Validation dans la classe de mathématiques Claudine Mary DEASS

Validation dans la classe de mathématiques

Claudine Mary

DEASS

Plan de la présentation

Validation en mathématiques

Cadres d’analyse de l’activité de l’élève et de l’enseignant

Situations de validation

Validation en mathématiques

En conclusion d’une résolution de problème, pour vérifier une procédurePour s’assurer d’avoir la bonne réponse Pour convaincre d’un résultatPour vérifier une conjecture

Pour tester un modèle

Dans la communauté mathématique, pour prouver qu’un énoncé est vrai et l’insérer dans une théorie

pour partager le savoir

Différents enjeux: vérité ou vraisemblance?

Recherche de vérité par nécessité preuve – démonstration (Lakatos, Rouche, Balacheff/ Duval)

Projet mais pas forcément réussite: Parfois on peut Parfois, on ne peut pas Fonctions

Recherche de vraisemblance ou de pertinence argumentation pour convaincre, vérification…

Schéma S. E..

Schéma Math

Cadre d’analyse de l’activité de l’élève et de l’enseignant

Structure de leçons (Joshua et Joshua): point de départ expérimental / sans point de départ expérimentalNiveaux de preuve chez les élèves (Balacheff): combien de diagonales dans un polygone?

Deux projets au moins dans la classe de mathématiques (Margolinas)

Point de départ expérimental

Validation "par nature" Él. manipulent du matériel constatent les règles avec l'aide de l'enseignantessaient sur quelques exemplesfont des exercices…

Validation opétatoire implicite Ens. montre comment faireLes règles sont identifiéesLes élèves essaient eux-mêmes la méthode Ils font des exercices…

Validation opératoire formelle En. montre comment faire Les propriétés sont identifiéesEn. démontre les propriétés Él. font des exercices…

Démarche de preuve RP Expérience par les élèves et conjecturesProduction de preuves et débat (expériences-tests et contre-exemples)Affinement des critères de validation et R du P

Sans point de départ expérimental

Validation opératoire implicite En. donne la théorie (définitions, propriétés...)Il donne des exemples (pour convaincre ou faire comprendre)L'élève fait des exercices…

Validation opératoire formelle En. donne la théorie (définitions, propriétés...)Il démontre les propriétés Les élèves font des exercices…

Validation démonstrative Enseignement de la méthode Pratique de la méthode: énoncé à valider

Joshua et Joshua (1989)

Niveaux de preuve chez les élèves

Arguments pragmatiquesvérification sur quelques cas l'expérience cruciale l'exemple générique

Arguments intellectuels l’expérience mentale calculs sur des énoncés

Combien de diagonales dans un polygone convexe?




Action réelle sur les objets, ostension,

opérations et concepts non différenciées, non organisés en discours


Manuels




Exemple qui fonde une procédure





Les arguments se détachent de l’action pour reposer sur la formulation

des propriétés en jeu et de leurs relations




Arguments intellectuels l’expérience mentale calculs sur des énoncés Action intériorisée avec explication

des propriétés (action mentale sur un cas général)





Calcul inférentiel qui s’appuie sur des définitions ou des propriétés explicites






DécontexualisationDétemporalisationDépersonnalisation

Formalisme______

Généralisation

Conceptualisation des connaissances exigés

Balacheff, 1988

Deux projets dans la classe de mathématiques

Théorie des situations de Brousseau analyse des situationsPhases de conclusion: phases d’évaluation / phases de validationValidation - preuve / validation – vérificationCritère de validité: connaissances de l’élève

Margolinas, 1989

CritèresPreuve

…de nécessité…engagé suite à une quasi-certitudeUn énoncé est formulé puis débattu Projet public Ce qui importe c'est la généralité de la procédure Quand ça ne marche pas: contre-exemples ou contradictions

Vérification …de vraisemblance…engagé suite à un douteAucun énoncé n’est formuléProjet privéCentration sur le résultat et le procédé (comment on fait)Quand ça ne marche pas: erreur

Pentamino devinette

Processus, procédé et procédure de résolution

Processus de résolution : ensemble des actions et des modèles d’action mis en œuvre temporellement dans la résolution de problème (dépend du sujet, du moment, du contexte) Procédé de résolution : ce qui dans le processus est consciemment retenu par le sujet comme ayant contribué à obtenir la résolution Procédure de résolution : méthode générale qui conduit au résultat.

Techniques de vérification(pour obtenir une information

sur le résultat) une double résolution par une même méthode une double résolution par une méthode

différente l'utilisation d'informations supplémentaires

non nécessaires à la résolution mais qui permettent une vérification

une résolution dans un autre cadre (cadre géométrique par exemple alors qu'on travaille algébriquement)

l'utilisation de propriétés mathématiques connues qui confirment ou infirment le résultat

Situations de validation Quelques considérations générales

Ancrage expérimental

Fonction sociale de la preuve

Fonctions de la preuve: convaincre, faire comprendre!

