k-optimisation, prétraitement en robustesse).

Plusieurs interrogations s’ensuivent :

1. quelle(s) condition(s) sur le modèle de préférence permet(tent) d’étendre naturel-

lement les algorithmes classiques ?

2. quelle est la contrepartie de l’algorithme glouton lorsqu’on travaille avec un ordre

partiel sur les solutions ?

3. peut-on dégager des stratégies générales de résolution des problèmes de décision

combinatoires ?

Ces questions font précisément l’objet des deux chapitres suivants.

Chapitre 3

Arbres et chemins préférés1

Résumé. Dans ce chapitre, on s’intéresse à des problèmes combinatoires où les pré-

férences prennent la forme d’une relation binaire quasi-transitive définie sur l’espace

des solutions. On propose tout d’abord des algorithmes de recherche fondée sur les

préférences pour deux problèmes combinatoires classiques en RO :

– le problème des arbres couvrants préférés (une généralisation du problème de l’arbre

couvrant minimum),

– le problème des chemins préférés (une généralisation du problème de plus court che-

min).

Les algorithmes 5, 6 et 7 proposés consistent à étendre respectivement les algorithmes de

Kruskal, Prim et Bellman utilisés dans le modèle classique. Ensuite, en s’appuyant sur

l’axiome de préadditivité (dont on illustre l’importance sur divers exemples), on établit

des résultats d’admissibilité concernant les algorithmes de recherche fondée sur les

préférences. Après ces développements théoriques, on rend compte d’expérimentations

numériques menées dans le cadre de l’énumération des arbres couvrants %P -efficaces

d’un graphe à valuations multicritères. On met alors en avant la supériorité en terme

d’efficacité de l’algorithme 5 sur l’algorithme 6. On s’intéresse également à des versions

heuristiques de ces algorithmes (consistant à réaliser des coupes dans les arborescences

de recherche), et on aboutit à la même conclusion en terme de qualité des heuristiques

correspondantes. Enfin, on soulève la problématique du traitement de préférences non-

préadditives et on fournit différentes approches possibles :

– approximation des préférences afin d’engendrer un sur-ensemble des solutions préfé-

rées,

– affaiblissement de la condition de préadditivité afin d’engendrer un sous-ensemble

des solutions préférées.

Pour introduire ces approches, on s’appuie sur quelques problèmes spécifiques (chemin

le plus uni dans un graphe coloré, arbre couvrant de meilleur compromis).

1Ce chapitre s’appuie en partie sur des résultats présentés dans Perny et Spanjaard (2003b).

63

64 3. Arbres et chemins préférés

3.1 Introduction

Comme nous l’avons montré au chapitre 2, de nombreux articles visent à proposer des

algorithmes de recherche pour des problèmes combinatoires munis de préférences non-

classiques. Néanmoins, malgré les travaux unificateurs menés sur les semi-anneaux, les

problèmes combinatoires fondés sur les préférences ont été peu étudiés à un niveau élevé

de généralité, dans le formalisme de la théorie de la décision.

Dans la suite, nous caractérisons un problème de graphe Π fondé sur les préférences

par un triplet (I,F , %) :

• I l’ensemble des instances de Π ;

• F l’ensemble des solutions réalisables ;

• % une relation de préférence définie sur 2E (où E l’ensemble des composantes élémen-

taires) ;

On cherche bien évidemment à déterminer l’ensemble des solutions %-efficaces.

De nombreux problèmes de graphes peuvent se réécrire dans ce cadre, comme par

exemple la recherche de chemins, arbres couvrants, circuits hamiltoniens, coupes, cou-

plages... L’objet du présent chapitre est d’étudier dans ce formalisme les problèmes

d’arbres couvrants et de cheminements, qui sont parmi les plus classiques en RO.

3.2 Problèmes et algorithmes

3.2.1 Problèmes

Les problèmes étudiés dans ce chapitre se définissent comme suit :

%-ST (Preferred Spanning Trees)

Données : un graphe connexe fini G = (V, E) et une relation de préférence % sur 2E ;

Solutions réalisables : l’ensemble T des arbres couvrants sur G ;

Objectif : on cherche à déterminer l’ensemble M(T , %).

%-P (Preferred Paths)

Données : un graphe orienté fini G = (V, E) sans circuit, deux sommets s et t inclus dans

V et une relation de préférence % sur 2E .

Solutions réalisables : l’ensemble P des chemins de s à t ;

Objectif : on cherche à déterminer l’ensemble M(P, %).

Remarquons que les problèmes classiques d’arbre couvrant minimum et de plus court

chemin sont des instances particulières de %-ST et %-P respectivement, obtenues pour

3. Arbres et chemins préférés 65

une relation de préférence définie par : ∀A, B ⊆ E, A % B ⇐⇒ ∑e∈A ϕ(e) ≤∑e∈B ϕ(e)

où ϕ : E → N est une fonction coût2.

Par ailleurs, remarquons que les problèmes d’énumération des arbres couvrants %P -

efficaces et des chemins %P efficaces (voir chapitre 2) sont également des instances par-

ticulières de %-ST et %-SP, obtenues pour la relation de préférence %P dans un graphe

à valuations multicritères. En conséquence, il existe des instances de %-ST et %-SP pour

lesquelles toutes les solutions réalisables sont %-efficaces et incomparables.

3.2.2 Algorithmes

Nous proposons ici des versions fondées sur les préférences des algorithmes standards

utilisés pour les problèmes d’arbre couvrant minimum et de plus court chemin. Nous nous

intéresserons à leur admissibilité dans la section suivante. Les deux algorithmes suivants

sont conçus pour déterminer l’ensemble des arbres couvrants %-efficaces d’un graphe

connexe comportant n sommets. On met en oeuvre une recherche en largeur d’abord,

dirigée par la relation de préférence %.

Notre premier algorithme (Algorithme 5) est une généralisation de l’algorithme de

Kruskal (e.g. Gondran et Minoux, 1979) où, plutôt que de choisir une arête minimale à

chaque pas, on considère toutes les arêtes %-efficaces parmi les arêtes non choisies qui ne

créent pas de cycle.

Algorithme 5 Algorithme inspiré de Kruskal pour %-ST

Pas 1. Considérer toutes les arêtes %-efficaces du graphe. Stocker toutes ces arêtes

dans un ensemble X de forêts.

Pas 2. Pour chaque forêt x ∈ X, considérer toutes les arêtes %-efficaces non sélec-

tionnées (c.à.d. qui n’appartiennent pas à x) dans le graphe et qui ne créent pas de

cycle. Engendrer ainsi l’ensemble des prolongements possibles des forêts x dans X et

les stocker dans un nouvel ensemble Y .

Pas 3. X ← Y , Y ← ∅.

Pas 4. S’arrêter lorsqu’on obtient des arbres (forêts à |V | − 1 arêtes) et renvoyer X.

Sinon retourner au pas 2.

fin

Notre second algorithme (Algorithme 6) est une généralisation de l’algorithme de

Prim (e.g. Gondran et Minoux, 1979), où, plutôt que de choisir une arête à chaque pas,

2Précisons qu’ici c’est l’ensemble des plus courts chemins qui sont recherchés, et non un unique pluscourt chemin.


on considère toutes les arêtes %-efficaces dans le cocycle reliant les sommets couverts et

les sommets non couverts.

Algorithme 6 Algorithme inspiré de Prim pour %-ST

Pas 1. Choisir un sommet de départ quelconque v1. Considérer toutes les arêtes %-

efficaces adjacentes à v1. Stocker toutes ces arêtes dans un ensemble de sous-arbres X.

Pas 2. Pour chaque sous-arbre x ∈ X, considérer toutes les arêtes %-efficaces adjacentes

à ce sous-arbre qui ne créent pas de cycle. Engendrer ainsi l’ensemble des prolongements

possibles des sous-arbres x dans X et les stocker dans un nouvel ensemble Y .

Pas 3. X ← Y , Y ← ∅.

Pas 4. S’arrêter lorsqu’on obtient des arbres (sous-arbres à |V | − 1 arêtes) et renvoyer

X. Sinon retourner au pas 2.

fin

Notre troisième algorithme (Algorithme 7) est conçu pour déterminer l’ensemble des

chemins %-efficaces de s à t dans un graphe sans circuit. C’est une généralisation de

l’algorithme de Bellman (e.g. Gondran et Minoux, 1979), où à chaque étape et en chaque

sommet v on garde tous les chemins %-efficaces de s à v dans un ensemble d’étiquettes

L(v). En notant Γ−1(v) = w ∈ V : (w, v) ∈ E l’ensemble des précédents de v, l’algo-

rithme s’écrit :

Algorithme 7 Algorithme adapté de Bellman pour %-SP

Initialisation : L(s) ← ∅ ;

Pour tout sommet v dont tous les précédents sont étiquetés faire

L(v) ← M(⋃

w∈Γ−1(v)P ∪ (w, v) : P ∈ L(w), %) ;

fin

Sortie : L(t) ;

fin

3.3 Admissibilité des algorithmes

3.3.1 Etude de quelques exemples

Nous étudions maintenant l’importance de la propriété de préadditivité pour la vali-

dité des algorithmes présentés ci-dessus. Considérons le graphe de la figure 3.1 avec trois

arêtes colorées (une bleue, une jaune, une rouge). Supposons que l’on veuille mettre en

œuvre l’algorithme 5 pour déterminer les arbres couvrants %-efficaces de ce graphe, pour


la relation de préférence % définie sur les sous-ensembles de couleurs3 et représentée sur

la partie gauche de la figure 3.2 (cas 1). Sur ce graphe de préférences, chaque sommet

représente un sous-ensemble de couleurs et chaque arc représente une préférence stricte

de type A ≻ B entre deux sous-ensembles de couleurs A et B. Par exemple, l’arc J → JR

signifie qu’on préfère emprunter un chemin n’empruntant que des arcs jaunes à un che-

min comportant des arcs jaunes et des arcs rouges. Remarquons que cette relation de

préférence est strictement monotone pour l’inclusion ensembliste (c’est-à-dire que A ⊂ B

implique A ≻ B pour tous les sous-ensembles A, B). Comme la seule préférence stricte

qui s’exerce sur les singletons est Bleu ≻ Jaune, les arêtes %-efficaces du graphe sont Bleu

et Rouge. L’algorithme 5 renvoie les deux arbres Bleu, Jaune et Bleu,Rouge, comme

on peut le voir sur l’arborescence de recherche représentée sur la partie droite de la fi-

gure 3.1. Ce résultat est correct. Remarquons qu’on aurait obtenu la même arborescence

de recherche et le même résultat en appliquant l’algorithme 6 en partant du sommet étoilé.

De façon similaire, considérons le graphe à 5 arcs colorés dessiné en bas de la figure

3.1. En appliquant l’algorithme 7 avec les préférences sur les couleurs indiquées sur la

partie gauche de la figure 3.2 (cas 1) pour déterminer les chemins %-efficaces du sommet à

l’extrême gauche au sommet à l’extrême droite, nous obtenons le chemin du haut comme

solution préférée avec les couleurs Bleu, Rouge (les étiquettes obtenues à chaque étape,

correspondant aux sous-chemins %-efficaces à chaque sommet intermédiaire, sont repré-

sentées par des boîtes au-dessus des sommets). Ainsi le chemin Bleu, Rouge est renvoyé

par l’algorithme 7, ce qui est le résultat exact dans le cas 1.

Néanmoins, dans le cas général, nos algorithmes de recherche fondée sur les préférences

peuvent conduire à des solutions %-dominées. On le montre facilement en considérant la

relation de préférence représentée sur la partie droite de la figure 3.2 (cas 2). Il est clair

que les sorties des algorithmes 5, 6 et 7 restent inchangées en substituant la relation de

préférence du cas 2 à la relation initiale. En effet, par définition, les algorithmes 5 et 6 ne

prennent en compte que les préférences sur les singletons (ces préférences sont identiques

dans les cas 1 et 2). En ce qui concerne l’algorithme 7, la recherche est conditionnée par

les préférences sur les solutions partielles (horizon limité), ce qui explique le résultat. Plus

précisément, l’inversion suivante dans la relation de préférence est à l’origine du mauvais

fonctionnement des algorithmes dans le cas 2 :

B ≻ J mais B, R ≺ J, R

3La relation de préférence % définie sur les sous-ensembles d’arêtes dérive directement de la relationde préférence sur les sous-ensembles de couleurs. Dans un soucis de simplification, nous utilisons cettedernière plutôt que la première. De plus, nous mentionnons une couleur pour désigner une arête.


alors que dans le cas 1 on avait :

B ≻ J et B, R ≻ J, R

Dans le cas 1, la préférence B ≻ J reste inchangée par l’ajout de R des deux côtés.

Cette propriété n’est plus vraie dans le cas 2.

Les exemples négatifs ci-dessus ont été obtenus à partir de relations de préférence

partielles. On pourrait penser que cette propriété est responsable du mauvais fonctionne-

ment de l’algorithme. Pourtant, même si la relation de préférence est un ordre complet %

sur P(E), les algorithmes 5, 6 et 7 peuvent conduire à des solutions %-dominées, comme

il est montré dans les exemples suivants :

Exemple 21 Soit G un graphe complet à trois sommets. Soit a, b, c les arêtes du graphe.

Supposons que a ≻ b ≻ c ≻ a, c ≻ a, b ≻ b, c ≻ a, b, c. Remarquons qu’on a :

b ≻ c et pourtant a, c ≻ a, b

Ainsi, l’algorithme 5 renvoie a, b alors que a, c est le seul arbre couvrant %-efficace.

L’algorithme 6 conduit au même résultat quel que soit le sommet de départ.

Exemple 22 Sans perte de généralité, considérons un multigraphe à trois sommets s, v

et t, comportant un arc b et un arc c de s à v, ainsi qu’un arc a de v à t. On suppose que

les préférences sont identiques à celles de l’exemple 21. L’algorithme 7 renvoie le chemin

ayant pour ensemble d’arcs a, b, alors que a, c est le seul chemin %-efficace.

3.3.2 L’axiome de préadditivité

A travers les différents exemples de la section précédente, on reconnaît une forme

de préadditivité qui délimite une classe de relations de préférence pour laquelle les algo-

rithmes proposés renvoient l’ensemble des solutions %-efficaces. Plus précisément, nous

allons exploiter l’axiome suivant de préadditivité stricte :

Préaddivité (P)

∀A, B, C ∈ 2E such that C ∩ (A ∪B) = ∅, (A ≻ B =⇒ A ∪ C ≻ B ∪ C)

Des conditions du même type apparaissent dans différents contextes :

– la condition d’indépendance vis-à-vis des expansions communes utilisée pour le ran-

gement d’ensemble d’objets (voir section 1.1.2, p.11) : les composantes élémentaires

figurent bien évidemment ici les objets, et les solutions réalisables les ensembles

d’objets à ranger ; dans le même ordre d’idée, on peut mentionner les axiomes de


Problème d’arbre

Problème de chemin

R

J

B

B R

R B J

B

J

R

B

J

B R

BJ BR RB

BR B

*

Fig. 3.1 – Illustration des algorithmes.

JBR

B J R

JB BR JR

JBR

B J R

JB BR JR

Ø Ø

Cas 1 Cas 2

Fig. 3.2 – Deux relations de préférence.


préadditivité utilisés dans les caractérisations de règles de décision ordinales (Fish-

burn, 1986; Dubois et al., 2002, 2003) : les composantes élémentaires figurent alors

des états de la nature (resp. des critères), et les solutions réalisables des événements

(resp. des coalitions de critères) ;

– l’hypothèse de préadditivité utilisée en mesurage extensif (voir section 1, p.23) :

si on considère l’ensemble mE muni de l’opération ce composition interne +, on

obtient une variante de l’axiome (P) ;

– la distributivité de ⊗ sur ⊕ dans le dioïde (voir section 3, p.26) :

S = 2mZ

A⊕ B = M(A ∪ B, %)

A⊗ B = M(A + B : A ∈ A, B ∈ B, %)

1 = ∅– la compatibilité de l’opération ⊗ de composition des valuations de Z avec ≻Z dans

les VCSPs (voir section 1.4.1, p.28) : si on définit ϕ : 2E → Z comme une fonction

de valuation (où (Z, ≻Z) est un ensemble partiellement ordonné) telle que ϕ(A) ≻Z

ϕ(B) ⇐⇒ A ≻ B et ⊗ comme une opération de composition interne sur Z telle

que ∀A, B ⊆ E, ϕ(A ∪B) = ϕ(A)⊗ ϕ(B) (A ∩B = ∅), alors l’axiome (P) revient

à la compatibilité de ⊗ avec ≻Z dans le monoïde partiellement ordonné (Z,⊗,≻Z).

Nous donnons ci-dessous quelques exemples de relations de préférence vérifiant cette

condition de préadditivité.

Exemple 23 Soit ϕ une fonction de valuation sur E, l’axiome (P) est valable pour la

relation de préférence définie par :

A % B ⇐⇒∑

e∈A

ϕ(e) ≤∑

e∈B

ϕ(e)

Cet exemple montre que, dans le modèle classique, on choisit implicitement une rela-

tion de préférence qui satisfait l’axiome de préadditivité. Dans le cadre de l’optimisation

multicritère, où la qualité de chaque composante élémentaire e ∈ E est définie par un vec-

teur (ϕ1(e), . . . , ϕq(e)), on peut mentionner également différentes relations de préférence

préadditives.

Exemple 24 Comme le fait Junker (2002) en satisfaction de contraintes, les règles

de comparaison développées en raisonnement non monotone peuvent être adaptées au

contexte multicritère. Etant donné %Q un ordre partiel défini sur l’ensemble des critères,

l’axiome (P) est valable pour la relation de %G-dominance (Grosof, 1991) définie par :

A ≻G B ⇐⇒∃i ∈ 1, . . . , q, ϕi(A) 6= ϕi(B)

∀i : ϕi(A) 6= ϕi(B), (ϕi(A) < ϕi(B)) ou (∃j ≻Q i, ϕj(A) < ϕj(B))

A ∼G B ⇐⇒ ∀i ∈ 1, . . . , q, ϕi(A) = ϕi(B)


où ∀X ⊆ E, ϕi(X) =∑

e∈X ϕi(e).

En effet, si A %G B alors pour tout C ⊆ E tel que C ∩ (A ∪ B) = ∅, ∀i : ϕi(A) +

ϕi(C) 6= ϕi(B)+ϕi(C), (ϕi(A)+ϕi(C) < ϕi(B)+ϕi(C)) ou (∃j ≻Q i, ϕj(A)+ϕj(C) <

ϕj(B)+ϕj(C)). Ainsi, ∀i : ϕi(A∪C) 6= ϕi(B ∪C), (ϕi(A∪C) < ϕi(B ∪C)) ou (∃j ≻Q

i, ϕj(A ∪ C) < ϕj(B ∪ C)) et par conséquent A ∪ C ≻G B ∪ C.

Remarque 6 Les préférences lexicographiques et la %P -dominance sont des cas particu-

liers de la %G-dominance pour une relation d’ordre %Q respectivement complète ou vide.

Ces deux relations de préférence vérifient donc (P).

Exemple 25 Dans les problèmes multicritères, l’axiome (P) est valable pour les relations

de préférence oligarchiques définies pour un sous-ensemble de critères O ⊆ 1, . . . , q par :

A % B ⇐⇒ (∀j ∈ O,∑

e∈A

ϕj(e) ≤∑

e∈B

ϕj(e))

Notre dernier exemple concerne la règle d’extension de l’équation 2.3 (voir chapitre 2),

utilisée en optimisation ordinale, que nous généralisons au cas où la relation de préférence

sur les composantes élémentaires est un préordre partiel.

Définition 4 Soit %E un préordre partiel sur un ensemble fini E. Nous définissons la

relation de préférence %2E sur P(E) par : A %2E B si et seulement si |A| ≤ |B| et il

existe une application injective π : A→ B telle que ∀a ∈ A, a %E π(a).

Nous avons alors le résultat suivant :

Lemme 1 %2E est un préordre partiel.

Preuve. On établit la réflexivité de %2E en prenant π = id (car %E est réflexive).

Concernant la transitivité, si A %2E B et B %2E C alors il existe deux applications

injectives π1 : A→ B et π2 : B → C telles que :

∀a ∈ A, a %E π1(a) %E π2 π1(a)

Par transitivité de %E , ∀a ∈ A a %E π2 π1(a). Comme la composée d’applications

injectives est une application injective, π2 π1 est une application injective.

On établit maintenant la préadditivité de %2E :

Proposition 1 La relation %2E vérifie :

∀A, B, C ∈ 2E such that C ∩ (A ∪B) = ∅, (A %2E B ⇐⇒ A ∪ C %2E B ∪ C)


Preuve. Considérons A, B, C, trois sous-ensembles d’arêtes tels que C ∩ (A ∪ B) = ∅.On établit le résultat en deux étapes :

• A %2E B =⇒ A ∪ C %2E B ∪ C

Nous savons qu’il existe π : A → B une application injective telle que ∀a ∈ A, a %E

π(a). Comme π est une application et A ∩ C = ∅, on peut construire une application

µ : A ∪ C → B ∪ C comme suit :∀a ∈ A, µ(a) = π(a)

∀c ∈ C, µ(c) = c

Comme π est injective et B ∩ C = ∅, µ est injective. De plus, nous avons :∀a ∈ A, a %E µ(a)

∀c ∈ C, c %E µ(c) (réflexivité de %E)

On en déduit : A ∪ C %2E B ∪ C.

• A ∪ C %2E B ∪ C =⇒ A %2E B

Par définition, nous savons qu’il existe π : A ∪ C → B ∪ C une application injective

vérifiant :

∀e ∈ A ∪ C, e %E π(e)

Pour tout a ∈ A, on pose π0(a) = a, πk(a) = π πk−1(a) pour k ≥ 1, et

k(a) =

mink | k ≥ 1 et πk(a) 6∈ C si ∃k ≥ 1, πk(a) 6∈ C

+∞ sinon

On affirme que pour tout a dans A on a : ∀k ∈ 2, . . . , k(a), πk(a) 6∈ πl(a) : 1 ≤l ≤ k − 1. En effet, si ce n’est pas le cas, on peut définir (i, j) comme le plus pe-

tit couple d’indices (avec i < j) tel que πi(a) = πj(a). Par construction, on sait que

πi−1(a) 6= πj−1(a) alors que π(πi−1(a)) = π(πj−1(a)), ce qui contredit l’injectivité de

π (i 6= 0 puisque π0(a) = a ∈ A et A ∩ C = ∅ par hypothèse). Ainsi les πk(a) pour

1 ≤ k ≤ k(a) sont tous distincts et donc k(a) ≤ |C|+ 1. Comme C est fini, k(a) est fini

et pour tout a dans A, πk(a)(a) est bien défini. Soit µ : A −→ B l’application définie

par : ∀a ∈ A, µ(a) = πk(a)(a). On montre les points suivants : i) µ est une injection ; ii)

∀a ∈ A, a %E µ(a).

preuve de i). Supposons que µ(a) = µ(a′) pour un couple (a, a′) ∈ A×A tel que a 6= a′.

Alors les suites (πk(a))k≥1 et (πl(a′))l≥1 se rencontre nécessairement en un point. Soit

(i, j) le plus petit couple d’indices tel que πi(a) = πj(a′) (i, j 6= 0 puisque a 6= a′). Par

définition, on sait que πi−1(a) 6= πj−1(a′) alors que π(πi−1(a)) = π(πj−1(a′)), ce qui


contredit l’injectivité de π.

preuve de ii). Par transitivité de %E , a %E π(a) %E . . . %E πk(a)(a) = µ(a) =⇒ a %E

µ(a).

De la proposition 1 on déduit immédiatement :

Corollaire 1 %2E satisfait l’axiome (P).

3.3.3 Admissibilité de l’algorithme inspiré de Kruskal

L’importance de l’axiome de préadditivité (P) dans les problèmes %-ST tient au

résultat suivant qui généralise un résultat de Serafini (1986) (voir aussi Ehrgott, 2000a) :

Théorème 2 Si % est quasi-transitive et vérifie (P), pour tout arbre couvrant %-efficace

T il existe un rangement des arêtes de E compatible4 avec ≻ pour lequel l’algorithme de

Kruskal renvoie T .

Preuve. Soit E = e1, . . . , em l’ensemble des arêtes du graphe initial et G = (E,≻) le

graphe des préférences strictes, où ≻= (ei, ej) : ei ≻ ej. G est sans circuit puisque %

est quasi-transitive. Soit A ⊆ E un arbre couvrant %-efficace et B = E \A. Considérons

le graphe des préférences augmenté suivant :

GA = (E,≻ ∪ FA) où FA =⋃

b∈B

(a, b) : a ∈ C(b)

(où C(b) désigne la chaîne reliant les extrêmités de b dans A).

Pour illustrer ces notions, nous donnons un exemple sur la figure 3.3 (les arêtes sont

x, y, α, β, γ et la relation de préférence est : x ≻ y, α ≻ β ≻ γ).

