. . . . . .

'

• • ..

•

. .

1/3

2) La droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par A et la droite parallèle à l'axe

des abscisses passant par B se coupent en un point C.

· a) Déterminer l'affixe c du point C.

b) Vérifier que c2 =1+2i./6.

3) On considère le point D d'affixe c2.

al Montrer que OO= 5. ·

b) En déduire une construction du peint D.

. - - 1) a) Construire, dans le repère (0, u, v), les points A et B.

b) Ecrire aet b sous forme algébrique.

.1t .1t . 1- 1-

On considère les points A et B d'affixes respectives a= 2e 6 et b = 2e 4 • . .

- - Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (0, u, v ).

Exercice 2 (5 points)

Exercice 1 (5 points)

L'espace estrapporté à un repère orthonormé direct {o,T,},k). 1) Soit Pet Q les plans d'équations respectives x+y-z-5=0 ·et x+y-z+ 7=0.

Montrer que les plans P et Q sont strictement parallèles.

2) Soit S l'ensemble des points M(x, y, z) de l'espace tels que x2 +v' +z2 -2x-4y-2z+ 1 = O.

a) Justifier que S est la sphère de centre 1 (1, 2, 1) et de rayon R = Js. b) Montrer que P ,"l S est un cercle '6' de centre J (2, 3, 0) dont on déterminera le rayon.

c) Déterminer Q (") S. 3) On donne les points A( 0, 0, 1) ,~( 0, 1, 2) et c( 2, 2, 5 ).

a) Déterminer les composantes du vecteur ABAAC.

b) Montrer que pour tout point M(x,_y, z) de l'espace, (ABAAC}.AM =2(x+y-z+l).

4) Déterminer l'ensemble des points M de la sphère S pour lesquels ABCM est un tétraèdre de volume égal à 2.

(Le sujet comporte trois pages numérotées de 1/3 à 3/3 )

. - §- ~~ I"!:' 1 ru t "

.

RÉPUBLIQUE TUNISIENNE Épreuve: MATHÉMATIQUES •

" MINISTÈRE DE L'EDUCATION section : Sciences expérimentales +++++ EXAMEN DU BACCALAURÉAT . Durée: 3 h Coefficient : 3 •

. SESSION 2016 Session orlncl oale • •

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1

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. . .

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•

. .

. .

2/3

~) En déduire que (un) est convergente vers un réel t et que 0, 7 < e S 1.

Un~ 1- 1 . n+l c) Montrer que pour tout nE N*,

k k+l k(k+l) ---=---- •

• b) Montrer que pour tout ke N*,

1 1 2) a) Montrer que la suite (Un) est croissante.

1

1 1+-. k

n B) Soit ( un) la suite définie sur N* par u0 == L ln2

k=l 1) Donner une. valeur approchée à 10-3 près de u 3•

1 1+- > 1, montrer que X

1 < . - ~X (x+l).

1 ln 1+- x

b) En remarquant que . .

1 1+- x

1 1 1+- - --====

X ~X (x+l). =ln a) Vérifier que f

b) Dresser le tableau de variations de f. c) Calculer f(l). En déduire le signe de f(x) pour x E )0,+oo[. d) Montrer que 1 ( 1, 0) est un point d'inflexion de la courbe ~.

3) a) Tracer la courbe ~. b) Calculer l'aire de la partie du plan limitée par la courbe ~ l'axe des abscisses

et les droites d'équations x =1 et x =e.

4) Soit x > O.

X •

2 x-1 f'(x) =- 2) a) Vérifier que pour tout x E ]o,+oo [,

1 A) Soitf la fonction définie sur ]O,+oo [ par f(x) = 21nx-x +-.

X - - On désigne par ~ sa courbe représentative dans un repère orthonormé (0, i, j ). · 1) a) Montrer que lim f(x) == +oo et que lim f(x) = -oo.

x-+O+ X--+t-00

b) Montrer que ~ admet une branche parabolique de direction celle de la droite L\ d'équation y= -x.

. Exercice 3 (6,5 points)

4) Résoudre dans C, l'équation 2z2-2z-iJG =0. On désigne par z1 la solution dont la partie réelle et la partie imaginaire sont positives et par z2 l'autre solution.

5) Soit les points· 1, M1 et M2 d'affixes .respectives 1, z1 et z2•

a} Justifier que le point M1 est le milieu du segment [ic]. b} Montrer que le quadrilatère OCM1Mi est un parallélogramme. c) Construire les points Mi et M2 •

•

. .

. . . . . . .. • 3/3

. Justifier la réponse. Lequel des deux ajustements proposés s'avère le plus adaptable à la situation ?

•

: ! 12

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 • • ' '

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' . • : X

• • . .

- b) Estimer, à l'aide de cet ajustement, le taux de mortalité infantile en Tunisie pour 1000

naissances en 2020. 3) Dans la figure ci-dessous, on a représenté la droite D définie en 1) b), la courbe (C)

d'équation y= 35,52 e-o,iix et le nuage de points de la série (X, Y) .

. a) Justifier qu'on peut modéliser le taux de mortalité infantile en Tunisie pour 1000

naissances par la relation y= 35,52 e-O,llx.

. . .

01 2 3 4 5 6 7 8 9 · 0

2 Dans la figure ci-contre, on a représenté le nuage de points de la série statistique (X, Z) et la droite de régression 11 de Z en X dont une équation est z == - 0,11x + 3,57.

4 2) On pose Z = ln(Y}.

X

z

Source: INS 03-02·2016

1) a) Déterminer, à 10-2 près, le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y. b) Ecrire une équation de la droite de régression D de Y en X.

(les coefficients seront arrondis au centième). · c) _Utiliser cet ajustement pour estimer le taux de mortalité infantile en Tunisie pour 1000

naissances en 2020.

Année 1990 1993 1996' 1999 2002 2005 2008 2011 2014 .

Rang x1 0 1 2 . 3 4 5 6 7 8 .

Taux Yr 37,3 32,3 29,7 24,2 22,1 20,3 18,4 16,4 16,3 i

Le tableau ci-dessous donne, pour les années indiquées, le taux de mortalité infantile en Tunisie pour 1000 naissances. On désigne par (X, Y) la série statistique double, où X est le rang de l'année· et Y est le taux de mortalité infantile pour 1000 naissances.

Exercice 4 ( 3,5 points)

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. .

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