Quelle nécessité? Quelle rigueur?

Résolution de problèmes de façon à ce que les élèves s’engage dans un processus de validation

Le recours à des preuves intellectuelles ne va pas de soi (Balacheff)

Situations de validation (Exemples)

Arsac (1993). Initiation au raisonnement déductif au collège. Plusieurs exemples de suffisent pas à prouver Un dessin suffit-il à prouver? Comment remettre en cause les mesures sur un

dessin? Le rectangle d’Euclide Comment aider les élèves à remettre en cause la

valeur de preuve d’un instrument de mesure?

Dreyfus, 1998 (cours, Université de Concordia): problème des angles inscrits

Schmidt, Mary et Squalli, recherche en cours: situations de généralisation

Quelques références clésARSAC, G. (1993). Initiation au raisonnement déductif au collège, Presses universitaires de Lyon. IREM.BALACHEFF, N. (1988). Une étude épistémologique du processus de preuve en mathématiques au collège. Thèse présentée à l'Université National Polytechnique, Grenoble. DUVAL, R. (2005). Compréhension des démonstrations, développement de la rationalité et formation de la conscience individuelle. Actes du colloque du GDM, UQÀM, Montréal, pp. 5-38. DUVAL, R. (1992-1993). Argumenter, démontrer, expliquer: continuité ou rupture cognitive? Petit x, no 31, pp. 37-61.

JOSHUA, M.-A. & JOSHUA, S. (1988). Les fonctions didactiques de l'expérimental dans l'enseignement scientifique (deuxième partie), Recherche en Didactique des Mathématiques, 9 (1), pp 5-30.JOSHUA, M.-A. & JOSHUA, S. (1987). Les fonctions didactiques de l'expérimental dans l'enseignement scientifique (première partie), Recherche en Didactique des Mathématiques, Vol. 8, no 3, pp. 231-266.LAKATOS, I. (1984). Preuves et réfutations. Paris: Hermann. Version originale: (1976) Proofs and Refutations, the Logic of Mathematical Discovery. Cambridge University Press.

MARGOLINAS, C. (1989). Le point de vue de la validation: essai de synthèse et d'analyse en didactique des mathématiques, thèse, Université Joseph Fourier, Grenoble 1.ROUCHE, N. (1989). Prouver: amener à l'évidence ou contrôler des implications? In: Commission Inter-IREM Histoire et Épistémologie des Mathématiques, La démonstration mathématique dans l'histoire, Actes du 7ème colloque inter-IREM épistémologique et histoire des mathématiques. Besançon, pp 9-38.

Pour compléter la bibliographie, voir: Mary C. (2003). Les hauts et les bas de la validation chez les futurs enseignants des mathématiques au secondaire. Éditions Bande didactique. Publication d’une thèse intitulée à l’origine « Place et fonction de la validation chez les futurs enseignants des mathématiques au secondaire ». Thèse présentée en 1999 à l’université de Montréal en vue de l’obtention du grade de Ph. D. en éducation.

Merci!

Vérité nécessaire / vérité contingente

Une fonction des mathématiques est de permettre l’anticipation des résultats d’une action. Le mot anticipation recouvre un double mouvement: la prédiction, et la validité de la prédiction. Propositions mathématiques apodictiques (nécessairement vraies), et non assertorique (vraies en fait) La découverte du caractère apodictique des propositions mathématiques fait partie de l’apprentissage

Margolinas, 1989, p. 11

DémonstrationSi P, on sait que P => Q, alors QSi l'on veut démontrer que A =>D, il suffit de construire une chaîne en partant de A: A => B, si on a A donc B; B => C, on a B donc C; C => D, on a C donc D; par transitivité on peut conclure que A => D."A => B", "B => C" et "C => D" sont des énoncés reconnus valides qui font le relais jusqu'à la conclusion. D est nécessairement vrai

Perspective épistémologiqueRésolution locale d'un problème Niveau 1: résolution générale pour un ensemble de cas possibles (raisonnement inductif)Niveau 2: généralisation à l'aide d'une suite d'opérations intermédiaires, suite d'évidences partielles, où un discours devient nécessaire (pensée discursive); Niveau 3: preuves qui s'appuient sur des objets abstraits, construits, les hypothèse distinguées de la conclusion, les opérations permises bien définies (pensée hypothético-déductive); discours de plus en plus symbolisé; ce qui importe est la validité des inférences compte-tenu des axiomes de départ et non une vérité unique (rigueur formelle)

Rouche (1989)Niveaux de preuve

Conclusion de Rouche

Étapes marquées par un changement non seulement de l’univers du sens mais par une modification du rapport au sens Niveaux de preuve À chaque étape sa forme de rigueurNe pas attendre la démonstration pour avoir une préoccupation de rigueur