Nous montrons maintenant que GA ne comporte pas de circuit. Supposons qu’il existe

un circuit dans GA. Soit C un circuit de taille minimum (parmi eux). Puisqu’il n’y a pas

de boucle, C contient au moins deux arcs. Nous affirmons que :

i) C alterne itérativement un sommet de A et un sommet de B,

ii) C alterne itérativement un arc de FA et un arc de ≻.

preuve de i). Supposons qu’il existe (v, a), (a, a′) dans C avec a, a′ ∈ A. Comme (v, a) ∈ ≻5

et (a, a′) ∈ ≻, on en déduit que (v, a′) ∈ ≻ par quasi-transitivité de %. Ainsi on obtient

une contradiction avec la minimalité de C. De façon similaire, si il existe une suite (b, b′),

4Un rangement R (ordre complet) est dit compatible avec ≻ ssi ≻⊆ R.5Tout arc de FA a son extrêmité initiale dans A et son extrêmité terminale dans B.


x y

α

β

γ

x

yγ

α

β

x y

α

β

γ

x y

α

β

γ

A G FA GA

Fig. 3.3 – Le graphe des préférences strictes.

(b′, v) dans C avec b, b′ ∈ B, on a (b, b′) ∈ ≻ et (b′, v) ∈ ≻, ce qui mène à une contradic-

tion.

preuve de ii). Par construction, tout arc (b, a) ∈ B × A ne peut appartenir à FA et par

conséquent appartient à ≻. Supposons maintenant qu’il existe un arc (a, b) ∈ A× B tel

que (a, b) 6∈ FA dans C. Alors (a, b) ∈ ≻. Comme il n’y a pas de boucle, il existe un arc

(b, v) ∈ ≻ dans C (v 6= a par quasi-transitivité de %). Par quasi-transitivité de %, on

obtient une contradiction avec la minimalité de C.

Nous avons montré que C est de la forme suivante : (a1, b1, . . . , ak, bk, a1) où les ai

sont dans A et les bi sont dans B. Soit C = ai, i = 1, . . . , k ∪ bi, i = 1, . . . , k. Nous

montrons maintenant par l’absurde que A′ = (A∪(C∩B))\(C∩A) est un arbre couvrant.

Supposons que A′ ne soit pas un arbre couvrant. On considère alors la suite des graphes

partiels de G définis par A0 = A, Ai = (Ai−1 \ ai) ∪ bi pour i = 1, . . . , k. On a

Ak = A′. Remarquons que la proposition suivante est valable pour tout i ∈ 1, . . . , k :

(Ai−1 est un arbre couvrant et ai ∈ Ci−1(bi)) =⇒ Ai est un arbre couvrant (3.1)

où Ci−1(bi) désigne la chaîne dans Ai−1 reliant les extrêmités de bi. Soit j le plus pe-

tit indice dans 1, . . . , k tel que Aj n’est pas un arbre. Alors par 3.1 on déduit que

aj 6∈ Cj−1(bj). Donc une arête al ∈ C(bj), l ∈ 1, . . . , j− 1 initialement présente dans A

a été supprimée (puisque (aj , bj) ∈ FA ⇒ aj ∈ C(bj)). Ainsi, (al, bj) ∈ FA et constitue

un raccourci de C, ce qui contredit sa minimalité. Donc A′ est un arbre couvrant.

Pour montrer que A′ ≻ A, remarquons tout d’abord que A′ peut être dérivé de A en

remplaçant itérativement ai+1 par bi, pour tout i = 1, . . . , k − 1, et ensuite a1 par bk.

De la suite des préférences bi ≻ ai+1 (i ≤ k − 1) et bk ≻ a1, on déduit par (P) et par

quasi-transitivité de % que A′ ≻ A, ce qui contredit la %-efficacité de A. Donc il n’existe

pas de circuit dans GA et on peut trouver un rangement des sommets de GA compatible


avec ≻ ∪ FA.

Finalement, nous montrons par l’absurde que l’algorithme de Kruskal dirigé par n’im-

porte quel rangement compatible de GA conduit à T . Supposons que l’algorithme de

Kruskal conduise à un arbre couvrant autre que T pour un rangement des sommets de

GA compatible avec ≻ ∪ FA. Soit e1 la première arête hors de T à être sélectionnée

durant la recherche. Par définition de GA, nous savons que toute arête e en dehors de T

est rangée après toutes les arêtes de C(e) dans le rangement compatible. Par conséquent,

tant qu’il reste une arête dans C(e1) qui n’est pas sélectionnée, l’algorithme de Kruskal

ne peut pas sélectionner e1 (remarquons qu’aucune arête de C(e1) ne peut créer de cycle

car toutes les arêtes sélectionnées sont dans T ). Une fois que toutes les arêtes de C(e1)

ont été sélectionnées, e1 ne sera pas sélectionnée puisque cela créerait un cycle, ce qui

conduit à une contradiction.

Du résultat précédent on déduit le corollaire important suivant :

Corollaire 2 Si % est quasi-transitive et vérifie (P), alors l’algorithme 5 renvoie un

sur-ensemble de M(T , %).

Preuve. A la fin de l’algorithme 5, l’ensemble des arbres couvrants renvoyés est un

sur-ensemble de M(T , %) d’après le théorème 2 car on énumère implicitement tous les

rangements compatibles avec ≻. En effet, on développe une arborescence de recherche

A tel qu’en chaque sommet le chemin de la racine au sommet représente un ensemble A

d’éléments sélectionnés et chaque branche partant de ce sommet représente un élément e

%-efficace dans E \A tel que A∪ e est sans cycle. La profondeur de l’arborescence est

égale à n− 1. Ainsi, on énumère tous les arbres couvrants de⋃

j M(T ,≻′j) pour tous les

rangements ≻′j compatibles avec ≻ (avec des duplicatas puisque dans chaque branche on

n’explicite pas d’ordre sur les éléments non considérés).

Néanmoins, des arbres couvrants %-dominés peuvent être engendrés par l’algorithme 5,

comme nous le montrerons dans la section 3.4 (exemple de la figure 3.6). C’est pourquoi

il faut appliquer un test de %-efficacité sur l’ensemble des arbres couvrants renvoyés par

l’algorithme pour obtenir l’ensemble des arbres %-efficaces.

3.3.4 Admissibilité de l’algorithme inspiré de Prim

Une autre approche pour obtenir l’ensemble des arbres couvrants %-efficaces du

graphe consiste à généraliser l’algorithme de Prim. Pour montrer l’admissibilité de l’al-

gorithme 6, le lemme suivant nous sera utile :


Lemme 2 Soit X un ensemble et % une relation de préférence quasi-transitive sur X.

Pour tout ensemble fini Y ⊂ X tel que Y ∩M(X, %) = ∅, on vérifie :

∀y ∈ Y, ∃x ∈ X \ Y, x ≻ y

Preuve. Pour tout y ∈ Y , on sait que y 6∈M(X, %) et par conséquent il existe z1 ∈ X

tel que z1 ≻ y. Si z1 ∈ X \ Y alors on peut conclure. Si z1 ∈ Y , alors il existe z2 ∈ X tel

que z2 ≻ z1. De cette manière, on construit une séquence z1, . . . , zn d’éléments distincts

dans X. Comme Y est de cardinal fini, il existe un entier k fini tel que zk ∈ X \Y . Ainsi

on a zk ≻ zk−1 ≻ . . . z1 ≻ y et par conséquent zk ≻ y par semi-transitivité de %, ce qui

établit le résultat.

On peut maintenant énoncer le théorème suivant :

Théorème 3 Soit T un arbre couvrant %-efficace de G. Si % est quasi-transitive et

vérifie (P), alors pour tout cocycle Ω 6= ∅ de G, il existe une arête de Ω ∩ T qui est

%-efficace dans Ω.

Preuve. Soit A un arbre couvrant %-efficace sur le graphe G = (V, E) et B = E \ A.

On montre le résultat par l’absurde. Supposons qu’il existe un cocycle Ω 6= ∅ pour le-

quel il n’y ait pas d’arête de Ω ∩ A qui soit %-efficace dans Ω. Il existe a1 ∈ Ω ∩ A

puisque Ω est un cocycle. D’après le lemme 2, il existe b1 ∈ Ω ∩ B tel que b1 ≻ a1.

On ne peut pas avoir a1 ∈ C(b1)6. En effet, si a1 ∈ C(b1) alors b1 ≻ a1 implique

(A \ a1) ∪ b1 ≻ (A \ a1) ∪ a1 = A par (P), ce qui contredit la %-efficacité de A

puisque par construction (A \ a1) ∪ b1 est un arbre couvrant. Comme a1 6∈ C(b1) et

Ω est un cocycle, l’arbre A contient nécessairement une autre arête a2 ∈ Ω ∩ C(b1).

De cette manière, on construit deux suites (ap) et (bp) d’éléments distincts en prenant

alternativement une arête bp−1 ≻ ap−1 dans Ω∩B et une arête ap ∈ C(bp−1)∩Ω de façon

à satisfaire les propriétés suivantes :

∀k ∈ 1, . . . , p− 1, C(bk) ∩ a1, . . . , ak = ∅ (3.2)

∀k ∈ 1, . . . , p− 1,∀j ∈ 1, . . . , k, non(bj ≻ ak+1) (3.3)

Remarquons que l’équation 3.2 implique que les a1, . . . , ap sont tous distincts (car ak+1 ∈C(bk)) et que l’équation 3.3 implique que les b1, . . . , bp−1 sont tous distincts (car bk+1 ≻ak+1).

• Définition de bp à partir de a1, . . . , ap et b1, . . . , bp−1

6Ici encore, C(b1) désigne la chaîne dans A reliant les extrêmités de b1.


Comme ap est %-dominé et non(bj ≻ ap) pour tout j ∈ 1, . . . , p − 1, on en déduit

qu’il existe une arête bp ∈ Ω ∩ B telle que bp ≻ ap et bp 6∈ b1, . . . , bp−1. On montre

maintenant par l’absurde que :

C(bp) ∩ a1, . . . , ap = ∅ (∗)

Supposons qu’il existe j ∈ 1, . . . , p tel que aj ∈ C(bp). Alors il existe un plus grand j

tel que aj ∈ C(bp), en sorte que :

∀k ∈ j + 1, . . . , p, C(bk) ∩ aj+1, . . . , ak = ∅ (3.4)

D’une part, on montre qu’alors l’ensemble d’arêtes A′ = (A\aj , . . . , ap)∪bj , . . . , bp est

un arbre couvrant sur G. Cela peut être établi en considérant la suite finie (Aj−1, . . . , Ap)

de graphes partiels définie par Aj−1 = A, Ak = (Ak−1\ak+1)∪bk pour k = j, . . . , p−1

et Ap = (Ap−1 \ aj) ∪ bp = A′. On affirme que si Ak−1 est un arbre couvrant

(k ∈ j, . . . , p − 1), alors Ak est un arbre couvrant. En effet, pour k ∈ j, . . . , p − 1,l’équation 3.4 implique que CAk−1

(bk) = C(bk), où CAk−1(bk) désigne le cycle engendré

par bk dans Ak−1. Par conséquent on a ak+1 ∈ CAk−1(bk). Comme Aj−1 = A est un

arbre couvrant, Ap−1 est donc un arbre couvrant. De plus, l’équation 3.4 implique que

CAp−1(bp) = C(bp) et par conséquent aj ∈ CAp−1(bp). Donc Ap = A′ est un arbre cou-

vrant.

D’autre part, montrons qu’alors A′ ≻ A. Remarquons tout d’abord que A′ peut être

dérivé de A en remplaçant itérativement ak par bk, pour k = j, . . . , p. De la suite de

préférences bk ≻ ak pour k = j, . . . , p, on déduit par (P) et quasi-transitivité de % que

A′ ≻ A, ce qui contredit la %-efficacité de A et établit (∗).

• Définition de ap+1 à partir de a1, . . . , ap et b1, . . . , bp

D’après l’équation (∗) et puisque Ω est un cocycle, l’arbre A comporte nécessairement

une autre arête ap+1 ∈ C(bp) ∩ Ω. Comme C(bp) ∩ a1, . . . , ap = ∅ on en déduit que

ap+1 6∈ a1, . . . , ap. On montre maintenant par l’absurde que :

∀j ∈ 1, . . . , p, non(bj ≻ ap+1) (∗∗)

Supposons qu’il existe j ∈ 1, . . . , p tel que bj ≻ ap+1.

D’une part, on montre qu’alors l’ensemble d’arêtes A′ = (A\aj+1, . . . , ap+1)∪bj , . . . , bpest un arbre couvrant de G. Cela peut être établi en considérant la suite finie (Aj−1, . . . , Ap)

d’ensembles d’arêtes définie par Aj−1 = A, Ak = (Ak−1\ak+1)∪bk pour k = j, . . . , p.

On affirme que si Ak−1 est un arbre couvrant (k ∈ j, . . . , p), alors Ak est un arbre cou-

vrant. En effet, pour k ∈ j, . . . , p, les équations 3.2 et (∗) impliquent que CAk−1(bk) =


C(bk), où CAk−1(bk) désigne le cycle engendré par bk dans Ak−1. Par conséquent on a

ak+1 ∈ CAk−1(bk). Comme Aj−1 = A est un arbre couvrant, Ap est donc un arbre cou-

vrant.

D’autre part, on montre qu’alors A′ ≻ A. Remarquons tout d’abord que A′ peut être

dérivé de A en remplaçant itérativement ak par bk, pour k = j + 1, . . . , p, puis ap+1 par

bj . De la suite de préférences bk ≻ ak pour k = j + 1, . . . , p et bj ≻ ap+1, on déduit par

(P) et quasi-transitivité de % que A′ ≻ A, ce qui contredit la %-efficacité de A et établit

(∗∗).

Finalement, on remarque que l’équation (∗) pour l’indice p = |Ω ∩A| s’écrit C(b|Ω∩A|)∩a1, . . . , a|Ω∩A| = ∅. Comme a1, . . . , a|Ω∩A| = Ω∩A, on obtient C(b|Ω∩A|)∩Ω∩A = ∅,ce qui est impossible puisque Ω est un cocycle. Ainsi, on arrive à une contradiction et le

résultat s’ensuit.

On obtient alors le corollaire suivant :

Corollaire 3 Si % est quasi-transitive et vérifie (P) alors l’algorithme 6 renvoie un sur-

ensemble de M(T , %).

Preuve. Puisqu’un même cocycle n’est rencontré qu’une fois dans une branche de

l’arborescence de recherche engendrée durant l’exécution de l’algorithme, on déduit du

théorème 3 que tout arbre couvrant %-efficace est atteignable par l’algorithme 6.

Remarquons que des arbres couvrants %-dominés peuvent être engendrés par l’Algo-

rithme 6 (ici encore, précisons qu’on peut obtenir l’ensemble exact des arbres couvrants

%-efficaces en appliquant un test de %-efficacité à la sortie de l’algorithme). En effet,

considérons le graphe de la Figure 3.4 avec une relation de préférences réflexive et tran-

sitive % dont la partie asymétrique est (a ≻E b ≻E c, α ≻E β ≻E γ) ; et considérons

la relation de préférence %2E de la définition 4. On voit que l’arbre en gras b, α, γ est

%2E -dominé (puisque a, α, β ≻P b, α, γ), alors que chaque arête qu’on choisit, en

partant du sommet entouré, est %E-efficace dans son cocycle et que la relation de préfé-

rence %2E est quasi-transitive et préadditive, comme montré dans le lemme 1 (sachant

que la transitivité implique la quasi-transitivité) et le corollaire 1. Il est intéressant de

noter qu’un tel inconvénient ne peut pas survenir avec l’algorithme 5 quand la relation

de préférence est définie comme dans la définition 2.3 (voir chapitre 2). En effet, dans ce

cas on a :

Proposition 2 Si %E induit un ordre partiel sur E alors l’algorithme 5 pour %2E -ST

renvoie exactement M(T , %2E ).


b

α

β a

c

γ

Fig. 3.4 – L’arbre en gras est %2E -dominé.

Preuve. Puisque %E est réflexive et transitive, on déduit du lemme 1 et du corollaire 1

que %2E est transitive et vérifie (P). Ainsi, d’après le corollaire 2, l’algorithme 5 renvoie

un sur-ensemble de l’ensemble des arbres couvrants %2E -efficaces.

Considérons un arbre couvrant T qui est %2E -dominé. Alors, il existe un arbre couvrant T ′

tel que T ′ ≻2E T . D’après la proposition 1, cela implique que T ′\(T ∩T ′) ≻2E T \(T ∩T ′).

Appelons X = (T ∪ T ′) \ (T ∩ T ′), Y = T \ (T ∩ T ′) et Z = T ′ \ (T ∩ T ′). Remarquons

que Y ∪ Z = X et Y ∩ Z = ∅. Comme %E est un ordre partiel, Z ≻P Y implique que

Y ∩ M(X, %E) = ∅. D’après le lemme 2, pour toute arête e ∈ Y il existe une arête

e′ ∈ X \ Y = Z telle que e′ ≻E e. De plus, les arêtes de Z ne peuvent pas créer de cycle

avec des arêtes de T ∩ T ′ puisque Z ∪ (T ∩ T ′) = T ′ et T ′ est un arbre. Donc, pour tout

rangement des arêtes du graphe compatible avec ≻E tel que, aussi longtemps que pos-

sible, seules des arêtes de T sont prises dans l’arbre couvrant construit par l’algorithme 5,

au moins une arête de Z est choisie avant de pouvoir choisir une arête dans Y . Donc cet

algorithme ne peut pas renvoyer T puisque Z ∩ T = ∅.

3.3.5 Admissibilité de l’algorithme adapté de Bellman

Nous introduisons ici un lemme préliminaire7 qui sera utile dans la preuve du prochain

résultat :

Lemme 3 Si % est quasi-transitive, alors :

∀A, B ⊆ E, M(A, %) ⊆ B ⊆ A =⇒M(B,%) ⊆M(A, %)

Preuve. Soit e ∈ M(B,%). Par définition, ∀b ∈ B, non(b ≻ e). Comme M(A, %) ⊆ B,

cela implique que ∀a ∈ M(A, %), non(a ≻ e). Ainsi on a ∀a ∈ A, non(a ≻ e) (∗). En

7Cette propriété est une instance particulière du célèbre axiome d’Aizerman sur les fonctions dechoix (Aizerman et Malishevski, 1981) et, en tant que telle, elle est liée à la caractérisation des fonctionsde choix rationalisables par une relation de préférence quasi-transitive (Schwartz, 1976).


effet, si a ≻ e pour un a ∈ A \M(A, %), par définition il existe a′ ∈ M(A, %) tel que

a′ ≻ a ≻ e et par quasi-transitivité a′ ≻ e, ce qui mène à une contradiction. Puisque

e ∈M(B,%) ⊆ B ⊆ A, on obtient par (∗) que e ∈M(A, %).

Le résultat suivant établit l’admissibilité de l’algorithme 7 :

Théorème 4 Pour tout problème %-P d’un sommet s à un sommet t, si la relation de

préférence % est quasi-transitive et vérifie (P) alors l’algorithme 7 renvoie exactement

l’ensemble M(P, %) (où P désigne l’ensemble des chemins de s à t).

Preuve. On va montrer que L(t) = M(P, %).

• On montre tout d’abord que M(P, %) ⊆ L(t). Considérons P ∈ P tel que P 6∈ L(t).

Cela implique :

∃v1 ∈ V (P ) ∃Q1 ∈ L(v1) tels que Q1 ≻ P (s, v1)

où V (P ) désigne l’ensemble des sommets le long de P et P (s, v1) désigne le sous-chemin

(ensemble d’arcs) de s à v1.

Remarquons que P (v1, t) ∩ (Q1 ∪ P (s, v1)) = ∅ puisque le graphe est sans circuit. Ainsi,

par (P) on a :

Q1 ∪ P (v1, t) ≻ P (s, v1) ∪ P (v1, t) = P

Donc P 6∈M(P, %).

• L’inclusion inverse est impliquée par le lemme 3. En effet, M(P, %) ⊆ L(t) ⊆ P im-

plique M(L(t), %) ⊆M(P, %). Comme M(L(t), %) = L(t), on a L(t) ⊆M(P, %).

Remarque 7 Quand % satisfait l’axiome de préadditivité, le principe de Bellman est

vérifié : tout sous-chemin d’un chemin %-efficace est %-efficace. En effet, supposons qu’un

chemin P contienne un sous-chemin P (v1, v2) qui soit %-dominé. Alors il existe Q(v1, v2)

tel que Q(v1, v2) ≻ P (v1, v2) et par (P) on a P (s, v1) ∪Q(v1, v2) ∪ P (v2, t) = P (s, v1) ∪P (v2, t)∪Q(v1, v2) ≻ P (s, v1)∪P (v2, t)∪P (v1, v2) = P (s, v1)∪P (v1, v2)∪P (v2, t) = P .

3.3.6 Implémentation informatique

Nous avons implémenté en JAVA les algorithmes 1 et 2 pour le problème de l’énuméra-

tion des arbres couvrants %P -efficaces d’un graphe à valuations multicritères. L’approche

heuristique a également été testée, consistant à couper les forêts (resp. sous-arbres) %P -

dominés parmi les forêts (resp. sous-arbres) de même profondeur dans l’arborescence

de recherche. Les expérimentations numériques ont été menées sur un ordinateur avec


un microprocesseur PENTIUM IV à 1.5Ghz et les résultats sont reproduits dans les

tableaux 3.1 et 3.2. Les valeurs indiquées dans les différentes cases des tableaux corres-

pondent à une moyenne des résultats obtenus pour vingt exécutions sur des instances

aléatoires. Dans chaque tableau figure les informations suivantes :

– la taille des instances (graphes complets) en nombre de sommets,

– la durée d’exécution,

– le nombre de feuilles de l’arborescence de recherche,

– le pourcentage de l’ensemble des solutions %P -efficaces que l’algorithme détecte,

– le pourcentage de solutions %P -dominées présentes dans les sorties de l’algorithme.

Les valeurs entre parenthèses témoignent des résultats obtenus pour la pire instance sur

les vingt testées.

Concernant les résultats obtenus pour l’algorithme 5 (tableau 3.1), on constate que les

temps d’exécution sont susceptibles de devenir très long à partir d’instances comportant

15 sommets. Soulignons néanmoins qu’on résout le problème en temps raisonnable pour

des instances de taille 10 ou 12, pour lesquelles un algorithme d’énumération de l’ensemble

des arbres couvrants mettrait un temps rédhibitoire. En effet, même si on utilise l’algo-

rithme de Christofides (1975) permettant une énumération sans duplicata, on parcourt

une arborescence de recherche comportant 1210 feuilles (Cayley, 1889) pour une instance

de taille 12. Par ailleurs, on remarque que l’approche heuristique consistant à couper

les arbres %P -efficaces donne de bons résultats en un temps très raisonnable. Concer-

nant la comparaison entre l’algorithme 5 et l’algorithme 6 (tableau 3.2), on remarque

que, contrairement à l’intuition qui semble prédominer dans la littérature (plusieurs ten-

tatives infructueuses de généralisation de l’algorithme de Prim ont été proposées, mais

aucune de l’algorithme de Kruskal), l’algorithme 5 est bien plus efficace que l’algorithme

6. De plus, la version heuristique de l’algorithme 6 donne des résultats très mitigés en

terme d’approximation de l’ensemble des solutions %P -efficaces.

3.4 Problèmes fondés sur une relation de préférence non-

préadditive

Les exemples 21 et 22 ont montré que la condition (P) n’est pas toujours vérifiée.

Dans cette section, on s’intéresse à des cas spécifiques où la relation de préférence ne

satisfait pas (P) et nous suggérons des moyens de surmonter cette difficulté en utilisant

les outils introduits précédemment.


taille 10 durée feuilles %P -eff. %P -dom.avec coupe 0.45s 63 94.7% 0%

(1.36s) (134)sans coupe 2.92s 348 100% 0%

(18.94s) (1026)

taille 12 durée feuilles %P -eff. %P -dom.avec coupe 1.41s 92 98.7% 0%

(3.77s) (289)sans coupe 13.23s 628 100% 0%

(95.88s) (2610)

taille 15 durée feuilles %P -eff. %P -dom.avec coupe 11.31s 266 98% 0.28%

(19.8s) (768)sans coupe 21m39s 6185 100% 0%

(4h10m) (36822)

Tab. 3.1 – Tests de l’algorithme 5 avec et sans coupe.

taille 11 durée feuilles %P -eff. %P -dom.algo. 5 13.19s 447 100% 0%

(38.55s) (1260)algo. 6 6m33s 5639 100% 0%

(1h9m) (24925)

taille 11 durée feuilles %P -eff. %P -dom.algo. 6 1.04s 342 75% 11%avec coupe (2.7s) (800)

Tab. 3.2 – Comparaison entre l’algorithme 5 et l’algorithme 6.


3.4.1 Deux exemples

Exemple 26 (Le problème des chemins les plus unis) On considère ici le problème

consistant à déterminer les chemins préférés sur un graphe G = (V, E) avec des arcs co-

lorés pour une relation de préférence %C définie sur les sous-ensembles d’arcs par :

∀A, B ⊆ E, A %C B ⇐⇒ |C(A)| ≤ |C(B)|

où C(A) désigne l’ensemble des couleurs représentées dans A.

Malheureusement, %C ne vérifie pas (P) puisqu’un chemin uniformément jaune A est

strictement préféré à un chemin bicolore bleu et rouge B et cette relation de préférence

est inversée en rajoutant un chemin bleu et rouge C à A et B respectivement. En effet,

le chemin A∪C comporte trois couleurs (Jaune, Bleu, Rouge) alors que B ∪C comporte

seulement deux couleurs (Bleu, Rouge).