Schéma de la validation dans la démarche

scientifique

causes résultats calculés, déduits

modèle

comparaisonajustement

résultats calculés, déduits

validation externe

validation interne

domaine expérimental

FAITS

causes domaine théorique

Schéma de la validation avec point de départ expérimental en mathématiques

causes résultats calculés, déduits

ajustement

FAITS

causes énoncé/ conjecture

preuve/ sous-conjectures

production d'une preuve

test sur les arguments

domaine expérimental

domaine théorique

Fonction de la validation (preuve)

Faire accepter un résultat…

Statuer et systématiser

Expliquer et éclairer

Convaincre

Produire des connaissances

Communiquer

Fonctions

Theoreme 25. I- VxVyVz.x(y+z) =xy + xzProof. Induction on z. P(x) is x(y+z) =xy + xz.1. y + 0 = y N32. x(y + 0) =xy sub,13. xy + 0 = xy N34. x(y + 0) = xy + 0 =,2, 35. x0 = 0 N56. x(y + 0) = xy + x0 sub, 5, 47. x(y + z) = xy + xz as (ind. hyp.)8.* y + z' = (y + z)' N49. x(y + z') = x(y + z)' sub, 810. x(y + z') = x(y + z) + x N611. x(y + z') = xy + (xz + x) =,9, 1012. x(y + z') = (xy + xz) + x sub, 7,

1113. (xy + xz) + x = xy + (xz + x)

T214. x(y + z') = xy + (xz + x) =,12, 1315 xz' = xz + x N6 16. x(y + z') = xy + xz' sub, 15,

1417. Vz.x(y + z) = xy + xz Æ

x(y + z') = xy + xz' DT, 7-16, and gen18. Vz.x(y + z) = xy + xz ind, 6,

17* z' = z + 1

Margaris, A. (1967). First Order Mathematical Logic, p. 138

Pour construire un carré d'aire double d'un carré donné, il suffit de prendre pour côté du carré à construire la diagonale du carré donné.

En effet, soit le carré de la figure (a). Sa diagonale le divise en deux triangles isométriques que l'on peut réarranger pour en faire un demi-carré, comme à la figure (b). D'où la solution présentée à la figure (c)

(a) (b) (c)

La somme des angles intérieurs d’un triangle…

En chaque nœud du pavage se retrouve deux fois chacun des angles du triangle.

La somme des n premiers nombres entiers positifs S(n) est n(n+1)/2.Pour n=1, le théorème est vrai. Supposons qu'il est vrai pour un k quelconque. Alors S(k+1) = S(k) + (k+1) = n(n+1) / 2+ (n+1)

= (n+1)(n+2) / 2Donc l'énoncé est vrai pour k+1 s'il est vrai pour k. Par le théorème d'induction, l'énoncé est vrai pour tout n.

S = 1 + 2 + ... + n S = n + (n-1) + ... + 1 2S= (n+1)+ (n+1)+ ... + (n+1)= n(n+1) S = n(n+1) / 2C.Q.F.D.

Hanna (1995), p. 48.

Est-ce que ces angles peuvent être inscrits dans un cercle?

F

A B

K

Validation empiriqueRègle à suivre: Avant d'affirmer qu'un énoncé mathématique est toujours vrai, il faut attribuer différentes valeurs à la variable. Mieux vaut éviter d'attribuer aux variables les valeurs 0, 1 et 2. Ces nombres présentent en effet trop de particularités. Voyez vous-mêmes: x + x = xC'est vrai si x = 0, mais c'est généralement faux! x x = xC'est vrai si x = 0 ou 1, mais c'est généralement faux!

Problème des tables

Élève

Si on prend l'exemple de 3 tables, il y en a 1 à chaque bout, il y en a une à chaque table d'un côté et d'l'autre bord avec. T'imagines qu'il y en a 39 comme ça

Exemple générique et

expérience mentale

2 formules ont été obtenues

Enseignant

On a un problème. On vérifie si ça fonctionne.

(Il montre sur le dessin.)

On a 1 table. Ici ça vaut 1x2+2=4. J'ai bien 4 personnes. Ça fonctionne.

Les élèves calculent avec lui.

Celle-ci (1-2)x2 + 6

Les élèves calculent avec lui: Ça fait 4, ça fonctionne aussi

Enseignant: Donc ça fonctionne aussi.

Ils vérifient ensuite pour trois tables (en se fiant sur le dessin au tableau qui donne 8 comme résultat).

Question de l’équivalence

En: Ces deux là fonctionnent. Est-ce que ça veut dire la même chose? Élèves: OuiEn: Pourquoi?És: Parce que ça donne la bonne réponse

Validation par l’intermédiaire des

réponses validation

pragmatique

Argument pragmatique

60

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

Grille numérique

C: «+20 – 2 »

C: «+18 » (sous l’influence de Stella)

En: Est-ce que ça fonctionne toujours pis comment vous le savez que ça fonctionne toujours?

M: Moi j’ai essayé pis ça marche (…) avec 2.

En: T’as essayé avec deux nombres (elle rit).

C: Mais même si tu les fais toute ça va marcher quand même. Parce que euh… on se les disait pis c’était ça genre que j’utilisais, pis… on a utilisé peut-être une trentaine dans cette grille là pis je les disais toute bons.

Reconnaissance d’une procédure

Lors du choix de la forme la plus difficile, C dit: « Sont toutes pareilles parce que j’ai pas de problèmes de cases en tant que tel, parce que moi j’additionne la différence entre les deux… je fais

–3+20 et ça va donner la réponse [forme 7]»

R : « + 17 » ça veut dire.

C : Ou plus euh, attends peu.

En : Roméo a dit « + 17 ».

C : Oui, c’est ça.

–2+20 ou –3+20exemple générique

Argument général

U a construit une forme qui est sensée être difficile: C dit : Tu fais ça. (Il montre qu'il n'a qu'à faire un « L » sur la forme d’U) C'est toute facile. Tu peux pas en dessiner une compliquée.

Dégagement conscient d’une procédure schématisée par un L

Seuls les aspects essentiels sont retenusLa procédure devient critère de validité

Le rectangle d’EuclideTrace un rectangle ABCD tel que AB=8 cm et BC = 5cm.

Place un point E sur AC tel que AE = 3 cm.

Trace la parallèle à AD qui passe par E; elle coupe AB en N et DC en L.

Trace la parallèle à AB qui passe par E; elle coupe AD en M et BC en K.

Parmi les deux rectangles EMDL et ENBK, quel est celui qui a la plus grande aire?

A N B

M K

D L C

Affiches produites par les élèves

Dessin avec mesures

Le rectangle BENK a une aire de 8,8 cm carrés et MELD de 8,5 cm carrés.

Conclusion: le rectangle BENK a la plus grande aire. Pour vérification, on additionne toutes les aires du rectangle. Le résultat sera égal à 40 c’est-à-dire à l’aire du grand rectangle.

Figure

Le triangle CDA est égal au triangle CBA.

Le triangle CLE est égal au triangle CKE.

Le triangle EMA est égal au triangle ENA.

Donc ENBK est égal à EMDL.

Jeu des devinettesChoisissez, sans rien dire, un nombre compris entre 0 et 10.Multipliez-le mentalement par 6Divisez le nombre obtenu par 3.Divisez le nombre obtenu par 2.Enlevez le nombre choisi au départ.Ajoutez 7.Retranchez 2.

Le but de l’activité est d’amener les élèves à réfléchir collectivement sur la généralité derrière la chaîne des opérations de calcul, de construire eux-mêmes de telles chaînes et de s’engager dans un processus de validation.

63 2-

+7-2

63 2-

+7-2

Productions d’Ulysse

L’expression construite sert de modèles pour d’autres

Validation pragmatique mais

Anticipations du succès: « Ça va marcher! »

a + n’importe quoi –a

« Ça va marcher, tu gages? »

Ça ne marche pas avec des X

Tentative avec des + et -

a+(2+5-4+3)-a = 6

Validation pragmatique

Productions de César et Roméo

a x 10 2 aValidation empiriquePas d’examen des propriétés de la chaîneEssai avec 962: expérience crucialeUn élève propose 99999999999: César mentionne qu’à la calculatrice, ça ne fonctionne pas mais que sur papier ça marcherait!

Il réalise que zéro ne fonctionne pas et le rejette du domaine de validité.

Roméo cherche une procédure qui permettra d’accepter le zéro:

a+1x10 2 a-1

Recherche de généralité Dégagement conscient d’une procédure?

Les validations restent pragmatiquesProposition d’un modèle-tests-ajustement du modèle

ConvictionConscience des invariants?

Pas de recherche explicite de causes?

Conscience de la généralité

mais c’est comme si leurs connaissances

des propriétés de la multiplication ou de l’addition

n’agissaient pas comme des connaissances

utiles pour valider les procédures

Production de David

En réaction à la proposition d’Ulysse a+(n’importe quoi)-a: « Tu peux pas faire au hasard ! »« Moi je te jure que ça va pas être bon. »David cherche à contrôler les opérations et trouve une expression qu’il sait triviale mais dont il est convaincu de la validité a priori.

« C’est obligé que ce soit dur? »

a-a+a

Il réalisera qu’il ne répond pas à la consigne.

Lorsque l’enseignante tente de les faire réfléchir sur les opérations, il envisage la nécessité d’avoir un nombre pair.

Il est le seul à envisager

explicitement des conditionsnécessaires

Documents

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