Exemple 27 (Le problème de l’arbre couvrant de meilleur compromis) Consi-

dérons un graphe à valuations multicritères G = (V, E, ϕ) où chaque arête e ∈ E est va-

luée par un vecteur-coût ϕ(e) = (ϕ1(e), ϕ2(e), . . . , ϕq(e)), avec ϕi : E → N, i = 1, . . . , q

et q est le nombre de critères (q ≥ 2).

Comme montré dans le chapitre 2, de nombreux travaux traitent de la détermination de

l’ensemble des solutions %P -efficaces dans les problèmes combinatoires. Néanmoins, on a

également montré qu’on pouvait construire des instances pour lesquelles toutes les solu-

tions réalisables sont %P -efficaces (Hansen, 1980; Hamacher et Ruhe, 1994), ce qui n’ap-

porte bien évidemment aucune aide au décideur. De plus, dans les applications pratiques,

la plupart des solutions %P -efficaces ne sont pas pertinentes car elles sont déséquilibrées

et par suite ne peuvent pas être considérées comme des compromis acceptables.

C’est pourquoi nous suggérons de rechercher un ensemble plus restreint de solutions %P -

efficaces limité aux “solutions de meilleur compromis”. En programmation mathématique

multiobjectif, la notion de solutions de meilleur compromis fait souvent référence aux

points minimisant une fonction scalarisante représentant une distance à un point de réfé-

rence (ϕR1 , ϕR

2 , . . . , ϕRq ) dans l’espace des critères (Steuer, 1986; Wierzbicki, 1986). Cette

fonction est généralement basée sur une métrique de Chebychev pondérée augmentée et

est définie, pour toute solution A ⊆ E, par :

sλ(A) = maxi∈1,...,q

λi(ϕi(A)− ϕRi )+ ε

m∑

i=1

λiϕi(A)

où les ϕ(A) =∑

a∈A ϕi(a), i = 1, . . . , q sont des fonctions-coûts à minimiser et ε est un

coefficient strictement positif arbitrairement petit. Cela induit la relation de préférence

suivante entre les solutions :

A %sλB ⇐⇒ sλ(A) ≤ sλ(B)


Il a été prouvé dans Yu et Yang (1998) que la recherche d’un chemin %sλ-efficace est

un problème NP-difficile, et on pourrait montrer de même que la recherche d’un arbre

couvrant %sλ-efficace est également un problème NP-difficile.

On aimerait appliquer l’algorithme 5 ou 6 pour rechercher un arbre couvrant %λ-efficace.

Malheureusement, %sλne vérifie pas (P). En effet, considérons un problème de mini-

misation bicritère où le point idéal est (0, 0) et ε = 0.01. Soit A, B, C trois solutions

réalisables valuées comme suit : ϕ(A) = (1, 2), ϕ(B) = (3, 1), ϕ(C) = (0, 2). On montre

facilement que A ≻sλB alors que A ∪ C ≺sλ

B ∪ C pour λ = (1, 1).

3.4.2 Retrouver la préadditivité par approximation des préférences

Cette première approche consiste à utiliser une autre relation de préférence qui soit

préadditive afin d’engendrer un sur-ensemble de l’ensemble recherché. Ainsi, dans les deux

précédents exemples, le viol de la condition de préadditivité ne permet pas d’utiliser les

algorithmes 5, 6, 7 pour déterminer les solutions %-efficaces. Cependant, ces algorithmes

peuvent être employés de façon adéquate en passant par une approximation de % qui

vérifie l’axiome (P). Pour cette raison, on introduit la définition suivante :

Définition 5 Une relation de préférence %′ est une approximation de % si et seulement

si :

M(F , %) ⊆M(F , %′)

On a alors :

Proposition 3 Soit % une relation de préférence et %′ une approximation de % qui

vérifie (P), appliquer l’un des algorithmes 5, 6 ou 7 avec %′ permet d’obtenir un sur-

ensemble de M(F , %).

Preuve. Grâce à la préadditivité, on sait d’après le corollaire 2, le corollaire 3 et le

théorème 4 que les algorithmes 5, 6 et 7 renvoient un sur-ensemble de M(F , %′), qui est

lui-même un sur-ensemble de M(F , %).

Ainsi, pour toute relation de préférence % qui ne vérifie pas (P), l’ensemble M(F , %)

peut être obtenu en trois étapes :

1. déterminer une approximation %′ de % qui satisfait (P),

2. déterminer un sur-ensemble S de l’ensemble des solutions %′-efficaces en utilisant

l’algorithme 5, 6 ou 7,

3. éliminer les solutions %-dominées dans S en faisant des comparaisons par paires.


Dans l’exemple 26, une approximation naturelle de %C est la relation %′C définie par :

A %′C B ⇐⇒ C(A) ⊆ C(B)

qui vérifie clairement (P) et la quasi-transitivité.

En premier lieu, considérons le problème des chemins les plus unis %C-SP sur un

graphe avec des arêtes colorées8 avec les couleurs : Bleu, Rouge, Jaune et Vert. Exécuter

l’algorithme 7 pour %C-SP sur l’instance de la figure 3.5 (cas 1) conduit aux deux chemins

%C-dominés suivants :

(s, 2), (2, 3), (3, 5), (5, 6), (6, 7), (7, t)(s, 2), (2, 3), (3, 5), (5, 6), (6, 8), (8, t)

Cependant, l’exécution du même algorithme selon %′C-SP (cas 2) conduit à un sur-

ensemble strict de l’ensemble des chemins %C-efficaces (le chemin du haut est l’unique

chemin %C-efficace sur ce graphe). En outre, les deux chemins non pertinents seront

éliminés lors des comparaisons par paires (étape (3)).

Cas 1

Cas 2

B R B B

B J J J J

R R

V

(s,2,3) (s,2,3,5,6) (s,2,3,5,6,7,t),

(s,2,3,5,6,8,t)

1

2

3

4

5

6

7

8

s t

B R B B

B J J J J

R R

V

(s,1,3),

(s,2,3)

(s,1,3,4,6),

(s,2,3,5,6)

(s,1,3,4,6,7,t),

(s,2,3,5,6,8,t)

1

2

3

4

5

6

7

8

s t

Fig. 3.5 – Une instance du problème des chemins les plus unis.

8Précisons que ce problème a été prouvé polynômial dans un papier de Li et al. (2000). Néanmoins,précisons que la démonstration mise en œuvre fait appel à la polynômialité des problèmes de program-mation linéaire (puisque les algorithmes de points intérieurs sont polynômiaux), et à cet égard on peutpenser que des algorithmes spécifiques peuvent être plus performants en pratique.


a (1,4)

d (4,1) b (2,2)e (2,2)

c (2,2)

Fig. 3.6 – Une instance de l’arbre couvrant de meilleur compromis.

En second lieu, revenons au problème introduit dans l’exemple 27. Ici encore, la

procédure en trois étape est pertinente :

1. une approximation naturelle de %sλest la relation de P-dominance %P

9 qui satisfait

clairement (P) et qui est quasi-transitive.

2. l’algorithme 5 appliqué avec %P renvoie un sur-ensemble de M(T , %sλ). Par exemple,

considérons l’instance particulière de la figure 3.6 et supposons qu’on veuille trou-

ver la solution de meilleur compromis pour la fonction scalarisante sλ définie pour

λ = (1, 1), ϕR = (0, 0) et ε = 0.01 (i.e., on accorde la même importance aux deux

critères et notre point de référence est l’origine). Sur cette instance particulière, on

obtient un sur-ensemble strict de M(T , %sλ). En effet, on peut aisément vérifier que

l’arbre a, c, d est renvoyé par l’algorithme 5 appliqué avec %P . Il est néanmoins

%sλ-dominé puisque b, c, e ≻sλ

a, c, d (remarquons que b, c, e ≻P a, c, d).3. les comparaisons par paires élimineront les solutions non pertinentes.

Remarque 8 Dans ces deux exemples, les approches employées reviennent à utiliser %2E

(voir définition 4, p.71) comme approximation, en définissant %E pour tout e, e′ ∈ E par :

e % e′ ⇐⇒ e = e′ (exemple 26)

e % e′ ⇐⇒ e %P e′ (exemple 27)

En effet, pour l’exemple 26, l’inclusion entre deux ensembles de couleurs revient à l’exis-

tence d’une injection d’un ensemble vers l’autre associant à toute couleur de l’ensemble

de départ la même couleur dans l’ensemble d’arrivée. L’ensemble renvoyé est donc bien

l’ensemble exact des chemins %2E -efficaces. Par ailleurs, pour l’exemple 27, on sait que

l’ensemble renvoyé contient les arbres couvrants %2E -efficaces. On peut donc voir l’uti-

lisation de %2E comme une approche systématique pour réaliser une approximation des

préférences.

9Précisons qu’une solution minimisant sλ est toujours %P -efficace (Wierzbicki, 1986).


3.4.3 Utiliser des conditions plus faibles en diminuant les exigences

Une autre approche pour traiter des préférences non-préadditives est d’établir des

résultats utilisant des conditions plus faibles que (P). A ce titre, on introduit l’axiome

suivant :

Préadditivité Faible (PF)

∀A, B, C, D ∈ 2E tels que C ∩ (A ∪B) = ∅ (A ≻ B) =⇒ (B ∪ C ≻ D =⇒ A ∪ C ≻ D)

Remarquons que, pour des préférences quasi-transitives, l’axiome de préadditivité

faible est un affaiblissement de l’axiome (P) :

Proposition 4 Pour toute relation de préférence quasi-transitive, la préadditivité im-

plique la préadditivité faible.

Preuve. Soit A, B, C ⊆ E tels que C ∩ (A∪B) = ∅, et soit % une relation de préférence

sur 2E qui vérifie (P). Supposons que :

A ≻ B

B ∪ C ≻ D

Alors A∪C ≻ B ∪C par (P) et A∪C ≻ D par quasi-transitivité de %. Par conséquent,

la préadditivité faible est vérifiée.

Remarque 9 La réciproque n’est pas vraie : la préadditivité faible n’implique pas la pré-

additivité. En effet, soit E = a, b, c et considérons une relation de préférence % sur 2E

dont la partie asymétrique se limite à a ≻ b. Clairement, (PF) est vérifiée faute de pou-

voir être appliquée. Cependant, (P) n’est pas vérifiée puisque a est strictement préféré

à b et que pourtant il n’y a pas de préférence entre a, c et b, c.

Remarque 10 La préadditivité faible de % implique la quasi-transitivité de %. En effet,

supposons que A ≻ B et B ≻ D. En appliquant (PF) avec C = ∅, on établit que A ≻ D.

En faisant appel à cet axiome plus faible, on établit le résultat suivant :

Théorème 5 Si % vérifie (PF) alors l’algorithme 7 pour %-P renvoie un sous-ensemble

de l’ensemble des chemins %-efficaces.

Preuve. On montre que L(t) ⊆M(P, %) en prouvant que P 6∈M(P, %) =⇒ P 6∈ L(t).

Considérons P ∈ P tel que P 6∈M(P, %). Cela implique :

∃Q0 ∈M(P, %) tel que Q0 ≻ P


Si Q0 6∈ L(t) :

∃v1 ∈ V (Q0) ∃Q1 ∈ L(v1) tels que Q1 ≻ Q0(s, v1) avec v1 6= t

Si Q1 ∪Q0(v1, t) 6∈ L(t), alors :

∃v2 ∈ V (Q0(v1, t)) ∃Q2 ∈ L(v2) tels que Q2 ≻ Q1 ∪Q0(v1, v2) avec v2 6= v1

Comme Q0 est fini, en itérant on trouve vi ∈ V (Q0(vi−1, t)) et Qi ∈ L(vi) tels que :

Qi ≻ Qi−1 ∪Q0(vi−1, vi) et Qi ∪Q0(vi, t) ∈ L(t)

avec vi 6∈ v1, . . . , vi−1 (éventuellement vi = t, ce qui garantit que Qi ∪Q0(vi, t) = Qi ∈L(t))

Montrons par récurrence que :

∀j ∈ 1, . . . , i Qj ∪Q0(vj , t) ≻ P

• C’est vrai pour j = 1 :

Par construction,

Q1 ≻ Q0(s, v1) (3.5)

et

Q0 = Q0(s, v1) ∪Q0(v1, t) ≻ P (3.6)

Des équations 3.5 et 3.6, on déduit que Q1 ∪Q0(v1, t) ≻ P par (PF).

• Si c’est vrai pour j = k < i, alors c’est vrai pour j = k + 1 :

Supposons que Qk ∪Q0(vk, t) ≻ P . Comme Q0(vk, t) = Q0(vk, vk+1)∪Q0(vk+1, t), on a :

Qk ∪Q0(vk, vk+1) ∪Q0(vk+1, t) ≻ P (3.7)

De plus, par construction :

Qk+1 ≻ Qk ∪Q0(vk, vk+1) (3.8)

Ainsi, on déduit Qk+1 ∪Q0(vk+1, t) ≻ P par (PF) à partir des équations 3.8 et 3.7.

Ainsi, pour j = i, on a Qi ∪ Q0(vi, t) ≻ P et Qi ∪ Q0(vi, t) ∈ L(t). Par conséquent

P 6∈ L(t) et le résultat s’ensuit.

Pour illustrer l’intérêt d’un tel résultat, considérons le graphe de la figure 3.7, valué

par des intervalles. On cherche à déterminer l’ensemble des chemins préférés de s à t. On


[0,1] [1,1]

[0,1][3,3]

[1,3]

(s,1,4) (s,1,4,t)

[3,4] [3,4]

s

1

2

3

4 t

(s,3)

(s,1)

(s,2)

Fig. 3.7 – Un graphe à valuations intervalles.

utilise la relation de préférence %[ ] sur les intervalles, que l’on définit comme en page 13 :

pour tout A, B ⊆ E tels que ϕ(A) = [l(A), r(A)] et ϕ(B) = [l(B), r(B)],

A ≻[ ] B ⇐⇒ r(A) < l(B)

A ∼[ ] B ⇐⇒ l(B) ≤ r(A) et l(A) ≤ r(B)

En définissant ϕ(A∪B) par [l(A)+ l(B), r(A)+r(B)], on remarque tout d’abord que %[ ]

ne vérifie pas (P). En effet, considérons trois ensembles A, B, C ((A∪B)∩C = ∅) tels que

ϕ(A) = [3, 4], ϕ(B) = [5, 6] et ϕ(C) = [1, 2]. On a A ≻[ ] B alors que A ∪ C ∼[ ] B ∪ C.

Par conséquent, on ne peut pas utiliser le théorème 4 pour garantir l’admissibilité de

l’algorithme 7 sur un tel problème. Cependant, %[ ] vérifie (PF). En effet, supposons que

A ≻[ ] B et B ∪ C ≻[ ] D :

A ≻[ ] B ⇐⇒ r(A) < l(B)

B ∪ C ≻[ ] D ⇐⇒ r(B ∪ C) = r(B) + r(C) < l(D)

On a alors r(A∪C) = r(A)+r(C) < l(B)+r(C) ≤ r(B)+r(C) < l(D). D’où A∪C ≻[ ] D,

ce qui établit que %[ ] satisfait (PF). Par le théorème 5, on en déduit que l’algorithme 7

renvoie un sous-ensemble de M(P, %[ ]). Sur le graphe de la figure 3.7, cela conduit au

chemin (s,1),(1,4),(4,t). Ce chemin est effectivement %[ ]-efficace, mais on manque le

chemin (s,2),(2,4),(4,t) qui est également %[ ]-efficace. Ici, nous avons ainsi obtenu un

sous-ensemble strict de M(P, %[ ]). Remarquons que le chemin (s,3)(3,t) a été écarté

à bon escient. Toutefois, appliquer l’algorithme 7 avec une relation de préférence qui


ne satisfait ni (P) ni (PF) peut conduire à des résultats erronés. Pour illustrer cela,

revenons au problème des chemins les plus unis. Soulignons que la relation de préférence

%C ne satisfait ni (P) ni (PF). A l’issue de l’exécution de l’algorithme 7 sur le graphe

de la figure 3.5 (cas 1), seuls des chemins %C-dominés sont renvoyés, alors qu’il existe

un unique chemin %C-efficace. Une telle situation ne peut arriver avec une relation de

préférence vérifiant (PF).

3.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté un cadre formel fondé sur les préférences pour

l’étude des problèmes combinatoires. Cette approche est générale dans la mesure où

elle peut être utilisée pour de multiples variantes du modèle classique pour l’optimisation

combinatoire. Nos résultats montrent le rôle crucial de l’axiome de préadditivité. Lorsque

la relation de préférence n’est pas préadditive, l’approximation des préférences peut néan-

moins permettre d’obtenir les solutions recherchées. Cependant, même dans le cas où les

algorithmes sont adéquats, ces résultats ne nous informent pas sur les performances en

terme de calculs, qui sont fortement dépendantes de la relation de préférence utilisée.

Si les algorithmes de Kruskal et de Prim sont performants dans le cadre classique, l’in-

troduction d’incomparabilités augmente fortement les exigences en terme de calculs, en

particulier pour le problème de l’énumération des arbres couvrants %P -efficaces, comme

l’illustre l’implémentation informatique de la section 3.3.6. Cette limite est beaucoup

moins contraignante dans les problèmes de cheminement, à l’image du problème de l’énu-

mération des chemins %P -efficaces qui est résoluble par un algorithme pseudo-polynômial

(Warburton, 1987). Dans le chapitre suivant, nous abordons le problème voisin de la re-

cherche heuristique dans les graphes d’états.

Chapitre 4

Recherche heuristiquefondée sur les préférences1

Résumé. Dans ce chapitre, nous abordons la prise en compte de préférences non-

classiques dans la résolution de problèmes (classiques en IA) de recherche dans les

graphes d’états, en se focalisant sur l’algorithme A∗. Après avoir introduit une défini-

tion formelle d’un problème de recherche heuristique fondée sur les préférences, nous

introduisons l’algorithme PBA∗ (une généralisation de l’algorithme A∗) conçu pour tra-

vailler avec une relation de préférence quasi-transitive sur les solutions. Nous précisons

les hypothèses suffisantes au bon fonctionnement de l’algorithme : la préadditivité et la

monotonie (on préfère un sous-ensemble à l’ensemble qui le contient) de la relation de

préférence. Sous l’hypothèse que ces conditions soient vérifiées, nous établissons pour

PBA∗ des résultats de :

– terminaison (l’algorithme s’arrête après un nombre fini d’itérations),

– complétude (l’algorithme renvoie une solution dès lors qu’il en existe au moins une),

– admissibilité (l’algorithme renvoie l’ensemble des solutions préférées).

Nous illustrons cet algorithme sur un exemple où les valuations des arcs du graphe

d’états représentent des niveaux de risque exprimés sur une échelle ordinale. Nous

montrons enfin que de nombreuses généralisations précédentes de A∗ peuvent se voir

comme des instances particulières de PBA∗ (voir section 2.2.5, p.48) :

– MOA∗ : recherche heuristique multicritère fondée sur la Pareto-dominance,

– U∗ : recherche heuristique multicritère fondée sur une fonction d’utilité multiattribut,

– ABC : recherche heuristique multicritère fondée sur des contraintes flexibles.

1Ce chapitre s’appuie en partie sur des résultats présentés dans Perny et Spanjaard (2002b) et Pernyet Spanjaard (2002a).

91

92 4. Recherche heuristique fondée sur les préférences

4.1 Introduction

De nombreux problèmes concrets tels que la planification des actions d’un robot, la

recherche de parcours optimaux, la résolution de jeux fortement combinatoires, se ra-

mènent à la recherche d’un chemin d’un état initial à un état but dans un graphe d’états

défini implicitement par un ensemble d’opérateurs de changement d’états. Ces problèmes

ont été largement étudiés en IA et de multiples algorithmes de recherche heuristique ont

été proposés pour contourner l’aspect fortement combinatoire de ces problèmes. Parmi

les propositions les plus populaires, l’algorithme A∗ (Hart et al., 1968), procédant par

énumération implicite et évaluation des solutions potentielles, garantit de fournir une

solution optimale du problème en évitant d’engendrer la totalité du graphe d’états (dans

la mesure du possible).

Dans ce chapitre, nous allons généraliser et factoriser diverses extensions de l’algo-

rithme A∗, en exploitant uniquement les propriétés-clés de la structure des préférences

utilisée pour diriger la recherche. L’idée de base est de définir un cadre où les fonc-

tions d’évaluation (comme f , g et h dans A∗) sont remplacées par des multi-ensembles

partiellement ordonnés de valuations.

4.2 Formulation du problème

Un graphe d’états est défini par un ensemble V fini de sommets et un ensemble

E ⊆ V × V d’arcs valués (correspondant aux transitions possibles entre états) selon

une fonction de valuation ϕ : E → Z. On note V (P ) l’ensemble des sommets sur le

chemin P et S(v) l’ensemble des successeurs du sommet v. On appelle chemin-solution

un chemin de s à un sommet-but γ ∈ Γ. L’algorithme A∗ est utilisé pour rechercher un

chemin-solution optimal. On désigne par :

– P(s,Γ) l’ensemble des chemins-solutions,

– P(v, v′) l’ensemble des chemins reliant v à v′,

– P ∩ P(v, v′) le segment de P reliant v à v′.

Dans le modèle classique, on recherche le chemin-solution qui minimise la somme des

valeurs des arcs. La recherche est ordonnée par une fonction f qui évalue tout nouveau

sommet v candidat au développement. L’évaluation f(v) traduit une estimation heuris-

tique de la valeur du meilleur chemin-solution passant par v, obtenue en sommant la

valeur g(v) du meilleur chemin connu pour atteindre v et une estimation optimiste h(v)

de la valeur du chemin qui reste à parcourir pour atteindre un sommet-but. Le cadre

d’étude plus général que nous proposons se fonde sur les multi-ensembles.

4. Recherche heuristique fondée sur les préférences 93

4.2.1 Le formalisme des multi-ensembles

Nous rappelons ici les concepts de base des multi-ensembles. Un multi-ensemble est

une collection non-ordonnée d’éléments qui peuvent avoir plusieurs occurrences :

Définition 6 Soit X un ensemble fini. On note mX l’ensemble des multi-ensembles d’élé-

ments de X. Un multi-ensemble A est un ensemble fini dans le lequel chaque élément x

à un ordre de multiplicité A(x).

Il nous faut aussi définir les opérations de base sur les multi-ensembles :

Définition 7 La somme de deux multi-ensembles A et B est un multi-ensemble C dont

l’ordre de multiplicité d’un élément x est la somme des ordres de multiplicité de x dans

A et B :

C(x) = A(x) + B(x) pour tout x ∈ X

La différence A − B entre deux multi-ensembles A et B est un multi-ensemble D dont

l’ordre de multiplicité d’un élément x est max(0, A(x)−B(x)) :

D(x) = max(0, A(x)−B(x)) pour tout x ∈ X

On note x ∈ A tout élément x ∈ X tel que A(x) > 0. L’inclusion A ⊆ B de deux multi-

ensembles A et B signifie que tout élément x de A a un ordre de multiplicité moindre

dans A que dans B :

A ⊆ B ⇐⇒ ∀x ∈ X, A(x) ≤ B(x)

Enfin, la cardinalité d’un multi-ensemble A se définit comme la somme des ordres de

multiplicité des éléments de A

|A| =∑

x∈X

A(x)

Exemple 28 Considérons X = w, x, y, z. Alors A = w, x, w, y est un multi-ensemble

d’éléments de X avec les ordres de multiplicité A(w) = 2, A(x) = 1, A(y) = 1 et

A(z) = 0. La somme de A et B = w, z est le multi-ensemble C = w, x, w, y, w, z.La différence est le multi-ensemble D = x, w, y. Enfin, w, x est inclu dans A et le

cardinal de A est 4.

Par la suite, on appelle multi-valuation un multi-ensemble de valuations.

4.2.2 Recherche heuristique fondée sur les préférences

Les diverses variantes d’A∗ présentées en section 2.2.5 (p.48) permettent de traiter

des modèles de préférences violant certaines hypothèses du modèle classique, mais elles

ne conviennent que pour des structures très particulières (voir tableau 4.1).


Algo. Modèle des préf. Limites

A∗ coûts additifs critères multiplesMOA∗ critères multiples critères non-décomposablesU∗, METAL-A∗, BCA∗ utilité multiattribut préférences incomplètesABC contraintes critères non-décomposables

Tab. 4.1 – Limites des extensions d’A∗ pour des préférences non-classiques.

En effet, l’algorithme U∗ (White et al., 1992) ne peut pas être utilisé lorsque la

relation de préférence n’est pas complète puisqu’elle n’est pas alors représentable par

une fonction d’utilité. De même, les algorithmes METAL-A∗ (Mandow et Millán, 1996)

et BCA∗ (Futtersack et Perny, 2000) ne sont pas toujours applicables car le chemin

recherché est défini selon une fonction d’utilité particulière. Par ailleurs, l’algorithme

MOA∗ (Stewart et White III, 1991) est difficilement exploitable pour des problèmes où

les préférences sont partielles mais où les critères ne sont pas clairement explicités : même

si tout ordre partiel est représentable via un nombre arbitrairement grand de critères (en

utilisant la Pareto-dominance), la complexité de calcul de cette représentation est pro-

hibitive du fait du nombre combinatoire d’éléments à comparer. Les mêmes arguments

s’appliquent pour l’algorithme ABC (Logan et Alechina, 1998) permettant une recherche

heuristique avec des préférences modélisées sous forme de contraintes flexibles. En fait,

tous ces algorithmes ont en commun de vouloir dépasser le strict cadre d’utilisation d’A∗

pour aborder des problèmes de recherche dans un graphe d’états muni de préférences

non-classiques. Cela nous conduit à formuler le problème de recherche suivant :

Recherche heuristique fondée sur les préférences

Données :

• un graphe d’états valué G défini implicitement avec un nombre fini d’arcs et de

sommets non-isolés ;

• une source s et un ensemble fini de sommets-buts Γ ;

• une fonction de valuation ϕ : E → Z ;

• une relation binaire % quasi-transitive sur NZ ;

• il existe au moins un chemin-solution P0 de s à Γ de longueur finie (nombre |P0|d’arcs).

Solutions réalisables : l’ensemble P(s,Γ) des chemins-solutions sur G.

Objectif : Obtenir l’ensemble M(ϕ(P ) : P ∈ P(s,Γ), %), où ϕ(P ) désigne le multi-

ensemble des valuations des arcs de P .

En ce qui concerne la définition de la relation de préférence entre multi-valuations,

on peut distinguer deux principaux cas :


1. La plupart du temps, la relation de préférence % sur NZ est construite à partir

d’une opération de composition interne ⊗ sur l’espace de valuation Z et d’une

relation de préférence %Z sur Z. On note zk = z ⊗ . . . ⊗ z (k fois). L’image dans

Z d’une multi-valuation A est alors définie par⊗

z∈A zA(z). Cela induit la relation

de préférence suivante sur NZ :

∀A, B ∈ NZ , A % B ⇐⇒⊗

z∈A

zA(z) %Z

⊗

z∈B

zB(z)

Par exemple, pour l’algorithme A∗ classique, Z = R, ⊗ = + et %Z=≤. Dans un tel

cas, on peut travailler directement sur l’espace de valuation Z.

2. Parfois, il n’est pas possible de représenter la relation de préférence en faisant

appel à une opération de composition interne sur Z. Par exemple, on ne peut pas

définir d’opération de composition interne qui induise une représentation adéquate

de l’ordre leximax introduit en section 2.3.3 (p.55). A %leximax B s’écrit comme suit

en notation multi-ensembliste :

A = B

ou |A| < |B| et A−B = ∅ou A 6= B et m(arg(A−B)(z) > 0, %Z) %Z m(arg(B −A)(z) > 0, %Z)

(4.1)

où %Z est un ordre complet sur Z et m(X, %) = x ∈ X : ∀y ∈ X, non(x ≻ y). Il

faut alors concevoir un algorithme qui opère directement sur NZ . C’est précisément

l’objet de l’algorithme PBA∗.

Nous introduisons maintenant un exemple formel de problème de recherche heuris-

tique dans l’incertain sur lequel nous reviendrons tout au long de ce chapitre.

Exemple 29 On considère un problème de recherche des chemins-solutions préférés de

s à γ1 ou γ2 dans le graphe d’états représenté sur la gauche de la figure 4.1, qui est valué

par des niveaux de risque qualitatifs :

– vert (V) : aucun risque,

– orange (O) : des risques non négligeables,

– rouge (R) : très risqué.

On préfère donc vert à orange et orange à rouge. Plus généralement, on suppose qu’on

explore le graphe d’états selon le graphe des préférences strictes entre multi-ensembles

de couleurs qui est représenté sur la droite de la figure 4.1 (les préférences obtenues par

quasi-transitivité ne sont pas indiquées).


a γ1

s b

c γ2

V

O

O

O

R

R

V

R

V

V

V,V,V V,R,V

V,V O,V

V O R

∅

Fig. 4.1 – un graphe d’états valué par des niveaux de risque qualitatifs.

4.3 L’algorithme PBA∗

Nous proposons ici une variante de A∗ spécifiquement conçue pour travailler avec

une relation de préférence % sur NZ . Nous appelons PBA∗ (Preference-Based A∗) notre

algorithme. En chaque sommet v, on considère :

• G∗(v) : l’ensemble M(ϕ(P ) : P ∈ P(s, v), %) des multi-valuations des chemins

%-efficaces de s à v ;

• H∗(v) : l’ensemble M(ϕ(P ) : P ∈ P(v,Γ), %) des multi-valuations des chemins

%-efficaces de v à Γ ;

• F∗(v) : l’ensemble M(G∗(v)⊙H∗(v), %) des multi-valuations des chemins %-efficaces

parmi les chemins passant par v de s à Γ (dès lors que le principe de Bellman est

vérifié), où ⊙ est un opérateur défini par :

∀A,B ⊆ NZ , A⊙ B =⋃

A∈A,B∈B

(A + B)

Dans l’exemple 29, on vérifie G∗(c) = O, V, V , H∗(c) = V et F∗(c) =

O, V , V, V, V . Comme dans l’algorithme A∗, les ensembles G∗(v), H∗(v) et F∗(v)

sont inconnus durant la recherche. Par conséquent, l’évaluation d’un nœud v est fondée

sur les approximations suivantes :

• G(v) : l’ensemble des multi-valuations %-efficaces des chemins déjà trouvés de s à

v ;

• H(v) : un ensemble de multi-valuations résultant d’une estimation heuristique de

H∗(v) ;

• F(v) : l’ensemble M(G(v) ⊙ H(v), %) des multi-valuations %-efficaces parmi les

concaténations d’un élément de G(v) avec un élément de H(v).

H(v) est supposé être coïncident, autrement dit la propriété suivante est vérifiée :

∀γ ∈ Γ, H(γ) = ∅


Comme dans A∗, l’algorithme PBA∗ divise l’ensemble des sommets étiquetés en un

ensemble O de sommets ouverts (étiquetés mais pas encore développés) et un ensemble C

de sommets fermés (étiquetés et déjà développés). A chaque itération, nous développons

un sommet v ∈ O tel que F(v) contient au moins une multi-valuation %-efficace parmi

les étiquettes des sommets de O. Plus formellement, on choisit v dans l’ensemble PRO

des sommets les plus prometteurs, défini comme le sous-ensemble des sommets v ∈ O

tels que :

∃F ∈ F(v),

∀v′ ∈ O, ∀F ′ ∈ F(v′), non(F ′ ≻ F )

∀C ∈ CHOIX, C 6= F et non(C ≻ F )(4.2)

où CHOIX désigne l’ensemble courant des multi-valuations %-efficaces développées aux

sommets-buts. Les sommets-buts qui ont déjà été sélectionnés pour le développement

sont stockés dans un ensemble noté BUTS. Plus précisément, on obtient l’algorithme 8

présenté ci-après.

Algorithme 8 PBA∗

Initialisation : O ← s ; C ← ∅ ; G(s)← ∅ ; PRO ← s ; BUTS ← ∅ ; CHOIX ← ∅ ; v ← s ;Tant que [PRO 6= ∅]

Déplacer v de O à CSi [v 6∈ Γ] alors pour v′ ∈ S(v) faire

Si [v′ 6∈ O ∪ C] alors :G(v′)←M(G(v)⊙ ϕ(v, v′),%)F(v′)←M(G(v′)⊙H(v′),%)Mettre n′ dans O

finsinon (v′ est déjà étiqueté) :

G(v′)←M(G(v′) ∪ (G(v)⊙ ϕ(n, n′)),%)F(v′)←M(G(v′)⊙H(v′),%)Si G(v′) est modifié, mettre v′ dans O

finfinSi [O 6= ∅] alors

déterminer PRO selon l’équation (4.2)finSinon PRO = ∅Si [PRO 6= ∅] choisir v ∈ PRO en fonction d’une heuristique spécifique à l’application,avec priorité pour les v ∈ Γ.Si [PRO 6= ∅] et [v ∈ Γ] alors :

BUTS ← BUTS ∪ vCHOIX ←M(CHOIX ∪G(v),%)

finfinSi [BUTS = ∅] alors sortir avec échec ;Sortir avec tous les chemins efficaces obtenus en remontant les pointeurs à partir des étiquettesdans CHOIX ;

fin


Remarque 11 Si une opération de composition interne commutative et associative a été

utilisée pour définir la relation de préférence, alors la recherche entière peut être réalisée

dans l’espace des valuations (c’est-à-dire avec les étiquettes dans Z plutôt que NZ).

Remarque 12 Par soucis de simplicité, nous avons omis la gestion des pointeurs per-

mettant de reconstituer les chemins %-efficaces. Cela peut être aisément programmé,

comme montré dans Stewart et White III (1991).

4.4 Terminaison, complétude et admissibilité de PBA∗

Nous caractérisons ici la classe des relations de préférence pour lesquelles l’algorithme

PBA∗ vérifie les propriétés de terminaison, complétude et admissibilité :

– la terminaison est la propriété qu’a un algorithme de s’arrêter sur des graphes finis

après un nombre fini d’itérations ;

– Un algorithme est dit complet s’il renvoie au moins un chemin-solution dès lors qu’il

en existe un ;

– un algorithme est dit admissible si l’on est assuré qu’il renvoie M(ϕ(P ) : P ∈P(s,Γ), %) pour tout problème pour lequel au moins un chemin-solution existe.

4.4.1 Axiomes

Comme la relation de préférence utilisée n’est pas spécifiée dans notre algorithme,

nous introduisons quelques axiomes sur les préférences qui seront suffisants pour établir

la terminaison, la complétude et l’admissibilité de notre algorithme.

Les mêmes arguments que ceux développés pour le problème des chemins préférés

dans la section 3.3.1 (p.66) conduisent à imposer que la relation de préférence % vérifie

la condition de préadditivité (P) (réécrite dans le cadre des multi-ensembles) :

∀A, B, C ∈ NZ , (A ≻ B =⇒ A + C ≻ B + C)

Comme montré dans la remarque 7 de la section 3.3.5 (p.80), soulignons que cette hypo-

thèse rend valide le principe de Bellman.

Dans l’algorithme A∗ classique, l’hypothèse d’une borne inférieure strictement posi-

tive sur les valuations des arcs garantit qu’un chemin comportant un circuit ne peut pas

être %-efficace. Par conséquent, comme le graphe est fini et que chaque réouverture d’un

sommet correspond à la détection d’un nouveau chemin sans circuit, on est assuré que

l’algorithme se termine en un temps fini. Néanmoins, dans notre algorithme, on doit ré-

ouvrir un sommet dès qu’on détecte un nouveau chemin qui n’est pas %-dominé par une


s a c γ

b

1 3 1

22

Fig. 4.2 – Non-respect de la monotonie.

autre étiquette en ce sommet. Par exemple, considérons le graphe de la figure 4.2 et sup-

posons qu’on compose deux multi-ensembles sur la base de leurs valuations maximales.

De plus, définissons H(v) comme la valuation minimum des arcs issus de v. L’algorithme

PBA∗ va alors boucler infiniment au sommet a (puisqu’on redécouvre systématiquement

en a une multi-valuation plus prometteuse que la multi-valuation en c). Cela nous conduit

à introduire une hypothèse de monotonie :

Monotonie (M)

∀A, B ∈ NZ , A $ B =⇒ A ≻ B

Cet axiome de monotonie implique qu’un sous-chemin %-domine strictement le chemin

dont il est extrait. En d’autres termes, un chemin comportant un circuit ne peut pas être

%-efficace. Remarquons que cet axiome peut être omis dans des graphes sans circuit.

4.4.2 Terminaison

Le lemme suivant, vérifié par A∗, reste valide pour PBA∗ car sa preuve ne dépend

pas de la relation de préférence utilisée.

Lemme 4 Soit v ∈ V et P ∈ P(s, v). A tout moment,soit il existe un sommet de P qui

est dans O, soit tous les sommets le long de P sont dans C.

Preuve. Soit P = (s, v1, v2, . . . , v) ∈ P(s, v). Initialement, le lemme est vérifié car

s ∈ O. Ensuite, s ∈ C à tout moment. Donc ∀v′ ∈ S(v), v′ ∈ C ∪ O à tout moment car

s a été développé. En particulier, v1 ∈ C ∪O à tout moment. Considérons une itération

quelconque. Si v1 ∈ O, alors le lemme est vérifié. Dans le cas contraire, v2 ∈ C ∪ O. En

continuant ainsi la récurrence, on voit que deux cas peuvent se présenter : soit on trouve

un sommet sur P dans O, soit tous les sommets sont dans C.

Le résultat de terminaison suivant est valable grâce à l’axiome de monotonie qui

permet d’ignorer les chemins avec circuit durant la recherche.


Théorème 6 Si % vérifie (M), PBA∗ s’arrête après un nombre fini d’itérations pour

tout problème pour lequel au moins un chemin-solution existe.

Preuve. Considérons un sommet v qui a déjà été développé. Pour que ce sommet soit

redéveloppé, il est nécessaire de détecter un autre chemin %-efficace dans G(v). Un tel

chemin est nécessairement sans circuit du fait de l’axiome (M). Puisqu’il n’existe qu’un

nombre fini de chemins sans circuit dans un graphe fini, v ne peut donc être développé

qu’un nombre fini de fois. Par conséquent PBA∗ s’arrête après un nombre fini d’itéra-

tions.

4.4.3 Complétude

Le résultat suivant est aussi valable pour toute stratégie du meilleur d’abord (e.g.,

Pearl, 1984) :

Théorème 7 Si % est quasi-transitive et vérifie (P), PBA∗ est complet.

Preuve. Tant qu’aucun chemin-solution n’est dans CHOIX, il existe nécessairement un

sommet v ∈ V (P0) qui est dans O (d’après le lemme 4). Comme O 6= ∅ et CHOIX = ∅,PRO = M(

⋃v∈O F (v), %). Ainsi, PRO ne peut pas être vide du fait de la quasi-

transitivité de %. Néanmoins, grâce à (M) et au théorème 6, nous savons que l’algo-

rithme se termine après un nombre fini d’itérations. Par conséquent, comme la règle de

terminaison est PRO = ∅, un chemin-solution est nécessairement trouvé. Cela établit la

complétude de l’algorithme.

On peut montrer que PBA∗ est complet même pour les graphes infinis (mais néan-

moins localement finis) dès lors que % est quasi-transitive et que l’axiome archimédien

suivant est vérifié : Si A est un multi-ensemble fini de NZ , alors il existe k ∈ N∗ tel

que ∀B ∈ NZ , |B| ≥ k =⇒ A ≻ B. Malheureusement, un tel résultat reste assez théo-

rique puisque l’axiome archimédien n’est pas vérifié pour des relations de préférence très

naturelles. Par exemple, la règle du leximax (voir équation 4.1) ne vérifie pas cet axiome.

4.4.4 Admissibilité

On redéfinit maintenant la notion d’heuristique optimiste dans notre cadre de travail,

en vue d’établir un résultat d’admissibilité pour PBA∗.

Définition 8 Une heuristique optimiste est un ensemble H de multi-valuations remplis-

sant les conditions suivantes : ∀v ∈ V, ∀H∗ ∈M(H∗(v), %), ∃H ∈ H(v) tel que H ≻ H∗

ou H = H∗.


Dans l’exemple 29, une heuristique optimiste consiste par exemple à définir H(v)

comme l’ensemble des valuations %-efficaces parmi les arcs partant de v. On suppose do-

rénavant que l’heuristique utilisée est optimiste. On introduit maintenant deux résultats

intermédiaires avant de prouver l’admissibilité de PBA∗ :

Lemme 5 Soit P un chemin %-efficace de s à un nœud v (éventuellement en dehors de

Γ) dans le graphe, et v′ le premier nœud ouvert le long de ce chemin. Si % vérifie (P),

alors il existe G ∈ G(v′) tel que G = ϕ(P ∩ P(s, v′)).

Preuve. L’étiquette correspondant au chemin P ′ = P ∩P(s, v′) a été engendrée puisque

tous les ancêtres de v′ sur P sont fermés. De plus, par le principe de Bellman qui est

valide grâce à (P), P ∈ M(P(s, v), %) implique P ′ ∈ M(P(s, v′), %). Par conséquent :

∃G ∈ G(v′) tel que G = ϕ(P ∩ P(s, v′)).

Lemme 6 Soit % une relation de préférence qui vérifie (P). A chaque itération de l’al-

gorithme, si P ∈M(P(s,Γ), %) et P n’est pas encore dans CHOIX, il existe dans O un

sommet v′ de P et F ∈ F(v′) tel que F ≻ ϕ(P ) ou F = ϕ(P ).

Preuve. Soit v′ le premier sommet ouvert le long de P . Soit P ′ = P ∩ P(s, v′) et

P ′′ = P \P ′. D’après le lemme 5, ∃G ∈ G(v′) tel que G = ϕ(P ′). Par ailleurs, ∃H ∈ H(v′)

tel que H ≻ ϕ(P ′′) ou H = ϕ(P ′′) puisque l’heuristique est optimiste. Par conséquent

∃F ∈ F(v′) tel que F = G + H = ϕ(P ′) + H ≻ ϕ(P ′) + ϕ(P ′′) = ϕ(P ) par (P) ou

F = G + H = ϕ(P ′) + H = ϕ(P ′) + ϕ(P ′′) = ϕ(P ).

On présente maintenant le résultat principal de ce chapitre :

Théorème 8 Si % est quasi-transitive et vérifie (P) et (M), alors PBA∗ est admissible.

Preuve. D’après (M) et le théorème 6, l’algorithme s’arrête après un nombre fini d’ité-

rations. Supposons qu’il existe ϕ(P ) dans M(ϕ(P ) : P ∈ P(s,Γ), %) qui ne soit pas

dans CHOIX quand PBA∗ s’arrête. Comme P n’est pas dans CHOIX, O 6= ∅ (par le

lemme 4). Lorsque PBA∗ s’arrête, PRO = ∅ et par conséquent tous les sommets dans

O satisfont : ∀F ∈ F(v), ∃C ∈ CHOIX, C = F ou C ≻ F . Cependant, d’après le

lemme 6, il existe un sommet v′ de P dans O et F ∈ F(v′) tels que F ≻ ϕ(P ) ou

F = ϕ(P ). Donc C ≻ ϕ(P ) ou C = ϕ(P ), mais C ≻ ϕ(P ) contredit la %-efficacité de P

et C = ϕ(P ) contredit ϕ(P ) 6∈ CHOIX. Ainsi, M(ϕ(P ) : P ∈ P(s,Γ), %) ⊆ CHOIX.

Par construction la restriction de ≻ à CHOIX est vide, ce qui termine la preuve.

Nous illustrons maintenant le fonctionnement de l’algorithme PBA∗ en l’exécutant

sur l’exemple 29, pour lequel on vérifie facilement que la relation de préférence utilisée


vérifie la monotonie et la préadditivité (il est en fait possible de reconstituer la relation

en partant des singletons et en appliquant la monotonie et la préadditivité). On suppose

que l’ensemble heuristique en un sommet v est formé des valuations %-efficaces parmi les

arcs partant de v. Comme nous l’avons déjà mentionné plus haut, cette heuristique est

bien évidemment optimiste. On note [v, G, F ]v′ l’étiquette correspondant à un chemin de

s à v, où G est le multi-ensemble des valuations le long de ce chemin, F est le multi-

ensemble correspondant à la fonction d’évaluation, et v′ est le sommet précédant v sur

ce chemin. On donne la trace d’exécution de l’algorithme sur la table 4.2, en indiquant

par le symbole les chemins-solutions placés dans CHOIX. Pour chaque itération de

la boucle tant que, on indique les sommets qui sont ouverts au début de l’itération et le

sommet qui est choisi pour le développement. Les lignes simples séparent les étiquettes

qui ne sont pas attachées au même sommet ; les lignes doubles séparent les différentes

itérations de l’algorithme. Lors de l’itération 3, on développe γ1 pour respecter la règle

de priorité des sommets-buts. Lors de l’itération 4, le sommet b n’est pas dans PRO du

fait que BUTS = V, O et que V, V, V ≻ V, R, V . On développe donc le sommet

c, c’est-à-dire qu’on propage les deux étiquettes correspondantes. Lors de l’itération 5,

l’étiquette [γ2, O, V , O, V ]c n’est pas retenue car le chemin (s, a, γ1), de même multi-

valuation, a déjà été détecté. Enfin, lors de l’itération 6, l’algorithme s’arrête car aucune

des étiquettes en b ne satisfait l’équation 4.2.

D’un point de vue plus opérationnel, nous nous sommes intéressés à une variante du

problème de requêtes multi-sites sur internet (exemple 10, p.21), où plusieurs critères

entrent en ligne de compte parmi lesquels certains ne permettent pas l’utilisation de l’al-

gorithme MOA∗. La caractéristique propre à PBA∗ de travailler sur des ensembles de

valuations lui permet de traiter ce genre de problème. Cette représentation de l’infor-

mation est néanmoins plus compacte que celle consistant à travailler sur des ensembles

d’arêtes. L’usage de multi-ensembles représente donc un bon compromis entre le soucis

de compacité de la représentation et le soucis de garder une information la plus riche

possible. Pour plus de détails, le lecteur pourra consulter Perny et Spanjaard (2002b).

4.5 Comparaison avec d’autres variantes de A∗

Dans cette section, on s’affranchit de la condition (M) en faisant l’hypothèse qu’on

travaille dans un graphe sans circuit. On montre que diverses variantes connues de A∗

(voir section 2.2.5, p.48) peuvent se voir comme des instances particulières de PBA∗.

Chaque variante est caractérisée par le choix de l’espace de valuation Z et de la rela-

tion de préférence % entre multi-valuations (qui satisfait (P) et (M)). C’est aussi le cas

pour l’algorithme A∗ lui-même. En effet, on peut instancier notre modèle comme suit :


itération sommets ouverts sommet développé

1 [s, ∅, V ] [s, ∅, V ]2 [a, V , V, V ]s [a, V , V, V ]s

[b, O, O, V ]s[c, O, O, V ]s

3 [γ1, V, O, V, O]a [γ1, V, O, V, O]a[b, O, O, V ]s[b, V, R, V, R, V ]a[c, O, O, V ]s[c, V, V , V, V, V ]a

4 [b, O, O, V ]s[b, V, R, V, R, V ]a[c, O, O, V ]s [c, O, O, V ]s[c, V, V , V, V, V ]a [c, V, V , V, V, V ]a

5 [γ2, O, V , O, V ]c [γ2, O, V , O, V ]c[γ2, V, V, V , V, V, V ]c [γ2, V, V, V , V, V, V ]c[b, O, O, V ]s[b, V, R, V, R, V ]a

6 [b, O, O, V ]s[b, V, R, V, R, V ]a

arrêt

Tab. 4.2 – Trace de l’algorithme.


l’espace de valuation est Z = N, la relation de préférence est ⊗ = + et A % B ⇐⇒∑

z∈A(A(z)× z) ≤∑z∈B(B(z)× z), et l’objectif est de trouver un chemin %-efficace.

Pour englober les diverses variantes de A∗, on utilise le même concept d’approximation

des préférences qu’à la section 3.4.2 (p.84). En effet, de même qu’au chapitre précédent,

l’axiome de préadditivité ne permet pas de couvrir la classe entière des relations de

préférence “rationnelles”. Néanmoins, PBA∗ peut être utilisé de façon adéquate en passant

par une approximation %′ de % qui vérifie (P). Cette notion peut être reformulée dans

le cadre multi-ensembliste de la manière suivante : une relation de préférence %′ est une

approximation de % si et seulement si ∀X ⊆ NZ , M(X, %) ⊆ M(X, %′). Ainsi, nous

avons :

Proposition 5 Soit % une relation de préférence et %′ une approximation de % qui est

quasi-transitive et vérifie la préadditivité, appliquer PBA∗ avec %′ mène à un sur-ensemble

de M(ϕ(P ) : P ∈ P(s,Γ), %).

De plus, lors de la recherche par rapport à %′, on peut couper les étiquettes pour

lesquelles il existe un chemin-solution détecté P tel que ϕ(P ) ≻ F . De cette manière, on

réduit l’effort de calcul et on obtient exactement M(ϕ(P ) : P ∈ P(s,Γ), %).

Nous donnons ci-dessous les différentes instanciations pour PBA∗ (résumées dans le

tableau 4.5) des extensions de A∗ mentionnées en section 2.2.5 (p.48) :

• l’algorithme MOA∗ (Stewart et White III, 1991) correspond à l’instance suivante : l’es-

pace de valuation est Z = Nq, la relation de préférence est A % B ⇐⇒ ∀i = 1, . . . , q,∑

z∈A(A(z)× zi) ≤∑

z∈B(B(z)× zi), et l’objectif est de déterminer M(P(s,Γ), %) ;

• l’algorithme U∗ (White et al., 1992) correspond à l’instance suivante : l’espace de

valuation est Z = Nq, la relation de préférence est A % B ⇐⇒ u(∑

z∈A(A(z) ×z1), . . . ,

∑z∈A(A(z)× zq)) ≥ u(

∑z∈B(B(z)× z1), . . . ,

∑z∈B(B(z)× zq)), approchée par

A %′ B ⇐⇒ (∑

z∈A(A(z)×z1), . . . ,∑

z∈A(A(z)×zq)) %P (∑

z∈B(B(z)×z1), . . . ,∑

z∈B(B(z)×zq)), et l’objectif est de trouver un chemin %-efficace ; les algorithmes METAL-A∗ (Man-

dow et Millán, 1996) et BCA∗ (Futtersack et Perny, 2000) s’instancient de façon identique

pour des fonctions u particulières ;

• l’algorithme ABC (Logan et Alechina, 1998) correspond à l’instance suivante : l’espace

de valuation est Z = 0, 1q, la relation de préférence est A % B ⇐⇒ (a1, . . . , aq)

⊑ (b1, . . . , bq) où aj (resp. bj) est un booléen représentant l’indice de satisfaction de la

contrainte Cj , relation de préférence approchée par la dominance sur les vecteurs de

booléens (induite par 1 ⊑ 0).

Remarque 13 Futtersack et Perny (2000) ont étudié le comportement de leur algo-

rithme BCA∗ sur des graphes de Hansen (voir figure 2.8, p.45) comportant de 5 à 12


Algo. Z Préférences % Approximation %′

A∗ N∑

z∈A(A(z)× z) ≤∑z∈B(B(z)× z) néantMOA∗ Nq ∀i, ∑z∈A(A(z)× zi) ≤

∑z∈B(B(z)× zi) néant

U∗ Nq u(∑

z∈A(A(z) × z1), . . . ,∑

z∈A(A(z) × zq)) ≥u(∑

z∈B(B(z)× z1), . . . ,∑

z∈B(B(z)× zq))%P

ABC 0, 1q (a1, . . . , aq) ⊑ (b1, . . . , bq) dominance

Tab. 4.3 – Différentes instanciations de PBA∗.

sommets. Ils obtiennent des temps d’exécution meilleurs que ceux de MOA∗ (algorithme

d’énumération des chemins-solutions %P -efficaces) en ciblant la recherche vers une solu-

tion de meilleur compromis. Par ailleurs, Esteban (2002) a obtenu d’excellents résultats

en pratique en appliquant BCA∗ à des problèmes de requêtes multi-sites sur internet (voir

exemple 10, p.21). Il montre qu’ils sont meilleurs que ceux obtenus par MOA∗ ou par pro-

grammation dynamique multicritère. Ces expérimentations montrent bien que l’utilisation

de coupes durant la recherche (résultant d’une modélisation plus fine des préférences) peut

permettre de réduire considérablement l’effort de calcul.

4.6 Conclusion

Nous avons proposé dans ce chapitre un algorithme de recherche heuristique fondée

sur les préférences, qui englobe de façon naturelle les extensions précédentes de A∗. Les ré-

sultats établis de terminaison, complétude et admissibilité montrent l’intérêt pratique de

l’algorithme pour une large classe de relations de préférence caractérisée par les axiomes

(P) et (M). Quand les préférences sortent de cette classe, le concept d’approximation des

préférences permet de se ramener au cadre d’utilisation de PBA∗. On remarque d’ailleurs

que cette notion a été implicitement utilisée dans de nombreuses variantes de A∗ propo-

sées dans la littérature.

Chapitre 5

Plus court chemin bottleneck surune échelle partiellement ordonnée1

Résumé. Dans les problèmes combinatoires bottleneck, les solutions sont comparées

sur la base de leurs plus mauvais éléments. Dans de tels problèmes, on pourrait aussi

bien travailler avec une échelle purement ordinale (voir section 2.3.3, p.54) complète-

ment ordonnée. Dans ce chapitre, nous nous intéressons à l’extension de l’approche

bottleneck en présence d’une échelle partiellement ordonnée. A l’aide d’un exemple,

nous justifions l’introduction d’incomparabilités entre évaluations dans le cadre de

problèmes bottleneck. Nous proposons alors une généralisation du critère bottleneck qui

permet de travailler avec une échelle partiellement ordonnée. Après avoir introduit

un opérateur de comparaison mappipref entre ensembles d’évaluations (qui revient au

critère bottleneck quand l’ordre utilisé est complet), nous établissons des résultats de

complexité pour cette variante du problème de plus court chemin, en s’intéressant en

particulier à un problème de plus court chemin bottleneck avec des valeurs manquantes.

Enfin, nous formulons le problème dans le formalisme des algèbres de chemins (voir

section 1.4.1, p.26) et nous montrons comment utiliser l’algorithme de Jacobi (e.g.,

Gondran et Minoux, 2001) pour le résoudre.

1Ce chapitre s’appuie en partie basé sur des résultats présentés dans Monnot et Spanjaard (2003).

106

5. Chemins bottleneck sur une échelle partiellement ordonnée 107

5.1 Introduction

Dans ce chapitre, on s’intéresse à un problème de recherche de chemins préférés sur

une base purement ordinale. On fait ici le choix de se placer dans le formalisme des

dioïdes (voir section 1.4.1, p.26). En effet, la structure algébrique sous-jacente au modèle

de préférence que nous introduisons est une extension naturelle du dioïde (Z, max, min,

maxz∈Z z, minz∈Z z), où E est un ensemble fini complètement ordonné. Ce chapitre

illustre :

“[...] d’une part les liens profonds des structures de semi-anneaux et de dioïdes

avec les graphes et leur propriétés combinatoires ; d’autre part [...] la richesse

de ces structures du point de vue de leur capacité à modéliser et à résoudre

des problèmes dans des contextes extrêmement divers.” (Gondran et Minoux,

2001)

5.2 Un problème d’acheminement d’un produit toxique

On considère un problème d’acheminement d’un produit toxique dans un réseau de

transport (voir figure 5.1), où chaque arc représente une liaison directe entre deux som-

mets, et où on suppose qu’il y a un service de dépannage en chaque sommet. Par consé-

quent, si une panne survient lors du parcours d’un sommet à un autre, c’est le service

de dépannage le plus proche qui intervient. Chaque arc est évalué sur deux critères non-

commensurables2 :

• la distance (1, 2, 3) entre les deux extrêmités,

• le niveau de risque (a, b, c) sur l’arc (a : bas, b : moyen, c : élevé).

On voudrait trouver un chemin de s à t qui minimise à la fois le pire temps d’intervention

(c’est-à-dire la distance entre les deux extrémités en cas de panne sur un arc) et le pire

niveau de risque. La comparaison de deux vecteurs x et y peut se faire via la relation de

Pareto-dominance %P (voir section 2.2.2, p.37). Clairement, quand on prend en compte

un seul critère, le choix d’un “meilleur” chemin de la source s au puit t dans le réseau

se ramène à comparer les chemins sur la base de leurs pires éléments (problème bottle-

neck). Ainsi, l’extension de la relation de préférence sur l’ensemble des valuations Z aux

multi-ensembles de mZ se fait selon l’ordre bottleneck introduit en section 2.3.3 (p.54).

Quand on prend en compte deux critères, on doit généraliser la règle d’extension de façon

à pouvoir traiter une échelle partiellement ordonnée. Nous proposons d’utiliser le critère

mappipref, que nous introduisons ci-dessous.

2Nous appelons ici critères non-commensurables des critères qu’on ne peut pas ramener à une mêmeéchelle.

108 5. Chemins bottleneck sur une échelle partiellement ordonnée

1 4

s 3 t

2 5

(1, c)

(1, a)

(3, a)

(2, c)

(1, a)

(2, b)

(1, a)

(3, b)

Fig. 5.1 – Une instance du problème d’acheminement d’un produit toxique.

5.3 Le critère mappipref

5.3.1 Définition et premières propriétés

On présente ici une règle permettant d’étendre un ordre partiel sur un ensemble en

un préordre partiel sur l’ensemble de ses parties, que nous appelons mappipref. Cette

règle généralise l’extension d’un ordre complet selon l’ordre bottleneck. On note %map ce

préordre partiel. On suppose qu’on travaille sur une échelle de valuation Z (ensemble

fini de valuations) et que deux multi-ensembles de mZ se comparent sur la base de leurs

supports respectifs (le support d’un multi-ensemble A est z ∈ A : A(z) > 0).

Définition 9 Soit (Z,%Z) un ensemble fini partiellement ordonné. Pour deux ensembles

A, B ⊆ Z, on définit %map sur 2Z par :

A %map B ⇐⇒ ∃f : A→ B une application telle que ∀a ∈ A, a %Z f(a)

Remarque 14 Si %Z est un ordre complet, on vérifie aisément que mappipref se réduit

au critère bottleneck habituel.

Exemple 30 Considérons le graphe de la figure 5.1. L’ensemble des valuations le long

du chemin du haut (s, 1, 3, 4, t) est U = (1, c), (3, a), (1, a) alors que l’ensemble des

valuations le long du chemin du bas (s, 2, 3, 5, t) est L = (1, a), (2, c), (2, b), (3, b).En conséquence, il est facile de voir que le chemin du haut est préféré au chemin du

bas en définissant la fonction f suivante de U à L : f(1, c) = (2, c), f(3, a) = (3, b),

f(1, a) = (2, c). De plus, il est strictement préféré puisque on ne peut pas définir une

fonction satisfaisant la définition 9 de L à U .

La proposition suivante montre en particulier que %map est un préordre partiel et que

la comparaison de deux ensembles de valuations est équivalente à la comparaison de leurs


pires éléments (qui sont respectivement (1, c), (3, a) et (2, c), (3, b) dans l’exemple

précédent). Pour alléger les notations et quand il n’y aura pas d’ambiguïté sur la relation

% considérée, nous serons amenés à utiliser la notation XM pour désigner M(X, %) et

Xm pour désigner m(X, %) = x ∈ X : ∀y ∈ X, non(x ≻ y) (ce que nous appelons les

pires éléments de X).

Proposition 6 (propriétés élémentaires)

(i) %map est un préordre partiel sur 2Z ,

(ii) A ⊆ B =⇒ A %map B,

(iii)A %map A′

B %map B′

=⇒ A ∪B %map A′ ∪B′,

(iv) A %map B ⇐⇒ Am %map Bm ⇐⇒ A ∪B ∼map B,

(v) A ∼map B ⇐⇒ Am = Bm,

(vi) A %map B ⇐⇒ (A ∪B)m = Bm,

pour tout A, A′, B, B′ ⊆ Z.

Preuve. (i) %map est réflexive (pour A ⊆ Z, on pose f = IdA et ensuite par réflexivité

de %Z) et transitive (pour f : A → B et g : B → C, on pose h = g f et ensuite par

transitivité de %Z).

(ii) Pour A ⊆ B, on pose f = IdA et ensuite par réflexivité de %Z .

(iii) On définit h : A ∪ B → A′ ∪ B′ comme suit : Pour f : A → A′ et g : B → B′, on

pose h(x) = f(x) si x ∈ A et h(x) = g(x) sinon.

(iv) Clairement, A ∼map Am et B ∼m Bm. Par (i), on en déduit que A %map B ⇐⇒Am %map Bm. De plus, B ⊆ A∪B implique B %map A∪B par (ii). En outre, B %map B et

A %map B implique A∪B %map B par (iii). Par conséquent, A %map B ⇒ A∪B ∼map B.

Réciproquement, si A ∪ B ∼map B alors A ∪ B %map B et par conséquent A %map B

puisque A %map A ∪B par (ii).

(v) Si Amap = Bmap alors on a clairement Amap ∼map Bmap et, par (iv), on en dé-

duit A ∼map B. Réciproquement, supposons que A ∼map B et Amap \ Bmap 6= ∅. Soit

z ∈ Amap \ Bmap. Puisque A ∼map B, on a Amap ∼map Bmap et il existe z′ ∈ Bmap tel

que z %Z z′. De plus, z 6∈ Bmap ⇒ z 6= z′. Comme %Z est un ordre partiel, on en déduit

z ≻Z z′. En outre, il existe z′′ ∈ Amap tel que z′ %Z z′′ puisque Bmap %map Amap. D’où

z ≻Z z′′ par transitivité de %Z , ce qui est en contradiction avec z ∈ Amap.

(vi) découle de (iv) et (v).


5.3.2 Le problème étudié

Le problème des plus courts chemins bottleneck sur une échelle partiellement ordonnée,

dont le problème présenté dans la section 5.2 est une instance particulière, s’énonce

comme suit :

%map-P

Données : un graphe orienté fini G = (V, E) de source s et de puit t inclus dans V , une

fonction de valuation ϕ : E → Z et un ordre partiel %Z sur Z ;

Solutions réalisables : l’ensemble P des chemins de s à t ;

Objectif : on cherche l’ensemble M(ϕ(P )m : P ∈ P, %map) (où ϕ(P )m désigne les pires

éléments dans le multi-ensemble des valuations des arcs de P ).

5.4 Considérations de complexité

Dans cette section, on étudie la complexité du problème %map-P à travers divers

indicateurs mentionnés en section 2.2.2 (p.37) et on met en avant une famille particulière

d’instances résolubles en temps polynômial.

Proposition 7 Il existe des instances de %map-P pour lesquelles les solutions réalisables

sont :

– en nombre exponentiel de la taille de l’instance,

– %map-efficaces,

– incomparables entre elles.

Preuve. Considérons un graphe complet Kn = (V, E) de source 1 et de puit n, avec

V = 1, . . . , n et E = (i, j) | i < j. On recherche les chemins %map-efficaces de 1

à n. Dès lors que tous les arcs ont des valuations distinctes et que la relation %Z est

vide, il y a 2n−2 solutions %map-efficaces distinctes. En effet, l’ensemble des solutions est

alors en bijection avec 22,...,n−1 puisqu’on peut caractériser un chemin par l’ensemble

des sommets qu’il emprunte.

Cependant, on sait que le problème classique de plus court chemin bottleneck (au-

trement dit sur une échelle complètement ordonnée) est résoluble en temps polynômial.

Ainsi, il apparaît que la complexité du problème dépend fortement du cardinal de la

relation d’ordre utilisée. Une question intéressante consiste alors à étudier les cas poly-

nômiaux. On donne maintenant un exemple représentatif d’un type particulier d’échelle

partiellement ordonnées pour lesquelles le problème est résoluble en temps polynômial.


5.4.1 Un cas polynômial

Exemple 31 Considérons un problème classique de plus court chemin bottleneck avec

des valuations manquantes, c’est-à-dire qu’il y a des arcs dont les valuations sont in-

connues. De plus, le nombre u de valuations inconnues est en O(log2 n). On cherche à

déterminer un ensemble de chemins potentiellement optimaux, c’est-à-dire un ensemble

de chemins pour lesquels, pour toute affectation de valeurs aux valuations inconnues, il

existe un chemin dans cet ensemble qui soit un plus court chemin bottleneck. Ce pro-

blème se réduit à un problème bottleneck sur une échelle partiellement ordonnée Z. On

peut partitioner l’ensemble de valuation Z en deux sous-ensembles :

– un ensemble A ⊆ Z de valuations complètement ordonnées ;

– un ensemble B ⊆ Z (correspondant aux valuations inconnues3) tel que non(z %Z

b) et non(b %Z z) pour tout b ∈ B et z ∈ Z \ b.

Nous présentons maintenant un algorithme polynômial pour résoudre ce problème.

Sans perte de généralité, tous les chemins sont considérés élémentaires dans la suite.

De plus, pour simplifier la présentation, on identifie chaque élément de B avec l’arc

correspondant dans E. Rappelons la définition générale du préordre partiel induit par le

critère mappipref : un chemin P est préféré à un chemin P ′ si et seulement si les pires

éléments de P sont meilleurs que les pires éléments de P ′, i.e. à tout pire élément de P

on peut associer un élément de P ′ à qui il est préféré. Dans le cas auquel on s’intéresse,

on vérifie facilement que P %map P ′ équivaut à ce que :

– la pire valuation dans A de P soit meilleure que la pire valuation dans A de P ′,

– l’ensemble des valuations dans B de P soit inclus dans l’ensemble des valuations

dans B de P ′.

De ce fait, dans la recherche des solutions %map-efficaces, on est amené à parcourir les

parties de B et à rechercher des plus courts chemins bottleneck selon A. Pour ce dernier

point, nous aurons besoin de nous ramener à un graphe n’ayant que des valuations dans

A. Pour ce faire, introduisons la définition suivante d’un graphe contracté :

Définition 10 Soit G = (V, E) un graphe et e = (i, j) un arc. Nous appelons graphe

contracté selon e le graphe Ge où l’on a identifié les sommets i et j (on note k le sommet

ainsi obtenu) après avoir éliminé les arêtes partant de i et celles arrivant en j.

Remarquons qu’en fait le graphe résultant peut être un multigraphe4. De plus, la

définition donnée ci-dessus n’est pas la définition habituelle d’un graphe contracté. Son

intérêt réside dans le fait qu’on a une bijection entre les chemins passant par le sommet

k dans le graphe contracté et ceux empruntant l’arc e dans le graphe initial.

3Il y a un élément distinct dans B pour chaque arc avec une valuation inconnue.4Dans un multigraphe, il peut exister plusieurs arcs distincts entre deux sommets.


Algorithme 9 BSPME(G(t), I, O)

Si B \ (I ∪O) 6= ∅ alorsSi il existe un plus court chemin bottleneck dans G(t) alors

Renvoyer P ;µ ← m(ϕ(e) : e ∈ P, %Z) ;Si P inclut tous les sommets de I alors G(t+1) ← G(t)[e ∈ E : ϕ(e) ≻Z µ] ;

sinon G(t+1) ← G(t) ;fin

sinon G(t+1) ← G(t) ;Choisir b ∈ B \ (I ∪O) ;

Faire BSPME(G(t+1)b , I ∪ b, O) ;

Faire BSPME(G(t+1), I, O ∪ b) ;fin

fin

L’algorithme 9 (Bottleneck Shortest Path with Missing Evaluations) énumère implici-

tement les 2u parties de B et pour chacune d’entre elles il recherche un chemin bottleneck

selon A (au sens classique du terme). A chaque étape, on désigne par I (resp. O) l’en-

semble des arcs de B à inclure (resp. ne pas inclure) dans le chemin que l’on recherche

(abréviations pour In et Out). L’appel initial de l’algorithme se fait avec G(0) = G[A],

I = ∅ et O = ∅. Pour donner une intuition de son fonctionnement, décrivons les deux

premiers appels de l’algorithme. Lors de l’appel initial, on recherche le plus court chemin

bottleneck dans le graphe partiel G[A] dont l’ensemble des arcs est e ∈ E : ϕ(e) ∈ A. Si

il en existe un de pire valuation µ, on ne garde que les arcs du graphe dont les valuations

sont strictement meilleures que µ. En effet, tout chemin contenant un arc de valuation -Z

µ est -map au chemin précédent. Ensuite, on choisit arbitrairement un élément b1 ∈ B

et on réalise un appel récursif sur le graphe contracté selon cet élément. On recherche

alors dans le graphe contracté un plus court chemin bottleneck. Il est clair que ce chemin,

si il existe, passe forcément par b1 (car sinon le précédent n’aurait pas été un plus court

chemin bottleneck). Il est alors %map-efficace car sa pire valuation sur A est strictement

meilleure que celle du précédent (seul candidat à le battre).

De façon générale, en un sommet quelconque de l’arborescence des appels récursifs

indiquée sur la figure 5.2, la pire valuation sur A du plus court chemin bottleneck choisi à

cette étape est strictement meilleure que la pire valuation sur A des plus courts chemins

bottleneck correspondant à ses ancêtres dans l’arborescence (seuls candidats à le battre).

Pour éviter les redondances, on ne retient un chemin que s’il passe par tous les éléments

de I.


∅

• •

• • • •

. . . .

b1 b1

b2 b2 b2 b2

Fig. 5.2 – Arborescence des appels récursifs de l’algorithme 9.

Clairement, le nombre d’appels récursifs de l’algorithme 9 est en O(2u). Comme u ∈O(log2 n), l’algorithme 9 est exécuté en temps polynômial. La sortie est l’ensemble des

chemins potentiellement optimaux dans G. Ce résultat montre bien que la complexité du

problème dépend fortement du nombre potentiel de solutions %map-efficaces distinctes.

Exemple 32 On applique l’algorithme 9 sur le graphe de la figure 5.3. On commence

par découvrir le chemin (s, 1, 2, t) (on aurait aussi bien pu découvrir le chemin (s, 1, 3, t)).

On supprime donc du graphe les arcs (2, t) et (1, 3). On choisit ensuite (arbitrairement)

de contracter l’arc (2, 3). Lors de l’appel récursif incluant l’arc (2, 3), on trouve alors le

chemin (s, 1, 2, 3, t). On supprime donc l’arc (1, 2) et un nouvel appel récursif conduit à

inclure l’arc (s, 2). On trouve le chemin (s, 2, 3, t) et la première série d’appels récursifs

s’arrête puisque B \ (I ∪ O) = ∅. On cherche alors un chemin excluant l’arc (2, 3) et ne

passant par aucun arc de valeur 3. Il est clair que cette recherche est vouée à l’échec et

l’algorithme va donc s’arrêter sans renvoyer de nouveau chemin.

5.4.2 Complexité dans le cas général

On s’intéresse maintenant à la complexité du problème de décision associé à %map-P.

Dans notre contexte ordinal, le problème de décision D(%map-Pr P) peut s’écrire comme

1 3

s 2 t

1

?

2

3

?

3

1

Fig. 5.3 – Une instance du problème de chemin bottleneck avec valeurs manquantes.


suit : “Etant donné un ensemble de valuations A et une propriété Pr sur les solutions,

est-ce qu’il existe une solution S telle que Pr est vérifiée et ϕ(S) ≻map A ?".

L’objectif sous-jacent à cette étude est d’évaluer la difficulté de déterminer l’ensemble

des solutions %map-efficaces. De façon similaire au modèle classique de l’optimisation

combinatoire, si le problème de décision est NP-complet alors le problème consistant à

déterminer l’ensemble des solutions %map-efficaces est au moins aussi difficile. De plus, un

résultat de complexité établi pour un cas particulier reste vrai dans le cas général. Nous

montrons maintenant que la complexité de D(%map-Pr P) est la même que la complexité

du problème consistant à décider si un graphe G = (V, E) admet un chemin P de s à t

satisfaisant Pr. Plus formellement, on a :

Proposition 8 Le problème D(%map-Pr P) est :

(i) polynômial si décider si un graphe G = (V, E) admet un chemin de s à t vérifiant

Pr est polynômial,

(ii) NP-complet si décider si un graphe G = (V, E) admet un chemin de s à t vérifiant

Pr est NP-complet.

Preuve. (i) Soit A un ensemble de valuations, on définit un ensemble dominant Adom =

z ∈ Z : ∃z′ ∈ Am, z %Z z′. On applique alors l’algorithme 10. Cet algorithme est

clairement polynômial. On montre maintenant qu’il renvoie la bonne réponse. Supposons

qu’il existe un chemin avec un ensemble de valuations B tel que B ≻map A, alors il

existe f : B → A telle que z %Z f(z) pour tout z ∈ B, et il existe z′ ∈ Amap tel que

non(z′ %Z z) pour tout z ∈ B. Par l’absurde, cela implique que B ⊆ Adom \ z′. En

effet, B ∩ (Z \Adom) 6= ∅ impliquerait non(B %map A), et z′ ∈ B impliquerait ∃z ∈ B tel

que z′ %Z z (par réflexivité). Donc l’algorithme précédent renvoie “oui”. Réciproquement,

on vérifie facilement que si l’algorithme renvoie “oui” alors il existe un chemin avec un

ensemble de valuations B tel que B ≻map A.

(ii) Supposons que pour tout graphe G, tout ordre partiel %Z et tout ensemble A de

valuations, on puisse répondre en temps polynômial à la question : “Est-ce qu’il existe

un chemin B vérifiant Pr tel que B ≻map A ?". On montre maintenant qu’on peut alors

décider en temps polynômial si un graphe G = (V, E) admet un chemin de s à t vérifiant

Pr. On considère un graphe G = (V, E) incluant deux sommets s, t et on construit en

temps polynômial une instance de D(%map-Pr P) comme suit :

• on pose Z = 1, 2 et 1 %Z 2,

• on définit ϕ : E → Z comme suit : v(e) = 1 pour tout e ∈ E.

Soit A = 2 ; on décide si il existe ou non un chemin de s à t dans G vérifiant Pr en

répondant à la question : “Est-ce qu’il existe un chemin B de s à t satisfaisant Pr dans

G et tel que : B ≻map A ?".


Algorithme 10 Algorithme résolvant D(%map-P)

Pour tout z ∈ Am faireEz ← e ∈ E : ϕ(e) ∈ Adom \ z et Gz = (V, Ez) ;Si il existe un chemin de s à t vérifiant Pr dans Gz alors testz ← vrai

sinon testz ← faux ;finSi il existe z ∈ Am tel que testz = vrai alors renvoyer “oui”

sinon renvoyer “non" ;

fin

Ainsi, dès lors que la propriété Pr est décidable en temps polynômial, on peut trouver

en temps polynômial une solution %map-efficace vérifiant Pr. Dans le problème considéré

ici, Pr = “vrai” et par conséquent le problème de décision correspondant est résoluble en

temps polynômial. Par ailleurs, pour une propriété comme “ le chemin est hamiltonien5”,

le problème de décision devient clairement NP-complet.

5.5 Le dioïde construit autour de mappipref

Nous proposons ici un dioïde adéquat pour formuler et résoudre le problème %map-P.

Les notations suivantes permettrons d’alléger le formalisme :

• ∀X ⊆ 2Z ,PM (X , %map) = Y ⊆ X : Y = M (Y, %map)Exemple 33 Soit X un ensemble de multi-ensembles de valuations :

X = (1, c), (3, a), (1, a), (2, b), (1, b), (2, a)

On a alors (1, c), (3, a), (1, b), (2, a) et X qui ne font pas partie de PM (X , %map)

car (1, b), (2, a) ≻map (1, c), (3, a). Toutes les autres parties de X en font par-

tie.

• ∀X ⊆ Z,Pm (X, %Z) = Y ⊆ X : Y = m (Y,%Z)Exemple 34 Soit X = (2, a), (1, b), (3, c) un ensemble de valuations. (2, a), (3, c),(1, b), (3, c) et (2, a), (1, b), (3, c) n’en font pas partie car (2, a) ≻Z (3, c) et

(1, b) ≻Z (3, c).

• ∀A,B ∈ 2Z , A⊙ B = m (A ∪B,%Z) : A ∈ A, B ∈ BExemple 35 Soit A = (1, c), (3, a) et B = (1, c), (2, a), (1, b), (2, a)deux ensembles de multi-ensembles de valuations. On a alors :

A⊙ B = (1, c), (2, a), (1, c), (3, a)5On appelle chemin hamiltonien un chemin passant une fois, et une fois seulement, par chacun des

sommets de G (e.g. Gondran et Minoux, 1979)


5.5.1 Résultats préliminaires

Nous établissons deux lemmes préliminaires qui nous serviront pour montrer que la

structure algébrique que nous présentons est bien un dioïde. On a :

Lemme 7 Pour tout ordre partiel % sur X, on vérifie les égalités suivantes pour A ⊆ X

et B ⊆ X :

1. (Am ∪B)m = (A ∪B)m = (Am ∪Bm)m

2. (AM ∪B)M = (A ∪B)M = AM ∪BM )M

Preuve. On démontre seulement le point 1. On établit la première égalité comme suit :

– Supposons que x 6∈ (A ∪ B)m et x ∈ A ∪ B. Alors ∃y ∈ A ∪ B, x ≻ y. Il y a deux

possibilités :

• y ∈ B. Alors y ∈ Am ∪B et donc x 6∈ (Am ∪B)m.

• y ∈ A. Alors ∃z ∈ Am, y % z. Par transitivité, y ≻ z et donc x 6∈ (Am ∪B)m.

– Supposons que x 6∈ (Am ∪B)m et x ∈ A ∪B. Alors ∃y ∈ Am ∪B, x ≻ y. Comme

Am ⊆ A, il existe y ∈ A ∪B tel que x ≻ y et par conséquent x 6∈ (A ∪B)m.

La seconde égalité découle de la commutativité de l’union et de la première égalité.

Le lemme suivant est alors immédiat :

Lemme 8 ⊙ est commutative et associative.

Preuve. Par commutativité de l’union, ⊙ est commutative. D’après le lemme 7, ⊙ est

associative puisque %Z est un ordre partiel sur Z :

(A⊙ B)⊙ C = ((A ∪B)m ∪ C)m : A ∈ A, B ∈ B, C ∈ C,= ((A ∪B) ∪ C)m : A ∈ A, B ∈ B, C ∈ C,= (A ∪ (B ∪ C))m : A ∈ A, B ∈ B, C ∈ C,= (A ∪ (B ∪ C)m)m : A ∈ A, B ∈ B, C ∈ C,= A⊙ (B ⊙ C).

On peut maintenant présenter le dioïde construit autour de mappipref :

S = PM (Pm (Z,%Z) , %map) ,

A⊗ B = M (A⊙ B, %map) ,

A⊕ B = M (A ∪ B, %map) ,

0 = m (Z,%Z) ,

1 = ∅.


Exemple 36 Considérons les ensembles A = (1, c), (3, a) et B = (1, c), (2, a), (1, b), (2, b).On a alors :

A⊗ B = M(A⊙ B, %map) = (1, c), (2, a)A ⊕ B = M(A ∪ B, %map) = (1, b), (2, a)

5.5.2 Le dioïde proposé

On vérifie (pour la définition d’un dioïde, voir p. 1.4.1) :

Proposition 9 (S,⊗,⊕,0,1) est un dioïde.

Preuve. Remarquons tout d’abord que ⊗ et ⊕ sont des opérateurs de composition

interne. De plus, %map est un ordre partiel sur Pm (Z,%Z) d’après les points (i), (iv) et

(v) de la proposition 6.

Les axiomes d’un dioïde sont vérifiés :

(A1) (S,⊕) est un monoïde commutatif avec 0 comme élément neutre :

• A ⊕ B = B ⊕A par commutativité de l’union.

• ⊕ est associative. En effet, %map est un ordre partiel sur Pm (Z,%Z), et par consé-

quent le lemme 7 s’applique :

(A⊕ B)⊕ C = M (M (A ∪ B, %map) ∪ C, %map) ,

= M ((A ∪ B) ∪ C, %map) ,

= M (A ∪ (B ∪ C), %map) ,

= M (A ∪M (B ∪ C, %map) , %map) ,

= A⊕ (B ⊕ C).

• A⊕0 = M (A ∪ Zm, %map) = M (A, %map) puisque ∀A ∈ A, A %map Zm. De plus,

M (A, %map) = A par définition de S. Par conséquent A⊕ 0 = A.

(A2) (S,⊗) est un monoïde avec 1 comme élément neutre et pour lequel 0 est un élément

absorbant :

• ⊗ est associative. Tout d’abord A %map A′ et B %map B′ impliquent A ∪ B %map

A′∪B′ d’après le point (iv) de la proposition 6. Ainsi, on en déduit M (A⊙ B, %map)

= M (M (A, %map)⊙ B, %map). La preuve est identique à celle du lemme 7 et on

l’omet donc ici. Finalement, grâce au lemme 7 et au lemma 8, on en déduit :

(A⊗ B)⊗ C = ((A⊙ B)M ⊙ C)M = ((A⊙ B)⊙ C)M ,

= (A⊙ (B ⊙ C))M = ((B ⊙ C)⊙A)M ,

= ((B ⊙ C)M ⊙A)M = (A⊙ (B ⊙ C)M )M ,

= A⊗ (B ⊗ C).

• A ⊗ 1 = M (A⊙ ∅, %map) = M (A, %map) = A.

• A ⊗ 0 = M (A⊙ Zm, %map) = M (Zm, %map) = 0.


(A3) ⊗ est distributive vis-à-vis de ⊕. La preuve s’écrit en trois étapes :

(i) A⊙ (B ∪ C) = (A⊙ B) ∪ (A⊙ C)

A⊙ (B ∪ C) = m (A ∪D, %Z) : A ∈ A, D ∈ B ∪ C,= m (A ∪B,%Z) : A ∈ A, B ∈ B,∪ m (A ∪ C,%Z) : A ∈ A, C ∈ C,= (A⊙ B) ∪ (A⊙ C).

(ii) M (A ∪ B, %map) = M (M (A, %map) ∪M (B, %map) , %map) d’après le lemme 7.

(iii) On montre que ⊗ est distributive.

A⊗ (B ⊕ C) = (AM ⊙ (B ∪ C)M )M ,

= (A⊙ (B ∪ C))M ,

= ((A⊙ B) ∪ (A⊙ C))M ,

= (A⊗ B)⊕ (A⊗ C).

(A4) la relation de préordre canonique relativement à ⊕ est une relation d’ordre. Suppo-

sons que :

∃C : B = A⊕ C = (A ∪ C)M

∃D : A = B ⊕D = (B ∪ D)M

Alors on peut écrire en procédant par substitutions :

A = ((A ∪ C)M ∪ D)M ,

= (A ∪ C ∪ D)M ,

= ((B ∪ D)M ∪ C ∪ D)M ,

= (B ∪ D ∪ C)M ,

= ((B ∪ D)M ∪ C)M ,

= (A ∪ C)M = B

Cela conclut la preuve.

5.6 Algorithme général de résolution

Dans cette section, nous présentons un algorithme général de résolution du problème

de plus court chemins bottleneck sur une échelle partiellement ordonnée, et nous étudions

sa complexité.


5.6.1 L’algorithme de Jacobi

L’algorithme de Jacobi en algèbre linéaire est analogue à l’algorithme de Bellman6 (Gon-

dran et Minoux, 2001). On rappelle brièvement son principe. Soit M = (mij) la matrice

d’incidence généralisée d’un graphe G = (V, E), définie comme suit :

mij =

ϕ(e) si e = (i, j) ∈ E,

0 sinon,

où ϕ(e) est une valuation. Comme indiqué dans Rote (1990), puisqu’on travaille dans

une structure de dioïde, on peut montrer que :

(M l)ij =⊕

Pij un chemin

avec l arcs

ϕ(Pij),

où Pij désigne un chemin de i à j comportant l arcs et (M l)ij est un élément de

M l = M ⊗ . . .⊗M︸︷︷︸l times

à l’intersection de la ligne i et de la colonne j.

En conséquence :

(I ⊕M ⊕M2 ⊕ . . .⊕M l)ij =⊕

Pij un chemin

avec au plus l arcs

ϕ(Pij),

où I désigne la matrice identité avec des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs. Dès

lors que M ⊕M = M (ce qui est le cas pour le dioïde considéré), on peut montrer que :

(I ⊕M)l = I ⊕M ⊕M2 ⊕ . . .⊕M l.

Comme on s’intéresse seulement aux chemins partant de s, on calcule la ligne correspon-

dante x de (I ⊕M)l. Par induction, on peut montrer que cela revient à itérer :

x[0] = (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0),

x[l] = x[l−1] ⊗M ⊕ (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0) for l ≥ 1,(5.1)

où 1 est sur la colonne correspondant à la source s du graphe.

5.6.2 Algorithme de comparaison selon mappipref

La comparaison de deux ensembles de valuations A et B selon le critère mappipref

peut être réalisée en temps polynômial. On propose ici un algorithme matriciel en O(n2)

6Dans le modèle classique, l’algorithme de Bellman s’écrit comme suit : Soit x[0]s = 0, x

[0]j = +∞

(∀j 6= s) ; repéter x[t]s = 0 et x

[t]j = minu=(i,j)∈U (x

[t−1]i + v(u)) (∀j 6= s) jusqu’à stabilisation des xj (où

x désigne le vecteur des distances).


dès lors que max|A| , |B| ≤ n. Soit R la matrice de la relation binaire %Z , dont les

composantes sont définies comme suit :

rij =

1 si zi %Z zj ,

0 sinon.

Dans ce qui suit, RAB désigne la sous-matrice dont les lignes correspondent aux éléments

de A et les colonnes aux éléments de B, et 1|A| (resp. 1|B|) désigne le vecteur unité avec

|A| (resp. |B|) composantes. Enfin, on note ≥ l’ordre partiel usuel entre vecteurs (∀i,xi ≥ yi).

Proposition 10 Soit A et B deux ensembles de valuations,

A %map B ⇐⇒ RAB1|B| ≥ 1|A|.

Preuve. RAB1|B| ≥ 1|A| ⇐⇒ ∀zi ∈ A, ∃zj ∈ B, zi %Z zj ⇐⇒ A %map B.

Remarque 15 Bien évidemment, A ≻map B si et seulement si RAB1|B| ≥ 1|A| et

non(RBA1|A| ≥ 1|B|).

5.6.3 Complexité de l’algorithme général

Dans notre cadre de travail, la séquence 5.1 converge en n− 1 iterations au plus pour

un graphe comportant n sommets. Dès lors que le graphe est sans circuit, on peut déter-

miner x[n−1] en une passe seulement en triant les sommets par ordre croissant de leurs

rangs7 (de sorte à obtenir une matrice triangulaire). Dans un tel cas, la complexité de

l’algorithme est en O(n4 × |Z|2 ×B6), où B = |S|2 − |%map|+ 1. En effet, le nombre de

couples de chemins incomparables est borné par B en chaque sommet. Par conséquent,

pour chaque composante de la matrice, le nombre de concaténations possibles est borné

par B2. Le nombre de comparaisons pour déterminer les pires valuations d’une concaté-

nation est borné par |Z|2 et le nombre de comparaisons pour déterminer les ensembles de

valuations %map-efficaces est borné par B4. Enfin, on multiplie par la complexité O(n2)

de l’algorithme de comparaison selon mappipref et la complexité O(n2) de l’algorithme

de détermination des rangs.

Remarque 16 Comme B n’est pas polynômial en n, l’algorithme est de complexité ex-

ponentielle.

7La fonction rang associée à un graphe sans circuit de racine s est obtenue en associant à chaquesommet v ∈ V un nombre entier positif r(v) tel que : r(s) = 0 et r(v) = le nombre d’arcs dans un cheminde cardinalité maximum entre s et v (e.g. Gondran et Minoux, 1979).


Dans le cas polynômial traité en section 5.4.1, le nombre de chemins incomparables

est borné par 2u = n en chaque sommet et le nombre de concaténations possibles est

donc borné par n2. Le nombre de comparaisons pour déterminer les pires valuations d’une

concaténation est borné par (n2)2 = n4 (car |Z| est borné par n2). Enfin, le nombre de

comparaisons pour déterminer les ensembles de valuations %map-efficaces est borné par

(n2)2 = n4 et la complexité de l’algorithme de détermination des rangs est toujours en

O(n2). La complexité totale de l’algorithme dans ce cas est donc en O(n12). L’algorithme

est donc polynômial mais bien moins efficace que l’algorithme spécifique proposé en

section 5.4.1, qui est en O(n).

5.7 Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre un dioïde sur lequel nous nous appuyons pour

résoudre des problèmes de plus courts chemins bottleneck sur une échelle partiellement

ordonnée. Soulignons que le dioïde introduit reste adéquat quel que soit l’ordre partiel

défini sur l’espace de valuation.

Il apparaît que la structure de dioïde est bien adaptée pour étudier les problèmes

combinatoires faisant appel à une information de nature ordinale, comme l’ont déjà sou-

ligner Gondran et Minoux (2001) (voir p.28). A ce titre, il serait intéressant d’étudier les

multiples modes d’extension d’une relation binaire proposés dans le domaine de la théorie

de la décision (Kelly, 1977; MacIntyre et Pattanaik, 1981; Sen, 1991; Bossert et al., 2000;

Spiegler, 2001).

Dans le chapitre suivant, nous abordons un autre type de préoccupation susceptible

de survenir naturellement dans les problèmes combinatoires : la recherche de solutions

robustes.

Chapitre 6

Recherche de solutions robustesdans les graphes d’états1

Résumé. Ce chapitre est consacré à la recherche heuristique de solutions robustes

dans les graphes d’états quand les coûts dépendent de différents scénarios. Nous présen-

tons tout d’abord des conditions axiomatiques pour définir une relation de préférence

compatible avec l’idée intuitive de robustesse. Cela nous conduit à proposer la domi-

nance de Lorenz comme base pour comparer les solutions au sens de la robustesse.

Ensuite, après avoir présenté des résultats de complexité sur la recherche des solu-

tions robustes, nous proposons une nouvelle sophistication de MOA∗ (Multi-Objective

A∗, Stewart et White III, 1991) spécialement conçue pour déterminer l’ensemble des

chemins-solutions robustes dans un graphe d’états. Le comportement de l’algorithme

est illustré sur un exemple. Enfin, nous présentons une justification axiomatique d’un

raffinement de la dominance de Lorenz par un opérateur OWA, et montrons com-

ment l’algorithme précédent peut être adapté pour trouver les solutions optimisant un

opérateur OWA.

1Ce chapitre s’appuie en partie basé sur des résultats présentés dans Perny et Spanjaard (2003a).

122

6. Recherche de solutions robustes dans les graphes d’états 123

6.1 Introduction

Des travaux récents visent à une prise en compte de l’incertain dans le domaine

de la recherche heuristique dans les graphes d’états. A ce titre, de nombreux articles

considèrent des modèles où les coûts des arcs sont mal connus et caractérisés par des

distributions représentant l’incertain. Par exemple, quand les coûts dépendent du temps

et sont représentables par des variables aléatoires, l’algorithme SDA∗ est utilisé pour

déterminer les chemins-solutions stochastiquement non-dominés2 (Wellman et al., 1995).

Une sophistication de cet algorithme spécialement conçue pour prendre en compte à la

fois un aspect incertain et un aspect multicritère est proposé dans Wurman et Wellman

(1996).

Dans ce chapitre, nous considérons une autre variante des problèmes de recherche

heuristique dans l’incertain, où on suppose que les coûts des chemins sont évalués selon

plusieurs scénarios possibles (états de la nature), ou encore qu’ils sont évalués selon

plusieurs sources d’information discordantes. Dans un tel contexte, notre objectif est de

se focaliser sur l’idée de robustesse et la recherche de solutions robustes.

6.2 Un problème de recherche de solutions robustes

Dans cette section, nous présentons un exemple typique de problème où on est amené

à prendre en compte plusieurs scénarios et à intégrer une idée de robustesse dans la ré-

solution.

On cherche à trouver le “meilleur” chemin du sommet-source a au sommet-but γ1 ou

γ2 dans le graphe d’états représenté sur la Figure 6.1, en prenant en considération deux

jeux de coûts.

b γ1

a c

d γ2

(5, 3)

(10, 4)

(2, 6)

(4, 6)

(4, 2)

(1, 4)

(3, 5)

(3, 1)

(1, 2)

(1, 3)

Fig. 6.1 – Un graphe d’états avec deux jeux de coûts.

Ce problème formel peut être dérivé de différentes situations pratiques nécessitant la

2Voir p.50 pour un rappel de la définition

124 6. Recherche de solutions robustes dans les graphes d’états

Chemin Sommets Coûts

1 (a, b, γ1) (9,9)2 (a, b, c, γ1) (12,6)3 (a, b, c, γ2) (10,7)4 (a, b, d, c, γ1) (10,11)5 (a, b, d, c, γ2) (8,12)6 (a, b, d, γ2) (12,11)7 (a, c, γ1) (13,5)8 (a, c, γ2) (11,6)9 (a, d, c, γ1) (6,11)

10 (a, d, c, γ2) (4,12)11 (a, d, γ2) (5,11)

Tab. 6.1 – L’ensemble des chemins-solutions.

prise en compte explicite de l’incertain. Par exemple, considérons un conducteur d’am-

bulance qui veut amener d’urgence un patient du point a à l’un des hôpitaux de la ville

situés en γ1 et en γ2. Supposons que deux scénarios s1, s2 sur le trafic routier sont pris en

considération, conduisant à un vecteur-coût de type (c(s1), c(s2)) sur chaque arc. Le pro-

blème est de déterminer la meilleure destination et le meilleur chemin. Un autre exemple

conduisant au même graphe consiste à considérer un problème de planification pour un

agent autonome dont l’objectif courant est d’atteindre l’un des états-buts γ1 ou γ2 à

partir de l’état initial a. Le coût de chaque action possible est estimé à l’aide de capteurs

externes situés en deux endroits distincts, et l’agent ne sait pas quel est le capteur le

plus fiable lorsqu’il doit prendre sa décision. Dans ces deux problèmes, on peut s’intéres-

ser à trouver une solution “robuste”, c’est-à-dire un chemin qui reste adéquat quel que

soit le scénario (ou le capteur) que l’on considère. Cette idée de robustesse correspond à

celle mise en avant dans les travaux de Kouvelis et Yu (1997) et Vincke (1999) (voir sec-

tion 2.4.3, p.58). Elle diffère néanmoins de l’idée de robustesse véhiculée par les travaux

utilisant une représentation de l’incertain par des intervalles (voir section 2.4.4, p.60).

La différence principale vient du fait que, dans notre cadre, certaines combinaisons de

coûts sont impossibles. Par exemple, le coût effectif du chemin (a, b, c) ne peut pas être

7 car (a, b) et (b, c) ne peuvent pas prendre simultanément comme valeurs 5 et 2 (ou 3 et

4) respectivement. Les coûts des chemins-solutions du graphe de la figure 6.1 sont listés

dans le tableau 6.1.

Face à de tels problèmes, une simple scalarisation des vecteurs-coûts ne conduit pas à

des résultats convaincants. Par exemple, se ramener à la moyenne des coûts conduit, entre

autre, au chemin 10, qui est la pire solution si le scénario 2 se réalise. Utiliser une somme

pondérée ne convient pas non plus. En effet, par des arguments géométriques, on montre


9, 9

12, 6

10, 7

10, 11

8, 12

12, 11

13, 5

11, 6

6, 11

4, 12

5, 11

0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8 10 12 14

scénario 1

scén

ario

2

Fig. 6.2 – Le nuage des points dans l’espace des scénarios.

facilement que les solutions 1 et 3 ne peuvent être obtenues en minimisant une somme

pondérée des coûts (sur la figure 6.2, elles n’appartiennent pas à la frontière de l’enveloppe

convexe des points représentant les chemins dans l’espace des scénarios, voir section 2.2.1,

p.35). Enfin, se focaliser seulement sur le coût dans le pire des scénarios (critère minimax)

n’est pas réellement satisfaisant non plus du fait du trop grand pessimisme de cette

évaluation (le pire n’est pas toujours certain). Par exemple, malgré son profil prometteur,

la solution 3 ne peut pas être obtenue par le critère minimax du fait de la présence de

la solution 1 (néanmoins effectivement intéressante). Remarquons que la dominance de

Pareto n’est pas non plus adéquate car pas assez discriminante (elle conduit aux chemins-

solutions 10, 11, 1, 3, 8, 7). Ces observations montrent l’inaptitude des critères standards

de décision à rendre compte de l’idée de robustesse introduite plus haut. Ainsi, l’objectif

de ce chapitre est double :

– proposer un cadre axiomatique pour la robustesse et une définition formelle des

solutions robustes,

– introduire de nouveaux algorithmes pour déterminer les solutions robustes dans les

graphes d’états.


6.3 Une définition de la robustesse

En considérant un ensemble fini de scénarios S = s1, . . . , sq, tout chemin-solution

peut se voir comme un acte c : S → R+ au sens de Savage (1954), caractérisé par le

vecteur-coût (c(s1), . . . , c(sq)) dans Rq+ dont la ième composante représente le coût du

chemin selon le scénario si. Ainsi, la comparaison de chemins se réduit à la comparaison

de leurs vecteurs-coûts.

6.3.1 Proposition d’une axiomatique

Afin de décider si un chemin est meilleur qu’un autre, on cherche à définir une relation

de préférence % transitive sur les vecteurs-coûts rendant compte à la fois de l’objectif

de minimisation des coûts et de l’idée de robustesse. Pour cette raison, on attend de la

relation de préférence qu’elle vérifie l’axiome suivant de compatibilité avec la dominance

de Pareto (voir section 2.2.2, p.37) :

%P -monotonie. Pour tout x, y ∈ Rq+, (x %P y ⇒ x % y) et (x ≻P y ⇒ x ≻ y).

Ce principe naturel d’unanimité dit que si un chemin x est moins coûteux qu’un chemin

y quel que soit le scénario considéré, alors x est préféré à y. De plus, cette préférence

est stricte dès lors que x 6= y. Par ailleurs, l’idée de robustesse se rapporte à une notion

d’égalité dans la distribution des coûts selon les différents scénarios, ce qui peut s’expri-

mer à travers l’axiome suivant :

Principe de transfert. Soit x ∈ Rq+ tel que xi > xj pour un couple (i, j). Alors pour

tout ε tel que 0 ≤ ε ≤ xi − xj , x− εei + εej % x où ei (resp. ej) est le vecteur dont la

ième (resp. ième) composante est égale à 1, toutes les autres étant nulles.

Cet axiome capture l’idée de robustesse comme suit : si xi > xj pour un vecteur-coût

x ∈ Rq+, améliorer légèrement (ici réduire puisqu’il s’agit de coûts) la composante xi au

détriment de xj tout en préservant la moyenne des coûts conduit à une meilleure distri-

bution des coûts, et par conséquent une solution plus robuste. Ainsi, le chemin 1 serait

au moins aussi bon que le chemin 7 dans l’exemple 1 car il existe un transfert admissible

de taille 4 entre les vecteurs (13, 5) et (9 , 9). Remarquons que réaliser un transfert simi-

laire de taille supérieure à 8 aggraverait les inégalités des différents coûts. Ceci explique

pourquoi les transferts doivent avoir une taille ε ≤ xi − xj . De tels transferts sont dit

admissibles par la suite. Ils sont connus sous le nom de transferts de Pigou-Dalton en

théorie du choix social, où ils sont utilisés pour réduire les inégalités dans la distribution

des revenus au sein d’une population (e.g. Sen, 1997; Gajdos, 2000).

Puisque toute permutation élémentaire entre deux composantes du vecteur (x1, . . . , xq)


peut être réalisée en utilisant un transfert admissible, et puisque toute permutation de

1, . . . , q peut s’obtenir en composant de telles permutations élémentaires, le principe

de transfert implique que l’axiome suivant est vérifié :

Symétrie. Pour tout x ∈ Rq+, pour toute permutation π de 1, . . . , q, (xπ(1), . . . , xπ(q)) ∼

(x1, . . . , xq),

Cet axiome est naturel dans notre cadre. Puisqu’aucune information sur la vraisemblance

des différents scénarios n’est disponible, ils jouent des rôles symétriques et seront traités

de façon équivalente.

6.3.2 Lien avec la dominance de Lorenz

Remarquons que le principe de transfert est susceptible de fournir des arguments

pour discriminer entre des vecteurs qui ont le même coût moyen, mais qu’il ne s’applique

pas dans la comparaison de vecteurs qui ont des coûts moyens distincts. Néanmoins, la

possibilité de discriminer est grandement accrue en combinant le principe de transfert

et la %P -monotonie. Par exemple, considérons les chemins 7 et 8 du tableau 6.1 dont

les vecteur-coûts sont respectivement (13, 5) et (11, 6). Bien que la dominance de Pareto

ne permette pas de discriminer entre ces deux vecteurs, la discrimination est possibles

pour toute relation de préférence % satisfaisant à la fois le principe de transfert et la

%P -monotonie. En effet, d’une part (11, 6) ≻P (12, 6) et donc (11, 6) ≻ (12, 6) par %P -

monotonie ; d’autre part, (12, 6) % (13, 5) par le principe de transfert appliqué pour le

transfert (13 − 1, 5 + 1) = (12, 6). Ainsi, on obtient : (11, 6) ≻ (13, 5) par transitivité.

Afin de mieux caractériser les vecteurs qui peuvent être comparés en faisant appel à

de telles combinaisons de la %P -monotonie et du principe de transfert, nous rappelons

la définition des vecteurs de Lorenz et des concepts liés (e.g. Marshall et Olkin, 1979;

Shorrocks, 1983) :

Définition 11 Pour tout x ∈ Rq+, le vecteur de Lorenz généralisé associé à x est le

vecteur :

L(x) = (x[1], x[1] + x[2], . . . , x[1] + x[2] + . . . + x[q])

où x[1] ≥ x[2] ≥ . . . ≥ x[q] représentent les composantes de x rangées par ordre décroissant.

La kième composante de L(x) est Lk(x) =∑k

i=1 x[i].

Définition 12 La dominance de Lorenz généralisée (que nous appelons %L-dominance

en abrégé) sur Rq+ est définie par :

∀x, y ∈ Rq+, x %L y ⇐⇒ L(x) %P L(y)


Critère 1

Critère 2

(x1,x2)

(x2,x1)

Fig. 6.3 – Cône de %L-dominance dans le cas bicritère.

La notion de dominance de Lorenz a été introduite initialement pour comparer des vec-

teurs de même moyenne et son lien avec le principe de transfert a été établie par Hardy

et al. (1934). La version généralisée considérée ici est classique (e.g., Marshall et Olkin,

1979) et permet de comparer toute paire de vecteurs de Rq+. Le cône de %L-dominance

dans le cas bicritère est indiqué sur la figure 6.3 (la zone grisée couvre l’ensemble des

points de l’espace qui sont %L-dominés par le point (x1, x2)). Au sein d’un ensemble X,

nous dirons qu’un élément x est %L-dominé dès lors qu’il existe y dans X tel que y ≻L x,

et %L-efficace dès lors qu’il n’existe pas de y dans X tel que y ≻L x. Afin d’établir le

lien entre la dominance de Lorenz généralisée et les relations de préférence satisfaisant à

la fois la %P -monotonie et le principe de transfert, nous rappelons un résultat de Chong

(1976) :

Théorème 9 Pour toute paire de vecteurs distincts x, y ∈ Rq+, si x %P y, ou si x est

obtenu à partir de y par un transfert admissible, alors x %L y. Inversement, si x %L y,

alors il existe une séquence de transferts admissibles et/ou d’améliorations de Pareto qui

transforme y en x.

Ce théorème établit %L comme la relation transitive minimale (au sens de l’inclusion)

satisfaisant simultanément la %P -monotonie et le principe de transfert. En conséquence,

le sous-ensemble des éléments %L-efficaces apparaît comme une solution naturelle aux

problèmes de choix en présence de plusieurs scénarios, pour ce qui concerne la robus-

tesse. Pour cette raison, nous nous intéressons dans la section suivante à la recherche des

chemins-solutions %L-efficaces dans un graphe d’états.


6.4 Recherche des solutions robustes

6.4.1 Considérations de complexité

Nous étudions ici la complexité du problème d’énumération des chemins-solutions %L-

efficaces dans un graphe d’états. Remarquons tout d’abord que les solutions %L-efficaces

forment un sous-ensemble des solutions %P -efficaces, qui peuvent être très nombreuses.

Nous souhaiterions évaluer dans quelle mesure le fait de se focaliser sur les solutions %L-

efficaces (plutôt que les solutions %P -efficaces) réduit la taille de l’espace de recherche. A

ce titre, l’étude de l’instance pathologique introduite par Hansen (1980) pour le problème

de l’énumération des chemins %P -efficaces est assez encourageante (voir figure 2.8, p.45).

Rappelons que dans ce graphe bivalué tous les chemins du sommet 1 au sommet n = 2p+1

ont le même coût moyen (dont la valeur est (2p − 1)/2) mais des coûts distincts sur la

première composante (du fait de l’unicité de la représentation en binaire d’un nombre en-

tier). L’ensemble de vecteurs-coûts qui en résulte est (x, 2p−1−x), x ∈ 0, . . . , 2p−1,qui ne contient que des éléments %P -efficaces par construction. De plus, le cardinal de cet

ensemble est exponentiel de la taille du graphe. Cependant, grâce au principe de trans-

fert, il existe seulement deux vecteurs-coûts %L-efficaces (ceux minimisant la différence

entre leurs composantes).

Malheureusement, il est également possible d’exhiber une instance pathologique pour

notre problème. Il suffit pour cela de modifier l’instance de Hansen de façon à obtenir

un nuage de points qui soient alignés au-dessus de la bissectrice de l’orthant, avec une

inclinaison moindre que celle de la perpendiculaire à la bissectrice (voir figure 6.4). On voit

bien géométriquement, en se référant au cône de %L-dominance de la figure 6.3, qu’alors

tous les points seront %L-efficaces. Le graphe de la figure 6.5 est construit sur cette idée.

De manière similaire à la preuve précédente, on montre que tous les chemins du sommet

0 au sommet 2p + 1 ont des vecteurs de Lorenz distincts et sont %L-efficaces. En effet,

l’ensemble des vecteurs-coûts associés aux chemins-solutions du graphe est (2x, 3×2p−x), x ∈ 0, . . . , 2p−1. Remarquons que la seconde composante est toujours plus grande

que la première pour x ∈ 0, . . . , 2p − 1. Par conséquent, l’ensemble correspondant de

vecteurs de Lorenz s’écrit (3×2p−x, 3×2p +x), x ∈ 0, . . . , 2p−1. Tous les vecteurs

de Lorenz ont la même moyenne et des valeurs distinctes sur la première composante. De

plus, le cardinal de cet ensemble est exponentiel de la taille du graphe.

Par ailleurs, on peut s’intéresser à la complexité de décider si il existe un chemin dont

la distribution des coûts %L-domine un vecteur-coût donné. Le résultat suivant établit

que ce problème ne peut pas être résolu en temps polynômial à moins que P = NP :

Proposition 11 Décider si il existe un chemin dont la distribution des coûts %L-domine

un vecteur-coût donné est un problème NP-complet.


Critère 1

Critère 2

Fig. 6.4 – Nuage de points tous %L-efficaces.

1 3 5 ... n

0 2 4 ... ...

(0, 2p+1 + 1)

(0, 20)

(21, 0)(0, 0)

(0, 21)

(22, 0) (0, 0)

(0, 2p−1)

(2p, 0) (0, 0)

Fig. 6.5 – Une instance où tous les chemins sont %L-efficaces.

Preuve. On réduit le problème de partition à notre problème.

Instance : un ensemble fini A = a1, . . . , ap et une taille s(a) ∈ Z+ pour chaque a ∈ A.

Question : Est-ce qu’il existe un sous-ensemble A′ ⊆ A tel que∑

a∈A′ s(a) =∑

a∈A−A′ s(a) ?

Ce problème a été prouvé NP-complet (e.g., Garey et Johnson, 1979). On construit en

temps polynômial un graphe similaire à celui indiqué sur la figure 6.6. Décider si il existe

un chemin du sommet 1 au sommet n = 2p + 1 tel que son vecteur-coût %L-domine le

vecteur (∑

a∈A s(a)

2 ,∑

a∈A s(a)

2 ) revient à résoudre le problème de partition.

1 3 5 ... n

2 4 ... ...

(s(a1), 0)

(0, s(a1))(0, 0)

(s(a2), 0)

(0, s(a2)) (0, 0)

(s(ap), 0)

(0, s(ap)) (0, 0)

Fig. 6.6 – Réduction à partir du problème de partition.


6.4.2 Algorithme

Du fait de la présence de plusieurs scénarios, la recherche de solutions robustes peut

se voir comme un cas particulier d’un problème de cheminement multicritère (les critères

correspondant aux différents scénarios). Plusieurs variantes de A∗ ont été étudiées pour

énumérer les chemins-solutions %P -efficaces dans des problèmes multicritères (voir sec-

tion 2.2.5, p.48). Comme l’ensemble des chemins-solutions %L-efficaces est inclus dans

l’ensemble des chemins-solutions %P -efficaces, on peut utiliser une sophistication de ces

algorithmes qui exploite la nature exacte de la %L-dominance (en utilisant l’idée d’ap-

proximation d’une relation de préférence suggérée en section 4.5, p.104).

Nous nous plaçons ici dans le cadre de travail des algorithmes A∗ multicritères. Dans

un graphe valué par des vecteurs-coûts, il peut exister plusieurs chemins %P -efficaces pour

atteindre un sommet donné. Ainsi, en chaque sommet v, on retient un ensemble G(v) de

vecteurs-coûts g(v) correspondant aux chemins %P -efficaces arrivant en v. De plus, un

sommet v peut figurer sur le chemin de plus d’une solution %P -efficace. Par conséquent,

un ensemble H(v) de vecteurs-coûts heuristiques h(v) sont attachés à chaque sommet v.

Enfin, en chaque sommet v, un ensemble F (v) de vecteurs d’évaluation f(v) est calculé

à partir de toutes les combinaisons possibles g(v) + h(v) : g(v) ∈ G(v), h(v) ∈ H(v).

L’algorithme de recherche heuristique que nous proposons pour déterminer les chemins-

solutions robustes repose sur ce schéma général. Avant de présenter l’algorithme en lui-

même, nous établissons deux résultats préliminaires sur lesquels sont basées notre règle

de coupe et notre règle de priorité :

Proposition 12 Pour tout x, y, z ∈ Rq+, [x ≻L y et y ≻P x] =⇒ x ≻L z

Preuve. Par définition y ≻P z =⇒ y ≻L z. Comme x ≻L y, on obtient x ≻L z par

transitivité de %L.

Proposition 13 Un vecteur-coût (x1, . . . , xq) %L-domine tout vecteur-coût (y1, . . . , yq)

tel que∑q

i=1 yi > q.x[1].

Preuve. Supposons que :q∑

i=1

y[i] > q.x[1] (i)

et

∃k ≤ q tel quek∑

i=1

y[i] <k∑

i=1

x[i] (ii)


Comme∑k

i=1 x[i] ≤ k.x[1], on déduit de (ii) :

k∑

i=1

y[i] < k.x[1] (iii)

De plus, on a :q∑

i=k+1

y[i] ≤ (q − k)y[k] (iv)

Or, on sait que y[1] > x[1] par (i). Par conséquent, d’après (ii), ∃j ∈ 1, . . . , k tel que

y[j] < x[j] ≤ x[1] et donc y[k] < x[1] (car y[k] ≤ y[j]). On déduit alors de (iv) :

q∑

i=k+1

y[i] < (q − k)x[1] (v)

Finalement on obtient par (iii) et (v) :

q∑

i=1

y[i] < q.x[1]

ce qui conduit à une contradiction avec (i).

Nous présentons ci-dessous les caractéristiques principales de notre algorithme, où

l’on développe des étiquettes plutôt que des sommets :

Sortie : on détermine l’ensemble des chemins %L-efficaces du sommet-source à un

sommet-but. Si plusieurs chemins correspondent au même vecteur-coût %L-efficaces, on

retient seulement un chemin parmi eux.

Heuristique : comme dans MOA∗ (voir section 2.2.5, p.48), on utilise un ensemble op-

timiste H(v) de vecteurs-coûts heuristiques, i.e. pour tout vecteur-coût c correspondant

à un chemin %P -efficace de v à un sommet-but, il existe h(v) ∈ H(v) tel que h(v) %P c.

Sur ce sujet, des algorithmes de construction d’heuristiques multicritères optimistes ont

été proposés par Lirov (1991).

Priorité : la recherche est complètement ordonnée par un ordre lexicographique sur les

évaluations vectorielles f(v) définies en chaque sommet ouvert v. Cette fonction d’éva-

luation f(v) est obtenue en deux étapes. On calcule tout d’abord F (v), l’ensemble des

vecteurs-coûts de type g(v) + h(v) où g(v) est le vecteur-coût d’un chemin %P -efficace

arrivant en v et h(v) est un vecteur-coût tiré de l’ensemble heuristique H(v). Ensuite,

f(v) est définie comme le meilleur élément de l’ensemble L(x), x ∈ F (v) en utilisant

l’ordre lexicographique suivant :

L(x) ≻lex L(y) ⇐⇒ ∃k∀i < k : Li(x) = Li(y)

Lk(x) < Lk(y)


C’est également l’ordre lexicographique utilisé pour ranger les étiquettes ouvertes selon

l’ordre décroissant de priorité en fonction de leur évaluation vectorielle f(v). Le choix de

cette règle de priorité est motivé par deux raisons :

- une considération heuristique : la détection précoce d’un chemin-solution minimax3

est susceptible d’accélérer la recherche en fournissant une bonne coupe selon la proposi-

tion 13.

- une considération de prudence : en chaque sommet-but, une telle règle de priorité

garantit de développer seulement des étiquettes correspondant à des chemins-solutions

%L-efficaces.

Condition d’arrêt : l’algorithme continue à tourner jusqu’à ce qu’il ne reste plus de

sous-chemin susceptible de conduire à un chemin-solution %L-efficace, c’est-à-dire que

toutes les étiquettes ouvertes sont soit %P -dominées par une autre étiquette au même

sommet, soit %L-dominées par un chemin-solution déjà détecté.

Coupe : le principe de Bellman ne s’applique pas vis-à-vis de la %L-dominance, c’est-à-

dire qu’un chemin %L-efficace est susceptible de contenir un sous-chemin %L-dominé.

Par exemple, supposons que deux sous-chemins P1 et P2 de vecteurs-coûts (3, 2) et

(1, 4) mènent au même sommet. Il est facile de voir que P1 ≻L P2. Pourtant, si on

prolonge les deux sous-chemins par le même sous-chemin P3 de vecteur-coût (3, 1), alors

P2 ∪ P3 ≻L P1 ∪ P3. C’est pourquoi on doit être très prudent quand on coupe les sous-

chemins %L-dominés durant la recherche. Par conséquent, on utilise les deux règles de

coupe suivantes, que nous appliquons au début de chaque itération :

- on coupe tout sous-chemin dont la valeur de la fonction d’évaluation est %L-dominée

par (ou égale à) un chemin-solution déjà détecté ;

- on coupe tout sous-chemin %P -dominé par (ou égal à) un autre sous-chemin au même

sommet, comme il est habituel en recherche heuristique multicritère.

De tels sous-chemins ne peuvent pas conduire à un nouveau vecteur-coût %L-efficace

en un sommet-but. En effet, dès lors qu’on suppose qu’il existe une borne inférieure

strictement positive sur chaque coût, un chemin est %P -dominé par n’importe lequel de

ses sous-chemins. Par conséquent, d’après la proposition 12, si un sous-chemin est %L-

dominé par un chemin-solution déjà détecté, tout prolongement sera aussi %L-dominé

par le même chemin-solution. De même, si un sous-chemin est %P -dominé par un autre

sous-chemin au même sommet, tout prolongement sera aussi %P -dominé (et donc %L-

dominé) par le prolongement correspondant du sous-chemin %P -dominant.

Nous présentons ci-dessous l’algorithme formel MSA∗ (Multiple Scenarios A∗) corres-

3Remarquons que la plus grande composante d’un vecteur-coût est la première composante du vecteurde Lorenz correspondant.


pondant (Algorithme 11, 135). De façon similaire à MOA∗ (Stewart et White III, 1991) et

PBA∗ (voir chapitre 4), en chaque sommet v on considère trois ensembles G∗(v), H∗(v) et

F ∗(v) correspondant respectivement aux vecteurs-coûts des chemins %P -efficaces menant

en v à partir de s, aux vecteurs-coûts des sous-chemins %P -efficaces restant à parcourir

pour atteindre un sommet-but, et aux vecteurs-coûts des chemins %P -efficaces passant

par v. Par ailleurs, ⊙ est un opérateur défini par :

∀X, Y ⊆ Rq, X ⊙ Y =⋃

x∈X,y∈Y

(x + y)

Comme dans l’algorithme A∗, les ensembles G∗(v), H∗(v) et F ∗(v) sont inconnus durant

la recherche. Par conséquent, l’évaluation d’un nœud v est fondée sur les approximations

suivantes :

• G(v) : l’ensemble des vecteurs-coûts %P -efficaces des chemins déjà trouvés de s à v ;

• H(v) : un ensemble de vecteurs-coûts résultant d’une estimation heuristique de H∗(v) ;

• F (v) : l’ensemble M(G(v)⊙H(v), %P ) des vecteurs-coûts %P -efficaces parmi les conca-

ténations d’un élément de G(v) avec un élément de H(v).

De façon similaire à A∗, l’algorithme MSA∗ divise l’ensemble des étiquettes en un

ensemble O d’étiquettes ouvertes et un ensemble C d’étiquettes fermées. Pour une éti-

quette e donnée, la notation e.v désigne le sommet sur lequel porte cette étiquette et la

notation e.f désigne le vecteur-coût associé au chemin correspondant à cette étiquette.

Enfin, CHOIX désigne l’ensemble courant des vecteurs %P -efficaces développées aux

sommets-buts.

Pour illustrer le fonctionnement de notre algorithme, nous donnons maintenant un

exemple détaillé d’exécution.

Exemple 37 Considérons la graphe de la figure 6.1. Les coûts des arcs sont indiqués

à côté de chaque arc. L’ensemble heuristique au sommet v est défini comme l’ensemble

des vecteurs-coûts %P -efficaces des arcs issus de v. Il est clair que de tels vecteur sous-

estiment les coûts restants pour atteindre un sommet-but, ce qui garantit que l’heuris-

tique ainsi définie est optimiste. Par exemple, l’ensemble heuristique au sommet a est

(5, 3), (2, 6). On désigne par [v, g, L(f)]p une étiquette associée à un chemin allant de

la source au sommet v, où g est le vecteur-coût correspondant à ce chemin, L(f) est le

vecteur de Lorenz correspondant à la valeur f de la fonction d’évaluation et p est un

pointeur vers le sommet précédent le long du chemin. La trace de l’algorithme est donnée

dans le tableau 6.2, avec les conventions suivantes : * indique les étiquettes coupées et

indique les chemins-solutions %L-efficaces. Les règles de coupe accélèrent l’exploration du

graphe d’états, comme nous allons maintenant le montrer. Lors de l’itération 3, l’étiquette


Algorithme 11 MSA∗

Initialisation : O ← [s, (0, . . . , 0)] ; C ← ∅ ; G(s)← ∅ ; CHOIX ← ∅ ; v ← s ;Tant que [O 6= ∅]

Choisir une étiquette e ∈M(O,%lex)Déplacer e de O à CSi [e.v 6∈ Γ] alors pour v′ ∈ S(e.v) faire

Si [v′ 6∈ O ∪ C] alors :G(v′)←M(G(v)⊙ ϕ(v, v′),%P )F (v′)←M(G(v′)⊙H(v′),%P )Mettre v′ dans O

finsinon (v′ est déjà étiqueté) :

G(v′)←M(G(v′) ∪ (G(v)⊙ ϕ(v, v′)),%P )F (v′)←M(G(v′)⊙H(v′),%P )Si G(v′) est modifié, mettre v′ dans O

finfinSi [e.v ∈ Γ] alors CHOIX←M(CHOIX ∪G(v),%L) (1)Éliminer e ∈ O : ∃e′ ∈ CHOIX, e′.f ≻L e.f (2)

finSi [CHOIX = ∅] alors sortir avec échec ;Sortir avec tous les chemins %L-efficaces obtenus en remontant les pointeurs à partir desétiquettes dans CHOIX ;

fin


itération étiquettes ouvertes étiquettes développées

1 [a, (0, 0), (5, 8)] [a, (0, 0), (5, 8)]

2 [b, (5, 3), (6, 12)]a[c, (10, 4), (11, 17)]a[d, (2, 6), (10, 13)]a

[b, (5, 3), (6, 12)]a

3 [c, (10, 4), (11, 17)]a[d, (2, 6), (10, 13)]a[γ1, (9, 9), (9, 18)]b[c, (9, 5), (10, 17)]b[d, (6, 6), (10, 17)]b*

[γ1, (9, 9), (9, 18)]b

4 [c, (10, 4), (11, 17)]a[d, (2, 6), (10, 13)]a[c, (9, 5), (10, 17)]b

[d, (2, 6), (10, 13)]a

5 [c, (10, 4), (11, 17)]a[c, (9, 5), (10, 17)]b[c, (3, 10), (11, 17)]d[γ2, (5, 11), (11, 16)]d

[c, (9, 5), (10, 17)]b

6 [c, (10, 4), (11, 17)]a,[c, (3, 10), (11, 17)]d[γ2, (5, 11), (11, 16)]d[γ1, (12, 6), (12, 18)]c*[γ2, (10, 7), (10, 17)]c

[γ2, (10, 7), (10, 17)]c

7 [c, (10, 4), (11, 17)]a*[c, (3, 10), (11, 17)]d*[γ2, (5, 11), (11, 16)]d

[γ2, (5, 11), (11, 16)]d

8 ∅ stop

Tab. 6.2 – Trace de l’algorithme.

[d, (6, 6), (10, 17)]d est coupée car (6, 6) est %P -dominé par (2, 6) (trois chemins-solutions

évités). Lors de l’itération 6, l’étiquette [γ1, (12, 6), (12, 18)]c est coupée car son évalua-

tion est %L-dominée par (9, 18). Lors de l’itération 7, les étiquettes [c, (10, 4), (11, 17)]a

et [c, (3, 10), (11, 17)]d sont coupées car leurs évaluations sont %L-dominées par (10, 17)

(quatre chemins-solutions évités). Lors de l’itération 8, il n’y a plus d’étiquette et l’al-

gorithme s’arrête. Au total, les règles de coupe permettent d’interrompre l’exploration de

sept chemins-solutions %L-dominés (sur huit) avant qu’ils n’atteignent un sommet-but.

Par ailleurs, remarquons que le développement d’étiquettes plutôt que de sommets permet

d’éviter le développement des étiquettes [c, (10, 4), (11, 17)]a et [c, (3, 10), (11, 17)]d.


6.5 Discriminer entre des solutions robustes

Comme montré dans la section 6.4.1, l’ensemble des solutions %L-efficaces est un

sous-ensemble des solutions %P -efficaces mais il peut encore contenir un grand nombre

d’éléments. Pour cette raison, on voudrait raffiner la notion de solution robuste en pro-

posant un critère permettant de discriminer entre les solutions %L-efficaces. Ceci incite à

proposer une axiomatique plus fine portant sur la représentation numérique d’un préordre

complet % sur X = Rq+ compatible avec la %L-dominance.

6.5.1 Proposition d’une nouvelle axiomatique

Le premier axiome réclame que la seule information pertinente pour discriminer entre

des solutions soit les vecteurs de Lorenz généralisés correspondants :

Neutralité. Pour tout x, y dans X, L(x) = L(y)⇒ x ∼ y.

On peut définir une relation de préférence %′ parmi les vecteurs de Lorenz de L(X) =

v ∈ Rq+ : ∃x ∈ Rq

+, v = L(x) en posant, pour tout L, M,∈ L(X) :

L %′ M ⇐⇒ ∃x, y ∈ X,

L(x) = L et L(y) = M

x % y

Pour simplifier la présentation, nous utilisons % à la place de %′ pour désigner la rela-

tion de préférence entre vecteurs de Lorenz. Comme nous souhaitons que la relation de

préférence raffine la %L-dominance, nous avons besoin de l’axiome suivant :

%L-Monotonie stricte. x ≻L y ⇒ x ≻ y.

Nous introduisons ensuite trois axiomes qui peuvent être vus comme des contreparties

des axiomes de von Neuman et Morgenstern (1947) pour des vecteurs de Lorenz.

Préordre complet. % est réflexive, transitive et complète.

Continuité. Soient L, M, N ∈ L(X) tels que L ≻ M ≻ N . Il existe α, β ∈]0, 1[ tel que :

αL + (1− α)N ≻M ≻ βL + (1− β)N

L-indépendance. Soient L, M, N des vecteurs de L(X). Alors pour tout α ∈]0, 1[ :

L ≻M =⇒ αL + (1− α)N ≻ αM + (1− α)N

Il est important d’observer que cet axiome d’indépendance est un affaiblissement de

l’axiome habituel d’indépendance sur X (voir section 1.1.2, p.11), obtenu en restreignant

sa portée aux vecteurs comonotones. Deux x et y dans X sont dits comonotones si il

n’existe pas i, j ∈ 1, . . . , q pour lesquels xi > xj et yi < yj . En effet, pour toute


paire x, y de vecteurs comonotones, il existe une permutation π de 1, . . . , q pour la-

quelle xπ(1) ≥ xπ(2) ≥ . . . ≥ xπ(q) et yπ(1) ≥ yπ(2) ≥ . . . ≥ yπ(q). Par conséquent,

L(αx+(1−α)y) = αL(x)+(1−α)L(y). Ainsi, pour tous vecteurs comonotones x, y, z ∈ X,

si x ≻ y =⇒ αx+(1−α)z ≻ αy +(1−α)z alors L(x) ≻ L(y) =⇒ αL(x)+(1−α)L(z) ≻αL(y) + (1 − α)L(z). En observant que pour tout triplet L, M, N de vecteurs de Lo-

renz, il existe trois vecteurs comonotones x, y, z dans X tels que L = L(x), M = L(y) et

N = L(z), on en déduit que l’indépendance habituelle sur X implique la L-indépendance.

Remarquons que l’affaiblissement de la condition habituelle d’indépendance est néces-

saire dans notre contexte car elle est incompatible avec la %L-monotonie stricte, comme

le montre l’exemple suivant :

Exemple 38 Considérons x = (24, 24), y = (22, 26) et z = (26, 22). Par %L-monotonie

stricte x ≻ y. Ainsi, l’indépendance habituelle impliquerait (25, 23) = 12x+ 1

2z ≻ 12y + 1

2z

= (24, 24), ce qui est en contradiction avec (24, 24) ≻L (25, 23).

Ce conflit peut s’expliquer comme suit : d’une part, la dispersion des coûts du vecteur

(25, 23) résultant de la combinaison de x et z est plus grande que celle de x = (24, 24) ;

d’autre part, la dispersion des coûts du vecteur (24, 24) resultant de la combinaison de y

et z est moindre que celle de y = (22, 26). Cette situation ne peut pas arriver quand x,

y et z sont comonotones deux-à-deux, ce qui explique l’idée sur laquelle est fondée notre

axiome de L-indépendance.

En fait, une idée similaire est déjà présente dans la théorie duale du choix dans le

risque (e.g., Yaari, 1987), sous la forme d’un axiome d’indépendance duale. Le lien avec

la théorie de Yaari est naturel puisque les vecteurs de Lorenz peuvent être vus comme

des contreparties des fonctions de répartition en décision dans le risque.

6.5.2 Un théorème de représentation

Avant de présenter notre théorème de représentation, nous avons besoin de montrer

que L(X) muni de l’opération usuelle de combinaison convexe entre vecteurs est un

ensemble de mélanges (Herstein et Milnor, 1953) :

Définition 13 Un ensemble de mélanges est un ensemble M et une fonction f qui as-

socie un élément f(α, x, y) = αx + (1 − α)y de M à tout α dans [0, 1] et à tout couple

ordonné (x, y) dans M × M, tel que :

M1. 1x + 0y = x,

M2. αx + (1− α)y = (1− αy) + αx,


M3. α[βx + (1− β)y] + (1− α)y = (αβ)x + (1− αβ)y,

pour tout x, y dans M et tout α, β dans [0, 1].

Nous avons :

Lemme 9 L(X) est un ensemble de mélanges par rapport à l’opération usuelle de com-

binaison convexe entre vecteurs.

Preuve. On montre tout d’abord que αL + (1−α)M appartient à L(X). Considérons

deux vecteurs x et y dans X tels que L = L(x) et M = L(y). Il est facile de vérifier que

αL + (1 − α)M = L(αx + (1 − α)y) et donc αL + (1 − α)M ∈ L(X). Ensuite, M1 et

M2 étant immédiats, on démontre seulement M3 :

α[βL + (1− β)M ] + (1− α)M = αβL + αM − αβM + M − αM

= αβL + (1− αβ)M

Une fonction linéaire sur un ensemble de mélanges est définie comme suit :

Définition 14 ϕ :M→ R est linéaire si ϕ(αx+(1−α)y) = αϕ(x) + (1−α)ϕ(y) pour

tout α ∈ [0, 1] et x, y ∈ M .

Remarquons qu’ici, comme l’opération de mélange coïncide avec la combinaison convexe

usuelle entre vecteurs, ϕ est automatiquement q-linéaire : ϕ(∑q

i=1 αixi) =∑q

i=1 αiϕ(xi)

avec αi ∈ [0, 1] pour tout i (preuve par récurrence).

De plus, remarquons que l’ensemble ℓi = (1, 2, . . . , i − 1, i, . . . , i) : i = 1, . . . , q est

un ensemble générateur pour L(X) (tout élément peut être vu comme la combinaison de

ces vecteurs de L(X)). En effet, en posant ℓ0 = (0, . . . , 0) et ℓq+1 = ℓq, on peut écrire ei =

2ℓi− ℓi−1− ℓi+1 pour tout i dans 1, . . . , q, où ei est le vecteur dont la ième composante

est égale à 1, toutes les autres étant nulles. Par conséquent, tout vecteur L de L(X) peut

s’écrire :L =

∑qi=1 Liei =

∑qi=1 Li(2ℓi − ℓi−1 − ℓi+1)

=∑q

i=1(2Li − Li−1 − Li+1)ℓi

(6.1)

avec la convention que L0 = 0 et Lq+1 = Lq. On peut maintenant établir notre théorème

de représentation :

Théorème 10 Une relation de préférence % satisfait les axiomes de neutralité, %L-

monotonie stricte, préordre complet, continuité et L-indépendance si et seulement si il

existe une fonction linéaire ϕ sur L(X) telle que x % y ⇐⇒ ϕ(L(x)) ≤ ϕ(L(y)) où :

ϕ(L(x)) =

q∑

i=1

(2ϕ(ℓi)− ϕ(ℓi−1)− ϕ(ℓi+1))Li(x)


et

ϕ(ℓi)− ϕ(ℓi−1) > ϕ(ℓi+1)− ϕ(ℓi) > 0 pour tout i

Preuve. Par neutralité, x % y si et seulement si L(x) % L(y) et par conséquent supposer

un préordre complet sur X revient à supposer un préordre complet sur L(X). En utilisant

le résultat classique de Herstein et Milnor (1953) sur les ensembles de mélanges et le

lemme 9, les deux affirmations suivantes sont équivalentes :

- les axiomes de préordre complet, continuité et L-indépendance sont vérifiés ;

- il existe une fonction linéaire ϕ sur L(X) qui préserve ≻ : pour tout L, M ∈ L(X),

L ≻M si et seulement si ϕ(L) < ϕ(M).

Pour tout vecteur L(x) de L(X) \ ℓ0 nous avons :

2Li(x)− Li−1(x)− Li+1(x) = x[i] − x[i+1] ≥ 0

pour i = 1, . . . , q avec la convention xm+1 = 0. D’où :

∑qi=1(2Li(x)− Li−1(x)− Li+1(x)) =

∑qi=1 x[i] −

∑qi=1 x[i+1]

= x[1]

Ainsi, les coefficients (2Li(x)−Li−1(x)−Li+1(x))/x[1] sont positifs et somment à 1. Par

m-linéarité de ϕ, ϕ(ℓ0) = 0 et pour tout vecteur L(x) de L(X) \ ℓ0 on déduit d’après

l’équation (6.1) :

ϕ(L(x)/x[1]) = ϕ(∑q

i=12Li(x)−Li−1(x)−Li+1(x)

x[1]ℓi)

=∑q

i=12Li(x)−Li−1(x)−Li+1(x)

x[1]ϕ(ℓi)

= 1x[1]

∑qi=1(2Li(x)− Li−1(x)− Li+1(x))ϕ(ℓi)

En multipliant par x[1], on obtient alors :

ϕ(L(x)) =∑q

i=1(2Li(x)− Li−1(x)− Li+1(x))ϕ(ℓi)

=∑q

i=1(2ϕ(ℓi)− ϕ(ℓi−1)− ϕ(ℓi+1))Li(x)

De plus, la %L-monotonie stricte implique que 2ϕ(ℓi) > ϕ(ℓi+1) + ϕ(ℓi−1) puisque

ℓi+1 + ℓi−1 ≻L 2ℓi, et implique que ϕ(ℓi+1) > ϕ(ℓi) puisque ℓi ≻L ℓi+1. Réciproquement,

si ϕ(ℓi)− ϕ(ℓi−1) > ϕ(ℓi+1)− ϕ(ℓi) > 0 pour tout i ∈ 1, . . . , q, alors la %L-monotonie

stricte est clairement vérifiée. Cela conclut la preuve.

La fonction linéaire ϕ sur L(X) peut aussi s’écrire directement sur X comme suit :

ϕ(x) =m∑

i=1

(ϕ(ℓi)− ϕ(ℓi−1))x(i)


pour tout x dans X. On reconnaît une moyenne selon un opérateur OWA (Ordered Weigh-

ted Average, Yager, 1998) avec des poids strictement positifs et strictement décroissants

wi = ϕ(ℓi)− ϕ(ℓi−1). Ceci est cohérent avec un résultat de Ogryczak (2000), qui montre

que toute solution qui minimise un opérateur OWA avec des poids strictement positifs

et strictement décroissants est %L-efficace. Ce résultat est également à rapprocher de la

caractérisation des indices de Gini généralisés par Weymark (1981).

Maintenant qu’on a un critère ϕ qui évalue le coût d’un vecteur de Lorenz L(x), on

voudrait déterminer la solution optimale selon ϕ. En fait, l’algorithme introduit en sec-

tion 6.4.2 peut être facilement modifié de façon à déterminer un chemin-solution minimi-

sant ϕ. Il suffit de changer notre règle de priorité en posant f(v) = arg minx∈F (v) ϕ(L(x))

pour tout sommet ouvert v. L’efficacité peut être améliorée en adaptant légèrement

notre règle de coupe : on coupe tout sous-chemin qui a un vecteur-coût x tel que

ϕ(L(x)) > ϕ(L(p)) pour un chemin-solution p déjà détecté. Autrement dit, cela revient

à transformer les pas (1) et (2) de la façon suivante :

(1) Choisir une étiquette e telle que e.f = arg minv∈O,x∈F (v) ϕ(L(x))

(2) e ∈ O : ∃e′ ∈ CHOIX, ϕ(L(e′.f)) > ϕ(L(e.f))

Exemple 39 Considérons le graphe de la figure 6.1 et supposons que le critère de dé-

cision ϕ(.) vérifie ϕ(ℓ0) = 0, ϕ(ℓ1) = 0.9 et ϕ(ℓ2) = 1 (de telle façon que les poids

wi = ϕ(ℓi) − ϕ(ℓi−1) somment à 1). Il est facile de vérifier que les étiquettes sont dé-

veloppées dans l’ordre lexicographique utilisé par la règle de priorité introduite en sec-

tion 6.4.2. Par conséquent, la trace de l’algorithme est similaire à celle donnée dans la

table 6.2 jusqu’à l’itération 3. A cette étape, le chemin-solution 1 est détecté avec un vec-

teur de Lorenz (9, 18) tel que ϕ(9, 18) = 9(2ϕ(ℓ1)−ϕ(ℓ2))+18(ϕ(ℓ2)−ϕ(ℓ1)) = 9. Toutes

les autres étiquettes ouvertes ayant une valeur plus grande que 9, l’algorithme s’arrête.

Cette solution peut être vue comme pessimiste car focalisée sur le pire des cas. Précisons

que diminuer la différence strictement positive w1−w2 = 2ϕ(ℓ1)−ϕ(ℓ2) orienterait vers

un chemin-solution moins pessimiste parmi les solutions %L-efficaces.

6.6 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons proposé d’utiliser la dominance de Lorenz comme règle

de comparaison minimale au sens de la robustesse (à l’image de l’utilisation de la Pareto-

dominance en optimisation multicritère), puis, observant qu’elle n’est pas suffisamment

discriminante sur certaines instances, nous avons introduit axiomatiquement un modèle

formel, fondé sur une agrégation selon un opérateur OWA, permettant de représenter

divers attitudes envers la robustesse selon le choix des paramètres.


Il apparaît que la détermination des valeurs des paramètres dans ce dernier modèle

n’est pas toujours évidente. C’est pourquoi il pourrait être utile de s’intéresser à des mé-

thodes d’élicitation pour fixer ces paramètres. A ce titre, la transposition des méthodes

d’élicitation utilisée pour estimer des fonctions d’utilité mérite d’être étudiée.

Par ailleurs, remarquons que le concept de solutions robustes et l’utilisation de la

%L-dominance peuvent être étendus à d’autres domaines de l’IA et de la RO (planifica-

tion, CSPs, parcours d’arbres de jeux, problèmes combinatoires divers...). En particulier,

nous nous sommes intéressés au problème de la recherche des arbres couvrants robustes

d’un graphe. Un algorithme d’énumération des arbres couvrants %L-efficaces consiste à

s’appuyer sur la borne fournie par la proposition 13 (p.131). Il s’agit alors d’énumérer

les solutions par ordre croissant de la moyenne des coûts jusqu’à dépasser la borne. On

obtient ainsi un sur-ensemble des arbres couvrant %L-efficaces, duquel on peut extraire

les arbres effectivement %L-efficaces. L’algorithme de Gabow (1977) d’énumération des k

meilleurs arbres a été implémenté en C++ (par J. Demouth, que nous avons co-encadré

avec P. Perny dans le cadre d’un stage au titre du projet PREFCOMB du LIP6), en

modifiant sa condition d’arrêt. Les expérimentations numériques ont été menées sur un

Pentium IV 1.7Ghz avec 640Mo de mémoire vive. Elles conduisent à des résultats très

encourageants. En effet, les temps de calcul ne dépassent pas 20 secondes, même pour des

instances comportant jusqu’à 100 sommets. Le nombre de scénarios et la borne maximum

sur les coûts des arcs n’ont que peu d’influence. Les résultats obtenus sont bien meilleurs

que ceux relatés dans la section 3.3.6 (p.80), où l’on résout difficilement des instances

de plus de 15 sommets. Il apparaît donc que nous sommes parvenus beaucoup plus fa-

cilement à isoler les arbres couvrants %L-efficaces que les arbres couvrants %P -efficaces.

Cela souligne surtout les limites de l’approche gloutonne en optimisation multicritère.

Enfin, précisons qu’une notion identique à celle de solution robuste en décision dans

l’incertain est celle de solution équitable en décision multicritère. Cette dernière notion

a été introduite par Kostreva et Ogryczak (1999). Elle est pertinente dans les cas où

les critères sont parfaitement commensurables, comme dans des problèmes de localisa-

tion d’infrastructures publiques (Ogryczak, 2000), pour lesquels les zones géographiques

jouent le rôle de critères. On recherche alors une localisation qui soit équitable pour les

différentes zones.

Conclusion

Nous nous sommes efforcés dans cette thèse de reconsidérer divers problèmes de

graphes sous l’angle de l’aide à la décision. Alors que la plupart des travaux menés

en modélisation des préférences concernent des problèmes où l’ensemble des alternatives

est défini en extension, l’originalité de notre approche est liée à la prise en compte si-

multanée d’un aspect de modélisation des préférences et d’un aspect combinatoire. Ce

dernier aspect complique singulièrement la tâche en obligeant à tenir compte de considé-

rations algorithmiques dans les modèles de préférence proposés. Dans cette conclusion,

nous allons réaliser une synthèse de notre contribution puis nous évoquerons quelques

perspectives de recherche intéressantes.

Synthèse

Après avoir montré les limites descriptives du modèle de préférence classique pour

l’aide à la décision, et présenté quelques alternatives typiques à ce cadre, nous avons

proposés des algorithmes généraux de résolution de problèmes d’arbres couvrants et de

cheminements sur la base d’une simple relation de préférence sur l’ensemble des solutions.

Nous avons identifié des conditions suffisantes sur les préférences pour garantir le bon

fonctionnement des algorithmes. L’intérêt d’une telle démarche unificatrice est de per-

mettre de repérer ensuite facilement, au vu des conditions axiomatiques mises en avant,

des modèles de préférence qui vont avoir un bon comportement algorithmique. Lorsque

ces conditions ne sont pas vérifiées, nous avons suggéré une voie, que nous appelons

approximation des préférences, qui permet de surmonter cette difficulté.

Nous avons ensuite mené le même type d’étude dans le cadre de la recherche heu-

ristique dans les graphes d’états. Nous avons alors pu interpréter a posteriori divers

algorithmes de recherche heuristique multicritère proposés dans la littérature comme des

instances particulières d’un même algorithme général. A cette occasion, nous avons pu

reconnaître, dans les solutions algorithmiques proposées dans la littérature, la mise en

œuvre, dans des contextes particuliers, de l’idée d’approximation des préférences.

Par ailleurs, nous avons présenté deux modèles de préférence non-classiques pour les

143

144 Conclusion

problèmes combinatoires.

Le premier modèle proposé porte sur les problèmes combinatoires avec des préférences

ordinales. Il s’agit d’une règle d’extension des préférences sur un ensemble à des préfé-

rences sur ses parties, que nous avons nommée mappipref. Cette règle étend naturellement

le critère bottleneck au cas où l’échelle de valuation n’est que partiellement ordonnée. A

cette occasion, nous avons montré le lien étroit entre la proportion de solutions incom-

parables et la complexité du problème combinatoire, en exhibant une famille particulière

d’instances pour laquelle le problème est résoluble en temps polynômial.

Le second modèle de préférence s’inscrit dans le courant de recherche visant à incor-

porer une idée de robustesse des solutions dans le cadre de problèmes combinatoires. A

ce titre, nous avons mis en avant les similitudes existant entre la notion de robustesse

d’une solution et la notion d’équité d’un partage, largement étudiée en théorie du choix

social. Nous avons alors suggéré l’utilisation de la dominance de Lorenz comme “relation

minimale” incorporant l’idée de robustesse. Pour raffiner cette relation, nous avons pro-

posé une justification axiomatique de l’opérateur OWA dans le cadre de la recherche de

solutions robustes. Enfin, nous avons exploité ces modèles dans le cadre de la recherche

heuristique en présence de scénarios multiples, ce qui nous a conduit encore une fois à

emprunter la voie de l’approximation des préférences.

Perspectives de recherche

Nous terminons ce document en décrivant quelques perspectives de recherche qui nous

tiennent particulièrement à cœur. Notre contribution dans cette thèse a porté essentiel-

lement sur quatre points :

– l’étude des problèmes algorithmiques soulevés par la prise en compte de préférences

non-classiques,

– la généralisation de procédures existantes pour la prise en compte de préférences

représentées par une simple relation binaire sur l’espace des solutions,

– l’identification de bonnes propriétés sur la structure des préférences,

– l’élaboration de modèles de préférence adaptés à des situations décisionnelles concrètes.

Pour la poursuite de notre étude selon ces quatre points, nous envisageons d’aborder les

thèmes suivants :

Elaboration d’algorithmes performants pour l’énumération des arbres cou-

vrants %P -efficaces d’un graphe à valuations multicritères. Au vu de notre

travail, il apparaît que les approches gloutonnes connaissent une perte importante d’ef-

ficacité lorsqu’il y a présence d’incomparabilités dans le modèle de préférence utilisé. A

ce titre, le problème multicritère d’énumération des arbres couvrants %P -efficaces d’un

graphe, pour lequel il n’existe pas aujourd’hui d’algorithme véritablement performant,

Conclusion 145

est particulièrement symptomatique des difficultés soulevées par l’abandon de l’hypothèse

de complétude des préférences quand l’espace des solutions s’inscrit dans une structure

de matroïde. Nous pensons qu’une plus grande compréhension de ce problème particu-

lièrement délicat est susceptible d’avoir des retombées significatives sur le domaine de

l’optimisation combinatoire multicritère en général.

Etude d’autres algorithmes sous l’angle des préférences. Une extension natu-

relle de notre travail consisterait à s’intéresser à d’autres méthodes de résolution et à

d’autres problèmes combinatoires. Un cadre fondée sur les préférences pour les procé-

dures par séparation et évaluation devrait pouvoir être rapidement mis en œuvre en se

basant sur nos travaux réalisés sur la recherche heuristique dans les graphes (la similitude

de ces deux approches a été soulignée en section 2.2.5). Une approche mêlant algorith-

mique et théorie de la décision nous semble également pouvoir s’appliquer utilement à de

nombreux autres problèmes combinatoires rencontrés en planification, en satisfaction de

contraintes, dans les problèmes de tournée, dans les problèmes d’affectation, etc. Pour ce

qui concerne la prise en compte de préférences particulières, il nous semble souhaitable

de développer des algorithmes permettant une modélisation sophistiquée des préférences

dans des contextes d’optimisation sous incertitude. En effet, de nombreux travaux menés

en décision dans l’incertain ont montré les limites du critère de l’utilité espérée (e.g.,

Allais, 1953; Kahneman et Tversky, 1979), auquel on se ramène trop souvent. Pour y

remédier, divers autres modèles ont été proposés, parmi lesquels par exemple le modèle

RDEU (Rank Dependent Expected Utility, Quiggin, 1982) et le modèle CEU (Choquet

Expected Utility, Schmeidler, 1989). Ces modèles de préférence violant la condition de

préadditivité, on rencontre alors les mêmes difficultés que nous avons avancées dans cette

thèse pour les exploiter dans un contexte combinatoire.

Etude théorique d’autres types d’approches algorithmiques. Une démarche

complémentaire à celle adoptée dans cette thèse consisterait à s’intéresser à des algo-

rithmes travaillant uniquement sur des solutions complètes, parmi lesquels on peut men-

tionner, entre autres, les méthodes de recherche locale et les approches évolutionnistes.

Pour ce type d’algorithmes, on pourrait envisager d’identifier des conditions, portant sur

les liens entre le modèle des préférences et les spécifications des algorithmes (voisinage,

opérateur de croisement, etc.), permettant d’espérer une bonne convergence (e.g., Ru-

dolph, 1998, 2001; Stadler et Flamm, 2003), ou encore permettant de garantir la connexité

de l’ensemble des solutions préférées (e.g., Ehrgott et Klamroth, 1997; Bossong, 2000).

Recherche de solutions potentiellement optimales. La pratique en aide à la déci-

sion jusqu’à aujourd’hui ne s’est pas véritablement départie d’un certain biais instrumen-

tal, qui pousse trop souvent à demander au décideur une information riche qu’il n’est pas

146 Conclusion

en mesure de donner. Ainsi, le risque est grand de voir prêter aux nombres une vertu cardi-

nale qu’ils n’ont pas nécessairement et d’en déduire des conclusions non-signifiantes (voir

à ce sujet, Roberts, 1990; Martel et Roy, 2002). Dans des problèmes où on ne dispose

que d’une relation d’ordre sur l’ensemble des valuations, ou dans des problèmes où cer-

taines valuations sont manquantes, il nous semble préférable de développer des modèles

capables de déterminer l’ensemble des solutions susceptibles d’être optimales (au sens du

modèle classique pour une représentation numérique compatible). Pour résoudre ce type

de problèmes, la mise en œuvre de techniques de prétraitement (e.g., Yaman et al., 2001)

visant à identifier, par exemple, des composantes appartenant à toutes les solutions po-

tentiellement optimales, ou au contraire n’y apparaissant jamais, nous semble un champ

d’investigation intéressant.

A travers ce document, nous espérons avoir montré que les travaux concernant l’ex-

ploitation de préférences non-classiques dans les problèmes combinatoires permettent

de rendre compte plus fidèlement de la complexité des problèmes rencontrés dans des

contextes applicatifs réels. On devrait ainsi être mieux à même d’éviter de recourir à des

simplifications drastiques que seul un soucis d’efficacité algorithmique justifie.

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Vu : Vu :

Le Président Les Suffragants

M. MM.

Vu et permis d’imprimer :

Le Vice-Président du Conseil Scientifique chargé de la Recherche de l’université PARIS

IX DAUPHINE

Résumé

Cette thèse porte sur la recherche de solutions préférées dans les problèmes décision-

nels admettant un ensemble combinatoire de solutions. Dans les approches classiques,

les préférences sont représentées par une fonction scalaire additive. Cependant, dans de

nombreux problèmes pratiques, les préférences ne sont pas réductibles à une telle fonc-

tion. La théorie de la décision fournit des modèles de préférences plus sophistiqués. Ils

sont toutefois plus difficiles à exploiter algorithmiquement. Cette thèse cherche à concilier

les préoccupations de modélisation des préférences et d’algorithmique dans une optique

d’aide à la décision. On s’intéresse à des problèmes de graphes (arbres, chemins) où

les préférences sont représentées par des structures mathématiques diverses (relations bi-

naires, dioïdes). Nous proposons des algorithmes de résolution et examinons les conditions

garantissant leur admissibilité. Enfin, nous spécifions ces algorithmes pour des contextes

décisionnels particuliers.

Mots-clés : Aide à la décision, modélisation des préférences, optimisation combinatoire,

graphes, recherche heuristique.

Abstract

This thesis deals with the search for preferred solutions in decision problems involving

a combinatorial number of potential solutions. In classical approaches, preferences are

represented by an additive scalar function. Nevertheless, in many practical problems,

preferences are not reducible to such a function. In this concern, decision theory provides

more sophisticated preference models. However, they are more difficult to use in com-

binatorial problems. This thesis aims at conciliating preference modelling and algorith-

mic concerns for decision aiding. More precisely, we investigate combinatorial problems

in graphs (trees, paths...) where preferences are represented with various mathemati-

cal structures (binary relations, semirings...). We provide adequate algorithms and we

establish sufficient conditions to guarantee their admissibility. Finally, we give some spe-

cifications of these algorithms for particular decision contexts.

Keywords : Decision Aiding, Preference Modelling, Combinatorial Optimization, Graphs,

Heuristic Search.

Documents

universite paris ix dauphine ufr sciences des organisationsspanjaard/articles/osthese.pdf · 4.4 Terminaison, complétude et admissibilité de PBA ... comme le choix de l’emplacement